动能定理PPT课件

Fτds=δW 代入得到
为Fτ在位移ds上所作的功，称为元功
d(mv2/2)=δW—质点动能定理的微分形式
质点动能的微分等于作用于质点上的力的元功。
如果质点自M1点到M2点作有限位移，相应 的坐标为s1和s2，相应的速度为v1和v2，对 上式积分
∫ v1 v2 d(mv2/ 2)= ∫ s1 s2 Fτds 得到：
质量的大小及其分布有关，与刚体的运动 无关。
刚体质量连续分布时，转动惯量可 以写成：
Jz=∫Mr2dm 通过积分可以求得质量均匀分布并
有规则几何形状的刚体的转动惯量。
几种常见刚体对过质心轴z的转动 惯量
1.质量为m，半径为R的均质圆盘 (圆柱)，
Jz= m R2/2 2.质量为m，半径为R的均质圆环，
平移刚体的动能
刚体平移时各点速度相同，由T=∑mivi2/2得到 T=mv2/2
或写成T=mvc2/2 vc为刚体质心的速度。
定轴转动刚体的动能
设定轴转动刚体角速度为ω，其上任一点M 到转轴的距离为ri，其速度vi= ri ω，则刚 体的动能为
T=∑mivi2/2=∑mi （riω）2/2 = ∑mi ri2ω2/2=Jzω2/2 Jz =∑mi ri2称为刚体对定轴z的转动惯量。 转动惯量是刚体转动惯性的度量，与刚体
自由质点系—质点系中各质点的运动不受约束的限 制的质点系；反之称为非自由质点系。
12-1-2 质点动能的概念 质点的质量为m，某瞬时速度为v，
定义：质点的动能等于质点质量与质 点速度平方乘积的一半，即
T=mv2/2 动能永远为正值或零。 动能的单位为N.m（牛顿.米）
v m
1 N.m=1J（焦耳）。
Jz= m R2 3.质量为m，长为l的均质细杆，
Jz= m l2/12
m zR
m R
z
z
l/2
l/2
平行轴定理：刚体对任何轴的转动惯量， 等于刚体对通过质心并与该轴平行的轴 的转动惯量，加上刚体质量与两轴之间 距离的平方的乘积。即：
12-1-4 作用于质点系上的力的分类 内力与外力 内力—质点系中各质点之间的相互作用力； 外力—质点系外的物体作用于质点系上各质点的力。 对于一般的质点系，内力作功不一定等于零。 主动力与约束力 约束力—约束作用于物体的力； 主动力—约束力之外的力。 理想约束—约束力所作之功的代数和等于零的约束。 光滑接触、光滑轴承、光滑铰链，不考虑伸长的绳
索，只滚不滑的纯滚动等。
12-1-5 质点的动能定理
当质点M在力F作用下，沿轨迹M1到M2时，Fτ是力 F在切线方向的投影，
由牛顿第二定律有 maτ= Fτ 将aτ=dv/dt代入有 mdv/dt= Fτ 等号两边乘以ds,且v=ds/dt,代入有
mvdv/dt=Fτds mvdv/dt=d(mv2/2)
起止位置高度差的乘积。
重力作功与质点运动路径无关，只与起 止点的高度有关。
z M1 z1
z2
Fp
M2
O y
x
弹性力的功
设弹簧刚度为k，相应变形由λ1到λ2，则弹性力作的功为： W=∫s1s2 –Fds =∫λ1λ2 – kλdλ = k(λ12 –λ22 )/2 即：弹性力作功与质点路径无关，只与弹性元件在质点起
mv22/2 - mv12/2=W —质点动能定理的积分 形式
质点在有限位移过程中，其动能的改变等 于作用在质点上的力在相应位移上所作之 功。
§12-2 质点系的动能定理 12-2-1 质点系的动能 质点系的动能等于质点系内所有质点动能的总和：
T=∑mivi2/2 几种常见运动形式下刚体的动能
止位置时的变形量有关。
作用在定轴转动刚体上力的功
在力F作用下，作定轴转动的刚体由Φ1转至Φ2时，力所作 的功为：
W= ∫ Φ1 Φ2 Mz(F)dΦ 当力对轴之矩保持不变时，力对轴之矩所作的功为：
W= Mz(F)（Φ2- Φ1） 当力对轴之矩保持不变时，作用在定轴转动刚体上的力所
作的功等于力对轴之矩与刚体转角的乘积。
计算动能时，速度为绝对速度。
动能是质点运动强度的一种度量。
12-1-3 功的概念和计算
作用在质点上的力在某一段位移上的功，是 力在这段位移上作用效果的度量。
恒力的功：在恒力F作用下，质点M沿直线 运动。力作用线与运动方向夹角为θ，位移 为s，力F对质点作的功等于F在位移方向上 M1 的投影与位移的乘积：
第12章 动能定理
§12-1 基本概念 物体的动力分析—研究物体的运动与作用在物体上
的力或力系之间的关系。
基本定律是牛顿第二定律 F=ma 本书只介绍动能定理和动静法两部分内容。
12-1-1动力学的力学模型 质点—有质量但可以忽略其大小和形状的点。 质点系—有限或无限质点的集合。 刚体—无数质点组成的不变形的质点系。 刚体的特点是其中任意两质点间的距离保持不变。
δW=Fcosθds
M1 ds F
r
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dr θ v M2
r’
沿弧长积分，求得变力F在运动轨迹M1M2O
上对质点作的功：
x
y
W=∫s1s2 Fcosθds =∫s1s2 Fτds
用X，Y，Z表示为F在xyz轴上的投影， dxdydz为微元ds在xyz轴上的投影，则
W=∫M1M2(Xdx+Ydy+Zdz)
合力功定理—质点M同时受n个力（F1， F2 ， …， Fn，）的作用，设合力为R， 则质点M在R作用下在任意位移上所作的 功，等于各分力在相同位移上所作的功 的代数和。
W=W1+W2+…+Wn=∑W 重力功
质点在重力作用下，沿任意轨迹从M1运 动到M2 ，重力作功为
W=∫z1z2 -Fpdz= Fp(z1 –z2) 即：重力作功等于质点所受重力与质点
W=Fscos θ
W=F . s
功是代数量，正负号规则为：力的投影的正 方向与位移方向一致，则力在这一段位移上 所作之功为正；反之为负。
功的国际单位为N.m，
1 N.m=1J（焦耳） 。
F
θv
M2
s
变力的功：
如果在变力作用下，质点M沿任意轨迹
从M1运动到M2，考察微元弧段，将微元 上作用的力视为恒力，微段轨迹视为直 z 线，则力的微元功为