最新人教版九年级数学上册第二十二章《实际问题与二次函数》同步测控优化训练2
人教版初三数学上册22.3实际问题与二次函数----同步测控优化训练(含答案).3-实际问题与二次函数----同步
22．3 实际问题与二次函数一、课前预习 (5分钟训练)1.二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的最大值是0，那么代数式|a|+4ac －b 2的化简结果是（ ）A.aB.－aC.0D.12.抛物线y=－2x 2－8x+3的顶点关于y 轴对称的点的坐标为____________．3.两数之和为6，则之积最大为．____________二、课中强化(10分钟训练)1.已知二次函数y=x 2－6x+m 的最小值为1，那么m=_____________．2.抛物线y=21x 2－6x+21，当x=_________，y 最大=___________3.一名男同学推铅球时，铅球行进中离地的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y=35321212++-x x ,那么铅球推出后最大高度是______m ，落地时距出手地的距离是____m ． 4.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，求：（1）若商场平均每天要盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，该商场平均每天盈利最多？5.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．（1）如果增加x 台机器，每天的生产总量为y 件，请你写出y 与x 之间的关系式；（2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？同步测控优化训练三、拓展提高(30分钟训练)1.对于物体，在不计空气阻力的情况下，有关系式h=v 0t －21gt 2，其中h 是上升高度，v 0（m/s ）是初速度，g(m/s 2)是重力加速度，t(s)是物体抛出后经过的时间，图1是上升高度h 与t的函数图象.（1）求v 0，g ；（2）几秒后，物体在离抛出点25 m 高的地方？图12.某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价0．5元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．3.随着海峡两岸交流日益增强，通过“零关税”进入我市的一种台湾水果，其成本是每吨0．5万元，这种水果市场上的销售量y （吨）是每吨销售价x (万元)的一次函数，且x=0.6时，y=2.4；x=1时，y=2.（1）求出销售量y （吨）与每吨销售价x (万元)之间的函数关系式；（2）若销售利润为W （万元），请写出W 与x 之间的函数关系式，并求出销售价为多少时的销售利润最高？参考答案一、课前预习 (5分钟训练)1.二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的最大值是0，那么代数式|a|+4ac －b 2的化简结果是（ ）A.aB.－aC.0D.1 解析：最大值为0，即4ac －b 2=0，且a ＜0；由此得|a|+4ac －b 2=－a ．答案：B2.抛物线y=－2x 2－8x+3的顶点关于y 轴对称的点的坐标为____________．解析：先求出抛物线的顶点坐标，顶点坐标为（－2，11），所以其关于y 轴对称点的坐标为（2，11）.答案：（2，11）3.两数之和为6，则之积最大为．____________解析：设其中一个为x ，积为y,则有y=x(6－x)，可求得最大值是9．答案：9二、课中强化(10分钟训练)1.已知二次函数y=x 2－6x+m 的最小值为1，那么m=_____________．解：∵4364-m =1,∴m=10. 答案：102.抛物线y=21x 2－6x+21，当x=_________，y 最大=____________． 解析：由公式求得顶点坐标来解决．y=21x 2－6x+21， 得x=aab -=6，y=a b ac 442-=3.故当x=6时，y 最大=3． 答案：6 33.一名男同学推铅球时，铅球行进中离地的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y=35321212++-x x ,那么铅球推出后最大高度是______m ，落地时距出手地的距离是____m ．解析：运用函数的顶点及与坐标轴的交点来解决本题．顶点为(4，3)；y=0，代入y=121-x 2+32x+35，解得x 1=10,x 2=－2（舍去）． 答案：3 104.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，求：（1）若商场平均每天要盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，该商场平均每天盈利最多？解：（1）设降价x 元，则(40－x)(20+2x)=1 200，解得x 1=20,x 2=10．∴为了扩大销售，减少库存，每件衬衫应降价20元．（2）商场平均每天盈利y=(40－x)(20+2x)=－2(x －15)2+1 250，即当x=15时，商场平均每天盈利最多．5.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．（1）如果增加x 台机器，每天的生产总量为y 件，请你写出y 与x 之间的关系式；（2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？解：y ＝(80+x)(384－4x)＝30 720+64x －4x 2＝－4(x －4)2＋30 784.当x ＝4（台）时，y 有最大值为30 784件．答：（1）y ＝30 720+64x －4x 2．（2）增加4台机器，可以使每天的生产总量最大；最大生产总量是30 784件．三、课后巩固(30分钟训练)1.对于物体，在不计空气阻力的情况下，有关系式h=v 0t －21gt 2，其中h 是上升高度，v 0（m/s ）是初速度，g(m/s 2)是重力加速度，t(s)是物体抛出后经过的时间，图26311是上升高度h与t 的函数图象.（1）求v 0，g ；（2）几秒后，物体在离抛出点25 m 高的地方？解：（1）由图象知抛物线顶点为（3，45）且经过（0，0）、（6，0）， 把（6，0）、（3，45）代入h=v 0t －21gt 2得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯-=⨯-,459213,03621600g v g v解得⎩⎨⎧==.10,300g v∴h=－5t 2+30t ．（2）当h=25时，－5t 2+30t=25，∴t 2－6t+5=0．∴t 1=1，t 2=5，即经过1秒和5秒后，物体在离抛出点25米高处2.某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价0．5元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润． 解：设应提高售价x 元，利润为y 元．依题意得y=(10－8+x)(100－10×5.0x )， 即y=－20(x －23)2+245，a=－20<0，所以 y 有最大值． 当x=1.5，即售价为10+1．5=11.5时，y 有最大值为245元．3.随着海峡两岸交流日益增强，通过“零关税”进入我市的一种台湾水果，其成本是每吨0．5万元，这种水果市场上的销售量y （吨）是每吨销售价x (万元)的一次函数，且x=0.6时，y=2.4；x=1时，y=2.（1）求出销售量y （吨）与每吨销售价x (万元)之间的函数关系式；（2）若销售利润为W （万元），请写出W 与x 之间的函数关系式，并求出销售价为多少时的销售利润最高？解：（1）设所求的一次函数为y=kx+b,由题意得⎩⎨⎧=+=+.2,4.26.0b k b k 解之，得k=－1,b=3．所以y=－x+3．（2）W=（x －0．5）y=－x 2+3.5x －1.5,当销售价为１.7５元时销售利润是1.56万元．。
2023-2024学年九年级数学上册《第二十二章 实际问题与二次函数》同步练习题附答案(人教版)
2023-2024学年九年级数学上册《第二十二章 实际问题与二次函数》同步练习题附答案（人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是y=﹣112x 2+23x+53．则他将铅球推出的距离是（ ）m ． A ．8B ．9C ．10D ．112．某海滨浴场有100个遮阳伞，每个每天收费10元时，可全部租出，若每个每天提高2元，则减少10个伞租出，若每个每天收费再提高2元，则再减少10个伞租出，…，为了投资少而获利大，每个每天应提高（ ） A ．4元或6元B ．4元C ．6元D ．8元3．为了响应“足球进校园”的目标，兴义市某学校开展了多场足球比赛．在某场比赛中，一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式 ℎ=−5t 2+v 0t 表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，v 0(m ／s)是足球被踢出时的速度，如果要求足球的最大度达到20m ，那么足球被踢出时的速度应该达到（ ） A ．5m ／sB ．10m ／sC ．20m ／sD ．40m ／s4．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y 与月份n 之间的函数关系式是y ＝－n 2＋15n －36，那么该企业一年中应停产的月份是（ ） A ．1月，2月 B ．1月，2月，3月 C ．3月，12月D ．1月，2月，3月，12月5．小杰把班级勤工俭学挣得的班费500元按一年期存入银行，已知年利率为x ，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本利和为y 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ） A ．y=500(x+1)2B ．y=x 2+500C ．y=x 2+500xD ．y=x 2+5x6．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒，经过t 秒时球的高度为h 米，h 和t 满足公式：表示球弹起时的速度，g 表示重力系数，取 g =10 米/秒2) ，则球不低于3米的持续时间是（ ） A ．0.4 秒B ．0.6 秒C ．0.8 秒D ．1秒7．如图所示，赵州桥的桥拱用抛物线的部分表示，其函数的关系式为 y =−125x 2 ，当水面宽度 AB 为20m 时，此时水面与桥拱顶的高度 DO 是（ ）A．2m B．4m C．10m D．16m8．如图，已知二次函数y=mx2-4mx+3m(m>0)的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，若CA平分∠OCB，则m的值为（）A．√3B．√2C．√22D．√33二、填空题9．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y=−2x2+4x+1喷出水珠的最大高度是m .10．廊桥是我国古老的文化遗产.如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y=−140x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是米.(精确到1米)11．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于．12．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为9m，则水管的长度OA是m.三、解答题13．建立适当的坐标系，运用函数知识解决下面的问题：如图，是某条河上的一座抛物线形拱桥，拱桥顶部点E到桥下水面的距离EF为3米时，水面宽AB为6米，一场大雨过后，河水上涨，水面宽度变为CD，且CD=2√6米，此时水位上升了多少米？14．学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元，店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润．（1）求每套课桌椅的成本；（2）求商店获得的利润．15．某造纸厂生产甲、乙两种生活用纸的相关信息如下表，其中x（吨）表示甲、乙两种生活用纸的月产量，请根据表中的信息解答后面的问题：种 品价 目出厂价（元/吨） 成本价（元/吨）排污处理费甲种生活用纸48002200200（元/吨）每月还需支付设备管理、维护费20000元乙种生活用纸7000﹣10x1600400（元/吨） （1）设该造纸厂每月生产甲、乙两种生活用纸的利润分别为y 1元和y 2元，分别求出y 1和y 2与x 的函数关系式（注：利润=总收入﹣总支出）；（2）若某月要生产甲、乙两种生活用纸共300吨，求该月生产甲、乙两种生活用纸各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？16．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x 米，面积为S ．（1）求S 与x 的函数关系式；（2）并求出当AB 的长为多少时，花圃的面积最大，最大值是多少？17．某水晶厂生产的水晶工艺品非常畅销，某网店专门销售这种工艺品.成本为30元/件，每天销售y （件）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系，当x=40时，y=300；当x=55时，y=150． （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）如果规定每天工艺品的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该工艺品销售单价的范围．18．如图，抛物线L ：y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B （3，0）两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，3），已知对称轴x=1．（1）求抛物线L的解析式；（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），求h的取值范围；（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．参考答案1．C2．C3．C4．D5．A6．A7．B8．D9．310．8√511．√512．15413．解：以点E为原点、EF所在直线为y轴，垂直EF的直线为x轴建立平面直角坐标系根据题意知E（0，0）、A（﹣3，﹣3）、B（3，﹣3）设y=kx2（k＜0）将点（3，﹣3）代入，得：k=﹣13x2∴y=﹣13将x=√6代入，得：y=﹣2∴上升了1米．14．（1）解：设每套课桌椅的成本为x元，根据题意得：60×100﹣60x=72×（100﹣3）﹣72x，解得：x=82 答：每套课桌椅的成本为82元（2）解：60×（100﹣82）=1080（元）答：商店获得的利润为1080元15．解：（1）依题意得：y 1=（4800﹣2200﹣200）x ﹣20000=2400x ﹣20000 y 2=（7000﹣10x ﹣1600﹣400）x=﹣10x 2+5000x ；（2）设该月生产乙种生活用纸m 吨，则生产甲种生活用纸（300﹣m ）吨，总利润为W 元 依题意得：W=2400（300﹣m ）﹣20000﹣10m 2+5000m =720000﹣2400 m ﹣20000﹣10 m 2+5000m =﹣10 m 2+2600 m+700000 ∵W=﹣10（m ﹣130）2+869000． ∵﹣10＜0∴当m=130时，W 最大=869000即生产甲、乙生活用纸分别为170吨和130吨时总利润最大，最大利润为869000元． 16．（1）解：∵围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃 AB=EF=CD=x 米，BC=（24-3x ）米 S=（24-3x ）x =-3x 2+24x （平方米） ∵x > 0,且 15≥24-3x > 0 ∴3≤x <8S=-3x 2+24x （ 3≤x <8 ）（2）解：S=（24-3x ）x =-3x 2+24x =-3（x-4）2+48 ∵a=-3<0，二次函数图形开口向下，函数有最大值 当x=4时，S 最大=48平方米∴当AB 长为4m ，宽BC 为12m 时，有最大面积，最大面积为48平方米． 17．（1）解：设y 与x 之间的函数关系式： y =kx +b 由题意得： {40k +b =30055k +b =150 ，解得： {k =−10b =700∴y 与x 之间的函数关系式为： y =−10x +700 （2）解：设利润为 w 元由题意，得 −10x +700≥240 ，解得 x ≤46 则 w =(x −30)(−10x +700) =−10x 2+1000x −21000=−10(x −50)2+4000 ∵−10<0∴x <50 时， w 随 x 的增大而增大 ∴x =46 时答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元 （3）解： w −150=−10x 2+1000x −21000−150=3600 −10(x −50)2=−250 解得： x 1=55 结合二次函数图象可得：当 45≤x ≤55 时，捐款后每天剩余利润不低于3600元 18．（1）解：∵抛物线的对称轴x=1，B （3，0） ∴A （﹣1，0）∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点C （0，3） ∴当x=0时，c=3．又∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点A （﹣1，0），B （3，0） ∴{a −b +3=09a +3b +3=0 ∴{a =−1b =2∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2+2x+3 （2）解：∵C （0，3），B （3，0） ∴直线BC 解析式为y=﹣x+3 ∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4 ∴顶点坐标为（1，4）∵对于直线BC ：y=﹣x+1，当x=1时，y=2；将抛物线L 向下平移h 个单位长度 ∴当h=2时，抛物线顶点落在BC 上； 当h=4时，抛物线顶点落在OB 上∴将抛物线L 向下平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC 内（包括△OBC 的边界）则2≤h≤4（3）解：设P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n）①当P点在x轴上方时，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N 点，如图所示：∵B（3，0）∵△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形∴∠BPQ=90°，BP=PQ则∠PMQ=∠BNP=90°，∠MPQ=∠NBP在△PQM和△BPN中∴△PQM≌△BPN（AAS）∴PM=BN∵PM=BN=﹣m2+2m+3，根据B点坐标可得PN=3﹣m，且PM+PN=6∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6解得：m=1或m=0∴P（1，4）或P（0，3）．②当P点在x轴下方时，过P点作PM垂直于l于M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点同理可得△PQM≌△BPN∴PM=BN∴PM=6﹣（3﹣m）=3+m，BN=m2﹣2m﹣3则3+m=m2﹣2m﹣3解得m= 3+√332或3−√332．∴P（3+√332，−√33−92）或（3−√332，√33−92）．综上可得，符合条件的点P的坐标是（1，4），（0，3），（3+√332，−√33−92）和（3−√332，√33−92）．。
人教版初中数学九年级上册第二十二章《实际问题与二次函数》同步测试(解析版)
依据题意列出关系式即可．
【详解】
依据题意得：y=10〔x+1〕2，
故答案为：y=10〔x+1〕2
【点睛】
此题考察了依据实践效果列二次函数关系式，弄清题意是解此题的关键．
12．120
【解析】
【剖析】
设售价下跌x元,依据产品涨价1元,销售量每天就增加10个,可得销售量是:〔500-10x〕个,依据销售利润=(售价-进价) ×销售量,可得: ,最后依据二次函数的性质求函数取最大值时x的取值即可求解.
,
代入抛物线解析式得： 解得：
故答案为：
点睛:属于二次函数综合体，考察待定系数法求函数解析式，正方形的性质，二次函数的图象与性质等，重点掌握待定系数法.
14．〔1〕 ；〔2〕 ；〔3〕t的值为2．
【解析】
【剖析】
先确定 ， ，然后应用待定系数法求抛物线解析式；
作 于H，如图1，设 ，再解方程 得 ，应用正切的定义失掉 ，那么 ，然后解方程求出x即可失掉D点坐标；
12．某产品进价为90元，按100元一个售出时，每天售500个，假设这种产品涨价1元，其销售量每天就增加10个，为了取得最大利润，其单价应定为____元．
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点C在x轴正半轴上，抛物线 〔a<0〕的顶点为D，且经过点A、B．假定△ABD为等腰直角三角形，那么a的值为___________．
应选：D
【点睛】此题考核知识点：二次函数运用.解题关键点：依据写出关系式,并求函数的最值.
9．150
【解析】【剖析】依据题意可以用相应的代数式表示出矩形绿地的面积，应用函数的性质即可解答此题．
【详解】设AB=xm，那么BC= 〔900﹣3x〕，
九年级数学上册《第二十二章 实际问题与二次函数》同步训练题及答案(人教版)
九年级数学上册《第二十二章实际问题与二次函数》同步训练题及答案(人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（）A．y＝2.4（1+2x）B．y＝2.4（1-x）2C．y＝2.4（1+x）2D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）22．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位：s)之间的关系式为ℎ=30t−5t2，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是( )A．6s B．4s C．3s D．2s3．某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y=﹣n2+14n﹣24，则企业停产的月份为（）A．2月和12月B．2月至12月C．1月D．1月、2月和12月4．地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（）A．小球滑行12秒停止B．小球滑行6秒停止C．小球滑行6秒回到起点D．小球滑行12秒回到起点5．如图，一边靠墙(墙有足够长)，其它三边用12 m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园，这个花园的最大面积是( )A．16 m2B．12 m2C．18 m2D．以上都不对6．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）A ．此抛物线的解析式是y=﹣ x 2+3.5B ．篮圈中心的坐标是（4，3.05）C ．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D ．篮球出手时离地面的高度是2m 7．如图中是抛物线形拱桥，P 处有一照明灯，水面OA 宽4m ，从O 、A 两处观测P 处，仰角分别为α、β，且tan α=12，tan β=32，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系.若水面上升1m ，水面宽为（ ）A ．2√2B ．2√3C ．32√2D ．12√38．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD 如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x 米，在五边形EFBCG 区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y 与x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x （x ≥100）元，则月销量是 件，销售该运动服的月利润为 元（用含x 的式子表示）.10．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利3元，以同样的栽培条件，若每盆增加2株，平均单株盈利就减少0.5元，则每盆植 株时能使单盆取得最大盈利；若需要单盆盈利不低于13元，则每盆需要植 株． 11．一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面高度为y （米）关于水平距离x （米）的函数解析式为y=−112x2+23x+53，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为m．12．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为m2．13．某圆形喷水池的水柱如图①所示，如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流，如图②所示，其上的水珠的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y=－x2＋4x＋94，那么圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不落在水池外．三、解答题：（本题共5题，共45分）14．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是t=−2x+ 80，求选取点B为坐标原点时的抛物线解析式．15．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线. 如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C 到水枪底部B的距离.16．“春种一粒粟，秋收万颗子”，唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子，被誉为中华民族的哺育作物.某商场销售一种品牌的小米，进价是40元/袋.市场调查后发现，售价是60元/袋时，平均每星期的销售量是300袋，而销售单价每降低1元，平均每星期就可多售出30袋.（1）若每袋小米降价x 元，写出该商场销售该品牌小米每星期获得的利润w （元）与x （元）之间的函数关系式.（2）在（1）的条件下，每袋小米的销售单价是多少元时，该商场每星期销售这种品牌小米获得的利润最大？最大利润是多少元？17．小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 在x 轴上，球网AB 与y 轴的水平距离OA =3m ，CA =2m 击球点P 在y 轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y （m ）与水平距离x （m ）近似满足一次函数关系y =−0.4x +2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y （m ）与水平距离x （m ）近似满足二次函数关系y =a(x −1)2+3.2．18．如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E 的坐标为（﹣32，﹣10）．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O 的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A 点的坐标为（1，54），正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B 点的坐标；（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E 的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；（3）在该运动员入水点的正前方有M ，N 两点，且EM ＝212，EN ＝272，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y ＝a （x ﹣h ）2+k ，且顶点C 距水面4米，若该运动员出水点D 在MN 之间（包括M ，N 两点），请直接写出a 的取值范围．参考答案：1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．A 7．A 8．A9．2x+400；-2x2+520x-2400010．7；7或911．312．14413．9214．解：如图：由题意可得出：y=a（x+6）2+4将（-12，0）代入得出，0=a（-12+6）2+4解得：a=−19(x+6)2+4．∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y=−19(x+6)2+4．故答案为：y=−1915．解：建立平面直角坐标系，如图，于是抛物线的表达式可以设为y=a(x−ℎ)2+k，根据题意，得出A，P两点的坐标分别为A（0，2），P（1，3.6），∵点P为抛物线顶点∴ℎ=1 k=3.6∵点A在抛物线上，∴a+3.6=2a=−1.6∴它的表达式为y=−1.6(x−1)2+ 3.6当点C的纵坐标y=0时，有−1.6(x−1)2+3.6=0x1=−0.5（舍去）x2=2.5∴BC=2.5，∴水流的落地点C到水枪底部B的距离为2.5m16．（1）解：由题意得w=(20−x)(300+30x)∴w=−30x2+300x+6000（2）解：由题意得w=−30x2+300x+6000=−30(x−5)2+6750对称轴为直线x=5∴当x=5即每袋小米的销售价为55元时，该商场每星期销售这种品牌小米获得的利润最大，且=−30(5−5)2+6750=6750元w最大17．（1）解：在y=−0.4x+2.8中，x=0时∴点P坐标为(0，2.8)把点P 坐标代入抛物线解析式得：a +3.2=2.8，解得a =−0.4 ∴点P 坐标为(0，2.8)，a 的值为-0.4（2）解：令y =−0.4x +2.8=0中，解得：x =7令y =−0.4(x −1)2+3.2=0，解得：x 1=1−2√2(含) 由题意得点C 坐标为(5，0)选择吊球时，落点到C 的距离为5−(1+2√2)=4−2√2 选择扣球时，落点到C 的距离为7−5=2∵4−2√2−2=2−2√2<0∴4−2√2<2因此，应该选择吊球.18．（1）解：设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+54将（0，0）代入可得a=-54 ∴y=-54(x-1)2+54.令y=-10，得-10=-54(x-1)2+54 解得x=-2（舍去）或4 ∴B （4，-10）.（2）解：当距点E 水平距离为5时，对应的横坐标为5−32=72 将x =72代入解析式得y =−54×(72−1)2+54=−10516∵−10516−(−10)=5516<5 ∴该运动员此次跳水失误了； （3）解：∵EM =212，EN =272点E 的坐标为(−32，−10) ∴点M ，N 的坐标分别为(9，−10)，(12，−10)∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为：y =a(x −ℎ)2+k ∴当抛物线过点M 时，y =a(x −132)2−14把M(9，−10)代入，得a =1625，同理，当抛物线过点N(12，−10)时a =14 由点D 在MN 之间的取值范围为14⩽a ⩽−1625。
最新人教版九年级数学上册第22章同步测试题及答案
最新人教版九年级数学上册第22章同步测试题及答案第二十二章二次函数22.1二次函数的图象和性质一、选择题1. 二次函数的图象一定不经过A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限．2. 抛物线的顶点坐标是A. ，B. ，C. ，D. ，3. 已知抛物线，是常数且，下列选项中可能是它大致图象的是A. B.C. D.4. 下列函数中，y的值随着x逐渐增大而减小的是A. B. C. D.5. 将抛物线向下平移2个单位后，所得抛物线解析式为A. B. C. D.6. 如果抛物线经过点，和，，那么对称轴是直线A. B. C. D.7. 函数是二次函数时，则a的值是A. 1B.C.D. 08. 将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线重合，现有一直线与抛物线相交，当时，利用图象写出此时x的取值范围是A. B. C. D.9. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为A. B. C. D.10. 小明将图中两水平线与的其中一条当成x轴，且向右为正方向；两铅垂线与的其中一条当成y 轴，且向上为正方向，并且在此平面直角坐标系上画出二次函数的图象，则关于他选择x 轴与y轴的叙述正确的是A. 为x轴，为y轴B. 为x轴，为y轴C. 为x轴，为y轴D. 为x轴，为y轴二、解答题11. 已知：抛物线经过，、，两点，顶点为A．求：抛物线的表达式；顶点A的坐标．12. 已知抛物线．求这个抛物线的对称轴和顶点坐标；将这个抛物线平移，使顶点移到点，的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程．13. 在平面直角坐标系xOy中如图，已知抛物线，经过点，、，．求此抛物线顶点C的坐标；联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作，垂足为点H，抛物线对称轴交x轴于G，联结HG，求HG的长．14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，，与x轴交于点，，点B坐标为，．求二次函数解析式及顶点坐标；过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点点P在AC上方，作PD平行于y 轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．答案一、选择题1. 【答案】A【解析】∵二次函数y=ax2-2x-3（a＜0）的对称轴为直线x，∴其顶点坐标在第二或第三象限.∵当x=0时，y=-3，∴抛物线一定经过第四象限，∴此函数的图像一定不经过第一象限.故选A.2. 【答案】C【解析】根据抛物线的顶点式：y=a（x-h）2+k，（a≠0），则抛物线的顶点坐标为（h，k）可得：抛物线y=-（x+1）2+3的顶点坐标为（-1，3），所以C选项的结论正确.故选C.【点睛】抛物线的顶点式：y=a（x-h）2+k，（a≠0），则抛物线的顶点坐标为（h，k）．3. 【答案】B【解析】∵抛物线y=ax2+3x+（a-2），a是常数且a＜0，∴图象开口向下，a-2＜0，∴图象与y轴交于负半轴，∵a＜0，b=3，∴抛物线对称轴在y轴右侧．故选B．4. 【答案】D【解析】A选项：函数y=2x的图象是y随着x增大而增大，故本选项错误；B选项：函数函数y=x2的对称轴为x=0，当x≤0时y随着x增大而减小，故本选项错误；C选项：函数，当x＜0或x＞0时，y 随着x增大而增大，故本选项错误；D选项：函数，当x＞0时，y随着x增大而减小，故本选项错误；故选D．5. 【答案】D【解析】抛物线y=（x+2）2的顶点坐标为（-2，0），向下平移2个单位后的顶点坐标是（-2，-2），所以，平移后得到的抛物线解析式为y=（x+2）2-2．故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变换确定出函数解析式是此类题目常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用，平移规律“左加右减，上加下减”．6. 【答案】B【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点的坐标为（-1，0）和（3，0），而抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点是对称点，∴抛物线的对称轴为直线x=1．故选B．【点睛】本题考查了二次函数的图象的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．7. 【答案】B【解析】依题意，得a2+1=2且a-1≠0，解得a=-1.故选B.8. 【答案】C【解析】y1=x2-2x-3=（x-1）2-4，则它的顶点坐标为（1，-4），所以抛物线y1=x2-2x-3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后的解析式为y=x2，解方程组＝＝得＝＝或 ,所以当-1≤x≤3．故选C．9.【答案】D【解析】因为y=x2-4x-4=（x-2）2-8，所以抛物线y=x2-4x-4的顶点坐标为（2，-8），把点（2，-8）向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（-1，-3），所以平移后的抛物线的函数表达式为y=（x+1）2-3．故选D．10. 【答案】D【解析】y=-x2-2x+1=-（x+1）2+2，故抛物线的对称轴为：直线x=-1，顶点坐标为：（-1，2），则关于他选择x轴与y轴的叙述正确的是：l2为x轴，l4为y轴．故选D．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，正确求出二次函数的对称轴与顶点坐标是解题关键．二、解答题11. 【答案】(1)(2)，【解析】（1）直接把B（3，0）、C（0，3）代入y=-x2+bx+c得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c，可确定抛物线的解析式；（2）把（1）的解析式进行配方可得到顶点式，然后写出顶点坐标即可．解：把，、，代入，解得．故抛物线的解析式为；(2)=，所以顶点A的坐标为，．12.【答案】(1) 对称轴是直线，顶点坐标为，；(2) 平移过程为：向右平移3个单位，向下平移3个单位【解析】（1）将抛物线整理成顶点式形式，然后解答即可；（2）根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减解答．解：，，，所以，对称轴是直线，顶点坐标为，；新顶点，，，，，平移过程为：向右平移3个单位，向下平移3个单位．13. 【答案】(1)， (2)．【解析】（1）已知抛物线过A，B两点，可将A，B的坐标代入抛物线的解析式中用待定系数法即可求出抛物线的解析式．然后可根据抛物线的解析式得出顶点C的坐标．（2）本题介绍三种解法：方法一：分别求直线AC的解析式和BD的解析式，直线AC：y=-x-1，直线BD：y=x-1，可得D和P的坐标，证明△BPG∽△CPH 和△HPG∽△CPB，列比例式可得HG的长；方法二：如图2，过点H作HM⊥CG于M，先根据勾股定理的逆定理证明∠BCD=90°，利用面积法求CH的长，再证明△OBD∽△MCH，列比例式可得CM的长，从而可得结论；方法三：直线AC：y=-x-1，求CH和BD的解析式，联立方程组可得H的坐标，由勾股定理可得GH的长．解：把，、，代入抛物线解析式，得：，解得：，抛物线的解析式为：，顶点，方法一：设BD与CG相交于点P，设直线AC的解析式为：把，和，代入得：解得：则直线AC：，，，同理可得直线BD：，，，∽，∽，，，；方法二：如图2，过点H作于M，，，，，，，，，∽，，，，，由勾股定理得：，方法三：直线AC：，，，直线BD：，，，直线CH：，联立解析式：，解得：，，．14. 【答案】(1)， (2)，【解析】（1）用待定系数法求抛物线解析式，并利用配方法求顶点坐标；（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，-x2+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD=-2x2+10x，根据二次函数求出极值；可得P的坐标．解：把点，，点B坐标为，代入抛物线中，得：，解得：，抛物线的解析式为：，顶点坐标为，；设直线AB的解析式为：，，，，，，解得：，直线AB的解析式为：，设，，则，，，点C在抛物线上，且纵坐标为5，，，，，四边形，有最大值，当时，S有最大值为，此时，【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值额确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值．22.2二次函数与一元二次方程一、选择题1. 下列命题：若，则；若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；若，则二次函数的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．其中正确的是A. 只有B. 只有C. 只有D. 只有2. 二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是A. B. C. D.3. 已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：A. 开口向上B. 与x轴的另一个交点是，C. 与y轴交于负半轴D. 在直线的左侧部分是下降的4. 在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线的一部分图象如图所示，它与x轴交于，，与y轴交于点B，，则a的取值范围是A. B. C. D.5. 二次函数的图象如图所示，那么一元二次方程，为常数且的两根之和为A. 1B. 2C. -1D. -26. 已知二次函数，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分别取、时对应的函数值为、，则、必须满足A. 、B. 、C. 、D. 、7. 如图，教师在小黑板上出示一道题，小华答：过点，；小彬答：过点，；小明答：；小颖答：抛物线被x轴截得的线段长为你认为四人的回答中，正确的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 已知函数，其中、为常数，且，若方程的两个根为、，且，则、、、的大小关系为A. B.C. D.9. 抛物线的顶点为，，与x轴的一个交点A在点，和，之间，其部分图象如图，其中错误的结论为A. 方程的根为B.C. D.10. 已知抛物线的对称轴为，若关于x的一元二次方程在的范围内有解，则c的取值范围是A. B. C. D.二、解答题11. 抛物线经过点，、，两点．（1）求抛物线顶点D的坐标；（2）抛物线与x轴的另一交点为A，求的面积．12. 在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线，经过点，、，．（1）求此抛物线顶点C的坐标；（2）联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作，垂足为点H，抛物线对称轴交x轴于G，联结HG，求HG的长．13. 已知抛物线的对称轴是直线，（1）求证：；（2）若关于x的方程，有一个根为4，求方程的另一个根．14. 抛物线与y轴交于点，．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；（3）①当x取什么值时，？当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？15. 如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与x轴正半轴的交点，点B在抛物线上，其横坐标为2，直线AB与y轴交于点点M、P在线段AC上不含端点，点Q在抛物线上，且MQ平行于x 轴，PQ平行于y轴设点P横坐标为m．（1）求直线AB所对应的函数表达式．（2）用含m的代数式表示线段PQ的长．（3）以PQ、QM为邻边作矩形PQMN，求矩形PQMN的周长为9时m的值．答案一、选择题1.【答案】B【解析】①b2-4ac=（-a-c）2-4ac=（a-c）2≥0，正确；②若b＞a+c，则△的大小无法判断，故不能得出方程有两个不等实根，错误；③b2-4ac=4a2+9c2+12ac-4ac=4（a+c）2+5c2，因为a≠0，故（a+c）2与c2不会同时为0，所以b2-4ac＞0，正确；④二次函数y=ax2+bx+c与y轴必有一个交点，而这个交点有可能跟图象与x轴的交点重合，故正确．故选B．2.【答案】A【解析】由图可知：y≥-3，即ax2+bx≥-3，∵ax2+bx+m=0，∴ax2+bx=-m，∴-m≥-3，∴m≤3．故选A. 3. 【答案】B【解析】A、由表格知，抛物线的顶点坐标是（1，4）．故设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4．将（-1，0）代入，得a（-1-1）2+4=0，解得a=-1．∵a=-1＜0，∴抛物线的开口方向向下，故本选项错误；B、抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），对称轴是x=1，则抛物线与x轴的另一个交点是（3，0），故本选项正确；C、由表格知，抛物线与y轴的交点坐标是（0，3），即与y轴交于正半轴，故本选项错误；D、抛物线开口方向向下，对称轴为x=1，则在直线x=1的左侧部分是上升的，故本选项错误；故选B．点睛：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．4. 【答案】B【解析】根据图象得：a＜0，b＜0，∵抛物线与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3），∴＝＝，∴a+b=-3，∵b＜0，∴-3＜a＜0，故选B．5. 【答案】D【解析】∵抛物线与x轴的两交点坐标为（-3，0），（1，0），∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1=-3，x2=1，∴-3+1=-，即=2，∴一元二次方程ax2+bx+c-m=0的两根之和=-=-2．故选D．6. 【答案】B【解析】令y＝−x2+x−=0，解得：x=，∵当自变量x取m时对应的值大于0，∴＜m＜，∵点（m+1，0）与（m-1，0）之间的距离为2，大于二次函数与x轴两交点之间的距离，∴m-1的最大值在左边交点之左，m+1的最小值在右边交点之右．∴点（m+1，0）与（m-1，0）均在交点之外，∴y1＜0、y2＜0．故选B．7. 【答案】C【解析】∵抛物线过（1，0），对称轴是x=2，∴＝＝，解得a=1，b=-4，∴y=x2-4x+3，当x=3时，y=0，小华正确；当x=4时，y=3，小彬也正确，小明也正确；∵抛物线被x轴截得的线段长为2，已知过点（1，0），∴另一点为（-1，0）或（3，0），∴对称轴为y轴或x=2，此时答案不唯一，∴小颖错误．故选C．8. 【答案】C【解析】函数y=（x-x1）（x-x2）的图象与x轴的交点的横坐标分别是x1、x2；函数y=（x-x1）（x-x2）-2的图象是由函数y=（x-x1）（x-x2）的图象向下平移2个单位得到的，则方程（x-x1）（x-x2）-2=0[或方程（x-x1）（x-x2）=2]的两根x3、x4即为函数y=（x-x1）（x-x2）-2的图象与x轴的交点的横坐标，它们的大致图象如图所示,根据图象知，x3＜x1＜x2＜x4．故选C．9. 【答案】A【解析】∵x=-1时，y≠0，∴方程ax2+bx+c=0的根为-1这种说法不正确，∴结论A不正确；∵二次函数y=ax2+bc+c的图象与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2-4ac＞0，∴结论B正确；∵x=-，∴b=2a，∴顶点的纵坐标是=2，∴a=c-2，∴结论C正确；∵二次函数y=ax2+bc+c的图象的对称轴是x=-1，与x 轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，∴与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，∴x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴结论D正确；∴不正确的结论为：A．故选A．点睛：二次函数的图象与系数的关系：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a 与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．10. 【答案】D【解析】由抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1，∴−=1，−=1，解得：b=-2，∴x2-bx-c=x2+2x-c，令y1=x2+2x-c，可求其对称轴为：x=-1，根据题意，当x=2时，y1＞0，x2+2x-c＞0，且当x=-1时，y1≤0，x2+2x-c≤0，或当x=-3时，y＞0，9-6-c＞0，且当x=-1时，y1≤0，x2+2x-c≤0，解得：-1≤c＜8，或-1≤c ＜3，综上所述，-1≤c＜8．故选D．二、解答题11. 【答案】（1）D（1，4）；（2）6.【解析】（1）利用待定系数法代入求出a，c的值，进而利用配方法求出D点坐标即可；（2）首先求出图象与x轴的交点坐标，进而求出△ABC的面积．解：（1）由题意，得＝＝，解得＝＝，则y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，则D（1，4）；（2）由题意，得-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3；则A（-1，0），又∵B（3，0）、C（0，3），∴S△ABC＝×4×3＝6.12. 【答案】（1）C（2，-3）；（2）.【解析】（1）已知抛物线过A，B两点，可将A，B的坐标代入抛物线的解析式中用待定系数法即可求出抛物线的解析式．然后可根据抛物线的解析式得出顶点C的坐标．（2）分别求直线AC的解析式和BD的解析式，直线AC：y=-x-1，直线BD：y=x-1，可得D和P的坐标，证明△BPG∽△CPH和△HPG∽△CPB，列比例式可得HG的长解：（1）把A（-1，0）、B（5，0）代入抛物线解析式，得：＝＝，解得：＝＝，∴抛物线的解析式为：y＝x2−x−＝ (x−2)2−3，∴顶点C（2，-3）（2）设BD与CG相交于点P，设直线AC的解析式为：y=kx+b把A（-1，0）和C（2，-3）代入得：＝＝，解得：＝＝则直线AC：y=-x-1，∴D（0，-1），同理可得直线BD：y=x-1，∴P(2，−)∵∠CHP=∠PGB=90°，∠GPB=∠CPH∴△BPG∽△CPH，∴＝，∴△HPG∽△CPB，∴＝，∴＝，∴HG＝.13. 【答案】（1）见解析；（2）方程的另一个根为x=-2.【解析】（1）根据抛物线的对称轴为x=-=1可得；（2）根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点可得答案．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴-=1，∴2a+b=0；（2）∵关于x的方程ax2+bx-8=0，有一个根为4，∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），∵抛物线的对称轴为x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），∴方程的另一个根为x=-2．14.【答案】（1）；（2）x轴：，、，；Y轴：，（3）见解析. 【解析】（1）将点（0，3）代入抛物线的解析式中，即可求得m的值；（2）可以令y=0，可得出一个关于x的一元二次方程，方程的解就是抛物线与x轴交点的横坐标；（3）根据（2）中抛物线与x轴的交点以及抛物线的开口方向即可求得x的取值范围．解：（1）将点（0，3）代入抛物线y=-x2+（m-1）x+m，m=3，∴抛物线的解析式y=-x2+2x+3；（2）令y=0，-x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=-1；x轴：A（3，0）、B（-1，0）；y轴：C（0，3）（3）抛物线开口向下，对称轴x=1；所以）①当-1＜x＜3时，y＞0；②当x≥1时，y的值随x的增大而减小．15. 【答案】（1）直线AB的解析式为；（2）见解析；（3）m的值为或．【解析】（1）先利用二次函数解析式求出A点和B点坐标，然后利用待定系数法求直线AB的解析式；（2）设P（m，-m+8），则Q（m，-m2+4m），讨论：当0＜m≤2时，PQ=m2-5m+8；当2＜m＜8时，PQ=-m2+5m-8；（3）先表示出M（m2-4m+8，-m2+4m），讨论：当0＜m≤2，QM=m2-5m+8，利用矩形周长列方程得到（m2-5m+8+m2-5m+8）=9，然后解方程求出满足条件m的值；当2＜m＜8，QM=-m2+5m-8，利用矩形周长列方程得到2（-m2+5m-8-m2+5m-8）=9，然后解方程求出满足条件m的值．解：（1）当y=0时，-x2+4x=0，解得x1=0，x2=8，则A（8，0）；当x=2时，y=-x2+4x=6，则B（2，6），设直线AB所对应的函数表达式为y=kx+b，将A（8，0），B（2，6）代入可得＝＝，解得＝＝，所以直线AB的解析式为y=-x+8；（2）设P（m，-m+8），则Q（m，-m2+4m），当0＜m≤2时，PQ=-m+8-（-m2+4m）=m2-5m+8；当2＜m＜8时，PQ=-m2+4m-（-m+8）=-m2+5m-8；（3）∵MQ∥x轴，∴M点的纵坐标为-m2+4m，∴M点的横坐标为m2-4m+8，即M（m2-4m+8，-m2+4m），当0＜m≤2，QM=m2-4m+8-m=m2-5m+8，∵2（PQ+QM）=9，∴2（m2-5m+8+m2-5m+8）=9，整理得2m2-20m+23=0，解得m1=，m2=（舍去）；当2＜m＜8，QM=m-（m2-4m+8）=-m2+5m-8，∵2（PQ+QM）=9，∴2（-m2+5m-8-m2+5m-8）=9，整理得2m2-20m+41=0，解得m1=，m2=（舍去）；综上所述，m的值为或．22.3实际问题与二次函数一、课堂学习检测1. 矩形窗户的周长是6m，写出窗户的面积y(m2)与窗户的宽x(m)之间的函数关系式，判断此函数是不是二次函数，如果是，请求出自变量x的取值范围，并画出函数的图象．2. 如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB时，水面宽8m，水位上升3m，就达到警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．3. 如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1m的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O 点6m的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4m高．球第一次落地后又弹起．据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；(2)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米?(取，)二、综合、运用、诊断4. 如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a＝10m)．(1)如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB的长；(2)按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．5. 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m＝162－3x．(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)间的函数关系式；(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适?最大销售利润为多少?6. 某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生产4件产品．(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?7. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系)．根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；(3)求第8个月公司所获利润为多少万元?三、拓展、探究、思考8. 已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象与x轴交于A，B两点，点A 在点B的左侧，与y轴交于点C，且OC＝OB＝3OA．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设点D是点C关于此抛物线对称轴的对称点，直线AD，BC交于点P，试判断直线AD，BC是否垂直，并证明你的结论；(3)在(2)的条件下，若点M，N分别是射线PC，PD上的点，问：是否存在这样的点M，N，使得以点P，M，N为顶点的三角形与△ACP全等?若存在请求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．答案一、课堂学习检测1. 【答案】y＝－x2＋3x(0＜x＜3)，图见解析．【解析】（1）根据矩形周长=2×（长+宽），可由周长为6m和宽为xm把矩形表示出来.再由矩形面积=矩形的长×矩形的宽就可列出函数关系式；（2）根据“矩形的宽大于0，而小于矩形周长的一半”可求出x的取值范围，并由此可画出函数的图像.解：由题意可得：y=（3-x）x=-x2+3x，故此函数是二次函数，自变量取值范围为：0＜x＜3，其图象如图所示：．2.【答案】5小时．【解析】首先在图中建立合适的坐标系（这里选择AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，也可另外建立），然后根据题目中的已知条件可得A,B,C,D四点的坐标，设出解析式，代入相应点的坐标建立方程（组），解方程（组）求得待定系数的值得到解析式，由解析式可得到顶点E的坐标，再结合题中条件可解得答案.解：如上图，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则由已知得A（4，0），D（2，3），设抛物线解析式为：，把A、D坐标代入解析式可得：，解得：，∴抛物线解析式为：，∴顶点E的坐标为（0，4），设CD与y轴的交点为点F，∴EF=4-3=1（m），∵1÷0.2=5（小时），∴水过警戒水位后5小时淹到桥拱顶.3. 【答案】(1)；(2)17米．【解析】（1）依题意代入x的值可得抛物线的表达式．（2）先求出OC的长，根据图示可得第二次足球弹出后的距离为CD，相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位可得2=-（x-6）2解得x的值即可知道CD、BD．解：（1）如图，设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式为y=a（x-h）2+k，∵h=6，k=4，∴y=a（x-6）2+4，由已知：当x=0时y=1，即1=36a+4，∴a=-，∴表达式为y=-（x-6）2+4=-x2+x+1；（2）令y=0，-（x-6）2+4=0，∴（x-6）2=48，解得：x1=+6≈13，x2=-+6＜0（舍去），∴OC≈13，如图，第二次足球弹出后的距离为CD，根据题意：CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位），∴2=-（x-6）2+4，解得：x1=6-，x2=6+，∴CD=|x1-x2|=≈10，∴BD=13-6+10=17（米）．二、综合、运用、诊断4. 【答案】（1）AB长为5米；（2）围成长为10米，宽为米的矩形ABCD花圃时，其最大面积为【解析】（1）由题意可知围成该花圃需要用到篱笆的宽有三条，而长只有一条，设宽AB的长为xm，则长BC为（24-3x）m，再设长方形面积为y，由矩形面积公式可得：y关于x的函数关系式，由y=45解得对应的x的值，可得答案；（2）把（1）中所得解析式配方化为顶点式，然后结合自变量的取值范围可求得y 的最大值，把最大值与45比较可得结论，并进一步可由自变量的取值范围和解析式求得最大面积；解：(1)设花圃的宽AB＝x米，知BC应为(24－3x)米，故面积y与x的关系式为y＝x(24－3x)＝－3x2＋24x．当y＝45时，－3x2＋24x＝45，解出x1＝3，x2＝5．当x2＝3时，BC＝24－3×3＞10，不合题意，舍去；当x2＝5时，BC＝24－3×5＝9，符合题意．故AB长为5米．(2)能围成面积比45m2更大的矩形花圃．由(1)知，y＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48，∵，∴，由抛物线y＝－3(x－4)2＋48知，在对称轴x=4的右侧，y随x的增大而减小，∴当时，y＝－3（x－4)2＋48有最大值，且最大值为此时，BC ＝10m，即围成长为10米，宽为米的矩形ABCD花圃时，其最大面积为点睛：象本题这种实际问题中涉及到二次函数最值的问题，我们要在自变量取值范围内根据函数的增减性来确定其最值是在自变量取何值时取得的，再根据函数解析式来进行计算求得相应的最值，而不能直接用顶点的纵坐标代替最值.5. 【答案】(1)y＝－3x2＋252x－4860；(2)当x＝42时，最大利润为432元．【解析】（1）根据：每天销售利润y（元）=单件商品利润每天销售量、单件商品利润=商品售价-商品进价，结合题中条件可得y与x间的函数关系式；再根据单件商品利润不低于0，销售量不低于0可求得自变量的取值范围；（2）把（1）中所得函数解析式配方化为顶点式，结合自变量的取值范围和函数的增减性可求得答案；解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x-30）元，那么m件的销售利润为y=m（x-30），又∵m=162-3x，∴y=（x-30）（162-3x），即y=-3x2+252x-4860，∵x-30≥0，∴x≥30．又∵m≥0，∴162-3x≥0，即x≤54．∴30≤x≤54．∴所求关系式为y=-3x2+252x-4860（30≤x≤54）．（2）由（1）得y=-3x2+252x-4860=-3（x-42）2+432，又∵30≤x≤54，∴可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．6. 【答案】（1）y＝－4x2＋64x＋30720；（2）增加8台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量为30976件．【解析】（1）生产总量=每台机器生产的产品数×机器数；（2）根据函数性质求最值．解：(1)由题意得y＝(80＋x)(384－4x)＝－4x2＋64x＋30720；(2)∵y＝－4x2＋64x＋30720＝－4(x－8)2＋30976，∴当x＝8时，y有最大值，为30976，即增加8台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量为30976件．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是弄清题意，根据题意列出函数关系式.7. 【答案】（1）；（2）截止到10月末，公司累积利润可达到30万元；（3）第8个月公司获利润5.5万元．【解析】（1）由图可知：函数图象经过了点（1，-1.5）、点（2，-2）和点（5，2.5），设解析式为，代入三点的坐标，列出方程组，就可求得、、的值，从而得的解析式；（2）把代入（1）中所求得的解析式，解出的值，并结合实际意义可得答案；（3）把，分别代入（1）中所得的解析式，求出对应的的值，用可得8月份的利润；解：(1)设s与t的函数关系式为s＝at2＋bt＋c，图象上三点坐标分别为(1，－1．5)，(2，－2)，(5，2．5)．分别代入，得∴解得，∴(2)把s＝30代入解得t1＝10，t2＝－6(舍去)．即截止到10月末，公司累积利润可达到30万元．(3)把t＝7代入得7月末的累积利润为s7＝10．5(万元)．把t＝8代入得8月末的累积利润为s8＝16(万元)．∴s8－s7＝16－10.5＝5.5(万元)．即第8个月公司获利润5.5万元．三、拓展、探究、思考8. 【答案】(1)y＝x2－2x－3；(2)AD⊥BC，理由见解析；(3)存在，M1(1，－2)，N1(4，－3)．或M2(0，－3)，N2(3，－4)．【解析】（1）由题中条件：二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且OC＝OB＝3OA，可得点C（0，-3）、点A（-1,0）、点B（3,0），把A、B两点的坐标代入解析式可求得a、b的值，就可得到解析式了；（2）把（1）中所求解析式配方化为顶点式，得到对称轴方程，就可得到D的坐标，再由A、B、C、D四点的坐标列方程组可求得直线AD和直线BC的解析式，计算两解析式中“k”的值的乘积是否为“-1”就可判断两直线是否垂直了；（3）如图，由（2）中所得AD、BC的解析式可列方程组解得P的坐标，由射线BC和射线AD互相垂直，垂足为点P，可知△APC和△PMN 都是直角三角形；然后分以下两种情况讨论：①当PN=PA，M与C重合时，△APC与△PMN全等；②当PM=PA，N与D重合时，△APC与△PMN全等，并求出相应的点M、N的坐标.解：（1）∵二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，-3），∴OC=3，又∵OC=OB=3OA，∴OB=3，OA=1，又∵二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，∴点A、B的坐标分别为（-1，0）、（3，0），把A、B的坐标代入解析式y＝ax2＋bx－3(a＞0)得：，解得：，∴二次函数解析式为：；（2）由可知，该抛物线的对称轴为直线；，。
九年级数学上册《第二十二章 实际问题与二次函数》同步练习题含答案(人教版)
九年级数学上册《第二十二章实际问题与二次函数》同步练习题含答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．某网店销售一款李宁牌运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价的钱数为（）A．3元B．4元C．5元D．8元2．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A．y＝（50+x-40）（500﹣10x）B．y＝（x+40）（10x﹣500）C．y＝（x﹣40）[500﹣5（x﹣50）]D．y＝（50+x-40）（500﹣5x）3．在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足函数解析式y=−112x2+23x+53，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（）A．6米B．8米C．10米D．12米4．一位篮球运动员跳起投篮，篮球运行的高度y（米）关于篮球运动的水平距离x（米）的函数解析式是y=﹣15（x﹣2.5）2+3.5．已知篮圈中心到地面的距离3.05米，如果篮球运行高度达到最高点之后能准确投入篮圈，那么篮球运行的水平距离为（）A．1米B．2米C．4米D．5米5．小王结婚时，在小区门口的平地上放置了一个充气婚庆拱门，其形状如图所示，若将该拱门（拱门的宽度忽略不计）放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0）．若将该拱门看作是抛物线y=﹣13x2+bx﹣73的一部分，则点A与点B的距离为（）A ．4B ．5C ．6D ．76．小兰画了一个函数y=x 2+ax+b 的图象如图，则关于x 的方程x 2+ax+b=0的解是（ ）A ．无解B ．x=1C ．x=﹣4D ．x=﹣1或x=47．如图，已知二次函数y=13 x 2+ 23x −1的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，点P 是抛物线上的一个动点，记△APC 的面积为S ，当S=2时，相应的点P 的个数是（ ）A ．4 个B ．3个C ．2个D ．1个8．物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度ℎ(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示，下列结论： ①小球在空中经过的路程是40m ②小球抛出3s 后，速度越来越快 ③小球抛出3s 时速度为0 ④小球的高度ℎ=30m 时 其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②C ．②③④D ．②③二、填空题9.公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程 s (m ) 与时间 t (s ) 的函数关系式为 s =20t −5t 2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行 m 才能停下来．10．小立存入银行人民币500元，年利率为x%，两年到期，本息和为y元（不含利息税），y与x之间的函数关系是，若年利率为6%，两年到期的本利共元．11．济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒．12．滕州市政府大楼前广场有一喷水池，喷出水的路径是一条抛物线，如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空号总划出的曲线是抛物线y=﹣x2+6x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是米．13．用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）.科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为20cm，如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出来的射程s（单位：cm）与h的关系式为s²＝4h（20﹣h），则射程s最大值是cm.(射程是指水流落地点离小孔的水平距离）三、解答题14．已知某抛物线的顶点坐标是(3，5)，且经过点A(1，3)．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是点B，且抛物线与y轴的交点是点C，求△ABC的面积．15．某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．写出求y与x的函数关系式，每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？16．如图，一辆宽为2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道（从正中通过），抛物线满足表达式y＝﹣1x2+4．保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有0.5米的距离，求货车的限高应是多4少．17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A 、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的表达式；（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)与直线BC交于点N(x3，y3)，若x1<x2<x3，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围.18．某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：销售单价x（元/件）…55 60 70 75 …一周的销售量y（件）…450 400 300 250 …（1）直接写出y与x的函数关系式.（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的货款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？19．某商场购进一批单价为50元的商品，规定销售时单价不低于进价，每件的利润不超过40%．其中销售量y(件)与所售单价x(元)的关系可以近似的看作如图所表示的一次函数．(1)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；(2)设该公司获得的总利润(总利润＝总销售额－总成本)为w元，求w与x之间的函数关系式．当销售单价为何值时，所获利润最大？最大利润是多少？参考答案 1．B 2．D 3．C 4．C 5．C 6．D 7．C 8．D 9. 2010．y=500+1000x%；560 11．36 12．9 13．2014．（1）解：设此抛物线的表达式为y ＝a(x －3)2＋5将点A(1，3)的坐标代入上式，得3＝a(1－3)2＋5，解得 a =−12∴此抛物线的表达式为 y =−12(x −3)2+5 . （2）解：∵A(1，3)，抛物线的对称轴为直线x ＝3 ∴B(5，3)．令x ＝0， y =−12(x −3)2+5 ，则 C(0，12) . ∴△ABC 的面积 =12×(5−2)×(3−12)=5 .15．解：当销售单价上涨了x 元时，销量是 (230−10x) 件 ∵每件文具售价不能高于40元 ∴0<x ≤20列式： y =(30+x −20)(230−10x)整理得： y =−10x 2+130x +2300(0<x ≤20，x 是正整数) 利用配方法写成顶点式： y =−10(x −132)2+54452∴当 x =132时， y 有最大值，最大值是 54452∵x 是正整数∴x 取6或7 当 x =6 时 当 x =7 时答：当售价定为36或37时，月销售利润最大，最大是2720元．16．解：根据题意可得，当x ＝1或x ＝－1时，货车车顶离隧道顶部最近． 当x ＝1时，y ＝－ 14 ＋4＝3 34 ∴货车的限高为3 34 －0.5＝3.25m ．17．（1）解：由抛物线y =x 2−4x +3 与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧）令y=0，解得x=1或x=3∴点A ，B 的坐标分别为（1，0），（3，0）∵抛物线y =x 2−4x +3与y 轴交于点C ，令x=0，解得y=3， ∴点C 的坐标为（0，3）.设直线BC 的表达式为y=kx+b ， ∴{3k +b =0b =3 ，解得{k =−1b =3∴直线BC 的表达式为：y=-x+3.（2）解：由y =x 2−4x +3=(x −2)2−1 ∴抛物线的顶点坐标为（2，-1），对称轴为直线x=2 ∵y 1=y 2 ，∴x 1+x 2=4.令y=-1，y=-x+3，x=4. ∵x 1<x 2<x 3，∴3<x 3<4， 即7<x 1+x 2+x 3<8 ∴x 1+x 2+x 3的取值范围为：7<x 1+x 2+x 3<8. 18．解：（1）设y=kx+b 由题意得，{55k +b =45060k +b =400解得：{k =−10b =1000则函数关系式为：y=﹣10x+1000，（x ≥50）（2）由题意得，S=（x ﹣40）y=（x ﹣40）（﹣10x+1000） =﹣10x 2+1400x ﹣40000=﹣10（x ﹣70）2+9000∵﹣10＜0∴函数图象开口向下，对称轴为直线x=70∴当50＜x ＜70时，销售利润随着销售单价的增大而增大； （3）∵由40（﹣10x+1000）≤10000 解得x ≥75又由于最大进货量为：y=10000÷40=250由题意可知，当x=75时，可以销售250件商品，结合图形，故此时利润最大． S=250×（75﹣40）=8750（元）故该商家在10000元内的进货条件下，最大捐款为8750元．19．解：（1）最高销售单价为50（1+40%）=70（元） 根据题意，设y 与x 的函数关系式为y=kx+b （k ≠0） ∵函数图象经过点（60，400）和（70，300） ∴{400=60k +b 300=70k +b 解得 k=-10，b=1000∴y 与x 之间的函数关系式为y=-10x+1000 x 的取值范围是50≤x ≤70；（2）根据题意，w=（x-50）（-10x+1000） W=-10x 2+1500x-50000，w=-10（x-75）2+6250 ∵a=-10∴抛物线开口向下又∵对称轴是x=75，自变量x 的取值范围是50≤x ≤70 ∴w 随x 的增大而增大∴当x=70时，w 最大值=-10（70-75）2+6250=6000（元） ∴当销售单价为70元时，所获得利润有最大值为6000元。
【中考数学】人教版九年级数学上册第22章223《实际问题与二次函数》同步练习2带答案.doc
人教版九年级数学上册第22章22. 3《实际问题与二次函数》同步练习1带答案知识点：利用二次函数解决抛物线的问题，如隧道、大桥和拱门等，要恰当地建立平面直角坐标系，从而确定抛物线的解析式，然后利用抛物线的性质解决实际问题。
_、选择1.图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在1时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水而2叫水而宽4m・如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是( )A. y=-2x2B. y=2x2C、y = —— x2 D、y = —x2' 2 22、有长24n)的篱笆，一面利用围墙围城如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的垂直于墙的一边长为xm,面积是sm2,贝ij s与x的关系式是( )A> s = -3x2 +24x B、s = -2x2 +24兀C、s = -3x2-24x D、s = -2x2 +24x3、如图，铅球的出手点C距地面1米.，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，•则铅球运行路线的解析式为( )3 3 1 1A、h =一- rB、/? = -—r2 +r c、h =一一尸+f + l D、h =一一r2 + 2r +1 16 16 834、在一幅长60cm,宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的而积是yci『，设金色纸边的宽度为xcm2, 那么y关于x 的函数是( )A、y= (60+2x) (40+2x)B、y= (60+x) (40+x)C、y= (60+2x) (40+x)D、y= (60+x) (40+2x)5、如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m,此时水面到桥拱的距离是4m,则抛物线的函数关系式为( ) , 25 225 2 4 2 4 2A、y=x B A y ~ x C、.y = x Dx y ~”Y-4 4 25 256、国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x,该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为( ).A、y=36 ( 1-x) B、y=36 ( 1+x ) C> y = 18(l + x)2D、y = 18(l-x)27、如图，正方形ABCD的边长为1, E、F分别是边BC和CD ±的动点(不与正方形的顶点重合)，不管E、F怎样动，始终保持AE丄EF.设BE二x, DF二y,则y是x的函数，函数关系式是( )值二 ______________4、 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形，则这两个正方形的面积之和的最小值是 _____________ 5、 如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果他的出手处A 距地面0A 为lm,球路的最高点为B （8,9）,则这个二次函数的表达式 为 ,小孩将球抛出约 ______ 米。
九年级数学上册《第二十二章实际问题与二次函数》同步练习题及答案(人教版)
九年级数学上册《第二十二章实际问题与二次函数》同步练习题及答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1. 一个球被竖直向上抛起，球升到最高点，垂直下落，直到地面.下列可以近似刻画此运动过程中球的高度与时间的关系的图象是( )A. B.C. D.2. 长方形的周长为24cm，其中一边为xcm(其中x>0)，面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为( )A. y=x2B. y=(12−x)2C. y=(12−x)xD. y=2(12−x)3. 抛物线y=−3(x−4)2−5的最大值为( )A. 4B. −4C. 5D. −54. 四位同学在研究函数y=x2+bx+c(b,c是常数)时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现−1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为2；丁发现当x=2时y=3，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁5. 对于二次函数y=−(x−1)2+2的图象与性质，下列说法正确的是( )A. 对称轴是直线x=1，最小值是2B. 对称轴是直线x=1，最大值是2C. 对称轴是直线x=−1，最小值是2D. 对称轴是直线x=−1，最大值是26. 已知二次函数y=−x2+2cx+c的图象经过点A(a,c)，B(b,c)，且满足0<a+b<2当−1≤x≤1时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是( )A. n=−3m−4B. m=−3n−4C. n=m2+mD. m=n2+n7. 已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，在所给的自变量取值范围内，下列关于该函数的说法，正确的是( )A. 有最小值0，有最大值3B. 有最小值−1，有最大值0C. 有最小值−1，有最大值3D. 有最小值−1，无最大值8. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值为a+b+c，若a−b+c=1，则下列结论错误的是( )A. a<0，b>0B. b2−4ac>0C. b2−4ac>−4aD. b2−4ac<16a29. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.当水面上升1.5m时，水面宽度为( )A. 1mB. 2mC. √ 3mD. 2√ 3m10. (2023⋅广东深圳模拟预测)如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x−6)2+2.6⋅已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m.下列判断正确的是( )A. 球运行的最大高度是2.43mB. a=−150C. 球会过球网但不会出界D. 球会过球网并会出界二、填空题11. 在边长为5m的正方形铅皮中间挖去一个面积至少是4m2的小正方形，则剩下的四方框形铅皮的面积y(m2)与小正方形边长x(m)之间的函数关系式是12. 飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y=60t−3t2.在飞机2着陆滑行中，最后4s滑行的距离是______m.13. 2022年9月29日，C919大型客机取得中国民用航空局型号合格证，这标志着我国具备按照国际通行适航标准研制大型客机的能力，是我国大飞机事业征程上的重要里程碑.如果某型号飞机降落后滑行t2，则该飞机着陆后滑行最的距离s(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函数解析式是s=54t−32长时间为______ 秒.14. 如图，王叔叔想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙足够长，当矩形ABCD的边AB=______ m时，羊圈的面积最大．15. 某超市购进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系，则该超市每天销售这款拼装玩具的最大利润为______ 元(利润=总销售额−总成本)．16. 当m≤x≤m+1，函数y=x2−2x+1的最小值为1，则m的值为______ ．17. 二次函数y=−x2−3x+4的最大值是______ ．18. 如图，在矩形ABCD中AB=10，BC=5点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；点Q从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动.P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为t(单位：秒)，△APQ的面积为y.则y关于t的函数表达式为______ ．19. 如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s(m2)，垂直于墙的一边长为x(m)米．则s关于x的函数关系式：(并写出自变量的取值范围)20. 一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：米)关于水平距离x(单位：米)的函数解析式是y=−1 12x2+23x+53，则该男生铅球推出的距离是米．三、解答题21. 电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y(件)与每件玩具售价x(元)之间满足一次函数关系(其中100≤x≤160，且x为整数)，当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？22. 某商店了解到某种网红产品每件成本是10元，于是购进一批该产品进行销售，试销阶段每件产品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间的关系如下列图象：(1)求y与x的函数表达式；(不要求写出自变量x的取值范围)(2)若每日销售利润为P，当销售价为多少时，每日的销售利润最大？最大利润是多少？23. 某商品的进价是每件30元，原售价每件40元，进行不同程度的涨价后，统计了商品调价当天的售价和利润情况，以下是部分数据：售价(元/件)40414243…利润(元)2000214522802405…已知：利润=(售价−进价)×销售量(1)当售价为每件40元时，求当天售出多少件商品；(2)通过分析表格数据发现，该商品售价每件涨价1元时，销售量减少5件，设该商品上涨x元，销售量为y件，用所学过的函数知识求出y与x之间满足的函数表达式；(3)因当地物价局规定，该商品的售价不能超过进价的160%，请求出该商品利润w与x之间的函数关系式，并计算售价为多少元时，该商品获得最大利润．24.如图，在一块等腰直角三角形ABC的铁皮上截取一块矩形铁皮，要求截得的矩形的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上.已知BC=30厘米，设DG的长为x厘米，矩形DEFG的面积为y平方厘米，求y关于为的函数解析式.(不要求写出定义域)25. 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为6m，宽为4m，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为5米．求出抛物线的解析式．参考答案1、C 2、C 3、D 4、B 5、B 6、D 7、C 8、D 9、B 10、D11、y =25−x 2(2<x <5)． 12、24 13、18 14、15 15、800 16、−1或217、254 18、y =t(5−t)(0≤t ≤5) 19、s =−4x 2+24x(0<x <6)． 20、10 21、解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b∵当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件 当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件∴{120k +b =80140k +b =40解得{k =−2b =320即y 与x 之间的函数关系式为y =−2x +320(2)设利润为w 元由题意可得：w =(x −100)(−2x +320)=−2(x −130)2+1800∴当x =130时，w 取得最大值，此时w =1800答：当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元． 22、解：(1)设y =kx +b ，把(20,20)，(30,10)代入得：{20k +b =2030k +b =10解得：{k =−1b =40∴y 与x 的函数表达式为y =−x +40(2)根据题意得：P =(x −10)y =(x −10)(−x +40)=−(x −25)2+225∵−1<0∴当x =25时，P 取最大值225∴当销售价为25时，每日的销售利润最大，最大利润是225元．23、解：(1)由表格可知，售价为每件40元，销售量为200040−30=200(件)∴当售价为每件40元时，当天售出200件商品(2)根据题意得：y =200−5x(3)设该商品上涨x 元∵商品的售价不能超过进价的160%∴40+x≤30×160%，即x≤8根据题意得w=(40+x−30)(200−5x)=−5x2+150x+2000=−5(x−15)2+3125∵−5<0，且x≤8∴当x=8时，w取最大值−5×(8−15)2+3125=2880(元)∴40+x=48∴w=−5x2+150x+2000(x≤8)，售价为48元时，该商品获得最大利润．24、解：∵△ABC是等腰直角三角形∴∠B=∠C=45∘∵四边形DEFG是矩形∴BE⊥DE，DG=EF=x∴BE=DE同理GF=FC∵BC=BE+EF+FC=2DE+DG=2DE+x=30∴DE=12(30−x)∴y=DG·DE=12(30−x)x．25、解：根据题意得：D(−3,0)C(3,0)E(0,1)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x−3)把E(0,1)，代入y=a(x+3)(x−3)得：1=a(0+3)(0−3)解得a=−19∴抛物线的解析式为y=−19(x+3)(x−3)，即y=−19x2+1．∴抛物线的解析式为y=−19x2+1．。
九年级数学上册《第二十二章实际问题与二次函数》同步练习题及答案(人教版)
九年级数学上册《第二十二章实际问题与二次函数》同步练习题及答案（人教版) 班级姓名学号一、单选题1．在学校运动会上，一位运动员掷铅球，铅球的高y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y=−0.2x2+ 1.6x+1.8，则此运动员的成绩是（）A．10m B．4m C．5m D．9m2．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃圆，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y，则y关于x 的函数关系式为（）A．y=x（40﹣x）B．y=x（18﹣x）C．y=x（40﹣2x）D．y=2x（40﹣2x）3．如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为（）A．1 B．12C．43D．454．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=−14x2+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面0点的距离是1m，球落地点A到0点的距离是4m，那么羽毛球到达最高点时离地面（）A ．254米B ．2516米C ．94米D ．32米5．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m. 请根据所给的数据，则支柱MN 的长度为 （ ）A ．4.5B ．5C ．5.5D ．66．如图，正六边形的边长为10，分别以正六边形的顶点A 、B 、C 、D 、E 、F 为圆心，画6个全等的圆．若圆的半径为x ，且0＜x ≤5，阴影部分的面积为y ，能反映y 与x 之间函数关系的大致图形是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m ，P 距抛物线对称轴1m ，则为使水不落到池外，水池半径最小为（ ）A．1 B． 1.5 C．2 D．38．一块边缘呈抛物线型的铁片如图放置，测得AB=20cm，抛物线的顶点到AB边的距离为25cm。
九年级数学上册《第二十二章 实际问题与二次函数》同步训练题含答案(人教版)
九年级数学上册《第二十二章实际问题与二次函数》同步训练题含答案(人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（）A．20 B．1508 C．1550 D．15582．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y=-n2+15n-36，那么该企业一年中应停产的月份是（）A．1月，2月B．1月，2月，3月C．3月，12月D．1月，2月，3月，12月3．某开发公司今年一月份收益达50万元，且一月份、二月份、三月份的收益共为175万元，问二、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（）A．50（1+x）2=175 B．50+50（1+x）2=175C．50（1+x）+50（1+x）2=175 D．50+50（1+x）+50（1+x）2=1754．如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开。
已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长。
小明认为：隔离区的最大面积为12m2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m2。
则：（）A．小明正确，小亮错误B．小明错误，小亮正确C．两人均正确D．两人均错误5．如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面高2.2m，与篮圈中心的水平距离为8m，当球出手后水平距离为4m时达到最大高度4m，篮圈运行的轨迹为抛物线的一部分，篮圈中心距离地面3m，运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得（）A．比开始高0.8m B．比开始高0.4mC．比开始低0.8m D．比开始低0.4m6．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（）A．1 B． 1.5 C．2 D．37．如图，在ΔABC中∠B=90∘，AB=3cm，BC=6cm，动点P从点A开始沿AB向点以B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动.若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则ΔPBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．8．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s.④小球抛出2秒后的高度是35m.其中正确的有（）A．①②B．②③C．①③④D．①②③二、填空题9．以40m/s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位m）与飞行时间t（单位s）之间具有函数关系：ℎ=20t−5t2，那么球从飞出到落地要用的时间是.10．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−16x2+4 3x+32，则他将铅球推出的距离是m．11．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，若四边形EFGH是矩形，且其周长是20，则四边形ABCD的面积的最大值是．12．某圆形喷水池的水柱如图①所示，如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流，如图②所示，其上的水珠的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y=－x2＋4x＋94，那么圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不落在水池外．13．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y=−2x2+4x+1，喷出水珠的最大高度是m．三、解答题14．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是t=−2x+80，求选取点B为坐标原点时的抛物线解析式．15．小明家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏（如图所示），花圃的一边AD（垂直围墙的边）究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？16．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A，B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同，销售中发现A型汽车的每周销量y A（台）与售价x（万元/台）满足函数关系式y A=﹣x+20，B型汽车的每周销量y B（台）与售价x（万元/台）满足函数关系式y B=﹣x+14．（1）求A、B两种型号的汽车的进货单价；（2）已知A型汽车的售价比B型汽车的售价高2万元/台，设B型汽车售价为t万元/台．每周销售这两种车的总利润为W万元，求W与t的函数关系式，A、B两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？17．某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满.经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？并求最高总收入是多少元？18．某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红。
九年级数学上册《第二十二章实际问题与二次函数》同步练习题附答案(人教版)
九年级数学上册《第二十二章实际问题与二次函数》同步练习题附答案(人教版)一、选择题：1．某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y （万元）和月份n 之间满足函数关系式y=﹣n 2+14n ﹣24，则企业停产的月份为（ ） A ．2月和12月 B ．2月至12月 C ．1月 D ．1月、2月和12月2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a+b ＝5，则Rt △ABC 的面积S 关于边长c 的函数关系式为（ ）A ．S ＝ 2254c -B ．S ＝ 2252c -C ．S ＝ 252c-D ．S ＝ 2254c +3．用一根长为30cm 的绳子围成一根长方形，长方形一边长为x ，则长方形的面积Scm 2与xcm 的函数关系式为S=﹣x 2+15x ，其中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0 B ．0＜x ＜15 C ．0＜x ＜30 D ．15＜x ＜304．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m ，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）A ．此抛物线的解析式是y=﹣15x 2+3.5 B ．篮圈中心的坐标是（4，3.05） C ．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D ．篮球出手时离地面的高度是2m5．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管 OA 喷出， OA 长为 1.5m .水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B 到O 的距离为 3m .建立平面直角坐标系，水流喷出的高度 ()y m 与水平距离 ()x m 之间近似满足函数关系()20y ax x c a =++≠ ，则水流喷出的最大高度为（ ）A ．1mB ．32m C ．138m D ．2m6．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A．3米B．2米C．13米D．7米7．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力等因素，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：t 0 1 2 3 4 5 6 7 …h 0 8 14 18 20 20 18 14 …下列结论：①足球距离地面的最大高度大于20m；②足球飞行路线的对称轴是直线92t ；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11.25m，其中正确．．结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，直线l的解析式为y=﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为t秒（0≤t≤4），以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．若△CDE和△OAB 的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题：9．某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为元时，才能使每天所获销售利润最大．10．如图，有长为24米的篱笆，一边利用墙（墙的最大可用长度为3米），当花圃的宽AB为米时，围成的花圃面积最大，最大面积为平方米．11．如图，正方形EFGH 的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE=x ，正方形EFGH 的面积为y ，则y 与x 的函数关系为 ．12．如图是一座截面边缘为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l 为4米，则当水面下降1米时，水面宽度增加 米.13．校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度 y(m) 与水平距离 (m)x 之间的函数关系式为 21251233y x x =-++ ，小明这次试掷的成绩是 ．三、解答题：14．把一个抛物线形的拱形桥洞放在如图所示的直角坐标系中，桥洞离水面的最大高度为4m ，跨度为12m.（1）求这条抛物线的解析式.（2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？并说明理由.15．掷实心球是中考体育考试项目之一.如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度()y m 与水平距离()x m 之间的函数关系如图2所示.掷出时，起点处高度为95m .当水平距离为4m 时，实心球行进至最高点5m 处.（1）求y 关于x 的函数表达式； （2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投据过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.7m 时，即可得满分10分.该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由.16．某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x 元时（x 为正整数），月销售利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围． （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？17．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠已有的墙（墙长大于48m ），中间用一道墙隔开，正面开两个门，如图所示，已知每个门的宽度为1.5m ，计划中的建筑材料总长45m ，设两间饲养室的宽度为m x ，总占地面积为2m y .（1）求y 关于x 的函数表达式和自变量x 的取值范围.（2）求饲养室的宽度为多少m 时，饲养室最大面积多少2m ？（3）若要使两间饲养室合计占地总面积不低于2189m ，求饲养室的宽度m x 的范围.18．如图，一次函数y kx b =+与二次函数2y ax =的图象交于()1A m ，和()24B -，（1）直接写出两个函数的解析式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线线上一个动点，过P 作PH y 轴与AB 交于H 点，当PH 为最大值时，求P 点坐标．参考答案：1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】C 9．【答案】11 10．【答案】7；21 11．【答案】y=2x 2﹣4x+4 12．【答案】264 13．【答案】10米14．【答案】（1）解：由图象可知 抛物线的顶点坐标为（6，4）设抛物线的解析式为：y ＝a （x ﹣6）2+4 过点（12，0）则0＝a （12﹣6）2+4 解得a 19=-. 即这条抛物线的解析式为：y 19=-（x ﹣6）2+4. （2）解：货船能顺利通过此桥洞.理由：当x 12=（12﹣4）＝4时 y 19=-（4﹣6）2+4329=＞3 ∴货船能顺利通过此桥洞.15．【答案】（1）解：根据题意设y 关于x 的函数表达式为()245y a x =-+把9(0)5，代入解析式得，()290455a =-+，解得，15a =- ∴y 关于x 的函数表达式为()21455y x =--+，即：2189555y x x =-++.（2）解：不能得满分，理由如下 根据题意，令0y =，且0x >∴21890555x x -++=，解方程得，19x =，21x =-（舍去） ∵99.7<∴不能得满分. 16．【答案】解：（1）根据题意得：y=（30+x ﹣20）（230﹣10x ）=﹣10x 2+130x+2300，自变量x 的取值范围是：0＜x ≤10且x 为正整数；（2）当y=2520时，得﹣10x 2+130x+2300=2520，解得x 1=2，x 2=11（不合题意，舍去）当x=2时，30+x=32（元）答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．（3）根据题意得：y=﹣10x 2+130x+2300=﹣10（x ﹣6.5）2+2722.5，∵a=﹣10＜0，∴当x=6.5时，y 有最大值为2722.5，∵0＜x ≤10且x 为正整数，∴当x=6时，30+x=36，y=2720（元），当x=7时，30+x=37，y=2720（元），答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元． 17．【答案】（1）解：设两间饲养室的宽度为m x ，则长为()()453 1.52=483m x x -+⨯- ∵0<483>0x x -， ∴016x <<由矩形的面积可得：()2483348y x x x x =-=-+∴()23480<<16y x x x =-+（2）解：∵()2234838192y x x x =-+=--+，30-<∴函数图象开口向下∴当8x =时，饲养室的宽度为8m 时，饲养室最大面积2192m（3）解：令189y =可得：()218938192x =--+，解得：9x =或7x = ∴要使两间饲养室合计占地总面积不低于2189m ，x 的取值范围为79x ≤≤ 18．【答案】（1）解：2y x =，2y x =-+ （2）解：设()2P m m ，，则()2H m m -+，根据题意得222192224PH m m m m m ⎛⎫=-+-=--+=-++⎪⎝⎭ 10a =-<∴当12m =-时，PH 有最大值∴1124P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，。
九年级数学上册《第二十二章 实际问题与二次函数》同步练习题及答案-人教版
九年级数学上册《第二十二章 实际问题与二次函数》同步练习题及答案-人教版班级 姓名 学号一、选择题：1．用长100cm 的金属丝制成一个矩形框子，框子的面积不可能是（ ） A ．325cm 2 B ．500 cm 2 C ．625 cm 2 D ．800 cm 2 2．“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品(这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负贵处理)．销售中发现当每件产品的售价为99元时，日销售量为200件，当每件产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品的售价为x 元，主播每天的利润为w 元，则w 与x 之间的函数解析式为( ) A ．w=(99-x)[200+10(x-50)] B ．w=(x-50)[200+10(99-x)] C ．w=(x-50)(200+995x -×10) D ．w=(x-50)(200+995x-×10) 3．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h=10t-5t 2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是( ) A ．5 B ．10 C ．1 D ．24．如图，从某建筑物10m 高的窗口A 处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M 离墙1m ，离地面403m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是（ ）A ．2mB ．3mC ．4mD ．5m5．有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为20m 的篱笆围成．已知墙长为15m ，若平行于墙的一边长不小于8m ，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ ）A ．224837.5m m ，B ．225032m m ，C ．225037.5m m ，D ．224832m m ，6．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时．达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O 处，草坡上距离O 的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB ，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是（ ）A ．水流运行轨迹满足函数y ＝﹣140x 2﹣x +1 B ．水流喷射的最远水平距离是40米C ．喷射出的水流与坡面OA 之间的最大铅直高度是9.1米D ．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌7．某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m （如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）A ．50mB ．100mC ．160mD ．200m8．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=12cm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以1cm/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以2cm/s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过（ ）秒，四边形APQC 的面积最小．A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，在ABC 中30A ∠=︒，AB=6，AC=8．动点P 在线段AB 上从顶点A 出发以每秒1个单位的速度向终点B 点运动，动点M 在线段AC 上从顶点C 出发以每秒2个单位的速度向终点A 运动，两点同时出发，有一点到达终点后两点都停止运动．设运动的时间为x 秒，APM 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题：10．把一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形一边的长为xcm，它的面积为ycm2，则y与x之间的函数关系式为，自变量的取值范围是．11．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元.12．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为2306h t t=-，则小球从飞出到落地所用的时间为s．13．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为8 m，以隧道底部宽AB所在直线为x轴，以AB垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为y＝－12x2＋b，则隧道底部宽AB为m．14．如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D 两点的抛物线与以O为顶点且过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分．则图中阴影部分的面积是．15．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．三、解答题：16．某公司研制出一种新颖的家用小电器，每件的生产成本为18元，经市场调研表明，按定价40元出售，每日可销售20件．为了增加销量，每降价1元，日销售量可增加2件．在确保盈利的前提下，当降价多少元时，每天的利润最大?最大利润是多少?17．如图，一农户要建一矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门．所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍的面积最大，最大面积是多少？18．如图是一个抛物线形拱桥的示意图，桥的跨度AB为100米，支撑桥的是一些等距的立柱，正中间的立柱OC的高为10米（不考虑立柱的粗细），相邻立柱间的水平距离为10米.建立如图坐标系，求距A点最近处的立柱EF的高度.19．某网店3月份经营一种热销商品，每件成本20元，发现三周内售价在持续提升，销售单价P（元/件）与时间t（天）之间的函数关系为P=30+ 14t（其中1≤t≤21，t为整数），且其日销售量y（件）与时间t（天）的关系如下表（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，请直接写出y（件）与时间t（天）函数关系式；（2）在这三周的销售中，第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？（3）在实际销售的21天中，该网店每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜8）给“精准扶贫”的对象，通过销售记录发现，这21天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．20．在卡塔尔世界杯期间，图1是某足球运动员在比赛期间的进球瞬间，足球在抽射过程中恰好碰到防守队员的身体，改变足球线路，弹射入网.小冲在训练过程中也尝试这样的射门，如图2是小冲在训练时的示意图，足球在空中的运动轨迹可以抽象成一条抛物线，假设足球在碰到障碍平台后的运动轨迹，与末碰到障碍平台前的轨迹的形状完全相同，且达到最高点时离地高度也相同，并且两条轨迹在同一平面内，射门时的起脚点O与障碍平台A之间的距离OA为9m，障碍平台高为1.08m，若小冲此次训练时足球正好在前方5m的点C处达到最高点，离地面最高距离为3m，以地面OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系.（1）求过O，C，B三点的抛物线表达式；（2）此时障碍平台与球门之间的距离AD为6m，已知球门高为2.44m，请你通过计算，（不考虑其他因素）足球在经过障碍平台的反弹后能否顺利射入球门.参考答案：1．D 2．D 3．D 4．B 5．C 6．D 7．C 8．C 9．D 10．y=﹣x 2+25x ；0＜x ＜25 11．70 12．5 13．8 14．2 15．1016．解：设每件降价x 元，每天售出商品的利润为y 元 y=（40-18-x ）（20+2x ）=-2x 2+24x+440 =-2（x 2-12x-220）=-2（x-6）2+512当x=6时，y 有最大值 512∴当降价6元时，每天的利润最大，最大利润是512元． 17．解：设猪舍的宽为 xm ，则长为 (2721)m x -+由题意得2(2721)2(7)98y x x x =-+=--+ 对称轴为 7x =272112x -+≤ 27210x -+>814x ∴≤<在22(7)98y x =--+ 中 ∵20-<∴在对称轴右侧 y 随着 x 的增大而减小 所以当 8x = 米时即矩形猪舍的长、宽分别为12米、8米时，猪舍的面积最大 最大面积是96平方米． 18．解：EF 高为3.6米. 19．（1）解：设y （件）与时间t （天）函数关系式是y=kt+b1185110k b k b +=⎧⎨+=⎩ ，得 2120k b =-⎧⎨=⎩即y （件）与时间t （天）函数关系式是y=﹣2t+120； （2）解：设日销售利润为w 元w=（30+ 14 t ﹣20）（﹣2t+120）= 21(10)12502t --+∴当t=10时，w 取得最大值，此时w=1250答：第10天的销售利润最大，最大利润是1250元； （3）解：设捐赠后的每日的销售利润为w 1元w 1=（30+ 14 t ﹣20﹣a ）（﹣2t+120）= ()212512001202t a t a-+++-∴w 1的对称轴是t=()25122a +-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ =2a+10 ∵这21天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t （天）的增大而增大∴2a+10≥21 解得，a ≥5.5 又∵a ＜8 ∴5.5≤a ＜8即a 的取值范围是5.5≤a ＜8．20．（1）解：依题意得()00O ，，()53C ，和()91.08B ， 设抛物线表达式为2y ax bx =+∴223551.0899a b a b ⎧=⨯+⨯⎨=⨯+⨯⎩，解得0.121.2a b =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线表达式为20.12 1.2y x x =-+（2）解：抛物线20.12 1.2y x x =-+的对称轴为5x = 点B 到对称轴的距离为954-=∴第二段抛物线相当于第一段抛物线整体向x 轴的正方向平移8个单位长度∴第二段抛物线的表达式为20.12(8) 1.2(8)y x x =--+- 当9615x =+=时20.12(158) 1.2(158) 2.52 2.44y =-⨯-+⨯-=> 因此，不能顺利射入球门。
2022年人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》同步练习(附答案)2(22.1)
第二十二章二次函数周周测2一、选择题〔共10小题，每题3分，共30分〕 1．假设y ＝(2－m )22m x 是二次函数，那么m 的值是〔 〕A ．±2B ．2C ．－2D ．不能确定 2．二次函数y ＝2(x －1)2＋3的图象的顶点坐标是〔 〕A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，－3)D ．(－1，－3) 3．假设二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是直线x ＝2，那么b 的值为〔 〕A ．2B ．－2C ．4D ．－44．将抛物线y ＝(x －1)2＋2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为〔 〕 A ．y ＝(x －1)2＋4 B ．y ＝(x －4)2＋4 C ．y ＝(x ＋2)2＋6 D ．y ＝(x －4)2＋6 5．抛物线y ＝x 2－mx －m 2＋1的图象过原点，那么m 为〔 〕A ．0B ．1C ．－1D ．±16．二次函数的图象〔0≤x ≤3〕如下图，关于该函数在所给自变量取值范围内，以下说法正确的选项是〔 〕A ．有最小值0，最大值3B ．有最小值－1，最大值3C ．有最小值－1，最大值0D ．有最小值－1，无最大值7．二次函数y ＝x 2＋2x ＋4的最小值为〔 〕 A ．3B ．4C ．5D ．68．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如下图，那么点(b ，ac)在〔 〕 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．二次函数y ＝x 2－2x －3的图象如下图，以下说法中正确的选项是〔 〕 A ．函数图象与y 轴的交点坐标是(0，3) B ．顶点坐标是(1，－3)C ．函数图象与x 轴的交点坐标是(3，0)、(－1，0)D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小10．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一局部，且过点A (3，0)，二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，以下结论正确的选项是〔 〕 A ．b 2－4ac ＜0B ．ac ＞0C ．b ＝2aD ．a －b ＋c ＝0二、填空题〔本大题共6个小题，每题3分，共18分〕11．将抛物线y ＝x 2的图象向上平移1个单位，那么平移后的抛物线的解析式为______________ 12．抛物线y ＝(x －1)2＋2的对称轴是_________ 13．二次函数y ＝x 2＋1的最小值是_________14．如下图，在同一坐标系中，作出：① y ＝3x 2；② 221x y；③ y ＝x 2的图象，那么图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是〔填序号〕___________15．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，顶点C 的纵坐标为－2．现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y ＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1，那么阴影局部的面积为___________16．抛物线p ：y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点〔点A 在点B 左侧〕，点C 关于x 轴的对称点为C ′，我们称以A 为顶点且过点C ′，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星〞抛物线，那么抛物线y ＝x 2－2x －3的“梦之星〞抛物线的解析式为___________ 三、解答题〔共8题，共72分〕17．〔此题8分〕通过配方，写出以下抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 (1) y ＝x 2－4x ＋5 (2) y ＝－4x 2＋3x18．〔此题8分〕抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A (3，0)、B (－1，0) (1) 求抛物线的解析式 (2) 求抛物线的顶点坐标19．〔此题8分〕在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋5x ＋4的顶点为A ，对称轴交x 轴于B ，抛物线与y 轴交于C 点 (1) 求点A 、B 、C 的坐标(2) 将抛物线y ＝x 2＋5x ＋4先向右平移1个单位长度后，再向下平移2个单位长度，求平移后的抛物线的解析式20．〔此题8分〕二次函数的图象经过点A (0，3)、B (－3，0)、C (2，－5) (1) 试确定此二次函数解析式(2) 判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△P AB的面积；如果不在，请说明理由21．〔此题8分〕如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x＋1相交于A、B两点，且点A 在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM(1) 求抛物线的函数关系式(2) 判断△ABM的形状，并说明理由2＋bx＋c中，函数y与自变量x的局部对应值如下表：x……－1 0 1 2 3 4 ……y……10 5 2 1 2 5 ……(1) 求该二次函数的关系式(2) 当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？(3) 假设A(m，y1)、B(m＋1，y2)两点都在该函数的图象，其中m＜1，试比拟y1与y2的大小23．〔此题10分〕抛物线y＝x2－x－6与x轴交于点A、B〔A在B的左边〕，与y轴交于点C (1) 求△ABC的面积(2) 假设M 在y 轴右侧的抛物线上，S △AMO ＝32S △COB ，求M 的坐标24．〔此题12分〕如图，抛物线C 1：y ＝a (x －1)2经过点A (3，4) (1) 求a 的值(2) 将抛物线C 1向下平移k 〔k ＞0〕个单位后，得到抛物线C 2，且C 2经过点B (3，0)，求k 的值及C 2的解析式(3) 设抛物线C 2交y 轴于点D ，点P 是抛物线C 2的对称轴上一点，且△PBD 的为直角三角形，求P 点的坐标第二十四章 二次函数周周测1 一、选择题〔共16小题〕1．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=BC ，∠ABC=120°，AD 为⊙O 的直径，AD=6，那么AB 的值为〔 〕A．3 B．2C．3D．22．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是⊙O上一点，假设∠ADB=28°，那么∠AOC 的度数为〔〕A．14°B．28°C．56°D．84°3．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，那么∠EOD等于〔〕A．10°B．20°C．40°D．80°4．如图，点C，D是半圆上的三等分点，连接AC，BC，CD，OD，BC和OD相交于点E．那么以下结论：①∠CBA=30°，②OD⊥BC，③OE=AC，④四边形AODC是菱形．正确的个数是〔〕A．1 B．2 C．3 D．45．如图，圆心角∠BOC=78°，那么圆周角∠BAC的度数是〔〕A．156°B．78°C．39°D．12°6．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，那么∠BOC等于〔〕A．60°B．70°C．120°D．140°7．如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，那么∠AEB的度数为〔〕A．36°B．46°C．27°D．63°8．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，那么∠AOC的度数是〔〕A．35°B．140°C．70°D．70°或140°9．以下四个图中，∠x是圆周角的是〔〕A．B．C．D．10．〔2021•龙岩〕如图，A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，那么弦AB 的长为〔〕A．B．2 C．2D．411．如图，在⊙O中，∠OAB=22.5°，那么∠C的度数为〔〕A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°12．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，那么∠BCD等于〔〕A．116°B．32°C．58°D．64°13．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，那么以下结论中正确的选项是〔〕A．AD=AB B．∠BOC=2∠D C．∠D+∠BOC=90°D．∠D=∠B14．如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，那么∠AOB的度数是〔〕A．75°B．60°C．45°D．30°15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，那么∠A的度数是〔〕A．40°B．50°C．60°D．100°16．如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=70°，那么∠ABD=〔〕A．20°B．46°C．55°D．70°二、填空题〔共13小题〕17．如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，假设∠BOC=56°，那么∠ADB=______度．18．如图，点A、B、C在⊙O上，假设∠C=30°，那么∠AOB的度数为______°．19．如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，那么∠BOD=______．20．〔2021•盘锦〕如图，⊙O直径AB=8，∠CBD=30°，那么CD=______．21．在圆中，30°的圆周角所对的弦的长度为2，那么这个圆的半径是______．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，假设∠BOC=100°，那么∠BAC=______．23．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P在线段OA上运动．设∠BCP=α，那么α的最大值是______．24．如图，P是⊙O外一点，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=60°，PA、PB分别交于M、N两点，那么∠APB的范围是______．25．如下图⊙O中，∠BAC=∠CDA=20°，那么∠ABO的度数为______．26．点O是△ABC外接圆的圆心，假设∠BOC=110°，那么∠A的度数是______．27．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，那么⊙O的直径的长是______．28．如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，那么∠BOC=______度．29．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，那么∠AED的余弦值是______．三、解答题〔共1小题〕30．〔1〕甲市共有三个郊县，各郊县的人数及人均耕地面积如表所示：人均耕地面积/公郊县人数/万顷A 20B 5C 10求甲市郊县所有人口的人均耕地面积〔精确到0.01公顷〕；〔2〕先化简下式，再求值：，其中，；〔3〕如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，假设BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．答案一、选择题〔共16小题〕1．A；2．C；3．C；4．D；5．C；6．D；7．A；8．B；9．C；10．C；11．D；12．B；13．B；14．B；15．B；16．C；二、填空题〔共13小题〕17．28；18．60；19．80°；20．4；21．2；22．50°；23．90°；24．0°＜∠APB＜30°；25．50°；26．55°或125°；27．；28．52；29．；三、解答题〔共1小题〕30．。
人教版初中数学九年级上册第二十二章《实际问题与二次函数》同步测试
人教版初中数学九年级上册第二十二章《实际问题与二次函数》同步测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．矩形窗户的周长是6m，写出窗户的面积y(m2)与窗户的宽x(m)之间的函数关系式，判断此函数是不是二次函数，如果是，请求出自变量x的取值范围，并画出函数的图象．2．如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB时，水面宽8m，水位上升3m，就达到警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．3．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．）（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取7（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？）（取54．如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a＝10m)．(1)如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB的长；(2)按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m＝162－3x．(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)间的函数关系式；(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适?最大销售利润为多少?6．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生产4件产品．(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少．7．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系)．根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；(3)求第8个月公司所获利润为多少万元?8．已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且OC＝OB＝3OA．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设点D是点C关于此抛物线对称轴的对称点，直线AD，BC交于点P，试判断直线AD，BC是否垂直，并证明你的结论；(3)在(2)的条件下，若点M，N分别是射线PC，PD上的点，问：是否存在这样的点M，N，使得以点P，M，N为顶点的三角形与△ACP全等?若存在请求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．y ＝－x 2＋3x (0＜x ＜3)图略．【解析】试题分析：（1）根据矩形周长=2⨯（长+宽），可由周长为6m 和宽为x （m ）把矩形长表达出来，再由矩形面积=矩形的长⨯矩形的宽就可列出函数关系式；（2）根据“矩形的宽大于0，而小于矩形周长的一半”可求出x 的取值范围，并由此可画出函数的图象.试题解析：解：由题意可得：y=（3-x ）x=-x 2+3x ，故此函数是二次函数，自变量取值范围为： 0＜x ＜3，其图象如图所示：．2．5小时．【解析】试题分析；首先在图中建立合适的坐标系（这里选择AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，也可另外建立），然后根据题目中的已知条件可得A 、B 、C 、D 四点的坐标，设出解析式，代入相应点的坐标建立方程（组），解方程（组）求得待定系数的值得到解析式，由解析式可得顶点E 的坐标，再结合题中条件可解得答案；试题解析：如上图，以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则由已知得A （4，0），D （2，3），设抛物线解析式为：2y ax c =+，把A 、D 坐标代入解析式可得：16043a c a c +=⎧⎨+=⎩，解得：144a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为：2144y x =-+， ∴顶点E 的坐标为（0，4），设CD 与y 轴的交点为点F ，∴EF=4-3=1（m ），∵1÷0.2=5（小时），∴水过警戒水位后5小时淹到桥拱顶.3．（1）21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++）（2）足球第一次落地距守门员约13米．（3）他应再向前跑17米．【分析】（1）依题意代入x 的值可得抛物线的表达式．（2）令y=0可求出x 的两个值，再按实际情况筛选．（3）本题有多种解法．如图可得第二次足球弹出后的距离为CD ，相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位可得解得x 的值即可知道CD 、BD ．【详解】解：（1）如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+． 由已知：当0x =时1y =． 即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++）（2）令210(6)4012y x =--+=，．212(6)4861360x x x ∴-==≈=-<．，（舍去）． ∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+1210CD x x ∴=-=≈．1361017BD ∴=-+=（米）． 答：他应再向前跑17米．4．（1）AB 长为5米（2）最大面积为2246m .3【解析】【分析】（1）利用矩形的面积公式列出方程求解即可；（2）求出花圃面积与AB 长度的函数关系式，根据二次函数的性质和AB 长度取值范围求出面积的最大值．【详解】 ()1设AB 的长为x 米，根据题意列方程得：232445x x -+=，化为28150x x -+=解得15x =，23x =，当3x =时，2431510BC x =-=>，不合题意，舍去，当5x =时，2439BC x =-=，如果要围成面积为45米2的花圃，AB 的长是5米；()2设花圃的面积为S ，由题意可得：()243S x x =-，2324x x =-+，23(4)48x =--+，∵墙体的最大可用长度10a m =，∴024310x ≤-≤， ∴1483x ≤≤， ∵对称轴4x =，开口向下， ∴当143x =时，花圃面积最大， 当143x =时，246.67S m =. 【点睛】考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数求最值的方法是解题的关键. 5．(1)y ＝－3x 2＋252x －4860；(2)当x ＝42时，最大利润为432元．【解析】试题分析：（1）根据：每天销售利润y （元）=单件商品利润⨯每天销售量、单件商品利润=商品售价-商品进价，结合题中条件可得y 与x 间的函数关系式；再根据单件商品利润不低于0，销售量不低于0可求得自变量的取值范围；（2）把（1）中所得函数解析式配方化为顶点式，结合自变量的取值范围和函数的增减性可求得答案；试题解析：解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x-30）元，那么m 件的销售利润为y=m （x-30）， 又∵m=162-3x ，∴y=（x-30）（162-3x ），即y=-3x 2+252x-4860，∵x-30≥0，∴x≥30．又∵m≥0，∴162-3x≥0，即x≤54．∴30≤x≤54．∴所求关系式为y=-3x 2+252x-4860（30≤x≤54）．（2）由（1）得y=-3x 2+252x-4860=-3（x-42）2+432，又∵30≤x≤54，∴可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．6．（1）y=-4x 2+64x+30 720；（2）增加8台机器每天生产的总量最大，最大生产总量为30 976个．【分析】（1）生产总量=每台机器生产的产品数×机器数；（2）根据函数性质求最值．【详解】解：（1）根据题意得：y=（80+x ）（384-4x ）=-4x 2+64x+30720（0＜x ＜96）；（2）∵y=-4x 2+64x+30720=-4（x 2-16x+64）+256+30720=-4（x-8）2+30976，∴当x=8时，y 有最大值30976，则增加8台机器，可以使每天的生产总量最大，最大总量是30976件．【点睛】认真审题，表示函数关系式是关键．7．(1) 2122s t t =- ；(2) 截止到10月末，公司累积利润可达到30万元；(3) 第8个月公司获利润5.5万元．【分析】（1）本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题，应根据图象以及题目中所给的信息来列出S 与t 之间的函数关系式；（2）把S =30代入累计利润S =12t 2﹣2t 的函数关系式里，求得月份； （3）分别t =7，t =8，代入函数解析S =12t 2﹣2t ，再把总利润相减就可得出． 【详解】（1）由图象可知其顶点坐标为（2，﹣2），故可设其函数关系式为：S =a （t ﹣2）2﹣2． ∵所求函数关系式的图象过（0，0），于是得：a （0﹣2）2﹣2=0，解得：a =12，∴所求函数关系式为：S =12（t ﹣2）2﹣2，即S =12t 2﹣2t ．答：累积利润S与时间t之间的函数关系式为：S=12t2﹣2t；（2）把S=30代入S=12（t﹣2）2﹣2，得：12（t﹣2）2﹣2=30．解得：t1=10，t2=﹣6（舍去）．答：截止到10月末公司累积利润可达30万元．（3）把t=7代入关系式，得：S=12×72﹣2×7=10.5，把t=8代入关系式，得：S=12×82﹣2×8=16，16﹣10.5=5.5．答：第8个月公司所获利是5.5万元．【点睛】本题主要考查了二次函数在实际生活中的应用，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，尤其是对本题图象中所给的信息是解决问题的关键．8．(1)y＝x2－2x－3；(2)AD⊥BC，理由见解析；(3)存在，M1(1，－2)，N1(4，－3)．或M2(0，－3)，N2(3，－4)．【解析】试题分析：（1）由题中条件：二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象与x轴交于A，B两点，点A在点B 的左侧，与y轴交于点C，且OC＝OB＝3OA，可得点C（0，-3）、点A（-1,0）、点B（3,0），把A、B两点的坐标代入解析式可求得a、b的值，就可得到解析式了；（2）把（1）中所求解析式配方化为顶点式，得到对称轴方程，就可得到D的坐标，再由A、B、C、D四点的坐标列方程组可求得直线AD和直线BC的解析式，计算两解析式中“k”的值的乘积是否为“-1”就可判断两直线是否垂直了；（3）如图，由（2）中所得AD、BC的解析式可列方程组解得P的坐标，由射线BC和射线AD互相垂直，垂足为点P，可知△APC和△PMN都是直角三角形；然后分以下两种情况讨论：①当PN=PA，M与C重合时，△APC与△PMN全等；②当PM=PA，N与D重合时，△APC与△PMN全等，并求出相应的点M、N的坐标.试题解析：（1）∵二次函数y ＝ax 2＋bx －3(a ＞0)与y 轴交于点C ，∴点C 的坐标为（0，-3），∴OC=3，又∵OC=OB=3OA ，∴OB=3，OA=1，又∵二次函数y ＝ax 2＋bx －3(a ＞0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧， ∴点A 、B 的坐标分别为（-1，0）、（3，0），把A 、B 的坐标代入解析式y ＝ax 2＋bx －3(a ＞0)得：309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩ ，解得：12a b =⎧⎨=-⎩ ， ∴二次函数解析式为：223y x x =--； （2）由2223=(1)4y x x x =----可知，该抛物线的对称轴为直线；1x =， ∵点D 和点C （0，-3）关于直线1x =对称，∴点D 的坐标为（2，-3），设直线AD 和直线BC 的解析式分别为；111222 y k x b y k x b =+=+，，把A 、B 、C 、D 的坐标分别代入相应的解析式得：1111023k b k b -+=⎧⎨+=-⎩ ，222303k b b +=⎧⎨=-⎩ ， 解得：1111k b =-⎧⎨=-⎩ ，2213k b =⎧⎨=-⎩ ， ∴直线AD 的解析式为：1y x =--；直线BC 的解析式为：3y x =-，∴12111k k ⋅=-⨯=-，∴直线AD 和直线BC 是互相垂直的；（3）存在使△APC 和△PMN 全等的点M 和N ，理由如下：由：13y x y x =--⎧⎨=-⎩ 解得12x y =⎧⎨=-⎩ ， ∴点P 的坐标为（1，-2），如上图：∵射线BC 和射线AD 互相垂直，垂足为点P ，∴△APC 与△PMN 都是直角三角形，∴在下列两种情况下两个三角形全等；①当M 与C 重合，PN=PA 时，两三角形全等，此时M 坐标为（0，-3），由线段中点坐标公式可得N 的坐标为（3，-4）；②当N 与D 重合，PM=PA 时，两个三角形全等，此时N 的坐标为（2，-3），由两点间距离公式可求得M 的坐标为（-1，-4）；综合①②可知当点M 、N 的坐标为：11(0?-3)?(3?4)M N -，，，或22(1?4)?(2?3)M N ---，，，时，△APC 与△PMN 全等.。
人教版 九年级数学上册 22.3实际问题与二次函数 同步优化训练(含答案)-试卷
人教版九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数同步优化训练（含答案）一、选择题（本大题共8道小题）1. 某种服装的销售利润y(万元)与销售数量x(万件)之间满足函数解析式y＝－2x2＋4x＋5，则利润的()A．最大值为5万元B．最大值为7万元C．最小值为5万元D．最小值为7万元2. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是()A．4米B．3米C．2米D．1米3. 小敏用一根长为8 cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是()A．4 cm2B．8 cm2C．16 cm2D．32 cm24. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD的总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是()A．18 m2B．18 3 m2 C．24 3 m2 D.45 32m25. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为()A ．50 mB ．100 mC ．160 mD ．200 m6. 如图，铅球运动员掷铅球的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数解析式是y＝－112x 2＋23x ＋53，则该运动员此次掷铅球的成绩是( )A ．6 mB ．12 mC ．8 mD ．10 m7. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m ，在如图 (示意图)所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( )A ．此抛物线的解析式是y ＝－15x 2＋3.5 B ．篮圈中心的坐标是(4，3.05) C ．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0) D ．篮球出手时离地面的高度是2 m8. 如图，将一个小球从斜坡上的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x －12x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画，下列结论错误的是( )A．当小球抛出高度达到7.5 m时，小球距点O的水平距离为3 mB．小球距点O的水平距离超过4 m后呈下降趋势C．小球落地点距点O的水平距离为7 mD．小球距点O的水平距离为2.5 m和5.5 m时的高度相同二、填空题（本大题共7道小题）9. 某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________ m2.10. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品的售价为a元，则可卖出(350－10a)件．但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的40%，若商店想获得最大利润，则每件商品的价格应定为________元．11. 某种商品每件的进价为20元，经调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，则可卖出(30－x)件．若要使销售利润最大，则每件的售价应为________元．12. 某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a 元(a >0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t (t · 为正整数．．．．)的增大而增大，a 的取值范围应为________．13. 如图所示是一座抛物线形拱桥，当水面宽为12 m 时，桥拱顶部离水面4 m ，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系．若选取点A 为坐标原点时的抛物线解析式为y ＝－19(x －6)2＋4，则选取点B 为坐标原点时的抛物线解析式为________________．14. 飞机着落后滑行的距离s (单位：米)关于滑行时间t (单位：秒)的函数解析式是s ＝60t －32t 2，则飞机着落后滑行的最长时间为________秒．15. 如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A ，B两点，桥拱最高点C 到AB 的距离为9 m ，AB ＝36 m ，D ，E 为桥拱底部的两点，且DE ∥AB ，点E 到直线AB 的距离为7 m ，则DE 的长为________m.三、解答题（本大题共3道小题） 16. 如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案，按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y ＝ax 2＋bx (a ≠0)表示．已知抛物线上B ，C 两点到地面的距离均为34 m ，到墙边OA 的距离分别为12 m ，32 m.(1)求该抛物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；(2)若该墙的长度为10 m ，则最多可以连续绘制几个这样的抛物线型图案？17. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC 的长度为x m ，矩形区域ABCD 的面积为y m 2. (1)求y 与x 之间的函数解析式，并注明自变量x 的取值范围； (2)当x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？18. 宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x 天生产的产品数量为y 件，y 与x 满足如下关系：y ＝⎩⎨⎧7.5x （0≤x ≤4），5x ＋10（4＜x ≤14）.(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件？(2)设第x 天生产的产品成本为P 元/件，P 与x 之间的函数图象如图.工人甲第x天创造的利润为W 元，求W 与x 之间的函数解析式，并求出第几天时，工人甲所创造的利润最大，最大利润是多少.人教版 九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数 同步优化训练（含答案）-答案一、选择题（本大题共8道小题） 1. 【答案】B2. 【答案】A[解析] y ＝－(x 2－4x ＋4)＋4＝－(x －2)2＋4，∴水喷出的最大高度是4米．3. 【答案】A [解析] 设矩形的一边长为x cm ，则另一边长为()4－x cm ，故矩形的面积S ＝x ()4－x ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，所以当x ＝2时，S 最大值＝4.故矩形的最大面积为4 cm 2.4. 【答案】C[解析] 如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则四边形ADCE 为矩形，∠DCE ＝∠CEB ＝90°， 则∠BCE ＝∠BCD －∠DCE ＝30°. 设CD ＝AE ＝x m ，则BC ＝(12－x)m.在Rt △CBE 中，∵∠CEB ＝90°，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝12BC ＝(6－12x)m ， ∴AD ＝CE ＝BC 2－BE 2＝(6 3－32x)m ，AB ＝AE ＋BE ＝x ＋6－12x ＝(12x ＋6)m ，∴梯形ABCD 的面积＝12(CD ＋AB)·CE ＝12(x ＋12x ＋6)·(6 3－32x) ＝－3 38x 2＋3 3x ＋18 3＝－3 38(x －4)2＋24 3.∴当x ＝4时，S 最大＝24 3.即CD 的长为4 m 时，梯形储料场ABCD 的面积最大为24 3 m 2.故选C.5. 【答案】C[解析] 以2 m 长线段所在直线为x 轴，以其垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，再求出不锈钢支柱的长度．6. 【答案】D[解析] 把y ＝0代入y ＝－112x 2＋23x ＋53，得－112x 2＋23x ＋53＝0，解得x 1＝10，x 2＝－2.又∵x ＞0，∴x ＝10. 故选D.7. 【答案】A[解析] ∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，∴可设抛物线的函数解析式为y ＝ax 2＋3.5.∵篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，∴3.05＝a×1.52＋3.5.解得a ＝－15.∴y ＝－15x 2＋3.5.可见选项A 正确．由图示知，篮圈中心的坐标是(1.5，3.05)，可见选项B 错误． 由图示知，此抛物线的顶点坐标是(0，3.5)，可见选项C 错误．将x ＝－2.5代入抛物线的解析式，得y ＝－15×(－2.5)2＋3.5＝2.25，∴这次跳投时，球出手处离地面2.25 m 可见选项D 错误． 故选A.8. 【答案】A[解析] 令y ＝7.5，得4x －12x 2＝7.5.解得x 1＝3，x 2＝5.可见选项A错误．由y ＝4x －12x 2得y ＝－12(x －4)2＋8，∴对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 的增大而减小，选项B 正确．联立y ＝4x －12x 2与y ＝12x ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝72.∴抛物线与直线的交点坐标为(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，可见选项C 正确．由对称性可知选项D 正确．综上所述，只有选项A 中的结论是错误的，故选A.二、填空题（本大题共7道小题）9. 【答案】144 【解析】∵围墙的总长为50 m ，设3间饲养室合计长x m ，则饲养室的宽＝48－x 4 m ，∴总占地面积为y ＝x·48－x 4＝－14x 2＋12x(0＜x ＜48)，由y＝－14x 2＋12x ＝－14(x －24)2＋144，∵x ＝24在0＜x ＜48范围内，a ＝－14<0，∴在0＜x≤24范围内，y 随x 的增大而增大，∴x ＝24时，y 取得最大值，y 最大＝144 m 2.10. 【答案】28[解析] 设商店所获利润为y 元．根据题意，得y ＝(a －21)(350－10a)＝－10a 2＋560a －7350＝－10(a －28)2＋490， 即当a ＝28时，可获得最大利润．又21×(1＋40%)＝21×1.4＝29.4，而28<29.4，所以a ＝28符合要求． 故商店应把每件商品的价格定为28元，此时可获得最大利润．11. 【答案】25[解析] 设利润为w 元，则w ＝(x －20)(30－x)＝－(x －25)2＋25.∵20≤x≤30，∴当x ＝25时，二次函数有最大值25.12. 【答案】0<a ≤5【解析】设未来30天每天获得的利润为y ，y ＝(110－40－t)(20＋4t)－(20＋4t)a 化简，得y ＝－4t 2＋(260－4a)t ＋1400－20a ，每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t 为整数)的增大而增大，则－（260－4a ）2×（－4）≥30，解得a ≤5，又∵a ＞0，∴a 的取值范围是0＜a ≤5.13. 【答案】y ＝－19(x ＋6)2＋414. 【答案】20[解析] 滑行的最长时间实际上是求顶点的横坐标．∵s ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，∴当t ＝20时，s 的最大值为600.15. 【答案】48[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB 与y 轴交于点H.∵AB ＝36 m ，∴AH ＝BH ＝18 m. 由题可知：OH ＝7 m ，CH ＝9 m ， ∴OC ＝9＋7＝16(m)．设该抛物线的解析式为y ＝ax 2＋k. ∵抛物线的顶点为C(0，16)， ∴抛物线的解析式为y ＝ax 2＋16.把(18，7)代入解析式，得7＝18×18a ＋16， ∴7＝324a ＋16， ∴a ＝－136， ∴y ＝－136x 2＋16.当y ＝0时，0＝－136x 2＋16， ∴－136x 2＝－16，解得x ＝±24， ∴E(24，0)，D(－24，0)， ∴OE ＝OD ＝24 m ，∴DE ＝OD ＋OE ＝24＋24＝48(m)．三、解答题（本大题共3道小题）16. 【答案】解：(1)由题意知，抛物线y ＝ax 2＋bx(a ≠0)经过点B(12，34)，C(32，34)， 则⎩⎪⎨⎪⎧14a ＋12b ＝3494a ＋32b ＝34，解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝2，∴抛物线的解析式是y ＝－x 2＋2x.(3分) 根据对称性知，抛物线的对称轴是x ＝－b2a ＝1， 当x ＝1时，y ＝1， ∴顶点坐标是(1，1)．答：图案最高点到地面的距离是1 m ．(5分) (2)∵抛物线的对称轴是x ＝1，∴一个图案与地面两交点间的距离是2 m ，10÷2＝5. 答：最多可以连续绘制5个这样的抛物线型图案．(8分)17. 【答案】解：(1)∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD 的面积是矩形BCFE 的面积的2倍，∴AE ＝2BE.设BE ＝a ，则AE ＝2a ，∴8a ＋2x ＝80，∴a ＝－14x ＋10，3a ＝－34x ＋30，∴y ＝(－34x ＋30)x ＝－34x 2＋30x.∵a ＝－14x ＋10＞0，∴x ＜40，则y ＝－34x 2＋30x(0＜x ＜40)．(2)∵y ＝－34x 2＋30x ＝－34(x －20)2＋300(0＜x ＜40)，且二次项系数为－34＜0，∴当x ＝20时，y 有最大值，最大值是300.18. 【答案】解：(1)令7.5x ＝70，则x ＝283＞4，不符合题意， ∴5x ＋10＝70，解得x ＝12.答：工人甲第12天生产的产品数量为70件． (2)由函数图象知，当0≤x≤4时，P ＝40； 当4＜x≤14时，设P ＝kx ＋b.将(4，40)，(14，50)代入，得⎩⎨⎧4k ＋b ＝40，14k ＋b ＝50， 解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝36. ∴P ＝x ＋36.①当0≤x≤4时，W ＝(60－40)·7.5x ＝150x ，∵W 随x 的增大而增大，∴当x ＝4时，W 最大＝600；②当4＜x≤14时，W ＝(60－x －36)(5x ＋10)＝－5x 2＋110x ＋240＝－5(x －11)2＋845，∴当x ＝11时，W 最大＝845.∵845＞600，∴当x ＝11时，W 取得最大值，最大值为845.综上，W 与x 之间的函数解析式为W ＝⎩⎨⎧150x （0≤x≤4），－5x 2＋110x ＋240（4＜x≤14）；第11天时，工人甲所创造的利润最大，最大利润是845元．。
2023-2024学年人教版九年级数学上册《第二十二章 实际问题与二次函数》同步练习附有答案
2023-2024学年人教版九年级数学上册《第二十二章实际问题与二次函数》同步练习附有答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________基础巩固练习一、选择题1.国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为( )A.y＝36(1﹣x)B.y＝36(1＋x)C.y＝18(1﹣x)2D.y＝18(1＋x2)2.已知一个直角三角形两直角边的和为10，设其中一条直角边为x，则直角三角形的面积y与x之间的函数关系式是( )A.y＝﹣12x2＋5x B.y＝﹣x2＋10x C.y＝12x2＋5x D.y＝x2＋10x3.某工厂第一年的利润为20万元，第三年的利润为y万元.设该公司利润的平均年增长率为x,则y关于x的二次函数的表达式为( ).A.y＝20(1﹣x)2B.y＝20(1＋x)2C.y＝(1﹣x)2＋2D.y＝(1﹣x)2﹣204.已知矩形的周长为36 m，矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的一条边长为x m，圆柱的侧面积为y m2，则y与x的函数关系式为( )A.y＝﹣2πx2＋18πxB.y＝2πx2﹣18πxC.y＝﹣2πx2＋36πxD.y＝2πx2﹣36πx5.如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门底部地面宽4米，顶部距地面的高度为4.4米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为2.4米，该车要想通过此门，装货后的高度应小于( )A.2.80米B.2.816米C.2.82米D.2.826米6.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x(cm).当x=3时，y=18，那么当成本为72元时，边长为( ).A.6cmB.12cmC.24cmD.36cm7.在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所经过的路程为( )A.88米B.68米C.48米D.28米8.一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件.根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )A.5元B.10元C.0元D.6元9.在1-7月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是( ).A.1月份B.2月份C.5月份D.7月份10.用一根长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，那么a的值不可能为( )A.20B.40C.100D.120二、填空题11.设矩形窗户的周长为6m，则窗户面积S(m2)与窗户宽x(m)之间的函数关系式是，自变量x的取值范围是.12.菱形的两条对角线的和为26 cm，则菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系为，是次函数，自变量x的取值范围是 .13.某工厂有一种产品现在的年产量是20万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，那么y与x 之间的关系应表示为.14.正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为 .15.一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y=﹣112x2+23x+53，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为米.16.某市新建成的一批楼房都是8层，房子的价格y(元/平方米)随楼层数x(楼)的变化而变化.已知点(x，y)都在一个二次函数的图象上(如图)，则6楼房子的价格为元/平方米.三、解答题17.农民张大伯为了致富奔小康，大力发展家庭养殖业.他准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈.(1)请你求出张大伯矩形羊圈的面积；(2)请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计并说明理由.18.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m＝162﹣3x.(1)请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式.(2)商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由.能力提升练习一、选择题1.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间的函数关系式为y=－n2＋14n－24，则该企业一年中应停产的月份是( )A.1月、2月、3月B.2月、3月、4月C.1月、2月、12月D.1月、11月、12月2.一个网球发射器向空中发射网球,网球飞行的路线呈一条抛物线,如果网球距离地面的高度h(米)关于运行时间t(秒)的函数解析式为h=-t2+14t+1 (0≤t≤20),那么网球到达最高点时所需的时间是秒.( )A.7B.8C.9D.103.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是 ( )A.4米B.3米C.2米D.1米4.为了美观,在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状(如图所示),对应的两条抛物线关于y轴对称,AE∥x轴,AB=4 cm,最低点C在x轴上,高CH=1 cm,BD=2 cm,则右轮廓DFE 所在抛物线的解析式为( )A.y=14(x+3)2 B.y=14(x-3)2 C.y=-14(x+3)2 D.y=-14(x-3)25.如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B →C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x(单位：s)，四边形PBDQ的面积为y(单位：cm2)，则y与x(0≤x≤8)之间函数关系可以用图象表示为( )A. B. C. D.6.如图,正方形ABCD的边长为4,点P、Q分别是CD、AD的中点,动点E从点A向点B运动,到点B时停止运动；同时,动点F从点P出发,沿P→D→Q运动,点E、F的运动速度相同.设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是( )二、填空题7.某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)之间的函数关系式是y ＝60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来.8.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿AB向点B以2 cm/s 的速度运动，点Q从点B开始沿BC向点C以1 cm/s的速度运动，如果点P，Q分别从点A，B 同时出发，当△PBQ的面积最大时，运动时间为________s.9.如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y (单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y=﹣19x2+79x+2.则他将铅球推出的距离是m.10.如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是cm2.三、解答题11.某商品的进货价为每件30元，为了合理定价，先投放市场试销.据市场调查，销售价为每件40元时，每周的销售量是180件，而销售价每上涨1元，则每周的销售量就会减少5件，设每件商品的销售价上涨x元，每周的销售利润为y元.(1)用含x的代数式表示：每件商品的销售价为元，每件商品的利润为元，每周的商品销售量为件；(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；(3)应怎样确定销售价，使该商品的每周销售利润最大？最大利润是多少？12.某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本.(1)请直接写出y与x的函数关系式；(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？(3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？答案基础巩固练习1.C2.A3.B.4.C5.B6.A.7.A8.A.9.C10.D.11.答案为：S＝﹣x2＋3x，0＜x＜3.12.答案为：S＝12x(26﹣x)，二，0＜x＜26.13.答案为：y=200000(x+1)214.答案为：y=x2+6x.15.答案为：316.答案为：5080.17.解：(1)40﹣25＝15故矩形的宽为15 2∴sABCD ＝152×25＝187.5(2)设利用xm的墙作为矩形羊圈的长，则宽为(20-12x)m设矩形的面积为ym2则y＝x•(20-12x)＝﹣12x2＋20x＝﹣12(x﹣20)2＋200∵a＝﹣12＜0，故当x＝20时，y的最大值为200∵200＞187.5故张大伯设计不合理，应设计为长20m，宽10m利用20m墙的矩形羊圈.18.解：(1)由题意得，每件商品的销售利润为(x﹣30)元，那么m件的销售利润为y＝m(x﹣30) 又∵m＝162﹣3x∴y＝(x﹣30)(162﹣3x)即y＝﹣3x2＋252x﹣4860∵x﹣30≥0∴x≥30.又∵m≥0∴162﹣3x≥0，即x≤54.∴30≤x≤54.∴所求关系式为y＝﹣3x2＋252x﹣4860(30≤x≤54).(2)由(1)得y＝﹣3x2＋252x﹣4860＝﹣3(x﹣42)2＋432所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元.∵500＞432∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元.能力提升练习1.C；2.D.3.A4.B5.B.6.A7.答案为：600.8.答案为：2.9.答案为：9.10.答案为：3；18.11.解：(1)每件商品的销售价为：(x＋40)元，每件商品的利润为：(x＋10)元每周的商品销售量为：(180﹣5x)件；故答案为：x＋40，x＋10，180﹣5x；(2)所求函数关系式为：y＝(x＋10)(18﹣5x)即y＝﹣5x2＋130x＋1800；(3)∵在y＝﹣5x2＋130x＋1800中a＝﹣5＜0，b＝130，x＝1800∴当x＝13时，x＋40＝13＋40＝53y有最大值且最大值为2645(元)∴当售价为53元时，可获得最大利润2645元.12.解：(1)设y＝kx＋b，把(22，36)与(24，32)代入得：，解得：则y＝﹣2x＋80；(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元根据题意得：(x﹣20)y＝150则(x﹣20)(﹣2x＋80)＝150整理得：x2﹣60x＋875＝0(x﹣25)(x﹣35)＝0，解得：x1＝25，x2＝35∵20≤x≤28∴x＝35(不合题意舍去)答：每本纪念册的销售单价是25元；(3)由题意可得：w＝(x﹣20)(﹣2x＋80)＝﹣2x2＋120x﹣1600＝﹣2(x﹣30)2＋200此时当x＝30时，w最大又∵售价不低于20元且不高于28元∴x＜30时，y随x的增大而增大，即当x＝28时，w最大＝﹣2(28﹣30)2＋200＝192(元) 答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元.。
2019—2020年最新人教版九年级数学上册实际问题与二次函数-同步练习2及解析(试卷).docx
实际问题与二次函数1、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B ，C 的横坐标，且此抛物线过点A （3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P ，对称轴与线段AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标；（3）在x 轴上有一动点M ，当MQ+MA 取得最小值时，求M 点的坐标．2、如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；（2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？（取734=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？（取562=）3、跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9．（1）求该抛物线的解析式；（2）如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；（3）如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O 的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，写出t的取值范围4、随着和城近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少？详细解答1、分析：（1）先求出一元二次方程的两个根，即可知与x轴的两个交点B，C的坐标，设出两点式，用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）根据B，C两点的坐标可求出二次函数的顶点坐标及对称轴方程，根据A，C两点的坐标可求出线段AC所在直线的表达式，求出两方程的交点即为Q点的坐标；（3）根据两点之间线段最短，故当此三点在同一条直线上时MQ+MA取得最小值，作A关于x轴的对称点A′，连接A′Q；A′Q与x轴交于点M即为所求的点．解：（1）解方程x2+2x-3=0得x1=-3，x2=1（11分）∴抛物线与x 轴的两个交点坐标为：C （-3，0），B （1，0）（2分）设抛物线的解析式为y=a （x+3）（x-1）（a ≠0）．（3分）∵A （3，6）在抛物线上∴6=a （3+3）（3-1），∴a=21（4分）∴抛物线解析式为：y=21x2+x-23（5分）．（2）由y= y=21x2+x-23=21（x+1）2-2（6分）∴抛物线顶点P 的坐标为：（-1，-2），对称轴方程为：x=-1．（7分）设直线AC 的方程为：y=k1x+b1．∵A （3，6），C （-3，0），∴在该直线上{03631111=+-=+b k b k 解得⎩⎨⎧==3111b k直线AC 的方程为：y=x+3（9分）将x=-1代入y=x+3得y=2，∴Q 点坐标为（-1，2）．（10分）（3）作A 关于x 轴的对称点A ′（3，-6），连接A 'Q ；A'Q 与x 轴交于点M 即为所求的点（11分）设直线A'Q 方程为y=kx+b∴⎩⎨⎧=+--=+263b k b k 解得⎩⎨⎧=-=02b k ． ∴直线A'Q ：y=-2x （12分）令x=0，则y=0（13分）．2·1·c ·n ·j ·y∴M 点坐标为（0，0）．2、分析：（1）依题意代入x 的值可得抛物线的表达式．（2）令y=0可求出x 的两个值，再按实际情况筛选．（3）本题有多种解法．如图可得第二次足球弹出后的距离为CD ，相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位可得 2=-121（x-6）2解得x 的值即可知道CD 、BD ．解：（1）如图，设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式为y=a （x-h ）2+k ，∵h=6，k=4，∴y=a （x-6）2+4，由已知：当x=0时y=1，即1=36a+4，∴a=-121， ∴表达式为y=-121（x-6）2+4，（或y=-121x2+x+1）．（2）令y=0，-121（x-6）2+4=0，∴（x-6）2=48，解得：x1=34+6≈13，x2=-34+6＜0（舍去），∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD ，根据题意：CD=EF （即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位），∴2=-121（x-6）2+4，解得：x1=6-26，x2=6+26，∴CD=|x1-x2|=46≈10，∴BD=13-6+10=17（米）．解法二：令-121（x-6）2+4=0解得：x1=-34+6（舍），x2=34+6≈13．∴点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为y=-121（x-k ）2+2，将C 点坐标代入得： -121（13-k ）2+2=0解得：k1=13-26（舍去），k2=34+6+26≈6+7+5=18，令y=0，0=-121（x-18）2+2，x1=18-26（舍去），x2=18+26≈23，∴BD=23-6=17（米）．解法三：由解法二知，k=18，所以CD=2（18-13）=10，所以BD=（13-6）+10=17．答：他应再向前跑17米．3、分析：（1）已知抛物线解析式，求其中的待定系数，选定抛物线上两点E （1，1.4），B （6，0.9）坐标代入即可；（2）小华站在OD 之间，且离点O 的距离为3米，即OF=3，求当x=3时，函数值；（3）实质上就是求y=1.4时，对应的x 的两个值，就是t 的取值范围．解答：解：（1）由题意得点E （1，1.4），B （6，0.9），代入y=ax2+bx+0.9得 ⎩⎨⎧=++=++9.09.06364.19.0b a b a ，解得⎩⎨⎧==6.01.0b a ， ∴所求的抛物线的解析式是y=-0.1x2+0.6x+0.9；（2）把x=3代入y=-0.1x2+0.6x+0.9得y=-0.1×32+0.6×3+0.9=1.8∴小华的身高是1.8米；（3）当y=1.4时，-0.1x2+0.6x+0.9=1.4，解得x1=1，x2=5，∴1＜t ＜5．4、解：（1）设y1=kx ，由图①所示，函数y1=kx 的图象过（1，2），所以2=k •1，k=2，故利润y1关于投资量x 的函数关系式是y1=2x （x ≥0）；∵该抛物线的顶点是原点，∴设y2=ax2，由图②所示，函数y2=ax2的图象过（2，2），∴2=a •22，a ＝21，故利润y2关于投资量x 的函数关系式是：y=21x2（x ≥0）；（2）设这位专业户投入种植花卉x 万元（0≤x ≤8），则投入种植树木（8-x ）万元，他获得的利润是z 万元，根据题意，得z=2（8-x ）+21x2=21x2-2x+16=21（x-2）2+14，当x=2时，z 的最小值是14，∵0≤x ≤8，∴-2≤x-2≤6，∴（x-2）2≤36， ∴21（x-2）2≤18， ∴21（x-2）2+14≤18+14=32，即z ≤32，此时x=8，答：当x=8时，z 的最大值是32．。
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26．3 实际问题与二次函数（二）5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.一个菱形的对角线之和为10厘米，其最大面积为（ ）A.24 cm 2B.25 cm 2C.12.5 cm 2D.12 cm 2解析：设菱形的一条对角线的长的一半为x ,由题意，得S=－2（x-25）2+225． 答案：C2.(1)y=x 2-3x+2的顶点是____________；(2)y=-x 2-6x+1的顶点是____________．解析：利用配方法或公式法求顶点．答案：（1）（41,23 ） （2）（-3，10）3.y=2x 2+4x+5，有____________值，是____________；y=-x 2+3x ，有____________值，是____________．解析：利用配方法或公式法求最值．（1）y=2x 2+4x+5=2（x+1）2+3,最小值是3；（2）最大值是49； 答案：最小 3 最大 49 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.(2005浙江丽水中考)如图26-3-2-1，点P 的坐标是（1，－3），则此抛物线对应的二次函数有（ ）A.最大值1B.最小值-3C.最大值-3D.最小值1图26-3-2-1 图26-3-2-2解析：抛物线开口向上，有最小值．答案：B2.函数y=x 2-2x(0≤x ≤3)，既有最大值，又有最小值，分别是___________、________．解析：y=(x-1)2-1，x=1在取值范围内，所以最小值为-1，当x=3时，最大值为3.答案：-1 33.如图26-3-2-2，正方形ABCD 的边长为2 cm ，E 、F 、G 、H 分别从A 、B 、C 、D 向B 、C 、D 、A 同时以0．5 cm/s 的速度移动，设运动时间为t(s)．（1）求证：△HAE ≌△EBF ；（2）设四边形EFGH 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围;（3）t 为何值时，S 最小，是多少？（1）证明：∵AH=2-0.5t=BE,AE=0.5t=BF,∠A=∠B,∴△HAE ≌△EBF.（2）解：依题意得DH=AE=0.5t ，则AH=2-0.5t ，Rt △AEH 中，HE 2=AH 2+AE 2，又由（1）△HAE ≌△EBF ，可得∠DHG+∠AHE=90°，∴四边形HEFG 是正方形.∴S=HE 2=AH 2+AE 2=(0.5t)2+(2-0.5t)2=21t 2-2t+4(0≤t ≤4). （3）解：当t=2时S 最小，S 最小=2.4.如图26-3-2-3，在矩形OABC 中，OA=8，OC=4，OA 、OC 分别在x ，y 轴上，点O 在OA 上，且CD=AD,图26-3-2-3(1)求直线CD 的解析式；(2)求经过B 、C 、D 三点的抛物线的解析式；(3)在上述抛物线上位于x 轴下方的图象上，是否存在一点P ，使ΔPBC 的面积等于矩形的面积?若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)设OD=x,则CD=AD=8-x ．∴(8-x)2-x 2=16．∴x=3，D 的坐标是(3，0).又点C 的坐标是(0,4)，设直线CD 的解析式为y=kx+b,于是有⎩⎨⎧=+=,03,4b k b ∴y=34-x+4． (2)由题意得B 、C 、D 三点坐标分别为(8，4)、(0,4)、(3，0)，设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=++==++.039,4,4864c b a c c b a 于是可得抛物线解析式为y=154x 2-1532x+4． (3)在抛物线上不存在一点P ，使△PBC 的面积等于矩形ABCD 的面积．理由是：由抛物线的对称性可知，以抛物线顶点为P 的△PBC 面积为最大．由y=154x 2-1532x+4=154(x-4)2-154可知，顶点坐标为(4，-154)．则△PBC 的高为4+|-154|=1564． ∴△PBC 的面积为21×8×1564=15255小于矩形ABCD 的面积为4×8=32． 故在x 轴下方且在抛物线上不存在一点P ，使△PBC 的面积等于矩形ABCD 的面积． 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知a<0，b>0，那么抛物线y=ax 2+bx+2（b 2-8a≠0）的顶点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由于a<0，b ＞0，所以04844,0222>-=->-ab a a b ac a b ，故在第一象限． 答案：A2.周长为30厘米的绳子，围成一个矩形，其最大面积为（ ）A ．225 cm 2B ．112.5 cm 2C ．56.25 cm 2D ．100 cm 2 解析：设长为x 、面积为y ，则y=x(15-x)，当x=7．5时，面积最大为56．25．答案：C3.(2005湖南常德中考，16)请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式_____________．解析：设抛物线为y=a(x －h)2＋c ．开口向上，a ＞0，故可让a=1；又对称轴为直线x=2，所以h=2；因为与y 轴交点坐标为(0，3)，故c=3．答案：y=(x －2)2＋3（答案不唯一）4.边长为15 cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长为x cm 的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y cm 2与x cm 之间的函数关系式为_______________．解析：剩下的四方框铁片的面积等于原正方形的面积减去剪去的小正方形铁片的面积． 答案：y=152－x 2=－x 2＋225（0<x<15）5.用一根6 m 长的铝合金材料，做成一个矩形窗框，问长和宽各为多少时，才能使通过的光线最多？解：设矩形窗框的宽为x ，则长为（3-x ），矩形窗框的面积是S=x （3-x ）=－（x-1.5）2+2.25， 所以当x=1.5时，矩形窗框的面积最大，即当长和宽都为1.5时，才能使通过的光线最多．6.如图26-3-2-4，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米，点P 从O 开始沿OA 边向点A 以1厘米/秒的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘米/秒的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t(秒)表示移动的时间（0≤t≤6），那么（1）设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式；（2）当△POQ 的面积最大时，将△POQ 沿直线PQ 翻折得到△PCQ ，试判断点C 是否落在直线AB 上，并说明理由.图26-3-2-4解：（1）∵OA=12，OB=6，由题意得BQ=1×t=t,OP=1×t=t ，∴OQ=6-t ，∴y=21×OP×OQ=21×t(6－t) =-21t 2+3t(0≤t≤6). (2)∵y=-21t 2+3t ，∴当 y 有最大值时,t=3．∴OQ=3,OP=3,即△POQ 是等腰直角三角形． 把△POQ 沿PQ 翻折后，可得到四边形OPCQ 是正方形．∴点C 的坐标是（3，3）．∵A （12，0），B （0，6），∴直线AB 的解析式为y=-21x+6，当x=3时，y=29≠3， ∴点C 不落在直线AB 上．7.已知△ABC 的面积为2 400 cm 2，底边BC 长为80 cm ，如图26-3-2-5．若点D 在BC 边上，E 在AC 边上，F 在AB 边上，且四边形BDEF 为平行四边形，设BD=x cm ，S BDEF =y cm 2．求：（1）y 与x 的函数关系式；（2）自变量x 的取值范围；（3）当x 为何值时，y 有最大值，最大值为多少？图26-3-2-5解：（1）过A 作AH ⊥BC 于点H ，S △ABC =2 400 cm 2，BC=80 cm ， ∴21×80×AH=2 400． ∴AH=60(cm)． 设BDEF 的BD 边上的高为h ，则（60-h ）∶60=x ∶80，∴h=60-43x ． ∴y=x·h=x （60-43x ）=432x -+60x. （2）0<x<80(cm)．（3）y=-43x 2+60x=43-（x 2-80x+1 600-1 600）=43-（x-40）2+1 200． ∵a=43-<0， ∴y 的有最大值．当x=40时，y 有最大值，y 的最大值为1 200 cm 2．8.(2005山东青岛中考)在青岛市开展的创建活动中，某小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长度为40米的栅栏围成（如图26-3-2-6所示）．若设花园BC 的边长为x 米，花园的面积为y 米2.(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.（2）满足条件的花园面积能达到200米2吗？如果能，求出此时的x 的值；若不能，请说明理由.（3）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？图26-3-2-6解：(1)根据题意，得y=x 212)40(-=-x x 2+20x(0＜x≤15). (2)当y=200时x=20,而x 的取值范围是0＜x≤15，所以此时花园的面积不能达到200米.（3）y=21-x 2+20x 图象是开口向下的抛物线，对称轴为x=20，在0＜x≤15范围内y 随x 的增大而增大，所以当x=15时y 有最大值，y 最大=187.5（米2).。