ch3

运算法则：
(1)
结合律: A( BC ) = ( AB )C ；
(2) 分配律: A( B + C ) = AB + AC , ( A + B)C = AC + BC ; (3)
λ ( AB) = (λ A) B = A(λ B), 这里 λ 是任意常数.
几种特殊矩阵：
（１） 对角阵——所有的非对角元素 aij (i ≠ j ) 全部等于 0 的方阵，即
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= B −1 A−1 ;
高等代数第三章
矩阵
一般地, 如果 A1, A2, L , Ak 是 n 阶可逆阵, 则它们的乘积 A1 A2 L Ak 可逆, 且
( A1 A2 L Ak ) −1 = Ak −1 L A2 −1 A1−1 .
性质 3 若 A 可逆, c 是非零数, 则 cA 也可逆且 (cA) 性质 4 若 A 可逆, 则 A 的转置 A 也可逆且 ( A )
运算法则：
a12 + b12 a22 + b22 L am 2 + bm 2
L a1n + b1n ⎞ ⎟ L a2 n + b2 n ⎟ L L ⎟ ⎟ L amn + bmn ⎠
m× n
(1) ( 2) ( 3)
交换律: A + B = B + A 对任意 A , B ∈ F
成立.
m×n
结合律: ( A + B) + C = A + ( B + C ) 对任意 A , B , C ∈ F
例3
⎡1 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ 设 A = 0 1 1 ，求 A100. ⎢ ⎥ ⎢ ⎣0 0 1 ⎥ ⎦
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高等代数讲义
四、矩阵的转置
⎛ a11 ⎜ a21 定义 4 设 A = ⎜ ⎜L ⎜ ⎝ am1 a12 a22 L am 2 L a1n ⎞ ⎛ a11 ⎜ ⎟ L a2 n ⎟ ⎜a , 称 ⎜ 12 L L⎟ L ⎜ ⎟ ⎜ L amn ⎠ ⎝ a1n a 21 L a m1 ⎞ ⎟ a 22 L a m 2 ⎟ 为 A 的 转置， 记为 L L L⎟ ⎟ a 2 n L a nn ⎟ ⎠
二、初等矩阵
定义 对单位矩阵 En 进行第一、二、三类初等变换后得到的矩阵分别称为第一、二、三类初等矩 阵. 三类初等矩阵 显然, 初等矩阵都是方阵. 经三类行初等变换得到的三类初等矩阵的形状如下. （1）第一类初等矩阵，也称之为对换矩阵。
或
Aλ = ( aij )
运算法则：
m× n
λ = ( aij λ )m×n
矩阵与数的乘法也称为矩阵的数乘运算.
(1) λ ( A + B) = λ A + λ B; ( 2 ) (λ + σ ) A = λ A + σ A; ( 3) (λσ ) A = λ (σ A); ( 4 ) 1⋅ A = A; ( 5) 0 ⋅ A = O .
n−2
−1 −1
例1 例2 例3
A ， A* = A
2
n −1
，其中 A 是 n 阶方阵。
设 n 阶方阵 A 适合 A + A − E = 0 ，证明： A +E 可逆。
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例4 例5
设 n 阶矩阵 A , B 满足 A + B = AB ，证明 A − E 可逆且 AB = BA 。 设 α 是 n × 1 非零矩阵，且 α
三、 矩阵的乘法
定义 3 设 A = aij
( )
m×n
， B = bij
( )
n× p
, 定义乘积 AB 是一个 m × p 矩阵
AB = ( cij )
它的第 ( i, j ) 元素为
m× p
cij = ∑ aik bkj = ai1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj
k =1
二、矩阵与数的乘法
定义 2 对任意正整数 m, n ， F
m×n
中任意一个矩阵 A = aij
( )
m×n
与 F 中任意一个数 λ 相乘得
到一个 m × n 矩阵 λ A（或 Aλ ） ， 称为左乘（右乘）. 它的第 ( i, j ) 元素等于 λ aij (或 aij λ )， 即
λ A = λ ( aij )m×n = ( λ aij )m×n
T
α = 1 ， E 是 n 阶单位矩阵，若 Q = E − 2αα T ，
则 Q 可逆，并求其逆。
§3.4
初等变换与初等矩阵
本节建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的关系, 并在此基础上, 给出用初等变换求逆矩阵 的方法.
一、消元法与矩阵的初等变换
例 1 用消元法求解下列线性方程组
⎧ −5 x2 + 10 x3 = 13 ⎪ ⎨ x1 − 3 x2 + 7 x3 = 2 ⎪x + 2x + 9x = 1 2 3 ⎩ 1
则称 A 是可逆的或非奇异的, 并且称 B 是其逆矩阵，记为 A . 注 1：对于方阵 A , 适合等式的矩阵 B 是唯一的(如果存在的话).
−1
可逆矩阵的性质（运算法则）
性质 1 若 A 是可逆阵, 则 A 也可逆, 且 ( A )
−1 −1 −1
= A;
−1
性质 2 若 A, B 都是 n 阶可逆阵, 则它们的乘积 AB 也可逆且 ( AB )
矩阵的运算
一、矩阵的加减法
定义 1 设有两个 m × n 矩阵 A = aij
( )
m×n
、B = bij
( )
m×n
, 定义 A + B 是一个 m × n 矩阵
且其第 ( i, j ) 元素等于 aij + bij 。 （红色部分不要做 ppt） 即
A + B = (aij + bij ) m×n ⎛ a11 + b11 ⎜ a +b = ⎜ 21 21 ⎜ L ⎜ ⎝ am1 + bm1
T T −1
−1
= c −1 A −1 ;
= ( A−1 )T .
二、可逆的条件
定义 2 设 Aij 是矩阵
⎛ a11 ⎜ a A = ⎜ 21 ⎜L ⎜ ⎝ an1
中元素 aij 的代数余子式, 矩阵
a12 L a1n ⎞ ⎟ a22 L a2 n ⎟ L L L⎟ ⎟ an 2 L ann ⎠
⎛ A11 ⎜ A ∗ A = ⎜ 12 ⎜L ⎜ ⎝ A1n
成立.
零矩阵性质: 对任意 m × n 矩阵 A , 有 A + O = O + A = A .
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( 4)
对每个 A = aij
( )
m×n
∈ F m×n , 取 − A = ( −aij )
m×n
,
则 A + (− A) = (− A) + A = O .
这里 − A 称为 A 的负矩阵. 矩阵的减法定义为: A − B = A + (− B) .
0 1 M 0 0 M 0
L 0 L L 0 L M L 1 L L 0 L M 0 L
0⎞ ⎟ 0⎟ M⎟ ⎟ 0⎟ ， 0⎟ ⎟ M⎟ 0⎟ ⎠
即任一 m × n 矩阵均与一个主对角线上元素等于 1 或 0 而其余元素均为 0 的 m × n 矩阵等价. 后者称为前者的标准形. 矩阵与其标准形等价.
n
注１： （1）相乘的条件: A 的列数与 B 的行数相等；
( 2 ) A 与 B 的积 AB 的第 ( i, j ) 元素是 A 的第 i 行元素与 B 的第 j 列元素分别相
乘以后再求和的结果.
⎛1⎞ ⎜ ⎟ 例 1 设 A = ( 3 0 −1) , B = 2 , 求 AB 与 BA 。 ⎜ ⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠
例4 例5 例6
设 A 为方阵，则 A + A 对称，而 A − A 反对称。
T T
证明： AA ， A A 均为对称阵。 设实矩阵 A 满足 AA =0，则 A =0。
T
T
T
§3.3
矩阵的逆
一、可逆的定义 定义 1 对于 n 阶方阵 A , 若存在一个 n 阶方阵 B , 使得
O ⎟ ⎜ ⎟ a nn ⎠ ⎝
（２） 数量矩阵——所有元素等于同一个数 k 的对角阵, 记为 A = diag (k , k ,L k ) 。 如果 B 与数量矩阵 A 都是 n 阶方阵, 则 AB = BA = kB . （３） 单位矩阵—— E = diag (1,1,L1) 方阵的方幂. 设 A 是一个 n 阶方阵, 定义
A1 = A; Ak +1 = Ak ⋅ A .
规定 A = E , A ≠ 0 。
0
幂运算法则:
(1) Ar As = Ar + s ; (2) ( Ar ) s = Ars .
注 4：一般地 ( AB ) ≠ A B . 只有当 AB = BA 时, 才有 ( AB ) = A B .
r r r r r r
A
B.
等价的性质:
(1) 反身性 A (2) 对称性 若 A
A; B, 则B A;
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高等代数第三章
矩阵
(3) 传递性 若 A
B, B
C, 则A C.
定理 （标准型） 任意一个 m × n 矩阵 A 都可通过有限次初等行变换和初等列变换化为下面 形式的 m × n 矩阵:
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜M ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜M ⎜0 ⎝