安徽省高考数学一轮复习 4.5数系的扩充与复数的引入课后自测理

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高考数学一轮复习第4章第5节数系的扩充与复数的引入

∴－ 2x－x＋y＝y＝－3， 2. 解得xy＝＝14，，故 x＋y＝5.
答案：5
5．已知复数 z＝1－3＋3ii2，则|z|＝________. 解析：z＝1－3＋3ii2＝－2－3＋2 i 3i ＝－2－3＋2 i3－i2－＋22＋23i3i＝－ 43＋14i，
答案：8
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解析：由题意知xx2－－11≠＝00，得 x＝－1.
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解析：当 m»＝第1 五时级，z1＝3－2i，故 z1＝z2；反之当 z1＝z2 时，有mm22＋＋mm＋－14＝＝－ 3，2，解得 m＝1 或 m＝－2.所以 m＝1 是 z1＝ z2 的充分不必要条件．
以 1 为半径的圆上.yx表示圆上的点与原点连线的斜率．
设过原点的直线为 y＝kx，由直线与圆相切，得 k|22＋k| 1＝1，
解得
k＝±
3 3.
故所求yx的取值范围为－ 33， 33.
答案：A
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安徽省高考数学一轮复习 4.5数系的扩充与复数的引入课

安徽省2015届高考数学一轮复习 4.5数系的扩充与复数的引入课后自测理(见学生用书第281页)A 组基础训练一、选择题1．(2013·福建高考)已知复数z 的共轭复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，∴z 在复平面内对应的点位于第四象限．【答案】 D2．(2013·皖南八校高三第三次联考)已知a ＋2i ＝(b ＋i)·i(a，b ∈R ，其中i 为虚数单位)，则|a ＋bi|为( )A ．3B ．1 C. 5 D ．2【解析】 ∵a ＋2i ＝－1＋bi ，∴a ＝－1，b ＝2，∴|a ＋bi|＝|－1＋2i|＝ 5.【答案】 C3．(2014·广州模拟)设a 是实数，且a 1＋i ＋1－i 2是实数，则a ＝( ) A.12B ．－1C ．1D ．2 【解析】 a 1＋i ＋1－i 2＝a 1－i 1＋i 1－i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12i ，由题意知a 2＋12＝0，∴a ＝－1. 【答案】 B4．(2013·课标全国卷Ⅰ)1＋2i1－i2＝( )A ．－1－12iB ．－1＋12iC ．1＋12iD ．1－12i 【解析】 1＋2i 1－i 2＝1＋2i 1－2i ＋i 2＝1＋2i －2i ＝1＋2i i 2＝－1＋12i. 【答案】 B5．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i【解析】设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，由z·z i ＋2＝2z ，得(a ＋bi)(a －bi)i ＋2＝2(a ＋bi)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2bi ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝2b ，2＝2a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，∴z ＝1＋i.【答案】 A二、填空题6．(2014·深圳模拟)若复数(a ＋i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是________．【解析】 (a ＋i) 2＝a 2－1＋2ai ，由题意知a 2－1＝0且2a ＜0，∴a ＝－1.【答案】－17．已知i 是虚数单位，则i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 014＝________. 【解析】 ∵i n ＋in ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0， ∴i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 014＝i ＋i 2＝i －1.【答案】 i －1 8．(2014·青岛质检)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2________.【解析】 ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，则z 2＋z 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0.【答案】 0三、解答题9．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.【解】 ∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1＝1－i 1＋i ＋2＝1－i 22＋2＝2－i ，设z 2＝a ＋2i(a ∈R)，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a)i ，又z 1·z 2是实数，∴a ＝4，从而z 2＝4＋2i.10．复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．【解】如图，z 1、z 2、z 3分别对应点A 、B 、C.∴AB →＝OB →－OA →，∴AB →所对应的复数为z 2－z 1＝(－2＋i)－(1＋2i)＝－3－i ，在正方形ABCD 中，DC →＝AB →，∴DC →所对应的复数为－3－i ，又DC →＝OC →－OD →，∴OD →＝OC →－DC →所对应的复数为z 3－(－3－i)＝(－1－2i)－(－3－i)＝2－i ，∴第四个顶点对应的复数为2－i.B 组能力提升图4－5－21．若i 为虚数单位，如图4－5－2所示复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H【解析】由图可得z ＝3＋i ，∴z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝3＋i 1－i 1＋i 1－i ＝4－2i 2＝2－i. 对应的点为(2，－1)，即点H.【答案】 D2．(2014·济南调研)若复数a ＋3i 1＋2i (a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为________．【解析】a ＋3i 1＋2i ＝a ＋3i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝a ＋65＋3－2a 5i ， ∵a ＋3i 1＋2i 是纯虚数，∴a ＋65＝0且3－2a 5≠0，∴a ＝－6. 【答案】－63．已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．【解】设z ＝x ＋yi(x ， y ∈R)，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.∵(z ＋ai)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋4a －a 2＞0，8a －2＞0，解得2＜a ＜6.∴实数a 的取值范围是(2,6).。

高考数学(人教)一轮复习配套课件4.5 数系的扩充与复数的引入(共56张PPT)

A.2+i B.2-i C.1+2i D.1-2i
(2)(2013·江苏高考)设z=(2-i)2(i为虚数单位),则复数z的模为
.
(3)(2013·上海高考)设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则
m=
.
【解题视点】(1)由复数相等的意义确定a,b的值，由共轭复数的概念确定答案. (2)先化简复数z,再求复数z的模. (3)由纯虚数的概念求解.
江西T1 安徽T1 北京T4
福建T1 广东T3 辽宁T2
天津T9 重庆T11 上海T3
湖北T11 江苏T2
三年 12年(13考)：新课标全国卷T2 陕西T4
考题
湖南T2 北京T2 江西T1
山东T1 广东T1 江苏T3
安徽T1 浙江T2 辽宁T3
福建T1 天津T1
11年(10考)：江苏T3 陕西T8 湖南T2
【规范解答】(1)选D.因为(a+i)(1+i)=a－1+(a+1)i=bi，所以a－ 1=0,a+1=b，即a=1,b=2，所以z=a+bi=1+2i,故复数z的共;i2-4i=3-4i，故|z|=5. 答案：5 (3)m2+m－2+(m2－1)i是纯虚数⇒ 答案：-2
【规律方法】求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与
虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a+bi(a,b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解.
2.复数 A.1
B=1.(-1 )
C.i
D.-i
【解析】选i D.

高考数学一轮复习第四章数系的扩充与复数的引入学案理含解析北师大版

高考数学一轮复习：第四节数系的扩充与复数的引入命题分析预测学科核心素养本节是高考的热点，主要考查复数的有关概念和复数的四则运算，一般出现在选择题的较靠前位置，比较简单，属于送分题．本节通过复数的有关概念和四则运算考查考生的数学运算核心素养和等价转化思想的应用．授课提示：对应学生用书第96页知识点一复数的有关概念及意义 1．复数的有关概念（1）复数的概念：形如a ＋b i （a ，b ∈R ）的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部Ｗ．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．（2）复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d （a ，b ，c ，d ∈R ）．（3）共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d （a ，b ，c ，d ∈R ）．（4）复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2Ｗ． 2．复数的几何意义（1）复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z （a ，b ）（a ，b ∈R ）．（2）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）平面向量OZ →．• 温馨提醒 •利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 是前提条件．1．若复数（a 2－3a ＋2）＋（a －1）i 是纯虚数，则实数a 的值为（） A ．1 B ．2 C ．1或2D ．－1解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，得a ＝2．答案：B2．（2021·合肥市高三二检）已知复数z 满足z ·（1－2i ）＝i （i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由z ·（1－2i ）＝i 可得z ＝i 1－2i ＝i （1＋2i ）1＋4＝－25＋15i ，则复数z 在复平面内对应的点在第二象限．答案：B3．（易错题）若a 为实数，且2＋a i1＋i＝3＋i ，则a ＝_________．解析：由2＋a i1＋i ＝3＋i ，得2＋a i ＝（3＋i ）（1＋i ）＝2＋4i ，即a i ＝4i ，因为a 为实数，所以a＝4．答案：4知识点二复数的代数运算 1．复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i （a ，b ，c ，d ∈R ），则（1）加法：z 1＋z 2＝（a ＋b i ）＋（c ＋d i ）＝（a ＋c ）＋（b ＋d ）i ；（2）减法：z 1－z 2＝（a ＋b i ）－（c ＋d i ）＝（a －c ）＋（b －d ）i ；（3）乘法：z 1·z 2＝（a ＋b i ）·（c ＋d i ）＝（ac －bd ）＋（ad ＋bc ）i ；（4）除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i （c ＋d i ≠0）．2．复数加法的运算定律设z 1，z 2，z 3∈C ，则复数加法满足以下运算律：（1）交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；（2）结合律：（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）Ｗ． • 温馨提醒 •（1）（1±i ）2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i ＝－i ．（2）－b ＋a i ＝i （a ＋b i ）．（3）i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i （n ∈N ＋）．（4）i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0（n ∈N ＋）．（5）|z |2＝|z －|2＝z ·z －，|z 2|＝|z －|2．（6）|z 1z 2|＝|z 1||z 2|，⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|（z 2≠0），|z n |＝|z |n．1．（2020·高考全国卷Ⅰ）若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝（）A ．0B ．1C ．2D ．2解析：法一：z 2－2z ＝（1＋i ）2－2（1＋i ）＝－2，|z 2－2z |＝|－2|＝2．法二：|z 2－2z |＝|（1＋i ）2－2（1＋i ）|＝|（1＋i ）（－1＋i ）|＝|1＋i||－1＋i|＝2．答案：D2．（2020·新高考全国卷Ⅰ）2－i1＋2i＝（） A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i解析：2－i 1＋2i ＝（2－i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝－5i5＝－i ．答案：D3．已知（1＋2i ）z －＝4＋3i ，则z ＝_________．解析：因为z －＝4＋3i 1＋2i ＝（4＋3i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝10－5i5＝2－i ，所以z ＝2＋i ．答案：2＋i授课提示：对应学生用书第97页题型一复数的有关概念1．（2021·湘潭模拟）若复数z 满足（1＋i ）z ＝2i ，z －是z 的共轭复数，则z －的虚部为（） A ．－i B ．1 C ．－1D ．i解析：由题意可知，z ＝2i1＋i＝1＋i ，故z －＝1－i ，所以其虚部为－1．答案：C2．（2020·高考全国卷Ⅰ）若z ＝1＋2i ＋i 3，则|z |＝（） A ．0 B ．1 C ． 2D ．2解析：∵z ＝1＋2i ＋i 3＝1＋2i －i ＝1＋i ，∴|z |＝12＋12＝2．答案：C3．（2021·衡水中学大联考）已知复数z ＝5i 2i －1（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：z ＝5i2i －1＝－5i （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝－i （1＋2i ）＝2－i ，即复数z 在复平面内对应的点（2，－1）位于第四象限．答案：D1．求解复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数有关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋b i （a ，b ∈R ）的形式，再根据题意求解．2．复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）⇔Z （a ，b ）⇔OZ →． 3．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．题型二复数的代数运算[例] （1）已知复数z ＝1＋2i1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 018＝（） A ．1＋i B ．1－i C ．iD ．0（2）（2021·兰州质检）已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝（） A ．－2i B ．2i C ．－2D ．2[解析] （1）法一：因为z ＝1＋2i1－i＝1＋2i （1＋i ）2＝i ，所以1＋z ＋z 2＋…＋z 2 018＝1×（1－z 2 019）1－z ＝1－i 2 0191－i ＝1－i 4×504·i 31－i＝i ．法二：因为z ＝1＋2i 1－i ＝1＋2i （1＋i ）2＝i ，所以1＋z ＋z 2＋…＋z 2 018＝1＋i ＋i 2＋…＋i 2 018＝504×（1＋i －1－i ）＋1＋i －1＝i ．（2）法一：由z ＝1＋ii＝1－i ，得z 2＝（1－i ）2＝－2i ．法二：由z i ＝1＋i ，得（z i ）2＝（1＋i ）2，则－z 2＝2i ，即z 2＝－2i ． [答案] （1）C （2）A复数代数形式运算问题的解题策略[题组突破]1．（2020·高考全国卷Ⅲ）若z －（1＋i ）＝1－i ，则z ＝（） A ．1－i B ．1＋i C ．－iD ．i解析：因为z －＝1－i 1＋i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝－i ，所以z ＝i ．答案：D2．若z ＝1＋2i ，则4izz －－1＝（）A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：由z ＝1＋2i ，得zz －＝5，∴4i zz －－1＝4i4＝i ．答案：C3．（2021·烟台高三下学期诊断）已知复数z ＝31＋2i（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z －等于（）A ．15－25iB ．15＋25iC ．35－65iD ．35＋65i解析：z ＝31＋2i ＝3（1－2i ）5＝35－65i ，z －＝35＋65i ．答案：D复数运算应用中的核心素养创新应用——复数的交汇应用问题[例] （1）（2021·益阳、湘潭调研）已知命题p ：若复数z 满足（z －i ）（－i ）＝5，则z ＝6i ，命题q ：复数1＋i 1＋2i 的虚部为－15i ，则下面为真命题的是（）A ．（非p ）且（非q ）B ．（非p ）且qC ．p 且（非q ）D ．p 且q（2）（2021·天津实验中学期中测试）已知复数z ＝⎝⎛⎭⎫cos θ－45＋⎝⎛⎭⎫sin θ－35i 是纯虚数（i 为虚数单位），则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝_________． [解析] （1）由已知可得，复数z 满足（z －i ）（－i ）＝5，所以z ＝5－i ＋i ＝6i ，所以命题p 为真命题；复数1＋i 1＋2i ＝（1＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝3－i 5，其虚部为－15，故命题q 为假命题，所以命题p 且（非q ）为真命题．（2）因为cos θ－45＝0，sin θ－35≠0⇒cos θ＝45，sin θ＝－35⇒tan θ＝－34，所以tan （θ－π4）＝－34－11－34＝－7．[答案] （1）C （2）－7求解复数与其他知识的交汇问题，一定要仔细运算，提升自身的数学运算素养．[题组突破]1．已知复数z ＝x ＋y i （x ，y ∈R ）满足|z －|≤1，则y ≥x ＋1的概率为（） A ．34－12πB ．14－12πC ．34＋12πD ．14＋12π解析：复数z ＝x ＋y i （x ，y ∈R ），|z －|≤1，它的几何意义是以O （0，0）为圆心，1为半径的圆以及内部部分．满足y ≥x ＋1的图像如图中圆内阴影部分所示，则概率P ＝π4－12×1×1π＝14－12π．答案：B2．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是（） A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4i D ．－3－4i答案：D。

2021年高考数学一轮复习第4单元平面向量数系的扩充与复数的引入测评理

2021年高考数学一轮复习第4单元平面向量数系的扩充与复数的引入测评理题组一真题集训1.[xx·全国卷Ⅲ]已知向量=,,=,,则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°2.[xx·全国卷Ⅱ]已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=()A.-8B.-6C.6D.83.[xx·全国卷Ⅰ]设(1+i)x=1+y i,其中x,y是实数,则|x+y i|= ()A.1B.C.D.24.[xx·全国卷Ⅱ]已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)5.[xx·北京卷]设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.[xx·全国卷Ⅱ]设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则()A.a⊥bB.|a|=|b|C.a∥bD.|a|>|b|7.[xx·全国卷Ⅰ]设有下面四个命题p1:若复数z满足∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;p4:若复数z∈R,则∈R.其中的真命题为()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p48.[xx·浙江卷]如图X7-1所示,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD 交于点O,记I1=·,I2=·,I3=·,则()图X7-1A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I39.[xx·天津卷]在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为.10.[xx·全国卷Ⅰ]已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .11.[xx·全国卷Ⅱ]设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.12.[xx·浙江卷]已知a,b∈R,(a+b i)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2= ,ab= .题组二模拟强化13.[xx·郑州质检]已知四边形ABCD中,G为CD的中点,则+(+)=()A.B.C.D.14.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量e= ()A.B.C.D.15.[xx·上饶重点中学联考]设复数z满足z2=3-4i,则|z|=()A.B.5C.D.116.[xx·柳州模拟]已知向量a=(1,2),b=(-3,2),若(ka+b)∥(a-3b),则实数k的值为()A.-B.C.-3D.317.[xx·宁夏石嘴山三模]设i为虚数单位,若z=(a∈R)是纯虚数,则a= ()A.-1B.0C.1D.218.[xx·武汉调研]在平面直角坐标系中,点M(,),P是以原点O为圆心的单位圆上的动点,则|+|的最大值为 ()A.1B.2C.3D.419.[xx·池州联考]设i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若z·=2(+i),则z=()A.-1-iB.-1+iC.1+iD.1-i20.[xx·北京西城区二模]设a,b是平面上的两个单位向量,a·b=,若m∈R,则|a+mb|的最小值为()A.B.C.D.21.[xx·湖州、衢州、丽水三市联考]已知O是△ABC的外心,∠C=45°,=m+n(m,n∈R),则m+n的取值范围是()A.B.[-,1)C.D.22.[xx·黄山二模]已知复数z=(a+i)(-3+a i)(a∈R),若z<0,则a= .23.[xx·常德一模]已知单位向量a,b满足|a+3b|=,则a与b的夹角为.24.[xx·渭南质检]已知向量a=(2,m),b=(-1,2),若a⊥b,c=a+b,则a在向量c方向上的投影为.25.[xx·长郡中学模拟]已知△ABC中,BA⊥AC,且∠ACB=60°,AC=2,=,若P是BC边上的动点,则·的取值范围为.小题必刷卷(七)1.A[解析] cos∠ABC==×+×=,又∠ABC∈[0°,180°],∴∠ABC=30°.2.D[解析] a+b=(4,m-2),∵(a+b)⊥b,∴(a+b)·b=12-2(m-2)=0,解得m=8.3.B[解析] 由已知得x+x i=1+y i,根据两复数相等的条件可得x=y=1,所以|x+y i|=|1+i|=.4.A[解析] 由题易知m+3>0,m-1<0,解得-3<m<1.5.D[解析] 若|a|=|b|成立,则以a,b为邻边组成的平行四边形为菱形,a+b,a-b表示的是该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以|a+b|=|a-b|不一定成立,从而不是充分条件;反之,若|a+b|=|a-b|成立,则以a,b为邻边组成的平行四边形为矩形,矩形的邻边不一定相等,所以|a|=|b|不一定成立,从而不是必要条件.故选D.6.A[解析] 将|a+b|=|a-b|两边平方,得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,于是有a·b=0,所以a⊥b.7.B[解析] 设z=a+b i(a,b∈R).=,若∈R,则b=0,此时z∈R,故命题p1为真命题;若z∈R,则b=0,此时=a-b i∈R,命题p4为真命题;z2=a2-b2+2ab i,z2∈R时,a=0或b=0,此时z为实数或纯虚数,命题p2为假命题.设z1=i,z2=4i,则z1z2∈R,但z1≠,命题p3为假命题.故选B.8.C[解析] 显然∠BOC为锐角,所以I1=·<0,I2=·>0,I3=·<0,如图所示,过点B作BM⊥AC 于M,过点A作AN⊥BD于N.三角形ABD与三角形ABC均为等腰三角形,所以BN=ND,AM=MC,所以<,<,∠AOB=∠COD>,所以I1>I3.所以I3<I1<I2.因此选C.9. [解析] ∵·=3×2×cos 60°=3,=+,∴·=+·(λ-)=×3+×4-×9-×3=-4,解得λ=.10.2[解析] |a+2b|===2.11. [解析] 因为λa+b与a+2b平行,所以存在唯一实数t,使得λa+b=t(a+2b),所以解得λ=t=.12.52[解析] 由(a+b i)2=3+4i,得a2+2ab i+b2i2=3+4i,即a2-b2+2ab i=3+4i,又a,b∈R,所以由复数相等的充要条件,得解得ab=2,a2=4,b2=1,因此a2+b2=5.13.A[解析] +(+)=+=,故选A.14.B[解析] 由题得=(3,-4),所以=5,所以与同方向的单位向量e==,-,故选B.15.A[解析] ==|3-4i|==5,所以=,故选A.16.A[解析] ∵(ka+b)∥(a-3b),∴10(2k+2)=-4(k-3),∴k=-,故选A.17.C[解析] z===-i,因为z是纯虚数,所以故a=1.18.C[解析] ∵|+|≤||+||,当且仅当与方向相同时取等号,∴|+|的最大值为||+||=2+1=3,故选C.19.C[解析] 设z=a+b i(a,b∈R),由z·=2(+i)得(a+b i)(a-b i)=2(a-b i+i),解得a=b=1,所以z=1+i.故选C.20.C[解析] ∵a·b=,∴|a+mb|2=a2+2ma·b+m2b2=m2+m+1=m+2+,则|a+mb|的最小值为,故选C.21.B[解析] 由题意可得∠AOB=90°,以OA,OB所在直线分别为x轴,y轴建立直角坐标系,如图所示,设A(1,0),B(0,1),则点C在优弧AB上.设C(cos α,sin α),则α∈,2π,显然=cos α+sin α,则m=cos α,n=sin α,则m+n=cos α+sin α=sinα+.由于α∈,2π,所以α+∈,,所以sinα+∈-1,,所以m+n∈[-,1),故选B.22. [解析] ∵z<0,∴z∈R,又∵z=(a+i)(-3+a i)=-4a+(a2-3)i,∴a2-3=0,解得a=±.当a=-时,z>0,不符合题意,∴a=.23. [解析] 由|a+3b|=,得|a+3b|2=a2+6a·b+9b2=13.因为a,b是单位向量,所以6a·b=3⇒a·b=,所以cos<a,b>==,又因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=.24. [解析] 向量a=(2,m),b=(-1,2),若a⊥b,则a·b=-2+2m=0,解得m=1,则c=a+b=(1,3),所以a在向量c方向上的投影为==.25.[2,6][解析] 建立平面直角坐标系,如图所示.由BA⊥AC,且∠ACB=60°,AC=2,=,得A(0,0),B(2,0),C(0,2),E(,1).设P(x,y),则·=x+y,又直线BC的方程为y=-x+2,所以·=x+y=x+2,又0≤x≤2,所以·的取值范围为[2,6].。

高中数学_数系的扩充和复数的概念教学设计学情分析教材分析课后反思

《数系的扩充与复数的概念》教学设计【教学目标】1．了解数系的扩充过程，理解复数的有关概念以及符号表示；2．掌握复数的代数形式和几何表示法，理解复平面、实轴、虚轴等概念的意义掌握复数集C与复平面内所有点成一一对应；【教学重点】复数的有关概念,复数的代数形式和复数的向量表示【教学难点】复数相等的条件,复数向量表示．【教学方法】点拨教学与小组合作【教学过程】一、创设情景问题 1 从你认识自然数到现在，数系都在哪几个阶段经历了哪几次扩充？2 为什么要进行数系的扩充？设计意图：学生已经学习过一些数集，在此基础之上，帮助学生重新建构数集的扩充过程，不仅通过对前几次数系扩充进行了的梳理，也为数系的为何要再一次扩充打下了基础，让学生感受到数系扩充的合理性，并能自我总结出数系扩充的一般原则。

二探究新知（一）数系的扩充问题如何在实数范围内解x2 +1=0这样的方程？设计意图由于有了前面问题的铺垫，这个问题的解决，使新数的引入变得自然了，由教师引导同学们回答1 引入新数i数学家欧拉引入一个新数i，i叫做虚数单位，并规定：（1）i2= -1 ；（2）实数可以与它加法和乘法运算，原有的加、乘运算律仍然成立．这样出现了很多新数，如2+i,-3+4i,2i等，由于满足乘法交换律及加法交换律，从而这些结果可以写成a+bi ，a ,b∈R2形成新数集所有i实数实数形式的都应该在新的数集里面，并+⨯且新的数集里面的数都可以写成这种形式，我们不妨把这种形式写成,,+∈∈，这就是我们把实数集进行扩充后得到的数所具有a bi a Rb R的一般形式。

（二）复数的概念1 复数概念形如的数，我们把它们叫做复数．注意（1）复数的代数形式z=a+bi、(a ,b∈R,)a叫实部、b叫虚部.（2）全体复数所形成的集合{}=+∈∈叫做复数集，C a bi a R b R|,一般用字母C表示2 概念运用判断正误（1）z=1-ai (a ∈R)是一个复数（2）z=-2i+0.1实部为-2，虚部为0.1（3）10-2i2＞0（4）z=a+3i其中a为实部设计意图这几个题目采取学生口答形式，通过分析题目，使学生对复数概念的认识达到及时巩固的效果（三）复数分类探究（1） z=a+bi(a ,b∈R)中a,b在什么条件下为实数？（2）复数集C和实数集R之间有什么关系?设计意图采用学生先独立思考在小组讨论方式解决，这样由问题1到2的过渡，让学生对复数集C和实数集R关系的理解能较为容易些。

高考数学总复习课时提升练习4.5数系的扩充与复数的引入

高考数学总复习课时提升练习4.5数系的扩充与复数的引入一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2014·辽宁高考)设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z= ( )A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2i【解析】选A.由(z-2i)(2-i)=5得z=+2i=+2i=2+i+2i=2+3i.【一题多解】选A.设z=a+bi(a,b∈R),则由(z-2i)(2-i)=5,得z-2i===2+i,又z-2i=a+bi-2i=a+(b-2)i,所以a+(b-2)i=2+i,所以得故z=2+3i.2.(2014·浙江高考)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当a=b=1时,(a+bi)2=(1+i)2=2i,反过来(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i, 则解得或所以“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分不必要条件.3.(2015·合肥模拟)若z=(i为虚数单位),则z的共轭复数为( )A.+iB.-+iC.+iD.-i【解析】选A.由题意,z====-i,则其共轭复数=+i,故选A.4.(2015·芜湖模拟)已知复数z=x+yi(x,y∈R),且有=1+yi,是z的共轭复数,那么的值为( )A.-iB.+iC.+iD.-i【解析】选B.因为==1+yi,所以x+xi=2+2yi,所以x=2,y=1,所以z=2+i,所以=2-i,所以===+i.5.(2015·新余模拟)设复数z=1+bi(b∈R)且|z|=2,则复数z的虚部为( )A. B.± C.±1 D.±i【解析】选B.z=1+bi,且|z|=2,即1+b 2=4,解得b=±.6.复数z=(m∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解题提示】先把z化成a+bi(a,b∈R)的形式,再进行判断.【解析】选A.z===+i,显然>0与->0不可能同时成立,则z=对应的点不可能位于第一象限.【一题多解】本题还可用以下方法求解.z==+i,设x=, y=,则2x+y+2=0.又直线2x+y+2=0不过第一象限,则z=对应的点不可能位于第一象限.【方法技巧】复数问题的解题技巧(1)根据复数的代数形式,通过其实部和虚部可判断一个复数是实数,还是虚数.(2)复数z=a+bi,a∈R,b∈R与复平面上的点Z(a,b)是一一对应的,通过复数z的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置.7.计算= ( )A.-iB.+iC.-iD.+i【解析】选D.原式===-=-=+i.【一题多解】本题还可有如下解法:原式===+i.二、填空题(每小题5分,共15分)8.计算= .【解析】原式===(-i)2014=i2014=(i4)503·i2=-1.答案:-19.(2015·淮南模拟)已知复数z1=cos23°+isin23°和复数z2=sin53°+isin37°,则z1·z2= .【解析】z1·z2=(cos23°+isin23°)(sin53°+isin37°)=(cos 23°sin 53°-sin 23°sin 37°)+(sin 23°sin 53°+cos 23°sin 37°)i=(cos 23°sin 53°-sin 23°cos 53°)+(sin 23°cos 37°+cos 23°sin 37°)i=sin 30°+isin 60°=+i.答案:+i10.若定义=ad-bc(a,b,c,d为复数),则= .【解题提示】充分利用定义代入求解即可.【解析】由已知定义可知=2i×[(3-2i)i]-(3i)2=-2(3-2i)+9=3+4i.答案:3+4i(20分钟40分)1.(5分)若复数z=(a2+2a-3)+(a-1)i为纯虚数(i为虚数单位),则实数a的值为( ) A.1 B.-3 C.1或-3 D.3【解析】选 B.复数z=(a2+2a-3)+(a-1)i为纯虚数(i为虚数单位),则解得a=-3.【误区警示】解答本题易误选C,出错的原因是对纯虚数的概念理解不清,忽视了a-1≠0.【加固训练】设i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a为.【解析】若===+i为纯虚数,则故a=2.答案:22.(5分)设a是实数,若复数+(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x+y=0上,则a的值为( )A.-1B.0C.1D.2【解析】选B.因为+=+i+-i=++i,又复数+(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x+y=0上,故++=0,解得a=0.3.(5分)(2015·咸阳模拟)设复数z1=1-3i,z2=-i,则在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选A.==(1-3i)i=3+i,则在复平面内对应的点在第一象限.4.(12分)若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根.(1)试求b,c的值.(2)1-i是否是所给方程的根,试给出判断.【解题提示】(1)由复数相等列关于b,c的方程组求解.(2)代入方程验证即可.【解析】(1)由于1+i是关于x的实系数方程x 2+bx+c=0的一个根,则(1+i)2+b(1+i)+c=0,整理得(b+c-1)+(2+b)i=0,则解得即b=-2,c=3.(2)由(1)得方程为x2-2x+3=0,把1-i代入方程左边得(1-i)2-2(1-i)+3=1-2i+2i2-2+2i+3=1-2-2+3=0,即1-i满足方程x 2-2x+3=0,所以1-i是所给方程的根.【加固训练】已知复数z=bi(b∈R),是实数,i是虚数单位.(1)求复数z.(2)若复数(m+z)2所表示的点在第一象限,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为z=bi(b∈R),所以====+i.又因为是实数,所以=0,所以b=-2,即z=-2i.(2)因为z=-2i,m∈R,所以(m+z)2=(m-2i)2=m2-4mi+4i2=(m2-4)-4mi,又因为复数(m+z)2所表示的点在第一象限,所以解得m<-2,即m∈(-∞,-2).5.(13分)(能力挑战题)若虚数z同时满足下列两个条件:①z+是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.【解题提示】设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),根据条件①②列关于实数a,b的方程组,把复数问题转化为实数的计算.【解析】存在.设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z+=a+bi+=a+b i.又z+3=a+3+bi,z+是实数,根据题意有因为b≠0,所以解得或所以z=-1-2i或z=-2-i.【加固训练】已知关于x的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.(1)求实数a,b的值.(2)若复数满足|-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.【解题提示】(1)把b代入方程,根据复数的实部、虚部等于0解题即可. (2)设z=s+ti(s,t∈R),根据所给条件可得s,t间的关系,进而得到复数z对应的轨迹,根据轨迹解决|z|的最值问题.【解析】(1)因为b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根,所以(b2-6b+9)+(a-b)i=0,所以解得a=b=3.(2)设z=s+ti(s,t∈R),其对应点为Z(s,t),由|-3-3i|=2|z|,得(s-3)2+(t+3)2=4(s2+t2),即(s+1)2+(t-1)2=8,所以Z点的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,2为半径的圆,如图所示,当Z点在OO1的连线上时,|z|有最大值或最小值. 因为|OO 1|=,半径r=2,所以当z=1-i时,|z|有最小值且|z|min=.。

高考数学一轮复习数系的扩充与复数的引入

第四节数系的扩充与复数的引入[考纲传真 ] (教师用书独具 )1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件 .2.了解复数的代数表示法及其几何意义 .3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．(对应学生用书第 63 页 )[基础知识填充 ]1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如 a ＋bi(a ，b ∈ R )的数叫复数，其中 a 叫做复数 z 的实数， b 叫做复数 z 的虚部 (i 为虚数单位 )．(2)分类：满足条件 (a ，b 为实数 )a ＋bi 为实数 ?b ＝ 0复数的分类a ＋bi 为虚数 ?b ≠ 0a ＋bi 为纯虚数 ? a ＝0 且b ≠ 0(3)复数相等： a ＋bi ＝ c ＋ di? a ＝c ， b ＝ d(a ， b ， c ， d ∈ R )．(4)共轭复数： a ＋bi 与 c ＋di 共轭 ? a ＝c ，b ＝－ d(a ， b ， c ， d ∈R )．→ 的模 r 叫做复数 z ＝a ＋bi 的模，即 |z|＝|a ＋bi|＝ a 2＋b 2(5)复数的模：向量 OZ . 2．复数的几何意义复数 z ＝a ＋bi 复平面内的点 Z(a ，b)平面向量→OZ ＝(a ， b)．3．复数代数形式的四则运算(1)运算法则：设 z 1＝a ＋bi ， z 2＝ c ＋ di ，a ，b ，c ，d ∈ R .z 1±z 2 ＝(a ＋ bi) ±(c ＋di) ＝(a ±c)＋(b ±d)i.z 1·z 2＝(a ＋bi)(c ＋di) ＝(ac － bd)＋(bc ＋ad)i.z 1 a ＋bi ac ＋bd bc －ad ＝＋＝ 2 2 ＋ 2 2i(c ＋di ≠0)． z 2 c ＋d c ＋d c di(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．1如图 4-4-1 所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几→→→→→何意义，即 OZ＝OZ1＋ OZ2，Z1Z2＝ OZ2－OZ1.图 4-4-1[基本能力自测 ]1．(思考辨析 )判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数 z＝ a＋ bi(a，b∈R)中，虚部为 bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．()(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 . ()[答案] (1)×(2)×(3)×(4)√2.(教材改编 )如图 4-4-2，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点是 ()图 4-4-2A．A B．BC．C D．DB[共轭复数对应的点关于实轴对称． ]3．(2017 ·全国卷Ⅲ )复平面内表示复数z＝i( －2＋i) 的点位于 ()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限C[ ∵z＝i( －2＋i) ＝－ 1－ 2i，∴复数 z＝－ 1－ 2i 所对应的复平面内的点为Z(－ 1，－ 2)，位于第三象限．故选 C．]．·北京高考复数1＋2i＝()4 (2016)2－i2A ．iB ．1＋iC ．－ iD ．1－i1＋2i 1＋ 2i 2＋i 5i＝i.A [ 法一： 2－i ＝ 2－i 2＋i ＝ 5 1＋2i i 1＋2i i 1＋2i ＝ i.]法二： 2－i ＝ i 2－ i ＝ 2i ＋15．复数 i(1 ＋i) 的实部为 ________．－ 1 [i(1＋ i)＝－ 1＋ i ，所以实部为－ 1.](对应学生用书第 64 页)复数的有关概念z(1)(2016 全·国卷Ⅲ )若 z ＝ 4＋ 3i ，则 |z| ＝()A ．1B ．－14 343C ．5＋ 5iD ．5－5i(2)i 是虚数单位，若复数 (1－2i)(a ＋i) 是纯虚数，则实数 a 的值为 ________．(1)D (2)－2 [(1) ∵z ＝4＋3i ，∴ z ＝ 4－ 3i ，|z|＝ 42＋ 32＝5，z4－ 3i 4 3∴ |z|＝ 5 ＝5－5i.(2)由(1－ 2i)(a ＋ i)＝ (a ＋2)＋ (1－2a)i 是纯虚数可得 a ＋ 2＝ 0,1－ 2a ≠0，解得 a＝－ 2.][规律方法 ]1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 a ＋bi(a ，b ∈ R )的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z ，然后利用复数模的定义求解．i[变式训练 1](1)(2017 合·肥二次质检 )已知 i 为虚数单位，复数 z ＝2＋i 的虚部为() 【导学号： 79170142】312A．－5B．－512C．5D．51＋i ，则 |z|＝ ()(2)设 z＝1＋i12A．2B．23C．2D．2i i 2－ i1＋2i122(1)D (2)B[(1) 复数 z＝2＋i＝2＋i2－ i＝5＝5＋5i ，则其虚部为5，故选 D．11－i11 1 2 1 22(2)z＝1＋i＋ i＝2＋i＝2＋2i ，|z|＝2＋2＝2 .]复数代数形式的四则运算(1)(2015 全·国卷Ⅰ )已知复数 z 满足 (z－1)i ＝1＋i，则 z＝()A．－ 2－i B．－ 2＋iC．2－ i D．2＋ia(2)(2016 天·津高考 )已知 a，b∈R，i 是虚数单位，若(1＋i)(1 － bi) ＝a，则b的值为________．i＋ 1(1)C(2)2[(1) ∵(z－ 1)i ＝i ＋1，∴ z－1＝i＝1－i，∴z＝ 2－ i，故选 C．(2)∵(1＋ i)(1 －bi)＝ 1＋ b＋ (1－b)i ＝a，又 a， b∈R，∴ 1＋b＝a 且 1－ b＝ 0，a得 a＝2，b＝1，∴b＝2.][规律方法 ] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度2＝±2i； (2)1＋i＝ i；(3)1－i＝－ i； (4)－b＋ai＝ i(a＋bi) ；(5)i 4n＝1；(1)(1 i)±1－i1＋ii4n＋1＝i ；i4n＋2＝－ 1；i4n＋3＝－ i(n∈N)．4[变式训练 2](1)已知1－ i2)z＝1＋i(i 为虚数单位 )，则复数 z＝(【导学号： 79170143】A．1＋ i B．1－i C．－ 1＋i D．－ 1－i1＋i 8＋22 018(2)已知 i 是虚数单位，1－i－i ＝________.11－i21－ i2－2i－2i 1－i(1)D(2)1＋i [(1)由z＝1＋ i，得 z＝＋＝＋i ＝＋－i＝－ 1－1 i1 1 i1 i，故选 D．1＋ i 8 2 2 1009(2)原式＝1－i ＋1－i＝i8＋21 009＝i8＋i1 009－2i＝1＋i4×252＋1＝1＋i.]复数的几何意义(1)(2017 北·京高考 )若复数 (1－ i)(a＋ i) 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是 ()A．(－∞， 1)B．(－∞，－ 1)C．(1，＋∞ )D．(－1，＋∞ )1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋ i，则 z12＝() (2)设复数 z zA．－5B．5C．－ 4＋i D．－ 4－i(1)B(2)A[(1) ∵(1－ i)(a＋i) ＝a＋i－ ai －i 2＝a＋1＋(1－a)i ，又∵复数 (1－i)(a＋i) 在复平面内对应的点在第二象限，a＋1<0，∴解得 a<－1.1－ a>0，故选 B．(2)∵z1＝ 2＋ i 在复平面内的对应点的坐标为 (2,1)，又 z1与 z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则 z2的对应点的坐标为 (－2,1)即 z2＝－ 2＋ i，∴z1z2＝(2＋ i)( －2＋i) ＝i 2－4＝－ 5.]5[规律方法 ] →1.复数 z 、复平面上的点 Z 及向量 OZ 相互联系，即 z ＝a ＋bi(a ，→b ∈ R )? Z(a ，b)? OZ.2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[ 变式训练 3]a b (2017 ·郑州二次质检 )定义运算＝ ad － bc ，则符合条件c dz 1＋i的复数 z 对应的点在 ()2 ＝0 1A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A [ 由题意得 z ×1－2(1＋i) ＝0，则 z ＝2＋2i 在复平面内对应的点为 (2,2)，位于第一象限，故选 A ． ]6。

高考高考数学一轮复习第4讲数系的扩充与复数的引入知能训练轻松闯关理北师大

第4讲数系的扩充与复数的引入1．已知i 是虚数单位，则i2 0171＋i＝()A.1－i 2B.1＋i 2C.－1－i 2D.－1＋i 2解析：选B.i 2 0171＋i ＝i 1＋i ＝i （1－i ）2＝1＋i2，选B.2．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝() A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i解析：选C.因为(z －1)i ＝i ＋1，所以z －1＝i ＋1i＝1－i ，所以z ＝2－i.3．已知a ∈R ，若1＋a i2－i为实数，则a ＝()A ．2B ．－2C ．－12 D.12解析：选C.1＋a i 2－i ＝（1＋a i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝2＋i ＋2a i －a 5＝2－a 5＋1＋2a 5i ，因为1＋a i 2－i 为实数，所以1＋2a 5＝0，所以a ＝－12.4．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝() A ．－7 B ．7 C ．－4 D ．4解析：选A.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i 2＝1＋4i ＋4i 2＝－3－4i ，所以－3－4i ＝a ＋b i ，则a ＝－3，b ＝－4，所以a ＋b ＝－7，故选A.5．复数2－i31－2i的共轭复数为()A ．iB ．－iC ．22－iD ．－22＋i解析：选B.2－i 31－2i ＝2＋i 1－2i ＝i （2＋i ）i （1－2i ）＝i （2＋i ）2＋i＝i ，所以所求的共轭复数为－i ，故选B.6．设z 1，z 2是复数，则下列命题中为假命题的是() A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22解析：选D.对于A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，是真命题；对于B ，C 易判断是真命题；对于D ，若z 1＝2，z 2＝1＋3i ，则|z 1|＝|z 2|，但z 21＝4，z 22＝－2＋23i ，是假命题．7．已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m (1＋i)＝1＋n i ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n i m －n i 2＝________．解析：由m (1＋i)＝1＋n i ，得m ＋m i ＝1＋n i ，即m ＝n ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n i m －n i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝i 2＝－1.答案：－18．已知m ∈R ，复数m ＋i 1＋i －12的实部和虚部相等，则m ＝________．解析：m ＋i 1＋i －12＝（m ＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）－12＝（m ＋1）＋（1－m ）i 2－12＝m ＋（1－m ）i 2，由已知得m ＝1－m ，则m ＝12.答案：129．已知复数z ＝4＋2i（1＋i ）2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则m ＝________．解析：z ＝4＋2i （1＋i ）2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i2i2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5. 答案：－510．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________．解析：因为|z －2|＝（x －2）2＋y 2＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max＝31＝ 3. 答案： 311．计算：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i；(2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2；(3)1－3i （3＋i ）2. 解：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i 2＋i ＝i （2－i ）5＝15＋25i. (2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (3)1－3i （3＋i ）2＝（3＋i ）（－i ）（3＋i ）2＝－i3＋i＝（－i ）（3－i ）4＝－14－34i.12．已知复数z 的共轭复数是z ，且满足z ·z ＋2i z ＝9＋2i.求z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i. 因为z ·z ＋2i z ＝9＋2i ，所以(a ＋b i)(a －b i)＋2i(a ＋b i)＝9＋2i ，即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝9＋2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－2b ＝9，①2a ＝2.②由②得a ＝1，代入①，得b 2－2b －8＝0. 解得b ＝－2或b ＝4.所以z ＝1－2i 或z ＝1＋4i.1．已知复数(1＋i)(a ＋b i)＝2＋4i(a ，b ∈R )，则函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋π6＋b 图像的一个对称中心是() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π18，1 解析：选D.因为(1＋i)(a ＋b i)＝2＋4i ，所以a ＋b i ＝2＋4i 1＋i ＝（2＋4i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3＋i ，所以a ＝3，b ＝1.f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋1，令3x ＋π6＝k π，k ∈Z ，所以x ＝－π18＋k π3，k ∈Z ，令k ＝1，得x ＝5π18，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋1的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π18，1，故选D.2．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，则x ＋y ＝________．解析：因为x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，所以1＋i 2x ＋1＋2i 5y ＝1＋3i10×5，利用实部和虚部对应相等可知x ＋y ＝4. 答案：43．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭复数； (3)对应的点在x 轴上方．解：(1)根据复数相等的充要条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12，解得m ＝－1.(2)根据共轭复数的定义得 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16，解得m ＝1.(3)根据复数z 对应点在x 轴上方可得m 2－2m －15＞0，解得m ＜－3或m ＞5.4．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．解：z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13（a ＋5）（a －1）＋(a 2＋2a －15)i. 因为z 1＋z 2是实数，所以a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. 因为a ＋5≠0，所以a ≠－5，故a ＝3.。

2024年高考数学一轮复习专题十二数系的扩充与复数的引入专题检测含解析新人教A版

专题十二数系的扩充与复数的引入专题检测1.(2017安徽黄山二模,2)复数z =(a +1)+(a 2-3)i(i 为虚数单位),若z <0,则实数a 的值是( ) A.√3 B.1 C.-1 D.-√3答案 D 由题意得{a +1<0,a 2-3=0,解得a =-√3.故选D.2.(2024河南濮阳零模,1)设复数z 满意|z -3|=2,z 在复平面内对应的点为M (a ,b ),则M 不行能为 ( )A.(2,√3)B.(3,2)C.(5,0)D.(4,1)答案 D 设z =a +b i,因为|z -3|=2,所以(a -3)2+b 2=4,阅历证M (4,1)不满意,故选D.3.(2024河北省级示范性中学联合体3月联考,1)下列各式的运算结果为实数的是 ( )A.-i(1+i)B.i(1-i)C.(1+i)-(1-i)D.(1+i)(1-i)答案 D A,-i(1+i)=1-i;B,i(1-i)=1+i;C,(1+i)-(1-i)=2i;D,(1+i)(1-i)=2.故选D . 4.(2024九师联盟9月质量检测,1)已知i 为虚数单位,则复数(2-i)i 3的虚部为( )A.-2B.2C.-1D.1答案 A 本题主要考查复数的运算及复数的有关概念,考查的核心素养是数学运算.(2-i)i 3=(2-i)·(-i)=-2i+i 2=-1-2i,其虚部为-2,故选A .5.(2024江西红色七校其次次联考,2)若复数z =(2+a i)(a -i)在复平面内对应的点在第三象限,其中a ∈R,i 为虚数单位,则实数a 取值范围为 ( )A.(-√2,√2)B.(-√2,0)C.(0,√2)D.[0,√2)答案 B z =(2+a i)(a -i)=3a +(a 2-2)i 在复平面内对应的点在第三象限,∴{3a <0,a 2-2<0,解得-√2<a <0.故选B .6.(2024贵州4月模拟,5)据记载,欧拉公式e i x =cos x +isin x (x ∈R)是由瑞士闻名数学家欧拉发觉的,该公式被誉为“数学中的天桥”,特殊是当x =π时,得到一个令人着迷的美丽恒等式e πi +1=0,将数学中五个重要的数(自然对数的底数e,圆周率π,虚数单位i,1和0)联系到了一起,有些数学家评价它是“最完备的数学公式”.依据欧拉公式,若复数e π4i 的共轭复数为a ,则a = ( )A.-√22-√22iB.-√22+√22iC.√22+√22iD.√22-√22i答案 D 复数e π4i =cos π4+isin π4=√22+√22i,则其共轭复数为a =√22-√22i,故选D.7.(2024辽宁省试验中学、大连八中、大连二十四中等期末,7)如图,在复平面内点P 对应的复数z 1=2+i,将点P 绕坐标原点O 逆时针旋转π6到点Q ,则点Q 对应的复数z 2的虚部为 ( )A.√3-12B.√32+1C.(√3-12)iD.(√32+1)i答案 B 设P 点对应的向量为aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,向量aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕坐标原点O 逆时针旋转π6得到aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为(2+i)·(cosπ6+isin π6)=(2+i)(√32+12i )=(√3-12)+(√32+1)i,∴点Q 对应的复数z 2的虚部为√32+1.故选B.8.(2024山西太原模拟,3)设复数z =1-√3i(i 是虚数单位),则a a 的虚部为 ( )A.√32iB.-√32C.√32D.-√32i答案 C ∵z =1-√3i,∴a a =a 2a ·a =(1+√3i)2|a |2=1+2√3i -34=-12+√32i . ∴a a 的虚部为√32.故选C .。

安徽大学附中高考数学一轮复习数系的扩充与复数的引

安徽大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习检测：数系的扩充与复数的引入本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设z 为复数z 的共轭复数，且i i z 21+=⋅，则z 等于( )A ．i -2B ．i +2C ．i 21+D ．i 21- 【答案】B2．已知复数z 满足2z i i ⋅=-，i 为虚数单位，则z 的虚部是( )A ．-2iB ．2iC ．-2D ．2【答案】C3．计算：2(1)i i ÷+等于( )A ．1+iB ．1—iC ．—1+iD ．—1—i 【答案】A4．已知,1a i a R i -∈+为纯虚数，则a 的值为( ) A ．1B ．－1 CD．【答案】A 5．若复数2(R,12a i a ii -∈+为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．4B ． 4-C ．1D ． 1- 【答案】A6．已知复数i z 311-=，i z 2322-=，则21z z ⋅等于( )A ． 8B ． 8-C ． i 8D ． i 8- 【答案】C7．在复平面内，复数12z i=+对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D8．在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4+8iB ．8+2iC ．2+4iD ．4+i【答案】C9．实部为5，模与复数43-i 的模相等的复数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A 10．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2i)(1+i)z a =-在复平面内对应的点为M ，则“a =1”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 11．若复数)()2(225222R a i x x x x x ∈--+-+-为纯虚数，则x 的值为( ) A ．2．B ． -1.C ．21-．D ．21．【答案】D 12．若，则复数z 在平面内所对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．复数2i 1iz =-(i 为虚数单位)的虚部是____________ 【答案】114．复数2(1)z i i =+的虚部为____________ 【答案】-115．设12z i =-，213z i =-，则虚数215z i z z =+的实部为．【答案】016．复数i z +=2的共轭复数为 .【答案】i -2三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．实数m 为何值时，复数z=(m 2+5m+6)+（m 2-2m-15）i 对应的点在：(1）x 轴上方；(2）直线x+y+5=0上.【答案】(1)若复数Z 对应的点在x 轴上方，则m 2-2m-15>0,解得m<－3或m>5(2)复数z 对应的点为（m 2+5m+6，m 2-2m-15），∵z 对应的点在直线x+y+5=0上，∴（m 2+5m+6）+（m 2-2m-15）+5=0，整理得2m 2+3m-4=0，解得m=（-3±41 ）×1418．设A 、B 、C 分别是复数Z 0=ai ，Z 1=12+bi ，Z 2=1+ci(其中a ，b ，c 都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线Z=Z 0cos 4t+2Z 1cos 2tsin 2t+Z 2sin 4t (t ∈R)与△ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点．【答案】曲线方程为：Z=aicos 4t+(1+2bi)cos 2tsin 2t+(1+ci)sin 4t=(cos 2tsin 2t+sin 4t)+i(acos 4t+2bcos 2tsin 2t+csin 4t)∴ x=cos 2tsin 2t+sin 4t=sin 2t(cos 2t+sin 2t)=sin 2t ．(0≤x ≤1)y=acos 4t+2bcos 2tsin 2t+csin 4t=a(1－x)2+2b(1－x)x+cx 2即 y=(a －2b+c)x 2+2(b －a)x+a (0≤x ≤1)． ①若a －2b+c=0，则Z 0、Z 1、Z 2三点共线，与已知矛盾，故a －2b+c ≠0．于是此曲线为轴与x 轴垂直的抛物线．AB 中点M ：14+12(a+b)i ，BC 中点N ：34+12(b+c)i ．与AC 平行的中位线经过M(14，12(a+b))及N(34，12(b+c))两点，其方程为 4 (a －c)x+4y －3a －2b+c=0．(14≤x ≤34)． ② 令 4(a －2b+c)x 2+8(b －a)x+4a=4(c －a)x+3a+2b －c ．即4(a －2b+c)x 2+4(2b －a －c)x+a －2b+c=0．由a －2b+c ≠0，得4x 2+4x+1=0，此方程在[14，34]内有惟一解： x=12．以x=12代入②得， y=14(a+2b+c)． ∴ 所求公共点坐标为(12，14(a+2b+c))．19．设复数z 满足z =，且()12i z +(i 是虚数单位)在复平面上对应的点在直线y x =上，求z .【答案】设z x yi =+（x y R ∈、）∵||z =2210x y +=而(12)(12)()(2)(2)i z i x yi x y x y i +=++=-++又∵()12i z +在复平面上对应的点在直线x y =上，∴22x y x y -=+ 即22103x y x y⎧+=⎨=-⎩，∴31x y =⎧⎨=-⎩或31x y =-⎧⎨=⎩ 即(3)z i =±-20．设复数i z +=2，若21z ai b i ++=+，求实数,a b 的值．【答案】2,3-=-=b a21．设。

2019版高考数学文一轮复习教师用书：第四章第四节数

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第四节数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ ―→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ ―→.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律设z 1，z 2，z 3∈C ，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2．(2017·全国卷Ⅱ)3＋i1＋i ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选D3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i2＝2－i.3．已知x ，y ∈R ，i 是虚数单位，且(2x ＋i)(1－i)＝y ，则y 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2解析：选D (2x ＋i)(1－i)＝(2x ＋1)＋(1－2x )i ＝y ，所以1－2x ＝0，解得x ＝12，所以y＝2x ＋1＝2.4．若复数z ＝(a －1)＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点在直线y ＝x ＋2上，则a 的值等于( )A ．1B ．2C ．5D ．6解析：选B 因为复数z ＝(a －1)＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点为(a －1,3)，由题意得点在直线y ＝x ＋2上，所以3＝a －1＋2，解得a ＝2.5．若复数z 满足z i ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数是________．解析：由z i ＝1＋i 可得z ＝1＋i i ＝(1＋i )(－i )i (－i )＝1－i ，所以z 的共轭复数是1＋i.答案：1＋i6．设复数z 1＝2－i ，z 2＝a ＋2i(i 是虚数单位，a ∈R )，若z 1z 2∈R ，则a ＝________. 解析：依题意，复数z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i 是实数，因此4－a ＝0，a＝4.答案：4考点一复数的有关概念 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]1．(2018·云南一检)已知i 为虚数单位，则1－i 的共轭复数为( )A ．－12＋32iB.12＋32i C ．－12－32iD.12－32i 解析：选C 因为1＋2i 1－i ＝(1＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－12＋32i ，所以其共轭复数为－12－32i.2．(2017·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22C. 2D ．2解析：选C 因为z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i(1－i)＝1＋i ，所以|z |＝ 2.3．(2017·天津高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i 为实数，则a 的值为________．解析：由a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －15－2＋a 5i 是实数，得－2＋a5＝0，所以a ＝－2.答案：－24．(2017·浙江高考)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.解析：∵(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，2ab ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1， ∴a 2＋b 2＝5，ab ＝2. 答案：5 2[怎样快解·准解]紧扣定义解决复数概念、共轭复数问题(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则该复数的实部为a ，虚部为b .(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z 1＝a ＋b i 与z 2＝c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．考点二复数的几何意义 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选B 因为z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，所以它在复平面内对应的点为(a ＋1,1－a )，又此点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1.2．(2018·福州质检)设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A ．1＋i B.35＋45i C ．1＋45iD ．1＋43i解析：选B 因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝2－i ，所以z 1z 2＝2＋i 2－i ＝(2＋i )25＝35＋45i ，故选B.3．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．解析：由条件得OC ―→＝(3，－4)，OA ―→＝(－1,2)， OB ―→＝(1，－1)，根据OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1. 答案：1[怎样快解·准解]1．对复数几何意义的再理解(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ ―→相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ ―→. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．2．与复数几何意义相关的问题的一般解法第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；第二步，把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a ＋b i 与复平面上的点(a ，b )一一对应．考点三复数的四则运算 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]A ．－2iB ．2iC ．－2D ．2 解析：选A ∵z i ＝1＋i ，∴z ＝1＋i i ＝1i＋1＝1－i. ∴z 2＝(1－i)2＝1＋i 2－2i ＝－2i.2．若复数z 满足(2－i)z ＝|1＋2i|，则z 的虚部为( ) A.55B.55i C ．1D ．i解析：选A 由题意可知z ＝|1＋2i|2－i ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5(2＋i )5＝255＋55i ，故其虚部为55.3．(2018·昆明质检)设复数z 满足(1＋i )2z ＝1－i ，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选C 由题意得z ＝(1＋i )21－i ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i.4．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ，则复数z 在复平面内对应点的坐标为________．解析：因为i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而2018＝4×504＋2，所以z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i ＝(－1＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2i2＝i ，对应的点为(0,1)．答案：(0,1)[怎样快解·准解]1．复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可．(2)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(3)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 2．记住以下结论，可提高运算速度 (1)(1±i)2＝±2i ； (2)1＋i 1－i ＝i ； (3)1－i1＋i＝－i; (4)a ＋b i i＝b －a i ；(5)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N)．普通高中、重点高中共用作业(高考难度一般，无须挖潜)A 级——基础小题练熟练快1．(2017·山东高考)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋ 3 i ，z ·z ＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3D. 3解析：选A 法一：由题意可知z ＝a －3i ，∴z ·z ＝(a ＋3i)(a －3i)＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1. 法二：z ·z ＝|z |2＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1.2．若复数z ＝(a ＋i)2(a ∈R )在复平面内对应的点在y 轴上，则|z |＝( ) A ．1 B ．3 C ．2D ．4解析：选C 由z ＝(a ＋i)2＝a 2－1＋2a i 在复平面内对应的点在y 轴上，知a 2－1＝0，即a ＝±1，所以z ＝±2i ，故|z |＝2.3．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45C ．4D.45解析：选D 因为|4＋3i|＝42＋32＝5，所以z ＝53－4i ＝5(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3＋4i 5＝35＋45i ，所以z 的虚部为45.4．已知复数z ＝|(3－i)i|＋i 5(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( ) A ．2－i B ．2＋i C ．4－iD ．4＋i解析：选A 由题意知z ＝|3i ＋1|＋i ＝12＋(3)2＋i ＝2＋i ，则z ＝2－i.5．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则复数z 对应的点位于复平面内( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A 由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＝－3＋2i i －1＝3i 2＋2i i －1＝2＋3i －1＝1＋3i ，它在复平面内对应的点为(1,3)，位于第一象限．6．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为( ) A ．－20 B ．－2 C ．4D ．6解析：选A 因为(z 1－z 2)i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，所以复数(z 1－z 2)i 的实部为－20. 7．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝a ，1－b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2，所以a b ＝2.答案：28．(2018·福建质检)已知复数z ＝1＋3i2＋i，则|z |＝________. 解析：因为z ＝1＋3i 2＋i ＝(1＋3i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝5＋5i5＝1＋i ，所以|z |＝|1＋i|＝ 2.答案： 29．设z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，所以z 1＝a －b i ，z 2＝z 1－i z 1＝a ＋b i －i(a －b i)＝a ＋b i －a i －b ＝a －b ＋(b －a )i ，因为z 2的实部是－1，所以a －b ＝－1，所以z 2的虚部为b －a ＝1. 答案：110．复数|1＋2i|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3i 1＋i 2＝________.解析：原式＝12＋(2)2＋(1－3i )2(1＋i )2＝3＋－2－23i2i ＝3＋i －3＝i.答案：iB 级——中档题目练通抓牢 1．已知i 为虚数单位，若复数z ＝1－a i1＋i(a ∈R )的虚部为－3，则|z |＝( ) A.10 B ．2 3 C.13D ．5解析：选C 因为z ＝1－a i 1＋i ＝(1－a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－a －(a ＋1)i 2＝1－a 2－a ＋12i ，所以－a ＋12＝－3，解得a ＝5，所以z ＝－2－3i ，所以|z |＝(－2)2＋(－3)2＝13.2．设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选B ∵|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝5， ∴a 2＋4<5，即a 2＋4<5， ∴a 2<1，即－1<a <1.3．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题： p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：选B 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，对于p 1，∵1z ＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，∴b ＝0，∴z ∈R ，∴p 1是真命题；对于p 2，∵z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ， ∴ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0，∴p 2不是真命题；对于p 3，设z 1＝x ＋y i(x ，y ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则z 1z 2＝(x ＋y i)(c ＋d i)＝cx －dy ＋(dx ＋cy )i ∈R ， ∴dx ＋cy ＝0，取z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋2i ，z 1≠z 2， ∴p 3不是真命题；对于p 4，∵z ＝a ＋b i ∈R ，∴b ＝0，∴z ＝a －b i ＝a ∈R ， ∴p 4是真命题． 4．已知复数z 满足z ＋2z －2＝i(其中i 是虚数单位)，则|z |＝________. 解析：由z ＋2z －2＝i 知，z ＋2＝z i －2i ，即z ＝－2－2i 1－i ，所以|z |＝|－2－2i||1－i|＝222＝2.答案：2 5．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：∵z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i－2－23i＝3＋i －2(1＋3i )＝(3＋i )(1－3i )－2(1＋3i )(1－3i )＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝|z |2＝316＋116＝14.答案：146．计算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3；(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2； (4)1－3i (3＋i )2. 解：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i－i＝－1－3i.(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i.(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1. (4)1－3i (3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2＝－i 3＋i＝(－i )(3－i )4＝－14－34i.7．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．解：z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝⎛⎭⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13(a ＋5)(a －1)＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. ∵a ＋5≠0， ∴a ≠－5，故a ＝3. C 级——重难题目自主选做若虚数z 同时满足下列两个条件： ①z ＋5z 是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．解：这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i. 理由如下：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ＋b i ＋5(a －b i )a 2＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －5b a 2＋b 2i. ∵z ＋5z 是实数，∴b －5b a 2＋b 2＝0. 又∵b ≠0，∴a 2＋b 2＝5.①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数， ∴a ＋3＋b ＝0.②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足条件．。

安徽省2020届高三数学一轮复习数系的扩充与复数的引入单元训练

安徽财经大学附中2020届高三数学一轮复习单元训练：数系的扩充与复数的引入本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数2i i +在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B2．在复平面内，复数1i i +＋(1＋3i )2对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B3．i 是虚数单位, 41()1i i +-等于( ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-【答案】C 4．若关于x 的方程2(12)30x i x m i ++++=有实根，则实数m 等于( )A ．112B ．112iC ．112-D ．112i - 【答案】A5．复数)1()1(2i i z -++=的共轭复数=z ( )A ．i -3B ．i --3C ．i +3D ．i +-3 【答案】A6．复数i(12i)-=( )A ．2i -+B ． 2i +C ．2i -D ．2i -- 【答案】B7．在复平面内，复数1i i +＋（1＋3i ）2对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 8．已知复数1a bi i +=-（其中,a b R ∈，i 是虚数单位），则a b +的值为( )A ．2-B ．1-C ．0D ．2 【答案】C9．已知m R ∈，复数21m i z i-=-（i 为复数单位）在复平面内对应的点在虚轴上，则m 的值为( )A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】A 10．若等比数列{}n a 前n 项和为a S n n +-=2，则复数i a i z +=在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A11．当-1＜m ＜1时，复数（1-i ）+ m (1+i)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D12．复数3223i i+-=( ) A ．1213i + B ．i - C ． 1213i - D ． i【答案】D第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．i 是虚数单位，计算2)11(ii -+=________. 【答案】1-14．1z i =-的虚部位【答案】1-15．在复平面内，平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 对应的复数分别是13,,2i i i +-+,则点D 对应的复数为___________.【答案】3+5i16．设O 是原点，向量对应的复数分别为,23,32i i +--那么，向量对应的复数是．【答案】i 55-三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．当实数m 为何值时，复数z=(m 2－8m+15)+(m 2+3m －28)i(m ∈R)在复平面内对应的点，(1)在x 轴上？ (2)在第四象限？ (3)位于x 轴负半轴上？【答案】 (1)由已知得：m 2+3m －28=0，∴(m+7)(m －4)=0，解得：m=－7或m=4.(2)由已知得：22m -8m +15>0m +3m 28<0⎧⎪⎨-⎪⎩，∴m <3m >57<m <4⎧⎨-⎩或，∴－7<m<3. (3)由已知得：22m -8m +15>0m +3m 28<0⎧⎪⎨-⎪⎩，∴3<m <5 m =7m =4⎧⎨-⎩或，∴m=4. 18．实数m 取什么值时，复数(1)(1)z m m m i =-+-是(1）实数？ (2）纯虚数？【答案】(1）m=1 (2）m=019．已知复数()21332z a i a =+-+，22(31)z a i =++（a R ∈，i 是虚数单位）。

高考数学 4.5数系的扩充与复数的引入课时体能训练理

【全程复习方略】（浙江专用）2013版高考数学 4.5数系的扩充与复数的引入课时体能训练理新人教A 版(45分钟 100分)一、选择题（每小题6分，共36分）1.（易错题）互为共轭复数的两复数之差是( )(A)实数 (B)纯虚数 (C)0(D)零或纯虚数 2.（2012·杭州模拟）在复平面内，若z=m 2(1+i)-m(4+i)-6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围为( )(A)(-∞,-2)∪(4,+∞)(B)(3,4) (C)(-2,3) (D)(3,+∞)3.（2011·大纲版全国卷）复数z=1+i, z 为z 的共轭复数，则z z -z-1=( ) (A)-2i (B)-i (C)i (D)2i4.（2011·辽宁高考）a 为正实数，i 为虚数单位，|a i i +|=2,则a=( ) (A)2 (B)3 (C)2(D)1 5.（2012·嘉兴模拟）已知a ∈R,则复数a 2-a-6+(a 2+a-12)i 为纯虚数的充要条件是( )(A)a=3或a=-2(B)a=3或a=-4 (C)a=3(D)a=-2 6.复数z=m 2i 12i-+(m ∈R,i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于( ) (A)第一象限(B)第二象限 (C)第三象限(D)第四象限二、填空题（每小题6分，共18分）7.i 为虚数单位，3571111i i i i +++=______. 8.（预测题）已知复数z 与(z+2)2-8i 均是纯虚数，则z=______.9.定义一种运算如下：1122x y x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=x 1y 2-x 2y 1，则复数z=3i 13i i ⎤-⎥⎥⎦(i 是虚数单位）的共轭复数是______.三、解答题（每小题15分，共30分）10.（2011·上海高考）已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位），复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.11.（易错题）复数z 1=1+2i,z 2=-2+i,z 3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.【探究创新】（16分）已知A （1，2），B （a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b ∈R)是复平面上的四点，且向量ABCD u u u r u u u r ，对应的复数分别为z 1,z 2.(1)若z 1+z 2=1+i,求121i 1i z z +-+. (2)若z 1+z 2为纯虚数，z 1-z 2为实数，求a 、b.答案解析1.【解析】选D.设互为共轭复数的两个复数分别为z=a+bi, z =a-bi(a 、b ∈R)，则z-z =2b i 或z -z=-2bi. ∵b ∈R,当b ≠0时，z-z , z -z 为纯虚数；当b=0时，z-z =z -z=0.故选D.【误区警示】混淆了复数和虚数概念，误认为共轭复数就是共轭虚数，当得到z-z =2bi 时，就认为是纯虚数，错误地选B.2.【解析】选B.∵z=m 2(1+i)-m(4+i)-6i=(m 2-4m)+(m 2-m-6)i(m ∈R),又z 对应的点在第二象限,∴22m 4m 00m 4m 2m 3m m 60⎧-<<<⎧⎪⇔⎨⎨<->-->⎪⎩⎩，或 ∴3<m<4.3.【解题指南】先求出z 的共轭复数，然后利用复数的运算法则计算即可.【解析】选B. z =1-i,z z -z-1=(1+i)(1-i)-(1+i)-1=-i.4.【解析】选B.因为|a i i+|=2,故可化为|1-ai|=2,又由于a 为正实数，所以1+a 2=4,得a=3,故选B. 5.【解析】选D.复数a 2-a-6+(a 2+a-12)i 为纯虚数的充要条件为22a a 60,a a 120⎧--=⎪⎨+-≠⎪⎩ ∴a=-2.6.【解题指南】先把z 化成a+bi 的形式，再进行判断. 【解析】选A.z= ()()m 2i 12i m 2i m 4(2m 2)i 12i 555-----+==++，显然m 45-＞0与2m 25+-＞0不可能同时成立，则z=m 2i 12i -+对应的点不可能位于第一象限. 【一题多解】选A.z=m 2i m 4(2m 2)i 12i 55---+=++，设x=m 45-,y=(2m 2)5+-,则2x+y+2=0.又直线2x+y+2=0不过第一象限，则z=m 2i 12i -+对应的点不可能位于第一象限. 【方法技巧】复数问题的解题技巧(1)根据复数的代数形式，通过其实部和虚部可判断一个复数是实数，还是虚数.(2)复数z=a+bi,a ∈R,b ∈R 与复平面上的点Z(a,b)是一一对应的，通过复数z 的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置.7.【解析】3571111i i i i i i i i +++=-+-+=0. 答案：0【变式备选】1.已知复数z=23i (13i)+-,z 是z 的共轭复数，则z ·z =______. 【解析】方法一：23i 12(13i)+=-, z ·z =|z|2=14. 方法二：3i 3i z 42(13i)+==+-+, z ·z =3i 3i 1()()44444-+--=. 答案：142.已知复数z=1-i ，则2z 2z z 1--=______. 【解析】()()()221i 21i z 2z z 11i 1----=--- =2i 22i 2i i i i--+-=--g =-2i. 答案：-2i 8.【解析】设z=ai,a ∈R 且a ≠0,则(z+2)2-8i=4-a 2+(4a-8)i.∵(z+2)2-8i 是纯虚数，∴4-a 2=0且4a-8≠0.解得a=-2.因此z=-2i.答案：-2i9.【解析】由定义知,z=(3+i)i-(3-i)×(-1)=3-1+(3-1)i,故z =3-1-(3-1)i. 答案：3-1-(3-1)i10.【解析】设z 2=a+2i(a ∈R)，由已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i,得z 1=2-i ，又已知z 1·z 2=(2-i)(a+2i )=(2a+2)+(4-a)i 是实数，则虚部4-a=0，即a=4，则复数z 2=4+2i. 【变式备选】复数21232z (10a )i z (2a 5)i a 51a--+-＝＋，＝＋，若1z +z 2是实数，求实数a 的值. 【解析】1z ＋z 2＝23(a 10)i a 5-+＋＋2(2a 5)i 1a--＋＝(32a 51a +-＋)＋［(a 2-10)＋(2a-5)］i ＝()()a 13a 5a 1-+-＋(a 2＋2a-15)i. ∵1z ＋z 2是实数，∴a 2＋2a-15＝0，解得a ＝-5或a ＝3.又(a ＋5)(a-1)≠0，∴a ≠-5且a ≠1，故a ＝3.11.【解析】如图，z 1、z 2、z 3分别对应点A 、B 、C. ∴AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r ,∴AB u u u r 所对应的复数为z 2-z 1=(-2+i)-(1+2i)=-3-i,在正方形ABCD 中，DC AB =u u u r u u u r ，∴DC uuu r 所对应的复数为-3-i,又DC OC OD =-u u u r u u u r u u u r ，∴OD OC DC =-u u u r u u u r u u u r 所对应的复数为z 3-(-3-i)=(-1-2i)-(-3-i)=2-i, ∴第四个顶点对应的复数为2-i.【变式备选】已知复数z 满足|z|=1,求|z-(1+i)|的最大值与最小值.【解题指南】|z|=1⇒复数z 对应的点是以原点为圆心，1为半径的圆上的点⇒所求即为圆上的点到点(1,1)的距离的最大值、最小值.【解析】因为|z|=1，所以z 对应的点是单位圆x 2+y 2=1上的点，而|z-(1+i)|表示单位圆上的点到(1,1)点的距离. ()()220101121-+-=, ()()220101121-+-=.【探究创新】【解析】(1)∵AB u u u r =(a,1)-(1,2)=(a-1,-1),CD uuu r =(-1,b)-(2,3)=(-3,b-3),∴z 1=(a-1)-i,z 2=-3+(b-3)i,∴z 1+z 2=(a-4)+(b-4)i,又z 1+z 2=1+i,∴a 41,b 41-=⎧⎨-=⎩∴a 5,b 5=⎧⎨=⎩ ∴z 1=4-i,z 2=-3+2i,∴121i 1i 1i 1i z z 4i 32i+-+-+=+--+ =()()()()()22221i 4i 1i 32i 4132++---++-+ =35i 5i 4682i 1713221221+-++=-+. (2)由(1)得z 1+z 2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i,∵z1+z2为纯虚数，z1-z2为实数，∴a40b40,2b0-=⎧⎪-≠⎨⎪-=⎩∴a4.b2=⎧⎨=⎩。

高考数学一轮复习第5章第4节数系的扩充与复数的引入

数系的扩充与复数的引入[考试要求]1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数加、减运算的几何意义．1．复数的有关概念 (1)复数的定义形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中实部是a ，虚部是b . (2)复数的分类错误!错误!(3)复数相等a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (5)复数的模向量OZ→的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a2＋b2(r ≥0，a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ→.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z1z2＝a ＋bi c ＋di＝错误!＝错误!＋错误!i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．[常用结论]1．(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i＝－i.2．i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N *)． 3．z ·z ＝|z |2＝|z |2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪z1z2＝|z1||z2|，|z n |＝|z |n .一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ∈C ，则a 2≥0.( )(2)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时，复数z 为纯虚数．( ) (3)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的虚部为b i.( ) (4)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材习题衍生1．设z ＝(1＋i)(2－i)，则复数z 在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限A [z ＝(1＋i)(2－i)＝3＋i ，故复数z 在复平面内所对应的点(3,1)位于第一象限．]2．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA→对应的复数是( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4iD ．－3－4iD [∵CA→＝CB →＋BA →＝CB →－AB →＝－1－3i －2－i ＝－3－4i ，故选D.] 3．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2A [1＋z 1－z ＝i ，则z ＝i －11＋i ＝i ，∴|z |＝1.]4．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________.2＋i [由(1＋2i)z ＝4＋3i 得z ＝4＋3i 1＋2i ＝错误!＝2－i.∴z ＝2＋i.]考点一复数的有关概念解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则该复数的实部为a ，虚部为b .(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z 1＝a ＋b i 与z 2＝c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(3)复数是实数的条件：①z ＝a ＋b i ∈R ⇔b ＝0(a ，b ∈R )；②z ∈R ⇔z ＝z ；③z ∈R ⇔z 2≥0.(4)复数是纯虚数的条件：①z ＝a ＋b i 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0(a ，b ∈R )；②z 是纯虚数⇔z ＋z ＝0(z ≠0)；③z 是纯虚数⇔z 2＜0.1．(2020·广州模拟)如果复数z ＝2－1＋i，那么( )A ．z 的共轭复数为1＋iB ．z 的虚部为－iC ．|z |＝2D ．z 的实部为－1D [∵z ＝2－1＋i＝错误!＝错误!＝－1－i ，∴z 的实部为－1，故选D.] 2．(2020·大连模拟)设(1＋2i)x ＝x ＋y i ，其中x ，y 是实数，i 为虚数单位，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪y x ＋i ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5D [由x ＋2x i ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，则y ＝2x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪y x ＋i ＝|2＋i|＝5，故选D.]3．如果复数m2＋i1＋mi 是纯虚数，那么实数m 等于( )A ．－1B ．0C ．0或1D ．0或－1D [m2＋i 1＋mi ＝错误!＝错误!，因为此复数为纯虚数，所以错误!解得m ＝－1或0，故选D.]考点二复数的运算复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数，使分母实数化．解题中要注意把i 的幂写成最简形式．[典例1] (1)对于两个复数α＝1－i ，β＝1＋i ，有下列四个结论：①αβ＝1；②αβ＝－i ；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪αβ＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)(2020·武汉调研)已知复数z 满足z ＋|z |＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－i B ．i C ．1－iD ．1＋i(1)C (2)B [(1)αβ＝(1－i)(1＋i)＝2，①不正确；αβ＝1－i 1＋i ＝错误!＝－i ，②正确；⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪αβ＝|－i|＝1，③正确；α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝－2i ＋2i ＝0，④正确． (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋|z |＝(a ＋a2＋b2)＋b i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a2＋b2＝1，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，所以z ＝i ，故选B.]点评：(1)在只含有z 的方程中，z 类似于代数方程中的x ，可直接求解； (2)在z ，z ，|z |中至少含有两个的复数方程中，可设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a ，b 的方程组，求出a ，b ，从而得出复数z .[跟进训练]1．(2020·全国卷Ⅲ)若z (1＋i)＝1－i ，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－iD ．iD [ ∵z －(1＋i)＝1－i ，∴z －＝1－i 1＋i ＝错误!＝－i ，∴z ＝i ，故选D.]2．(2020·全国卷Ⅰ)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．2D [法一：∵z ＝1＋i ，∴|z 2－2z |＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|2i －2i －2|＝|－2|＝2.故选D. 法二：∵z ＝1＋i ，∴|z 2－2z |＝|z ||z －2|＝2×|－1＋i|＝2×2＝2.故选D.]考点三复数的几何意义与复数几何意义相关的问题的一般解法[典例2] (1)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．x 2＋(y ＋1)2＝1(2)(2020·黄冈模拟)已知i 是虚数单位，则复数i －1i ＋1在复平面上所对应的点的坐标为( )A ．(0,1)B ．(－1,0)C ．(1,0)D ．(0，－1)(3)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)(1)C (2)A (3)A [(1)由题意可知z ＝x ＋y i ，所以|z －i|＝|x ＋(y －1)i|＝错误!＝1. ∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C.(2)∵i －1i ＋1＝错误!＝i ，∴该复数在复平面上所对应的点的坐标为(0,1)，故选A.(3)由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，解得－3＜m ＜1，故选A.]点评：复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可．[跟进训练]OA→，1.如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OB →，则复数z 1·z 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D [由已知OA →＝(－2，－1)，OB →＝(0,1)，所以z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1z 2＝1－2i ，它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．]2．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，则|z1－z2|＝________.23[设z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则由|z1|＝|z2|＝2，得x21＋y21＝x2＋y2＝4.因为z1＋z2＝x1＋x2＋(y1＋y2)i＝3＋i，所以|z1＋z2|2＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝x21＋y21＋x2＋y2＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝(3)2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以|z1－z2|＝|x1－x2＋(y1－y2)i|＝错误!＝x21＋y21＋x22＋y22－2x1x2－2y1y2＝8＋4＝23.]。

高考数学一轮复习5.4数系的扩充与复数的引入课件理新人教B版

高考数学一轮复习5.4数系的扩
充与复数的引入课件理新人教B
版
知识梳理
考点自测
1.复数的有关概念
内容
意
备
复数
的概
念
义
形如 a+bi (a∈R,b∈R)
的数叫做复数,其中实部
为 a ,虚部为 b
注
复数
相等
a+bi=c+di(a,b,c,d∈
R)⇔ a=c,且b=d
实数能比较大小,虚数不能比
较大小
共轭
复数
1+i
1-i
(1)由A.-1
a+bi=i(2-i)=2i+1,解得
a=1,b=2.
B.i
C.-i
+i
2+i
(2+i)(1+2i)
5i
则 -i = 1-2i = (1-2i)(1+2i) = 5 =i,故选 A.
(2)
1+i 2 017
Hale Waihona Puke 1-i2i 2 017
=
(1)A
2
=
(1+i)2
2 017
z 在复平面对应点的坐标是(-1,-2).
∴复数
1-i
(
)
-2+4i
(1+3i)(1+i)
1+3i
(2)∵ 1-i = (1-i)(1+i) = 2
A.-1++-2i D.-1-2i
=-1+2i,
1+3i
∴
1-i
在复平面内对应的点的坐标为(-1,2).
由题意,得复数 z 在复平面内对应的点的坐标为(-1,-2),

【金牌精品】高考数学(理)一轮复习：4-5数系的扩充与复数的引入

课后课时作业[A 组·基础达标练]1．[2013·陕西高考]设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( )A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22答案 D解析 A 中，|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故z 1＝z 2成立．B 中，z 1＝z 2，则z 1＝z 2成立．C 中，|z 1|＝|z 2|，则|z 1|2＝|z 2|2，即z 1z 1＝z 2z 2，C 正确．D 不一定成立，如z 1＝1＋3i ，z 2＝2，则|z 1|＝2＝|z 2|，但z 21＝－2＋23i ，z 22＝4，z 21≠z 22.2．[2015·湖南高考]已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i答案 D解析 z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i.3．[2014·广东高考]已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z ＝( ) A ．－3＋4i B ．－3－4i C ．3＋4i D ．3－4i 答案 D解析 z ＝253＋4i＝25(3－4i )25＝3－4i ，故选D.4．[2014·安徽高考]设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则zi ＋i·z ＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i答案 C解析 zi ＋i·z ＝1＋i i ＋i(1－i)＝i (1＋i )－1＋i ＋1＝2.故选C.5．[2016·兰州诊断]复数11－i (i 是虚数单位)的虚部是( )A ．1B ．i C.12 D.12i 答案 C解析因为11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＝12＋12i ，所以该复数的虚部为12，故选C.6．[2016·云南统考]已知i 为虚数单位，z i ＝2i －z ，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析由题可得，z (i ＋1)＝2i ，∴z ＝2i i ＋1＝1＋i ，∴z 在复平面内对应的点位于第一象限．7．[2016·辽宁五校联考]已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．－2iB ．2iC ．－2D ．2答案 B解析 z 2－2z z －1＝(1＋i )2－2(1＋i )i ＝－2i ＝2i ，故选B. 8．[2015·南宁适应性测试]已知i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若(1－i)z ＝2，则z 为( )A ．1＋iB ．1－iC ．2＋iD ．2－i答案 B解析依题意得z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，∴z ＝1－i ，选B.9．[2013·天津高考]已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.答案 1＋2i解析 ∵(a ＋i)(1＋i)＝a ＋a i ＋i ＋i 2＝(a －1)＋(a ＋1)i.又由已知(a ＋i)(1＋i)＝b i ，得⎩⎨⎧a －1＝0，a ＋1＝b .解得a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.10．[2013·江苏高考]设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________．答案 5解析 ∵z ＝(2－i)2＝3－4i ，∴|z |＝32＋(－4)2＝5.11．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解 ∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ， ∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4， ∴z 2＝4＋2i.12．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．解 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13(a ＋5)(a －1)＋(a 2＋2a －15)i. ∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. ∵a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3.[B 组·能力提升练]1．[2015·临沂二模]在复平面内，复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的对应点位于第二象限，则实数x 的范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 C解析 ∵复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的对应点位于第二象限，则⎩⎨⎧x －1<0，2x －1>0解得0<x <1.∴实数x 的范围是(0,1)．2．[2016·新乡、许昌、平顶山调研]复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A.[]－1，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，7 答案 C 解析由复数相等的充要条件可得⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.3．[2014·上海高考]若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫z ＋1z ·z ＝________. 答案 6解析 ∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫z ＋1z ·z ＝z ·z ＋1＝5＋1＝6. 4．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________．答案3解析 ∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.。

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安徽省2015届高考数学一轮复习 4.5数系的扩充与复数的引入课
后自测理
(见学生用书第281页)
A 组基础训练
一、选择题
1．(2013·福建高考)已知复数z 的共轭复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【解析】 ∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，∴z 在复平面内对应的点位于第四象限．
【答案】 D
2．(2013·皖南八校高三第三次联考)已知a ＋2i ＝(b ＋i)·i(a，b ∈R ，其中i 为虚数单位)，则|a ＋bi|为( )
A ．3
B ．1 C. 5 D ．2
【解析】 ∵a ＋2i ＝－1＋bi ，∴a ＝－1，b ＝2，
∴|a ＋bi|＝|－1＋2i|＝ 5.
【答案】 C
3．(2014·广州模拟)设a 是实数，且a 1＋i ＋1－i 2
是实数，则a ＝( ) A.12
B ．－1
C ．1
D ．2 【解析】 a 1＋i ＋1－i 2＝a 1－i 1＋i 1－i ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－12i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12－⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2＋12i ，由题意知a 2＋12
＝0，∴a ＝－1. 【答案】 B
4．(2013·课标全国卷Ⅰ)1＋2i
1－i
2＝( )
A ．－1－12i
B ．－1＋12i
C ．1＋12i
D ．1－12
i 【解析】 1＋2i 1－i 2＝1＋2i 1－2i ＋i 2＝1＋2i －2i ＝1＋2i i 2＝－1＋12
i. 【答案】 B
5．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )
A ．1＋i
B ．1－i
C ．－1＋i
D ．－1－i
【解析】设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，由z·z i ＋2＝2z ，得(a ＋bi)(a －bi)i ＋2＝2(a ＋
bi)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2bi ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝2b ，2＝2a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，
∴z ＝1＋i.
【答案】 A
二、填空题
6．(2014·深圳模拟)若复数(a ＋i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是________．
【解析】 (a ＋i) 2＝a 2－1＋2ai ，由题意知a 2－1＝0且2a ＜0，∴a ＝－1.
【答案】－1
7．已知i 是虚数单位，则i ＋i 2＋i 3＋…＋i
2 014＝________. 【解析】 ∵i n ＋i
n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0， ∴i ＋i 2＋i 3＋…＋i
2 014＝i ＋i 2＝i －1.
【答案】 i －1 8．(2014·青岛质检)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2________.
【解析】 ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，
则z 2＋z 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0.
【答案】 0
三、解答题
9．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.
【解】 ∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，
∴z 1＝1－i 1＋i ＋2＝1－i 22
＋2＝2－i ，
设z 2＝a ＋2i(a ∈R)，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a)i ，
又z 1·z 2是实数，
∴a ＝4，从而z 2＝4＋2i.
10．复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
【解】如图，z 1、z 2、z 3分别对应点A 、B 、C.
∴AB →＝OB →－OA →，
∴AB →所对应的复数为z 2－z 1＝(－2＋i)－(1＋2i)＝－3－i ，
在正方形ABCD 中，DC →＝AB →，
∴DC →所对应的复数为－3－i ，
又DC →＝OC →－OD →，
∴OD →＝OC →－DC →所对应的复数为
z 3－(－3－i)＝(－1－2i)－(－3－i)＝2－i ，
∴第四个顶点对应的复数为2－i.
B 组能力提升
图4－5－2
1．若i 为虚数单位，如图4－5－2所示复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i
的点是( )
A ．E
B ．F
C ．G
D ．H
【解析】由图可得z ＝3＋i ，
∴z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝3＋i 1－i 1＋i 1－i ＝4－2i 2
＝2－i. 对应的点为(2，－1)，即点H.
【答案】 D
2．(2014·济南调研)若复数
a ＋3i 1＋2i (a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为________．
【解析】
a ＋3i 1＋2i ＝a ＋3i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝a ＋65＋3－2a 5i ， ∵a ＋3i 1＋2i 是纯虚数，∴a ＋65＝0且3－2a 5
≠0，∴a ＝－6. 【答案】－6
3．已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i
均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．
【解】设z ＝x ＋yi(x ， y ∈R)，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，
由题意得y ＝－2.
z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15
(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15
(x －4)i ，由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.
∵(z ＋ai)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，
根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋4a －a 2＞0，8a －2＞0，
解得2＜a ＜6.∴实数a 的取值范围是(2,6).。