汕头一中2009-2010学年第一学期高一数学元旦练习《立体几何》

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立体几何测试第一

立体几何测试题一姓名一、选择题：1.下列命题中正确的是( )A.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱B.有一个面是多边形，其余各个面都是三角形的几何体叫棱锥C.由五个面围成的多面体一定是四棱锥D.棱台各侧棱的延长线交于一点2.如图，△O′A′B′是△OAB水平放置的直观图，则△OAB的面积为（）A.12B.6C.6D.33. 用一个与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A. B. C.8 D.4.底面边长为2的正四棱锥V-ABCD中，侧棱长为，则二面角V-AB-C的度数为（）A.30°B.60°C.90°D.120°5.下列命题正确的是（）A.若直线l不平行于平面α，则α内不存在直线平行直线lB.若直线l不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线lC.若平面α不平行于平面β，则β内不存在直线平行于平面αD.若平面α不垂直于平面β，则β内不存在直线垂直于平面α6.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF=，给出下列结论：（1）AC⊥BE（2）EF∥平面ABCD（3）三棱锥A-BEF的体积为定值（4）异面直线AE，BF所成的角为定值其中的错误结论有（）A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题：7.已知三棱锥P-ABC的三个侧面两两垂直，且棱长均为1，则该三棱锥外接球表面积是8.正方体ABCD-A1B1C1D1中DD1与平面ACD1所成角的余弦值为9.如图，已知圆锥SO的母线SA的长度为2，一只蚂蚁从点B绕着圆锥侧面爬回点B的最短距离为2，则圆锥SO的底面半径为10.三棱锥S—ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；三：解答题：11.如图所示，在四棱锥P―ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.(1) 证明：PA∥平面EDB；(2) 证明：PB⊥平面EFD；12.如图，四棱锥P －ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E 为侧棱PD的中点。

高中数学第一章立体几何初步 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面同步练习(含解析)新人教B版必

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棱柱、棱锥、棱台和球的表面1．正三棱锥的底面边长为a ,高为66a ，则此三棱锥的侧面积为（ )． A ．234a B ．232a C ．2334a D ．2332a 2．长方体的高等于h ,底面积等于a ，过相对侧棱的截面面积等于b ，则此长方体的侧面积等于（）．A ．222b ah +B ．2222b ah +C ．2222b ah +D ．222b ah +3．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积之比为( ）．A ．316 B ．916 C ．38 D ．9324．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是( )．A ．372B ．360C ．292D ．2805．已知三个球的半径R 1、R 2、R 3满足R 1＋2R 2＝3R 3,则它们的表面积S 1、S 2、S 3满足的等量关系是______．6．有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a （a ＞0）．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中,表面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是______．7．已知正三棱锥S－ABC，一个正三棱柱的一个底面的三顶点在棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15 cm，底面边长为12 cm，内接正三棱柱的侧面积为120 cm2.（1）求三棱柱的高;（2)求棱柱上底面所截棱锥与原棱锥的侧面积之比．8．已知梯形ABCD中,AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD 内，过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积．参考答案1。

广东省2009届高三数学一模试题分类汇编立体几何(理)

实用文档广东省2009届高三数学一模试题分类汇编立体几何(理)一、选择题填空题1、（2009广州一模）.一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图3所示，则该几何体的侧面积为_______cm 2. 802（2009广东三校一模）如图，设平面ααβα⊥⊥=CD AB EF ,, ，垂足分别为D B ,，若增加一个条件，就能推出EF BD ⊥.现有①;β⊥AC ②AC 与βα,所成的角相等;③AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上;④AC ∥EF .那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是1.A 个2.B 个3.C 个4.D 个. C3、（2009东莞一模）如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为AEFBDC图3俯视图正(主)视5侧(左)视5实用文档A ． 12π B. 22π C. 2π D.4πA4、（2009番禺一模）一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（）．A ．12B ．32C ．23D ．6C5、（2009汕头一模）在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线； ②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m ∥平面β；③若平面α与平面β的交线为m ，平面α内的直线n ⊥直线m ，则直线n ⊥平实用文档面β；④若平面α内的三点A, B, C 到平面β的距离相等，则α∥β．其中正确命题的个数为（）个。

A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 B6、（2009湛江一模）用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图所示，则它的体积的最小值为，最大值为 .10（2分），16（3分）.二、解答题1、（2009广州一模）如图4，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ， AB ⊥AC ，D 、E 、F 分别是棱PA 、PB 、PC 的中点，连接DE ，DF ，EF. (1)求证: 平面DEF ∥平面ABC ；主视实用文档(2)若PA=BC=2，当三棱锥P-ABC 的体积的最大值时，求二面角A-EF-D 的平面角的余弦值..(本题主要考查空间中的线面的位置关系、空间的角、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)证明:∵D 、E 分别是棱PA 、PB 的中点， ∴DE 是△PAB 的中位线，∴DE ∥AB ， ∵DE 平面PAB ，AB平面PAB ，∴DE ∥平面PAB ， ……2分 ∵DE ∩DF=D ，DE 平面DEF ， DF平面DEF ，∴平面DEF ∥平面ABC. ……4分 (2)求三棱锥P-ABC 的体积的最大值，给出如下两种解法：解法1：由已知PA ⊥平面ABC ， AC ⊥AB ，PA=BC=2，∴AB 2 +AC 2 =BC 2=4，ABCPD E F实用文档∴三棱锥P-ABC 的体积为ABC111V =PA SPA AB AC 332⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ……6分22211AB AC 1BC 22AB AC 632323+=⨯⨯⨯≤⨯=⨯=. 当且仅当AB=AC 时等号成立，V 取得最大值，其值为23，此时AB=AC=2. 解法2：设AB=x ，在△ABC 中，222AC BC AB 4x =-=-(0<x<2)，∴三棱锥P-ABC 的体积为ABC111V =PA SPA AB AC 332⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ 21x 4x 3=- ……6分2422114x x (x 2)433=-=--+， ∵0<x<2，0<x 2<4，∴当x 2=2，即x 2=时，V 取得最大值，其值为23，此时AB=AC=2. ……8分求二面角A-EF-D 的平面角的余弦值..，给出如下两种解法：解法1：作DG⊥EF，垂足为G ，连接AG ，∵PA ⊥平面ABC ，平面ABC ∥平面DEF ，∴P A⊥平面DEF ， ∵EF平面DEF ，∴ P A⊥EF.∵DG ∩PA=D ，∴EF ⊥平面PAG ，AG 平面PAG ，∴EF ⊥AG ，∴∠AGD是二面角A-EF-D的平面角. ……10分在Rt△EDF中，DE=DF=1AB=22，1EF BC=12=，∴1DG2=.在Rt△ADG中，AG===∴1DGAGD=AG5∠==.∴二面角A-EF-D的平面角的余弦值为5. ……14分解法2：分别以AB、AC、AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，D(0，0，1)，E(2，0，1)，F(0，2，1). ∴22AE(01)EF(22==-，，，，设n(x y z)=，，为平面AEF的法向量，则n AE0n EF0⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，ABCPDEFGx实用文档实用文档即+z 0y 0=⎨⎪=⎪⎩，令x =y =z=－1, ∴n (221)=-，为平面AEF 的一个法向量. ……11分 ∵平面DEF 的一个法向量为DA (001)=-，，，∴n DA cos n DA |n ||DA |(<>===，，，……13分而n 与DA 所成角的大小等于二面角A-EF-D 的平面角的大小. ∴二面角A-EF-D 的平面角的余弦值为5. ……14分 2、（2009广东三校一模）如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,a CB DC AD ===,60=∠ABC ,平面⊥ACFE 平面ABCD ,四边形ACFE 是矩形,a AE =,点M 在线段EF 上.(1)求证:⊥BC 平面ACFE ;(2)当EM 为何值时,AM ∥平面BDF ?证明你的结论;(3)求二面角D EF B --的平面角的余弦值. （Ⅰ）在梯形ABCD 中，CD AB // ，MFECD BA实用文档︒=∠===60,ABC a CB DC AD ∴四边形ABCD 是等腰梯形，且︒︒=∠=∠=∠120,30DCB DAC DCA︒=∠-∠=∠∴90DCA DCB ACB BC AC ⊥∴ 2分又平面⊥ACFE 平面ABCD ，交线为AC ，⊥∴BC 平面ACFE 4分（Ⅱ）解法一、当a EM 33=时，//AM 平面BDF ， 5分在梯形ABCD 中，设N BD AC =⋂，连接FN ，则2:1:=NA CN 6分a EM 33=，而a AC EF 3==2:1:=∴MF EM ， 7分 AN MF //∴，∴四边形ANFM 是平行四边形，NF AM //∴ 8分又⊂NF 平面BDF ，⊄AM 平面BDF //AM ∴平面BDF 9分解法二：当a EM 33=时，//AM 平面BDF ，B实用文档由（Ⅰ）知，以点C 为原点，CF CB CA ,,所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， 5分则)0,0,0(C ，)0,,0(a B ，)0,0,3(a A ，,23(a D ),0,0(a F ，),0,3(a a E⊄AM 平面BDF ，∴//AM 平面BDF ⇔→AM 与→FB 、→FD 共面，也等价于存在实数m 、n ，使→→→+=FD n FB m AM ，设→→=EFt EM .)0,0,3(a EF -=→，)0,0,3(at EM -=→),0,3(a at EM AE AM -=+=∴→→→又),21,23(a a a FD --=→，),,0(a a FB -=→， 6分从而要使得：),21,23(),,0(),0,3(a a a n a a m a at --+-=-成立，需⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-==-an am a an ma an at 210233，解得31=t 8分实用文档∴当a EM 33=时，//AM 平面BDF 9分（Ⅲ）解法一、取EF 中点G ，EB 中点H ，连结DG ，GH ，DHEF DG DF DE ⊥∴=, ⊥BC 平面ACFE EF BC ⊥∴又FC EF ⊥ ，FB EF ⊥∴，又FB GH // ，GH EF ⊥∴222DB DE BE +=∴DGH ∠∴是二面角D EF B --的平面角. 6分在BDE ∆中,a AB AE BE a DB a DE 5,3,222=+===︒=∠∴90EDB ,a DH 25=∴. 7分又a GH a DG 22,25==. 8分 ∴在DGH ∆中，由余弦定理得1010cos =∠DGH , 9分即二面角D EF B --的平面角的余弦值为1010. 解法二:由(Ⅰ)知,以点C 为原点，CF CB CA ,,建立空间直角坐标系,则)0,0,0(C ,)0,,0(a B ，,3(a A实用文档)0,21,23(a a D -，),0,0(a F ，),0,3(a a E 过D 作EF DG ⊥, 垂足为G . 令)0,0,3()0,0,3(a a FE FG λλλ===→→,),0,3(a a FG CF CG λ=+=→→→, ),21,233(a a a a CD CG DG -=-=→→→λ 由→→⊥EF DG 得,0=⋅→→EF DG ,21=∴λ),21,0(a a DG =∴→,即),21,0(a a GD --=→11分,//,EF AC AC BC ⊥ EF BC ⊥∴,EF BF ⊥∴∴二面角D EF B --的大小就是向量→GD 与向量→FB 所夹的角. 12分),,0(a a FB -=→13分 →→→→→→⋅⋅>=<FBGD FB GD FB GD ,cos 1010=即二面角D EF B --的平面角的余弦值为1010. 14分 3、（2009东莞一模）如图，在长方体1,1,11111>==-AB AA AD D C B A ABCD 中，点E 在棱AB 上移动，小蚂蚁从点A 沿长方体的表面爬到点C 1，所爬的最短路程为22.（1）求证：D 1E ⊥A 1D ；实用文档（2）求AB 的长度；（3）在线段AB 上是否存在点E ，使得二面角41π的大小为D EC D --。

高一数学立体几何练习

是（）
A． m , n
, m // , n //
// B ． // , m , n
m // n
C． m , m n n //
D
． m // n, n
m
5．（湖北 ?理？4）平面外有两条直线 m 和 n ，如果 m 和 n 在平面内的射影分别是 m1 和 n1 ，
给出下列四个命题，其中不正确的命题个数是（
二、填空题
13．（全国Ⅰ ?理？16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上。已知正
Hale Waihona Puke 三棱柱的底面边长为 2，则该三角形的斜边长为
14．（全国Ⅱ ?理？15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为底面边长为 1cm，那么该棱柱的表面积为
2cm 的球面上。如果正四棱柱的 cm2。
15．（安徽 ?理？15）在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点，
C． AH的延长线经过点 C1 D ．直线 AH和 BB1 所成角为 45°
8．（辽宁 ?理？7）若 m， n 是两条不同的直线，，，是三个
不同的平面，则下列命题中的真命题是（
）
A．若 m ，
，则 m
B．若
m，
n ， m∥ n ，则 ∥
C．若 m ， m ∥ ，则
D ．若
， ⊥ ，则
9．（四川 ?理？4）如图， ABCD- A1B1C1D1 为正方体，下面结论错误．．的是（）
A． BD∥平面 CB1D1
B． AC1⊥ BD
C． AC1⊥平面 CB1D1
D．异面直线 AD与 CB1 角为 60°
10． ( 宁夏 ?理？8) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸

广东省汕头市09-10学年高一物理下学期期末考试新人教版

汕头市 2009-2010 学年度普通高中教学质量统一检测高一级物理试题第一部分选择题（共100分）一、单项选择题：本题共16小题，每小题4分，共64分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1. 关于路程和位移，下列说法中正确的是A ．物体沿曲线运动时，位移的大小可以等于路程B ．对同一运动物体，位移和路程二者大小一定不相等C ．位移是标量，路程是矢量D ．路程为零时，位移一定为零 2. 关于参考系，下列说法正确的是A. 参考系必须是正在做匀速直线运动的物体B. 参考系就是不动的物体C. 选择不同的参考系来观察同一物体的运动，其结果会有所不同D.飞机俯冲时，飞行员看到大地迎面扑来，是选择大地为参考系的缘故 3. 质量不同的两个物体同时从同一高度做自由落体运动，则这两个物体 A ．同时落地 B ．重的物体先落地 C ．轻的物体先落地 D ．无法确定4. 如图，电风扇工作时，叶片上a 、b 两点的线速度分别为a v 、b v ，角速度分别为a ω、b ω 则下列关系正确的是A.a b v v =，a b ωω=B. a b v v <，a b ωω=C. a b v v >，a b ωω>D. a b v v <，a b ωω<5. 下列有关惯性的说法中，正确的是 A ．乘坐汽车时系好安全带可减小惯性 B ．运动员跑得越快惯性越大 C ．宇宙飞船在太空中也有惯性D ．汽车在刹车时才有惯性6. 汽车以额定功率上坡时，为增大牵引力，司机应通过变速箱使汽车的速度 A ．减小 B ．增大C ．保持不变D ．先增大后保持不变 7. 在电梯加速上升的过程中，站在电梯里的人A ．所受支持力做正功，机械能增加B ．所受支持力做正功，机械能减少C ．所受支持力做负功，机械能增加D ．所受支持力做负功，机械能减少8. 如图是某质点沿直线运动的速度v 随时间t 变化的关系图线.对于该图线的认识正确的是 A ．0～2s 内质点加速度为4m/s 2B ．质点在前2s 内的位移大小是4mC ．第2s 末质点的运动方向发生变化D ． 2s ～4s 内质点处于静止状态 9．关于弹力的说法中正确的是 A ．只有弹簧才可以产生弹力 B ．物体间不相互接触，也能产生弹力 C ．两物体相互接触时一定能产生弹力D ．两个物体直接接触且相互挤压发生形变才会产生弹力10. 如图，两人同时用大小相等的力沿不同方向拉小船，下列几种情况中，合力最小的是11. 如图，在距地面h 高处以初速度v 0沿水平抛出一个物体，不计空气阻力，物体在下落过程中，下列说法中正确的是A. 物体水平方向的速度在c 点比a 大B. 物体在a 、b 、c 三点具有的动能一样大C. 物体在a 、b 、c 三点具有的机械能相等D. 物体在c 点比a 具有的动能小12. 篮球放在光滑水平地面上与竖直墙面相靠，且处于静止状态，则篮球的受力情况是A. 受重力、水平面的支持力和墙面的弹力B.受重力和水平面的支持力C. 受重力、水平面的支持力和水平面的静摩擦力D. 受重力、水平面的支持力和墙面的静摩擦力13. 如图，质量为m 的物块从倾角为θ的粗糙斜面的最低端以速度υ0冲上斜面，已知物块与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g .在上升过程中物体的加速度为A ．g sin θB ．g sin θ－μg cos θC ．g sin θ+μg co s θD ．μg cos θ14. 飞机斜上飞的运动可以看成水平方向和竖直方向两个分运动的合运动，若飞行速度 v 与水平方向成角，如图．则其水平分速度的大小是 A ． v sin B ． v cos C ． v / sinD ． v / cos15. 我国自行研制的“袅龙”战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v 所需时间为t ，则起飞前滑行的距离为A ．2vtB ．v tC ． 2 v tD ．22vt16. 从地面以初速度v 0竖直上抛一个质量为m 的小球，小球上升的最大高度为H ，设运动过程中空气阻力f 大小恒定。

广东省汕头市2009-2010学年下学期高一质量检测(数学)

广东省汕头市2009-2010学年下学期高一质量检测数学科试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答选择题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目填写在答题卷上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3．考生务必将非选择题的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分． 4．考试结束后，监考员将选择题的答题卡和非选择题的答题卷都收回，试卷由考生自己保管．参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+.一．选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡中． 1. 已知直线l 的倾斜角为300，则直线的斜率k 值为（）．A ．33 B ．21 C ．3 D ．23 2. 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的体积为（） A ． π B ． 4π C ．23π D ．34π 3. 已知函数3)1(+-=x m y 在R 上是增函数，则m 的取值范围是 A ． ),1(+∞ B ．)0,(-∞ C ．),0(+∞ D ．)1,(-∞4．右面为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为 ( )A. i>20B. i<20C. i>=20D. i<=205．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组主视图侧视图俯视图S=0 i=i+1i=1 LOOP UNTIL_____方法得到的频率分布直方图．设成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为x ，则从频率分布直方图中可分析出x 为（）A. 48B. 27C. 35D. 32 6．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过ml mg 2.0。

广东省汕头市金山中学2009-2010学年第一学期高一必修一模块考试数学试卷

广东省汕头市金山中学2009-2010学年第一学期高一必修一模块考试数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设S={1，2，3}，M={1，2}，N={1，3}，那么（M C S ）∩（N C S ）等于A ． ∅B ．{1，3}C ．{1}D ．{2，3}2. 对于函数()y f x =，以下说法不正确的是A. y 是x 的函数B. 对于不同的,x y 的值可以不同C. ()f a 表示当x a =时函数()f x 的值D. ()f x 一定可用一个具体的式子表示出来3. 已知集合{}3,2,1=A ，{}6,5,4=B ，B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，那么该函数的值域C 的不同情况有（）种A.6B. 7C. 8D. 274. 已知a =9log 2,b =5log 2,则75log 2用b a ,表示为A.b a 22+B. b a 212+C. b a 221+D. )(21b a +5. 函数21(0)x y a a a -=+>≠且1的图象必经过点A. (0,1)B. (1,1)C. (2,0)D. (2,2)6. 已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数,当0≥x 时,)1()(3x x x f +=,则当0<x 时,)(x f 表达式是A.)1(3x x +-B. )1(3x x +C. )1(3x x --D. )1(3x x -7. 函数xy a =与log (0,1)a y x a a =->≠且在同一坐标系中的图象只可能是8. 三个数41log 2,1.02,2.02的大小关系式是A ．B ．A. 41log 2<2.02<1.02 B. 41log 2<1.02<2.02 C. 1.02<2.02<41log 2 D. 1.02<41log 2<2.029. 若=≠-=-)21(),0(1)21(22f x xx x f 那么A. 1B. 3C. 15D. 3010. 某人2003年1月1日到银行存入一年期存款a 元，若按年利率为x ，并按复利计算，到2008年1月1日可取回款 A. a (1+x )5元 B. a (1+x )6元 C. a (1+x 5)元 D. a (1+x 6)元11. 如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上递减，那么实数a 的取值范围是A. a ≤5B. a ≥5C. 3a ≤-D. 3a ≥-12. 设()x f 是区间[]b a ,上的单调函数，且()()0<b f a f ，则方程()0=x f 在区间[]b a ,A. 至少有一实根B. 至多有一实根C. 没有实根D. 必有唯一实根二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共18分，只填结果，不要过程） 13. 函数212log (2)y x =+的值域是_________.14. 2lg 2+＝ _________.15. 已知210)(1-=-x x f ，则=-)8(1f_________.16. 设22 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x =_________.17. 计算机成本不断降低,若每隔两年计算机成本价格降低13 ，那么现在成本价格为8100元的计算机, 年后该计算机的成本价格为1600元.18. 如图所示的流程图是将一系列指令和问题用框图排列而成，箭头将告诉你下一步到哪一个框图. 阅读右边的流程图，并回答下面问题：若c b a >>，则输出的数是；若,2log ,32,)21(331===c b a 则输出的数是 .（用字母a ，b ，c 填空）数学答卷纸一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共18分，只填结果，不要过程）13. 14.15. 16.17. 18..三、解答题：本大题6个小题，共46分.解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤 19. 设集合{}{}a a B aa A --=--=1,5,9,,12,42，若{}9=B A ，求实数a 的值.20. 已知函数2()32f x x x ＝－＋－，试作出函数的图象，并指出它的单调增区间，求出函数在[]1,3x ∈时的最大值.21. 已知函数()2x af x x －＝－，（1）若a N ∈，且函数()f x 在区间（2,+∞）上是减函数，求a 的值；（2）若a ∈R ，且函数()f x x =-恰有一根落在区间（－2,－1）内，求a 的取值范围.22. 设函数)(x f y =是定义在（0,+∞）上的减函数，并且满足)()()(y f x f xy f +=，131=⎪⎭⎫⎝⎛f ．（1）求)1(f 的值；（2）若存在实数m ，使得()f m ＝2，求m 的值；（3）如果2)2()(<-+x f x f ，求x 的取值范围.23. 对于函数)(x f ，若存在R x ∈0，使00)(x x f =成立，则称点),(00x x 为函数的不动点.（1）已知函数b bx ax x f -+=2)(有不动点)1,1(和)3,3(--，求a 、b 的值. （2）若对于任意实数b ，函数b bx ax x f -+=2)(总有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围.24. 设121()log 1axf x x -=-为奇函数，a 为常数．（1）求a 的值；（2）证明)(x f 在区间（1，＋∞）内单调递增；（3）若对于区间[3,4]上的每一个x 的值，不等式)(x f >1()2xm +恒成立，求实数m 的取值范围．答案数学一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共18分，只填结果，不要过程） 13. (] ,1∞－－ 14. 2 15. 2 16. 17. 818. a a ，.三、解答题：本大题6个小题，共46分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤19. 设集合{}{}a a B aa A --=--=1,5,9,,12,42，若{}9=B A ，求实数a 的值.解：由于，{}{}a a B a a A --=--=1,5,9,,12,42，且{}9=B A ，所以2219 210 5A ={4, 9, 25}B ={9, 0, 4}9 333 A ={4,5,9} B ={9,2,4}3A ={4, 7 9}B ={9, 8, 4}3.a a a a a a aa - ＝时，＝，＝，此时－，－，不合题意，故舍去；＝时，＝或－；＝时，－，－－，不合题意，故舍去；＝－，－－，，－，合题意所以，＝－20.函数2()32f x x x ＝－＋－的单调增区间为〔1,1.5〕和〔2,∞〕；函数在[]1,3x ∈时的最大21. 解：（1）2()122x a af x x x -=+-－＝－，由于函数在（2,+∞）上递减，所以20,a ->即2a <，又a N ∈，所以0,a =或者1a = 0a =时，2()12f x x =+-;1a =时，1()12f x x =+- （2）令()()F x f x x =+2122x a ax x x x -=+=++-－－26(2)144a aF ---=-+=-- 2(1)3a F --=- 当62(2)(1)043a aF F ---⋅-=⋅<--时，即(2)(6)0a a --<，26a <<时函数可能有一根在所给区间中。

汕头一中2009-2010学年第一学期高一数学国庆练习题《集合与函数概念》

汕头一中2009-2010学年第一学期高一数学国庆练习题《集合与函数概念》参考答案一、选择题.二、填空题.11. 8. 12. {}1,2x x x ≥-≠-且. 13. 3-或5 14. 0a b == 三、解答题.15．解：（Ⅰ）当0=a 时，2)(x x f =，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，，)()()(22x f x x x f ==-=-， )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，，取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．（Ⅱ）证：当1a =时，21()(0)f x x x x=+≠设121x x ≤<， 2212121211()()f x f x x x x x -=+--1212121()()x x x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，12121212,0,x x x x x x ≤<+>-<，12121101x x x x >∴<<，，即12121()0x x x x +->． 1212()()0,()()f x f x f x f x -<< 函数)(x f 在[1,)+∞上为增函数．16．解: 依题意，得x ＞ 0，当0＜x ≤ 1时，设直线l 交OC 于点F ，在Rt OEF ∆中，∵ ∠FOE = 45O ， ∴ EF = OE =x ，∴21122S x x x =⋅=；当1＜x ≤ 3时，过点C 作CG ⊥OA 于G ，设直线l 交BC 于点H ，则CG = EH = 1， ∴1111(1)122OGC CGEH S S S x x ∆=+=⨯⨯+-⨯=-矩形；当x ＞3时，1511(31)122OGC CGAB S S S ∆=+=⨯⨯+-⨯=矩形；综上所述，2,(0121(),(1325,(3)2x x S f x x x x ⎧<≤⎪⎪⎪==-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩()S f x =的大致图象如右：17．解：2()(2)4f x x =--，（1）由06x ≤≤，得224x -≤-≤ ∴ 20(2)16x ≤-≤， ∴ 24(2)412x -≤--≤，即当[0,6]D =时，4()12f x -≤≤；∴ 当2x =时，函数()f x 取最小值－4；当6x =时，函数()f x 取最大值12. （2）若22a +≤，即0a ≤，则函数()f x 在[,2]a a +上单调递减，∴ [()]m i n f x =(2)f a +=2(22)4a +-- = 24a -；若22a a <<+，即02a <<，则函数()f x 在[,2]a 上单调递减，在[2,2]a +上单调递增，∴ [()]m i n f x =(2)f =－4；若2a ≥，则函数()f x 在[,2]a a +上单调递增，∴ [()]m i n f x =()f a =24a a -；综上所述，若0a ≤，函数()f x 的最小值为24a -；若02a <<，函数()f x 的最小值为－4；若2a ≥，函数()f x 的最小值为24a a -.。

[金榜一号]2009-2010年高考数学I轮精品学案及其跟踪训练(附详解)立体几何初步

[金榜一号]2009-2010年高考数学Ｉ轮精品学案及其跟踪训练( 附详解) 立体几何初步线和平面的各种位置关系的图形，能根据图形想象它们的位置关系．2．了解空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系．3．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握三垂线定理及其逆定理．4．掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念；掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理．5．了解多面体、凸多面体、正多面体的概念．6．了解棱柱，棱锥的概念；了解棱柱，棱锥的性质；会画其直观图．分为四块：A、平面的三个基本性质，四种确定平面的条件；B、两个特殊的位置关系，即线线，线面，面面的平行与垂直．C、三个所成角；即线线、线面、面面所成角；D、四个距离，即两点距、两线距、线面R P Q α CB A距、面面距．其次，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离等均与线面垂直密切相关，把握其中的线面垂直，也就找到了解题的钥匙．再次，要加强数学思想方法的学习，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，化空间图形为平面图形解决，化几何问题为坐标化解决，自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果．第1课时平面的基本性质如果一条直线上的在同一个平面内，那么这条直线上的都在这个平面内 (证明直线在平面内的依据)．公理2如果两个平面有个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是 (证明多点共线的依据)．公理3 经过不在的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)．推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面．推论2 经过两条直线，有且只有一个平面．推论3 经过两条直线，有且只有一个平面．1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于O ，AC 、BD 交于点M ．求证：点C 1、O 、M 共线．证明：A 1A ∥CC 1⇒确定平面A 1C A 1C ⊂面A 1C ⇒O ∈面A 1C ⇒ O ∈A 1C面BC 1D∩直线A 1C ＝O O ∈面BC 1DO 在面A 1C 与平面BC 1D 的交线C 1M 上∴C 1、O 、M 共线变式训练1：已知空间四点A 、B 、C 、D 不在同一平面内，求证：直线AB 和CD 既不相交也不平行．提示：反证法．例2. 已知直线l 与三条平行线a 、b 、c 都相交．求证：l 与a 、b 、c 共面．证明：设a ∩l ＝A b ∩l ＝B c ∩l ＝C a ∥b ⇒ a 、b 确定平面α ⇒l ⊂β A ∈a, B ∈bb ∥c ⇒b 、c 确定平面β 同理可证l ⊂β所以α、β均过相交直线b 、l ⇒ α、β重合⇒ c ⊂α ⇒a 、b 、c 、l 共面变式训练2：如图，△ABC 在平面α外，它的三条边所在的直线AB 、BC 、CA 分别交平面α于P 、Q 、R 点．求证：P 、Q 、R 共线．证明：设平面ABC∩α＝l ，由于P ＝AB∩α，即P ＝平面ABC∩α＝l ，即点P 在直线l 上．同理可证点Q 、R 在直线l 上． ∴P 、Q 、R 共线，共线于直线l ．例3. 若△ABC 所在的平面和△A 1B 1C 1所在平面相交，并且直线AA 1、BB 1、CC 1相交于一点O ，求证： (1) AB 和A 1B 1、BC 和B 1C 1分别在同一个平面内；(2) 如果AB 和A 1B 1，BC 和B 1C 1分别相交，那么交点在同一条直线上．证明：(1) ∵AA 1∩BB 1＝0，∴AA 1与BB 1确定平面α，又∵A ∈a ，B ∈α，A 1∈α，B 1∈α，∴AB ⊂α，A 1B 1⊂α，∴AB 、A 1B 1在同一个平面内同理BC 、B 1C 1、AC 、A 1C 1分别在同一个平面内 O C B AABC A BA(2) 设AB∩A 1B 1＝X ，BC∩B 1C 1＝Y ，AC∩A 1C 1＝Z ，则只需证明X 、Y 、Z 三点都是平面A 1B 1C 1与ABC 的公共点即可．变式训练3：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 中点，F 为AA 1中点，求证：(1) E 、C ．D 1、F 四点共面； (2) CE 、D 1F 、DA 三线共点．证明(1) 连结A 1B 则EF ∥A 1B A 1B ∥D 1C ∴EF ∥D 1C ∴E 、F 、D 1、C 四点共面(2) 面D 1A∩面CA ＝DA∴EF ∥D 1C 且EF ＝21D 1C∴D 1F 与CE 相交又D 1F ⊂面D 1A ，CE ⊂面AC∴D 1F 与CE 的交点必在DA 上 ∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．例4.求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内．证明：(1) 若a 、b 、c 三线共点P ，但点p ∉d ，由d 和其外一点可确定一个平面α 又a∩d ＝A ∴点A ∈α ∴直线a ⊂α 同理可证：b 、c ⊂α ∴a 、b 、c 、d 共面 (2)若a 、b 、c 、d 两两相交但不过同一点 ∵a ∩b ＝Q ∴a 与b 可确定一个平面β 又c ∩b ＝E ∴E ∈β 同理c ∩a ＝F ∴F ∈β∴直线c 上有两点Ｅ、Ｆ在β上 ∴c ⊂β 同理可证：d ⊂β 故a 、b 、c 、d 共面由(1) (2)知：两两相交而不过同一点的四条直线必共面变式训练4：分别和两条异面直线AB 、CD 同时相交的两条直线AC 、BD 一定是异面直线，为什么?解：假设AC 、BD 不异面，则它们都在某个平面α内，则A 、B 、C 、D ∈α.由公理1知AC α⊂≠,BD α⊂≠.与CD异面矛盾，所以假设不成立,即AC 、BD 一定是异面直线。

全国通用高中数学第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.7柱、锥、台和球的体积练习新人教B版必修

（全国通用版）2018-2019高中数学第一章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.7 柱、锥、台和球的体积练习新人教B版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2018-2019高中数学第一章立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.7 柱、锥、台和球的体积练习新人教B 版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.1.7 柱、锥、台和球的体积1若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径,则圆锥、圆柱、球的体积之比为（)A。

1∶3∶4 B.1∶3∶2C.1∶2∶4D.1∶4∶2解析:设球的半径为R,则V圆锥=πR2（2R)=πR3,V圆柱=πR2·2R=2πR3,V球=πR3.所以V锥∶V柱∶V球=∶2∶=1∶3∶2.答案：B2正方体的内切球的体积为36π,则此正方体的表面积是（)A.216 B。

72 C。

108 D。

648解析：设内切球半径为R,则πR3=36π,解得R=3。

于是正方体棱长为6,表面积为6×62=216.答案：A3在三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2，则三棱锥A1—ABC,B—A1B1C，C-A1B1C1的体积之比为()A。

1∶1∶1 B.1∶1∶2C。

1∶2∶4 D。

1∶4∶4解析：由棱锥的体积公式即可推知选项C正确。

答案：C4一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（)A.2π+2B。

汕头市选修一第一单元《空间向量与立体几何》检测卷(含答案解析)

一、选择题1．如图，正三角形ACB 与正三角形ACD 所在平面互相垂直，则二面角B CD A --的余弦值是（）A ．12B ．22C ．33D ．552．直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC AA ==，90ACB ∠=，则直线1A C 与平面11A BC 所成的角的大小为（）A ．30B ．60C ．90D ．1203．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（）A ．104B ．64C ．105D ．1554．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 为等边三角形，△PAC 为等腰直角三角形，PA ＝PC ＝4，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为（）A ．14B 2C ．2D ．125．在直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=，1AB BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A ．34-B ．34-C ．34D 36．在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，若2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则x y z ++=（） A ．52B ．2C ．32D ．1167．在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，22AC =PB ⊥平面ABC ，点M ，N 分别AC ，PB 的中点，6MN =，Q 为线段AB 上的点，使得异面直线PM 与CQ 所成的角的余弦值为3434，则BQ BA为（）A ．14B ．13C ．12D ．348．已知二面角l αβ--的两个半平面α与β的法向量分别为,a b ，且,a b 6π<>=，则二面角l αβ--的大小为（） A ．6π B ．56π C ．6π或56πD ．6π或3π9．如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（）A ．111333OA OB OC ++ B ．111234OA OB OC ++C ．111244OA OB OC ++ D ．111446OA OB OC ++10．已知()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于（） A ．9B ．647C ．657D ．66711．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，H 分别在棱1BB ，BC ，BA 上，且满足134BM BB =，12BN BC =，12BH BA =，O 是平面1B HN ，平面ACM 与平面11B BDD 的一个公共点，设BO xBH yBN zBM =++，则3x y z ++=（） A ．105B ．125C ．145D ．16512．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是AB 、AD 的中点，则EF DC ⋅=（） A ．14B ．14-C 3D ．3-13．已知四边形ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，四边形DGEA 与四边形DGFC 也都为正方形，连接,,EF FB BE ，点H 为BF 的中点，有下述四个结论： ①DE BF ⊥； ②EF 与CH 所成角为60︒； ③EC ⊥平面DBF ； ④BF 与平面ACFE 所成角为45︒．其中所有正确结论的编号是（） A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②③④二、填空题14．已知(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.若a 与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是________.15．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2，直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为_____．16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，O 是面ABCD 的中心，点P 在棱11C D 上移动，则OP 的最小值时，直线OP 与对角面11A ACC 所成的线面角正切值为__________．17．如图所示,在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===,点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，若=MN xa yb zc ++，则x y z ++=_____________18．已知空间三点(0,A 2，3)，(2,B 5，2)，(2,C -3，6)，则以,AB AC 为邻边的平行四边形的面积为______．19．正三棱柱ABC A B C '''-，2,22AB AA ='=M 是直线BC 上的动点，则异面直线AB '与C M '所成角的范围为_____________．20．如图，在棱长为2的正方体中，点P 在正方体的对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上，若P 为动点，Q 为动点，则PQ 的最小值为_____.21．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P 垂直于CM ，则PBC ∆的面积的最小值为__________.22．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，3BC =，点M 在棱1CC 上，且1MD MA ⊥，则当1MAD 的面积取得最小值时其棱1AA =________.23．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，122AA AB AC ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为3π，当1B M 最小时，AMB ∠=__________.24．已知三棱锥 A BCD -每条棱长都为1，点E ，G 分别是AB ，DC 的中点，则GE AC ⋅=__________．25．在空间直角坐标系中，(2,0,1)a x =--，(1,,2)b y =，且|2|13a b +=2m x y =+的取值范围是_____．26．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1160BAD A AB A AD ∠=∠=∠=︒，14,3,5AD AB AA ===，1AC =__．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】取AC 的中点E ，连接BE,DE,证明BE 垂直于平面ACD ，以点E 为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面BCD 和平面CDA 的法向量，利用空间向量公式即可求出所求二面角的余弦. 【详解】如图示，取AC 中点E ，连结BE 、DE ，在正三角形ACB 与正三角形ACD 中， BE ⊥AC ，DE ⊥AC ，因为面ACB ⊥面ACD ，面ACB 面=ACD AC ，所以BE ⊥面ADC ,以E 为原点，ED 为x 轴正方向，EC 为y 轴正方向，EB 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，设AC =2，则())()()(0,0,0,3,0,0,0,1,0,0,1,0,3E DC A B -,平面ACD 的一个法向量为(3EB = 而()()0,1,3,3,1,0CB CD =-=-，设(),,n x y z =为面BCD 的一个法向量，则：·0·0n CB n DC ⎧=⎨=⎩即 3030y z y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令x =1，则()1,3,1n = 设二面角B CD A --的平面角为θ，则θ为锐角，所以35cos |cos ,||||5||||35EB n EB n EB n θ⋅====⨯.故选：D 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.2．A解析：A 【分析】以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1A C 与平面11A BC 所成的角. 【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，又90ACB ∠=，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：设11AC BC AA ===，则()11,0,1A 、()0,1,0B 、()0,0,0C 、()10,0,1C ， ()111,0,0A C =-，()10,1,1=-BC ，()11,0,1=--AC ，设平面11A BC 的法向量为(),,n x y z =，由11100n AC x n BC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可得0x y z =⎧⎨=⎩，令1y =，可得0x =，1z =，所以，平面11A BC 的一个法向量为()0,1,1n =，1111cos ,222n A C n A C n A C⋅<>==-⨯⋅，所以，直线1A C 与平面11A BC 所成角的正弦值为12，则直线1A C 与平面11A BC 所成角为30.故选：A. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.3．C解析：C 【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA =，然后以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值. 【详解】由已知得1AA ⊥底面ABC ，且AC BC ⊥，所以111344332A PBC P ABC ABC V V S PA PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得2PA =. 如图所示，以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C 、()0,4,2P 、()3,0,0B 、()10,0,3C ，则()3,0,0CB =，()0,4,2CP =，()13,0,3BC =-. 设平面BCP 的法向量为(),,n x y z =，则由00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30420x y z =⎧⎨+=⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得2z =-，所以()0,1,2n =-为平面BCP 的一个法向量. 设直线1BC 与平面PBC 所成的角为θ，则()()1122221610sin cos ,3312n BC n BC n BC θ⋅-=<>===⋅-+⨯+- 故选：C. 【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角；（2）向量法，sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅（其中AB 为平面α的斜线，n 为平面α的法向量，θ为斜线AB 与平面α所成的角）.4．B解析：B 【分析】取AC 的中点O ，连结OP ，OB ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC 与PD 所成角的余弦值．【详解】取AC 的中点O ，连结OP ，OB ，PA PC =，AC OP ∴⊥，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， OP ∴⊥平面ABC ，又AB BC =，AC OB ∴⊥，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，PAC ∆是等腰直角三角形，4PA PC ==，ABC ∆为直角三角形，A ∴，0，0)，(C -0，0)，(0P ，0，， (2D ，6，0)，∴(AC =-0，0)，(2PD =，-，cos AC ∴<，4||||4AC PD PD AC PD >===-．∴异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为4．故选：B ．【点睛】本题考查异线直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．5．C解析：C 【分析】作出图形，分别取AC 、11A C 的中点O 、1O ，连接OB 、1OO ，然后以点O 为坐标原点，OA 、OB 、1OO 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设12AB BC CC ===，利用空间向量法可求出异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值.【详解】设12AB BC CC ===，分别取AC 、11A C 的中点O 、1O ，连接OB 、1OO ，在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 为平行四边形，则11//AC A C 且11AC A C =，O 、1O 分别为AC 、11A C 的中点，所以，11//AO AO 且11AO A O =，所以，四边形11AAO O 为平行四边形，11//OO AA ∴，1AA ⊥底面ABC ，1OO ∴⊥底面ABC ，AB BC =，O 为AC 的中点，OB AC ∴⊥，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、1OO 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，由于120ABC ∠=，则)3,0,0A、()0,1,0B 、()10,1,2B 、()13,0,2C ，()13,1,2AB =-，()13,1,2BC =--， 1111113cos ,42222AB BC AB BC AB BC ⋅===⨯⋅，因此，异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为34. 故选：C.【点睛】本题考查利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值，考查计算能力，属于中等题.6．A解析：A 【分析】根据空间向量的线性运算，得出AB BC AC AC CC CC →→→→→→⎛⎫=+=++ ⎪⎭'''⎝，结合题意，即可求出11,2y z ==，从而得出x y z ++的值. 【详解】解：由空间向量的线性运算，得AB BC AC AC CC CC →→→→→→⎛⎫=+=++ ⎪⎭'''⎝，由题可知，2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则1,1,21x y z ===，所以11,2y z ==， 151122x y z ∴++=++=. 故选：A.【点睛】本题考查空间向量的基本定理的应用，以及空间向量的线性运算，属于基础题. 7．A解析：A【分析】以B为原点，,,BA BC BP坐标轴建立空间直角坐标系，设BQBAλ=,由异面直线PM与CQ所成的角的余弦值为3434可列式222343244PM CQPM CQ，求出λ即可.【详解】如图，在三棱锥P ABC-中，2AB BC==，22AC=，BA BC∴⊥, PB⊥平面ABC，以B为原点，,,BA BC BP坐标轴建立空间直角坐标系，可知()0,0,0B，()0,2,0C，()1,1,0M，2,6BM MN，222BN MN BM，4PB∴=，则()0,0,4P，设BQBAλ=，且01λ<<，则2,0,0Q，可知1,1,4,2,2,0PM CQ,12124022PM CQ，22211432PM，244CQ，异面直线PM与CQ所成的角的余弦值为3434，22234343244PM CQPM CQ，解得14λ=或4λ=（舍去），14BQBA∴=.故选：A.【点睛】本题考查向量法求空间线段的比例分点，属于中档题.8．C解析：C【分析】由于方向量的方向性，平面的法向量有正向量或负向量；当a、b为异号向量，二面角为π减去两法向量夹角；当a、b为同号向量，二面角即为两法向量的夹角，由此即可求得二面角lαβ--【详解】两个半平面α与β的法向量分别为,a b，且,a b6π<>=由于向量的方向性，法向量与平面有两种情况当a、b为异号向量，如下图示：,a b6π<>=∴有二面角lαβ--为56π当a、b为同号向量，如下图示：,a b6π<>=∴有二面角lαβ--为6π综上，有二面角l αβ--为6π或56π 故选：C 【点睛】本题考查了二面角与平面法向量夹角的关系，依据法向量的夹角判断平面所成二面角的大小，注意法向量的方向性，讨论在不同情况下二面角的大小9．C解析：C 【分析】因为在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,12OE OA AD =+,即可求得答案. 【详解】在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点∴12OG OA AD =+11()22OA AB AC =+⨯+1()4OA OB OA OC OA =+⨯-+-111244OA OB OC =++ 故选:C. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,解题关键是掌握向量基础知识和数形结合,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.10．C解析：C 【分析】由题知，a 、b 、c 三个向量共面,则存在常数,p q ，使得c pa qb =+，由此能求出结果. 【详解】因为()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，且a 、b 、c 三个向量共面, 所以存在,p q 使得c pa qb =+.所以()()7,5,2,4,32p q p q p q λ=--+- ，所以274532p q q p p q λ-=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩，解得331765,,32777p q p q λ===-= . 故选:C.【点睛】本题主要考查空间向量共面定理求参数，还运用到向量的坐标运算.11．C解析：C 【分析】根据条件确定O 点位置，再根据向量表示确定,,x y z 的值，即得结果. 【详解】如图，Q 为AC 与BD 交点，P 为BQ 中点，O 为MQ 与1B P 的交点.过P 作PT 平行MQ 交1BB 于T .如图,则T 为BM 中点，所以1111131334224242MT BM BB MB MB ==⨯=⨯⨯=. 所以123B O OP =，因此1323421411()555352555BO BB BP BM BH BN BM BH BN =+=⋅+⋅+=++，因为BO xBH yBN zBM =++，所以411,,555z x y ===,1435x y z ∴++=. 故选：C 【点睛】本题考查平面向量基底表示，考查综合分析求解能力，属中档题.12．B解析：B 【分析】由题意作图，可得所求数量积为12BD DC ，由已知易得其模长和夹角，由数量积的定义可得答案．【详解】解：如图连接空间四边形ABCD 的对角线AC ，BD ，由空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，可知底面BCD 为等边三角形，故60BDC ∠=︒，又点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，所以12EF BD =，故11||||cos()22EF DC BD DC BD DC BDC π==-∠ 11111224⎛⎫=⨯⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：B ．【点睛】本题考查向量的数量积的运算，涉及向量的基本运算，属于基础题．13．B解析：B 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，写出所有点的坐标，利用向量法可以判断出正确的结论. 【详解】由题意得，所得几何体可以看成一个正方体，因此,,,DA DC DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设2AD DC DG ===，(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，(0,0,2)G ，(2,0,2)E ， (0,2,2)F ，(2,2,0)B ，(1,2,1)H ，①(2,0,2)DE =，(2,0,2)BF =-，4040DE BF ∴⋅=-++=，DE BF ∴⊥，DE BF ∴⊥，①是正确的.②(2,2,0)EF =-，(1,0,1)CH =，设EF 与CH 所成的角为θ，1cos 2||||EF CH EF CH θ⋅∴==⋅，[0,]θπ∈60θ︒∴=，②是正确的.③(2,2,2)EC =--，(2,2,0)DB =，(0,2,2)DF =，设(,,)n x y z 是平面DBF 的一个法向量，DB n DF n ⎧⋅⊥∴⎨⊥⎩，00DB n DF n ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩ 00x y y z +=⎧⇒⎨+=⎩取1x =，(1,1,1)n ∴=-，2EC n =-，//EC n ， EC ∴⊥平面DBF ，③是正确.④(2,0,2)BF =-，由图像易得：(1,1,0)m =是平面 ACEFF 的一个法量，设BF 与平面 ACFE 所成的角为θ，0,2πθ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，sin cos ,BF m θ∴=12||||BF m BF m ⋅==⋅， 30θ︒∴=，④不正确，综上：①②③正确. 故选：B . 【点睛】本题考查异面直线、直线与平面所成角的求法，直线与直线、直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及转化思想的应用，是中档题．二、填空题14．【分析】由根据与的夹角为钝角由且求解【详解】因为所以因为与的夹角为钝角所以且由得所以若与的夹角为则存在使即所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的应用还考查了运算求解的能力属于中档题解析：6652,,5515⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】由(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据a 与b 的夹角为钝角，由0a b ⋅<且,180a b ︒〈〉≠求解. 【详解】因为(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以2525(2)31355a b t t ⎛⎫⋅=⨯-++⨯-=- ⎪⎝⎭，因为a 与b 的夹角为钝角，所以0a b ⋅<且,180a b ︒〈〉≠，由0a b ⋅<，得52305t -<，所以5215t <. 若a 与b 的夹角为180︒，则存在0λ<，使a b λ=，即2(5,3,1)2,,5t λ⎛⎫=--⎪⎝⎭，所以523215t λλλ⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩，解得65t =-，故答案为：6652,,5515⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．4【分析】以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系设求出平面的一个法向量则则可以得到答案【详解】解：以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系设则故设平面的一个法向量为则解析：4 【分析】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系, 设1DD a =，求出平面1ACD 的一个法向量n ，则11cos ,3n CC <>=，则可以得到答案. 【详解】解：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1DD a =，则(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，1(0,0,)D a ，故(2,2,0)=-AC ，1(2,0,)AD a =-，1(0,0, )CC a =，设平面1ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则122020n AC x y n AD x az ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，可取21,1,n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故1112cos ,||||n CC n CC n CCa ⋅<>===⋅，又直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13， 13=，解得4a =．故答案为：4．【点睛】本题考查根据线面角，利用向量法求柱体的高，属于中档题.16．【分析】由题意以为坐标原点为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系求得以当即为中点时求得和平面的一个法向量为利用向量的夹角公式即可求解【详解】由题意以为坐标原点为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系则设则所以当即解析：13【分析】由题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，求得以当1x =，即P 为11C D 中点时，求得(0,1,2)OP =和平面11A ACC 的一个法向量为BD ，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()1,1,0O ，设()(),2,202P x x ≤≤．则2222(1)(12)(02)(1)5OP x x =-+-+-=-+ 所以当1x =，即P 为11C D 中点时，OP 5 此时点(1,2,2)P ，所以(0,1,2)OP =, 又由BD ⊥平面11A ACC ，且(2,2,0)BD =-, 即平面11A ACC 的一个法向量为(2,2,0)BD =-，设OP 与平面11A ACC 所成的角为θ，由线面角的公式可得sin cos ,21010OP BD OP BD OP BDθ⋅====⋅, 因为(0,)2πθ∈，由三角函数的基本关系式，可得1tan 3θ=.【点睛】本题主要考查了空间向量在空间角的求解中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，确定出点P 的位置，再利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.17．【分析】用表示从而求出即可求出从而得出答案【详解】点在上且为的中点故故答案为【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算运用向量的加法法则来求解属于基础题解析：13【分析】用,,a b c 表示,ON OM ，从而求出MN ，即可求出,,x y z ，从而得出答案【详解】,,,OA a OB b OC c ===点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点22=33OM OA a ∴=()111222ON OB OC b c =+=+ 112=223MN ON OM b c a ∴-=+-211,,322x y z ∴=-==故21113223x y z ++=-++= 故答案为13【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，运用向量的加法法则来求解，属于基础题18．【解析】分析：利用终点坐标减去起点坐标求得对应的向量的坐标进而求得向量的模以及向量的夹角的余弦值应用平方关系求得正弦值由此可以求得以为邻边的平行四边形的面积详解：由题意可得所以所以所以以为邻边的平行解析：【解析】分析：利用终点坐标减去起点坐标，求得对应的向量的坐标，进而求得向量的模以及向量的夹角的余弦值，应用平方关系求得正弦值，由此可以求得以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积.详解：由题意可得(2,3,1),(2,1,3)AB AC =-=-，49114,41AB AC =++==+=，所以2)31(1)32cos7BAC -+⨯+-⨯∠==-，所以sin BAC ∠=，所以以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为S == 点睛：该题考查的是有关空间向量的坐标以及夹角余弦公式，在解题的过程中，需要对相关公式非常熟悉，再者就是要明确平行四边形的面积公式，以及借助于向量的数量积可以求得对应角的余弦值.19．【分析】建立如图所示的空间直角坐标系设由向量法求两异面直线所成角的余弦表示为的函数求出最大值和最小值后得的范围这里需引入函数用导数求出函数的最小值从而得出的最大值【详解】以为轴为轴建立如图所示的空间解析：,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设CM kCB =，由向量法求两异面直线所成角的余弦cos θ表示为k 的函数，求出最大值和最小值后得θ的范围．这里需引入函数()f x 用导数求出函数的最小值，从而得出cos θ的最大值．【详解】以AB 为x 轴，AA '为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(2,0,B '，(2,0,0)B ，(1,3,0)C ，(1,3,2C '，设CM kCB =，则k ∈R ，(1,CB =，(0,0,(1,(,,C M C C CM k k ''=+=-+=-．又(2,0,AB '=，设直线AB '与C M '所成角为θ，则cos 2AB C M AB C M θ''⋅==''=， 4k =时，min (cos )0θ=，设2()2f x x =+，则2232222(4)2422()(2)xx x x x f x x +--⋅++'==+，12x <-时，()0f x '<，()f x 递减，12x >-时，()0f x '>，()f x 递增，∴12x =-时，()f x 取得极小值也是最小值132f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，4x <时，()0f x <，4x >时，222(4)8162x x x x -=-+<+，212x <+，∴max ()3f x =，max 3(cos )23θ==，即30cos θ≤≤，∴,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故答案为：,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】方法点睛：本题考查求异面直线所成的角．解题方法是空间向量法．求异面直线所成角的方法：（1）几何法（定义法）：作出异面直线所成的角并证明，然后解三角形得解；（2）向量法：建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量的夹角余弦的绝对值得异面直线所成角的余弦值，从而得角．20．【分析】建立空间直角坐标系利用三点共线设出点P(λλ2﹣λ)0≤λ≤2以及Q(02μ)0≤μ≤2根据两点间的距离公式以及配方法即可求解【详解】建立如图所示空间直角坐标系设P(λλ2﹣λ)Q(02μ) 解析：2【分析】建立空间直角坐标系，利用,,A B P 三点共线设出点P (λ，λ，2﹣λ)，0≤λ≤2，以及Q (0，2，μ)，0≤μ≤2，根据两点间的距离公式，以及配方法，即可求解. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设P (λ，λ，2﹣λ)， Q (0，2，μ)(0≤λ≤2且0≤μ≤2)，可得PQ =22222(2)(2)2(1)(2)2λλλμλλμ+-+--=-+--+，∵2(λ﹣1)2≥0，(2﹣λ﹣μ)2≥0，∴2(λ﹣1)2+(2﹣λ﹣μ)2+2≥2，当且仅当λ﹣1=2﹣λ﹣μ=0时，等号成立，此时λ=μ=1， ∴当且仅当P ､Q 分别为AB ､CD 的中点时， PQ 的最小值为2. 故答案为:2.【点睛】本题考查空间向量法求两点间的距离，将动点用坐标表示是解题的关键，考查配方法求最值，属于中档题.21．【分析】建立空间直角坐标系由求得得到进而求得三角形的面积的最小值得到答案【详解】以D 点为空间直角坐标系的原点以DC 所在直线为y 轴以DA 所在直线为x 轴以为z 轴建立空间直角坐标系则点所以因为所以因为所以 25【分析】建立空间直角坐标系，由1D P CM ⊥，求得22z y =-，得到25128BP y y =-+而求得三角形的面积的最小值，得到答案. 【详解】以D 点为空间直角坐标系的原点，以DC 所在直线为y 轴，以DA 所在直线为x 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系.则点1(2,,),(0,0,2)P y z D ，所以1(2,,2)D P y z =-.因为(0,2,0),(2,0,1)C M ，所以(2,2,1)CM =-,因为1D P CM ⊥,所以4220y z -+-=，所以22z y =-，因为B(2，2，0)，所以(0,2,)BP y z =-，所以22222(2)(2)(22)5128BP y z y y y y =-+=-+-=-+ 因为02y ≤≤，所以当65y =时，min255BP =. 因为BC ⊥BP ,所以min 12525()2255PBC S ∆=⨯⨯=. 故答案为：25. 【点睛】本题主要考查了空间向量的应用，其中解答建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标表示，以及向量的数量积的运算，求得BP 的最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.22．【分析】设建立空间直角坐标系由向量的垂直可得进而可得由基本不等式即可得解【详解】设如图建立空间直角坐标系则所以又所以所以所以当且仅当时等号成立所以当的面积取得最小值时其棱故答案为：【点睛】本题考查了解析：322【分析】设()10AA m m =>，()0M n n C m =≤≤，建立空间直角坐标系，由向量的垂直可得1m n n -=，进而可得1221452MAD S n n=++△，由基本不等式即可得解. 【详解】设()10AA m m =>，()0M n n C m =≤≤，如图建立空间直角坐标系，则()10,0,D m ，()0,1,M n ，)A，所以()10,1,M n m D =-，()AM n =-，又1MD MA ⊥，所以()110M A D M n n m ⋅=+-=，所以1m n n-=，所以1112MAD S M AM D =⋅==△32==≥=，当且仅当n =m =所以当1MAD 的面积取得最小值时其棱1AA =.. 【点睛】本题考查了空间向量及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，合理转化、细心计算是解题关键，属于中档题.23．【分析】根据题意建立空间直角坐标系设出的长写出各个点的坐标求得平面与平面的法向量利用法向量及二面角大小求得的等量关系即可判断当取最小时各自的长即可求得的正切值进而求得的大小【详解】因为三棱柱中两两互解析：6π【分析】根据题意,建立空间直角坐标系,设出,CN BM 的长,写出各个点的坐标,求得平面AMN 与平面ABC 的法向量,利用法向量及二面角大小,求得,CN BM 的等量关系.即可判断当1B M 取最小时,CN BM 各自的长.即可求得AMB ∠的正切值,进而求得AMB ∠的大小. 【详解】因为三棱柱111ABC A B C -中,AB ,AC ,1AA 两两互相垂直,建立如下图所示的空间直角坐标系:122AA AB AC ==,M ,N 是线段1BB ,1CC 上的点可设,,1BM a CN b AB ===,则12,1AA AB == 所以()()0,0,0,1,0,0A B ,()()1,0,,0,1,M a N b 则()()1,0,,0,1,AM a AN b == 设平面AMN 的法向量为(),,m x y z =则00AM m AN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩,代入可得00x az y bz +=⎧⎨+=⎩,令1z =代入解得x ay b =-⎧⎨=-⎩所以(),,1m a b =--平面ABC 的法向量()0,0,1n =由题意可知平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为3π则由平面向量数量积定义可知22cos 31m n m na b π⋅==⋅++化简可得223a b +=1B M 最小值,即a 取得最大值,当0b =时,a 取得最大值为3a =所以3tan 33AB AMB MB ∠===所以6AMB π∠= 故答案为: 6π 【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用,由法向量法结合二面角求值,属于中档题.24．【分析】构造一个正方体三棱锥放入正方体中建立坐标系利用数量积公式求解即可【详解】将三棱锥放入如下图所示的正方体中且棱长为分别以为轴故答案为：【点睛】本题主要考查了求空间向量的数量积属于中档题解析：12-【分析】构造一个正方体，三棱锥A BCD -放入正方体中，建立坐标系利用数量积公式求解即可. 【详解】将三棱锥A BCD -放入如下图所示的正方体中，且棱长为22分别以,,OC OD OB 为,,x y z 轴222222222(,,),(,0,0),(,,0),(,,)222244442A C G E (0,02222,),(20,,)2GE AC ==-- 122)(=2GE AC ∴⋅=--⨯ 故答案为：12-【点睛】本题主要考查了求空间向量的数量积，属于中档题.25．【分析】推导出由得到从而由此能求出的取值范围【详解】在空间直角坐标系中整理得：的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查代数式的取值范围的求法考查空间向量坐标运算法则椭圆的参数方程等基础知识考查运算求解解析：17,17⎡-⎣【分析】推导出2(a b x +=，2y ，3)，由|2|13a b +=2214x y +=，从而2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(02)θπ≤<，由此能求出2m x y =+的取值范围．【详解】在空间直角坐标系中，(2,0,1)a x =--，(1,,2)b y =，∴2(,2,3)a b x y +=，|2|13a b +=，∴=2244x y +=，∴2214x y +=， ∴2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(02)θπ≤<，2sin 4cos )m x y θθθα∴=+=+=+，tan 4α=．2m x y ∴=+的取值范围是[．故答案为：[．【点睛】本题考查代数式的取值范围的求法，考查空间向量坐标运算法则、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，求解时注意三角函数中辅助角公式及有界性的应用．26．【分析】先由空间向量的基本定理将向量用一组基底表示再利用向量数量积的性质计算即可【详解】∵六面体ABCD ﹣A1B1C1D1是平行六面体∵=++∴=（++）2=+++2+2+2又∵∠BAD=∠A1AB【分析】先由空间向量的基本定理，将向量1AC 用一组基底1AA AD AB ，，表示，再利用向量数量积的性质22a a =，计算1AC 即可【详解】∵六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是平行六面体， ∵1AC =1AA +AD +AB∴21AC =（1AA +AD +AB ）2=21AA +2AB +2AD +21AA AD ⋅+21AA AB⋅+2AB AD ⋅ 又∵∠BAD=∠A 1AB=∠A 1AD=60°，AD=4，AB=3，AA 1=5， ∴21AC =16+9+25+2×5×4×cos60°+2×5×3×cos60°+2×3×4×cos60°=97 ∴197AC =【点睛】本题考察了空间向量的基本定理，向量数量积运算的意义即运算性质，解题时要特别注意空间向量与平面向量的异同。

人教A版数学必修一期末复习—立体几何答案.docx

高中数学学习材料唐玲出品惠安一中09级高一上学期数学期末综合复习卷——立体几何命题者：审核者：班级姓名学号成绩一．选择题1..已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1,A′O′=23,那么原△ABC是一个（）A.等边三角形B.直角三角形C.三边中有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形2. 下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A．9π B.10πC．11π D.12π第1题第2题3.下列命题中，真命题是（）A.若直线m、n都平行于α，则nm//B.设βα--l是直二面角，若直线,lm⊥则β⊥mC.若m、n在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，且nm⊥，则α⊂n或α//nD.若直线m、n是异面直线，α//m，则n与α相交4．关于直线,m n与平面,αβ，有以下四个命题：①若//,//m nαβ且//αβ，则//m n；②若,m nαβ⊥⊥且αβ⊥，则m n⊥；③若,//m nαβ⊥且//αβ，则m n⊥；④若//,m nαβ⊥且αβ⊥，则//m n；其中假命题的序号是( )A．①② B．③④C．②③D．①④5.已知一个实心铁质的几何体的正视图、侧视图和俯视图都是半径为3的圆，将6个这样的几何体熔成一个实心正方体，则该正方体的表面积为（）A.32216p B.3216πC.32210πD.3210π6．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位:cm)，可得这个几何体的体积是（）A.30004cm3B.30008cm3 C.2 000 cm 3 D.4 000cm3第6题第7题7.如图，在正四棱柱ABC D－DCBA''''中(底面是正方形的直棱柱)，侧棱AA'=3，2=AB，则二面角ABDA--'的大小为 ( )A．30o B．45o C．60o D．90o8. 当圆锥的侧面积和底面积的比值是2时，圆锥轴截面的顶角等于（）A ．45oB ．60oC ．90oD ．120o9.三棱台ABC -A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1=1∶2，则三棱锥A 1-ABC ，B -A 1B 1C ，C -A 1B 1C 1的体积之比为（）A .1∶1∶1B .1∶1∶2C .1∶2∶4D .1∶4∶410.将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线AD 与BC 所成的角为（）A . 30oB . 45oC . 60oD . 90o 二．填空题11.已知正四棱柱的体对角线长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，该正四棱柱体积为。

人教A版数学必修一期末复习—立体几何答案

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）惠安一中09级高一上学期数学期末综合复习卷——立体几何命题者：审核者：班级姓名学号成绩一．选择题1..已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1,A′O′=23,那么原△ABC是一个（）A.等边三角形B.直角三角形C.三边中有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形2. 下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A．9π B.10πC．11π D.12π第1题第2题3.下列命题中，真命题是（）A.若直线m、n都平行于α，则nm//B.设βα--l是直二面角，若直线,lm⊥则β⊥mC.若m、n在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，且nm⊥，则α⊂n或α//nD.若直线m、n是异面直线，α//m，则n与α相交4．关于直线,m n与平面,αβ，有以下四个命题：①若//,//m nαβ且//αβ，则//m n；②若,m nαβ⊥⊥且αβ⊥，则m n⊥；③若,//m nαβ⊥且//αβ，则m n⊥；④若//,m nαβ⊥且αβ⊥，则//m n；其中假命题的序号是( )A．①② B．③④C．②③D．①④5.已知一个实心铁质的几何体的正视图、侧视图和俯视图都是半径为3的圆，将6个这样的几何体熔成一个实心正方体，则该正方体的表面积为（）A.32216p B.3216πC.32210πD.3210π6．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位:cm)，可得这个几何体的体积是（）A.30004cm3B.30008cm3 C.2 000 cm 3 D.4 000cm3第6题第7题7.如图，在正四棱柱ABC D－DCBA''''中(底面是正方形的直棱柱)，侧棱AA'=3，2=AB，则二面角ABDA--'的大小为 ( )A．30o B．45o C．60o D．90o8. 当圆锥的侧面积和底面积的比值是2时，圆锥轴截面的顶角等于（）A ．45oB ．60oC ．90oD ．120o9.三棱台ABC -A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1=1∶2，则三棱锥A 1-ABC ，B -A 1B 1C ，C -A 1B 1C 1的体积之比为（）A .1∶1∶1B .1∶1∶2C .1∶2∶4D .1∶4∶410.将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线AD 与BC 所成的角为（）A . 30oB . 45oC . 60oD . 90o 二．填空题11.已知正四棱柱的体对角线长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，该正四棱柱体积为。

(常考题)人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试(含答案解析)

一、选择题1．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为111,BD B C 的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP CN ⊥，则下列说法正确的是（）A ．点P 可以是棱1BB 的中点 B ．线段MP 的最大值为32C ．点P 的轨迹是正方形D ．点P 轨迹的长度为2+52．设,,,A B C D 是空间不共面的四点，且满足AB AC 0⋅=，AB AD 0⋅=，AC AD 0⋅=，则BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形3．如图，正四棱锥P ABCD -中，已知PA a =，PB b =，PC c =，12PE PD =，则BE =（）A ．131222a b c -+ B ．111222a b c --- C ．131222a b c --+ D ．113222a b c --+ 4．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A ．306B ．6C ．3 D ．6 5．如图，三棱锥S ﹣ABC 中，SA ＝SB ＝SC ，∠ABC ＝90°，AB ＞BC ，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CA 的中点，记直线SE 与SF 所成的角为α，直线SG 与平面SAB 所成的角为β，平面SEG 与平面SBC 所成的锐二面角为γ，则（）A ．α＞γ＞βB ．α＞β＞γC ．γ＞α＞βD ．γ＞β＞α6．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1A P 平行于平面AEF ，则线段1A P 长度的最小值为（）A 2B ．322C 3D 57．在三棱锥P ABC -中，PA ，AB ，AC 两两垂直，D 为棱PC 上一动点，2PA AC ==，3AB =.当BD 与平面PAC 所成角最大时，AD 与平面PBC 所成角的正弦值为（）A．11 B．21111C ．311D ．411118．已知1e ，2e 是夹角为60的两个单位向量，则12a e e =+与122b e e =-的夹角是（） A ．60B ．120C ．30D ．909．如图所示,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,AB a =,AD b =,1AA c =,M 是1D D 的中点,点N 是1AC 上的点,且113AN AC =,用,,a b c 表示向量MN 的结果是( )A ．12a b c ++ B ．114555a b c ++C ．1315105a b c --D ．121336a b c --10．下列结论中①若空间向量()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，则312123a a ab b b ==是//a b 的充要条件； ②若2x <是x a <的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为2a <； ③已知α，β为两个不同平面，a ，b 为两条直线，m αβ=，a α⊂，b β⊂，a m ⊥，则“αβ⊥”是“ab ⊥”的充要条件；④已知向量n 为平面α的法向量，a 为直线l 的方向向量，则//a n 是l α⊥的充要条件. 其中正确命题的序号有（） A ．②③B ．②④C ．②③④D ．①②③④11．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为,OB AC ，,M N 分别是对边,OB AC 的中点，点G 在线段MN 上，2MG GN =，现用基向量,,OA OB OC 表示向量OG ，设OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别是（）A ．111333x y z ===，， B ．111336x y z ===，， C ．111363x y z ===，， D ．111633x y z ===，， 12．点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是（） A ．1[1,]4--B ．11[,]24--C ．[1,0]-D ．1[,0]2-13．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是（） A ．OM OA OB OC =++ B ．23OM OA OB OC =++ C ．111222OM OA OB OC =++ D ．111333OM OA OB OC =++ 二、填空题14．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14CC =，点E 是线段1CC 的中点，点F 是正方形ABCD 的中心，则直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值为___15．如图，已知平面α⊥平面β，l αβ=，∈A l ，B l ∈，AC α⊂，BD β⊂，AC l ⊥，BD l ⊥，且4AB =，3AC =，12BD =，则CD =_________________.16．已知正三棱锥P ABC -的侧棱长为2020，过其底面中心O 作动平面α交线段PC 于点S ，交,PA PB 的延长线于,M N 两点，则111PS PM PN++的取值范围为__________17．平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，且1AB =，2AD =，13AA =，则1AC 等于______.18．写出直线210x y ++=的一个法向量n =______．19．如图所示,在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===,点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，若=MN xa yb zc ++，则x y z ++=_____________20．在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，14AA AB AC ===，点E 为棱1CC 上一点，且异面直线1A B 与AE 130CE 的长为______.21．在棱长为9的正方体ABCD A B C D ''''-中，点E ，F 分别在棱AB ，DD '上，满足2AE D E DFB F '==，点P 是DD '上一点，且//PB 平面CEF ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为______.22．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC ⊥，AC BC ⊥，2AC BC ==，160C CB ∠=︒，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1AD =，2CE =，则二面角1B B E D --的正切值_______23．如图，在棱长为2的正方体中，点P 在正方体的对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上，若P 为动点，Q 为动点，则PQ 的最小值为_____.24．如图，矩形ABCD 中，1,AB BC a ==，PA ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一个点Q 满足PQ DQ ⊥，则a 的值等于________.25．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为顶点的三条棱的长均为2，且两两所成角均为60°，则1||AC =__________.26．已知三棱锥 A BCD -每条棱长都为1，点E ，G 分别是AB ，DC 的中点，则GE AC ⋅=__________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，根据MP CN ⊥，确定点P 的轨迹，在逐项判断，即可得出结果. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，因为该正方体的棱长为1，,M N 分别为111,BD B C 的中点，则()0,0,0D ，111,,222M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1,12N ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,0C ，所以1,0,12CN ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设(),,P x y z ，则111,,222MP x y z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，因为MP CN ⊥，所以1110222x z ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，2430x z +-=，当1x =时，14z =；当0x =时，34z =；取11,0,4E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,1,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,1,4G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,0,4H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接EF ，FG ，GH ，HE ，则()0,1,0EF GH ==，11,0,2EH FG ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以四边形EFGH 为矩形，则0EF CN ⋅=，0EH CN ⋅=，即EF CN ⊥，EH CN ⊥，又EFEH E =，且EF ⊂平面EFGH ，EH ⊂平面EFGH ，所以CN ⊥平面EFGH ，又111,,224EM ⎛⎫=-⎪⎝⎭，111,,224MG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以M 为EG 中点，则M ∈平面EFGH ，所以，为使MP CN ⊥，必有点P ∈平面EFGH ，又点P 在正方体的表面上运动，所以点P 的轨迹为四边形EFGH ，因此点P 不可能是棱1BB 的中点，即A 错；又1EF GH ==，5EH FG ==，所以EF EH ≠，则点P 的轨迹不是正方形；且矩形EFGH 的周长为2222+⨯=+C 错，D 正确；因为点M 为EG 中点，则点M 为矩形EFGH 的对角线交点，所以点M 到点E 和点G的距离相等，且最大，所以线段MP ，故B 错. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法，由MP CN ⊥，求出动点轨迹图形，即可求解.2．B解析：B 【分析】由0AB AC ⋅=，0AB AD ⋅=，0AC AD ⋅=，可得()()20BC BD AC AB AD AB AB ⋅=--=>，B ∠是锐角，同理可得D ∠，C ∠都是锐角，从而可得结果．【详解】因为0AB AC ⋅=，0AB AD ⋅=，0AC AD ⋅=，所以()()220BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=--=⋅-⋅-⋅+=>，cos 0BC BD B BC BD⋅∴=>⋅，故B ∠是锐角，同理0CB CD ⋅>，0DC DB ⋅>，可得D ∠，C ∠都是锐角，故BCD 是锐角三角形，故选B ．【点睛】本题主要考查向量的数量积的运算以及向量运算的三角形法则，属于中档题．判断三角形的形状有两种基本的方法：①看三角形的角；②看三角形的边.3．A解析：A 【分析】连接AC BD 、交点为O ，根据根据向量加法运算法则1122PO PA PC =+，1122PO PD PB =+，求得PD ，然后由BE BP PE =+求解. 【详解】如图所示：连接AC BD 、交点为O ，则1122PO a c =+，又1122PO PD PB =+，所以PD a c b =+-，又11112222PE PD a c b ==+-，所以131222BE BP PE a b c =+=-+. 故选：A. 【点睛】本题主要考查空间向量基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.4．D解析：D 【分析】根据三棱柱的边长和角度关系，设棱长为1，分别求得AB AC ⋅、1AB AA ⋅、1AC AA ⋅的数量积，并用1,,AA AC AB 表示出1AB 和1BC ，结合空间向量数量积的定义求得11AB BC ⋅，再求得1AB 和1BC ，即可由向量的夹角公式求得异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值. 【详解】三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，设棱长为1，则111cos602AB AC ⋅=⨯⨯︒=，1111cos602AB AA ⋅=⨯⨯︒=，1111cos602AC AA ⋅=⨯⨯︒=. 11AB AB AA =+，11BC AA AC AB =+-，所以()()1111AB BC AB AA AA AC AB ⋅=+⋅+-221111AB AA AB AC AB AA AA AC AA AB =⋅+⋅-++⋅-⋅11111112222=+-++-= 而()222111123AB AB AA AB AB AA AA =+=+⋅+=，()2111BC AA AC AB =+-==，所以111111cos 2AB BC AB BC AB BC ⋅<⋅>===⋅，故选：D. 【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，空间向量数量积的定义与运算，异面直线夹角的向量求法，属于中档题.5．A解析：A 【分析】根据题意可知，G 作SE 的垂线l ，显然l 垂直平面SAB ，故直线SG 与平面SAB 所成的角为β＝∠GSE ，同理，平面SEG 与平面SBC 所成的锐二面角为γ＝∠FSG ，利用三角函数结合几何性质，得出结论. 【详解】因为AB ⊥BC ，SA ＝SB ＝SC ，所以AB ⊥SE ，所以AB ⊥平面SGE ，AB ⊥SG ，又SG ⊥AC ，所以SG ⊥平面ABC ，过G 作SE 的垂线l ，显然l 垂直平面SAB ，故直线SG 与平面SAB 所成的角为β＝∠GSE ，同理，平面SEG 与平面SBC 所成的锐二面角为γ＝∠FSG ，由tanγ＝tan FG EGSG SGβ>=，得γ＞β，γ也是直线SF 与平面SEG 所成的角，由cosα＝cosβ•cosγ＜cosγ，则α＞γ，所以α＞γ＞β，故选：A .【点睛】本题考查了异面直线夹角，线面夹角，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.6．B解析：B 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z ，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段1A P 长度取最小值. 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()12,0,0,1,2,0,0,2,1,2,0,2A E F A ，(1,2,0),(2,2,1)AE AF =-=-，设平面AEF 的法向量(),,n x y z =，则20220n AE x y n AF x y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-++=⎩，取1y =，得()2,1,2n =，设(),2,,02,02P a c a c ≤≤≤≤，则()12,2,2A P a c =--， ∵1A P 平行于平面AEF ，∴()()1222220A P n a c ⋅=-++-=，整理得3a c +=，∴线段1A P 长度222222139||(2)2(2)(2)4(1)222A P a c a a a ⎛⎫=-++-=-++-=-+ ⎪⎝⎭，当且仅当32a c ==时，线段1A P 长度取最小值32. 故选：B. 【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.7．C解析：C 【分析】首先利用线面角的定义，可知当D 为PC 的中点时，AD 取得最小值，此时BD 与平面PAC 所成角最大，再以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，利用向量坐标法求线面角的正弦值. 【详解】,AB AC AB PA ⊥⊥，且PA AC A =， AB ∴⊥平面PAC ，易证AB ⊥平面PAC ，则BD 与平面PAC 所成角为ADB ∠，3tan AB ADB AD AD∠==，当AD 取得最小值时，ADB ∠取得最大值在等腰Rt PAC ∆中，当D 为PC 的中点时，AD 取得最小值.以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)D ，则(0,1,1)AD =，(0,2,2)PC=-，(3,2,0)BC =-设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0n PC n BC ⋅=⋅=，即220320y z x y -=⎧⎨-+=⎩令3y =，得(2,3,3)n =.因为cos ,11n AD 〈〉==，所以AD 与平面PBC . 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题重点考查线面角，既考查了几何法求线面角，又考查向量法求线面角，本题关键是确定点D 的位置，首先利用线面角的定义确定点D 的位置，再利用向量法求线面角.8．B解析：B 【分析】利用平面向量的数量积公式先求解a b ⋅，再计算a 与b ，根据数量积夹角公式，即可求解. 【详解】由题意得：()()12122a b e e e e ⋅=+⋅-221122132111222e e e e =-⋅-=-⨯⨯-=-，2222121122()21a e e e e e e a ==+=++==⋅2222112122(2)4?41b b e e e e e e ==-=+-=-=设,a b 夹角为312,cos ,018032a b a bθθθ-⋅===-︒≤≤︒⋅，∴120θ=.故选：B. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的夹角问题，难度一般，准确运用向量的数量积公式即可.9．D解析：D 【分析】在平行六面体1111ABCD A B C D -中根据空间向量的加法合成法则,对向量MN 进行线性表示,即可求得答案. 【详解】连接1C M113AN AC =可得:1123C N C A =()111AC AA AC AA AD AB c a b =+=++=++∴1122223333C N C A c a b ==--- 又112C M a c =--∴11MN C N C M =-22213332c a b a c ⎛⎫=------ ⎪⎝⎭121336a b c --= ∴121336a b N c M =--故选: D. 【点睛】本题考查了空间向量的加法运算,解题关键是掌握向量的加法运算和数形结合,属于基础题.10．B解析：B 【分析】①由112233//,,()a b a b a b a b a b R λλλλλ⇔=⇔===∈可判断①不正确; ②由2x <是x a <的必要不充分条件,可得{|2}x x < {|}x x a <,从而得到2a <正确; ③根据面面垂直的性质和判定定理即可判断; ④结合利用法向量与方向向量的定义即可判断. 【详解】解:①空间向量()123,,a a a a =,()123,,b b b b =,则112233//,,()a b a b a b a b a b R λλλλλ⇔=⇔===∈,所以312123a a a b b b ==是//a b的充要条件错误,故①不正确;②若2x <是x a <的必要不充分条件,则{|2}x x < {|}x x a <, 所以2a <,故②正确;③若αβ⊥,则由条件可得a β⊥,又b β⊂,所以a b ⊥; 若a b ⊥,则根据条件得不到αβ⊥,故③不正确;④若//a n ,则a α⊥,因为a 为直线l 的方向向量,所以l α⊥; 若l α⊥,则a α⊥,因为n 为平面α的法向量,所以//a n ,故④正确. 综上,正确命题的序号为②④. 故选:B . 【点睛】本题考查了空间向量平行的充要条件,利用必要不充分条件求参数范围,平面与平面垂直的判定和利用法向量与方向向量判定平行和垂直关系,属中档题.11．D解析：D 【分析】根据向量的加减法运算和数乘运算原则可表示出OG ，进而得到结果. 【详解】()1212121223232323OG OM MG OA MN OA MA AN OA OA AN=+=+=++=+⨯+()525221636332OA AB BN OA AB BC =++=++⨯()()521111633633OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=++ 16x ∴=，13y =，13z =故选：D 【点睛】本题考查用基底表示向量，关键是能够熟练掌握向量的加减法运算和数乘运算原则.12．D解析：D 【分析】以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以1DD 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点P 的坐标为(,,)x y z ，其中01,01,1x y z ≤≤≤≤=，用坐标运算计算出1PA PC ⋅，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围．【详解】以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以1DD 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示；则点1(1,0,0),(0,1,1)A C 设点P 的坐标为(,,)x y z ，由题意可得 01,01,1x y z ≤≤≤≤=，1(1,,1),(,1,0)PA x y PC x y ∴=---=--22221111(1)(1)0222PA PC x x y y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫∴⋅=----+=-+-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二次函数的性质可得，当12x y ==时1PA PC ⋅取得最小值为12-；当0x =或1，且0y =或1时，1PA PC ⋅取得最大值为0，则1PA PC ⋅的取值范围是1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选D ．【点睛】本题考查空间向量的数量积运算，解题方法量建立空间直角坐标系，引入坐标后，把向量的数量积用坐标表示出来，然后利用函数的性质求得最大值和最小值．13．D解析：D 【分析】首先利用坐标法，排除错误选项，然后对符合的选项验证存在,λμ使得AM AB AC λμ=+，由此得出正确选项.【详解】不妨设()()()()0,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1O A B C .对于A 选项，()1,1,3OM OA OB OC =++=，由于M 的竖坐标31>，故M 不在平面ABC 上，故A 选项错误.对于B 选项，()231,3,6OM OA OB OC =++=，由于M 的竖坐标61>，故M 不在平面ABC 上，故B 选项错误.对于C选项，111113,,222222OM OA OB OC⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，由于M的竖坐标312>，故M不在平面ABC上，故C选项错误.对于D选项，11111,,133333OM OA OB OC⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，由于M的竖坐标为1，故M在平面ABC上，也即,,,A B C M四点共面.下面证明结论一定成立：由111333OM OA OB OC=++，得()()1133OM OA OB OA OC OA-=-+-，即1133AM AB AC=+，故存在13λμ==，使得AM AB ACλμ=+成立，也即,,,A B C M四点共面.故选：D.【点睛】本小题主要考查空间四点共面的证明方法，考查空间向量的线性运算，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题14．【分析】以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系写出向量的坐标利用空间向量法可求得直线与直线所成角的余弦值【详解】如下图所示以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系则点因此直线与直线解析：269【分析】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，写出向量1A E、1B F的坐标，利用空间向量法可求得直线1A E与直线1B F所成角的余弦值.【详解】如下图所示，以点D为坐标原点，DA、DC 、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D xyz-，则点()12,0,4A、()12,2,4B、()0,2,2E、()1,1,0F，()12,2,2A E=--，()11,1,4B F=---，11111126cos,2332A EB FA EB FA EB F⋅<>===⨯⋅，因此，直线1A E与直线1B F26.故答案为：269.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．15．13【分析】根据面面垂直得线面垂直进而得再根据向量模的平方求得结果【详解】因为平面平面所以因为所以故答案为：13【点睛】本题考查面面垂直性质定理利用空间向量求线段长考查基本分析论证与求解能力属中档题解析：13 【分析】根据面面垂直得线面垂直，进而得AC BD ⊥,再根据向量模的平方求得结果. 【详解】因为平面α⊥平面β，l αβ=，AC α⊂,AC l ⊥，所以AC β⊥，因为BD β⊂，所以AC BD ⊥， CD CA AB BD =++2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD ∴=+++⋅+⋅+⋅ 2222341200013||13CD =+++++=∴=故答案为：13 【点睛】本题考查面面垂直性质定理、利用空间向量求线段长，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.16．【分析】设则根据空间四点共面的条件又四点共面则即得出答案【详解】设则由为底面中心又因为四点共面所以且所以即即故答案为：【点睛】本题考查空间四点共面的条件的应用属于中档题解析：32020⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】设,,PM x PN y PS z ===,则111333zPA PB PC PO PM PN PS x y =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅,根据空间四点共面的条件，又,,,S M N O 四点共面，则202020202020+1333zx y +=，即得出答案. 【详解】设,,PM x PN y PS z ===. 则PA PA PM x=⋅,PB PB PN y=⋅,PC PC PS z=⋅.由O 为底面ABC 中心, ()2132PO PA AO PA AB AC =+=+⨯+ ()()133PA PB PCPA PB PA PC PA ++⎡⎤=+-+-=⎣⎦111333z PA PB PC PM PN PS x y =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ 333z PAPBPCPM PN PS x y =⋅+⋅+⋅又因为,,,S M N O 四点共面,所以+1333z PAPB PC x y +=且2020PA PB PC ===. 所以202020202020+1333z x y +=，即1113+z 2020x y += 即11132020PS PM PN ++=. 故答案为：32020⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查空间四点共面的条件的应用，属于中档题.17．5【分析】将已知条件转化为向量则有利用向量的平方以及数量积化简求解由此能求出线段的长度【详解】平行六面体中即向量两两的夹角均为则因此故答案为:5【点睛】本题考查向量的数量积和模在求解距离中的应用考查解析：5【分析】将已知条件转化为向量则有11AC AB BC CC →→→→=++,利用向量的平方以及数量积化简求解,由此能求出线段1AC 的长度．【详解】平行六面体1111ABCD A B C D -中, 1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒,即向量1,,AB AD AA →→→两两的夹角均为1601,2,3AB AD AA →→→︒===，,则11AC AB BC CC →→→→=++22221111222149212cos60213cos60223cos6025AC AB BC CC AB BC BC CC CC AB→→→→→→→→→→︒︒︒=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 因此15AC →=.故答案为:5.【点睛】本题考查向量的数量积和模在求解距离中的应用,考查学生转化与划归的能力,难度一般. 18．【分析】化直线方程为斜截式求出直线的斜率得到直线的一个方向向量进而可求得直线的一个法向量得到答案【详解】由题意化直线的方程为斜截式可得直线的斜率为-2所以直线的一个方向向量为所以直线的一个法向量为故解析：()21，【分析】化直线方程为斜截式，求出直线的斜率，得到直线的一个方向向量，进而可求得直线的一个法向量，得到答案．【详解】由题意，化直线210x y ++=的方程为斜截式21y x =--，可得直线的斜率为-2，所以直线的一个方向向量为12-（，），所以直线的一个法向量为21（,）．故答案为21（，）【点睛】本题主要考查了直线的方向向量和法向量的意义、数量积的运算是解题的关键，是基础题．19．【分析】用表示从而求出即可求出从而得出答案【详解】点在上且为的中点故故答案为【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算运用向量的加法法则来求解属于基础题解析：13【分析】用,,a b c 表示,ON OM ，从而求出MN ，即可求出,,x y z ，从而得出答案【详解】,,,OA a OB b OC c ===点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点22=33OM OA a ∴= ()111222ON OB OC b c =+=+ 112=223MN ON OM b c a ∴-=+-211,,322x y z ∴=-== 故21113223x y z ++=-++= 故答案为13【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，运用向量的加法法则来求解，属于基础题 20．【分析】利用基向量表示出结合异面直线所成角确定点E 的位置从而可求的长也可以建立空间坐标系利用空间向量坐标求解【详解】设则因为异面直线与所成角的余弦值为所以解得所以故答案为：【点睛】关键点睛:利用空间解析：12【分析】利用基向量表示出1,A B AE,结合异面直线所成角，确定点E 的位置，从而可求1C E 的长，也可以建立空间坐标系，利用空间向量坐标求解.【详解】设1CE C C λ= ，则11A B AB AA =-，11AE AC CE AC CC AC AA λλ=+=+=+， 142A B =，21616AE λ=+，111()()16A B AE AB AA AC AA λλ⋅=-⋅+=-. 1121cos ,22A B AEA B AE A B AE λ⋅==+,因为异面直线1A B 与AE 所成角的余弦值为130，所以200213213λ=+. 解得18λ=，所以12CE =. 故答案为：12.【点睛】关键点睛:利用空间向量解决异面直线所成角的问题，注意向量夹角与异面直线所成角的范围的不同.21．【分析】以为原点分别为轴建立空间直角坐标系设由平面可得P 点的坐标根据四棱锥的特点可得外接球的直径可得答案【详解】以为原点分别为轴建立空间直角坐标系由则设设平面的法向量为则即不妨令则得因为平面所以即解解析：178π【分析】以D 为原点，DA ，DC ，DD '分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设(0,0,)P t ，由//PB 平面CEF 可得P 点的坐标，根据四棱锥P ABCD -的特点可得外接球的直径可得答案.【详解】以D 为原点，DA ，DC ，DD '分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，(0,0,0)D ，由2AE D E DF B F '==，则(9,6,0),(0,9,0)E C ，(0,0,3)F ，(9,9,0)B ，设(0,0,)P t ，∴()9,3,0EC =-， ()0,9,3CF =-，()9,9,PB t =-设平面FEC 的法向量为(),,n x y z =，则·0·0n EC n CF ⎧=⎨=⎩，即930930x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令3z =，则11,3y x ==，得1,1,33n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为//PB 平面CEF ，所以0PB n ⋅=，即1919303t ⨯+⨯-=，解得4t =，所以(0,0,4)P ，由PD ⊥平面ABCD ，且底面是正方形，所以四棱锥P ABCD -外接球的直径就是PB ，由()9,9,4PB =-，得29PB == 所以外接球的表面积241782PB S ππ⎛⎫ ⎪== ⎪⎝⎭. 故答案为：178π.【点睛】本题考查了四棱锥外接球的表面积的求法，关键点是建立空间直角坐标系，确定球的半径，考查了学生的空间想象力和计算能力.22．【分析】根据题意先得到平面所以向量为平面的一个法向量；分别以为轴轴以垂直于平面过点的直线为轴建立空间直角坐标系根据题意求出平面的一个法向量根据向量夹角公式求出二面角的夹角余弦值进而可求出结果【详解】 221 【分析】根据题意，先得到AC ⊥平面11BCC B ，所以向量AC 为平面11BCC B 的一个法向量；分别以CA ，CB 为x 轴，y 轴，以垂直于平面ABC 过点C 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，根据题意求出平面1B ED 的一个法向量，根据向量夹角公式求出二面角的夹角余弦值，进而可求出结果.【详解】因为AC BC ⊥，1AC CC ⊥，1BC CC C =，且1,BC CC ⊂平面11BCC B ，所以AC ⊥平面11BCC B ，所以向量AC 为平面11BCC B 的一个法向量；分别以CA ，CB 为x 轴，y 轴，以垂直于平面ABC 过点C 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，因为2AC BC ==，160C CB ∠=︒，13CC =，所以()2,0,0A ，()0,0,0C ，()2,0,0B ，则132,22D ⎛ ⎝⎭，(3E ，17330,,22B ⎛ ⎝⎭，所以12,,32ED ⎛=- ⎝⎭，150,23EB ⎛= ⎝⎭，()2,0,0AC =-设平面1B ED 的一个法向量为(),,m x y z =，则 1m ED m EB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即11320253022m ED x y z m EB y z⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，解353x z y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，令5z =，则()3,3,5m =-，所以233cos ,4332531AC mAC m AC m ⋅-<>===-⨯++，由图像可得，二面角1B B E D --为锐角，记为θ，所以co 3cos 1s ,3AC m θ>=<=，因此328sin 13131θ=-=，所以sin 28221tan cos 3θθθ===.221. 【点睛】本题主要考查求二面角的正切值，根据向量的方法求解即可，属于常考题型.23．【分析】建立空间直角坐标系利用三点共线设出点P(λλ2﹣λ)0≤λ≤2以及Q(02μ)0≤μ≤2根据两点间的距离公式以及配方法即可求解【详解】建立如图所示空间直角坐标系设P(λλ2﹣λ)Q(02μ) 解析：2 【分析】建立空间直角坐标系，利用,,A B P 三点共线设出点P (λ，λ，2﹣λ)，0≤λ≤2，以及Q (0，2，μ)，0≤μ≤2，根据两点间的距离公式，以及配方法，即可求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设P (λ，λ，2﹣λ)，Q (0，2，μ)(0≤λ≤2且0≤μ≤2)，可得PQ =22222(2)(2)2(1)(2)2λλλμλλμ+-+--=-+--+，∵2(λ﹣1)2≥0，(2﹣λ﹣μ)2≥0，∴2(λ﹣1)2+(2﹣λ﹣μ)2+2≥2，当且仅当λ﹣1=2﹣λ﹣μ=0时，等号成立，此时λ=μ=1，∴当且仅当P ､Q 分别为AB ､CD 的中点时，PQ 的最小值为2.故答案为:2.【点睛】本题考查空间向量法求两点间的距离，将动点用坐标表示是解题的关键，考查配方法求最值，属于中档题.24．【详解】连接AQ 取AD 的中点O 连接OQ ∵PA ⊥平面ABCDPA ⊥DQPQ ⊥DQ ∴DQ ⊥平面PAQ 所以DQ ⊥AQ ∴点Q 在以线段AD 的中点O 为圆心的圆上又∵在BC 上有且仅有一个点Q 满足PQ ⊥DQ ∴BC 与解析：2【详解】连接AQ ，取AD 的中点O ，连接OQ ．∵PA ⊥平面ABCD ，PA ⊥DQ ，PQ ⊥DQ ，∴DQ ⊥平面PAQ ，所以DQ ⊥AQ ．∴点Q 在以线段AD 的中点O 为圆心的圆上，又∵在BC 上有且仅有一个点Q 满足PQ ⊥DQ ，∴BC 与圆O 相切，（否则相交就有两点满足垂直，矛盾．）∴OQ ⊥BC ，∵AD ∥BC ，∴OQ =AB =1，∴BC =AD =2，即a =2．故答案为：2．考点：直线与平面垂直的性质．25．【分析】设且利用数量积运算即得解【详解】设故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的模长数量积运算考查了学生空间想象数学运算能力属于中档题解析：6【分析】设1,,AB a AD b AA c===,且1|||++|AC a b c =，利用数量积运算即得解. 【详解】设1,,||||||2,,,60o AB a AD b AA c a b c a b a c c b ===∴===<>=<>=<>=， 222221|||++|||||||22224AC a b c a b c a b a c c b ==+++⋅+⋅+⋅=||26AC ∴=故答案为：26【点睛】本题考查了空间向量的模长，数量积运算，考查了学生空间想象，数学运算能力，属于中档题.26．【分析】构造一个正方体三棱锥放入正方体中建立坐标系利用数量积公式求解即可【详解】将三棱锥放入如下图所示的正方体中且棱长为分别以为轴故答案为：【点睛】本题主要考查了求空间向量的数量积属于中档题解析：12- 【分析】构造一个正方体，三棱锥A BCD -放入正方体中，建立坐标系利用数量积公式求解即可.【详解】将三棱锥A BCD -放入如下图所示的正方体中，且棱长为22分别以,,OC OD OB 为,,x y z 轴222222222(,(,0,0),(,(,222244442A C G E(0,02222,),(20,,)2GE AC ==-- 1222)2(=2GE AC ∴⋅=--⨯ 故答案为：12-【点睛】本题主要考查了求空间向量的数量积，属于中档题.。

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立体几何初步
1. 已知ABC ∆的斜二测直观图'''A B C ∆是边长为2的正三角形，则ABC ∆的面积为（）
.A
.B
.C
.D
2. 如下左图，一个空间几何体的正视图与侧视图均为等边三角形，俯视图为一个半径为3的圆及
其圆心，那么这个几何体的体积为
.A
.B 3π .C
.D
3. 如上右图，一个几何体的三视图都是直角三角形，尺寸如图所示，则它的体积是
.A 6 .B 3 .C 2 .D 1
4. 如果一个几何体的三视图如图3所示（单位长度：cm ），则此几何体的表面积是_______________。

5. 如下右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为_______________。

6. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列命题：①//l m αβ⇒⊥；②//l m αβ⊥⇒；③
//l m αβ⇒⊥；④//l m αβ⊥⇒。

其中正确命题的序号是_______________。

正视图
侧视图
俯视图
112
233正视图侧视图俯视图
正视图
侧视图
俯视图正视图侧视图
俯视图
7. 球面上有A 、B 、C 三点，2AB AC ==
，BC =ABC 的距离为1，则球的
表面积为_______________。

8. 正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱1BB 、AB 的中点，则EF 与AC 所成角的大小
是_______________；1C E 与AC 所成角的余弦值是_______________。

9. 如图，1111ABCD A B C D -是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。

（1）求证：1//BD 平面1C DE ；（2）求三棱锥1D D BC -的体积。

10. 如图，在四面体A BCD -中，E 是BD 中点，AE ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，BC CD =，AC BD =。

（1）求证：AC BD ⊥；
（2）求直线AC 与平面BCD 所成的角。

E D 1
C 1
B 1
A 1
B
C
A
D
E
B
C
A
D
11. 如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD
，且
PA PD AD ==
，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点。

（1）//EF 平面PAD ；
（2）求证:平面PDC ⊥平面PAD 。

12. 如图①是一正方体的表面展开图，MN 和PB 是两条面对角线，请在图②的正方体中将MN 和
PB 画出来，并就这个正方体解决下面问题。

（1）求证：//MN 平面PBD ；（2）求证：AQ ⊥平面PBD ；（3）求二面角P DB M --的正切值。

图① 图②
C
A
D Q
P
N
M
D
C
B
A
13. 如图，已知棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1AA ⊥面ABCD ，60DAB ∠=︒，
11AD AA ==，F 为棱1AA 的中点，M 为线段1BD 的中点。

（1）求证：//MF 面ABCD ；
（2）试判断直线MF 与平面11BDD B 的位置关系，并证明你的结论；（3）求三棱锥1D BDF -的体积。

参考答案及提示：
1－3：CDD ； 4
．(296cm +；5
．18π+；6．①③；7．12π；8．60︒
9．（1）连结1D C 交1C D 于O ，证1//OE BD 。

（2）1123
D D BC B D DC V V --==。

10．（1）连结CE 。

（2）60ACE ∠=︒。

11．（1）连结AC ，则F AC ∈，证//EF PA 。

（2）作PO AD ⊥于O ，证CD PO ⊥。

12．（1）略；（2）略；（3
13．（1）取BD 中点O ，证//AO MF ；或：延长1D F 交DA 于E ，证//BE MF 。

（2）证：AO ⊥平面11BDD B ，或BE ⊥平面11BDD B 。

（3）作BN AD ⊥于N
，11113D BDF B D DF D DF V V S BN --∆==⋅⋅
M
F
D 1
C 1
B 1
A 1
B
C
A
D。