19.2.3一次函数与方程、不等式(2)
19.2.3一次函数与方程、不等式
思考
下面三个不等式有什么共同特点？你能从函 数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的 结论推广到一般情形吗？ （1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1． 用函数图象的角度看： 3 不等式ax+b＞c的解集就是 2 使直线y =ax+b 在直线y=c上方时 对应的自变量的取值范围； 1 不等式ax+b＜c的解集就是 使直线y =ax+b 在直线y=c下方时-2 -1 O -1 对应的自变量的取值范围.
想一想
（1）在什么时候，1 号气球比2 号气球高？ （2）在什么时候，2 号气球比1 号气球高？
h1
h2
气球1 海拔高度：y =x+5
气球2 海拔高度：y =0.5x+15
想一想
（1）在什么时候，1 号气球比2 号气球高？ （2）在什么时候，2 号气球比1 号气球高？ y
30 25 20 15 10 5 O
分析问题
一次函数 用方程观点看 y =0.5x+15
用函数观点看
二元一次方程 y -0.5x =15
二元一次方程 y =0.5x+15
从式子（数）角度看：
一次函数
二元一次方程
分析问题
从形的角度看，二元一次方程与一次函数有什么关
系？ 在坐标系中画出以方程 y =0.5x+15 的解为坐标的 点组成的图形就是一次函 数y =0.5x+15 的图象. y y =0.5x+15
ax+b 与x轴的交点的横坐标的值”
b 2、当x a
时，一次函数y= ax+b( a≠0）的值0？
一元一次方程问题
人教版八年级数学下册-19.2.3 一次函数与方程、不等式(教案)
19.2.3 一次函数与方程、不等式【知识与技能】1.理解一次函数与方程、不等式的关系.2.会根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式、二元一次方程组的求解问题.【过程与方法】学习用函数的观点看待方程、不等式，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想.【情感态度】经历方程、不等式与函数关系的探究，学习用联系的观点看待数学问题.【教学重点】一次函数与方程、不等式关系的应用.【教学难点】一次函数与方程、不等式关系的理解.一、情境导入，初步认识探究：1.解方程2x+20=0.2.在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x+20的图象.问题1 直线y=2x+20与x轴交点横坐标是方程2x+20=0的解吗？为什么？问题2 这两个问题是同一个问题么？由学生完成以上任务的画图与思考，教师走入每个学习小组，指导交流与总结，适时对学生的发言进行评判.【归纳总结】从“数”的角度看，方程2x+20=0的解是x=-10；从“形”的角度看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标是（-10，0），这也说明，方程2x+20=0的解是x=-10.由于任何一个一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值.二、思考探究，获取新知问题1 一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？思考：（1）本题的相等关系是什么？（2）设再过x 秒物体速度为17m/s ，能否列出方程？（3）如果速度用y 表示，那么能否列出函数关系式？（4）上面不同的解法各有何特点？解法1 设再过x 秒物体速度为17m/s.由题意可知：2x+5=17，解得x=6.解法2 速度y （m/s ）是时间x （s ）的函数，关系式为y=2x+5.当函数值为17时，对应的自变量x 值可得2x+5=17.求得x=6.解法3 由2x+5=17可变形得到2x-12=0.从图象上看，直线y=2x-12与x 轴的交点为（6，0）.故x=6.问题2 1.解不等式5x+6＞3x+10.【思考】不等式5x+6＞3x+10可以转化为ax+b ＞0的形式吗？所有的不等式是否都可以转化成这种形式呢？2.当自变量x 为何值时函数y=2x-4的值大于0？【思考】上述两个问题是同一个问题吗？3.问题2能用一次函数图象说明吗？【教学说明】引导学生解不等式后思考问题，并师生共同归纳：（1）在问题1中，不等式5x+6＞3x+10可以转化为2x-4＞0，解这个不等式得x ＞2.（2）解问题2就是要不等式2x-4＞0，得出x ＞2时函数y=2x-4的值大于0.因此它们是同一问题.（3）如图，函数y=2x-4与x 轴的交点为（2,0），且这个函数的y 随着x 的增大而增大，故要求当函数y=2x-4的值大于0时的自变量的值，只需在图中找出当函数图象在x 轴上方时的x 的值即可，由图可知，当x ＞2时，函数y=2x-4的值大于0.问题3 试用一次函数图象法求解35821x y x y +=⎧⎨-=⎩，，从中总结你的体会. 【归纳总结】上面的方程组可以转化为385521y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，其本质是求当x 为何值时，两个一次函数的y值相等，它反映在图象上，就是求直线3855y x=-+与y=2x-1的交点坐标.三、典例精析，掌握新知例1 若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k的值是多少？【分析】（1）一次函数的图象与两坐标轴围成的图形是直角三角形，两条直角边的长分别是图象与x轴的交点的横坐标的绝对值和与y轴的交点的纵坐标的绝对值.（2）确定图象与两条坐标轴的交点坐标可以通过令x=0和y=0解方程求得.解：设直线y=kx+6与x轴和y轴分别交于点A、B.令y=0，得x=-6k；令x=0，得y=6.∴A（-6k，0），B（0，6），∴|OA|=|-6k|，|OB|=6.∴S=12OA·OB=12|-6k|×6=24.|k|=34.∴k=±34.【教学说明】教学中引导学生利用一次函数解析式和方程的关系先得出直线与两个坐标轴的交点，再借助直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24来构造方程.例2 已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，求（1）当x为何值时，kx+b＞0；（2）当x为何值时，kx+b=0；（3）当x为何值时，kx+b＜0.解：（1）当x＜3时，kx+b＞0；（2）当x=3时，kx+b=0；（3）当x＞3时，kx+b＜0.【教学说明】寻找kx+b＞0的解集，实际上就是寻找当x为何值时，一次函数y=kx+b 的图象在x轴的上方；寻找kx+b＜0的解集，实际上就是寻找x为何值时，一次函数y=kx+b的图象在x轴的下方.例3 用作图象的方法解方程组3 3 5. x yx y+=⎧⎨-=⎩，【分析】首先将两个方程分别写成一次函数的形式，然后在直角坐标系中作出它们的图象，观察得出两直线的交点坐标，从而得出方程组的解.解：由x+y=3，可得y=3-x.由3x-y=5，可得y=3x-5.在同一直角坐标系内作出一次函数y=3-x的图象l1和y=3x-5的图象l2，如图所示，观察图象得l1、l2的交点坐标为P（2，1）.所以，方程组335x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是21.xy=⎧⎨=⎩，四、运用新知，深化理解1.如图，已知直线y=kx-3经过点M，求此直线与x轴、y轴交点坐标.【分析】要求此直线与x轴、y轴的交点坐标，就需确定这条直线对应的函数解析式，即确定直线y=kx-3中的k，这由直线过点M（-2，1）求得.2.用画函数图象的方法解不等式3x+2＞2x+1.【分析】本题可以把原不等式的两边分别看作一次函数，也可以先化简将其看作一个一次函数，然后画出函数图象求解.3.已知如图所示，直线l1:y=2x-4与x轴交于点A，直线l2:y=-3x+1与x轴交于点B，且直线l1与l2相交于点P，求△APB的面积.【分析】显然本题易求A点与B点的坐标，这样很容易求出线段AB的长度，则本题的关键就是求出点P的坐标，进而把点P的坐标转化为点P到线段AB的距离，求点P的坐标的方法就是联立l1和l2所表示的方程，建立成二元一次方程组，求解即可.【教学说明】下列问题有一定综合性，教师提示思路，由学生分组讨论求解.【答案】1.解：由图象可知，点M（-2，1）在直线y=kx-3上，∴-2k-3=1，解得k=-2.∴此直线的解析式为y=-2x-3.当y=0时，可得x=-32，∴直线与x轴交于（-32，0）.当x=0时，可得y=-3，∴直线与y轴交于（0，-3）.2.解法一：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y=3x+2和直线y=2x+1的图象，如图1，由图象可以看出它们的交点的横坐标为-1，当x＞-1时，直线y=3x+2在直线y=2x+1的上方，即不等式3x+2＞2x+1的解集为x＞-1.图1 图2解法二：原不等式也可以化为x+1＞0，画出y=x+1的图象，如图2，可以看出当x ＞-1时这条直线上的点在x轴的上方，即y=x+1＞0，所以不等式的解集为x＞-1.3.解：l1：y=2x-4，令y=0，x=2，则A（2，0）l2：y=-3x+1，令y=0，x=13，则B（13，0），则AB=53，2431y xy x=-⎧⎨=-+⎩解得12xy=⎧⎨=-⎩∴P（1，-2），则点P到直线AB的距离为2. ∴S△APB =12×53×2=53.五、师生互动，课堂小结结合下表总结一次函数与一元一次方程的关系：从数的角度看：从形的角度看：反思如何由一次函数图象求得一元一次不等式的解集.理解一次函数图象与二元一次方程组间的关系.掌握图象法解二元一次方程组的步骤.1.布置作业：从教材“习题19.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习.用函数的观点看方程和不等式，是学生应该学会的一种数学思想方法，本课时教学应考虑到学生形成一种教学观点的需要，考虑学生对函数、方程、不等式之间关系的理解.应从不同角度（如练习，讨论交流）帮助学生认识知识间关系的本质，形成函数、方程、不等式知识间相互转化的能力.。
夏县第一中学八年级数学下册第十九章一次函数19.2一次函数19.2.3一次函数与方程不等式第2课时一
易错点 : 対二元一次方程与一次函数的关联不明确 8．以下图象中 , 以方程y－2x－2＝0的解为坐标的点组成的图象是 (C)
9．(2017·绥化)在同一平面直角坐标系中 , 直线y＝4x＋1与直线y＝ －x＋b的交点不可能在( D ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
推进新课
幂的乘方 , 底数 不变 ,指数
(a2)3=a6
, (aammn)n=
相乘. .
(ab)2表示 a 与 b 的积的 平方 .
知识点1 积的乘方的运算规律
探究 填空. 〔1〕(ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a( )b( 2 ); 2 （2）(ab)3= (ab)·(ab)·(ab)= (a·a·a)·(b·b·b)
强化练习
① (-2x2)3 ; =-8x6
③ (xy2)2 ; =x2y4
② (-2ab2)3 ;
=-8a3b6 ④ 48×0.258
=(4×0.25)8 =1
填空 : ① a3·b3=(ab )3 ; ② (-2)4a4=( )4 ;
-2a
③ 13a6b9 1 a 2 b 3 3
2
2
休息时间到啦
上面的推导准确吗 ？有无遗漏 ？
〔ab〕n=anbn〔n为正整 即积的乘数方〕, 等于把积的每一个因式分别乘方 , 再把所得的幂相乘.
思考
假设底数有3个 , 上面的公式还适用吗 ？
积的乘方式那么的推广 : (abc)n＝anbncn〔n为正整数〕 a、b、c可以是任意数 , 也可以是幂的形式．
积的乘方式那么的逆用 : anbn＝(ab)n〔n为正整数〕
19.2.3一次函数与方程、不等式(2)
30 y
25 y =0.5x+15
直线y =0.5x+15与直线y =x+5 20
的交点坐标为A（20，25）， 所以方程组
15
y =0.5x+15
10
y =x+5 的解为： 5
y =x+5
A（20，25）
X=20
O 5 10 15 20
x
y=25
归纳总结: 一次函数与二元一次方程组
从数的角度看：
观察图象， 回答问题 互动探究一
当y1= y2时，x_=_1_
看两直线的交点
yy12
当y1> y2时，x_><_1_
y1在y2的上方
当y1< y2时，x_<>_1_
y1在y2的下方
yy21
不等式 3 x 8 ＞2x-1的解集是什么？
55
变式
如图，经过点B（-2，0）的直线y=kx+b与 直线y=4x+2相交于点A（-1，-2），则不 等式4x+2＜kx+b＜0的解集为______．
互动探究二
联通公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话 费每分钟0.1元）和B套餐（月租费0元，通话费每分 钟0.15元）两种．设A套餐每月话费为y1（元），B套 餐每月话费为y2（元），月通话时间为x分钟． （1）分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式． （2）月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？ （3）什么情况下A套餐更省钱？
拓展提升
甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶 过程中，甲、乙两车离开A城的距离s (km)与甲车行 驶的时间t(h)之间的函数关系如图所示．
19.2.3一次函数与方程、不等式(第2课时)课件
二、深入剖析，感悟新知
问题:1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度 上升.与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以 0.5m/min的速度上升.两个气球都上升了1h. （1）请用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y （单位：m）关于上升时间x（单位：min）的函数关 系；
二、深入剖析，感悟新知
三、例题学习，提高认知
例2 如图，求直线l1与l2 的交点坐标.
y
分析：由函数图象可以求 直线l1与l2的解析式， 进而通过方程组求出交点坐标.
O x
四、随堂练习，巩固新知
1．教材第98页练习题． 2.已知一次函数y=3x+5与y=2x+b的图象交点为(-1，2)， y 3 x 5， 则方程组 y 2 x b 的解是_______,b的值为______.
y x 5， 元一次方程组 y 0.5 x 15 的解吗？为什么？
三、例题学习，提高认知
例1 当自变量x取何值时，函数y=2.5x+1和y=5x +17 的值相等？这个函数值是多少？
Zx`````xk
方法一 ：联立两个函数，得 2.5x+1=5x +17，解此方程； 方法二： 把两个函数转化为二元一次方程组，解方程组； 方法三： 画函数图象，求交点坐标.
Zxxk
二、深入剖析，感悟新知
思考：通过问题（2）、（3）的分析，我们能否概括 出二元一次方程的解和一次函数图象上的点的坐标之 间是什么关系？
Zxx```k
方程的解
一次函数图象上点的坐标
以二元一次方程的解为坐标的点，它都在其相应的 一次函数的图象上;一次函数图象上点的坐标，都 适合其相应的二元一次方程.
人教版数学八年级下册19.2.3《一次函数与方程、不等式说课稿
人教版数学八年级下册19.2.3《一次函数与方程、不等式说课稿一. 教材分析《一次函数与方程、不等式》是人教版数学八年级下册第19章第2节的一部分。
这部分内容是在学生已经掌握了函数、方程、不等式的基本概念和性质的基础上进行讲解的。
通过这部分的学习，使学生能够掌握一次函数与方程、不等式的关系，能够运用一次函数解决实际问题，培养学生解决实际问题的能力。
教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握一次函数与方程、不等式的解法与应用。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于函数、方程、不等式的概念和性质有一定的了解。
但是，对于一次函数与方程、不等式的关系，以及如何运用一次函数解决实际问题，还需要进一步的学习和引导。
因此，在教学过程中，需要注重学生的参与和实践，通过引导学生自主探索和合作交流，帮助学生理解和掌握一次函数与方程、不等式的关系，提高学生解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握一次函数与方程、不等式的关系，能够运用一次函数解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过学生的自主探索和合作交流，培养学生的解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和自尊心，使学生感受到数学的实际应用价值。
四. 说教学重难点1.教学重点：一次函数与方程、不等式的关系，一次函数解决实际问题的方法。
2.教学难点：一次函数与方程、不等式的关系的理解，一次函数解决实际问题的方法的运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作交流法等，引导学生自主探索和合作交流，培养学生的解决问题的能力。
2.教学手段：使用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具，帮助学生理解和掌握一次函数与方程、不等式的关系。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对一次函数与方程、不等式的关系的思考，激发学生的学习兴趣。
2.讲解：通过讲解一次函数与方程、不等式的关系，引导学生理解一次函数解决实际问题的方法。
19.2.3一次函数与方程不等式(2)ppt
y=2-x y=2x-1
思考：二元一次方程组与一次函数、直 线之间存在怎样的对应关系？
二元一次方程组
两个一次函数 两条直线
探究三：从函数的观点看解方程组
y
2
y=2x-1
1
x
0
12
-1
y=-x+2
这个二 元一次方程 组的解是图 象的什么？
归纳：
从“形”的角度看: 解方程组相当于确定两条直线的＿交＿点＿坐＿标。
标为(２，５) 。
2.若直线 y 2x 3 与 y 3x 2b
相交于直线 y x上同一点，则b的值是 .
3.如图，已知函数y＝3x＋b和y＝ax－3 的图象交于点P(－2，－5)，则根据图 象可得不等式3x＋b＞ax－3的解集是 ___________．
4Байду номын сангаас已知方程组
的解为
，则一次函数y=3x﹣3与y=﹣ x+3的交点
从“数”的角度看: 解方程组相当于考虑_自__变_量__为何值时， 两个_函__数_的__值__相等，以及这个函数值是何 值。
结
论:
❖ 求二元一次方程组的解实质上是求对应两条 直线的交点坐标;
❖ 反之,要确定两条直线的交点坐标就是求对应 二元一次方程组的解.
y
0
x
三、例题示范 运用新知
1.直线y=2x+1与直线y=3x-1的交点坐
P的坐标是 ___
5.如图，是用图象法解某二元 一次方程组的图象，则这个二 元一次方程组是（ ）
A
B
C
D
6.如图，直线y=kx+b经过 A（﹣1，1）和 B（﹣3,0)两 点，则不等式0＜kx+b＜-x的 解集为 .
人教版八年级数学下册课件：19.2一次函数--2.3 一次函数与方程、不等式(2)一次函数与二元一次方程组
24
知识点三：二元一次方程组与一次函数的关系
学以致用
3.已知坐标平面上有两直线相交于一点(2，a)，且两直线的方
程式分别为2x+3y=7，3x-2y=b，其中a，b为两数，求a+b之值
为何?( C)A.1 B.-1 C.5 D.-5
4.若一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象没有交点，则关于x
∴OA=3,OB=1,∴AB=4.∴S△ABC=
1 2
×4×1=2.
27
知识点四：一次函数与方程(组)与几何图形的综合问题
典例讲评
解：(3)能，理由如下：设点P的横坐标为x， y
则
S△APB=
1 2
×4×|x|=6，
A C
解得x=±3.
O
x
B
把x=3代入y=-2x-1，得y=-7；
把x=-3代入y=-2x-1，得y=5；
情景引入
大家观察一次函数的解析式y=x+1，是否有过这样的 疑问:为什么一次函数的解析式与二元一次方程非常相似呢? 是的，你没有猜错，如果我们将一次函数的解析式看作为 一个元一次方程，那么，一次函数y=x+1上的每一个点坐 标就对应二元一次方程x-y+1=0上的一个解.一次函数图象 上有无数个点，二元一次方程也有无数个解.本节课，我们 就来看看一次函数与二元一次方程的关系.
y y=kx-1
A
O Bx C
31
知识点四：一次函数与方程(组)与几何图形的综合问题
学以致用
2.（3）①当点A运动到什么位置时， △AOB的面积是 ？ ②在①成立的情况下，在两条坐标轴上是
否存在一定P，使△POA是等腰直角三角 形？若存在，请写出满足条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
19.2.3一次函数与方程、不等式(教案)方案
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数与一元一次方程、不等式的基本概念。一次函数是形如y=kx+b的表达式，它描述了两个变量之间的线性关系。一元一次方程和不等式则是解决实际问题时常用的数学工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何通过一次函数图像来求解一元一次方程和不等式，以及它如何帮助我们解决实际问题。
举例解释：
-对于难点一，教师可以通过具体的图像和方程例子，如y=3x-4与方程3x-4=0，引导学生观察图像上与x轴交点的坐标，从而理解该点即为方程的解。
-对于难点二，教师可以设计一些具有实际背景的题目，如“小明买苹果，每千克x元，买y千克需要花费多少钱？”并指导学生如何从中提取数学信息，建立一次函数模型。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数、方程和不等式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
在新课讲授中，我注意到学生们对于案例分析部分较为感兴趣，能够积极参与讨论。但在重点难点解析部分，部分学生仍存在理解困难，尤其是在将实际问题抽象为数学模型方面。为此，我调整了教学方法，通过更多具体的例子和引导性问题，帮助学生逐步建立起一次函数、方程和不等式之间的联系。
实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的过程较为顺利，但成果展示时，部分小组的表达能力较弱，需要我在以后的教学中加强对学生表达能力的培养。同时，我也发现有些小组在讨论过程中过于依赖我，缺乏独立思考的能力，这一点我将在以后的教学中加以引导和改进。
人教初中数学八下 19.2.3 一次函数与方程、不等式课件2 【经典初中数学课件汇编】
要 学 习 好 探只 索有 一 条 路
二次根式的加减
复习回顾
a b ab ab a b（a≥0，b≥0）
a a
b
b
a b
a
b （a≥0，b＞0）
最简二次根式。
复习回顾
下列根式中，哪些是最简二次根式？
18a , 28, x2 4, 5x4 y ,
×× √
×
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
1
2 5 3x
解为χ= −3．
3
-3
直线y=x+3的图象与x轴交点坐标为 （_-3_,_0_ ），这说明方程χ＋3＝0的 解是x=_-3_）
0
x
从“形”上 看
五、强化训练：
4、已知直线 y2x4与 x轴交于点A，
与 轴y交于点B，求△AOB的面积.
解：由已知可得： 当χ=0时，y=4，即：B（0，4） 当y=0时，χ=2，即：A（2，0） 则S △AOห้องสมุดไป่ตู้=0.5 x OA x OB =0.5 x 2 x 4 =4
解：由题意可得： 当直线y=3χ+ 6与χ轴相交时，y=0 则3χ+ 6=0, 解得：χ= -2, 当χ= -2 时， 2 x (-2) + a =0 解得：a = 4
小组交流需要答成共识,然后由小组 中心发言人代表本组展示交流成果
从“数”上看，“解方程ax+b=0(a，b 为常数， a≠0)”与“求自变量 x 为何值时， 一次函数y=ax+b的值为0”有什么关系？从 图象上看呢？
√
×√
×
如图，学校要砌一个正方形花坛，已知外 面的正方形边长为 cm，里2 面2的正方形的边 长为 cm，两个正方形2 的周长和为多少？
19.2.3 一次函数与方程、不等式
x x
y y
a, b.
的解为
x
y
11, 4.
则直线y＝－x＋a与y＝x－b的
交点坐标为(11，4)．
名校讲 坛
例 在同一平面直角坐标系内画一次函数y1＝－x＋4和y2＝2x－5的图象，解 决下列问题： (1)求方程－x＋4＝2x－5的解； (2)求二元一次方程组2xxyy45, . 的解； (3)当x取何值时，y1＞y2？当x取何值时，y1＞0且y2＜0?
巩固训 练
巩固训 练
3．(《名校课堂》19.2.3习题)如图是一次函数y＝kx＋b的图象，当y＜2时，x
的取值范围是( C )
A．x＜1
B．x＞1
C．x＜3
D．x＞3
4．如图是一次函数y＝kx＋b的图象，则下列判断中不正确的是( A )
A．k＞0，b＜0
B．方程kx＋b＝0的解是x＝－3
C．当x＜－3时，y＜0
预习反 馈
知识点4 一次函数与二元一次方程组的关系 4．由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组， 都对应两个一次函数．从“数”的角度看，解方程组相当于求自变量为
何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角
度看，解方程组相当于确定两条相应直线交点的坐标．
如：若方程组
课堂小 结
学生尝试小结：本节课你学到了什么？
预习反 馈
知识点3 一次函数与二元一次方程的关系 3．一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为 y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个 一次函数，于是也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标(x，y)都是 这个二元一次方程的解． 如：方程x＋y＝2可化为y＝－x＋2；直线y＝2－x上的任意一点的坐标 (x，y)都是方程x＋y＝2的解．
19.2.3 一次函数与方程、不等式
k
∴A( - 6 ，0)，B(0，6).
k
∴S=
1 2
∣OA
∣
▪
∣
OB
∣
1
=2
×∣- 6
k
∣×6=24
3
∴∣k∣ = 4
∴k
=±
3 4
知识点 2 一次函数与一元一次不等式
例2 3x+2>2
3x+2<0
3x+2<-1
这3个不等式 有什么共同点 和不同点？
观察
3x+2>2
3x+2<0
3x+2<-1
相同点：不等号左边都是 3x+2 ，
同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数
的图象(如图所示)，则所列的二元一次方程组
是( A )
x+y-2=0，
A.
B.
3x-2y-1=0
2x-y-1=0， 3x-2y-1=0
2x-y-1=0，
x+y-2=0，
C.
D.
3x+2y-5=0
2x-y-1=0
4.函数y=2x+6的图象如图，利用图象： (1)求方程2x+6=0的解；
y=0.4x，
y=120，
所以两图象交于点(300，120)，
当x=300时，30+0.3x=0.4x，
即当一个月内通话时间等于300分钟 时，选择两种计费方式费用相等.
误区 诊断
误 区 不能正确理解图象导致错解不等式 已知直线y=-2x-1与直线y=3x+m相交于第三
象限，求m得取值范围. 错解：∵直线y=-2x-1与直线y=3x+m相交于第三象限，
人教版八年级数学19.2.3 一次函数与方程、不等式 (2)
19.2.3 一次函数与方程、不等式1．掌握一次函数与方程、不等式的关系；(重点)2．综合应用一次函数与方程、不等式的关系解决问题．(难点)一、情境导入1．下面三个方程有什么共同点和不同点？ 你能进行解释吗？(1)2x ＋1＝3；(2)2x ＋1＝0；(3)2x ＋1＝－1.能从函数的角度解这三个方程吗？2．下面三个不等式有什么共同点和不同点？ 你能从函数的角度对这三个不等式进行解释吗？ (1)3x ＋2＞2；(2)3x ＋2＜0；(3)3x ＋2＜－1.二、合作探究探究点一：一次函数与一元一次方程一次函数y ＝kx ＋b(k ，b 为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx ＋b ＝0的解为( )A ．x ＝－1B ．x ＝2C ．x ＝0D ．x ＝3 解析：∵y＝kx ＋b 经过点(2，3)、(0，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，2k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，k ＝1，∴一次函数解析式为y ＝x ＋1.令x ＋1＝0，解得x＝－1.故选A.方法总结：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝kx＋b，确定它与x轴的交点的横坐标的值．探究点二：一次函数与一元一次不等式对照图象，请回答下列问题：(1)当x取何值时，2x－5＝－x＋1?(2)当x取何值时，2x－5＞－x＋1?(3)当x取何值时，2x－5＜－x＋1?解析：(1)直线y＝2x－5与直线y＝－x＋1的交点横坐标的值即为方程2x－5＝－x＋1的解；(2)直线y＝2x－5在直线y ＝－x＋1上方的部分对应的x的取值范围即为不等式2x－5＞－x＋1的解集；(3)直线y＝2x－5在直线y＝－x＋1下方的部分对应的x的取值范围即为不等式2x －5＜－x＋1的解集．解：(1)由图象可知，直线y ＝2x－5与直线y＝－x＋1的交点的横坐标是2，所以当x取2时，2x－5＝－x＋1；(2)由图象可知，当x＞2时，直线y＝2x－5落在直线y＝－x ＋1的上方，即2x－5＞－x＋1；(3)由图象可知，当x＜2时，直线y＝2x－5落在直线y＝－x ＋1的下方，即2x－5＜－x＋1.方法总结：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx＋b的值大于(或小于)0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y ＝kx ＋b 在x 轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．探究点三：一次函数与二元一次方程(组)直角坐标系中有两条直线：y ＝35x ＋95，y ＝－32x ＋6，它们的交点为P ，第一条直线交x轴于点A ，第二条直线交x 轴于点B.(1)求A 、B 两点的坐标； (2)用图象法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5y －3x ＝9，3x ＋2y ＝12； (3)求△PAB 的面积． 解析：(1)分别令y ＝0，求出x 的值即可得到点A 、B 的坐标；(2)建立平面直角坐标系，然后作出两直线，交点坐标即为方程组的解；(3)求出AB 的长，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解：(1)令y ＝0，则35x ＋95＝0，解得x ＝－3，所以点A 的坐标为(－3，0)．令－32x ＋6＝0，解得x ＝4，所以点B 的坐标为(4，0)；(2)如图所示，方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3；(3)AB ＝4－(－3)＝4＋3＝7，S △PAB ＝12×7×3＝212.方法总结：本题考查了二元一次方程(组)与一次函数的关系：两个方程的解的对应点分别在两条直线上，所以作出两个二元一次方程所对应的两条直线，求出交点，则交点的坐标同时满足两个方程，即为方程组的解．探究点四：运用一次函数与方程、不等式解决实际问题某销售公司推销一种产品，设x(单位：件)是推销产品的数量，y(单位：元)是付给推销员的月报酬．公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同，看图解答下列问题：(1)求每种付酬方案y关于x 的函数表达式；(2)当选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时，求x的取值范围．解析：(1)由图已知两点，可根据待定系数法列方程组，求出函数关系式；(2)列出方程得出两直线的相交点的坐标，即可得选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时x的取值范围．解：(1)设方案一的解析式为y＝kx，把(40，1600)代入解析式，可得k＝40，∴方案一y关于x 的解析式为y＝40x；设方案二的解析式为y＝ax＋b，把(40，1400)和(0，600)代入解析式，可得⎩⎪⎨⎪⎧b＝600，40a＋b＝1400，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝20，b＝600，∴方案二y关于x的解析式为y ＝20x＋600；(2)根据两直线相交可得40x＝20x＋600，解得x＝30，故两直线交点的横坐标为30.当x ＞30时，选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬．方法总结：解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．三、板书设计1．一次函数与一元一次方程的关系2．一次函数与一元一次不等式的关系3．用图象法求二元一次方程组的解4．应用一次函数与方程、不等式解决实际问题在教学的过程中，学生是教学的主体，所以发挥学生的主动性相当的重要．本节课是在一次函数的基础上教学的，是对学生学习的又一次综合与扩展．课堂教学充分体现了新课标的教学理念：教师为主导、学生为主体，把课堂还给学生．。
19.2.3 一次函数与方程、不等式(2)
19.2.3 一次函数与方程、不等式（2）【基础巩固】1.如图，两个一次函数图象的交点坐标为(2，4)，则关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2的解为( )A. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4B. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2C. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0D. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0 2. 已知两直线y ＝－35x ＋6和y ＝x －2，则它们与x 轴所围成的三角形的面积为( ) A. 6 B. 4 C. 12 D. 243. 直线y ＝－3x －2与直线y ＝2x ＋8相交于一点，则交点坐标为________．4. 当自变量x ＝________时，函数y ＝52x ＋2与y ＝5x ＋17的值相等，则这个函数值是________．5. 已知直线y ＝x ＋m ＋32与直线y ＝2x －m ＋3的交点在第二象限内，求m 的取值范围．【能力提升】6. 如图，过点Q (0，3.5)的一次函数与正比例函数y ＝2x 的图象交于点P ，则能表示这个一次函数图象的解析式是( )A. 3x －2y ＋3.5＝0B. 3x －2y －3.5＝0C. 3x －2y ＋7＝0D. 3x ＋2y －7＝0(第6题) (第7题)7.方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y ＝3，x ＋by ＝－1所对应的一次函数图象如图所示，则2a ＋b 的值为( ) A. －5 B. 3 C. 5 D. －38.如果方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，y ＝（2k ＋1）x －3无解，那么直线y ＝(－k ＋1)x －3不经过第________象限． 9. 已知y 1＝x ＋1，y 2＝－2x ＋4，对任意一个x ，取y 1，y 2中的较大的值为m ，则m 的最小值是________．10.为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程s (米)与所用的时间t (秒)之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第________秒．11. 已知甲、乙两地相距90 km ，A ，B 两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A 骑摩托车，B 骑电动车．图中DE ，OC 分别表示A ，B 离开甲地的路程s (km)与时间t (h)的函数关系的图象，根据图象解答下列问题．(1)A 比B 晚出发几小时？B 的速度是多少？(2)在B 出发后几小时，两人相遇？12.在直角坐标系中，直线l 1经过(2，3)和(－1，－3)，直线l 2经过原点O ，且与直线l 1交于点P (－2，a )．(1)求a 的值；(2)(－2，a )可看成怎样的二元一次方程组的解？(3)设直线l 1与y 轴交于点A ，你能求出△APO 的面积吗？13.小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发．家到公园的距离为2 500 m，如图是小明和爸爸所走路程s(m)与步行时间t(min)的函数图象．(1)直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式；(2)小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？(3)在速度不变的情况下，小明希望比爸爸早20 min到达公园，则小明在步行过程中停留时间需作怎样调整？参考答案1. AA. 6B. 4C. 12D. 242. C3. (－2，4)4. －6 －135. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ＋32，y ＝2x －m ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －1，y ＝m ＋1， ∵该点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＜0，m ＋1＞0， ∴－1＜m ＜1.6. D7. A8. 二9. 2 [解析]画y 1＝x ＋1和y 2＝－2x ＋4的图象，根据图象，对任意一个x ，取y 1，y 2中的较大的值为m ，则m 的最小值为2.故填2.10. 120 [解析]设直线OA 的解析式为y ＝kx ，代入A (200，800)得800＝200k ，解得k ＝4，故直线OA 的解析式为y ＝4x ，设直线BC 的解析式为y 1＝k 1x ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧360＝60k 1＋b ，540＝150k 1＋b ， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝2，b ＝240， ∴直线BC 的解析式为y 1＝2x ＋240，当y ＝y 1时，4x ＝2x ＋240，解得：x ＝120.则她们第一次相遇的时间是起跑后的第120秒．故答案为120.11. (1)A 比B 晚出发1 h.∵60÷3＝20(km/h)，∴B 的速度是20 km/h.(2)设OC 的解析式为y ＝k 1x ，OC 经过点C (3，60)，根据题意得60＝3k 1，解得k 1＝20，∴OC 的解析式为y ＝20x .设DE 的解析式为y ＝k 2x ＋b ，DE 经过点D (1，0)，E (3，90)．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋b ＝0，3k 2＋b ＝90，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝45，b ＝－45， ∴DE 的解析式为y ＝45x －45.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝20x ，y ＝45x －45，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝95，y ＝36.∴在B 出发后95h ，两人相遇． 12. (1)设直线l 1的解析式为y ＝kx ＋b ，∵直线l 1经过(2，3)和(－1，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝3，－k ＋b ＝－3，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－1， ∴直线l 1的解析式为：y ＝2x －1，把P (－2，a )代入y ＝2x －1得：a ＝2×(－2)－1＝－5.(2)设l 2的解析式为y ＝k 1x ，把P (－2，－5)代入得－5＝－2k 1，解得k 1＝52，∴l 2的解析式为y ＝52x ， ∴点(－2，－5)可以看成是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝52x 的解． (3)对于y ＝2x －1，令x ＝0，解得y ＝－1，则A 点坐标为(0，－1)，∴S △APO ＝12×2×1＝1. 13. (1)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧50t （0≤t ＜20），1 000（20≤t ≤30），50t －500（30＜t ≤60）.(2)设爸爸所走路程s 与步行时间t 的函数关系式为s ＝kt ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧25k ＋b ＝1 000，b ＝250，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝30，b ＝250， 则爸爸所走路程s 与步行时间t 的函数关系式为s ＝30t ＋250.小明与爸爸第三次相遇应该是t ＞30 min 时，由题意，得50t －500＝30t ＋250，解得t ＝37.5，故小明出发37.5 min 时与爸爸第三次相遇．(3)令30t ＋250＝2 500，解得t ＝75，则爸爸到达公园时，t ＝75 min.∵小明到达公园时t ＝60 min ，小明比爸爸早15 min 到达公园，∴若小明希望比爸爸早20 min 到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少5 min.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
19.3.2一次函数与方程、不等式（2）
知识技能目标
1.使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系；
2.使学生能初步运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集．
过程性目标
1.使学生体会到一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系；
2.使学生感受到“数形结合”在数学研究和探究现实生活数量关系及其变化规律中的作用．
3.能运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集．
教学过程
一、创设情境
问题 画出函数y ＝32
3+x 的图象，根据图象，指出： (1) x 取什么值时，函数值 y 等于零？
(2) x 取什么值时，函数值 y 始终大于零？
二、探究归纳
问 一元一次方程323+x ＝0的解与函数y ＝32
3+x 的图象有什么关系？ 答 一元一次方程323+x ＝0的解就是函数y ＝32
3+x 的图象上当y ＝0时的x 的值． 问 一元一次方程323+x ＝0的解，不等式323+x ＞0的解集与函数y ＝32
3+x 的图象有什么关系？
答 不等式323+x ＞0的解集就是直线y ＝32
3+x 在x 轴上方部分的x 的取值范围． 三、实践应用
例1 画出函数y ＝－x －2的图象，根据图象，指出：
(1) x 取什么值时，函数值 y 等于零？
(2) x 取什么值时，函数值 y 始终大于零？
解过(－2,0)，(0,-2)作直线，如图．
(1)当x＝－2时，y＝0；
(2)当x＜－2时，y＞0．
例2 利用图象解不等式(1)2x－5＞－x＋1，(2) 2x－5＜－x＋1．
解设y1＝2x－5，y2＝－x＋1，
在直角坐标系中画出这两条直线，如下图所示．
两条直线的交点坐标是(2, －1) ，由图可知：
(1)2x－5＞－x＋1的解集是y1＞y2时x的取值范围，为x＞－2；
(2)2x－5＜－x＋1的解集是y1＜y2时x的取值范围，为x＜－2．
四、交流反思
运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集．
五、检测反馈
1.已知函数y＝4x－3．当x取何值时，函数的图象在第四象限？
2.画出函数y＝3x－6的图象，根据图象，指出：
(1) x取什么值时，函数值y等于零？
(2)x取什么值时，函数值y大于零？
(3)x取什么值时，函数值y小于零？
3.画出函数y＝－0.5x－1的图象，根据图象，求：
(1)函数图象与x 轴的交点坐标；
(2)函数图象在x 轴上方时，x 的取值范围；
(3)函数图象在x 轴下方时，x 的取值范围．
4.如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数x
m y 的图象交于A 、B 两点．
(1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．。