山东省潍坊市第一中学高三数学4月过程性检测试题 理
山东省潍坊第一中学高一数学4月月考试题
山东省潍坊第一中学2014-2015学年高一数学4月月考试题一、选择题（每小题5分，共10小题）1. 从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试,采用系统抽样的方法,则所选5名学生的学号可能是（ ） A.1,2,3,4,5 B.5,16,27,38,49 C. 2,4,6,8,10 D. 4,14,24,34,442. －215°是（ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角3.已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于 （ ）4A.3-3B.4-3C.4 4D.3 4.2sin 120ο等于（ ）3.A 3B 3 1.2D 5. 在两个袋内,分别写着装有1,2,3,4,5,6六个数字的6张卡片,今从每个袋中各取一张卡片,则两数之和等于9的概率为 （ ） （ ）A. 13B. 16C. 19D. 1126.右面的程序框图中，若输出S 的值为126，则图中应填上的条件为（ ） A ．5n ≤ B ．6n ≤ C ．7n ≤ D ．8n ≤7.在区间[0，π]上取两个数分别记作a ，b 。
则使得函开始1,0n S ==?否2nS S =+是输出S结束数22()2f x x ax b π=+-+有零点的概率 （ ） A. 78 B. 34 C. 12 D. 148.若弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对应扇形的面积是（ ）A. sin1B.2sin1（） C. 1sin1 D.21sin1（） 9．一组数据中的每个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是 ( )A.81.2, 4.4B. 78.8 ,4.4C. 81.2, 84.4D.78.8,75.610.袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ） A.至少有一个白球；都是白球 B.至少有一个白球；至少有一个红球 C.恰有一个白球；一个白球一个黑球 D.至少有一个白球；红、黑球各一个 二、填空题（每小题5分，共5小题）11．口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球,其中有45个红球,从中摸出1个球,摸出白球的概率为0.23, 则摸出黑球的概率为____________.12.44πππαπ-≤≤+当2k 2k ______13．已知点)3sin ,6(cosππP 是角α终边上一点，则αsin =_____________。
山东省潍坊第一中学高二数学4月月考试题 理
数学 理一、选择题：（共50分，每题5分）1．若nxx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A.10 B.20 C.30 D.1202．高三（八）班要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出 顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）A ．1800B ．3600C ．4320D ．50403．设随机变量ξ服从正态分布)9,2(N ，若)(c P >ξ=)2(-<c P ξ，则c 的值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44．已知随机变量ξ的概率分布列如下：ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10P23232 233 234 235 236 237 238 239 mA.239B.2310C.139D.1310 5．若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ． 126．现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有（ ）A ．288种B ．144种C ．72种D ．36种7．在243x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有（ ） A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项为12，8．一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为6个开关，其闭合的概率且是相互独立的，则灯亮的概率是（ ）A.164B.5564C.18D.1169. 一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未击中9环或10环就以0环记。
该运动员在练习时击中10环的概率为a ，击中9环的概率为b ，既未击中9环也未击中10环的概率为c （a ，b ，c ∈)1,0[），如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为9环，则当ba 9110+取最小值时，c 的值为（ ）A.111 B.112 C.115 D. 010．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是( ) A.A 1 B ．A 2 C ．A 3 D ．A 4二、填空题：（共25分，每题5分）11．已知45235012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则())(531420a a a a a a ++++的值等于 .12.从1,3, 5, 7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到 lga －lgb 的不同值的个数是 种（用数字作答）.13. 省工商局于2003年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x 饮料的合格率为80%，现有甲、乙、丙3人聚会，选用6瓶x 饮料，并限定每人喝2瓶．则甲喝2瓶合格的x 饮料的概率是 ．14.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色.要求最多使 用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共__________种(用数字作答).15. 某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．则3个景区都有部门选择的概率是 ．三. 解答题：（共75分）16（12分）：用0、1、2、3、4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的整数？ （Ⅰ）所有的四位数；（Ⅱ）比21000大的没有重复的五位数.17.（12分）已知n x x 223)(+的展开式的二项式系数和比nx )13(-的展开式的二项式系数和大992。
2020届山东省潍坊一中高三4月模拟(入学诊断)数学(理)试题(解析版)
2020届山东省潍坊一中高三4月模拟（入学诊断）数学（理）试题一、单选题1．若全集U =R ，{}40log 1A x x =<<，则 U A =ð（ ） A ．{}1x x ≤B ．{1x x ≤或}4x ≥C ．{}4x x ≥D ．{0x x ≤或}4x ≥【答案】B【解析】计算得到{}{}40log 114A x x x x =<<=<<，再计算补集得到答案. 【详解】{}{}40log 114A x x x x =<<=<<，U =R ，∴{ 1U A x x =≤ð或}4x ≥.故选：B. 【点睛】本题考查了补集的计算，属于简单题.2．设复数()4z a i a R =+∈，且()2i z -为纯虚数，则a = （ ） A ．-1 B ．1C ．2D ．-2【答案】D【解析】()()()()2i 4i 2i 8i 4248i a a a a a -+=-++=++-Q 为纯虚数，240a ∴+=，解得2a =-，故选D.3．蟋蟀鸣叫声可以说是大自然的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率P （每分钟鸣叫的次数）与气温T （单位：℃）有着很大的关系.某观测人员根据下列表格中的观测数据计算出P关于T 的线性回归方程µ5160PT =-，那么下表中k 的值为（ ）A ．50B ．51C ．51.5D ．52.5【答案】B【解析】计算40T =，1094kP +=，代入回归方程计算得到答案. 【详解】 计算()138414239404T =⨯+++=，()110929443644k P k +=⨯+++=， 代入P 与T 的线性回归方程µ5160PT =-中，得1095401604k+=⨯-，解得51k =. 故选：B. 【点睛】本题考查了根据回归方程求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 4．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）A ．1-B ．12C ．1D ．2【答案】D【解析】根据程序框图依次计算，找出规律：S 的值成周期为3的间隔存在，得到答案. 【详解】由程序框图可得第一次：2S =，1k =，第二次，1S =-，3k =，不满足退出循环的条件； 第三次，12S =，5k =，不满足退出循环的条件； 第四次，2S =，7k =，不满足退出循环的条件； 第五次，1S =-，9k =，不满足退出循环的条件； 第六次，12S =，11k =，不满足退出循环的条件； …观察可知S 的值成周期为3的间隔存在， 第201610082=次，12S =，2015k =，满足退出循环的条件；第1009次，2S =，2017k =，满足退出循环的条件； 故输出S 值为2， 故选：D. 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力，找出周期规律是解题的关键.5．若双曲线2221(0)9y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，则此双曲线的实轴长为（ ） A ．2 B ．4C ．18D ．36【答案】C【解析】分析：由双曲线的方程，求解其中一条渐近线方程3ay x =-，利用题设垂直，求得9a =，即可得到双曲线的实轴长．详解：由双曲线的方程22219y x a -=，可得一条渐近线的方程为3a y x =-，所以1133a -⨯=-，解得9a =，所以双曲线的实轴长为218a =，故选C ． 点睛：本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，其中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力． 6．已知3cos 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，02πθ<<，则sin θ=（ ）A ．10 B ．2C D 【答案】A【解析】计算4sin 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据sin sin 44ππθθ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦计算得到答案. 【详解】因为3cos 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，02πθ<<，所以4sin 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以43sin sin 4455ππθθ⎡⎤⎛⎫⎫=+-=-= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：A.本题考查了三角恒等变换，变换sin sin 44ππθθ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦是解题的关键，意在考查学生的计算能力.7．若函数()()sin cos 0f x x x ωωω=->的图象关于点()2,0对称，则ω的最小值是（ ） A ．8π B ．4π C ．38π D ．58π 【答案】A【解析】化简得到()2sin 4f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据对称中心得到28k ππω=+，k Z ∈，解得答案. 【详解】函数()sin cos 2sin 4f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，其图象关于点()2,0对称，则24k πωπ-=，k Z ∈；解得28k ππω=+，k Z ∈，又0>ω，所以0k =时，ω取得最小值是8π.故选：A. 【点睛】本题考查了根据三角函数的中心对称求参数，意在考查学生对于三角函数性质的灵活运用.8．函数()ln xf x x=的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【解析】当01x <<时，ln 0x x <，当1x >时，ln 0xx>，故排除ABC ，得到答案.【详解】 当01x <<时，ln 0x x <，当1x >时，ln 0x x>，故排除ABC. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数图像的识别，取特殊值排除选项可以快速得到答案，是解题的关键. 9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？“其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的体积为（ ） A ．140立方尺 B ．280立方尺 C ．2803立方尺 D ．1403立方尺 【答案】C【解析】直接利用体积公式计算得到答案. 【详解】由题意可得：这个四棱锥的体积128075833=⨯⨯⨯=立方尺， 故选：C. 【点睛】本题考查了四棱锥的体积计算，意在考查学生的理解能力和计算能力. 10．已知,,a b c 均为正实数，若122log aa -=，122log bb -=，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．c a b << B ．c b a << C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】C【解析】画出函数2xy =，12log xy =，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =的图像，根据图像得到答案. 【详解】122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用函数2x y =，12log xy =，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =， 如图所示：由图象可得：a b c <<， 故选：C.【点睛】本题考查了比较方程的解的大小关系，画出函数图像是解题的关键.11．已知F 是椭圆C ：22195x y +=的左焦点，P 为C 上一点，4(1,)3A ，则||||PA PF +的最小值为（ ） A ．103B ．113C ．4D ．133【答案】D【解析】分析：根据椭圆的定义和三角形两边之和大于第三边，转化为6PA PF PA PF +=+-' 6AF ≥-'，即可求解其最小值．详解：设椭圆:C 22195x y +=的右焦点为(2,0),(2,0)F F -'，由4(1,)3A ，则53AF '=， 根据椭圆的定义可得26PF PF a ='+=， 所以51366633PA PF PA PF AF +=+-≥=-='-' 点睛：本题主要考查了椭圆的定义的应用，其中根据椭圆的定义和三角形三边的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．二、填空题12．已知实数,x y 满足不等式组20,40,250,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩若当且仅当1x =，3y =时，y ax -取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+?B ．[)1,+∞C ．()1,1-D ．()0,1【答案】A【解析】画出可行域和目标函数，根据图像得到答案. 【详解】由题意作出其平面区域，将z y ax =-化为y ax z =+，z 相当于直线y ax z =+的纵截距，则由图可知，当且仅当1x =，3y =时，y ax -取得最大值，即目标函数z y ax =-取得最大值时的唯一最优解是()1,3B ，则1a >， 故选：A .【点睛】本题考查了根据线性规划最值点求参数范围，画出图像是解题的关键.13．已知向量()3,2m =-u r ，()1,n λ=r ，若m n ⊥u r r，则n =r ______.【答案】2【解析】根据m n ⊥u r r得到320m n λ⋅=-=u r r ，得到31,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，计算模长得到答案.【详解】根据题意，向量()3,2m =-u r ，()1,n λ=r ，m n ⊥u r r ，则320m n λ⋅=-=u r r ，解得32λ=， 则31,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r，则n ==r. 【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，向量的模，意在考查学生的计算能力.14．已知甲、乙、丙、丁、戊五名同学全部分到,A B 两个班级，若甲必须在A 班，且每班至少有这五名中的2人，则不同的分配方案有______种. 【答案】10【解析】将5人分为人数为2、3两组，有2510C =种分法，将甲所在的组安排到A 班，剩下的1组安排到B 班，有1种情况，得到答案. 【详解】根据题意，分2步进行分析：①将5人分为人数为2、3的两组，有2510C =种分法，②将甲所在的组安排到A 班，剩下的1组安排到B 班，有1种情况， 则有10110⨯=种不同的安排方法. 故答案为：10. 【点睛】本题了分步乘法原理，意在考查学生的应用能力.15．已知正三棱锥的底面边长为为__________．【答案】9172π-. 【解析】作出对应的图像,设圆心,再利用内切圆的性质,根据直角三角形中的长度关系即可内切圆的半径.进而求得表面积. 【详解】如图,E 是底面ABC V 的重心,则内切球球心O 在PE 上,OE 与O 到PN 的距离OF 都是内切球的半径.其中()()2225317PN =-=,1236013EN sin =︒⨯=,所以()221714PE =-=.设内切圆的半径为r .由PFO PEN V :V ,得FO POEN PN=.即117r =,解得1714r =.所以内切球的表面积为2217191744S r ππ--==⨯=⎝⎭.917- 【点睛】本题主要考查了内切圆的性质与计算,需要根据立体几何中的相似与比例关系列式求解.属于中等题型.16．已知在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos b C c B =，则111tan tan tan A B C++的最小值为__________． 27【解析】先用正弦定理边化角，得2tan tan B C =，再结合诱导公式和内角和代换tan A ，进而求得最值 【详解】由正弦定理2cos cos b C c B =可转化为2sin cos sin cos B C C B =，两边同时除以cos cos B C 可得2tan tan B C =，()()()tan tan tan A B C πA πB C A πB C B C ⎡⎤++=⇒=-+⇒=-+=-+⎣⎦，即()2tan tan 3tan tan tan 1tan tan 12tan B C BA B C B C B+=-+=-=---则21112tan 11127=tan tan tan tan 3tan tan 2tan 36tan 3B B A BC B B B B -++++=+≥，当且仅当tan 2B =时取到等号；【点睛】本题考查三角函数的化简求值，正弦定理、诱导公式的使用，基本不等式求最值，综合性强，属于中档题三、解答题17．知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-,数列{}n b 满足31og 2nn a b =-. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 【答案】(1)22n a n =-，113n n b -=.(2)1321223n n n T -+=-⨯. 【解析】分析：(1)分类讨论1n =和2n ≥两种情况可得数列{}n a 的通项公式为22n a n =-.则113n n b -=. （2）结合(1)中的结论错位相减可得数列{}n n a b 的前n 项和1321223n n n T -+=-⨯. 详解：(1)在2n S n n =-中,令1n =,得10a =，当2n ≥时, ()()2111n S n n -=---,所以1n n n a S S -=-= ()222n n -≥.由于10a =满足22n a n =-,所以22n a n =-. 因为()311n og b n =--,所以113n n b -=. （2）由（1）知1223n n n n a b --=，所以012024333nT =++ 1223n n --++L ，①则1230243333n T =++ 223n n -++L .② ①-②得01220223333n T =+++ 122233n nn --+-L 121122331313n n n -⎛⎫- ⎪-⎝⎭=-- 1122133n n n --=-- 2113nn +=-，所以1321223n n n T -+=-⨯. 点睛：数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．18．2019年初，某高级中学教务处为了解该高级中学学生的作文水平，从该高级中学学生某次考试成绩中按文科、理科用分层抽样方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩频率分布直方图如图所示，::1:2:4a b c =，参考的文科生与理科生人数之比为1:4，成绩（单位：分）分布在[]0,60的范围内且将成绩（单位：分）分为[)0,10，[)10,20，[)20,30，[)30,40，[)40,50，[]50,60六个部分，规定成绩分数在50分以及50分以上的作文被评为“优秀作文”，成绩分数在50分以下的作文被评为“非优秀作文”.（1）求实数,,a b c 的值； （2）（i ）完成下面22⨯列联表； 文科生/人 理科生/人 合计 优秀作文 6 ______ ______ 非优秀作文__________________（ii ）以样本数据研究学生的作文水平，能否在犯错误的概率不超过0.010的情况下认为获得“优秀作文”与学生的“文理科“有关？注：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）0.005a =，0.01b =，0.02c =（2）（i ）填表见解析（ii ）在犯错误的概率不超过0.010的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关 【解析】（1）根据频率直方图得到()100.35a b c ⨯++=，::1:2:4a b c =，解得答案.（2）（i ）计算400人中文科生的数量为80，理科生的数量为320，完善列联表得到答案.（2）（ii ）计算2 1.32 6.635K ≈<，对比临界值表得到答案. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，()()101100.0180.0220.0250.35a b c ⨯++=-⨯++=，因为::1:2:4a b c =，所以240.035a b c a a a ++=++=， 解得0.005a =，所以20.01b a ==，40.02c a ==. 即0.005a =，0.01b =，0.02c =.（2）（i ）获奖的人数为0.0051040020⨯⨯=人， 因为参考的文科生与理科生人数之比为1:4， 所以400人中文科生的数量为1400805⨯=，理科生的数量为40080320-=. 由表可知，获奖的文科生有6人，所以获奖的理科生有20614-=人， 不获奖的文科生有80674-=人，不获奖的理科生有32014306-=. 于是可以得到22⨯列联表如下：文科生 理科生 合计 获奖 6 14 20 不获奖 74 306 380 合计 80320400（ii ）计算()2240063061474 1.32 6.6352038080320K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯； 所以在犯错误的概率不超过0.010的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关. 【点睛】本题考查了频率直方图，列联表，独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为AB 的中点，F 为1D C 的中点.（1）证明：//EF 平面11ADD A ；（2）若2AE =，求二面角D EF C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）19【解析】（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，()4,0,2EF =-u u u r ，平面11ADD A 的法向量()10,1,0n u r =，10EF n ⋅=u u u r u r，得到证明. （2）计算平面DEF 的法向量()1,2,2n =-r ，平面CEF 的法向量()1,2,2m =u r，计算夹角得到答案. 【详解】（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设4AB =，则()4,2,0E ，()0,2,2F ，()4,0,2EF =-u u u r ，平面11ADD A 的法向量()10,1,0n u r=，∵10EF n ⋅=u u u r u r，EF ⊄平面11ADD A ，∴//EF 平面11ADD A .（2）2AE =，()0,0,0D ，()4,2,0E ，()0,2,2F ，()0,4,0C ，()4,2,0DE =u u u r ，()0,2,2DF =u u u r ，()4,2,0CE =-u u u r ，()0,2,2CF =-u u u r， 设平面DEF 的法向量(),,n x y z =r，则420220n DE x y n DF y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩u u u v v u u u v v ，取1x =，得()1,2,2n =-r ， 设平面CEF 的法向量(),,m a b c =u r，则420220m CE a b m CF b c ⎧⋅=-=⎨⋅=-+=⎩u u u v v u u u v v ，取得1a =，得()1,2,2m =u r ， 设二面角D EF C --的平面角为θ，则二面角D EF C --的余弦值为11cos 339m n m n θ⋅===⨯⋅u r rur r . 、【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20．设O 是坐标原点,F 是抛物线()220x py p =>的焦点,C 是该抛物线上的任意一点，当它与y 轴正方向的夹角为60°时,21OC =u u u v.(1)求抛物线的方程;(2)已知()0,A p ,设B 是该抛物线上的任意一点,,M N 是x 轴上的两个动点,且=2MN p ，BM BN =当+AM AN ANAM取得最大值时,求BMN △的面积.【答案】(1) 24x y =. (2)4.【解析】分析：（1）设()0,0C x y ，则由抛物线的定义得02pFC y =+u u u v ，当FC u u u v 与y轴正方向的夹角60°时，032py =可得，由OC p ====u u u v （2）设()11,B x y ，则()()112,0,2,0M x N x -+，所以AM AN ==，则22·AM AN AM AN ANAMAM AN++==，利用基本不等式、结合三角形面积公式可得结果.详解：（1）设()0,0C x y ，则由抛物线的定义得02pFC y =+u u u v .当FC u u u v 与y 轴正方向的夹角60°时，00222p p y y ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即032p y =.又OC p ====u u u v 所以2p =，抛物线的方程为24x y =（2）因为BM BN =所以点B 在线段MN 的中垂线上， 设()11,B x y ，则()()112,0,2,0M x N x -+所以AM ==22216222·x y AM AN AM AN ANAMAM AN++++====所以AM ANAN AM+=≤=当且仅当12y=时等号成立，此时1x=±所以11·42AMNS MN y∆==.点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.21．已知函数()()()ln1+ln1f x x x=--.（Ⅰ）讨论函数()()()0F x f x ax a=+≠的单调性；（Ⅱ）若()3(3)f x k x x>-对()0,1x∈恒成立，求k的取值范围.【答案】（1）()F x在(上单调递减，在(1,-，上单调递增；（2）k的取值范围为2[,)3-+∞.【解析】试题分析：（1）讨论函数单调性主要研究导函数大于零和小于零的不等式解集，根据题意()11'11F x ax x=+++-()222111ax axx-++=-<<-，根据a的不同取值逐一讨论导函数符号即可（2）若()()33f x k x x>-对()0,1x∈恒成立，显然需要转化为最值问题，设()()()33g x f x k x x=--，则()()222231'1k xg xx+-=-，当()0,1x∈时，()()2210,1x-∈，或23k≥-，()22310k x+->，则()'0g x>，∴()g x在()0,1上递增，从而()()g00g x最小值为=.若23k<-，令()'0g x x=⇒=()0,1，当x⎛∈⎝时，()'0g x<；当x⎫⎪∈⎪⎭时，()'0g x>.∴()()min00g x g g=<=综合得出结论即可解析：（1）()11'11F x a x x =+++- ()222111ax a x x-++=-<<-， 当20a -≤<时，()'0F x ≥，∴()F x 在()1,1-上单调递增.当0a >时，()'0F x >，故当20a -≤<或0a >时，()F x 在()1,1-上单调递增. 当2a <-时，令()'0F x >，得1x -<<1x <<； 令()'0F x <，得x <<∴()F x在⎛ ⎝上单调递减，在1,⎛- ⎝，⎫⎪⎪⎭上单调递增.（2）设()()()33g x f x k x x =--，则()()222231'1k x g x x+-=-，当()0,1x ∈时，()()2210,1x -∈，或23k ≥-，()22310k x +->，则()'0g x >，∴()g x 在()0,1上递增，从而()()00g x g >=. 此时，()()33f x k x x >-在()0,1上恒成立.若23k <-，令()'0g x x =⇒=()0,1，当x ⎛ ∈ ⎝时，()'0g x <；当x ⎫⎪∈⎪⎭时，()'0g x >. ∴()()min00g x g g =<=，则23k <-不合题意. 故k 的取值范围为2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 点睛：单调性问题的解题关键是要学会对不等式解法含参的讨论，注意讨论的完整性，另外对于恒成立问题，通常是转化为最值问题求解，分析函数单调性求出最值解不等式即可22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,3x y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2223sin 12ρρθ+=.（1）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若()1,0P ，直线l 与曲线C 交于,M N 两点，求PM PN +的值. 【答案】（1）sin cos 3ρθθ=-；224312y x +=（2）165【解析】（1）直线的直角坐标方程为3y =-，根据极坐标公式得到答案.（2）直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆方程得到1245t t +=-，12125t t =-，12PM PN t t +=-，计算得到答案.【详解】（1）直线l的参数方程为,3x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩t 为参数），转换为直角坐标方程为3y =-，转换为极坐标方程为sin cos 3ρθθ=-.曲线C 的极坐标方程为2223sin 12ρρθ+=.转换为直角坐标方程为224312y x +=.（2）把直线l的参数方程转换为标准式为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入224312y x +=，得到：254120t t +-=，所以1245t t +=-，12125t t =-， 所以12165PM PN t t +=-==. 【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程的转化，直线的参数方程求弦长，意在考查学生的计算能力和应用能力. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()|||1|f x x a x =---.（1）当2a =时，求不等式0()1f x <≤的解集； （2）若(0,)x ∀∈+∞，2()3f x a ≤-，求a 的取值范围.【答案】（1）3(,)2-∞；（2）(,[2,)-∞⋃+∞. 【解析】分析：（1）把2a =代入()f x ，分别解不等式()0f x >及()1f x ≤，求交集可得不等式0()1f x <≤的解集；（2）22max (0,),()3()3x f x a f x a ∀∈+∞≤-⇔≤-，可对a 分0,01,1a a a ≤<<≥三种情况进行讨论，求解a 的取值范围. 详解：（1）当2a =时，因为()()()21211f x x x x x =---≤---= 所以()1f x ≤的解集为R ，由()0f x >，得21x x ->-，则2221x x ->-，即224421x x x x -+>-+，解得32x <，故不等式()01f x <≤的解集为3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）当()0,0,a x ≤∈+∞时，()1,1121,01a x f x x a x x a x -≥⎧=---=⎨--<<⎩，则()()2max 113f x f a a ==-≤-，又0a ≤，所以a ≤． 当[)01,1,a x <<∈+∞时，()2103f x a a =->>-，故01a <<不合题意，当()1,0a x ≥∈+∞时，()()()1111f x x a x x a x a a =---≤---=-=- 当且仅当01x <≤时等号成立，则231a a -≥-，又1a ≥，所以2a ≥综上：a 的取值范围为[),2,⎛-∞⋃+∞ ⎝⎦．点睛：不等式证明选讲近年来多以考察绝对值不等式为主，要能够对参数熟练进行分类讨论，或者运用绝对值不等式的几何意义进行求解，当不等式两侧都含有绝对值时，对不等式两侧分别平方可以避免分类讨论，减少计算量.。
山东省潍坊市第一中学2020届高三数学阶段测试 试题 理(无答案)新人教B版
潍坊市第一中学2020届高三阶段测试数学试题（理科）本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用铅笔写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上。
3.考试结束后，考生将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合}log ,3{2a P =，{}b a Q ,=，若{}0=⋂Q P ，=⋃Q PA.{}0,3B.{}2,0,3C.{}1,0,3D.{}2,1,0,32.已知p ：,20<<x q :11≥x,则p ⌝是q ⌝的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设直线0=++c by ax 的倾斜角为α，且0cos sin =+αα，则a 、b 满足A.1=+b aB.1=-b aC.0=+b aD.0=-b a4.为了得到函数)322sin(π+=x y 的图像，只需把函数)62sin(π+=x y 的图像 A.向左平移2π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 B.向右平移4π个单位长度 5.已知等比数列{}n a 中，21=a ，且有27644a a a =，则=3a A.1 B.2 C.41 D.21 6.函数x x x f cos )(-=在［0，+∞）内A.没有零点B.有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点7.设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出一列四个命题：①若,α⊥m α//n ，则n m ⊥；②若βα//，γβ//，,α⊥m 则γ⊥m ；③若,//αm α//n ，则n m //；④若γα⊥，γβ⊥，则βα//.其中正确．．命题的序号是 A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④8.一个空间几何体的正视图、侧视图均是长为2、高为3的矩形，俯视图是直径为2的圆(如右图），则这个几何体的表面积为A.12+πB.7πC.π8D.π209.若函数x x x f ln 2)(2-=在其定义域内的一个子区间（k-1,k+1)内不是．．单调函数，则实数K 的取值范围是 A.),1[+∞ B.)2,23[C.［1，2）D.［1，23） 10.函数|sin tan |sin tan x x x x y --+=在区间（23,2ππ）内的图象是11.若数列{}n a 中，,,10987,654,32,14321⋯+++=++=+==a a a a 则=10aA.1540B.500C.505D.51012.若定义在R 上的二次函数b ax ax x f +-=4)(2在区间［0，2］上是增函数，且)0()(f m f ≥，则实数m 的取值范围是A.40≤≤mB.20≤≤mC.0≤mD.0≤m 或4≥m第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：1.第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题。
届山东省高三4月模拟数学试题(理)含答案
2021届山东省第一中学高三5月模拟数学〔理〕试题本试卷分试题卷和答题卡两局部。
试题卷分第I 卷 〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕。
总分值为150分，考试时间为120分钟。
考生作答时，请按要求把答案涂、写在答题卡规定的范围内，超出答题框或答在试题卷上的答案无效。
考试结束只收答题卡。
第I 卷 〔选择题，共60分〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只 有一项为哪一项符合题目要求的〕1．集合{|2},{|13}A x x B x x =>=<<，那么AB =〔 〕A ．{|2}x x >B ．{|1}x x >C ．{|23}x x <<D ．{|13}x x <<2．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，那么12z z =〔 〕 A ．- 5B ．5C ．- 4+ iD ．- 4 - i3．设U 为全集，B A ,是集合，那么“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A 〞的〔 〕A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道，要求4名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有A ．34A 种B ．3133.A A 种C ．1143.C C 种D ．2244.C A 种 5．阅读下面程序框图，那么输出结果s 的值为A．1 2 B．22C．－3D．36．在数列{a n}中，“a n=2a n一l〔n=2，3，4，．．〕〞是“{a n}是公比为2的等比数列〞的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．假设实数x，y满足1122040x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，那么x+2y的最大值为A．6 B．132C．10 D．118．一个侧棱与底面垂直的棱柱被一个平面截去一局部所剩几何体的三视图如以下图所示，那么该几何体的体积为A．9 B．10C．11 D．2329．P是△ABC所在平面内一点，20PB PC PA++=，现将一粒黄豆随机撒在三角形ABC 内，那么黄豆落在△PBC内的概率是A．14B．13C．23D．1210．如图，双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左右焦点分别为F1，F2，| F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F 2P 与y 轴交与点A ，△APF 1的内切圆在边PF1上的切点为Q ，假设|PQ|=l ，那么双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．311．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，〔a 2021－1〕3+2021a 2021=0，〔a 3－1〕3+2021a 3=4028，那么以下结论正确的选项是 A ．S 2021=2021,a 2021<a 3B ．S 2021=2021,a 2021>a 3C ．S 2021=2021,a 2021<a 3D ．S 2021=2021,a:2021> a 312．函数2222()21(2)3f x x a og x a =+++-有且只有一个零点，那么实数a 的值为 A ．lB ．－3 C ．2D ．l 或－3第二卷 〔非选择题，共90分〕本卷包括必考题和选考题两局部。
2024届山东省潍坊第一中学数学高三上期末质量跟踪监视试题含解析
2024届山东省潍坊第一中学数学高三上期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π-C ．23π D ．23π-2．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A ．54B ．55C ．102D ．1053．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.A ．6500元B ．7000元C ．7500元D ．8000元4．由曲线y ＝x 2与曲线y 2＝x 所围成的平面图形的面积为( ) A ．1B ．13C ．23D ．435．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．46．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =，E 为BD 的中点，则CE =（ ）. A ．7388BA BC - B ．3788BA BC - C ．3788BA BC + D ．7388BA BC +7．对于任意x ∈R ，函数()f x 满足(2)()f x f x -=-，且当1x 时，函数()1f x x =-.若111,,223⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a fb fc f ，则,,a b c 大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．若2332a b a b +=+，则下列关系式正确的个数是（ ） ①0b a << ②a b = ③01a b <<< ④1b a << A ．1B ．2C ．3D ．49．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2xf x m =-，则()2019f =（ ） A ．1B ．-1C ．2D ．-210．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ） A ．1212,()()p p E E ξξ>< B ．1212,()()p p E E ξξ C ．1212,()()p p E E ξξ>> D ．1212,()()p p E E ξξ<<11． “1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件12．设向量a ，b 满足2=a ，1b =，,60a b =，则a tb +的取值范围是 A ．)2,⎡+∞⎣B ．)3,⎡+∞⎣C ．2,6⎡⎤⎣⎦D ．3,6⎡⎤⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018届山东省潍坊第一中学高三上学期第一次(4月)月考理科数学试题及答案 精品
一、选择题：本大题共1 0小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知a ∈R ，b ∈R ，若两集合相等，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 014＋b 2 014＝( ) A.1 B.-1 C.0 D. 2 2．下列命题中为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1＝0B ．∃x 0∈R ，－x 20－1≥0C ．∀x ∈N *，log 2x ＞0D ．∃x 0∈R ，cos x 0＞x 20＋2x 0＋3 3.设122a =，133b =，3log 2c =，则（ ）（A ）c a b << （B ）a b c << （C ）c b a << （D ）b a c <<4.已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－3x ＋3≤0，则下列说法正确的是 ( )A ．p ⌝：∃x ∈R ，2330x x >－＋，且p ⌝为真命题B ．p ⌝：∃x ∈R ，2330x x >－＋，且p ⌝为假命题C ．p ⌝：∀x ∈R ，2330x x >－＋，且p ⌝为真命题D ．p ⌝：∀x ∈R ，2330x x >－＋，且p ⌝为假命题5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －－1≤x ＜，－x ＋＜x则f (x )－f (－x )＞－1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪(0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12∪(0,1)6.由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A.103 B ．4 C.163 D ．6 7.已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R)，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝( )A ．3B ．4C ．－5D ．－18．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|，x ＜2，3x －1， x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)10.设函数1||,0()0,0x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，g(x)=[]2()f x +b ()f x +c,如果函数g(x)有5个不同的零点,则( )A.b ＜-2且c ＞0B.b ＞-2且c ＜0C.b ＜-2且c=0D. b≥-2且c ＞0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.若函数()x f 的导函数()342+-='x x x f ，则函数()x f +1的单调减区间是 _____.12. 若(a ＋1)12-＜(3－2a)12-，则a 的取值范围是__________． 13.当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，则实数a 的取值范围为________． 14.设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++.若“[0)x ∃∈+∞，，()1f x a <+”是假命题，则a 的取值范围为 .15．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x，则：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是_三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题满分12分）已知命题p ：任意[1,2]x ∈，有20x a -≥，命题q ：存在0R x ∈，使得200(1)10x a x +-+<.若“p 或q 为真”，“p 且q 为假”，求实数a 的取值范围．17（本小题满分12分）.已知函数f(x)＝a x＋x2－x ln a－b(a，b∈R，a>1)，e是自然对数的底数．(1)试判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)当a＝e ，b＝4时，求整数k的值，使得函数f(x)在区间(k，k＋1)上存在零点．18. （本小题满分12分）函数f(x)＝ln x－a x(1)当a＝－2时，求f(x)的最小值；(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为32，求a的值．19.（本小题满分12分）已知函数f(x)=lg[1)1()1(22+++-x a x a ]，设命题p ：“f(x)的定义域为R ”；命题q ：“f(x)的值域为R ” (Ⅰ)分别求命题p 、q 为真命题时实数a 的取值范围； (Ⅱ) p ⌝是q 的什么条件？请说明理由21. （本题满分14分）已知函数1()ln sin g x x xθ=+⋅在[1，＋∞）上为增函数，且θ∈（0，π），1()ln m f x mx x x-=--，m ∈R ．（1）求θ的值；（2）若()()f x g x -在[1，＋∞）上为单调函数，求m 的取值范围； （3）设2()eh x x=，若在[1，e]上至少存在一个x ，使得000()()()f x g x h x ->成立，求m 的取值范围．高三第一次月考数学（理）试题答案2018-10-94.【答案】C5.当0＜x ≤1时，－1≤－x ＜0，此时，f (x )＝－x ＋1，f (－x )＝－(－x )－1＝x －1，∴f (x )－f (－x )＞－1化为－x ＋1－(x －1)＞－1，解得x ＜32，则0＜x ≤1.故所求不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪(0,1]． B 正确方法二：画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －－1≤x ＜－x ＋＜x的图象如图所示．由图可知f (x )为奇函数，从而由f (x )－f (－x )＞－1，可知f (x )＞－12，解得6.【解析】 作出曲线y ＝x ，直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x －2.得交点A (4,2)． 因此y ＝x 与y ＝x －2及y轴所围成的图形的面积为⎠⎜⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎜⎛4(x －x ＋2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x | 40＝23×8－12×16＋2×4＝163.9【解析】画出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点，此时需满足0＜a ＜1，故选D.10.11.12.13.【解析】 设y ＝(x －1)2，y ＝log a x .在同一坐标系中作出它们的图象，如图所示．若0＜a ＜1，则当x ∈(1,2)时，(x －1)2＜log a x 是不可能的，所以a应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a 2≥1，解得1＜a ≤2.所以，a 的取值范围为{a |1＜a ≤2}．14.15.解析：由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x，函数y ＝f (x )的图像如图所示：当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此②④正确，③不正确．答案：①②④16.解析 ：解：p 真，任意[1,2]x ∈，有20x a -≥，即2a x ≤在[1,2]x ∈恒成立，[]21,4x ∈则a ≤1 …（2分）q 真，则△=（a-1）2-4＞0,即a ＞3或a ＜-1 …（4分） ∵“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,∴p,q 中必有一个为真,另一个为假…（6分）当p 真q 假时，有a 11a 3≤⎧⎨-≤≤⎩得-1≤a ≤1 …（8分）当p假q真时，得a＞3 …（10分）∴实数a的取值范围为-1≤a≤1或a＞3 …（12分）17.解：(1)f′(x)＝a x ln a＋2x－ln a＝2x＋(a x－1)ln a.∵a>1，∴当x∈(0，＋∞)时，ln a>0，a x－1>0，∴f′(x)>0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．…………………………………………...4分(2)∵f(x)＝e x＋x2－x－4，∴f′(x)＝e x＋2x－1，∴f′(0)＝0，当x>0时，e x>1，∴f′(x)>0，∴f(x)是(0，＋∞)上的增函数；同理，f(x)是(－∞，0)上的减函数．………………………………………….8分又f(0)＝－3<0，f(1)＝e－4<0，f(2)＝e2－2>0，当x>2时，f(x)>0，∴当x>0时，函数f(x)的零点在(1,2)内，∴k＝1满足条件；…………………………………………………………....10分f(0)＝－3<0，f(－1)＝1e－2<0，f(－2)＝1e2＋2>0，当x<－2时，f(x)>0，∴当x<0时，函数f(x)的零点在(－2，－1)内，∴k＝－2满足条件．综上所述，k＝1或－2. ………………………………………………..…..12分18【解】 (1)当a ＝－2时，f (x )＝ln x ＋2x ，f ′(x )＝x －2x2当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f (x )min ＝f (2)＝ln 2＋1. ----------------4分(2)f ′(x )＝x ＋ax2，①当a ≥－1时，对任意x ∈[1，e]，f ′(x )≥0，此时f (x )在[1，e]上为增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，∴a ＝－32(舍)． -------------------------------…………………………………………. 6分②当a ≤－e 时，对任意x ∈[1，e]，f ′(x )≤0，此时f (x )在[1，e]上为减函数．∴f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32.∴a ＝－e 2(舍)． -----------------------------------……………… 8分③当－e ＜a ＜－1时，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ，当1＜x ＜－a 时，f ′(x )＜0，f (x )在(1，－a )上递减．同理，f (x )在(－a ，e)上递增．∴f (x )min＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32，∴a ＝－e .综上，a ＝－e .---------------------……………………………. 12分 19.解:(Ⅰ)命题p为真,即)(x f 的定义域是R ,等价于01)1()1(22>+++-x a x a 恒成立, 等价于1-=a 或⎩⎨⎧<--+=>-.0)1(4)1(Δ,01222a a a 解得1-≤a 或35>a .∴实数a 的取值范围为-∞(,35(]1 -,)∞+ ……………4分命题q 为真,即)(x f 的值域是R , 等价于1)1()1(22+++-=x a x a u 的值域),0(∞+⊇,等价于1=a 或⎩⎨⎧≥--+=>-.0)1(4)1(Δ,01222a a a 解得351≤≤a .∴实数a的取值范围为1[,]35……………8分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,p ⌝:]35,1(-∈a ;q :]35,1[∈a .而]35,1[]35,1(≠⊃-,∴p⌝是q的必要而不充分的条件 ……………12分21.解：（1）由题意，211()sin g x x xθ'=-+⋅≥0在[)1,+∞上恒成立，即2sin 10sin x x θθ⋅-⋅≥． ∵θ∈（0，π），∴sin 0θ>．故sin 10x θ⋅-≥在[)1,+∞上恒成立，只须sin 110θ⋅-≥，即sin 1θ≥，只有sin 1θ=．结合θ∈（0，π），得π2θ=………..…4分（2）由（1），得()()f x g x -=2ln m mx x x --．()222()()mx x m f x g x x -+'∴-=．∵()()f x g x -在其定义域内为单调函数， ∴220mx x m -+≥或者220mx x m -+≤在[1，＋∞）恒成立． ………………6分 220mxx m -+≥ 等价于2(1)2m x x +≥，即221x m x +≥，而22211x x x x=++，（21x x+）max =1，∴1m ≥．220mx x m -+≤等价于2(1)2m x x +≤，即221x m x +≤在[1，＋∞）恒成立，而221x x +∈（0，1]，m ≤．综上，m 的取值范围是(][),01,-∞+∞……………… 9分（3）构造()()()()F x f x g x h x =--，2()2ln m eF x mx x x x=---． 当0m ≤时，[1,]x e ∈，0m mx x-≤，22ln <0e x x--，所以在[1，e ]上不存在一个x ，使得000()()()f xg xh x ->成立． ……………………………………………………………..11分 当0m >时，22222222(())'m e mx x m eF x m x x x x -++=+-+=．因为[1,]x e ∈，所以220e x -≥，20mx m +>，所以(())'0F x >在[1,]x e ∈恒成立．故()F x 在[1,]e 上单调递增， F(x)min=F(1)= -2e ＜0,max ()()4m F x F e me e ==--，只要40mme e-->， 解得241e m e >-．故m 的取值范围是24(,)1ee +∞-． ……………………….. 14分。
山东省潍坊市2024-2025学年高三上学期开学调研监测考试数学试题
山东省潍坊市2024-2025学年高三上学期开学调研监测考试数学试题一、单选题 1．复数12i12i-+的虚部是（ ） A ．45B ．45-C ．35D ．35-2．设集合{}{}21,2,4,50A B xx x m ==-+=∣，若{}2A B =I ，则B =（ ） A ．{}2,3- B ．{}2,6- C ．{}2,3 D ．{}2,63．已知向量,,a b c r r r在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为2，则()a b c a b +⋅+⋅=r rr r r （ ）A ．0B ．3C ．6D ．124．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，还有两个面是全等的等腰三角形，若25m,10m AB BC ==，且等腰梯形所在平面､等腰三角形所在平面与平面ABCD 的夹角均为45o ，则该五面体的体积为（ ）A ．3375mB ．31625m 3C ．3545mD ．3625m5．已知圆22:20C x y x +-=，则过点()3,0P 的圆C 的切线方程是（ ） A ．()132y x =±- B ．()23y x =±-C ．)3y x =-D ．)3y x =-6．数列 a n 中，112,2n n a a a +==+，若19270k k k a a a +++++=L ，则k =（ ） A ．7B ．8C ．9D ．107．设412341010x x x x ≤<<<≤，随机变量1ξ取值1234,,,x x x x 的概率均为14，随机变量2ξ取值123234341412,,,3333x x x x x x x x x x x x ++++++++的概率也均为14，若记()1D ξ，()2D ξ分别是12,ξξ的方差，则（ ）A ．()()12D D ξξ>B ．()()12D D ξξ=C ．()()12D D ξξ<D ．()1D ξ与()2D ξ的大小不确定8．已知定义在实数集R 上的函数()f x ，其导函数为()f x '，且满足()()()f x y f x f y xy +=++，()()110,12f f '==，则()2f '=（ ） A ．0B ．34C ．1D ．32二、多选题9．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中,ωϕ均为常数，π<ϕ）的部分图象如图所示，则（ ）A ．π3ϕ=-B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()f x 的单调增区间为π5ππ,π,1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z10．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足()41,2,n n a S n ⋅==L ，则（ ）A ．21a =B ．{}n a 为等比数列C ．{}n a 为递减数列D ．{}n a 中存在小于110000的项 11．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为1,E 为棱1AA 上一动点，CE ⊥平面α，则（ ）A ．当点E 与点A 重合时，CE ∥平面11A BCB ．当点E 与点A 重合时，四面体11ECD B 的外接球的体积为3π2C ．直线CD 与平面α所成角的正弦值的取值范围是⎣⎦D ．当点E 与点1A 重合时，平面α截正方体所得截面可为六边形，且其周长为定值三、填空题12．边长为2的正三角形绕其一边所在直线旋转一周所形成的曲面所围成的几何体的表面积为.13．已知四个函数：①e x y =-，②ln y x =-，③y x =，④y =从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为.14．已知椭圆22:15x C y +=，过x 轴正半轴上一定点M 作直线l ，交椭圆C 于,A B 两点，当直线l 绕点M 旋转时，有2211||||AM BM λ+=（λ为常数），则定点M 的坐标为，λ=.四、解答题15．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知πsin sin()3c B b C =+.(1)求C ；(2)若6b =，且ABC V 的面积为ABC V 的周长.16．如图，Rt ABC △中，90,30,3,ACB CAB BC AD ∠∠====o o 过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，将ADE V 沿DE 翻折至PDE △，使得PB =.(1)求证：PE ⊥平面BCDE ；(2)若DM PM =，求直线EM 与平面PBC 所成角的正弦值.17．已知函数()2e 1xf x ax x =---.(1)若()1e 2f =-，求()f x 的单调区间； (2)若()()0,,0x f x ∞∈+>，求实数a 的取值范围.18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为4，离心率为122,,F F 分别为C 的左､右焦点，两点()()1122,,,A x y B x y 都在C 上. (1)求C 的方程；(2)若222AF F B =u u u u r u u u u r，求直线AB 的方程；(3)若1AF ∥2BF 且12120,0x x y y <>，求四个点12,,,A B F F 所构成的四边形的面积的取值范围. 19．错位重排是一种数学模型.通常表述为：编号为1,2,3,,n L 的n 封信，装入编号为1,2,3,,n L 的n 个信封，若每封信和所装入的信封的编号不同，问有多少种装法？这种问题就是错位重排问题.上述问题中，设n 封信均被装错有n a 种装法，其中10a =. (1)求234,,a a a ；(2)推导21,,n n n a a a ++之间的递推关系，并证明：(){}11n n a n a +-+是等比数列； (3)请问n 封信均被装错的概率是否大于1e？并说明理由.（参考公式：2312!3!!xnx x x x n =++++++e L L ）。
山东省潍坊市第一初级中学2019-2020学年高三数学文月考试卷含解析
山东省潍坊市第一初级中学2019-2020学年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若k∈R，则“k＞3”是“方程﹣=1表示双曲线”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点：双曲线的标准方程．专题：压轴题．分析：根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线k﹣3和k+3同号，进而求得k的范围即可判断是什么条件．解答：解：依题意：“方程﹣=1表示双曲线”可知（k﹣3）（k+3）＞0，求得k＞3或k＜﹣3，则“k＞3”是“方程﹣=1表示双曲线”的充分不必要条件．故选A．点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．解题时要注意讨论焦点在x轴和y轴两种情况．2. 设定义域为R的函数，关于的方程有7个不同的实数解，则（）A．B． C． D．参考答案：B3. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，若，则的取值范围是A. B.C. D.参考答案：D4. 设，则（）A. B. C . D.参考答案：C略5. 设为函数的单调递增区间，将图像向右平移个单位得到一个新的的单调减区间的是A B. C. D.参考答案：D因为函数为偶函数，在当为减函数，图像向右平移个单位，此时单调减区间为，选D.6. 已知焦点在x轴上的椭圆方程为，随着a的增大该椭圆的形状（）A. 越接近于圆B. 越扁C. 先接近于圆后越扁D. 先越扁后接近于圆参考答案：A椭圆方程为焦点在轴上的椭圆方程，，解得，由于在不断的增大，所以对函数为单调递增函数，即短轴中的在不断增大，即离心率不断减小，所以椭圆的形状越来越接近于圆，故选A.7. 数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比为（）A． B. C.或 D.参考答案：C8. 已知函数f(x)=-cosx+lnx,则f＇(1)的值为（▲）A. 1+sin1B.1-sin1C. sin1-1D.-1-sin1参考答案：A略9. 已知的内角所对的边分别为，若，，则角的度数为（）A.120°B.135°C.60°D.45°参考答案：B10. 若函数在上存在，使，则实数的取值范围（）A．B．C．D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的幻方：将1，2，…，9填入方格内，使三行、三列，两条对角线的三个数之和都等于15，如图所示．一般地，将连续的正整数1，2，…，n2填入n×n个方格中，使得每行，每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n阶幻方．记n阶幻方的对角线上数的和为N n，例如N3=15，N4=34，N5=65…那么N n= ．参考答案：【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】推导出N n=（1+2+3+4+5+…+n2），由此利用等差数列求和公式能求出结果．【解答】解：根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，N3=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）=15，N4=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16）=34，N5=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25）=65，…∴N n=（1+2+3+4+5+…+n2）==．故答案为：．12. 已知平面向量，，，则在方向上的射影为_____．参考答案：【分析】利用平方运算可构造方程求得，根据射影的公式可求得结果.【详解】解得：在方向上的射影为：本题正确结果：【点睛】本题考查在方向上的射影的求解问题，关键是能够通过模长的平方运算求得数量积的值.13. 已知为数列的前项和，，求数列的通项公式___________.参考答案：2n－114. 过点(－4,0)作直线L与圆交于A、B两点，如果，则L的方程为_____.参考答案：或【分析】首先根据题意得到圆心，半径等于，根据弦长公式得到圆心到直线的距离等于，再分别讨论斜率是否存在，求直线方程即可.【详解】圆，即，所以圆心，半径等于，设圆心到直线的距离为，由弦长公式得：，所以.当直线的斜率不存在时，方程为，满足条件.当直线的斜率存在时，设斜率等于，直线的方程为，即，由圆心到直线的距离等于得：，解得，直线的方程为.综上，满足条件的直线的方程为或，故答案为：或【点睛】本题主要考查直线与圆相交的弦长问题，弦长公式为解题的关键，属于中档题.15. 设函数图象的一条对称轴是直线，则__________。
【新结构】(潍坊二模)山东省潍坊市2024届高三下学期4月高考模拟考试数学试题+答案解析
【新结构】(潍坊二模)山东省潍坊市2024届高三下学期4月高考模拟考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则A.B.C.D.2.已知随机变量，且，则A. B. C.D.3.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，则A. B. C.D.4.已知，，，则A.B.C.D.5.在平面直角坐标系xOy 内，将曲线：绕原点O 逆时针方向旋转角得到曲线，若是一个函数的图象，则可以为A.B.C. D.6.如图，圆台的上、下底面半径分别为，，且，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为A. B. C. D.7.已知函数则图象上关于原点对称的点有A.1对B.2对C.3对D.4对8.已知P 为抛物线上的一动点，过P 作圆的切线，切点分别为A ，B ，则的最大值为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知椭圆C：的焦点分别为，，P为C上一点，则A.C的焦距为B.C的离心率为C.的周长为D.面积的最大值为10.定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，N可以得到一列值，，，…，，…．如果存在一个正数M，使得对任意N都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是A. B. C. D.11.已知向量，，为平面向量，，，，，则A.B.的最大值为C.D.若，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知命题p：，，则为__________.13.请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式__________.①；②至少有两个零点；③有最小值．14.在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，其外接圆半径为1，，则的面积为__________；当A取得最大值时，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。
2025届山东省潍坊市第一中学高三数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析
2025届山东省潍坊市第一中学高三数学第一学期期末综合测试模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3C π=，若()6,m c a b =--，(),6n a b c =-+，且//m n ，则ABC ∆的面积为（ ） A ．3B ．932C ．332D ．332．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（ ）A ．3B ．36C ．33D ．2333．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．1634．在复平面内，复数z =i 对应的点为Z ，将向量OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转6π，所得向量对应的复数是（ ）A ．1322i -+ B ．3122i -+ C ．1322i -- D ．3122i -- 5．已知向量a b (3,1),(3,3)=-=，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ） A ．3-B ．3C ．1-D ．16．已知函数()ln ln(3)f x x x =+-，则（ ） A ．函数()f x 在()0,3上单调递增 B ．函数()f x 在()0,3上单调递减 C ．函数()f x 图像关于32x =对称 D ．函数()f x 图像关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 7．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：222233=，333388=，44441515=，55552424=，则按照以上规律，若10101010n n=具有“穿墙术”，则n =（ ） A ．48B ．63C ．99D ．1208．下列命题为真命题的个数是（ ）（其中π，e 为无理数） ①32e >；②2ln 3π<；③3ln 3e<. A ．0B ．1C ．2D ．39．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]eB ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-10．已知||3a =，||2b =，若()a ab ⊥-，则向量a b +在向量b 方向的投影为（ ） A ．12B ．72C ．12-D ．72-11．已知向量()1,3a =，b 是单位向量，若3a b -=，则,a b =（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 12．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省潍坊一中高三数学下学期4月模拟试卷理(含解析)
2015年山东省潍坊一中高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集U=R，A={x|y=ln（1﹣x）}，B={x||x﹣1|＜1}，则（∁U A）∩B=（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，1] C．[1，2）D．（1，2）2．已知i为虚数单位，复数，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．3．平面向量，的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B．C．D．24．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程=x+a中A．112.1万元B．113.1万元C．111.9万元D．113.9万元5．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=．设长方体的截面四边形ABC1D1的内切圆为O，圆O的正视图是椭圆O'，则椭圆O'的离心率等于（）A．B．C．D．6．下列命题正确的是（）（1）已知命题p：∃x∈R，2x=1．则¬p是：∃x∈R，2x≠1（2）设l，m表示不同的直线，α表示平面，若m∥l，且m∥α，则l∥α；（3）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为（4）“a＞0，b＞0”是“”的充分不必要条件．A．（1）（4） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（3）（4）7．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A．36种B．30种C．24种D．6种8．执行如图的程序，则输出的结果等于（）A．B．C．D．9．已知f（x）=e x（sinx﹣cosx）（0≤x≤2015π），则函数f（x）的各极大值之和为（）A．B．10082πC．D．1008π10．如果函数y=f（x）在区间I上是增函数，而函数y=在区间I上是减函数，那么称函数y=f（x）是区间I上“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”，若函数f（x）=是区间I上“缓增函数”，则“缓增区间”I为（）A．[1，+∞）B．C．[0，1] D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填写在试题的横线上．11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球体积为．12．已知c=，直线ax+by=2（其中a、b为非零实数）与圆x2+y2=c，（c＞0）相交于A、B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则的最小值为．13．设O为坐标原点，点满足不等式组的最小值是．14．如图为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，如图所示，且A、B、C、D四点共圆，则AC的长为km．15．关于圆周率π，数学展史上出现过许多有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请l20名同学，每人随机写下一个都小于l的正实数对（x，y）；再统计两数能与l 构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m=94，那么可以估计π≈（用分数表示）三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象经过点（0，），且相邻两条对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（）﹣cosA=，且bc=1，b+c=3，求a的值．17．如图1在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D、E分别为线段AB、AC的中点，AB=4，BC=，以D为折痕，将Rt△ADE折起到图2的位置，使平面A′DE⊥平面DBCE，连接A′C′，A′B′，设F是线段A′C上的动点，满足=（1）证明：平面FBE⊥平面A′DC；（2）若二面角F﹣BE﹣C的大小为45°，求λ的值．18．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．19．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=数列{a n}的前n项和为S n，b n=a2n，其中n∈N*．（Ⅰ）试求a2，a3的值并证明数列{b n}为等比数列；（Ⅱ）设c n=b n+a2n+1求数列的前n项和．20．已知椭圆C1：的左、右焦点分别为F1、F2．其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF1|=2a﹣．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）若过点D（4，0）的直线l与C1交于不同的两点A、B，且A在DB之间，试求△AOD 与BOD面积之比的取值范围．21．已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．（Ⅰ）若函数F（x）=f（x）﹣g（x）有极值点1，求a的值；（Ⅱ）若函数G（x）=f[sin（1﹣x）]+g（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）证明：．2015年山东省潍坊一中高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集U=R，A={x|y=ln（1﹣x）}，B={x||x﹣1|＜1}，则（∁U A）∩B=（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，1] C．[1，2）D．（1，2）考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题；集合．分析：化简集合A，B；求集合（∁U A）∩B即可．解答：解：A={x|y=ln（1﹣x）}=（﹣∞，1），B={x||x﹣1|＜1}=（0，2），故（∁U A）∩B=[1，2）；故选C．点评：本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．2．已知i为虚数单位，复数，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简可得复数z等于+i，由此求得复数z的虚部．解答：解：∵===+i，故复数z的虚部是，故选B．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法法则的应用，属于基础题．3．平面向量，的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B．C．D．2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件可求出，，又，从而能求出=．解答：解：由得；所以根据已知条件可得：=．故选A．点评：考查根据向量坐标求向量长度，数量积的计算公式，以及求向量长度的方法：．4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程=x+a中的b=10.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（）9考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为10代入，预报出结果．解答：解：∵==3.5，==43，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，=x+a中的b=10.6，∴43=10.6×3.5+a，∴a=5.9，∴线性回归方程是y=10.6x+5.9，∴广告费用为10万元时销售额为10.6×10+5.9=111.9万元，故选：C．点评：本题考查线性回归方程的求法和应用，是一个基础题，本题解答关键是利用线性回归直线必定经过样本中心点．5．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=．设长方体的截面四边形ABC1D1的内切圆为O，圆O的正视图是椭圆O'，则椭圆O'的离心率等于（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质；椭圆的定义．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，画出图形，结合图形，求出椭圆O1的长轴与短轴长，计算离心率e即可．解答：解：根据题意，画出图形，如图所示：椭圆O′的长轴长为2a=AB=2，短轴长为2b=AA1=，∴a=1，b=，∴c===，∴离心率为e===．故选：B．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了椭圆的几何性质的应用问题，属于基础题．6．下列命题正确的是（）（1）已知命题p：∃x∈R，2x=1．则¬p是：∃x∈R，2x≠1（2）设l，m表示不同的直线，α表示平面，若m∥l，且m∥α，则l∥α；（3）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为（4）“a＞0，b＞0”是“”的充分不必要条件．A．（1）（4） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（3）（4）考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：（1）利用命题的否定即可判断出正误；（2）若m∥l，且m∥α，则l∥α或l⊂α，即可判断出正误；（3）利用几何概率计算公式即可判断出正误；（4）“a＞0，b＞0”⇒“”，反之不成立，例如a＜0，b＜0，则“”成立，即可判断出正误．解答：解：（1）命题p：∃x∈R，2x=1．则¬p是：∀x∈R，2x≠1，因此不正确；（2）设l，m表示不同的直线，α表示平面，若m∥l，且m∥α，则l∥α或l⊂α，因此不正确；（3）P（3a﹣1＞0）=P（a＞）==，正确；（4）“a＞0，b＞0”⇒“”，反之不成立，例如a＜0，b＜0，则“”成立，因此“a＞0，b＞0”是“”的充分不必要条件，正确．综上只有：（3）（4）正确．故选：D．点评：本题考查了简易逻辑的判定方法、几何概率计算公式、线面平行的判定定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A．36种B．30种C．24种D．6种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：间接法：先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，从中排除数学、理综安排在同一节的情形，可得结论．解答：解：由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，共=36种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共=6种方法，故总的方法种数为：36﹣6=30故选：B．点评：本题考查排列组合及简单的计数问题，采用间接法是解决问题的关键，属中档题．8．执行如图的程序，则输出的结果等于（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法；算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T的值，当i=100，退出循环，输出T 的值．解答：解：执行程序框图，有i=1，s=0，t=0第1次执行循环，有s=1，T=1第2次执行循环，有i=2，s=1+2=3，T=1+第3次执行循环，有i=3，s=1+2+3=6，T=1++第4次执行循环，有i=4，s=1+2+3+4=10，T=1++…第99次执行循环，有i=99，s=1+2+3+..+99，T=1+++…+此时有i=100，退出循环，输出T的值．∵T=1+++…+，则通项a n===，∴T=1+（1﹣）+（﹣）+（）+（）+…+（）=2=．∴输出的结果等于．故选：A．点评：本题主要考察了程序框图和算法，考察了数列的求和，属于基本知识的考查．9．已知f（x）=e x（sinx﹣cosx）（0≤x≤2015π），则函数f（x）的各极大值之和为（）A．B．10082πC．D．1008π考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用；等差数列与等比数列．分析：先求f′（x）=2e x sinx，这样即可得到f（π），f（3π），f（5π），…，f（2015π）为f（x）的极大值，并且构成以eπ为首项，e2π为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求f（x）的各极大值之和即可．解答：解：f′（x）=2e x sinx；x∈[0，（2k+1）π）时，f′（x）＞0；x∈（（2k+1）π，（2k+2）π）时，f′（x）＜0，其中0≤k≤1007，且k∈N*；∴f（（2k+1）π）=e（2k+1）π是f（x）的极大值；∴函数f（x）的各极大值之和为：eπ+e3π+e5π+…+e2013π+e2015π=．故选A．点评：考查极大值的定义，正弦、余弦，和积的导数的求导公式，以及等比数列的概念，等比数列的求和公式．10．如果函数y=f（x）在区间I上是增函数，而函数y=在区间I上是减函数，那么称函数y=f（x）是区间I上“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”，若函数f（x）=是区间I上“缓增函数”，则“缓增区间”I为（）A．[1，+∞）B．C．[0，1] D．考点：函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，求f（x）=的增区间，再求y==x﹣1+的减函数，从而求缓增区间．解答：解：f（x）=在区间[1，+∞）上是增函数，y==x﹣1+，y′=﹣•=；故y==x﹣1+在[﹣，]上是减函数，故“缓增区间”I为[1，]；故选D．点评：本题考查了函数的性质应用，属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填写在试题的横线上．11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于一个长，宽，高分别为，，2的长方体的外接球，计算出球的半径，代入球的体积公式，可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于一个长，宽，高分别为，，2的长方体的外接球，故外接球的半径R==，故球的体积V==，故答案为：．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．12．已知c=，直线ax+by=2（其中a、b为非零实数）与圆x2+y2=c，（c＞0）相交于A、B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则的最小值为1 ．考点：微积分基本定理．专题：计算题；直线与圆．分析：先求出c，再由直线ax+by=2（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B 两点，且△AOB为直角三角形，可得|AB|=．圆心O（0，0）到直线ax+by=2的距离d=，可得2a2+b2=8．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．解答：解：c===1∵直线ax+by=2（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，∴|AB|=．∴圆心O（0，0）到直线ax+by=2的距离d==，化为2a2+b2=8．∴=（）（2a2+b2）=（2+2++）≥（4+4）=1，当且仅当b2=2a2=1取等号．∴的最小值为1．故答案为：1点评：本题考查了直线与圆相交问题弦长问题、点到直线的距离公式、基本不等式的性质，属于中档题13．设O为坐标原点，点满足不等式组的最小值是．考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用；平面向量及应用．分析：由题意作出其平面区域，由=（x，y），=（，1），从而令z=•=+y，再化为y=﹣+z，z相当于直线y=﹣+z的纵截距，由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，=（x，y），=（，1），故令z=•=+y；可化为y=﹣+z，故过点E（1，1）时，z=•=+y有最小值+1=；故答案为：．点评：本题考查了简单线性规划及向量的数量积的应用，作图要细致认真，属于中档题．14．如图为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，如图所示，且A、B、C、D四点共圆，则AC的长为7 km．考点：余弦定理的应用．专题：应用题；解三角形．分析：利用余弦定理，结合∠B+∠D=π，即可求出AC的长．解答：解：∵A、B、C、D四点共圆，圆内接四边形的对角和为π．∴∠B+∠D=π，∴由余弦定理可得AC2=52+32﹣2•5•3•cosD=34﹣30cosD，AC2=52+82﹣2•5•8•cosB=89﹣80cosB，∵∠B+∠D=π，即cosB=﹣cosD，∴=，∴可解得AC=7．故答案为：7点评：本题考查余弦定理，考查三角函数知识，正确运用余弦定理是关键，属于基本知识的考查．15．关于圆周率π，数学展史上出现过许多有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请l20名同学，每人随机写下一个都小于l的正实数对（x，y）；再统计两数能与l 构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m=94，那么可以估计π≈（用分数表示）考点：几何概型；简单线性规划．专题：应用题；概率与统计．分析：由试验结果知120对0～1之间的均匀随机数x，y，满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且，x+y＞1，面积为﹣，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值．解答：解：由题意，120对都小于l的正实数对（x，y）；，满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且，x+y＞1，面积为﹣，因为统计两数能与l 构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m=94，所以﹣，所以π=．故答案为：．点评：本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是综合题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象经过点（0，），且相邻两条对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（）﹣cosA=，且bc=1，b+c=3，求a的值．考点：余弦定理；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）把已知点坐标代入求出φ的值，根据题意确定出周期，利用周期公式求出ω的值，即可确定出函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性确定出单调递增区间即可；（Ⅱ）由第一问确定出的解析式，表示出f（），代入已知等式求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入，变形后将bc与b+c的值代入即可求出a的值．解答：解：（Ⅰ）把（0，）代入解析式得：sinφ=，∵0＜φ＜，∴φ=，∵相邻两条对称轴间的距离为，∴函数的周期为π，即ω=2，∴函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（Ⅱ）由第一问得：f（）=sin（A+），代入得：sin（A+）﹣cosA=sinA+cosA﹣cosA=sinA﹣cosA=sin（A﹣）=，∴A﹣=或，即A=或A=π（舍去），∵bc=1，b+c=3，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=9﹣3=6，则a=．点评：此题考查了余弦定理，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17．如图1在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D、E分别为线段AB、AC的中点，AB=4，BC=，以D为折痕，将Rt△ADE折起到图2的位置，使平面A′DE⊥平面DBCE，连接A′C′，A′B′，设F是线段A′C上的动点，满足=（1）证明：平面FBE⊥平面A′DC；（2）若二面角F﹣BE﹣C的大小为45°，求λ的值．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知得A′D⊥DE，A′D⊥平面DBCE，从而A′D⊥BE，由1﹣tan∠BED•tan ∠CDE=0，得BE⊥DC，由此能证明平面FEB⊥平面A′DC．（2）作FG⊥DC，垂足为G，设BE交DC于O点，连OF，则∠FOG为二面角F﹣BE﹣C的平面角，由FG∥A′D，得FG=λA′D=2λ，同理，得C′G=λCD，DG=（1﹣λ）CD=2（1﹣λ），从而OG=DG﹣DO=2（1﹣λ）﹣，由此结合已知条件能求出．解答：解：（1）证明：∵平面A′DE⊥平面DBCE，A′D⊥DE，∴A′D⊥平面DBCE，∴A′D⊥BE，∵D，E分别是线段AB、AC的中点，∴DE==，BD=，…（2分）在直角三角形DEB中，∵tan=，tan，1﹣tan∠BED•tan∠CDE=0，∴∠BED+∠CDE=90°，得BE⊥DC，∴BE⊥平面A′DC，又BE⊂平面FEB，∴平面FEB⊥平面A′DC．…（6分）（2）解：作FG⊥DC，垂足为G，则FG⊥平面DBCE，设BE交DC于O点，连OF，由（1）知，∠FOG为二面角F﹣BE﹣C的平面角，…（7分）由FG∥A′D，则=λ，∴FG=λA′D=2λ，同理，得C′G=λCD，DG=（1﹣λ）CD=2（1﹣λ），∵DO==，∴OG=DG﹣DO=2（1﹣λ）﹣，在Rt△OGF中，由tan∠FOG===1，…（10分）得．…（12分）点评：本题考查面面垂直的证明，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为．设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A i（i=0，1，2，3，4），故P（A i）=（）i（）4﹣i．由此能求出这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率．（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．解答：（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为．设“这4个人中恰有2人去参加甲游戏”为事件A i（i=0，1，2，3，4），P（A i）=（）i（）4﹣i．这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）=（）2（）2=．（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（ξ=0）=P（A2）=，P（ξ=2）=P（A1）+P（A3）=，P（ξ=4）=P（A0）+P（A4）=，∴ξ的分布列是ξ 0 2 4P数学期望Eξ=0×+2×+4×=．点评：本题考查概率知识的求解，考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．19．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=数列{a n}的前n项和为S n，b n=a2n，其中n∈N*．（Ⅰ）试求a2，a3的值并证明数列{b n}为等比数列；（Ⅱ）设c n=b n+a2n+1求数列的前n项和．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）a1=，a n+1=，分别取n=1，n=2，可得a2，a3．利用递推式可得b n+1=a2n+2=2a2n+1+4n，又a2n+1=﹣a2n﹣2n，可得b n+1=﹣2b n，利用等比数列的定义即可证明．（II）由（I）可得：a2n+1=﹣a2n﹣2n，b n=a2n，可得c n=a2n+（﹣a2n﹣2n）=﹣2n．于是=．利用“裂项求和”即可得出．解答：（I）证明：∵a1=，a n+1=，∴a2=2a1+2﹣2=1，a3=﹣a2﹣2=﹣3．b n+1=a2n+2=2a2n+1+2（2n+1）﹣2=2a2n+1+4n，又a2n+1=﹣a2n﹣2n，∴b n+1=2（﹣a2n﹣2n）+4n=﹣2a2n=﹣2b n，b1=a2=1，∴数列{b n}为等比数列，首项为1，公比为﹣2；（II）解：由（I）可得：a2n+1=﹣a2n﹣2n，b n=a2n，c n=b n+a2n+1=a2n+（﹣a2n﹣2n）=﹣2n．c n+1=﹣2（n+1）．∴==．∴数列的前n项和=+…+==．点评：本题考查了递推式、等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知椭圆C1：的左、右焦点分别为F1、F2．其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF1|=2a﹣．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）若过点D（4，0）的直线l与C1交于不同的两点A、B，且A在DB之间，试求△AOD 与BOD面积之比的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由已知求出F2的坐标，设M（x1，y1），则由椭圆的定义可得，再由抛物线的焦半径求得，代入抛物线方程求得，把点M的坐标代入椭圆方程，结合a2﹣b2=1求得a2=4，b2=3．则椭圆C1的方程可求；（Ⅱ）设l的方程为x=my+4，和椭圆方程联立．化为关于y的一元二次方程，由判别式大于0求得m2＞4．再利用根与系数的关系得到A，B两点纵坐标的和与积，令，得到y1=λy2，结合根与系数的关系得，．再由m2＞4，得，求解分式不等式得λ的取值范围，从而得到△ODA与△ODB面积之比的取值范围．解答：解：（Ⅰ）依题意知，F2（1，0），设M（x1，y1），由椭圆的定义可得，由抛物线的定义得，，即．将代入抛物线方程，得，进而由及a2﹣b2=1，解得a2=4，b2=3．故椭圆C1的方程为；（Ⅱ）依题意知，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x=my+4，代入，整理得：（3m2+4）y2+24my+36=0．由△=（24m）2﹣4×36（3m2+4）＞0，得m2＞4．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，令，则=且0＜λ＜1．将y1=λy2代入①得，消去y2得，．即．由m2＞4，得，∴λ≠1且3λ2﹣10λ+3＜0．解得：或1＜λ＜3．又∵0＜λ＜1，∴．故△ODA与△ODB面积之比的取值范围为（）．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系，这是处理这类问题的最为长用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．21．已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．（Ⅰ）若函数F（x）=f（x）﹣g（x）有极值点1，求a的值；（Ⅱ）若函数G（x）=f[sin（1﹣x）]+g（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）证明：．考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；压轴题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据已知条件函数F（x）=f（x）﹣g（x）有极值点1，可得F′（1）=0，得出等式，求出a值；（Ⅱ）因为函数G（x）=f[sin（1﹣x）]+g（x）在区间（0，1）上为增函数，可以对其进行转化，可以转化为G′（x）＞0在（0，1）上恒成立，利用常数分离法进行求解；（Ⅲ）这个证明题可以利用一个恒等式，sinx＜x，然后对从第三项开始进行放缩，然后进行证明；解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．∴F（x）=ax﹣lnx，则 F′（x）=a﹣，∵函数F（x）=f（x）﹣g（x）有极值点1，∴F′（1）=0，∴a﹣1=0，解得a=1；（Ⅱ）∵函数G（x）=f[sin（1﹣x）]+g（x）=asin（1﹣x）+lnx，∴G′（x）=acos（1﹣x）×（﹣1）+，只要G′（x）在区间（0，1）上大于等于0，∴G′（x）=acos（1﹣x）×（﹣1）+≥0，∴a≤，求的最小值即可，求h（x）=xcos（1﹣x）的最大值即可，0＜1﹣x＜1，∵h′（x）=cos（1﹣x）+xsin（1﹣x）＞0，∴h（x）在（0，1）增函数，h（x）＜h（1）=1，∴的最小值为1，∴a≤1；（Ⅲ）∵0＜＜1，∵sinx＜x在x∈（0，1）上恒成立，∴=sin+sin+…+sin≤++…+＜+++++…+=﹣＜＜ln2，∴＜ln2；点评：第一问利用导数可以很容易解决，第二问利用了常数分离法进行证明，第三问需要进行放缩证明，主要利用sinx＜x进行证明，此题难度比较大，计算量比较大；。
2020届山东省潍坊一中高三4月模拟适应性线上测试(一)数学(文)试题(解析版)
2020届山东省潍坊一中高三4月模拟适应性线上测试（一）数学（文）试题一、单选题1．若复数z 满足()12z i i +=，则z 的值是（ ） A ．-1-i B ．-1i +C ．1-iD ．1i +【答案】C【解析】先用复数除法进行化简，之后求共轭复数即可. 【详解】 因为()12z i i +=故：()()()()21211111i i i z i i i i i i -===-=+++- 故其共轭复数为：1i - 故选：C. 【点睛】本题考查复数的除法运算，涉及共轭复数，属基础题.2．集合{}230A x x x =-<，2{}0|B x x =-≥，则()A B =R I ð( ) A ．{|02}x x <≤ B ．{}2|0x x << C ．{|23}x x ≤< D ．{}|03x x <<【答案】B【解析】利用集合的交、补运算即可求解. 【详解】}{}{(3)003A x x x x x =-<=<<，}{2B x x =≥，}{2R B x x =<ð，则(){}{}{}03202R A B x x x x x x ⋂=<<⋂<=<<ð， 故选：B. 【点睛】本题考查了集合的交、补运算，属于基础题.3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3416a a +=，530S =，则1a =（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．4【答案】A【解析】根据条件建立关于1a 和d 的方程组，求解1a . 【详解】解析：由3416a a +=，530S =得12516a d +=且151030a d +=，解得12a =-. 故选：A 【点睛】本题考查等差数列基本量的求法，属于简单题型.4．下图是某地区2010年至2019年污染天数y （单位：天）与年份x 的折线图，根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型11ˆyb x a =+，22ˆy b x a =+，33ˆy b x a =+，则（ ）A ．123b b b <<，123a a a <<B ．132b b b <<，132a a a <<C ．231b b b <<，132a a a <<D ．231b b b <<，321a a a <<【答案】C【解析】由图象可知，回归直线应分布在散点图的附近，由ˆb 和ˆa 的的几何意义直接判断选项. 【详解】由图象可知，回归直线应分布在散点图的附近，2010至2014年，y 随x 的增加，平缓的下降，2015年到2019年y 随着x 的增加，下降迅速，根据回归直线方程中ˆb的几何意义可知，210b b <<，由点的分布可知，()321,b b b ∈，所以231b b b << ，【点睛】本题考查回归直线方程和散点图的关系，重点考查对图象的分析能力，属于基础题型. 5．已知1sin cos 2αα=+，则cos 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．34-B ．34C． D【答案】A【解析】1sin cos 2αα-=，两边平方后可得3sin 24α=，再根据诱导公式直接计算结果. 【详解】 解析：由1sin cos 2αα=+，得1sin cos 2αα-=，平方得11sin 24α-=，所以3sin 24α=， 所以3cos 2sin 224παα⎛⎫+=-=-⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变形，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型.6．已知双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线经过点()12,9，且其焦距为10，则C 的方程为（ ） A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．221916x y -=D ．221169x y -= 【答案】D【解析】由条件建立关于,,a b c 的方程组，直接求解双曲线C 的方程；或是利用排除法获得选项. 【详解】解析：依题意可得2229125b a c ⎧=⋅⎪⎪=⎨⎪，解得4a =，3b =，故方程为221169x y -=.另解：由焦距得5c =，又由222c a b =+快速排除AB 选项：点()12,9代入选项C ，不满足，排除C ， 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线标准方程和几何性质，重点考查基础知识，属于基础题型.7．若实数x ，y 满足约束条件022085400y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．9B ．10C ．313D ．373【答案】D【解析】首先画出可行域，然后画出初始目标函数20x y +=，再平移直线，得到函数的最大值. 【详解】 如图画出可行域，令20x y +=，作出初始目标函数，当初始目标函数平移至点C 时，2x y +取得最大值，22085400x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得：53x = ，163y =， 此时2x y +的最大值516372333+⨯=. 故选：D 【点睛】本题考查线性规划，重点考查作图和识图能力，属于基础题型. 8．已知函数2,0()32,0xx b x f x b x ⎧++>=⎨+≤⎩，若()f x 在实数集上为增函数，则常数b 满足（ ） A ．0b < B ．0b >C ．01b ≤≤D ．1b >【答案】C【解析】由分段函数的单调性，考虑各段的情况，注意在R 上递增，则有221b b b -≤⎧⎨+≥+⎩，解得不等式，即可求出结果． 【详解】因为()f x 在实数集上为增函数，所以001221b b b b -≤⎧⇒≤≤⎨+≥+⎩，故选C. 【点睛】在解决分段函数单调性时，首先每一段函数的单调性都应具备单调递增（或单调递减），其次，在函数分段的分界点处也应该满足函数的单调性，据此建立不等式组，求出不等式组的交集，即可求出结果．9．已知椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>的焦距为2c ，1F ，2F 是E 的两个焦点，点P是圆222()4x c y c -+=与E 的一个公共点.若12PF F ∆为直角三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12B 1C ．2D 1【答案】B【解析】首先由条件判断2190PF F ∠=︒，再结合椭圆定义得到椭圆的离心率. 【详解】依题意可得122F F PF =2c =，又因为12PF F ∆为直角三角形，所以2190PF F ∠=︒，故112PF F F222c c a += ，解得:1c a ==故选：B 【点睛】本题考查椭圆的定义和几何性质，重点考查灵活应用几何性质，本题的关键是判断2190PF F ∠=︒，属于中档题型.10．已知函数1,(0)()ln 2,(0)x xe x f x x x x ⎧+≤=⎨-->⎩，若函数()y f x a =-至多有2个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,1(1,)e ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U C ．11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．[1,1]e +【答案】B【解析】首先画出函数()y f x =的图象，转化为y a =与函数图象至多有2个零点时，求a 的取值范围. 【详解】解析：由()0f x a -=，得()f x a =，1x y xe =+ 0x ≤()1x y x e '=+，当1x =-时，0y '=，当(),1x ∈-∞-时，0y '<，函数单调递减， 当()1,0x ∈-时，0y '> ，函数单调递增， 所以0x ≤时，函数的最小值()111f e-=-，且()01f = ln 2y x x =-- ，0x >，11y x'=-，当1x =时，0y '=， 当()0,1x ∈时，0y '<，函数单调递减， 当()1,x ∈+∞时，0y '>，函数单调递增， 所以0x >时，函数的最小值()11f =-，作出函数()y f x =与y a =的图象，观察他们的交点情况，可知，11a e<-或1a >时，故选：B. 【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数的取值范围，重点考查利用导数判断函数的单调性和最值，并能数形结合分析问题的能力，属于中档题型.二、多选题11．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位，x ∈R ）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（ ） A ．10i e π+=B ．1ixe=C ．cos 2ix ix e e x --=D ．12i e 在复平面内对应的点位于第二象限【答案】AB【解析】根据欧拉公式的定义，代入x π=，判断选项A ，根据模的计算公式判断B ，令x x =-，两个式子联立解方程组判断C,令12x =，则12i e 表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos12,sin12)，判断D. 【详解】解析：1cos sin 10i e i πππ+=++=，A 对；|cos sin |1ixex i x =+=，B 对：cos 2ix ixe e x -+=，C 错；依题可知ix e 表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos ,sin )x x ，故12i e 表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos12,sin12)，显然该点位于第四象限；D 错；本题考查新定义和复数的计算和性质，属于基础题型，本题的关键是读懂新定义. 12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若cos b c A =，角A 的角平分线交BC 于点D ，1AD =，1cos 8A =，以下结论正确的是（ ） A ．34AC = B ．8AB =C ．18CDBD = D ．ABD ∆的面积为374【答案】ACD【解析】首先根据余弦定理，并结合条件判断2C π=，并根据二倍角公式得到3cos 4CAD ∠=，依次计算,AC AB 的值，根据面积比值ACD ADBS S ∆∆，判断C 和D.【详解】解析：在ABC ∆中，根据余弦定理得，222cos 2b c a bA bc c+-==，即222b a c +=，所以2C π=.由倍角公式得21cos 2cos 18BAC CAD ∠=∠-=，解得3cos 4CAD ∠=. 在Rt ACD ∆中，3cos 4AC AD CAD =∠=，故选项A 正确 在Rt ABC ∆中，1cos 8AC BAC AB ∠==，解得6AB =.故选项B 错误； 11sin 2211sin 22ACD ADBCD AC AC AD CADS S BD AC AB AD BAD ∆∆⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅∠，解得18CD AC BD AB ==，故选项C 正确；在ABD ∆中，由3cos 4BAD ∠=得，7sin BAD ∠=，所以1sin 2ABD S AD AB BAD ∆=⋅⋅∠ 1737162=⋅⋅⋅=，故选项D 正确本题考查判断命题的真假，重点考查正余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，数形结合分析问题的能力，属于中档题型.三、填空题13．已知向量(,2)a x =r，(1,1)b =-r，若|2||2|a b a b +=-rrrr，则x =______________. 【答案】2【解析】|2||2|a b a b +=-r r r r 两边平方后，得到0a b ⋅=r r ，根据向量数量积计算结果.【详解】|2||2|a b a b +=-r r r r ，两边平方可得0a b ⋅=r r ，故20x -+=，得2x =.故答案为：2 【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，属于基础题型. 14．已知13a π=，()126b e=，log c e π=，e 为自然对数的底数，则a ，b ，c 的大小关系为__________. 【答案】a b c >> 【解析】化简13b e=，根据幂函数13y x =的单调性和图象比较,a b 大小，再根据对数函数可知()0,1c ∈，最后比较,,a b c 的大小关系， 【详解】 解析：因为()11236b ee ==，13a π=，13y x =在定义域内单调递增，1e π>>故1a b >>，又log log 1c e πππ=<=，故a b c >>. 故答案为：a b c >> 【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，重点是判断所属函数类型，利用单调性比较大小，或是和特殊值比较，属于基础题型.15．已知函数()sin()f x x ωϕ=+0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象向左平移6π个单位后所得图象关于y 轴对称，则：()f x =_____________；当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为___________.【答案】()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】首先根据函数的性质计算函数的解析式，再根据函数的定义域计算x ωϕ+的范围，计算函数的值域. 【详解】 因为2ππω=，可得2ω=，函数向左平移6π个单位后得到sin 26y x πϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为函数是偶函数， 所以262k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，因为2πϕ<，所以6π=ϕ， 所以()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭； 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， 22,633πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦x ，所以()f x 的值域为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查三角函数的性质和解析式，意在考查对称性和函数的值域，属于中档题型. 16．已知三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面30ABC PAB ∠=︒,，6,10AB PA CA CB ==+=.设直线PC 与平面ABC 所成的角为θ，则tan θ的最大值为__________. 【答案】3【解析】利用余弦定理求出PAB △是直角三角形，过点P 作PD AB ⊥，垂足为D ，易得PD ，连接CD ，可得PD ⊥平面ABC，进而可得tan PD CD θ=CD y =，CA x =，即10CB x =-，由180CDA CDB ∠+∠=︒，利用余弦定理可得：()2222229310220932222y x y x y y ⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=⨯⨯，化简配方即可求解. 【详解】由已知易得PAB △是直角三角形， 过点P 作PD AB ⊥，垂足为D，易得93,22PD AD BD ===， 连接CD ，因为平面PAB ⊥平面ABC ，由面面垂直的性质定理，可得PD ⊥平面ABC ， 所以PCD θ∠=，tan PD CD θ==CD 取最小值时，tan θ最大. 设CD y =，CA x =，则10CB x =-.因为180CDA CDB ∠+∠=︒，所以cos cos 0CDA CDB ∠+∠=，即()2222229310220932222y x y x y y ⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=⨯⨯，所以y =，可得当152x =时，y取得最小值，最小值为即CD的最小值所以tan θ34=. 故答案为：34【点睛】本题考查了线面角的求法，同时考查了余弦定理的应用，解题的关键是找出线面角，属于中档题.四、解答题17．数列{}n a 中，13a =，13n n a a +=，n S 为{}n a 的前n 项和.（1）若363n S =，求n ； （2）若3log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）5n =（2）1n n T n =+ 【解析】（1）由题意可知数列{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，根据等比数列的前n 项和公式求n ；（2）由（1）可知n b n =，代入后()1111n n b b n n +=+，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由13n n a a +=得数列{}n a 是首项13a =，公比3q =的等比数列； 由363nS =得()13336313n-⨯=-.得3243n =，解得5n =. 所以n 的值为5.（2）由（1）知数列{}n a 是首项13a =，公比3q =的等比数列.可得3nn a =33l 3log og n n n b a n ===11111(1)1n n b b n n n n +==-++ 11111111223341n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L111n =-+ 1n n =+. 所以，数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和1n nT n =+. 【点睛】本小题主要考査等比数列的定义、通项公式、数列求和等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查化归与转化思想，体现综合性与应用性，导向对逻辑推理、数学运算等核心素养的关注.18．新冠肺炎疫情期间，为了减少外出聚集，“线上买菜”受追捧.某电商平台在A 地区随机抽取了100位居民进行调研，获得了他们每个人近七天“线上买菜”消费总金额（单位：元），整理得到如图所示频率分布直方图.（1）求m 的值；（2）从“线上买菜”消费总金额不低于500元的被调研居民中，随机抽取2位给予奖品，求这2位“线上买菜”消费总金额均低于600元的概率；（3）若A 地区有100万居民，该平台为了促进消费，拟对消费总金额不到平均水平一半的居民投放每人10元的电子补贴.假设每组中的数据用该组区间的中点值代替，试根据上述频率分布直方图，估计该平台在A 地区拟投放的电子补贴总金额.【答案】（1）0.003m =（2）35（3）1820000元 【解析】（1）根据频率和为1计算m 的值；（2）由频率分布图计算可知消费总金额在[500,600)元的有4人，消费总金额在[]600,700的有1人，采用编号列举的方法，计算这2位“线上买菜”消费总金额均低于600元的概率；（3）首先计算估计A 地区每位居民“线上买菜”消费总金额平均数，并且计算小于平均水平一半的频率，并计算总金额. 【详解】（1）由(0.00110.00240.0020.0010.00040.0001)1001m ++++++⨯=， 得0.003m =.（2）设事件A 为“这2位‘线上买菜’消费总金额均低于600元”被抽取的居民“线上买菜”消费总金额在[500,600)元的有000041001004⨯⨯=人， 分别记为1a ，2a ，3a ，4a被抽取的居民“线上买菜”消费总金额在[]600,700的有0.00011001001⨯⨯=人，记为b ，从被抽取的居民“线上买菜”消费总金额不低于500元的居民中随机抽取2人进一步调研，共包含10个基本事件，分别为12a a ，13a a ，14a a ，1a b ，23a a ，24a a ，2a b ，34a a ，3a b ，4a b ， 事件包含6个基本事件，分别为12a a ，13a a ，14a a ，23a a ，24a a ，34a a ， 则这2位线上买菜消费总金额均低于600元的概率63()105P A ==. （3）由题意，可得估计A 地区每位居民“线上买菜”消费总金额平均数为500.00111001500.00241002500.0031003500.0021004500.001⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯1005500.00041006500.0001100260⨯+⨯⨯+⨯⨯=估计低于平均水平一半的频率为2601000.00240.110.1822⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭， 所以估计投放电子补贴总金额为10000000.182101820000⨯⨯=元.【点睛】本题考査频率分布直方图、古典概型、用样本估计总体等知识点.考察了学生对统计图表的识读与计算能力，考察了学生的数学建模、数据分析、数学抽象、数学运算等核心素养.19．如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为4，D 是AC 的中点，E 在11A C 边上，113EC A E =.（1）证明：平面1BC D ⊥平面11ACC A ；（2）若F 是侧面11ABB A 内的动点，且//EF 平面1BC D .①在答题卡中作出点F 的轨迹，并说明轨迹的形状（不需要说明理由）； ②求三棱锥1F BC D -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）①详见解析②43【解析】（1）要证明面面垂直，需先证明线面垂直，根据条件可证明以BD ⊥平面11ACC A ；（2）①要总有//EF 平面1BC D ，即作出过点E 的平面，使其与平面1BC D 平行； ②根据①的面面平行可转化为11F BC D E BC D V V --=，再利用等体积转化求解. 【详解】解：（1）在正三棱柱111ABC A B C -中，因为1AA ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ， 所以1AA BD ⊥在等边ABC ∆中，D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥. 又1AA AC A =I ，所以BD ⊥平面11ACC A .又BD ⊂平面1BC D ，所以平面1BC D ⊥平面11ACC A .（2）①取1AA 的中点M ，11A B 的中点N ，连接MN ，则点F 的轨迹就是线段MN . ②因为//EF 平面1BC D ，所以111F BC D E BC D B EC D V V V ---==.…… 由（1）得BD ⊥平面1EC D ， 又因为113462EC D S ∆=⨯⨯=，23BD =所以11623433B ECD V -=⨯⨯=. 故三棱锥1F BC D -的体积为43.【点睛】本小题考查线面平行、面面垂直的判定与性质、三棱锥的体积的求解等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理及运算求解能力，考査化归与转化思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知()0,1F ，点P 满足以PF 为直径的圆与x 轴相切. （1）求P 的轨迹C 的方程；（2）设直线l 与C 相切于点P ，过F 作PF 的垂线交l 于Q ，证明：FQ FO ⋅u u u r u u u r为定值.【答案】（1）24x y =（2）证明见解析 【解析】（1）设(),P x y ，利用1||2y MF +=，化简求轨迹方程； （2）设()22,P t t，分别求直线FQ 和直线l 的方程，求交点Q 的坐标，再利用坐标表示FQ FO ⋅u u u r u u u r .【详解】（1）设(),P x y ，则PF 的中点为1,22x y M +⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由题意，得1||2y MF +=，2(1)4y +=整理，得24x y =， 所以C 的方程为24x y =.（2）设()22,P t t ，()00,Q x y 则PF 的斜率212t k t-=，故直线QF 的方程为2211ty x t =-+-， 又12y x '=，故可得l 的方程为2y tx t =-，由22211y tx t ty x t ⎧=-⎪⎨=-+⎪-⎩解得01y =-， 又()00,1FQ x y =-u u u r ，(0,1)FO =-u u u r所以012FQ FO y ⋅=-=u u u r u u u r ，故FQ FO ⋅u u u r u u u r为定值.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义、方程及直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考査化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与创新性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养的关注. 21．已知函数()ln x axf x x x e=-+. （1）若1a =，求()f x 的单调区间；（2）若1x =是()f x 的唯一极值点，求a 的取值范围. 【答案】（1）增区间是()1,+∞，减区间是()0,1（2）a e ≥- 【解析】（1）利用导数11()(1)x f x x e x ⎛⎫'=-+⎪⎝⎭，求函数的单调区间； （2）首先求函数的导数(1)1()(1)x x xe x a x af x x e x e ⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭'=-+= ⎪⎝⎭，令()xe g x a x =+，转化为函数()g x 没有变号零点，求a 的取值范围. 【详解】解：（1）由题意可得1()(1)x a f x x ex ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭(0)x >当1a =时，11()(1)x f x x e x ⎛⎫'=-+⎪⎝⎭， 因为0x >，所以110x ex ⎛⎫+> ⎪⎝⎭所以()0f x '>时，01x <<，()0f x '<时，1x >. 所以()f x 的增区间是()1,+∞，减区间是()0,1.（2）(1)1()(1)x x xe x a x af x x e x e ⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭'=-+= ⎪⎝⎭，令()xe g x a x =+ 则2(1)()x e x g x x'-=，当01x <<，()0g x '<，当0x >，()0g x '>， 所以()g x 在()0,1递减，在()1,+∞递增， 所以min ()(1)g x g a e ==+①当0a e +>，即a e >-时，()0g x >恒成立， 故01x <<时，()0f x '>；1x >时，()0f x '<故()f x 在()0,1递增，在()1,+∞递减，所以1x =是()f x 的唯一极值点，满足题意. ②当0a e +=.即a e =-时，()g x 在()0,1递减，在()1,+∞递增，(1)0g a e =+=.故01x <<时，()(1)0g x g >=，得()0f x '>；1x >时，()(1)0g x g >=，得()0f x '< 故()f x 在()0,1递增，在()1,+∞递减 所以1x =是()f x 的唯一极值点，满足题意. ③当0a e +<，a e <-时，(1)0g a e =+<，2()a e a g a a ---=-，令a t -=，则2()t e t g a t--=，t e >， 令2()t h t e t =-，t e >，()2t h t e t '=-令()2t t e t ϕ=-，t e >，()20t t e ϕ'=->，故()t ϕ在(),e +∞递增，故()()0t e ϕϕ>>故()h t 在(),e +∞递增，()()0h t h e >>，故()0g a -> 所以()g x 在()1,+∞存在唯一零点，设为t ，当1x t <<时，()()0g x g t <=，得()0f x '>；当x t >时，()()0g x g t >=，得()0f x '<，所以()f x 在()1,t 递减，(),t +∞递增，所以x t =也是()f x 的极值点， 所以a e <-不符合题意综上所述，a 的取值范围是a e ≥- （注：①②可合并） 【点睛】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和极值点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为4,,x t y kt =-⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线2l 的普通方程为1y x k=，设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，记点P 的轨迹为曲线C .以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求C 的极坐标方程；（2）已知点,A B 在C 上，4AOB π∠=，求AOB V 的面积的最大值.【答案】（1）4cos ρθ=（0ρ≠且4ρ≠）；（2）2+.【解析】（1）将直线1l 化为普通方程，与直线2l 联立消去k ，得C 的普通方程，再利用极坐标方程与普通方程的互化即可求解.（2）设()1,A ρθ，()212,0,04B πρθρρ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭，根据三角形的面积公式可得1sin cos 244AOB S OA OB ππθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭V u u u v u u u v ，然后再利用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）由4x ty kt=-⎧⎨=⎩，消去参数t 得1l 的普通方程()4y k x =-，设(),P x y ，由题意得()4,1.y k x y x k ⎧=-⎪⎨=⎪⎩消去k 得C 的普通方程2240(0)x y x y +-=≠.把222x y p +=，cos x ρθ=代入上式，24cos 0ρρθ-=， 可得C 的坐标方程为4cos ρθ=（0ρ≠且4ρ≠）.（2）由题意可设()1,A ρθ，()212,0,04B πρθρρ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭，121sin cos 2444AOBS OA OB p p ππθθ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭V u u u v u u u v ()21cos 2sin 24cos sin cos 422θθθθθ+⎛⎫=-=-⎪⎝⎭224πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以当cos 214πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()4k k Z πθπ=-∈时， AOB V的面积取得最大值，其最大值为2+.【点睛】本题考查了消参求点的轨迹放方程、普通方程与极坐标方程的互化、三角形的面积公式、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质，综合性比较强，属于基础题. 23．已知关于x 的不等式2321x x a x -+-≥-的解集为R . （1）求a 的最大值m ；（2）在（1）的条件下，若1p >，且22pq p q m --=-，求p q +的最小值. 【答案】（1）4；（2）7.【解析】（1）当1x =时，解得a R ∈；当1x ≠时，分离参数可得2321x x a x -+-≤-，令()2321x x g x x -+-=-，只需()min a g x ≤，根据绝对值的几何意义求出()min g x 即可；（2）由（1）可得22pq p q --=，即()()124p q --=，从而()()123p q p q +=-+-+，第 21 页 共 21 页 利用基本不等式即可求解.【详解】（1）当1x =时，20a ≥⋅恒成立，此时a R ∈.当1x ≠时，原不等式可等价转化为2321x x a x -+-≤-.令()2321x x g x x -+-=-，则原不等式恒成立，只需()min a g x ≤.因为()23244411x x x g x x x -+--=≥=--， 当且仅当23x ≤或2x ≥时，“=”号成立， 所以()min 4g x =，即4a ≤.综上知，a 的最大值4m =.（2）由（1）可得22pq p q --=，即()()124p q --=.因为10p ->，所以()20q ->，()()12337p q p q +=-+-+≥=.当且仅当12p q -=-，即3,4p q ==时“=”成立，所以p q +的最小值为7.【点睛】本题考查了含参数的绝对值不等式的解法、基本不等式求最值，注意利用基本不等式时验证等号成立的条件，属于基础题.。
2020年山东省潍坊市诸城第一中学高三数学理月考试卷含解析
2020年山东省潍坊市诸城第一中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量，满足||=1，||=2，﹣=（，），则|+2|=（）A．2B．2C．D．参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】利用向量的数量积运算即可得出．【解答】解：向量，满足||=1，||=2，﹣=（，），可得|﹣|2=5，即||2+||2﹣2?=5，解得?=0．|+2|2=||2+4||2﹣4?=1+16=17．|+2|=．故选：C．2. 已知，，则a,b,c的大小关系是（A）（B）（C）（D）参考答案：B，，则3. 已知向量都是非零向量，“”是“”的（）A．必要非充分条件． B．充分非必要条件．C．充要条件． D．既非充分也非必要条件参考答案：B4. 已知函数f（x）满足f（x）+1=，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上方程f（x）﹣mx﹣m=0有两个不同的实根，则实数m的取值范围是( )A．（0，] B．（0，）C．（0，] D．（0，）参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】设x∈（﹣1，0），则（x+1）∈（0，1），由于当x∈[0，1]时，f（x）=x，可得f（x+1）=x+1．利用f（x）+1=，可得f（x）=，方程f（x）﹣mx﹣x=0，化为f（x）=mx+m，画出图象y=f（x），y=m（x+1），M（1，1），N（﹣1，0）．可得k MN=．即可得出．【解答】解：设x∈（﹣1，0），则（x+1）∈（0，1），∵当x∈[0，1]时，f（x）=x，∴f（x+1）=x+1．∵f（x）+1=，∴f（x）=﹣1=﹣1，∴f（x）=，方程f（x）﹣mx﹣x=0，化为f（x）=mx+m，画出图象y=f（x），y=m（x+1），M（1，1），N（﹣1，0）．k MN==．∵在区间（﹣1，1]上方程f（x）﹣mx﹣x=0有两个不同的实根，∴，故选：A．【点评】本题考查了方程的实数根转化为函数交点问题、函数的图象，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．5. 某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟是否患有肺病，得到2×2列联表，经计算的K2=5.231．已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，P（K2≥3.841）=0.05，P（K2≥6.635）=0.01，则该研究所可以（）A．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”B．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”C．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”D．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”参考答案：A【考点】独立性检验的应用．【分析】根据条件中所给的计算出的观测值，把观测值同临界值进行比较，看出有1﹣0.05=95%的把握说患肺病与吸烟有关，得到结论．【解答】解：∵计算得K2=5.231，经查对临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05，∴有1﹣0.05=95%的把握说患肺病与吸烟有关故选：A．6. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第4天走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里参考答案：D7.“且”是“”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分又非必要条件参考答案：答案:B8. 已知不等式组表示平面区域D，往抛物线与轴围成的封闭区域内随机地抛掷一粒小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B如图所示，试验的全部结果构成的区域为，则的面积， 平面区域D 的面积为，因此该颗粒落到区域D 中的概率为，故选择B 。
山东省潍坊市第一中学2023-2024学年高一下学期清明后摸底考试(4月月考)数学试题
山东省潍坊市第一中学2023-2024学年高一下学期清明后摸底考试（4月月考）数学试题一、单选题1．幂函数 2531----⋅＝（）m y m m x ，当0,x ∞∈+（）时为减函数，则实数m 的值为（ ）A ． 2m ＝B ． 1m ＝-C ． 2m ＝或1m ＝-D ．m ≠2．设12,A A 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右顶点，若在椭圆上存在异于点12,A A 的点P ，使得2PO PA ⊥，其中O 为坐标原点，则椭圆离心率e 的取值范围是（ ）.A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎝⎭3．已和双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>与直线21y x =+相交于A 、B 两点，若弦AB 的中点M 的横坐标为1，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．6y x =±C ．16y x =±D ．y =4．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若ABC V 的面积是)2224b c a +-，则A =（ ） A ．π3B ．2π3 C ．π6D ．5π65．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且πsin 3sin ,1,6A B b C ===，则ABC V 的面积为（ ）A ．34B ．32C D 6．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，1a =，45C =o ，ABC V 的面积为2，则b =（ ）A ．B ．4C ．D ．7．如图，ABC V 满足2π,2,13ABC BC DC BD ∠====，则cos A =（ ）A B C D ．788．函数()cos 2xf x =的一段图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．满足{1}{1,2,3}A ⊆⊆的集合A 是（ ） A ．∅B ．{}1C ．{}1,2D ．{}2,310．下列表述正确的是（ ）A ．{}00,1,2∈B ．{}{}0,1,22,1,0⊆C ．{}0,1,2∅⊆D ．{}0∅=11．已知集合{}220,A x ax x a a R =++=∈，若集合A 有且仅有两个子集，则a 的值是（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．212．如图，已知AO ⊥平面OBC ，23BOC π∠=，2OA OB ==，=3OC ，E 为AB 的中点，3AC AF =u u u r u u u r，则以下正确的是（ ）A ．53OF =B ．EF =C ．AB 与OCD ．OE 与OF三、填空题13．已知lg 2a =，lg3b =，则lg15=.（用a ，b 表示）14．在平面直角坐标系中，已知边长为2的正方形的中心在坐标原点，且各边均与坐标轴平行，圆C 为该正方形的外接圆，过点()2,2P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为．15．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1AD ，1BC 的中点，G 是线段EF 上一点，满足4EF GF =u u u r u u u r，若11111D G xD A yD B zD C =++u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，则x y z ++=．16．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有斛.（精确到个位）四、解答题17．设复数12i z a =+（其中a ∈R ），234z i =-. (1)若1a =，求12z z 的值； (2)若12z z +是实数，求a 的值.18．在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A 处击中目标得3分，在B ，C 处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在A 处击中目标的概率为13，在B ，C 处击中目标的概率均为34，该同学依次在A ，B ，C 处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中：(1)该同学得4分的概率； (2)该同学得分不超过3分的概率. 19．已知α是第四象限角．(1)若cos α()()π3πcos sin 222sin πcos 2παααα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++-的值；(2)若25sin 5sin cos 10ααα++=，求tan α的值．20．某市为了解社区新冠疫菌接种的开展情况，拟采用分层抽样的方法从,,A B C 三个行政区抽出6个社区进行调查．已知,,A B C 三个行政区中分别有18,27,9个社区． （1）求从,,A B C 三个行政区中分别抽取的社区个数； （2）若从抽得的6个社区中随机抽取2个进行调查． ①试列出所有可能的抽取结果；②设事件M 为“抽取的2个社区中至少有一个来自A 行政区”，求事件M 发生的概率． 21．地铁作为城市交通的重要组成部分，以其准时、高效的优点广受青睐．某城市新修建了一条地铁线路，经调研测算，每辆列车的载客量h （单位：人）与发车时间间隔t （单位：分钟，且330t ≤≤）有关：当发车时间间隔达到或超过．．．．．15分钟时，列车均为满载状态，载客量为1700人；当发车时间间隔不超过．．．15分钟时，地铁载客量h 与1525t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭成正比．假设每辆列车的日均车票收入325hy t=（单位：万元）． (1)求y 关于t 的函数表达式；(2)当发车时间间隔为何值时，每辆列车的日均车票收入最大？并求出该最大值．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为1e 2=．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左、右两个顶点分别为12,A A ，T 为直线:4l x =上的动点，且T 不在x 轴上，直线1TA 与C 的另一个交点为M ，直线2TA 与C 的另一个交点为N ，F 为椭圆C 的左焦点，求证：FMN V 的周长为定值．。
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山东省潍坊市第一中学2015届高三数学4月过程性检测试题 理 第I 卷(共50分)
一．选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)
1.设全集
(){}{}(),ln 1,11,U U R A x y x B x x C A B ===-=-<⋂=则 A.()2,1- B. (]2,1-
C. [)1,2
D. ()1,2
2.已知i 为虚数单位，复数121i z i +=-，则z 的共轭复数虚部是 A. 32i B. 32 C. 12i - D. 32-
3.平面向量a b 与的夹角为
()602,012a b a b ==+，，，则等于
A.
B. C.12
D.
4.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表:根据下表可得回归方程ˆy bx a =+中的
b=10.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为
A.112.1万元
B.113.1万元
C.113.9万元
D.111.9万元 5.如图，长方体
1111ABCD A BC D -
中，12,AB AD AA ===设长方体的截面四边形
11ABC D 的内切圆为O ，圆O 的正视图是椭圆O '，则椭圆O '的离心
率等于
A.
B. 2
C. 3
D.
6.下列命题正确的是：
（1）已知命题
:,2 1.,21x x p x R p x R ∃∈=⌝∃∈≠则是： （2）设,l m 表示不同的直线，α表示平面，若//,////m l m l αα且，则；
（3）利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则事件“310a ->”发生的概率为2
3
（4）“0,0a b >>”是“2a b b a +≥”的充分不必要条件
.
A.（1）（4）
B.（2）（3）
C.（1）（3）
D.（3）（4）
7.学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有
A.36种
B.72种
C. 30种
D.6种
8.执行如图的程序，则输出的结果等于
A.
1
4950 B.
200
101 C.
99
50 D.
1
5050
9.已知
()()()
sin cos02015
x
f x e x x xπ
=-≤≤
，则函数
()
f x
的各极大值之和
为
A.
()
2014
2
1
1
x
e e
e
π
π
-
- B. 2
1008πC.
()
22014
2
1
1
x
e e
e
π
π
-
- D. 1008π
10.如果函数
()
y f x
=
在区间I上是增函数，而函数
()
f x
y
x
=
在区间I上是减函
数，那么称函数
()
y f x
=
是区间I上“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”.若
函数
()2
13
22
f x x x
=-+
是区间I上“缓增函数”，则“缓增区间”I为
A. [)
1,+∞
B.
⎡
⎣ C.
[]
0,1
D.
⎡
⎣
第II卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
请将答案填写在试题的横线上。
11.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球体积为___________.
12.已
知
122c d x a x b y π-=
+=⎰（其中a 、b 为非零实数）与圆()22,0x y c c +=>相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且AOB ∆为直角三角形，则2212a b +的最小值为_________.
13.设O 为坐标原点，点()
1,1,,4A M x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭若满足不等式组21,2x y x OM OA y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则uuu r uu r g 的最小值是___________.
14.如图为了测量A,C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，
测出四边形ABCD 的各边的长度（单位：km ）：
5,8,3,5AB BC CD DA ====，如图所示，且A 、B 、C 、D 四点
共圆，则AC 的长为___________km.
15.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对（x ，y ）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x,y ）的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值.假如统计结果是m=94，那么可以估计π≈__________.（用分数表示）
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16. （本小题满分12分）
已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωφ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象经过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且相邻两条对称轴的距离为2π
.
（1）求函数()f x 的解析式及其在[]0,π上的单调递增区间；
（2）在,,ABC a b c ∆中，分别是A,B,C 的对边，若1cos ,122A f A bc ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，3b c +=，求
a 的值.
17. （本小题满分12分）
如图1在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，D 、E 分别为线段AB 、AC
的中点，4,AB BC ==以DE 为折痕，将Rt ADE ∆折起到图2的位置，使平面A DE '⊥平面DBCE ，连接,A C A B ''，
设F 是线段A C '上的动点，满足CF CA λ'=u u u r u u u r
.
（I ）证明：平面FBE ⊥平面A DC '；
（II ）若二面角F BE C --的大小为45°，求λ的值.
18. （本小题满分12分）
现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数大于2的人去参加甲游戏，搓出点数为1或2的人去参加乙游戏.
（1）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（2）用X,Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记
X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望()E ξ.
19. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足{}11222,1,2,n n n n a n n a a a a n n ++-⎧==⎨--⎩为奇数，数列为偶数的前n 项和为2,n n n S b a =，其中n N *∈.
（I ）试求23,a a 的值并证明数列{}n b 为等比数列；
（II ）设21n
n n c b a +=+求数列11n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 20. （本小题满分13分）
已知圆1C 的圆心在坐标原点O
，且恰好与直线1:20l x y -+=相切，点A 为圆上在直角
坐标系xOy ，椭圆()22
122:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1
2F F 、.其中2F 也是抛物线224C y x =：的焦点，点M 为12C C 与在第一象限的交点，且
1523MF a =-. （I ）求椭圆
1C 的方程； （II ）若过点D （4，0）的直线
1l C 与交于不同的两点A 、B ，且A 在DB 之间，试求AOD BOD ∆与面积之比的取值范围.
21. （本小题满分14分）
已知函数()(),ln ,f x ax g x x a R
==∈其中. （I ）若函数()()()F x f x g x =-有极值1，求实数a 的值；
（II ）若函数()()()sin 1G x f x g x =-+⎡⎤⎣⎦在区间()0,1上是增函数，求实数a 的取值范围；
（III ）证明：()211sin
ln 2
1n k k =<+∑.。