高一数学必修一完整版辛苦整理
高中数学必修一公式整理精选全文
可编辑修改精选全文完整版高中数学必修一公式整理一、几何公式1、直线：(1) 直线的方程是y=kx+b，其中k为斜率，b为y轴截距；(2) 直线的斜率的计算公式：斜率K=（点1的纵坐标减去点2的纵坐标）除以（点1的横坐标减去点2的横坐标）。
2、平面图形(1) 三角形三边关系：任意一边长加上另外两边长，总长度要大于第三边。
(2) 三角形面积公式：面积 = （底边×高）÷2(3) 矩形的面积公式：面积 = 长×宽(4) 圆的面积公式：面积= π × 半径×半径二、代数公式1、平方差(1) 一元二次方程的解法：ax²+bx+c=0，解法为:x={-b±√(b²-4ac) }/2a(2) 二元二次方程的解法：ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0，解法为：x=(-be+√(b²-4ac)(-de+√(d²-4af))/（2a）；y=(2a(-be+√(b²-4ac))/（-de+√(d²-4af))。
2、二次函数(1) 二次函数公式：y=ax²+bx+c，其中a不等于0(2) 二次函数的对称轴：x轴的方程为： x= -b/2a(3) 二次函数的极值的计算：极值的 x 值为： -b/2a , 极值的 y 值为：y=a(-b/2a)²+b(-b/2a)+c三、数列公式1、等差数列公式(1) 求和公式：Sn=n(a1+an)/2，其中n为项数，a1为首项，an为末项；(2) 首项公式：a1=Sn/n-(n-1)d，其中n为项数，Sn为该数列的前n项和，d为公差；(3) 末项公式：an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，n为项数，d为公差；(4) 公差公式：d=(an-a1)/(n-1)，其中an为末项，a1首项，n为项数；2、等比数列的公式(1) 求和公式：Sn=a1（1-qn）/（1-q），其中a1为首项，q为公比，n为项数；(2) 首项公式：a1=Sn（1-q）/（1-qn），其中Sn为该数列的前n项和，q为公比，n为项数；(3) 末项公式：an=a1q（n-1），其中a1为首项，q为公比，n为项数；(4) 公比公式：q=(an/a1)^（1/（n-1）），其中an为末项，a1首项，n 为项数；。
必修1高一数学人教版最全知识点(必须珍藏)
高中数学必修1知识点总结目录高中数学必修1知识点总结............................. 错误!未定义书签。
第一章集合与函数概念............................... 错误!未定义书签。
〖〗集合 ............................................ 错误!未定义书签。
【】集合的含义与表示................................. 错误!未定义书签。
【】集合间的基本关系................................. 错误!未定义书签。
【】集合的基本运算................................... 错误!未定义书签。
〖〗函数及其表示 .................................... 错误!未定义书签。
【】函数的概念 ...................................... 错误!未定义书签。
【】函数的表示法 .................................... 错误!未定义书签。
〖〗函数的基本性质................................... 错误!未定义书签。
【】单调性与最大（小）值............................. 错误!未定义书签。
【】奇偶性 .......................................... 错误!未定义书签。
【】函数周期性和对称性............................... 错误!未定义书签。
〖补充知识〗函数的图象............................... 错误!未定义书签。
第二章基本初等函数(Ⅰ) ............................. 错误!未定义书签。
高中数学必修一知识点总结完整版
高中数学必修一知识点总结完整版高中数学必修一是整个高中数学学习的基础，涵盖了集合、函数的概念与性质、基本初等函数等重要内容。
以下是对这些知识点的详细总结。
一、集合1、集合的概念集合是由某些确定的对象所组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
2、集合的表示方法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，用花括号括起来。
（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合。
3、集合间的关系（1）子集：如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么称 A 是B 的子集，记作 A⊆B。
（2）真子集：如果 A 是 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于A，那么称 A 是 B 的真子集，记作 A⊂B。
（3）集合相等：如果 A⊆B 且 B⊆A，则 A ＝ B。
4、集合的运算（1）交集：由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，记作A∩B。
（2）并集：由属于集合 A 或属于集合 B 的所有元素组成的集合，记作 A∪B。
（3）补集：设 U 是一个全集，A 是 U 的子集，由 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 A 在 U 中的补集，记作∁UA。
二、函数的概念1、函数的定义设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y ＝f(x)，x∈A。
2、函数的三要素（1）定义域：函数中自变量 x 的取值范围。
（2）值域：函数值的集合。
（3）对应关系：函数的表达式或法则。
3、函数的表示方法（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
（2）图象法：用图象表示函数关系。
（3）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
三、函数的基本性质1、单调性（1）增函数：设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1 ＜ x2 时，都有 f(x1) ＜ f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数。
高一数学必修一知识点梳理
高一数学必修一知识点梳理一、函数基础1. 函数概念- 定义：一个从集合A到集合B的映射，记作f: A → B。
- 表示法：f(x)。
- 函数图像：描述函数关系的图形。
2. 函数的性质- 单调性：函数值随自变量增加而增加（单调递增）或减少（单调递减）。
- 奇偶性：奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。
- 反函数：对于每个y值，存在唯一的x值满足f(x) = y。
3. 函数的运算- 四则运算：函数的加法、减法、乘法和除法。
- 复合函数：两个函数的组合，记作(f∘g)(x)。
4. 常见函数类型- 一次函数：f(x) = ax + b。
- 二次函数：f(x) = ax^2 + bx + c。
- 指数函数：f(x) = a^x。
- 对数函数：f(x) = log_a(x)。
二、集合与常用数列1. 集合概念- 定义：一组明确的、互不相同的对象构成的集合。
- 表示法：大写字母表示集合，如集合A。
- 集合运算：并集、交集、补集。
2. 集合的性质- 子集：如果集合A的所有元素都属于集合B，则A是B的子集。
- 幂集：一个集合的所有子集构成的集合。
3. 常用数列- 等差数列：每一项与前一项的差是常数的数列。
- 等比数列：每一项与前一项的比是常数的数列。
- 级数：数列的和，如等差级数和等比级数。
三、解析几何1. 平面直角坐标系- 点的坐标：(x, y)表示平面上一点的位置。
- 距离公式：两点之间的距离计算。
- 斜率：直线的倾斜程度。
2. 直线方程- 点斜式：y - y1 = m(x - x1)。
- 斜截式：y = mx + b。
- 一般式：Ax + By + C = 0。
3. 圆的方程- 标准式：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2。
- 一般式：Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0。
四、初等三角函数1. 三角函数定义- 正弦、余弦、正切：基于直角三角形的边长比。
高中数学必修一基本初等函数知识点+练习题含答案解析(非常详细)
第一部分基本初等函数知识点整理第二章 基本初等函数一、指数函数 （一）指数1、 指数与指数幂的运算：复习初中整数指数幂的运算性质： a m *a n =a m+n(a m )n=a mn(a*b)n =a n b n2、根式的概念：一般地，若a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。
此时，a 的n 次方根用符号 表示。
当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数。
此时正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 的次方根用符号 表示。
正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成 （a>0）。
注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n。
当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
3、 分数指数幂正数的分数指数幂的)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm ，)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义4、 有理数指数米的运算性质（1）r a ·s r ra a+=),,0(R s r a ∈>； （2）rss r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>．5、无理数指数幂一般的，无理数指数幂a a（a>0,a 是无理数）是一个确定的实数。
有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。
（二）、指数函数的性质及其特点1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．为什么？（1）在[a ，b]上，值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； （4）当a>1时，若X 1<X 2 ,则有f(X 1)<f(X 2)。
高一数学必修1 数学。第一章。完整知识点梳理大全(最全)
高一数学必修1 数学。
第一章。
完整知识点梳理大全(最全)集合与函数概念集合是数学中的基本概念之一，它包含了一些确定性、互异性和无序性的元素。
常见的数集有自然数集、正整数集、整数集、有理数集和实数集等。
集合中的元素与集合之间存在着一些关系，例如一个元素属于一个集合，可以表示为a∈M，而不属于则表示为a∉M。
集合的表示方法有自然语言法、列举法、描述法和图示法等。
其中，描述法是通过{x|x具有的性质}来表示集合，而图示法则是用数轴或XXX来表示集合。
集合还可以分为有限集、无限集和空集。
空集是不含有任何元素的集合，记为∅。
集合间的基本关系有子集、真子集和集合相等等。
子集指一个集合中的所有元素都属于另一个集合，而真子集则是指一个集合是另一个集合的子集，但不等于该集合。
如果两个集合中的元素完全相同，则它们是相等的。
集合的基本运算有交集、并集和补集等。
交集是指两个集合中共同存在的元素所组成的集合，而并集则是指两个集合中所有的元素所组成的集合。
补集是指一个集合中不属于另一个集合的所有元素所组成的集合。
最后，含有绝对值的不等式和一元二次不等式的解法也是数学中的重要知识点。
对于含有绝对值的不等式，可以通过分情况讨论来求解。
而对于一元二次不等式，则可以通过求解二次函数的根来确定其解集。
x|>a (a>0)x|c (c>0)XXX:x|-a<x<a}x|xa}We can treat ax+b as a whole and transform it into the form of |x|a (a>0) XXX.Summary of Knowledge Points in Chapter 1 of High School Mathematics2.Solving Quadratic InequalitiesDiscriminantΔ>0Δ=b-4acQuadratic ny=ax^2+bx+c (a>0) Δ=Δ<0XXXax^2+bx+c=0 (a>0) Ox=(-b±√Δ)/(2a)1,2where x1<x2)x|xx2}x|x1<x<x2}x1=x2=-b/2an of No Real Root ax^2+bx+c>0 (a>0) n setx|x≠-b/2a}Rax^2+bx+c0)n set1.2 n and Its XXX1.2.1 Concept of n1.A n is a correspondence een two non-empty sets A and B。
(word完整版)高中一年级数学必修1知识点总结,文档
.WORD 格式 .资料.高中高一数学必修1 各章知识点总结第一章会集与函数看法一、会集相关看法1、会集的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个会集，其中每一个对象叫元素2、会集的中元素的三个特点：1.元素确实定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明：(1)关于一个给定的会集，会集中的元素是确定的，任何一个对象也许是也许不是这个给定的会集的元素。
(2)任何一个给定的会集中，任何两个元素都是不同样的对象，同样的对象归入一个会集时，仅算一个元素。
(3)会集中的元素是同样的，没有先后序次，因此判断两个会集可否同样，仅需比较它们的元素可否同样，不需观察排列序次可否同样。
(4 会集元素的三个特点使会集自己拥有了确定性和整体性。
3、会集的表示：{ }如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1.用拉丁字母表示会集：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2．会集的表示方法：列举法与描述法。
.WORD 格式 .资料.注意啊：常用数集及其记法：非负整数集〔即自然数集〕记作：N正整数集N*或 N+整数集Z有理数集Q实数集 R关于“属于〞的看法会集的元素平时用小写的拉丁字母表示如，：a 是会集A 的元素，就说a 属于会集A 记作 a∈A ，相反，a 不属于会集 A 记作 a?A列举法：把会集中的元素一一列举出来，尔后用一个大括号括上。
描述法：将会集中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示会集的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个会集的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2 的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}4、会集的分类：1．有限集含有有限个元素的会集2．无量集含有无量个元素的会集3．空集不含任何元素的会集例：{x|x2=－5｝二、会集间的根本关系1.包“含〞关系—子集.WORD 格式 .资料.注意：有两种可能〔1〕A 是B 的一局部，；〔2〕A与 B 是同一会集。
高一数学必修一知识点归纳总结
高一数学必修一知识点归纳总结集合与函数概念- 集合：包括集合的基本概念、元素与集合的关系、集合的表示方法、子集、并集、交集、补集等。
- 函数：函数的概念、定义域、值域、函数的表示方法、单调性、奇偶性、复合函数、反函数等。
不等式与不等式解法- 不等式的基本性质：包括不等式的基本性质、不等式的传递性、不等式的可加性等。
- 不等式的解法：包括一元一次不等式的解法、一元二次不等式的解法、绝对值不等式的解法、分式不等式的解法等。
函数的性质- 函数的单调性：包括函数单调性的定义、单调区间的确定、复合函数的单调性等。
- 函数的奇偶性：包括奇函数和偶函数的定义、性质、图像特征等。
- 函数的周期性：包括周期函数的定义、周期的计算、三角函数的周期性等。
三角函数- 三角函数的定义：包括正弦、余弦、正切等基本三角函数的定义。
- 三角函数的基本性质：包括三角函数的周期性、奇偶性、单调性等。
- 三角恒等式：包括和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等。
指数与对数- 指数函数：包括指数函数的定义、性质、图像、运算法则等。
- 对数函数：包括对数函数的定义、性质、图像、运算法则等。
- 指数与对数的运算：包括指数与对数的转换、对数运算法则等。
几何与坐标- 空间几何：包括空间直线、平面、空间向量等基本概念。
- 坐标系：包括直角坐标系、极坐标系、参数方程等。
解析几何- 直线与圆的方程：包括直线方程的一般式、斜截式、点斜式、圆的标准方程等。
- 椭圆、双曲线、抛物线：包括这些圆锥曲线的定义、标准方程、性质等。
函数的应用- 函数模型：包括函数在实际问题中的应用，如经济模型、物理模型等。
- 函数的最值问题：包括函数最值的求法、实际应用等。
这些知识点是高一数学必修一课程中的核心内容，掌握这些知识点对于后续数学学习至关重要。
在实际学习中，不仅要理解概念和性质，还要通过大量的练习来提高解题能力。
高一数学必修一知识点总结归纳(6篇)
高一数学必修一知识点总结归纳1二次函数I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
高一数学必修一知识点总结归纳2对数函数对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。
因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。
(2)对数函数的值域为全部实数集合。
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高中高一数学必修1各章知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性.3、集合的表示：(1){ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(2). 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}4．集合的表示方法：列举法与描述法。
常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R5.关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集合A 记作 a ∉A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
6、集合的分类：(1)．有限集 含有有限个元素的集合 (2)．无限集 含有无限个元素的集合(3)．空集 不含任何元素的集合 例：{x|x 2=－5｝=Φ二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。
反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ⊆/B 或B ⊇/A 2．“相等”关系:对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时,集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，即：A=B① 任何一个集合是它本身的子集。
即A ⊆A②如果A ⊆B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A)③如果 A ⊆B, B ⊆C ,那么 A ⊆C ④ 如果A ⊆B 同时 B ⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
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一 集合与函数1 集合的含义及表示*⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪∈∉⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩确定性集合中元素的特征 互异性无序性 集合与元素的关系 : 列举法 集合的表示 描述法常见的数集 N N Z Q R2,,A B B A A B A B A A A A B A B A B οοφ≠⊆⊆=⎧⊆⊆⊆⎪⎪⎨⎪⎪⊆≠⊂⎩1定义:A=B2若且则子集： , 集合相等: 集合间的基本关系真子集： 若且 则空集φ的特殊性: 空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集 *结论 含有n 个元素的集合，其子集的个数为2n，真子集的个数为21n-3集合的基本运算{}{}{}|||U A B x x A x B A B x x A x B C A x x U x A ⎧⋃=∈∈⎪⋂=∈∈⎨⎪=∈∉⎩并集：或 交集：且 补集：且在集合运算中常借助于数轴和文氏图（*注意端点值的取舍）*结论 （1）A A A ⋃= A A A ⋂=, A A φ⋃= A φφ⋂=（2）A B B A B ⋃=⊆若则 A B A A B ⋂=⊆若则 （3）()U A C A φ⋂= ()U A C A U ⋃=（4）若A B φ⋂= 则A φ=或A φ≠4函数及其表示⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩函数的定义 定义域函数的三要素对应法则值域区间的表示 解析式法函数的表示法列表法图像法5 函数的单调性及应用（1） 定义： 设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么:1212,()()x x f x f x <<⇔[]1212()()()0x x f x f x -->⇔0)()(2121>--x x x f x f []b a x f ,)(在⇔上是增函数；1212,()()x x f x f x <>⇔[]1212()()()0x x f x f x --<⇔0)()(2121<--x x x f x f []b a x f ,)(在⇔上是减函数.（2） 判定方法：1ο定义法(证明题) 2ο图像法 3ο复合法 （3） 定义法：证明函数单调性用利用定义来证明函数单调性的一般性步骤：1ο设值：任取12,x x 为该区间内的任意两个值，且12x x <2ο做差,变形，比较大小：做差12()()f x f x -，并利用通分，因式分解，配方，有理化等方法变形比较12(),()f x f x 大小3ο下结论（说函数单调性必须在其单调区间上）（4）常见函数利用图像直接判断单调性：一次函数，二次函数，反比例函数，指对数函数，幂函数，对勾函数（5）复合法：针对复合函数采用同增异减原则（6）单调性中结论：在同一个单调区间内：增+增=增： 增—减=增：减+减=减：减—增=增若函数)(x f 在区间[]b a ,为增函数，则—)(x f ，)(1xf 在[]b a ,为减函数 （7）单调性的应用：1ο：利用函数单调性比较大小2ο利用函数单调性求函数最值（值域）重点题型：求二次函数在闭区间上的最值问题6 函数的奇偶性及应用f x定义域关于原点对称（1）定义：若()1ο若对于任取x的，均有()()-=则()f x为偶函数f x f x2ο若对于任取x的，均有()()f x为奇函数-=-则()f x f x（2）奇偶函数的图像和性质（3）判定方法：1ο定义法（证明题）2ο图像法3ο口诀法（4）定义法: 证明函数奇偶性步骤：1ο求出函数的定义域观察其是否关于原点对称（前提性必备条件）2ο由出发()-，寻找其与()f x之间的关系f x3ο下结论（若()()-=-则()f x为奇f x f x-=则()f x f xf x为偶函数，若()()函数函数）（4）口诀法：奇函数+奇函数=奇函数：偶函数+偶函数=偶函数奇函数⨯奇函数＝偶函数：奇函数⨯偶函数＝奇函数：偶函数⨯偶函数＝偶函数二 指数函数与对数函数 1 指数运算公式1οm n m n a a a +⋅= 2οm n m n a a a -÷= 3ο ()mm mab a b = 4ο()m nmna a=5ο()m m m a a b b= 6οmn a =7οm na-=8ο,,a a ⎧=⎨⎩当n 为偶数时当n 为奇数时2 对数运算公式 （1）对数恒等式0,1a a >≠当时 ，log xa N x N =⇔=alog 10a = log 1a a = log a Na N =（2）对数的运算法则(01,0,0)a a M N >≠>>且1ο log ()log log a a a M N M N ⋅=+ 2ο log ()log log a a a MM N N=- 3ο log ()log n a a M n M =（3）换底公式及推论 log log log c a c bb a=(01,01,0)a a c c b >≠>≠>且且推论 1οlog log m n a a nb b m=2ο1log log a N N a=3ο log log log a b a b c c =3 指数函数与对数函数图像定义域值域定点单调性4 指数与对数中的比较大小问题（1）指数式比较大小1οm a，n a2οm a，n b（2）对数式比较大小1οloga m，logan2οloga m，logbn5指数与对数图像６幂函数：一般地，函数y xα=叫做幂函数，其x中为自变量，α是常数几种幂函数的图象：函数零点及二分法 一 函数零点的判定(一) 函数有实数根⇔函数的图像与轴有交点⇔函数有零点(二) 函数的零点的判定定理如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像时连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程的根 二 函数二分法的应用（一）函数二分法：对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法。
高一数学必修一知识点梳理
高一数学必修一知识点梳理1. 集合与函数- 集合的基本概念：元素、集合、子集、真子集、并集、交集、补集。
- 集合的表示方法：列举法和描述法。
- 集合的基本运算：并集、交集、补集、差集。
- 函数的定义：函数的概念、定义域、值域、函数的表示方法。
- 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性。
- 函数的图像：函数图像的绘制方法、图像的基本特征。
2. 指数与对数- 指数幂的定义：a^n（a>0，n为整数）。
- 指数幂的运算法则：指数的乘法法则、指数的除法法则、指数的幂的乘方。
- 对数的定义：对数的概念、对数的运算法则。
- 对数的换底公式：换底公式的应用。
- 对数函数的性质：对数函数的单调性、值域。
3. 三角函数- 三角函数的定义：正弦、余弦、正切的定义。
- 三角函数的基本关系：三角函数的基本恒等式。
- 三角函数的图像与性质：正弦函数、余弦函数的图像和性质。
- 三角恒等变换：和差公式、倍角公式、半角公式。
4. 平面向量- 向量的基本概念：向量的定义、向量的表示方法。
- 向量的运算：向量的加法、减法、数乘。
- 向量的坐标表示：向量的坐标运算。
- 向量的数量积：数量积的定义、运算法则、几何意义。
- 向量的向量积：向量积的定义、运算法则、几何意义。
5. 不等式- 不等式的基本性质：不等式的性质、不等式的传递性、不等式的可加性。
- 不等式的解法：一元一次不等式、一元二次不等式的解法。
- 绝对值不等式：绝对值不等式的定义、解法。
- 基本不等式：算术平均数-几何平均数不等式、柯西不等式。
6. 复数- 复数的概念：复数的定义、复数的表示方法。
- 复数的运算：复数的加法、减法、乘法、除法。
- 复数的模和辐角：复数的模、辐角的定义、运算。
- 复数的代数形式：复数的代数表示、复数的乘除运算。
7. 空间几何- 空间直线与平面：直线与平面的位置关系、直线与平面的方程。
- 空间向量：空间向量的定义、运算、坐标表示。
- 空间向量的应用：空间向量在几何问题中的应用、空间向量在立体几何中的应用。
必修1高一数学人教版最全知识点(必须珍藏)
R 表示实数集 .
a 与集合 M 的关系是 a
M ，或者 a
M ，两者必居其一 .
（ 4 ）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合 . .
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合 ③描述法： {
x | x 具有的性质 }，其中 x 为集合的代表元素 .
.
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合 （ 5 ）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集 合叫做空集 ( ).
必修 1 知识点
高中数学必修 1 知识点总结 第一章 集合与函数概念 〖 1.1 〗集合 【 1.1.1 】集合的含义与表示
（ 1 ）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性 （ 2 ）常用数集及其记法 .
N 表示自然数集， N
（ 3 ）集合与元素间的关系 对象
或
N 表示正整数集， Z 表示整数集， Q 表示有理数集，
【 1.3.1 】单调性与最大（小）值
【 1.3.2 】奇偶性 ............................................................................................................................................... 11 【 1.3.3 】函数周期性和对称性 〖补充知识〗函数的图象 第二章 ....................................................................................................................... 12
C ，则 A A ，则 A
高一数学必修1知识点归纳完整版
高一数学必修1知识点归纳完整版高一数学必修1的知识点涵盖了集合、函数、指数与对数函数、三角函数等重要内容，这些知识点是高中数学学习的基础，对于后续数学知识的掌握具有重要意义。
以下是高一数学必修1知识点的详细归纳：首先，集合的概念和运算是数学的基础。
我们需要掌握集合的定义、表示方法以及集合之间的关系，如子集、交集、并集和补集等。
集合的运算包括交集、并集、差集和补集的计算方法，这些运算在解决数学问题时经常用到。
其次，函数是数学中的核心概念之一。
在高一数学中，我们学习了函数的定义、性质、图像和应用。
函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性和最值等，这些都是分析函数行为的重要工具。
函数的图像可以帮助我们直观地理解函数的性质和变化趋势。
接着，指数与对数函数是高中数学中的重要内容。
指数函数和对数函数的定义、性质和图像是必须掌握的。
指数函数的增长速度和对数函数的衰减特性在实际问题中有着广泛的应用，例如在金融、物理和生物学等领域。
此外，三角函数是解决几何和物理问题中不可或缺的工具。
我们学习了正弦、余弦和正切函数的定义、性质、图像和应用。
三角函数的周期性、奇偶性和最值等性质对于解决实际问题非常重要。
同时，三角恒等变换和三角函数的和差化积、积化和差公式也是必须掌握的知识点。
最后，解析几何是高一数学中的另一个重要部分。
我们学习了直线的方程、圆的方程以及点与直线、直线与直线、直线与圆的位置关系。
这些知识点在解决几何问题时非常有用，例如计算距离、角度和面积等。
通过以上对高一数学必修1知识点的归纳，可以看出这些知识点构成了高中数学学习的基础框架。
掌握这些知识点对于提高数学思维能力和解决实际问题具有重要作用。
因此，同学们应该重视这些基础知识的学习，为后续的数学学习打下坚实的基础。
高中数学必修一知识点总结(学习笔记)
数学笔记必修一第一章：集合第一节：集合的含义及表示一、定义：（描述性）一定范围内，某些确定．的．．、不．同．的．对象的全．体．构成一个集合二、表示：1.列举法：A={a 、b}2.描述法：{ x|p （x）}代表元分割线代表元满足的性质3.图示法：（数轴、Venn 图）三、特点：确定性、互异性、无序性四、常用数集N 自然数集N 、N 正整数集Z 整数集Q 有理数集R 实数集五、元素与集合的关系a M 、 a M （两者必居其一）六、集合相等两个集合所含元素完全相同 A B七、集合的分类1.有限集含有有限个元素的集合2.无限集含有无限个元素的集合3.空集不含有任何元素的集合第二节：子集、全集、补集一）子集、定义（文字）A中的任一元素都属于 B（符号） A B （或 B A）二）真子集、定义（文字） A B，且 B 中至少有一元素不属于 A（符号）A B（或 B A）图形）注意空集是任何非．空．集．合．的真子集A（A为非空子集）（三）补集一、定义（文字）设 A U ，由U中不属于 A 的所有元素组成的集合称为U 的子集 A 的补集（符号）e U A={ x|x U ,且x A}第二节：子集、全集、补集（一）交集一、定义（文字）由所有属于集合 A 且．属于集合 B 的元素构成的集合称为A 与B 的交集图形）二）并集、定义（文字）由所有属于集合 A 或．者．属于集合 B 的元素构成的集合称为 A 与 B 的交集（符号） {x| x A,或．x B}图形）1（三）区间设 a , b 是两个实数，且 a b ，规定闭区间 a x b [a,b] ；开区间 a x b （ a,b）；半开半闭区间（左闭右开） a x b [ a,b）（左开右闭） a x b （a,b] x a, x a, x b, x b[a, ）,（a, ）,（ ,b],（ ,b）．对于集合{x|a x b}与区间（a,b），前者a可以大于或等于b，而后者必须 a b ，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）第二章：函数第一节：函数的概念一、定义：二、三要素：定义域、值域和对应法则三、相同函数：定义域相同，且对应法则也相同的两个函数四、函数定义域：1. f (x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．2.f (x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．3.对数函数的真数大于零4.对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零5. y tanx中，x k (k Z) ．26.零(负)指数幂的底数不能为零．7.若 f ( x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．8.对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f (x)的定义域为[ a, b ] ，其复合函数f[g(x)] 的定义域应由不等式 a g(x) b 解出．9.对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．10.由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．五、求函数值域(最值) ：1.观察法：初等坐标函数2.配方法：二次函数类3. 判别式法：二次函数类b2( y) 4a(y) c(y) 04.不等式法：基本不等式5.换元法：变量代换、三角代换6.数形结合法：函数图象、几何方法7.函数的单调性法．8.分离常数法: 反比例类六、函数的表示方法：解析法列表法图象法（不是所有函数都有图像）七、分段函数八、复合函数九、求函数解析式1.配凑（换元）法2.待定系数法: 已知函数模型3.方程组法: 互为相反数、互为倒数第二节：函数的简单性质（一）、单调性一、定义如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．＜．x．2．时，都有f．（x．．1．）．＜．f．（x．．2．）．，那么就说f（x）在这个区间上是增．函．数．．y=f(X)f(x1 )x2x1当x．1．＜．x．2．时，都有f．（x．．1．）．＞．f．（x．．2．）．，那么就说f（x）在这个区间上是减．函．数．．x 1 注意1. 不在区．间．内谈单调增或单调减都无意义2. 端点不计入区间3. 一般情况下单调区间不能并4. 单调区间≠区间单调二、证明1. 任取2. 作差3. 变形4. 定号5. 下结论三、证明1. 定义2. 初等坐标函数、已知函数3. 函数图象（某个区间图象）4. 复合函数：同増异减 （二）、最值 、定义1)一般地，设函数 y f (x)的定义域为 I ，如果存在实数 M x 2y=f(X满足：① 对于任意的x I ，都有 f ( x) M② 存在x0 I ，使得f(x0) M ．那么，我们称M 是函数 f (x) 的最大值，记作f max (x) M ．(2) 一般地，设函数y f (x)的定义域为I ，如果存在实数满足：①对于任意的x I ，都有 f( x) m②存在x0 I ，使得 f (x0)m ．那么，我们称m是函数 f (x) 的最小值，记作f max(x) m ．注意: 开区间无最值二、题型定函数动区间动函数定区间注意: 抓住对称轴和区间的相对关系(二)、奇偶性、定义1)如果对于函数f(x) 定义域内任意一个x，都有f．(．－．x．)．=．－．f．(x．) 那么函数f(x) 叫做奇．函．数．．2)如果对于函数f(x) 定义域内任意一个x，都有f．(．－．x．)．=．f．(．x)．那么函数f(x) 叫做偶．函．数．．二、证明1.定义域f(x) 的定．义．域．为——任意的x——2.f( －x)与f(x)3.下结论正确——严格证明错误——举出反例奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数两个反例1.分段函数要分段讨论2.0 可单独讨论3. 若函数 f ( x)为奇函数，且在x 0处有定义，则f(0) 0三、应用1. 定义（一般到一般）2. 代“ 0”（特殊到一般）需检验四、奇偶性若奇函数在（a，b）上单调增，则在（-a ，-b ）上单调增若偶函数在（a，b）上单调增，则在（-a ，-b ）上单调减第三节：映射的概念一、定义设A、B是两个非．空．集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A中任．何．一．个．元素，在集合 B 中都有唯．一．的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A到B的映射，记作 f :A B B可用树状图考虑第三章：指数函数、对数函数和幂函数第一节：指数函数一)、根式 、定义当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号 na 表示；当n 是偶数时， 正数a 的正的 n 次方根用符号 na 表示，负的 n 次方根用符号 na 表示；0的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．根指数被开方数当 n 为奇数时， a 为任意实数；当 n 为偶数时， a 0 ． 、性质：n an |a|a (a 0)(na)na ；当n 为奇数时， na na ；当n 为 a (a 0)偶数时，三、分数指数幂根式na1.a r a s a r s(a 0,r, s R)2.(a r)s a rs (a 0,r,s R)3.(ab)r a r b r (a 0,b 0,r R) (二)指数函数一、定义二、图像与性质三、图像移动及解析式变化平移变换y f (x)h h 00,右,移 |hh|个单位 y f (x h) y f(x) k k00,下,移| kk|个单位 y f (x) k伸缩变换y f ( x) 1,缩y f ( x ) y f(x) 0A A 11,伸,缩 y Af (x)对称变换去掉y 轴左边图象y f(x)保留y 轴右边图象，并作其关于 y 轴对称图象y f (| x|)保留x 轴上方图象y f (x)将x 轴下方图象翻折上去y | f (x) |四、指数型复合函数换元 取值范围、单调性同增异减初级坐标函数 值域、单调性五、指数函数的应用1. 审题 归纳2. 建模 注意定义域 “指数型函数”模型3. 求解(解模)4. 还原(结论——答)y f ( x)x 轴y f (x) y f ( x)y 轴y f ( x)原点y f (x)原点yf直线 y x 直线 y x 1y f ( x)y f (x)1. 每一个步骤读一遍题2. 注意定义域、精确度第二节：对数函数一）对数 、定义如果 a （．a ．＞．0．，．a ．≠．1．）．的 b 次幂等于 N 即 a b=N 那么就称 b 是以 a 为底 N 的对数 记作 log a N=b底数 真数．、互化对数 底数 真数 底数 指数 幂 根指数 被开方数 方根三、常用对数与自然对数常用对数： lg N ，即 log 10 N ；自然对数： lnN ，即 log e N （其中 e 2.71828⋯）．四、运算1. 加法： log a M log a N log a （MN ）2. 减法： log aM log aN log aMN3. 数乘： n log a M log a M n(n R)4.alog aN N5. log a bM n nlog aM (b 0,n R) a bb a6. 换底公式： log aN logb N(b 0,且b 1) log b a(二)对数函数一、定义x x logx a N a N a aN x a x Nax x aN aN (x a a N a N a aaN xN N na a a x Na N、图像与性质三、题型1. 比较大小①利用单调性②利用图像（真数相同）③利用中间值2. 解不等式3.求值4.判断奇偶性第三节：幂函数、定义、图像与性质定义域：(0, ) 一定有定义过定点：(1,1) ．单调性：[0, ) 上0 ，过原点、(0, ) 上为增函数．a=0，常函数0，(0, )上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当q(其中p,q互质，p和q Z )，若p为奇数q为奇数时，pq则y x p是奇函数，q若p 为奇数q 为偶数时，则y x p是偶函数，q若p 为偶数q 为奇数时，则y x p是非奇非偶函数．图象特征：幂函数y x , x (0, ) ，当1时，若0 x 1，其图象在直线y x 下方，若x 1，其图象在直线y x 上方，当1时，若0 x 1，其图象在直线y x 上方，若x 1，其图象在直线y x 下方．第四节：函数的应用(一)、零点一、定义对于函数y f (x)(x D)，把使f(x) 0 成立的实数x叫做函数y f(x)(x D) 的零点二、意义函数y f(x)的零点方程 f (x) 0实数根函数y f (x) 的图象与x轴交点的横坐标1. 零点不是点2. 穿过零点，y 值变号y 值变号，穿过零点(图像．连．续．不．断．)三、求法1．(代数法)① 证单调区间② 零点定理1．(几何法) 交点(二)、零点定理一、定义设函数f(x) 在闭区间[a,b] 上连．续．，且f(a) ×f(b)<0 ，那么在开区间( a,b )内至少有函数f(x) 的一个零点二、应用(二次函数的实根分布)已知二次函数 f （x） ax2 bx c （a> 0）设一元二次方程ax2 bx c 0（（a a0>）0）的两实根为x1,x2 ，① k< x1≤ x2>02af(k) > 0②x1≤x2<kf(k) >③x1<k<x2f(k) <0④k 1<x 1≤x 2<k 2>0f (k 1) > 0 f (k 2) > 0 k 1<x b<k 22a⑤k 1< x 1<k 2f (k1) > 0 f (k 2)<0y a 0 f (k 1) 0f (k 2 ) 0。
高一数学必修一知识点总结(优秀4篇)
高一数学必修一知识点总结（优秀4篇）（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学必修 1 知识点总结集合（1）元素与集合的关系：属于（ ）和不属于（ ）（2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若x A x，则A，即 是 的子集。
B B A B、若集合 中有 个元素，则集合 的子集有2 n个，真子集有 (2 n -1)个。
1AnA、任何一个集合是它本身的子集，即A A注 2关系、对于集合A,B,C, 如果A ，且 C, 那么A C.3 B B、空集是任何集合的（真）子集。
4真子集：若且（即至少存在 x 0 B 但 x 0），则 是 的真子集。
集合ABABAA B集合相等：A且 ABA BB集合与集合定义： A Bx / x 且 x B 交集A性质：，， ， ，AAAA ABBAABA,ABBAB A 定义： A Bx / x 或 x B 并集A性质：，， ，，，运算AAAAAABBAABAABBAB ACard( A B) Card( A) Card( B) - Card( AB)定义： C U A x/ x U 且x A A补集 性质： A) A ， A U ， C U (C U A)，，(C U(C U A) A C U (A B) (C U A)(C U B)C U (A B) (C U A) (C U B)函数映射定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应 f：B为从集合A到集合B的一个映射函数函数及其表示函数的基本性质函数图象的画法传统定义：如果在某变化中有两个变量x, y ,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，定义按照某个对应关系 f , y都有唯一确定的值和它对应。
那么y就是x的函数。
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练习1：观察下列各组集合，并指明两个 集合的关系 ① A＝ Z ， B＝ N； A B ② A＝{长方形}， B＝{平行四边形方形}； AB ③ A＝{x|x2－3x＋2＝0}， B＝{1，2}.
练习1：观察下列各组集合，并指明两个 集合的关系 ① A＝ Z ， B＝ N； A B ② A＝{x|x2－3x＋2＝0}， B＝{1，2}. A＝ B
例3设集合A＝{1, a, b}，
B＝{a, a2, ab}，
若A＝B，求实数a， b.
例6已知A＝{x | x2－2x－3＝0},
B＝{x | ax－1＝0},
若BA, 求实数a的值．
示例3：A＝{1, 2, 7}，B＝{1, 2, 3, 7}，
3.真子集 示例3：A＝{1, 2, 7}，B＝{1, 2, 3, 7}， 如果AB，但存在元素x∈B，且
• ⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述
法。。
• 方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范 围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
• 一般格式： • 如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x|直角三角形}，„； • 说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2} 与 {y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代 表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。 • 辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。 写法{实数集}，{R}也是错误的。
4.常用的数集及其记法
我们通常用大写拉丁字母Ａ，Ｂ，Ｃ，…表 示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中 的元素． • • • • • 全体非负整数组成的集合称为自然数集，记为Ｎ 所有正整数组成的集合称为正整数集，记为 N *或N 全体整数组成的集合称为整数集，记为Ｚ 全体有理数组成的集合称为有理数集，记为Ｑ 全体实数组成的集合称为实数集，记为Ｒ
思考5
如果一个集合中有三个元素，则其子集有多少个？ 真子集有多少个？
例6：集合{a,b,c}，则其子集为 {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}, 共8= 2 3
1.1.2 集合间的 基本关系
A
B
观察1
下面几个例子，你能发现两个集合间的关系吗？
（1）设A为一颗苹果树上所有的苹果，B为这棵
苹果树上所有的烂苹果.
（2）设A={x|x是平行四边形} B={x|x是正方形}.
（3）设A为高一(1)班的全体学生组成的集合，B 为高一(1)班所有的男生组成的集合. （4）设A={a,b,c},B={a,b,c,e}.
C
B
A
例2：观察下面两个集合，找出它们之间的关系
A＝{x|x是两条边相等的三角形}， B={x|x是等腰三角形}.
解： 有 A B, B A ，则A=B
例1.判断下列写法是否正确？
(1) {0} {0 ,1} (2) {0,-1,1} {-1,0,1} (3) { (0,0)} {0}
2．选择题 ⑴ 以下四种说法正确的(
)
(A) “实数集”可记为{R}或{实数集} (B){a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合 (C) “我校高一年级全体数学学得好的同学”不能 组成一个集合,因为其元素不确定
⑵ 已知2是集合M={ 0, a, a 2 3a 2 }中的元素， 则实数 a 为( )
A表示的是x＋y＝2上的所有的点； B没有元素. 不含任何元素的集合为空集，记作. 规定：空集是任何集合的子集，空集 是任何集合的真子集. B是A的真子集.
例5 写出集合 ｛a,b｝的所有子集，并指出哪些是它 的真子集. 解：集合{a,b}的所有子集为 ,{a},{b},{a,b}. 真子集为 ,{a},{b}.
1.1.1 集合的含义与表示
1 我们以前已经接触过的集合
蔬菜，家电，服装。
2014年潍坊一中所有在读学生。
中国所有河流 自然数集合，有理数集合；
２．集合的含义
⑴１到20以内的所有质数; ⑵我国从1991到2003年的13年内所发射的所有人造卫星;
⑶金星汽车厂2003年生产的所有汽车;
⑷2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家;
５．元素与集合之间的关系
• 如果a 是集合Ａ中的元素，就说 作 ；
a A
a属于集合Ａ，记
• 如果a 不是集合Ａ中的元素，就说 作；
a不属于集合Ａ，记
a A
例如，Ａ＝｛所有能被３整除的整数｝ 当a 6时, a A
当a 7时, a A
1.用属于与不属于填空：（1）0＿＿＿ ∈N （2） 2 ＿＿＿ ∉ Q （3）-1.5＿＿＿ ∈R
知识要 点
我们规定： 不含有任何元素的集合叫做空集， 记作 .
空集是任何集合的子集. 空集是任何非空集合的真子集.
4.空 集
示例4：考察下列集合，并指出集合中的 元素是什么？ A＝{(x, y)| x＋y＝2}； B＝{x| x2＋1＝0，x∈R}.
A表示的是x＋y＝2上的所有的点； B没有元素. 不含任何元素的集合为空集，记作.
x∈A，称A是B的真子集.
3.真子集 示例3：A＝{1, 2, 7}，B＝{1, 2, 3, 7}， 如果AB，但存在元素x∈B，且 x∈A，称A是B的真子集.
记作AB，或BA.
知识要 点
3.集合相等与真子集的概念
如果集合A是集合B的子集(A B)，且集合B是 集合A的子集（B A），此时，集合A与集合B中 的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等. 记作 A＝B
⑸所有的正方形;
⑹到直线的 l 距离等于定长 d 所有的点;
⑺方程
x 3x 2 0 的所有实数根;
2
⑻新华中学2004年9月入学的高一学生全体。
一般地，我们把研究 对象统称为元素，
把一些元素组成的总体
叫做集合(简称集)。
３．集合中元素具的有几个特征
⑴确定性－因集合是由一些元素组成的总体，当 然，我们所说的“一些元素”是确定的．
6.反馈演练
1.填空题 ⑴现有:①不大于 3 的正有理数.②我校高一年级 所有高个子的同学.③全部长方形.④全体无实根 的一元二次方程．四个条件中所指对象不能组 成集合的＿． ⑵设集合Ａ＝{-2,-1,0,1,2}，Ｂ＝{x A ，数式 {3,0,-1} 的值 x 2 1 }．则Ｂ中的元素是＿＿＿
即A = B A B, 且B A.
如果集合A B，但存在元素x B，且x A，我 们称集合A是集合B的真子集，记作
A
B(或B
A)
读作：A真包含于B（或B真包含A）
思考3
A是A的子集对吗？类比实数中的结论思考一下.
对于实数a，有a≤a；则对于集合A，有 A A
结论：任何一个集合都是它本身的子集.
任何集合是它本身的集合，即
×
√
×
A A
练习：填空
（1） 0 ＿＿ {x| x =0}
∈
2
（2） {0,1} ＿＿ N
2 （3）{2,1}＿＿ {x|x -3x+2=0}
2.集合相等的概念
如果集合 A是集合B的子集(A B) ，且集合B是 集合A的子集（B A），此时，集合 A与集合B中 的元素是一样，因此， 集合A与集合B相 等， 记作 A＝B
⑵互异性－即集合中的元素是互不相同的，如果 出现了两个(或几个)相同的元素就只能算一个， 即集合中的元素是不重复出现的．
⑶无序性－即集合中的元素没有次序之分．
例子
1 2 3
A={1,3},问3，5哪个是A的元素？ B={素质好的人}能否表示成为集合？ C={2，2，4}表示是否正确？
4
D={太平洋，大西洋} E={大西洋，太平洋} 集合 D ,E是不是表示相同的集合？
思考
2. 实数有相等关系、大小关系，如5＜7， 2≤2 ，等等， 类比实数之间的关系，那集合之间有没有类似的“大小” 关系呢？
6.集合的表示方法
• ⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“”括起
• • • • • • 来表示集合的方法叫列举法。 如：{1，2，3，4，5}， 说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开； ⑵一般不必考虑元素之间的顺序； ⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序； ⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等； ⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用 列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性， 在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。 ⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律 显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为
A B
思考1
包含关系{a} A与属于关系 a A有什么区别吗？
注 意
系；后者表示元素与集合之间的关系.
与 的区别：前者表示集合与集合之间的关
思考2
a与{a}一样吗？有什么区别？ 一般地，a表示一个元素，而{a}表示只有一 个元素的一个集合. a ={a}是错误的.
例2.若A B,B C,则A____C
(A) 2 (B)0或3 (C) 3 (D)0,2,3均可
7．小结
• 集合的含义 • 元素与集合之间的关系 • 集合中元素的三个特征
课后活动探究
数集A满足条件：若a∈A，则1/ (1－ a) ∈A （1）若2∈A,试求出A中其他所有元素。 （2）自己设计一个数属于A，然后求出A中其他元素。 （3）从上面两小题的解答过程中，你能悟出什么道理？ 并大胆地证明你发现 的这个道理。 (a≠1)