平面向量的概念1
2020年高一下学期第1讲：平面向量的基本概念与线性运算(含解析)
4若两个向量相等，则它们的起点和终点分另重合；
5若a//b,b//c，则a//C.
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.下列命题中，正确的是（）
a.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点
十、十muruur r
和0A交于E，设AB占，AO b
(1)用向量a与b表示向量Oc,CD；
…uuumu，亠
(2)若OE OA，求实数的值.
26.如图，已知ABC的面积为14,D、E分别为边AB、BC上的点，且AD:DB BE:EC2:1,AE
(1)求及；
rr uuu
(2)用aLeabharlann b表示BP;(3)求PAC的面积.
动点
uuu
P满足OP
uur
OA
uuur
/AB
(uuu
|AB|
uuur
AC、
-uuu^),
|AC|
[0,），则P的轨迹一定通过
ABC的（）
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
1 2.如图，四边形ABCD是正方形,
延长CD至E,
使得
DE CD.若动点P从点A出发，沿正方形
A点，其中
UUU
AP
UUL
AB
AE，下列判断正确的是（）
3
|CB|,
若
AB BC，贝U(
)
2
2
5
5
A .-
B .-
C.
D.
3
3
3
3
5.已知|a11,
rrr
§5-1 平面向量的基本概念
2
.
0
•
x
P ( x1 , y1 )
[举例说明 举例说明] 举例说明
如已知A(2，)，B(3，)，则 : 6 8 AB =
(3 − 2) + (8 − 6)
2
2
= 5 ; BA =
(2 − 3) + (6 − 8)
2
2
= 5.
[向量的模的计算] 向量的模的计算]
例2：已知平面直角坐标系中，点M（-1，7）， 已知平面直角坐标系中， MN 点N（5，-10）求： MN. 10） 解：由两点间的距离公式得： 由两点间的距离公式得：
3、向量的平行与相等 两个向量的方向相同或相反叫做两个向量平行； 两个向量的方向相同或相反叫做两个向量平行； 两个向量的方向相同且模相等叫做两个向量相等. 两个向量的方向相同且模相等叫做两个向量相等. 4、把与 AB 的模相等且方向相反的向量叫做 AB 的 、 负向量：记作－ 负向量：记作－BA. ∴AB=－BA . － 5、长度为 0 的向量叫做零向量：零向量方向不确定 、 的向量叫做零向量：零向量方向不确定. 叫做零向量 6、向量的模的计算：即，平面直角坐标系中两点间 向量的模的计算： 的距离公式. 的距离公式.
． P(1,3)
A(0,1)
0
x
（2）∵向量长度就是向量的模， ） 向量长度就是向量的模 的长度就是|AP|，即： ∴AP的长度就是 的长度就是 ， |AP|= (1 − 0) 2 + (3 − 1) 2 = 5 ；|0P| = 12 + 32 = 10 .
uuu r PQ 例5： 是以二次函数y = 2 x 2 + 1图象上的顶点P为 uuu r 始点、Q为终点的向量，且 PQ = 2，求Q的坐标。
第01讲 平面向量的概念及线性运算(六大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
题型突破·考法探究
题型二：平面向量的线性运算及求参数问题
【典例2-1】若 = 7， = 4 ，则 的取值范围是（ ）
A．[3，7]
B． 3，7
C． 3，11
D．(3，11)
【答案】C
【解析】由题意知 = 7， = 4，且 = | − |，
当, 同向时， 取得最小值， = | − | = ||| − ||| = |4 − 7| = 3；
【答案】C
【解析】对于A，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故
A错误．
对于B，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B错误．
对于C，若Ԧ = ，则,
，故C成立．
Ԧ 必定共线，故//
Ԧ
对于D，当Ԧ ≠ 时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向，
故与
Ԧ 可以为共线向量，故D错误．故选：C
后一个向量终点的向量．
即 + + ⋯ + − = ．
（2）||| − ||| ≤ | ± | ≤ || + ||，当且仅当, 至少有一个为时，向量不等式的等号成
立．
（3）特别地：||| − ||| ≤ | ± |或| ± | ≤ || + ||当且仅当, 至少有一个为时或者
与向量长度无关，两个向量方向相同
且长度相等，就是相等向量．
题型突破·考法探究
题型一：平面向量的基本概念
【变式1-1】下列说法中，正确的是（
）
A．若||
Ԧ > ||，则Ԧ >
C．若Ԧ = ，则//
Ԧ
B．若||
Ԧ = ||，则Ԧ =
D．若Ԧ ≠ ，则与
高中数学必修二 专题6 1 平面向量的概念-同步培优专练
专题6.1 平面向量的概念知识储备一 向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.二 向量的几何表示1.有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB ，线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长度记作|AB |.2.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a ，b ，c ，…表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用c b a ,,).3.模、零向量、单位向量 向量AB 的大小，称为向量AB 的长度(或称模)，记作|AB |.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.思考 “向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？答案 错误.理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.三 相等向量与共线向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.(1)记法：向量a 与b 平行，记作a ∥b .(2)规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.思考 (1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)与任意向量都平行的向量是什么向量？(4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？答案 (1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量.能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若a b ≠，则a b →→≠；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】由相等向量的定义知（1）正确；平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错， 所以正确答案只有一个．故选B ．2．下列命题正确的是（ ）A ．若||0a =，则0a =B ．若||||a b =，则a b =C ．若||||a b =，则//a bD ．若//a b ，则a b =【答案】A 【解析】模为零的向量是零向量，所以A 项正确；||||a b =时，只说明向,a b 的长度相等，无法确定方向，所以B ，C 均错；a b 时，只说明,a b 方向相同或相反，没有长度关系，不能确定相等，所以D 错.故选A.3．若非零向量a 和b 互为相反向量，则下列说法中错误是（ ）A ．//a bB ．a b ≠C ．a b ≠D ．a b =-【答案】C 【解析】由平行向量的定义可知A 项正确；因为a 和b 的方向相反，所以a b ≠，故B 项正确；由相反向量的定义可知a b =-，故选项D 正确；由相反向量的定义知a b =，故C 项错误.故选C.4．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与BC 相等的向量为（ ）A ．BAB ．CDC ．AD D ．OD【答案】D 【解析】根据图形看出，四边形BCDO 是平行四边形//,BC OD BC OD ∴=BC OD ∴=故选：D 5．若向量a 与向量b 不相等，则a 与b 一定（ ）A ．不共线B ．长度不相等C ．不都是单位向量D ．不都是零向量 【答案】D 【解析】向量a 与向量b 不相等，它们有可能共线、有可能长度相等、有可能都是单位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即选项A 、B 、C 错误，D 正确.故选：D.6．下列说法错误的是（ ）A ．若非零向量a b c ，，有//a b ，//b c ，则//a cB ．零向量与任意向量平行C ．已知向量a b ，不共线，且//a c ，//b c ，则0c =D ．平行四边形ABCD 中，AB CD =【答案】D【解析】选项A ：因为a b c ，，都不是零向量，所以由//a b ，可知向量a 与向量b 具有相同或相反方向.又由//b c ，可得向量c 与向量b 具有相同或相反方向，所以向量a 与向量c 具有相同或相反方向，故//a c ，故本说法是正确的；选项B ：零向量与任意向量平行这是数学规定，故本说法是正确的；选项C ：由//a c ，//b c ，可知：c 与向量a 具有相同或相反方向，c 与向量b 具有相同或相反方向，但是向量a b ，不共线，所以0c ，故本说法是正确的；选项D ：平行四边形ABCD 中，应该有AB DC =，故本说法是错误的.故选：D7．a ，b 为非零向量，且a b a b +=+，则（ ）A ．a ，b 同向B ．a ，b 反向C ．a b =-D ．a ，b 无论什么关系均可【答案】A 【解析】当两个非零向量a 与b 不共线时,a b +的方向与a ,b 的方向都不相同,且a b a b +<+；当向量a 与b 同向时,a b +的方向与a ,b 的方向都相同,且a b a b +=+； 当向量a 与b 反向且a b <时,a b +的方向与b 的方向相同（与a 的方向相反）,且a b b a +=-, 故选:A8．如图是34⨯的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与AB的向量共有( )A．12个B．18个C．24个D．36个【答案】C⨯的格点图中【解析】由题意知，每个小正方形的对角线与AB34包含12个小正方形，所以有12条对角线，与AB平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24个向量满足.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
平面向量基本概念
平面向量基本概念1.数量：只有大小，没有方向的量。
例如：温度，时间，质量，面积等2．向量：既有大小，又有方向的量。
例如：位移、力、速度、等3.有向线段：带有方向的线段。
在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。
起点写在终点的前面。
（三要素：起点、方向、长度）4．向量的表示：（1）几何表示：向量可以用有向线段表示，他的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。
（2）字母表示：向量也可以用字母a,b,c 表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如AB uuu r5.向量的模：向量AB uuu r 或a 的大小（或长度）叫做向量的模，记作|AB uuu r |或a6.特殊向量零向量：长度为0的向量，记作0，方向是任意的单位向量：长度等于1个单位的向量7.相等向量与共线向量（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量，向量a,b 平行规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a,都有0平行a(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，向量a 与b 相等。
（3）共线向量：任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量。
8.向量的加法：求两个向量和的运算1）向量加法的运算法则：（1）三角形法则：已知非零向量a,b,在平面内任取一点A ，作AB uuu r =a,BC u u u r =b,则向量ACu u u r 叫做a 与b 的和。
（2）平行四边形法则：以同一点o 为起点的两个已知向量a,b 为邻边作平行四边形OACB,则以o 为起点的对角线OC u u u r 就是a 和b 的和。
（3）向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：（a+b ）+c=a+(b+c)(4)相反向量：与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫作向量a 的相反向量，记作：-a2)向量的减法：（共起点，连终点，指向被减）如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量。
平面向量的概念及线性运算
平面向量的概念及线性运算【考点梳理】1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 【考点突破】考点一、平面向量的有关概念【例1】给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．②④ [答案] A[解析] ①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|，AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →.③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是②③. 【类题通法】1.相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.2.共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.3.向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.4.非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量. 【对点训练】 给出下列六个命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ②若AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ③若a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线； ⑤λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；⑥a ，b 为非零向量，a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中假命题的序号为________． [答案] ①②③④⑤⑥[解析] ①不正确．|a |＝|b |.但a ，b 的方向不确定，故a ，b 不一定是相等或相反向量；②不正确．因为AB →＝DC →，A ，B ，C ，D 可能在同一直线上，所以ABCD 不一定是四边形．③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．⑤不正确．当λ＝1，a ＝0时，λa ＝0.⑥不正确．对于非零向量a ，b ，a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ，b 同向．考点二、平面向量的线性运算【例2】(1) 设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，若BC →＝λDC →(λ∈R )，则λ＝( )A ．2B ．3C ．－2D ．－3(2)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.[答案] (1)D (2)12 －16[解析] (1)由AD →＝－13AB →＋43AC →，可得3AD →＝－AB →＋4AC →，即4AD →－4AC →＝AD →－AB →，则4CD →＝BD →，即BD →＝－4DC →，可得BD →＋DC →＝－3DC →，故BC →＝－3DC →，则λ＝－3.(2)由题中条件得，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.【类题通法】1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果.【对点训练】1．已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．[答案] －2[解析] 因为D 是BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AD →.由P A →＋BP →＋CP →＝0，得BA →＝PC →. 又AP →＝λPD →，所以点P 是以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP →＝AB →＋AC →＝2AD →＝－2PD →，所以λ＝－2.2．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.[答案] 12[解析] DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.考点三、共线向量定理的应用【例3】(1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线(2)已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12 D ．－1或－12[答案] (1) B (2) B[解析] (1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →， ∴BD →，AB →共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．故选B.(2)由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使 c ＝k d (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]. 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k <0，所以λ<0，故λ＝－12.【类题通法】 共线向量定理的应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB →＝λAC →，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 【对点训练】1．向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________.[答案] ④[解析] 由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上.2．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. [答案] 12[解析] ∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎨⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.。
平面向量与立体几何体
平面向量与立体几何体一、平面向量的概念及基本性质平面向量是指在平面上有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。
平面向量具有以下基本性质：1. 向量的模：向量的模表示向量的大小，记作|AB|，其中A和B分别表示向量的起点和终点。
向量的模可以通过平行四边形法则计算得到。
2. 向量的方向角：指向量与某个基准方向之间的夹角，通常用α表示。
方向角的取值范围是0°到360°。
3. 向量的方向余弦：是指向量与x轴正方向夹角的余弦值，记作cosα。
4. 向量的加法和减法：向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相接，然后将两个向量的终点相接，新得到的向量即为两个向量的和。
向量的减法表示将减去的向量反向后与被减向量相加。
5. 向量的数量积：向量的数量积又称为内积或点积，表示两个向量之间的乘积，结果是一个标量。
向量的数量积计算公式为：A·B =|A|·|B|·cosθ，其中θ表示A与B之间的夹角。
二、平面向量在立体几何体中的应用平面向量在立体几何体中有着广泛的应用，可以用于描述平面上的图形、计算面积和体积等。
1. 平面上的图形：利用平面向量可以方便地描述平面上的图形。
以三角形为例，设三角形的三个顶点分别为A、B、C，利用向量表示法可以得到向量AB、BC、CA。
根据向量的性质，若三个向量满足向量AB+BC+CA=0，则表示这三个向量所对应的三角形是一个闭合图形。
2. 平面图形的面积：平面上的图形的面积可以利用向量的数量积来计算。
以平行四边形为例，设平行四边形的两个边向量为A、B，夹角为θ，则平行四边形的面积可以表示为S = |A|·|B|·sinθ。
3. 立体几何体的体积：平面向量在计算立体几何体的体积时也扮演重要角色。
以长方体为例，设长方体的三个相邻边分别为a、b、c，可以得到长方体的体积V = |a·(b×c)|，其中×表示向量的叉积。
第一节 平面向量的概念讲义--高三数学一轮复习备考
平面向量与复数第一节平面向量的概念一、课程标准1.向量概念(1)通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；(2)理解平面向量的几何表示和基本要素．2.向量运算(1)借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义；(2)通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义；(3)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义；(4)通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量积；(5)通过几何直观了解平面向量投影的概念及投影向量的意义．新高考命题方向：主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量基本定理，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目，偶尔会在解答题中作为工具出现．考查理性思维、数学探究、数学抽象学科素养．二、知识梳理知识点一向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量记作，其方向是任意的单位向量长度等于长度的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向或的非零向量(又叫做共线向量)0与任意向量或共线相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为01.对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任意向量平行；(2)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一情况．2．单位向量的定义中只规定了长度，没有方向限制． 知识点二 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算法则法则(1)交换律：a ＋b ＝ (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝减法 求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa |＝ ；当λ>0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝ ；λ(a ＋b )＝知识点三 共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得 ． 知识点四 平面向量的数量积 1．向量的夹角 定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则 就是a 与b 的夹角设θ是a 与b 的夹角，则θ的取值范围是θ＝0或θ＝π⇔ ，⇔a ⊥b• 温馨提醒 •对于两个非零向量a 与b ，由于当θ＝0°时，a ·b >0，所以a ·b >0是两个向量a ，b 夹角为锐角的必要不充分条件；a ·b ＝0也不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b .2．平面向量的数量积 (1)投影向量①如图，设a ，b 是两个非零向量，AB → ＝a ，CD →＝b ，分别过A ，B 作CD 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，叫做向量a 在向量b 上的投影向量．如图，在平面内任取一点O 作OM → ＝a ，ON →＝b ，过M 作ON 的垂线，垂足为M 1，则就是向量a 在向量b 上的投影向量，设与b 方向相同的单位向量为e ，〈a ，b 〉为θ，则＝(|a |cos θ)e .两个向量数量积的几何意义：a ·b 等于a 在b 上的投影数量与b 的模的乘积． (2)向量数量积的运算律①a ·b ＝ ；②(λa )·b ＝λ(a ·b )＝ ；③(a ＋b )·c ＝ ．• 温馨提醒 •1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．2．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . 3．在用|a |＝a 2 求向量的模时，一定要先求出a 2再进行开方．三、基础自测1．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( )A ．共线B ．不共线C ．共线且同向D ．不一定共线 2．已知a·b ＝－122 ，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |为( ) A ．12 B ．6 C ．33 D ．33．(易错题)已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则“a ·b >0”是“θ为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．05．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA → ＝a ，OB → ＝b ，则DC → ＝________，BC →＝________(用a ，b 表示).四、核心题型题型一 平面向量的有关概念及线性运算例1（1） (多选)已知a ，b 是两个单位向量，下列命题中正确的是( )A .|a |＝|b |＝1B ．a ·b ＝1C ．当a ，b 反向时，a ＋b ＝0D ．当a ，b同向时，a ＝b（2）设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a | ＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13b D ．a ⊥b(3)在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EB → ＝4EC → ，则ED →＝( )A ．56 AB → －43 AC → B ．43 AB → －56 AC → C ．56 AB → ＋43 AC →D ．43AB → ＋56AC →题型二 平面向量共线定理的应用例2(1)已知两个非零向量a ，b 互相垂直，若向量m ＝4a ＋5b 与n ＝2a ＋λb 共线，则实数λ的值为( )A ．5B ．3C ．52 D ．2(2)设a ，b 是不共线的两个向量，已知BA → ＝a ＋2b ，BC → ＝4a －4b ，CD →＝－a ＋2b ，则( )A ．A ，B ，D 三点共线 B ．B ，C ，D 三点共线 C ．A ，B ，C 三点共线 D ．A ，C ，D 三点共线(3)已知O 为△ABC 内一点，且AO → ＝12 (OB → ＋OC → )，AD → ＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A ．14B ．13C ．12D ．23题型三 平面向量的数量积及应用例3(1)已知在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2.若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE → ·DF →＝( )A ．8B ．10C ．12D ．14(2)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM → ＝2MA → ,CN →＝2NA → ，则BC → ·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0(3) 已知|a |＝6，e 为单位向量，当向量a ，e 的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求向量a 在向量e 上的投影向量．(4)(2021·全国甲卷)若向量a ，b 满足|a |＝3，|a －b |＝5，a·b ＝1，则|b |＝________． (5)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( )A ．3π4B ．π4C ．π3D ．2π3(6)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________．五、变式训练1.如图所示，在直角梯形ABCD 中，DC → ＝14 AB → ，BE → ＝2EC → ，且AE → ＝rAB → ＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．42..设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB → ＝a ＋b ，BC → ＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．3.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( )A ．7B ．10C ．13D ．44.非零向量a ，b ，c 满足a ·b ＝a ·c ，a 与b 的夹角为π6 ，|b |＝4，则c 在a 上的投影向量的长度为( )A ．2B ．23C ．3D ．4六、作业一轮复习资料《课时作业》437页 A 组：全部 B 组：2、3。
中职数学平面向量的概念
向量的模具有非负性，即$|overset{longrightarrow}{AB}| geq 0$，且当且仅 当向量与坐标轴平行或重合时，模为0。
向量的加法
向量加法的定义
向量加法是指将两个向量首尾相接， 形成一个新的向量。
向量加法的几何意义
向量加法的几何意义是平行四边形的 对角线，即两个向量的和等于以这两 个向量为邻边的平行四边形的对角线 。
向量积的几何意义
向量积表示两个向量之间的旋 转关系。
若向量a和b的夹角为锐角，则 它们的向量积方向与a和b所在 平面垂直，且方向与a和b的旋 转方向相同。
若向量a和b的夹角为钝角，则 它们的向量积方向与a和b所在 平面垂直，且方向与a和b的旋 转方向相反。
向量积的运算律
向量积满足分配律， 即a × (b + c) = a × b + a × c。
中职数学平面向量的概念
• 引言 • 平面向量的基本概念 • 平面向量的数量积 • 平面向量的向量积 • 平面向量的混合积 • 平面向量在实际问题中的应用
01
引言
主题简介
平面向量
在二维平面内，既有大小又有方 向的量。
表达方式
通常用有向线段表示向量，起点为 箭头的起点，终点为箭头的终点。
性质
向量具有加法、数乘以及向量的模 等基本性质。
在物理中，力是一个向量，可以通过 向量加法、数乘和向量的数量积、向 量的向量积、向量的混合积等运算来 描述力的合成与分解。
速度和加速度
力的矩
力矩是一个向量，可以通过向量的数 乘、向量的向量积等运算来描述物体 受到的力矩。
速度和加速度是向量，可以通过向量 的加法、数乘和向量的数量积等运算 来描述物体运动的速度和加速度。
平面向量基础知识
平面向量一、平面向量的基本概念㈠、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母AB 表示.（AB 的大小──长度称为向量的模，记作|AB|. ）3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.4.向量与有向线段的区别：⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.5、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.6、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：⑴综合①、②才是平行向量的完整定义；⑵向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.7、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：⑴向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；⑵零向量与零向量相等；⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 8、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．）. 说明：⑴平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；⑵共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.二、 向量的加法与减法1、位移问题：①某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：AB BC AC +=②某人从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：AB BC AC +=③某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和：AB BC AC +=④船速为AB，水速为BC ，则船单位时间内的位移：AB BC AC +=2、向量的加法：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
高中数学平面向量知识点总结及常见题型
高中数学平面向量知识点总结及常见题型平面向量一、向量的基本概念与基本运算1.向量的概念：向量是既有大小又有方向的量。
向量一般用a、b、c等字母来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB（几何表示法）或a（坐标表示法）。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|或｜a｜。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，与任意向量平行。
③单位向量：模为1个单位长度的向量。
向量a为单位向量｜a｜＝1.④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上。
方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b。
由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。
相等向量经过平移后总可以重合，记为a b。
大小相等，方向相同(x1,y1)(x2,y2)x1x2，y1y2.2.向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。
设AB a，BC b，则a+b=AB BC=AC。
1）0＋a＝a；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD…+PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”。
3.向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。
零向量的相反向量仍是零向量。
关于相反向量有：（i）(a)=a；(ii) a+(a)=(a)+a=0.iii) 若向量a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0.向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
平面向量知识点总结(精华)
必修4 平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移.举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB 按向量(1,3)a =-平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0)2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的方向是任意的；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB 共线的单位向量是||AB AB ±）；4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、、共线 AB AC ⇔、共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a 的相反向量记作a -.举例2 如下列命题：（1）若||||a b =，则a b =.（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同. （3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形. （4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =. （5）若a b =，b c =，则a c =.（6）若//a b ，//b c 则//a c .其中正确的是 . 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(,)a xi yj x y =+=，称(,)x y 为向量a 的坐标，(,)a x y =叫做向量a 的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理定理 设12,e e 同一平面内的一组基底向量，a 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+.（1）定理核心：1122a λe λe =+；（2）从左向右看，是对向量a 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a 的合成.（3）向量的正交分解：当12,e e 时，就说1122a λe λe =+为对向量a 的正交分解．举例3 （1）若(1,1)a =，(1,1)b =-，(1,2)c =-，则c = . 结果：1322a b -. （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 BA.1(0,0)e =，2(1,2)e =- B.1(1,2)e =-，2(5,7)e = C.1(3,5)e =，2(6,10)e =D.1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）已知,AD BE 分别是ABC △的边BC ，AC 上的中线,且AD a =，BE b =,则BC可用向量,a b 表示为 . 结果：2433a b +. （4）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB =，CD rAB sAC =+，则r s +=的值是 . 结果：0. 四、实数与向量的积实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：（1）模：||||||a a λλ=⋅；（2）方向：当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同，当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反，当0λ=时，0a λ=，注意：0a λ≠.五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作OA a =，OB b =，则把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a ，b 的夹角.当0θ=时，a ，b 同向；当θπ=时，a ，b 反向；当2πθ=时，a ，b 垂直.2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4 （1）ABC △中，||3AB =，||4AC =，||5BC =，则A B B C ⋅=_________. 结果：9-.（2）已知11,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，10,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，c a kb =+，d a b =-，c 与d 的夹角为4π，则k = ____. 结果：1.（3）已知||2a =，||5b =，3a b ⋅=-，则||a b +=____. （4）已知,a b 是两个非零向量，且||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为____. 结果：30.3.向量b 在向量a 上的投影：||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0.举例 5 已知||3a =，||5b =，且12a b ⋅=，则向量a 在向量b 上的投影为______. 结果：125. 4.a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积.5.向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： （1）0a b a b ⊥⇔⋅=；（2）当a 、b 同向时，||||a b a b ⋅=⋅，特别地，222||||a a a a a a =⋅=⇔=； ||||a b a b ⋅=⋅是a 、b 同向的充要分条件；当a 、b 反向时，||||a b a b ⋅=-⋅，||||a b a b ⋅=-⋅是a 、b 反向的充要分条件；当θ为锐角时，0a b ⋅>，且a 、b 不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要不充分条件；当θ为钝角时，0a b ⋅<，且a 、b 不反向；0a b ⋅<是θ为钝角的必要不充分条件.（3）非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos ||||a b a b θ⋅=；④||||a b a b ⋅≤.举例6 （1）已知(,2)a λλ=，(3,2)b λ=，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______. 结果：43λ<-或0λ>且13λ≠； （2）已知OFQ △的面积为S ，且1OF FQ ⋅=，若12S <，则OF ，FQ 夹角θ的取值范围是_________. 结果：,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）已知(cos ,sin )a x x =，(cos ,sin )b y y =，且满足||3||ka b a kb +=-（其中0k >）.①用k 表示a b ⋅；②求a b ⋅的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小.结果：①21(0)4k a b k k +⋅=>；②最小值为12，60θ=. 六、向量的运算1.几何运算 （1）向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.运算形式：若AB a =，BC b =，则向量AC 叫做a 与b 的和，即a b A B B C A C +=+=；作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量. （2）向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若AB a =，AC b =，则a b AB AC CA -=-=，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同.举例7 （1）化简：①AB BC CD ++= ；②AB AD DC --= ；③()()AB CD AC BD ---= . 结果：①AD ；②CB ；③0；（2）若正方形ABCD 的边长为1，AB a =，BC b =，AC c =，则||a b c ++= . 结果：（3）若O 是ABC △所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC △的形状为. 结果：直角三角形；（4）若D 为ABC △的边BC 的中点，ABC △所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为 . 结果：2； （5）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，则ABC △的内角C 为 .结果：120.2.坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则（1）向量的加减法运算：1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--. 举例8 （1）已知点(2,3)A ，(5,4)B ，(7,10)C ，若()AP AB AC λλ=+∈R ，则当λ=____时，点P 在第一、三象限的角平分线上. 结果：12； （2）已知(2,3)A ，(1,4)B ，且1(sin ,cos )2AB x y =，,(,)22x y ππ∈-，则x y += .结果：6π或2π-； （3）已知作用在点(1,1)A 的三个力1(3,4)F =，2(2,5)F =-，3(3,1)F =，则合力123F F F F =++的终点坐标是 . 结果：(9,1). （2）实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==.（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9 设(2,3)A ，(1,5)B -，且13AC AB =，3AD AB =，则,C D 的坐标分别是__________. 结果：11(1,),(7,9)3-. （4）平面向量数量积：1212a b x x y y ⋅=+.举例10 已知向量(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，(1,0)c =-. （1）若3x π=，求向量a 、c 的夹角； （2）若3[,]84x ππ∈-，函数()f x a b λ=⋅的最大值为12，求λ的值.结果：（1）150；（2）12或1.（5）向量的模：222222||||a a x y a x y ==+⇔=+.举例11 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +=＝ . 结果：（6）两点间的距离：若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则||AB =举例12 如图，在平面斜坐标系xOy 中，xOy ∠=P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+，其中12,e e y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y .（1）若点P 的斜坐标为(2,2)-，求P 到O 的距离||PO ；（2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 结果：（1）2；（2）2210x y xy ++-=. 七、向量的运算律1.交换律：a b b a +=+，()()a a λμλμ=，a b b a ⋅=⋅；2.结合律：()a b c a b c ++=++，()a b c a b c --=-+，()()()a b a b a b λλλ=⋅=⋅；3.分配律：()a a a λμλμ+=+，()a b a b λλλ+=+，()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅.举例13 给出下列命题：① ()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅；② ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅；③ 222()||2||||||a b a a b b -=-+；④ 若0a b ⋅=，则0a =或0b =；⑤若a b c b ⋅=⋅则a c =；⑥22||a a =；⑦2a b b a a⋅=；⑧222()a b a b ⋅=⋅；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+.其中正确的是 . 结果：①⑥⑨. 说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅，为什么？ 八、向量平行(共线)的充要条件221212//()(||||)0a b a b a b a b x y y x λ⇔⇔⋅=⇔-=.举例14 (1)若向量(,1)a x =，(4,)b x =，当x =_____时，a 与b 共线且方向相同. 结果：2.（2）已知(1,1)a =，(4,)b x =，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x = . 结果：4.（3）设(,12)PA k =，(4,5)PB =，(10,)PC k =，则k = _____时，,,A B C 共线. 结果：2-或11.九、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=.特别地||||||||ABAC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 举例15 (1)已知(1,2)OA =-，(3,)OB m =，若O A O B ⊥，则m = .结果：32m =； （2）以原点O 和(4,2)A 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,)n a b =向量n m ⊥，且||||n m =，则m =的坐标是 .结果：(,)b a -或(,)b a -.十、线段的定比分点1.定义：设点P 是直线12PP 上异于1P 、2P 的任意一点，若存在一个实数λ ，使12PP PP λ=，则实数λ叫做点P 分有向线段12P P 所成的比λ，P 点叫做有向线段12P P 的以定比为λ的定比分点.2.λ的符号与分点P 的位置之间的关系 （1）P 内分线段12P P ，即点P 在线段12PP 上0λ⇔>； （2）P 外分线段12P P 时，①点P 在线段12PP 的延长线上1λ⇔<-，②点P 在线段12PP 的反向延长线上10λ⇔-<<.注：若点P 分有向线段12PP 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P 所成的比为1λ.举例16 若点P 分AB 所成的比为34，则A 分BP 所成的比为 . 结果：73-. 3.线段的定比分点坐标公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，点(,)P x y 分有向线段12P P 所成的比为λ，则定比分点坐标公式为1212,1(1).1x x x y y y λλλλλ+⎧=⎪⎪+≠-⎨+⎪=⎪+⎩. 特别地，当1λ=时，就得到线段12PP 的中点坐标公式1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比λ.举例17 （1）若(3,2)M --，(6,1)N -，且13M P M N =-，则点P 的坐标为 . 结果：7(6,)3--； （2）已知(,0)A a ，(3,2)B a +，直线12y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB =，则a =. 结果：２或4-. 十一、平移公式如果点(,)P x y 按向量(,)a h k =平移至(,)P x y ''，则,.x xh y y k '=+⎧⎨'=+⎩；曲线(,)0f x y =按向量(,)a h k =平移得曲线(,)0f x h y k --=. 说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18 （1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a 把点(7,2)-平移到点______. 结果：(8,3)-；（2）函数s i n 2y x =的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是cos21y x =+，则a =________. 结果：(,1)4π-. 十二、向量中一些常用的结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：||||||||||a b a b a b -≤+≤+.（1）右边等号成立条件： a b 、同向或 a b 、中有0||||||a b a b ⇔+=+； （2）左边等号成立条件： a b 、反向或 a b 、中有0||||||a b a b ⇔-=+； （3）当 a b 、不共线||||||||||a b a b a b ⇔-<+<+. 3.三角形重心公式 在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则其重心的坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++.举例19 若ABC △的三边的中点分别为(2,1)A 、(3,4)B -、(1,1)C --，则ABC △的重心的坐标为 .结果：24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5.三角形“三心”的向量表示（1）1()3PG PA PB PC G =++⇔为△ABC 的重心，特别地0PA PB PC G++=⇔为△ABC 的重心.（2）PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为△ABC 的垂心.（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为△ABC 的内心；向量(0)||||ABAC AB AC λλ⎛⎫+≠ ⎪⎪⎝⎭所在直线过△ABC 的内心. 6.点P 分有向线段12P P 所成的比λ向量形式设点P 分有向线段12P P 所成的比为λ，若M 为平面内的任一点，则121MP MP MP λλ+=+，特别地P 为有向线段12P P 的中点122MP MP MP +⇔=.7. 向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得P A P B P C αβ=+且1αβ+=． 举例20 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足12OC OA OB λλ=+,其中12,λλ∈R 且121λλ+=,则点C 的轨迹是 . 结果：直线AB .。
平面向量概念
1．向量的有关概念2．向量的线性运算三角形法则平行四边形法则三角形法则|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa的方向与向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.,共线向量定理的深解读定理中限定了a≠0，这是因为如果a＝0，则λa＝0，(1)当b≠0时，定理中的λ不存在；(2)当b＝0时，定理中的λ不唯一．因此限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．向量概念的4点注意(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同．(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性．比如：命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”是假命题，因为当b为零向量时，a，c可为任意向量，两者不一定平行．(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上．向量线性运算的3点提醒(1)两个向量的和仍然是一个向量．(2)利用三角形法则时，两向量要首尾相连，利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点．(3)当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用． 1．与向量a 共线的单位向量为±a |a |.2．两非零向量不共线求和时，两个法则都适用；共线时，只适用三角形法则．3．A ，B ，C 三点共线，O 为A ，B ，C 所在直线外任一点，则OA→＝λOB →＋μOC →且λ＋μ＝1.4．若AB →＝λAC →，则A ，B ，C 三点共线．5．P 为线段AB 的中点⇔OP →＝12(OA →＋OB →)． 6．G 为△ABC 的重心⇔GA→＋GB →＋GC →＝0⇔OG →＝13(OA →＋OB →＋OC →)(O 是平面内任意一点)．7．P 为△ABC 的外心⇔|P A →|＝|PB →|＝|PC →|.8．||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.9．若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2―→＋A 2A 3―→＋A 3A 4―→＋…＋A n －1A n ―→＝A 1A n ―→.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量． 2.在△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别为三角形三边上的中线，它们交于点G (如图所示)，易知G 为△ABC 的重心，则有如下结论：(1) GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0；(2) AG ―→＝13(AB ―→＋AC ―→)；(3) GD ―→＝12(GB ―→＋GC ―→)＝16(AB ―→＋AC ―→)．3．若OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.4．对于任意两个向量a ，b ，都有：①||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |；②|a ＋b |2＋|a －b |2＝2(|a |2＋|b |2)．当a ，b 不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系． 1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底❶. 2．平面向量的坐标运算运算 坐标表示和(差) 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)数乘 已知a ＝(x 1，y 1)，则λa ＝(λx 1，λy 1)，其中λ是实数 任一向量的坐标已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)3.设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0❷.,(1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；(3)如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，则可以得到⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝μ1，λ2＝μ2.．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.3．已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33.设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. 4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [微点提醒]1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)且a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y 2. 2.若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2―→＋A 2A 3―→＋A 3A 4―→＋…＋A n －1A n ―→＝A 1A n ―→.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2.在△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别为三角形三边上的中线，它们交于点G (如图所示)，易知G 为△ABC 的重心，则有如下结论：(1) GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0；(2) AG ―→＝13(AB ―→＋AC ―→)；(3) GD ―→＝12(GB ―→＋GC ―→)＝16(AB ―→＋AC ―→)．3．若OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.4．对于任意两个向量a ，b ，都有：①||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |；②|a ＋b |2＋|a －b |2＝2(|a |2＋|b |2)．当a ，b 不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系．1．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0，假命题的个数是( )A ．0B.1C ．2D ．32．给出下列命题：(1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；(3)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(4)两向量a ，b 相等的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________．[例1] (1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ―→＝( )A.34AB ―→－14AC ―→B.14AB ―→－34AC ―→C.34AB ―→＋14AC ―→ D ．14AB ―→＋34AC ―→(2)在四边形ABCD 中，BC ―→＝AD ―→，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，则( )A ．AF ―→＝13AC ―→＋23BD ―→ B.AF ―→＝23AC ―→＋13BD ―→C ．AF ―→＝14AC ―→＋23BD ―→ D ．AF ―→＝23AC ―→＋14BD ―→3.已知O ，A ，B 是同一平面内的三个点，直线AB 上有一点C 满足2AC ―→＋CB ―→＝0，则OC ―→＝( )A ．2OA ―→－OB ―→ B.－OA ―→＋2OB ―→C.23OA ―→－13OB ―→D ．－13OA ―→＋23OB ―→4．(2018·大同一模)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则向量BF ―→＝( )A.13a ＋23b B.－13a －23b C ．－13a ＋23b D ．13a －23b5.P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝2AB ―→，若S △ABC ＝6，则△PAB 的面积为( )A ．2 B.3 C ．4D ．86.△ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，则λ＋μ＝( )A.12 B.－12C ．2D ．－27. (2017·全国Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A.a ⊥b B.|a |＝|b | C.a ∥bD.|a |>|b |8若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝ .9若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为 .10.在△ABC 中，点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ，使得OG →＝16BC →，且OA →＝mOB →＋nOC →，则m －n 等于( )A.2B.－2C.1D.－110.已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足x P A →＋y PB →＋z PC →＝0则x y z s s s BPCAPC APB ::::=∆∆∆22.已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足3P A →＋5PB →＋2PC →＝0，已知△ABC 的面积为6，则△P AC的面积为( )A.92 B ．4C ．3 D.12523.已知P 是△ABC 内一点，且满足PA →＋2PB →＋3PC →＝0，记△ABP ，△BCP ，△ACP 的面积依次为S 1，S 2，S 3，则S 1∶S 2∶S 3等于 ( )A ．1∶2∶3 B ．1∶4∶9 C ．6∶1∶2 D ．3∶1∶2。
平面向量的基本概念和基本定理
【平面向量】（1）平面向量的基本概念和基本定理： 考点．．1．重要的概念．．．．．①基本概念向量、向量的模（长度），向量的表示，自由向量、相等向量，相反向量，位置向量，零向量、共线向量、单位向量、基线、数乘向量、基向量、坐标、正交基底、向量的数量积、夹角、正射影 考点．．2．重要的定理．．．．． ②基本定理：平行向量基本定理（掌握）、平面向量基本定理（了解）向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa ∥b (b≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e （2）平面向量的基本运算：（几何运算、代数运算、坐标运算） 考点３重要的运算 ① 向量的加法几何运算：如图，已知向量a 、在平面内任取一点A ，作a AB =，b BC =，则向量AC叫做a 与b 的和，记作b a +，即 AC BC AB b a =+=+特殊情况：(1)BBabba +ba +AABC C)2()3(对于零向量与任一向量a ，有 a a a =+=+00向量加法的运算律：a +b =b +a (a +b ) +c =a + (b +c )向量的加法的代数运算：AC BC AB b a =+=+向量的加法的坐标运算： 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=， ② 向量的减法向量的减法的几何运算： 减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA = a , OB = b , 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1︒AB 表示a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一a ∥b ∥c a - b = a + (-b ) a - b 向量减法的运算律：向量的减法的代数运算：AB =OB -OA向量的减法的坐标运算：若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a -),(2121y y x x --= 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)③ 向量的数乘 向量的数乘的几何计算示例：已知非零向量a ，作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a) OC =BC AB OA ++=a +a +a =3aPN =MN QM PQ ++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a向量的数乘的运算律： 结合律：λ(μa )=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③向量的数乘的代数运算：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a|（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=0a -bA AB B B’ O a -ba a bb O A O Ba -ba -b B A O -b向量的数乘的坐标运算若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=④向量的数量积向量的数量积的几何计算：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0向量的数量积的几何意义： 数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积 投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b | 两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0︒≤θ≤180︒向量的数量积的运算律：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积 两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ 2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒cos θ =||||b a ba ⋅C5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b |向量的数量积的代数运算： 交换律：a ⋅ b = b ⋅ a数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb ) 分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２， （ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２向量的数量积的坐标运算已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = b a⋅2121y y x x += 设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a⊥⇔02121=+y y x x 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a = ，则222||y x a +=或22||y x a +=（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式).两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a ba ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=典型例题例1如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示). 解：例2 已知a(1, 2)，b (2, 3)，c (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形证明：例3 设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ⋅b解：例4已知a= (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x解：例5已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b的夹角是多少?例6 如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC ，使∠b = 90︒，求点b和向量AB 的坐标 解：例7 在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值 解：例8若非零向量a 和b 满足｜a ＋b ｜＝｜a －b ｜证明：a ⊥b证法一：证法二：例9 已知向量a 是以点A (3，－1)为起点，且与向量b ＝（－3，4）垂直的单位向量，求a 的终点坐标说明：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆本章知识网络结构运算 类型 几何方法坐标方法运算性质向 量 的 加 法 1平行四边形法则2三角形法则),(2121y y x x b a ++=+a b b a +=+)()(c b a c b a ++=++ AC BC AB =+向 量 的 减 法三角形法则),(2121y y x x b a --=-)(b a b a -+=-BA AB -= AB OA OB =-向 量 的 乘 法1a λ是一个向量,满足: 2λ>0时,a λ与a 同向;λ<0时,a λ与a 异向;λ=0时, a λ=0),(y x a λλλ=a a )()(λμμλ=a a a μλμλ+=+)(b a b a λλλ+=+)(a ∥b a b λ=⇔向 量 的 数 量 积b a •是一个数 10=a 或0=b 时, b a •=020≠a 且0≠b 时,),cos(||||b a b a b a =•2121y y x x b a +=•a b b a •=•)()()(b a b a b a •=•=•λλλc b c a c b a •+•=•+)( 22||a a =22||y x a +=||||||b a b a ≤•重要定理、公式：．．．．．．．．(1)平面向量基本定理21,e e是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数21,λλ，使2211e e aλλ+= (2)两个向量平行的充要条件MO N BAD Ca ∥b ⇔a＝λb ⇔01221=-y x y x(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔02121=+y y x x平面向量习题1、已知,OAOB a b ，且||||2a b ，∠AOB=60°，则||a b =____；a b 与b 的夹角为_____.2.已知点G 是ABC ∆的重心， ()AG AB AC λμλμ=+∈R ，，那么λμ+=_____； 若︒=∠120A ，2AB AC ⋅=-AG __________ .3.已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足AB PC PB PA =++，则点△BC P 与△ABP 的面积分别为s 1,s 2,则s 1:s 2=_________4.如图，AB 是半圆O 的直径，C , D 是弧AB 三等分点，M , N 是线段AB 的三等分点，若OA = 6，则→MD ·→NC 的值是 ．5、在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6六个点．则122323343445455656616112A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅＝ ．6、已知||1,||2,0,OA OB OA OB ==⋅=点C 在AOB ∠内，且045AOC ∠=，设OC mOA nOB =+，其中,m n R ∈，则mn等于__________. 7、已知在同一平面上的三个单位向量,,a b c ，它们相互之间的夹角均为120o ，且|1ka b c ++>｜，则实数k 的取值范围是8.设向量),1,2(),2cos ,1(==b a θ)1,sin 21(),1,sin 4(θθ==d c ，其中)4,0(πθ∈.（1）求d c b a ⋅-⋅的取值范围；（2）若函数)()(|,1|)(d c f b a f x x f ⋅⋅-=与比较的大小9.已知m R ∈, 2 (1, )a x m =-+，1 (1, )b m x =+， (, )x c m x m=-+.（Ⅰ）当1m =-时，求使不等式 1a c ⋅<成立的x 的取值范围； （Ⅱ）求使不等式 0a b ⋅>成立的x 的取值范围.10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(1,2)a =-，又点(8,0),(,),(sin ,)(0)2A B n t C k t πθθ≤≤(1)若,AB a ⊥且||5||AB OA =，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当4>时，且sin t θ取最大值为4时，求OA OC • 解:一、考题选析：例1、已知向量(2,3),(3,)a b λ=-=，若//a b ，则λ等于( )A 、23 B 、2- C 、92- D 、23- 例2、设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是（ ） Ａ、[]16，-Ｂ、[48]，Ｃ、]1[，-∞ Ｄ、]61[，-例3、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A 、23B 、13C 、13-D 、23-例4、设平面向量321,,a a a 的和0321=++a a a 。
第二章平面向量及其应用（讲义+典型例题）（原卷版）
第二章平面向量及其应用（讲义+典型例题）一．平面向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0例1：（1）．如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是（）A．DA和BC B．DC和ABC．DC和BC D．DC和DA（2）．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA a=，OB b=，OC c=．在以A，B，C，D，E，F，O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：（1）与a相等的向量有哪些？（2）b的相反向量有哪些？（3）与c共线的向量有哪些？.举一反三1．下列说法正确的是（）A ．若a b =，则a b =±B ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量2．（多选）如图，在四边形ABCD 中，若AB DC =，则图中相等的向量是（ ）A ．AD 与BCB ．OB 与ODC ．AC 与BDD ．AO 与OC3．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝2，M ，N 分别为AD 和BC 的中点，以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点作向量，回答下列问题：(1)在模为1的向量中，相等的向量有多少对？ (2)2二.平面向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差三角形法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb例2：①．如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA a = ，OB b = ，则BC 可以表示为（ ）A ．a b +B ．a b -C ．b a -D ．a b --②．如图，已知下列各组向量a ，b ，求作a b +．③．在ABC 中，已知AB b =，AC c =，求作： (1)2b ； (2)()2b c -；(3)32b c -．④．化简： (1)AB BC DC +-；(2)AB BC DC DE EA +-++； (3)()OA O BC B --． 举一反三1．5()3(2)a b a b ---= ___________.2．如图，已知M ，N 分别是四边形ABCD 的边AB ，CD 的中点，求证：()12MN AD BC =+．3．如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设AB ＝a ，DA ＝b ，OC ＝c ．证明：b c a +-＝OA ．4．（1）设O 是正五边形ABCDE 的中心，求OA OB OC OD OE ++++； （2）设O 是正n 边形12n A A A 的中心，求12n OA OA OA +++．5．如图，已知a ，b 为两个非零向量．(1)求作向量a b +及a b -；(2)向量a ，b 成什么位置关系时，a b a b +=-？（不要求证明）三.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa .例3（1）如图，OA ，OB 不共线，且()AP t AB t =∈R ，用OA ，OB 表示OP ．(2)已知任意两个非零向量a ，b ，若23OA a b =+，22OB a b =+，25OC a b =+，你能判断A ，B ，C 三点之间的位置关系吗？为什么？ 举一反三1．在ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若13CD CA CB λ=+，则λ等于（ ）A ．13B ．23C ．12D ．342．设1e 与2e 是不共线的非零向量，若12ke e +与12e ke +共线且方向相反，则k 的值是（ ） A ．1- B ．1C ．±1D ．任意不为零的实数3．已知1e 与2e 不共线，12AB e e =+，1228BC e e =+，()123CD e e =-．求证：A ，B ，D 三点共线．四．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．例4（1）．等腰直角三角形ABC 中，90A ︒=，,AB AC D =是斜边BC 上一点，且3BD DC =，则AD =（ ）A ．3544AC AB +B ．3144AC AB +C ．5144AC AB +D ．3144AC AB -（2）（多选）．在ABC 中，边BC 上的中线与边AC 上的中线的交点为E ，若CE AB AC λμ=+，则2λμ+=______．举一反三1．在平面四边形ABCD 中，已知ABC 的面积是ACD △的面积的2倍.若存在正实数,x y 使得1141AC AB AD x y ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则2x y +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．（多选）如图，在等腰梯形ABCD 中，222AB AD CD BC ===，E 是BC 的中点，连接AE ，BD 相交于点F ，连接CF ，则下列说法正确的是（ ）A ．3142AE AB AD →→→=+ B ．3255AF AB AD →→→=+ C ．1255BF AB AD →→→=-+D ．13105CF AB AD →→→=-五．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 6．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.例5（1）已知向量(1,4)a =-，(2,3)b =，则2a b -的坐标为（ ） A ．(－3，－10) B ．(－3，－2) C ．(－3，2)D ．(3，－10)（2）．已知向量1(1,)2a =-，(2,)b m =-，若a 与b 共线，则||b =（ ）A ．3B ．5C ．6D ．22（3）．已知向量a ，b 满足()1,2a λ=+，()1,b λ=，//a b ，则实数λ的值为______． 举一反三1．已知向量()3,4a =-，2AB a =，点A 的坐标为()3,4-，则点B 的坐标为______． 2．若(1,1),(1,2)a b ==-，则与a b +同方向的单位向量是_______. 3．已知点A （1，2），B （4，5），O （0，0）及OP mOA AB =+． (1)当m 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第四象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的m 的值；若不能，说明为什么．六．平面向量的数量积1，概念：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是 a·b ＝0，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是 a·b ＝±|a||b|.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ； (2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a·b ＝0； (3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|，a·a ＝|a |2，|a |＝a·a ； (4)cos θ＝a·b |a||b|； (5)|a·b |__≤__|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b ＝b·a (交换律)； (2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.例6：（1）．如图，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是（ ）A ．18B ．22C ．18-D ．22-（2）．已知,a b 是非零向量，且,a b 不共线，3,4a b ==，若向量a kb +与a kb -互相垂直，则实数k 的值为（ ） A ．2± B ．12±C ．43±D ．34±3．已知平面向量a ，b 满足()1,2a =，10b =，522a b ⋅=，则cos a b ⋅=______.举一反三1．设两向量12,e e 满足12122,1,,e e e e ==的夹角为60︒，12122,2=+=+a e e b e e ，则a 在b 上的投影为（ ） A 53B 521C 57D 522．（多选）已知在△ABC 中，2AB =，2AB AM =，2CM CN =，若0AN BC ⋅=，则（ ）A ．23AB AC AN += B ．()2AB ACCM -C ．AB AC ⊥D ．45ACM ∠=︒3．已知向量()3,2a =-，()1,0b =，向量()()2a b a b λ+⊥-，则向量()()a b a kb λ-+时实数k的值为______.4．已知向量()2,3a =，()3,1b =，若()a ab λ⊥+，则λ的值为___________.七．向量在平面几何中的应用 用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 所用知识 公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， 其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) 垂直问题 数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a ，b 为非零向量夹角问题 数量积的定义 cos θ＝a ·b|a |·|b |(θ为向量a ，b 的夹角)长度问题 数量积的定义|a |＝a 2＝x 2＋y 2，其中a ＝(x ，y )例7：①．已知2a =，4b =，a 与b 的夹角为60︒.（1）计算()a ab ⋅+的值；（2）若()0a a kb ⋅-=，求实数k 的值.②．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥. （1）求a 与b 的夹角；（2）若14a b +=，求b .③．已知2a =，3b =，在下列情况下，求()2()a b a b +-的值： （1）//a b ；（2）a b ⊥；（3）a 与b 的夹角为120°.举一反三1．已知向量(5,12)a =-，(3,4)b =-.（1）求a 与b 夹角θ的余弦值；（2）若向量a tb +与a b -垂直，求实数t 的值. 2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若()2,4AB =，()1,3AC =.（1）求cos DAB ∠的值；（2）求BD AD ⋅的值．3．已知向量2,1(),1,),3,1(b m a b n b a a k -==+=-=-. (1)若mn ，求k 的值；(2)当=2k 时，求m 与n 夹角的余弦值．八、正弦定理和余弦定理解三角形正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R C cB b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C ++===A +B +A B ．2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=；;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A =;sin sin c b C B =;sin sin c aC A = 5）化角为边： RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===二.三角形面积1.B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆三.余弦定理1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+=2.变形：bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=ab c b a C 2cos 222-+= 注意整体代入，如：21cos 222=⇒=-+B ac b c a利用余弦定理判断三角形形状：设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若，，所以为锐角②若为直角A a b c ⇔=+222 ③若， 所以为钝角，则是钝角三角形三角形中常见的结论三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；三角形三边关系：两边之和大于第三边：，，； 两边之差小于第三边：，，； 在同一个三角形中大边对大角：B A b a B A sin sin >⇔>⇔>4) 三角形内的诱导公式：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-)2sin()2cos()22cos()22sin()22tan(2tan C C C C C B A =--=-=+πππ7) 三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点外心——三角形三边垂直平分线相交于一点内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点例9：1．在ABC 中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，已知2a =，3b =．角60B =，求角C ．2．已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2AB AD ==，60A ∠=︒，5BC =，求CD 的长3．△ABC 中，a ＝7，c ＝3，且sin sin C B ＝35． （1）求b ；（2）求∠A ．4．已知b ，a ，c 是ABC 中B ，A ，C 的对边，且B ，A ，C 成等差数列. （1）求A ；（2）若2b =，6c =，求ABC 的面积.5．已知b ，a ，c 是ABC 中B ，A ，C 的对边，且B ，A ，C 成等差数列. （1）求A ；（2）若2b =，6c =，求ABC 的面积.举一反三1．若ABC 的面积为22,1,6b c ==，且A ∠为锐角. (1) 求cos A 的值；(2) 求sin 2sin A C的值. 2．在ABC ∆中，32b =，6cos 3A =，2B A π=+． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求cos 2C 的值．3．在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A．B．C 的对边，且()2cos cos a c B b C -=. （1）求角B 的大小；（2）若7b =，8a c +=，求ABC 的面积.4．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且22(2)(2)a b c b c b c =-+-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2cos b c A =，试判断ABC 的形状5．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足1cos 2a b c B +=⋅. （1）求角C ;（2）若2,3a b ==，求ABC 外接圆的半径.6．在ABC中，已知12 tan5A .（1）若ABC外接圆的直径长为132，求BC的值；（2）若ABC为锐角三角形，其面积为6，求BC的取值范围．。
2023年新高考数学大一轮复习专题21 平面向量的概念、线性运算及坐标表示(解析版)
专题21平面向量的概念、线性运算及坐标表示【考点预测】 一．向量的有关概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．（2）向量的模：向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度，记作||AB ． （3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 二．向量的线性运算和向量共线定理 （1）向量的线性运算①交换律b b a =+②结合律 )a b c ++=(a b c ++a 与b 的相反向量b -的和的运算叫做a b 的差 ()a b a b -=+-求实数λ与a 的积的运算（|||||a a λ=（0λ>时，a λ与a 的方向相同；当λ<a λ与a 的方向相同；时，0a λ=()()a a λμλμ=)a a a λμλμ+=+（1）向量表达式中的零向量写成0，而不能写成0．（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OA OB BA -=，AM AN NM -=，+OA OB CA OA OB CA BA CA BA AC BC =⇔-=⇔-=+=．三．平面向量基本定理和性质 1．共线向量基本定理如果()a b R λλ=∈，则//a b ；反之，如果//a b 且0b ≠，则一定存在唯一的实数λ，使a b λ=．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．2．平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a ，都存在唯一的一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+，我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{}12,e e ，1122e eλλ+叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量1e 与2e 不共线，平面内的任一向量a 都可以分解成形如1122a e e λλ=+的形式，并且这样的分解是唯一的．1122e e λλ+叫做1e ，2e 的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．推论1：若11223142a e e e e λλλλ=+=+，则1324,λλλλ==． 推论2：若11220a e e λλ=+=，则120λλ==． 3.线段定比分点的向量表达式如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 上的点，且BD DC λ=（1λ≠-），则向量1AB ACAD λλ+=+．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．4.三点共线定理平面内三点A ，B ，C 共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OC OA OB λμ=+，其中1λμ+=，O 为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．A 、B 、C 三点共线⇔存在唯一的实数λ，使得AC AB λ=； ⇔存在唯一的实数λ，使得OC OA AB λ=+；⇔存在唯一的实数λ，使得(1)OC OA OB λλ=-+； ⇔存在1λμ+=，使得OC OA OB λμ=+．5.中线向量定理如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 的中点，则中线向量1(2AD AB =+)AC ，反之亦正确．四．平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示．在平面直角坐标中，分别取与x 轴，y 轴正半轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数,x y 使a xi yj =+，我们把有序实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =．（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量(,)x y 一一对应向量OA一一对应点(,)A x y ．（3）设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．若(,)a x y =，λ为实数，则(,)a x y λλλ=，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．（4）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB OB OA =-=12(,x x -12)y y -，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．五．平面向量的直角坐标运算①已知点11()A x y ，，22()B x y ，，则2121()AB x x y y =--，，||(AB x = ②已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b ±1212()x x y y =±±，，11(,)a x y λλλ=， =a b ⋅1212x x y y +，21||a x y =+．a b ∥⇔12210x y x y -=，a b ⊥⇔12120x x y y +=【方法技巧与总结】（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．即122311n n n A A A A A A A A -+++=．（2）||||||||||||a b b a a b -≤±≤+，当且仅当,b a 至少有一个为0时，向量不等式的等号成立．（3）特别地：||||||||b b a a -≤±或||||||a a b b ±≤+当且仅当,b a 至少有一个为0时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．（4）减法公式：AB AC CB -=，常用于向量式的化简．（5）A 、P 、B 三点共线⇔(1)OP t OA tOB =-+()t R ∈，这是直线的向量式方程．【题型归纳目录】题型一：平面向量的基本概念 题型二：平面向量的线性表示 题型三：向量共线的运用 题型四：平面向量基本定理及应用 题型五：平面向量的直角坐标运算【典例例题】题型一：平面向量的基本概念例1．（2022·全国·高三专题练习）已知平面四边形ABCD 满足AB DC =，则四边形ABCD 是（ ） A ．正方形 B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量相等的概念，即可证明AB DC =，且//AB DC ，由此即可得结论. 【详解】在四边形ABCD 中， AB DC =，所以AB DC =，且//AB DC ， 所以四边形ABCD 为平行四边形． 故选：B例2．（2022·全国·高三专题练习）给出如下命题： ①向量AB 的长度与向量BA 的长度相等； ②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB 与向量CD 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上． 其中正确的命题个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】 【分析】根据向量的基本概念，对每一个命题进行分析与判断，找出正确的命题即可． 【详解】对于①，向量AB 与向量BA ，长度相等，方向相反，故①正确；对于②，向量a 与b 平行时，a 或b 为零向量时，不满足条件，故②错误； 对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确； 对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；对于⑤，向量AB 与CD 是共线向量，点A ，B ，C ，D 不一定在同一条直线上，故⑤错误． 综上，正确的命题是①③． 故选：B ．例3．（2022·全国·高三专题练习）下列说法：①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；②若向量AB →，CD →满足AB CD →→>，且AB →与CD →同向，则AB CD →→>；③若两个非零向量AB →与CD →满足0AB CD →→→+=，则AB →，CD →为相反向量； ④AB CD →→=的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合. 其中错误的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】 【分析】①错误. 两个空间向量相等，但与起点和终点的位置无关；②错误. 向量不能比较大小；③正确. AB →，CD →为相反向量；④错误. A 与C ，B 与D 不一定重合.【详解】①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关. ②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.③正确. 0AB CD →→→+=，得AB CD →→=-，且AB →，CD →为非零向量，所以AB →，CD →为相反向量.④错误. 由AB CD →→=，知AB CD →→=，且AB →与CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合.故选：C 【点睛】易错点睛：向量是一个既有大小，又有方向的矢量，考虑向量的问题时，一定要注意这一点.例4．（2022·江苏江苏·一模）平面内三个单位向量a ，b ，c 满足230a b c ++=，则（ ） A ．a ，b 方向相同 B ．a ，c 方向相同 C ．b ，c 方向相同 D ．a ，b ，c 两两互不共线【答案】A 【解析】 【分析】根据230a b c ++=，得32c a b =--，两边利用单位向量的平方等于1，即可求出a,b 0<>=，解得a ，b 方向相同.【详解】因为230a b c ++=， 所以32c a b =--， 所以22(3)(2)c a b =--， 所以222944?c a b a b =++， 所以9144cos ,a b a b =++<>， 所以4411cos ,a b =⨯⨯<>， 所以cos ,1a b <>= 所以a,b 0<>=， 所以a ，b 方向相同， 故选：A.例5．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知向量()4,3a =，则与向量a 垂直的单位向量的坐标为（ ） A ．43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭或43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】先写出与之垂直的一个向量，然后再求得与此垂直向量平行的单位向量即得． 【详解】易知(3,4)b =-是与a 垂直的向量，5b =，所以与b 平行的单位向量为134(,)555b =-或134(,)555b -=-，故选：D ．例6．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（ ） A ．若a b =，则32a b > B ．0BC BA DC AD ---=C ．若向量,a b 是非零向量，则a b a b a +=+⇔与b 方向相同D ．向量a 与()0b b ≠共线的充要条件是：存在唯一的实数λ，使λa b 【答案】CD 【解析】 【分析】利用向量的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】向量不等比较大小，故A 选项错误.向量加法、减法的结果仍为向量，故B 选项错误. a b a b a +=+⇔与b 方向相同，C 选项正确.根据向量共线的知识可知D 选项正确. 故选：CD例7．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列有关四边形ABCD 的形状，判断正确的有（ ） A ．若AD BC =，则四边形ABCD 为平行四边形 B ．若13AD BC =，则四边形ABCD 为梯形C ．若AB AD AB AD +=-，则四边形ABCD 为菱形 D ．若AB DC =，且AC BD ⊥，则四边形ABCD 为正方形 【答案】AB 【解析】 【分析】依据平行四边形判定定理判断选项A ；依据梯形判定定理判断选项B ；依据菱形判定定理判断选项C ；依据正方形判定定理判断选项D.【详解】选项A ：若AD BC =，则//AD BC ，=AD BC ，则四边形ABCD 为平行四边形.判断正确； 选项B ：若13AD BC =，则//AD BC ，AD BC ≠，则四边形ABCD 为梯形. 判断正确；选项C ：若AB AD AB AD +=-，则2240AB AD AB AD AB AD -=+⋅=-，则AB AD ⊥，即90BAD ∠=.仅由90BAD ∠=不能判定四边形ABCD 为菱形.判断错误；选项D ：若AB DC =，则//AB DC ，=AB DC ，则四边形ABCD 为平行四边形， 又由AC BD ⊥，可得对角线AC BD ⊥，则平行四边形ABCD 为菱形. 判断错误. 故选：AB例8．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）下列说法错误的是（ ） A ．若a b =，则a b =或a b =- B ．若ma mb =，m R ∈，则a b = C ．若//a b ， //c b ，则//a cD ．若0ma =，m R ∈，则0m =或0a = 【答案】ABCD 【解析】 【分析】对于A ，模长相等的两个向量方向任意，不一定平行；对于B ，两个向量相等要求向量方向相同且模长相等，当0m =时，无法推出这两点，故B 不正确；对于C ，当0b =时，选项不正确；对于D ，00ma m =⇒=或0a =，即可得到D 错误.【详解】对于A ，若a b =，则两个向量的方向可以是任意的，不一定是平行的，故A 不正确； 对于B ，两个向量相等要求向量方向相同且模长相等，当0m =时，满足0ma mb ==， a 和b 的方向可以是任意的，且两者的模长也不一定相同，故B 不正确；对于C ，若//a b ， //c b ，当0b =时，满足//a b ， //c b ，但是不满足//a c ，故C 错误； 对于D ，00ma m =⇒=或者||0a =，即0m =或0a =，故D 错误； 故选：ABCD.【方法技巧与总结】准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键.共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量.共线向量或相等向量均与向量起点无关.题型二：平面向量的线性表示例9．（2022·山东潍坊·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，,M N 分别是,AD CD 的中点，BM a =，BN b =，则BD =（ ）A ．3243a b +B ．2233ab C ．2334a b +D ．3344a b +【答案】B【解析】 【分析】设,AB m AD n ==，根据向量的线性运算，得到11()()22BD x y n x y m =+--，结合BD n m =-，列出方程组，求得,x y 的值，即可求解.【详解】如图所示，设,AB m AD n ==，且BD xa yb =+，则1111()()()()2222BD xa yb x n m y n m x y n x y m =+=⋅-+⋅-=+--，又因为BD n m =-，所以112112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22,33x y ==，所以2233BD a b =+.故选：B.例10．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2EO AE =，则EB （ ）A ．1566AB AD - B．1566AB AD +C ．5166AB AD -D ．5166AB AD +【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得； 【详解】解：因为2EO AE =，所以()111366AE AO AC AB AD ===+， 所以()151666EB AB AE AB AB AD AB AD =-=-+=-. 故选：C.例11．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））如图，ABCD 中，AB a =，AD b =，点E 是AC 的三等分点13⎛⎫=⎪⎝⎭EC AC ，则DE =（ ）A ．1233a b -B ．2133a b -C ．1233a b +D ．2133ab 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可. 【详解】 2221()3333DE AE AD AC AD AB AD AD a b =-=-=⋅+-=- 故选：B.例12．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））在平行四边形ABCD 中，2233AE AB CF CD ==，，G 为EF 的中点，则DG =（ ）A ．1122AD AB -B ．1122AB AD -C ．3142AD AB -D ．3142AB AD -【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和平面向量的线性运算即可得出结果. 【详解】 ()1111112111·2222323622DG DE DF DA AE DC AD AB AB AB AD ⎛⎫=+=++=-++=- ⎪⎝⎭．故选：B.例13．（2022·湖南师大附中三模）艺术家们常用正多边形来设计漂亮的图案，我国国旗上五颗耀眼的正五角星就是源于正五边形，正五角星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接，并去掉正五边形的边后得到的图形，它的中心就是这个正五边形的中心.如图，设O 是正五边形ABCDE 的中心，则下列关系错误的是（ ）A ．AD DB OB OA +=-B ．0AO BE ⋅=C ．3AC AD AO +=D ．AO AD BO BD ⋅=⋅【答案】C【解析】【分析】由平面向量的运算对选项逐一判断【详解】对于A ，,AD DB AB OB OA AB +=-=，故A 正确，对于B ：因为AB AE =，OB OE =，所以AO BE ⊥，故B 正确，对于C ：由题意O 是ACD △的外心，不是ACD △的重心设CD 中点为M ，则2||=||||||||cos36||2cos 18AM AO OM AO AO AO +=+︒=⋅︒，24cos 18AC AD AO +=︒，故C 错误， 对于D ：2211||||22AO AD AD BD BO BD ⋅===⋅，故D 正确． 故选：C 例14．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点,,O G H 分别为任意ABC 的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）A ．12OG OH =B ．23OH GH =C ．23AO AH AG +=D ．23BO BH BG += 【答案】D【解析】【分析】根据三点共线和长度关系可知AB 正误；利用向量的线性运算可表示出,AG BG ，知CD 正误.【详解】,,O G H 依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，12OG GH ∴=，13OG OH ∴=，32OH GH =，A 错误，B 错误； ()112333AO AH AG AO OG AO OH AO AH AO +=+=+=+-=，C 错误； ()112333BO BH BG BO OG BO OH BO BH BO +=+=+=+-=，D 正确. 故选：D.例15．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，设CB a =，CD b =，E 为AD 的中点，CE 与BD 交于F ，则AF =（ ）A ．23a b +-B ．23a b +-C ．23a b --D ．23a b -- 【答案】B【解析】【分析】 根据题意得()13AF AC AD =+，再分析求解即可. 【详解】如下图所示，连接AC 与BD 交于O ，则O 为AC 的中点，因为E 为AD 的中点，所以F 为三角形ACD 的重心，所以()()112333a b AF AC AD a b a +=+=---=-. 故选：B.例16．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））ABC 中，E 是边BC 上靠近B 的三等分点，则向量AE =（ ）A ．1133AB AC + B ．1233AB AC + C ．2133AB AC + D ．2233AB AC + 【答案】C【解析】【分析】利用向量的三角形法则以及线性运算法则进行运算，即可得出结论.【详解】解：因为点E 是BC 边上靠近B 的三等分点，所以13BE BC =， 所以1121()3333AE AB BE AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+； 故选：C.例17．（多选题）（2022·山东·烟台二中模拟预测）中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成．已知当2AB =时，1BD =，则下列结论正确的为（ ）A ．DE DH =B ．0AF BJ ⋅=C ．51AH AB +=D ．CB CD JC JH +=- 【答案】AB【分析】连接DH ，AF ，CH ，BH ，利用五角星的结构特征逐项分析判断作答.【详解】对于A ，连接DH ，如图，由DF =FH ，108DFH ∠=得：36DHF E ∠==∠，DE DH =，A 正确；对于B ，连接AF ，由,AD AH FD FH ==得：AF 垂直平分DH ，而//BJ DH ，即AF BJ ⊥，则0AF BJ ⋅=，B 正确； 对于C ，AH 与AB 不共线，C 不正确；对于D ，连接CH ，BH ，由选项A 知，DH DE BC ==，而//BC DH ，则四边形BCDH 是平行四边形， CB CD CH JH JC +==-，D 不正确.故选：AB【方法技巧与总结】（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题．（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．题型三：向量共线的运用例18．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a a b b=成立的充分条件是（ ）A ．a b =且a b ∥B ．a b =-C ．a b ∥D ．2a b = 【答案】D【解析】根据充分条件的定义以及平面向量的有关概念即可解出．【详解】对于A ，当a b =且a b ∥时，a a b b =或a b a b =-，A 错误； 对于B ，当a b =-时，a b a b =-，B 错误； 对于C ，当a b ∥时，a ab b =或a b a b =-，C 错误； 对于D ，当2a b =时，a a b b =，D 正确．故选：D ． 例19．（2022·四川绵阳·二模（理））已知平面向量a ，b 不共线，46AB a b =+，3BC a b =-+，3CD a b =+，则（ ）A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线【答案】D【解析】 【分析】根据给定条件逐项计算对应三点确定的某两个向量，再判断是否共线作答.【详解】平面向量a ，b 不共线，46AB a b =+，3BC a b =-+，3CD a b =+，对于A ，3(3)6BD BC CD a b a b b =+=-+++=，与AB 不共线，A 不正确；对于B ，因46AB a b =+，3BC a b =-+，则AB 与BC 不共线，B 不正确；对于C ，因3BC a b =-+，3CD a b =+，则BC 与CD 不共线，C 不正确；对于D ，46(3)393AC AB BC a b a b a b CD =+=++-+=+=，即//AC CD ，又线段AC 与CD 有公共点C ，则A ，C ，D 三点共线，D 正确.故选：D 例20．（2022·全国·高三专题练习）已知1e ，2e 是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ）①15a e =，17b e =；②121123a e e =-，1232b e e =-； ③12a e e =+，1233b e e =-．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【解析】【分析】 根据平面向量共线定理得到，对于①57a b =，故两向量共线；对于②16a b =，故两向量共线；对于③不存在实数λ满足λa b ，故不共线.【详解】对于①15a e =，17b e =，57a b =，故两向量共线； 对于②121123a e e =-，1232b e e =-，16a b =，故两向量共线； 对于③12a e e =+，1233b e e =-，假设存在,a b λλ=⇒()121233e e e e λ=-+()()123131e e λλ⇒-=+，因为1e ，2e 是不共线向量，故得到3131λλ-=+无解.故选：A.例21．（2022·内蒙古·包钢一中一模（文））已知向量1e ，2e 是两个不共线的向量，122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ=（ ）A ．2B ．2-C ．12-D ．12 【答案】C【解析】【分析】根据向量共线的充要条件建立方程直接求解. 【详解】因为122a e e =-与12b e e λ=+共线，所以ka b =，0k ≠，所以12121212()22=k k e e e e e e e e k λλ-+⇒-=+， 因为向量1e ，2e 是两个不共线的向量，所以21k k λ=⎧⎨-=⎩，解得12λ=-， 故选：C ．例22．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））如图，在ABC 中，M ，N 分别是线段AB ，AC 上的点，且23AM AB =，13AN AC =，D ，E 是线段BC 上的两个动点，且(,)AD AE x AM y AN x y +=+∈R ，则12x y+的的最小值是（ ）A ．4B ．43C ．94D ．2【答案】B【解析】【分析】 根据平面向量共线定理可设AD mAB nAC =+，1m n +=，AE AB AC λμ=+，1λμ+=，再结合AD AE x AM y AN +=+得26x y +=，最后运用基本不等式可求解.【详解】设AD mAB nAC =+，1m n +=，AE AB AC λμ=+，1λμ+=，则AD AE mAB nAC AB AC λμ+=+++=3()()()3()2m AB n AC m AM n AN λμλμ+++=+++x AM y AN =+，3()2m x λ+=，3()n y m μλ+=⇒+=23x ，13n y μ+=，21222633m n x y x y λμ+++=⇒+=⇒+=.所以12112(2)6x y x y x y ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭14142222663y x x y ⎛⎛⎫+++≥++= ⎪ ⎝⎭⎝， 当且仅当32x =，3y =时等号成立. 所以12x y +的的最小值是43. 故选：B例23．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若()20,0AF xAB yAC x y =+>>，则12x y +的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．4D ．2【答案】A【解析】【分析】 根据向量共线定理得推论得到21x y +=，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】因为点F 为线段BC 上任一点（不含端点），所以21x y +=，故()12122221459y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当22y x x y =，即13x y ==时等号成立， 故选：A例24．（2022·山东泰安·模拟预测）已知向量m ，n 不共线，向量53OA m n =-，OB xm n =+，若O ，A ，B 三点共线，则x =（ ）A ．53-B ．53C ．35D ．35【答案】A【解析】【分析】根据O ，A ，B 三点共线，则OA OB ∥，R λ∃∈，OB OA λ=，代入整理．【详解】因为O ，A ，B 三点共线，则OA OB ∥所以R λ∃∈，OB OA λ=，即()53xm n m n λ+=-整理得：()()531x m n λλ-=+ 又∵向量m ，n 不共线，则5310x λλ-=+=，则53x =- 故选：A ．例25．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知向量a ，b ，且2AB a b =+，BC 56a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）A ．A ，B ，DB ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D【答案】A【解析】【分析】 由已知，分别表示出选项对应的向量，然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解.【详解】因为2AB a b =+，BC 56a b =-+，72CD a b =-，选项A ，2AB a b =+，(56)(72)24B a b D B D b C a C b a ++-+==-+=，若A ，B ，D 三点共线，则AB BD λ=，即2(24)a b a b λ+=+，解得12λ=，故该选项正确；选项B ，2AB a b =+，BC 56a b =-+，若A ，B ，C 三点共线，则AB BC λ=，即2(56)a b a b λ+=-+，解得λ不存在，故该选项错误；选项C ，BC 56a b =-+，72CD a b =-，若B ，C ，D 三点共线，则BC BD λ=，即56(72)a b a b λ-+=-，解得λ不存在，故该选项错误；选项D ，(2)(56)48a b a A b AB BC a b C ++=+=+-=-+，72CD a b =-，若A ，C ，D 三点共线，则AC CD λ=，即48(72)a b a b λ-+=-，解得λ不存在，故该选项错误；故选：A.例26．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：①若||||a b =，则a b =；②若A B C D 、、、是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a b =，b c =，则a c =；④a b =的充要条件是||a ||b =且//a b ；⑤若//a b ，//b c ，则//a c ．其中正确命题的序号是________ ．【答案】②③##③②【解析】【分析】根据向量相等的概念及向量共线的概念即可判断.【详解】对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；对于②，因为A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB DC = 等价于//AB DC 且AB DC =，即等价于四边形ABCD 为平行四边形，故②正确；对于③，若a b =,b c =，则a c =，显然正确，故③正确；对于④，由a b =可以推出||||a b =且//a b ，但是由||||a b =且//a b 可能推出a b =-，故“||||a b =且//a b ”是“a b =”的必要不充分条件，故④不正确，对于⑤，当0b =时，//a b ，//b c ，但推不出//a c ，故⑤不正确.故答案为：②③例27．（2022·全国·高三专题练习）如图，在ABC 中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB AC ，所在的直线分别交于点M N ，若AM AB λ=，,(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为__________．【答案】1+【解析】【分析】 先利用条件找到12133λμ+=，则12()33λμλμλμ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】 BP BA AP =+，PC PA AC =+，又2BP PC =， ∴()2AB AP AC AP -+=-， ∴12123333AP AB AC AM AN λμ=+=+， 又P 、M 、N 三点共线， ∴12133λμ+=，∴12122()113333333μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当233μλλμ=，即λμ=∴λμ+的最小值为1故答案为：1例28．（2022·全国·高三专题练习）已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，求11x y+的值为________． 【答案】3【解析】【分析】以,AN AM 为基底，由G 是ABC ∆的重心和M ，G ，N 三点共线，可得11=133x y+，即求. 【详解】 根据条件：11,==AC AN AB AM y x，如图设D 为BC 的中点，则1122AD AB AC =+ 因为G 是ABC ∆的重心，211333AG AD AB AC ==+， 1133AG AM AN x y∴=+， 又M ，G ，N 三点共线，11=133x y ∴+，即113x y+=. 故答案为：3.例29．（2022·全国·高三专题练习）如图，ABC 中点,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE xAB y AC +=+，则9x yxy+的最小值为______．【答案】8 【解析】 【分析】设AD mAB nAC =+，AE AB AC λμ=+，由B ，D ，E ，C 共线可得2x y +=， 再利用乘“1”法求解最值. 【详解】设AD mAB nAC =+，AE AB AC λμ=+，B ，D ，E ，C 共线，1m n ∴+=，1λμ+=．AD AE xAB y AC +=+，则2x y +=，点D ，E 是线段BC 上两个动点，0x ∴>，0y >． ∴991191191()()(10)(10)8222x y y x y xx y xy x y x y x y x y+=+=++=+++= 则9x yxy+的最小值为8． 故答案为：8． 【点睛】由向量共线定理的推论得到2x y +=是解题关键，乘“1”法求解最值是基本不等式求最值的常用方法.. 例30．（2022·全国·高三专题练习）已知向量1223a e e =-，1223b e e =+，其中1e ，2e 不共线，向量1229c e e =-，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d a b λμ=+与c 共线？【答案】存在 【解析】 【分析】由已知得12(22)(33)d e e λμλμ=++-+，所以要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d kc =，即()1212(22)(33)29e e k e e λμλμ++-+=-，从而得222339k k λμλμ+=⎧⎨-+=-⎩，进而可求得结果【详解】因为向量1223a e e =-，1223b e e =+， 所以1212(23)(23)d a b e e e e λμλμ=+=-++12(22)(33)e e λμλμ=++-+要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d kc =， 即()1212(22)(33)29e e k e e λμλμ++-+=-，即222339kkλμλμ+=⎧⎨-+=-⎩得2λμ=-. 故存在这样的实数λ，μ，只要2λμ=-，就能使d 与c 共线.【方法技巧与总结】要证明A ，B ，C 三点共线，只需证明AB 与BC 共线，即证AB =λBC （R λ∈）.若已知A ，B ，C 三点共线，则必有AB 与BC 共线，从而存在实数λ，使得AB =λBC .题型四：平面向量基本定理及应用例31．（2022·重庆八中模拟预测）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2CF FD =，DE 与BF 相交于O ．若2AD =，(32)7AO AD AB ⋅-=-，则AB 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】先以AB AD 、为基底表示AO ，再利用向量的数量积把(32)7AO AD AB ⋅-=-转化为关于AB 的方程，即可求得AB 的长【详解】在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2CF FD =，DE 与BF 相交于O ． 设(01)DO DE λλ=<<， (01)BO BF μμ=<<则11++122AD DO AD DE AD AB AD AD AB λλλλ⎛⎫⎛⎫+==-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22(1)33AB BO AB BF AB AD AB AB AD μμμμ⎛⎫+=+=+-=-+ ⎪⎝⎭由AO AD DO AB BO =+=+，可得2(1)3AB AD μμ-+112AD AB λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭则112213λμμλ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解之得1234λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则3142AO AD DO AD AB =+=+则22(32)(33194242)7AO AD AB AD AB AD A AD AB B ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⋅-=⎭-=-又2AD =，则279AB -=-，解之得4AB ，即AB 的长为4故选：C例32．（2022·全国·高三专题练习）在等边ABC 中，O 为重心，D 是OB 的中点，则AD =（ ） A ．AB AC + B．2132AB AC +C ．1124AB AC +D ．2136AB AC +【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算计算作答. 【详解】O 为ABC 的重心，延长AO 交BC 于E ，如图，E 为BC 中点，则有2211()()3323AO AE AB AC AB AC ==⋅+=+，而D 是OB 的中点， 所以111121()222636AD AB AO AB AB AC AB AC =+=++=+. 故选：D例33．（2022·河南郑州·三模（理））在ABC 中，D 是BC 上一点，2BD DC =，M 是线段AD 上一点，14BM tBA BC =+，则t =（ ）A ．12 B ．23C ．34 D ．58【答案】D 【解析】 【分析】 求得1233AD AB AC =+，设1233AM AD AB AC λλλ==+，其中01λ≤≤，利用平面向量的线性运算可得出3144AM AB BM t AB AC ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，根据平面向量的基本定理可得出关于λ、t 的方程组，即可解得t 的值.【详解】因为2BD DC =，则()2AD AB AC AD -=-，所以，1233AD AB AC =+， ()131444AM AB BM AB t AB AC AB t AB AC ⎛⎫=+=-+-=-+ ⎪⎝⎭， 因为M 是线段AD 上一点，设1233AM AD AB AC λλλ==+，其中01λ≤≤，所以，13342134t λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3858t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故选：D.例34．（2022·河南·模拟预测（理））如图，在ABCD 中，M 为BC 的中点，AC mAM nBD =+，则m ＋n ＝（ ）A ．1B ．43 C ．53D ．2【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算可求,m n 的值. 【详解】1122AM AB BC AB AD =+=+，而BD AD AB =-，故()12AC m AB AD n AD AB ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭()2m m n AB n AD ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，而AC AB AD =+且,AB AD 不共线，故4153{13123m n m m n m n n ⎧-==⎪⎪⇒⇒+=⎨+=⎪=⎪⎩， 故选：C.例35．（2022·河南商丘·三模（理））如图，在ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，且均为靠近B 的四等分点，CD 与AE 交于点F ，若BF xAB yAC =+，则3x y +=（ ）A ．1-B ．34-C ．12-D ．14-【答案】A 【解析】 【分析】由题意推出DE AC ∥，可得14DF DE FC AC ==，推出15DF DC =，根据向量的加减运算，用基底,AB AC 表示出BF ，和BF xAB yAC =+比较，可得,x y ，即得答案.【详解】 连结DE ，由题意可知，14BD BE BA BC ==， 所以DE AC ∥，则14DE BD AC BA ==， 所以14DF DE FC AC ==，所以14BD AB =-，34DC AC AD AC AB =-=-， 则1135520DF DC AC AB ==-， 故11321452055BF BD DF AB AC AB AB AC =+=-+-=-+， 又BF xAB yAC =+，所以25x =-，15y =，则31x y +=-，故选：A例36．（2022·山东济宁·三模）在边长为4的等边ABC 中，已知23AD AB =，点P 在线段CD 上，且12AP mAC AB =+，则AP =________.【解析】 【分析】根据题意得34AP mAC AD =+，求出14m =，所以1142AP AC AB =+，即21142AP AC AB ⎛⎫=+ ⎪，求解即可.【详解】 因为23AD AB =，所以32AB AD =，又12AP mAC AB =+，即1324AP mAC AB mAC AD =+=+，因为点P 在线段CD 上， 所以P ，C ，D 三点共线，由平面向量三点共线定理得，314m +=，即14m =，所以1142AP AC AB =+，又ABC 是边长为4的等边三角形， 所以222211111cos60421644AP AC AB AC AC AB AB ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭1111164416716424=⨯+⨯⨯⨯+⨯=，故7AP =例37．（2022·湖南·模拟预测）在三角形ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD DC =，AD AB ACλμ=+(),λμ∈R ，则λμ-=______．【答案】13-【解析】 【分析】由平面向量基本定理得到13λ=，23μ=，从而求出答案.【详解】由已知2BD DC =，得()2233BD BC AC AB ==-， 所以()212333A A C AB D AB BD AB A A BC -+===++， 因为(),AD AB AC λμλμ=+∈R ，所以13λ=，23μ=，所以121333λμ-=-=-．故答案为：13-【方法技巧与总结】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．（3）三点共线定理： A ，B ，P 三点共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OP OA OB λμ=+，其中1λμ+=，O 为AB 外一点.题型五：平面向量的直角坐标运算例38．（2022·江苏·高三专题练习）在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+。
平面向量概念
平面向量概念1. 概念定义平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。
它由两个有序实数对（x，y）表示，其中x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。
平面向量通常用小写字母加上一个箭头来表示，如→a。
2. 重要性平面向量是数学中的重要概念，具有广泛的应用。
它在几何、物理、工程等领域中起着重要作用。
2.1 几何应用平面向量可以用于描述平面上的点、直线、曲线等几何对象的位置、方向和形状。
通过向量的加法、减法、数乘等运算，可以得到平面上的向量和向量之间的关系，从而解决几何问题。
2.2 物理应用在物理学中，平面向量用于描述物体的位移、速度、加速度等物理量。
通过向量的运算，可以分析物体的运动规律，解决物理问题。
2.3 工程应用在工程领域中，平面向量可以用于描述力、力矩、电场强度等物理量。
通过向量的运算，可以分析结构的受力情况、电场的分布等问题，为工程设计和分析提供依据。
3. 平面向量的基本运算3.1 加法设有向量→a=(x1, y1)和→b=(x2, y2)，则向量→a+→b=(x1+x2, y1+y2)。
向量加法满足交换律和结合律。
3.2 减法设有向量→a=(x1, y1)和→b=(x2, y2)，则向量→a-→b=(x1-x2, y1-y2)。
减法可以看作加法的逆运算。
3.3 数乘设有向量→a=(x, y)和实数k，则k→a=(kx, ky)。
数乘改变向量的大小，但不改变其方向。
3.4 数量积设有向量→a=(x1, y1)和→b=(x2, y2)，则向量→a与向量→b的数量积为→a·→b=x1x2+y1y2。
数量积的结果是一个实数，表示两个向量的夹角的余弦值乘以两个向量的模的乘积。
3.5 向量积设有向量→a=(x1, y1)和→b=(x2, y2)，则向量→a与向量→b的向量积为→a×→b=x1y2-y1x2。
向量积的结果是一个向量，其大小表示两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形。
高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件
a＋b＝λLeabharlann a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴ λ－1＝0 1＋λ＝0
，λ 无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】 如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元 素个数为________．
错解：正方体共有12条棱，每条棱可以表示两个向量，一共有24个向量．答案是24. 错解分析：方向相同长度相等的向量是相等向量，故AA1―→＝BB1―→＝CC1―→ ＝ DD1―→ ， AB―→ ＝ DC―→ ＝ D1C1―→ ＝ A1B1―→ ， AD―→ ＝ BC―→ ＝ B1C1―→＝A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了． 正解：12条棱可以分为三组，共可组成6个不同的向量，答案是6. 答案：6
错解分析：错解一，忽视了 a≠0 这一条件．错解二，忽视了 0 与 0 的区别，AB―→＋
BC―→＋CA―→＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时
成立．
正解：∵向量 a 与 b 不共线，
∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使
∴|AM―→|＝12|AD―→|＝12|BC―→|＝2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部，且OA―→＋OB―→＋ 2OC―→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析：由 OC―→＝－12(OA―→＋OB―→)，设 D 为 AB 的中点， 则 OD―→＝12(OA―→＋OB―→)， ∴OD―→＝－OC―→，∴O 为 CD 的中点， ∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，∴SS△△AAOBCC＝4.故选 B.
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练习:
1.下列说法正确的是 ( B )
A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是0. C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量.
小结：
1.向量的概念: 既有大小又有方向的量
2.向量的表示:
1.有向线段 2.字母 3.有向线段起点和终点字母
3.零向量: 长度为零的向量
<>
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三、有关定义：
问题1： 长度为0的向量应该叫做什么向量？ 如何表示？它有方向吗？它与实数0的 意义相同吗？
答：应该叫做零向量,表示为 0.它方向是不 确定的,它与实数0的意义不同.
问题2：长度等于1个单位长度的向量应该叫 做什么向量？
答：应该叫做单位向量.
<>
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问题3：
如图，这组方向相同或相反的非零 向量之间，存在着什么关系？ a
4.单位向量: 长度为1个单位的向量
5.平行向量:
1.方向相同或相反的非零向量 2.零向量与任一向量平行
6.相等向量: 长度相等且方向相同的向量
7.共线向量: 平行向量就是共线向量
例3：在4 5达到方格中有一个向量AB,以图中 的格点为起点和终点作向量，其中与AB相等的 向量有多少个？与AB长度相等的共线向量有多少个？
（4）平行向量:方向相同或相反的非零向量 叫做平行向量.
规定:零向量与任一向量平行。
平行向量也叫共线向量 （5）相等向量：长度相等，方向相同的两个向量。
四、例题
例1：思考下列问题： 1、下列命题正确的是 （1）共线向量都相等 （2）单位向量都相等 （3）平行向量不一定是共线向量 （4）零向量与任一向量平行
答：相等； 平行； 不相等.
<>
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相等向量：长度相等且方向相同的向量。
若向量 a 与 b 相等，记作：a ＝ b。 规定：零向量与零向量相等。 注：两个向量相等与它们的位置无关。
问:单位向量是相等向量吗？它们大小相等吗？
答：不一定；相等。
<>
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三、相关概念
（1）向量AB大小称为向量的长度（也叫模），记为 AB （2）长度为0的向量叫零向量，记为0，它的方向是任意的。
Ⅱ头、表手示写，时如写成A带B箭头的小写字母，如：a
Ⅲ、印刷时用黑体小写字母表示，如：a
3）向量的大小：
就是向量的长度（或称模）
用有向线段的长度表示，如：|A与有向线段的区别：
由有向线段的三要素：“起点、方向、 长度”可知，有向线段的起点是确定的。 而由向量的定义可知，对于一个向量， 只要不改变它的大小和方向，是可以任 意平行移动的，与起点无关.
B（终点）
注意字母的顺序是：起点在前，终点在后.
有向线段AB的长度：|AB|
有向线段的三要素：起点、方向、长度.
<>
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2）向量的表示法：
yB
①几何表示法：用有向线段表示向量
有向线段的方向表示向量的方向
有向线段的长度表示向量的大小. 0
②字母表示：
a
A x
Ⅰ、用有向线段的起点和终点的大写字母加箭
<>
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例2：如图设o是正六边形ABCDEF的中心，
分别写出图中与向OA量、OB
（1）相等的向量； （2）共线的向量
解：
B
A
（1）OA CB DO C
OB DC EO
D
O
F
E
（2）OA、CB、DO、EF 为一组共线向量，
OB、DC、EO、AF 为一组共线向量，
<>
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分别写出图中与 和共线的向量。
答：平行关系.
b
c
平行向量：方向相同或相反的非零向量.
记作：a // b // c
因为零向量的方向不确定，所以规定零向量与 任一向量平行.
<>
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例1:在梯形中找到平行向量.
D
C
F
E
A
B
AB、DC、EF 是一组平行向量。
练习
<>
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问题4： AB 与 BA 这两个向量的长度相等吗？
想 这两个向量平行吗？ 一 想 这两个向量相等吗？ ？
（3）长度为1的向量叫单位向量。
思考：把所有单位向量的
起点集中于一点o，问它
o
们终点的轨迹是什么？
答：如图：轨迹是以o为圆 心，半径为1的圆。
我们知道：对于一个向量，只要不改
变它的大小和方向，是可以任意平行移动
的，与起点无关。这就是常说的：自由向 量。
任一组平行向量都可以移到同一直线上， 因此，平行向量也叫共线向量。
相等的向量
答： DE、EF、FD
A
与DE 相等的向量：BF、FA
与FD相等的向量：AE
F
E
与EF 相等的向量：DB B
D
C
与DE 共线的向量：BF、FA
与FD共线的向量：AE、CE
与EF 共线的向量：DB、DC
<>
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回顾与总结
一、向量的定义 既有大小又有方向的量叫做向量
二、向量的表示
1.几何表示:用有向线段表示 2.用小写字母表示 注意:印刷体与手写的区别 3.用表示向量的有向线段的起点和终点字母 表示
B
相等的有 7个
长度相等
A
的有15个
平面向量的概念
阅读提纲：
1）向量的定义
2）向量的表示方法
3）向量的有关概念 A、向量的模（向量的长度）
B、零向量 C、单位向量 D、平行向量 E、相等向量 F、共线向量
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新课
一、向量的定义：
向量是既有大小，又有方向的量.
<>
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二、向量的表示方法：
1）有向线段： 记作：AB A（起点）