第9章时间序列分析
9第九章 多维时间序列分析
DF检验假设了所检验的模型的随机扰动 项不存在自相关。对有自相关的模型， 需用ADF检验。 ADF检验：将DF检验的右边扩展为包含Yt 的滞后变量，其余同于DF检验。
构造统计量 查表、判断。
单位根检验： 单位根检验：ADF检验的方程式 检验的方程式
∆Yt= β0＋β1t＋δYt-1+αΣ ∆Yt-i + µt 其中i从1到m。 这一模型称为扩充的迪基－富勒检验。 因为ADF检验统计量和DF统计量有同样 的渐进分布，所以可以使用同样的临界 值。
模型形式
自回归条件异方差性模型 （Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model, ARCH） 简单形式
σt2 =α0 +α1εt2 1 −
即，εt的方差依赖于前一期误差的平方， 或者说，εt存在着以εt－1的变化信息为条件的 异方差。记成ARCH(1)
随机游走的比喻
一个醉汉的游走。醉汉离开酒吧后在时 刻t移动一个随机的距离ut，如果他无限 地继续游走下去，他将最终漂移到离酒 吧越来越远的地方。 股票的价格也是这样，今天的股价等于 昨天的股价加上一个随机冲击。
随机游走的表达式 Yt=ρYt-1+ µt (1) 等价于： Yt -Yt-1 =ρYt-1 -Yt-1 + µt 等价于： Yt -Yt-1 =(ρ-1)Yt-1 + µt 等价于： ∆Yt=δ Yt-1+ µt (2) “有单位根”＝“ρ=1”＝“δ=0”
1 Yt＝ 1 +(a11Yt−1 +⋯ 1mY −1) +⋯ (a11Yt−p +⋯ 1p Y −p ) +u1t c a1 mt + p1 a m mt 1 1
第九章时间序列数据的基本回归分析
第九章时间序列数据的基本回归分析时间序列数据是指按照时间顺序排列的一系列数据观测值。
在实际应用中，时间序列数据广泛存在于经济学、金融学、气象学等领域，对于了解数据的趋势、季节性等特征具有重要意义。
时间序列数据的基本回归分析是通过建立回归模型，来研究时间序列数据中因变量与自变量之间的关系。
时间序列数据的回归分析可以分为简单回归和多元回归。
其中，简单回归是指只含有一个自变量的回归模型，多元回归是指含有多个自变量的回归模型。
下面将分别介绍这两种回归模型及其应用。
简单回归模型简单回归模型是时间序列数据回归分析中最基础的模型，其形式为：Y_t=α+βX_t+ε_t其中，Y_t表示时间为t时的因变量观测值，X_t表示时间为t时的自变量观测值，α和β分别是回归方程的截距项和斜率项，ε_t是误差项。
简单回归模型常用于分析两个变量之间的关系，并通过计算斜率项β的值来判断两个变量之间的线性相关程度。
如果β的值为正，则表示两个变量之间呈正相关关系；如果β为负，则表示两个变量之间呈负相关关系。
同时，可以通过计算误差项ε_t的方差来评估模型的拟合优度。
多元回归模型当考虑到多个自变量对因变量的影响时，可以使用多元回归模型。
其形式为：Y_t=α+β_1X_1,t+β_2X_2,t+...+β_kX_k,t+ε_t其中，Y_t表示时间为t时的因变量观测值，X_1,t,X_2,t,...,X_k,t表示时间为t时的自变量观测值，α和β_1,β_2,...,β_k分别是回归方程的截距项和各自变量的斜率项，ε_t是误差项。
多元回归模型相较于简单回归模型更能够适用于分析多个自变量与因变量之间的复杂关系。
在建模过程中，可以通过检验回归系数的显著性水平，来判断自变量对因变量的影响是否显著。
此外，还可以通过判断方程残差的波动性来评估模型的拟合优度。
时间序列数据的回归分析在实际应用中具有重要意义。
例如，经济学中常使用时间序列数据回归分析来研究GDP与通货膨胀率之间的关系；金融学中，可以利用时间序列数据回归分析来研究股票收益率与市场因素之间的关系。
第9章 时间序列计量经济学模型的理论与方法-李子奈计量经济学课件
第九章时间序列计量经济学模型的理论与方法第一节 时间序列的平稳性及其检验第二节 随机时间序列模型的识别和估计第三节 协整分析与误差修正模型1§9.1 时间序列的平稳性及其检验一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型二、时间序列数据的平稳性三、平稳性的图示判断四、平稳性的单位根检验五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程2一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型3⒊ 数据非平稳，往往导致出现“虚假回归”问题表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性（有较高的R2)：例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
在现实经济生活中：情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为一致的上升或下降。
这样，仍然通过经典的因果关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。
7时间序列分析模型方法就是在这样的情况下，以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发展起来的全新的计量经济学方法论。
时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内容，并广泛应用于经济分析与预测当中。
8二、时间序列数据的平稳性9时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列数据的平稳性问题。
假定某个时间序列是由某一随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列{X t}（t=1, 2,t=1, 2, ……）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：1）均值E(X t)=µ是与时间t 无关的常数；2）方差Var(X t)=σ2是与时间t 无关的常数；3）协方差Cov(X t,X t+k)=γk是只与时期间隔k有关，与时间t 无关的常数；则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。
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第 9 章 时间序列分析
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确 选项的代码填入括号内）
1．已知时序模型
A．0 B．－1 C．－1/2 D．1 E．1/2 【答案】D
独立同分布服从 N（0,1），则 等于（ ）。[2011 年真题]
，其中 ， 是相互独立的标准正态分布随机
变量， 是实数。下列说法正确的是（ ）。
A．{Xt}是平稳的
B．{Xt}是非平稳的
C．{Xt}可能是非平稳的
D．{Xt}可能是平稳的
E．无法判断
【答案】A
6 / 70
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【解析】因为
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从而得 。
7．如果时间序列{Xt}为平稳时间序列，则下列说法中正确的是（ ）。
A．{Xt}的均值和方差均与时间有关
B．{Xt}具有常数均值，但方差不一定存在
C．{Xt}具有常数均值，自协方差函数
仅与时间间隔 t－s 有关
D．{Xt}具有常数均值，自协方差函数
也为常数
E．以上说法均不正确
【答案】C
【解析】对于平稳时间序列{Xt}，具有三个重要性质：①常数均值；②自协方差函数与
9．设时间序列 Xt 是由下面随机过程生成的：Xt=Zt＋ ，其中 为一均值为 0，方 差为 的白噪声序列，Zt 是一均值为 0，方差为 ，协方差恒为常数 a 的平稳时间序 列。 与 Zt 不相关。下列选项中不正确的是（ ）。
A．E（Xt）=0 B．Var（Xt）= C．Cov（Xt，Xt＋k）=a
所以{Xt，0≤t≤1}为平稳过程。
第09章 时间序列分析
循环变动（Cyclical Variation）
指时间序列中出现以若干年为周期、上升与下降交替出 现的循环往复运动。 与长期趋势不同，循环变动不是单一方向的持续变动， 而是有涨有落的交替波动； 与季节变动不同，循环变动的周期在一年以上，规律性 较低，一般研究其平均周期； 1 个周期 销售额
年份
Chap 09-21
不规则变动（Irregular Variation）
指时间序列由于偶然性因素的影响而表现出的 不规则波动。 时间序列中除去长期趋势、季节变动和循环变 动之后的偶然性波动
Chap 09-22
时间序列构成因素的组合模型
时间序列分析的任务之一就是对四种构成要素进行统计 测定和分析，揭示其变动的规律和特征，为认识和预测 事物的发展提供依据。 按照时间序列四类构成因素的影响方式不同，可以设定 为不同的组合模型，其中最常用的有乘法模型和加法模 型 乘法模型 t t t t t
Chap 09-12
时间序列的速度分析
XG
n
yn y0
n
R
n
X1 X 2 X n
n
X
总速度
环比发展速度
【例1】某产品外贸进出口量各年环比发展速度资料如下，1996年为
103.9%，1997年为100.9%，1998年为95.5%，1999年为101.6%，2000 年为108%，试计算1995年到2000年的平均增长速度。
应用统计学
第九章 时间序列分析
Analyzing Time-Series Data
Chap 09-1
本章学习目标
通过本章的学习，你应该能够:
第九章+++时间数列分析与预测参考答案
第九章 时间数列分析与预测一、填空题9.1.1 时间数列一般由两个基本要素构成：一是现象所属的 时间 ，二是反映客观现象的 观察值 。
9.1.2 时间数列按其观察值具体表现形式不同可分为三种：绝对数时间数列、 相对数时间数列和 平均数时间 数列。
9.1.3 同一时间数列中，各期环比发展速度的连乘积等于相应的 定基发展速度 。
9.1.4 绝对数时间数列中， 时期 数列中，各期的指标值直接相加有意义。
9.1.5 某公司2007年的利额比2003年增长25%，2006年比2003年增长20%，则2007年比2006年增长 4.17% ，2004年至2007年平均每年增长 5.74% 。
9.1.6 某地2006年1季度的GDP 为100亿元，2006年3季度的GDP 为115亿元，则其年度化增长率为 32.25% 。
9.1.7 计算平均发展速度有两种方法，即 几何平均法 和 高次方程法 ，它们的数理依据、侧重点、计算方法和应用场合都不相同。
9.1.8 影响时间序列的因素主要有四种，它们是 长期趋势 、 季节变动 、 循环变动 和 不规则变动 。
9.1.9 时间数列变动的趋势有直线趋势和曲线趋势。
在建立模型之前，先要确定现象变动的形态。
判定趋势变动形态的方法常用的有两种，即 画散点图的方法 和 指标判别法 。
9.1.10 若时间数列的 逐期增减量 大致相等，则该现象的发展趋势近似于一条直线，可拟合一条直线趋势方程。
9.1.11 如果时间数列中各期二次逐期增减量大致相等，则应拟合 二次曲线 方程；如果各期环比发展速度大致相等，则应拟合 指数曲线 方程。
9.1.12 某些社会经济现象，随着季节的更换或社会因素的影响而引起的在年度内比较有规律性的变动称 季节变动 ，测定它的变动常用且最简便的方法是 同期平均法 。
9.1.13 客观社会经济现象在一个相当长的时间内，受某些基本因素的影响所呈现的一种基本发展趋势称 长期趋势 。
第九章、时间序列预测(二)
第九章时间序列预测9.3季节指数法市场变化趋势除了直线变动外还有季节性变动、循环变动和不规则变动趋势。
其中季节性变动现象与我们的生活息息相关。
让我们来了解一下，怎样利用季节性变动规律进行市场预测。
一、季节指数法的含义与作用1、季节指数法的含义首先要指出的是，这里所说的季节，既不同于日历上讲的季度，也不同于气象上所讲的季节，他是用来描述任何重复出现额每小时。
每周。
每月或每季等相似间隔的时间段。
在市场预测中多指一年中经营活动的某一固定形态。
季节变动是以一年为周期，经济变量随季节变化而变化的周期性变动。
在社会经济活动中，这种变动是客观存在的而且是常见的，他与春夏秋冬自然季节和社会风俗相联系。
如服装、冷食、高档副食品、农药等，季节性需求变动非常明显。
掌握季节变动规律，就可以利用这种规律进行市场预测。
所谓季节系数法，是根据预测对象各个日历年度按月或按季编制的时间序列资料，以统计方法测定出反映季节变动规律的季节变动系数，并据以进行预测的一种预测方法。
季节系数(也称季节系数)是以相对数形式表现的季节变动指标，一般用百分数或系数表示。
利用季节系数法进行预测，一般要求时间序列的时间单位或是季或是月；要掌握至少三年以上的按月或按季编制的时间序列，因为仅靠一年或两年的统计资料来确定季节变动规律，可能会由于偶然因素的影响而造成较大误差。
所以，为保证预测的准确性，一般需要掌握多年的时间序列资料。
2、季节指数预测法的目的季节指数预测法的目的是要分析季节变动因素对预测对象发展趋势的影响作用，并以此来预测未来趋势。
季节指数预测法在生活中的应用非常广泛，许多经济现象和市场变化都能够利用该方法得到较准确的预测，因此受到人们的重视。
二、季节指数法的应用1、直线趋势比率平均法时间序列存在直线趋势的情况下，季节变动预测通常需要消除只直线趋势的影响。
直线趋势比率平均法能够很好滴消除这种影响，达到准确预测。
调查窗口 9—2 季节指数法季节指数法可分为两类：一类是不考虑长期趋势的季节系数法；另一类是考虑长期趋势的季节系数法。
统计学第9章(时间序列)
时间数列、相对数时间数列和平均数时间数列。
(一)绝对数时间数列 ：是由一系列绝对数指标，即总
量指标，按时间顺序排列而成的数列。它是时间数列
中最基本的表现形式，用以反映事物在不同时间上所 达到的绝对水平。
1．时期数列：反映现象在各段时期内发展过程的总量
2．时点数列：反映现象在各时点所达到的水平
(二) 相对数时间数列：是由一系列相对数指标按时间 顺序排列而成的数列 。反映现象之间相互关系的
发展变化过程。
1. 静态相对数时间数列是由两个指标相应时期的水 平值对比计算形成的；如，人均国内生产总值。 2. 动态相对数时间数列是由同一指标不同时期水平 值对比计算形成的；如，国内生产总值发展速。
(三) 平均数时间数列：是由一系列平均数按时间顺序
排列而成的数列 。它反映现象一般水平的发展过
程和发展趋势。
2、编制时间数列的作用
1）描述事物的发展状况和结果。
2）研究事物的发展趋势和发展速度。
3）探索事物发展变化的特点和规律。
4）建立数学模型，对事物发展的未来状况
进行科学的预测。
时间序列的分析目的
分析目的
分析过去
描述动态变化
认识规律
揭示变化规律
预测未来
未来的数量趋势
二、时间数列的种类
按指标表现形式的不同，时间数列可分为绝对数
第九章
时间序列分析
第一节 时间序列的编制
一、时间序列的概念和作用 1 、定义：通常把反映某种事物在时间上变 化的统计数据，按照时间顺序排列起来得 到的序列称为时间序列，也称动态序列。 时间序列的两个基本要素：一个是被研究 现象所属时间，另一个是该现象在一定时 间条件下的统计指标数值。
我国人口和生产总值时间数列
统计学 第9章时间 序列分析
492 505.375 529.25
592 671.75 706.75 697.83 664.06 631.9075 652.605 719.65 764.92
应用移动平均数应注意的问题：
1.移动平均的项数越多，修匀效果越好； 2.移动平均所取项数，应考虑研究对象的周期； 3.如采用偶数项移动平均，需进行两次移动平均； 4.移动平均所取项数越多，所得新数列项数则越少
2、时间序列中指标出现0或负数时，不宜计算速度
第二节 长期趋势的测定
一、时间数列的分解
1、社会经济指标的时间数列包含以下四种变动因素：
（1）长期趋势（Trend） （2）季节变动（Seasonal）
可解释的变动
（3）循环变动（Cyclical）
（4）不规则变动（Irregular） ——不规则的不可解释的变动
t2
t
Y
1992 -4
29 -116
1993 -3
32 -96
1994 -2
36 -72
1995 -1
40 -40
1996 0
例：年末总人口数
相对数时间序列： 由一系列相对数按照时间顺序排列而成的数列
例：性别比 平均数时间序列： 由一系列平均数按照时间顺序排列而成的数列
例：职工平均工资
二、时间序列的分析指标
绝对数分析指标 发展水平， 增长量
相对数分析指标 发展速度 ， 增长速度
平均数分析指标 平均发展水平 ，平均增长量 平均发展速度 ，平均增长速度
时间 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 45
产量 逐期增 ty t2 Y 长量
29
--
29
32
3
64
36
统计学习题答案 第9章 时间序列分析
第9章 时间序列分析——练习题●1. 某汽车制造厂2003年产量为30万辆。
（1）若规定2004—2006年年递增率不低于6%，其后年递增率不低于5%，2008年该厂汽车产量将达到多少？（2）若规定2013年汽车产量在2003年的基础上翻一番，而2004年的增长速度可望达到7.8%，问以后9年应以怎样的速度增长才能达到预定目标？（3）若规定2013年汽车产量在2003年的基础上翻一番，并要求每年保持7.4%的增长速度，问能提前多少时间达到预定目标？解：设i 年的环比发展水平为x i ，则由已知得：x 2003＝30， （1）又知：320042005200620032004200516%x x x x x x ≥+（），2200720082006200715%x x x x ≥+（），求x 2008由上得32200820072008200320032007(16%)(15%)x x x x x x =≥++ 即为3220081.061.0530x ≥，从而2008年该厂汽车产量将达到 得 x 2008≥30× 31.06×21.05= 30×1.3131 = 39.393（万辆） 从而按假定计算，2008年该厂汽车产量将达到39.393万辆以上。
（2）规定201320032x x ＝，20042003x x ＝1+7.8％由上得＝107.11%==可知，2004年以后9年应以7.11％的速度增长，才能达到2013年汽车产量在2003年的基础上翻一番的目标。
（3）设：按每年7.4%的增长速度n 年可翻一番， 则有 201320031.0742na a == 所以 1.074log 20.30103log 29.70939log1.0740.031004n ====（年）可知，按每年保持7.4%的增长速度，约9.71年汽车产量可达到在2003年基础上翻一番的预定目标。
原规定翻一番的时间从2003年到2013年为10年，故按每年保持7.4%的增长速度，能提前0.29年即3个月另14天达到翻一番的预定目标。
第九章 时间序列分析
3.由总量指标时间序列计算序时平均数 由时期序列计算序时平均数
a1 a 2 a3 a n a a n n
例：季度（或年）平均销售量的计算
由时点序列计算序时平均数 由连续时点序列计算平均发展水平
a a
n
或
af a f
例：某企业2012年1月份在册职工人数变动资料如表4-2所示，试计算1月份 平均在册职工人数。 表4-2 某企业2012年1月份职工在册人数情况 单位:人
a (35 37 38 42 45 54) / 6 c 0.0998 万元 人 b (395 / 2 405 405 415 425 440 455 / 2) /(7 1)
（三）增长量 1.概念
增长量是报告期水平与基期水平之差,也称为增减量或
由间断时点序列计算平均发展水平
第一种：由间隔相等的间断时点序列计算平均发展水平。 第一步，用期初和期末时点值求其平均值作为该时期的代表值，即
a n 1 a n a1 a 2 a 2 a3 a3 a 4 , , ,, 2 2 2 2
第二步：将这些代表值加以简单平均，即
a n1 a n a1 an a1 a 2 a 2 a3 a3 a 4 a 2 a3 2 2 2 2 a 2 2 n 1 n 1
解:表中职工人数时间序列属于间隔相等的间断时点序列，其计算 方法如下： 521 485 544 571 599 604 717 640 603 2 2 4781 597 .63(万人) a 9 1 8
第二种：由间隔不等的间隔时点序列计算平均发展水平
a 2 a3 a n 1 a n a1 a 2 f1 f2 f n 1 2 2 2 a f 式中f代表时间间隔
时间序列timeseries分析第节时间序列
序时平均数与一般平均数的异同点：
相同点：两者都将所研究现象的个别数量差异抽象化;概 括地反映现象的一般水平
不同点： 1 说明的问题不同：一般平均数将总体各单位之间的数量
差异抽象化;从静态上反映现象在一定时间 地点条件下 所达到的一般水平；序时平均数将现象在不同时间的 数量差异抽象化;从动态上表明同类现象在不同时间的 一般水平 2 计算基础不同：一般平均数根据变量数量计算；序时平 均数根据时间序列计算
解： 1980——1995年平均储蓄存款余额
y
y1 2
y2
yn1
yn 2
=
2.6 4/210417.7 217.65/2=8488 43亿元
n1
3
1980——1999年平均储蓄存款余额
y
n i 1
y i1 y i 2
fi
n
fi
i 1
=953 53亿元
练习：1 2000年各季度工业总产值如下;求该市平均每季度工业 总产值
1月1日
生猪存栏 头数
1500
3月1日 1000
7月1日 1200
10月1日 12月31日
1800
1500
4 某机械厂一车间4 月份工人数资料：4月1日210人; 4月11日240 人; 4月16日300人; 5月1日270人;求4月份平均工人数
5 某厂2000年职工人数如下表;计算2000年各季平均职工人数和 全年平均职工人数
季度 工业总产值
一 32600
二 36100
三 37000
四 38300
2 某银行2000年上半年各月初现金库存额数据如下;计算一 二季度 和上半年的平均现金库存额
1月
2月
本科“统计学”——第九章 时间序列分析
1989
58.35
1998
163.00
2 - 20 6
移动平均法 (趋势图)
200
汽 150 车 产 100 量 （万辆）50
产量
五项移动平均趋势值 三项移动平均趋势值
0 1981
1985
图11-1
2 - 21 6
1993 1997 （年份） 汽车产量移动平均趋势图
1989
移动平均法 (应注意的问题)
2 - 26 6
3-3 指数平滑法
因此，F4是前三个时间序列数值的加权平均数。 Y1，Y2和Y3的系数或权数之和等于1。 由此可以得到一个结论，即任何预测值Ft+1是以 前所有时间序列数值的加权平均数。
2 - 27 6
3-4 指数平滑法
指数平滑法提供的预测值是以前所 有预测值的加权平均数，但所有过 去资料未必都需要保留，以用来计 算下一个时期的预测值。
1.
测定长期趋势的一种较简单的常用方法
通过扩大原时间序列的时间间隔，并按一定的间 隔长度逐期移动，计算出一系列移动平均数 由移动平均数形成的新的时间序列对原时间序列 的波动起到修匀作用，从而呈现出现象发展的变 动趋势
2.
移动步长为K(1<K<n)的移动平均序列为
Yi Yi 1 Yi K 1 Yi 1 K
一、利用平滑法进行预测
本节我们讨论三种预测方法：移动平均法、加权移动平 均法和指数平滑法。因为每一种方法的都是要“消除” 由时间序列的不规则成分所引起的随机波动，所以它们
被称为平滑方法。 三 种 平 滑 方 法
2 - 18 6
移动平均法 加权移动平均法 指数平滑法
1、移动平均法 (Moving Average Method)
第九章++时间序列分析
3月末
库存量(件) 3000
4月末
3300
5月末
2680
6月末
2800
3、某企业2007年各时点的人口数如下，求2007年的 平均人口数。
日期 人口数(人) 1月1日 250 5月1日 270 8月1日 240 12月31 日 290
4、某企业2008年第一季度利润计划完成情况，求该 企业一季度的计划平均完成程度为 ：
12 12
年度化增长率
(例题分析) 解： 2） m =12，n = 27 年度化增长率为
300 GA 1 10.43% 240 该地区财政收入的年增长率为10.43%
12 27
年度化增长率
(例题分析)
解： 3) 由于是季度数据，所以 m = 4，从第1季度 到第2季度所跨的时期总数为1，所以 n = 1 年度化增长率为
510 GA 1 8.24% 500 即根据第1季度和第2季度数据计算的国内生 产总值年增长率为8.24%
4 1
年度化增长率
(例题分析)
解： 4） m = 4，从1997年第4季度到2000年第4季度 所跨的季度总数为12，所以 n = 12 年度化增长率为
350 GA 1 7.72% 280 即根据1998年第4季度到2000年第4季度的数 据计算，工业增加值的年增长率为7.72%， 这实际上就是工业增加值的年平均增长速度
……
趋势模型法的程序：
1、定性分析 2、判断趋势类型 （1）利用散点图判断 （2）利用差分法判断 3、计算待定参数 4、预测方程评估 （1）计算可决系数 （2）对回归方程进行F检验 （3）计算标准误差 5、利用方程预测
第九章 时间序列分析
某企业2000年第三季度职工人数及产值资料如 下,(1)编制第三季度各月劳动生产率的时间 数列,(2)计算第三季度的月平均劳动生产率 (3)计算第三季度的劳动生产率 月份 销售产值 (万元) 月初人数 7月 4000 4640 8月 4200 4660 9月 4500 4680 10月 — 4600
b a= c
b a= c
二,平均发展水平
2根据动态相对数时间序列计算平均发 展水平 动态相对数时间序列是将现象在各时 期的速度指标按照时间顺序排列而形 成的时间序列.
二,平均发展水平
(三)根据平均数时间序列计算平均发展水平 1静态平均数 静态平均数时间序列由总体标志总量时间序列和总 体单位总数时间序列的对应项相对比而形成的时 间序列. 先分别对分子序列和分母序列计算平均数,再将两 个动态平均数对比计算平均数时间序列的平均发 展水平. 2根据动态平均数时间序列计算平均发展水平 间隔相等:算术平均法 间隔不等:加权平均法
逐期 — 累计 —
12255 25240 33213 39770 48635 26.20 26.20 22.00 54.00 11.07 71.02 8.20 85.04 10.24 103.99
增长速 度%
环比 — 定基 —
六,平均发展速度和平均增长速 度
平均发展速度(average speed of development)是各个时间单位的环比发 展的序时平均数,用以反映现象在较长 一段时期内逐期平均发展变化的程度.
a= 2 2
市场调查与预测——第九章 时间序列预测法
ˆ 预测模型为yt a bx 利用最小二乘法估计参数a和b yt xyt a yt；b n x2
• 【例】 某家用电器厂1993—2003年利润额数据资料如表所示，求 当x的编号分别为：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5和0， 1，2，3，4，5，6，7，8．9，10时，试预测2004、2005年企业利 润额各为多少万元?
• 4. 计算趋势变动值 • 当年的趋势变动值等于它当年的移动平均值与上年的移动平 均值之差。 • 5．计算绝对误差、平均绝对误差 • 绝对误差＝|移动平均值—观察值|
•
6．建立模型求预测值
• 二次移动平均法 • 是对一组时间序列数据先后进行两次移动平均。即在 一次移动平均值的基础上，再进行第二次移动平均， 并根据最后的两个移动平均值的结果建立预测模型， 求得预测值。
1 1 1
为时间序列的平滑指数，且0 1。那么时间序列各观测
值的一次指数平滑公式为
1 St1 xt 1 St1
即本期一次指数平滑值等于本期实际值xt的 倍加上上期一次
指数平滑值St1的 1 倍。将此改写，得到递推公式：
1 1 1 St1 St1 xt St1
即本期一次指数平滑值等于上期一次指数平滑值加上本期实 际值与上期一次指数平滑值差的 倍。
一次指数平滑法的预测公式为 Ft 1 St
1
即下期预测值等于本期一次指数平滑值，根据公式计算 的递推公式为 Ft 1 Ft xt Ft 即在下棋预测值等于本期预测值Ft的基础上，再加上本期 实际值xt 与本期预测值Ft 之差的 倍。
2 St 2 St1 1 St1
时间序列干扰分析非重复大尺度实验
时间序列干扰分析非重复大尺度实验Establish noble character. On the morning of October 2, 2022第9章: 时间序列干扰分析：非重复大尺度实验Paul W. Rasmussen Dannis M. HeiseyErik V. NordheimThomas M. Frost9．1 非重复的研究一些重要的生态学问题,尤其是那些在大尺度或独特尺度下的生态学问题,重复和随机几乎不可能 Schindler 1987; Frost 等 1988; Carpenter 等 1995;例如,假如我们想知道湖水酸化是如何影响龟甲轮虫属种群, 那么我们主要的工作就是将单独的小湖泊进行酸化,因此,这样的操作也许只能在一个湖中进行;即使是有酸化前的基础数据,这样的实验也不可能重复地进行,因此不能够采用传统统计方法来进行分析,例如方差分析第4章;一种可替代的方法就是采用一些生物学或物理学模型,这些有趣的系统模型允许进行重复;例如,我们可以在湖中建一些小而相同的围栏并将它们中的一些进行酸化;尽管这在实施适当的情况下能够使我们对这些小实验单元的差异进行有效的统计分析,但是,这种模型能否在湖泊生态系统中进行有效的生态学普遍应用仍有置疑Schindler 1987;对于大尺度现象,小尺度模型的实验应用于大尺度研究仍然不能令人信服尽管他们可能提供有价值的补充信息;我们将在本章检验一些非重复研究类型是如何利用以时间序列数据发展起来的技术进行分析;时间序列是取自相同的实验单元在不同时间进行的重复测量或采集子样本;时间序列分析技术包括能确定一个序列平均水平上非随机变化是否已经在以前特定时间内发生的方法;这种分析的结果能够帮助确定那些特定时间之前发生的其他变化或操作是否可能导致了观察系列中的变化;我们描述的这些方法利用了许多可用于大尺度研究中的长期数据还见于Jassby和Powell 1990; Stow等 1980;以前的一些作者已经提供了许多的评价这些研究的技术,包括从图示的方法Bormann和Likens 1979到更加复杂的统计分析 Matson和Carpenter 1990;这些技术都强调了时间序列数据,并通常需要对处理和参照系统中处理前后量测数据序列进行比较例如,Stewart-Oaten et ; Carpenter et al. 1989;尽管有很多其他的时间序列方法也可以使用,但我们将着重讨论时间序列方法在ARIMA模型技术的应用;我们首先考虑时间系列数据如何影响传统统计分析方法的应用和解释第节;第节中举出一些非重复时间序列设计的例子;第节介绍一些时间系列分析的重要概念和思想;第节描述干扰分析,这是一个时间序列分析的扩展,对检验人工处理或自然干扰的时间序列的影响是有用的;第节举例说明干扰分析在整个湖水酸化实验中的应用;如果你不是一个水生生态学家,那么你可以在你的脑子中用你喜欢的生物体和生态系统分别来代替“龟甲轮虫”或“湖泊”,在我们的实例中,原理和潜在的应用都是通用的;我们将在第节讨论一些有普遍性的议题;9．2 重复和实验中的误差我们首先简要地回顾一下湖水酸化的例子;对于检验湖水酸化对龟甲轮虫密度影响的传统实验设计如下所示：1．确认我们想要将进行推论应用的所有湖泊;2．从这个湖泊总体中随机选择四个湖;3．从这四个湖中随机选择两个进行酸化;4．将其它两个湖作为参照,或控制湖泊;假设已有对四个湖泊的处理前后龟甲轮虫密度的估计；对每一个湖泊,我们能够计算处理前后之间的变化差异从而可以进一步分析;然后再考虑到典型湖泊变异性后,继续用传统的分析方法来检验酸化湖泊中的变化是否始终与参照湖泊中的变化不同; 这种典型湖泊变异性,或试验误差,仅仅能够利用每一组内已有重复湖泊进行估计;要想评估试验误差,每一组最少两个湖泊,尽管每组仅有两个湖泊的设计通常得到相当粗略的实验误差估计Carpenter 1989;传统方法的一个重要的特征是我们能够详细给出当酸化不存在的情况下却错误地认定有酸化影响的概率Ⅰ类错误的概率译者注;尽管将更多的湖泊进行酸化是很困难的,但从单独酸化处理的湖泊得到处理前后的长期数据确是可行的;使用这样的序列,根据典型湖泊的可变性判断,我们能够检验与是否在处理时数据序列发生了一些不寻常变化相关问题,这可与全部时间内数据序列发生正常变化进行比较做出判断;在这里检验的假设要比传统的假设要弱;这种假设检验仅仅能够回答在处理时是否发生变化这类的问题；而不能解决这种变化是由于处理还是由于一些其他偶然的事件引起这样的问题Frost等 1988; Carpenter等 1998;无重复情况下由于处理而导致变化的案例基本上是类似于统计学问题的生态学问题；这些争论通常能够被那些证实了的数据所支持,例如围栏试验;在下一节,我们要讨论时间系列的设计,这种设计在某种程度上防范了对假变化的认可;确定某一时间内时间序列的正常变化要比确定一个重复实验中的实验误差更困难;在一个随机重复实验中,假定实验单元是互相独立的,这样就能够极大地将统计模型简单化;另一方面,时间序列的量测通常互相依赖或自相关；即将来能至少部分地从过去来预测;时间上的系统变化依赖于其自相关结构,并且时间序列分析大都集中在对这些结构模型的构建和评估上;我们提醒读者要防止将时间上的亚抽样subsampling视为真正的重复并在分析非重复的试验中当作是有重复的;在一些例子中,可能已经证明一些传统的检验如t-test能够应用到时间序列上;如果分析表明量测数据间不是自相关,那么这样的检验就能够被采用Stewart-Oaten et al. 1986;尽管如此,一定要记住这种被检验的假设必须在实施处理时对检验水平有所改变,而这种变化可能并不是由于处理而产生的;要想有效地实施生态学实验,就必须对这些问题有一个的基本的理解；这方面的讨论可参看Hurlburt 1984 和Stewart-Oaten 等 1992;照例我们不应该鼓吹非重复的设计,但是它们有些时候是必要的;尽管时间序列有很具体的方法,在解释结果时仍需谨慎;没有重复,我们就不能够保证我们对用于判断处理效果的基本误差有充足的了解;然而,有几个方法可以增强在这方面解释的置信度;这包括1考虑自然的可变性的信息,这些信息是被操作系统类型所特有的 2在大尺度的操作范围内融入小尺度的实验 3发展评估过程的仿真、机理模型Frost 等 1988;9．3 非重复时间序列设计假定一个生态学家在一个湖泊中监控龟甲轮虫密度5年,每两周观测一次,然后将湖水酸化并继续监控该湖泊5年;在这个例子中,对单个的实验单元湖泊随着时间的观察是有顺序的时间序列;我们将这样一个干扰内的单独序列称为前－后设计;酸化就是干扰有时可能并不会像预期的那样,自然界会对某个系统施加干扰;这可称作是自然实验;在这种情况下,可能没有其它选择,不得不采用简单的前－后设计;这类设计最倾向于出现会被错误地认为是干预影响的巧合“跳跃”数据的突然变化－译者注或趋势;当处理是在观察者的控制下时,就有可能改善前－后设计;一个简单的改进是设立多重干扰,或在处理和控制条件之间来回变动;如果每一个干扰都得到一个一致的响应,那么观察到的反应仅仅是巧合的可能性就会减少;采用配对单元的设计也是有用的;一个单元在研究的过程中接受了一个处理干扰,另一单元则作为参照或基础值而不施以处理;处理前后在这两个单元内同时重复取样;Stewart-Oaten等1986 已经讨论过这种设计,而更早的讨论见于Eberhardt 1976,虽然这种方法已经在这两个讨论之前被野外生物学家们应用见Hunt 1976;我们依Stewart-Oaten等1986将这种设计称为前－后－控制－影响BACI设计;在一个BACI设计中,参照单元提供一个与处理单元进行比较的标准;这就有助于确定在处理单元中的变化是否是由于处理本身,长期的环境趋势,自然的变化,或其他一些原因所致;在使用BACI设计时应考虑两个重要因素,即实验单元,时机的选择以及确定每一单元的样本数量;处理单元和对照单元应该在所研究系统中具有代表性,从而在这些系统中,观察到处理的影响能代表整个系统,并且它们相互之间物理和生物特性应该是相似的;常见的做法是样品采集间隔是均匀的,采样时间间隔依赖于所研究种群或现象变化的速率Frost 等1988;例如,种群变化迅速的昆虫或浮游动物需要一年采样多次,而变化慢的脊椎动物或植物种群通常一年仅采样一次;采样的频率依赖于所研究的系统和所提出的具体问题;每一个评估时期的持续时间处理前后是由自然周期、随机时间波动幅度,和所研究的生物体的生命周期决定的;当随机波动很大、循环周期更长或研究的生物体是长寿时,就需要更长一些的采样间隔时间;我们将采用一个多重干扰的BACI设计的例子来详细展示一个‘真正’的非重复设计的一些分析和解释的细节;这个例子关注的是小石湖酸化的影响,小石湖是位于威斯康辛北部的一个小贫养渗出湖Brezonik等1996;从1983年开始,这个湖已经成为研究渗出湖对逐渐酸化反应的一个生态系统水平试验的地点Watres和Frost 1989;小石湖被不透水乙烯基塑料布分成处理和对照两部分;在经过一个观察的起始期后1983年8月到1985年4月,处理部分逐渐用硫酸将其酸化成三个pH值目标水平, 、、 ,每一个pH值水平保持两年;而对照部分在整个实验过程中保持平均pH值水平;详细的湖泊学特征可以参看Brezonik等 1986;我们在这里的分析将集中在随着酸化,龟甲轮虫Keratella taurocephala种群将会发生明显的变化;制定一些好的非重复设计需要一些创造力;要分析好结果数据也同样如此;对大多数有真正重复的研究来说分析方法例如方差分析相当简单;然而,大多数无重复试验的分析就不那么清晰,且常趋向于主观;如果时间序列的数据长度足够的话至少50个观测资料,那么就有可能采用具有严格理论基础的统计技术;我们将在章节和章节讨论一些这样的技术;这些统计模型通常的目标是发现一个简化的模型、一个能够很好的处理数据的简单模型;简单的说,我们想要一个生物学和物理学都合理的模型,且该模型能够利用较少的参数来进行评估;我们将对单个干扰的时间序列采用恰当的分析技术;在接下来的两部分章节也将看到,正确地采用这些技术需要掌握某一定的基本技能并且要非常小心;除非你在这个领域已经很熟练了,否则我们建议在进行分析时请教一下统计学家;9．4 时间序列时间序列分析包括大量统计技术用于分析具有时间次序序列依赖性的观察结果;我们将集中于讨论以自回归综合移动均值模型AutoRegressive Integrated Moving Average Models-ARIMA发展的时间序列技术的一个子集;对于ARIMA模型的经典参考文献请见Box和Jenkins 1976;其他的参考文献有MaCleary和Hay 1980, Cryer1986 ,Diggle 1990,和Wei 1990;ARIMA模型很有价值,因为他们能够仅仅利用很少的参数来描述广泛的过程由随机模型产生的事件次序;此外,用于识别,估计和检查ARIMA模型适应性的方法已经有很好的研究;这些模型在模拟离散、通常均匀时空间隔观察结果的时间序列时是很合适的;ARIMA模型包括两个基本类型的模型：自回归AR和移动均值模型MA;AR模型与时间t的观察结果与早期观察结果一起进行回归;首先,我们介绍一些符号含义;设yt是初始时间序列,也就是t时间的龟甲轮虫密度;用以均值为中心的序列来论述较为方便,也就是说,Zt =yt-u; Zt是t时间密度对长期平均值μ的离差;则用于中心龟甲轮虫密度的p=2阶AR模型标示为ＡＲ２有以下形式:Z t = φ1Zt-1+ φ2Zt-2+εt这里的φ是系数如同回归系数,εt是在t时间的随机误差通常假定与0均值和δ2方差不相关;这个模型所表述的是目前龟甲轮虫种群密度是以前两次取样的密度加上随机误差的线性方程;MA模型将时间t观察的随机误差与现在和过去的随机误差εt联系起来;例如, q=2阶的MA模型可表示为：Z t =εt＋θ1εt-1+θ2εt-2这里θ是系数;更多通用的模型可包括AR 和MA,所谓的ARMA模型注意,ARIMA模型包括ARMA模型,以下同;拟合ARMA模型的作用就是用自回归和移动均值来描述所有的序列依赖性从而使残差或估计误差项看上去像无相关的随机误差或‘白噪音’;ARMA过程要求在观察的整个时间内,无论什么样的时间间隔,都要有相同的均值、方差和自相关格局; 这是对所说的稳态stationarity基本特性的一种直觉的描述更为严格的定义请见引用文献;尽管缺乏真正的重复,稳态允许有效的统计推论和估计;就像重复是建立在过程中一样,稳态过程展示了不同的时间间隔下相同的行为;因为观察结果之间的自相关依赖于它们之间时间段的数目,所以观察结果通常一定是有相等的空间间隔;然而对于一些生物学过程,这是否有必要还不清楚;例如,在浮游动物丰度之间的两周自相关系数在种群变化慢的冬天就要大于种群变化快的夏天;因为在自然界中许多的观察过程是非稳态的,因此找到一种修正观察时间序列的方式就十分必要,以便于修正后的序列是稳态的;如此,有很少参数的ARMA模型就能够用于修正后的数据了;要做到这一点有两种方法;一是将一些确定性的方程引入模型,例如整个时间内的线性趋势、已知时间里加一步或周期性的方程,例如正余弦,来表示季节性行为;另外的一种方法是针对序列进行差分,也就是说,计算新的观察结果如Zt -Zt-1第一个差异或者Zt -Zt-12与周期12的季节性变化;差分是一个较通用的方法,因为它能够同时表示确定性的和随机的趋势;在另一方面,当确定性的趋势有特殊意义时,通过差分来拟合这些趋势要比简单的处理掉它们可能更合理;由于它的较大通用性,我们将集中讨论通过差分来得到稳态;描述一些过程可能需要AR和MA二者的参数以及差分;这就产生了有p AR参数、q MA参数和d差分ARIMA模型标示为ARIMA p,d,q;例如,ARIMA1,1,1模型有如下形式：X t =φ1Xt-1+εt＋θ1εt-1同前述,式中xt = zt– zt-1和εt是不相关的误差;Box和Jenkins 1976为确定ARIMA模型来自数据的恰当形式发展了一些方法;他们的方法要求计算样本的自相关系数和相关的来自数据的方程,并利用这些方程的相关性质来确定可能的ARIMA模型;每一个样本在时间距k的自相关系数rk即相距ｋ时间段观测值间的相关系数在时间距为 1,2 ……被计算出来以获得样本的自相关方程ACF;一个相关的方程,样本的偏自相关方程PACF表示当调整为在中等时间距状态下的自相关时时间距为ｋ时样本观察结果间的自相关关系;此模型确定过程包括确定用于拟合ACF、PACF结果的ARIMA模型的子集并将原始序列标绘出来;原始序列可能会显示出长期趋势或季节性行为,因而意味着非稳态;对于非稳态序列的ACF也会非常缓慢地下降到零;如果序列出现非稳态,那么它应该在进一步检验ACF 和PACF之前差分,直至它稳定为止;理论上ACF 和PACF对任何特定ARIMA模型都给出可鉴别的信号;在ARIMA模型中,样本ACF 和PACF 是从希望能够辨认出这种信号的数据可以是差分出来的数据中来估计的,并因此确定恰当的ARIMA参数化方式;对于纯MA模型的理论ACF仅在低时间距的情况下才有大值,而PACF下降更为缓慢;具自相关的非零时间距数目给出MA模型的阶q;对于纯AR 模型来说则正相反,在那里只有ACF下降更为缓慢时,PACF在低时间距的情况下才有大值;在这种情况下,非零偏自相关系数的数目确定AR模型的阶数p;通常低阶1或2AR或MA模型对观察到的序列有好的拟合,但可能要求模型同时有AR 和MA二项;这个模型的拟和程度将通过检验残差来实现;残差样本ACF 和PACF在任何时间距都不会有大值,也不显示任何明显格局;Box 和Jenkins1970提出了一个对缺乏拟合度的全面检验,后来该检验已经被精炼了Ljung和Box 1978;9．5 干扰模型干扰分析扩展了ARIMA建模方法以研究已知事件或干扰对时间序列的影响;干扰或处理的反应可有不同的形式;两个最简单的形式是：一个是干扰后形成在新水平上的永久跳跃,另一个是干扰时暂时的波动,或峰值;例如,在ARIMA模型中一个步骤变化能够表示为：Zt = ωSt + Nt式中St=0表示干扰之前,St=1表示干扰时和干扰后,ω是系数;Nt 是一个ARIMA模型;在这个公式里,如果原始数列不是稳态的,Zt可以使用差分出来的序列;要模拟一个有峰值或波动的反应,令St在干扰时为1,否则为0;Box和Tiao 1975讨论了一些更复杂的模型,如线性或非线性增加到新水平;McCleary和Hay 1980给出一些说明的例子;干扰和反应之间的时间距也能够通过用不同的时间距拟合模型来检测;一般没有直接的方法可以通过观察时间序列本身来确定干扰模型ARIMA形式;通常一个可能的ARIMA模型是从一个整体序列或者是单独地从干扰前后的序列得到;对于干扰的反应形式可以通过检验没有干扰的ARIMA模型的残差,或通过关于期望反应的理论知识引出;通常一些可能的模型必须通过检验并从中选择最好的;如果干扰形式未知,McCleary 和Hay 1980建议首先应试一下峰值模型,然后逐渐地增加模型,最后是步骤模型;Box和Jenkins 1976已经强调了以迭代方法来建立模型,这样做的目的是为了得到一个简单且充分拟合数据的模型,同时这个模型能够具有合理的科学解释;按照这个迭代方法建立模型的思路,可以产生一系列的决定,从而以不同的方法对不同数据集进行分析;尽管我们能够给出干扰分析的一般步骤的框架,但是我们不能确切地描述适应所有数据集的方法;尽管每一个分析方法都是其独特性,但下面的步骤在进行干扰分析时是有用的：1．划分时间数列;2．如果必要的话,对原始序列进行转换;3．决定序列是否应该差分;4．检验转换很有可能和差分的序列样本ACF 和PACF以确定可能的模型;5．对模型进行不断的迭代拟合,并评估他们的拟合程度直到获得一个好的模型;我们强调的是依赖于数据集进行分析的方法;接下来的例子不应该被视为一个干扰分析的药方,而应该作为通用过程的一个例子;在生态学和环境监测中应用到的其它干扰分析的例子已经在Pallesen 等1985,Madenjian等1986, van Latestejin和Lambeck 1986, Noakes 1986, Bautista等 1992, Rudstam等1993的几本着作中有所讨论;9．6例子9．6．1数据我们将分析威斯康辛州小石湖龟甲轮虫丰富度数据每升动物数量;采样方法在Gonzalez等. 1990的文章中已有描述;在湖水没有结冰时每两周采集一次数据,当湖水结冰后每五周采集一次;在头一年的监测期间这个安排有略微的变化,在所有年份中会不可避免的得到相同采样时间表时,我们放弃额外的观察结果或将一个观察结果用于两个连续的取样时间我们放弃了所有八个观察值,把六个观察值用两次;接下来我们将讨论观察结果的时间距影响,同时在9.6.5 节讨论获得等时间距的方法;本例的数据集包括每年19个观察资料总共106个数据,所有的观察在每年差不多相同的日子进行;我们将检验两个干扰的影响：pH值在1985年4月29日从降到,在1987年4月27日从降到;我们没有采用在1989年5月9日第三次干扰后收集到的数据;任何数据分析的早期步骤之一是应该仔细的检查数据的图表;所有两部分丰富度序列的图表表明整个时期内对照部分的龟甲轮虫丰富度发生了很少的改变,但是在干扰之后处理部分的龟甲轮虫丰富度和变异水平都有所增加;9．6．2 导出序列首先要确定的是分析两个分开的序列还是分析从两个原始序列导出的一个单独序列;这两个方法各有其优点;单一导出序列在分析上可能简单一些：这不仅是因为只有一个序列,而且因为导出序列可以比原始数列有较少的连续自相关和较不显着的季节性行为;另外,导出序列的分析可以得到一个对干扰影响的单独直接检验,而处理序列和对照序列的分开分析则需要综合在一起考虑来评估干扰影响;另一方面,导出序列更远离观察数据,并且我们也许希望模拟原始序列本身的连续依赖性、季节性行为和干扰影响;如果两个序列的时间格局差异很大,那就有必要分开来分析两个序列;在许多案例中,这两种方法都是正确的;这里我们都将加以讨论;导出序列有两种可能的形式：1每一取样日处理和对照的观察数据间差异的序列2每一取样日处理和对照的观察数据比率的序列;在生态学文献中关于这个题目的绝大多数讨论已经得出结论,即对数转换比率序列等同于两对数序列之差最能够满足统计检验的假定Stewart-Oaten等 1986, Carpenter等 1989, Eberhart和Thomas 1991;这个观点部分考虑到了对导致反应改变的因素是叠加的还是相乘的评估;因为影响种群的因素经常具有相乘的影响,比率序列最适合于丰富度数据分析;通常对两种导出序列最好都要进行检验;对龟甲轮虫数据来说,随着每次干扰后序列均值和变异水平逐渐增加,两种导出序列显示出相似的格局;变异的增加在差异序列中更为显着,我们选择比率序列进行分析是因为我们可以找到一种可使该序列方差更接近常量的转换;注意我们对每个值都加1,以避免被零除注意我们为了避免被零除,对每个值都加1;9．6．3 转换如同许多标准统计模型一样,ARIMA模型的一个基本假定就是观察数据方差恒定;这种假定最常见的违例是观察数据的方差与均值之间有相关关系;当原始序列方差与均值某次幂成比例时,我们将用一个简单方法来确定一种稳定方差的转换Box等 1978;Poole1978和Jenkins1979描述了该方法在时间序列分析中的使用;Jenkins1979建议根据季节的长度将序列分成若干从4到12个观测时间段的子集我们采用6个月的间隔;然后计算每一个子集的均值和方差,对数标准差对对数均值的回归;回归的斜率b值表明恰当的转换见附录的SAS语句;方差与均值某次幂成比例的假定决定了转换的形式：。
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销售收入（万元） 销售收入（万元） 期初流动资金余额（万元） 期初流动资金余额（万元） 流动资金周转次数（ 流动资金周转次数（次）
又知，该年末流动资金余额为100万元。 又知，该年末流动资金余额为100万元。 100万元 请计算该企业该年流动资金平均周转次数。
解：设销售收入为a,期初流动资金为b，流动资金周转次数为Y。 设销售收入为a,期初流动资金为b 流动资金周转次数为Y a,期初流动资金为 由于销售收入序列为时期序列， 由于销售收入序列为时期序列，期初流动资金序列为时点 序列，流动资金周转次数序列为相对数时间序列， 序列，流动资金周转次数序列为相对数时间序列，所以
计算本年度该储蓄所平均存款余额。
97+87 87+115 115+126 126+128 128+131 ×31+ ×120+ ×91+ ×61+ ×61 2 2 2 2 2 Y= 31+120+91+61+61 41406.5 = =114.2418(百 元 万 ) 364
解
【例3】某企业某年各季度销售收入和流动资金资料如下表所示： 某企业某年各季度销售收入和流动资金资料如下表所示：
三种时间序列的关系
绝对数时间序列是时间序列中最基本的表现形式 绝对数时间序列是时间序列中最基本的表现形式 最基本 它在各时间上的数值相加有意义
相对数时间序列和平均数时间序列是在绝对数时间 序列的基础上派生的 序列的基础上派生的 它们在各时间上的数值相加没有意义
例题分析： 例题分析：指出下表中各时间序列的类型
时间序列的概念
时间序列： 也称为动态序列） 时间序列：（也称为动态序列） 动态序列 是将某一现象在不同时间上的观察值， 是将某一现象在不同时间上的观察值，按照时间 顺序排列而形成的序列。 顺序排列而形成的序列。 构成要素： 构成要素： 时间要素和观察值要素 分析目的： 分析目的： 描述现象在过去时间的状态 揭示现象发展变化的规律性 预测现象在未来时间的行为
增长量 增长速度＝ = 发展速度－ 1 基期水平
环比增长速度： 环比增长速度： 定基增长速度： 定基增长速度：
Pi =
Yi − Y0 Yi Pi = = −1 Y0 Y0
Yi − Yi −1 Yi = −1 Yi −1 Yi −1
【例5】根据国内生产总值序列，计算1990～2004年期间各年的 根据国内生产总值序列，计算1990～2004年期间各年的 1990 环比发展速度、定基发展速度、环比增长速度和定基增长速度。 环比发展速度、定基发展速度、环比增长速度和定基增长速度。
第9章 章
时间序列分析
主要内容和学习目标
时间序列的基本问题（理解） 时间序列的基本问题（理解） 时间序列的对比分析（掌握） 时间序列的对比分析（掌握） 时间序列的构成分析（掌握） 时间序列的构成分析（掌握） 时间序列的预测方法（掌握） 时间序列的预测方法（掌握）
一、时间序列的基本问题 时间序列的概念 时间序列的分类 编制时间序列的原则
118328.0 国内生产总值年平均增长量＝ 解：国内生产总值年平均增长量＝ 15 −1 = 8451.997857(亿元）
速度分析
发展速度 增长速度 平均发展速度 平均增长速度
时间序列的速度分析 发展速度） （发展速度）
发展速度： 发展速度： 发展速度是报告期发展水平与基期发展水平之比 用于描述现象在观察期内的相对发展变化程度 环比发展速度： 环比发展速度： 定基发展速度： 定基发展速度： 二者的关系： 二者的关系：
编制时间序列的原则
基本原则： 基本原则： 保证时间序列中各项观察值具有充分的可比性 具体表现： 具体表现： 时间长短一致 空间范围一致 经济内容一致 计量方式一致
返回
二、时间序列的对比分析 时间序列的水平分析 时间序列的速度分析 对比分析中应注意的问题
时间序列 对比分析
水平分析 速度分析
水平分析
绝对数时间序列序时平均数的计算
时期序列的序时平均数
Y = Y 1 + Y 2 + ... + Y n n = i=1 n
∑
n
Yi
时点序列的序时平均数
Y + Y3 Y + Yn Y + Y2 ( 1 )T1 + ( 2 )T2 + ... + n −1 （ )Tn −1 2 2 2 Y =
n −1 i =1
110+120+126+125 a= 元） = =120.25(万 ） 元 n 4
i=1 i
∑a
n
b5 90 b 100 1 +b2 +b3 +b4 + +70+78+52+ 2=2 2 =73.75(万 ） b= 2 元 n−1 5−1
Y= a 120.25 = = 1.63 （次） b 73.75
时间序列的分类
时间序列
绝对数 时间序列
时期序列
相对数 时间序列
平均数 时间序列
时点序列
三种时间序列的含义与作用
绝对数时间序列： 绝对数时间序列： 把一系列同类的绝对数指标按时间先后顺序排列而成的数列 把一系列同类的绝对数指标按时间先后顺序排列而成的数列 绝对数指标 用于反映现象在不同时间上所达到的绝对水平 相对数时间序列： 把一系列同类的相对数指标按时间顺序排列而成的数列 用于反映现象相互关系的发展变化过程 平均数时间序列： 平均数时间序列： 把一系列同类的平均数指标按时间顺序排列而成的数列 用于反映现象一般水平的发展变化过程
【例2】某银行某储蓄所储蓄存款余额资料如下表所示： 某银行某储蓄所储蓄存款余额资料如下表所示：
表 某银行某储蓄所某年储蓄存款余额
时 间 上年12月31日 97 0 1月31日 87 31 5月31日 115 120 8月31日 126 91 10月31日 128 61 12月31日 131 61 存款余额 （百万元） 与上一期间 隔（天）
逐期增长量之和 最末期累积增长量 平均增长量＝ = 逐期增长量个数 观察值个数 − 1
【例4】：根据国内生产总值资料，计算各年逐期增长、 】 根据国内生产总值资料，计算各年逐期增长、 累积增长量，年平均增长量。 累积增长量，年平均增长量。
年 份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996
发展水平 平均发展水平
增长量 平均增长量
时间序列的水平分析
发展水平） （发展水平）
发展水平： 发展水平： 是指现象在各时期的观察值Y 1,2,…n) 是指现象在各时期的观察值Yi （i＝1,2, n) 它反映现象在不同时期所达到的水平 其中： 其中： Y1——最初发展水平 最初发展水平 Yn——最末发展水平 最末发展水平 作比较时： 作比较时：Y0——基期发展水平 基期发展水平 Yi——报告期发展水平 报告期发展水平 （i＝1,2,…n) ＝
∑ Ti
（T1=T2=…=Tn-1）
Y Y1 + Y 2 + ... + Y n − 1 + n 2 Y = 2 n −1
相对数或平均数时间序列序时平均数的计算 基本公式： 基本公式：若
ai Yi = bi
则
a Y = b
【例1】 计算下表中各时间序列的序时平均数 】
年 份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 国内生产总值（亿 国内生产总值（ 元） 18547.9 21617.8 26638.1 34634.4 46759.4 58478.1 67884.6 74462.6 78345.2 82067.5 89468.1 97314.8 105172.3 117390.2 136875.9 年末总人口 万人） （万人） 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124761 125786 126743 127627 128453 129227 129988 人均国内生 产总值（ 产总值（元） 1634 1879 2287 2939 3923 4854 5576 6054 6308 6551 7086 7651 8214 9111 10561
( i =1,2,…,n)
累积增长量： n ( i =1,2,…,n) 累积增长量：△Yi=Yi-Y0 二者的关系： 二者的关系： ∑ (Yi − Yi −1 ) = Yn − Y0
i =1
时间序列的水平分析
(平均增长量） 平均增长量）
平均增长量： 平均增长量： 观察值的各逐期增长量的平均数 用于描述现象在观察期内平均增长的数量
Ri =
Ri =
Yi ( i = 1 , 2 ,... n ) Y i −1
Yi ( i = 1 , 2 ,... n ) Y0
Yi Y = n ∏ Y i −1 Y0
时间序列的速度分析 增长速度） （增长速度）
增长速度（也称增长率）： 增长速度（也称增长率）： 增长率 是增长量与基期水平之比 用于描述现象的相对增长速度
解 年平均国内 生产总值为
Y=
∑Y
i =1
n
i
n
=
1055656.8 = 70377.1(亿元） 15
年平均年末 总人口数
114333 129988 +115823+... +129227 + 2 Y= 2 15 −1 =123089.6071(万人)