高考数学一轮复习 2.12 函数与方程课件 理
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高考数学一轮复习函数与方程
3.二分法的定义
对于在区间[a，b]如图象连续不断且f（a）f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不
断地把它的零点所在区间 一分为二 ，使所得区间的两个端点逐步逼近零
点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
目录
4.用二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的一般步骤
（1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0；
目录
（多选）有如下说法，其中正确的有
（
）
A.函数f（x）的零点为x0，则函数f（x）的图象经过点（x0，0）时，函数值一定
变号
B.连续不断的函数，相邻两个零点之间的所有函数值保持同号
C.函数f（x）在区间[a，b]上连续，若满足f（a）·f（b）＜0，则方程f（x）＝0
在区间[a，b]上一定有实根
c）（x－a）的两个零点分别位于区间 （
）
A.（a，b）和（b，c）内
B.（－∞，a）和（a，b）内
C.（b，c）和（c，＋∞）内
D.（－∞，a）和（c，＋∞）内
解析：A 函数y＝f（x）是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a＜b
＜c，则a－b＜0，a－c＜0，b－c＜0，因此f（a）＝（a－b）（a－c）＞0，f
知，当直线y＝2mx的斜率在kOA，kOB之间时，有三个交点，即kOA＜2m＜
1
1
1
1
kOB，因为kOA＝－ ，kOB＝1，所以－ ＜2m＜1，解得－ ＜m＜ .
3
3
6
2
答案 （2）A
目录
｜解题技法｜
利用函数零点求参数（范围）的方法
目录
考向2 探究函数多个零点（方程根）问题
− 2 −2, ≤ 0,
对于在区间[a，b]如图象连续不断且f（a）f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不
断地把它的零点所在区间 一分为二 ，使所得区间的两个端点逐步逼近零
点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
目录
4.用二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的一般步骤
（1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0；
目录
（多选）有如下说法，其中正确的有
（
）
A.函数f（x）的零点为x0，则函数f（x）的图象经过点（x0，0）时，函数值一定
变号
B.连续不断的函数，相邻两个零点之间的所有函数值保持同号
C.函数f（x）在区间[a，b]上连续，若满足f（a）·f（b）＜0，则方程f（x）＝0
在区间[a，b]上一定有实根
c）（x－a）的两个零点分别位于区间 （
）
A.（a，b）和（b，c）内
B.（－∞，a）和（a，b）内
C.（b，c）和（c，＋∞）内
D.（－∞，a）和（c，＋∞）内
解析：A 函数y＝f（x）是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a＜b
＜c，则a－b＜0，a－c＜0，b－c＜0，因此f（a）＝（a－b）（a－c）＞0，f
知，当直线y＝2mx的斜率在kOA，kOB之间时，有三个交点，即kOA＜2m＜
1
1
1
1
kOB，因为kOA＝－ ，kOB＝1，所以－ ＜2m＜1，解得－ ＜m＜ .
3
3
6
2
答案 （2）A
目录
｜解题技法｜
利用函数零点求参数（范围）的方法
目录
考向2 探究函数多个零点（方程根）问题
− 2 −2, ≤ 0,
人教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二 函数 第三章 函数与基本初等函数-第八节 函数与方程
2.用二分法求方程 + lg − 3 = 0的近似解，以下区间可以作为初始区间的是() B
A.[1,2]B.[2,3]C.[3,4]D.[4,5]
[解析]设 = + − ，显然函数图象是连续的，且 = − < ，
= − < ， = > ， = + > ， = + > ，
[解析]因为函数 =
−
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
− 在区间 , 上单调递增，又函数
= − − 的一个零点在区间 , 内，则有 ⋅ < ，所以
− − − < ，即 − < ，所以 < < .故选C.
4.已知函数 = e − e− + 4，若方程 = + 4 > 0 有三个不同的实根1 ，
= 或 = ，作出 的图象，如图所示：
观察图象可知, = − 无解, = 有3个解, = 有1个解.综上所述,函数
的零点个数为4.故答案为4.
［对点训练3］（1）已知函数 =
实根个数为() A
A.3
2 +1
൞ 2
−1
B.4
定理得函数 的零点位于区间 , 内.故选C.
法二（数形结合）：
函数 = + − 的零点所在区间转化为 = ，
= − + 的图象的交点横坐标所在范围.如图所示，可知
的零点在 , 内.故选C.
［对点训练1］ （多选题）下列函数中，在区间[−1,3]上存在唯一零点的有() BCD
2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第8讲函数与方程课件
解法二：(图象法)函数 f(x)的图象如图所示，
由图象知函数 f(x)共有 2 个零点．
2．已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1,1]时，f(x)
＝2|x|－1，则函数g(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( B )
A．9
B．10
C．11
D．18
[解析] 由函数y＝f(x)的性质，画出函数y＝f(x)的图象，如图，再
考向 2 函数零点个数的确定——师生共研
x2＋x－2，x≤0， 1.函数 f(x)＝－1＋ln x，x>0 的零点个数为( B )
A．3
B．2
C．7
D．0
[解析] 解法一：(直接法)由 f(x)＝0 得
x≤0，
x>0，
x2＋x－2＝0 或－1＋ln x＝0，
解得 x＝－2 或 x＝e.
因此函数 f(x)共有 2 个零点．
2．几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与__x_轴__有交点⇔函数y＝ f(x)有__零__点____.
3．函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并 且有___f_(_a_)f_(_b_)＜__0_____，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存 在c∈(a，b)，使得___f_(c_)_＝__0__，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
点所在的大致区间是( C )
1
A．e，1
C．(2，e)
B．(1,2) D．(e，＋∞)
2 [解析] y＝f(x)＝ln x－x的定义域为(0，＋∞)，因为 y＝ln x 与 y＝
2
2
－x在(0，＋∞)上单调递增，所以 f(x)＝ln x－x在(0，＋∞)上单调递增，
第07讲函数与方程(课件)-2024年高考数学一轮复习(新教材新高考)
范围是________．
【答案】 −∞, −1
2
当 < 0时，令′ = 0，解得 = 0或 = − ，
【解析】因为 = 3 + 3 2 − 4，所以′ = 3 2 + 6 = 3 + 2
当 = 0时，有 = 3 2 − 4 = 0，解得 = ± 2 3，
公共点.
N
Q
Z
R
N
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f(a)f(b)<0
(a，b) 内至少有一个零点，即存
__________，那么，函数y＝f(x)在区间
在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.二分法
2
−∞, −
=
2
2
2
−∞, −
2
当 ∈ 0, − ，′ > 0， 在区间 0, − 上单调递增；
当 > 0时，由′ = 0，解得 = 0或 = − ，
2
且有 0 = −4， −
> 0，
， 存在一个正数零点，所以不符合题意；
2 3
,0
3
2
2 3
3
2024
高考一轮复习
第07讲 函数与方程
导师：稻壳儿
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考题统计
考情分析
【答案】 −∞, −1
2
当 < 0时，令′ = 0，解得 = 0或 = − ，
【解析】因为 = 3 + 3 2 − 4，所以′ = 3 2 + 6 = 3 + 2
当 = 0时，有 = 3 2 − 4 = 0，解得 = ± 2 3，
公共点.
N
Q
Z
R
N
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f(a)f(b)<0
(a，b) 内至少有一个零点，即存
__________，那么，函数y＝f(x)在区间
在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.二分法
2
−∞, −
=
2
2
2
−∞, −
2
当 ∈ 0, − ，′ > 0， 在区间 0, − 上单调递增；
当 > 0时，由′ = 0，解得 = 0或 = − ，
2
且有 0 = −4， −
> 0，
， 存在一个正数零点，所以不符合题意；
2 3
,0
3
2
2 3
3
2024
高考一轮复习
第07讲 函数与方程
导师：稻壳儿
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考题统计
考情分析
高三数学第一轮复习课件(ppt)目录
Page 12
目录 CONTENTS
第二章
2.1 函数及其表示 2.2 函数的单调性与最值 2.3 函数的奇偶性与周期性 2.4 一次函数、二次函数 2.5 指数与指数函数 2.6 对数与对数函数 2.7 幂函数 2.8 函数的图象及其变换 2.9 函数与方程
函数
2.10 函数模型及其应用
第一讲：三角函数
S ABC=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2ah，可得sinA=√15/8，sinC=√15/4。
∴cosA=7/8,cosC=1/4，
∴cos（A-C）=7/8 x 1/4 + √15/8 x √15/4
=11/16 c=2
A
b=2
h=√15/2
Page 21
B
C 1/2 a
1/2
C、﹙1，＋∞﹚
D、[1，＋∞﹚
解析：由于3x＞0，所以3x+1＞1，所以f（x）＞0，集合表示为（0，＋∞），答案为A
2、已知函数y=2x＋1的值域为（5,7），则对应的自变量x的范围为（
）
A、[2,3）
B、[2,3]
C、(2,3)
D、（2,3]
解析：根据题意：5＜2x+1＜7,解得2＜x＜3，用集合表示为（2,3），答案为C
A [1,2]
解析：解二元一次不等式x2 +2x-8≤0，可得-4≤x≤2，所以M为[-4,2]; 解不等式3x-2≥2x-1,可得x≥1,所以N为[1,＋∞﹚。此时我们可以应用数轴马 上解决问题：
-4 0 1 2
如图所示，阴影部分即为所求。答案：A 启示：掌握好数轴工具，在集合、函数问题（ B
B、﹙－∞，5]
）
D、[5，＋∞﹚
高考一轮总复习数学(理)课件 第2章 函数、导数及其应用 2-11 板块一 知识梳理 自主学习ppt版本
一轮总复习·数学（理）
第2章 函数、导数及其应用 第11讲 导数在研究函数中的应用
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点1 函数的导数与单调性的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内 单调递增 ； (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内 单调递减 ； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是 常数函数 ．
1
－
a.
∴
f′(x)
＝
1 x
－
ax
＋
a
－
1
＝
－ax2＋1＋ x
ax－x.①若
a≥0，当
0<x<1
时，f′(x)>0，f(x)
单调递增；当 x>1 时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以 x＝1
是 f(x)的极大值点．②若 a<0，由 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x
＝－1a.因为 x＝1 是 f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－
命题角度2 根据函数的单调性求参数范围
例2 已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]
上是单调减函数，则a的取值范围是(
)
A．0，34
C．34，＋∞
B.12，34 D.0，12
[解 析 ] f′(x)＝ (2x－ 2a)ex ＋ (x2 － 2ax)ex ＝ [x2 ＋ (2 － 2a)x－2a]ex，由题意知当 x∈[－1,1]时，f′(x)≤0 恒成立， 即 x2＋(2－2a)x－2a≤0 恒成立．
①当－a2≤1 时，即－2≤a＜0 时，f(x)在[1,4]上的最小
值为 f(1)，由 f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得 a＝±2 2－2，均不符
第2章 函数、导数及其应用 第11讲 导数在研究函数中的应用
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点1 函数的导数与单调性的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内 单调递增 ； (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内 单调递减 ； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是 常数函数 ．
1
－
a.
∴
f′(x)
＝
1 x
－
ax
＋
a
－
1
＝
－ax2＋1＋ x
ax－x.①若
a≥0，当
0<x<1
时，f′(x)>0，f(x)
单调递增；当 x>1 时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以 x＝1
是 f(x)的极大值点．②若 a<0，由 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x
＝－1a.因为 x＝1 是 f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－
命题角度2 根据函数的单调性求参数范围
例2 已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]
上是单调减函数，则a的取值范围是(
)
A．0，34
C．34，＋∞
B.12，34 D.0，12
[解 析 ] f′(x)＝ (2x－ 2a)ex ＋ (x2 － 2ax)ex ＝ [x2 ＋ (2 － 2a)x－2a]ex，由题意知当 x∈[－1,1]时，f′(x)≤0 恒成立， 即 x2＋(2－2a)x－2a≤0 恒成立．
①当－a2≤1 时，即－2≤a＜0 时，f(x)在[1,4]上的最小
值为 f(1)，由 f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得 a＝±2 2－2，均不符
高三数学一轮复习 函数与方程、函数模型及应用课件 新人教B版
• 四、实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实根的 符号与系数之间的关系 • 1．方程有两个不相等的正实数根⇔
• 2．方程有两个不相等的负实根⇔
• 五、一元二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的区间根问 题 • 研究一元二次方程的区间根，一般情况下需要从以下三 个方面考虑： • 1．一元二次方程根的判别式； • 2．对应二次函数区间端点函数值的正负；
(3)若f(x0)· f(b0)<0，则方程f(x)＝0的一个根位于区间 (x0，b0)中，令a1＝x0，b1＝b0. 1 第四步：取区间(a1，b1)的中点x1＝ 2 (a1＋b1)，重复第 二、第三步，……直到第n次，方程f(x)＝0的一个根总在 区间(an，bn)中． 第五步：当|an－bn|<ε，(ε是规定的精确度)时，区间 (an，bn)内的任何一个值就是方程f(x)＝0的一个近似根． 注意：二分法只适用于求函数f(x)的变号零点．
解析：(1)设投资x万元时，A产品的利润为f(x)万 元，B产品的利润为g(x)万元． 由题设f(x)＝k1x，g(x)＝k2 x， 1 1 由图知f(1)＝4，∴k1＝4. 5 5 又g(4)＝2，∴k2＝4. 1 5 从而f(x)＝ x(x≥0)，g(x)＝ x(x≥0)． 4 4
• 解析：(1)当0<x≤100时，f(x)＝60； • 当100<x≤600时，f(x)＝60－(x－100)×0.01＝61－ 0.01x.
60 ∴f(x)＝ 61－0.01x
0<x≤100 . 100<x≤600
• • • • •
(2)设利润为y元，则0<x≤100时， y＝60x－50x＝10x， ∴x＝100时，ymax＝1000元． 当100<x≤600时， y＝(61－0.01x)·x－50x＝11x－0.01x2
高三数学一轮复习专题：函数与方程
函数与方程一．课标要求：1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
二．命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。
从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。
高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。
三．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。
零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。
既存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程的根。
2.二分法二分法及步骤：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε； （2）求区间a (，)b 的中点1x ； （3）计算)(1x f ：①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；②若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）； （4）判断是否达到精度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4。
新课标2023版高考数学一轮总复习第2章函数第1节函数及其表示课件
[0,1) 解析：因为 y＝f(x)的定义域为[0,2]， 所以，要使 g(x)有意义应满足0x－≤12≠x≤02，， 解得 0≤x<1．所以 g(x)的定义域是[0,1)．
常见函数类型的定义域 (1)分式中，分母不为 0． (2)偶次方根中，被开方数非负． (3)对于 y＝x0，要求 x≠0，负指数的底数不为 0． (4)抽象函数定义域要注意对应法则下的取值范围． (5)对数式中，真数大于 0．
考向 1 分段函数求值 x2－4，x>2，
(1)(2021·浙江卷)已知 a∈R，函数 f(x)＝|x－3|＋a，x≤2. 若 f(f( 6))＝3，则 a＝__________．
x2＋2x＋2，x≤0， (2)设函数 f(x)＝－x2，x>0. 若 f(f(a))＝2，则 a＝________．
AC 解析：对于 A，f(x)＝x2－2x－1 的定义域为 R，g(s)＝s2－ 2s－1 的定义域为 R，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于 B，f(x)＝ －x3＝－x －x的定义域为{x|x≤0}，g(x)＝x －x的 定义域为{x|x≤0}，对应关系不同，不是同一函数；对于 C，f(x)＝xx＝ 1 的定义域为{x|x≠0}，g(x)＝x10＝1 的定义域为{x|x≠0}，定义域相同， 对应关系也相同，是同一函数；对于 D，f(x)＝x 的定义域为 R，g(x) ＝ x2＝|x|的定义域为 R，对应关系不同，不是同一函数．故选 AC．
(√)
(5)函数 y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线．
(×)
2．(2021·安阳模拟)设集合 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}．下 面的 4 个图形中，能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的有( )
常见函数类型的定义域 (1)分式中，分母不为 0． (2)偶次方根中，被开方数非负． (3)对于 y＝x0，要求 x≠0，负指数的底数不为 0． (4)抽象函数定义域要注意对应法则下的取值范围． (5)对数式中，真数大于 0．
考向 1 分段函数求值 x2－4，x>2，
(1)(2021·浙江卷)已知 a∈R，函数 f(x)＝|x－3|＋a，x≤2. 若 f(f( 6))＝3，则 a＝__________．
x2＋2x＋2，x≤0， (2)设函数 f(x)＝－x2，x>0. 若 f(f(a))＝2，则 a＝________．
AC 解析：对于 A，f(x)＝x2－2x－1 的定义域为 R，g(s)＝s2－ 2s－1 的定义域为 R，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于 B，f(x)＝ －x3＝－x －x的定义域为{x|x≤0}，g(x)＝x －x的 定义域为{x|x≤0}，对应关系不同，不是同一函数；对于 C，f(x)＝xx＝ 1 的定义域为{x|x≠0}，g(x)＝x10＝1 的定义域为{x|x≠0}，定义域相同， 对应关系也相同，是同一函数；对于 D，f(x)＝x 的定义域为 R，g(x) ＝ x2＝|x|的定义域为 R，对应关系不同，不是同一函数．故选 AC．
(√)
(5)函数 y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线．
(×)
2．(2021·安阳模拟)设集合 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}．下 面的 4 个图形中，能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的有( )
2014版高考数学一轮总复习 第12讲 函数与方程课件 理 新人教A版
1 B．(0,1)，f(2) 1 1 D．(0，2)，f(4)
1 1 【解析】因为 f(0)<0，f(2)>0，所以 f(0)· 2)<0， f( 1 0＋2 1 1 则 x0∈(0，2)，第二次计算 f( 2 )＝f(4)，故选 D.
3.方程 0.9x－x＝0 的实数解的个数是( A．0 C．2 B．1 D．3
【解析】 (2)函数 f(x)的零点个数， 即为方程 f(x)＝0 的根的 个数．
x>0 x≤0 由 2 或 ， －2＋lnx＝0 x ＋2x－3＝0
得 x＝－3(x＝1 舍去)或 x＝e2，有两根， 故函数 f(x)的零点个数为 2，选 B.
二
二分法
【例 2】 用二分法求函数 f(x)＝x3－x－1 在区间[1,1.5]内 的一个零点(精确度为 0.1)．
【解析】 由于 f(1)＝1－1－1＝－1<0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0， 所以 f(x)在区间[1,1.5]内存在零点，取区间[1,1.5]作为计算的初始区间． 用二分法逐次计算列表如下： 端(中)点 中点函数值 零点所在区间 |an－bn| 坐标 符号 [1,1.5] 1.25 1.375 1.3125 f(1.25)<0 f(1.375)>0 [1.25,1.5] [1.25,1.375] 0.5 0.25 0.125
f(1.3125)<0 [1.3125,1.375] 0.0625
因为|1.375－1.3125|＝0.0625<0.1， 所 以 函 数 的 零 点 落 在 区 间 长 度 小 于 0.1 的 区 间 [1.3125,1.375]内， 故函数零点的近似值为 1.3125.
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(2)当 x≤0 时，f(x)＝x2－2，
令 x2－2＝0，得 x＝ 2(舍)或 x＝－ 2，
即在区间(－∞，0)上，函数只有一个零点. 当 x>0 时，f(x)＝2x－6＋ln x， 令 2x－6＋ln x＝0，得 ln x＝6－2x. 作出函数 y＝ln x 与 y＝6－2x 在区间(0，＋∞)上 的图象， 则两函数图象只有一个交点，即函数 f(x)＝2x－6 ＋ln x(x>0)只有一个零点. 综上可知，函数 f(x)的零点的个数是 2.
【点评】函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点，令 f(x)＝0，有几个解就有几个零 点.
(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是 连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象 与性质确定函数零点个数.
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其 交点个数即得零点个数.
f(m)<0
Δ >0 m<－2ba<n f（m）>0 f（n）>0 ff（（mn））<>00 f（p）>0
Δ ＝0 m<－2ba<n 或 f(m)·f(n)<0
一、函数零点区间的判定
例1(1)若函数 f(x)唯一的零点同时在区间(0，16)，
(0，8)，(0，4)，(0，2)内，则下列结论正确的是( D )
af（m）>0， af（n）<0，
af（p）>0
.
【解析】数形结合知，二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋ c(a≠0)的两个零点分别在区间(m，n)，(n，p)内的充
af（m）>0， 要条件是af（n）<0，
af（p）>0.
【知识要点】 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y＝f(x)，我们把使___f_(x_)_＝__0___的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点． (2)方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y＝f(x)有__零__点____． (3)函数零点的判定 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是_连__续__不__断__ 的一条曲线，并且有__f_(a__)·_f_(b_)_<_0__，那么，函数 y＝f(x) 在区间___(a_，___b_) __内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c) ＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．
A.函数 f(x)在区间(0，1)内没有零点 B.函数 f(x)在区间(0，1)和(1，2)内都有零点 C.函数 f(x)在区间(1，16)内有零点 D.函数 f(x)在区间[2，16)内没有零点 (2)若 a<b<c，则函数 f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x
－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( A )
2.函数 f(x)＝x3－2x2＋x 的零点是 0，1 .
【解析】解方程 x3－2x2＋x＝0，得 x＝0，x＝1， 所以函数的零点是 0，1.
3.给出三个区间0，1e，e12，1e，1e，1，则函数 f(x)＝x＋ln x 的零点所在的一个区间是 1e，1 .
【点评】函数零点的判定方法：
(1)定义法：使用零点存在性定理，函数 y＝f(x) 必须在区间[a，b]上是连续的，当 f(a)·f(b)＜0 时，函 数在区间(a，b)内至少有一个零点.
(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数 的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如 f(x)＝g(x) －h(x)，作出 y＝g(x)和 y＝h(x)的图象，其交点的横坐 标即为函数 f(x)的零点.
2．二次函数 y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)零点的分布
根的分布
(m<n<p 为常数)
图象
满足条件
x1<x2<m
Δ >0
－2ba<m f（m）>0
m<x1<x2
Δ>0 －2ba>m fm）>0x1<m<x2
m<x1<x2<n
m<x1<n<x2<p 只有一根在 (m，n)之间
三、一元二次方程根的分布
例3已知关于 x 的二次方程 x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内， 另一根在区间(1，2)内，求 m 的取值范围；
A.(a，b)和(b，c)内 B.(－∞，a)和(a，b)内 C.(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)内
【解析】(1)由题意可确定函数 f(x)唯一的零点在 区间(0，2)内，故在区间[2，16)内没有零点.
(2)因为 f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－ a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，所以 f(a)f(b)＜0，f(b)f(c) ＜0，所以函数的两个零点分别在(a，b)和(b，c)内， 故选 A.
二、函数零点个数的判定 例2(1)函数 f(x)＝x12－12x的零点个数为( B ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)函数 f(x)＝x2x2－－26，＋xln≤x0，，x＞0的零点个数是 __2__.
【解析】(1)令 f(x)＝x12－12x＝0，得 x12 ＝12x.求 零点个数可转化为求两个函数图象的交点个数，又两 函数图象有一个交点，故选 B.
第12讲 函数与方程
【学习目标】
1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程 根的联系，判断根的存在性与根的个数．
2．利用函数的零点求解参数的取值范围．
【基础检测】 1.函数 f(x)＝ln x＋2x－6 的零点个数是__1__.
【解析】函数 f(x)单调递增，且 f(2)<0，f(3)>0， 故存在唯一一个零点.
【解析】当 x 从 1 趋近于 0 时，ln x 趋近于负无 穷，所以 f(x)趋近于负无穷，而 f1e＝1e＋ln 1e＝1e－1<0， fe12＝e12＋ln e12＝e12－2<0，f(1)＝1＋ln 1>0，所以函数 的零点所在的一个区间是1e，1.
4.二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点分 别在区间(m，n)，(n，p)内的充要条件是
令 x2－2＝0，得 x＝ 2(舍)或 x＝－ 2，
即在区间(－∞，0)上，函数只有一个零点. 当 x>0 时，f(x)＝2x－6＋ln x， 令 2x－6＋ln x＝0，得 ln x＝6－2x. 作出函数 y＝ln x 与 y＝6－2x 在区间(0，＋∞)上 的图象， 则两函数图象只有一个交点，即函数 f(x)＝2x－6 ＋ln x(x>0)只有一个零点. 综上可知，函数 f(x)的零点的个数是 2.
【点评】函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点，令 f(x)＝0，有几个解就有几个零 点.
(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是 连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象 与性质确定函数零点个数.
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其 交点个数即得零点个数.
f(m)<0
Δ >0 m<－2ba<n f（m）>0 f（n）>0 ff（（mn））<>00 f（p）>0
Δ ＝0 m<－2ba<n 或 f(m)·f(n)<0
一、函数零点区间的判定
例1(1)若函数 f(x)唯一的零点同时在区间(0，16)，
(0，8)，(0，4)，(0，2)内，则下列结论正确的是( D )
af（m）>0， af（n）<0，
af（p）>0
.
【解析】数形结合知，二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋ c(a≠0)的两个零点分别在区间(m，n)，(n，p)内的充
af（m）>0， 要条件是af（n）<0，
af（p）>0.
【知识要点】 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y＝f(x)，我们把使___f_(x_)_＝__0___的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点． (2)方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y＝f(x)有__零__点____． (3)函数零点的判定 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是_连__续__不__断__ 的一条曲线，并且有__f_(a__)·_f_(b_)_<_0__，那么，函数 y＝f(x) 在区间___(a_，___b_) __内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c) ＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．
A.函数 f(x)在区间(0，1)内没有零点 B.函数 f(x)在区间(0，1)和(1，2)内都有零点 C.函数 f(x)在区间(1，16)内有零点 D.函数 f(x)在区间[2，16)内没有零点 (2)若 a<b<c，则函数 f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x
－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( A )
2.函数 f(x)＝x3－2x2＋x 的零点是 0，1 .
【解析】解方程 x3－2x2＋x＝0，得 x＝0，x＝1， 所以函数的零点是 0，1.
3.给出三个区间0，1e，e12，1e，1e，1，则函数 f(x)＝x＋ln x 的零点所在的一个区间是 1e，1 .
【点评】函数零点的判定方法：
(1)定义法：使用零点存在性定理，函数 y＝f(x) 必须在区间[a，b]上是连续的，当 f(a)·f(b)＜0 时，函 数在区间(a，b)内至少有一个零点.
(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数 的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如 f(x)＝g(x) －h(x)，作出 y＝g(x)和 y＝h(x)的图象，其交点的横坐 标即为函数 f(x)的零点.
2．二次函数 y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)零点的分布
根的分布
(m<n<p 为常数)
图象
满足条件
x1<x2<m
Δ >0
－2ba<m f（m）>0
m<x1<x2
Δ>0 －2ba>m fm）>0x1<m<x2
m<x1<x2<n
m<x1<n<x2<p 只有一根在 (m，n)之间
三、一元二次方程根的分布
例3已知关于 x 的二次方程 x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内， 另一根在区间(1，2)内，求 m 的取值范围；
A.(a，b)和(b，c)内 B.(－∞，a)和(a，b)内 C.(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)内
【解析】(1)由题意可确定函数 f(x)唯一的零点在 区间(0，2)内，故在区间[2，16)内没有零点.
(2)因为 f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－ a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，所以 f(a)f(b)＜0，f(b)f(c) ＜0，所以函数的两个零点分别在(a，b)和(b，c)内， 故选 A.
二、函数零点个数的判定 例2(1)函数 f(x)＝x12－12x的零点个数为( B ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)函数 f(x)＝x2x2－－26，＋xln≤x0，，x＞0的零点个数是 __2__.
【解析】(1)令 f(x)＝x12－12x＝0，得 x12 ＝12x.求 零点个数可转化为求两个函数图象的交点个数，又两 函数图象有一个交点，故选 B.
第12讲 函数与方程
【学习目标】
1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程 根的联系，判断根的存在性与根的个数．
2．利用函数的零点求解参数的取值范围．
【基础检测】 1.函数 f(x)＝ln x＋2x－6 的零点个数是__1__.
【解析】函数 f(x)单调递增，且 f(2)<0，f(3)>0， 故存在唯一一个零点.
【解析】当 x 从 1 趋近于 0 时，ln x 趋近于负无 穷，所以 f(x)趋近于负无穷，而 f1e＝1e＋ln 1e＝1e－1<0， fe12＝e12＋ln e12＝e12－2<0，f(1)＝1＋ln 1>0，所以函数 的零点所在的一个区间是1e，1.
4.二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点分 别在区间(m，n)，(n，p)内的充要条件是