函数与方程PPT课件

函数与方程
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1．函数的零点 (1)函数零点的定义
对于函数 y＝f(x) (x∈D)，把使 f(x)＝0 成立的实数 x 叫做函数
y＝f(x) (x∈D)的零点． (2)几个等价关系
方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x轴 有交点 ⇔函数 y＝f(x)有 零点 ．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，
函数零点的应用问题
例3 若关于x的方程 22x 2x a a 1 0
有实根,求实数a的取值范围.
(, 2 2 2]
并且有f(a)·f(b)<0 ，那么函数 y＝f(x)在区间(a，b) 内有零点， 即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个 c 也就是 f(x)＝0 的根．
2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与 x 轴的交点 (x1,0) ， (x2,0)
零点个数
_2_
Δ＝0
(x1,0) _1 _
Δ<0
无交点
_0 _
3．二分法 (1)定义
对于在区间[a，b]上连续不断且 f (a) f (b) 0 的函数
y ＝ f(x) ， 通 过 不 断 地 把 函 数 f(x) 的 零 点 所 在 的 区
间 一分为二 ，使区间的两个端点逐步逼近 零点 ，进
m 函数的零点近似值x0＝ an bn与真实零点a的误
差最大不超过______ 2
函数零点的判断和求解
例1（1）函数 f (x) x cos x2在区间 [0, 4]
上的零点个数为（ C）
A.4 B.5 C.6
D.7
(2)设函数 f (x) x2 2 (x 0), 当 a 1
而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相
应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．
3．二分法
给定精确度 ，用二分法求函数
(1)确定区间[a,b]，验证 ·
零点近似值的步骤如下： ＜0，给定精确度 ；
(2)求区间 ， 的中点 ； (3)计算 ：
1 若 = ，则 就是函数的零点；
2 若 · ＜0，则令 = （此时零点
x
时，方程 f (x) f (a) 的实根个数为 3个 .
二次函数的零点问题
例2
是否存在这样的实数a，使函数
f (x) x2 (3a 2)x a 1 在区间 [1,3]
上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出 a的范围；若不存在，说明理由.
a 1 或a 1 5
）；
3 若 · ＜0，则令 = （此时零点
）；
(4)判断是否达到精确度 ；即若
＜ ，则得到零点近
似值 （或 ）；否则重复步骤 2-4．
1.下列函数图象与x
轴均有交点，但不宜 用二分法求交点横坐
标的是( B )
2.用二分法求函数的零点，函数的零点总位于
区间[an，bn] (n∈N)上，当|an－bn|<m 时，