河南省南阳华龙高级中学2019_2020学年高二数学5月月考试题文

河南省南阳华龙高级中学2019-2020学年高二数学5月月考试题 文一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．若i 是虚数单位，则2(3)i i +（ ） A ．26i +B ．26i -C ．26i --D ．26i -+2．给出一种运算：对于函数ny x =，规定1n y nx -'=.例如：若函数4y x =，则有34y x '=.已知函数3y x =，则方程12y '=的解集是（ ） A ．{}4,4-B ．{}2,2-C ．{}0D ．{}23,23-3．为计算11234(1)n n S n +=-+-+-,设计了如图所示的程序框图，若执行该程序，则输出S 的值为( ) A ．2B ．-2C ．-3D ．34．在抛掷一颗骰子的实验中，事件A 表示“出现的点数不大于3”，事件B 表示“出现的点数是5”，则事件A B +发生的概率.（ ） A ．23B ．13C ．12D ．565．已知一组数据点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，…，()77,x y ，用最小二乘法得到其线性回归方程为24y x =-+，若数据1x ，2x ，3x ，…7x 的平均数为1，则71ii y==∑（ ）A ．2B ．11C ．12D ．146．在一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y （2n ≥，1x ，2x ，……，n x 不全相等）的散点图中，若所有样本点()()1,2,,,i i x y i n =⋅⋅⋅都在直线215y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ） A ．-1 B ．0C ．12D ．17．曲线6cos 10sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦点坐标是( )A ．()0,6±B ．()6,0±C ．()0,8±D ．()8,0±8．在平面直角坐标系中，方程221x y +=所对应的图形经过伸缩变换23x xy y ''=⎧⎨=⎩后的图形对应的方程是( )A ．22491x y ''+=B ．22231x y ''+=C ．22149x y ''+=D ．221x y ''+=9．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班人数都超过60人B ．根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质C ．平行四边形对角线互相平分，矩形是平行四边形，所以矩形的对角线互相平分D ．在数列{}n a 中，*1121,,2nn na a a n a +==∈N +，计算23,,a a 由此归纳出{}n a 的通项公式 10．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，则△ABC 的内切圆半径为2Sb cr a =++.将此结论类比到空间四面体：设四面体S ABC -的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，体积为V ，则四面体的内切球半径为r ＝（ ）A ．1234V S S S S +++B ．12342VS S S S +++C ．12343VS S S S +++D ．12344VS S S S +++11．已知直线为参数）与曲线C ：交于A 、B 两点，则（ ）A ．1B ．C ．D ．12．我们把1,4,9,16,25,...这些数称为正方形数，这是因为这些数目的点可以排成正方形（如图）.由此可推得前2n 个正方形数的和为（ ）A ．()()()22212216n n n ++-B ．()()()22212216n n n +++C ．()()2221216n n n ++D ．()()2221216n n n +-二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知i 是虚数单位，如图，在复平面内，点A 对应的复数为1z ，若21z i z =，则2z =________. 14．为了加强学生的环保意识，某校组织了一次垃圾分类知识大赛，通过初赛，甲、乙丙三位同学进入决赛，角逐一、二、三等奖（不能并列）.在获奖结果揭晓前，A ，B ，C ，D 四位同学对获奖结果预测如下：A 说：甲或乙获得一等奖；B 说：乙或丙获得一等奖；C 说：甲、乙都未获得一等奖；D 说：乙获得一等奖.若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的同学是__________.15．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：图1 图2他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数．类似地，称图2中的1，4，9，16，…的数为正方形数．观察下列数：①144；②289；③1024； ④1225； ⑤1378．其中，既是三角形数又是正方形数的是__________． (写出所有符合要求的数的序号)16．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>．过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为2{4x ty t=-+=-+（t 为参数）．设直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点．若,,PM MN PN 成等比数列，则a 的值为________．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知复数1i z =+，i 为虚数单位．()1设234w z z =+-，求w ；()2若3i 2i a z-=-，求实数a 的值.18．（12分）微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司200名员工中0090的人使用微信，其中每天使用微信时间少于一小时的有60人，其余的员工每天使用微信时间不少于一小时，若将员工分成青年（年龄小于40岁）和中年（年龄不小于40岁）两个阶段，那么使用微信的人中0075是青年人.若规定：每天使用微信时间不少于一小时为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中23都是青年人. （1）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，完成22⨯列联表：（2）由列联表中所得数据判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“经常使用微信与年龄有关”？22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++19．（12分）不等式证明：（1≥,x y 皆为正数）（2）已知0a >，0b >，2a b +>，求证：11,b aa b++至少有一个小于2.20．（12分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为,12x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），圆1C 的参数方程为1cos ,sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），圆2C 的参数方程为4cos ,44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．若直线l 分别与圆1C 和圆2C 交于不同于原点的点A 和B ．（1）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求圆1C 和圆2C 的极坐标方程；（2）求2C AB ∆的面积．21．（12分）至2018年底,我国发明专利申请量已经连续8年位居世界首位,下表是我国2012年至2018年发明专利申请量以及相关数据.注：年代代码1~7分别表示2012~2018.（1）可以看出申请量每年都在增加,请问这几年中那一年的增长率达到最高,最高是多少？ （2）建立y 关于t 的回归直线方程(精确到0.01),并预测我国发明专利申请量突破200万件的年份.参考公式：()()()1122211ˆ,n ni iiii i nni ii i x y nx y x x y y b ay bx x nx x x ====---===---∑∑∑∑. 22．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x ty t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点O 为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为243cos 2ρθ=-.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(1,2)P -，直线l 与曲线C 相交于AB 两点，求||||PA PB +的值.2020年高二文科数学5月份月考试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1.【答案】D由复数的乘法运算法则可得,2(3) -2 6 i i i +=+.故选：D 2．【答案】B 由题意可得'2312y x ==，即24x =，解得12x =，22x =-.故选:B. 3．【答案】C由程序框图可知，从0i =到5i =时，依次进入循环，5i =时，进入循环，此时16i i =+=，此时1234563S =-+-+-=-,6i =时，退出循环，所以此时输出S 的值是-3.故选：C 4．【答案】A掷一个骰子的试验，基本事件总数6n =，事件A 表示“出现的点数不大于3”，事件B 表示“出现的点数是5”，则一次试验中，事件A B +发生包含的基本事件有：1，2，3，5，共有4个元素， ∴一次试验中，事件A B +发生的概率为：4263p ==， 故选：A . 5．【答案】D∵1x =，且(),x y 在线性回归直线24y x =-+上，∴242142y x =-+=-⨯+=，则7177214ii yy ===⨯=∑.故选：D. 6．【答案】D因为所有样本点()()1,2,,,i i x y i n =⋅⋅⋅都在直线215y x =+上，所以这组样本数据的样本相关系数为1， 故选：D 7．【答案】C根据题意，曲线6cos (10sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），消去参数θ得椭圆22136100x y +=，其焦点在y 轴上，10a ∴=，6b =，则8c ==． 得焦点坐标是(0,8)±． 故选：C ． 8．【答案】C根据23x x y y''=⎧⎨=⎩反解,x y ，代入221x y +=，即可求得结果.【详解】根据23x x y y''=⎧⎨=⎩可得11,23x x y y ==''，代入221x y +=，可得22149x y ''+=.故选：C. 9．【答案】C对于A ，推理的方法是归纳推理（不完全归纳），对于B ，推理的方法是类比推理，对于D ，推理的方法是归纳推理（不完全归纳），对于C ，推理的方法是演绎推理. 10．【答案】C设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为：()123413V S S S S r =+++，所以12343V S S S S r =+++.故选：C 11．【答案】D 【解析】试题分析：由题：直线的标准参数方程为，曲线C 为，将直线代入到曲线方程中，得到，弦长为．12．【答案】C设前2n 个正方形数的和为n a ，则()()222111121116a ⨯+⨯+==，()()2222221221306a ⨯+⨯+==，()()222333123114916+25364964812856a ⨯+⨯+=+++++++==，由归纳推理得()()2221216nn n n a ++=.故选：C.13．【答案】2i --由题图可知，112z i =-+，由21z i z =，得()21122z z i i i i ==-+=--. 故答案为：2i --. 14．【答案】丙若甲获得一等奖，则只有同学A 的预测正确，不合题意；若乙获得一等奖，则同学A ，B ，D 的预测正确，不合题意；若丙获得一等奖，则同学B ，C 的预测正确，符合题意，所以丙获得一等奖. 故答案为：丙. 15．【答案】④由图形可得三角形数构成的数列通项(1)2n na n =+， 同理可得正方形数构成的数列通项2n b n =， 则由2()n b n n N +=∈可排除⑤，又由(1)2n na n =+， (1)14410242892nn +=或或无正整数解，所以排除①②③， 故答案为：④．16．【答案】1 【解析】 试题分析：曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>，则，所以可得直角坐标系方程为22y ax ，将直线的参数方程代入抛物线方程得：2t (82)1640a t a -+++=121282,164t t a t t a +=+⋅=+若,,PM MN PN 成等比数列，所以22212121212||,()()4MN PM PN t t t t t t t t =∴-=+-=，化简得2(4)5(4)a a +=+又因为04a a ><-或，所以1a =．17．【答案】（1）2ω；（2）3a = 解：（1）由复数1z i =+，得1z i =-．则()2234(1)3141213341z z i i i i i ω=+-=++--=+-+--=--，故22(1)(1)2ω=-+-=（2）()()()()3111112a i i a i a i a ai i z i i i +--+-++===++- 11222a a i i +-=-=-， 由复数相等的充要条件得：122112a a +⎧=⎪⎪⎨-⎪-=-⎪⎩， 解得3a =． 18．【答案】（1）由题意可得，该公司员工中使用微信共有：2000.9180⨯=（人）经常使用微信的有18060120-=（人）， 其中青年人：2120803⨯=（人） 使用微信的青年人为：31801354⨯=（人） 填写22⨯列联表如下：（2）由列联表数据可得： ()22180805554013.33310.8281206013545K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“经常使用微信与年龄有关”19．（1≥0>，⎫≥，也就是证：≥，只需证：()0x y -≥，即只要证：20≥，而20≥显然成立， 则上述不等式也成立，+≥.（2）假设11,b a a b++都大于等于2， 即112,2b a a b++≥≥， 又因为0a >，0b >，故可得12,12b a a b +≥+≥，两式相加可得222a b a b ++≥+，即2a b +≤，这与2a b +>矛盾，故假设不成立， 则11,b a a b++至少有一个小于2.20．【答案】（1）2cos ρθ=，8sin ρθ=；（2）3（1）由题意可知，圆1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=，即2220x y x +-=， ∴极坐标方程为2cos ρθ=，由题意可知，圆2C 的直角坐标方程为()22416x y +-=，即2280x y y +-=， ∴极坐标方程为8sin ρθ=．（2）直线l 的极坐标方程为6πθ=（R ρ∈），∵直线l 与圆1C ，2C 交于不同于原点的点A ，B ，∴26A cosπρ==846B sin πρ==，∴4A B AB ρρ=-=，又点()20,4C 到直线AB的距离为∴(21432C AB S ∆=⨯-⨯=， ∴2C AB ∆的面积为3．21．【答案】（1）2013年的增长率最高,达到了26%（2）ˆ1550.57yt =+;将在2021年突破200万件 （1）由表格可知2013,2014,2015,2016,2017,2018年的增长率分别如下:826526%65-=;9282=12%82-; 1109220%92-=;13311021%110-=; 1381334%133-=;15413812%138-=. ∴2013年的增长率最高,达到了26%.（2）由表格可计算出:()772117744,,3516,287i i i i i t y t y t t =====-=∑∑,7743516747747ˆˆ15,15450.57287b a -⨯⨯===-⨯=, y 关于t 的回归直线方程为ˆ1550.57y t =+.令1550.57200t +>.可得:149.439.9615t >= ∴根据回归方程可预测,我国发明专利申请量将在2021年突破200万件.22．【答案】（1）22:12x C y +=，:10l x y +-=；（2）||||PA PB +=(1)由12x t y t=-+⎧⎨=-⎩,两式相加可得:1l x y +=,即:10l x y +-=. 又22443cos 222sin ρθθ==-+,即22222+22sin 4244x y ρρθ=⇒+= 即22:12x C y +=. (2)将:10l x y +-=化简成关于点(1,2)P -的参数方程有：12x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,（t 为参数）, 代入22:12x C y +=有22212223140t ⎫⎫+++=⇒++=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭,则12||||3PA PB t t +=+=.。