06-第6讲周期函数的傅立叶级数

1 an f ( x)cosnxdx (n 0, 1, 2, ) 1 bn f ( x)sin nxdx (n 1, 2, )
(2)
（2）式称为欧拉—傅里叶公式。
2、傅里叶级数
a 作为系数而得到的三角级数 (a n cosnx bn sin nx) 2 n1


cos nxdx an ,
2
1 ∴ a n f ( x ) cos nxdx ( n 1, 2, ) 。
同理用 sin nx 乘以（1）式两边后积分，得
1 bn f ( x) sin nxdx (n 1, 2, ) 。
a0 可由 a n 统一给出：
a0 f ( x) (an cosnx bn sin nx)......( 1 ) 2 n1
并设级数(1)在 [，] 上可逐项积分，那么各项系数
a0 , a1 , b1 , a2 , b2 , 与 f ( x) 存在什么关系？如何求出？
利用三角函数系的正交性，对(1)式两边在 [，] 上积分：
a0 f ( x) (an cos nx bn sin nx)......( 1 ) 2 n1
f ( x)dx



a0 dx (an cos nxdx bn sin nxdx) a0 ， 2 n 1
故
一、三角级数及三角函数系的正交性
简单的周期运动:
(谐波函数)
( A为振幅, 为角频率, φ为初相 ) 复杂的周期运动:
An sin n cos n t An cos n sin n t
令
(谐波迭加)
an An sin n , bn An cos n , a0 得函数项级数 (an cos n x bn sin n x ) 2 k 1
f ( x) 的傅里叶级数展开式为：
4 1 1 f ( x) [sin x sin 3x sin(2k 1) x ] ， 3 2k 1 x(,0) (0,)
S ( x)
f ( x) f ( x 0) f ( x 0) 2 f ( 0) f ( 0) 2
cos nxdx 0
sin nxdx 0


( n 1, 2, 3, ) ；

(n 1, 2, 3, ) ；
( m, n 1, 2, 3, ) ；
cos mx sin nxdx 0
cos mx cos nxdx 0
sin mx sin nxdx 0
如例 1： x(, ) 时， (1)
x 时， (1)
n 1 n 1 2

n1 2
f ( 0) f ( 0) sin nx 0 。 n 2 2
n1
n
sin nx f ( x) x ，
y
3 2
sin sin 2sin
Leabharlann 2 2 sin sin 2 cos sin 2 2 cos cos 2 cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2
cos

x为f ( x )的连续点 x为f ( x )的间断点 x ,
x x 0 例 3．设 f ( x) 以 2 为周期，且 f ( x) ， 0 x 1 将 f ( x) 展开为傅里叶级数，并求其和函数 S ( x ) 。
1 1 0 1 bn f ( x) sin nxdx (1) sin nxdx sin nxdx 0
1 cosnx 0 1 cosnx [ ] [ ]0 n n
1 2 n (1 cosn cosn 1) [1 (1) ] n n 4 , n 2k 1, (2k 1) (k 1, 2, ) 0, n 2k .
1, x 0 例 2．设 f ( x ) 以 2 为周期，且 f ( x) ， 1, 0 x 将 f ( x) 展开为傅里叶级数，并求其和函数 S ( x ) 。
解： f ( x) 满足狄氏条件，由收敛定理知 f ( x) 的傅里叶级数 在[, ] 上收敛。
设 f ( x) 在 [，] 上可积，则以（2）式中的 a n 和 bn
称为函数 f ( x) 的傅里叶级数，记为
a0 (an cos nx bn sin nx) 。 f ( x) ~ 2 n 1
（3）
an (n 0, 1, 2, )和 bn (n 1, 2, )称为函数 f ( x)
§8-5 傅里叶级数展开
研究周期（函数）现象产生；
三角函数是最简单的周期函数；
任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数 构成的级数表示；
•
傅里叶(Fourier)，也译作傅立叶，法国数学家、物理学家。
•
1768年3月21日生于欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。
– – – – – – 9岁父母双亡， 被当地教堂收养。 12岁由一主教送入地方军事学校读书。 17岁（1785）回乡教数学。 1794到巴 黎，成为高等师范学校的首批学员，次年到巴黎综合工科学校执教。 1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，1801年回国后任伊泽尔省地方长官。 1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书。


( m, n 1, 2, 3, , m n ) ；
( m, n 1, 2, 3, , m n ) 。
三角函数系： 1 ， cosx， sin x， cos2x， sin 2x， ，cosnx， sin nx，
[ , ] 上的 在三角函数系中，任意一个函数的自乘在
积分为

2 1 dx 2 ；
2
cos nxdx
(n 1, 2, 3, ) ；
sin

2
nxdx ( n 1, 2, 3, ) 。
基；
单位正交；
二、周期函数展开为傅里叶级数
1、欧拉—傅里叶公式
设以 2 为周期的函数 f ( x) 可表示成三角级数：
1 1 0 1 a0 f ( x)dx dx dx 0 ， 0
1 1 0 1 an f ( x) cosnxdx (1) cosnxdx cosnxdx 0
0 ( n 1, 2, ) ，
a0 则 f ( x) 的傅里叶级数 (a n cosnx bn sin nx) 2 n1 在 [, ] 上收敛，且其和函数为：
f ( x) x为f ( x)的连续点 f ( x 0) f ( x 0) S ( x) x为f ( x)的间断点 2 f ( 0) f ( 0) x , 2
诱导公式：
函数
角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α sin -sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cos cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosα tg -tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctg -ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα
三角函数公式：
sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin tg ( ) tg tg 1 tg tg ctg ctg 1 ctg ( ) ctg ctg
o
2 3
x f ( x)的图象.
y
3 2
o
2 3
x
S ( x)的图象.
把 f ( x) 在 [, ] 上展开为傅里叶级数的步骤为： （1）运用狄氏条件判断 f ( x) 能否展开为傅里叶级数； （2）求出傅里叶系数； （3）写出傅里叶级数并注明在何处收敛于 f ( x) ； （+）画出 f ( x) 和 S ( x) 的图形（至少画出三个周期） ， 并写出 S ( x) 的表达式。
(1)
n1 2
n
n 1
，
n 1
∴ f ( x) ~ (1)
2 sin nx 。 n
3．傅里叶级数的收敛性
定理 1（狄利克雷（ Dirichlet）充分条件） 设 f ( x) 以 2 为周期，在 [, ] 上满足： （1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点；
1 a0 f ( x)dx 。
再用 cosnx 乘以(1)式两边后积分：
f ( x)cosnxdx
a0 cosnxdx (ak cosk xcosnxdx bk sin k xcosnxdx ) 2 k 1

an
•
数学方面
– 主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论 文，推导出著名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形 式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。傅立叶级数（即三角级数）、傅 立叶分析等理论均由此创始。
•
物理方面
称上述形式的级数为三角级数.
1、三角函数系
1 ， cosx， sin x， cos2x， sin 2x， ，cosnx， sin nx，