一般周期函数的傅里叶级数

2
(3) 若 f ( x) 只在 [0, l] 上有定义，且满足收敛 定理的条件，可将它展开成正弦级数和余弦
级数。
展开成正弦级数的方法： 首先，将 f ( x)进行奇延拓，将它拓广
为 [l, l] 上的奇函数 F ( x) ；然后，将 F ( x) 展开成傅氏级数(正弦级数)；最后，再将 x 限制在 [0, l] 上，就得到 f ( x) 的正弦级数 展开式。 即：
按(1)、(2)式求出 an , bn , 从而得到 f ( x)的
傅氏级数
a0 2
(an
n1
cos
nx
l
bn
sin
nx
l
)
在点 x (l, l) ，
x 是 f ( x)的连续点时，级数收敛于 f ( x)；
x 是 f ( x)的间断点时，级数收敛于 f ( x ) f ( x )
2
在端点 x l ， 级数收敛于 f (l ) f (l )
O l 可以验证：
F(t)是周期为 2 的周期函数
F(t 2 ) f [ l (t 2 )] f [ l t 2l]
f ( l t) F(t)
F(t)
的傅氏级数
a0 2
(an
n1
cos nt
bn
sinnt)
在 (,) 上收敛，且
a0 2
(an
n1
cos nt
bn
sinnt)
F(t)
首先，将 f ( x)进行偶延拓，将它拓广 为 [l, l] 上的偶函数 F ( x) ；然后，将 F ( x) 展开成傅氏级数(余弦级数)；最后，再将 x 限制在 [0, l] 上，就得到 f ( x) 的余弦级数 展开式。 即：
按(4) 式求出 an , 从而得到 f ( x)的余弦级数
a0 2
y F(t) 由 y f ( x)与 x l t 复合而成
x 是 f ( x) 的连续点
t 是 F(t) 的连续点
即：
t 是 F(t) 的连续点
x 是 f ( x)的连续点
将t
l
x
代入 (*)式，得
a0 2
(an
n1
cos
nx
l
bn
sin nx )
l
f (x)
,
其中
f (x) f (x) 2
,
x 是 f ( x)的连续点 x 是 f ( x)的间断点
an
1
t
F (t)cos ntdt
l
x
1 l
l
l
f ( x)cos nxdx
l
bn
1
t
F (t)sinntdt
l
x
1 l
l
l
f ( x)sin nxdx
l
即(1)(2)式。 证毕。
说明 (1) 当 f ( x)在 (l, l) 上是奇函数时，
§8 一般周期函数的傅里叶级数
一、 周期为 2l 的周期函数的傅里叶级数
定理 设 f ( x) 是周期为 2l 的周期函数，
且满足收敛定理的条件， 则它的傅里叶级数
a0 2
(an
n1
cos
nx
l
bn
sin nx )在(,)上收敛,且
l
(1) 当 x 为连续点时，级数收敛于 f ( x)
(2) 当 x 为间断点时，级数收敛于 f ( x ) f ( x )
nxdx
l
,(n
0,1,2,...)
(4)
偶函数的傅氏级数是余弦级数
a0 2
an
n1
cos
nx
l
其中，an 按(4)式计算。
(2) 若 f ( x) 只在 [l, l] 上有定义，且满足收敛 定理的条件，也可将它展开为傅氏级数。 方法：首先，将 f ( x) 进行周期延拓，将它 拓广为周期为 2l 的周期函数 F ( x)；然后 将 F ( x)展开成傅氏级数；最后，再将 x 限制在 [l, l] 上，就得到 f ( x)的傅氏级数 展开式。即：
an 0 ,(n 0,1,2,...)
bn
2 l
l 0
f
( x)sin
nxdx
l
,(n 1,2,...) (3)
奇函数的傅氏级数是正弦级数
n1
bn
sin
nx
l
其中，bn 按(3)式计算。
当 f ( x)在 (l, l) 上是偶函数时，
bn 0 ,(n 1,2,...)
an
2 l
l 0
f
( x)cos
F
(t
)
F (t
, t连续点 ), t间断点
2
其中
(*)
an
1
F (t)cos ntdt
,(n 0,1,2,...)
bn
1
F (t)sinntdt
,(n 1,2,...)
y f ( x)由 y F(t) 与 t x 复合而成
l
t 是 F(t) 的连续点
x 是 f ( x) 的连续点
其中anຫໍສະໝຸດ 1 ll lf
( x)cos
nxdx
l
2
,(n 0,1,2,...)(1)
bn
1 l
l l
f
( x)sin
nxdx
l
,(n 1,2,...)
(2)
证
l
作换元 t x ，则在此变换下
t
l
区间 l x l 变为
t x
l
区间 t
x
f ( x) f ( l t) F(t)
f
(
x)
0, k,
2 x0 0 x2
将 f ( x) 展开成傅氏级数。
(常数k 0)
解
4 2
y f (x)
k
o
2
x
4
f ( x) 满足收敛定理的条件， 它在点 x 2m (m 0,1,2,...) 处间断， 在其它点处连续。
由收敛定理，得
当 x 2m 时，傅氏级数收敛于
k 0 k f (2m)
an
n1
cos
nx
l
在点 x (0, l) ，
x 是 f ( x)的连续点时，级数收敛于 f ( x) x 是 f ( x)的间断点时，级数收敛于 f ( x ) f ( x )
2
在端点 x 0 ，级数收敛于 f (0 )
x l ，级数收敛于 f (l )
例1 设 f ( x)是周期为 4 的周期函数， 它在 [2,2) 上的表达式为
按(3) 式求出 bn, 从而得到 f ( x)的正弦级数
nx
bn sin
n1
l
在点 x (0, l) ，
x 是 f ( x)的连续点时，级数收敛于 f ( x)； x 是 f ( x)的间断点时，级数收敛于 f ( x ) f ( x )
2
在端点 x 0, l ，
级数收敛于 0
展开成余弦级数的方法：
2
2
当 x 2m 时，傅氏级数收敛于 f ( x)
计算 傅氏系数： 2l 4 l 2
an
1 2
22
f
( x)cos
nx
2
dx
1[ 2
02 0 cos
nx
2 dx
02
k
cos
nx
2
dx
]
n0
k 2
2
n
sin
nx
2
|02
0 ,(n 1,2,...)
a0
1 2
22
f
( x)dx
1[ 2
02
0 dx
02 k dx
]
1 2
2k
k