直线方程的概念与直线的斜率教案
直线方程教案初中
直线方程教案初中教学目标：1. 理解直线的概念，掌握直线的表示方法。
2. 学会使用斜率和截距来确定一条直线的方程。
3. 能够运用直线方程解决实际问题。
教学重点：1. 直线的表示方法。
2. 斜率和截距的概念。
3. 直线方程的运用。
教学难点：1. 斜率和截距的计算。
2. 直线方程的实际应用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线概念，让学生回顾直线的定义。
2. 提问：如何表示一条直线？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解直线的表示方法，介绍斜率和截距的概念。
2. 解释斜率和截距如何确定一条直线的方程。
3. 通过示例演示如何从斜率和截距计算直线方程。
三、课堂练习（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。
2. 解答学生疑问，给予个别指导。
四、应用拓展（10分钟）1. 让学生尝试解决实际问题，如计算直线的方程，并解释其实际意义。
2. 学生展示解题过程和答案，教师给予评价和指导。
五、总结（5分钟）1. 总结直线方程的概念和运用。
2. 强调斜率和截距的重要性。
教学延伸：1. 进一步学习直线的性质和直线间的相互作用。
2. 探索直线方程的其他形式，如一般式和参数式。
教学反思：本节课通过讲解直线的表示方法，斜率和截距的概念，以及直线方程的运用，使学生掌握了直线的基本知识和应用能力。
在课堂练习环节，学生通过独立完成练习题，巩固了所学知识。
在应用拓展环节，学生通过解决实际问题，提高了运用直线方程解决实际问题的能力。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标，学生对直线方程的理解和运用有了明显提高。
直线的倾斜角和斜率--教案二：第一课时
直线的倾斜角和斜率--教案二：第一课时●教学目标(一)教学知识点1.“直线的方程”与“方程的直线”的概念.2.直线的倾斜角和斜率.3.斜率公式(二)能力训练要求1.了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念.2.理解直线的倾斜角和斜率的定义.3.已知直线的倾斜角，会求直线的斜率.4.已知直线的斜率，会求直线的倾斜角.(三)德育渗透目标1.认识事物之间的相互联系.2.用联系的观点看问题.●教学重点直线的倾斜角和斜率概念.●教学难点斜率概念理解与斜率公式.●教学方法学导式本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的方程与方程的直线概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法.引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是由于进一步研究直线方程的需要.在直线倾斜角和斜率学习过程中，要引导学生注重导求倾斜角与斜率的相互联系，以及它们与三角函数知识的联系.在对倾斜角及斜率这两个概念进行辨析时，应以倾斜角与斜率的相互变化作为突破口.●教具准备投影片三张第一张：“直线的方程”与“方程的直线”概念（记作§7.1.1 A）第二张：斜率公式推导过程（记作§7.1.1 B）第三张：本节例题（记作§7.1.1 C）●教学过程Ⅰ.课题导入［师］在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾，一次函数的图象有何特点?［生］一次函数形如y＝kx＋b，它的图象是一条直线.［师］如果我们现在对于一给定函数y＝2x＋1，如何作出它的图象.［生］由于两点确定一条直线，所以在直线上任找两点即可.［师］这两点与函数式y＝2x＋1有何关系?［生］这两点就是满足函数式的两对x，y值.［师］好，这一同学回答的完全正确.从上述作图过程可以看出，满足函数式y＝2x＋1的每一对x，y的值都是函数y＝2x＋1的图象上的点，也就是一条直线上的点；同样，这条直线上的每一点的坐标都满足函数式y＝2x＋1.因此，我们可以得到这样一个结论：一般地，一次函数y＝kx＋b 的图象是一条直线，它是以满足y ＝kx ＋b 的每一对x 、y 的值为坐标的点构成的.由于函数式y ＝kx ＋b 也可以看作二元一次方程.所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.［师］有了上述基础，我们也就不难理解“直线的方程”和“方程的直线”的基本概念. Ⅱ.讲授新课1.直线方程的概念：(给出投影片§7.1.1 A)以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.［师］在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率.下面，请同学们通过自学了解直线的倾斜角与斜率的有关概念，并注意它们的变化范围.2.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.［师］因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤α＜1８0°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示. 为使大家巩固倾斜角和斜率的概念，我们来看下面的概念辨析题.关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的.A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；C.平行于x 轴的直线的倾斜角是0或π；D.两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等.E.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).［生］上述说法中，E 正确，其余均错误，原因如下：A.与x 轴垂直的直线倾斜角为2π，但斜率不存在；B.举反例说明，120°＞30°，但ta n120°＝－3＜tan30°＝33；C.平行于x 轴的直线的倾斜角为0；D.如果两直线的倾斜角都是2π，但斜率不存在，也就谈不上相等.［师］通过上面的练习，我们可以总结出如下几点(板书)说明：①当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜1８0°；③倾斜角是90°的直线没有斜率.［师］下面我们对于“两点确定一条直线”这一事实，研究怎样用两点的坐标来表示直线的斜率.3.斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2（x 2，y 2）的直线的斜率公式：k ＝1212x x y y --（x 1≠x 2） (给出投影片§7.1.1 B)推导：设直线P 1P 2的倾斜角是α，斜率是k ，向量21P P 的方向是向上的(如上图所示).向量21P P 的坐标是(x 2－x 1，y 2－y 1).过原点作向量21P P OP =，则点P 的坐标是(x 2－x 1，y 2－y 1)，而且直线OP 的倾斜角也是α，根据正切函数的定义，tan α＝1 212x x y y --（x 1≠x 2）即k ＝1212x x y y --（x 1≠x 2）同样，当向量12P P 的方向向上时也有同样的结论.［师］下面通过例题讲评逐步熟悉斜率公式.4.例题讲解：［例1］如图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率.分析：对于直线l 1的斜率，可通过计算tan30°直接获得，而直线l 2的斜率则需要先求出倾斜角α2，而根据平面几何知识，α2＝α1＋90°，然后再求tan α2即可.解：l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33，∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l 2的斜率k 2＝tan120°＝tan （1８0°－60°）＝－tan60°＝－3.评述：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定.［例2］直线经过点A (sin70°，cos70°)，B （cos ４0°，sin ４0°），则直线l 的倾斜角为( )A.20°B.４0°C.50°或70°D.120°参考公式：sin α－sin β＝2cos 2βα+sin 2βα-，cos α－cos β＝－2sin 2βα+ｓi ｎ2βα-. 分析：若想求出l 的倾斜角，则应先由斜率公式求出l 的斜率.思路较为明确，但关键在于运用斜率公式后三角函数的变形.考虑到这一点，题目给出两个参考公式，但仍对学生解题的灵活性有一定要求，其中，若想利用参考公式，需要对分子、分母进行函数名的统一、希望给予学生一定的启示.解：设l 的倾斜角为α，则tan α＝?-??-?40cos 70sin 40sin 70cos 3)10sin(30sin 2)10sin(30cos 240cos 20cos 40sin 20sin -=?-?-?-?=?-??-?=又α∈［0，π］∴α＝120°故选D.［师］接下来，我们通过练习来熟悉已知直线的倾斜角求斜率，并明确倾斜角变化时，斜率的变化情况.Ⅲ.课堂练习1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)α＝0°；（2）α＝60°(3)α＝90°；（４）α＝43π 分析：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率.解：(1)∵tan0°＝0∴倾斜角为0°的直线斜率为0；(2)∵tan60°＝3∴倾斜角为60°的直线斜率为3；(3)∵tan90°不存在∴倾斜角为90°的直线斜率不存在；(4)∵tan43π＝tan （π－4π）＝－tan 4π＝－1，∴倾斜角为43π的直线斜率为－1. 2.已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况：(1)0°＜α＜90°解：作出y ＝tan α在(0°，90°）区间内的函数图象；由图象观察可知：当α∈（0°，90°），y ＝tan α＞0，并且随着α的增大，y 不断增大，｜y ｜也不断增大.所以，当α∈（0°，90°）时，随着倾斜角α的不断增大，直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大.(2)90°＜α＜1８0°解：作出y ＝tan α在(90°，1８0°）区间内的函数图象，由图象观察可知：当α∈(90°，180°），y ＝tan α＜0，并且随着α的增大，y＝tan α不断增大，｜y ｜不断减小.所以当α∈（90°，1８0°)时，随着倾斜角α的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小.［师］针对此题结论，虽然有当α∈（0°，90°），随着α增大直线斜率不断增大；当α∈（90°，1８0°），随着α增大直线斜率不断增大，但是当α∈（0°，90°）∪（90°，1８0°）时，随着α的增大直线斜率不断增大却是一错误结论.原因在于正切函数y ＝tan α在区间(0，90°）内为单调增函数，在区间(90°，1８0°）内也是单调增函数，但在(0°，90°）∪（90°，1８0°)区间内，却不具有单调性.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握已知直线的倾斜角求斜率，理解斜率公式的推导，为下一节斜率公式的应用打好基础.Ⅴ.课后作业(一)课本P 37习题7.11.在同一坐标平面内，画出下列方程的直线：l 1：2x ＋3y －6＝0 l 3：2x ＋3y ＋6＝0l 2：2x －3y ＋6＝02.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)α＝30°；（2）α＝４5°；（3）α＝65π；（４）α＝32π；（5）α＝８9°；（6）α＝2. 解：(1)∵tan30°＝3 3，∴直线斜率为33；(2)∵tan ４5°＝1，∴直线的斜率为1；(3)∴tan 65π＝－tan 6π＝－33，∴直线斜率为－33；(4)∵tan 32π＝－tan 3π＝－3，∴直线斜率为－3；(5)∵tan ８9°＝57.29，∴直线的斜率为57.29. (6)∵tan2＝－2.1８４，∴直线的斜率为－2.1８４.(二)1.预习内容：斜率公式2.预习提纲：尝试总结斜率公式的特点. ●板书设计。
直线的点斜式方程教案
直线的点斜式方程教案教案标题：直线的点斜式方程引言：直线是几何图形中最基本的一种形式。
了解直线的特征和方程形式是学习代数和几何的重要基础。
点斜式方程（也称为斜截式方程）是表达直线的一种常见形式。
本节课将介绍直线的点斜式方程，帮助学生理解直线方程的意义和具体表示方法。
教学目标：1. 了解直线的标准方程和点斜式方程的概念；2. 掌握使用点斜式方程确定直线的方法；3. 能够根据直线上的一个点和斜率来写出点斜式方程；4. 能够根据点斜式方程确定直线上的一个点和斜率。
教学准备：1. 教师准备：投影仪、电脑、白板、黑板笔等；2. 学生准备：笔、纸、教科书。
教学过程：一、导入新知识（5分钟）1. 教师使用投影仪和电脑展示一条直线的图形。
2. 引导学生观察直线的特征，如直线上的两个点、与横轴和纵轴的交点等。
3. 提出问题：如何用数学语言描述这条直线？二、介绍点斜式方程（10分钟）1. 解释直线的点斜式方程的定义：y-y₁ = m(x-x₁)，其中m为直线的斜率，(x₁, y₁)为直线上的一个已知点。
2. 强调斜率的概念和意义：斜率表示直线的倾斜程度，可以为正、负或零。
3. 讲解点斜式方程在代数和几何中的应用和重要性。
三、推导和解答案例题（20分钟）1. 通过一个具体的案例，教师向学生展示如何通过给定的点和斜率求出点斜式方程。
2. 教师引导学生一起推导点斜式方程的相关公式。
3. 学生独立完成教科书上的相关练习题。
四、巩固练习（15分钟）1. 学生结对或小组合作，互相出题，练习写出直线的点斜式方程。
2. 教师巡视指导，对学生答疑解惑。
3. 邀请学生上台展示并解答问题。
五、拓展应用（10分钟）1. 引导学生思考点斜式方程在实际生活中的应用。
2. 提示学生探究其他类型直线的方程表示方法。
总结与评价：1. 简要总结本节课所学内容，强调直线的点斜式方程的应用和重要性。
2. 教师对学生的学习情况进行评价，并提供必要的指导和建议。
人教新课标版数学高一B必修2学案 直线方程的概念与直线的斜率
高中数学-打印版数学人教B必修2第二章2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率1．理解直线的斜率和倾斜角的概念，了解用代数的方法探索直线斜率的过程．2．掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能在实际问题中应用．3．能利用数形结合与分类讨论思想求直线的斜率和倾斜角．1．直线方程的概念由于函数y＝kx＋b(k≠0)或y＝b都是________方程，因此，我们也可以说，方程y＝kx ＋b的解与其图象上的点存在一一对应关系．如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是__________，那么这个方程叫做____________，这条直线叫做__________．直线的方程和方程的直线要同时满足两个条件：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解．两个条件只要缺少一个，命题就是错误的．【做一做1－1】在平面直角坐标系中，二、四象限角平分线所在的直线的方程为__________．【做一做1－2】给出下列四个命题：①一条直线必是某个一次函数的图象；②一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象必是一条不过原点的直线；③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则此方程叫做这条直线的方程；④以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这条直线叫做此方程的直线．其中正确命题的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．32．直线的倾斜角和斜率(1)我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的______．(2)两点斜率公式：已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线的斜率k＝__________(x1≠x2)．(3)倾斜角θ：x轴正向与__________所成的角叫做这条直线的倾斜角，记为θ.当直线l与x轴__________时，规定θ＝0°，故θ的取值范围是__________．(4)斜率k 与倾斜角θ的关系如图所示．当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率越大，且均为正；当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率越大，且均为负．但我们不能错误地认为倾斜角越大，斜率越大．【做一做2】过点P (1,3)和Q (0,5)的直线的斜率为( )．A ．2B ．－2C ．12D ．－12对直线斜率的全方位剖析 剖析：(1)斜率公式的适用范围．经过两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，其适用范围是x 1≠x 2.说明如下：①斜率公式可通过直线上任意两点的坐标表示．②斜率公式与两点的顺序无关，也就是说两点的纵、横坐标在公式中的次序可以同时调换(要一致)．③如果y 2＝y 1(x 2≠x 1)，则直线与x 轴平行或重合，k ＝0；如果x 1＝x 2，y 1≠y 2，则直线与x 轴垂直，倾斜角θ＝90°，斜率k 不存在．(2)从运动变化的观点看斜率公式．由直线上两点的坐标求这条直线的斜率k 与这两点在直线上的顺序无关，于是k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)．如果令Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1，则Δx 表示变量x 的改变量，Δy 表示相应的y 的改变量，于是k ＝ΔyΔx(Δx ≠0)．(3)斜率的功能．斜率是用来反映直线倾斜程度的一个量，它与倾斜角都反映倾斜程度，但倾斜角相对直观一些，而斜率较抽象，且倾斜角θ与斜率k 有k ＝tan θ这一关系式．结合图示说明如下：如图所示，直线PQ ，直线PM ，且直线MQ 与y 轴平行，由直线斜率公式：k PQ ＝ΔyΔx ，k PM ＝Δy ′Δx， 由图易知Δy ′＞Δy ，∴k PM ＞k PQ .显然直线PM 相对于x 轴正方向比直线PQ 相对于x 轴正方向倾斜程度要大．比如某人从点P 沿直线PQ 到达点Q ，相对于从点P 沿直线PM 到达点M 来说，此人会感到沿直线PM 走比沿直线PQ 走更费劲．一般地，直线斜率为k ，若有|k |越大，反映直线相对于x 轴倾斜程度越大；反之|k |越小，反映直线相对于x 轴倾斜程度越小．若k AB ＝k AC ，此时直线AB 与直线AC 的倾斜角相同，即三点A ，B ，C 共线，因此可以利用斜率解决三点共线问题；但k AB ＝k CD 只能说明直线AB 与直线CD 倾斜角相同，不能说明A ，B ，C ，D 四点共线，因此要用斜率证明共线问题，而线段(或两条直线)必须有公共点才行．题型一 概念辨析题【例1】下列四个命题：①一条直线向上的方向与x 轴正向所成的角，叫做这条直线的倾斜角； ②直线l 的倾斜角要么是锐角，要么是钝角；③已知直线l 经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，则直线l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1；④若直线l 的方程是ax ＋by ＋c ＝0，则直线l 的斜率k ＝－ab .其中正确命题的个数是( )．A ．3B ．2C ．1D ．0反思：斜率与倾斜角是直线中最基本的概念，正确理解斜率与倾斜角的概念是解答本题的基础，要注意直线的斜率与倾斜角的对应关系，还有斜率公式是有使用范围的，直线与x 轴垂直时斜率不存在．题型二 求直线的斜率【例2】已知直线l 经过两点A (2,－1)，B (t,4)，求直线l 的斜率． 分析：点B 的坐标中含参数t ，注意分类讨论．反思：应用斜率公式表示直线斜率时，一定注意x 1≠x 2的条件，遇到参数时要根据参数的取值进行讨论．题型三 斜率公式的综合应用【例3】求证：A (1,5)，B (0,2)，C (－1,－1)三点共线．分析：根据过同一点的两条直线，若它们的斜率相等，则两直线必重合，从而证明三点共线．反思：通过本题可归纳出：若斜率k AB ，k AC 存在，则k AB ＝k AC ⇔A ，B ，C 三点共线，当然也可以用|AB |＋|BC |＝|AC |来证，最后需指出的是当证明四点共线时，一定要注意看是否有公共点．【例4】已知直线l ：y ＝ax ＋2和两点A (1,4)，B (3,1)，当直线l 与线段AB 相交时，求实数a 的取值范围．分析：过定点的动直线与线段相交，可借助图形加以解决．反思：通过本题的解决，要掌握斜率与倾斜角之间的关系，还要注意数形结合思想的利用．【例5】已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．分析：根据yx 的几何意义，本题即是求直线y ＝－2x ＋8(2≤x ≤3)上的点与原点连线的斜率的最值．反思：利用斜率公式解决代数问题的关键是：根据题目中代数式的特征，看是否可写成y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)的形式，从而联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用几何图形的直观性来分析解决问题．题型四 易错辨析【例6】设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转30°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )．A ．α＋30°B ．α－150°C ．150°－αD ．当0°≤α＜150°时为α＋30°，当150°≤α＜180°时为α－150°错解：∵直线l 按逆时针旋转，结合倾斜角的定义及旋转角的概念可知l 1的倾斜角为α＋30°.答案：A错因分析：没有考虑到α＋30°会越过180°，这样就不满足倾斜角的范围[0，π)了．1过点P (－2，m )和点Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为( )． A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或42若两直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中正确的是( )． A ．若α1＜α2，则两直线的斜率k 1＜k 2 B ．若α1＝α2，则两直线的斜率k 1＝k 2 C ．若两直线的斜率k 1＜k 2，则α1＜α2 D ．若两直线的斜率k 1＝k 2，则α1＝α23若直线l 经过第二、四象限，则直线l 倾斜角α的范围是__________． 4若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0,4)共线，则a 的值等于__________．5已知点A (3,4)，在坐标轴上有一点B ，使直线AB 的斜率等于2，把直线方程写成一次函数形式，并求出点B 的坐标．答案： 基础知识·梳理1．二元一次 这个方程的解 这条直线的方程 这个方程的直线 【做一做1－1】y ＝－x【做一做1－2】A 由直线方程的定义可知③，④均不正确．又y ＝5表示一条直线，但它却不是一次函数，原因是一次函数y ＝kx ＋b 中的k ≠0，∴①也不正确．当一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)中的b ＝0时，其图象经过原点，可知②也不正确．2．(1)斜率 (2)y 2－y 1x 2－x 1 (3)直线向上的方向 平行或重合 0°≤θ＜180°【做一做2】B 典型例题·领悟【例1】C 根据倾斜角定义知，①正确；倾斜角范围为[0，π)，∴②不正确；当x 1＝x 2时，直线P 1P 2的斜率k 不存在，不能用公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1求解，∴③不正确；当b ＝0时，直线斜率不存在，∴④不正确．故选C.【例2】解：(1)当t ＝2时，直线l 与x 轴垂直， ∴直线l 的斜率不存在．(2)当t ≠2时，直线l 的斜率k ＝4－(－1)t －2＝5t －2，∴综上所述，当t ＝2时，直线l 的斜率不存在； 当t ≠2时，直线l 的斜率k ＝5t －2. 【例3】证明：利用斜率公式计算出AB 和AC 两条直线的斜率，k AB ＝5－21－0＝3，k AC ＝－1－5－1－1＝3. ∵k AB ＝k AC ，又过同一点A ， ∴A ，B ，C 三点共线．【例4】解：如图所示，直线l 过定点C (0,2)，k CB ＝1－23－0＝－13，k CA ＝4－21－0＝2，k l ＝a .当直线l 与线段AB 相交时，k CB ≤k l ≤k CA ， ∴－13≤a ≤2.【例5】解：如图，由已知，点P (x ，y )在线段AB 上运动，其中A (2,4)，B (3,2)， 而y x ＝y －0x －0，其几何意义为直线OP 的斜率．由图可知k OB ≤k OP ≤k OA ，而k OB ＝23，k OA ＝2.故所求的y x 的最大值为2，最小值为23.【例6】D 正解：要分类讨论，旋转30°后，看α＋30°是否在0°≤α＜180°范围内．若在，则l 1的倾斜角为α＋30°；若不在，则l 1的倾斜角为α＋30°－180°＝α－150°.随堂练习·巩固1．A 由斜率公式，有1＝4－mm －(－2)，得m ＋2＝4－m .∴m ＝1.2．D3．90°＜α＜180° 如图所示，直线过第二、四象限，可知直线l 的倾斜角为钝角，其范围是90°＜α＜180°.4．4由题意可得k AB＝22－a＝k AC＝2－42＝－1⇒a＝4.5．解：设所求直线方程为y＝kx＋b，∵k＝2，A(3,4)在直线上，∴4＝2×3＋b，解得b＝－2.∴直线方程为y＝2x－2.如果B在x轴上，则可设B(x0,0)，代入直线方程解得x0＝1，即B(1,0)；如果B在y轴上，则可设B(0,y0)，代入直线方程解得y0＝－2，即B(0,－2)．。
直线的斜率教案
直线的斜率教案一、教学目标1.了解直线的斜率的概念和计算方法；2.掌握斜率的几何意义；3.能够应用斜率解决实际问题。
二、教学重点1.直线的斜率的概念和计算方法；2.斜率的几何意义。
三、教学难点1.斜率的应用。
四、教学内容1. 直线的斜率的概念和计算方法直线的斜率是指直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值，也就是直线的倾斜程度。
用数学符号表示为：k=y2−y1 x2−x1其中，(x1,y1)和(x2,y2)是直线上的任意两个点。
2. 斜率的几何意义斜率的几何意义是直线的倾斜程度。
当斜率为正数时，直线向右上方倾斜；当斜率为负数时，直线向右下方倾斜；当斜率为零时，直线水平；当斜率不存在时，直线垂直。
3. 斜率的应用斜率在实际问题中有广泛的应用，如：1.求两点间的距离；2.求两条直线的夹角；3.求直线的方程；4.求直线与坐标轴的交点等。
五、教学方法1.讲解法：通过讲解直线的斜率的概念和计算方法，让学生掌握斜率的基本知识；2.案例法：通过实际问题的案例，让学生了解斜率的应用；3.练习法：通过练习题，让学生巩固所学知识。
六、教学过程1. 导入环节教师可以通过提问的方式，引导学生了解直线的斜率的概念和计算方法。
例如：•什么是直线的斜率？•如何计算直线的斜率？2. 讲解环节教师可以通过PPT等教学工具，讲解直线的斜率的概念和计算方法，并结合图示进行讲解。
例如：•直线的斜率是指直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值；•用数学符号表示为：k=y2−y1。
x2−x13. 案例分析教师可以通过实际问题的案例，让学生了解斜率的应用。
例如：•求两点间的距离；•求两条直线的夹角；•求直线的方程；•求直线与坐标轴的交点等。
4. 练习环节教师可以通过练习题，让学生巩固所学知识。
例如：x+3，求它们的夹角。
1.已知直线y=2x+1和y=−122.已知直线过点(2,3)，斜率为−1，求直线的方程。
23.已知直线y=kx+1与x轴交于点(2,0)，求k的值。
2.2.1直线方程的概念与直线的斜率
2.2.1直线方程的概念与直线的斜率课程学习目标［课程目标］目标重点：理解直线的倾斜角和斜率的概念目标难点：斜率的概念和两点的连线的斜率公式的推导及应用!［学法关键］1．本节是解析几何的重点内容，倾斜角和斜率都是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度. 倾斜角是直接反映这种倾斜程度大小的，斜率的绝对值越大，倾斜程度越大，平面上任意一条直线l 都有倾斜角α，且0≤α<180°，但不是所有的直线都有斜率.2．掌握斜率的求法及斜率公式，并把斜率的计算公式迁移到代数函数或三角函数的最大、最小值中去，形成数形结合的方法.研习点1．直线方程的概念直线的方程与方程的直线：一般地，如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线.由于方程y =kx +b 的图象是一条直线，因而我们以后就说直线y =kx +b如何理解直线方程的概念？在直线方程的概念中，要明确方程的解与直线上点的坐标的关系，它含两重意思：（1）以方程的解为坐标的点是否在直线上；（2）直线上的点的坐标是否是方程的解，即坐标代入方程是否成立.这两点都具备了，直线就是方程，方程就是直线.研习点2． 直线的斜率1． 斜率：设直线y =kx +b 上任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有k =2121y y x x --=y x(△x ≠0，x 1≠x 2).2．通常把直线y =kx +b 中的系数k 叫做这条直线的斜率；3．垂直于x 轴的直线不存在斜率.研习点3．直线的倾斜角1．倾斜角的定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角；2．规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角；3．垂直于x 轴的直线的倾斜角等于90°.直线的倾斜角与斜率的关系1．斜率和倾斜角都反映了直线相对于x 轴的正方向的倾斜程度；2．直线的倾斜角是分两种情况定义的：第一种是对于与x 轴相交的直线，把直线向上的方向与x 轴正方向所成的角叫做直线的倾斜角；第二种是与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角；3．直线倾斜角的范围是0°≤α<180°；4．当k =0，直线平行于x 轴或与x 轴重合! 此时直线的倾斜角为0°；当k >0时，直线的倾斜角为锐角；k 值增大，直线的倾斜角也随着增大；当k <0时，直线的倾斜角为钝角，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大!垂直于x 轴的直线的倾斜角为90°，但其斜率不存在.题型1．求直线的斜率例1．已知点A (3，1)，点B 在y 轴上，且|AB |=5，求直线AB 的斜率.解：由已知可设B (0，y )，因为|AB |=5，所以(3－0)2+(1－y )2=25，所以y =5或y =－3，所以B (0，5)或B (0，－3)，当B (0，5)时，k =－34； B (0，－3)时，k =34， 所以直线AB 的斜率k =34或k =－34.例2．下面选项中两点的直线不存在斜率的是（ ）（A ）(4，2)与(－4，1) （B ）(0，3)与(3，0)（C ）(3，－1)与(2，－1) （D ）(－2，2)与(－2，5)解：当两点所在直线与x 轴垂直时，直线的斜率不存在，故应选D .题型2．求直线的倾斜角例3． 已知直线l 1的倾斜角为α1，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角α2= .解：如图所示，结合图形知：若α1≠0°，则α2=180°－α1；若α1=0°，则关于x 轴对称的直线l 2与l 1平行或重合，α2=α1=0°.∴ 1121180,01800, 0αααα︒-︒<<︒⎧=⎨︒=︒⎩.题型3． 证明三点共线例4．求证A (1，5)，B (0，2)，C (2，8)三点共线.解：利用斜率公式计算出AB 和AC 两条直线的斜率，52310AB k -==-, 85321AC k -==-, 因为直线AB 和AC 的斜率相同，又直线AB 和AC 过同一点A ，所以A 、B 、C 三点共线.【教考动向·演练】1．对于下列命题①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.其中正确命题的个数是（ C ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42．如果过点P (－2，m )和Q (m ，4)的直线的斜率等于1，那么m 的值为（ A ）（A ）1 （B ）4 （C ）1或3 （D ）1或43．下列各组点中，在同一直线上的是（ C ）（A ）(－2，3)，(－7，5)，(3，－5) （B ）(3，0)，(6，4)，(－1，－3)（C ）(4，5)，(3，4)，(－2，－1) （D ）(1，3)，(2，5)，(－2，3)4．已知A (a ，2)，B (3，b +1)，且直线AB 的倾斜角为90°，则a ，b 的值为（ D ）（A ）a =3, b =1 （B ）a =3, b =2 （C ）a =2, b =3 （D ）a =3, b ∈R 且b ≠15．给出下列四个命题：①一条直线必是某个一次函数的图象；②一次函数y =kx +b 的图象必是一条不过原点的直线；③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则此方程叫做这条直线的方程； ④以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这条直线叫做此方程的直线. 其中正确命题的个数是（ A ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）36．直线l 过A (－2，21()t t +)，B (2，21()t t-)两点，其中t ≠0，则此直线的斜率为 －1 ，此直线经过第 一、二、四 象限"7．若点A (2，－3)，B (3，－2)，C (21，m )三点共线，则m = －29 . 8．（1）当且仅当m 为何值时，经过两点A (－m ，6)、B (1，3m )的直线的斜率是12？（2）当且仅当m 为何值时，经过两点A (m ，2)、B (－m ，2m －1)的直线的倾斜角是90°？ 答案（1）m =－2；（2）m =0.例5．已知直线l 1和l 2关于直线y =x 对称， 若直线l 1的斜率为3，求直线l 2的斜率. 解：在l 2上任取不同的两点A (a ，b )，B (c ，d )，因为l 1和l 2关于直线y =x 对称，所以A ，B 两点关于直线y =x 的对称点A ’(b ，a )，B ’(d ，c )就一定在l 1上，设l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，则k 1=a c b d -=-，∴k 2=13b d a c a c b d-===---.例6．已知实数x 、y 满足2x +y =8，当2≤x ≤3 时，求y x的最大值与最小值.解：如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x +y =8，且2≤x ≤3，可知点P 在线段AB 上移动，并且A 、B 两点的坐标可分别求得为A (2，4)，B (3，2)，由于y x的几何意义是直线OP的斜率，且k OA =2，k OB ＝32，所以可以得y x的最大值为2，最小值为32．【教考动向·演练】9．下列四个命题：①一条直线向上的方向与x 轴正向所成的角，叫做这条直线的倾斜角；②直线l 的倾斜角的取值范围是第一象限角或第二象限角；③已知直线l 经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，则直线l 的斜率k =2121y y x x --； ④若直线l 的方程是ax +by +c =0，则直线l 的斜率k =a b-. 其中正确命题的个数是（ D ）（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个10．若直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角的范围是（ C ）（A ）[0°，90°) （B ）[90°，180°) （C ））(90°，180°) （D ））[0°，180°)11．设点P 在y 轴上，点N 是点M 关于y 轴的对称点，若直线PM 的斜率为k (k ≠0)，则直线PN 的斜率是（ B ）（A ）k （B ）－k （C ）1k （D ）1k- 12．已知过点P (1－a ，1+a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是 (－2，1) .13．直线：(2a 2－7a +3)x +(a 2－9)y +3a 2=0的斜率为1，则实数a = 3或－32 。
《直线的方程点斜式》课比赛教案
《直线的方程点斜式》优质课比赛教案第一章：课程导入1.1 教学目标让学生了解直线方程的定义和重要性。
引导学生通过实际问题引入直线的点斜式方程。
1.2 教学内容直线方程的定义直线的点斜式方程1.3 教学步骤1.3.1 导入通过展示实际问题，例如“已知一条直线上的两个点，如何表示这条直线的方程？”引导学生思考并讨论可能的解决方案。
1.3.2 直线方程的定义给出直线方程的定义，即直线上任意一点的坐标满足特定的数学关系。
解释直线方程的重要性，例如在解析几何中的应用。
1.3.3 直线的点斜式方程引入点斜式方程的概念，即直线上任意一点和斜率确定直线的方程。
给出点斜式方程的一般形式，并解释其含义。
第二章：点斜式方程的应用2.1 教学目标让学生掌握点斜式方程的求解方法。
培养学生运用点斜式方程解决实际问题的能力。
2.2 教学内容点斜式方程的求解方法点斜式方程在实际问题中的应用2.3 教学步骤2.3.1 点斜式方程的求解方法引导学生通过已知直线上两点坐标和斜率，求解直线的点斜式方程。
解释求解过程中的关键步骤，例如确定常数项。
2.3.2 点斜式方程在实际问题中的应用提供实际问题，例如“已知某直线上的两个点坐标和斜率，求该直线的方程”。
引导学生运用点斜式方程解决实际问题，并解释结果的意义。
第三章：点斜式方程的性质3.1 教学目标让学生了解点斜式方程的性质。
培养学生运用点斜式方程解决相关问题的能力。
3.2 教学内容点斜式方程的性质3.3 教学步骤3.3.1 点斜式方程的性质引导学生探讨点斜式方程的性质，例如斜率与直线的倾斜程度的关系。
解释点斜式方程的性质对于解决直线相关问题的重要性。
3.3.2 运用点斜式方程解决相关问题提供相关问题，例如“已知直线的斜率和一个点，求该直线的方程”。
引导学生运用点斜式方程的性质解决相关问题，并解释结果的意义。
第四章：巩固练习4.1 教学目标让学生巩固对直线的点斜式方程的理解和应用。
4.2 教学内容巩固直线的点斜式方程的知识。
《直线方程的概念与直线的斜率》教案
《直线方程的概念与直线的斜率》教案教学目标1、了解直线的方程和方程的直线的概念.2、理解掌握直线的倾斜角、斜率的概念和过两点直线的斜率公式.3、掌握直线的倾斜角和斜率的相互关系.教学重难点重点：理解直线的斜率概念，探索如何通过两点求直线的斜率公式.难点：斜率的几何意义，即直线的斜率和倾斜角的相互关系.教学过程一、情景导入问题：函数的图像是通过点（0, 1）和点（1，3）的一条直线l.直线l是函数y=2x+1的图像.则如果点P(x, y)在l上，根据直线方程所表达的意义可怎样表达点P所满足的关系？我们已经学习过一元一次函数，知道一元一次函数的图像是一条直线，同学们可以用以前学过的这些知识来解释下.二、交流展示1、在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？三、合作探究探究一：直线方程的概念教师：画出y=2x+1的图像，然后叫同学们观察并思考问题：x=-2,y=-3满足关系y=2x+1,则点（-2，-3）在y=2x+1的图像对应的直线上吗？学生：将点（-2，-3）描在直角坐标系内，观察到点（-2，-3）在y=2x+1的图像对应的直线上.教师：请同学们在之前的基础上继续解答问题：一元一次函数y=kx+b(k不为零)的解析式可看成二元一次方程，那么方程y=kx+b的解与其图像上的点有什么关系？让学生自主探究，互相讨论，探究知识之间的内在联系.教师在同学们讨论的基础上再做出小结.探究二：直线的斜率与倾斜角教师：请同学们讨论并谈谈对斜率的认识学生：回答直线斜率的定义，以及已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)如何求斜率的公式.教师：进一步引导得出两点间斜率公式有些什么注意事项，斜率的值决定了直线相对x 轴的倾斜程度，由此引出倾斜角的概念探究三：直线的倾斜角与斜率的关系？教师：提出感官认识直线的斜率与这条直线的倾斜角相关联，让同学们总结他们之间的关系.学生：倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的。
高中数学2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率教案
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率示范教案整体设计教学分析本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的方程、斜率、倾斜角的概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法．引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是进一步研究直线方程的需要．直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础．事实上，只有透彻理解并熟练掌握直线的倾斜角和斜率这两个基本概念，学生才能对直线及其位置进行定量的研究．对直线的倾斜角和斜率，必须要求学生理解它们的准确含义和作用，掌握它们的导出，并在运用上形成相应的技能和熟练的技巧．三维目标1．了解直线方程的概念，认识事物之间的相互联系．2．理解直线的倾斜角和斜率的定义，充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻画直线相对于x 轴倾斜程度的这一事实，在教学中培养学生数形结合的数学思想．3．掌握经过两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)的直线的斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，培养学生树立辩证统一的观点，并形成严谨的科学态度和求简的数学精神．重点难点教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率公式．教学难点：斜率公式的推导．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.如下图所示，在直角坐标系中，过点P 的一条直线绕P 点旋转，不管旋转多少周，它对x 轴的相对位置有几种情形？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率．设计2.我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线．那么，经过一点P 的直线l 的位置能确定吗？这些直线有什么联系和区别呢？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率． 推进新课新知探究提出问题(1)一次函数的图象是什么形状？以y ＝2x ＋1为例说明．(2)方程y ＝kx ＋b 的解与其图象上的点有什么对应关系？(3)直线y ＝kx ＋b 被其上的任意两个不同的点所唯一确定(如下图)，如果点A(x 1，y 1)，点B(x 2，y 2)是这条直线上任意两点，其中x 1≠x 2，怎样由这两点的坐标计算出k 的值呢？(4)怎样用角来表示直线的倾斜程度？(5)写出求一条直线斜率的计算步骤．讨论结果：(1)所有一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象是一条直线．例如函数y ＝2x ＋1的图象是通过点(0,1)和点(1,3)的一条直线l(如下图)，直线l 是函数y ＝2x ＋1的图象，所表达的意义是：如果点P 在l 上，则它的坐标(x ，y)满足关系y ＝2x ＋1，①反之，如果点P 的坐标(x ，y)满足①式，则点P 一定在l 上．于是，函数式y ＝2x ＋1，可作为描述直线l 的特征性质，因此l ＝{(x ，y)|y ＝2x ＋1}． 我们再来看k ＝0的特殊情况．例如方程y ＝2，无论x 取何值，y 始终等于2，虽然它已不是一次函数，但方程y ＝2(常值函数)的图象是一条通过点(0,2)且平行于x 轴的直线．(2)由于函数y ＝kx ＋b(k≠0)或y ＝b 都是二元一次方程，因此，我们也可以说，方程y ＝kx ＋b 的解与其图象上的点存在一一对应关系．如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．由于方程y ＝kx ＋b 的图象是一条直线，因此我们今后常说直线y ＝kx ＋b.(3)由于x 1，y 1和x 2，y 2是直线方程的两组解，方程y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b ，两式相减，得y 2－y 1＝kx 2－kx 1＝k(x 2－x 1)．因此k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)． 所以由直线上两点的坐标，可以求出k 的值，且它与这两点在直线上的顺序无关，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)．如果令Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1，则Δx 表示变量x 的改变量，Δy 表示相应的y 的改变量．于是k ＝Δy Δx(Δx≠0)． 通常，我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．垂直于x 轴的直线，人们常说它的斜率不存在．方程y ＝kx ＋b(k≠0)的图象是通过点(0，b)且斜率为k 的直线．对一次函数所确定的直线，它的斜率等于相应函数值的改变量与自变量改变量的比值．直观上可使我们感知到斜率k 的值决定了这条直线相对于x 轴的倾斜程度．(4)x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．我们规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．由斜率k 的定义可知：k ＝0时，直线平行于x 轴或与x 轴重合；k>0时，直线的倾斜角为锐角，此时，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大；k<0时，直线的倾斜角为钝角，此时，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大；垂直于x 轴的直线的倾斜角等于90°.(5)步骤：(1)给直线上两点的坐标赋值：x 1＝？，x 2＝？，y 1＝？，y 2＝？；(2)计算Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1；(3)如果Δx ＝0，则判定“斜率k 不存在”；(4)如果Δx≠0，计算k ＝Δy Δx； (5)输出斜率k.应用示例思路1例1求经过A(－2,0)，B(－5,3)两点的直线的斜率k.解：x 1＝－2，x 2＝－5，y 1＝0，y 2＝3；Δx ＝－5－(－2)＝－3，Δy ＝3－0＝3；k ＝Δy Δx＝ －33＝－1. 变式训练1．已知过点A(a,3)，B(6,5)的直线的斜率k ＝12，则a ＝______. 答案：22.经过A(4，－7)，B(4,9)的直线斜率k 等于( )A ．0B ．16C ．－16D ．不存在答案：D例2画出方程3x ＋6y －8＝0的图象．解：由已知方程解出y ，得y ＝－12x ＋43. 这是一次函数的表达式，它的图象是一条直线，当x ＝0时，y ＝43；当x ＝2时，x ＝13. 在坐标平面内作点A(0，43)，B(2，13)，作直线AB ，即为所求方程的图象．(如下图)点评：方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的图象是直线，以此方程的任意两解为坐标的点的连线(直线)就是该方程的图象．变式训练已知方程4x ＋By ＋4＝0的图象过点(1,1)，则B ＝______.解析：把点的坐标值代入方程，得4＋B ＋4＝0，解得B ＝－8.答案：－8思路2例3 求经过点A(－2,10)，B(5,3)的直线的斜率和倾斜角．解：k ＝3－105－－＝－1，即tan α＝－1， 又∵0°≤α<180°，∴α＝135°.∴该直线的斜率是－1，倾斜角是135°.点评：此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角．变式训练1．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为… ( )A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1 C ．y ＝3x －3 D ．y ＝13x ＋1 解析：将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，得到直线y ＝－13x ，再右移1个单位，得到直线y ＝－13x ＋13. 答案：A2．求过下列两点的直线的斜率k 及倾斜角α.(1)P 1(－2,3)，P 2(－2,8)；(2)P 1(5，－2)，P 2(－2，－2)．解：(1)∵过P 1，P 2的直线与x 轴垂直，∴直线斜率不存在，倾斜角α＝90°.(2)k ＝tan α＝－2－－－2－5＝0，∴直线斜率为0，倾斜角α＝0°.例4 已知三点A 、B 、C ，且直线AB 、AC 的斜率相同，求证：这三点在同一条直线上． 证明：由直线的斜率相同，可知直线AB 的倾斜角与AC 的倾斜角相等，而这两直线过公共点A ，所以直线AB 与AC 重合，因此A 、B 、C 三点共线．点评：此题反映了斜率公式的应用，即若有公共点的两直线斜率相同，则可以判断三点共线． 变式训练1．若三点A(2,3)，B(3,2)，C(12，m)共线，求实数m 的值． 解：由题意知k AB ＝2－33－2＝－1，k AC ＝m －312－2， ∵A、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k AC .∴m －312－2＝－1.∴m＝92. 2．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则1a ＋1b的值＝__________. 答案：12例5 已知三角形的顶点A(0,5)，B(1，－2)，C(－6，m)，BC 的中点为D ，当AD 斜率为1时，求m 的值及|AD|的长．分析：应用斜率公式、中点坐标公式、两点间的距离公式．解：D 点的坐标为(－52，m －22)， ∴k AD ＝m －22－5－52－0＝1.∴m＝7.∴D 点坐标为(－52，52)． ∴|AD|＝522＋－522＝522. 变式训练1．过点P(－1，－1)的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的斜率和倾斜角．答案：l的斜率为－1，倾斜角为135°.2．如下图中菱形ABCD 的∠BAD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角与斜率．解：由题意知直线AD 和BC 的倾斜角为60°，直线AB 和DC 的倾斜角为0°，直线AC 的倾斜角为30°，直线BD 的倾斜角为120°；直线AD 和BC 的斜率为k ＝tan60°＝3，直线AB 和DC 的斜率为k ＝tan0°＝0，直线AC 的斜率为k ＝tan30°＝33，直线BD 的斜率为k ＝tan120°＝－ 3.知能训练1．关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法正确的是( )A ．任一条直线都有倾斜角，也都有斜率B ．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大C ．平行于x 轴的直线的倾斜角是0°或180°D ．直线斜率的范围是(－∞，＋∞)答案：D2．已知直线的斜斜角，求直线的斜率．(1)α＝0°；(2)α＝60°；(3)α＝90°；(4)α＝135°.分析：指导学生根据定义直接求解．解：(1)∵tan0°＝0，∴倾斜角为0°的直线斜率为0.(2)∵tan60°＝3，∴倾斜角为60°的直线斜率为 3.(3)∵tan90°不存在，∴倾斜角为90°的直线斜率不存在．(4)∵tan135°＝－1，∴倾斜角为135°的直线斜率为－1.3．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0,4)共线，则a ＝______.解析：由题意得k AB ＝k AC ，则22－a ＝2－42，解得a ＝4. 答案：44．已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a 2)，C(3，a 3)共线，则a ＝______.解析：A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即a 2－－2－1＝a 3－a 23－2，a 2＋a ＝a 3－a 2，a 2－2a －1＝0. ∵a>0，∴a＝1＋ 2.答案：1＋ 2拓展提升如下图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率．解：l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33， ∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°， ∴l 2的斜率k 2＝tan120°＝－ 3.点评：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率．课堂小结本节课学习了：1．直线方程的概念；2．直线的斜率、倾斜角和斜率公式；3．利用斜率判定三点共线．作业本节练习A 1,2题．设计感想在对倾斜角及斜率这两个概念进行辨析时，以倾斜角与斜率的相互变化作为突破口．同时本节教学设计注重引导学生通过观察来获得新知，在实际教学中教师要及时引导，加强师生交流，学生通过自主观察、分析还是能得到正确结论的，要留给学生充分的思考时间，透彻理解直线的倾斜角和斜率的概念，能根据条件正确地求出直线的倾斜角和斜率是知识教学的目的；在形成概念的过程中，培养分析、抽象、归纳的思维能力，强化“形”“数”结合相互转化的思想方法，完善学生的数学知识结构．新课程解析几何教材在学生没有三角函数、向量基础的情况下展开，使得教学设计有了无米之炊的感觉．从知识接受上讲似乎并无大碍，但是从知识的联系性、思维的丰富性上来说，讲多了给人一种感觉——记住结论会用就行！这或许就是新课程的理念吧．但本课还是力求在学生思维发展层面上保持较高要求．备课资料已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况．解：①0°≤α<90°.作出y＝tanα在[0°，90°)区间内的函数图象，由图象观察可知：当α∈[0°，90°)时，y＝tanα＞0，并且随着α的增大，y不断增大，|y|也不断增大．所以，当α∈[0°，90°)时，随着倾斜角α的不断增大，直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大．②90°<α<180°.作出y＝tanα在(90°，180°)区间内的函数图象，由图象观察可知：当α∈(90°，180°)时，y＝tanα＜0，并且随着α的增大，y＝tanα不断增大，|y|不断减小．所以当α∈(90°，180°)时，随着倾斜角α的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小．点评：针对以上结论，虽然有当α∈[0°，90°)时，随着α增大直线斜率不断增大；当α∈(90°，180°)时，随着α增大直线斜率不断增大．但是当α∈[0°，90°)∪(90°，180°)时，随着α的增大直线斜率不断增大却是一错误结论．。
直线方程的概念与直线的斜率
高中2012级数学教学案
由直线上两点的坐标求这条直线的斜率于是k ＝
x
x y y 2
1
2
1--.如果令Δx ＝x 2表示相应的y 的改变量，于是_______________(2)斜率的定义
通常，我们把直线y ＝kx ＋b 中的
垂直于x 轴的直线斜率___________
斜率反映直线_____________ 3．直线的倾斜角
(1)定义x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．
题型二：求直线的斜率
已知直线l经过两点A(2，－1)，B(t,4)，求直线l的斜率．
跟踪训练2 求过下列两点的直线l的斜率k.
(1)A(a，b)、B(ma，mb)(m≠1，a≠0)； (2)P(2,1)、Q(m,2)
①一条直线必是某个一次函数的图象；
的图象必是一条不过原点的直线；
③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则此方程叫做这条直线的方程；
④以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这条直线叫做此方程的直。
解析几何初步直线方程的概念与直线的斜率教案说明
解析几何初步——直线方程的概念与直线的斜率教案说明：本教案旨在让学生掌握直线方程的基本概念，了解直线方程的表示方法，并通过实例理解直线的斜率。
本教案适用于高中一年级学生，需具备一定的代数和几何基础。
教学目标：1. 理解直线方程的概念，掌握直线方程的表示方法。
2. 了解直线的斜率，并能运用斜率公式计算直线的斜率。
3. 能运用直线方程和斜率解决实际问题。
教学内容：一、直线方程的概念1. 引入直线方程的概念，让学生了解直线方程是用来表示直线位置和性质的数学表达式。
2. 讲解直线方程的基本形式，如点斜式、截距式和一般式等。
二、直线方程的表示方法1. 讲解点斜式方程的推导过程，让学生理解点斜式方程的含义。
2. 介绍截距式方程的推导过程，让学生掌握截距式方程的表示方法。
3. 讲解一般式方程的推导过程，让学生了解一般式方程的应用。
三、直线的斜率1. 引入直线斜率的概念，让学生了解斜率是表示直线倾斜程度的量。
2. 讲解斜率的计算公式，让学生能运用公式计算直线的斜率。
3. 通过实例讲解斜率的运用，让学生能结合直线方程和斜率解决实际问题。
四、直线方程的应用1. 讲解如何利用直线方程求直线与坐标轴的交点。
2. 介绍如何利用直线方程解决两点间距离问题。
3. 通过实例让学生掌握直线方程在实际问题中的应用。
1. 布置课堂练习题，让学生巩固所学知识。
教学评价：通过本节课的学习，学生能掌握直线方程的基本概念和表示方法，了解直线的斜率，并能运用所学知识解决实际问题。
在课堂练习中，学生应能独立完成相关习题，展示对直线方程和斜率的理解。
六、直线方程的进一步应用1. 讲解如何利用直线方程判断两直线的位置关系，如相交、平行或重合。
2. 介绍如何利用直线方程解决两直线的交点问题。
3. 通过实例让学生掌握直线方程在解决两直线关系问题中的应用。
七、直线的斜率与倾斜角1. 讲解斜率与倾斜角的关系，让学生了解斜率与直线倾斜程度的关系。
2. 讲解如何利用斜率公式求直线的倾斜角，让学生能运用公式计算直线的倾斜角。
直线方程的概念与直线的斜率教案
直线方程的概念与直线的斜率教案一、教学目标1. 让学生理解直线方程的概念，掌握直线方程的基本形式。
2. 让学生了解直线的斜率，能够计算直线的斜率。
3. 培养学生运用直线方程和斜率解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 直线方程的概念：直线方程是用来描述直线在平面直角坐标系中的位置和性质的数学表达式。
2. 直线方程的基本形式：直线方程的一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不为0。
3. 直线的斜率：直线的斜率是描述直线倾斜程度的量，定义为直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
4. 斜率的计算：斜率k = (y2 y1) / (x2 x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)为直线上的任意两点。
三、教学重点与难点1. 教学重点：直线方程的概念和基本形式，直线的斜率及其计算方法。
2. 教学难点：直线方程的转化和应用，斜率的计算。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解直线方程的概念、基本形式，以及直线的斜率和斜率的计算方法。
2. 利用多媒体展示直线方程的图像，帮助学生直观理解直线方程和斜率的概念。
3. 运用例题和练习题，让学生巩固直线方程和斜率的知识。
五、教学过程1. 导入新课：通过复习初中阶段学习的直线方程（两点式、点斜式等）引出直线方程的概念和基本形式。
2. 讲解直线方程的概念和基本形式，让学生理解直线方程的意义和应用。
3. 讲解直线的斜率，让学生了解斜率的定义和计算方法。
4. 通过例题，展示直线方程和斜率的运用，让学生学会如何运用所学知识解决实际问题。
5. 布置练习题，让学生巩固直线方程和斜率的知识。
6. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调直线方程和斜率的重要性和应用。
7. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对直线方程概念和直线斜率的理解。
2. 练习题：布置一些有关直线方程和斜率的练习题，以检查学生对知识的掌握程度。
直线的倾斜角和斜率教案
直线的倾斜角和斜率教案一、教学目标1. 让学生理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。
2. 让学生掌握直线的斜率的概念，能够求出直线的斜率。
3. 能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
二、教学重点与难点1. 教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，求直线的倾斜角和斜率的方法。
2. 教学难点：直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
三、教学方法采用讲解法、演示法、练习法、讨论法等相结合的方法进行教学。
四、教学准备1. 教学课件。
2. 练习题。
3. 黑板、粉笔。
五、教学过程1. 导入新课通过复习旧知识，引导学生回顾直线方程的基本形式，提出直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 讲解直线的倾斜角讲解直线的倾斜角的定义，通过图形演示直线的倾斜角，让学生理解直线的倾斜角的概念。
3. 讲解直线的斜率讲解直线的斜率的定义，通过图形演示直线的斜率，让学生理解直线的斜率的概念。
4. 求直线的倾斜角和斜率讲解如何求直线的倾斜角和斜率，通过例题演示求直线的倾斜角和斜率的方法，让学生跟随讲解，理解求直线的倾斜角和斜率的过程。
5. 练习巩固布置练习题，让学生独立完成，巩固直线的倾斜角和斜率的概念。
6. 课堂小结对本节课的内容进行小结，强调直线的倾斜角和斜率的概念及求法。
7. 作业布置布置课后作业，让学生进一步巩固直线的倾斜角和斜率的知识。
六、教学拓展1. 讨论斜率与倾斜角的关系：斜率k 与倾斜角α的关系是k = tan(α)。
通过这个关系，学生可以理解为什么斜率是倾斜角的正切值。
2. 探索非锐角直线的斜率：讨论当直线倾斜角大于90度时，斜率是什么。
学生将了解到，当直线垂直于x轴时，倾斜角为90度，斜率是无穷大；当直线逆时针旋转超过90度时，斜率变为负无穷。
七、应用实例1. 实际问题：给定直线的倾斜角，求直线的方程。
学生可以通过已知的倾斜角和一点来求解直线的斜率和方程。
2. 实际问题：给定直线的斜率，求直线的倾斜角。
学生可以通过已知的斜率来求解直线的倾斜角，并理解斜率与倾斜角的关系。
直线的斜率与方程教案
,给出向来线上的一点与它的斜率,能够画出它的图象., 斜率., 斜率的理解及计算.1. 讨论：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?2. 在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?① 直线倾斜角的概念： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角注意:当直线与 x 轴平行或者重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度.。
讨论:倾斜角的取值范围是什么呢?② 直线斜率的概念：直线倾斜角α 的正切值叫直线的斜率.常用 k 表示, k = tan α讨论:当直线倾斜角为90。
度时它的斜率不存在吗?. 倾斜角的大小与斜率为正或者负有何关系 ?斜率为正或者负时,直线过哪些象限呢? α 取值范围是[ 0, ) .③ 直线斜率的计算:两点确定向来线,给定两点 p (x , y ) 与p (x , y ) ,则过这两点的直线的1 1 12 2 2 斜率k = y 2一 y 1 x 一 x 2 1思量 :(1)直线的倾斜角α 确定后, 斜率 k 的值与点 p , p 的顺序是否有关?1 2(2)当直线平行表于 y 轴或者与 y 轴重合时,上述公式k = y 2 一 y 1 还合用吗? x 一 x 2 1 例 1,求经过两点A(2,3), B(4,7) 的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.例 2:在平面直角坐标系中画出经过原点且斜率分别为 一1,2, 一3 的直线l 1 , l 2 , l 3 .1. 已知下列直线的直线倾斜角α ,求直线的斜率 k.⑴ a = 300 ⑵ a = 450 ⑶ a = 1200 ⑷ 13502:已知直线l 过点A(1,2) 、B(m,3) ,求直线l 的斜率和倾斜角3,已知a, b, c 是现两两不等的实数,求经过下列两点直线的倾斜角.(1) A(a, b),B(b, c) (2) P(b, b + c),Q(a, c + a)4.画出经过点(0,3) 且斜率分别为 3 和-2 的直线.倾斜角、斜率的概念, 斜率的计算公式.五:作业9.1. 2 直线的方程(二)会由直线的一点坐标与斜率求直线的方程，会根据直线的点斜式方程求直线的截距。
直线方程的概念与直线的斜率(公开课)
二.描述直线倾斜程度的量——直线的斜率
定义：直线y=kx+b中的系数k叫做这条直线的斜率 y
Q( x2 , y2 )
P( x1 , y1 )
已知两点 P(x1，y1)， Q(x2，y2)， 如果 x1≠x2，则直线 PQ的斜率 为： y y
3 1 ( m + 2) 2 1 2 2 2 1 2
k的 取 值 范 围 为 k
（1）已知三点A(-3,-3),B(-1,1),C(2,7),求KAB，KBC
KAB=2
KBC=2
（2）如果KAB=KBC,那么A、B、C三点有怎样的关系？ A、B、C三点共线
（3）如果三点A(1,1)、B(3,5)、C(-1,a)在一条直线上, 求a的值
k AB
30
3
1
变式训练： (1): A(-2,0) (2): A(-2,3) (3): A(-2,0)
B(-2,3) B (-2,3) B(-2+a,3)
三.直线的倾斜角 x轴正向与直线l向上方向之间所成 的角叫做直线的倾斜角
y
l
x
o
注意： (1)直线向上方向； (2)x轴的正方向。
反应大比拼：
如图，直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1 , k 2 , k 3， 则：（ D ）
A.k1 k 2 k3
B.k3 k1 k 2 C.k3 k 2 k1 D.k1 k3 k2
1．已知过点P(1－a，1+a)和Q(3，2a)的 直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范
x
o
等价问题：
对于一条与x轴不垂直的定直线y kx + b, k、b为定值， 设P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 )是直线上任意两个不同点,且x1 x2， 求证 y2 y1 x2 x1 为定值.
直线方程点斜式教案
直线方程点斜式教案教案标题：直线方程点斜式教案教案目标：1. 理解直线方程的点斜式表示法。
2. 能够根据给定的点和斜率确定直线方程。
3. 能够根据直线方程的点斜式表示法绘制直线。
教学准备：1. 教师准备黑板、彩色粉笔或白板、马克笔等教学工具。
2. 学生准备笔记本、铅笔、直尺等学习用具。
教学步骤：引入活动：1. 教师可以通过提问的方式引起学生的思考，例如：“你知道如何用一个点和斜率来表示一条直线吗？”2. 引导学生回顾斜率的概念，并与直线的倾斜程度联系起来。
知识讲解：1. 教师通过示意图或几何图形向学生展示直线方程的点斜式表示法。
2. 解释点斜式的含义：直线上的任意一点(x, y)与已知点(x₁, y₁)之间的斜率为k。
3. 强调斜率k的重要性，它代表了直线的倾斜程度。
示例分析：1. 教师给出一个具体的示例，例如：已知直线上的一点为A(2, 4)，斜率为3，求直线方程。
2. 引导学生根据点斜式的定义，使用直线方程的一般形式y - y₁ = k(x - x₁)来求解。
3. 通过代入已知数据，解出直线方程y - 4 = 3(x - 2)，并进行简化。
练习与巩固：1. 学生进行个人或小组练习，根据给定的点和斜率确定直线方程。
2. 教师在黑板上列举几个练习题，让学生逐一解答，并进行讲解。
3. 鼓励学生互相交流，共同解决问题，提高学生的合作能力和解题能力。
拓展应用：1. 学生尝试用点斜式表示法绘制直线，可以使用纸和铅笔或计算机绘图软件进行练习。
2. 学生可以尝试通过改变点的位置和斜率的值，观察直线的变化情况，加深对点斜式的理解。
总结与评价：1. 教师对学生进行本节课的总结，并强调直线方程的点斜式表示法的重要性和应用。
2. 学生可以提出问题或分享自己的思考和体会，进行互动讨论。
3. 教师对学生的表现进行评价和鼓励，激发学生的学习兴趣和自信心。
教学延伸：1. 学生可以进一步学习其他表示直线方程的方法，如截距式和一般式，进行比较和综合应用。
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直线方程的概念与直线的斜率教案
教学目标：1、理解直线的方程的概念
2、直线斜率的定义、公式
3、直线倾斜角的定义、范围、条件
4、直线斜率变化与倾斜角变化关系
教学重点：1. 直线的方程的概念
2、直线斜率的定义、公式
3、直线倾斜角的定义、范围、条件
4、直线斜率变化与倾斜角变化关系
教学难点：1、理解直线的方程的概念
2、直线斜率与倾斜角关系
教学步骤：
一． 理解直线方程的概念：
（1） 首先回顾一次函数的解析式？图像？
y ＝kx ＋b （k ≠0） ，一条直线
（2） 让大家画y=2x+1的图像
（3）我们已经知道所有的一次函数的图像都是直线，那么是不是所有直线都可以用一次函数来表示？用几何画板展示。
一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=2，y=3都不是． 一次函数 y=kx+b ，x=a, y=c 都可以看作方程。
(4) 直线 l 上 每一点的坐标 P ( x , y ) 与对于方程 y=2x+1有什么关系?
1. 直线l 上每一点的坐标P(x,y)都是二元一次方程 y=2x+1的解。
2. 二元一次方程 y=2x+1的解所对应的点P(x,y)都在直线l 上
（5）推广到y =kx+b 的情况
1. 直线l 上每一点的坐标P(x,y)都是二元一次方程 y=kx+b 的解。
2. 二元一次方程 y=kx+b 的解所对应的点P(x,y)都在直线l 上
(6 )直线的方程,方程的直线
以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线．
上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的．
平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线方程的概念和定义，并通过方程来研究直线的有关问题。
即用代数的方法来研究几何问题。
二． 直线的斜率：
（1） 先让学生看一分钟课本，让学生回顾一下斜率的求法？ 21
21y y k x x -=-并让学生指出没先后的差距，只是要对应起来。
（2）让学生练一个题目求过A(-2,0),B(-5,3)的斜率？
K=-1
（3） 让学生求一下2x-y+1=0,y=3, x=1的斜率？ 结论： 与x 轴平行或与x 轴重合的直线斜率为0，与x 轴的垂直的直线斜
率不存在
然后做例2来深化一下刚才的结论。
直线的倾斜角：
（1）直线的倾斜角如何定义？观察几何画板
直线向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角。
（2）倾斜角范围？
000180α≤< 并规定0°和90°的位置。
三 。
直线斜率变化与倾斜角变化的关系。
（1）通过观察几何画板来得到如下结论:
1.k=0时，直线平行于x 轴或与x 轴重合，倾斜角为0°
2.k>0时，直线的倾斜角为锐角，此时，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大。
3.k<0时，直线的倾斜角为钝角，此时，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大。
注：垂直于x 轴的直线的倾斜角为90°，k 不存在。
（都是按照逆时针的方向增大的）
(2)看课件的例题并让学生口述。
（3）让学生做例三和例四得出答案，例四还可以问一下倾斜角的大效关系。
四．做练习巩固已经学习的内容
1.考察的是已知斜率求点的坐标
2.考察的斜率相等证三点共线
3.考察的是已知三点共线通过斜率相等得出点坐标。
五．总结
六．当堂检测。