第1课 数与式的运算(1)
数与式的运算
解法一：原式=
解法二：原式=
你能评价一下解法一、二的差异吗？
第一讲 习题 A 组 1．二次根式 a 2 a 成立的条件是( ) A． a 0 B． a 0 D． a 是任意实数 2．若 x 3 ，则 9 6 x x 2 | x 6 | 的值是( A．－３ D．９ 3．计算： (1) ( x 3 y 4 z ) 2 (2a 1 b) 2 (a b)(a 2b) B．３ ) C．－９ C． a 0
a a( a b) a a( a b) 1 a b 1 a b
( a b) ( a b) ( a b )( a b )
2 a ab
试对本例的解题技巧做一评价： 【例6】设 x
2 3 2 3 ,y 2 3 2 3
，求 x3 y 3 的值．
思考：此题中让你眼前一亮的技巧是？
3abc 3 abc
引申：同学可以探求并证明： a 3 b 3 c 3 3abc (a b c)(a 2 b 2 c 2 ab bc ca) 二、根式 式子 a (a 0) 叫做二次根式，其性质如下： 第一讲
2 (1) ( a ) a (a 0)
原式= a
bc ac ab b c bc ac ab
①
a ( a ) b(b) c(c) a2 b2 c2 bc ac ab abc
a 3 b 3 (a b)[(a b) 2 3ab] c(c 2 3ab) c 3 3abc a 3 b 3 c 3 3abc ②，把②代入①得原式=
(2)
(3) (a b)(a 2 ab b 2 ) (a b)3
§1.1 数与式的运算(1.2.3)
大良总校：0757-2222 2203 大良北区：0757-2809 9568 大良新桂：0757-2226 7223 大良嘉信：0757-2232 3900 容桂分校：0757-2327 9177 容桂体育：0757-2361 0393 容桂文华：0757-2692 8831 龙江分校：0757-2338 6968 北滘分校：0757-2239 5188 乐从分校：0757-2886 6441 勒流分校：0757-2566 8686 伦教分校：0757-2879 9900 均安分校：0757-2550 6122 南海桂城：0757-8633 8928 南海黄岐：0757-8599 0018 金色家园：0757-8630 6193 禅城玫瑰：0757-8290 0090 南海大沥：0757-8118 0218 南海丽雅：0757-8626 3368 佛山高明：0757-8828 2262 中山小榄：0760-2225 9911 石岐北区：0760-8885 2255 石岐东区：0760-8888 0277 §1.1 数与式的运算(1. 绝对值、2.二次根式、3.乘法公式)【要点回顾】 1．绝对值[1]绝对值的代数意义：1. __________________．2. ___________________．3. ___________________．即⎪⎩⎪⎨⎧=) (___) (___)(___||a[2]绝对值的几何意义：_________________________________________________________的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义： a b -表示__________________________的距离．[4]两个绝对值不等式：（1）||(0)x a a <>⇔；（2）||(0)x a a >>⇔．[5]两个负数比较大小： 。
初中数学基础知识2第1章《数与式第1节》
方、负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、特殊角的三角函数值
第3页
实数的相关概念
1.(2019 山西)-3 的绝对值是
A.-3 B.3
C.-1
3
2.(2016 山西)-1的相反数是
6
A.1 B.-6 C.6
6
3.(2011 山西)|-6|的值是
A.-6
B.-1 C.1
6
6
D.1
3
D.-1
6
D.6
第一章
( C)
A.6.06×104 立方米/时
B.3.136×106 立方米/时
C.3.636×106 立方米/时
D.36.36×105 立方米/时
答案
第5页
第一章
第一节
5.(2017 西)2017年5月18日,我国宣布在南海神狐海域成功试采可 燃冰,成为世界上首个在海域连续稳定产气的国家.据粗略估计, 仅南海北部陆坡的可燃冰资源就达到186亿吨油当量,达到我国 陆上石油资源总量的50%.数据186亿吨用科学记数法可表示为 ( C)
a.186×108吨
b.18.6×109吨
c.1.86×1010 吨
d.0.186×1011 吨
答案
第6页
第一章
第一节
6.(2014 西)pm2.5是指大气中直径小于或等于2.5 μm(1 μm=0.000001 m)的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们含有大量的有毒、有害物质, 对人体健康和大气环境质量有很大危害.2.5 μm用科学记数法可表示 为( C )
A.3830×104千瓦
B.383×105千瓦
C.0.383×108千瓦
D.3.83×107千瓦
答案
第 29 页
初高衔接第一课时数与式的运算
Hale Waihona Puke 典例题例4.1 简化：1 4 24 − 6 54 + 3 96 − 2 150;
2
30 ×
3
2
2
3
2 ÷ −2 2
1
2
.
解：
1 4 24 − 6 54 + 3 96 − 2 150 = 8 6 − 18 6 + 12 6 − 10 6 = −8 6.
2
30 ×
8
3
3
2
2
5
2
2
3
÷ −2
30 × × = −
所以 −
+
2 2 − 2.
=
+ − 2
+ − 2 −2+ −2
+ −
= 2 + 1.
= 2 − 2 + −2 = 2 + 1 − 2 + 2 − 1 =
初高衔接
行，运算中要运用公式 = ≥ 0, ≥ 0 .而对于二次根式的除法，
通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法
与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式。
2 二次根式 2 的意义:
, ≥ 0
2
= =
−, < 0
初高衔接
2 完全平方 ± 2 = 2 ± 2 + 2 .
通过证明得到的乘法公式：
1 立方和公式 + 2 − + 2 = 3 + 3 ;
2 立方差公式 − 2 + + 2 = 3 − 3 ;
3 三数和平方公式 + + 2 = 2 + 2 + ��2 + 2 + + ;
初三升高一数学暑假班衔接课：01—数与式的运算-教师版
高一数学暑假班（教师版）高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）1 / 27在初中，我们已经学习了实数，知道字母可以表示数，用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式、分式、根式，它们具体细分又会包含单项式、多项式、绝对值、数幂等不同的小的类型，它们都具有实数的属性，可以进行运算．由于在高中学习中我们会经常遇到由代数式组成的各种混合运算，因此也需要较为复杂的公式结构和几何意义来进行辅助，比如：绝对值的几何意义、立方和差公式、杨辉三角公式、三种常见非负数形式等．一、绝对值1、绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）3 / 274 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版） 是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．3、两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．【例1】解不等式：13x x -+-＞4．【难度】★★【答案】0<x 或4>x【解析】解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =；①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3，∴x ＞4． 综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，5 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |P A |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． x ＜0，或x ＞4．【例2】（1）当x 取何值时，3-x 有最小值？这个最小值是多少？（2）当x 取何值时，25+-x 有最大值？这个最大值是多少？（3）求54-+-x x 的最小值.（4）求987-+-+-x x x 的最小值.【难度】★★【答案】（1）当x=3时，3-x =0为最小值；（2）当x=-2时，25+-x =5为最大值；（3）当54≤≤x 时取最小，则54-+-x x =1为最小值；（4）当x=8时取最小，则987-+-+-x x x =2为最小值.【例3】（1）阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数b a ,，A 、B 两点这间的距离表示为AB ，6 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）当A 、B 两点中一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，b a b OB AB -===；当A 、B 两点都不在原点时，①如图2，点A 、B 都在原点的右边b a a b a b OA OB AB -=-=-=-=； ②如图3，点A 、B 都在原点的左边()b a a b a b OA OB AB -=---=-=-=； ③如图4，点A 、B 在原点的两边()b a b a b a OB OA AB -=-+=+=+=.综上，数轴上A 、B 两点之间的距离b a AB -=.图1 图2 图3 图4 （2）回答下列问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ；②数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 ，如果2=AB ，那么x 为 ；③当代数式21-++x x 取最小值时，相应的x 的取值范围是 ；④求1997321-+⋅⋅⋅+-+-+-x x x x 的最小值.【难度】★★★【答案】①3，3,4；②|x+1|,1或-3；③21≤≤-x ；④找到1~1997的中间数999，当x=999时取得.B AO B (A)O B A O oA O o7 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）【巩固训练】1.解绝对值方程：321-=---x x x ． 【难度】★★ 【答案】4=x【解析】分类讨论：x ＜1，1≤x ＜2，x ≥2，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案．解：当x ＜1时，原方程等价于1﹣x ﹣（2﹣x ）=x ﹣3．解得x=2（不符合范围，舍）； 当1≤x ＜2时，原方程等价于x ﹣1﹣（2﹣x ）=x ﹣3．解得x=0（不符合范围，舍）； 当x ≥2时，原方程等价于x ﹣1﹣（x ﹣2）=x ﹣3．解得x=4， 综上所述：x=4．本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解题关键，此外也可以通过数形结合来解题．二、乘法公式（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+； （3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；8 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版） （7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．引申：n 次方差公式；()()()()()()???322344223322=-+++-=-++-=-+-=-n n b a b ab b a ab a b a b ab a b a b a b a b a b a根据以上规律，可以归纳出乘法公式：()()n n n n n n b a b ab b a a b a -=++++-----1221 （n 为非零自然数）将等号左右两边倒一下得：()()1221----++++-=-n n n n n n b ab b a a b a b a （n 为非零自然数）这个公式称为n 次方差公式； 由这个公式易得())(n n b a b a --；定理：若n 为正偶数，则())(n n b a b a --与())(n n b a b a -+同时成立；【例4】计算：（1）22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++；（2）22222))(2(y xy x y xy x +-++；（3）22312(+-x x ；（4）()()()()1111842++++a a a a ．【难度】★★【答案】（1）解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦ =242(1)(1)x x x -++=61x -．9 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -．（2）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=．（3）原式2231)2([+-+=x x222222111()()()2(22()333x x x x =++++⨯+⨯⨯4328139x x x =-++．（4）1116--=a a 原式．【例5】已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 【难度】★★【答案】2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．【例6】分解因式：（1）2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++； （2）432673676x x x x +--+．【难度】★★【答案】（1）原式=22[(48)2][(48)]x x x x x x ++++++ =22(68)(58)x x x x ++++ =2(2)(4)(58)x x x x ++++10 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）（2）原式=4226(1)7(1)36x x x x ++--=422226[(21)2]7(1)36x x x x x x -+++-- =22226(1)7(1)36x x x x -+-- =22[2(1)3][3(1)8]x x x x ---+ =22(232)(383)x x x x --+- =(21)(2)(31)(3)x x x x +--+．【巩固训练】1．已知335252-++=x ，求533-+x x 的值．【难度】★★ 【答案】1- 【解析】()()()()()1552525131353333531152,52,52,52332233333333-=-++-=-+++++=-+++++=-+++=-=⇒-=⇒+=-==+=-ab b ab a b a b a ab b a b a b a b a ab ab b a b a 原式即令2．已知96333=-+z y x ，4=xyz ，12222=++-++xz yz xy z y x ，求z y x -+的值．【难度】★★★ 【答案】911 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）【解析】()()()()[]()()()()9123333310812963222222222233333333=-+∴=-++++-++++-+=-+-++++-+=+---+=+-+=+=+-+z y x xy yz xz z y x xy yz xz z y x z y x z y x xy z y x z y x z y x xyzxy y x z y x xyzz y x xyz z y x 解：3．分解因式：2(1)(2)(2)xy x y x y xy -++-+-． 【难度】★★【答案】令a x y =+，b xy =，则原式=2(1)(2)(2)b a a b -+-- =221222a b a b ab ++-+- =2(1)a b -- =2(1)x y xy +-- =2[(1)(1)]x y --- =22(1)(1)x y --三、二次根式1、分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程．2a==,0,,0.a aa a≥⎧⎨-<⎩【例7】试比较下列各组数的大小：（1；（2和【难度】★★【答案】见解析【解析】（11===，===，>，．（2）∵===又4＞22，∴6＋4＞6＋22，＜【例8】化简：（1（21)x<<．12 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）13 / 27【难度】★★ 【答案】见解析【解析】（1）原式===2=2=．（2）原式1x x=-， ∵01x <<，∴11x x>>， 所以，原式＝1x x-．【例9】化简22)1(111+++n n ，所得的结果为（ ） A ．1111+++n nB ．1111++-n nC ．1111+-+n n D ．1111+--n n 【难度】★★ 【答案】C【解析】方法一：通过通分，然后整理配平方来解题1111)()1(2222+-+=+++=n n n n n n数与式的运算（教师版）方法二：可利用特值法将A、B、D一一排除。
高一数学单元知识点专题讲解1---数与式的运算
【例 8】计算：
(1) ( a + b + 1)(1 − a + b ) − ( a + b )2
(2)
a
a
+
a − ab a + ab
解： 原式 (1) = (1 + b)2 − ( a )2 − (a + 2 ab + b) = −2a − 2 ab + 2 b + 1
【例 7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：
3 (1)
2+ 3
11 (2) +
ab
(3) 2
x −
x3 +
8x
2
解： 原式 (1)
=
3(2 − 3)
3(2 − =
3) = 6 − 3 3
(2 + 3)(2 − 3) 22 − 3
原式 a + b a2b + ab2
(2) =
=
ab
ab
3/7
解：（ ）原式 1
= 43 + m3 = 64 + m3
（ ）原式 2
= (1 m)3 − (1 n)3 = 1 m3 − 1 n3
5
2 125 8
（ ）原式 3
= (a 2 − 4)(a 4 + 4a 2 + 42 ) = (a 2 )3 − 43 = a 6 − 64
（ ）原式 4
= (x + y)2 (x 2 − xy + y 2 )2 = [(x + y)(x 2 − xy + y 2 )]2
三、分式
4/7
初升高衔接课程 数与式的运算因式分解一元二次方程
第一讲数与式的运算第二讲因式分解知识篇数与式的运算1、实数；2、代数式；3、乘法公式；4、分式；5、二次根式因式分解1、提取公因式；2、运用公因式；3、分组分解法；4、十字相乘法；5、配方法笔记:归纳小结:数与式的运算1 、已知 的公式表示试写出用21121,,111R ，R R R R R R R ≠+=2、设X=,3232-+ Y=,3232+- 求33Y X +的值3、化简下列各式1）221-32-3）（）（+ 2）22x -2x -1）（）（+ （X ≥1）4、已知a+b+c=4，ab+bc+ac=4，求a2+b2+c2的值。
分解因式1、提公因式法，运用公因式法（1）3a3b-81b4（2）a7-ab62、分组分解法（3）2ax-10ay+5by-bx （4）ab(c2-d2)-(a2-b2)cd （5）x2-y2+ax+ay （6）2x2+4xy+2y2-8z23、十字相乘（7）x2-7x+6 （8）x2+13x+36（9）x2+xy-6y2（10）(x2+x)2-8(x2+x)+12 （11）12x2-5x-2 （12）5x2+6xy-8y24、配方法（13）x2+12x+16 （14）a4+a2b2+b45、其他方法添项、拆项法、分解因式（15）x 3-3x 2+4 （16）(x 2-5x+2)(x 2-5x+4)-8二、因式分解的应用 1、已知a+b=32，ab=2，求代数式 a 2b+2a 2b 2+ab 2的值2、计算12345678921234567890-123456789112345678902）（ab o作业篇一选择1、二次根式，a -=2a 成立的条件是 （ ）A 、a ＞0，B 、a ＜0，C 、a ≤0，D 、a 是任意实数2、若x ＜3，则6x 6x -92--+x 的值是 （ ） A 、-3， B 、3， C 、-9， D 、93、数轴上有两点A ，B 分别表示实数a ，b ，则线段AB 的长度是 （ ） A 、a-b ， B 、a+b ， C 、b -a ，D 、b +a4、实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是 （ ） A 、a+b ＞a ＞b ＞a-b ， B 、a ＞a+b ＞b ＞a-b C 、a-b ＞a ＞b ＞a+b ， D 、a-b ＞a ＞a+b ＞b5、若等于，则yy x y x322x =+- （ ） A 、1， B 、45， C 、54， D 、56二化简1、19183-232）（）（+ 2、313-1+3、1-32-23121++4、38a -5、aa 1-⨯三、已知x+y=1，求x 3+y 3+3xy四、若2)1()1(22=++-a a ，求a 的取值范围。
上海初三升高一专题01 数与式的运算(解析版)
专题01 数与式的运算在初中，我们已经学习了实数，知道字母可以表示数，用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式、分式、根式，它们具体细分又会包含单项式、多项式、绝对值、数幂等不同的小的类型，它们都具有实数的属性，可以进行运算．由于在高中学习中我们会经常遇到由代数式组成的各种混合运算，因此也需要较为复杂的公式结构和几何意义来进行辅助，比如：绝对值的几何意义、立方和差公式、杨辉三角公式、三种常见非负数形式等．1、绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．知识梳理 知识结构模块一绝对值3、两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 【例1】解不等式：13x x -+-＞4．【难度】★★【答案】0<x 或4>x【解析】解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =；①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1，∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4， 解得x ＞4．又x ≥3，∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|P A |＋|PB |＞4．由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． x ＜0，或x ＞4．典例剖析【例2】（1）当x 取何值时，3-x 有最小值？这个最小值是多少？（2）当x 取何值时，25+-x 有最大值？这个最大值是多少？（3）求54-+-x x 的最小值.（4）求987-+-+-x x x 的最小值.【难度】★★【答案】（1）当x=3时，3-x =0为最小值；（2）当x=-2时，25+-x =5为最大值；（3）当54≤≤x 时取最小，则54-+-x x =1为最小值；（4）当x=8时取最小，则987-+-+-x x x =2为最小值.【例3】（1）阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数b a ,，A 、B 两点这间的距离表示为AB ，当A 、B 两点中一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，b a b OB AB -===；当A 、B 两点都不在原点时，①如图2，点A 、B 都在原点的右边b a a b a b OA OB AB -=-=-=-=；②如图3，点A 、B 都在原点的左边()b a a b a b OA OB AB -=---=-=-=；③如图4，点A 、B 在原点的两边()b a b a b a OB OA AB -=-+=+=+=.综上，数轴上A 、B 两点之间的距离b a AB -=.（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ；②数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 ，如果2=AB ，那么x 为 ； ③当代数式21-++x x 取最小值时，相应的x 的取值范围是 ；④求1997321-+⋅⋅⋅+-+-+-x x x x 的最小值.【难度】★★★【答案】①3，3,4；②|x+1|,1或-3；③21≤≤-x ；④找到1~1997的中间数999，当x=999时取得最小值，最小值是998+997+....+2+1+0+1+2+....+998=()299899812⨯+⨯ =997002 .1.解绝对值方程：321-=---x x x ．【难度】★★【答案】4=x【解析】分类讨论：x ＜1，1≤x ＜2，x ≥2，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案． 解：当x ＜1时，原方程等价于1﹣x ﹣（2﹣x ）=x ﹣3．解得x=2（不符合范围，舍）；当1≤x ＜2时，原方程等价于x ﹣1﹣（2﹣x ）=x ﹣3．解得x=0（不符合范围，舍）；当x ≥2时，原方程等价于x ﹣1﹣（x ﹣2）=x ﹣3．解得x=4，综上所述：x=4．本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解题关键，此外也可以通过数形结合来解题．（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+；（3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 引申：n 次方差公式；对点精练 模块二乘法公式()()()()()()???322344223322=-+++-=-++-=-+-=-n n b a b ab b a a b a b a b ab a b a b a b a b a b a 根据以上规律，可以归纳出乘法公式：()()n n n n n n b a b ab b a a b a -=++++-----1221 （n 为非零自然数）将等号左右两边倒一下得：()()1221----++++-=-n n n n n n b ab b a a b a b a （n 为非零自然数）这个公式称为n 次方差公式；由这个公式易得())(n n b a b a --； 定理：若n 为正偶数，则())(n n b a b a --与())(n n b a b a -+同时成立；【例4】计算：（1）22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++；（2）22222))(2(y xy x y xy x +-++；（3）22)312(+-x x ；（4）()()()()1111842++++a a a a ． 【难度】★★【答案】（1）解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦ =242(1)(1)x x x -++=61x -． 解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -． （2）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+ 63362332)(y y x x y x ++=+=．（3）原式22]31)2([+-+=x x222222111()(2)()2(2)22(2)333x x x x x x =+-++-+⨯+⨯⨯-43282212239x x x x =-+-+． 典例剖析（4）1116--=a a 原式．【例5】已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．【难度】★★【答案】2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．【例6】分解因式：（1）2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++；（2）432673676x x x x +--+．【难度】★★【答案】（1）原式=22[(48)2][(48)]x x x x x x ++++++=22(68)(58)x x x x ++++=2(2)(4)(58)x x x x ++++（2）原式=4226(1)7(1)36x x x x ++--=422226[(21)2]7(1)36x x x x x x -+++--=22226(1)7(1)36x x x x -+--=22[2(1)3][3(1)8]x x x x ---+=22(232)(383)x x x x --+-=(21)(2)(31)(3)x x x x +--+． 1．已知335252-++=x ，求533-+x x 的值．【难度】★★【答案】1-【解析】对点精练()()()()()1552525131353333531152,52,52,52332233333333-=-++-=-+++++=-+++++=-+++=-=⇒-=⇒+=-==+=-ab b ab a b a b a ab b a b a b a b a ab ab b a b a 原式即令2．已知96333=-+z y x ，4=xyz，12222=++-++xz yz xy z y x ，求z y x -+的值．【难度】★★★【答案】9【解析】 ()()()()[]()()()()9123333310812963222222222233333333=-+∴=-++++-++++-+=-+-++++-+=+---+=+-+=+=+-+z y x xy yz xz z y x xyyz xz z y x z y x z y x xy z y x z y x z y x xyz xy y x z y x xyzz y x xyz z y x 解：3．分解因式：2(1)(2)(2)xy x y x y xy -++-+-．【难度】★★【答案】令a x y =+，b xy =，则原式=2(1)(2)(2)b a a b -+--=221222a b a b ab ++-+-=2(1)a b --=2(1)x y xy +--=2[(1)(1)]x y ---=22(1)(1)x y --1、分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程．2、二次根式2a 的意义 2a a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩ 【例7】试比较下列各组数的大小： （1）1211-和1110-； （2）64+和226－． 【难度】★★【答案】见解析【解析】（1）∵1211(1211)(1211)1211112111211--+-===++， 1110(1110)(1110)111011101110--+-===++， 又12111110+>+，∴1211-＜1110-．（2）∵226(226)(226)226,226226===－－+－++ 又 4＞22，∴6＋4＞6＋22，∴64+＜226－.【例8】化简：（1）945-； （2）2212(01)x x x+-<<． 模块三：二次根典例剖析【难度】★★【答案】见解析【解析】（1）原式5454=++ 22(5)2252=+⨯⨯+ 2(25)=-25=-52=-．（2）原式=21()x x -1x x =-， ∵01x <<，∴11x x>>， 所以，原式＝1x x -．【例9】化简22)1(111+++n n ，所得的结果为（ ） A ．1111+++n n B ．1111++-n n C ．1111+-+n n D ．1111+--n n 【难度】★★【答案】C 【解析】方法一：通过通分，然后整理配平方来解题1111)()1()1(1)(2)1()1()1()1()1(111222222222222222222+-+=+++=+++++=+++++=+++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 方法二：可利用特值法将A 、B 、D 一一排除。
高中数学学习必备的初中知识技能(1[1].数与式的运算)
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高中数学学习必备的初中知识技能（1[1].数与式的运算）第一讲数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．一、乘法公式【公式1】(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca 证明：?(a?b?c)2?[(a?b)?c]2?(a?b)2?2(a?b)c?c2?a?2ab?b?2ac?2bc?ca?b?c?2ab?2bc?2ca222222 ?等式成立2【例1】计算：(x?22x?13132)2解：原式=[x?(?2x)?]121122222?(x)?(?2x)?()?2x(?2)x?2x??2??(?2x)333?x?22x?4383x?2223x?19说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．【公式2】(a?b)(a?ab?b)?a?b(立方和公式)证明: (a?b)(a?ab?b)?a?ab?ab?ab?ab?b?a?b 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算：(a?b)(a?ab?b)解：原式=[a?(?b)][a?a(?b)?(?b)]?a?(?b)?a?b 我们得到：【公式3】(a?b)(a?ab?b)?a?b(立方差公式)请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．【例3】计算：22332233332222322223332233（1）(4?m)(16?4m?m2) （2）(m?5112n)(125m2?110mn?14n)2（3）(a?2)(a?2)(a4?4a2?16) （4）(x2?2xy?y2)(x2?xy?y2)2 解：（1）原式=43?m3?64?m3（2）原式=(m)3?(n)3?52111125m?318n3（3）原式=(a2?4)(a4?4a2?42)?(a2)3?43?a6?64 （4）原式=(x?y)2(x2?xy?y2)2?[(x?y)(x2?xy?y2)]2?(x?y)?x?2xy?y3326336说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、?、20的平方数和1、2、3、4、?、10的立方数，是非常有好处的．【例4】已知x2?3x?1?0，求x?31x3的值．1x?3 1x)?3]?3(3?3)?1822解：?x2?3x?1?0 ?x?0 ?x?原式=(x?1x)(x?1?21x2)?(x?1x)[(x?说明：本题若先从方程x2?3x?1?0中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．【例5】已知a?b?c?0，求a(1b?1c)?b(1c?1a)?c(1a?1b)的值．解：?a?b?c?0,?a?b??c,b?c??a,c?a??b?原式=a?b?cbc?b?a?cac?c?a?bab222 ?a(?a)bc3?b(?b)ac?c(?c)ab2??a?b?cabc2 ①?a?b?(a?b)[(a?b)?3ab]??c(c?3ab)??c?3abc33?a?b?c?3abc ②，把②代入①得原式=?3333abcabc??3说明：注意字母的整体代换技巧的应用．引申：同学可以探求并证明：a?b?c?3abc?(a?b?c)(a?b?c?ab?bc?ca)333222二、根式式子a(a?0)叫做二次根式，其性质如下： (1) (a)2?a(a?0) (3)(2) (4) aba2?|a| baab?a?b(a?0,b?0) ?(a?0,b?0) 【例6】化简下列各式： (1)(3?2)2?(3?1) 2 (2)(1?x)?3?1?12(2?x) (x?1)2解：(1) 原式=|3?2|?|3?1|?2?3?(2) 原式=|x?1|?|x?2|???(x?1)?(x?2)?2x?3 (x?2)?(x?1)?(x?2)?1 (1?x?2)说明：请注意性质a2?|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)： (1)32?3 (2)1a?1b (3) 2x2?x?38x 解：(1) 原式=3(2?(2?3)3)2?3(2?23)3)(2?2?32?6?33 (2) 原式=a?bab?ab?abab(3) 原式=22x2?2?x?x2?2?2x?22x?xx?22x?32x?xx说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如x2ab32?3)或被开方数有分母(如)．这时可将其化为形式(如x2可化为x2) ，转化为“分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如32?3化为3(2?(2?3)3)，其中2?3与2?3叫做互为有理化因式)．3)(2?【例8】计算： (1) (a?b?1)(1?a?b)?(a?2b)(2)aa?ab?a?aab解：(1) 原式=(1?b)?(a)?(a?2ab?b)??2a?2ab?2b?122 (2) 原式=aa(a?(a?(a?b)?aa(a?b)b)b)2a?1a?b?1a?b?b)?(a?b)(a??a?b说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．【例9】设x?2?2?2?2?33333)2,y?2?2?33，求x3?y3的值．解：x??(2?22?3?7?43,y?7?43 ? x?y?14,xy?1原式=(x?y)(x2?xy?y2)?(x?y)[(x?y)2?3xy]?14(142?3)?2702说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．三、分式当分式AB的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．【例10】化简x?x1?xx?1x解法一：原式=x?x1?xx?1xxx?2?x?x(1?x)?x(x?1)(x?1)?x?xxx?1?xx?x?xx?1x(x?1)2?x(x?1)x2?x?1x解法一：原式=(1?x)?x(x?1x)?x?x?xx(1?x)x?12?x?xxx?1?x?x?x2?x?1x说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质AB?A?mB?m进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．【例11】化简x?3x?9x?27x?3x?9222?6x9x?x2?x?16?2x解：原式=(x?3)(x?3x?9)2?6xx(9?x)2?x?12(3?x)?(x?3)2?1x?3?6(x?3)(x?3)?x?12(x?3)?2(x?3)?12?(x?1)(x?3)2(x?3)(x?3)?2(x?3)(x?3)?3?x2(x?3)说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．练习A 组1．二次根式a A．a?02 ??a成立的条件是(B．a?0 )C．a?0 ) C．－９D．a是任意实数2．若x?3，则9?6x?x2?|x?6|的值是( A．－３ 3．计算： (1) (x?3y?4z)2B．３D．９(2) (2a?1?b)2?(a?b)(a?2b) (4) (a?4b)(a?4b?ab) 4122(3) (a?b)(a2?ab?b2)?(a?b)24．化简(下列a的取值范围均使根式有意义)：(1) (3)?8a4abab?ba3(2) a??(4)12?1a 13?2?23?15．化简：B 组1．若1x?35(1)m39m?10mm25?2m21m (2)2x?2yx?x?y2xy2 (x?y?0)1y?2，则3x?xy?3yx?xy?y的值为( )：5353 A． B．?35 C．? D． 2．计算：(1) (a?b?c)(a?b?c)(2) 1?(12?13)感谢您的阅读，祝您生活愉快。
专题1 数与式的运算
专题01数与式的运算本专题在初中、高中扮演的角色初中阶段“从分数到分式”，通过观察、分析、类比，找出分式的本质特征，及它们与分数的相同点和不同点，进而归纳得出分式的概念及运算性质，我们已经运用的这些思想方法是高中继续学习的法宝.二次根式是在学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对“实数”、“整式”等内容的延伸和补充，对数与式的认识更加完善.二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充；二次根式的概念、性质、化简与运算是高中学习解三角形、一元二次方程、数列和二次函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最后一章，是式的变形的终结章.当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零.本专题内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如类比的思想（指数幂运算律的推广）、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂），掌握运算性质，能够区别n的异同. 通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质，掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质.高中必备知识点1：绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．典型考题【典型例题】阅读下列材料：我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即x =0x -，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为21x x -表示在数轴上数1x 与数2x 对应的点之间的距离； 例1解方程|x |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为2±，所以方程|x |=2的解为2±=x ．例2解不等式|x －1|＞2．在数轴上找出|x －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|x －1|=2的解为x =－1或x =3，因此不等式|x －1|＞2的解集为x ＜－1或x ＞3．例3解方程|x －1|+|x +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的x 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x 对应的点在1的右边或－2的左边．若x 对应的点在1的右边，可得x =2；若x 对应的点在－2的左边，可得x =－3，因此方程|x －1|+|x +2|=5的解是x =2或x =－3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x +2|=3的解为 ；（2）解不等式：|x －2|＜6；（3）解不等式：|x －3|+|x +4|≥9；（4）解方程: |x -2|+|x +2|+|x -5|=15.（1）1x =或x =－5；（2）－4＜x ＜8；（3）x ≥4或x ≤－5；（4）103x =-或203x = . （1）由已知可得x+2=3或x+2=-3解得1x =或x =－5．（2）在数轴上找出|x －2|=6的解．∵在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数为－4或8， ∴方程|x －2|=6的解为x =－4或x =8，∴不等式|x －2|＜6的解集为－4＜x ＜8．（3）在数轴上找出|x －3|+|x +4|=9的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距离之和等于15的点对应的x 的值． ∵在数轴上3和－4对应的点的距离为7，∴满足方程的x 对应的点在3的右边或－4的左边．若x 对应的点在3的右边，可得x =4；若x 对应的点在－4的左边，可得x =－5，∴方程|x －3|+|x +4|=9的解是x =4或x =－5，∴不等式|x －3|+|x +4|≥9的解集为x ≥4或x ≤－5．（4）在数轴上找出|x-2|+|x+2|+|x-5|=15的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和－2和5对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值．∵在数轴上-2和5对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在-2的左边或5的右边．若x对应的点在5的右边，可得203x=；若x对应的点在－2的左边，可得103x=-，∴方程|x-2|+|x+2|+|x-5|=15的解是103x=-或203x=.【变式训练】实数在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简.a-2b解：由数轴知：a＜0，b>0，|a|＞|b|，所以b-a>0，a-b＜0原式=|a|-（b-a）-(b-a)=-a-b+a-b+a=a-2b【能力提升】已知方程组的解的值的符号相同.(1)求的取值范围；(2)化简：.(1) −1<a<3；(2).(1)①+②得：5x=15−5a，即x=3−a，代入①得：y=2+2a，根据题意得：xy=(3−a)(2+2a)>0，解得−1<a<3；(2)∵−1<a<3，∴当−1<a<3时，高中必备知识点2：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()a b a b ab +-=-； （2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()a b aab b a b +-+=+； （2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b -=-+-．典型考题【典型例题】 （1）计算：203212016(2)(2)2-⎛⎫-++-÷- ⎪⎝⎭（2）化简：2(2)(2)(2)a b a b a b +--- （1）3（2）4ab-8b 2解：（1）原式=4+1+（-8）÷4 =5-2=3（2）原式=a 2-4b 2-(a 2-4ab+4b 2)=a 2-4b 2-a 2+4ab-4b 2=4ab-8b 2【变式训练】计算：（1）0221( 3.14)(4)()3π--+--（2）2(3)(2)(2)x x x --+-（1）8 （2）－6x+13(1)原式=1+16-9=8；(2)原式=x 2-6x+9-(x 2-4)=x 2-6x+9-x 2+4=-6x+13.【能力提升】已知10x ＝a ，5x ＝b ，求：（1）50x 的值；（2）2x 的值；（3）20x 的值．（结果用含a 、b 的代数式表示） (1)ab;(2)a b ;(3)2a b. 解：（1）50x ＝10x ×5x ＝ab ； （2）2x ＝xx x 1010a 55b ⎛⎫== ⎪⎝⎭； （3）20x ＝x x 2x x 1010a 101055b ⎛⎫⨯=⨯= ⎪⎝⎭．高中必备知识点3：二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如32a b 212x ++，22x y ++1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩典型考题【典型例题】计算下面各题．（1）2163)1526(-⨯-;（2(1) 56-;(2)（1）×3﹣6＝﹣＝﹣（2）x 4﹣4x＝2x 4x2x ．【变式训练】时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：＝＝她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．不正确，见解析解：不正确，正确解答过程为：【能力提升】先化简，再求值：(2a b a b -+-b a b -)÷a 2b a b-+，其中，．2a a b -． 解：(2a b a b -+-b a b -)÷a 2b a b-+ =()()()()()2a b a b b a b a b a b a b a 2b ---++⋅+--=2222a 3ab b ab b 1a b a 2b-+--⋅-- =()2a a 2b 1a ba 2b -⋅-- =2a a b -， 当+3，-3时，原式22=33．高中必备知识点4：分式1．分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B具有下列性质： A A M B B M⨯=⨯； A A M B B M÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式 像a b c d+，2m n p m n p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．典型考题【典型例题】先化简，再求值22122()121x x x x x x x x +++-÷--+，其中x 满足x 2+x ﹣1＝0．21x x -,1. 解：原式＝()()()221-211121x x xx x x x x ---=-+210x x +﹣＝，21x x ∴＝﹣，∴原式＝1.【变式训练】化简：22442x xy y x y -+-÷（4x 2－y 2）y x +2122442x xy y x y -+-÷（4x 2－y 2）=2(2)12(2)(2)x y x y x y x y -⨯-+-=y x +21.【能力提升】已知：112a b -=，则ab b a bab a 7222+---的值等于多少？43-.解：∵112a b -=，∴a-b=-2ab ，则2ab 2ab44ab 7ab 3--=--+专题验收测试题1．如图，若实数m ＝﹣7+1，则数轴上表示m 的点应落在（）A ．线段AB 上 B ．线段BC 上 C ．线段CD 上D ．线段DE 上B∵实数m+1，23<<∴﹣2＜m＜﹣1，∴在数轴上，表示m的点应落在线段BC上．故选：B．2．观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（）A．36 B．45 C．55 D．66 B（a+b）2=a2+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．故选B．3．已知1-1xx=，则221xx+等于（）A．3 B．2 C．1 D．0 A∵1-1 xx=，∴21-1x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即221-2+1x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴221-=3x x．故选A ． 4．设边长为3的正方形的对角线长为a ，下列关于a 的四种说法：① a 是无理数；② a 可以用数轴上的一个点来表示；③ 3<a<4；④ a 是18的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是 A ．①④ B ．②③C ．①②④D ．①③④C根据勾股定理，边长为3的正方形的对角线长为a = 根据实数与数轴上的一点一一对应的关系，a 可以用数轴上的一个点来表示，故说法②正确．∵216<a 18<25=，∴4<a =，故说法③错误．∵2a 18=，∴根据算术平方根的定义，a 是18的算术平方根，故说法④正确． 综上所述，正确说法的序号是①②④．故选C ．5．定义一种关于整数n 的“F ”运算：一、当n 为奇数时，结果为3n ＋5；二、当n 为偶数时,结果为2k n（其中k 是使2k n为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n ＝58,第一次经F 运算是29,第二次经F 运算是92,第三次经F 运算是23,第四次经F 运算是74……，若n ＝449,求第2020次运算结果是（ ） A ．1 B ．2C ．7D ．8A设449经过n 次运算结果为n a ，则11352a =，2169a =，3512a =，41a =，58a =，61a =，⋯，21n a ∴=，218(2n a n +=且n 为整数）．∵2020为偶数，20201a ∴=．故选：A6．如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•”的个数为1a ，第2幅图形中“•”的个数为2a ，第3幅图形中“•”的个数为3a ，…，以此类推，则123191111a a a a ++++…的值为（ ）A ．2021B ．6184C ．589840D ．431760C∵第一幅图中“•”有1133a =⨯=个；第二幅图中“•”有2248a =⨯=个； 第三幅图中“•”有33515a =⨯=个；∴第n 幅图中“•”有()2na n n =+（n 为正整数）个∴111122n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭∴当19n =时123191111a a a a ++++ (1111)3815399=++++11111324351921=++++⨯⨯⨯⨯ 1111111111112322423521921⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111112324351921⎛⎫=⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭11111222021⎛⎫=⨯+-- ⎪⎝⎭589840=．故选：C 7．定义新运算，*(1)a b a b =-，若a 、b 是方程2104x x m -+=（0m <）的两根，则**b b a a -的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．与m 有关A根据题意可得()()22**11b b a a b b a a b b a a -=---=--+，又因为a ，b 是方程2104x x m -+=的两根，所以2104a a m -+=，化简得214a a m -=-，同理2104b b m -+=，214b b m -=-，代入上式可得()()222211044b b a a b b a a m m ⎛⎫⎛⎫--+=--+-=--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．8．已知1x ，2x ，…，2019x 均为正数，且满足()()122018232019Mx x x x x x =++++++，()()122019232018N x x x x x x =++++++，则M ，N 的大小关系是()A ．M N <B ．MN >C ．MN D ．M N ≥B根据题意，设122018p x x x =+++，232018q x x x =++，∴1p q x -=，∴()()12201823201920192019()Mx x x x x x p q x pq p x =++++++=•+=+•； ()()12201923201820192019()N x x x x x x p x q pq q x =++++++=+•=+•；∴20192019()MN pq p x pq q x -=+•-+•=2019()x p q •- =201910x x •>；∴MN >；故选：B.9．下列运算正确的是( )A ．1a b a b b a -=--B ．m n m na b a b --=- C ．11b b a a a+-=D ．2221a b a b a b a b+-=--- D根据分式的减法法则，可知：a b a b b a ---=a b a b a b +--=a ba b +-，故A 不正确；由异分母的分式相加减，可知m n a b -==bm an bm anab ab ab --，故B 不正确；由同分母分式的加减，可知11b b a a a+-=-，故C 不正确； 由分式的加减法法则，先因式分解通分，即可知2221a b a b a b a b+-=---，故D 正确.故选：D. 10．已知a ，b 为实数且满足1a ≠-，1b ≠-，设11=+++a b M a b ，1111=+++N a b ．①若1ab =时，M N ；②若1ab >时，M N >；③若1ab <时，M N <；④若0a b +=，则0M N ≤．则上述四个结论正确的有（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4D对于①，可知(1)(1)2(1)(1)(1)(1)a b b a a b ab M a b a b +++++==++++，2(1)(1)a b N a b ++=++，若1ab =时，M N ，正确；对于②，也可分析得到；对于③④同样如此.11．若11122299919991a +=+，22233399919991b +=+，则a 与b 的大小关系为（ ） A ．a b > B ．a b =C ．a b <D ．无法确定A∵11122299919991a +=+，22233399919991b +=+， ∴1112222223339991999199919991a b ++-=-++ =()()()()()211133322222222299919991999199919991++-+++=()()111333222222333999999999999199291++-⨯+=()()()1112222222223339999999999991999211⨯+-++⨯＞()()111222222222333999999999999199291+⨯-⨯+＞0，∴a b >．故选A ．12．已知实数x ，y ，z 满足1x y ++1y z ++1z x +＝76，且z x y x y y z z x+++++＝11，则x +y +z 的值为（ ）A ．12B ．14C ．727D ．9A11z x y x y y z z x ++=+++， 11114z x y x y y z z x∴+++++=+++， 即14x y z x y z x y zx y y z z x ++++++++=+++，11114x y y z z x x y z∴++=+++++， 而11176x y y z z x ++=+++， 1476x y z ∴=++，12x y z ∴++=．故选：A ．13．已知226a b ab +=，且a>b>0，则a ba b+-的值为( )A B ．C ．2D ．±2A∵a 2+b 2=6ab ，∴（a+b ）2=8ab ，（a-b ）2=4ab ， ∵a ＞b ＞0，∴a+b=a-b=∴a ba b +-= A.14有意义，那么直角坐标系中点A(a,b)在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限A根据二次根式的概念，可知a≥0，ab＞0，解得a＞0，b＞0，因此可知A（a，b）在第一象限.故选A15．已知a的最小值为()A．0 B．3 C．D．9B根据题意，由，可知当（a﹣3）2=0，即a=3时，代数的值最小，为故选B．16．已知m、n m，n）为（）A．（2，5）B．（8，20）C．（2，5），（8，20）D．以上都不是Cm、n是正整数，∴m=2，n=5或m=8，n=20，当m=2，n=5时，原式=2是整数；当m=8，n=20时，原式=1是整数；即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20），故选：C．17．已知31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187……．则3+32+33+34+…+32019的末位数字是____．9．∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187……，∴尾数四个一循环，∴每四个的尾数和是0．∵2019÷4=504…3，∴3+32+33+34+…+32019的末位数字是9．故答案为：9．C，最小正方形的周长是18．如图，将一个正方形分割成11个大小不同的正方形，记图中最大正方形的周长是12C，则12C C =_____.432如图，设,AB x BC y ==，最大正方形标记为0号，被分割成的11个正方形标记为1-11号，其中最小正方形标记为11号，各个正方形的边长求解过程如下： 0号：1号+2号得x y +5号：1号-2号得y x -3号：2号-5号得()2x y x x y --=-4号：0号-2号-3号得(2)22x y x x y y x +---=- 7号：3号-4号得2(22)43x y y x x y ---=- 6号：4号-7号得22(43)56y x x y y x ---=- 10号：0号-1号得x9号：0号-4号-6号-10号得(22)(56)86x y y x y x x x y +-----=- 8号：10号-9号得(86)67x x y y x --=- 11号：6号-7号得56(43)810y x x y y x ---=- 或9号-6号得86(56)1411x y y x x y ---=- 因此x 和y 满足等式：8101411y x x y -=- 整理得：1924x y =所以最大正方形（0号）的周长1434()6C x y y =+=最小正方形（11号）的周长214(1411)3C x y y =-=则12432C C =.19．对于整数a ，b ，c ，d ，定义a d b c ＝ac ﹣bd ，已知1＜1d 4b＜3，则b+d 的值为_______．±3根据题意，得1<4–bd <3，化简，得1<bd <3， a ，b ，c ，d 均为整数，∴db =2， ∴当d =1时b =2或当d =–1时b =–2， ∴b +d =3或b +d =–3．20． 已知21x y =⎧⎨=⎩，是二元一次方程组81mx ny nx my +=⎧⎨-=⎩的解，则m+3n 的平方根为______．±3把21x y =⎧⎨=⎩代入方程组得：2821m n n m +=⎧⎨-=⎩①②，①×2-②得：5m =15， 解得：m =3，把m =3代入①得：n =2，则m +3n =3+6=9，9的平方根是±3， 故答案为：±3 21．若m 满足关系式35223x y m x y m +--+-199199x y x y =---+m =________．201由题意可得，199-x-y ≥0，x-199+y ≥0， ∴199-x-y=x-199+y=0，∴x+y=199①．=0，∴3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，联立①②③得，1993520230x y x y m x y m +=⎧⎪+--=⎨⎪+-=⎩①②③，②×2-③×3得，y=4-m ， 将y=4-m 代入③，解得x=2m-6，将x=2m-6，y=4-m 代入①得，2m-6+4-m=199，解得m=201． 故答案为：201．22．若214x x x++=，则2211x x ++= ________________.8∵214x x x ++=可化为13x x +=，2211x x ++化为211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∴原式=211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=32-1=823．已知22143134m n m n =--+，则11m n+的值等于______． 1322143134m n m n =--+221(2)(6)04m n -++=，则20m -=，60n +=， 所以2m =，6n =-， 所以11111263m n +=-=． 故答案是：13． 24．已知函数1x f xx，那么1f _____．2+因为函数1x f xx，所以当1x =时， 211()2221f x ．25．先化简，再求值：24211326x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中1x =..原式=221(1)12(3)232(3)3(1)1x x x x x x x x x ---+⎛⎫⎛⎫÷=⋅= ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭.将1x == 26．观察下列等式：1)131====-====回答下列问题：（1（2；（3+…．（1（2；（3）1 （12575752227575 527755=（222121212121n n n n n 2222212121n n n n 22212121n n n n 22221n n2121n n（3）由（22121121n n n n3153757573 =153757573 31537573717573175 531270=（1）求实数,a b 的值；（2的整数部分为x ，小数部分为y①求2x y +的值；②已知10kx m =+，其中k 是一个整数，且01m <<，求k m -的值．（1）7a =；21b =；（2）①4（10=，2490a -=且70a +≠，∴30a b -=，2490a -=且70a +≠， 即7,21a b ；（2）∵162125，∴45<<，即的整数部分为4，小数部分为4，①244)4x y +=+=；②∵12<<，∴8109<<，又∵104kx m k m =+=+，k 是一个整数，且01m <<，∴2,10242k m ==-⨯=∴2(2k m -=--=28．已知下面一列等式： 111122⨯=-；11112323⨯=-；11113434⨯=-；11114545⨯=-；… （1）请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式：（2）验证一下你写出的等式是否成立；（3）利用等式计算：11(1)(1)(2)x x x x ++++11(2)(3)(3)(4)x x x x ++++++. （1）一般性等式为111=(+11n n n n -+）；（2）原式成立；详见解析；（3）244x x+. （1）由111122⨯=-；11112323⨯=-；11113434⨯=-；11114545⨯=-；…，知它的一般性等式为111=(+11n n n n -+）； （2）1111(1)(1)n n n n n n n n +-=-+++111(1)1n n n n ==⋅++， ∴原式成立；（3）11(1)(1)(2)x x x x ++++11(2)(3)(3)(4)x x x x ++++++ 1111112x x x x =-+-+++11112334x x x x +-+-++++ 114x x =-+ 244x x =+. 29．对有理数a 、b 、c ，在乘法运算中，满足：①交换律：ab ba =；②对加法的分配律：()ca b ca cb +=+.现对a b ⊕这种运算作如下定义，规定：a b a b a b ⊕=⋅++.（1）这种运算是否满足交换律？（2）举例说明：这种运算是否满足对加法的分配律？（1）运算满足交换律；（2）加法的分配律不满足．（1）∵a b a b a b ⊕=⨯++，b a b a b a ⊕=⨯++，∴a b b a ⊕=⊕，∴该运算满足交换律；（2）根据规定，()()()a b c a b c a b c +⊕=+⨯+++a c b c a b c =⨯+⨯+++，∵a c a c a c ⊕=⨯++，b c b c b c ⊕=⨯++， ∴a c b c a c a c b c b c⊕+⊕=⨯+++⨯++2a c b c a b c =⨯+⨯+++， ∵2a c b c a b c a c b c a b c ⨯+⨯+++≠⨯+⨯+++，∴()a b c a c b c +⊕≠⊕+⊕，∴对加法的分配律不满足．30．李狗蛋同学在学习整式乘法公式这一节时，发现运用乘法公式在进行一些计算时特别简便，这激发了李狗蛋同学的学习兴趣，他想再探究一些有关整式乘法的公式，便主动查找资料进行学习，以下是他找来的资料题，请你一同跟李狗蛋同学探究一下：（1）探究：()()a b a b -+=____；()()22a b a ab b -++=___；()()3223a b a a b ab b -+++=_____；（2）猜想：()()1221...n n n n a b a a b ab b -----++++=______（n 为正整数，且2n ≥）； （3）利用上述猜想的结论计算：98732222...2221-+-+-+-的值．（1）22a b -，33a b -，44a b -；（2）n n a b -；（3）341 （1）()()22a b a b a b -+=-，()()22322223a b a ab b a a b ab a b ab b -++=++---33=-a b ，()()32234322332234a b a a b ab b a a b a b ab a b a b ab b -+++=+++----44a b =-，故答案为：22a b -，33a b -，44a b -；（2）根据（1）的结果可知：()()1221...n n n n a b a a b ab b -----++++=n n a b -， 故答案为：nn a b -； （3）原式987236278922(1)2(1)...2(1)2(1)2(1)(1)=+⨯-+⨯-++⨯-+⨯-+⨯-+- 98723627891[2(1)][22(1)2(1)...2(1)2(1)2(1)(1)]3=⨯--⨯+⨯-+⨯-++⨯-+⨯-+⨯-+-10101[2(1)]3=⨯-- 10213-= 102413-= 341=．。
数与式的运算
第一讲 数与式 1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：ba -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．例1、 解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x≥3， ∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4． 解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA|，即|PA|＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB|，即|PB|＝|x －3|． 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4． 由|AB|＝2，可知10 |x －1||x －3|点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P 在点D(坐标为4)的右侧． x ＜0，或x ＞4． 练 习 1．填空： （1）若5=x ，则x=_________；若4-=x ，则x=_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________.2．选择题：下列叙述正确的是 （ ） （A ）若a b=，则a b = （B ）若a b>，则a b >（C ）若a b <，则a b< （D ）若a b=，则a b =±3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++ =61x -． 解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -． 例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解：2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练 习 1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）；（2）(4m + 22)164(m m =++ )； (3 )2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题：（1）若212x mx k++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b ，等是无理式，而21x ++，22x y +1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与与，等等．一般地，b与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩ 例1、将下列式子化为最简二次根式：（1（20)a ≥； （30)x <．解： （1= （20)a ==≥；（3220)x x x =-<．例2(3．解法一：(3＝＝．解法二：(3．例3 、试比较下列各组数的大小：（1（2解： （1）∵===，===，>（2）∵1===又 4＞22，∴6＋4＞6＋22，例4、化简：20042005⋅．解：20042005+⋅＝20042004+⋅-⋅-＝2004⎡⎤+⋅⋅-⎣⎦＝20041⋅例5、化简：（1（21)x<<．解：（1）原式===2=2=．（2）原式1xx=-，∵01x<<，∴11xx>>，所以，原式＝1xx-．例6、已知x y==22353x xy y-+的值．解：∵2210x y +==+=，1xy ==，∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=． 练 习1．填空：（1_____；（2(x =-x 的取值范围是_____；（3）=____；（4）若2x =+=_______． 2．选择题：=成立的条件是 （ ）（A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<3．若1b a =+，求a b +的值．4．比较大小：2－ 3 ____5－4（填“＞”，或“＜”）．1.1.４．分式1．分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M≠0时，分式AB 具有下列性质： A A M B B M ⨯=⨯； A A M B B M ÷=÷．上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像abc d +，2m n p m n p +++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1、若54(2)2x A Bx x x x +=+++，求常数,A B 的值．解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++， ∴5,24,A B A +=⎧⎨=⎩解得 2,3A B ==．例2、（1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）； （2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯ ； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+ ． （1）证明：∵11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++， ∴111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．（2）解：由（1）可知1111223910+++⨯⨯⨯ 11111(1)()()223910=-+-++- ＝910． （3）证明：∵1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＝111111()()()23341n n -+-++-+ ＝1121n -+，又n≥2，且n 是正整数， ∴1n ＋1一定为正数，∴1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＜12． 例3、设ce a =，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．解：在2c2－5ac ＋2a2＝0两边同除以a2，得 2e2－5e ＋2＝0，∴(2e －1)(e －2)＝0，∴e ＝12 ＜1，舍去；或e ＝2． ∴e ＝2．练 习1．填空题：对任意的正整数n ，1(2)n n =+ ___ 112n n -+； 2．选择题：若223x y x y-=+，则xy ＝（ ） （A ）１ （B ）54 （C ）45 （D ）653．正数,x y 满足222x y xy -=，求x yx y -+的值．4．计算1111 (122334)99100++++⨯⨯⨯⨯．习题1．1 A 组1．解不等式： (1)13x ->； (2)327x x ++-< ； (3)116x x -++>．２．已知1x y +=，求333x y xy ++的值． 3．填空：（1）1819(2(2＝________；（22=，则a的取值范围是________；（3=________．B 组1．填空：（1）12a=，13b=，则2223352a aba ab b-=+-________；（2）若2220x xy y+-=，则22223x xy yx y++=+____；2．已知：11,23x y==的值．C 组1．选择题：（1（）（A）a b<（B）a b>（C）0a b<<（D）0b a<<（2）计算（）（A（B（C）（D）2．解方程：22112()3()10 x xx x+-+-=．3．计算：1111 132435911 ++++⨯⨯⨯⨯．4．试证：对任意的正整数n，有111123234(1)(2)n n n+++⨯⨯⨯⨯++＜14．1．2 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法 例1 、分解因式：（1）x2－3x ＋2； （2）x2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x2－3x ＋2中的一次项，所以，有 x2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）． （2）由图1．2－3，得x2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．2－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y)－1 ＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 2．提取公因式法与分组分解法例2 、分解因式：（1）32933x x x +++； （2）222456x xy y x y +--+-． 解： （1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++ =2(3)(3)x x ++． 或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++ ＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+ ＝2(3)(3)x x ++． （2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+- =22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-． －1 －2 x x 图1．2－1 －1 －21 1 图1．2－2－2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4 －1 1x y图1．2－5或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-．3．关于x 的二次三项式ax 2+bx+c(a≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3、把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．解： （1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =-，∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦=(11x x ++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--，∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．练 习1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ） （A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2．分解因式：（1）x2＋6x ＋8； （2）8a3－b3；（3）x2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-． 习题1．21．分解因式：（1） 31a +； （2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-． 2．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+． 3．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状． 4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a)．第二讲 函数与方程 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a -+=． ① 因为a≠0，所以，4a2＞0．于是（1）当b2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根X 1，2＝；（2）当b2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根X 1＝x 2＝－2ba ；（3）当b2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a +一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac 来判定，我们把b2－4ac 叫做一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0），有 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－2ba ；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 例1、判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x2－3x ＋3＝0； （2）x2－ax －1＝0； （3） x2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x2－2x ＋a ＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4³1³3＝－3＜0，∴方程没有实数根．（2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4³1³(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根12a x =，22a x =．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a2－4³1³(a－1)＝a2－4a ＋4＝(a －2)2， 所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x1＝1，x2＝a －1． （3）由于该方程的根的判别式为 Δ＝22－4³1³a＝4－4a ＝4(1－a)， 所以①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根11x =21x =②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）有两个实数根12b x a -+=，22b x a -=，则有1222b b x x a a -+===-；221222(4)444b b ac ac cx x a a a --====．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1²x 2＝ca ．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p ，x1²x2＝q ，即 p ＝－(x1＋x2)，q ＝x1²x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1²x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1²x2＝0．因此有以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是X2－(x1＋x1)x＋x1²x2＝0．例2 、已知方程2560x kx+-=的一个根是2，求它的另一个根及k的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5³22＋k³2－6＝0，∴k＝－7．所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－3 5．所以，方程的另一个根为－35，k的值为－7．解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1＝－65，∴x1＝－35．由（－35）＋2＝－5k，得 k＝－7．所以，方程的另一个根为－35，k的值为－7．例3、已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1²x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1²x2＝21，∴(x1＋x2)2－3 x1²x2＝21，即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得 m2－16m－17＝0，解得 m＝－1，或m＝17．当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4³1³293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝17．说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例4、已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x，y，则 x＋y＝4，①xy＝－12．②由①，得 y＝4－x，代入②，得x(4－x)＝－12，即 x2－4x－12＝0，∴x1＝－2，x2＝6．∴112,6,xy=-⎧⎨=⎩或226,2.xy=⎧⎨=-⎩因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x2－4x－12＝0的两个根．解这个方程，得x1＝－2，x2＝6．所以，这两个数是－2和6．说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．例5、若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．（1）求| x1－x2|的值；（2）求221211x x+的值；（3）3231xx+．解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，∴1252x x+=-，1232x x=-．（1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝253 ()4() 22 --⨯-＝254＋6＝494，∴| x1－x2|＝72．（2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．（3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2]＝(－52)³[(－52)2－3³(32-)]＝－2158．说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律： 设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0），则1x =，2x =，∴| x1－x2|===． 于是有下面的结论：若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0），则| x1－x2|＝||a （其中Δ＝b2－4ac ）．今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．例6、若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．解：设x1，x2是方程的两根，则x1x2＝a －4＜0， ① 且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ② 由①得 a ＜4， 由②得 a ＜174 ．∴a 的取值范围是a ＜4． 练 习 1．选择题：（1）方程2230x k -+=的根的情况是 （ ）（A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）（A ）m ＜14 （B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m≠0 （D ）m ＞－14，且m≠02．填空:（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝_______． （2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m≠0）的根的情况是____________________________． （3）以－3和1为根的一元二次方程是______________________．3|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．习题2.1 A 组1．选择题:（1）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2 （2）下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-；④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0． 其中正确说法的个数是 （ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（3）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－1 2．填空:（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝_______．（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝__________．（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是_______．（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ __________．3．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数． B 组1．选择题:若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为 （ ）（A ）1或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）0 2．填空:（1）若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，则m 2n ＋mn 2－mn 的值等于 _________．（2）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是______．3．已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围．4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根为x 1和x 2．求：（1）| x 1－x 2|和122x x +； （2）3231x x +． 5．关于x 的方程x2＋4x ＋m ＝0的两根为x1，x2满足| x1－x2|＝2，求实数m 的值． C 组1．选择题：（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （ ）（A（B ）3 （C ）6 （D ）9（2）若x 1，x 2是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则1221x x x x +的值为 （ ） （A ）6 （B ）4 （C ）3 （D ）32（3）如果关于x 的方程x 2－2(1－m)x ＋m 2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为 （ ）（A ）α＋β≥12 （B ）α＋β≤12 （C ）α＋β≥1 （D ）α＋β≤1（4）已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b)x ＋4c＝0的根的情况是（ ）（A）没有实数根（B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（D）有两个异号实数根2．填空：若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝________．3．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－32成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使1221x xx x+－2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k＝－2，12xxλ=，试求λ的值．4．已知关于x的方程22(2)04mx m x---=．（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2．5．若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围．2．2 二次函数2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质问题1、函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝12x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象．先列表：从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了．再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x2，y ＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x2的图象可以由函数y ＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝12x2，y ＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝ax2(a≠0)的图象可以由y ＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax2(a≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小． 问题2 函数y ＝a(x ＋h)2＋k 与y ＝ax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a(x ＋h)2＋k(a≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的图象的方法：由于y ＝ax2＋bx ＋c ＝a(x2＋b x a )＋c ＝a(x2＋b x a ＋224b a )＋c －24b a224()24b b aca x a a -=++， 所以，y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)具有下列性质：图2.2-2图2.2-1（1）当a ＞0时，函数y ＝ax2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2ba -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b a -时，函数取最小值y ＝244ac b a -．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2ba -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a -时，函数取最大值y ＝244ac b a -． 上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．例1 、求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．解：∵y ＝－3x2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4， ∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线x ＝－1； 顶点坐标为(－1，4)； 当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞－1时，y 随图2.2-3图2.2-4着x 的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x 轴交于点B 3(,0)3和C 3(,0)3-，与y 轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．例2、某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系如下表所示：若日销售量y 是销售价x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润＝日销售量y³(销售价x －120)，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值． 解：由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋（B ） 将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有70130,50150,k b k b =+⎧⎨=+⎩解得 k ＝－1，b ＝200． ∴ y ＝－x ＋200． 设每天的利润为z （元），则z ＝(－x+200)(x －120)＝－x2＋320x －24000 ＝－(x －160)2＋1600，∴当x ＝160时，z 取最大值1600．答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．例3、把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．解法一：y ＝x2＋bx ＋c ＝(x+2b)224b c +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224b b y x c =+++-+的图像，也就是函数y ＝x2的图像，所以，240,220,4bb c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得b ＝－8，c ＝14．解法二：把二次函数y ＝x2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x2的图像，等价于把二次函数y ＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x2＋bx ＋c 的图像．由于把二次函数y ＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x2－8x ＋14与函数y ＝x2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．例4、已知函数y ＝x 2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论． 解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；（2）当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a2；（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a2；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的①图2.2－6②③二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．练习1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）（A）y＝2x2（B）y＝2x2－4x＋2（C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2－4x（2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2（）（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2．填空题（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝_____，n＝________．（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝_____时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝______时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝______时，函数图象经过原点．（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向_______，对称轴为________，顶点坐标为______；当x＝_______时，函数取最____值y＝______；当x _______时，y随着x的增大而减小．3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象:（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6 x－x2．4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．2.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x 轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝ba-，x1x2＝ca，即ba＝－(x1＋x2)，ca＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(2b cx xa a++)= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．例1、已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(2)1(0)y a x a=-+<，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴21(32)1a-=-+，解得a＝－2．∴二次函数的解析式为22(2)1y x=--+，即y＝－2x2＋8x－7．说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．例2、已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，展开，得 y＝ax2＋2ax－3a，顶点的纵坐标为2212444a aaa--=-，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，∴|－4a|＝2，即a＝12±．所以，二次函数的表达式为y＝21322x x+-，或y＝－21322x x-+．分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1．又顶点到x 轴的距离为2， ∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y ＝a(x ＋1)2＋2，或y ＝a(x ＋1)2－2， 由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a ＝－12，或a ＝12．所以，所求的二次函数为y ＝－12(x ＋1)2＋2，或y ＝12(x ＋1)2－2．说明：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．例3、已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 解：设该二次函数为y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得22,8,842,a b c c a b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．所以，所求的二次函数为y ＝－2x2＋12x －8．通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？练 习 1．选择题:（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是（ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无法确定 （2）函数y ＝－12(x ＋1)2＋2的顶点坐标是 （ ）（A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2) （D ）(－1，－2) 2．填空：（1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y ＝a ____________(a≠0) ．（2）二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为____________． 3．根据下列条件，求二次函数的解析式．（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)； （2）当x ＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；（3）函数图象与x 轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y 轴交于(0，－2)．。
北师大版初中数学中考复习《数与式》
Day1 数与式说明：由于电脑输入问题，下文出现的“√”为根号一、实数1、科学计数法把一个数写成a×10ⁿ的形式叫做科学记数法，其中（1≤|a|＜10，n 是整数）方法：把小数点拉到第一个数a的右边，再数经过了多少个数即为n 2、绝对值指一个数在数轴上所对应点到原点的距离注意：“距离”一定是正数3、相反数绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数4、倒数分子和分母相倒并且两个乘积是1的数互为倒数，0没有倒数。
5、无理数、有理数无理数：①开方开不尽的方根②无限不循环小数有理数：整数、分数6、实数的比较大小①定义法：正数＞0＞负数记忆方法：两个都是负数的情况下，绝对值大的反而小②数轴法：在数轴上的两个数，右边的数比左边的大③作差法：a-b＞0则a＞b；a-b＜0则a＜b；a-b=0则a=b7、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。
实数与数轴上的点是一一对应的8、近似数经过四舍五入得到的与原始数据相差不大的一个数9、平方根、算术平方根、立方根平方根：如果x²=a，则称x为a的平方根，其中a≥0，a的平方根也写成±√a（0的平方根是0；负数没有平方根）注意：根号里面的东西一定是≥0算术平方根：如果一个正数x满足x²=a，则称这个正数x为a的算术平方根。
a的算术平方根写作√a（0的算术平方根是0）★平方根与算术平方根的区别：平方根的x可以是正数、负数、0；算术平方根里面的x只能是正数或者0而不能是负数，并且√a没有负号的情况立方根：如果x³=a，则称x为a的立方根，a的立方根也写成±³√a（正数的立方根是正数、负数的立方根是负数）记忆：所谓立方，就是三次方的意思。
其实也是用了“负负得正、正负得负”的原理，之所以“正数的立方根是正数、负数的立方根是负数”，是因为三个正数相乘是正数，而三个负数相乘则是负数。
10、实数的运算(1)运算顺序：乘方-开方-乘除-加减，如果有括号就先算括号里面的，同级运算从左到右。
初高中数学衔接 第1课 数与式的运算 1
初高中数学衔接第1课数与式的运算 1初高中数学衔接第1课数与式的运算1初高中数学衔接第1课数与式的运算(1)第1课数与式的运算（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．⎧a，a>0，即|a|＝⎧⎧0，a＝0，⎧绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：|a－b|表示在数轴上，数a和数b之间的距离．【例1】在数轴上表示|x＋1|与|x－1|的几何意义．【基准2】化简：(1)|3x－2|；(2)|x＋1|＋|x－3|；x－4x＋4；【例3】解下列方程：(1)|x－1|＝1；(2)|x2－1|＝1.【基准4】求解以下不等式．(1)|2x＋3|≤2；(2)|x－1|＋|x－3|>4.(4)t＋4t＋4.【基准5】图画出来以下函数的图象．(1)y＝|x|；(2)y＝|x－2|＋|x＋2|.1．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.2．完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.3．立方和公式：(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.4．立方差公式：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3.5．三数和平方公式：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)．6．两数和立方公式：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.7．两数高立方公式：(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3.【基准6】因式分解．(1)x3－1；(2)x3＋1.【例7】计算：(x＋1)(x－1)(x2－x＋1)(x2＋x＋1)．【基准8】未知：x＋y＝1，谋x3＋y3＋3xy的值．【例9】已知：x2－3x＋1＝0，求x3＋1【基准10】设x＝2323，y2－3x3＋y3的值．1．以下描述恰当的就是()a．若|a|＝|b|，则a＝bb．若|a|>|b|，则a>bc．若a3．如果|a|＋|b|＝5，且a＝－1，则b＝________；若|1－c|＝2，则c＝________.4．化简：|x＋1|－|x－2|.5．解方程3|x＋1|－1＝5.6．求解不等式|x2－1|≤2.7．画出下列函数的图象．(1)y＝－|x＋1|(2)y＝|x|＋|x－1|8．排序：(1)(4＋m)(16－4m＋m2)；(3)(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a＋b)3；9．未知：x2－5x＋1＝0，谋x3＋1(2)(x2＋2xy＋y2)·(x2－xy＋y2)2；(4)(a－4b)(1＋4b2＋ab)．10．已知：a＋b＋c＝0，求b＋c－aa＋c－b＋a＋b－c．未知：a>0，a2x＝3，求：a3x＋a3x11a＋a－12．已知：a2－4a＋1＝0a2a＋5a＋113．未知：a＋b＋c＝0，谋a(1b＋1c＋b1c1a＋c(11a＋b)．14．未知：a＋b＋c＝0.澄清：a3＋a2c＋b2c－abc＋b3＝0.例1解|x＋1|为a、b两点间的距离，如图|x－1|为a、b两点间的距离，例如图⎧3x－2(x≥23基准2求解(1)|3x－2|＝⎧⎧－3x＋2(x⎧－2x＋2(x≤－1(2)|x＋1|＋|x－3|＝⎧)⎧4(－1⎧⎧2x－2(x≥3)(3)原式＝(x－2)＝|x－2|＝⎧⎧⎧x－2(x≥2)－x＋2(x(4)原式＝(t＋2)＝t2＋2.例3解(1)x＝0或x＝2；(2)x＝0或x＝2.例4解(1)52x≤－12；(2)x>4或x例6解(1)(x－1)(x2＋x＋1)；(2)(x＋1)(x2－x＋1)．例7解(x3＋1)(x3－1)＝x6－1.基准8求解原式＝(x＋y)(x2－xy＋y2)＋3xy＝(x＋y)2＝1.基准9求解由x2－3x＋1＝0得：x1∴x3＋1x3[(x12－3]＝18.例10解xy＝1，x＋y＝14，x3＋y3＝2702.强化训练1．d2.±5±43.±43或－1⎧－3(x≤－1)4．解|x＋1|－|x－2|＝⎧⎧2x－1(－1⎧⎧3(x≥2)5．求解x＝1或x＝－36．求解3≤x≤37．求解8．解(1)64＋m3；(2)(x3＋y3)2＝x6＋2x3y3＋y6；(3)－3a2b－3ab2；183－8b3)＝143－16b3.9．解x＋1x5，(x＋11x)[(x＋x2－3]＝110.10．求解原式＝1111a＋b＋c－2bc－2ac＋－2ab2[abc＝0.11．求解原式＝a2x－1＋a＝3－1＋1712．求解a＋1a＝4，a2＋1a14，原式＝11a2＋11913．求解原式＝acbbcababbb－1＋aaa－1＋cc＋c14．证明原式＝a2(a＋c＋b)－a2b－abc＋b2c＋b3＝－ab(a＋c＋b)＋ab2＋b2c＋b3＝b2(a＋b＋c)＝0.。
第一讲 数与式的运算
第一讲 数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．一、乘法公式【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222++++++++++=∴等式成立【例1】计算：22)312(+-x x解：原式=22]31)2([+-+x x913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算：))((22b ab a b a ++-解：原式=333322)(])()()][([b a b a b b a a b a -=-+=-+---+ 我们得到：【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式． 【例3】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+ （2）)41101251)(2151(22n mn mn m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++ 解：（1）原式=333644m m +=+ （2）原式=3333811251)21()51(n m n m -=-（3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a （4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构． （2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．【例4】已知0132==-x x ，求331xx +的值．解：0132==-x x 0≠∴x 31=+∴x x 原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222=-=-++=+-+xx xx xx xx说明：本题若先从方程0132==-x x 中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．【例5】已知0=++c b a ，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值．解：b a c a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0∴原式=abb ac acc a b bcc b a +⋅++⋅++⋅abccb a abc c acb b bca a 222)()()(++-=-+-+-=①abc c ab c c ab b a b a b a 3)3(]3))[((32233+-=--=-++=+abc c b a 3333=++∴ ②，把②代入①得原式=33-=-abcabc说明：注意字母的整体代换技巧的应用． 引申：同学可以探求并证明：))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++二、根式式子(0)a a ≥叫做二次根式，其性质如下： (1) 2()(0)a a a =≥(2) 2||aa =(3)(0,0)ab a b a b =⋅≥≥ (4)(0,0)b b a b aa=>≥【例6】化简下列各式： (1)22(32)(31)-+-(2)22(1)(2) (1)x x x -+-≥解：(1) 原式=|32||31|23311-+-=-+-=(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2)x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明：请注意性质2||a a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)： (1)323+(2)11ab+(3) 3282x x x -+解：(1) 原式=23(23)3(23)63323(23)(23)--==--+-(2) 原式=22a b a b ab abab++=(3) 原式=2222222223222x x xx x x x x x x x -⋅+⨯=-+=-⨯说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如323+)或被开方数有分母(如2x )．这时可将其化为a b形式(如2x 可化为2x ) ，转化为 “分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如323+化为3(23)(23)(23)-+-，其中23+与23-叫做互为有理化因式)．【例8】计算： (1) 2(1)(1)()a b a b a b ++-+-+(2)a a a aba ab+-+解：(1) 原式=22(1)()(2)2221b a a ab b a ab b +--++=--++(2) 原式=11()()a a a a b a a b a ba b+=+-+-+()()2()()a b a b aa ba b a b ++-==-+-说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．【例9】设2323,2323x y +-==-+，求33x y +的值．解：22(23)23743,743 14,12323x y x y xy ++===+=-⇒+==--原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．三、分式当分式A B的分子、分母中至少有一个是分式时，A B就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．【例10】化简11x x x x x-+-解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x x x x x x x x x x xx x x xx x x x x x x x x ++=====--⋅+-+-+++--+解法一：原式=22(1)1(1)(1)111()x x xx x x x x x x x xx x xx x x x x x xx ++====-⋅-+--+++--⋅说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质A A m BB m⨯=⨯进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．【例11】化简222396162279x x x x xx x x++-+-+--解：原式=22239611612(3)3(3)(3)2(3)(3)(39)(9)x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=--+-+---++-22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x +-------===+-+-+说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．A 组1．二次根式2a a =-成立的条件是()A ．0a >B ．0a <C ．0a ≤D ．a 是任意实数2．若3x <，则296|6|x x x -+--的值是( ) A ．－３B ．３C ．－９D ．９3．计算： (1) 2(34)x y z --(2) 2(21)()(2)a b a b a b +---+(3) 222()()()a b a ab b a b +-+-+(4) 221(4)(4)4a b a b ab -++4．化简(下列a 的取值范围均使根式有意义)： (1) 38a -(2) 1a a⋅-(3)4ab a b b a-(4)11223231+-+-5．化简： (1)219102325m m m mmm+- (2)222 (0)2x yx y x y xx y--÷>>B 组1．若112x y-=，则33x xy y x xy y+---的值为( )：练 习A ．35B ．35-C ．53-D ．532．计算：(1) ()()a b c a b c +---(2) 111()23÷-3．设11,3232x y ==-+，求代数式22x xy yx y+++的值．4．当22320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22a b a b baab+--的值．5．设x 、y 为实数，且3xy =，求y x xyxy+的值．6．已知11120,19,21202020a xb xc x =+=+=+，求代数式222a b c ab bc ac ++---的值．7．设512x -=，求4221x x x ++-的值．8．展开4(2)x -9．计算(1)(2)(3)(4)x x x x ----10．计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++- 11．化简或计算：(1) 113(184)2323-+÷-(2) 22122(25)352⋅--++(3)2x x x yx xy y xy yxx yy+++---(4) ()()b ab ab a b a a bab bab aab-++÷+-++-第一讲 习题答案 A 组1． C 2． A3． (1) 2229166824x y z xy xz yz ++--+ (2) 22353421a ab b a b -++-+(3) 2233a b ab --(4)331164a b -4．2()22212a b a a a a b+-------5． 2m m xy B 组1． D 2．2,3223a c b ac +--+ 3． 1336-4．3,2-5．23±6． 37．35-8．4328243216x x x x -+-+ 9．43210355024x x x x -+-+10．444222222222x y z x y x z y z ---+++11．433,,,3x yb a y+--。
七年级上册数学书义务教育教科书第一单元第一课讲解
七年级上册数学书义务教育教科书第一单元第一课讲解《七年级上册数学》是一本义务教育教科书，第一单元第一课是数与式。
在这一课中，我们将学习关于数和代数表达式的基本概念和运算方法。
这是数学领域的重要基础，对于后续的学习和运用都至关重要。
首先，我们来了解一下数的概念。
数是人们用来计量和衡量事物的工具，数有正数、负数、零等不同类型。
正数是大于零的数，负数是小于零的数，零是没有大小的数。
数可以进行四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
通过这些运算，我们可以计算出不同数之间的关系和结果。
接下来，让我们进一步了解代数表达式的概念和运算。
代数表达式是由数、变量和运算符号组成的符号集合，用来表示一个数或者一些数之间的关系。
变量是表示未知数或者任意数的符号，常用字母表示。
代数表达式可以通过加减乘除等运算进行简化和展开。
在学习代数表达式的过程中，需要了解一些基本的运算法则：1.加法法则：若a、b、c是任意三个数，则(a+b)+c=a+(b+c)，即在加法运算中，可以改变数的顺序进行计算。
2.乘法法则：若a、b、c是任意三个数，则(a×b)×c=a×(b×c)，即在乘法运算中，可以改变数的顺序进行计算。
3.分配率：若a、b、c是任意三个数，则a×(b+c)=a×b+a×c，即在乘法和加法运算中，可以进行分配运算。
通过这些基本法则，我们可以在代数表达式中进行简化和计算，从而得到结果。
在课堂上，老师会通过具体的例子和练习题，帮助我们理解和掌握数和代数表达式的基本概念和运算方法。
同时，老师还会提供一些实际应用的例子，让我们将所学的知识应用到实际问题中，培养我们的思维能力和解决问题的能力。
在学习这门课程时，我们不仅需要掌握基础的概念和运算方法，还需要注重实际应用和解决问题的能力。
数学是一门应用性很强的学科，通过数学的学习可以培养我们的逻辑思维和分析问题的能力，提高我们的综合素质。
数与式的运算知识点高一
数与式的运算知识点高一作为数学学科的基础，数与式的运算是高中数学学习的重点之一，也是后续学习的基础。
掌握好数与式的运算知识点，对于理解和应用高中数学知识具有重要意义。
本文将介绍高一数与式的运算知识点，帮助学生更好地掌握数学知识。
一、四则运算四则运算是数学中最基本的运算之一，包括加法、减法、乘法和除法。
在高一阶段，我们需要巩固和深化对四则运算的掌握和应用。
1. 加法加法是指两个或多个数相加的运算，可以通过竖式或横式进行计算。
在进行加法运算时，需要注意数字的对齐，进位和进位法则等。
2. 减法减法是指两个数中较大的数减去较小的数，得到差的运算。
减法运算中，需要注意借位和退位的方法，特别是在减法竖式中的借位运算。
3. 乘法乘法是指两个或多个数相乘的运算。
在乘法运算中，可以使用竖式、横式或分配律等方法进行计算。
需要掌握好乘法口诀和快速计算技巧。
4. 除法除法是指一个数被另一个数整除的运算。
在除法运算中，需要注意除数、被除数和商之间的关系，以及余数的处理方法。
掌握好除法的基本原理和计算方法对于解决实际问题非常重要。
二、整数的运算整数是正整数、负整数和零的统称，是数学中的重要概念。
在高一数学学习中，我们需要掌握整数的加法、减法和乘法等运算。
1. 整数加法整数加法是指两个或多个整数相加的运算。
在整数加法中，需要注意正数加负数和负数加正数的情况，以及整数加法的运算法则。
2. 整数减法整数减法是指一个整数减去另一个整数，得到差的运算。
与整数加法类似，整数减法中也需要注意正数减负数和负数减正数的情况，以及整数减法的运算法则。
3. 整数乘法整数乘法是指两个整数相乘的运算。
整数乘法的运算法则和正数乘法类似，但需注意乘积的正负关系。
特别是两个负数相乘的结果为正数。
三、代数式的展开与因式分解代数式是由字母和数字按照一定规则组成的式子，是高中数学学习的重点之一。
在高一阶段，我们需要对代数式进行展开和因式分解等运算。
1. 代数式的展开代数式的展开是指将一个由字母和数字组成的式子，按照运算法则展开成一个多项式的过程。
数与式的运算(4课时)
数与式的运算课时一：乘法公式一、初中相关知识1． 实数运算满足如下运算律：加法交换律，乘法交换律，加法结合律，乘法结合律，乘法对加法的分配律。
2． 乘法公式平方差公式：22))((b a b a b a -=-+ 完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±二、衔接目标要求1． 理解字母可以表示数，代数式也可以表示数，并掌握数与式的运算。
2． 掌握平方差公式和完全平方公式的灵活运用，理解立方和与差公式，两数和与差的立方公式以及三数和的完全平方公式。
3． 三、入门衔接知识根据多项式乘法法则推导出如下乘法公式 （1）ab x b a x b x a x +++=++)())((2（2）立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+ （3）立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++- （4）两数和的立方公式：3223333)(b ab b a a b a +++=+ （5）两数差的立方公式：3223333)(b ab b a a b a -+-=-（6）三数和的平方公式：ac bc ab c b a c b a 222)(2222++=++=++ 四、典型例题引路 例1、计算：（1）)5)(2(-+x x （2）2)2(c b a -+（3）3)1(-x （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++例2：已知4=++c b a 4=++ac bc ab 求222c b a ++的值例3：求)1)(4)(2)(1(+---m m m m例4：已知：0133=+-x x ，求331xx +的值。
例5：已知：。
y xy x y xy x y x y x y x 的值求))()()((,2,322223+++-+-==例6．已知：35,2=-=-c a b a ，求：])())(())[((22c a c a b a b a b c -+--+--的值。
答案精析《创新设计》
例1 解 (1)(a+2b)(a-4b);(2)(x +6 y)(x
- y);(3)(x+y+2z)(x+y-3z);(4)(m+ 2n)
(m- 2n)·(m2+3n2).
例2 解 (1)(3m+2n)(2m-3n) (2)(4x+3y)· (5x-2y) (3)(x+y)(x-y)(2x2+3y2)
例2
证明
∵AADB
=AAEC,由
例
2
可
知
:AB-AD AD
=
ACA-EAE,∴ADDB=AEEC,即DABD=EACE.
例3 证明 (1)∵ba =dc ,∴ba -1=dc -1,ab-b=cd-d.
(2)∵ba +1=dc +1,∴ab+b=cd+d. (3)设ba =dc =k,则a=kb,c=kd,
x1|=
1 x
-x(∵0<x
<1).
例11 解 原式=|x+3|+|x-2|
{-2x-1
=5 2x+1
(x≤ -3) (-3<x<2). (x≥2)
例12 解 x+2 xy-15y=0,(x +5 y)(x -
3
y)=0,∵
x +5
y>0,∴x=9y,原
式
=
2 3
.
例13 解 xy=1,x+y=10,原式=289.
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初高中衔接教材 数学
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一、绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．
即|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a >0，0，a ＝0，
－a ，a <0.
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：|a －b |表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 例1 在数轴上表示|x ＋1|与|x －1|的几何意义．
例2 化简：
(1)|3x －2|；(2)|x ＋1|＋|x －3|； (3)x 2－4x ＋4；(4)t 4＋4t 2＋4.
例3 解下列方程：
(1)|x －1|＝1；(2)|x 2－1|＝1.
例4 解下列不等式．
(1)|2x ＋3|≤2；(2)|x －1|＋|x －3|>4.
例5 画出下列函数的图象．
(1)y ＝|x |；(2)y ＝|x －2|＋|x ＋2|.
二、乘法公式
1．平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.
2．完全平方公式：(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2.
3．立方和公式：(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝a 3＋b 3.
4．立方差公式：(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3.
5．三数和平方公式：(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )．
6．两数和立方公式：(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3.
7．两数差立方公式：(a －b )3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3.
例6 因式分解．
(1)x 3－1；(2)x 3＋1.
例7 计算：(x ＋1)(x －1)(x 2－x ＋1)(x 2＋x ＋1)．
例8 已知：x ＋y ＝1，求x 3＋y 3＋3xy 的值．
例9 已知：x 2－3x ＋1＝0，求x 3＋1x 3的值． 例10 设x ＝2＋32－3，y ＝2－32＋3
，求：x 3＋y 3的值．
1．下列叙述正确的是( )
A ．若|a |＝|b |，则a ＝b
B ．若|a |>|b |，则a >b
C ．若a <b ，则|a |<|b |
D ．若|a |＝|b |，则a ＝±b
2．若|x |＝5，则x ＝________；若|x |＝|－4|，则x ＝________.
3．如果|a |＋|b |＝5，且a ＝－1，则b ＝________；若|1－c |＝2，则c ＝________.
4．化简：|x ＋1|－|x －2|.
5．解方程3|x ＋1|－1＝5.
6．解不等式|x 2－1|≤2.
7．画出下列函数的图象．
(1)y ＝－|x ＋1| (2)y ＝|x |＋|x －1|
8．计算：(1)(4＋m )(16－4m ＋m 2)；(2)(x 2＋2xy ＋y 2)·(x 2－xy ＋y 2)2；(3)(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a
＋b )3；(4)(a －4b )(14
a 2＋4
b 2＋ab )． 9．已知：x 2－5x ＋1＝0，求x 3＋1x
3的值． 10．已知：a ＋b ＋c ＝0，求1b 2
＋c 2－a 2＋1a 2＋c 2－b 2＋1a 2＋b 2－c 2的值．
11．已知：a >0，a 2x
＝3，求：a 3x ＋a －3x
a x ＋a －x 的值． 12．已知：a 2
－4a ＋1＝0，求：a 2
a 4＋5a 2＋1的值． 13．已知：a ＋
b ＋
c ＝0，求a (1b ＋1c )＋b (1c ＋1a )＋c (1a ＋1b
)． 14．已知：a ＋b ＋c ＝0.
求证：a 3＋a 2c ＋b 2c －abc ＋b 3＝0.。