第1课 实数及其运算
北师大版九年级数学下册--中考数学总复习 -第一个课时：实数及其运算 课件
将数 221000 用科学记数法表示为( B )
A. 2.21×106
B. 2.21×105
C. 221×103
D. 0.221×106
3. 实数 0.00037 用科学记数法表示为 33..77××1100－－44 ．
4. 估计 65的值在( D )
A. 5 和 6 之间 C. 7 和 8 之间
【例 8】实数 a，b，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中
正确的是( DD )
A. ac＞bc C. －a＜－b＜c
B. |a－b|＝a－b D. －a－c＞－b－c
知识点四：二次根式
9. (1)性质：(Ⅰ)
a2＝a(a≥0)(Ⅱ)
a ＝ a 2
(2)运算法则：(Ⅰ) a· b＝ ab(a≥0，b≥0)
00 ；若 x－y ＋
y＋2＝0，则 x、y 的值分
别为 －2、－2 .
13. 二次根式 x＋4有意义，则实数 x 的取值范围是 xx≥≥－－44 ． 14. 要使代数式 xx＋1有意义，则 x 的取值范围是 xx>>－－11 ．
15. 据报道，2019 年某城镇基建项目总投入计划 70500000 元，将
，…}，
负分数：{ －23，－0. 4
，…}，
无理数：{ π， 6， 1.101 001 000 1…
，…}.
7. 若将三个数，－ 3， 7， 17表示在数轴上，其中能被如图所
示的墨迹覆盖的数是 7 .
8. － 3的相反数是－3
，倒数是
－－
3 3
，绝对值是 3 .
9. 求下列各式的值： (1)± 49；
(Ⅱ) ba＝ ab(a≥0，b>0)
初中数学精品课件：实数及其运算
【典例 1】 (2019·宁波)请写出一个小于 4 的无理数： ______．
【答案】 π(答案不唯一)
【类题演练 1】 (2019·衢州)在12，0，1，－9 四个数中，
【典例 1】
在
实
数
－
π 2
，
2
，
22 7
，
0.3333333…
，
0
，
1.732
，
2.1010010001…(每两个“1”之间依次多一个“0”) 中，是无理数的
是
．
【错解】 2，272，2.1010010001…(每两个“1”之间依次多一个“0”)
【析错】 无理数是无限不循环小数，而有理数可以写成 分母不为 0 的分数形式，所以272是有理数，－π2是无理数． 【正解】 －π2， 2，2.1010010001…(每两个“1”之 间依次多一个“0”)
2．初中数学中常见的非负数有：①实数的绝对值：|a|≥0； ②实数的平方：a2≥0；③非负实数的算术平方根： a ≥0(a≥0)．如果 a，b，c 都是实数，且满足 a2＋|b|＋ c ＝0，那么根据非负数的性质，有 a＝b＝c＝0.由非负 数的性质可以求出多个未知数的值.
易错点1 平方根与算术平方根概念的混淆
数，则 ab＝ 1 ．
(4)绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数 的绝对值．
a（a＞0）， |a|＝0（a＝0）， 以上三条反之亦成立．
－a（a＜0）.
|a|是一个非负数，即|a|≥0．
(5)科学记数法： 科学记数法就是把一个数表示成 a×10n(反数，则和为 0；若两数互为倒数，则积 为 1.反之亦成立．
【2014中考复习方案】(江西专版)中考数学复习权威课件：1实数及其运算
科学记数法
a× 10n 把一个数写成________ 的形式(其中1≤|a|＜ 10，n为整数)，这种表 示数的方法称为科学记 数法
近似数
一个近似数四舍五入到 哪一位，就说这个近似 数精确到哪一位
赣考解读
考点聚焦
赣考探究
第1讲┃ 实数及其运算
考点5 实数的运算
1．计算 2－(－3)的结果是( A ) A．5 B．1 C．－1 D．－5
南昌 江西(南昌)
负数的绝对值
实数的运算 科学记数法(千 万) 实数大小的比较 无理数的判断
考点聚焦
3
9 3 3 3
赣考探究
选择题
填空题 选择题 选择题 选择题
★★★
★★★★ ★★★★ ★★★ ★★★
2011
江西(南昌) 江西(南昌)
赣考解读
第1讲┃ 实数及其运算
Hale Waihona Puke 考 点 聚 焦考点1 实数的分类
1．在－1，0，1，2 这四个数中，既不是正数也不是负数 的是( B ) B．0 C．1 D．2 1 2．在－5，－0.1， ， 3这四个数中，无理数的是( D ) 2 1 A．－5 B．－0.1 C. D. 3 2 A．－1
2．计算 2³(－1)的结果是( B ) 1 A．－ B．－2 C．1 D．2 2 3．计算 6÷(－3)的结果是( B ) 1 A．－ B．－2 C．－3 D．－18 2
赣考解读
考点聚焦
赣考探究
第1讲┃ 实数及其运算
【归纳总结】
内容 加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值 相等时，和为0，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对 值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数 运算法则 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数 乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，再将两数的绝对值相乘．任何数同0相 乘，仍得0 除法：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数 运算性质 运算顺序 号，在同一级运算中，要按照从左到右的顺序进行运算
总复习第1讲 实数及其运算
（三）乘法 1.、乘法法则：
2、有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab = ba； （2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； （3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac . （四）除法: 除法法则：
（1）除以一个数等于乘以这个数的倒数。
（2）0除以任何数都等于___0__，0不能做被除数。
1.实数a（a≠0）的倒数是_____a_____；
2.a和b 互为倒数⇔ab=_____1_____
3. 倒数等于它本身的数是_1_和__-_1_。
【例1.】（资1）-2.4的倒数是_—__152_， 3 2 的倒数是___3__—__2_， 2. 已知a,b互为相反数，cd互为倒数，则 a b _0__.
常1千考=的_1_计_0_3数_, 单1位万有=__1_0_4___，1亿=___1_0_8___。120万_1_._2_×__106
考点五、 非负性
1.非负数概念
正数和零统称为非负数,常见的非负数有
|a|≥0,a2≥0, a ≥0 (a≥0,a可代表一个数或代数式). 2.非负数的性质
(1)非负数的最小值是零;
例：1. 比较大小：50 __>___7 2. 13的整数部分是__3____.
考点七、 实数的运算
1.基本运算 加法、减法、乘法、除法、乘方、开方. （一）加法 1. 加法法则 （2，加法的运算律： （（12） ）加加法法的 的交 结换 合律律：：（a+ab+=b_b）_+_a+__c=_ a；+a_+_（___b_+_c_）. （二）减法 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数； 即a-b=a+_（__-_b_）___.
广西壮族自治区2025年中考数学一轮复习课件：第一章数与式第1节实数及其运算
0
零次幂 a ＝㉚___(a≠0)，遇到0次幂，写1即可
运算
法则
1
－p
－1
负整数 a ＝㉛____(a≠0，p为正整数)，特别地，a
＝ (a≠0)
指数幂 口诀：倒底数，反指数
－(＞),
去绝对
(＝),
｜a－b｜＝
值符号
㉜ － (＜)
－1的奇
(为偶数),
n
偶次幂 (－1) ＝ －(为奇数)
－4
－4
－4
数是___，比
3大的数是_______.
π和2
0
知识点7
实数的运算(掌握)(广西2024.19，2023.19；北部湾2022.
19，2021.19，2020.19)
1.常见的实数运算
运算
法则
a n＝
乘方
··⋯·
(其中a是底数，n是指数)
个
(为偶数),
(－a)n＝
－ (为奇数)
负实数
【温馨提示】无理数的常见类型：①开方开不尽的数，如 3， 5等；②π
π
及化简后含有π的数，如 ，π－2等；③部分特殊角的三角函数值，如
2
sin 45°，tan 60°等；④有规律的无限不循环小数，如0.101 001 000
1…(每相邻两个1之间依次多一个0)等.
2.正负数的意义(2022版新课标新增，理解)
(3)倒数等于它本身的数是⑱________
【对点训练】
1
3.(1)5的相反数是_____，绝对值是___，倒数是____；
5
5
－5
1
1
1
(2)－ 的相反数是____，绝对值是____，倒数是_____.
实数的运算(41张PPT)数学
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答案
解析
1
2
3
4
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6
7
8
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答案
解析
解析 由题意知b2－10＝0，2a＋b2＝0，
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2b
解析 由数轴知b＜0＜a，且|b|＞|a|，则a－b＞0，所以原式＝a－(a－b)＋b＝a－a＋b＋b＝2b.故答案为2b.
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②原式＝|－4|＝4，符合题意；③原式＝－3，不符合题意；④原式＝－0.8，不符合题意；⑤原式＝3，符合题意；⑥原式＝3，不符合题意.故选C.
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5.以下是小明的计算过程，请你仔细观察，错误的步骤是( )
解析 若围成长方形，设长为20厘米，则宽为10厘米，长方形面积为200平方厘米；若围成正方形，正方形边长为60÷4＝15(厘米)，面积为225平方厘米；
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实数及其运算教案
实数及其运算教案一、教学目标知识与技能：1. 理解实数的定义及分类，掌握有理数和无理数的特点。
2. 掌握实数的四则运算规则，能够熟练进行实数的加、减、乘、除运算。
3. 能够运用实数及其运算解决实际问题。
过程与方法：1. 通过实例和问题，培养学生的观察、分析、归纳能力。
2. 运用小组合作、讨论等方法，提高学生解决问题的能力。
情感态度与价值观：1. 培养学生的逻辑思维能力，提高对数学学科的兴趣。
2. 培养学生团队协作、积极参与的精神。
二、教学内容第一节：实数的定义及分类1. 实数的定义：实数是包含有理数和无理数的数集。
2. 实数的分类：有理数和无理数。
第二节：实数的四则运算1. 实数的加法：同号相加，异号相减。
2. 实数的减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3. 实数的乘法：符号相同，积为正；符号不同，积为负。
4. 实数的除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
三、教学重点与难点重点：1. 实数的定义及分类。
2. 实数的四则运算规则。
难点：1. 实数的乘除运算。
2. 运用实数及其运算解决实际问题。
四、教学方法与手段1. 采用讲授法、问答法、实例分析法进行教学。
2. 使用多媒体课件、黑板、实物等教学手段，辅助学生理解实数及其运算。
五、教学过程1. 引入新课：通过生活实例，引导学生认识实数及其重要性。
2. 讲解实数的定义及分类，让学生通过实例理解有理数和无理数的特点。
3. 讲解实数的四则运算规则，并通过例题演示运算过程。
4. 组织学生进行小组讨论，运用实数及其运算解决实际问题。
5. 总结本节课的重点内容，布置课后作业。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对实数定义、分类和四则运算规则的理解程度。
2. 课堂练习：评价学生运用实数及其运算解决实际问题的能力。
3. 课后作业：评价学生对课堂所学知识的掌握情况。
七、教学拓展1. 介绍实数在数学中的应用，如坐标系、函数等。
2. 探讨实数运算在科学研究和实际生活中的意义。
实数及其运算
实数及其运算实数是数学中最基本、最完备的数系之一，它包括整数、有理数和无理数。
一、整数整数包括正整数、负整数和零。
1. 正整数：正整数由自然数（1, 2, 3, ...）及其负数构成，用正号或省略正号表示，例如：+1，+2，+3，...2. 负整数：负整数由自然数加上负号构成，例如：-1，-2，-3，...3. 零：零用0表示。
整数运算包括加法、减法、乘法和除法。
1. 加法：整数加法遵循整数的符号规则，即同号相加得正，异号相加得负。
例如：(+3) + (+4) = +7，(-5) + (+2) = -3。
2. 减法：减法可以转化为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数。
例如：(+3) - (+4) = (+3) + (-4) = -1。
3. 乘法：整数乘法遵循整数的符号规则，同号得正，异号得负。
例如：(+3) × (+4) = +12，(-3) × (-4) = +12，(+3) × (-4) = -12。
4. 除法：整数除法有整除和带余除法两种形式。
整除结果为整数，带余除法结果为分数或小数。
例如：7 ÷ 3 = 2（整除），7 ÷ 2 = 3.5（带余除法）。
二、有理数有理数包括整数和分数。
1. 整数：整数是有理数的一种，包括正整数、负整数和零。
2. 分数：分数由整数除以非零整数得到，分子可以为正整数或负整数，分母为正整数。
例如：1/2，-3/4，5/6等。
有理数运算包括加法、减法、乘法和除法，运算规则与整数类似。
三、无理数无理数是指不能表示为两个整数比值的数，无法写成分数形式的数。
常见的无理数有π（圆周率）、√2（开根号2）、e（自然对数的底数）等。
无理数与有理数的运算可通过近似值进行。
总结：实数是包括整数、有理数和无理数的数系，它涵盖了所有的实际数值。
实数运算包括整数运算、有理数运算，以及无理数的近似计算。
熟练掌握实数及其运算，可以在数学问题中灵活应用，深化对数学的理解和运用能力。
第1讲 实数的概念和运算
(2)将-0.0003054用科学记数法可表示为：-3.05410-4 .
知 识 点 分 析
（四 ）平方根与立方根
a ，这两个平方根 1.正数a有两个平方根记为： a 和 互为相反数 ；0的平方根是 0 ，负数 没有平方根 .
a
叫做a的算数平方根，0的算数平方根是
3a
0
.Hale Waihona Puke 2. a的立方根2 a 3.
知 识 点 分 析
（二 ）实数的有关概念
1.数轴的三要素： 原点
、 正方向 和
单位长度 .
2. 实数 与数轴上的点一一对应. 3.相反数：只有 符号 不同的两个数，我们称其中一个数是另 一个数的相反数，也称 这两个数互为相反数 .在数轴上，互 为相反数的两个数所对应的点在 原点 的两侧，且到 原点 的 距离相等. a的相反数是
.
0 ；
a a 0
0 ; a
0
例4.（1） ９ 的平方根是 3 （2） ３ （3）
－８ ＝ -2
３－２ ＝ 2- 3
２
知 识 点 分 析
（五 ）实数的运算
1.实数的运算顺序： 先乘方、开方，再算 乘 除 ，最后算 加 减，同级运算 按 从左到右 的顺序进行；有括号的先算 括 号 里 面 的. 2.
a0 = 1
(a≠0)
3. a-p=
1 a p (a ≠0,p为整数)
负数 ，
4.正数的任何次幂都为 正数 ；负数的奇次幂为 偶次幂为 . 正数 5.若几个非负数的和为0，则这几个非负数
同 时 为 0 .
若 a b2 c 0, 则 a =0，b2 =0 ，c =0
知 识 点 分 析
2020中考复习第01课时实数及其运算
用科学记数法表示为
考点聚焦
考向四 实数的大小比较与运算
例4 [2019·南京]实数a,b,c满足a>b且 [答案] A
ac<bc,它们在数轴上的对应点的位置
[解析]因为a>b且ac<bc,所以c<0.
可以是 (
选项A符合a>b,c<0条件,故满足条件的
)
对应点位置可以是A.
选项B不满足a>b,选项C,D不满足c<0,
第 1 课时
实数及其运算
第一单元
数与式
2020年中考复习
考点聚焦
考点一 实数的概念及分类
1.按定义分
有理数
整数
分数:① 有限
② 循环
实数
无理数
正无理数
负无理数
小数或无限
小数
无限③ 不循环 小数
考点聚焦
2.按大小分
(1)实数可分为正实数、0和负实数.0既不是正数,也不是负数.
(2)正负数的意义:一般地,对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的
考点聚焦
考点二
实数的有关概念
1.数轴:规定了原点、④ 正方向 和⑤ 单位长度 的直线.数轴上的点与实数一
一对应.
图1-1
2.相反数:a的相反数是⑥
-a
,0的相反数是0.
3.倒数:乘积是⑦ 1 的两个数互为倒数.0没有倒数,倒数等于本身的数是±1.
考点聚焦
4.绝对值:一般地,数轴上表示数 a 的点与原点的距离,叫做数 a 的绝对值,记作|a|,
ba
(a+b)+c=⑳ a+(b+c) ,
(ab)c=㉑ a(bc)
分配律 a(b+c)= ㉒ ab+ac
浙江省2020届中考一轮复习浙教版数学课件：第1讲 实数及其运算(共39张PPT)
点拨
解
答案
(2)在一列数：a1，a2，a3，…，an中，a1＝3，a2＝7，从第三个数开始， 每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2017 个数是( B )
A.1
B.3
C.7
D.9
解 依题意得：a1＝3，a2＝7，a3＝1，a4＝7，a5＝7，a6＝9，a7＝3， a8＝7；周期为6； ∵2017÷6＝336…1， ∴a2017＝a1＝3.
3. 零指数幂，负整数指数幂
(1)任何不等于零的数的零次幂都等于1，即a0＝_1__(a≠0)．
(2)任何不等于零的数的－p次幂，等于这个数p次幂的倒数，即a－p
＝
1 ap
(a≠0，p为正整数)．
4. 实数的大小比较 (1)代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个 正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数反而小． (2)数轴比较法：将两个实数分别表示在数轴上，右边的数总比左边的 数大． (3)差值比较法：设a，b是任意两个实数，则a－b＞0⇔a＞b；a－b＜ 0(4⇔)商a＜值b比；较a－法b：＝设0⇔a，a＝b b是. 两个正数，则：ab＞1⇔a＞b；ab＝1⇔a＝b；ab＜ 1⇔a＜b. 在具体解题时，视题目的情况灵活选择最优方法．
解
题型四 科学计数法
自主演练
1.据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第
一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学
记数法可简洁表示为( A )
A.3.386×108
B.0.3386×109
C.33.86×107
D.3.386×109
答案
2.近似数5.0×102精确到( C )
1.实数及其运算的知识点习题和答案
初中数学实数及其运算的知识点主要包括以下内容：1.实数的定义：①实数包括有理数和无理数。
②有理数是可以表示为两个整数之比的数（整数、小数、分数）。
③无理数是不能表示为两个整数之比的数（如π、√2等）。
2.实数在数轴上的表示：①实数可以在数轴上直观地表示，正数在原点右侧，负数在原点左侧，零在原点。
3.实数的性质：①实数的顺序性：实数可以比较大小。
②实数的封闭性：实数在加减、乘除（除数不为零）运算后仍然得到实数。
③实数的分配律、结合律和交换律：这些性质使得实数的运算符合代数的规则。
4.实数的运算：加法：①同号相加，取相同符号，和的绝对值为两个绝对值之和。
②异号相加，取绝对值较大的数的符号，和的绝对值为两数绝对值的差。
③加法结合律和交换律。
减法：①减去一个数等于加上这个数的相反数。
乘法：①同号相乘得正，异号相乘得负。
②乘法结合律和交换律。
除法：①除以一个数等于乘以这个数的倒数（除数不为零）。
②除法的除数不为零。
5.实数的乘方和开方：①乘方：a^n表示n个a相乘。
②开方：√a表示找到一个数，使得它的平方等于a（非负实数）。
6.实数的乘方根：①立方根：∛a表示找到一个数，使得它的三次方等于a。
②四次方根：∜a表示找到一个数，使得它的四次方等于a。
7.实数的绝对值：①实数a的绝对值记为|a|，表示a与0的距离，总是非负的。
8.实数的运算顺序：①先乘除，后加减。
②如果有括号，先计算括号内的表达式。
9.实数的有理数和无理数的性质：①有理数可以表示为分数，无理数不能。
②无理数包括无限不循环小数。
10.实数的应用：①实数在几何、物理、经济等领域的应用。
练习题知识点1：实数的定义和分类填空题1.实数1.5可以表示为分数______。
2.√9的平方是______。
算数题1.计算：(-2) + 32.计算：2 ×(-4)3.计算：(-3) ÷64.计算：√(16) + √(25)5.计算：(-3)^26.计算：(√2)^27.计算：(-5)^3知识点2：实数在数轴上的表示选择题1.在数轴上，0的右边是______。
中考复习数与式课件 第一节 实数及其运算
第一节 实数及其运算
真题演练
命题点一 实数的有关概念
1.(2020河南)2的相反数是 ( A )
A.-2 B.- 1 C. 1 D.2
2
2
解析 2的相反数是-2.故选A.
2.(2019河南)- 1 的绝对值是 ( B )
2
A.- 1 B. 1 C.2 D.-2
2
2
解析 负数的绝对值是它的相反数,所以 1 = 1 ,故选B.
a,a 0;
|a|=0,a 0;
a,a 0.
温馨提示 因为一个数的绝对值是数轴上表示该数的点到原点的距离,所以
一个数的绝对值不可能为负数,即|a|≥0.
5.平方根、算术平方根、立方根
名称
定义
性质
平方根
如果x2=a(a≥0),那么x就叫做a 的平方根,记作± a
正数的平方根有两个,它们互为 相反数 ; 负数 没有
平方根;0的平方根是 0
算术平 方根
如果x2=a(x≥0,a≥0),那么x就叫 0的算术平方根是0 做a的算术平方根,记作 a
立方根
若x3=a,则x就叫做a的立方根,记 作 3a
正数有一个 正的 立方根; 0的立方根是0;负数有一个
负的 立方根
易错警示 平方根与算术平方根的概念混淆 填空: 1.4的算术平方根是 2 . 2.2的平方根是 ± 2 . 3.(-3)2的平方根是 ±3 .
15.(2019河南)成人每天维生素D的摄入量约为0.000 004 6克.数据“0.000 004 6”
用科学记数法表示为( C )
A.46×10-7
B.4.6×10-7
C.4.6×10-6 D.0.46×10-5
第1课 实数及其运算
A)
解析：1370536875＝1.370536875³109≈1.37³109.
6.(2011· 宜昌)如图，数轴上A、B两点分别对应实数 a、 b，则下列结论正确的是 ( A. a < b C. a > b B． a ＝ b D．ab > 0 )
C
解析：因为a>0，b<0，所以a>b.
7．(2011· 泉州)(－2)2的算术平方根是( A. 2 B．±2 C．－2 D.
思想方法 感悟提高
方法与技巧 1．重视实数概念的学习，理解实数与数轴上的点 是一一对应的． 2．注意实数乘方概念的理解，防止概念之间的混
淆．
3．可借助数轴，“数形结合”，找到数与点的关系， 根据对称性质找出互为相反数的位置，再比较大小．
失误与防范
引进负数，使数的概念得以扩展，实现了算术数到有理数 的飞跃，许多小学形成的认识被推翻了：
2.30亿≈2亿3千0百万，精确到百万位，有3个有效数字．
有关实数的非负性：
1a
2
0;
2 a 0; 3
a 0 (a 0).
若几个非负数的和等于0,那么这几个非负数都0.
2 3 a 4 ( 4 b 3 ) 0, 求 ab的值。 例、若
解：由｜3a+4｜+ (4b-3)2 = 0 得 ｜3a+4｜= 0 且 (4b-3)２＝０ ∴ 3a+4 = 0 且 4b-3 ＝０ ∴a=-4/3，b=3/4 ∴ab=(-4/3)³(3/4)=-1
)
2
A
解析：
－2
2＝
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
＝2. － 2
题型分类 深度剖析
中考复习第1课时实数及其运算课件
考点聚焦
豫考探究
当堂检测
第1课时┃ 实数及其运算
1 2．实数π ， ，0，－1中，无理数是( A ) 5 1 A．π B. 5 C．0 D．－1
1 3．－2的相反数是 ；－ 的倒数是 －2 2 －2014 的绝对值是 2014 .
2
；
考点聚焦
豫考探究
当堂检测
第1课时┃ 实数及其运算
【归纳总结】 正整数 0 整数 有限小数或 有理数 负整数 无限循环小数 1．实数 正分数 分数 负分数 正无理数 无理数 负无理数 无限不循环小数
考点聚焦
a>b B.
C．－a<b
当堂检测
D．a＋b<0
豫Байду номын сангаас探究
第1课时┃ 实数及其运算
【归纳总结】 1．正数都大于 正数
0
，负数都小于
0
，
大于 负数. 大
.
2．在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边 的点表示的数 3．两个负数，绝对值大的反而 若 a－b＝0， 则a
小
.
4．设 a，b 是任意两个实数，若 a－b＞0，则 a
＞
b； b.
＝
b； 若 a－b＜0， 则a
＜
考点聚焦
豫考探究
当堂检测
第1课时┃ 实数及其运算
豫 考 探 究
► 热考一 相反数、倒数、绝对值
1 例 1 [2010· 河南] － 的相反数是 ( A ) 2 1 1 A. B．－ 2 2 C．2 D．－2
－5
B．6.5×10
－6
C．6.5×10－7
2015年陕西省中考数学总复习课件：第1讲 实数及其运算
(5)科学记数法 ， 近似数：
±a ×10 n __(1≤a＜10， 科学记数法就是把一个数表示成 __
n 是整数 )的形式；一个近似数 ，__四舍五入 __到哪一位 ，
就说这个数精确到哪一位．
要点梳理
(6)平方根，算术平方根，立方根：
如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，记作
x＝± a
3
；正数a的正的平方根，叫做
1 ． (1)(2013· 安顺 ) 下列各数中 ， 3.14159 ， －
1－ 4．(2014· 陕西)计算：(－ ) 2＝__9__． 3 5 ． (2014· 陕 西 ) 用 科 学 计 算 器 计 算 ： 31 ＋ 3tan56 ° ≈ __10.02__.(结果精确到 0.01) 6．(2013· 陕西)计算：(－ 2) 3＋( 3－1)0＝__－7__． 7 ． (2013· 陕 西 ) 比 较 大 小 ： 8cos31 ° __>__ 35 .( 填 “>”“＝” “<”) 8．(2012· 陕西)计算：2cos45°－ 3 8＋(1－ 2)0＝__－5 2＋ 1__. 9．(2012· 陕西)用科学计算器计算： 7sin69°≈__2.47__.(精 确到 0.01)
中括号 ，最后算 大括号
，再算
乘除 ，最后算 加减 ，如果有括号，先算 小括号 ，
再算
，同级运算
应 从左到右依次进行
．
数形结合思想
数形结合思想是指将数(量)与(图)形结合起来进行分
析、研究、解决问题的一种思想策略．“数无形，少
直观；形无数，难入微．”数形结合思想可以使问题
化难为易、化繁为简．
分类讨论思想
陕 西 省
数
学
实数-第课时实数的性质及运算 课件 大赛获奖教学课件
13.2.5 边边边
重难互动探究
探究问题一 “S.S.S.”的运用
例 1 [课本例 6 变式题] 如图 13－2－18，判断下面各图中 的△ABD 和△ACD 是否全等． (1)如图(A)，BD＝DC，AB＝AC； (2)如图(B)，AB＝AC，BD＝CD； (3)如图(C)，AC＝DB，CE＝BE，AE＝DE.
13.2.5 边边边
新 知 梳 理
► 知识点一 “S.S.S.”基本事实及运用
基本事实：三边 ____分别相等的两个三角形全等．简记为 S.S.S.(或边边边)．
13.2.5 边边边
► 知识点二 “角角角”不能判定三角形全等 三个角分别相等的两个三角形 不一定 全等． [比较] 如果两个三角形有三组对应相等的元素，可分为四 类：三边、两边一角、一边两角、三角．它们判定三角形是否 全等的情况可归纳如下：
活动1 知识准备
如图 13－2－45，点 B 在∠DAC 的平分线 AE 上，请添加 一个适当的条件： AC＝AD(或∠ABC＝∠ABD或∠C＝∠D等， ， 答案不唯一) △ABC≌△ABD.(不再添加辅助线，只填一个即可)
图 13－2－45
13.2.5 边边边
活动2
教材导学
认识“S.S.S.” 先动手操作，然后完成下列填空，想想这两个三角形具备 了哪些相等条件？ 已知△ABC 中， AB＝4， BC＝5， AC＝6.画△A′B′C′， 使 A′B′＝4，B′C′＝5，A′C′＝6.△ABC 与△A′B′C′满足对 BC＝B′C′__，__ AC＝A′C ′， 应相等的条件分别是AB __ ＝A′B′ __，__ __ 可以确定△ABC 与△A′B′C′的关系是 ． 全等 你能用一句话概括出三角形全等的这种判定方法吗？ ◆知识链接——[新知梳理]知识点一
实数及其运算知识点总结
实数及其运算知识点总结一、实数的定义实数是所有可以在数轴上表示且能够对应一个唯一数点的数的集合。
在数轴上，实数用点来表示，数轴上的每一点都与某一个实数对应。
用集合的语言来说，实数是有理数和无理数的集合。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，而无理数是不能表示为两个整数的比值的数。
在数学中，一般使用符号R来表示所有实数构成的集合。
实数包括有理数和无理数两个不同的部分，有理数是可以写为分数形式或小数形式的数，无理数是不能写为分数形式或小数形式的数。
实数集R是有理数集Q和无理数集R-Q的并集。
二、有理数的性质1. 有理数的定义：有理数是可以表示为两个整数的比值的数。
有理数包括整数和分数两种形式。
2. 有理数的运算性质：有理数的加法、减法、乘法和除法满足交换律、结合律、分配律等基本性质。
3. 有理数的范围：有理数的范围在实数轴上是密集的，任意两个有理数之间都存在着无数个有理数。
4. 有理数的等价性：有理数的分数形式可能有不同的等价形式，但它们表示的是同一个数。
三、无理数的性质1. 无理数的定义：无理数是不能表示为两个整数的比值的数。
无理数无法用简单的分数形式表示，通常使用无限不循环小数或者根号形式表示。
2. 无理数的运算性质：无理数的加法、减法、乘法和除法也满足交换律、结合律、分配律等基本性质。
3. 无理数的范围：无理数在实数轴上的分布也是非常密集的，无理数与有理数之间也存在着无数个无理数。
4. 无理数的等价性：有些无理数之间是不能互相表示的，它们表示着不同的数。
四、实数的运算规则1. 实数的加法运算：实数的加法运算满足交换律和结合律，即对于任意的实数a、b、c，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。
实数的加法满足零元素的存在，即对于任意的实数a，有a+0=a。
对于每一实数a，都有一个相反数-b，使得a+(-b)=0。
2. 实数的减法运算：实数的减法运算可以化为加法运算，即a-b=a+(-b)，满足减法运算的性质。
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知能迁移1 (1)下列五个实数：3 －8，0，tan 45°，－|－3|，
(1)－1.其中正数的和为
2
A．4
B．5
C．6
D．7
(A)
解析：(3－π)0＋tan45°＋ ( 1)－1＝1＋1＋2＝4，这三个正数的
和等于4，选A.
2
(2)下列四个数中，在0到3之间的无理数是
A. 2 B. 3 C．π 3
2
4．(2011·宁波)下列各数中，是正整数的是
A．－1 B. 2 C．0.5 D. 2
(B )
解析：选项中只有2既是正数，又是整数．
5．(2011·陕西)我国第六次人口普查显示，全国人口为1370536875
人，将这个总人口数(保留三个有效数字)用科学计数法表示为
A．1.37×109 B．1.37×107
4．运用分类讨论思想，全面解答问题
在学习相反数、绝对值和有理数乘方运算的符号法则时，应把
实数分成正实数、零、负实数三类分别研究，运用分类讨论的
思想，在一些看上去较复杂的计算题中，可通过分类讨论，全
面地把代数式的值一一求出来，如：
已知abc≠0，且M＝ |a＋| |b＋| |c＋| abc，根据a、b、c的不同
( A)
C．1.37×108 D．1.37×1010
解析：1370536875＝1.370536875×109≈1.37×109.
题型分类 深度剖析
题型一 实数的分类 【例 1】 (1)在0,1,－2,－3.5这四个数中，是负整数的是
A．0 B．1 C．－2 D．－3.5
(C )
解析：负整数既是负数，又是整数，这里只有－2符合．
2．注意基本技能的掌握及正确的运算 在实数范围内，由于对基本技能掌握不熟练，导致出现一系列 变形和计算错误．这些技能包括：分数的通分与约分、运算的 灵活应用、实数的运算、实数的大小比较、近似数的表示、用 科学记数法表示数等．
3．利用数形结合的数学思想直观地解决问题 数本身是无形的、抽象的，而点、线等图形却是直观的．数轴 正是在有形的直线上按由小到大的顺序把无形的数表示出来， 把“数”与“形”有机地结合起来，从而便于学习和研究．
即 a－p＝ a1p(a≠0，p为正整数) ．
4.实数的大小比较： _正__数___大于零，_负__数___小于零，_正__数___大于一切负数； 在数轴上表示的两个数，右边的点所表示的数总比__左_边___的 点所表示的数__大___． 差值法比较：
a－b＞0⇔a＞b a－b＜0⇔a＜b a－b＝0⇔a＝b
a b c |abc|
取值，M有
( B)
A．唯一确定的值
B．三种不同的值
C．四种不同的值
D．八种不同的值
基础自测
1．(2011·金华)有四包真空小包装火腿，每包以标准克数(450克)为
基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据
是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是 ( A )
，无理数的个数为
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
(B )
解析：无理数是无限不循环小数，开不尽方，是无限不循环小数．
探究提高 判断一个数是不是无理数，关键就看它能否写成无限不循
环小数．初中常见的无理数共分三种类型： (1)含根号且开不尽方的数； (2)化简后含π(圆周率)的式子； (3)有规律但不循环的无限小数．掌握常见无理数类型有助
D．－1
(B )
解析：0< 3 < 9 ，只有 3是0到3之间的无理数，选B.
第一章 数与式
第1课 实数及其运算
要点梳理
1.实数的分类 按实数的定义分类：
实数
有理数
整数 分数
正整数 零
负整数 正分数 负分数
自然数 有限小数或无限循环小数
无理数
正无理数 负无理数
无限不循环小数
根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数
正实数 零 负实数
2．实数的有关概念 (1)数轴：规定了 原点 ， 正方向 和 单位长度 的直线 叫做数轴．数轴上所有的点与全体实数一一对应． (2)相反数：只有_符__号___不同，而_绝__对__值__相同的两个数称 为互为相反数．若a、b互为相反数，则a＋b＝__0___. (3)倒数：1除以一个不等于零的实数所得的__商___，叫做 这个数的倒数．若a、b互为倒数，则ab＝__1___.
5.实数的运算： 实数的运算顺序是先算 乘方和开方 ，再算 乘除 ，最后算 _加__减___．如果有括号，先算_小__括__号__，再算中__括__号__，最后算 _大__括__号_．同级运算应 从左到右,按顺序进行 .
[ 难点正本 疑点清源 ]
1．正确理解实数相关的概念 在实数范围内，由于对数学概念的理解不清楚，导致出现各种 判断和列式错误．这些概念包括：正数、负数、有理数、无理 数、实数、相反数、倒数、平方根、算术平方根、立方根、绝 对值、数轴、零指数、负整数指数等．
B．－3 C．＋3 D．＋4
解析：四个选项中＋2的绝对值最小，故最接近标准．
2．(2011·衢州)数－2的相反数为
A．2 B. 1 C．－2 D．－ 1
2
2
(A)
解析：一个数的相反数就是在这个数前面加“－”号．
3．(2011·义乌)－3的绝对值是
A．3 B．－3 C．－ 1 3
D. 1 3
(A)
解析：|－3|＝3，一个负数的绝对值是它的相反数．
(4)绝对值：在数轴上，一个数对应的点离开原点的 距离 叫 做这个数的绝对值．
a (a>0) |a|＝ 0 (a=0)
－a (a<0) |a|是一个非负数，即|a|___≥_0____.
(5)科学记数法，近似数，有效数字： 科学记数法就是把一个数表示成±a×10n(1≤a＜10,n是整数) 的 形式； 一个近似数， 四舍五入 到哪一位，就说这个数精确到哪一位， 这时，从左边第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有的 数字都叫做这个近似数的有效数字．
(6)平方根，算术平方根，立方根： 如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，记作_±___a___； 正数a的正的平方根，叫做这个数的算术平方根； 如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，记作__3__a __．
3.零指数幂，负整数指数幂： 任何非零数的零次幂都等于1，即 a0＝1(a≠0) ； 任何不等于的数的－p次幂，等于这个数p次幂的倒数，