矩阵可逆的条件
可逆矩阵知识点总结
可逆矩阵知识点总结一、可逆矩阵的定义1. 定义阐述- 设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB = BA=E（E为n阶单位矩阵），则称矩阵A是可逆的，并称B是A的逆矩阵，记作B = A^-1。
例如，对于二阶矩阵A=begin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}，若ad - bc≠0，则A可逆，其逆矩阵A^-1=(1)/(ad - bc)begin{pmatrix}d& - b-c&aend{pmatrix}。
2. 可逆矩阵的唯一性- 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。
假设B和C都是A的逆矩阵，那么AB = BA = E且AC=CA = E。
由B = BE=B(AC)=(BA)C = EC = C，可证得逆矩阵的唯一性。
二、可逆矩阵的性质1. 基本性质- 若A可逆，则A^-1也可逆，且(A^-1)^-1=A。
因为A与A^-1满足AA^-1=A^-1A = E，所以A^-1的逆矩阵就是A。
- 若A、B为同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且(AB)^-1=B^-1A^-1。
证明如下：(AB)(B^-1A^-1) = A(BB^-1)A^-1=AEA^-1=AA^-1=E，同理(B^-1A^-1)(AB)=E。
- 若A可逆，k≠0为常数，则kA可逆，且(kA)^-1=(1)/(k)A^-1。
因为(kA)((1)/(k)A^-1)=k×(1)/(k)(AA^-1) = E，同理((1)/(k)A^-1)(kA)=E。
2. 与行列式的关系- 矩阵A可逆的充要条件是| A|≠0。
当| A| = 0时，称A为奇异矩阵；当| A|≠0时，称A为非奇异矩阵。
例如，对于三阶矩阵A=begin{pmatrix}1&2&34&5&67&8&9end{pmatrix}，计算其行列式| A|=0，所以A不可逆；而对于矩阵B=begin{pmatrix}1&0&00&2&00&0&3end{pmatrix}，| B| = 6≠0，则B可逆。
第3节 可逆矩阵
1
3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1
求解矩阵方程时，一定要记住：先化简，再求解。
1 1 1 2 3 1 0 2 10 4 . 0 2 5 2 10 4
阵.
调换主对角元
A
d c
b a d b c a
次对角元调符号
用 |A| 去除
1 d b c a |A|
适 阵 用 对 于 二 阶 以 上 的 矩 阵 不 ,
注
此 法 仅 适 用 于 二 阶 矩
.
所以逆阵为
…,
1 0 0 2n ,
n
故
1 2 1 0 1 4 2 A 1 4 0 2 n 2 1 1 1 1 2 n 1 4 2 n2 1 2 1 1 2 1 4 2 n 1 2 n 1 2 n2 n2 2 4 2 2 2
0 2 0 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 4 0
0 0 0 求 A 1 . 0 5
解： 因 A 5! 0,
故A1存在.
A 由伴随矩阵法得 A1 , A
0 0 0 3 4 00 0 2 1 5 0 0 0 1 2 4 5 0 0 0 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 4 0 3 0 5 00 . 0 5! 0 0 0 0 0 1 41 2 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 1 2 3 4 0 0
可逆线性变换与可逆矩阵的判定
可逆线性变换与可逆矩阵的判定可逆线性变换与可逆矩阵是线性代数中非常重要的概念。
在本文中，我们将解释什么是可逆线性变换和可逆矩阵，并介绍如何判定它们的性质。
1. 可逆线性变换可逆线性变换是指一个线性变换，它既是一对一的（injective），又是满的（surjective）。
换句话说，对于一个可逆线性变换 T，存在另一个线性变换 T'，使得 T(T'(v)) = v 对于所有的向量 v 成立。
我们可以用一个方程来表达可逆线性变换：Tv = u，其中 T 是一个n×n 的矩阵，v 和 u 是 n 维列向量。
如果存在另一个矩阵 S，使得 ST =I 和 TS = I（I 是单位矩阵），那么 T 是可逆的。
2. 可逆矩阵可逆矩阵是指一个方阵，存在一个矩阵使得它们的乘积等于单位矩阵。
如果一个 n×n 的矩阵 A 可逆，那么存在另一个矩阵 B，使得 AB = BA = I，其中 I 是 n×n 的单位矩阵。
一个矩阵 A 可逆的充分必要条件是它的行列式不为零。
也就是说，如果det(A) ≠ 0，那么 A 是可逆的。
3. 判定可逆线性变换和可逆矩阵为了判定一个线性变换或矩阵是否可逆，我们可以使用以下方法：3.1. 行化简对于矩阵 A，通过行变换将其化为阶梯形矩阵。
如果阶梯形矩阵的每一行都不全为零，则 A 是可逆的。
否则， A 不可逆。
3.2. 行列式计算矩阵 A 的行列式 det(A)，如果det(A) ≠ 0，则 A 是可逆的。
否则， A 不可逆。
3.3. 逆矩阵计算矩阵 A 的逆矩阵 A^{-1}。
如果 A^{-1} 存在，则 A 是可逆的。
否则， A 不可逆。
需要注意的是，可逆矩阵和可逆线性变换具有相同的性质。
如果一个线性变换可逆，则对应的矩阵也是可逆的，反之亦然。
4. 应用可逆线性变换和可逆矩阵在许多领域都有重要应用，例如图像处理、密码学和通信系统等。
在图像处理中，我们可以使用可逆线性变换来进行图像的旋转、缩放和平移等操作。
n阶矩阵a可逆的充分必要条件
n阶矩阵a可逆的充分必要条件一个n阶矩阵A是可逆的，当且仅当存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
充分必要条件:
1.矩阵A的行列式不为0。
证明：如果A的行列式为0，则存在一个n元方程组Ax=0，使得方程组无解，即A没有逆矩阵。
反之，如果A 的行列式不为0，则存在一个n元方程组Ax=b，使得方程组有唯一解，即A有逆矩阵。
2.矩阵A的秩为n。
证明：如果A的秩小于n，则存在一个n元方程组
Ax=0，使得方程组有无穷多解，即A没有逆矩阵。
反之，如果A的秩等于n，则存在一个n元方程组Ax=b，使得方程组有唯一解，即A有逆矩阵。
综上所述，一个n阶矩阵A是可逆的充分必要条件是它的行列式不为0，并且它的秩为n。
常见的可逆矩阵
常见的可逆矩阵
常见的可逆矩阵有以下几种：
1. 单位矩阵：由对角线上全为1的方阵组成，具有很好的性质和特点。
2. 对角矩阵：由对角线上的元素非零而其他元素为零的方阵组成，对角矩阵的逆矩阵也是对角矩阵。
3. 上三角矩阵和下三角矩阵：只有上（下）三角元素非零且在主对角线上具有相同的非零元素，逆矩阵也是上（下）三角矩阵。
4. 原子矩阵：原子矩阵是指所有元素只有0和1组成的矩阵，对于正方形原子矩阵，当且仅当原子矩阵的行列式不为零时，它才可逆。
5. 置换矩阵：置换矩阵是一种特殊的方阵，每行和每列只有一个元素为1，其他元素都为0，其逆矩阵也是一个置换矩阵。
6. 倒数矩阵：倒数矩阵指的是元素都是数的倒数而构成的矩阵，只有非零元素的倒数矩阵可以逆。
除了上述常见的可逆矩阵之外，还有一些特殊的矩阵，如奇异矩阵（不可逆矩阵）和对称矩阵等。
可逆矩阵的范数
可逆矩阵的范数一、引言矩阵是线性代数中的重要概念，而矩阵的范数也是矩阵理论中的重要内容。
在矩阵范数中，可逆矩阵的范数是一个非常重要的概念。
本文将详细介绍可逆矩阵的范数。
二、可逆矩阵1. 定义在线性代数中，一个n×n方阵A称为可逆矩阵，如果存在一个n×n 方阵B，使得AB=BA=I（I为单位矩阵），则称A为可逆矩阵或非奇异矩阵。
如果不存在这样的B，则称A为奇异或不可逆矩阵。
2. 性质（1）若A、B均为n×n方阵，则AB可逆当且仅当A和B均可逆。
（2）若A、B均为n×n方阵且都是可逆的，则(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹。
（3）若A是一个n×n方阵，则下列条件等价：① A是非奇异的；② A可以表示成有限个初等行变换后所得到的简化行最简形式；③ A可以表示成有限个初等列变换后所得到的简化列最简形式。
三、矩阵范数1. 定义矩阵范数是将一个矩阵映射到一个实数的函数，通常记作∥A∥，表示矩阵A的大小。
在实际应用中，矩阵范数可以用来衡量误差或者度量两个矩阵之间的距离。
2. 常见的矩阵范数（1）Frobenius范数：Frobenius范数是最常见的一种矩阵范数，它定义为：∥A∥F=√(ΣiΣj|aij|²)，其中aij表示A中第i行第j列的元素。
（2）1-范数：1-范数也称为列和范数，它定义为：∥A∥₁=max(Σi|aij|)，其中j取值从1到n。
（3）2-范数：2-范数也称为谱范数或者算子模长，它定义为：∥A∥₂=σ₁(A)，其中σ₁(A)表示A的最大奇异值。
（4）无穷大-范数：无穷大-范数也称为行和范数，它定义为：∥A∥∞=max(Σj|aij|)，其中i取值从1到n。
四、可逆矩阵的范数1. 定义可逆矩阵的范数是指可逆矩阵A的所有范数中最小的那个，即∥A∥⁻¹=min{∥A⁻¹B∥|B为n×n矩阵}。
1-3.3(矩阵可逆的充要条件)
否则 B最后一行元均为零, BX=O有非零解, 矛盾! 于是B可经一系列初等行变换化为行简化阶梯形I
§1.3 逆矩阵
1. 2. 3. 4. 3→4:
A是可逆的； AX = O只有零解； A与I 行等价； A可表为有限个初等矩阵的乘积. 由条件，A可经行初等变换得I. 故存在初等矩阵 E1 ,..., Ek 使得
§1.3 逆矩阵
Ek E1 A I
A E11 Ek 1I E11 Ek 1
4→: 显然(why?)
§1.3 逆矩阵
推论 设A为n阶矩阵，则AX = b有唯一解的充要条件 是A可逆. 证 充分性: A可逆，则AX=b有唯一解 X A1b 必要性: 反证 设AX = b有唯一解X0 , 但A不可逆. A不可逆 AX = 0有非零解Z. 令Y=X0+Z, 则Y为AX = b的解，矛盾! [结束]
三. 矩阵可逆的充要条件
定理2 设A为n阶矩阵，则如下命题等价: 1. A是可逆的； 2. AX = O只有零解； 3. A与I 行等价； 4. A可表为有限个初等矩阵的乘积. 证 1→2: 2→3: 显然(why?) 设A经一系列初等行变换化为行阶梯形B 断言: B的对角元均非零
则BX = 0只有零解.
矩阵可逆的若干判别方法
矩阵可逆的若干判别方法可逆矩阵是高等代数中不可缺少的一部分，也是矩阵运算中的重要组成部分，对解决数数学问题有重大意义，学习可逆矩阵，对我们解决一些代数问题有极大的帮助。
如何判断矩阵可逆，主要有以下十一种方法。
一、矩阵可逆的基本概念（1）对于n 阶矩阵A ，若存在n 阶矩阵B ，使得AB=BA=I则称矩阵A 为可逆矩阵（或非退化或非奇异或满秩矩阵），或A 可逆，称B 为A 的逆矩阵，记作B= A -1。
注：若矩阵可逆，则A 的逆矩阵由A 唯一确定。
（2）矩阵A 的行秩等于列秩。
（3）矩阵A 经过一系列初等变换得到矩阵B ，则A 与B 等价。
（4）记矩阵A 中元素a ij 的代数余子式为A ij ，则A*=（A ij ）Tn ×n ，我们就称A*为A 的伴随矩阵。
二、矩阵可逆的性质（1）若矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵A -1也可逆，且（A -1）-1=A 。
（2）若矩阵A,B 均可逆，则矩阵AB 也可逆，且(AB) -1=B -1A -1。
（3）若矩阵A 可逆，则A T 也可逆，且（A T ）-1=（A -1）T。
（4）若矩阵A 可逆，λ≠0，则λA 也可逆，且(A λ)=λ1A -1。
（5）若矩阵A 可逆，则|A -1|=||1A 。
（6）矩阵A 的逆矩阵A -1=||*A A 。
（7）若A 为m ×n 阶矩阵，P 为m 阶矩阵，Q 为n 阶矩阵，A,P,Q 均为可逆矩阵，则有r(PAQ)=r(PA)=r(AQ)=r(A)。
三、矩阵可逆的若干判别方法 （一）定义判别法对于n 阶方阵A ，若存在n 阶方阵B ，使得AB=BA=I,则A 可逆，且B 为A 的逆，记为B=A -1。
例1. 判断矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001 是否可逆？证 存在矩阵B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001，使得AB=BA=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001所以矩阵A 可逆。
注：此方法大多适用于简单的矩阵。
判断矩阵可逆的充分必要条件
判断矩阵可逆的充分必要条件判断矩阵可逆，这事儿听起来可能有点枯燥，但其实挺有趣的。
咱们就像在侦探小说里解谜一样，探讨一下什么条件能让这个矩阵变得可逆。
你想啊，矩阵就像一位舞者，能否翩翩起舞、随意转身，全靠他自身的条件。
可逆，简单来说，就是你能从这个矩阵中“逆转”出来，不会被卡住。
如果你曾经被什么东西困住过，那种感觉你一定懂。
这个矩阵也一样，要让它畅通无阻，得有点条件。
行列式这个东西，你得好好瞧瞧。
它可不是个普通的数字，行列式为零，那这个矩阵就像个死水潭，动不了；一旦不为零，嘿，这个矩阵可就活泛了。
想象一下，零就像个黑洞，什么都吞噬，搞得人心慌慌的。
要是行列式不等于零，那就像阳光洒在水面上，波光粼粼，闪闪发亮，整个矩阵都跟着欢快起来，反向的舞步随便来。
这时候，所有的数值都能顺利找到自己的归属，不会出乱子。
行列式，不可小觑！咱们得聊聊线性无关这个概念。
你想，假如这几个行（或者列）像是一群小朋友，他们的个性得有点区别，不能都喜欢玩同样的游戏。
要是有两个小朋友特别合拍，偏偏老是一起行动，结果整个队伍就乱了。
这个矩阵要是行或者列之间有依赖关系，那就意味着它不能充分发挥作用。
大家都得各自独立，才能把矩阵的潜力发挥到极致。
线性无关，这可是个关键的法宝。
然后，咱们还得看看秩。
秩就像一个人的气场，越强大，越能吸引别人。
秩越高，说明这个矩阵的表现越亮眼，能容纳的自由度也就越多。
如果秩等于矩阵的行数或列数，那就代表这个矩阵真的很有实力，能够和任何人对话。
要是秩低，哎，那就尴尬了，像个被冷落的墙角，没人理会，整个气氛都沉闷得很。
还得提一嘴特征值，这玩意儿就像是矩阵的身份证。
要是特征值有零，那可就麻烦了，意味着这位舞者被卡住，无法继续舞动。
要是特征值都不为零，那这位舞者就能在舞池中尽情旋转，整个场面热火朝天，精彩纷呈。
特征值的存在让整个矩阵的个性更加鲜明，能否逆转，完全看它的气质。
还有一个比较容易忽略的地方，就是矩阵的伴随矩阵。
矩阵可逆的充分必要条件
以 A 为系数矩阵的 n 元非齐次
线性方程组
Ax = b 有唯一解。
p 62 性质 1
A 和r n 阶单位矩阵行等价。 A ～ E，也就是说 A 对应的行最简形矩阵为 n 阶单位阵 E。 p 63
A 的秩为 n 。 符号表示为 R(A) = n p 67～68
一个 n 阶方阵 A 可逆有以Байду номын сангаас充分
必要条件 (续前页)：
以 A 为系数矩阵的 n 元齐次线
性方程组
Ax = 0 只有零解。
矩阵可逆的充分必要条件
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一个 n 阶方阵 A 可逆有以下充分
必要条件：
A 的行列式 不等于 0 。 用行列式符号表示为 |A| ≠ 0 或 det(A) ≠ 0 ； 或说 A 是非奇异矩阵。 课本 p 40 A 可写成有限个初等矩阵的乘积。
n阶矩阵可逆的充分必要条件
一个n阶矩阵A可逆的充分必要条件是其行列式不为零。
具体地说，设A是一个n阶矩阵，则A可逆的充分必要条件是|A| ≠0，其中|A|表示A的行列式。
如果一个矩阵的行列式不为零，那么这个矩阵就被称为"满秩矩阵"或"非奇异矩阵"，并且它是可逆的。
可逆矩阵有唯一的逆矩阵，其乘积为单位矩阵。
逆矩阵的存在使得我们可以用矩阵除法来解线性方程组和其他许多数学和工程问题。
反之，如果一个矩阵的行列式为零，那么这个矩阵被称为"奇异矩阵"或"不可逆矩阵"，它没有逆矩阵，无法用矩阵除法解方程组。
因此，行列式不为零是判断一个矩阵是否可逆的充分必要条件。
n阶矩阵可逆的充分必要条件
n阶矩阵可逆的充分必要条件矩阵是线性代数中的重要概念，而矩阵可逆性是矩阵理论中的一个重要问题。
在这篇文章中，我们将探讨矩阵可逆的充分必要条件。
我们需要明确矩阵的可逆性。
一个n阶矩阵A可逆，意味着存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是n阶单位矩阵。
也就是说，矩阵A存在一个逆矩阵B，使得A乘以B得到的结果是单位矩阵，同时B乘以A也得到单位矩阵。
那么，矩阵可逆的充分必要条件是什么呢？充分条件：矩阵A可逆的充分条件是其行列式不为零，即|A|≠0。
行列式是矩阵的一个重要性质，它是由矩阵的元素所确定的一个标量值。
如果一个矩阵的行列式不为零，则说明该矩阵的行向量线性无关，从而可以通过初等行变换将其化为单位矩阵。
必要条件：矩阵A可逆的必要条件是其秩等于n，即rank(A)=n。
矩阵的秩是由其行向量和列向量所确定的一个性质，表示矩阵中线性无关的向量的个数。
如果一个矩阵的秩等于n，则说明该矩阵的列向量线性无关，从而可以通过初等列变换将其化为单位矩阵。
矩阵可逆的充分必要条件是其行列式不为零且秩等于n，即|A|≠0且rank(A)=n。
这两个条件可以互相推导，即如果一个矩阵的行列式不为零，则它的秩等于n；反之，如果一个矩阵的秩等于n，则它的行列式不为零。
那么，为什么行列式不为零和秩等于n能够保证矩阵可逆呢？行列式不为零意味着矩阵的行向量线性无关，即矩阵的行向量张成整个n维空间。
这意味着矩阵的列向量也是线性无关的，即矩阵的列向量张成整个n维空间。
因此，我们可以通过初等行变换将矩阵化为单位矩阵。
秩等于n意味着矩阵的列向量线性无关，即矩阵的列向量张成整个n维空间。
这意味着矩阵的行向量也是线性无关的，即矩阵的行向量张成整个n维空间。
因此，我们可以通过初等列变换将矩阵化为单位矩阵。
行列式不为零和秩等于n是矩阵可逆的充分必要条件。
这个条件保证了矩阵的行列向量线性无关，从而可以找到一个逆矩阵，将矩阵乘以逆矩阵得到单位矩阵。
矩阵可逆和特征值的关系
矩阵可逆和特征值的关系矩阵可逆和特征值的关系什么是矩阵的可逆性？矩阵可逆是指一个方阵具有逆矩阵的性质。
一个n阶矩阵A是可逆的，当且仅当存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是n阶单位矩阵。
什么是矩阵的特征值？矩阵的特征值是指对于一个n阶矩阵A，在线性代数中找到满足以下条件的常数λ和非零向量X：AX=λX。
其中，λ是特征值，X是对应的特征向量。
特征值与矩阵可逆的关系矩阵的特征值与矩阵可逆性之间有以下关系：1.如果一个矩阵A的特征值全都为非零值，那么矩阵A是可逆的。
这是因为如果一个矩阵的特征值全部非零，则说明对应的特征向量都是非零向量，从而构成了一个线性无关的向量组，进而使得矩阵A的行列式不为零，满足可逆的条件。
2.如果一个矩阵A的特征值中存在零值，那么矩阵A是不可逆的。
这是因为如果一个矩阵的特征值中存在零值λ，那么对应的特征向量X则满足了方程AX=0，从而说明矩阵A的列向量组线性相关，进而使得矩阵A的行列式为零，不满足可逆的条件。
综上所述，矩阵的可逆性与其特征值密切相关，特征值全为非零值时矩阵可逆，特征值中存在零值时矩阵不可逆。
特征值的计算与矩阵可逆性的判断在线性代数中具有重要意义，对于求解线性方程组、矩阵的对角化等问题有着重要的应用。
矩阵可逆性与特征值细节解释为了更深入地理解矩阵可逆性与特征值之间的关系，我们可以进一步探讨矩阵可逆性和特征值的细节。
一个n阶矩阵A是可逆的，当且仅当它的行列式不等于零。
行列式的计算是通过特征值进行的。
特征值的计算是通过求解矩阵A的特征多项式得到的。
特征多项式的定义为：det(A-λI)，其中λ是一个常数，I是n阶单位矩阵。
通过特征多项式，可以得到矩阵A的特征值。
当矩阵A的特征值全为非零值时，根据特征多项式的性质，我们可以得知特征多项式不等于零，进而得出行列式不等于零，即矩阵A是可逆的。
当矩阵A的特征值中存在零值时，特征多项式等于零，意味着行列式等于零，即矩阵A是不可逆的。
逆矩阵的概念矩阵可逆的条件逆矩阵的求法-毕业论文--
(8)
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按克拉默法则，若| A | ≠ 0 ，则由（7）可解出 即x1 , x2 , … . , xn可用y1 ,y2 , … , yn 线性表示 为：
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线性变换(9)称为线性变换(7)式的逆变换。
若把( 9 ) 的系数矩阵记为B，则(9 ) 也可写成
X=BY
(10)
定理1表明，可逆阵的行列式一定不等于零。这 个结论反过来也成立。请看下面的定理2。
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定理2 若A的行列式不等于0 ，则A可逆，且 证 由例 9 知AA* = A*A = |A|E，
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由定理1和定理2可得：矩阵A是可逆方阵的充 分必要条件是 |A| ≠ 0 。
当 |A| = 0 时，A 称为奇异方阵，否则称为非 奇异阵。
推论 若 AB=E（或 BA=E），则B=A-1。 证 因为|A| |B| = | E | ＝1故，| A | ≠ 0， 因而 A-1存在， 于是 B=E B=（A -1A）B=A-1（AB）= A-1E=A-1。
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注：定理2可用来求一些矩阵的逆矩阵。
例如
故A可逆。
需要说明的是：通常利用伴随阵A* 来计算A的逆 矩阵的方法只限于阶数不超过3的矩阵，否则计算量可 能很大。
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例10 设
求矩阵X使满足AXB= C。 分析：
若A-1，B -1存在，则由A-1左乘AXB=C，又
用B-1右乘AXB= C，
有
A-1 AXBB-1 = A-1 CB-1 ，
即
X = A-1 CB-1 。
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解
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矩阵的运算小结