一般矩阵可逆的判定

一般矩阵可逆的判定

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（11统计数学与统计学院 1111060231）

摘要：作为一张表，矩阵的运算规则具有特殊性。在运算的过程中，逆矩阵则是作为矩阵乘法的逆运算而存在的。由于矩阵乘法的逆运算仅限于方阵，故而逆矩阵又作为一项特殊的矩阵除法运算而存在。对于矩阵的运算来说，逆矩阵是不可缺少的一部分。在以线性代数为基础的研究中，逆矩阵是解决实际问题的一个最直观，最实用的工具。然而在实际研究中，并不是所有方阵都存在逆矩阵，那么对于矩阵可逆的判定就显得极其重要了。

关键字：n阶方阵A；A≠0；r A=n；∀λn≠0；AB=BA=I n

0 引言

逆矩阵是矩阵乘法逆运算的结果。这个逆运算的过程被作为矩阵运算的一部分而不可或缺。对于所有矩阵而言，只有方阵中可逆的那部分才存在逆矩阵；就好像四边形一样，只有当矩形的四边相等才能被叫做正方形。然而也就是这很特殊的一小部分，它的运用却充斥着所有与线性代数相关的领域。比如：物理学，经济学，统计学，数学，社会管理学等等。对于矩阵的运算来说，逆矩阵的运算至关重要。由于矩阵在实际运用中具有的重要作用，而逆矩阵对于矩阵来说又具有重要的作用。在以矩阵为研究对象的研究过程中，研究逆矩阵也就有了很重要的意义。

对于研究逆矩阵的过程中，“什么样的矩阵才可逆？”是值得深讨的问题。就像求四边形中的正方形一样，要求正方形，最基本的前提就是：四边形必须是矩形。只有四边形满足四个内角都是90度的时候，四边形才称的上是矩形。而对于矩形来说，只有满足矩形的四条边都相等时，这样的矩形才能被称为正方形。对于矩阵可逆来说，一个矩阵要可逆，最基本的前提：必须满足矩阵的行列相等，矩阵必须是一个方阵才行。研究方阵的可逆，对于实际应用才存在实际意义。那么对于方阵来说，又需要满足什么样的条件，方阵才可逆呢？本文也就是从可逆矩阵的判定条件入手，着重分析可逆判定的充要条件。最后介绍几种常用的求解逆矩阵的方法。

1 矩阵的概念

1.0矩阵的定义

定义1：令F是一个数域，用F上的m×n个数a ij(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n)排成m行n列的矩阵列，则称为m×n阵，也称为一个F上的矩阵，简记为A mn。

A=a11a12

a21a22

⋯a1n

⋯a2n ⋮⋮

a m1a m2

⋱⋮

⋯a mn

1.1逆矩阵的定义

定义2：设A是数域F上的n阶方阵，若数域F上同时存在一个n阶方阵B,使得

AB=BA=I n

则称B是A的逆矩阵，记作：B=A−1。

2 矩阵可逆的判定

2.0矩阵可逆判定的前提

对于一个矩阵，要判定该矩阵是否可逆，首先必须要知道的就是该矩阵是不是方阵。跟要判断一个四边形是不是正方形一样，如果四边形不是矩形，那么也就不可能是正方形。如果已经是矩形，那么就需要进一步判定是不是正方形。内容不一样，但思想是相通的。这里要判定矩阵是否可逆，最基本的前提就是：矩阵必须是方阵！在满足该前提的情况下，再去讨论矩阵是否可逆才具有意义，否则是没意义的。

2.1由定义判定

由“2.0矩阵可逆判定的前提”和定义“1.1逆矩阵的定义”可知，从满足前提的矩阵可知，若存在一个方阵B，使得矩阵AB=BA=I n，那么就可以称矩阵A是可逆的，矩阵B就是矩阵A的逆矩阵。记作：B=A−1。

如果不存在方阵B使得AB=BA=I n，那么就说矩阵A是不可逆的。但是这种通过定义判断的方法存在局限性，只适用于很直观，很简单的矩阵。下面通过一个例子来分析。

例子1：设存在一个方阵A和方阵C，如下所示：

A=200

020

002

C=

3−11

2 01

1−12

解析：从题目可知矩阵A和矩阵C同时满足可逆的前提条件。但对于矩阵C来说，定义无法直接给出矩阵C的逆矩阵，因而无法判断C是否可逆。但是却可以马上判断出矩阵A是可逆的，并且可以马上写出矩阵A的逆矩阵B，即：

AB=BA=I n

200 020 0021

2

00

1

00

1

2

=

1

2

00

1

00

1

2

200

020

002

=

100

010

001

2.2矩阵秩的判定

定理1：设A是数域F上的n阶方阵，若A可逆，那么r A=n。

从定理1可知，一个矩阵可逆，矩阵必须是满秩的。在例子1中，矩阵A很明显是满秩。即r A=3，即矩阵A是可逆的。那么对于矩阵C是否可逆，则需要经过矩阵的初等变换求出矩阵C是否是满秩的。

C=3−11

2 01

1−12

=

3−1 1

2

3

1

3

0−

2

3

5

3

=

3−1 1

2

3

1

3

0 0 2

经过初等变换，可以得出r C=3,那么矩阵C也是可逆的。

2.3行列式判别法

定理2：设A是数域F上的n阶方阵，若A≠0，那么A是可逆的。

对于例子1中的方阵A和方阵C，可以求出A=8≠0，那么方阵A可逆。对于方阵C，要求相对应的行列式C的值。通过行列式的性质可将C化简。

C=3−11

2 01

1−12

=

3−1 1

2

3

1

3

0−

2

3

5

3

=

3−1 1

2

3

1

3

0 0 2

=4≠0

由于C≠0，所以通过行列式判断C也是可逆的。

2.4特征值判别法

定理3：设A是数域F上的n阶方阵，若存在特征向量λ使得A−λI=0，若特征向量λ中的任意的一个元素∀λn≠0，那么A是可逆的。

对于例子1中的矩阵C有C−λI=0，即：

C−λI=3−λ−11

2−λ1

1−12−λ

=0

解析：

22−λ−λ2−λ3−λ=0

λ−1λ−22=0

λ1=1,λ2=λ3=2

通过求解矩阵C的特征值，对于∀λn≠0，所以矩阵C是可逆的。

3 逆矩阵的求解

3.1定义法求逆矩阵

从定义2和2.1可知用定义法求解逆矩阵存在很大的局限性，只适用于很直观，很简单的矩阵。

3.2初等变换求逆矩阵

定义3：矩阵的初等变换

<第一类> 对调矩阵中任意两行（列）的位置。

<第二类> 用一非零数乘以矩阵的某一行（列）。

<第三类> 将矩阵中的某一行（列）乘以常数加到另一行（列）。

定义4：若A是数域F上可逆的n阶方阵，则A可以通过初等变换为单位矩阵I,在变换的过程中，当A转换为I时，相应的I也转换为A−1。记为：A I→I A−1

对于例子1中的矩阵C，由于判定的结果是可逆的，那么下面将利用初等变换法来求出矩阵C的逆矩阵C−1。

解析：

C I→I C−1

−−−→3−11

2 01

1−12

100

010

001

−−−→

1−

1

3

1

3

2

3

1

3

0−

2

3

5

3

1

00

−

2

3

10

−

1

3

01

−−−→