湖南省长郡中学2020-2021学年高一入学分班考试数学试题 答案和解析

湖南省长郡中学2020-2021学年高一入学分班考试数学试题答案和解析

湖南省长郡中学高一入学分班考试数学试题

一、单选题

1.已知方程组$\begin{cases} x+y=-7-a \\ x-y=1+3a

\end{cases}$的解x为非正数，y为非负数，则a的取值范围是（）。

A。$-2

2.已知$a^2+b^2=6ab$，且$a>b>0$，则$\dfrac{a+b}{a-b}$的值为（）。

A。2 B。$\pm2$ C。$2\sqrt{2}$ D。$\pm2\sqrt{2}$

3.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左

或向右转，若这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（）。

A。$\dfrac{1}{3}$ B。$\dfrac{2}{3}$ C。

$\dfrac{1}{9}$ D。$\dfrac{1}{6}$

4.在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便，原理是：如对于多项式

$x-y$，因式分解的结果是$(x-y)(x+y)(x^2+y^2)$，若取$x=9$，$y=9$时，则各个因式的值是：$x-y=0$，$xy=81$，

$x^2+y^2=162$，于是就可以把“”作为一个六位数的密码，对

于多项式$x-xy$，取$x=20$，$y=10$时，用上述方法产生的密码不可能是（）。

A。 B。 C。 D。

5.如果四个互不相同的正整数$m,n,p,q$，满足$(5-m)(5-

n)(5-p)(5-q)=4$，那么$m+n+p+q=$（）。

A。24 B。21 C。20 D。22

6.若$x_1,x_2$（$x_1

b)=1$（$a

A。$x_1

$x_1

7.如图，在菱形ABCD中，$AB=4$，$\angle

A=120^\circ$，点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）。

A。2 B。$\sqrt{3}$ C。4 D。$\sqrt{3}+2$

8.如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B=2\angle C$，则$AC$与$2AB$之间的关系是（）。

A。$AC>2AB$ B。$AC=2AB$ C。$AC\leq2AB$ D。

$AC<2AB$

二、填空题

9.下面是一个某种规律排列的数阵：

答案不完整，无法填空）

2）若直线l与抛物线C交于不同的两点A,B，直线l与下线

改写：设直线l与抛物线C的交点分别为A(x1,y1)。

B(x2,y2)，则直线l的斜率为-3，可得方程y=-3x+b，过点P的

直线l1的方程为y=-3x+(3x1+x2)，由题意可列出以下方程组：

begin{cases} y_1=-3x_1+b \\ y_2=-3x_2+b \\ \frac{1}{(x_1-0)^2+y_1^2}+\frac{1}{(x_2-

0)^2+y_2^2}=\frac{1}{(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2}

\end{cases}$$

通过解方程组，可以求得b的值。

3）在（2）的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否存在实数k使$\triangle APQ=k\cdot\triangle BPQ$，若存在，求k的值；若不存在，说明理由。

改写：由直线l与抛物线C的交点A、B，以及直线l1与y轴交点Q，可以得到三角形APQ和BPQ的面积。设

$\overrightarrow{OA}=(x_1,y_1),\overrightarrow{OB}=(x_2,y_2 )$，则有：

triangle APQ=\frac{1}{2}\cdot\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_1 & b & 1 \end{vmatrix},\quad \triangle BPQ=\frac{1}{2}\cdot\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_2 & b & 1 \end{vmatrix}$$

要使$\triangle APQ=k\cdot\triangle BPQ$，则有：

frac{\triangle APQ}{\triangle

BPQ}=k\Rightarrow\frac{\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_1 & b & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_2 & b & 1 \end{vmatrix}}=k$$

因此，只需要判断上式是否有解即可。如果有解，则

$k=\frac{\triangle APQ}{\triangle BPQ}$。如果无解，则说明不能构成相似三角形，因此不存在$k$的值。

1.因为$\angle ADC=\angle BCA$，所以$\triangle ACD

\sim \triangle ABC$。由此可得$ ABC$的面积是$a$，所以

$S_{\triangle ACD}=\frac{15}{45}a=\frac{1}{3}a$，

$S_{\triangle BCD}=\frac{a}{2}$。因此，应填答案$a$。

2.设点$D(m,n)$，作$DF\perp BC$，$DG\perp OC$，垂足分别为$F,G$。则由题设$n-\frac{33}{33}=\frac{m}{44}$，即$n=m+3$。又$m^2+n^2=64$，将$n=m+3$代入得

$25m^2+72m-112=0$，解之得$m=-\frac{72}{50}$或

$m=\frac{112}{50}$。因为$m>0$，所以

$m=\frac{112}{50}=\frac{56}{25}$。故直线$OD$的方程为$y=x+\frac{56}{25}$。令$y=3$可得$x=\frac{24}{25}$。由题意$k=xy=\frac{168}{625}$。因此，应填答案

$\frac{168}{625}$。