1.6微积分基本定理课件正式

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数学：16《微积分基本定理》PPT课件新人教A版-选修

变速直线运动中路程为
T2 v(t)dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T 2)s(T 1)
T T 12v(t)d ts(T 2)s(T 1).其s中 (t)v(t).
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4
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5
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6
物体的位移是函数在两个端点处的函数值之差，即 Ss(b)s(a)
从几何意义上看，由导数的几何意义知
S i h i t a n D P C t s '( t i 1 ) t v ( t i 1 ) t ,
求和得近似值
n
n
n
n
S S i h i v(ti 1) t s'(ti 1) t.
i 1
i 1
i 1
i 1
取极限，由定积分的定义得
b
b
Sav(t)dtas'(t)dts(b)s(a)
求定积分问题转化为求原函数的问题.
牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系．
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9
例1 求 02(2cox ssix n 1)d.x
解
原式
(2sinxcosxx)|0 2
3பைடு நூலகம்
. 2
例2 设
f(x)52x
0x1, 求 1x2
2
0
f
(x)d.x
解
2
1
2
y
0f(x )d x 0f(x )d x 1f(x )dx
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-2
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1
1.6《微积分基本定理》
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2
教学目标
❖ 了解牛顿-莱布尼兹公式 ❖ 教学重点： ❖ 牛顿-莱布尼兹公式

( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)

2
2
答案：D
3．设 f(x)＝x22－，x0，≤1x<≤x≤1，2，
则2f(x)dx 等于________． 0
解析：2f(x)dx＝1x2dx＋2(2－x)dx
0
0
1
＝x3310 ＋(2x－x22)21
＝13＋[(2×2－222)－(2－12)]＝56.
答案：56
探究一计算简单函数的定积分
[自主梳理]
如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x) 内容＝ f(x)，那么bf(x)dx＝ F(b)－F(a)
a
符号
bf(x)dx＝F(x)ba ＝ F(b)－F(a)
a
二、定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下，则 1．当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)，则bf(x)dx＝ S 上．
(7)baxdx＝lnaxaba (a>0 且 a≠1)． a
1．计算下列定积分．
(1)1(x3－2x)dx； 0
(2)
2 0
(x＋cos
x)dx；
(3
解析：(1)∵(14x4－x2)′＝x3－2x，
∴1(x3－2x)dx＝(14x4－x2)10 ＝－34. 0
2．(1)若
f(x)＝x2 cos
x≤0 x－1
x>0
2．常见函数的定积分公式： (1)bCdx＝Cxba (C 为常数)．
a
(2)abxndx＝n＋1 1xn＋1ba (n≠－1)． (3)bsin xdx＝－cos xba .
a
(4)bcos xdx＝sin xba . a
(5)b1xdx＝ln xba (b>a>0)． a

2015高中数学-1.6微积分基本定理-课件(人教A版选修2-2)

[解]
∵f(x)＝－ x
(12t＋
a
4a)dt
＝ (6t2＋ 4at)|x－ a ＝ 6x2＋ 4ax－ (6a2－ 4a2 )
＝ 6x2＋ 4ax－ 2a2，
∴ F(a)＝01[f(x)＋ 3a2 ]dx＝01(6x2＋ 4ax＋ a2)dx
＝ (2x3＋ 2ax2＋ a2 x)|10＝ a2＋ 2a＋ 2 ＝ (a＋ 1)2＋ 1≥ 1，
4
4.02(x2－23x)dx＝ ____3____.
第一章导数及其应用
B．01 (x＋ 1)dx D．0112dx
第7页，共30页。
栏目导引
第一章导数及其应用
求简单函数的定积分
计算下列定积分：
(1)121xdx；(2)02πsin xdx；(3)13(2x－x12)dx；
(4)0－
(cos
9＋2× 3
93－ 2
(4＋2× 3
43)＝ 2
27－(4＋16)＝53.
33
第11页，共30页。
栏目导引
第一章导数及其应用
计算分段函数的定积分
计算下列定积分：
(1)若 f(x)＝x2
x≤ 0
cos x－1 x＞0
，求－ π2
f(x)dx；
1
(2)12
[解]
|3－ (1)
2x|dx.
－ π2
第一章导数及其应用
1．6 微积分基本定理
第1页，共30页。
第一章导数及其应用
学习导航
学习目标
1.了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． (重点、难点)
通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，直观学法了解微积分基本定理的含义．微积分基本定理不仅揭示指导了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定

《微积分学基本定理》课件

解决微分方程
通过微积分学基本定理，我们可以将复杂的微分方程转化为易于处理的积分方程，从而找到微分方程的解。
分析函数的极值
利用微积分学基本定理，可以分析函数的极值条件，这对于优化问题、经济模型等实际问题具有重要意义。
在实数理论中的应用
实数完备性
微积分学基本定理在实数理论中发挥了关键作用，它证明了实数系的完备性，为实数理论的发展奠定了基础。
PART 02
微积分学基本定理的表述
REPORTING
定理的数学表达
总结词
简洁明了地表达了微积分学基本定理的数学形式。
详细描述
微积分学基本定理通常用积分形式和微分形式两种方式表达。积分形式表述为：∫(f(x))dx = F(b) - F(a)，其中∫代表积分，f(x)是待积分的函数，F(x)是f(x)的原函数；微分形式表述为：∫(dy/dx) dx = y。
详细描述
02 习题一主要考察学生对微积分学基本定理的基础概念
理解，包括定理的表述、公式记忆以及简单应用。
解答
03
通过解析和证明，帮助学生深入理解微积分学基本定
理，并掌握其应用方法。
习题二及解答
总结词：复杂应用
详细描述：习题二涉及微积分学基本定理的复杂应用，包括多步骤推导、不同定理的综合运用等，旨在提高学生的解题能力和思维灵活性。
揭示函数性质
通过应用微积分学基本定理，我们可以研究函数的积分与函数的性质之间的关系，从而深入了解函数的特性。
证明积分不等式
利用微积分学基本定理，可以证明各种积分不等式，这些不等式在数学分析和实际问题中都有广泛的应用。
在微分学中的应用
导数的定义
微积分学基本定理实际上给出了导数的定义，它描述了函数值随自变量变化的规律，是研究函数局部行为的关键。

高中数学(新课标)选修2课件1.6微积分基本定理

求使3f(x)dx＝430恒 k
成立的 k 值．
【解析】 (1)当 k∈(2,3]时，
k3f(x)dx＝k3(1＋x2)dx＝x＋13x33k ＝3＋13×33－k＋13k3 ＝430，整理得 k3＋3k＋4＝0，即 k3＋k2－k2＋3k＋4＝0， ∴(k＋1)(k2－k＋4)＝0， ∴k＝－1. 而 k∈(2,3]，∴k＝－1 舍去．
∴∫2ππ(cos x＋sin x)dx＝(sin x－cos x)2ππ ＝(sin 2π－cos 2π)－
(sin π－cos π)＝(0－1)－[0－(－1)]＝－1－1＝－2.
(3)∵(ex－sin x)′＝ex－cos x，
∴∫
0 -π
(ex
－
cos
x)dx ＝ (ex － sin
x)
0 －π
1.6 微积分基本定理
知识导图
学法指导 1.在理解定积分概念的基础上，从图形的角度直观理解微积分基本定理． 2．从形式上体会原函数与被积函数之间的关系，并深化认识微积分基本定理． 3．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．
高考导航对于本节知识，高考中多与定积分的几何意义和其他知识相结合考查定积分的计算，以选择题或填空题的形式呈现，分值 5 分.
(2)当 k∈[－2,2]时，
3f(x)dx＝2(2x＋1)dx＋3(1＋x2)dx
k
k
2
＝(x2＋x)2k ＋x＋13x332
＝(22＋2)－(k2＋k)＋3＋13×33－2＋13×23 ＝430－(k2＋k)＝430，
∴k2＋k＝0，
解得 k＝0 或 k＝－1，
综上所述，k＝0 或 k＝－1.

人教a版数学【选修2-2】1.6《微积分基本定理》ppt课件

2
①
xf(x)dx＝ (ax
1 3 1 21 ＋bx)dx＝3ax ＋2bx 0
1 1 17 ＝3a＋2b＝ 6 .
a＝4 由①②得 b＝3
② ，∴f(x)＝4x＋3.
3．求下列定积分：
1 (1) xdx＝________.

0
(2)
1
sinxdx＝________.
a
′(x)＝
2．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x)
原函数，利用求导运＝f(x)的函数F(x)，即找被积函数的__________
算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．
3．被积函数的原函数有很多，即若 F(x)是被积函数 f(x)的
1 1 2 2 ＝ln2－ln1＝ [解析] (1)因为(lnx)′＝ x ，所以 d x ＝ ln x 1 x
1
ln2.
1 4 1 4 1 3 1 3 (2)∵ 4x ′＝x ，∴ x d x ＝ x 0 4
0
1 ＝4. 1 ＝e－e .
1 (9) x2dx＝________.
2 1
1 (10) x dx＝________. 1 2 [答案] (1)2 (2)1 (3)ln2
e 1
(4)0
(5)2
1 (6)－6
3π2 (7) 8 ＋
1 (8)24
1 (9)2
(10)1
2 x2 x 1 1 1 [解析] (1)∵( 2 )′＝x，∴ xdx＝ 2 |0＝2. 0
e 1
典例探究学案
利用牛顿—莱布尼茨公式求定积分

高中数学 1.6《微积分基本定理》新人教B版选修2-2

s'
ti1 Δt
ppt课件
bas' n
ti1.②ຫໍສະໝຸດ 从几何意义上看图 1 .6 2 , s
设曲线 s s t 上与 t i1对应的
sst
点为 P ,PD 是 P 点处的切线 ,由 sti
D
导数的几何意义知 , 切线 PD
的斜率等于 s ' ti1 ,于是
ΔSi
sti1
P Δt
hi C
Δ S i h i tan DPC Δ t
a,b等分n成个小区:间
t0,t1,t1,t2,ti1,ti,tn1,tn,
当每Δ个 t很小小区 ,在时间 ti1,的 ti上长 ,vΔ度 tt的 t均 i 变 t为 i1化 b,很可 na.小以认为
体近似地以 vti速 1作度匀速,运物动体所作的
ΔSi hi
vti1
Δt
分就是物体s的 b位 sa移 .
ppt课件
一般,如地果 fx是区a间 ,b上的连续 ,并函且 F'数 x
fx,那么 abfxdxFbFa.这个结论微积叫做
分基本定理 (fundamlethnetaoroefcmalcu)l,us
又叫牛做顿莱布尼(兹 Ne公 w式 tLoenibni
Formula).
为了 ,我方们便 F 常 b F a 常记F 把 x 成 |b a,即
a bfxd xF x|b aF b F a .
微积分基本定,理计表算明定
积abf分 xdx的
关
键
是找到满F'足 xfx的函数 Fx.通常,我们可以
运用基本初等函导数公的式求和导数的算四则

1.6_微积分基本定理

2 x2 2x 3
1
dx x
3
(
x
1 )2 dx
2
x
2 (ex 2)dx
1
x
• [分析] 先用定积分性质拆分在根据导数与积分的关系，求定积分要先找到一个导数等于被积函数的原函数，再根据牛顿—
莱布尼茨公式写出答案，找原函数可结合导数公式表．
分段函数的定积分计算
3
0 2 x dx
f
(x)dx
a

kf
b c
(x)dx k a
f (x)dx
f

(
x)dx.
b a
f
(
x)dx(a

c

b)
二、微积分基本定理
如果f x是区间a,b上的连续函数,
并且F ' x f x ,则牛顿—莱布尼兹公式
b
a
f

x dx

F
b

F
a
或 b a
f

x dx
展示小组
探究点（1）（板书展示）
1组
探究点（2）（板书展示）
2组
探究点（3）（板书展示）
3组
探究点（4）（板书展示）
4组
探究点（5）（板书展示）
5组
探究点（6）（板书展示）
6组
探究点（7）（板书展示）
7组
探究点（8）（板书展示）
8组
要求： ⑴板书展示要分层次、要点化，书写要认真、规范。 ⑵非展示同学巩固基础知识、整理落实学案，做好拓展。不浪
ax
a
ax
a
b1
b
(2) dx ln x

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ba Si t s (ti 1 ) v(ti 1 ) n
'
由定积分的定义得
S v(t )dt s '(t )dt s(b) s(a)
a a b b
二、牛顿—莱布尼茨公式
定理（微积分基本定理）
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
b ’ 并且F (x)=f(x),则
1
2

2
0
f ( x )dx 2 xdx 5dx x
0
1
21 0
5x 1 6
2
Y=5
1
2
三、小结
微积分基本公式
a f ( x )dx F (b) F (a )
b
牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系．
公式1:

b
a
1 b dx = lnx|a x
b a
(1) (-3t + 2)dt ____/6 (2) (x + ) dx = ______ 1 x
2
9 (3) (3x + 2x -1) dx = ______
2 2 -1 2
2-e+1 e (4) (e 1)dx = ______ 1
x

b
a
f ( x)dx F ( x) | F (b) F (a)
公式2:

x b x dx = |a n +1
n
n+1
a
b
性质2.
b
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
a a
b
b

b
a
f ( x)dx F ( x) | F (b) F (a)
b a
例２．计算下列定积分 3 1 2 1 (3x - x2 )dx 解:∵ (x ) = 3x ,
n
f ( x) nx (n R )
' n -1 '
3.若f ( x) sin x f ' ( x) cos x 4.若f ( x) cos x f ( x) -sin x 5.若f ( x) a x 6.若f ( x) e
x
f ' ( x) a x ln a f ( x) e
' ' x
1 7.若f ( x) log a x f ( x) x ln a 1 ' 8.若f ( x) ln x f ( x) x

b
a
f ( x)dx F ( x) | F (b) F (a)
b a
例1 计算下列定积分
找出f(x)的原函数是关健
3 1
1 (1) dx 1 x
b a

例３．计算下列定积分
(1) sinxdx
0
(2) 2 cosxdx
0

解（ 1） ∵

0
(co s x)' sin x
sin xdx (co s x) | 0 cos ( cos 0) 1 1 2
思考: (a) sinxdx的几何意义是什么?
思考: (a )
cosxdx的几何意义是什么? 0 (b) cosxdx = _______
2 0

0
(c )
2
0
0 cosxdx = _______
例4:计算 0 解
2
2 x , 0 x 1 f ( x)dx, 其中 f ( x) 5, 1 x 2
3 2
原式 = 3x dx
2 1
3
3
1
3 3 1 1 2 dx 3x dx ( 2 )dx 2 1 1 x x
1 1 ( ) 2 x x
1 3 1 1 76 3 3 =x | | 1 (3 1 ) ( ) x 3 1 3
3 3 1
练习：
b

a
f ( x )dx F(b) F(a )
或 f ( x )dx F ( x ) |b a F (b) F (a )
a
(F(x)叫做f(x)的原函数,f(x)就是F(x)的导函数)
基本初等函数的导数公式 1.若f ( x) c f ' ( x) 0
2.若f ( x) x

ba S s1 s2 si sn Si v(t ) n i 1 i 1
n n
b b ba S lim Si lim v(t ) v(t )dt s ' (t )dt s(b) s(a) a a n n n i 1 i 1 n n
2
(2) 2xdx
1 x
解（１）∵ (lnx) =

2
1
1 dx = lnx|2 = ln2 -ln1 = ln2 1 x
b
1 b 公式1: dx = lnx|a ln b ln a a x 3 3 (2) 2xdx = x2 |1 32 12 8
1
练习：
1 (1) 1dx = ______
1.6
微积分基本定理
一、引入
1. 由定积分的定义可算 , 但比较麻烦(四步曲),有没有更加简便有效的方法求定积分呢?
0 1
x 2 dx
1 3
s (b ) ) s(a
S s(b) s(a) s1 s2 si sn

0 (b) sinxdx = _______
0
0 2
1 (c) 2 sinxdx = _______
0

(2) 2 cosxdx
0

解 (sin x)' cos x
cos xdx sin x | sin
2 0 2 0

2
sin 0 1 0 1
1 0
1/2 (2) xdx = ______
1 0
1/4 (3) x dx = ______
1 3 0
15/4 (4) x 3dx = ______
2 -1
公式2:

b
a
x b x dx = |a n +1
n
n+1
复习: 定积分的基本性质
性质1.

a
b
a
kf ( x )dx k f ( x )dx