1.4.2正弦余弦定义域值域

B 1、函数 y 2 sin x 2 的最大值和最小值分别为 （ ）
A、2、-2 C、2、0 2、求下列函数的定义域： B、4、0 D、4、-4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 (2) y 1 (1) y 2 cos x sin x 3 答案：1){x 2k x 2k , k Z } ( 2 2
正弦、余弦函数的 定义域、值域
正弦、余弦函数的图象
如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高时）？
y
1
2
(0, o 0)
(2
五点画图法
( 2 ,0)
,1)
2

( ,0)
-1
y=sinx x[0,2]
y
3 ( 2 ,1)
3 2
2
x
y=sinx xR
1 -4 -3 -2 -
解得:-5 x<- 或 0<x<
所以原函数的定义域为[5, ] [0, ]
例2 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写
出取得最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出
最大值、最小值是什么？ (1) y cos x 1, x R(2) y 3sin 2 x , x R
y （3）取最大值、最小值情况： 1
y=sinx，x[0, 2]
o
-1
y
2

3 2
2
x
y=cosx，x[0, 2]
1
o
-1
2

3 2
2
x
（4）正负值区间：
例1 求下列函数的定义域：
(1) y 3sin x
1 (3) y 1 sin x
(2) y lg cos x
解：这两个函数都有最大值与最小值 x+ （1）当 cos x 1 时函数 y = cos 1,x∈R
{ x x 2kπ , k Z } y x+ 当 cos x 1 时函数 = cos 1,x∈R
取得最小值 y
取得最大值 ymax 1 1 2
此时x的集合
{ x x 2kπ , k Z }
3 解 得 x≠ 2k , k Z 2
所以原函数的定义域为
3 x| x≠ 2k , k Z 2
例1 求下列函数的定义域：
(4) y 25 x 2 lg sin x
解( 由已知,得 4):
5 x 5 25- x 2 0 2k x 2k , k Z sin x 0
(2) y lg cos x
解: 由已知 cos x 0
解 得

2
2 k x

2
2 k , k Z
定义域为{ x |

2
2 k x

2
2 k , k Z }
例1 求下列函数的定义域：
1 (3) y 1 sin x
( 3)解: 由已知,得 1+ s nx≠0 i
min 1 1 0
此时x的集合
（2）当 sin 2 x 1 时函数y = - 3s n2x,x∈R i ，此时 ymax 3 (1) 3 2 x 2k , k Z , x k , k Z 取得最大值
2 自变量x的集合为
{ x | x k , k Z }

定义域 值域 最值情况 正负值区间
作业布置：
教科书P58习题4.8的2、9。
5
6 x
仔细观察正弦、余弦函数的图象，并思考以下几个问题： y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6 x
（1）正弦、余弦函数的定义域是什么？正弦曲线
（2）正弦、余弦函数的值域是什么？
y
（3）它们的最值情况如何？
余弦曲线
（4）它们的正负值区间如何分？
1 -4 -3 -2 -
2
(4) y 25 x lg sin x
解(1) 由已知 3sin x 0 即 sin x 0
解得(2k 1)π x 2(k 1)π, k Z
原函数的定义域为 { x | (2k 1)π x 2( k 1)π, k Z }
例1 求下列函数的定义域：
o
-1

2
3
4
5
6 x
（1）正弦、余弦函数的定义域都是R。 （2）正弦、余弦函数的值域都是[-1，1]。
因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半 径的长度， 所以
sin x 1, 即 cos x 1
1 sin x 1 1 cos x 1
称为正弦、余弦函数的有界性。
正弦曲线
o
-1

2
3
4
5
6 x
正弦、余弦函数的图象 y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6 x
正弦函数的图象 余弦函数的图象
y
正弦曲线
y=cosx=sin(x+ ), xR
2

形状完全一样 只是位置不同
余弦曲线
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
4

4
当 sin 2 x 1 时函数 y = - 3s n2x,x∈R i
ymax 3 (1) 3 ，此时 2 x 2k , k Z , x k , k Z
取得最小值
2 自变量x的集合为
{ x | x k , k Z }
4

4
练习：
(2){x 2k x (2k 1) , k Z};
例3：求下列函数的值域：
（1）
1 y 2 sin x 1
（2）
sin x y sin x 2
（3）
y asinx b
思考题：
求函数 y cos x 3sin x
2
的最大值。
课堂小结：
正、余弦函数性质