三角函数的定义域与值域题库
三角函数的定义域、值域
要使y 1 sin z有最小值- 1，
必须
2
z
2
2k ,k z
2
要使y 1 sin z有最大值 1，
1 x 2k
必须
2
z
2
2k ,k z
1
x
2
2k
x
4k
2 x
35
2
4k
3
使原函数取得最小值的集合是
2 32
3
y sin x
x
|
x
5
3
4k ,k
Z
y sin x
角
练习 求函数 y＝cos2x＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值 时的 x 的集合．
解 y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x ＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.
∴当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋2π，k∈Z 时，ymax＝4； 当 sin x＝－1 时，即 x＝2kπ－2π，k∈Z 时，ymin＝－4. 所以 ymax＝4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ＋π2，k∈Z}； ymin＝－4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}.
2
所以结论要相反 y sin z 最小
3.二次函数的某些知识点
例 求函数 y＝sin2x－sin x＋1，x∈R 的值域．
解 设 t＝sin x，t∈[－1,1]，f(t)＝t2－t＋1. ∵f(t)＝t2－t＋1＝t－122＋34. ∵－1≤t≤1， ∴当 t＝－1，即 sin x＝－1 时，ymax＝f(t)max＝3；
x x sinx
忘掉的同学再去看看课本， 后面的老师还会讲到
课堂小结
任意角的三角函数⑵
1.任意角的三角函数的(代数表示)-----定义 设 为任意角, p ( x , y )是 终边与单位圆的交点。
y
P (x, y) 正弦： sin
1 余割： csc y
o
x
1 余弦： cos x 正割： sec x 正切： tan y 余切： cot x
y o x
α在第二象限如何？其它象限如何？
五.任意角的三角函数的 (几何表示)----三角函数线
y T P(x,y)
sin y MP
o M A(1,0) x
cos x OM
MP AT tan AT OM OA
1.设的终边与单位圆交于点P(x,y),
2.过点P作x轴的垂线，垂足为M
0
k Z
转化为求00 到3600 角的三角函数值。 可把求任意角的三角函数值，
练习：1.求值 9 1) cos 4
2) sin1470
19 4) sin( 1050 ) 5) tan 3
11 3) tan( ) 6 31 6) tan( ) 4
五.任意角的三角函数的 (几何表示)----三角函数线
y x y tan cos sin x r r
2.若角
3.角
求
的终边上一点P的坐标为 4a, 3a a 0
2sin cos 的值；
3 8 的终边过点P a， cos 则 a ______ 5
，
4.角的终边在直线3 x 4 y 0上, 求2sin cos
y T P(x,y)
sin y MP
o M A(1,0) x
高中三角函数专题练习题(及答案)
高中三角函数专题练习题（及答案）一、填空题1．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m-的最小值是________．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是_____．3．在ABC 中，7AB =，23BC =，1cos 7BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π3BDC ∠=．给出下列三个结论：①BCD △的面积有最大值，且最大值为3；②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为8π3．其中正确结论的序号为______．4．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c 为三个连续偶数且2C A =，则b =__________．5．平行六面体1111ABCD A B C D -的各棱长均相等，1160BAD DAA A AB ∠=∠=∠=，直线1AC ⋂平面1A BD E =，则异面直线1D E 与AD 所成角的余弦值为_________.6．意大利著名画家、数学家、物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计．经过计算，悬链线的函数方程为()e e cos 2x xh x -+=，并称其为双曲余弦函数．若()()cos sin cos cos sin cos h h m θθθθ+≥-对0,2πθ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围为______．7．在ABC 中，AB BC ≠，O 为ABC 的外心，且有23AB BC AC +=，sin (cos 3)cos sin 0C A A A +=，若AO x AB y AC =+，,x y R ∈，则2x y -=________．8．在角1θ，2θ，3θ，…，29θ的终边上分别有一点1P ，2P ，3P ，…，29P ，如果点k P 的坐标为()()()sin 15,sin 75k k-+，129k ≤≤，k ∈N ，则12329cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=______9．已知ABC 为等边三角形，点G 是ABC 的重心．过点G 的直线l 与线段AB 交于点D ，与线段AC 交于点E ．设AD AB λ=，AE AC μ=，则11λμ+=__________；ADE 与ABC 周长之比的取值范围为__________．10．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3…，若11b c >，1112b c a +=，11,2n n n n n a c a a b +++==，12n n n a bc ++=，则n A ∠的最大值是________________. 二、单选题11．在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O （O 在ABC 内部），且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为1θ，2θ，若PAM PBM θ∠=∠=，则下列说法错误的是（ ）A ．若12θθ=，则AC BC =B ．若12θθ≠，则121tan tan 2θθ⋅= C ．θ可能值为6πD ．当θ取值最大时，12θθ= 12．已知O 是三角形ABC 的外心，若()22AC ABAB AO AC AO m AO AB AC⋅+⋅=，且sin sin B C +=，则实数m 的最大值为（ ）A ．3B ．35C ．75D ．3213．已知函数()132,f x x x R =∈，若当02πθ≤≤时，(sin )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0,1 B ．,0C ．1,D ．(),1-∞14．已知,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,32ππβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin αβαβ=+，则tan()αβ-=（ ）AB ．1C ．2+D 215．如图，在正方体ABCD EFGH -中，P 在棱BC 上，BP x =，平行于BD 的直线l 在正方形EFGH 内，点E 到直线l 的距离记为d ，记二面角为A l P --为θ，已知初始状态下0x =，0d =，则（ ）A ．当x 增大时，θ先增大后减小B ．当x 增大时，θ先减小后增大C ．当d 增大时，θ先增大后减小D ．当d 增大时，θ先减小后增大16．已知函数()3sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><，(4)(2)6f f =-，且()f x 在[2,4]上单调.设函数()()1g x f x =-，且()g x 的定义域为[5,8]-，则()g x 的所有零点之和等于（ ） A ．0B ．4C ．12D ．1617．已知函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列四个结论： ①4πϕ=②93()2k k N ω=+∈ ③02f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭④直线3x π=-是()f x 图象的一条对称轴其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④18．设锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,33A a π=2b 2c bc ++的取值范围为（ ） A ．(1，9] B ．(3，9] C ．(5，9]D ．(7，9]19．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF 是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(21,)+∞B ．(12,)+∞C ．(1,12)D ．(31,)+∞20．已知1F 、2F 是椭椭圆和双曲线共有焦点，P 为两曲线的一个公共点，且126F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别1e ，2e ，则1212e e e e +⋅的最大值为 A ．4B ．2C ．83D ．163三、解答题21．如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD 上划出一个三角形地块APQ 种植草坪，两个三角形地块PAB 与QAD 种植花卉，一个三角形地块CPQ 设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边BC 上，点Q 在边CD 上，记PAB α∠=．（1）当4PAQ π∠=时，求花卉种植面积S 关于α的函数表达式，并求S 的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB DQ PQ +=，请探究PAQ ∠是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．22．已知函数2()232sin cos ()f x x x x a a R =-++∈，且(0)3f = （1）求a 的值；（2）若()f x ω在[0,]π上有且只有一个零点，0>ω，求ω的取值范围. 23．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且22b c ac =+， （1）求证：2B C =；（2）若ABC ∆是锐角三角形，求ac的取值范围.24．已知向量33cos ,sin 22x a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫- ⎪⎝=⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）用含x 的式子表示a b ⋅及a b +； （2）求函数的()f x a b a b =⋅-+值域.25．函数211()sin 2sin cos cos sin 222f x x x πϕϕϕ⎛⎫=⋅+⋅-+ ⎪⎝⎭，22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭其图像过定点1,64π⎛⎫⎪⎝⎭（1）求ϕ值；（2）将()y f x =的图像左移8π个单位后得到()y g x =，求()g x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大和最小值及此时对应的x 的取值是多少？26．已知函数22()sin 22sin 26144f x x t x t t ππ⎛⎫⎛⎫=---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,242x ππ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，最小值为()g t .（1）求当1t =时，求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()g t 的表达式； （3）当112t -≤≤时，要使关于t 的方程2()9g t k t =-有一个实数根，求实数k 的取值范围. 27．已知函数()()233cos sin cos 02f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象.（1）求ω的值及函数()g x 的解析式； （2）求()g x 的单调递增区间及对称中心28．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 为ABC 的面积，()222sin SB C a c +=-． （1）证明：2A C =；（2）若2b =，且ABC 为锐角三角形，求S 的取值范围． 29．已知函数2()2cos 23sin cos f x x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x 在区间,6m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，求m 的取值范围.30．函数f （x ）=A sin （2ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示 （1）求A ，ω，φ的值；（2）求图中a ，b 的值及函数f （x ）的递增区间； （3）若α∈[0，π]，且f （α）=2，求α的值．【参考答案】一、填空题1．3π2．⎝ 3．①③ 4．105．566．1⎡⎤⎣⎦7．4333-8．09． 3 21,32⎡⎢⎣⎦ 10．π3##60°二、单选题 11．C 12．D 13．D 14．D 15．C 16．C 17．B 18．D 19．B 20．A 三、解答题21．（1）S =⎝⎭花卉种植面积0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦]；最小值为)100001 （2）PAQ ∠是定值，且4PAQ π∠=．【解析】 【分析】（1）根据三角函数定义及4PAQ π∠=，表示出,PB DQ ，进而求得,ABP ADQ S S ∆∆.即可用α表示出S 花卉种植面积，（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，，利用正切的和角公式求得()tan αβ+，由PB DQ PQ +=求得,x y 的等量关系.进而求得()tan αβ+的值，即可求得PAQ ∠的值. 【详解】（1）∵边长为1百米的正方形ABCD 中，PAB α∠=，4PAQ π∠=，∴100tan PB α=，100tan 100tan 244DQ πππαα⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ABP ADQ S S S ∆∆+=花卉种植面积 1122AB BP AD DQ =⋅+⋅ 11100100tan 100100tan 224παα⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯- ⎪⎝⎭()5000cos sin cos ααα==+⎝⎭，其中0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ∴当sin 214πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即8πα=时，S)100001=．（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，， 则100100BP x DQ y =-=-，， 在ABP ∆中，100tan 100x α-=，在ADQ ∆中，100tan 100yβ-=， ∴()()()20000100tan tan tan 1tan tan 100x y x y xyαβαβαβ-+++==-⋅+-，∵PB DQ PQ +=，∴100100x y -+-=100200xyx y +=+，∴()20000100100100002002tan 1100001001002200xy xyxy xy xy αβ⎛⎫-⨯+-⎪⎝⎭+===⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭， ∴4παβ+=，∴PAQ ∠是定值，且4PAQ π∠=．【点睛】本题考查了三角函数定义，三角形面积求法，正弦函数的图像与性质应用，正切和角公式的应用，属于中档题. 22．（1）a =（2）15,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）利用降次公式、辅助角公式化简()f x表达式，利用(0)f =a 的值. （2）令()0f x ω=，结合x 的取值范围以及三角函数的零点列不等式，解不等式求得ω的取值范围. 【详解】（1）2()2sin cos f x x x x a =-++sin 2x x a =+2sin 23x a π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭(0)f =(0)2sin3f a π∴=+=即a =（2）令()0f x ω=，则sin 203x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，[0,]x π∈，2,2333πππωπω⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，()f x 在[0,]π上有且只有一个零点，223πππωπ∴+<，1536ω∴<， ω∴的取值范围为15,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.23．（1）证明见解析；（2）(1,2) 【解析】【分析】（1）由22b c ac =+，联立2222cos b a c ac B =+-⋅，得2cos a c c B =+⋅，然后边角转化，利用和差公式化简，即可得到本题答案； （2）利用正弦定理和2B C =，得2cos 21aC c=+，再确定角C 的范围，即可得到本题答案. 【详解】解：（1）锐角ABC ∆中，22b c ac =+，故由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-⋅，2222cos c ac a c ac B ∴+=+-⋅，22cos a ac ac B ∴=+⋅，即2cos a c c B =+⋅，∴利用正弦定理可得：sin sin 2sin cos A C C B =+， 即sin()sin cos sin cos sin 2sin cos B C B C C B C C B +=+=+，sin cos sin sin cos B C C C B ∴=+，可得：sin()sin B C C -=，∴可得：B C C -=，或B C C π-+=（舍去），2B C ∴=.（2）2sin sin()sin(2)2cos cos22cos21sin sin sin a A B C C C C C C c C C C++====+=+A B C π++=，,,A B C 均为锐角，由于：3C A π+=，022C π∴<<，04C π<<.再根据32C π<，可得6C π<，64C ππ∴<<，(1,2)ac∴∈ 【点睛】本题主要考查正余弦定理的综合应用，其中涉及到利用三角函数求取值范围的问题. 24．（1）cos 2x a b ⋅=；2cos a b x +=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）()3,12f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示以及三角恒等变换公式可得a b ⋅，根据a b +=2||a b +可求得结果；（2）利用二倍角的余弦公式化为关于cos x 的二次函数可求得结果. 【详解】（1）因为向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以23||cos 1a =，2||cos 12x b ==，所以333coscos sin sin cos()cos 2222222x a x x b x x xx -=+==⋅， ()2222212cos 2121cos 24cos a a b b x a b x x =+⋅+=++++==，2cos a b x +=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）()2cos22cos 2cos 2cos 1x x x f x x =-=--，又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]cos 0,1x ∈，()3,12f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，考查了求平面向量的模，考查了二倍角的余弦公式，考查了整体换元化为二次函数求值域，属于基础题. 25．（1）0ϕ=（2）当4x π=时，min ()g x =；当8x π=-时，max 1()2g x =【解析】 【分析】（1）先将函数表达式结合降幂公式化简可得()1cos(2)2f x x ϕ=-，结合函数过点1,64π⎛⎫⎪⎝⎭和,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭即可求解具体ϕ值；（2）根据函数图像平移法则先求得1()cos 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，再结合余弦函数性质即可求解 【详解】（1）11cos 21()sin 2sin cos cos 222x f x x ϕϕϕ+=⋅+⋅- 11sin 2sin cos 2cos 22x x ϕϕ=⋅+⋅ 1cos(2)2x ϕ=- 又图像过点1,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭，11cos 423πϕ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭233k ππϕπ∴-=+或2()3k k Z ππ-+∈又,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0ϕ∴=（2）由（1）知 1()cos 22f x x =，11()cos 2cos 22824g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当3244x ππ+=时，即4x π=时，min ()4g x = 当204x π+=时，即8x π=-时，max 1()2g x = 【点睛】本题考查三角函数表达式的化简求值，降幂公式的使用，两角差的余弦公式的逆用，在具体区间函数最值的求解，属于中档题26．（1）4-（2）22515421()611282(1)t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎩（3）--22∞⋃+∞（，）（，） 【解析】 【分析】（1）直接代入计算得解；（2）先求出1sin(2)[,1]42x π-∈-，再对t 分三种情况讨论，结合二次函数求出()g t 的表达式；（3）令2()()9h t g t k t =-+，即2()(6)t 10h t k =-++有一个实数根，利用一次函数性质分析得解. 【详解】（1）当1t =时，2()sin 22sin 2444f x x t x ππ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以48f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）因为[,]242x ∈ππ，所以32[,]464x πππ-∈-，所以1sin(2)[,1]42x π-∈- 2()[sin(2)]614f x x t t π=---+（[,]242x ∈ππ）当12t <-时，则当1sin(2)42x π-=-时，2min 5[()]54f x t t =-+当112t -≤≤时，则当sin(2)4x t π-=时，min [()]61f x t =-+ 当1t >时，则当sin(2)14x π-=时，2min [()]82f x t t =-+故22515421()611282(1)t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎩（3）当112t -≤≤时，()61g t t =-+，令2()()9h t g t k t =-+即2()(6)t 10h t k =-++ 欲使2()9g t kt =-有一个实根，则只需1()02(1)0h h ⎧-≤⎪⎨⎪≥⎩或1()02(1)0h h ⎧-≥⎪⎨⎪≤⎩ 解得-2k ≤或2k ≥.所以k 的范围：--22∞⋃+∞（，）（，）. 【点睛】本题主要考查三角函数的范围的计算，考查二次函数的最值的求法和方程的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.27．（1）1ω=，()2sin()23x g x π=+；（2）单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【解析】 【分析】（1）整理()f x 可得：()sin(2)3f x x πω=+，利用其最小正周期为π即可求得：1ω=，即可求得：()sin(2)3f x x π=+，再利用函数图象平移规律可得：()2sin()23x g x π=+，问题得解. （2）令222232x k k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解不等式即可求得()g x 的单调递增区间；令23x k ππ+=，k Z ∈，解方程即可求得()g x 的对称中心的横坐标，问题得解. 【详解】 解：（1）1()2sin 2sin(2)23f x x x x πωωω=+=+， 由22ππω=,得1ω=. 所以()sin(2)3f x x π=+.于是()y g x =图象对应的解析式为()2sin()23x g x π=+.（2）由222232x k k πππππ-≤+≤+,k Z ∈得 54433k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 所以函数()g x 的单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 由23x k ππ+=，解得22()3x k k ππ=-∈Z .所以()g x 的对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【点睛】本题主要考查了二倍角公式、两角和的正弦公式应用及三角函数性质，考查方程思想及转化能力、计算能力，属于中档题． 28．（1）见解析；（2）2⎫⎪⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式表示S ，结合余弦定理和正弦定理，建立三角函数等式，证明结论，即可．（2）结合三角形ABC 为锐角三角形，判定tanC 的范围，利用tanC 表示面积，结合S 的单调性，计算范围，即可． 【详解】(1)证明：由()222sin S B C a c +=-，即222sin SA a c=-， 22sin sin bc A A a c∴=-，sin 0A ≠，22a c bc ∴-=， 2222cos abc bc A =+-，2222cos a c b bc A ∴-=-，22cos b bc A bc ∴-=，2cos b c A c ∴-=，sin 2sin cos sin B C A C ∴-=，()sin 2sin cos sin A C C A C ∴+-=，sin cos cos sin sin A C A C C ∴-=， ()sin sin A C C ∴-=，A ，B ，()0,C π∈，2A C ∴=． (2)解：2A C =，3B C π∴=-，sin sin3B C ∴=．sin sin a b A B =且2b =， 2sin2sin3Ca C∴=， ()212sin2sin 2sin2sin 2tan2tan 4tan 4sin 32sin 2sin2cos cos2sin tan2tan 3tan tan tan C C C C C C C S ab C C C C C C C C C CC C∴======+++--，ABC 为锐角三角形，20,230,20,2A C B C C ππππ⎧⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∴=-∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∈⎪⎪⎝⎭⎩，,64C ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，tan C ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭， 43tan tan S C C=-为增函数，2S ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭．【点睛】考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形面积公式，考查了函数单调性判定，难度偏难．29．(Ⅰ) (),,36ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z (Ⅱ) 62ππ≤≤m【解析】 【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为π2sin 216x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递增区间;(Ⅱ) 要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，可得7 2266m πππ≤+≤，从而可得结果.【详解】（Ⅰ）()22f x cosx =+πcos212sin 216x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，由()222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得(),36k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以，()f x 的单调递增区间是(),,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）由（Ⅰ）知()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.因为π,6x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2,2666x m ππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦.要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，. 所以72266m πππ≤+≤，即62m ππ≤≤. 【点睛】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式的应用以及三角函数的单调性、三角函数的值域，属于中档题. 函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.30．（1）π2,1,6A ωϕ===；（2）7π,112a b =-=，递增区间为()πππ,π36k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（3）π24或7π24. 【解析】 【分析】（1）利用函数图像可直接得出周期T 和A ，再利用=2Tπω，求出ω，然后利用待定系数法直接得出ϕ的值．（2）通过第一问求得的值可得到()f x 的函数解析式，令()=0f x ，再根据a 的位置确定出a 的值；令0x =得到的函数值即为b 的值；利用正弦函数单调增区间即可求出函数的单调增区间．（3）令()f α=0απ，即可求得α的取值．【详解】解：（1）由图象知A =2，34T =512π-（-3π）=912π， 得T =π， 即22πω=2，得ω=1， 又f （-3π）=2sin[2×（-3π）+φ]=-2， 得sin （-23π+φ）=-1，即-23π+φ=-2π+2k π， 即ω=6π+2k π，k ∈Z ， ∵|φ|＜2π，∴当k =0时，φ=6π，即A =2，ω=1，φ=6π；（2）a =-3π-4T =-3π-4π=-712π，b =f （0）=2sin 6π=2×12=1，∵f （x ）=2sin （2x +6π）， ∴由2k π-2π≤2x +6π≤2k π+2π，k ∈Z ，得k π-3π≤x ≤k π+6π，k ∈Z ，即函数f （x ）的递增区间为[k π-3π，k π+6π]，k ∈Z ；（3）∵f （α）=2sin （2α+6π）即sin （2α+6π） ∵α∈[0，π]，∴2α+6π∈[6π，136π]， ∴2α+6π=4π或34π，∴α=24π或α=724π．【点睛】关于三角函数图像需记住： 两对称轴之间的距离为半个周期； 相邻对称轴心之间的距离为半个周期；相邻对称轴和对称中心之间的距离为14个周期．关于正弦函数单调区间要掌握：当2,222x k k ππωϕππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增；当32+,222x k k ππωϕππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减．。
三角函数的性质
1.解决求三角函数的值域和最值问题不仅需要用到三角函数的 定义域、值域、单调性、图象及三角恒等变换，还常涉及到函数、 不等式、方程及几何计算等众多知识，这类问题往往较为灵活.函 数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定，基本思路是把ω x+φ看作一个整体，运用复合函数的单调性规律得解. 2.利用三角函数的单调性解决问题一般还有以下两种题型： (1)比较三角函数值的大小：通常利用奇偶性或周期性转化为属 于同一单调区间上的同名函数值，再利用单调性比较大小； (2)求三角函数的最值：利用函数在区间内的单调性； 3.有关三角函数的单调性问题，要求掌握基本的三角函数的单 调区间，以及各个象限中四个三角函数的符号、特殊值所对应的 角.要能全面地根据内、外层函数的单调性来确定复合函数的单调 性或单调区间.
π 当x= 时，函数取得最大值，为2. 3
5.(2009· 东莞高级中学一模)已知f(x)=sinx+ 3cosx(x∈R).求： (1)函数f(x)的最小正周期; (2)函数f(x)的最大值，并指出此时x的值.
π (1)因为f(x)=sinx+ 3cosx=2sin(x+ )， 3
所以T=2π. (2)当sin(x+ )=1时,f(x)取得最大值,其值为2.
单调性与最值
3 已知函数f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函
数，且函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为 .
π (1)求f( )的值； 8 π 2
(2)已知函数g(x)=f(x- π )，求g(x)的单调递减区间. 6 利用偶函数建立关于φ的方程求函数解析式及函数 值.在确定复合函数的单调区间时利用基本函数进行探究.
三角函数的定义域与值域题库(精)
专题三：三角函数的定义域与值域（习题库）一、选择题1、函数f（x）的定义域为[﹣，]，则f（sinx）的定义域为（）A、[﹣，]B、[，]C、[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）D、[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）分析：由题意知，求出x的范围并用区间表示，是所求函数的定义域；解答：∵函数f（x）的定义域为为[﹣，]，∴，解答（k∈Z）∴所求函数的定义域是[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）故选D．2、函数的定义域是（）A、.B、.C、D、.解答：由题意可得sinx﹣≥0⇒sinx≥又x∈（0，2π）∴函数的定义域是．故选B．3、函数的定义域为（）A、 B、C、 D、解答：由题意得tanx≥0，又tanx 的定义域为（kπ﹣，kπ+），∴，故选D．4、函数f（x）=cosx（cosx+sinx），x∈[0，]的值域是（）A、[1，]B、C、D、解答：∵f（x）=cosx（cosx+sinx）=cos2x+sinxcosx===又∵∴∴则1≤f（x）≤故选A．5、函数y=﹣cos2x+sinx﹣的值域为（）A、[﹣1，1]B、[﹣，1]C、[﹣，﹣1]D、[﹣1，]解答：函数y=﹣cos2x+sinx﹣=﹣（1﹣2sin2x）+sinx﹣=sin2x+sinx﹣1=﹣∵﹣1≤sinx≤1，∴当sinx=﹣时，函数y有最小值为﹣．sinx=1时，函数y 有最大值为1，故函数y 的值域为[﹣，1]，故选B．6、函数值域是（）A、 B、C、 D、[﹣1，3]解答：因为，所以sinx∈[]，2sinx+1∈故选B7、函数的最大值是（）A、5B、6C、7D、8解答：∵==∈[﹣7，7] ∴函数的最大值是78、若≤x≤，则的取值范围是（）A、[﹣2，2]B、C、D、解答：=2（sinx+cosx）=2sin（），∵≤x≤，∴﹣≤≤，∴≤﹣sin（）≤1，则函数f（x）的取值范围是：．故选C．9、若，则函数y=的值域为（）A、 B、 C、 D、解答：函数y===因为，所以sin∈（0，）∈故选D10、函数，当f（x）取得最小值时，x的取值集合为（）A、 B、C、 D、解答：∵函数，∴当 sin（﹣）=﹣1时函数取到最小值，∴﹣=﹣+2kπ，k∈Z函数，∴x=﹣+4kπ，k∈Z，∴函数取得最小值时所对应x的取值集合:为{x|x═﹣+4kπ，k∈Z} 故选A．11、函数y=sin2x﹣sinx+1（x∈R）的值域是（）A、[，3]B、[1，2]C、[1，3]D、[，3]解答：令sinx=t，则y=t2﹣t+1=（t﹣）2+，t∈[﹣1，1]，由二次函数性质，当t=时，y取得最小值．当t=﹣1时，y取得最大值3，∴y∈[，3] 故选A．12、已知函数，则f（x）的值域是（）A、[﹣1，1]B、C、D、解答：解：由题=，当 x∈[，]时，f（x）∈[﹣1，]；当 x∈[﹣，]时，f （x）∈[﹣1，]可求得其值域为．故选D．13、函数的值域为（）A、 B、 C、[﹣1，1] D、[﹣2，2]解答：=﹣sinxcosx+cos2x=cos2x ﹣sin2x=cos （2x+）∴函数的值域为[﹣1，1] 故选C ．14、若≥，则sinx 的取值范围为（ ） A 、 B 、 C 、∪D 、∪解答：∵≥，∴解得x ∈[，）∪（，] ∴sinx ∈故选B15、函数y=sin2x+2cosx 在区间[﹣，]上的值域为（ ）A 、[﹣，2]B 、[﹣，2）C 、[﹣，]D 、（﹣，] 解答：∵x ∈[﹣，] ∴cosx ∈[﹣，1]又∵y=sin2x+2cosx=1﹣cos2x+2cosx=﹣（cosx ﹣1）2+2 则y ∈[﹣，2] 故选A 二、填空题（共7小题） 16、已知，则m 的取值范围是 ．解答：∵=2（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），∴﹣2≤≤2，∴m≥，或m≤﹣，故m的取值范围是（﹣∝，﹣]∪[，+∞）．17、函数在上的值域是___________．解答：因为，故故答案为：18、函数的值域为．解答：由题意是减函数，﹣1≤sinx≤1，从而有函数的值域为，故答案为19、（理）对于任意，不等式psin2x+cos4x≥2sin2x恒成立，则实数p的范围为．解答：∵psin2x+cos4x≥2sin2x ∴psin2x≥2sin2x﹣1﹣sin4x+2sin2x=4sin2x﹣sin4x﹣1∴p≥4﹣（sin2x+）而sin2x+≥2∴4﹣（sin2x+）的最大值为2则p≥2 故答案为：[2，+∞）20、函数的值域是．解答：令t=sinx+cosx=，t2=1+2sinxcosx∵∴x+∴从而有:f（x）==﹣2 在单调递增当t+1=2即t=1时，此时x=0或x=，函数有最小值当t+1=1+即t=时此时x=，函数有最大值2﹣2故答案为：[﹣2]21、函数的定义域为．解答：要使函数有意义，必须解得，故答案为：（0，）．三、解答题（共8小题）22.（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，求f（cosx）的定义域；（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin （cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角。
三角函数的定义域、值域及单调区间(含答案)
三角函数的定义域、值域及单调区间一、单选题(共12道，每道8分)1.与函数定义域相同的一个函数是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的定义域2.函数的定义域是( )A.B.C.D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的定义域3.函数的定义域是( ) A.B.C.D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的定义域4.的值域是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的值域5.函数的值域是( )A.{3}B.{3，﹣1}C.{3，1，﹣1}D.{3，1，﹣1，﹣3}答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的值域6.函数的值域是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的值域7.已知函数，则f(x)在区间上的最大值与最小值分别是( )A.1，﹣2B.2，﹣1C.1，﹣1D.2，﹣2答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的最值8.已知函数的定义域为，值域为，则函数上，( )A.有最大值2B.有最小值2C.有最大值1D.有最小值1答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的最值9.函数的单调增区间为( ) A.B.C.D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合三角函数的单调性10.设函数，在区间D上单调递增，则区间D可以是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合三角函数的单调性11.函数的单调增区间是( )A.B.C.D.答案：A解题思路：先确定函数的定义域是全体实数，记，则，∵是递增函数，∴根据口诀“同增异减”可得，只需要找到的递增区间即可，∴．故选A试题难度：三颗星知识点：复合三角函数的单调性12.函数的单调递减区间是( ) A.B.C.D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合三角函数的单调性第11页共11页。
三角函数的值域问题
y sin x
y cos x
2
(k∈z)
2
时y min 1 x 2k 时y min 1
(k∈z)
二、新课讲解
• 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出 取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出 最大值、最小值分别是什么？ • (1)y=2sinx, xR • (2)y=-3sinx,xR • (3)y=asinx,xR(a>0) • (4)y=asinx,xR(a<0) • (5)y=asinx,xR(a≠0)
类型二：求y A sin( x )型函数的的值域与最值
例3：求函数y 2 sin( 2 x )的最值，并求取得最值时 3 自变量x的集合。
1 变式1：函数y 3 2 sin( x )的值域为 ______ . 2 3 变式2：已知y a sin( 2 x ) b(a 0)的最大值为3, 3 最小值为 1, 求a, b的值.
当题目中有出现自变量x属于某个小区间，那么
要用换元 2 x )的范围。 3
类型三：值域与最值的应用
延伸:
0 (2014 湖北高考改编)某实验室一天的温度(单位： C)
随时间t (单位：h)的变化近似满足函数： t )，t 0,24 12 6 求实验室一天的最大温差。 f (t ) 10 2 sin(
1.在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 y= sinx和 y= cosx， x[0, 2]的简图：
y
1
一.复习
y=cosx，x[0, 2]
2
o
-1
2
3 2
三角函数10道大题(带答案)
三角函数10道大题(带答案)三角函数1.已知函数$f(x)=4\cos x\sin(x+\frac{\pi}{6})+\sin(2x-\frac{\pi}{4})+2\cos2x-1,x\in R$。
Ⅰ）求$f(x)$的最小正周期；Ⅱ）求$f(x)$在区间$[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$上的最大值和最小值。
2.已知函数$f(x)=\tan(2x+\frac{\pi}{4}),x\in R$。
Ⅰ）求$f(x)$的定义域与最小正周期；II）设$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，若$f(\alpha+\frac{\pi}{4})=2\cos2\alpha$，求$\alpha$的大小。
3.已知函数$f(x)=\frac{(sinx-cosx)\sin2x}{\sin x}$。
1）求$f(x)$的定义域及最小正周期；2）求$f(x)$的单调递减区间。
4.设函数$f(x)=\frac{2\pi\cos(2x+\frac{\pi}{4})+\sin2x}{24}$。
Ⅰ）求函数$f(x)$的最小正周期；II）设函数$g(x)$对任意$x\in R$，有$g(x+\pi)=g(x)$，且当$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$时，$2\pi g(x)=1-f(x)$，求函数$g(x)$在$[-\pi,0]$上的解析式。
5.函数$f(x)=A\sin(\omega x-\frac{\pi}{6})+1(A>0,\omega>\frac{\pi}{6})$的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{\pi}{2}$。
1）求函数$f(x)$的解析式；2）设$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，则$f(\alpha)=2$，求$\alpha$的值。
6.设$f(x)=4\cos(\omega x-\frac{\pi}{6})\sin\omegax+\cos2\omega x$，其中$\omega>0$。
三角函数定义域和值域
1.在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 y= sinx和 y= cosx， x[0, 2]的简图：
y
1
一.复习(3分钟完成)
y=cosx，x[0, 2]
2
o
-1
2
3 2
2
y=sinx，x[0, 2]
x
2.写出y=sinx和y=cosx的定义域,值域,最值,周期
-1 0
1 2
1
t
练习： y cos x sin x 2 的值域。
点拨:统一函数名
三） 分式型
sin x 例3： 求y 的值域。 反表示法 sin x 2 点拨: 1.反表示 2.利用 sinx 1, cos x 1有界性 2y 解 : sin x sinx 1 1 y 2y 1 | | 1 两边平方 值域为 1, 3 1 y
D
C
A
B
； https:///u/5028959491
jbh68lcf
这样，想找个有骨节有肩膊的都不能。”“或者也有，只轮不着我们罢了。”“你我倒也算了，老板——”“嘘！”很怕蝶宵华听见了伤心，偷 眼看他，他端坐鞍上，双目微阖，竟似僧人入定了。苏家，全凭苏小横在，才安定下来。明柯逃跑了，谁知嘉颜是帮着明柯弄亏空贪官中银子的， 也跟了明柯逃跑，临走还卷了一票。明远据说进京去，太守家似有悔婚之意。桩桩件件，每件都要压垮老太太。苏小横只道：“有我在！你们不 必问端底，等着就好。”众人也终于静了。回道观里，裳儿拿红纸剪着玩，有一搭没一搭的，又似剪窗花，又似只糟塌纸张，见苏小横回来，嘻 嘻笑道：“爷爷也计算差了。”苏小横道：“哦？”“盗坠索银的人，爷爷先把目标锁定在大哥、五哥身上，尤以五哥嫌疑更重，五哥手里也确 实有大笔银子来路不名，叫爷爷查出来，”裳儿弄着剪子，侃侃谈道，“可他旋即却糊涂得把田庄里贪得来的银子，都输在赌局里，以至于受蕙 妹妹胁迫，坏了笙表妹名声，吃了爹爹一顿杖，爬都爬不起来，爷爷就重点去调查大哥了罢？谁知五哥买通爹爹身边行杖的，筋骨无碍，装着养 伤，悄没声儿一切都打点好，拐了嘉颜姐姐，扔嘣就走了！把爷爷可摆了一道。”“是你被摆了一道。”苏小横道。裳儿手里的剪子，停了停。 “你将是独当一面的人，特立专行，生杀予夺，非如此，不足以在宫中固宠。”苏小横道，“内外种种，我知道的，你也知道，我并未瞒你，我 所不知道的，你也应该自己想办法知道，定出方略，克敌制胜。你没有做到，就是败了。宫中败亡，你把责任怪在爷爷头上，纵然爷爷肯承担， 有用么？”裳儿默然片刻，将剪子放下，端端正正拜苏小横一礼：“孙女谨受教。”“你剪的是什么？”苏小横看着那张叠了数叠、被剪了许多 刀的红纸。裳儿将红纸展开，胡乱纵横的刀痕，并未能形成任何花样：“这是裳儿的心境。”“本应如何呢？”苏小横又问。“本应，”裳儿打 开一本书，取出里面压得平平的剪纸，是鸳鸯戏水，“送于四姐姐贴在嫁妆箱上，给四姐姐道喜。”苏小横神色不动：“你四姐姐婚事有阻 碍。”“是。”裳儿知这也是考题，“大哥既进京，四姐姐婚事就没有阻碍了。”苏小横微微叹了口气：“你会看不起你大哥吗？”“不会。” 这倒是真心话，“虽说男女分工有别，但强盗杀来，若只余妇女，那妇女也必须举刃招架；同样道理，床帷间、私室里，若只有男儿能去，那末 男儿也该去。为家族效命，诗姐姐如此，裳儿如此，大哥如此，原没什么分别。”说着伤感起来，“爷爷，你可知孙女流落在外，最困苦时，只 为一勺掺着砂子的糙豆饭，他要我做什么都可以。”苏小横抚着裳儿的头：“爷爷救你太迟。”“相比很多人来说，已经
三角函数定义域-值域-周期测试题
数学限时测试三 一、选择题1、 在同一坐标系中函数[]π2,0,sin ∈=x x y 与[]ππ4,2,sin ∈=x x y 的图象A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．形状不同，位置相同D ．形状不同，位置不同2、函数[]π2,0,sin 1∈+=x x y 的图象与直线2=y 的交点个数为A ．0B ．1C ．2D ．33、在(02)π，内，使sin cos x x <成立的x 的取值范围是（ ）Ａ．ππ5π⎛⎫⎛⎫π ⎪⎪424⎝⎭⎝⎭，， Ｂ．π⎛⎫π ⎪4⎝⎭， Ｃ．02π5π⎛⎫⎛⎫π ⎪ ⎪44⎝⎭⎝⎭，， Ｄ．5ππ⎛⎫⎪44⎝⎭，4、若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（）A B ．1 CD ．25、当-π2≤x≤π2时，函数f(x)= sinx +3cosx 的（ ）A 、最大值是1，最小值是--1B 、最大值是1，最小值是--2C 、最大值是2，最小值是--2D 、最大值是2，最小值是--1 6、函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是（ ）A ．1BCD ．27、函数y=1-sinx+3cosx 的周期是（ ）A. πB. π2C. π21D. 32π 8、求y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的周期是（ ）A. πB. π2C. π3D. 4π 9、函数y = 12cos 2sin -+x x 的定义域是A [ 0 ,4π] B [ 42,2πππ+k k ]C [2,πππ+k k ] D [432,42ππππ++k k ]10．函数2cos 3cos 2++=x x y 的最小值为（ ）A ．2B ．0C ．1D ．6班别__________ 姓名__________二.填空题：11.如果直线m y =与函数[)π2,0,sin ∈=x x y 无交点，则∈m __________；12.求函数y ＝2cos 2x ＋5sinx －4的值域为__________；三.解答题：13.求函数)2474(cos sin 4sin 3cos 35)(22ππ≤<-+=x x x x x x f 的最值，并求取得最值时x 的值。
三角函数测试题及答案
三角函数测试题及答案试题一：一、选择题1. 下列各三角函数式中，值为正数的是 ( )A. B. C. D.2. 若=，且为锐角，则的值等于 ( )A. B. C. D.3. 若=，，则的值为 ( )A. 1B. 2C.D.4. 已知，则 ( )A. B.C. D.5. a=，则成立的是 ( )A. ab>c C. a6. 函数的定义域是( )A. B.C. D.7. 下面三条结论：①存在实数，使成立;②存在实数，使成立;③若cosacosb=0，则其中正确结论的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 38. 函数的值域是 ( )A. [-2，2]B. [-1，2]C. [-1，1]D. [，2]9. 函数y=-x·cosx的部分图象是( )10. 函数f(x)=cos2x+sin(+x)是( )A. 非奇非偶函数B. 仅有最小值的奇函数C. 仅有最大值的偶函数D. 既有最大值又有最小值的偶函数二、填空题1、函数的最小值等于并使函数y 取最小值的x的集合为2、若函数的图象关于直线对称，则函数的值域为3、已知函数三、解答题1、已知，求的值2、在DABC中，已知三边满足，试判定三角形的形状。
试题二：1、若sinα=-5/13，且α为第四象限角，tanα=?(文.6)A.12/5B.-12/5C.5/12D.-5/12解析：主要考察基础知识。
α是第四象限角，所以cosα为正，tanα为负。
cos2α=1-sin2α，且cosα是正数，所以cosα=12/13，t anα=sinα/cosα=-5/12，选D。
2、已知函数f(x)=10√3sin(x/2)*cos(x/2)+10cos2(x/2)1)求f(x)的最小正周期2)将f(x)的函数图像向右平移π/6个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到g(x)的函数图像，且函数g(x)的`最大值为2.i)求g(x)的解析式ii)证明存在无穷多互不相同个正整数x0，使得g(x0)>0.解析：1)函数的化简，可以看到两个式子都跟两倍角公式有关系，可以考虑先都变成两倍角。
求三角函数值域及最值的常用方法+练习题
求三角函数值域及最值的常用方法（一）一次函数型或利用：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512y x π=--+，x x y cos sin =（3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 ．（4）函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-⋃+∞（二）二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。
（2）函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于43．（3）.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解型如dx c bx a x f ++=cos sin )(型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。
例1：求函数sin cos 2xy x =-的值域。
解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。
作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2xy x =-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为33-、33。
结合图形可知，此函数的值域是33[,]33-。
三角函数求定义域、值域题目 (2)
三角函数求定义域，值域1、函数的定义域是（）A、.B、.C、D、.解答：由题意可得sinx ﹣≥0? sinx≥又x∈（0，2π）∴函数的定义域是．应选B．2、函数的定义域为（）A、B、C、D、解答：由题意得 tanx ≥0，又 tanx的定义域为（kπ ﹣，kπ+），∴，应选D．3、函数 f （x）的定义域为 [ ﹣，] ，则 f （sinx ）的定义域为（）A、[﹣，]B、[，]C、[2k π+，2kπ+] （k∈Z）D、[2k π ﹣，2kπ +] ∪[2k π +，2kπ +] （ k∈ Z）解析：由题意知，求出x的范围并用区间表示，是所求函数的定义域；解答：∵函数 f （x ）的定义域为为 [ ﹣，] ，∴，解答（k ∈ Z）∴所求函数的定义域是[2k π﹣， 2kπ + ] ∪[2k π + ，2kπ+ ] （ k∈ Z）应选 D．ππ4．函数 y＝ cos(x＋6)， x∈ [0 ，2]的值域是 ( )A． (－3 1]1 3C．[1，3] D． [－3 1] 2，B．[－，2]2 2，－22 2 2答案 B解析x∈[0 ，ππ π 2 1，3]．] ，x＋∈[ ，π]，∴y∈[－22 6 63 25、函数值域是（）A、B、 C 、D、[ ﹣1，3]解答：因为，所以sinx∈[] ， 2sinx+1∈应选B6、函数，当f（x）获取最小值时，x 的取值会集为（）A、B、C、D、解答：∵函数，∴当sin （﹣） =﹣ 1 时函数取到最小值，∴﹣=﹣+2k π， k∈ Z 函数，∴ x=﹣+4kπ， k∈Z，∴函数获取最小值时所对应x 的取值会集:为 {x|x ═﹣+4k π， k∈ Z} 应选 A．7、函数 y=sin 2 x﹣ sinx+1 （ x∈ R）的值域是（）A、[ ， 3]B、[1 ，2] C 、[1 ，3] D、 [ ，3]解答：令 sinx=t ，则 y=t 2﹣ t+1= （ t ﹣）2+ ，t ∈ [ ﹣ 1，1] ，由二次函数性质，当t=时，y获取最小值．当 t= ﹣1 时， y 获取最大值 3，∴ y∈ [ ，3] 应选 A．8、函数 y=sin 2 x+2cosx 在区间 [ ﹣，] 上的值域为（）A、[ ﹣， 2]B、[﹣， 2） C 、[ ﹣， ] D、（﹣， ]解答：∵ x∈ [ ﹣，]∴cosx∈ [﹣，1]又∵ y=sin 2 x+2cosx=1 ﹣ cos2 x+2cosx= ﹣（ cosx ﹣1）2 +2则 y∈ [ ﹣，2]应选A。
三角函数题库
1.已知函数f(x)=sin(wx+Ф）（w>0,0≤Ф≤π）是偶函数，其图象关于点M(3π/4，0）对称，且在区间[0，π/2]上是单调函数，求Ф和w 的值。
2。
cos sin (cos sin ),,1sin 1cos 1sin cos x x k x x A B A B x x x x-==-=++++，求k 的值[答案2]3。
tanx=3,求sinx*cosx 的值。
[答案10/3]4。
求出24cos cos cos 999πππ=? [答案1/16]5。
设a ，b ，c 是△ABC 的边，若a ，b ，c 成等比数列，且c=2a ，求cosB 。
[答案3/4]6。
已知 f(sinx)=cos2x,求f(cos15°)的值。
7。
已知f （x ）= √(2)sin(x-90°),x ∈(0°,90°),且sin2x=1／3，求f(x)的值8。
tan(a-b)=0.5,tanb=-1/7，a,b 属于（0，π），求2a-b 的值9。
在△ABC 中，已知AB B == AC 边上的中线BD =，求sinA 的值.10。
在三角形ABC 中 已知tanA=2 tanB=3,则tanC=? ∠C=？ [45度]11。
f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是多少12。
已知△ABC 中,2cosA-1小等于０，则角Ａ的范围是13。
已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，ｘ属于Ｒ，（１）求函数f （x ）的最大直及取得最大直的自变量ｘ的集合（２）函数的单调增区间1４。
方程sinx=lgx 的实数根个数为多少个15。
函数sin 21cos x y x-=+]的值域是____.16。
在△ABC 中,内角A 、B 、C 、对边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且cosB=3/4（1）求cotA+cotC 的值（2）设[向量BA]乘以[向量BC]=3/2,求a+c 的值17。
(完整)三角函数习题及答案
第四章 三角函数§4-1 任意角的三角函数一、选择题：1．使得函数lg(sin cos )y θθ=有意义的角在( ）（Ａ）第一，四象限 （Ｂ）第一，三象限 （Ｃ）第一、二象限 （Ｄ）第二、四象限 ２．角α、β的终边关于У轴对称，（κ∈Ζ)。
则（Ａ）α＋β＝２κπ （Ｂ）α－β＝２κπ（Ｃ）α＋β＝２κπ－π （Ｄ）α－β＝２κπ－π ３．设θ为第三象限的角，则必有（ ）（Ａ）tan cot 22θθ(Ｂ）tan cot 22θθ （Ｃ）sin cos 22θθ（Ｄ）sin cos 22θθ４．若4sin cos 3θθ+=-,则θ只可能是（ ）（Ａ）第一象限角 （Ｂ）第二象限角 （C ）第三象限角 （Ｄ)第四象限角５．若tan sin 0θθ且0sin cos 1θθ+，则θ的终边在（ ）(A)第一象限 (B)第二象限 （C)第三象限 （D ）第四象限 二、填空题：6．已知α是第二象限角且4sin 5α= 则2α是第▁▁▁▁象限角，2α是第▁▁▁象限角.7．已知锐角α终边上一点A 的坐标为（2sina3,-2cos3),则α角弧度数为▁▁▁▁。
8．设1sin ,(,)sin y x x k k Z xπ=+≠∈则Y 的取值范围是▁▁▁▁▁▁▁。
9．已知cosx-sinx<-1,则x 是第▁▁▁象限角。
三、解答题：10．已知角α的终边在直线y =上,求sin α及cot α的值。
11．已知Cos(α+β）+1=0, 求证：sin （2α+β)+sin β=0。
12．已知()()cos ,5n f n n N π+=∈,求ƒ(1）+ƒ（2）+ƒ（3)+……+ƒ（2000）的值. §4-2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、选择题：1．()sin 2cos 22ππ⎛⎫--- ⎪⎝⎭化简结果是（ ）(A)0 （B ）1- (C)2sin 2 ()2sin 2D -2．若1sin cos 5αα+=,且0απ，则tan α的值为（ ） ()43A - ()34B - ()34C ()43D -或34-3. 已知1sin cos 8αα=，且42ππα，则cos sin αα-的值为（ )(A ()34B ()C ()D ±4. 已知4sin 5α=，并且α是第一象限角，则tan α的值是（ ） ()43A - ()34B - ()34C ()43D5.的结果是（ )()0cos100A ()0cos80B ()0sin80C ()0cos10D6. 若cot ,(0)m m α=≠且cos α,则角α所在的象限是（ ）(A ）一、二象限 （B ）二、三象限 （C)一、三象限 （D ）一、四象限 填空题：7．化简()()()21sin 2sin 2cos αππαα+-+--=▁▁▁▁▁▁。
高一三角函数定义域、值域习题及答案
高一三角函数定义域、值域习题及答案
三角函数是数学中重要的概念之一，它在解决各种实际问题中发挥着重要的作用。
本文将介绍高一三角函数的定义域、值域，并提供一些题及答案供参考。
一、正弦函数的定义域和值域
正弦函数是三角函数中常见的一种，表示为sin(x)。
它的定义域是所有实数集合R，即无限制。
而它的值域是闭区间[-1, 1]，即sin(x)的取值范围在-1到1之间。
例题1：求函数y = sin(x)的定义域和值域。
答案：
定义域：D = R
值域：V = [-1, 1]
二、余弦函数的定义域和值域
余弦函数是另一种常见的三角函数，表示为cos(x)。
它的定义域也是所有实数集合R，无限制。
值域同样是闭区间[-1, 1]，即cos(x)的取值范围在-1到1之间。
例题2：求函数y = cos(x)的定义域和值域。
答案：
定义域：D = R
值域：V = [-1, 1]
三、正切函数的定义域和值域
正切函数是三角函数中另一个重要的函数，表示为tan(x)。
它的定义域是除去所有使得tan(x)无定义的点的实数集合。
tan(x)在x = (2n+1)π/2 (n为整数)时无定义，因此其定义域为除去这些点的实数集合。
正切函数的值域是全体实数R。
例题3：求函数y = tan(x)的定义域和值域。
答案：
定义域：D = R - {(2n+1)π/2} (n为整数)
值域：V = R
以上是高一三角函数定义域、值域的基本介绍以及一些习题的答案。
希望对您的学习有所帮助！。
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专题三：三角函数的定义域与值域（习题库）
一、选择题
1、函数f（x）的定义域为[﹣，]，则f（sinx）的定义域为（）
A、[﹣，]
B、[，]
C、[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）
D、[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）
分析：由题意知，求出x的范围并用区间表示，是所求函数的定义域；解答：∵函数f（x）的定义域为为[﹣，]，∴，
解答（k∈Z）
∴所求函数的定义域是[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）故选D．
2、函数的定义域是（）
A、.
B、.
C、
D、.
解答：由题意可得sinx﹣≥0⇒sinx≥又x∈（0，2π）∴函数的定义域是．故选B．
3、函数的定义域为（）
A、B、
C、 D、
解答：由题意得tanx≥0，又tanx 的定义域为（kπ﹣，kπ+），
∴，故选D．
4、函数f（x）=cosx（cosx+sinx），x∈[0，]的值域是（）
A、[1，]
B、
C、
D、
解答：∵f（x）=cosx（cosx+sinx）=cos2x+sinxcosx=
==又∵∴
∴则1≤f（x）≤故选A．
5、函数y=﹣cos2x+sinx﹣的值域为（）
A、[﹣1，1]
B、[﹣，1]
C、[﹣，﹣1]
D、[﹣1，]
解答：函数y=﹣cos2x+sinx﹣=﹣（1﹣2sin2x）+sinx﹣
=sin2x+sinx﹣1=﹣
∵﹣1≤sinx≤1，∴当sinx=﹣时，函数y有最小值为﹣．
sinx=1时，函数y 有最大值为1，故函数y 的值域为[﹣，1]，故选B．
6、函数值域是（）
A、B、 C、D、[﹣1，3]
解答：因为，所以sinx∈[]，2sinx+1∈故选B
7、函数的最大值是（）
A、5
B、6
C、7
D、8
解答：∵=
=∈[﹣7，7] ∴函数的最大值是7
8、若≤x≤，则的取值范围是（）
A、[﹣2，2]
B、
C、
D、
解答：=2（sinx+cosx）=2sin（），
∵≤x≤，∴﹣≤≤，∴≤﹣sin（）≤1，
则函数f（x）的取值范围是：．故选C．
9、若，则函数y=的值域为（）
A、B、 C、D、
解答：函数y===因为，所以sin∈（0，）∈故选D
10、函数，当f（x）取得最小值时，x的取值集合为（）
A、 B、
C、 D、
解答：∵函数，∴当 sin（﹣）=﹣1时函数取到最小值，∴﹣=﹣+2kπ，k∈Z函数，∴x=﹣+4kπ，k∈Z，
∴函数取得最小值时所对应x的取值集合:
为{x|x═﹣+4kπ，k∈Z}故选A．
11、函数y=sin2x﹣sinx+1（x∈R）的值域是（）
A、[，3]
B、[1，2]
C、[1，3]
D、[，3]
解答：令sinx=t，则y=t2﹣t+1=（t﹣）2+，t∈[﹣1，1]，
由二次函数性质，当t=时，y取得最小值．
当t=﹣1时，y取得最大值3，∴y∈[，3] 故选A．
12、已知函数，则f（x）的值域是（）
A、[﹣1，1]
B、
C、
D、
解答：解：由题=，
当x∈[，]时，f（x）∈[﹣1，]；当x∈[﹣，]时，f（x）∈[﹣1，] 可求得其值域为．故选D．
13、函数的值域为（）
A、B、 C、[﹣1，1] D、[﹣2，2]
解答：=﹣sinxcosx+cos2x
=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）
∴函数的值域为[﹣1，1] 故选C．
14、若≥，则sinx的取值范围为（）
A、 B、
C、∪
D、∪
解答：∵≥，∴
解得x∈[，）∪（，] ∴sinx∈故选B
15、函数y=sin2x+2cosx在区间[﹣，]上的值域为（）
A、[﹣，2]
B、[﹣，2）
C、[﹣，]
D、（﹣，]
解答：∵x∈[﹣，] ∴cosx∈[﹣，1]
又∵y=sin2x+2cosx=1﹣cos2x+2cosx=﹣（cosx﹣1）2+2
则y∈[﹣，2] 故选A
二、填空题（共7小题）
16、已知，则m的取值范围是．
解答：∵=2（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），
∴﹣2≤≤2，∴m≥，或m≤﹣，
故m的取值范围是（﹣∝，﹣]∪[，+∞）．
17、函数在上的值域是___________．
解答：因为
，
故故答案为：
18、函数的值域为．
解答：由题意是减函数，﹣1≤sinx≤1，从而有函数的值域为，故答案为
19、（理）对于任意，不等式psin2x+cos4x≥2sin2x恒成立，则实数p的范围为．
解答：∵psin2x+cos4x≥2sin2x ∴psin2x≥2sin2x﹣1﹣sin4x+2sin2x=4sin2x﹣sin4x ﹣1
∴p≥4﹣（sin2x+）而sin2x+≥2
∴4﹣（sin2x+）的最大值为2则p≥2故答案为：[2，+∞）
20、函数的值域是．
解答：令t=sinx+cosx=，t2=1+2sinxcosx
∵∴x+∴从而有:
f（x）==﹣2
在单调递增
当t+1=2即t=1时，此时x=0或x=，函数有最小值
当t+1=1+即t=时此时x=，函数有最大值2﹣2
故答案为：[﹣2]
21、函数的定义域为．
解答：要使函数有意义，必须解得，
故答案为：（0，）．
三、解答题（共8小题）
22.（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，求f（cosx）的定义域；
（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；
分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角。
解析：（1）0≤cosx＜12kπ－≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈Z）。
∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2kπ－，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z}。
（2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）。
又∵－1≤cosx≤1，
∴0＜cosx≤1。
故所求定义域为{x｜x∈（2kπ－，2kπ+），k∈Z}。
23、（2007•重庆）已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）若角a在第一象限，且cosa=3/5，求f（a）
解答：（Ⅰ）由≠0得x+≠kπ，即x≠，
故f（x）的定义域为．
（Ⅱ）由已知条件得．
从而=
==．
24、（2006•上海）求函数的值域和最小正周期．解答：
===
∴函数的值域是[﹣2，2]，
最小正周期是π；
25、设，定义．
（Ⅰ）求函数f（x）的周期；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的值域．
解答：（Ⅰ）=sinxcosx﹣cos2x=﹣=，∴周期T=π．
（Ⅱ）∵，∴，
∴，∴f（x）的值域为．
26、已知函数：
（1）求函数f（x）的周期、值域和单调递增区间；
（2）当时，求函数f（x）的最值．
解答：（1）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+
∴函数的最小正周期T==π，﹣1≤sin（2x+）≤1，故函数的值域为[﹣，]
当2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，即kπ﹣≤x≤kπ+，函数单调增，
故函数的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）
（2）∵∴2x+∈[，]
∴当2x+=时函数的最小值为﹣；当2x+=时函数的最大值为+=1
27、已知函数．
（I）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥m对都成立，求实数m的最大值．
解答：（I）因为=
由得
所以f（x）的单调增区间是；
（Ⅱ）因为，所以所以
所以故m≤1，即m的最大值为1．
28、已知函数
（1）求的值；
（2）写出函数函数在上的单调区间和值域．
解答：=
（1）当时，f（x）=2﹣sinx﹣cosx，故．
（2）当时，|cosx|=﹣cosx，|sinx|=sinx，
故，
当时，
故当是，函数f（x）单调递增，
当时，函数f（x）单调递减；函数的值域是．
29、已知函数
（1）设ω＞0为常数，若y=f（ωx）在区间上是增函数，求w的取值范围
（2）设集合，若A⊆B，求实数m的取值范围．解答：（1）
∵f（ωx）=2sinωx+1在上是增函数．
∴，即
（2）由|f（x）﹣m|＜2得：﹣2＜f（x）﹣m＜2，即f（x）﹣2＜m＜f（x）+2
∵A⊆B，∴当时，f（x）﹣2＜x＜f（x）+2恒成立．
∴[f（x）﹣2]max＜m＜[f（x）+2]min
又时，∴m∈（1，4）
30、已知点A（1，，0），B（0，，1），C（2sinθ，cosθ）．
（Ⅰ）若，求tanθ的值；
（Ⅱ）设O为坐标原点，点C在第一象限，求函数的单调递增区间与值域．
解答：（Ⅰ）∵A（1，0），B（0，1），C（2sinθ，cosθ）
∵∵
∴化简得2sinθ=cosθ．
∵cosθ≠0（若cosθ=0，则sinθ=±1，上式不成立），∴
（Ⅱ）∵，
∴y=2sinθ+2cosθ=
∴求函数的单调递增区间为
值域是。