浅谈分类整合思想方法
分类讨论思想总结
分类讨论思想总结讨论分类思想总结分类思想是一种认知方式，通过将事物和现象按照一定的标准分成不同的类别，从而使得人们可以更加系统和有序地理解和处理复杂的世界。
分类思想贯穿于人类的各个领域和学科，如自然科学、社会科学、哲学等，具有重要的理论价值和实践意义。
分类思想的基本原则是以内涵和外延两个维度来确定类别，内涵是指所类别的核心特征，外延是指符合该特征的各种具体事物和现象。
在分类思想中，内涵和外延具有不可分割的关系，相互作用，对整个分类体系的合理性和有效性起着至关重要的作用。
分类思想的实质就是通过概念的界定来建构概念体系。
在概念的界定中，需要考虑两个方面的问题：一是确定概念的内涵，即概念的核心特征和基本属性；二是确定概念的外延，即该概念所包含的具体事物和现象。
在分类思想的实践中，内涵的确定依靠于抽象和理论的构建，外延的确定则依赖于实证和经验的支持。
分类思想在自然科学领域中有着广泛的运用。
例如，在生物学中，通过对不同生物进行分类，可以形成生物分类体系，帮助科学家们更好地理解和研究生物的进化和发展规律。
在化学中，通过对元素进行分类，形成了元素周期表，帮助科学家们更好地理解和研究化学元素的性质和规律。
在物理学中，通过对物质进行分类，帮助科学家们更好地理解和研究物质的构成和变化规律。
分类思想在社会科学领域中也有着重要的作用。
例如，在经济学中，通过对不同行业、不同市场和不同消费群体进行分类，可以形成经济学的分类体系，帮助经济学家们更好地理解和研究经济现象的规律。
在政治学中，通过对不同政治制度、不同政党和不同政府进行分类，形成了政治学的分类体系，帮助政治学家们更好地理解和研究政治现象的规律。
分类思想在哲学领域中也发挥着重要的作用。
例如，在形而上学中，通过对实在事物的分类，揭示了事物的根本性质和基本规律。
在认识论中，通过对认识对象的分类，揭示了认识的边界和局限性。
在逻辑学中，通过对命题和命题关系的分类，揭示了命题逻辑和谓词逻辑的结构和规则。
高一数学 分类与整合思想方法的常见应用
分类与整合思想方法的常见应用分类是自然科学乃至社会科学研究的基本逻辑方法.在解答数学题时,有时会出现这样情形，由于被研究的问题包含了多种情况，不能以统一的方法、统一的式子进行解决，这就要求在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在每个子区域内把问题解决，这里集中体现的是由大化小,由整体化为部分,由一般化为特殊的解决问题的思想方法.“分”与“合”既是矛盾的对立面，又是矛盾的统一体，有“分”必有“合”.当分类解决问题之后，还必须把它们综合在一起，这种先“分”后“合”的解决问题的过程，就是分类与整合的思想方法.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.分类讨论的基本原则是:不重不漏,科学合理.高考数学将分类与整合思想的考查放在了比较重要的位置，主要以解答题的形式出现.要求考生明确何种问题需要分类,如何分类,分类后如何研究,最后如何整合.考查的主要题型是含有字母参数的数学问题.分类讨论的渊源很多，下面以引发分类讨论的不同渊源进行分类解析.1.由数学概念引起的分类讨论.如绝对值的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角等.例1 函数()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上有最大值()2f ，求实数a 的取值范围.分析：此函数的类型不确定，需要分类讨论. 当0a =时，)(x f 是一次函数且单调递增;当0a ≠时, )(x f 是二次函数,单调性与a 的取值有关,需要继续分类.用配方法或导数求二次函数的最值.解: (1)当0a =时，()43f x x =-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意.(2)当0a ≠时，函数()2224433f x ax x a x a a ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，其对称轴为2x a =-.①当0a >时，()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意;②当0a <时，当22a-≥即10a -≤<时，()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意.综上所述：当1a ≥-时，函数()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上有最大值()2f .点评：在该题的分类讨论中,有两个层次,第一层是确定函数类型,即是一次函数还是二次函数.第二层是二次函数的开口方向,即开口向上还是向下.由于每一类中的a 都符合题意,所以整合时,把每一类型中a 的范围取并集,得到最终答案.变式练习1. 已知等比数列{}n a 中,432,,a a a 分别是某等差数列的第5项，第3项，第2项，且164a =，公比1q ≠；设2log n n b a =，求数列{}||n b 的前n 项和n T .2. 由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响等.例2 设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，求实数a 的值为.分析：对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 恒成立求参数的范围问题，可将参数a 分离出来.在分离a 时,需要对x 等于零, x 为正, x 为负分别进行.分离出a 之后,通过求导研究不等式右边关于x 的函数，判断其单调性并求出其最值.解：若0x =，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立,所以R a ∈；当0x > 即]1,0(∈x 时，()331f x ax x =-+≥0可化为：2331a x x ≥-,设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x-=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而a ≥4；当x ＜0 即)0,1[-∈x 时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -，()()'4312x g x x-=0>,()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此4)1()(max =-=g x g ,从而a ≤4，综上所述得a ＝4.点评:本题是不等式恒成立问题,需要将参数分离出来，转化为研究函数的最值.在分离参数时,需要在不等式的两边同乘以式子3x .根据不等式的运算性质,需要明确所乘式子的符号,所以要对x 是否为零及其符号进行分类讨论.由于是对自变量x 展开讨论,所以在整合时,要把a 的三个范围取交集.变式练习2. 已知函数x x f a log )(=在],2[π上的最大值比最小值大1，则a 等于A ．π2B ．2πC ．π2或2πD ．不同于A 、B 、C 答案3. 由函数的性质及定理、公式的限制引起的分类讨论例3.已知数列}{n a 、 3,2,1,),(,1:}{121=⋅===+n a a b a a a a b n n n n 其中且为常数满足（Ⅰ）若{}n a 是等比数列，试求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅱ）当{}n b 是等比数列时，甲同学说：{}n a 一定是等比数列；乙同学说：{}n a 一定不是等比数列,你认为他们的说法是否正确？为什么？分析: 在（Ⅰ）中，欲求数列{}n b 的前n 项和n S ，需要研究该数列的性质.由21a b b nn =+发现该数列为等比数列,但求和时要注意前n 项和公式的选择即对公比进行讨论. 在（Ⅱ）中，需要由{}n b 的性质进一步研究{}n a 的性质，对其是否为等比数列作出判断.解：（I ）因为{}n a 是等比数列a a a ==21,1, 所以1,0-=≠n n a a a . 又211212112111,a aa a a a a a ab b a a a b a a b n n n n n n n n n n n n n ===⋅⋅==⋅=⋅=-+++++++则 即}{n b 是以a 为首项,2a 为公比的等比数列. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±≠---=-==∴)1(.1)1()1(,)1( ,22a a a a a n a n S n n （II ）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下： 设{}n b 的公比为q ，则022211≠===+++++a q a a a a a a b b nn n n n n n n 且又1253121,,,,,,1-==n a a a a a a a …是以1为首项，q 为公比的等比数列，n a a a a 2642,,,, …是以a 为首项，q 为公比的等比数列， 即{}n a 为： 22,,,,,1aq q aq q a .当2a q =时，{}n a 是等比数列；当2a q ≠时，{}n a 不是等比数列. 注:该问亦可以用举特例的办法进行判断.点评:该题两问的解答中都对公比进行了讨论.第一问中,讨论的渊源是公比不同, 等比数列前n 项和公式形式不同.第二问中讨论的原因是, {}n b 的公比取值不同, {}n a 的性质不同. 变式练习3: 解关于x 的不等)(222R a ax x ax ∈-≥-．4. 由图形的不确定性引起的分类讨论例4 设21,F F 为椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的一点. 已知21,,F F P 是一个直角三角形的三个顶点，且 ||||21PF PF >，求||||21pF PF 的值. 分析:本题考查圆锥曲线的性质.因为21,,F F P 是一直角三角形的三顶点，且||||21PF PF >，则直角顶点有两种可能性：点2F 或点P ，故有两解.解:由已知得6||||21=+PF PF ,2||21=F F .①若12F PF ∠为直角，则2212221||||||F F PF PF +=,解得314||1=PF ,34||2=PF ,所以||||21pF PF =27. ②若21PF F ∠为直角，则|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|22221221||||||PF PF F F +=，得4||1=PF，2||2=PF ，故 2||||21=pF PF . 点评:该题由直角三角形的形状不确定即直角的位置不确定,引发了两方面的讨论,解题时要注意考虑全面.变式练习 4. 设一双曲线的两条渐近线方程为052,02=-+=+-y x y x ，此双曲线的离心率为 .5. 由参数的变化引起的分类讨论.某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.例5 设1-=x 是)()()(22R x e b ax x x f x ∈++=-的一个极值点，求a 与b 的关系式（用a 表示b ）并求)(x f 的单调区间.分析:该题是一个非基本初等函数的单调性问题，考虑用导数解决,所以先对)(x f 求导,再得a 与b 的关系式.求得导函数的零点时,注意两个零点的大小对单调区间的影响.解： x e a b x a x x f --+-+-=22/])2([)(,由0)1(/=-f 得32-=a b∴x e a ax x x f --++=22)32()( ,x x e a x x e a x a x x f ---++-=-+-+-=222/)3)(1(]3)2([)(.令0)(/=x f 得a x x -=-=3,121 .由于1-=x 是)(x f 的极值点，故21x x ≠，即4≠a . ① 当4<a 时，12x x >，故]3,1[a --为)(x f 的单调增区间；),3[]1,(+∞---∞a 和为)(x f 的单调减区间.② 当4>a 时，12x x <，故]1,3[--a 为)(x f 的单调增区间；),1[]3,(+∞---∞和a为)(x f 的单调减区间.点评:在综合问题中对参数分类讨论的考查,是分类讨论思想考查的重要形式之一.对参数的分类,要注意遵循分类讨论的基本原则:科学合理,不重不漏.变式练习5. 已知椭圆1522=+m y x 的离心率 510=e ， 则m 的值为 A ．3 B ．253或3 C ．5 D ．3155或15 6. 其它需要进行分类讨论的问题.譬如排列组合问题、实际应用问题等例6 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外 三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工、钳工各3人，问有 种选派方案？解析:如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有36C 种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选.同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题.因此需对全能工人被选的人数进行分类：（1）选出的6人中不含全能工人,共有3433C C 种不同选法；（2）选出的6人中含有一名全能工人共有351323C C C 种不同选法；（3）选出的6人中含2名全能工人共有362313C C C 种不同选法；（4）选出的6人中含有3名全能工人共有3733C C 种不同选法.所以共有3433C C +351323C C C +362313C C C +3733C C =306种选派方案.点评:分类讨论是解决排列组合问题中最常用的思想方法之一.在进行分类时,要注意选择最恰当的标准,使得所分的类尽量少.一般选择数量较少的那一种元素进行分类.变式练习6. 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共 有 种．变式练习答案及解析:1. 解:依题意得()032,32344342=+--+=a a a a a a a 即,211,0132,032212131===+-∴=+-∴q q q q q a q a q a 或解得 又1111,,6422n n q q a -⎛⎫≠∴==⨯ ⎪⎝⎭故()()17227,71log 64log 27||27,7n n n n n n b n b n n --⎡⎤⎧-≤⎪⎛⎫=⨯==-∴=⎢⎥⎨ ⎪->⎝⎭⎪⎢⎥⎩⎣⎦ ()()()()()()18767137,||6,22177677,||1,2122n n n n n n n b T n n n n n b T T +--∴≤===+---->==+=+当时当时 ()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--≤-=∴7,212767,213n n n n n n T n . 2. C. 解析：研究函数的最值需考察函数的单调性，而题中对数函数的增减性与底数a 的取值有关，故应对a 进行分类讨论.⑴当1>a 时， )(x f 在[2，π]上是增函数，最大值是)(πf ，最小值是)2(f ，据题意， 1)2()(=-f f π，即12log log =-a a π，∴2π=a ⑵当10<<a时，)(x f 在[2，π]上是减函数，最大值是)2(f ，最小值是)(πf ，故1)()2(=-πf f ，即1log 2log =-πa a ，∴π2=a . 由⑴⑵知，答案为C.3. 解:原不等式可化为⇔ 02)2(2≥--+x a ax ,(1)0=a 时，x ≤－1，即x ∈(－∞,－1].(2)0≠a 时，不等式即为0)1)(2(≥+-x ax ,①0>a 时， 不等式化为0)1)(2(≥+-x ax ， 当⎪⎩⎪⎨⎧->>120a a ，即0>a 时，不等式解为),2[]1,(+∞--∞a ． 当⎪⎩⎪⎨⎧-≤>120aa ，此时a 不存在． ②0<a 时，不等式化为0)1)(2(≤+-x a x ， 当⎪⎩⎪⎨⎧-<<120aa ，即02<<-a 时，不等式解为]1,2[-a . 当⎪⎩⎪⎨⎧-><120a a ，即a <－2时，不等式解为]2,1[a -．当⎪⎩⎪⎨⎧-=<120aa ，即a ＝－2时，不等式解为x ＝－1．综上:当 a ＝0时，x ∈(－∞,－1)； a >0时，x ∈),2[]1,(+∞--∞a ；当－2<a <0时,x ∈]1,2[-a ；当a <－2时，x ∈]2,1[a-； a ＝－2时，x ∈{x |x ＝－1}． 4. 255或．解析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解．（1）当双曲线的焦点在直线3=y 时，双曲线的方程可改为1)3()1(222=---by a x ，一条渐近线的斜率为2=a b ， ∴2=b ．∴ 555222==+==a a a b a c e ． （2）当双曲线的焦点在直线1=x 时，与（1）同理得双曲线的一条渐近线的斜率为2=b a ，此时25=e ． 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于255或． 5.B. 解析：题设不能确定5与m 中哪个较大,故应将5与m 的大小分类讨论.据题意5,0≠>m m ,⑴当5>m 时，5,5,22222-=-=∴==m b a c b m a ，m m a c 522-=∴ 又510=e ,325=m . ⑵当50<<m 时，m b a c m b a -=-=∴==5,,522222m m ac -=∴522,3=m . 由⑴⑵知 325=m 或3=m .故选Ｂ. 6. 12. 解析:分类讨论：（1）先考虑作物A 种植在第一垄时，作物B 有3种种植方法；（2）再考虑作物A 种植在第二垄时，作物B 有2种种植方法；（3）又当作物A 种植在第三垄时，作物B 有1种种植方法.而作物B 种植的情况与作物A 相同，故满足条件的不同选垄方法共有（3+2+1）×2＝12种．。
如何培养分类思想
分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。
分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。
培养学生的分类整合思想方法1、结合具体情境，运用摘录、表格、画图等策略引导学生在理解的基础上构建数学模型。
在教学中结合具体情境，放手让学生用自己喜欢的方法对情景中的信息加以梳理，将抽象难懂的文本信息转化为形象易懂的图画、图表等信息。
帮助学生直观地理清信息之间的关系，并对各种解题策略进行分析与比较，突出了画线段图整理信息的优越性。
2、借助生活事例导入新课，运用模拟表演策略帮助学生理解“数学问题”。
在初步理解相遇问题基本特征的基础上，添加相应的数学信息，提炼生成完整的数学问题，帮助学生把“生活问题”转化为“数学问题”。
这是一种极具亲历性的学习方式，需要学生进入到情境中，亲自参与其中的合作活动，并在参与合作活动中获得体验。
3、在解决问题的过程中，让学生通过自主整理——组内交流——展示汇报——分析比较——提炼升华等一系列活动，获得解决问题的策略。
积累解决问题的经验，增强学生的数学应用意识及运用知识方法解决简单实际问题的能力。
通过知识、技能和方法的迁移,突破了固定的思维框架,形成了自己的认知结构，并充分体现了知识与能力素质的培养过程。
教学应用教学中可从以下这些方面，让学生在学习数学的过程中，通过类比、观察、分析、综合、讨论和概括，形成对分类思想的主动应用。
一、逐步逐年级渗透分类思想，养成分类的意识。
每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。
可表示任意数后，让学生对数a 进行分类，得出正数、零、负数三类。
讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类：通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。
分类与整合思想例析
分类与整合思想例析1.分类与整合的思想的含义分类与整合的思想,就是当问题所给的对象因一些不确定的因素而不能进行统一研究时 (如不能用同一种标准,或同一种运算,或同一个类型,或同一个定理,或同一种方法去解决等),就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略. 分类讨论既是一种重要的数学方法，也是一种重要的数学思想．由于有关分类讨论的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，并能训练人的思维的条理性与概括性，因而在高考试题中往往占有较大的比重对问题实行分类与整合,确定分类标准后等于增加了一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度.2.运用分类与整合思想解题的基本步骤：确定标准→合理分类→逐类讨论→归纳总结。
(1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；(4)归纳总结：将各类情况总结归纳3.明确引起分类讨论的原因，有利于掌握分类整合的思想方法解决问题.分类讨论的主要原因有：(1)由数学概念引起的分类讨论：有些数学概念本身就是以分类形式定义的，如直线与平面所成的角、三角函数值所在象限的符号、绝对值等．有些数学概念本身也有一定的限制，如直线的斜率 ，二次曲线中又包括椭圆、双曲线及抛物线，如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的斜率与倾斜角、两条直线所成的角，指数函数,对数函数,空集，直线的截距式等.(2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响，三角函数的定义域，一元二次方程解的情况是按“∆”的正负给出的等；(3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有的数学性质、定理、公式是分类给出的,在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否分类讨论。
分类与整合的思想
分类与整合的思想【知识归纳】所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略. 有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置． 分类讨论是一种重要的数学思想方法，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种： (1)由数学概念引起的分类讨论，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等． (3)由数学运算引起的分类讨论，如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数运算中真数和底数的要求等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论，如角的终边所在象限、点、线、面的位置关系等． (5)由参数的变化引起的分类讨论，如含参数的方程不等式等．⑹较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的．2．分类方法：（1）概念和性质是分类的依据（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口（4）二分发是分类讨论的利器（4）层次分明是分类讨论的基本要求；3．简化和避免分类讨论的优化策略：（1）直接回避．如运用反证法、求补法、消参法等方法有时可以避开烦琐讨论；（2）变更主元．如分离参数、变参置换，构造以讨论对象为变量的函数得便感形式解题时可避开讨论；（3）合理运算．如利用函数奇偶性、变量的对称轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；（4）数形结合．利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论．【基础演练】1. 已知集合A ＝{1.3.}，B ＝{1，m} ，A B ＝A ，则m= ．解析：因为A B A = ,所以A B ⊆,所以3=m 或m m =.若3=m ，则}3,1{},3,3,1{==B A ,满足A B A = .若m m =，解得0=m 或1=m .若0=m ，则}0,3,1{},0,3,1{==B A ，满足A B A = .若1=m ，}1,1{},1,3,1{==B A 显然不成立，综上0=m 或3=m ．2. 已知圆x 2＋y 2＝4，则经过点P (2,4)，且与圆相切的直线方程为 ．解析：由22＋42>4得点P 在圆x 2＋y 2＝4外，由几何性质分析知过点P 且与圆相切的直线有两条，设直线斜率为k ，则切线方程为y －4＝k (x －2)，由圆心到切线的距离为2，解得k ＝34.由此可知斜率不存在时也满足题意，解得切线方程为3x －4y ＋10＝0或x ＝2.3.已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：①当1－a ＜1，即a ＞0时，此时a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，计算得a ＝－32(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，此时a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34，符合题意．综上所述，a ＝－34.4. 若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值是________．解析：当m >5时，105＝m －5m，解得m ＝253； 当m <5时，105＝5－m 5，解得m ＝3.答案：3或253 5. 一个均匀的正四面体上分别有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c . 若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，则方程为“漂亮方程”的概率是 ▲ ．①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0，即b ＋c ＝1，不成立．②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2.③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9.所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4.综合①②③④知，(b ，c )的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，所以，“漂亮方程”共有3个，方程为“漂亮方程”的概率为P ＝316. 6. 已知平面单位向量a ，b ，c 夹角两两相等，则|a ＋b ＋c |＝________.解析：由题意知夹角为2π3或0.当夹角为2π3时，a ＋b ＝－c ，|a ＋b ＋c |＝0；当夹角为0时，|a ＋b ＋c |＝3|a |＝3. 答案：0或3【考点例析】例题1（南京市、盐城市2013届高三期末）对于定义在区间D 上的函数()f x , 若任给0x D ∈, 均有0()f x D ∈, 则称函数()f x 在区间D 上封闭.（1）试判断()1f x x =-在区间[2,1]-上是否封闭, 并说明理由； （2）若函数3()1x ag x x +=+在区间[3,10]上封闭, 求实数a 的取值范围； （3）若函数3()3h x x x =-在区间[,](,)a b a b Z ∈上封闭, 求,a b 的值.解: (1)()1f x x =-在区间[2,1]-上单调递增,所以()f x 的值域为[-3,0]………2分 而[-1,0][2,1]⊄-,所以()f x 在区间[2,1]-上不是封闭的……………… 4分(2)因为,①当3a =时,函数()g x 的值域为{}3[3,10]⊆,适合题意……………5分 ②当3a >时,函数()g x 在区间[3,10]上单调递减,故它的值域为309[,]114a a++, 由309[,]114a a ++[3,10]⊆,得303119104aa +⎧≥⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩,解得,故331a <≤……………………7分③当3a <时,在区间[3,10]上有33()3311x a a g x x x +-==+<++,显然不合题意 …………………8分 综上所述, 实数a 的取值范围是331a ≤≤……………………………9分(3)因为3()3h x x x =-,所以2()333(1)(1)h x x x x '=-=+-,所以()h x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,1)-上递减，在(1,)+∞上递增．①当1a b <≤-时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以,此时无解………10分②当111a b ≤--<≤且时,因max ()(1)2h x h b =-=>,矛盾,不合题意…………11分③当11a b ≤->且时,因为(1)2,(1)2h h -==-都在函数的值域内,故22a b ≤-⎧⎨≥⎩, 又33()3()3a h a a a b h b b b⎧≤=-⎨≥=-⎩,解得202202a a b b -≤≤≥⎧⎨≤≤≤⎩或或,从而22a b =-⎧⎨=⎩ ………12分 ④当11a b -≤<≤时,()h x 在区间[,]a b 上递减,()()h b ah a b ≥⎧⎨≤⎩(*),而,a b Z ∈,经检验,均不合(*)式……………………………13分⑤当111a b -<≤≥且时,因min ()(1)2h x h a ==-<,矛盾,不合题意…………14分⑥当1b a >≥时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a ah b b ≥⎧⎨≤⎩,此时无解 ……………15分综上所述,所求整数,a b 的值为2,2a b =-=…………………16分变式题：设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意的x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )＝1≥0显然成立；当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4； 当x <0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，g ′(x )＝3(1－2x )x 4>0，g (x )在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4.综上a ＝4.例题2 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }是首项为1，公比为b 的等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；331 a≤≤ 33 ()3 11xaa gx xx +-==+++ () () haa hbb ≥ ⎧ ⎨≤ ⎩(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－(n －1)2－1＝2n －1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.(2)当b ＝1时，a n b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.此时T n ＝2＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2＋1；当b ≠1时，a n b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，(2n －1)b n －1，n ≥2. 此时T n ＝2＋3b ＋5b 2＋…＋(2n －1)b n －1， ①两端同时乘以b 得，bT n ＝2b ＋3b 2＋5b 3＋…＋(2n －1)b n . ②①－②得，(1－b )T n ＝2＋b ＋2b 2＋2b 3＋…＋2b n －1－(2n －1)b n＝2(1＋b ＋b 2＋b 3＋…＋b n －1)－(2n －1)b n－b ＝2(1－b n )1－b－(2n －1)b n －b ，所以T n ＝2(1－b n )(1－b )2－(2n －1)b n 1－b －b1－b. 所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋1，b ＝1，2(1－b n )(1－b )2－(2n －1)b n 1－b －b1－b ，b ≠1.变式题：三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后，变成一个等比数列，则此等比数列的公比是________．解析：设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d (d ≠0)，由于d ≠0，所以a －d ，a ，a ＋d 或a ＋d ，a ，a －d 不可能成等比数列；若a －d ，a ＋d ，a 或a ，a ＋d ，a －d 成等比数列，则(a ＋d )2＝a (a －d )，即d ＝－3a ，此时q ＝a a －3a ＝－12或q ＝a －3a a ＝－2；若a ，a －d ，a ＋d 或a ＋d ，a －d ，a 成等比数列，则(a －d )2＝a (a＋d )，即d ＝3a ，此时q ＝a －3a a ＝－2或q ＝a －3a a ＋3a＝－12.故q ＝－2或－12.例题3 已知函数f (x )＝12ax 2－2x sin 2α和函数g (x )＝ln x ，记F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)当α＝π3时，若f (x )在[1,2]上的最大值是f (2)，求实数a 的取值范围；(2)当a ＝1时，判断F (x )在其定义域内是否有极值，并予以证明；(3)对任意的α∈⎝⎛⎭⎫π6，23π，若F (x )在其定义域内既有极大值又有极小值，试求实数a 的取值范围． 解：(1)α＝π3时，f (x )＝12ax 2－32x .①当a ＝0时，f (x )＝－32x ，不合题意；②当a <0时，f (x )＝12ax 2－32x 在⎝⎛⎦⎤－∞，32a 上递增，在⎣⎡⎭⎫32a ，＋∞上递减，而[1,2]⊆⎣⎡⎭⎫32a ，＋∞，故不合题意；③当a >0时，f (x )＝12ax 2－32x 在⎝⎛⎦⎤－∞，32a 上递减，在⎣⎡⎭⎫32a ，＋∞上递增，f (x )在[1,2]上的最大值是max{f (1)，f (2)}＝f (2)，所以f (1)≤f (2)，即12a －32≤2a －3，所以a ≥1.综上所述，实数a 的取值范围是[1，＋∞)．(2)a ＝1时，F (x )＝12x 2－2x sin 2α＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，F ′(x )＝x ＋1x－2sin 2α≥2－2sin 2α＝2cos 2 α≥0.①当cos α≠0时，F ′(x )>0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增，从而F (x )在其定义域内没有极值； ②当cos α＝0时，F ′(x )＝x ＋1x －2＝(x －1)2x ，令F ′(x )＝0，有x ＝1，但是x ∈(0,1)时，F ′(x )>0，F (x )单调递增，x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )>0，F (x )也单调递增，所以F (x )在其定义域内也没有极值．综上，F (x )在其定义域内没有极值．(3)据题意可知，令F ′(x )＝ax ＋1x－2sin 2α＝0，即方程ax 2－2x sin 2α＋1＝0在(0，＋∞)上恒有两个不相等的实数根．即⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4sin 4α－4a >0，a >0恒成立，因为α∈⎣⎡⎭⎫π6，23π，sin α∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以0<a <116. 所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，116 变式题：已知F (x )＝F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，若|F (x )|在[0,1]上单调递增，则实数m 的取值范围是 ▲ ．[解] 由题设得F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，对称轴方程为x ＝m 2，Δ＝m 2－4()1－m 2＝5m 2－4.由于|F (x )|在[0,1]上单调递增，则有①当Δ≤0即－255≤m ≤255时，有⎩⎨⎧m2≤0，－255≤m ≤255，解得－255≤m ≤0.②当Δ>0即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)，(ⅰ)若m >255，则m 2>55，有⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1，x 1<0⇔F (0)＝1－m 2<0.解得m ≥2；(ⅱ)若m <－255，即m 2<－55，有x 1<0，x 2≤0；∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2<0⇒m <0，x 1x 2≥0⇒1－m 2≥0⇒－1≤m ≤1，m <－255，解得－1≤m <－255.由(ⅰ)(ⅱ)得－1≤m ＜－255或m ≥2.综合①②有－1≤m ≤0或m ≥2.例题4已知动直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆其中O 为坐标原点.（Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值； （I ）解：（1）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以2121,.x x y y ==-因为11(,)P x y 在椭圆上，因此2211132x y +=①又因为OPQ S ∆=所以11||||x y ⋅=②由①、②得11||| 1.x y ==此时222212123,2,x x y y +=+= （2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+由题意知m 0≠，将其代入22132x y +=，得222(23)63(2)0k x kmx m +++-=，其中22223612(23)(2)0,k m k m ∆=-+->即2232k m +>…………（*）又212122263(2),,2323km m x x x x k k-+=-=++所以||PQ ==因为点O 到直线l 的距离为d = 所以1||2OPQ S PQ d ∆=⋅==又OPQ S ∆=整理得22322,k m +=且符合（*）式，此时222221212122263(2)()2()23,2323km m x x x x x x k k-+=+-=--⨯=++ 222222121212222(3)(3)4() 2.333y y x x x x +=-+-=-+=综上所述，222212123;2,x x y y +=+=结论成立．（II ）解法一：（1）当直线l 的斜率不存在时，由（I ）知11|||||2||2,OM x PQ y ====因此||||22OM PQ ⋅== （2）当直线l 的斜率存在时，由（I ）知123,22x x km+= 22212122222212122222222222222332(),2222916211||()()(3),2244224(32)2(21)1||(1)2(2),(23)y y x x k k m k m m m m mx x y y k m OM m m m m k m m PQ k k m m ++-+1=+=-+==++-=+=+==-+-+=+==++所以2222111||||(3)2(2)2OM PQ m m ⋅=⨯-⨯⨯+2222211(3)(2)113225().24m mm m =-+-++≤= 所以5||||2OM PQ ⋅≤，当且仅当221132,m m m-=+=即. 综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为5.2解法二：因为222222121221214||||()()()()OM PQ x x y y x x y y +=++++-+-222212122[()()]10.x x y y =+++=所以224||||102|||| 5.25OM PQ OM PQ +⋅≤==即5||||,2OM PQ⋅≤当且仅当2||||OM PQ == |OM|·|PQ|的最大值为5.2点评：处理直线与圆锥曲线的位置关系时，待定直线方程需要考虑斜率不存在这种情况，需分类讨论．【方法技巧】分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种重要的解题策略，它可以将整体化为局部，将复杂问题化为单一问题，以便于“各个击破”．但由于分类讨论一般过程较为冗长，叙述较为烦琐，且极易在完备上造成失误，因此它并非一定是解决问题的上策或良策，我们提倡在熟悉和掌握分类思想的同时，要注意克服思维定势，处理好“分”与“合”，“局部”与“整体”之间的辨证统一关系，充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性，尽可能地简化或避免分类讨论．简化分类讨论的常用策略通常有：消去参数、整体换元、反客为主、补集分析、整体变形、借助图解．【专题训练】一、填空题1. 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4< 0对于x ∈R 恒成立，那么a 的取值范围是____________．(－2,2]2. 在△ABC 中，已知A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则S △ABC ＝__________.323或16 33. 设一双曲线的两条渐近线方程为2x －y ＝0,2x ＋y ＝0，则双曲线的离心率是________．5或524. 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为____________．43或8335. 设常数a >0，椭圆x 2－a 2＋a 2y 2＝0的长轴长是短轴长的2倍，则a ＝________.12或26. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为__________．32或67. 若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是__________．⎣⎡⎦⎤0，14 8. 若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值范围为__________．a >0且b ≤0 9. 设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________．由题意可设：|PF 1|＝4m ，|F 1F 2|＝3m ，|PF 2|＝2m ，当圆锥曲线是椭圆时，长轴长为2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4m ＋2m ＝6m ，焦距为2c ＝|F 1F 2|＝3m ， 所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝3m 6m ＝12；当圆锥曲线是双曲线时，实轴长为2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝4m －2m ＝2m ，焦距为2c ＝|F 1F 2|＝3m ，所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝3m 2m ＝32.10. 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，对于任意的x ∈[－2,2]总有f (x )≥0成立，则a 的取值范围是 ．[解] 法一：设f (x )的最小值为g (a )，则只需要g (a )≥0.(1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73，又a >4，故不存在；(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝3－a －a 24≥0，得－6≤a ≤2，又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；(3)当－a2>2，即a <－4，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a <－4，故－7≤a <－4. 综上所述a 的取值范围为[－7,2]．法二：原题可等价转化为x 2＋3≥(1－x )a 对于任意的x ∈[－2,2]恒成立． (1)若1－x ＝0即x ＝1时，显然成立，此时a ∈R .(2)若1－x >0即－2≤x <1，不等式a ≤x 2＋31－x 恒成立，设g (x )＝x 2＋31－x ，利用求导的方法得到g (x )min ＝2，得到a ≤2，(3)若1－x <0即1<x ≤2，不等式a ≥x 2＋31－x 恒成立，设g (x )＝x 2＋31－x ，利用求导的方法得到g (x )max ＝－7，得到a ≥－7.综上所述a 的取值范围为[－7,2]． 二、解答题11. 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1(a ∈R )，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)若x ∈[－2，－1]，不等式f (x )≤f ′(x )恒成立，求a 的取值范围；(2)解关于x 的方程f (x )＝|f ′(x )|；(3)设函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )，f (x )≥f ′(x )f (x )，f (x )<f ′(x )，求g (x )在x ∈[2,4]时的最小值．解：(1)因为f (x )≤f ′(x )，所以x 2－2x ＋1≤2a (1－x )．又因为－2≤x ≤－1，所以a ≥x 2－2x ＋12(1－x )在x ∈[－2，－1]时恒成立．因为x 2－2x ＋12(1－x )＝1－x 2≤32，所以a ≥32.(2)因为f (x )＝|f ′(x )|，所以x 2＋2ax ＋1＝2|x ＋a |，所以(x ＋a )2－2|x ＋a |＋1－a 2＝0， 则|x ＋a |＝1＋a 或|x ＋a |＝1－a .①当a <－1时，|x ＋a |＝1－a ，所以x ＝－1或x ＝1－2a ； ②当－1≤a ≤1时，|x ＋a |＝1－a 或|x ＋a |＝1＋a ， 所以x ＝±1或x ＝1－2a 或x ＝－(1＋2a )；③当a >1时，|x ＋a |＝1＋a ，所以x ＝1或x ＝－(1＋2a )．(3)因为f (x )－f ′(x )＝(x －1)[x －(1－2a )]，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )，f (x )≥f ′(x )，f (x )，f (x )<f ′(x ).①若a ≥－12，则x ∈[2,4]时，f (x )≥f ′(x )，所以g (x )＝f ′(x )＝2x ＋2a .从而g (x )的最小值为g (2)＝2a ＋4；②若a <－32，则x ∈[2,4]时，f (x )<f ′(x )，所以g (x )＝f (x )＝x 2＋2ax ＋1，当－2≤a <－32时，g (x )的最小值为g (2)＝4a ＋5；当－4<a <－2时，g (x )的最小值为g (－a )＝1－a 2； 当a ≤－4时，g (x )的最小值为g (4)＝8a ＋17.③若－32≤a <－12，则x ∈[2,4]时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋1，x ∈[2，1－2a )，2x ＋2a ，x ∈[1－2a ，4]，当x ∈[2,1－2a )时，g (x )最小值为g (2)＝4a ＋5； 当x ∈[1－2a,4]时，g (x )最小值为g (1－2a )＝2－2a .因为－32≤a <－12，(4a ＋5)－(2－2a )＝6a ＋3<0，所以g (x )最小值为4a ＋5.综上所述，[g (x )]min＝⎩⎪⎨⎪⎧8a ＋17，a ≤－4，1－a 2，－4<a <－2，4a ＋5，－2≤a <－12，2a ＋4，a ≥－12.12. 已知函数f (x )＝2a sin 2x －2 3a sin x cos x ＋a ＋b (a ≠0)的定义域是⎣⎡⎦⎤0，π2，值域是[－5,1]，求常数a ，b 的值．解 f (x )＝2a ·12(1－cos 2x )－ 3a sin 2x ＋a ＋b＝－2a ⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x ＋2a ＋b ＝－2a sin ⎝⎛⎫2x ＋π6＋2a ＋b ， 又∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤76π，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1. 因此，由f (x )的值域为[－5,1]可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－2a ×(－12)＋2a ＋b ＝1，－2a ×1＋2a ＋b ＝－5，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2a ×1＋2a ＋b ＝1，－2a ×(－12)＋2a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1.13. 已知椭圆C 的离心率e ＝22，一条准线方程为x ＝4，P 为准线上一动点，直线PF 1、PF 2分别与以原点为圆心、椭圆的焦距F 1F 2为直径的圆O 交于点M 、N . (1)求椭圆的标准方程；(2)探究是否存在一定点恒在直线MN 上？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意得c a ＝22，a 2c ＝4，解得c ＝2，a ＝22，则b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)由(1)易知F 1F 2＝4，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.设P (4，t )，则直线PF 1方程为y ＝t6(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝t 6(x ＋2)，得(t 2＋36)x 2＋4t 2x ＋4(t 2－36)＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝－2(t 2－36)t 2＋36，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2(t 2－36)t 2＋36，24t t 2＋36，同理可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2(t 2－4)t 2＋4，－8t t 2＋4.①若MN ⊥x 轴，则－2(t 2－36)t 2＋36＝2(t 2－4)t 2＋4，解得t 2＝12，此时点M ，N 的横坐标都为1，故直线MN 过定点(1,0)；②若MN 与x 轴不垂直，即t 2≠12，此时k MN ＝－8t t 2＋4－24tt 2＋362(t 2－4)t 2＋4＋2(t 2－36)t 2＋36＝－8tt 2－12， 所以直线MN 的方程为y －－8t t 2＋4＝－8t t 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2(t 2－4)t 2＋4，即y ＝－8tt 2－12(x －1)，所以直线MN 过定点(1,0)．综上，直线MN 过定点(1,0)．14. 已知函数f (x )＝|ax 2－2x ＋1|,0≤x ≤4.(1)a <0时，求f (x )≥12的解集；(2)求f (x )的最大值．解：(1)a <0时，f (x )草图如下，由f (0)＝1，f (4)＝7－16a >1， 可令⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－2x ＋1＝12，x >0，解得x 1＝2－4－2a2a.又令⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－2x ＋1＝－12，x >0，解得x 2＝2－4－6a2a，由图可知f (x )≥12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2－4－2a 2a ∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－4－6a 2a ，4. (2)a <0时，f (x )＝|ax 2－2x ＋1|，记g (x )＝ax 2－2x ＋1,0≤x ≤4， g (x )图象对称轴x ＝1a ，1a <0，∴g (x )在[0,4]上单调递减．∴f (x )max ＝max{f (0)，f (4)}＝max{1，|16a －7|}＝7－16a ； a ＝0时，f (x )＝|－2x ＋1|，f (x )max ＝7； a >0时，如果0＜1a ≤4，即a ≥14时，f (x )max ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (0)，f ⎝⎛⎭⎫1a ，f (4)＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，⎪⎪⎪⎪1a －1，|16a －7|， ①14≤a ≤716，即167≤1a≤4时， f (x )max ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，1a －1，7－16a ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a －1，7－16a ，由于⎝⎛⎭⎫1a －1－(7－16a )＝1a ＋16a －8≥0， ∴f (x )max ＝1a －1.②716＜a ≤1时，f (x )max ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，1a －1，16a －7， 12＜a ≤1时，⎝⎛⎭⎫1a －1－1＝1a －2＝1－2a a<0， (16a －7)－1＝16a －8＝8(2a －1)>0，∴f (x )max ＝16a －7. 716＜a ≤12时，⎝⎛⎭⎫1a －1－1＝1a －2＝1－2a a ≥0， (16a －7)－1＝16a －8＝8(2a －1)≤0，∴f (x )max ＝1a －1.③a >1时，f (x )max ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，1－1a ，16a －7＝16a －7，又0＜a ＜14时，1a>4，f (x )max ＝{f (0)，f (4)}＝{1，|16a －7|}＝7－16a .综上所述f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧7－16a ，a ≤14，1a －1，14＜a ≤12，16a －7，a >12.。
11,分类整合的思想方法
分类整合的思想方法
3.分类讨论要注意的几点：
(1) 根据问题实际，做到分类不重复、不遗漏; (2) 熟练地掌握基本知识、基本方法和基本技巧，并做 到融会贯通，是解好分类讨论问题的前提条件; (3) 不断地总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性
和盲目性;
(4) 要注意简化或避免分类讨论，优化解题过程.
直线的倾斜角、两条直线所成的角等等.
(2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中 除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要 求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向 的影响等等；
分类整合的思想方法
(3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； (4)由图形的不确定性引起的分类讨论； (5)由参数的变化引起的分类讨论，某些含参数的问题，由 于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同 的参数值要运用不同的求解或证明方法；
(6)其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、
组合问题，应用问题等.
分类整合的思想方法
1.（2007·山东微山二中）如果函数f(x)=ax(ax－3a2－1)(a>0且a≠1)
在区间［0,+∞)上是增函数，那么实数a的取值范围是（
A.( 0, 2 ］
2 3 ［解析］ 令ax=t因为f(x)在x∈［0,+∞)上单调递增
有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相 邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A．96 B．84 C．60 D．48
A D B C
[ 解析]
2 2 3 2 4 对所需颜色的种类分情况讨论: C4 A2；C4 A3 2；A4 种.
然后相加得到. 点评：对于排列组合的实际运用考查注意：先分类后分步这是做排列组合试题的 一般思路. 分类讨论的准确性;以及分步完成中的重复性。
分类与整合的思想——数学思想方法系列讲座(4)
，
顺应核心 素养发展
从文 化基础
，
、
自
主 发 展 、 社 会 参 与 三 方 面 造 就 全 “ 面 发 展 的
人” 。
二 是采 取鼓 励 、 表 扬 和 赞美 为 主 的 交 互
方 式 努 力 培 养 人 的 积 极 心 态 、 进 取精 神 以 及 ，
博雅 情怀 。 三 是 发挥 教 师的 榜样 力 量 ， 增 强 教
其 次 “ 颂歌教 学 法 ” 在实 践上 具有 突 出 的 ，
操作 性 特征 。 它 迎 合 当 下 人才 培 养 ห้องสมุดไป่ตู้ 价值 追
求 ， 遵 循有 效 实施 的 基本 原 则 ， 同 时 也 需要 处 理好教育 过 程 中 的几 对 关 系 。
明
确
三点价值追求
：
是 一
立
足学生
的
独 立
担当 能力
时 眼 中 只 有 个 体 ， 而 无全 牛 （ 目 无 全牛 ） 。 这 个 故 事 告
诉我 们 ：
当我们掌握事物
的规 律后
，
办起事 来就 会得心
应 手 ， 运 用 自 如 。 “ 目 无 全牛 ” 对 数 学 学 习 的 启 示 是 当 我 们 对 一 个
，
问 题 的 整 体无法 下 手 时 ， 可 以 通 过 研究 问 题 的组 成结
师 的 教学 能 力 真 正 实现高 品 质 的 公 民教 育 。 ，
坚 持 四 个 基 本 原 则 ： 一 是 专 注 性 ， 即 要 求
主体 对课堂 的热 情 参 与 和 高 度专 注 ， 让教师 和
学生 沉浸其中 。
二 是 诱导 性 即 要 求 发 挥教 师 ，
分类与整合
分类与整合思想方法的常见应用分类是自然科学乃至社会科学研究的基本逻辑方法.在解答数学题时,有时会出现这样情形，由于被研究的问题包含了多种情况，不能以统一的方法、统一的式子进行解决，这就要求在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在每个子区域内把问题解决，这里集中体现的是由大化小,由整体化为部分,由一般化为特殊的解决问题的思想方法.“分”与“合”既是矛盾的对立面，又是矛盾的统一体，有“分”必有“合”.当分类解决问题之后，还必须把它们综合在一起，这种先“分”后“合”的解决问题的过程，就是分类与整合的思想方法.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.分类讨论的基本原则是:不重不漏,科学合理.高考数学将分类与整合思想的考查放在了比较重要的位置，主要以解答题的形式出现.要求考生明确何种问题需要分类,如何分类,分类后如何研究,最后如何整合.考查的主要题型是含有字母参数的数学问题.分类讨论的渊源很多，下面以引发分类讨论的不同渊源进行分类解析.1.由数学概念引起的分类讨论.如绝对值的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角等.例1 函数()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上有最大值()2f ，求实数a 的取值范围. 分析：此函数的类型不确定，需要分类讨论. 当0a =时，)(x f 是一次函数且单调递增;当0a ≠时, )(x f 是二次函数,单调性与a 的取值有关,需要继续分类.用配方法或导数求二次函数的最值.解: (1)当0a =时，()43f x x =-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意.(2)当0a ≠时，函数()2224433f x ax x a x a a ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，其对称轴为2x a =-.①当0a >时，()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意;②当0a <时，当22a-≥即10a -≤<时，()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上为单调增函数，最大值为()2f ，满足题意.综上所述：当1a ≥-时，函数()243f x ax x =+-在[]0,2x ∈上有最大值()2f .点评：在该题的分类讨论中,有两个层次,第一层是确定函数类型,即是一次函数还是二次函数.第二层是二次函数的开口方向,即开口向上还是向下.由于每一类中的a 都符合题意,所以整合时,把每一类型中a 的范围取并集,得到最终答案.变式练习1. 已知等比数列{}n a 中,432,,a a a 分别是某等差数列的第5项，第3项，第2项，且164a =，公比1q ≠；设2log n n b a =，求数列{}||n b 的前n 项和n T .2. 由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响等. 例2 设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，求实数a 的值为.分析：对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 恒成立求参数的范围问题，可将参数a 分离出来.在分离a 时,需要对x 等于零, x 为正, x 为负分别进行.分离出a 之后,通过求导研究不等式右边关于x 的函数，判断其单调性并求出其最值.解：若0x =，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立,所以R a ∈；当0x > 即]1,0(∈x 时，()331f x ax x =-+≥0可化为：2331a xx≥-,设()2331g x xx=-，则()()'4312x g x x-=，所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而a ≥4；当x ＜0 即)0,1[-∈x 时，()331fx ax x =-+≥0可化为a ≤2331xx-，()()'4312x gx x-=0>,()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此4)1()(max =-=g x g ,从而a ≤4，综上所述得a ＝4.点评:本题是不等式恒成立问题,需要将参数分离出来，转化为研究函数的最值.在分离参数时,需要在不等式的两边同乘以式子3x .根据不等式的运算性质,需要明确所乘式子的符号,所以要对x 是否为零及其符号进行分类讨论.由于是对自变量x 展开讨论,所以在整合时,要把a 的三个范围取交集. 变式练习2. 已知函数x x f alog)(=在],2[π上的最大值比最小值大1，则a 等于A ．π2B ．2πC ．π2或2πD ．不同于A 、B 、C 答案3. 由函数的性质及定理、公式的限制引起的分类讨论例3.已知数列}{n a 、3,2,1,),(,1:}{121=⋅===+n a a b a a a a b n n n n 其中且为常数满足 （Ⅰ）若{}n a 是等比数列，试求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅱ）当{}n b 是等比数列时，甲同学说：{}n a 一定是等比数列；乙同学说：{}n a 一定不是等比数列,你认为他们的说法是否正确？为什么？分析: 在（Ⅰ）中，欲求数列{}n b 的前n 项和n S ，需要研究该数列的性质.由21a b b nn =+发现该数列为等比数列,但求和时要注意前n 项和公式的选择即对公比进行讨论. 在（Ⅱ）中，需要由{}n b 的性质进一步研究{}n a 的性质，对其是否为等比数列作出判断. 解：（I ）因为{}n a 是等比数列a a a ==21,1, 所以1,0-=≠n n a a a .又211212112111,a aa a a a a a ab b a a a b a a b n n nn n n n n nn n n n ===⋅⋅==⋅=⋅=-+++++++则即}{n b 是以a 为首项,2a 为公比的等比数列. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±≠---=-==∴)1(.1)1()1(,)1( ,22a aa a a n a n S n n（II ）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下： 设{}n b 的公比为q ，则022211≠===+++++a q a a a a a a b b nn n n n n nn 且又1253121,,,,,,1-==n a a a a a a a …是以1为首项，q为公比的等比数列，n a a a a 2642,,,, …是以a 为首项，q 为公比的等比数列，即{}n a 为： 22,,,,,1aq q aq q a .当2a q =时，{}n a 是等比数列；当2a q ≠时，{}n a 不是等比数列.注:该问亦可以用举特例的办法进行判断.点评:该题两问的解答中都对公比进行了讨论.第一问中,讨论的渊源是公比不同, 等比数列前n 项和公式形式不同.第二问中讨论的原因是, {}n b 的公比取值不同, {}n a 的性质不同. 变式练习3: 解关于x 的不等)(222R a ax x ax ∈-≥-． 4. 由图形的不确定性引起的分类讨论 例4 设21,F F 为椭圆14922=+yx的两个焦点，P 是椭圆上的一点. 已知21,,F F P 是一个直角三角形的三个顶点，且 ||||21PF PF >，求||||21pF PF 的值.分析:本题考查圆锥曲线的性质.因为21,,F F P 是一直角三角形的三顶点，且||||21PF PF >，则直角顶点有两种可能性：点2F 或点P ，故有两解. 解:由已知得6||||21=+PF PF ,2||21=F F .①若12F PF ∠为直角，则2212221||||||F F PF PF +=,解得314||1=PF ,34||2=PF ,所以||||21pF PF =27.②若21PF F ∠为直角，则|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|22221221||||||PF PF F F +=，得4||1=PF ，2||2=PF ，故2||||21=pF PF .点评:该题由直角三角形的形状不确定即直角的位置不确定,引发了两方面的讨论,解题时要注意考虑全面.变式练习4. 设一双曲线的两条渐近线方程为052,02=-+=+-y x y x ，此双曲线的离心率为 .5. 由参数的变化引起的分类讨论.某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.例5 设1-=x 是)()()(22R x e b ax x x f x ∈++=-的一个极值点，求a 与b 的关系式（用a 表示b ）并求)(x f 的单调区间.分析:该题是一个非基本初等函数的单调性问题，考虑用导数解决,所以先对)(x f 求导,再得a 与b 的关系式.求得导函数的零点时,注意两个零点的大小对单调区间的影响.解： x e a b x a x x f --+-+-=22/])2([)(,由0)1(/=-f 得32-=a b∴x e a ax x x f --++=22)32()( ,xxea x x ea x a x x f ---++-=-+-+-=222/)3)(1(]3)2([)(.令0)(/=x f 得a x x -=-=3,121 .由于1-=x 是)(x f 的极值点，故21x x ≠，即4≠a .① 当4<a 时，12x x >，故]3,1[a --为)(x f 的单调增区间；),3[]1,(+∞---∞a 和为)(x f 的单调减区间.② 当4>a 时，12x x <，故]1,3[--a 为)(x f 的单调增区间；),1[]3,(+∞---∞和a为)(x f 的单调减区间.点评:在综合问题中对参数分类讨论的考查,是分类讨论思想考查的重要形式之一.对参数的分类,要注意遵循分类讨论的基本原则:科学合理,不重不漏. 变式练习5. 已知椭圆1522=+myx的离心率 510=e ， 则m 的值为A ．3B ．2533 C ．5 D ．3155或156. 其它需要进行分类讨论的问题.譬如排列组合问题、实际应用问题等例6 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外 三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工、钳工各3人，问有 种选派方案？ 解析:如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有36C 种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选.同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题.因此需对全能工人被选的人数进行分类：（1）选出的6人中不含全能工人,共有3433C C 种不同选法；（2）选出的6人中含有一名全能工人共有351323C C C 种不同选法；（3）选出的6人中含2名全能工人共有362313C C C 种不同选法；（4）选出的6人中含有3名全能工人共有3733C C 种不同选法.所以共有3433C C +351323C C C +362313C C C +3733C C =306种选派方案.点评:分类讨论是解决排列组合问题中最常用的思想方法之一.在进行分类时,要注意选择最恰当的标准,使得所分的类尽量少.一般选择数量较少的那一种元素进行分类.变式练习6. 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共 有 种． 变式练习答案及解析:1. 解:依题意得()032,32344342=+--+=a a a a a a a 即,211,0132,032212131===+-∴=+-∴q q q q q a q a q a 或解得又1111,,6422n n q q a -⎛⎫≠∴==⨯ ⎪⎝⎭故()()17227,71log 64log 27||27,7n nn n n n b nb n n --⎡⎤⎧-≤⎪⎛⎫=⨯==-∴=⎢⎥⎨⎪->⎝⎭⎪⎢⎥⎩⎣⎦ ()()()()()()18767137,||6,22177677,||1,2122n n n nn n n b T n n n n n b T T +--∴≤===+---->==+=+当时当时()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--≤-=∴7,212767,213n n n n n n T n .2. C. 解析：研究函数的最值需考察函数的单调性，而题中对数函数的增减性与底数a 的取值有关，故应对a 进行分类讨论.⑴当1>a 时， )(x f 在[2，π]上是增函数，最大值是)(πf ，最小值是)2(f ，据题意， 1)2()(=-f f π，即12lo g lo g =-a a π，∴2π=a ⑵当10<<a 时，)(x f 在[2，π]上是减函数，最大值是)2(f ，最小值是)(πf ，故1)()2(=-πf f ，即1log2log=-πaa，∴π2=a . 由⑴⑵知，答案为C.3. 解:原不等式可化为⇔ 02)2(2≥--+x a ax , (1)0=a 时，x ≤－1，即x ∈(－∞,－1].(2)0≠a 时，不等式即为0)1)(2(≥+-x ax ,①0>a 时， 不等式化为0)1)(2(≥+-x ax ，当⎪⎩⎪⎨⎧->>120a a ，即0>a 时，不等式解为),2[]1,(+∞--∞a ． 当⎪⎩⎪⎨⎧-≤>120a a ，此时a 不存在．②0<a 时，不等式化为0)1)(2(≤+-x a x ， 当⎪⎩⎪⎨⎧-<<120a a ，即02<<-a 时，不等式解为]1,2[-a . 当⎪⎩⎪⎨⎧-><120a a ，即a <－2时，不等式解为]2,1[a -．当⎪⎩⎪⎨⎧-=<120aa ，即a ＝－2时，不等式解为x ＝－1．综上:当 a ＝0时，x ∈(－∞,－1)； a >0时，x ∈),2[]1,(+∞--∞a；当－2<a <0时,x∈]1,2[-a；当a <－2时，x ∈]2,1[a-； a ＝－2时，x ∈{x |x ＝－1}．4. 255或．解析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解．（1）当双曲线的焦点在直线3=y 时，双曲线的方程可改为1)3()1(222=---by a x ，一条渐近线的斜率为2=ab ， ∴2=b ．∴ 555222==+==a aa b ac e ．（2）当双曲线的焦点在直线1=x 时，与（1）同理得双曲线的一条渐近线的斜率为2=ba ，此时25=e ． 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于255或．5.B. 解析：题设不能确定5与m 中哪个较大,故应将5与m 的大小分类讨论.据题意5,0≠>m m ,⑴当5>m 时，5,5,22222-=-=∴==m b a c b m a ，mm ac 522-=∴又510=e ,325=m .⑵当50<<m 时，m b a c m b a -=-=∴==5,,522222mm ac -=∴522,3=m .由⑴⑵知 325=m 或3=m .故选Ｂ.6. 12. 解析:分类讨论：（1）先考虑作物A 种植在第一垄时，作物B 有3种种植方法；（2）再考虑作物A 种植在第二垄时，作物B 有2种种植方法；（3）又当作物A 种植在第三垄时，作物B 有1种种植方法.而作物B 种植的情况与作物A 相同，故满足条件的不同选垄方法共有（3+2+1）×2＝12种．。
专题复习：分类整合思想方法
（ ａ 当 ≠１时 ，口 １一ａ 一２ １一口 ＋１＝０ ２（ ） （ ） 为 一元 二次 方程 ， 时 此
矛盾． 故此类情况不合题意． ②若 １ ａ ｅ 则 ＜ ＜ ， ） ［ ，］ 在 １ａ 内递增， ａ 在［ ， ｅ 内递 减 ， ］ 从而 ） 的最小值 为 ， １ ＝ 一 或 ｅ ＝ ｅ ＋ ｅ （） ａ １ ） ａ 一 ａ． 若 １ 为最小 值 ， 满足 ， １ ａ一 ≥ｅ一１则 有 ） 应 （ ）＝ １ ， 口 ≥ｅ与 １＜ ａ＜ｅ矛 盾 ； 若 ｅ 为最 小值 ， ） 则
一
同点 ， 按一定标准将对象分为不 同种类 ， 将整体问 １ ， 点 Ａ作 直线 ｍ 与 ｆ 交 于点 Ｂ， ｌＢＩ ）过 相 且 ＝ Ａ 题 转 化为若 干部分 来解 决 ， 各个 部分 得到解 决之 ５ 求直线 １ 的方程． 在 ， ７ １ ， 后， 再综合归纳使整个问题得以解决 ， 这样的方法 分析 已知 ｍ过点 ， 若用点斜式 表示 ｍ 的 称为分类整合思想方法． 分类整合思想是高中最重 方程 ， 要注意考虑斜率不存在 的情况 ， 否则会漏掉 要 的数学思想方法之一． 一方面它可以与高中众多 ｍ 的方程 为 ＝１的情况． 知识相结合 ， 有利 于对知识的考查 ； 另一方面它对 ２ １２ 由数 学运 算要 求 引起 的分 类讨 论 ． ． 思维能力要求较高 ， 便于区分学生能力的高低． 如除法运算 中除数不为 ０ 偶 次方根为非负 ， ， １ 考 查要 求与考点 回顾 对数中真数与底数的要求 ， 不等式 ２ 同乘以一个 边 《 浙江省数学高考考试说 明》 出： 指 对数学思 正数、 负数对不等号方向的不同影响等等． 想方法 的考查是对数学知识在更 高层次上的抽象 ２ １３ 由定理、 ．． 公式、 性质的限制引起的分类讨论 与概括 的考查 ， 考查时必须与数学知识相结合 ， 通 有些数学定理 、 公式 、 性质是分类给出的， 不同 过对数 学知识 的考查 ， 映学 生对 数学思 想方法 的 条件下的结论 是不一致 的． 函数 ｆ ）＝ 反 如 （ ∞ ＋ 掌握程度． 这表明， 数学思想方法 的考查是高考必 ＋ （ Ｒ ， ａ ０时 ， 是一 次函数或常函 ｃ ∈ ） 当 ＝ ， ） （ 须 的 ， 以隐性考 查 的 方 式进 行 ， 且 即通 过 对数 学 知 数 ， ａ Ｏ时 ＇ ） 而 ≠ ， 是二次函数 ， （ 函数性质的不同 识 的考 查反 映学 生对数 学思 想方法 的掌 握程度． 决 定 了下 一 步讨 论 问 题 的 方 法 不 同 ， 要 分 类 讨 故 从近 ３ 年浙江省数学高考试题来看 ， 涉及到分 论 ． 如应用 等 比数 列求 和 公 式 时 ， 比 ｑ＝１和 又 公 类讨论 的题 目一般包括 １ ２ 中档难度的客观 至 个 题与 １ 个较难的解 答题． 从考查 内容看 ， 函数 、 数 列 、 等式 、 列组合 、 析几 何是 考查分 类整合 思 不 排 解 想方法常用的知识载体． 其中， 含参数 的函数与导 数 问题是热点 ， 每年必考． 对分类整合思想方法考 查 的要求是 ： 对常见的涉及分类 的概念 、 知识和题 型能直观判断与正确处理 ； 对较复杂的实际问题或 含参数的讨论应条理清晰， 格式规范， 合理分类 ， 正 确整 合． ２ 知识 解析 与典例解 读
数学思想之分类及整合思想和化归及转化思想
第23讲 │ 要点热点探究
x≥0， 设 x，y 满足约束条件y≥x，
4x＋3y≤12，
则x＋x＋2y＋2,6]
C．[3,10]
D．[3,11]
第23讲 │ 要点热点探究
D 【解析】 目标的几何意义不明显，可以变换为 1＋2·xy＋＋11，其中xy＋＋11的
第23讲 │ 要点热点探究
fnf＋n1＝1＋131＋2n15＋…11＋＋12n1＋1×
1＋131＋152n…＋11＋2n1－1＝
2n＋1 4n＋12－1>
24nn＋＋112＝1，
即 f(n＋1)>f(n)，即函数 f(n)单调递增，所以 f(n)>f(2)．
4
f(2)＝
3＝ 5
16 45>
1664＝12，故 f(n)>12，
第23讲 │ 要点热点探究
n∈N，n>1.求证：1＋131＋15…1＋2n1－1>
2n＋1 2.
【解答】 证明：问题等价于证明 1＋131＋152n…＋11＋2n1－1>12， 构造函数 f(n)＝1＋131＋152n…＋11＋2n1－1，通过函数的单调性解 决问题． 设 f(n)＝1＋131＋152…n＋1＋1 2n1－1(n≥2)，则
(1)若 0<a<12，则 x2>x1.当 0<x<1 或者 x>1a－1 时，f′(x)<0；当 1<x<1a－1 时，f′(x)>0.故此时函数 f(x)的单调递减区间是(0,1)，a1－1，＋∞，单调递 增区间是1，1a－1.
(2)若 a＝12时，x1＝x2，此时 f′(x)≤0 恒成立，且仅在 x＝12处等于零，故 此时函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
思想方法第三讲分类与整合思想
第三讲 分类与整合思想Z 知识整合hi shi zheng he一、分类与整合思想的含义分类与整合思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类与整合是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．二、分类与整合的常见类型有关分类与整合的数学问题需要运用分类与整合思想来解决，引起分类与整合的原因大致可归纳为如下几种：1．由数学概念引起的分类与整合：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．2．由性质、定理、公式的限制引起的分类与整合：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．3．由数学运算要求引起的分类与整合：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．4．由图形的不确定性引起的分类与整合：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等．5．由参数的变化引起的分类与整合：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．6．由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中．命题方向1 由概念、法则、公式引起的分类与整合例1 已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝－32. [解析] 当a >1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.『规律总结』“四步”解决由概念、法则、公式引起的分类与整合问题第一步：确定分类对象：一般把需要用到概念、法则、公式解决问题的对象作为分类目标．第二步：确定分类标准：运用概念、法则、公式对分类对象进行区分． 第三步：分类解决“分目标”：对分类出来的“分目标”分别进行处理． 第四步：汇总“分目标”：将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理． G 跟踪训练en zong xun lian1．若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在区间[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在区间[0，＋∞)上是增函数，则a ＝14.[解析] 若a >1，则a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 在[0，＋∞)上为减函数，不合题意．若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，此时g (x )＝34x 在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．综上可知，a ＝14.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2)，－1<x <0，e x －1，x ≥0若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为1或－2[解析] f (1)＝e 0＝1，，即f (1)＝1， 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1，当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， 所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z )．所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12.因为－1<a <0，所以a ＝－22.故a ＝1或－22. 命题方向2 由图形位置或形状引起的分类与整合例2 (1)在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ＋x ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是( D )A ．[6,15]B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[7,8][解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s ，y ＝2s －4，取点A (2,0)，B (4－s,2s －4)，C (0，s )，C ′(0,4)． ①当3≤s <4时，可行域是四边形OABC ，如图1所示．此时，7≤z <8.②当4≤s ≤5时，此时可行域是△OAC ′，如图2所示，z max ＝8. 综上，z ＝3x ＋2y 最大值的变化范围是[7,8]．(2)设圆锥曲线T 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线T 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线T 的离心率为12或32.[解析] 不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ， 若该圆锥曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该圆锥曲线是双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝3t 2t ＝32.所以圆锥曲线T 的离心率为12或32.『规律总结』图形位置或形状的变化中常见的分类圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论；相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论．G 跟踪训练en zong xun lian(2017·郑州三模)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为72或2. [解析] 若∠PF 2F 1＝90°.则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2， 又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43， 所以|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20.所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.命题方向3 由变量或参数引起的分类与整合(文)例3 设函数f (x )＝x 3－ax －b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R .求f (x )的单调区间．[思路探究] 看到求f (x )＝x 3－ax －b 的单调区间，想到对参数a 进行分类整合，分为a ≤0和a >0两种情况．[解析] 由f (x )＝x 3－ax －b ，可得f ′(x )＝3x 2－a . 下面分两种情况讨论：①当a ≤0时，f ′(x )＝3x 2－a ≥0恒成立． 所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝3a 3或x ＝－3a3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如表：所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－3a 3，3a 3，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－3a 3，⎝⎛⎭⎫3a 3，＋∞.『规律总结』几种常见的由参数变化引起的分类与整合 (1)含有参数的不等式的求解． (2)含有参数的方程的求解．(3)对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题． (4)二元二次方程表示曲线类型的判定等． (5)直线与圆锥曲线位置关系的分类． (理)例3 已知函数g (x )＝axx ＋1(a ∈R )，f (x )＝ln(x ＋1)＋g (x )．(1)若函数g (x )过点(1,1)，求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性． [解析] (1)因为函数g (x )过点(1,1)， 所以1＝a1＋1，解得a ＝2，所以f (x )＝ln(x ＋1)＋2xx ＋1.所以f ′(x )＝1x ＋1＋2(x ＋1)2＝x ＋3(x ＋1)2. 所以f ′(0)＝3.所以所求的切线的斜率为3. 又f (0)＝0，所以切点为(0,0)． 故所求的切线方程为y ＝3x .(2)因为f (x )＝ln(x ＋1)＋ax x ＋1(x >－1)，所以f ′(x )＝1x ＋1＋a (x ＋1)－ax (x ＋1)2＝x ＋1＋a (x ＋1)2.①当a ≥0时，因为x >－1，所以f ′(x )>0. ②当a <0时，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x >－1，得－1<x <－1－a ；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x >－1，得x >－1－a . 综上可知，当a ≥0时，函数f (x )在(－1，＋∞)内单调递增；当a <0时，函数f (x )在(－1，－1－a )内单调递减，在(－1－a ，＋∞)内单调递增．『规律总结』1．几种常见的由参数变化引起的分类讨论 (1)含有参数的不等式的求解． (2)含有参数的方程的求解．(3)对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题． (4)二元一次方程表示曲线类型的判定等． 2．利用分类讨论思想的注意点(1)分类讨论要标准统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”．(2)分类讨论时要根据题设条件确定讨论的级别，再确定每级讨论的对象与标准，每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重不漏．(3)讨论结果归类合并，最后整合时要注意是取交集、并集，还是既不取交集也不取并集只是分条列出．G 跟踪训练en zong xun lian当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是(－∞，32]. [解析] 由约束条件作可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋2y －4＝0，解得C (1，32)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x ＋2y －4＝0，解得B (2,1)．在x －y －1＝0中取y ＝0得A (1,0)． 由ax ＋y ≤4得y ≤－ax ＋4， 要使ax ＋y ≤4恒成立，则平面区域在直线y ＝－ax ＋4的下方，若a ＝0，则不等式等价于y ≤4，此时满足条件， 若－a >0，即a <0，平面区域满足条件，若－a <0，即a >0时，要使平面区域在直线y ＝－ax ＋4的下方，则只要B 在直线上或直线下方即可．即2a ＋1≤4，得0<a ≤32.综上a ≤32.所以实数a 的取值范围是(－∞，32]．。
专题三分类整合的方法
综上所述，共有15+14+12+8=49种，故选B. ［点评］ 本题主要考查集合、排列组合的基础知识， 考查分类讨论的思想.本题是考查能力的一道好题.所用的知 识和方法都是中学里常见的，即集合、排列、组合的基本 知识和分类讨论思想.因此，在高考复习中，一定要强调掌 握基础知识和掌握基本的数学思想方法，以不变应万变. ［答案］ B 返回目录
专题概览
果；④综合归纳，小结得出结论. 引起分类讨论的主要因素有：求解数学问题的过程中的某一 环节的结论是多种可能的；含有参变量的数学问题，参变量的不 同取值会导致解法或数学问题的性质不同. 分类讨论问题已成为高考考查学生的知识与能力的热点问题， 主要是因为： 第一，分类讨论问题一般都覆盖知识点较多，有利于知识的 考查； 第二，解分类讨论问题要有一定的分析能力，一定的分类思 想与分类技巧，有利于对学生能力的考查； 第三，分类思想与生产实践和高等数学都紧密相关. 因此, 高考将会进一步加大考查力度, 这需要引起高度重视！ 返回目录
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模拟训练
5.设集合I={1,2,3,4,5},选择I的两个非空子集A和B， 要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法 共有 A. 50种 B. 49种 C. 48种 ( D. 47种 )
［解析］ 按集合A中最大数可分四类： (1)当A中最大数为1时，则B为{2,3,4,5}的非空子集， 有24－1=15(个). (2)当A中最大数为2时，则B为{3,4,5}的非空子集，有 23－1=7(个).而这时的A有2个，因此，共有7×2=14(个).
若 AB ⊥ BC, 则AB·BC = 0,
即有2+(k－1)＝0,即k＝－1； 若 AC ⊥ BC ，则 AC·BC ＝0, 即有3＋k(k－1)＝0,无解. ∴k＝－6或k＝－1, 故选B. 返回目录
数学思想方法之分类与整合思想
设直线L：y＝k(x－4)所过定点为P(4,0)， 2 5 2 5 则kPP1＝－ 7 ，kPP2＝ 7 .
3 k － 4 k 3 3 2 当直线L与圆C相切时， 2 ＝2，解得k＝± 4.
k ＋1
3 3 2 5 2 5 ∪ － － ， 故当k∈ ， 时，直线L与曲线C只 4 4 7 7
x＝5， 3 (3)联立 3 9 2 2 x－ ＋y ＝ ， 2 4
x＝5， 3 解得 2 5 y＝± 3 .
2 5 2 5 5 5 不妨设其交点为P1 ， ， P ，－ ， 2 3 3 3 3
[解] (1)圆C1的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，圆心坐标 为C1(3,0)．
(2)由垂径定理知，C1M⊥AB，故点M在以OC1为直径
3 9 2 2 的圆上，即x－2 ＋y ＝4. 3 9 2 2 故线段AB的中点M的轨迹C的方程是 x－2 ＋y ＝ 4 在
x f′(x) f(x) 此
a－
(0，x1) ＋
x1 0
(x1，x2) －
x2 0
( x2 ， ＋∞) ＋
极大 单调递 极小 单调递增 单调递增 值 减 值
a－ a2－8 时 f(x) 在 0， 上 单 调 递 增 ， 在 2 a＋ a2－8 a2－8 a＋ a2－8 上单调递减， 在 ， ，＋∞ 上 2 2 2
[思考流程] (条件)函数解析式 ⇨ (目标)讨论 f(x)的单调性 ⇨ (方法)讨论导数的符号，求出导数后，根据字母 a 的取值范 围确定问题的解决方向．
解：f(x)的定义域是(0，＋∞)， 2 2 a x －ax＋2 f′(x)＝1＋ 2－x＝ . x x2 设 g(x)＝x2－ax＋2， 二次方程 g(x)＝0 的判别式 Δ＝a2－8. ①当 Δ＝a2－8<0，即 0<a<2 2时，对一切 x>0 都有 f′(x)>0， 此时 f(x)在(0，＋∞)上是增函数． ②当 Δ＝a2－8＝0，即 a＝2 2时，仅对 x＝ 2有 f′(x)＝0，对 其余的 x>0 都有 f′(x)>0，此时 f(x)在(0，＋∞)上也是增函数． ③当 Δ＝a2－8>0，即 a>2 2时， a－ a2－8 a＋ a2－8 方程 g(x)＝0 有两个不同的实根 x1＝ ， x2＝ ， 2 2 0<x1<x2.
分类与整合思想,化归与转化思想
转化Biblioteka 思想根据熟知的数学结论和已知掌握的数学题目解法，把数学问题化空间为平面、化高维为低维、化复杂为简单解决问题的思想方法
分类与整合思想,化归与转化思想
分类与整合、化归与转化
分类
与
整合
分类
思想
解答数学问题，按照问题的不同发展方向分别进行解决的思想方法
分类与整合思想的主要问题是“分”，解题的过程是“合—分—合”
整合思想
把一个问题中各个解决的部分，基本合并、提炼得出整体结论的思想方法
化归
与
转化
化归
思想
根据熟知的数学结论和已知掌握的数学题目解法，把数学问题化生疏为熟练、化困难为容易、化整体为局部、化复杂为简单的解决问题的思想方法
高三数学分类整合的思想方法
九鼎真申の希望都很大.九鼎真申啊！壹些厉害の九鼎真申,都能在战斗历前匹敌万申之主大能者.现在与呐种天资卓绝の武道天才交好,当然是有必要の.谈论着,南西北三座碧溪申域の域主和修行者,也就到咯东碧溪申域の虚空城市.到呐里,大家就得分开咯,回三座申域,不是壹路.昊云天 拿出虚空申舟,鞠言等入乘坐.呐壹次他们是伍拾个真申来到东碧溪申域,但是回去の事候,却只有四拾伍入.有伍入,永远留在咯前清秘境之内.到咯虚空申舟前,鞠言与昊云天简单打咯个招呼,便将自身关在房间内.是事候,调整彩霞剑の法纹,让彩霞剑真正の威能释放出来咯.大半年过去之 后.呐壹日,鞠言眸子壹凝,手中の彩霞剑,威能快速增强.长剑内部空间の七个申环,都激发出令入心悸の能量波动.鞠言随后闭前眼睛,仔细感悟.“出！”鞠言口中壹声低喝.“呼啦！”壹股带着死亡气息の能量,瞬息间充斥在整个房间之内.在呐片能量笼罩之下,壹切都变得死气沉沉毫无 生机,就连空间内の灵气波动,都降低到咯冰点.仿佛整个世界,都变成咯灰黑色.无处不在の死亡意志,压得让入无法喘息.“呐是„„死亡领域?”鞠言睁开眼睛,琛琛の吸咯壹口气.彩霞剑携带の领域历量,居然是死亡领域.死亡领域释放の威能,让鞠言都能感受到琛琛の寒意,呐还是死亡领 域在他の控制之下.如果是敌入释放出来の死亡领域„„鞠言咋舌の摇摇头.其实他早该想到,彩霞剑の器胚是死亡申殿主入亲手锻造の.死亡申殿主入,最擅长の就是死亡法则死亡壹道.他亲手锻造の申器,附带死亡领域威能,似乎也是理所当然の事情.“死亡领域、剑意领域、叠历领域还 有弱水领域.现在の俺若是对战,能够使用呐四种领域の历量.”鞠言转动着心念,目中迸发出兴奋の光彩.现在の鞠言,只怕都能碾压大多数普通主申强者咯.那些普通の主申,又能掌握几种领域の历量?壹些刚刚晋升の主申,可
高中高三数学专题复习⑴分类与整合的思想
江阴高中高三数学专题复习⑴ 分类与整合的思想2013.3【知识归纳】所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略. 有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置． 1．分类讨论是一种重要的数学思想方法，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种： (1)由数学概念引起的分类讨论，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等． (3)由数学运算引起的分类讨论，如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数运算中真数和底数的要求等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论，如角的终边所在象限、点、线、面的位置关系等． (5)由参数的变化引起的分类讨论，如含参数的方程不等式等．⑹较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的．2．分类方法：（1）概念和性质是分类的依据；（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法；（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口；（4）二分法是分类讨论的利器（5）层次分明是分类讨论的基本要求；3．简化和避免分类讨论的优化策略：（1）直接回避．如运用反证法、求补法、消参法等方法有时可以避开烦琐讨论；（2）变更主元．如分离参数、变参置换，构造以讨论对象为变量的函数得便感形式解题时可避开讨论；（3）合理运算．如利用函数奇偶性、变量的对称轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；（4）数形结合．利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论．【基础演练】1. 已知集合A ＝{1.3.，B ＝{1，m} ，AB ＝A ，则m= ．2. 已知圆x 2＋y 2＝4，则经过点P (2,4)，且与圆相切的直线方程为 ．3.已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．4. 若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值是________．5. 一个均匀的正四面体上分别有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c . 若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，则方程为“漂亮方程”的概率是 ．6. 已知平面单位向量a ，b ，c 夹角两两相等，则|a ＋b ＋c |＝________.【考点例析】例题1（南京市、盐城市20XX 届高三期末）对于定义在区间D 上的函数()f x , 若任给0x D ∈, 均有0()f x D ∈, 则称函数()f x 在区间D 上封闭.（1）试判断()1f x x =-在区间[2,1]-上是否封闭, 并说明理由；（2）若函数3()1x ag x x +=+在区间[3,10]上封闭, 求实数a 的取值范围；（3）若函数3()3h x x x =-在区间[,](,)a b a b Z ∈上封闭, 求,a b 的值.例题2 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }是首项为1，公比为b 的等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .变式题：三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后，变成一个等比数列，则此等比数列的公比是 ．例题3 已知函数f (x )＝12ax 2－2x sin 2α和函数g (x )＝ln x ，记F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)当α＝π3时，若f (x )在[1,2]上的最大值是f (2)，求实数a 的取值范围；(2)当a ＝1时，判断F (x )在其定义域内是否有极值，并予以证明；(3)对任意的α∈⎝⎛⎭⎫π6，23π，若F (x )在其定义域内既有极大值又有极小值，试求实数a 的取值范围．例题4 已知动直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆=62,其中O 为坐标原点.（Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；【方法技巧】分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种重要的解题策略，它可以将整体化为局部，将复杂问题化为单一问题，以便于“各个击破”．但要注意克服思维定势，处理好“分”与“合”，“局部”与“整体”之间的辨证统一关系，充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性，尽可能地简化或避免分类讨论．简化分类讨论的常用策略通常有：消去参数、整体换元、反客为主、补集分析、整体变形、借助图解．江阴高中高三数学作业（分类与整合思想） 姓名 ．一、填空题1. 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4< 0对于x ∈R 恒成立，那么a 的取值范围是____________．2. 在△ABC 中，已知A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则S △ABC ＝__________.3. 设一双曲线的两条渐近线方程为2x －y ＝0,2x ＋y ＝0，则双曲线的离心率是________．4. 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为____________．5. 设常数a >0，椭圆x 2－a 2＋a 2y 2＝0的长轴长是短轴长的2倍，则a ＝________.6. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为__________．7. 若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是__________． 8. 若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值范围为__________．9. 设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________．10. 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，对于任意的x ∈[－2,2]总有f (x )≥0成立，则a 的取值范围是 ． 二、解答题11. 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1(a ∈R )，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)若x ∈[－2，－1]，不等式f (x )≤f ′(x )恒成立，求a 的取值范围；(2)解关于x 的方程f (x )＝|f ′(x )|；(3)设函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )，f (x )≥f ′(x )f (x )，f (x )<f ′(x )，求g (x )在x ∈[2,4]时的最小值．12. 已知函数f (x )＝2a sin 2x －2 3a sin x cos x ＋a ＋b (a ≠0)的定义域是⎣⎡⎦⎤0，π2，值域是[－5,1]，求常数a ，b 的值．13. 已知椭圆C 的离心率e ＝22，一条准线方程为x ＝4，P 为准线上一动点，直线PF 1、PF 2分别与以原点为圆心、椭圆的焦距F 1F 2为直径的圆O 交于点M 、N . (1)求椭圆的标准方程；(2)探究是否存在一定点恒在直线MN 上？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由．14. 已知函数f (x )＝|ax 2－2x ＋1|,0≤x ≤4.(1)a <0时，求f (x )≥12的解集；(2)求f (x )的最大值．。
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本 身就 是被 分类 定 义 的 ， 典 型 的如 直 线 的倾 斜 角 与 斜 率 ， 当直 线 与 轴 相 交 时 ， 将 轴 绕 交 点 按 逆 时 针 方 向旋 转 到 和直 线重 合 时所 转 的最小 正 角 叫直 线 的倾 斜 角 ， 当 直 线 与 ｚ轴 平 行 或 重 合 时 ， 规 定 直 线 的倾 斜 角 为 Ｏ 。 ， 倾 斜 角 不 是 ９ Ｏ 。 的直线 ， 它 的倾斜 角 的正 切 叫 做 直线 的斜 率 ， 倾 斜 角 为 ９ ｏ 。 时 直线 的斜 率 不 存 在 ． 因 而 我 们 在 解 决 涉 及 到 此 类 概
分 类 整 合 思 想 是 高 中最 重 要 的 数 学 思 想 方 法 之 一 ， 也 是
里 就 要 考 虑 Ａ、 Ｂ两 点 是 在 平 面 ａ的 同侧 还 是 异 侧 两 种情 况 ．
高 考 的热 点 ， 一 方 面 因 为 它 覆 盖 的知 识 点 多 ， 有 利 于 对 知 识 的 考查 ， 另一方面对学生理性思维能力有较 高的要求 ， 便 于 甄 别 学 生 能 力 的高 低 ． 在 进 入 高 考 复 习 的第 二 阶 段 后 ， 如 何 进 一 步 加深学生对分类整合 思想 的体验 和认识 ， 让 学 生 在 面 对 分 类 讨论问题时能够合理分 类 ， 正 确 整 合 是 我 们 高 中 数 学 教 师 所 面临的问题 ， 我 们 给学 生 作 数 学 思 想 方 法 专 题 讲 座 时 ， 究 竟 要 给学生讲清哪些问题 ， 如 何 讲 清 这 些 问 题 都 值 得 我 们 认 真 思 考， 本 文 将 自己 的一 些 做 法 呈 现 给 大 家 ， 以求 抛砖引 玉 ， 共 同
解． 分类整合既是一种 逻辑 方法 ， 又 是一 种重要 的数 学思想． 这 里 面要 讲 清 二个 要 点 ：
１ ． １ 引 起 分 类 的 原 因
解 决 问 题 的方 式 ， 在高考惜 时如金的情况下 ， 解 题 效 率 问 题 尤 为突出． 为 此 我 们 必 须 十 分 熟 悉 一 些 常 用 的 避 免 分 类 讨 论 的 策略 ， 例 如 利用 反 证 法 、 求 补法 、 消 参 法 可 直 接 避 开 繁 琐 的 讨 论； 而通 过 变 更 主 元 、 分离参数 、 变参置换 、 构 造 以讨 论 对 象 为 变量的函数也可避开讨论 ； 另外合 理地运算 ， 如 利 用 函 数 的奇 偶性 、 变 量 的对 称性 等 可 简 化 甚 至 避 开 讨 论 ； 数 形 结 合 也 是 避
探讨 ． １ ． 讲 清 楚 分 类 整 合 思 想 的 实 质 及 引起 分 类 讨 论 的原 因 在我 们解 决 某 些 数 学 问 题 时 ， 会 遇到多种不 同的情况 ， 不
（ ５ ） 由 参 数 的 变 化 引 起 的分 类 讨 论 ． 含 参 不 等 式 的 分 类 讨
论 是 最 常 见 的 问题 ， 二 次不 等式 中 ， 二次 项系 数的正 负 、 判 别 式、 两 根 的 大小 比 较 分 类 我 们 必 须 熟 练 掌 握 ． （ ６ ） 其他根 据实际 问题 具体 分析进 行分 类讨 论 ， 如排 列 、 组合 问题 ， 应 用 问题 等 ． １ ． ２ 分 类 是 必 须 的 还 是 可 以避 免 的
明确了引起分类 的原 因 ， 只 是 从 理 论 上 说 明 了 哪 些 情 况
下 可 以考 虑 分类 讨 论 ， 而在实际解题时 ， 我 们 必 须 强 调 只 有 在
不能用统一方法解 决问题时 ， 才有必要分类 ， 当一 个 问 题 能 够 用 统 一 的方 法 或 者 部 分 过 程 能 够用 统 一 的 方 法 进 行 时 都 不 要 急于进行分类讨 论． 一 般 来 说 尽 管 分 类 讨 论 能 够 使 解 决 问题 的思路变得清 晰明了 ， 但 当一个问题划分 为若干个 子问题后 ， 工作量往往显著增加 ， 解 题 过 程 变 得 冗 长 繁琐 ， 因 此 在 我 们 决
一
２ （ 即零 点 ） 将 Ｒ 分成 三个 区 间进 行 讨 论 ， 即分 ｚ ＜一２ ，
一
２ ≤ ≤ １ ， ＞ ２三 种 情 形 分 类 讨 论 ； 数 学 中 有 许 多 概 念
２ ． 引导学生体会分 类时机的选择 、 分类标 准的确定 、 分 类 层 次 的 递 进 的 自然 合 理
定分类讨论之前 ， 我 们 要 考 虑 一 下 是 否 还 有 其 他 效 率 更 高 的
能 用 统 一 的方 法 进 行 ， 需 要 对 各 种情 况 加 以分 类 ， 将 整 体 问 题
化 为若 干 个部 分来 解 决 ， 化 为部 分后 由 于 增 加 了题 设 条 件 ， 从 而有 利 于 问题 的解 决 ， 在 各 个部 分 得 到解决 后 ， 然 后 综 合 得
念 的 问题 时 相 应 地 要 考 虑 到 各 种 情 况 ．
当我们确定一个 问题 必须 用分 类讨 论 的方式来 解决 时 ， 我们必须解决好这三 个问 题 ， 在 分 类 时 机 的 选 择 上 我 们 要 把 握一个基本原则 ， 即 能 不 分 时 尽 量 不要 分 ， 只 有 当用 统 一 的方
２ ０ １ ３ 年第６ 期
扣 工
工 工 工
羼 ・ 解题思想方法
和
＋ 叶 和 和 ＋ 叶源自 和 工 工 整 合
■ 段 长 顺
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免讨论的重要手段．
（ １ ） 由数学 概 念 引 起 的分 类 讨 论 ． 如 绝 对 值 的 定 义 是
解含 有 绝 对 值 的 不 等 式 的 基 本 依 据 ， 解 『 ｚ 一１ Ｊ ＋
Ｉ ＋２ ｌ ≥３时 ， 就 应该 根 据 一 １ ， ｚ ＋２的正 负分界 值 １和