高中数学第一章坐标系1.2极坐标系学案新人教B版选修6

学 习 资 料 专 题1.2 极坐标系[对应学生用书P4][读教材·填要点]1．平面上点的极坐标(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 点称为极点，Ox 称为极轴．(2)点的极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标，ρ称为极径，θ称为极角．2．极坐标与直角坐标的关系(1)极坐标和直角坐标变换的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合； ③两种坐标系取相同的长度单位． (2)极坐标和直角坐标的变换公式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x[小问题·大思维]1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么？提示：不是．在极坐标系中，与给定的极坐标(ρ，θ)相对应的点是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是(ρ，θ)(ρ≠0)，那么这一点也可以表示为(ρ，θ＋2n π)或(－ρ，θ＋(2n ＋1)π)(其中n ∈Z )．2．若ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点M (ρ，θ)与平面内的点之间是否是一一对应的？提示：如果我们规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示．这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．3．若点M 的极坐标为(ρ，θ)，则M 点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？提示：设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．[对应学生用书P5][例1] 已知定点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π3.(1)将极点移至O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6处，极轴方向不变，求P 点的新坐标； (2)极点不变，将极轴顺时针转动π6，求P 点的新坐标．[思路点拨] 本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法．解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系，然后求相应的点的极坐标．[精解详析] (1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示， 由题意可知|OO ′|＝23，|OP |＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.即|O ′P |＝2.∴|OP |2＝|OO ′|2＋|O ′P |2，∠OO ′P ＝π2.∴∠OPO ′＝π3.∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3.∴∠PP ′x ＝2π3.∴∠PO ′x ′＝2π3.∴P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3.(2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)， 则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.∴P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2.建立极坐标系的要素是：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的．极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M 的极径ρ表示点M 与极点O 的距离|OM |，因此ρ≥0；但必要时，允许ρ＜0.1．在极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，则(1)点A 关于极轴的对称点是________； (2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是________．(规定ρ>0，θ∈[0,2π))解析：如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化．另外，我们要注意：极角是以x 轴正向为始边，按照逆时针方向得到的．答案：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，11π6 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6[例2] 以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．(1)已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，求它的直角坐标；(2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)[思路点拨] 本题考查极坐标和直角坐标的互化．解答此题只需将已知条件代入相关公式即可．[精解详析] (1)∵x ＝ρcos θ＝4·cos 5π3＝2，y ＝ρsin θ＝4sin5π3＝－23， ∴A 点的直角坐标为(2，－23)． (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋－2＝22，tan θ＝－22＝－1，且点B 位于第四象限内，∴θ＝7π4.∴点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4. 又∵x ＝0，y ＜0，ρ＝15， ∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫15，3π2.(1)将极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ. (2)将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是：ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．在利用此公式时要注意ρ和θ的取值范围．2．(1)已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－π，D ⎝⎛⎭⎪⎫4，－π2，求它们的直角坐标；(2)已知点的直角坐标分别为A (3，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，C (－2,23)，求它们的极坐标，其中极角θ∈[0,2π)．解：(1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得A ⎝⎛⎭⎪⎫322，－322，B (－1，－3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，D (0，－4)．(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3.[例3] △ABC 的顶点的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，4π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，5π6，C ⎝⎛⎭⎪⎫8，7π6.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积； (3)求△ABC 的边AB 上的高．[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标的互化、极坐标系中两点间的距离公式．解答此题可直接利用极坐标系中两点间的距离公式求解，也可以先将极坐标化为直角坐标，然后利用两点间的距离公式求解．[精解详析] ∠AOB ＝4π3－5π6＝π2，∠BOC ＝7π6－5π6＝π3，∠COA ＝4π3－7π6＝π6.(O为极点)(1)∵|AB |＝|OA |2＋|OB |2＝42＋62＝213. |BC |＝|OB |2＋|OC |2－2|OB |·|OC |cos ∠BOC ＝213，|AC |＝|OA |2＋|OC |2－2|OA |·|OC |cos ∠AOC ＝45－2 3.∴△ABC 是等腰三角形． (2)S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12，S △BOC ＝12|OB |·|OC |sin ∠BOC ＝123，S △C OA ＝12|OC |·|OA |sin ∠COA ＝8.∴S △ABC ＝S △BOC ＋S △C OA －S △AOB ＝123－4. (3)设AB 边上的高为h ，则h ＝2S △ABC |AB |＝243－8213＝1239－41313.对于这类问题的解决方法，可以直接用极坐标内两点间的距离公式d ＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2θ1－θ2求得；也可以把A ，B 两点由极坐标化为直角坐标，利用直角坐标中两点间的距离公式d ＝x 1－x 22＋y 1－y 22求得，极坐标与直角坐标的互化体现了化归的解题思想；还可以考虑其对称性，根据对称性求得．3．在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，求第三个顶点C 的坐标．解：由题设知，A ，B 两点关于极点O 对称．又|AB |＝4，所以由正三角形的性质知，|CO |＝23，∠AOC ＝π2，从而C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π4.[对应学生用书P6]一、选择题1．在极坐标系中，与点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3C.⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，5π6 解析：选 B 与A ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3(k ∈Z )，只有选项B 满足．2．在极坐标系中，若点A ，B 的坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π6，则△AOB 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：选B 由题意知∠AOB ＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故选B.3．已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13π12，则A 和B 之间的距离等于( )A.18＋62 B.18－62 C.36＋322D.36－322解析：选C A ，B 在极坐标中的位置，如图，则由图可知∠AOB ＝13π12－π4＝5π6.在△AOB 中，|AO |＝|BO |＝3， 所以，由余弦定理，得|AB |2＝|OB |2＋|OA |2－2|OB |·|OA |·cos 5π6＝9＋9－2×9×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝18＋93＝92(1＋3)2.∴|AB |＝36＋322.4．已知极坐标平面内的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－5π3，则P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，()1，3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3，()1，－3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，(－1，3)D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－2π3，(－1，－3)解析：选D 点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－5π3关于极点的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－5π3＋π，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3，且x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝－2cos π3＝－1，y ＝2sin －⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝－2sin π3＝－3，所以选D.二、填空题5．限定ρ>0,0≤θ<2π时，若点M 的极坐标与直角坐标相同，则点M 的直角坐标为________．解析：点M 的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x ，y )．依题意得ρ＝x ，θ＝y ，即x 2＋y 2＝x 2.∴y ＝θ＝0，ρ>0.∴M (ρ，0)． 答案：(ρ，0)6．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．解析：如图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P ，Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3.显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π37．直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线l 与极轴夹角等于________．解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝π3－π6＝π6，所以∠OAB ＝π－π62＝5π12.所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4.答案：π48．写出与直角坐标系中的点(－2,23)表示同一个点的所有点的极坐标________________．解析：∵ρ＝ x 2＋y 2＝ －2＋32＝4，tan θ＝y x ＝23－2＝－3，∴θ＝2π3.∴点(－2,23)用极坐标表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2k π＋2π3(k ∈Z )． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2k π＋2π3(k ∈Z )三、解答题9．设点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求出点A 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ＞0，－π＜θ≤π)．解：如图所示，关于极轴的对称点为B ⎝⎛⎭⎪⎫1，－π3，关于直线l 的对称点为C ⎝⎛⎭⎪⎫1，2π3，关于极点O 的对称点为D ⎝⎛⎭⎪⎫1，－2π3. 10．已知点P 的直角坐标按伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ≤2π时，求点P 的极坐标．解：设点P 的直角坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧6＝2x ，－3＝3y .解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－ 3.∴点P 的直角坐标为(3，－3)．ρ＝32＋－32＝23，tan θ＝－33.∵0≤θ<2π，点P 在第四象限，∴θ＝11π6.∴点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π6. 11．在极轴上求与点A (42，π4)的距离为5的点M 的坐标．解：设M (r,0)，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4， 所以22＋r 2－82r ·cos π4＝5.即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7. 所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)．。