初等数学研究几何部分第三章初等几何变换

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初等数学研究第三讲

可表达性
定理必须能够以某种方式清晰地表达出来。
定理的证明方法和技巧
01
02
03
04
演绎法
从一般到特殊的推理方法，即从普遍性的前提推出特殊性的
结论。
归纳法
从特殊到一般的推理方法，即从一系列特殊事例中推出一般
性的结论。
反证法
假设某一命题不成立，然后通过推理导出矛盾，从而证明原
命题成立。
构造法
直接提供证明所需的证据或实例。
数学建模和计算技术的应用
数学建模和计算技术已经成为解决复杂问题的重要手段。未来，初等数学将更加注重培养学生的数学建模和计算技术能力，以适应数字化时代的需求。
培养学生对数学的热爱
通过丰富多样的教学方法和活动，培养学生学习数学的热情和兴趣，让他们感受到数学的魅力和应用价值。这将有助于培养更多的数学人才，推动数学的发展和创新。
代数式的化简和变形
80%
代数式的化简
掌握代数式的化简方法，如合并同类项、提取公因式等，能够将复杂的代数式化简为简单的形式。
100%
代数式的变形
理解代数式的变形技巧，如因式分解、配方等，能够根据需要将代数式进行适当的变形。
80%
代数式的应用
了解代数式在实际问题中的应用，如几何图形、物理量之间的关系等，能够运用代数式解决一些实际问题。
统计的基本概念和数据处理方法
总体和样本
总体是研究对象的全体数据，样本是从总体中抽取的一部分数据。
描述性统计
描述性统计是对数据进行整理、分类、概括和可视化，以揭示数据的分布特征和规律。
推断性统计
推断性统计是根据样本数据对总体参数进行估计和预测，常用的方法有回归分析、方差分析等。

《初等数学研究》教学大纲

《初等数学研究》课程教学大纲一、教学大纲的说明（一）课程的地位、作用和任务《初等数学研究》为第四学期的课程，是为数学系数学与应用数学（教师教育）专业本科生开设的专业选修课，是师范院校教学计划的重要组成部分，也是整个师范教育结构体系的重要支柱，学生通过学习和训练，对中小学数学教学内容有一个较全面的高观点的认识，掌握作为一名数学教师应掌握的专业知识和基本解题技能，打下扎实基础。

（二）课程教学的目的和要求本课程的教学目的是使学员掌握中小学数学教学所需的初等数学的基础理论、基本知识和基本技能；了解初等数学的内容和知识结构；在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步培训，为教好初等数学打下较坚实的基础。

本课程分为初等代数和初等几何两部分，其基本要求是：掌握：数系扩展的理论、解析式分类及其恒等变形理论、掌握用初等方法讨论函数、方程的基本概念及其解法、不等式的基本性质及其证明不等式的常用方法、利用初等几何变换解题、轨迹命题的证明方法、作图的基本知识和常用的方法。

理解：代数延拓原理、方程的同解理论、解不等式的概念和理论、合同变换、位似变换和相似变换等概念。

了解：数系扩展的形式及其所遵循的原则、函数概念的发展与几种定义方式、中学几何的逻辑结构。

（三）课程与其他课程的联系本课程涉及到部分高等数学知识，因而在开设本课程之前需为学生开设预备课程：数学分析、高等代数、解析几何。

（四）教材与教学参考书教材：华南师范大学王林全、林国泰教授主编，《初等代数研究教程》《初等几何研究教程》，暨南大学出版社2004年6月教学参考书：1、余元希等编著，《初等代数研究》，高等教育出版社，1988年2月2、王仁发编著，《高观点下的中学数学》，高等教育出版社3、陈计编，《初等数学前沿》，江苏教育出版社二、课程的教学内容、重点和难点第一部分初等代数第一章绪论内容：代数学发展概述、作为教学科目的中学代数第二章数系内容：数的概念的扩展、自然数集基数理论、序数理论、整数环、有理数域、近似计算初步、实数域、无理数的引入、实数的概念及其大小比较、实数的运算、实数集的性质、复数、复数的代数形式、复数的几何表示、复数的三角形式、复数的运算、复数集的性质。

初等几何变换

二平移变换的性质性质平移是运动性质两平移的乘积是一个平移性质平移的逆变换是一个平移性质4除幺变换外平移没有二重点但有无穷多的二重线平行于平移方向的一切直线三平移变换的应用在平移动变换下两对应线段平行或共线且相等因此凡已知条件中含有平行线段特别是含有相等线段的平面几何题往往可以用平移动变换简单处理
初等几何变换
轴反射
例 1 AD 为 ABC 的角平分线,P 为 AD 上任意一点,AB>AC. 求证： AB-AC>PB-PC。
轴反射
例 2 已知:H 为 ABC 的垂心,求证:⊙HBC=⊙HCA=⊙HAB=⊙ABC
轴反射
四、平移、旋转、和反射的关系
1、反射轴平行的两个反射之积是一个平移； 2、反射轴相交的两个反射之积是一个旋转；
1) 在相似变换下，直线、射线、线段、角、三角形、多边形和圆的像仍然分别是直线、射线、线段、角、三角形、多边形和圆；
2) 在相似变换下，不改变角的大小；
3) 相似变换的逆变换是相似变换，且 M 1 (K ) M ( 1 ) . K
4) 两个相似变换之积是相似变换，且 M (K1) M (K2 ) M (K1K2 ) .
相似变换位似变换
(1) K>0 时, H (S, K ) 称为正位似(外为位似) ,此时 MN 与 M1N1 同向平行 (2) K<0 时, H (S, K ) 称为负位似(内为位似) ,此时 MN 与 M1N1 反向平行
相似变换位似变换
关于位似说明: 1）一个位似由位似中心与为位似比确定; 2）位似比K可以取正,也可以取负;
相似变换位似变换
思考题： 1、证明四边形的两对角线之积不大于两双对边乘积之和。
（托雷密定理的推广） 2、在 ABC 中，AB=AC，有一圆 O 内切于 ABC 的外接圆，且与 AB、 AC 分别且于 P、Q。求证：线段 PQ 的中点是 ABC 的内心。（利用位似变换证明）

6几何变换思想解析

而图形变换作为几何领域的重要内容和思想方法
之一,在几何的育人方面发挥着非常重要的作用。
图形变换来源于生活中物体的平移、旋转和轴对称的这些运动现象,因而了解图形的变换,有利于我们认识生活中丰富多彩的生活空间和形成初步空间观念。利用图形变换把静止的几何问题通过运动变化,找到更加简捷的解决问题的方法。
旋转变换有以下一些性质： ①把图形变为与之全等的图形，因而面积和周长不变。 ②在旋转变换下，任意两点A和B，变换后的两点为A′
和B′,则有直线AB和直线A′B′所成的角等于θ。
③在旋转变换下,任意两点A和B变换后的对应点为A′和 B′,则有AB=A′B′。在解决几何问题时旋转的作用是使原有的图形的性质得以保持,但通过改变其位置,组合成新的图形,便于计算和证
通过直观感受判断,也就是说直观感受原图形在没有任
何转动的情况下,通过水平、竖直或者沿斜线滑动能够
与另一个图形重合,借住方格纸可以帮助我们理解其中
的道理。如在方格纸上原图形中点A(2,3),经过平移后
它的对应点为A(8,10)。那么原图形可以通过先向右平
移6格,在向上平移7格;或者先向上平移7格,再向右平移
平移变换有以下一些性质:
①图形变为与之全等的图形，因而面积和周
长不变。
②在平移变换之下两点之间的方向保持不变。
如任意两点A与B，变换后的对应点为A‘与 B＇，
则有AB//A＇B＇。
③在平移变换之下两点之间的距离保持不变。如任意两点A和B，变换后的对应点A＇和B＇，则有AB=A＇B＇。
在解初等几何问题时，常利用平移交换使分散的条件集中在一起，具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的基本图形。
在推导平行四边形、三角形和梯形的面积公式时,包括在计算组

专题：初等几何变换综述

（三）轴对称变换例：在河流 l 边建水泵站，分别向A、 B两村送水，怎样使所用水管最短? 试想：如果A、B两点处在 l 异侧，
A
B
l
P Q
A’ห้องสมุดไป่ตู้
比如A’，那就简单了。连结A‘B与 l 交于P点，则P点就是所求位置。受此启发可得如下作法：作A关于 l 的对称点A’，连接A’B与 l 交于P，则P点就是建水泵站位置。为了证明结论，在 l 上任取一点Q，通过比较容易得证。这是古老的饮马问题，在光学上有一定的应用。
本专题内容涉及初等几何方面的方法（变换）、技巧，新概念、新定理，证明题、作图题、轨迹题，以便拓展几何知识、开阔视野、与初等数学的教学联系、涉足研究等。
初等几何变换概述
把一个图形按照某种法则或规律变成另一个图形的过程，可称作几何变换。在几何变换中，图形的某些数量关系和几何性质未发生变化，则称其为几何变换下的不变量和不变性。一、合同变换定义把图形F的点一一对应到图形F’，称为从F到F’的变换。若该变换还具有保距性，则称为从F到F’的合同变换。
例在锐角三角形的所有内接三角形中，垂足三角形的周长最短。(法格勒洛问题p165) 这里只介绍证法2（施瓦尔兹证法，1843-1921）先给出一个引理：已知⊿ABC的垂足三角形是 ⊿PQR，求证∠A=∠1=∠2.（见p166，证法不同） A 证明：∵AQ⊥BC,CP⊥AB, P ∴A,P,Q,C四点共圆。 R 由圆内接四边形内角互补可知, 1 2 Q ∠1=∠A，同理∠2=∠A . B C
当A、B处于l同侧时, （1）AB⊥l, 有两解；
(教材上未讨论此情形，其作法不同上述)
A
O B l r O r l
（2）AB不垂直于l 一般情形下有两解. （3）AB∥l, 有一解。

初等几何变换

几何变换法则1：若问题的整个图形或其一部分是一个轴对称图形，则可尝试找出或作出对称轴，从对称轴上多想主意．添辅助线的具体方法：（1）若问题中有一点及一直线，可尝试过点作直线的垂线；（2）若问题中有一点及一圆，可试将点与圆心用直线连接起来；（3）若问题中有相交的两直线，可试作它们交角的分角线；（4）若问题中有平行的两直线，可试作一条与它们垂直的直线，或者试作与它们等距的一条平行线；（5）若问题中有一圆及一直线，则可试过圆心作直线的垂线．特别，对于一圆及其一条切线，可试将圆心与切点相连；对于一圆及其中一条弦，可试将圆心与弦的中点连结；（6）若问题中有两个不同的圆，可试作它们的连心线．1．以O 为圆心的两个同心圆，与一直线顺次交于A 、B 、C 、D 四点，求证：AOB COD ∠=∠．证明：作OM AD ⊥，垂足为M ，则AOM DOM ∠=∠，BOM COM ∠=∠两式相减，得AOB COD ∠=∠法则2：若问题中的图形或其一部分是一轴对称图形，也可尝试添加一些对称的线条，使图形结构更加完整，从而显示出解题途径．添辅助线的基本规律：（1）若问题中有一圆O 及其一条弦AB ，可试连半径OA 和OB （两条对称的线段），得到等腰三角形OAB ；（2）若问题中包含两个相交的圆，可试作公共弦（一条关于连心线对称的线段）；（3）若问题中包含两个相切的圆，可尝试过切点作它们的公切线（一条关于连心线对称的直线）．2．已知正方形ABCD 的边AB 延长线上有一点E ，AD 的延长线上有一点F ，满足AE AF AC ==，若直线EF 交BC 于G ，交CD 于H ，求证：EG GC CH HF ===．证明（1）：连AC ，则由对称性得GC HC =，EG FH =，再连AG ，并设EF 交AC 于K ，于是△AEK 和△ACB 都是等腰直角三角形，并且由AE AC =，知道△AEK ≌△ACB因而，EK CB =，AK AB =由此推出Rt AKG ≌Rt ABG ，∴GK GB = 由等量相减得GE GC =，因而最后有EG GC CH HF ===证明（2）：连AC ，由对称性得GC HC =，EG FH =，再连EC ，则由AE AC =，得ACE AEC ∠=∠，又因45ACB AEF ∠=∠= ，相减得ECG CGE ∠=∠，所以EG GC =，所以EG GC CH HF ===法则3：若问题中的图形的某一部分关于一直线l 对称，则可尝试对图形适当部分作关于l 的对称变换，将分散的已知条件聚拢起来．3．证明过△ABC 的垂心H 及其任两个顶点所作的三个圆彼此相等．证明：如图，作B 点关于直线AH 的对称点G ，连HG 、AG ，则由对称性得△AHG ≌△A H B ，因而AGH ABH ∠=∠，又90ABH BAE ACH ∠=-∠=∠ ，∴AGH ACH ∠=∠，因而四点A 、H 、G 、C 共圆，过A 、H 、B 所作的圆等于过A 、H 、G 所作的圆，因而等于过A 、H 、C 所作的圆，同理它们也等于过H 、B 、C 所作的圆．4．△ABC 中，AD 是角A 的角平分线，已知AB AC CD =+，求证：2C B ∠=∠证明：在AB 上取AE AC =，则E 点和C 点关于AD 对ABCDEFHKGA BCDEF HABCDE称，连DE ，由对称性得CD ED =，AED C ∠=∠，又AB AC CD =+，即AE EB AE ED +=+，∴EB ED =，由此得EDB B ∠=∠， ∴2C AED B EDB B ∠=∠=∠+∠=∠．5．已知直线MN 交线段AB 于点C ，在MN 上求一点，使它看线段AC 和BC 有相等的视角．分析：如图，设P 为所求的点，则APC BPC ∠=∠，因而APB ∠关于直线MN 对称，故可试作A 关于MN 对称点D ，D 必在PB 上，B 为已知点，D 可作出，故P 也可作出．作法：作A 关于MN 对称点D ，连BD ，则直线BD 和MN 的交点P 即为所求．6．已知过同一点O 的三条直线,,x y z 和不在这些直线上的一点P ，求用三角形，使它们以x 、y 和z 为三条分角线，并且有一边通过点P ．分析：如图，设△ABC 为所求的三角形，它的边CA 通过已知点P ，由于每个内角关于它的分角线对称，所以可顺次作P 点关于x 的对称点X ，X 关于y 的对称点Y ，Y 关于z 的对称点Z ，由对称性，顺次推出X 在AB 上，Y 在BC 上，Z 在CA 上，故由已知点P 和辅助点Z 可作出边AC ．作法：作P 点关于直线x 的对称点X ，再作X 关于y 的对称点Y ，Y 关于z 的对称点Z ，连直线PZ ，交x 于A ，交z 于C ，连直线AX ，交y 于B ，连BC ，则△ABC 就是所求．法则4：若问题中由于讨论折线而感到困难，可尝试对折线的一节或若干节逐次进行对称变换，化折线为直线．7．在定直线XY 的同侧有一点A 及一定圆O ，试在直线XY 上求一点P ，使从P 点到圆O 的切线PB 满足BPY APX ∠=∠．分析：设P 为符合条件的点，则如图，将AP 绕XY 翻A BCD P MN PXY Z A BCOxzy转180°至CP 位置，CPB 应成一直线，问题归结为过C 作圆O 的切线．作法：作A 点关于XY 的对称点C ，由C 作圆O 的切线，交XY 于P ，则P 点即为所求．本题应有两解．8．在定底定高的三角形中，等腰三角形财长最短．分析：有定底BC 和定高h 的三角形，其底点A 的轨迹是在BC 两侧且平行于BC 的两条直线a 和b ．由对称性，只须考虑其中一直线a ，如图，问题归结为在直线a 上求一点A ，使折线BAC 最短．熟知连结两点的折线拉直成线段时长度最短．但因B 和C 在a 同侧，折线BAC 不会变成线段，如果将C 点翻转到a 的另一侧就容易解决了．证明：设△ABC 是具有定底BC 和定高h 的任一三角形．过A 作直线a ∥BC ，又作C 点关于a 的对称点D ，则DA CA =，且D 与B 分居直线a 两侧，△ABC 的周长等于折线BAC 的长度加上定长BC ，折线BAC 仅当A 点落在线段BD 上时长度最短．又因a 平分线段CD ，a ∥BC ，所以若A 在BD 上，必为BD 中点，即AB AC =，就证明了等腰三角形的周长最小．9．证明直角三角形中任一内接三角形的半周大于斜边上的高．分析：要比较一条封闭折线（内接三角形的周界与一条线段的长度大小，有些困难，如能通过变换，将问题化成比较两条具有公共端点的折线长，或比较两条端点分别在平行直线上的折线长，就容易解决些，条件中有一个直角连续绕直角边翻两次可得到一组平行线．证明：如图，设CK 是Rt ABC 斜边上的高，内接△LMN 的顶点L 、M 、N 分别在AB 、BC 、CA 上，作关于直线BC 的对称变换，将△ABC 变为△DBC ，△LMN 变为△PMQ ，高CK 变为CG ；再作关于直线CD 的对称变换，将△BCD 变为△E C D ，△PMQ 变为△RSQ ，高CG 变为CH ，由于MQ MN =，QR QP NL ==，所以折线LMQR 的长度等于内接△LMN 的周长．进而从ACB ∠为直角，可知A 、C 、D 三点共线，B 、C 、EAEDCBa三点共线，由此推出K 、C 、H 三点共线，并且AB ∥ED ，两平行线AB 和ED 间的距离为2KH CK =，由于折线LMQR 的长度大于线段LR 的长，并且LR KH ≥，所以得到2LM MN NL CK ++>即△LMN 的半周长大于斜边上的高CK ．10．△ABC 的三条高线AD ，BE ，CF 恰好分别是垂足△DEF 的三条内角平分线．证明：如图，由于AD BC ⊥，BE CA ⊥，所以D 和E 都在以AB 为直径的圆上，因而ADE ABE ∠=∠，同理从A 、C 、D 、F 共圆得ADF ACF ∠=∠但90ABE BAC ACF ∠=-∠=∠所以ADE ADF ∠=∠，同理可证BEF BED ∠=∠，CFE CFD ∠=∠法则1：若问题中有一等腰三角形，可尝试绕等腰三角形的顶点旋转，旋转角等于等腰三角形的顶角，特别地，若问题中有正三角形，则可试绕正三角形的某一顶点旋转60°．11．设△ABC 为正三角形，P 为任意点，求证PA PB PC ≤+，等号当且仅当P 在△ABC 外接圆的 BC上时成立．证明：如图，将△BCP 绕B 点旋转60°，得△BAQ ，则QA PC =，并且△BPQ 中BP BQ =，60PBQ ∠=，所以△BPQ 是正三角形．因而P Q P B =，但P A P Q Q ≤+，所以PA PB PC ≤+．等号当且仅当Q 点落在线段PA 上时成立，这时60BPA BCA ∠==∠，且P 与C 在BA 同侧，即P 在△ABC 外接圆的 BC上． ABCDEFABPCQ12．在△ABC 的各边上向形外作正△BCX ，△C A Y ，△ABZ ，则在线段AX ，BY 和CZ彼此相等，并且三线两两交角为60°．证明：如图，由于△CAY 和△ABZ 是正三角形，所以将，△AYB 绕A 点旋转60°后落在△ACZ 位置，因而对应线段BY CZ =，且两线夹角为60°，同理将△CAX 绕C 点旋转60°到△CYB 位置，得AX YB =，且两线成60°角，∴AX BY CZ ==，且三线两两成60°角．图1所示为△ABC 为每个内角都小于120°的情形，若有一角大于120°或等于120°，不妨设最大角为B 角，则上列证明过程仍然全部适用，不过图形变为图2或图3．13．在△ABC 的边上向形外作正三角形BCX ，CAY ，ABZ ，则直线AX ，BY ，CZ 交于同一点（称为△ABC 的正等角中心）．证明：不妨设B ∠为最大角．①若120B ∠=，则由60120180CBX CBA ∠+∠=+=知道A ，B ，X 三点共线，同理C ，B ，Z 三点共线．所以这时AX ，BY ，CZ 三直线都通过B 点．②若120B ∠>，设AX 与CZ 的交点为，由第12题知60AOZ ∠=，因而AOZ ABZ ∠=∠18060180AOC AYC ∠=-=-∠所以O 点在正△ABZ 外接圆的 ZB上，又在正△CAY 外接圆的 CA 上，由第11题得 OB OZ OA +=，OY OA OC =+ZABC YXA BCZYXABCYZX后式减前式，整理后得OY OB OC OZ -=+，而OC OZ CZ BY +==所以OY OB BY -=，因而O ，Y ，B 三点必须在一直线上，否则它们将成为一个三角形的顶点，而与三角形两边之差小于第三边的定理矛盾．③若120B ∠<，类似地可证AX 与CZ 的交点O 也在直线BY 上，因为这时从OB OA OZ +=，OY OA OC =+可得OB OY OZ OC ZC BY +=+==总之，在各种可能情形下，AX ，BY ，CZ 三直线都交于同一点．当三角形每个角都小于120°时交点在形内，有一角大于120°时交点在形外，有一角等于120°时，交点即为钝角顶点．14．等腰△ABC 的顶角30A ∠=，A 为定点，B 点在定直线b 上移动，求C 点的轨迹．解：如图，将B 点绕A 点旋转30°就到达C 点位置，所以将动点B 的移动路线绕A 旋转30°就得到C 点的轨迹．B点沿直线b 移动，将b 绕A 点逆时针旋转30°得直线m ，顺时针旋转30°得直线l ，则C 的轨迹就是一对直线l 和m ．15．求作等腰直角三角形，使其直角顶点为定点B ，而斜边的两端分别在已知MON ∠的两边上．分析：如图，设△ABC 即为所求，绕B 点旋转90°，C 点将落在A 点位置，而ON 旋转后得直线l ，ON 过C 点，因而l 过A 点，故A 是l 与OM 的交点，因而A 可作出．作法：将ON 绕B 旋转90°得直线l ，设l 与OM 交于A ，连BA ，作BC BA ⊥交ON 于点C ，连AC ，则△ABC 即为所求．法则2：若问题中有正方形，则可尝试绕正方形的某一顶点旋转90°． 16．在△ABC 外作正方形ABEF 和ACGH ，求证：BH 与CF 相等且垂直．证明：如左图，将△AHB 绕A 旋转90°落到△ACF 的位置，故HB CF =，且两线交角为90°．ABCmb lBAM ONCD E l17．如右图，已知ABCD ，PQRS ，DQEF ，CSGH 都是正方形，PR AB ⊥，且PA PB PR ==，求证：E ，R ，G 共线，且ER RG =．证明：将△SRG 绕S 旋转90°，则G 点落在C点位置，而R 落在PS 延长线上的点M ，并且SM SR SP ==，SR PS ⊥所以RM PR PB ==，290MRP SRP RPB ∠=∠==∠，因此，四边形PRMB 是正方形，BM PB ⊥，这样一来，M 点就是直线PS 与直线CB 的交点，因而45SMC ∠= ，由此推出45SRG SMC ∠=∠= ，同理45QRC ∠= ，所以459045180ERQ QRS SRG ∠+∠+∠=++=因而E ，R ，G 三点在一直线上，又由整个图形关于直线PR 对称，立刻推出ER RG =．法则3：若问题中有一圆及一定长线，可试将该线段绕圆心O 旋转到便于研究的位置．18．已知定圆O 及定线段AB ，求作平行四边形ABCD ，使其顶点C 和D 在圆O 上．分析：如图，圆O 的弦CD 应等于AB 且平行于AB ，如果将弦CD 旋转到任意位置，只剩下长度等于AB 的要求，就容易作了．作法：在⊙O 的上任取一点E ，以E 为圆心，AB 为半径画弧，交⊙O 于F ，连EF ，取其中点G ，以O 为圆心，OG 为半径作圆，再由O 点作AB 的垂线，交所作之圆于H ，过H 作弦CD ∥AB ，连BC ，DA ，则四边形ABCD 即为所求．19．已知定⊙O 及圆外二定点P 及Q ，求作弦AB ，使它等于定长a ，并且满足PA QB =．分析：弦AB 的长度既然是定长a ，那么它所对的圆心角就是一个定角θ，将△OAP 绕圆心O 旋转θ角，得到△OBR （如图），问题简化为在⊙O 上求一点B ，使BQ BR =，这就很容易解决了．作法：连OP ，交圆O 于C ，以C 为圆心，定长为a 为半径画弧，交圆O 于D ，连OD 并延长至R ，使O R O P =，作QR 的垂直平分线，交⊙O 于B ，在圆周上沿着从D 到C 的劣弧方向取 BADC =，则A 和B 就是所求的两点．法则4：若问题中涉及某个线段的中点O ，或涉及一个以O 点为对称中心的中心对称图形，可试作关于O 点的中心对称变换（旋转180°）．20．过△ABC 底边BC 的中点M 任作一直线，交AB 边于点D ，交AC 边的延长线于F 点，则△ADF 的面积大于△ABC 的面积．证明：如图，由于C 点在A 与F 之间，所以过C 作AD 的平行线，必交线段DF 于一点E ．△MCE 与△MBD 关于点M 点中心对称，因而面积相等．但△MCE 是△MCF 的一部分，所以△MCF 比△MBD 的面积大，由此，得△ADF 的面积比△ABC 的面积大．21．在△ABC 的边上向形外作正方形ABMN 和ACPQ ，又设AD 是BC 边上的中线，则2NQ AD =，并且NQ AD ⊥．证明：如图，将△CDA 绕D 旋转180°至△BDE ，则2A E A D =，且B E A C =，BE ∥AC ，因而BE AQ ⊥，再将△ABE绕正方形ABEFC MDABMN 的中心O 旋转90°，使AB 落在NA 的位置，这时BE 将落在AQ 的位置，所以线段NQ就是由AE 旋转90°得到的，因而NQ AE =，NQ AE ⊥，即2NQ AD =，并且NQ AD ⊥．22．证明一个五边形由它各边中点的位置完全确定．分析：每边的中点都是这一边的对称中心，而已知条件只有五条边的中点位置，为了将这些条件全部用上，可试将一顶点顺次关于各边中点作中心对称变换，共变换五次．证明：设P ，Q ，R ，S ，T 为五个定点，五边形ABCDE 顺次以这五点为边AB ，BC ，CD ，DE 和EA 的中点．那么如图，将顶点A 关于P 作中心对称变换，落到B 点位置，再关于Q 作中心对称变换，B 又落到C 点位置；关于R 作中心对称变换，C 变到D ；关于S 作中心对称变换，D 变到E ；关于T 作中心对称变换，E 又变到A ．设11111A B C D E 也是以五个已知点为各边中点的五边表，那么按照上面的方法，将顶点1A 顺次关于各边中点作中心对称变换，结果也将返回1A 点．现在证明1A 点与A 点必定互相重合．由于在中心对称之下，一双对应线段平行且方向相反，所以若1A 不与A 重合，则如图，线段1AA 与1BB 平行且反向，1BB 与1CC 平行又反向，1CC 与1DD 平行又反向，1DD 与1EE 平行又反向，1EE 与2AA 平行且反向．这里2A 是1E 关于T 的对称点，由此推知2AA 与1BB 平行且同向．但1AA 与1BB 平行且反向，所以1A ，A ，2A 三点共线，且2A 与1A 在A 点异侧，因而1A 与2A 是不同的两点，这就表明T 不是线段1EA 的中点，导致矛盾．所以1A 必与A 重合．由此推出两个五边形11111ABCDE 和ABCD 完全重合，即适合条件的五边形只有一个．如图注意111112AA BB CC DD EE AA =====我们还顺便得到已知各边中点位置作出五边形的方法：任取一点1A ，作1A 关于点P的对称C 1第 11 页 (共 11 页) 点1B ，1B 关于点Q 的对称点1C ，1C 关于点R 的对称点1D ，1D 关于点S 的对称点1E ，1E 关于点T 的对称点2A ，连12A A 并取其中点A ，则A 就是所求多边形的一个顶点，顺次作中点对称变换，就得到其余各个顶点．利用上面的方法可以证明：任意奇数边形由各边中点的位置完全决定．23．已知一个顶点A 及一双对边中点M 和N 的位置，求作平行四边形．分析：中点M 和N 分别是它们所在边的对称中心，问题的条件中除去明确提供这两个对称中心外，还要求所作多边形是平行四边形，因而隐含着另一个重要的对称中心，即平行四边形的对角线交点，它也是MN 的中点．作法：如图，连MN ，取其中点O ，作A 关于M 的对称点B ，A 关于O 的对称点C ，B 关于O 的对称点D ，则A 、B 、C 、D 即为所求平行四边形的四个顶点．24．凸四边形A B C D 中，已知A B D C D B ∠>∠，ADB CBD ∠>∠，求证：AB AD CB CD +>+．证明：将△CBD 绕BD 的中点O 旋转180°至△E D B ，由于ADB CBD ∠>∠，ABD CDB ∠>∠，所以DE 在ADB ∠内，BE 在ABD ∠内，因而E 点在△ABD 内部（如图）．延长BE 交AD 于F ，则AD AF FD =+，AB AF BF +>即AB AF BE EF +>+，又因EF FD ED +>，所以AB AD BE EF FD BE ED +>++>+而BE DC =，ED CB =，所以AB AD CB CD +>+．A BD O N A B DO E F。

初三数学几何中有关变换知识精讲

初三数学几何中有关变换【本讲主要内容】几何中有关变换包括平移变换、旋转变换、轴对称变换、位似变换。

【知识掌握】【知识点精析】1. 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，得到一个新的图形，这样的图形运动称为平移变换，简称平移。

平移不改变图形的形状和大小。

2. 在平面内，将一个图形绕一个定点沿顺时针或逆时针方向旋转一个角度，得到一个新的图形，这样的图形运动称为旋转变换，这个定点称为旋转中心，运动的角称为旋转角。

如果图形上的点P经过旋转到点P＇，那么这两个点叫做旋转的对应点。

旋转不改变图形的形状和大小。

3. 由一个平面图形得到它的轴对称图形的图形运动称为轴对称变换。

4. 由一个平面图形得到它的位似图形的图形运动称为位似变换。

【解题方法指导】例1. （2006年山东）如图，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的A. 8格分析：＝9解：标记a、b、c为三条线段。

（1）a向下移动2个格；（2）b向右移动3个格；（3）c向左移动2个格，再向上移动2个格。

共移动2＋3＋2＋2＝9个格。

故选B。

解：（1）A 、B 、C 分别向下平移4个单位，到'C 'B 'A 、、位置，连结'A 'C 'C 'B 'B 'A 、、，得'C 'B 'A ∆。

（2）将'B 绕点'C 旋转︒90，到达''B 位置，'C 位置不变，标''C ，点'A 旋转到''A 位置。

连结''A ''C ''C ''B ''B ''A 、、，得''C ''B ''A ∆。

评析：平移易于画出，但旋转较难，可先画水平线变成垂直线，再定最后一个点，可由小正方形对角线去完成。

几何变换的基本概念与性质

几何变换的基本概念与性质几何变换是指在平面或空间中对图形进行变换的操作。

通过对图形的平移、旋转、缩放和对称等操作，可以改变图形的位置、形状和大小。

几何变换在数学、物理和计算机图形学等领域都有广泛应用，具有重要的理论和实际价值。

本文将介绍几何变换的基本概念和性质，以及其在不同领域的应用。

一、平移变换平移变换是指将图形按照指定的方向和距离进行移动的操作。

在平面几何中，平移变换在坐标系中的表示为{(x,y)→(x+a,y+b)}，其中a和b分别表示沿x轴和y轴的平移距离。

平移变换可以保持图形的形状和大小不变，只改变其位置。

例如，将一个矩形图形沿x轴平移10个单位，结果是矩形整体右移10个单位。

平移变换具有以下性质：1. 平移变换不改变图形的形状和大小。

2. 平移变换满足平移合成律，即多次平移变换的结果与一个平移变换等效。

二、旋转变换旋转变换是指将图形按照指定的中心点和角度进行旋转的操作。

在平面几何中，旋转变换在坐标系中的表示为{(x,y)→[x*cosθ-y*sinθ,x*sinθ+y*cosθ]}，其中θ表示旋转的角度。

旋转变换可以改变图形的位置、形状和大小，但保持图形的某些性质不变，如图形的对称性或平行关系。

旋转变换具有以下性质：1. 旋转变换不改变图形的对称性和重心位置。

2. 旋转变换满足旋转合成律，即多次旋转变换的结果与一个旋转变换等效。

3. 在平面几何中，任意图形都可以通过旋转变换得到相似图形。

三、缩放变换缩放变换是指将图形按照指定的比例进行放大或缩小的操作。

在平面几何中，缩放变换在坐标系中的表示为{(x,y)→(kx,ky)}，其中k表示缩放的比例因子。

缩放变换可以改变图形的大小，但保持图形的形状和对称性不变。

缩放变换具有以下性质：1. 缩放变换不改变图形的形状和对称性。

2. 缩放变换满足缩放合成律，即多次缩放变换的结果与一个缩放变换等效。

四、对称变换对称变换是指将图形按照指定的直线对称、点对称或中心对称进行镜像的操作。

初等几何变换=中学几何变换

初等几何变换初等几何变换，是一个将几何图形按照某种法则或规律变成另一种几何图形的过程。

它对于几何学的研究有重要作用。

初等几何变换主要包括全等变换，相似变换，反演变换。

目录概念解释全等变换相似变换反演变换概念解释全等变换相似变换反演变换展开编辑本段概念解释如果某种几何变换的全体组成一个“群”,就有相应的几何学,而讨论在某种几何变换群下图形保持不变的性质与不变量，就是相应几何学的主要内容（见埃尔朗根纲领）。

例如，研究图形在全等变换群下的不变性与不变量，就是欧几里得几何学的主要内容。

几何变换为用近代数学方法讨论初等几何提供了广阔的前景。

几何变换还在绘图、力学、机械结构的设计、航空摄影测量、电路网络等方面有广泛的应用。

编辑本段全等变换总括如果从平面(空间)到其自身的映射，对于任意两点A、B和它们的像A┡，B┡总有A┡B┡=AB。

则这个映射叫做平面（空间）的全等变换，或叫做合同变换。

显然，在全等变换下两点之间的距离是不变量。

由全等变换得到的图形与原图形相等。

在平面内存在两种全等变换，第一种叫做正常全等变换（真正全等变换），它把一个图形变成与它正常全等的图形，所谓正常全等图形是指两个全等图形上每两个对应三角形有同一方向（顺时针或逆时针方向），并且每两个对应的有向角有同一方向(图l之a)。

第二种叫做反常全等变换（镜像全等变换）,它把一个图形变成与它反常全等的图形,即对于两个全等的图形上每两个对应三角形有相反的方向，并且每两个对应的有向角有相反的方向.类似地,空间也有正常全等变换和反常全等变换。

全等变换存在逆变换、恒等变换。

接连施行两次全等变换的积仍是全等变换，所以全等变换的全体组成"群"，叫做全等变换群,也叫做刚体变换群或运动群。

平移、旋转、反射都是特殊的全等变换。

平移变换如果在平面内任意一点P变到P┡时，使得有给定的方向，并且线段PP┡有给定的长度,这种平面到其自身的映射叫做平移变换。

显然，平移变换下连接各对应点的线段互相平行且相等，各对应线段互相平行且相等。

几何变换思想-

在推导平行四边形、三角形和梯形得面积公式时,包括在计算组合图形得面积时,都用到了变换思想。如三角形面积公式得推导, 是把任意两个完全相同三角形拼成一个平行四边形,再利用三角形和平行四边形得关系,求出三角形得面积公式。这实际上是把任意一个三角形旋转180度,再沿着一条边平移,就组合成了一个平行四边形。也就是说,把任意一个三角形经过旋转和平移变换, 就变换成了平行四边形。梯形面积公式得推导也是利用了这个原理。我国古代数学家刘徽利用出入相补原理求三角形和梯形得面积,实际上也利用到了旋转变换、
第二,注意图形变换与其它几何知识得联系小学几何中得很多平面图形都是轴对称图形,如长
方形、正方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、菱形、圆等。一方面要在学习轴对称时加强对这些图形得对称轴和轴对称得有关性质得认识,另一方面要在学习轴对称时加强对这些图形得概念和性质时进一步体会它们得轴对称特点。
学段
内容和目标
第一结合生活实例,感知平移、旋转和轴对称现象学段
在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后得图形
认识轴对称图形,在方格纸上画出一个简单轴对称图形
学段
内容和目标
第二学段
认识图形得平移和旋转,体会图形得相似
确定轴对称图形得对称轴, 在方格纸上画出一个图形得轴对称图形在方格纸上画出一个简单图形平移或旋转90° 后得图形;在方格纸上画出一个简单图形按一定比例放大或缩小后得图形
案例4 、案例5
第三,对教学要求和解题方法得准确把握如前所述,课程标准对图形变换得内容和教
学要求有比较清晰得描述,尤其是要把握好两个学段得内容,教学要求和解题方法。
首先像直观判断题,例如,一个平面内有若干图形,要判断哪些图形经过平移可以互相重合,对于小学生来说很难用任何一对对应点得连线平行且相等来判断,只能通过直观感受判断,也就是说直观感受原图形在没有任何转动得情况下,通过水平、竖直或者沿斜线滑动能够与另一个图形重合,借住方格纸可以帮助我们理解其中得道理。如在方格纸上原图形中点A(2,3),经过平移后它得对应点为A(8,10)。那么原图形可以通过先向右平移6格,在向上平移7格;或者先向上平移7格,再向右平移 6格,得到平移后得图形。

初等数学研究第三章

第三章方程与函数
方程是函数变化过程中的一个特殊状态，即方程的解是函数的零点。
eg : 求f (x) 0的解，就是求函数 y f (x)的零点。
方程思想、函数思想解决问题
一、方程
讲授的内容 1、方程与方程组的有关概念 2、方程与方程组的同解变形 3、各类方程与方程组的解法重点：方程（组）的同解性判定；
节整
设两个根为 x1、x2 ,则x1
x2
b a
,
x1
x2
c. a
式
方法国数学家——系统地引入了代程数符号，推进了方程的发展——
现代数学之父
第韦达定理（复数范围）
三定理1方程节 f (x) a0 x n a1 x n1 ... an1 x an 0(a0 0)
整的n个根是x1 , x2 ,...,xn1 , xn , 那么
方程组也可以类似的分类
二、方程与方程组的同解性
F1 (x1, x2 ,...,xn ) 1 (x1, x2 ,...,xn ) A1 F2 (x1, x2 ,...,xn ) 2 (x1, x2 ,...,xn ) A2
如果A1 A2 ,则
F1 (x1, x2 ,...,xn ) 1 (x1, x2 ,...,xn )与 F2 (x1, x2 ,...,xn ) 2 (x1, x2 ,...,xn )为同解方程。注：没有特别说明方程的同解不考虑重数
互为结果方程的两个方程同解。
每一个方程是无解方程的结果方程。
定理1 如果
等价转换
F1 (x1 , x2 ,...,xn ) 1 (x1 , x2 ,...,xn )， F2 (x1 , x2 ,...,xn ) 2 (x1 , x2 ,...,xn )，

初等数学研究教案

教案课程名称：初等数学研究***师：***教师所在单位：统计系课程简介《初等数学研究》是初等教育专业的专业课。

它是在学生掌握了一定的高等数学理论知识的基础上，继教育学、心理学之后而开设的。

本课程从中学数学教学的需要出发，以基本问题分成若干专题进行研究，在内容上适当加深和拓广，在理论、观点、思想、方法上予以总结提高，并着重解决理论方面的问题。

本课程的重点是培养中小学数学教师严谨、系统的初等数学理论和基础知识，训练中小学数学教师的技巧。

《初等数学研究》包括《初等代数研究》和《初等几何研究》两部分，是初等教育专业开设的一门综合性的选修课程。

根据高等师范学校数学专业的培养目标，通过该课程的学习，使学生了解初等数学的发展过程，初等数学的内容结构，思想方法等。

理解初等数学理论知识，提高中学数学教学水平。

学习本课程，要求学生更好地掌握并处理中学数学的教材，还必须使学生理解中学数学中用描述的方法引进的一些数学概念怎样给出精确的定义，未作证明的或证明不完整的数学命题怎样做出严格的证明，以及一些广泛应用的数学方法的理论依据。

本课程摆脱了中学数学里已有的基础，以及高等数学里已作详尽讨论的知识，按照自己的逻辑系统来阐述初等数学的内容，并进行研究，将避免造成与中学数学或高等数学不必要的重复。

对于中学数学中已经解决的问题，将不在展开讨论，已有的知识与技能将作为工具来应用，在高等数学里已讨论过的有关理论，可以直接指导中学数学的，将直接应用，不再讨论。

《初等数学研究》教案1. 反射变换函数)(x f y -=与)(x f y =的图象关于y 轴对称；函数)(x f y -=与)(x f y =的图象关于x 轴对称；函数)(1x f-与)(x f y =的图象关于直线x y =对称．因此函数)(x f y -=，)(x f y -=和)(1x f-的图象可由函数的图象分别对y 轴、x 轴和直线x y =作反射得到．2. 平移变换函数b x f y +=)(的图象可由函数)(x f y =的图象沿y 轴方向上下平移b 个单位得到．当0>b 时，图象向上平移；当0<b 时，图象向下平移．函数)(m x f y +=的图象可有函数)(x f y =的图象沿x 轴方向左右平移m 个单位得到．当0>m 时，图象向左平移；当0<m 时，图象向右平移．３. 伸缩变换函数)0)((>=k x kf y 的图象可由函数)(x f y =的图象沿y 轴方向放大)1(>k k 倍或缩短)10(<<k k 倍得到；而函数)0)((>=k kx f y 的图象可由函数)(x f y =的图象沿轴x 方向压缩)1(>k k 倍或伸长)10(1<<k k 倍得到．例3 作出函数211x y -=的图象．解易知211xy -=的定义域为),1()1,1()1,(+∞⋃-⋃--∞，且没有零点，)1,1(-是其正值区间．),1(),1,(+∞--∞是其负值区间．所给函数是偶函数，其图象关于y 轴对称．当0=x 时，该函数有极小值1．当]1,0[∈x 时单调递增，当)0,1(-∈x 时单调递减，当)1,1(-∈x 时，函数是下凸的．当),1(+∞∈x 时，函数单调递增，且上凸；当），（1-∞-时，函数单调递减，且上凸．由于011lim 11lim 22=-=-+∞→-∞→x x x x 在)1,1(-区间内+∞=-=-+-→→212111lim 11lim x x x x 在区间内-∞=---→2111lim xx 在),1(+∞区间内-∞=-+→2111lim xx 所以函数图象无限趋近于x 轴与直线1±=x 根据以上分析容易作出函数的图象。

《初等数学研究》教学大纲

理解：代数延拓原理、方程的同解理论、解不等式的概念和理论、合同变换、位似变换和相似变换等概念。

了解：数系扩展的形式及其所遵循的原则、函数概念的发展与几种定义方式、中学几何的逻辑结构。

（三）课程与其他课程的联系本课程涉及到部分高等数学知识，因而在开设本课程之前需为学生开设预备课程：数学分析、高等代数、解析几何。

《初等几何研究》教学大纲

课程名称：初等几何解题研究课程编码：0702032110适用专业及层次：数学教育专科生课程总学时：72课程总学分：一、课程的性质、目的与任务1、本课程的性质：专业课。

2、课程目的与任务：通过本课程的学习使学生初中数学几何教学所需的初等几何的基础理论、基本知识和基本技能；了解中学数学的内容和知识结构。

并对初等几何的一些定理进行补充，使学生在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步的培训，为教好中学数学打下较好的基础。

二、教学内容、教学要求及教学重难点总论教学内容：了解初等几何研究的对象和目的，了解中学几何的逻辑结构。

应根据中学数学的内容和知识结构，把初等数学的一些基本问题分别组成若干专题，在内容上适当延伸和充实，在理论、观点和方法上予以提高的原则。

教学要求：着重于基本知识基本理论的讲授和学生对几何问题的观察、分析、综合、推究能力的培养，重点难点：了解中学几何的逻辑结构第一章几何题的证明教学内容：第一节．几何证明的概述1.几何证明的一般方法了解直观与推理，了解关于命题的证明；了解直接证法与间接证法；几种证题方法：综合法与分析法; 演绎法与归纳法.2.几何证明的特殊方法了解几何证明一些特殊方法：分解法、扩充法、特殊化法、类比法、面积法、转换法、变换法、代数法、三角法、解析法等第二节正度量关系1.证两线段相等关系掌握常用的证明线段相等的方法技巧2.证两角的相等关系证明两角相等的方法，了解证明两角相等的途径3.证线段合角的和差倍分关系和差倍分的证题方法及常用定理4.证线段与角的不等关系掌握证明不等量的常用定理5.证成比例线段的关系成比例线段证题方法及常用定理6.证定值问题了解两种处理定值问题的方法第三节证位置关系1.证两线段平行的关系掌握证明平行线的方法及常用定理2.证两直线的垂直关系掌握垂直线的证法及常用技巧3.证点的共线关系共线点的证法，了解梅涅劳定理4.证线的共点关系共点线的证法，了解锡瓦定理5.证点的共圆关系掌握共圆点的证题方法6.证圆的共点关系掌握共点圆的证题方法教学要求：讲授证题法与证题术，对初等几何的一些定理进行补充，使学生在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步的培训。

初等几何研究讲义(提纲)(函授用)

初等几何研究讲义（提纲）（函授用）引言1. 本课程特点 :《初等几何研究》课主要是对中学几何内容的补充、深化、融会贯通。

进一步明确初等几何的基本概念、思想方法、理论体系。

为胜任中学几何教学打好基础。

2. 初等几何发展简史初等几何是世界上最先成熟的一门学科。

“几何”一词最早来源于希腊文 , 意思是“土地测量”，即几何来源于生产实践中土地测量的需要。

世界上四大文明古国埃及、印度、巴比伦、中国都位于大河流域。

因人类、动物、植物生长中都离不开水 , 这些国家首先发展了农业 , 也发展了几何学。

三千多年前在古埃及 , 每年雨季一到 , 尼罗河水泛滥 , 大批良田被淹, 两岸田亩地界被水冲坏，而农民租种的土地是国王按照同样大小的正方形分配给他们的。

每年要缴租金 , 为计算租金数量 , 洪水退后 , 要重新测量土地。

几何学就是这样在计算和测量中产生 , 并应用几何知识 , 造出了金字塔。

埃及人在实践中获得了丰富的几何知识经验 , 而把这时经验集中起来，形成系统的知识 , 并将其推广的却是与埃及隔海相望的古希腊人。

公元前五、六世纪 , 古希腊学者泰勒斯 , 毕达哥拉斯年轻时都到过埃及 , 学习埃及人的几何经验 , 并将这些知识系统化。

泰勒斯重要发现：对顶角相等 , 半圆上的圆周角是直角 , 等腰三角形的底角相等 ... ...，毕达哥拉斯重要发现 : 三角形的内角定理 , 正多面体最多有五种。

欧几里得 ( 公元前330年至前275 年 , 古希腊人)在前人工作的基础上, 总结 , 发展了几何学 , 使几何系统化、严谨化。

写出了光辉著作《几何原本》。

世界历史上从来末有一本科学书籍象《几何原本》那样长期地成为广大教师、学生的读物 , 《几何原本》手抄本先流传了 1800 多年 , 从 1482年至19 世纪末 ,印刷本用各种文字出了一千版以上。

元朝（13 世纪）阿拉伯文本传入我国。

明朝 (17 世纪 ) 徐光启汉译本出版。

第三章初等几何变换

（2）旋转变换下任两对应直线的夹角大小不变，都等于其旋转角。
定义：旋转角为 180 的旋转变换称为中心对称变换。性质：（1）在中心对称下，过对称中心的直线变为自身（2）若两条直线关于某点成中心对称，则它们平行（3）若两直线平行，那么它们是中心对称变换下的两条直线
3. 利用旋转变换进行几何证明例1.利用旋转变换证明勾股定理。
1在中心对称下过对称中心的直线变为自身2若两条直线关于某点成中心对称则它们平行3若两直线平行那么它们是中心对称变换下的两条直线中点过引互相垂直的两线交bcacpqbqpaacabpcpbpa图形f图形f返回性质性质位置集中条件化显roq的性质为等腰三角形为斜边上任一点求证
第四章初等几何变换的理论与方法
def 1
2.性质（1）在直线反射变换下，两点之间的距离不变。
（2）直线反射变换下，角的大小不变，但方向相反。
补充知识
def 对于同一平面上的两个 ABC 和 A B C 如果沿周界ABCA的方向有正向（逆时针方向）或负向（顺时针）分别称为不同的定 C 向。
几何变换：将几何图形按照某种法则或规律变换成另一种几何图形的过程研究几何变换的主要问题：
讨论各种几何变换下的不变性与不变量应用于几何证明问题
不变量：已知图形在某一变换下变成另一图形，有些表示图形特征的数量在这个变换下不变，这个数量叫做已知变换的不变量。
不变性：已知图形在某一变换下变成另一图形，有些表示图形的特性在这个变换下不变，这些性质叫做已知变换的不变性。
A
●
B
P
D
C
分析：若能构造满足条件的凸四边形即可 PA，PB，PC，PD从同一点出发的四线段变为首尾相连的凸四边形而不改变大小。

初等几何变换012

课堂小结
位似变换及位似图形的概念:
如果两个图形不仅形状相同,而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比.
位似图形的性质:
1.位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 2.在位似变换下， ①直线变换直线； ②共线点变换为共线点； ③共点线变换为共点线； ④射线变换为射线，角变换为角； ⑤三角形变换为三角形，且三角形的心变换为对应三角形的心. （如外心变换为外心，等等）
课堂小结
位似图形的性质:
3.位似变换具有反射性，对称性和传递性. 4.一对位似对应点与位似中心共直线.
位似图形的作法位似变换的应用几何变换的教学要领
联系实际，讲清概念纵横比较，指出异同讲练结合，分析思路合理要求，因材施教
A' . A
并把△ABC的边长扩大
到原来的两倍.
O. B B’
C C’
OA:OA’ =OB:OB’ =OC:OC’= 1:2
作法
C’
思考：还有没其他作法？
B’ A
. O
B C
A'
如果位似中心跑到三角形内部呢？
应用
以△ABC的三边为底作三个转向相同的相似等腰三角形C’AB，A’CB，B’AC. 求证A’CB’C是平行四边形. 证明一: ∠ABC’ =∠CBA’ △C’AB∽△A ’CB ∠ABC’ + ∠C’BC =∠CBA’ + ∠C’BC ∠ABC’ =∠C’BA’ AB:BC =C’B:BA’ △ABC∽△C’BA’ △ABC∽△AC’B’
初等几何变换
回顾与反思
1. 前面我们已经学习了图形的哪些变换？

初等数学研究 几何部分 第三章 初等几何变换

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