2010-2018高考题汇编专题二 函数概念与基本初等函数 第六讲函数综合及其应用答案

专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ第六讲 函数综合及其应用答案部分1．A 【解析】解法一 函数()f x 的图象如图所示，当||2xy a =+的图象经过点(0,2)时，可知2a =±．当2x y a =+的图象与2y x x =+的图象相切时，由22x a x x+=+，得2240x ax -+=，由0∆=，并结合图象可得2a =，要使()||2xf x a +≥恒成立，当0a ≤时，需满足2a -≤，即20a -≤≤，当0a >时，需满足2a ≤，所以22a -≤≤．解法二 由题意0x =时，()f x 的最小值2，所以不等式()||2xf x a +≥等价于 ||22xa +≤在R 上恒成立． 当a=0x =，得|22x+>，不符合题意，排除C 、D ； 当a =-0x =，得|22x->，不符合题意，排除B ；选A ．2．B 【解析】由()(2)f x f x =-知()f x 的图像关于直线1x =对称，又函数22|23||(1)4|y x x x =--=--的图像也关于直线1x =对称，所以这两个函数图像的交点也关于直线1x =对称， 不妨设12m x x x <<⋅⋅⋅<，则112mx x +=，即12m x x +=， 同理212m x x -+=，……，由121mim i xx x x ==++⋅⋅⋅+∑，所以121112()()()2mim m m i xx x x x x x m -==++++⋅⋅⋅++=∑，所以1mii xm ==∑，故选B ．3．B 【解析】由已知可设2(0)()2(0)-⎧≥⎪=⎨<⎪⎩x xx f x x ，则2(0)()2(0)-⎧≥⎪=⎨<⎪⎩a a a f a a ，因为()f x 为偶函数，所以只考虑0≥a 的情况即可．若()2≤b f a ，则22≤a b，所以≤a b ．故选B ．4．B 【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V =升．而这段时间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米．所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008600⨯=升，故选B ． 5．B 【解析】采用特殊值法，若1,2,3,1,2,3x y z a b c ======，则14ax by cz ++=，10az by cx ++=，11ay bz cx ++=，13ay bx cz ++=，由此可知最低的总费用是az by cx ++．6．B 【解析】由题意可知2p at bt c =++过点（3，0.7），（4，0.8）（5，0.5），代入2p at bt c =++中可解得0.2, 1.5,2a b c =-==-， ∴220.2 1.520.2( 3.75)0.8125p t t t =-+-=--+ ∴当 3.75t =分钟时，可食用率最大．7．D 【解析】设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则2(1)(1)(1)p q a a x ++=+，解得1x =，故选D ．8．A 【解析】解法一 由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为y = -x ，在(2，0)处的切线方程为y = 3x -6，以此对选项进行检验．A 选项，321122y x x x =--，显然过两个定点，又2312y x x '=--， 则02|1,|3x x y y ==''=-=，故条件都满足，由选择题的特点知应选A ．解法二 设该三次函数为32()f x ax bx cx d =+++，则2()32f x ax bx c '=++由题设有(0)0(2)0(0)1(2)3f f f f =⎧⎪=⎪⎨'=-⎪⎪'=⎩，解得11,,1,022a b c d ==-=-=．故该函数的解析式为321122y x x x =--，选A ．9．A 【解析】设所求函数解析式为()y f x =，由题意知(5)2,52f f =--=（）， 且(5)0f '±=，代入验证易得3131255y x x =-符合题意，故选A ． 10．1[,2]8【解析】当30x -≤≤时，()||f x x ≤恒成立等价于222x x a x ++--≤恒成立，即232a x x --+≤恒成立，所以2min (32)2a x x --+=≤； 当0x >时()||f x x ≤恒成立等价于222x x a x -+-≤恒成立，即22x x a -+≥恒成立，所以2max 1()28x x a -+=≥．综上，a 的取值范围是1[,2]8．11．36π【解析】取SC 的中点O ，连接,OA OB ，因为,SA AC SB BC ==，所以,OA SC OB SC ⊥⊥． 因为平面SAC ⊥平面SBC ，所以OA ⊥平面SBC ． 设OA r =，3111123323A SBC SBC V S OA r r r r -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=所以31933r r =⇒=，所以球的表面积为2436r ππ=．12．1[,1]2【解析】由题意，22222(1)221u x y x x x x =+=+-=-+，且[0,1]x ∈，又0x =时，221u x y =+=，12x =时，2212u x y =+=，当1x =时，221u x y =+=，所以22x y +取值范围为1[,1]2．1322221145+28=4833r r r ππππ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⇒=14．)+∞【解析】函数()g x 的定义域为[1,2]-，根据已知得()()()2h x g x f x +=，所以()=2()()62h x f x g x x b -=+()()h x g x >恒成立，即62x b +>，令3y x b =+，y =，则只要直线3y x b =+在半圆224(0)x y y +=≥2>，解得b >，故实数b 的取值范围是)+∞．15．160【解析】设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长x m ，因为无盖长方体的容积为34m ，高为1m ，所以长方体的底面矩形的宽为4m x，依题意，得24420410(2)8020()8020160y x x x x ⨯=⨯++=+++⨯=≥． 16．①③④【解析】对于①，根据题中定义，()A f x ∈⇔函数()y f x =，x D ∈的值域为R ，由函数值域的概念知，函数()y f x =，x D ∈的值域为,R b R a D ⇔∀∈∃∈()f a b =，所以①正确；对于②，例如函数||1()()2x f x =的值域(0,1]包含于区间[1,1]-，所以()f x B ∈，但()f x 有最大值l ，没有最小值，所以②错误；对于③，若()()f x g x B +∈，则存在一个正数1M ，使得函数()()f x g x B +∈的值域包含于区间11[,]M M -，所以1M -≤()f x 1()g x M +≤，由()g x B ∈知，存在一个正数2M ，使得函数()g x 的值域包含于区间22[,]M M -，所以22()M g x M -≤≤，亦有22()M g x M -≤-≤，两式相加得12()M M -+≤()f x ≤12M M +，于是()f x B ∈，与已知“.()f x A ∈”矛盾，故()()f x g x B +∉，即③正确；对于④，如果0a >，那么,()x f x →+∞→+∞，如果0a <，那么2,()x f x →-→+∞，所以()f x 有最大值，必须0a =，此时2()1x f x x =+在区间(2,)-+∞上，有11()22f x -≤≤，所以()f x B ∈，即④正确，故填①③④．17．【解析】(1)当030x <≤时，()3040f x =<恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间；当30100x <<时，若40()f x <，即180029040x x+->，解得20x <（舍）或45x >； ∴当45100x <<时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； (2)设该地上班族总人数为n ，则自驾人数为%n x ⋅，乘公交人数为(1%)n x ⋅-．因此人均通勤时间30%40(1%),030()1800(290)%40(1%),30100n x n x x ng x x n x n x x x n ⋅⋅+⋅⋅-⎧<⎪⎪=⎨+-⋅⋅+⋅⋅-⎪<<⎪⎩≤，整理得：240,0010()1(32.5)36.875,3010050x x g x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤3，则当(0,30](30,32.5]x ∈，即(0,32.5]x ∈时，()g x 单调递减；当(32.5,100)x ∈时，()g x 单调递增．实际意义：当有32.5%的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短． 适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．18．【解析】（1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为()5,40，()20,2.5．将其分别代入2a y xb =+，得4025 2.5400aba b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得10000a b =⎧⎨=⎩． （2）①由（1）知，21000y x =（520x ≤≤），则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，32000y x'=-， 则l 的方程为()2310002000y x t t t -=--，由此得3,02t Α⎛⎫ ⎪⎝⎭，230000,Βt ⎛⎫⎪⎝⎭．故()f t ==，[]5,20t ∈．②设()624410g t t t ⨯=+，则()6516102g t t t⨯'=-．令()0g t '=，解得t =当(t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；当()20t ∈时，()0g t '>，()g t 是增函数．从而，当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =， 此时()min f t =答：当t =l的长度最短，最短长度为19．【解析】（Ⅰ）因为蓄水池侧面积的总成本为1002200rh rh ππ⋅=元，底面的总成本为2160r π元，所以蓄水池的总成本为（2200160rh r ππ+）元.又题意据220016012000rh r πππ+=，所以21(3004)5h r r=-， 从而23()(3004)5V r r h r r ππ==-．因0r >，又由0h >可得r <故函数()V r的定义域为. （Ⅱ）因3()(3004)5V r r r π=-，故2()(30012)5V r r π'=-．令()0V r '=，解得125,5r r ==-（因25r =-不在定义域内，舍去）. 当(0,5)r ∈时，()0V r '>，故()V r 在(0,5)上为增函数；当r ∈时，()0V r '<，故()V r在上为减函数. 由此可知，()V r 在5r =处取得最大值，此时8h =． 即当5r =，8h =时，该蓄水池的体积最大.20．【解析】（1）当1,1,2b c n ==-…时，()1nf x x x =+-．∵111()(1)()10222nf f =-⨯<，∴()f x 在1(,1)2内存在零点． 又当1(,1)2x ∈时，1()10n f x nx -'=+>，∴()f x 在1(,1)2上是单调递增的，∴()f x 在区间1(,1)2内存在唯一的零点；（2）解法一 由题意知1(1)1,1(1)1,f f --⎧⎨-⎩剟剟即02,20,b c b c -⎧⎨-+⎩剟剟由图像知，3b c +在点(0,2)-取得最小值6-，在点(0,0)取得最大值0．b解法二 由题意知1(1)11f b c-=++剟，即20b c -+剟．…①1(1)11f b c --=-+剟，即20b c --+?-?．…② ①2⨯+②得62()()30b c b c b c -++-+=+?-?， 当0,2b c ==-时，36b c +=-；当0b c ==时，30b c +=． 所以3b c +的最小值6-，最大值0． 解法三 由题意知(1)1,(1)1,f b c f b c -=-+⎧⎨=++⎩，解得(1)(1)(1)(1)2,22f f f f b c --+--==，32(1)(1)3b c f f +=+--．又∵1(1)1,1(1)1,f f --⎧⎨-⎩剟剟，∴630b c -+??．当0,2b c ==-时，36b c +=-；当0b c ==时，30b c +=． 所以3b c +的最小值6-，最大值0． (3)当2n =时,2()f x x bx c =++．对任意12,x x [1,1]∈-都有有12()()4f x f x -…等价于()f x 在[-1,1]上的最大值与最小值之差4M …．据此分类讨论如下: (ⅰ)当12b>,即2b >时, (1)(1)24M f f b =--=>,与题设矛盾． (ⅱ)当102b --<…,即02b <…时, 2(1)()(1)422b bM f f =--=+…恒成立．(ⅲ) 当012b-<…,即20b -剟时, 2(1)()(1)422b bM f f =---=-…恒成立．综上可知,22b-剟．21．【解析】设包装盒的高为h （cm ），底面边长为a （cm ），由已知得.300),30(22260,2<<-=-==x x xh x a（1）,1800)15(8)30(842+--=-==x x x ah S 所以当15=x 时，S 取得最大值．（2）).20(26),30(22222x x V x x h a V -='+-== 由00=='x V 得（舍）或x =20．当)20,0(∈x 时，0V '>；(20,30)0x V '∈<当时． 所以当x =20时，V 取得极大值，也是最小值． 此时12h a =，即装盒的高与底面边长的比值为12．。