第十二章 动量矩定理(修改后)

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§12-2 动量矩定理
解：取整体为研究对象
Lo ( J mvR)
( e) m ( F o i ) (M mgsin R)
由质点系对O轴的动量矩定理，有：
d J mvR M mg sin R dt
因
v R
dv a dt
得
MR m gR2 sin a J m R2
上式在直角坐标轴上的投影式
d M x ( mv ) M x ( F ) dt
d M y ( mv ) M y ( F ) dt
d M z (mv ) M z ( F ) dt
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§12-2 动量矩定理
二、质点系的动量矩定理
设质点系内有n 个质点。Fi(i)——第i个质点上的内力，Fi (e)— —第i个质点上的外力。 由质点的动量矩定理有：
J zC mi r12 mi ( x12 y12 )
因为x=x1，y=y1+d ，于是
J z mi r 2 mi ( x 2 y 2 )
J Z mi x12 ( y1 d )2 mi ( x12 y12 ) 2d mi y1 d 2 mi
理论力学
第十二章 动量矩定理
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第十二章 动量矩定理
§12-1 质点和质点系的动量矩 §12-2 动量矩定理 §12-3 刚体绕定轴的转动微分方程 §12-4 刚体对轴的转动惯量 §12-5 质点系相对于质心的动量矩定理 §12-6 刚体的平面运动微分方程
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§12-1 质点和质点系的动量矩 一、质点的动量矩
1 2 J z ml 3
应用平行轴定理，得
J zC
l 2 1 J z m( ) ml 2 2 12
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§12-4 刚体对轴的转动惯量
四、计算转动惯量的组合法 当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部 分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。 例:钟摆： 均质直杆m1, 解： l ；均质圆盘：m2 , R 。 求 JO 。
M O (F ) r F
将动量矩对时间取一阶导数， 得
d d dr d M O (mv ) (r mv ) mv r (mv ) dt dt dt dt
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§12-2 动量矩定理
则上式为
d d dr d M O (mv ) (r mv ) mv r (mv ) dt dt dt dt d dr ( mv ) F v dt dt
或
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§12-4 刚体对轴的转动惯量
二、回转半径（或惯性半径） 回转半径（或惯性半径）定义为
z
如已知ρz ，则
Jz m
J z m z2
即物体的转动惯量等于该物体的质量与回转半径平方的乘积。
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§12-4 刚体对轴的转动惯量
三、平行轴定理 定理 刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、 并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方 的乘积，即
n d Ly M y ( Fi ( e) ) dt i 1
n d Lz M z ( Fi ( e ) ) dt i 1
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§12-2 动量矩定理
三、动量矩守恒定律 质点： 如果 如果
M O (F ) 0
则 则
MO (mv ) 常矢量。
M x (F ) 0
M x (mv ) 常量。
i 1
n d 2 J Z 2 M Z ( Fi ) dt i 1
n
以上各式均称为刚体绕定轴转动微分方程。 转动惯量是刚体转动惯性的度量。
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§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程
【例4】飞轮对轴O的转动惯量为Jo，以角速度ω0 绕轴O转动。制 动时，闸块给轮以正压力FN，已知闸块与轮之间的滑动摩擦因数为 f，轮的半径为R，轴承的摩擦忽略不计。求制动所需的时间t。 解：以轮为研究对象 取逆时针方向为正，刚体 的转动微分方程为：
由质心坐标公式 mi y1 yC mi 当坐标原点取在质心C时，yC=0，


m y
i
1
0 又有
m
i
m
于是得
J z J zC md2
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§12-4 刚体对轴的转动惯量
【例6】质量为m，长为l的均质细直杆如图，求此杆对于垂直 于杆轴且通过质心C的轴zc的转动惯量。 解：因为
质点对于点O的动量矩——质 点Q的动量对于点O的矩。即
M O (mv ) r mv
质点对于z轴的动量矩——质点 动量mv在Oxy平面内的投影 (mv)xy 对于点O的矩。即
M Z (mv ) M O (mv) xy


质点Q的动量矩矢在过点O的z轴上投影，等于对z轴的动量矩。 即
MO (mv)Z M Z (mv )
1 2 d (m1 m2 m)r (m1 m2 ) gr 2 dt
d 2(m1 m2 ) g dt (2m1 2m2 m)r
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§12-2 动量矩定理
【例3】水平杆AB长为2a，可绕铅垂轴z转动，其两端各用铰 与长为l的杆AC及BD相连，杆端各连结质量为m的小球C和D。起 初两小球用细线相连，使杆AC与BD均为铅垂时，系统绕z轴的角 速度为ω0 。如果此时细线拉断后，杆AC和BD各与垂线成θ角，不
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Байду номын сангаас12-2 动量矩定理
【例2】 已知: m1 m2 、m 、r 。 求角加速度。 解：取整体为研究对象
LO m1 r 2 m2 r 2 1 2 mr 2
( e) M ( F O ) (m1 m2 )gr
1 (m1 m2 m)r 2 2
由质点系对O轴的动量矩定理，有：
计各杆的质量，求这时系统的角速度ω 。
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§12-2 动量矩定理
解：取整体为研究对象 因为 所以
(e) M ( F Z )0
LZ 常数
当θ= 0时，
LZ1 2ma0 a 2ma20
当θ≠0时， 由LZ1=LZ2，得
LZ 2 2m(a l sin ) 2
a2 0 2 (a l sin )
JO d FR fFN R dt
积分 解得


0
0
J O d fFN Rdt
0
t
J O0 t fFN R
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§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程
【例5】 提升装置中，均质圆轮A、B的质量分别为m1、m2 , 半
径分别为 r1、r2 ,物体C 的质量为m3 ，轮A上作用常力矩M1 。求
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§12-4 刚体对轴的转动惯量
一、简单形状物体的转动惯量计算
（1）均质细直杆对于z轴的转动惯量
设杆长为l，单位长度的质量为ρ,取杆上一微段dx，其质量 mi=ρdx，则 3 l l J z ( dx x 2 ) 0 3 杆的质量 于是
m l
1 2 J z ml 3
因为 得
a 1r1 2 r2
F F'
2( M 1 r1m3 g ) a r1 (m1 m2 2m3 )
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§12-4 刚体对轴的转动惯量
刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量，刚体对任意轴z的 转动惯量定义为
J z mi ri 2
i 1
n
由上式可见，转动惯量的大小不仅与质量大小有关，而且与质量的 分布情况有关。 在国际单位制中其单位为kg•m2。 转动惯量恒为正值。
d M O (mi v i ) M O ( Fi (i ) ) M O ( FI( e ) ) dt
这样的方程共有n个，相加后得
n n d M O (mi v i ) M O ( Fi (i ) ) M 0 ( Fi ( e ) ) i 1 dt i 1 i 1 n n n d d d (i ) M ( m v ) M ( m v ) LO O i i O i i M 0 ( Fi ) 0 dt i 1 dt i 1 dt i 1 n
在国际单位制中动量矩的单位为 kg m2/s
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§12-1 质点和质点系的动量矩
二、质点系的动量矩
质点系对点O的动量矩 ——各质点对点O的动量矩的矢量和。 n 即
LO M O (mi v i )
i 1
质点系对z轴的动量矩 ——各质点对z轴的动量矩的代数和。 即
LZ M Z (mi v i )
质点系对点O的动量矩矢在通过该点的z轴上的投影等于质 点系对于该轴的动量矩。
LO Z LZ
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§12-1 质点和质点系的动量矩
刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算 其动量矩。 刚体转动时，刚体对转轴的动量矩为
n n
LZ M Z (mi v i ) mi vi ri
物体C上升的加速度。
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§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程
解: 取轮A为研究对象
1 m1r121 M 1 Fr1 2
再取轮B和物体C为研究对象
d 1 ( m2 r22 2 m3 r2 v) F ' r2 m3 gr2 dt 2
1 m2 r22 2 m3 r2 a ( F 'm3 g )r2 2
设圆板的半径为R，质量为m 。将圆板分为无数同心的薄圆环， 任一圆环半径为ri，宽度为dri，则薄圆环的质量为
mi 2 ri dri A
m 式中 A R 2
R
，是均质圆板单位面积