高中数学优秀教案 2.2.2第2课时学案设计
2019_2020学年高中数学第2章2.2.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用学案新人教A版选修2_1
第2课时椭圆的标准方程及性质的应用1．点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b2>1．2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b2＝1，消去y 得一个关于x 的一元二次方程．思考：(1)(2)直线y ＝kx ＋1与椭圆x 24＋y 23＝1有怎样的位置关系？[提示] (1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．(2)直线y ＝kx ＋1恒过定点(0，1)，点(0，1)在椭圆x 24＋y 23＝1的内部，因此直线与椭圆相交．1．直线y ＝x ＋1与椭圆x 2＋y 22＝1的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定C [联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 2＋y 22＝1，消去y ，得3x 2＋2x －1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0，∴直线与椭圆相交．]2．直线x ＋2y ＝m 与椭圆x 24＋y 2＝1只有一个交点，则m 的值为( )A ．2 2B ．± 2C ．±2 2D ．±2C [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝m ，x 2＋4y 2＝4，消去y 并整理得 2x 2－2mx ＋m 2－4＝0.由Δ＝4m 2－8(m 2－4)＝0，得m 2＝8. ∴m ＝±2 2.]3．若点A (a ，1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是________．(－2，2) [∵点A 在椭圆内部， ∴a 24＋12＜1，∴a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2.] 4．如果椭圆x 236＋y 29＝1的一条弦被点(4，2)平分，那么这条弦所在直线的斜率是________．－12 [设此弦的两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1， 两式相减，得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）36＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）9＝0，又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12， 即此弦所在直线斜率为－12.]【例1】 对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆4＋y 2＝1的位置关系．思路探究：联立两个方程―→消去y 得到关于x 的一元二次方程―→求Δ―→讨论Δ得结论[解] 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ， ①x 24＋y 2＝1. ② 将①代入②得：x 24＋(x ＋m )2＝1， 整理得：5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.③Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m ＝±5时，方程③有两个相等的实数根，代入①得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m ＜－5或m ＞5时，方程③无实根，此时直线与椭圆相离．代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ<0⇔直线与椭圆相离．提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系．1．(1)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33C [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 23＋y 22＝1得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，由题意知Δ＝144k 2－24(3k 2＋2)＝0， 解得k ＝±63.] (2)直线y ＝kx －k ＋1(k ∈R )与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，5 [直线y ＝k (x －1)＋1恒过定点P (1，1)，直线与椭圆总有公共点等价于点P (1，1)在椭圆内或在椭圆上．所以125＋12m ≤1，即m ≥54，又0<m <5，故m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，5.]【例2】 过椭圆16＋4＝1内一点M (2，1)引一条弦，使弦被M 点平分．(1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长．思路探究：(1)法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解． 法二：点差法．(2)设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用弦长公式求解．[解] (1)法一：设所求直线方程为y －1＝k (x －2)．代入椭圆方程并整理，得 (4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是方程的两个根， 于是x 1＋x 2＝8（2k 2－k ）4k 2＋1. 又M 为AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4（2k 2－k ）4k 2＋1＝2， 解得k ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 又M (2，1)为AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A ，B 两点在椭圆上， 则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0.于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24（y 1＋y 2）＝－12， 即k AB ＝－12.又直线AB 过点M (2，1)， 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.(2)设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，得x 2－4x ＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝0，∴|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122·42－4×0＝2 5.1．直线与椭圆相交弦长的求法(1)直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)弦长公式：当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有|AB |＝ （x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）（x 1－x 2）2＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2（y 1－y 2）2 ＝1＋1k2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2(k 为直线斜率)．提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况． 2．解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，①②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB＝－b 2x 0a 2y 0.2．(1)已知点P (4，2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则直线l 的方程为________．x ＋2y －8＝0 [由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)，而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0.设直线l 与椭圆的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝8k （4k －2）4k 2＋1＝8，所以k ＝－12.所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.](2)已知点P (4，2)是直线l ：x ＋2y －8＝0被焦点在x 轴上的椭圆所截得的线段的中点，则该椭圆的离心率为________．32 [设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)， 直线x ＋2y －8＝0与椭圆交于A ，B 两点，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1， ②①－②得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b2＝0， 即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）. 因为k AB ＝－12，AB 中点为(x 0，y 0)，x 0＝4，y 0＝2，所以－12＝－2b 2a 2，即a 2＝4b 2.所以该椭圆的离心率为e ＝1－b 2a 2＝32.] (3)已知动点P 与平面上两定点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率的积为定值－12.①试求动点P 的轨迹方程C ；②设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M ，N 两点，当|MN |＝423时，求直线l 的方程．[解] ①设动点P 的坐标是(x ，y )，由题意得，k PA ·k PB ＝－12.∴y x ＋2·yx －2＝－12，化简整理得x 22＋y 2＝1.故P 点的轨迹方程C 是x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．②设直线l 与曲线C 的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0. ∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k2，x 1·x 2＝0.|MN |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1·x 2＝423， 整理得k 4＋k 2－2＝0， 解得k 2＝1或k 2＝－2(舍)． ∴k ＝±1，经检验符合题意．∴直线l 的方程是y ＝±x ＋1，即x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.与椭圆有关的综合问题1．直线y ＝kx ＋1表示过点(0，1)且斜率存在的直线，即不包含直线x ＝0，那么直线x ＝ky ＋1表示什么样的直线？[提示] 直线x ＝ky ＋1，表示过点(1，0)且斜率不为0的直线，即不包含直线y ＝0. 2．如果以线段AB 为直径的圆过点O ，那么可以得到哪些等价的条件？ [提示] (1)设AB 的中点为P ，则|OP |＝12|AB |.(2)OA →·OB →＝0.【例3】 如图所示，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点(0，2)，且离心率e ＝22. (1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．思路探究：(1)由椭圆经过的一点及离心率公式，再结合a 2＝b 2＋c 2即可求出a ，b ，c 的值，从而可得椭圆E 的方程．(2)法一：判断点与圆的位置关系，只需把点G 与圆心的距离d 与圆的半径r 进行比较，若d >r ，则点G 在圆外；若d ＝r ，则点G 在圆上；若d <r ，则点G 在圆内．法二：只需判断GA →·GB →的符号，若GA →·GB →＝0，则点G 在圆上；若GA →·GB →>0，则点G 在圆外；若GA →·GB →<0，则点G 在圆内．[解] (1)由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2， 从而y 0＝mm 2＋2.所以|GH |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋942＋y 20＝⎝⎛⎭⎪⎫my 0＋542＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516.|AB |24＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24＝（1＋m 2）（y 1－y 2）24＝（1＋m 2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)，故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m 22（m 2＋2）－3（1＋m 2）m 2＋2＋2516＝17m 2＋216（m 2＋2）>0， 所以|GH |>|AB |2.故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以线段AB 为直径的圆外． 法二：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则GA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋94，y 1，GB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋94，y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2， 从而GA →·GB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋94⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋94＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫my 1＋54⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋54＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋54m (y 1＋y 2)＋25 16＝－3（m2＋1）m2＋2＋52m2m2＋2＋2516＝17m2＋216（m2＋2）>0，所以cos〈GA→，GB→〉>0.又GA→，GB→不共线，所以∠AGB为锐角．故点G⎝⎛⎭⎪⎫－94，0在以线段AB为直径的圆外．解决与椭圆有关的综合问题的思路直线与椭圆的综合问题常与不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等知识联系在一起综合考查，解决这类问题常需要挖掘出题目中隐含的数量关系、垂直关系等，然后利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式进行合理的转化，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．3．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－3，0)和F 2(3，0)，且椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32. (1)求椭圆方程；(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M ，N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由．[解] (1)由题意设椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由c ＝3，a 2＝b 2＋c 2，代入方程x 2b 2＋3＋y 2b2＝1，又∵椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32， 得1b 2＋3＋34b 2＝1， 解得b 2＝1，∴a 2＝4. 椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线MN 的方程为x ＝ky －65，联立直线MN 和曲线C 的方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －65，x 24＋y 2＝1，得(k 2＋4)y 2－125ky －6425＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (－2，0)，y 1y 2＝－6425（k 2＋4），y 1＋y 2＝12k5（k 2＋4）， 则AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2) ＝(k 2＋1)y 1y 2＋45k (y 1＋y 2)＋1625＝0，即可得∠MAN ＝π2.解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为： (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)； (2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解.1．已知点(2，3)在椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1上，则下列说法正确的是( )A ．点(－2，3)在椭圆外B ．点(3，2)在椭圆上C ．点(－2，－3)在椭圆内D ．点(2，－3)在椭圆上D [由椭圆的对称性知，点(2，－3)在椭圆上，故选D.] 2．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．35 [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝54（4＋24）＝35.] 3．已知P (1，1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．x ＋2y －3＝0 [易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦的端点坐标为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1①，x 224＋y 222＝1②，①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. ∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.]4．焦点分别为(0，52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得椭圆的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆方程．[解] 设y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．依题意，有a 2－b 2＝(52)2＝50.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2a 2＋x 2b 2＝1，y ＝3x －2，消去y 并整理，得(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0. 因为x 1＋x 22＝12，所以6b 2a 2＋9b 2＝12.所以a 2＝3b 2.②由①②，得a 2＝75，b 2＝25. 经检验，此时Δ>0. 所以椭圆方程为y 275＋x 225＝1.。
高中数学 第2章 推理与证明 2.2.2 间接证明学案 苏教版选修2-2(2021年整理)
2016-2017学年高中数学第2章推理与证明2.2.2 间接证明学案苏教版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第2章推理与证明2.2.2 间接证明学案苏教版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2。
2。
2 间接证明1。
理解反证法的思考过程和特点,会运用反证法证明简单数学问题。
（重点、难点)2。
利用反证法证明时，对结论的假设否定.（易错点)[基础·初探］教材整理间接证明阅读教材P85“例1"以上部分，完成下列问题。
1。
间接证明:（1）定义：不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立,这种不是直接证明的方法通常称为间接证明.（2）常用方法：反证法.2。
反证法(1）基本过程：反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定（即肯定原命题).（2）证题步骤:1。
判断正误：(1)反证法属于间接证明问题的一种方法。
( )（2)反证法的实质是否定结论导出矛盾.（)(3)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.( ）(4）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设应该是至少两个钝角。
( ）【答案】（1)√（2)√(3）×(4）√2。
用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°"时，正确的反设是____。
【导学号：01580047】【解析】“至少有一个角不大于60°”的否定为“所有三角形的内角均大于60°”。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】第二章 2.2.2(二)
2.2.2(二)
探究点 问题 1 方程？
直线与二元一次方程的关系 前面我们学习了直线方程哪几种形式？分别写出其
答 点斜式：已知直线上一点 P1(x1，y1)的坐标，和直线的
本 课 时 栏 目 开 关
斜率 k，则直线的方程是 y－y1＝k(x－x1)；
斜截式：已知直线的斜率 k，和直线在 y 轴上的截距 b，则 直线方程是 y＝kx＋b；
平行于 y 轴，当 C＝0 时与 y 轴重合．
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2.2.2(二)
3 例 1 已知直线通过点(－2,5)，且斜率为－ ，求此直线的一 4 般式方程．
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3 解 由直线方程的点斜式，得 y－5＝－4(x＋2)， 整理，得所求直线方程为 3x＋4y－14＝0.
以后求直线方程时会有章可循．
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2.2.2(二)
跟踪训练 2
利用直线方程的一般式，求过点(0,3)并且与坐
标轴围成三角形面积是 6 的直线方程．
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解 设直线为 Ax＋By＋C＝0， ∵直线过点(0,3)代入直线方程 C 得 3B＝－C，B＝－ 3 ， C2 由三角形面积为 6，得AB＝12，
2.2.2(二)
[问题情境]
本 课 时 栏 目 开 关
前面我们学习了直线方程的四种表达形式， 它们都含有 x， y 这两个变量，并且 x，y 的次数都是一次的，即它们都是 关于 x， 的二元一次方程， y 那么直线的方程与二元一次方 程有怎样的关系？本节我们就来研究这个问题．
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2.2.2(二)
高中数学2.2.2(第二课时)导学案
一数学 SX-09-01-0032.2．2《向量的线性运算》（第二课时）导学案【学习目标】 理解向量的数乘运算及其意义，掌握向量数乘运算的运算律，理解两个向量共线的条件，能够运用此判定两向量是否共线【重点难点】 向量的数乘运算及其意义，两向量共线的条件 【学习过程】 一．预习导引1、向量数乘运算：实数λ与向量a →的积是一个 ，这种运算叫做向量的 。
记作 ，其长度与方向规定如下：（Ⅰ）a λ→= 。
（Ⅱ）当 时，a λ→的方向与的方向相同；当 时，a λ→的方向与的方向相反；当 时，2、向量数乘的运算律：()1a λμ→⎛⎫⎪⎝⎭=()()2a λμ→+=()3a b λ→→⎛⎫+= ⎪⎝⎭特别的有：()a λ→-= = ，a b λ→→⎛⎫-= ⎪⎝⎭。
3、共线向量定理：4、向量的线性运算：二、典型例题 例1、化简。
（1）826222a b c a b c a c →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）)]24()82(21[31--+ （3）()()m n a b m n a b →→→→⎛⎫⎛⎫+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例2、设两个向量1e 和2e 不共线，如果122AB e ke =+，123CB e e =+，a a=a λ122CD e e =-。
（1）若A 、B 、D 三点共线，求k 的值。
（2）A 、B 、C 能否共线？例3、在∆ABC 中，G 是∆ABC 的重心，证明：()=+13AG AB AC三、课堂检测1、 已知a ，b 方向相同，且｜a ｜=3, ｜b ｜=7,｜2a －b ｜= ．2、下列各式计算正确的有 （ ）(1)(－7)6a →=-42a→(2)7(a →+b →)－8b →=7a →+15b →(3) a →－2b →+a →+2b →=2a →(4)若a →=m →+n →, b →=4m →+4n →,则a →∥b→A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、已知向量b a ,且b a AB 2+=.b a BC 65+-=.b a CD 27-=则一定共线的三点是( )D B A A ，，、 C B A B ，，、 D C B C ，，、 D C A D ，，、四、归纳小结五、课外作业 一、选择题①对于实数m 和向量a ，b 恒有：m （a －b ）= m a －m b ②对于实数m 、n 和向量，恒有：（m －n ）a = m a －n aACFB ED GC图1③若m a =m b （m ∈R ），则有：a =b④若m a =n a （m 、n ∈R ），则m = n A ．1B ．2C ．3D ．42、 设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是：（ ）A ．a 与a λ-的方向相反B ．||||a a λ-≥C ．a 与2a λ的方向相同 D ．||=||a a λλ- 3、如图1所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =A ．12BC BA -+B ． 12BC BA -- C ． 12BC BA -D ． 12BC BA + 4、已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点且20OA OB OC ++=，那么：Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =5、如图△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 边上的中线， G 是它们的交点，则下列等式中•••不正确的是（ ）A ．23BG BE =B ．12DG AG =C ．2CG FG =-D ．121332DA FC BC +=6、 点G 是ABC ∆内一点，且有0GA GB GC ++=，则G 是ABC ∆的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心7、已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括A 、C ），则AP =、 A ．().(0,1)AB AD λλ+∈ B ．2().AB BC λλ+∈ C ． ().(0,1)AB AD λλ-∈ D ． 2().2AB BC λλ-∈ 二、填空题8、已知向量a →，b →，且3()2(2)4()b →→→→→→→→++---+=0x a x a x a ，则→x =__________． 9、四边形ABCD 中，若3AB e =，5CD e =-，且||||AD BC =，则四边形ABCD 是 . 10、在平行四边形ABCD 中，AB a =，AD b =，3AN NC =，M 为BC 的中点，则MN =_______。
高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2.2 利用基本不等式求最值学案 新人教A版必修第
第2课时 利用基本不等式求最值1．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 2．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．基本不等式与最值 已知x ，y 都是正数，(1)如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； (2)如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x 、y >0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a >0，b >0，且a ＋b ＝16，则ab ≤64.( ) (2)若ab ＝2，则a ＋b 的最小值为2 2.( ) (3)当x >1时，函数y ＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数y 的最小值是2xx －1.( )(4)若x ∈R ，则x 2＋2＋1x 2＋2≥2.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×题型一利用基本不等式求最值【典例1】 (1)若x >0，求y ＝4x ＋9x的最小值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值； (4)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．[思路导引] 利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解．[解] (1)∵x >0， ∴由基本不等式得y ＝4x ＋9x≥24x ·9x＝236＝12，当且仅当4x ＝9x ，即x ＝32时，y ＝4x ＋9x 取最小值12.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取“＝”．∴y 的最大值为92.(3)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋4x －2＝(x －2)＋4x －2＋2 ≥2(x －2)·4x －2＋2＝6. 当且仅当x －2＝4x －2， 即x ＝4时，x ＋4x －2取最小值6. (4)∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y≥10＋29＝16.当且仅当y x ＝9x y 且1x ＋9y＝1时等号成立， 即x ＝4，y ＝12时等号成立．∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 有最小值16.[变式] (1)本例(3)中，把“x >2”改为“x <2”，则x ＋4x －2的最值又如何？ (2)本例(3)中，条件不变，改为求x 2－2x ＋4x －2的最小值．[解] (1)∵x <2，∴2－x >0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2－x )＋42－x ＋2≤－2 (2－x )·42－x＋2＝－2.当且仅当2－x ＝42－x，即x ＝0时，x ＋4x －2取最大值－2. (2)x 2－2x ＋4x －2＝(x －2)2＋2(x －2)＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2 (x －2)·4x －2＋2＝6 当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，原式有最小值6.(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同． [针对训练]1．已知x ，y >0，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．[解析] ∵x ，y >0， ∴x 3＋y 4＝1≥2 xy12， 得xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4即x ＝32，y ＝2时，取“＝”号，∴xy 的最大值为3.[答案] 32．已知x ，y >0，且x ＋y ＝4，则1x ＋3y的最小值为________．[解析] ∵x ，y >0，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x＋3x y ≥4＋23，当且仅当y x ＝3xy， 即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号， 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. [答案] 1＋323．若x <3，则实数f (x )＝4x －3＋x 的最大值为________． [解析] ∵x <3，∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取“＝”号．∴f (x )的最大值为－1. [答案] －1题型二利用基本不等式解决实际问题【典例2】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[思路导引] 设每间虎笼长x m ，宽y m ，则问题是在4x ＋6y ＝36的前提下求xy 的最大值．[解] (1)设每间虎笼长x m ，宽为y m ，则由条件知4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .解法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， ∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大． 解法二：∵2x ＋3y ＝18，∴S ＝xy ＝16·(2x )·(3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝816＝272.(以下同解法一)(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y . ∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．[针对训练]4．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000 m 2的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)[解] 设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2160×1042000 x ＝10800x .于是每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10800x＝560＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x (x ≥10)，当x ＋225x取最小时，y 有最小值．∵x >0，∴x ＋225x≥2x ·225x＝30，当且仅当x ＝225x，即x ＝15时，上式等号成立．∴当x ＝15时，y 有最小值2000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最小．课堂归纳小结1．利用基本不等式求最大值或最小值时应注意： (1)x ，y 一定要都是正数；(2)求积xy 最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 最小值时，应看积xy 是否为定值；(3)等号是否能够成立．以上三点可简记为“一正、二定、三相等”.2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用．3．求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.1．已知y ＝x ＋1x－2(x >0)，则y 有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最小值为－2D ．最小值为2[答案] B2．已知0<x <1，则当x (1－x )取最大值时，x 的值为( )A.13B.12C.14D.23[解析] ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (1－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝14，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．[答案] B3．已知p ，q ∈R ，pq ＝100，则p 2＋q 2的最小值是________． [答案] 2004．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.[解析] 由基本不等式，得4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a2时，等号成立，即a2＝3，a ＝36.[答案] 365．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80000，该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？[解] 由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80000x－200≥212x ·80000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80000x，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．课后作业(十二)复习巩固一、选择题1．当x >0时，y ＝12x＋4x 的最小值为( )A ．4B ．8C ．8 3D ．16 [解析] ∵x >0，∴12x >0,4x >0.∴y ＝12x ＋4x ≥212x ·4x ＝8 3.当且仅当12x＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x >0时，y 的最小值为8 3.[答案] C2．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋4y的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．15[解析] (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝x ·1x ＋4x y ＋y x ＋y ·4y ＝1＋4＋4x y ＋y x ≥5＋24x y ·yx＝9.[答案] B3．若x >0，y >0，且2x ＋8y＝1，则xy 有( )A ．最大值64B ．最小值164C ．最小值12D ．最小值64[解析] 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.[答案] D4．已知p >0，q >0，p ＋q ＝1，且x ＝p ＋1p ，y ＝q ＋1q，则x ＋y 的最小值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3[解析] 由p ＋q ＝1，∴x ＋y ＝p ＋1p ＋q ＋1q ＝1＋1p ＋1q＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1p ＋1q (p ＋q )＝1＋2＋q p ＋p q ≥3＋2q p ·pq＝5，当且仅当q p ＝p q 即p ＝q ＝12时取等号，所以B 选项是正确的． [答案] B 5．若a <1，则a ＋1a －1有最________(填“大”或“小”)值，为________． [解析] ∵a <1， ∴a －1<0， ∴－⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2， ∴a －1＋1a －1≤－2， ∴a ＋1a －1≤－1. 当且仅当a ＝0时取等号． [答案] 大 －1 二、填空题6．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．[解析] 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．[答案] 127．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________．[解析] ∵x ，y 为正数，且x ＋2y ＝1， ∴1x ＋1y＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝3＋2y x ＋x y≥3＋22，当且仅当2y x ＝x y ，即当x ＝2－1，y ＝1－22时等号成立．∴1x ＋1y的最小值为3＋2 2.[答案] 3＋2 28．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．[解析] 每年购买次数为400x次．∴总费用＝400x·4＋4x ≥26400＝160，当且仅当1600x＝4x ，即x ＝20时等号成立．[答案] 20 三、解答题9．已知a ，b ，x ，y >0，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋by＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .[解] x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫a x ＋by＝a ＋b ＋bx y ＋ay x≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当bx y ＝ayx时取等号． 故(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18， 即a ＋b ＋2ab ＝18，① 又a ＋b ＝10，②由①②可得{ a ＝2，b ＝8或{ a ＝8，b ＝2. 10．(1)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (2)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． [解] (1)∵x <3，∴x －3<0. ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫43－x ＋3－x ＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号，∴f (x )的最大值为－1.(2)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x ，∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2x x －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8 ＝(x －8)＋16x －8＋10 ≥2(x －8)×16x －8＋10 ＝18. 当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立． ∴x ＋y 的最小值是18.解法二：由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝8y x ＋2x y ＋10≥2 8y x ·2x y＋10 ＝18.当且仅当8y x ＝2x y，即x ＝2y ＝12时等号成立， ∴x ＋y 的最小值是18.综合运用11．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92D ．5 [解析] ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1，∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92(当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，“＝”成立)，故y ＝1a ＋4b 的最小值为92. [答案] C12．若xy 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.72 C ．4 D.92[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋y 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＋x y ＋y x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋14y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4.当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号． [答案] C13．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． [解析] 因为x >0，所以x ＋1x≥2， 当且仅当x ＝1时取等号，所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 14．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________． [解析] ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t ＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1， ∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值9.[答案] 915．阳光蔬菜生产基地计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？[解] 设矩形温室的一边长为x m ，则另一边长为800xm(2<x <200)．依题意得种植面积：S ＝(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －4＝800－1600x －4x ＋8 ＝808－⎝ ⎛⎭⎪⎫1600x ＋4x ≤808－21600x ·4x ＝648， 当且仅当1600x ＝4x ，即x ＝20时，等号成立．即当矩形温室的一边长为20 m ，另一边长为40 m 时种植面积最大，最大种植面积是648 m 2.。
高中数学2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质第2课时双曲线几何性质的应用学案含解析新人教A版选修1_1
第2课时 双曲线几何性质的应用学习目标 1.了解直线与双曲线的位置关系.2.了解与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．知识点一 直线与双曲线的位置关系思考 直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？ 答案 不能．梳理 设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±b a时，直线l 与双曲线C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±b a时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)． Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离． 知识点二 弦长公式若斜率为k (k ≠0)的直线与双曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AB |＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2].1．若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．( × ) 2．直线l ：y ＝x 与双曲线C ：2x 2－y 2＝2有两个公共点．( √ )类型一 直线与双曲线的位置关系例1 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为233，且过点(6，1)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围． 考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 解 (1)由e ＝233，可得c 2a 2＝43，所以a 2＝3b 2，故双曲线方程可化为x 23b 2－y 2b2＝1.将点P (6，1)代入双曲线C 的方程， 解得b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立直线与双曲线方程，⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 2－3y 2－3＝0，消去y ，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝72k 2－－3k2－，1－3k 2≠0，解得－1<k <1且k ≠±33. 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. 反思与感悟 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行．(3)注意对直线l 的斜率是否存在进行讨论．跟踪训练1 已知双曲线x 2－y 24＝1，过点P (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，求直线l 的斜率k .考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 解 当直线l 的斜率不存在时， 直线l ：x ＝1与双曲线相切，符合题意． 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝k (x －1)＋1， 代入双曲线方程，得(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0. 当4－k 2＝0时，k ＝±2，直线l 与双曲线的渐近线平行，l 与双曲线只有一个公共点； 当4－k 2≠0时，令Δ＝0，得k ＝52.综上，k ＝52或k ＝±2或k 不存在．类型二 弦长公式及中点弦问题 例2 双曲线的方程是x 24－y 2＝1.(1)直线l 的倾斜角为π4，被双曲线截得的弦长为8311，求直线l 的方程；(2)过点P (3,1)作直线l ′，使其被双曲线截得的弦恰被P 点平分，求直线l ′的方程． 考点 直线与双曲线的位置关系 题点 弦长及弦中点问题解 (1)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，代入双曲线方程，得3x 2＋8mx ＋4(m 2＋1)＝0， Δ＝(8m )2－4×3×4(m 2＋1)＝16(m 2－3)>0， ∴m 2>3.设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 则x 1＋x 2＝－83m ，x 1x 2＝m 2＋3.由弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|，得 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－83m 2－m 2＋3＝8311， ∴42×m 2－33＝8311，即m ＝±5，满足m 2>3，∴直线l 的方程为y ＝x ±5.(2)设直线l ′与双曲线交于A ′(x 3，y 3)，B ′(x 4，y 4)两点， 点P (3,1)为A ′B ′的中点，则x 3＋x 4＝6，y 3＋y 4＝2. 由x 23－4y 23＝4，x 24－4y 24＝4，两式相减得(x 3＋x 4)(x 3－x 4)－4(y 3＋y 4)(y 3－y 4)＝0， ∴y 3－y 4x 3－x 4＝34，∴l ′的方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.把此方程代入双曲线方程，整理得5y 2－10y ＋114＝0，满足Δ>0，∴所求直线l ′的方程为3x －4y －5＝0.反思与感悟 (1)使用弦长公式时，一般可以利用根与系数的关系，解决此类问题，一定不要忽略直线与双曲线相交这个条件，得到的k 要保证满足相交，即验证Δ>0.(2)与弦中点有关的问题主要用点差法．跟踪训练2 设双曲线的顶点是椭圆x 23＋y 24＝1的焦点，该双曲线又与直线15x －3y ＋6＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)． (1)求此双曲线的方程； (2)求|AB |.考点 直线与双曲线的位置关系 题点 弦长及弦中点问题解 (1)已知椭圆的焦点为(0，±1)， 即是双曲线的顶点，因此设双曲线方程为y 2－mx 2＝1(m >0)，① 又直线15x －3y ＝－6，②A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是方程①②组成的方程组的两个解．由⎩⎨⎧y 2－mx 2＝1，15x －3y ＝－6，得⎝ ⎛⎭⎪⎫53－m x 2＋4153x ＋3＝0， 当m ＝53时，显然不满足题意．当m ≠53时，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－415353－m ，x 1x 2＝353－m ，又OA ⊥OB ，∴OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝83x 1x 2＋2153(x 1＋x 2)＋4＝0，∴83×353－m ＋2153×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－415353－m ＋4＝0，∴m ＝13，经验证，此时Δ>0.∴双曲线的方程为y 2－x 23＝1.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－15，x 1x 2＝94，∴|AB |＝1＋k 2×x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫1532×－152－4×94＝4.类型三 由直线与双曲线相交求参数的取值范围(值)例3 已知中心在坐标原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A ，B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系解 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2，所以b ＝1.故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，可得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0. 由直线l 与双曲线交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋－3k2＝－k2，故k 2≠13且k 2<1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2，由OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2. 又因为y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝－9k 21－3k 2＋12k21－3k2＋2＝3k 21－3k2＋2. 所以－91－3k 2＋3k 21－3k 2＋2>2，所以3k 2－91－3k 2>0.又因为k 2≠13且k 2<1，所以13<k 2<1.所以k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪⎪－1<k <－33或33<k <1. 反思与感悟 当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系式求解． 跟踪训练3 已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值． 考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积 解 (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k2，解得－2<k <2且k ≠±1.∴当双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线l 与y 轴交于点D (0，－1)．由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线上的一支上且|x 1|>|x 2|时，S △OAB ＝S △OAD －S △OBD＝12(|x 1|－|x 2|) ＝12|x 1－x 2|； 当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时，S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD＝12(|x 1|＋|x 2|) ＝12|x 1－x 2|. ∴S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2＝(22)2， 即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又∵－2<k <2且k ≠±1， ∴当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.1．若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，则实数k 的取值范围是( ) A ．－2＜k ＜2B ．－1＜k ＜1C ．0＜k ＜2D ．－2＜k ＜0考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 答案 A解析 易知k ≠±2，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜k ＜2.2．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 答案 B3．直线y ＝x －1被双曲线2x 2－y 2＝3所截得的弦的中点坐标是( ) A ．(1,2) B ．(－2，－1) C ．(－1，－2)D ．(2,1)考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 答案 C解析 将y ＝x －1代入2x 2－y 2＝3，得x 2＋2x －4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为x 1＋x 22＝－22＝－1，将x ＝－1代入直线方程y ＝x －1得y ＝－2，故选C. 4．过点A (3，－1)且被A 点平分的双曲线x 24－y 2＝1的弦所在的直线方程是________．考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的其他问题 答案 3x ＋4y －5＝0解析 易知所求直线的斜率存在，设为k ，设该直线的方程为y ＋1＝k (x －3)，代入x 24－y 2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程(1－4k 2)x 2＋(24k 2＋8k )x －36k 2－24k －8＝0， ∴－24k 2＋8k 1－4k 2＝6，∴k ＝－34，此时Δ>0，符合题意，∴所求直线方程为3x ＋4y －5＝0.5．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则满足条件的直线l 有________条．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积 答案 3解析 当直线l 交双曲线于左右两支时，因为2a ＝2，而|AB |＝4，故可有两条．若直线l 交双曲线于同支，当直线l 垂直于x 轴时，|AB |＝4，故只有一条，所以满足条件的直线有3条．双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.一、选择题1．双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x －2y ＝0，则双曲线C 的标准方程为( ) A.x 24－y 2＝1 B.x 24－y 2＝1或y 2－x 24＝1 C ．x 2－y 24＝1或y 2－x 24＝1D ．y 2－x 24＝1 考点 双曲线性质的应用题点 双曲线与椭圆结合的有关问题 答案 B2．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A.2B.3C ．2D ．3 考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线的离心率答案 B解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．∵直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直， ∴直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a 2， ∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a .依题意2b2a＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3. 3．双曲线y 2b 2－x 2a 2＝1(a >b >0)的一条渐近线与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1交于点M ，N ，则|MN |等于( )A ．a ＋b B.2aC.a 2＋b 2 D.a 2－b 2考点 双曲线性质的应用题点 双曲线与椭圆结合的有关问题 答案 C解析 双曲线y 2b 2－x 2a 2＝1的一条渐近线方程为y ＝ba x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ba x ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x ＝±22a . 所以|MN |＝1＋b 2a 2|x 2－x 1|＝a 2＋b 2a 2·2a＝a 2＋b 24．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2等于( ) A.14B.35C.34D.45 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 C解析 由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝22， 又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝4 2.|F 1F 2|＝2c ＝2 a 2＋b 2＝4.∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝32＋8－162×22×42＝2416×2＝34. 5．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系答案 B解析 由双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，点P (1,0)是双曲线的右顶点，则直线x ＝1与双曲线只有一个公共点，过点P (1,0)且平行于渐近线y ＝±2x 时，直线l 与双曲线只有一个公共点，有2条，故满足题意的直线共3条． 6．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交双曲线于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B.x 26－y 23＝1 C.x 24－y 25＝1 D.x 25－y 24＝1 考点 直线与双曲线的位置关系题点 弦长及弦中点问题答案 C解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1， 两式相减可得x 1＋x 2x 1－x 2a 2＝y 1＋y 2y 1－y 2b 2.∵线段AB 的中点坐标为N (－12，－15)， ∴－x 1－x 2a 2＝－y 1－y 2b 2. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2.∵直线的斜率为－15－12－3＝1， ∴4b 25a 2＝1. ∵右焦点为F (3,0)，∴a 2＋b 2＝9，解得a 2＝4，b 2＝5，∴E 的方程为x 24－y 25＝1. 7．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 考点 双曲线的几何性质题点 双曲线范围的应用答案 A解析 由题意知a 2＝2，b 2＝1， 所以c 2＝3，不妨设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，所以MF 1→·MF 2→＝x 20－3＋y 20＝3y 20－1<0，所以－33<y 0<33. 8.如图，已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A.7B ．4 C.233 D. 3考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率答案 A解析 因为△ABF 2为等边三角形，不妨设|AB |＝|BF 2|＝|AF 2|＝m ，A 为双曲线上一点，|F 1A |－|F 2A |＝|F 1A |－|AB |＝|F 1B |＝2a ，B 为双曲线上一点，则|BF 2|－|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，由∠ABF 2＝60°，得∠F 1BF 2＝120°，在△F 1BF 2中，由用余弦定理，得4c 2＝4a 2＋16a 2－2·2a ·4a ·cos120°，得c 2＝7a 2，则e 2＝7，即e ＝7.二、填空题 9．双曲线x 2a 2－y 29＝1的离心率e ＝54，则其两条渐近线方程为________． 考点 双曲线性质的应用题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题答案 y ＝±34x 解析 双曲线x 2a 2－y 29＝1，∴b ＝3， 又双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝1＋9a 2＝54， 解得a ＝4， ∴双曲线的两条渐近线方程为y ＝±b a x ＝±34x .10．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 3215 解析 双曲线右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，双曲线一条渐近线的斜率是43，则直线FB 的方程是y ＝43(x －5)，与双曲线方程联立解得点B 的纵坐标为－3215，故△AFB 的面积为12×|AF ||y B |＝12×2×3215＝3215. 11．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝2x 无交点，则离心率e 的取值范围是________． 考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线离心率的取值范围答案 (1，5]解析 由题意可得，双曲线的渐近线的斜率ba≤2，所以e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤ 5. 又e >1，则离心率e 的取值范围是(1，5]．12．过P (8,3)作双曲线9x 2－16y 2＝144的弦AB ，且P 为弦AB 的中点，那么直线AB 的方程为________．考点 直线与双曲线的位置关系题点 弦长及弦中点问题答案 3x －2y －18＝0解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由P (8,3)为弦AB 的中点，可得x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝6，又9x 21－16y 21＝144,9x 22－16y 22＝144，两式相减，可得9(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－16(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即为9(x 1－x 2)－6(y 1－y 2)＝0，可得k AB ＝y1－y 2x 1－x 2＝32，则直线AB 的方程为y －3＝32(x －8)，即3x －2y －18＝0.三、解答题13．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，且双曲线过点(－3,42)．(1)求双曲线的方程；(2)若直线4x －y －6＝0与双曲线相交于A ，B 两点，求|AB |的值．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系解 (1)双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，则设双曲线的方程为x 2－y24＝λ(λ≠0)，把(－3,42)代入方程，得9－324＝λ，解得λ＝1，∴双曲线的方程为x 2－y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －6＝0，x 2－y24＝1，整理得3x 2－12x ＋10＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝103， 由弦长公式可知|AB |＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42－4×103＝21023， ∴|AB |的值为21023. 四、探究与拓展 14．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作一条与其渐近线平行的直线l ，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，求双曲线C 的离心率． 考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率解 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b a ， 又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝b a(x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y 2b2＝1， 化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)， 故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝b a (2a －c )，化简可得离心率e ＝c a ＝2＋ 3.15．直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点．(1)求线段AB 的长；(2)当a 为何值时，以AB 为直径的圆经过坐标原点？ 考点 直线与双曲线的位置关系题点 弦长及弦中点问题解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1，消去y ， 得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.由题意可得3－a 2≠0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2.(1)|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝＋a 2x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝＋a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3－a 22＋83－a 2＝2＋a 2－a 2|3－a 2|.(2)由题意知，OA ⊥OB ，则OA →·OB →＝0.即x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0，即(1＋a 2)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0，∴(1＋a 2)·－23－a 2＋a ·2a3－a 2＋1＝0，解得a ＝±1.经检验当a ＝±1时，以AB 为直径的圆经过坐标原点．。
高中数学必修二第二章《2.2.2平面与平面平行的判定》教学设计新部编版
精选教课教课方案设计 | Excellent teaching plan教师学科教课方案[ 20–20学年度第__学期]任教课科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校《平面与平面平行的判断》教课方案课课题平面与平面平行的判断型新讲课本节课的内容是高中数学必修 2 第二章第二节《直线、平面平行的判断及其性质》的第二小节《平面与平面平行的判断》，用一课时完成。
现实生活中，平面与平面平行的关系的应用随处可见，充分运用大批的现实背景资料，使学生直观感知平面与平面的地点关系，领会平面与平面平行的结构特色及应用价值，从而激发学生的学习热忱、形成正确的表象；再经过操作确认，思争辩证，进一步理解平面与平面平行的实质，从而概括、概括出平面与平面平教行的判判定理。
这样，可以培育学生观察、发现的能力、空间想象能力，使学生学在合情推理的过程中，领会空间问题平面化的基本思想；在对抽象出的数学模型内容的分析过程中，发展学生的几何直觉，为此定理的灵巧应用确定基础。
解平面与平面平行的判判定理，为判断平面与平面平行的地点关系供给了理论析依照。
在该定理应用的过程中，学生可以经历将平面与平面平行的问题转变为两直线平行，线面平行的问题，从而领会转变思想在解题中的应用，培育学生的推理论证能力。
所以，对平面与平面平行的判判定理的形成过程的研究，以及转变思想在解题中的应用，是本节课的要点。
教课目标：1、借助实物长方体，学生经过观察、发现、研究、操作确认获取直观感知，进而概括、推理、概括出平面与平面平行的判判定理；2、能用平面和平面平行的判判定理解决一些简单的推理论证问题，并经过问题教学的解决，进一步提升观察，发现的能力和空间想象能力；目3、领会数学本源于实践，又为实践服务的辨证唯心主义思想。
标目标分析：教材淡化了对定理的证明，重视于对几何体的直观感知，这就要在教设置学过程中多设置学生的自主观察环节及着手领会的过程。
高中数学必修二第二章《2.2.2平面与平面平行的判定》教学设计新部编版
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《平面与平面平行的判定》教学设计(1)已知平面和直线m，n，若则（2）一个平面内两条不平行的直线都平行于另一个平面，则。
（3）一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，则这两个平面平行。
尝试练习（2）：平面与平面平行的条件可以是（）A. 内无数条直线都与平行B．直线C.直线a直线且D. 内的任何直线都与平行2、例题讲解：已知正方体，求证：平面平面3、练习：动手画图，完成练习五、方法总结，提炼思想1、判定平面与平面平行的方法2、空间问题平面化的思想六、探究性作业设P是所在平面外一点，分别是的重心。
问：平面和平面平面平行的判定定理。
在教师引导下，完成对定理的三种语言的准确表述。
教师点拨指导、学生动手练习，学生发言，教师点评完善。
学生分析，教师板书，规范解题步骤。
学生动手作图，教师点评，学生独立完成练加深学生对定理的认识和理解。
初步感受如何运用平面与平面平行的判定定理解决问题，明确运用面面平行判定定理的条件。
加强协作。
巩固练习；夯实定理；培养动手作图能力。
鼓励学生对问题多概括，善于提炼重要的数有什么样的位置关系？习，学生讲解。
教师引导；学生总结。
课后独立研究学思想方法。
板书设计平面与平面平行的判定例题：练习：。
202新数学复习第二章函数导数及其应用2.2.2利用导数证明不等式学案含解析
第2课时利用导数证明不等式构造函数证明不等式：构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式,构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有:(1）直接构造法:证明不等式f(x）〉g(x)（f（x)<g(x))转化为证明f(x)－g（x）>0（f（x）－g(x）〈0），进而构造辅助函数h（x）＝f(x）－g(x)；(2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩,二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，e x≥x＋1，ln x〈x<e x（x〉0),错误!≤ln（x＋1)≤x（x>－1）；(3)特征分析构造法：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构"构造辅助函数；(4）构造双函数:若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f（x)和g(x)，利用其最值求解．方法1直接构造差函数法【例1】已知函数f(x)＝1－错误!,g(x)＝错误!＋错误!－bx(e为自然对数的底数），若曲线y＝f(x)与曲线y＝g（x）的一个公共点是A（1,1）,且在点A处的切线互相垂直．(1）求a，b的值；(2)求证：当x≥1时,f（x）＋g(x)≥错误!.【解】（1）因为f（x)＝1－ln x x，所以f′（x)＝错误!，f′（1)＝－1。
因为g(x)＝错误!＋错误!－bx，所以g′(x）＝－错误!－错误!－b。
因为曲线y＝f(x）与曲线y＝g(x）的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g（1）＝1，且f′（1)·g′(1)＝－1，即g(1）＝1＋a－b＝1，g′（1）＝－a－1－b＝1，解得a＝－1，b＝－1。
（2)证明：由(1)知,g（x）＝－错误!＋错误!＋x,则f(x)＋g（x)≥2x⇔1－错误!－错误!－错误!＋x≥0.令h(x)＝1－错误!－错误!－错误!＋x(x≥1),则h′(x)＝－错误!＋错误!＋错误!＋1＝错误!＋错误!＋1.因为x≥1，所以h′(x)＝ln xx2＋错误!＋1>0，所以h(x）在[1，＋∞)上单调递增，所以h（x)≥h（1)＝0,即1－错误!－错误!－错误!＋x≥0,所以当x≥1时,f(x)＋g(x）≥错误!。
2020学年高中数学2.2.2直线方程的几种形式第2课时直线方程的一般式学案人教B版必修2
第2课时 直线方程的一般式1．掌握直线的一般式方程． 2．会进行直线方程不同形式的转化．1．直线方程的一般式我们把方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)(*)叫做直线的一般式方程． (1)当B ≠0时，方程(*)可化为y ＝－A B x －C B． 它表示斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－C B的直线．(2)当B ＝0时，由于A ，B 不同时为零，必有A ≠0，于是方程(*)可化为x ＝－C A．它表示一条与y 轴平行或重合的直线．2．一般式与几种特殊式的区别与联系(1)联系：都反映了确定直线方程需要两个独立条件．(2)区别：几种特殊式主要揭示直线的几何特征，一般式主要揭示坐标平面内的直线与二元一次方程的关系．1．如何理解直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0中要求A 2＋B 2≠0？解：如果A 2＋B 2＝0，则A ＝B ＝0，此时Ax ＋By ＋C ＝0变为C ＝0，而C ＝0不能表示直线方程．2．根据下列条件写出直线方程，并把它化成一般式： (1)过点A (－2，3)，斜率为－35；(2)在x 轴，y 轴上的截距分别为－3和4．解：(1)由直线的点斜式可得直线方程为y －3＝－35(x ＋2)，化为一般式为3x ＋5y －9＝0．(2)由直线方程的截距式，得x －3＋y4＝1，代为一般式，得4x －3y ＋12＝0．求直线的一般式方程根据下列条件写出直线方程，并化为一般式方程．(1)斜率为2，且在y 轴上的截距为1； (2)经过点P 1(－2，1)，P 2(3，2)两点； (3)在x 轴、y 轴上的截距分别为3、－5； (4)经过点P (4，－3)，且垂直于x 轴．【解】 (1)由题意知，直线的斜截式方程为y ＝2x ＋1，化为一般式方程为2x －y ＋1＝0．(2)由题意知，直线的两点式方程为y －12－1＝x ＋23＋2，化为一般式方程为x －5y ＋7＝0．(3)由题意知，直线的截距式方程为x 3＋y－5＝1，化为一般式方程为5x －3y －15＝0．(4)由题意知，直线方程为x ＝4，化为一般式方程为x －4＝0．根据已知条件求直线方程的解题策略在求直线方程时，设一般式方程并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程，一般选用规律为：(1)已知直线的斜率和直线上点的坐标时，选用点斜式； (2)已知直线的斜率和在y 轴上的截距时，选用斜截式； (3)已知直线上两点坐标时，选用两点式；(4)已知直线在x 轴，y 轴上的截距时，选用截距式．已知直线x ＋2y －4＝0，(1)把该直线方程化成斜截式，并求其斜率；(2)把该直线方程化成截距式，并求其在坐标轴上的截距． 解：(1)把该直线化成斜截式， 得y ＝－12x ＋2，所以该直线的斜率为－12；(2)把该直线化成截距式， 得x 4＋y2＝1， 故直线在x 轴上的截距为4， 在y 轴上的截距为2．直线方程的应用已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0． (1)求证：不论a 为何值，直线l 恒过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围． 【解】 (1)证明：将直线l 的方程整理得y －35＝a (x－15)，所以l 的斜率为a ， 且过定点A (15，35)，而点A (15，35)在第一象限，故直线l 恒过第一象限．(2)直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3．因为l 不经过第二象限， 结合图象可知a ≥3．针对这个类型的题目，灵活地把一般式Ax ＋By ＋C ＝0进行变形是解决这类问题的关键．在求参量取值范围时，巧妙地利用数形结合思想会使问题简单明了．1．已知直线kx ＋y －k ＝0与射线3x －4y ＋5＝0(x ≥－1)有交点，求实数k 的取值范围．解：kx ＋y －k ＝0过定点Q (1，0)且斜率为－k ， 点S ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12为射线3x －4y ＋5＝0的端点． 因为k QS ＝－14，结合图象知，若要有交点，则－k >34或－k ≤－14，所以k <－34或k ≥14．2．求证：直线(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0无论k 取任何实数必过定点，并求出此定点． 解：原直线方程可整理为：(x ＋y )＋k (x －y －2)＝0，则直线(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0通过直线l 1：x ＋y ＝0与l 2：x －y －2＝0的交点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1．所以直线过定点(1，－1)．1．求直线方程，表面上需求A 、B 、C 三个系数，由于A 、B 不同时为零， 若A ≠0，则方程化为x ＋BA y ＋C A ＝0，只需确定B A 、C A的值； 若B ≠0，则方程化为A B x ＋y ＋C B ＝0，只需确定A B 、C B的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．这样在以后求直线方程时会有章可循． 2．直线方程的其他形式都可以化成一般形式．解题时，如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式．3．在一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)中，若A ＝0，则y ＝－C B ，它表示一条与y 轴垂直的直线； 若B ＝0，则x ＝－C A，它表示一条与x 轴垂直的直线．选择直线的点斜式和斜截式时，应考虑斜率不存在的情形；选择截距式时，应考虑零截距及与坐标轴平行的情形；选择两点式时，应考虑与坐标轴平行的情形．1．如果方程Ax ＋By ＋C ＝0表示的直线是y 轴，则A 、B 、C 满足( ) A ．B ·C ＝0 B ．A ≠0C ．B ·C ＝0且A ≠0D ．A ≠0且B ＝C ＝0 答案：D2．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( ) A ．C ＝0，B >0 B ．A >0，B >0，C ＝0 C ．AB <0，C ＝0 D ．AB >0，C ＝0解析：选D ．通过直线的斜率和截距进行判断． 3．直线x ＋2y －1＝0在x 轴上的截距为 ． 解析：令y ＝0，得x ＝1． 答案：14．经过点P (－3，－2)且在两坐标轴的截距互为相反数的直线方程为 ． 答案：y ＝23x 或x －y ＋1＝0[学生用书P113(单独成册)])[A 基础达标]1．在x 轴和y 轴上截距分别是－2，3的直线方程是( ) A ．2x －3y －6＝0 B ．3x －2y －6＝0 C ．3x －2y ＋6＝0D ．2x －3y ＋6＝0解析：选C ．直线的截距式方程为x －2＋y3＝1， 化为一般式方程为3x －2y ＋6＝0．2．已知直线l 的方程为9x －4y ＝36，则l 在y 轴上的截距为( ) A ．9 B ．－9 C ．4 D ．－4答案：B3．已知直线Ax ＋By ＋C ＝0在两坐标轴上的截距相等，则系数A 、B 、C 满足的条件是( ) A ．A ＝B B ．|A |＝|B |且C ≠0 C ．A ＝B 或C ＝0 D ．A ＝B 且C ≠0 答案：C4．不论m 为何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12B ．(－2，0)C ．(2，3)D ．(－2，3) 解析：选D ．直线化为点斜式为y －3＝(m －1)(x ＋2)，所以直线恒过定点(－2，3)，故选D ．5．等边△PQR 中，P (0，0)、Q (4，0)，且R 在第四象限内，则PR 和QR 所在直线的方程分别为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±3(x －4)C ．y ＝3x 和y ＝－3(x －4)D ．y ＝－3x 和y ＝3(x －4)解析：选D ．易知R (2，－23)，由两点式知D 正确．6．已知A ＋B ＋C ＝0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0必过定点 ． 解析：令x ＝y ＝1，得A ＋B ＋C ＝0，所以过定点(1，1)． 答案：(1，1)7．直线(2a 2－7a ＋3)x ＋(a 2－9)y ＋3a 2＝0的倾斜角为45°，则实数a ＝ ． 解析：由题意斜率存在，倾斜角为45°，即k ＝1．所以－2a 2－7a ＋3a 2－9＝1，解得a ＝－23或3．当a ＝3时，2a 2－7a ＋3与a 2－9同时为0，所以应舍去，所以a ＝－23．答案：－238．直线(2t －3)x ＋2y ＋t ＝0不经过第二象限，则t 的取值范围是 ． 解析：由题意得直线的斜率k ＝3－2t 2≥0，且在y 轴上的截距－t 2≤0，解得0≤t ≤32．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，329．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)求证：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围． 解：(1)证明：直线l 的方程可变形为y －1＝k (x ＋2)．令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1. 所以无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1)． (2)当k ＝0时，直线l 为y ＝1，符合条件．当k ≠0时，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧k >0，－1＋2kk ≤0，1＋2k ≥0，解得k >0． 综上可知，k 的取值范围是{k |k ≥0}．10．菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程．解：设菱形的四个顶点为A 、B 、C 、D ，如图所示．根据菱形的对角线互相垂直且平分可知，顶点A 、B 、C 、D 在坐标轴上，且A 、C 关于原点对称，B 、D 也关于原点对称．所以A (－4，0)，C (4，0)，B (0，3)，D (0，－3)，由截距式，得直线AB 的方程为x －4＋y3＝1，即3x －4y ＋12＝0；直线BC 的方程为x 4＋y 3＝1，即3x ＋4y －12＝0；直线AD 的方程为x－4＋y－3＝1，即3x ＋4y ＋12＝0；直线CD 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0．[B 能力提升]11．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限解析：选C ．把直线方程化为斜截式，得y ＝－ab x ＋c b， 因为ab <0，bc <0，所以－a b >0，c b<0． 所以直线经过第一、三、四象限．12．已知直线l ：x －2y ＝0和两个定点A (1，1)，B (2，2)，点P 为直线l 上的一动点，则使|PA |2＋|PB |2取得最小值的P 点坐标为 ．解析：设P 点坐标为P (x ，y )，则x ＝2y ，所以|PA |2＋|PB |2＝(x －1)2＋(y －1)2＋(x －2)2＋(y －2)2＝10(y －910)2＋1910，所以当y ＝910时，|PA |2＋|PB |2最小，最小值为1910，此时x ＝2y ＝2×910＝95，所以P 点坐标为(95，910)．答案：(95，910)13．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )， (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解：(1)当直线l 过原点时，该直线在x 轴和y 轴的截距为零，显然相等，所以当a ＝2时，方程为3x ＋y ＝0；当a ≠2时，由a －2a ＋1＝a －2，解得a ＝0，所以直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0．综上所述，所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0．(2)将直线l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0，解得a ≤－1．所以a 的取值范围为a ≤－1．14．(选做题)已知实数a ∈(0，2)，直线l 1：ax －2y －2a ＋4＝0和l 2：2x ＋a 2y －2a 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形．(1)求证：无论实数a 取何值，直线l 2必过定点，并求出定点坐标； (2)求实数a 取何值时，所围成的四边形面积最小？最小面积是多少？ 解：(1)因为直线l 2：2x ＋a 2y －2a 2－4＝0， 所以a 2(y －2)＋(2x －4)＝0，所以直线l 2恒过直线y ＝2和2x －4＝0的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22x －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2， 所以交点坐标为(2，2)．即无论a 取何值时，直线l 2恒过定点且定点坐标为(2，2)． (2)因为直线l 1：ax －2y －2a ＋4＝0，l 2：2x ＋a 2y －2a 2－4＝0，所以直线l 1与y 轴的交点为A (0，2－a )， 直线l 2与x 轴的交点为B (a 2＋2，0)．因为直线l 1：ax －2y －2a ＋4＝0也恒过定点C (2，2)， 所以过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，S 四边形AOBC ＝S 梯形AODC ＋S △BCD＝12(2－a ＋2)×2＋12a 2×2＝a 2－a ＋4＝(a －12)2＋154．因为a ∈(0，2)，所以当a ＝12时，S 四边形AOBC 最小，最小值是154．即实数a ＝12时，所围成的四边形面积最小，最小值是154．。
高中数学选修2-3优质学案：2.2.2 事件的相互独立性
2.2.2 事件的相互独立性[学习目标] 1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．知识点一相互独立事件的概念设A，B为两个事件，若P(AB)＝______________，则称事件A与事件B相互独立．思考1不可能事件与任何一个事件相互独立吗？思考2必然事件与任何一个事件相互独立吗？知识点二相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．思考如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)正确吗？题型一相互独立事件的判断例1从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A＝“抽到K”，B＝“抽到红牌”，C ＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A与B；(2)C与A.反思与感悟对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，则称A，B互斥．一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，则称A，B对立，显然A∪A 为一个必然事件．A，B互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．跟踪训练1(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B()A．相互独立但不互斥B．互斥但不相互独立C．相互独立且互斥D．既不相互独立也不互斥(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是()A．互斥但不相互独立B．相互独立但不互斥C．互斥且相互独立D．既不相互独立也不互斥题型二相互独立事件同时发生的概率例2甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率；(4)2人至多有1人射中目标的概率．反思与感悟解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A，B相互独立，则A 与B，A与B，A与B也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．跟踪训练2 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．题型三 相互独立事件概率的综合应用例3 计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性大？ (2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率． (3)用X 表示甲、乙、丙三人计算机考试获合格证书的人数，求X 的分布列．反思与感悟 求较复杂事件概率的一般步骤如下：(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式； (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．跟踪训练3 某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至少选一门课的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积． (1)求学生小张选修甲的概率；(2)记“函数f (x )＝x 2＋ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； (3)求ξ的分布列．1．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( ) A ．p 1p 2 B ．p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1) C ．1－p 1p 2D ．1－(1－p 1)(1－p 2)2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一目标，则他们都中靶的概率是( ) A.1425B.1225C.34D.353．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是( )A.13B.23C.12D ．1 4．两个相互独立的事件A 和B ，若P (A )＝12，P (B )＝14，则P (AB )＝________.5．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170，169，168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的．(列表比较)提醒：完成作业 2.2.2[答案]精析知识梳理 知识点一 P (A )P (B )思考1 相互独立．不可能事件的发生与任何一个事件的发生没有影响． 思考2 相互独立．必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响． 知识点二思考 正确．如果事件A 与事件B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )． 题型探究例1 解 (1)由于事件A 为“抽到K ”，事件B 为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ，即有可能抽到K ，故事件A ，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．以下考虑它们是否为相互独立事件： 抽到K 的概率为P (A )＝452＝113，抽到红牌的概率为P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126，事件AB 为“既抽到K 又抽到红牌”，即“抽到红桃K 或方块K ”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此A 与B 是相互独立事件．(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张，抽到K 就不可能抽到J ，抽到J 就不可能抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发生，A 与C 互斥，由于P (A )＝113≠0，P (C )＝113≠0，而P (AC )＝0，所以A 与C 不是相互独立事件，又抽不到K 不一定抽到J ，故A 与C 并非对立事件． 跟踪训练1 (1)A (2)B[解析] (1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与B 可能同时发生，所以事件A 与B 不是互斥事件．(2)事件A ＝{2,4,6}，事件B ＝{3,6}，事件AB ＝{6}，基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}． 所以P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16＝12×13，即P (AB )＝P (A )P (B )，因此，事件A 与B相互独立．当“出现6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件．例2 解 设“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件． (1)2人都射中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.9＝0.72.(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A B 发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件A B 发生)．根据题意，事件A B 与A B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为 P (A B )＋P (A B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B ) ＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9 ＝0.08＋0.18＝0.26.(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”2种情况，其概率为P ＝P (AB )＋[P (A B )＋P (A B )]＝0.72＋0.26＝0.98.(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况， 故所求概率为P ＝P (A B )＋P (A B )＋P (A B ) ＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＋P (A )·P (B ) ＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.跟踪训练2 解 甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－14－12＝14，1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．租车费都为0元的概率为p 1＝14×12＝18，租车费都为2元的概率为p 2＝12×14＝18，租车费都为4元的概率为p 3＝14×14＝116. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p ＝p 1＋p 2＋p 3＝516.(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元，0元，所以可得P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516.例3 解 (1)记“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则 P (A )＝45×12＝25，P (B )＝34×23＝12，P (C )＝23×56＝59.因为P (C )>P (B )>P (A )，所以丙获得合格证书的可能性大．(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，则 P (D )＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC ) ＝25×12×49＋25×12×59＋35×12×59＝1130. (3)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝35×12×49＝215，P (X ＝2)＝P (D )＝1130，P (X ＝3)＝25×12×59＝19，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)－P (X ＝3) ＝1－215－1130－19＝718.所以X 的分布列为跟踪训练3 解 (1)分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x (1－y )(1－z )＝0.08，xy (1－z )＝0.12，(1－x )(1－y )(1－z )＝0.12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.4，y ＝0.6，z ＝0.5.所以学生小张选修甲的概率为0.4.(2)若函数f (x )＝x 2＋ξx 为R 上的偶函数，则ξ＝0. 当ξ＝0时，表示小张选修三门课或三门课都不选，所以P (A )＝P (ξ＝0)＝xyz ＋(1－x )(1－y )(1－z )＝0.4×0.6×0.5＋(1－0.4)(1－0.6)(1－0.5)＝0.24，即事件A 的概率为0.24.(3)根据题意，知ξ可能的取值为0,2，P (ξ＝0)＝0.24.根据分布列的性质，知P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)＝0.76. 所以ξ的分布列为当堂检测 1．B2．A [设“甲命中目标”为事件A ，“乙命中目标”为事件B ，根据题意知，P (A )＝810＝45，P (B )＝710，且A 与B 相互独立．故他们都命中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝45×710＝1425.]3．C [设事件A 表示“甲通过听力测试”，事件B 表示“乙通过听力测试”． 根据题意，知事件A 和B 相互独立， 且P (A )＝12，P (B )＝13.记“有且只有一人通过听力测试”为事件C ， 则C ＝A B ∪A B ，且A B 和A B 互斥． 故P (C )＝P (A B ∪A B ) ＝P (A B )＋P (A B ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝12×⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫1－12×13＝12.] 4.18 5.370。
2020年高中数学教案选修2-2《2.2.2 间接证明》
教学目标：1．结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；2．了解反证法的思考过程、特点．教学重点：反证法的思考过程、特点．教学难点：反证法的思考过程、特点．教学过程：一、预习1．问题：如图，四边形ABCD是平行四边形求证：AB＝CD，BC＝DA．在《数学2（必修）》第三章中，如何证明“在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB 与A1C是异面直线”的？2．初中平面几何中有一个命题：“过在同一直线上的三点A，B，C不能作圆”．如何证明？CD3．定义：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫反证法．即：欲证p 则q ，证：p 且非q （反证法）．反证法的步骤：（1）______________________________________________________；（2）______________________________________________________；（3）______________________________________________________；反证法：（1）反设（即假设） p 则q （原命题） 反设p 且非q ．（2）可能出现三种情况：①导出非p 为真——与题设矛盾．②导出q 为真——与反设中“非q ”矛盾．③导出一个恒假命题——与公理、定理矛盾．反设是反证法的基础，归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推理必须严谨．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾．二、例题精讲例1 求证：正弦函数没有比2π小的正周期．证明 假设T 是正弦函数的周期，则对任意实数x 都有：sin()sin x T x ＋＝． 令x ＝0，得 sin 0T ＝即T ＝k π，k ∈Z ，又0＜T ＜2π，故T ＝π，从而对任意实数x 都有sin(π)sin x x ＋＝，这与πsin(π)2＋≠πsin 2矛盾． 所以正弦函数没有比2π小的周期．例2 证明2不是有理数．（课本例2）．例3 设332a b ＋＝，求证2a b ＋≤．证明 假设2a b ＋＞，则有2a b ＞－，从而a 3＞8－12b ＋6b 2－b 3，a 3＋b 3 ＞6b 2－12b ＋8＝6(b －1)2＋2，因为 6(b －1)2＋2 ≥2，所以a3＋b3＞2，这与题设条件a3＋b3＝2矛盾，所以，原不等式2＋≤成立．a b注意：注意一“否定所证结论”是反证法的第一步，它的正确与否直接影响能否正确使用反证法．否定结论的步骤是：①弄清结论本身的情况；②找出结论的全部相反情况；③正确地否定上述结论．注意二反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是由于开始假定“结论的反面是正确的”是错误的．注意三在反证法证题的过程中，经常画出某些不正确的图形，甚至是不可能存在的图形，这样做的目的，是为了能清楚地说明问题．在证明过程中，每一步推理所得结论的正确性，应完全由它所依据的理由来保证，而不能借助图形的直观性，这与用直接证法借助图形的直观性找到证题的途径是不完全一样的．注意四用反证法证明命题时，若原命题结论的反面不惟一，这时要把每种可能一一否定，不要遗漏．三、巩固练习1．课本86页的练习（1，2，3，4，5）．2．用反证法证明“如果a b＞，那么，假设的内容是______________．3．用反证法证明：“a＞b”．应假设（a≤b）．4．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（假设至少有两个钝角）．5．有关反证法中假设的作用，下面说法正确的是（）．A．由已知出发推出与假设矛盾B．由假设出发推出与已知矛盾C．由已知和假设出发推出矛盾D．以上说法都不对四、回顾小结1．反证法的步骤：①否定结论；②推理论证；③导出矛盾；④肯定结论．2．反证法适用于证明“存在性，惟一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题．五、作业课本P87第8，9，10题．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
高中数学 2.2.2反证法学案 新人教A版选修22
2．2.2 反证法1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．基础梳理1．定义：一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定┐q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与假设矛盾或与数学公理、定理、公式、定义或与公认的简单事实矛盾等．想一想：(1)反证法的实质是什么？(2)反证法属于直接证明还是间接证明？其证明过程属合情推理还是演绎推理？(1)解析：反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．(2)解析：反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．自测自评1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°”时，反设正确的是(A) A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°解析：“至少有一个”的否定是“一个都没有”，则反设为“三个内角都不大于60°”．2．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是(D)A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确解析：用反证法证明问题时，其假设是原命题的否定，故①的假设应为“p＋q>2”；②的假设为“两根的绝对值不都小于1”，故①假设错误．②假设正确．3.“实数a，b，c不全大于0”等价于(D)A．a，b，c均不大于0B．a，b，c中至少有一个大于0C．a，b，c中至多有一个大于0D．a，b，c中至少有一个不大于0解析：“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于0”．故选D.基础巩固1．(2014·微山一中高二期中)用反证法证明命题“如果a>b>0，那么a2>b2”时，假设的内容应是(C)A．a2＝b2 B．a2<b2C．a2≤b2 D．a2<b2，且a2＝b22．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是(D)A．有一个解 B．有两个解C．至少有两个解 D．至少有三个解3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为(B)A．①②③ B．③①②C．①③② D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.4．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以设为a≠1或b≠1.答案：a≠1或b≠1能力提升5．下列命题不适合用反证法证明的是(C)A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1.解析：选项A中命题条件较少，不足以正面证明；选项B中命题是否定性命题，可以反证法证明；选项D中命题是至少性命题，可以反证法证明．选项C不适合用反证法证明．故选C.6．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P、Q、R 不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0与b∈R P、Q、R都大于0.故选C.＋矛盾，故7．已知数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n＝an＋2，b n＝bn＋1(a，b是常数，且a>b)，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得a n＝b n，由题意a>b，n∈N*，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，所以不存在n使a n＝b n.答案：08．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有__________(填序号)．解析：“x＝y”的反面是“x≠y”，即是“x>y或x<y”，所以②正确；“a>b”的反面是“a ≤b ”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形至少有两个钝角”．所以这三个都错．答案：②9．如果非零实数a ，b ，c 两两不相等，且2b ＝a ＋c .证明：2b ＝1a ＋1c不成立． 证明：假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac ＝2b ac，∴b 2＝ac . 又∵b ＝a ＋c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝ac ，即a 2＋c 2＝2ac ，即(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，这与a ，b ，c 两两不相等矛盾，∴2b ＝1a ＋1c不成立． 10．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负实根．证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0. 所以ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又因为x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1 ＝（x 2－2）（x 1＋1）－（x 1－2）（x 2＋1）（x 1＋1）（x 2＋1） ＝3（x 2－x 1）（x 1＋1）（x 2＋1）>0. 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1. 又0<ax 0<1，所以0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2. 与假设x 0<0矛盾，故f (x )＝0没有负实根．。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】第二章2.2.2(二)
n≤5， n≥6.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.2（二）
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an等于
例2 在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列 前n项和Sn的最小值．
解
本 课 时 栏 目 开 关
方法一
∵an＝2n－14，∴a1＝－12，d＝2.
∴a1<a2<…<a6<a7＝0<a8<a9<…. ∴当n＝6或n＝7时，Sn取到最小值． 易求S7＝－42，∴(Sn)min＝－42.
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.2（二）
1．前n项和Sn与an之间的关系
本 课 时 栏 目 开 关
对任意数列{an}，Sn是前n项和，Sn与an的关系可以表示为 S1 n＝1， an＝ Sn－Sn－1 n≥2.na ＋a nn－1 1 n na1＋ d 2 2．等差数列前n项和公式Sn＝__________＝____________. 2 3．若等差数列{an}的前n项和公式为Sn＝An2＋Bn＋C，则A
－4，…，
－n ＋5n Sn＝_______
2
(Sn)max＝____, 6
2或3 此时n＝______
4
－1,－2,－3， a1＝___， -1 －4,－5，…， d＝____ -1
1 1 -1 － n2－ n (Sn)max＝_____, 2 2 Sn＝_________
此时n＝____ 1
研一研·问题探究、课堂更高效
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
跟踪训练2 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大 值．
人教高一数学教学设计之《2.2.2面面平行教学设计》
人教高一数学教学设计之《2.2.2面面平行教学设计》一. 教材分析《高中数学必修2》是人教版高中数学必修教材的第二册，主要内容包括立体几何的基础知识、空间点、线、面的位置关系等。
2.2.2节“面面平行”是其中的一个重要内容。
本节内容主要让学生理解面面平行的概念，掌握面面平行的判定定理和性质定理，并能够运用这些知识解决一些简单的问题。
二. 学情分析高一学生已经学习了初中数学基础知识，对几何图形有一定的认识。
但是，他们对立体几何的概念和性质可能还不太熟悉，因此需要通过实例和活动来帮助他们理解和掌握。
同时，学生可能对空间想象能力有一定的要求，需要通过一些实际操作和练习来提高。
三. 教学目标1.了解面面平行的概念，能够准确地描述和判定面面平行。
2.掌握面面平行的性质定理，能够运用性质定理解决一些简单的问题。
3.提高空间想象能力，培养学生的几何思维。
四. 教学重难点1.面面平行的概念和判定定理的理解。
2.面面平行的性质定理的掌握和运用。
3.空间想象能力的培养。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过实例和问题引导学生思考和探索。
2.利用多媒体和实物模型辅助教学，帮助学生直观地理解面面平行的概念和性质。
3.提供充足的练习机会，让学生通过实际操作和练习来巩固和提高。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.实物模型和教具。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际生活中的立体图形，如教室、书架等，引导学生观察和描述这些图形中面的位置关系。
让学生感受到面面平行在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过多媒体展示一些立体图形，引导学生观察和判断其中的面面平行关系。
同时，给出面面平行的定义和判定定理，让学生理解和掌握。
3.操练（10分钟）让学生分组进行实际操作，利用教具和实物模型来演示和验证面面平行的判定定理。
教师巡回指导，解答学生的问题，帮助学生巩固知识。
4.巩固（5分钟）让学生完成一些练习题，检测学生对面面平行概念和判定定理的理解和掌握程度。
数学：2.2.2(二)教案(新人教A版必修1)
对数函数（第三课时）一．三维目标：1．知识与技能 （1）知识与技能（2）了解反函数的概念，加深对函数思想的理解. 2．过程与方法学生通过观察和类比函数图象，体会两种函数的单调性差异. 3. 情感、态度、价值观 （1）体会指数函数与指数;（2）进一步领悟数形结合的思想. 二．重点、难点：重点：指数函数与对数函数内在联系 难点：反函数概念的理解 三．学法与教具：学法：通过图象，理解对数函数与指数函数的关系. 教具：多媒体 四．教学过程：1．复习（1）函数的概念（2）用列表描点法在同一个直角坐标点中画出22log xy y x ==与的函数图象.`2．讲授新知2x y =2log y x =图象如下：2x探究：在指数函数2xy =中，x 为自变量，y 为因变量，如果把y 当成自变量，x 当成因变量，那么x 是y 的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.引导学生通过观察、类比、思考与交流，得出结论.在指数函数2x y =中，x 是自变量， y 是x 的函数（,x R y R +∈∈），而且其在R 上是单调递增函数. 过y 轴正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与2xy =的图象有且只有一个交点.由指数式与对数式关系，22log xy x y ==得，即对于每一个y ，在关系式2log x y =的作用之下，都有唯一的确定的值x 和它对应，所以，可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数，我们说2log 2()xx y y x R ==∈是的反函数.从我们的列表中知道，22log xy x y ==与是同一个函数图象.3．引出反函数的概念（只让学生理解，加宽学生视野）当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数为反函数.由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数.如3log 3xx y y ==是的反函数，但习惯上，通常以x 表示自变量，y 表示函数，对调3log x y =中的3,log x y y x =写成，这样3log (0,)y xx =∈+∞是指数函数3()x y x R =∈的反函数.以后，我们所说的反函数是,x y 对调后的函数，如2()xy x R =∈的反函数是2log (0,)y xx =∈+∞.同理，(1xy a a =≠且a ＞1）的反函数是log (a y x a =＞0且1)a ≠. 课堂练习：求下列函数的反函数 （1）5xy = （2）0.5log y x = 归纳小结：1. 今天我们主要学习了什么？ 2．你怎样理解反函数？ 课后思考：（供学有余力的学生练习）我们知道(x y a a =＞01)a ≠且与对数函数(a y x a =log ＞0且1)a ≠互为反函数，探索下列问题.1．在同一平面直角坐标系中，画出2log xy y x ==2与的图象，你能发现这两个函数有什么样的对称性吗？2．取2xy =图象上的几个点，写出它们关于直线y x =的对称点坐标，并判断它们 是否在2log y x =的图象上吗？为什么？3．由上述探究你能得出什么结论，此结论对于log (xa y a y xa ==与＞01)a ≠且成立吗？。
高中数学直线和圆的方程2.2.2直线的两点式方程学案含解析
2.2.2 直线的两点式方程必备知识·自主学习1.直线的两点式、截距式方程名称两点式截距式条件两点 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2，y 1≠y 2)两点A (a ，0)，B (0，b )，ab ≠0 方程112121y y x x y y x x --=--x y 1a b+=(1)什么样的直线的方程不能用两点式表示？ 提示：与x 轴、y 轴平行的直线，x 轴，y 轴． (2)什么样的直线的方程不能用截距式表示？ 提示：与x 轴、y 轴平行或重合及过原点的直线． 2．线段的中点坐标公式点P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，其中P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x ＝12x x 2+，y ＝12y y 2+．如果已知点P (a ，b )是线段P 1P 2的中点，其中P 1(x 1，y 1)，那么点P 2的坐标是什么？提示：设点P 2(x 2，y 2)，由中点坐标公式：a ＝x 1＋x 22 ，b ＝y 1＋y 22 ，所以x 2＝2a －x 1，y 2＝2b －y 1，则点P 2(2a －x 1，2b －y 1).1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示．( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程 (y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )(3)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．( )(4)一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程可以写成两点式或斜截式．( ) 提示：(1)×.若直线垂直于坐标轴，此时a 或b 不存在，不能用x a ＋yb ＝1表示．(2)√.方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)能表示包含点P 1(x 1，y 1)， P 2(x 2，y 2)在内的直线上所有点．(3)√.能用两点式方程表示说明直线一定有斜率，所以可用点斜式方程表示．(4)√.直线不与坐标轴平行或重合，说明直线有斜率，有截距，所以方程可以写成两点式或斜截式．2．在x 轴和y 轴上的截距分别为－2，3的直线方程是( ) A ．x 3 ＋y －2 ＝1 B ．x 2 ＋y－3 ＝1C ．x －2 ＋y3 ＝1D ．x －3 ＋y2＝1【解析】x －2＋y3 ＝1.3．直线x a ＋yb ＝1过第一、三、四象限，则( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0【解析】选B.因为直线过第一、三、四象限，所以它在x 轴上的截距为正，在y 轴上的截距为负，所以a >0，b <0.4．(教材二次开发：例题改编)已知点A (3，2)，B (－1，4)，则经过点C (2，5)且经过线段AB 的中点的直线方程为________.【解析】AB 的中点坐标为(1，3)，由直线的两点式方程可得y －35－3 ＝x －12－1 ，即2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝0关键能力·合作学习类型一 直线的两点式方程(数学运算)1．过()1，2 ，()5，3 的直线方程是( ) A ．y －25－1 ＝x －13－1 B ．y －23－2 ＝x －15－1C ．y －15－1 ＝x －35－3D ．x －25－2 ＝y －32－3【解析】()1，2 ，()5，3 ，将两点坐标代入两点式 ，得y －23－2 ＝x －15－1.2．已知三角形三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，则BC 边上中线所在直线方程是( ) A ．x －13y ＋5＝0 B ．x －13y －5＝0 C ．x ＋13y ＋5＝0 D ．x ＋13y ＝0【解析】B ()3，－3 ，C ()0，2 ，所以BC 中点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0＋32，2－32 ，即⎝⎛⎭⎫32，－12 . 则BC 边上的中线应过A ()－5，0 ，⎝⎛⎭⎫32，－12 两点，由两点式得：y －0－12－0 ＝x ＋532＋5，整理得x ＋13y ＋5＝0.3．已知点A ()1，2 ，B ()－1，－2 ，则直线AB 的方程是________.【解析】因为直线的两点式方程为x －x 1x 2－x 1 ＝y －y 1y 2－y 1，将点A ()1，2 ，B ()－1，－2 代入，得x －1－1－1 ＝y －2－2－2 ，整理得直线AB 的方程是2x －y ＝0. 答案：2x －y ＝0由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标．(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标． (3)由直线的两点式方程写出直线的方程．提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程． 【补偿训练】已知直线l 的两点式方程为y －0－3－0 ＝x －（－5）3－（－5），则l 的斜率为( ) A ．－38 B ．38 C ．－32 D ．32【解析】y －0－3－0 ＝x －（－5）3－（－5） ，知直线l 过点(－5，0)，(3，－3)，所以l 的斜率为0－（－3）－5－3＝－38.类型二 直线的截距式方程(数学运算)【典例】已知直线l 过点()1，2 ，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为( ) A ．2x －y ＝0 B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＝0或x ＋2y －2＝0D ．2x －y ＝0或2x ＋y －4＝0【思路导引】直线l 在两坐标轴上的截距成倍数关系，应考虑直线过原点和不过原点两类，分别设出方程，再由直线l 过点()1，2 求得直线方程． 【解析】选D.根据题意，直线l 分2种情况讨论：①当直线过原点时，又由直线经过点()1，2 ，所以所求直线方程为y ＝2x ，整理，得2x －y ＝0，②当直线不过原点时，设直线l 的方程为x a ＋y 2a ＝1，代入点()1，2 的坐标得1a ＋22a＝1，解得a ＝2，此时直线l 的方程为x 2 ＋y4 ＝1，整理为2x ＋yl 的方程为2x －y ＝0或2x ＋y －4＝0.用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便． (2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式． (3)当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．过点()1，2 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】选B.由题意知直线在两坐标轴上的截距互为相反数．当直线过原点时直线方程为y ＝2x ；当直线不过原点时设直线方程为x a ＋yb＝1，又因为截距互为相反数，则b ＝－a ，将点()1，2 代入有1a ＋2－a＝1，解得a ＝－1，此时直线方程为：x －y ＋1＝0.综上，满足过点()1，2 且在两坐标轴上截距互为相反数的直线有2条．类型三 直线方程的应用(数学运算)【角度1】对称问题【典例】已知直线l ：x －y ＋3＝0，一束光线从点A (1，2)处射向x 轴上一点B ，又从B 点反射到l 上的一点C ，最后从C 点反射回A 点，求直线BC 的方程． 【思路导引】入射光线和反射光线是关于镜面的法线对称的．【解析】作点A 关于x 轴的对称点A 2，则A 2(1，－2).设点A 关于l ：x －y ＋3＝0的对称点为A 1(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＋12－y 0＋22＋3＝0，y 0－2x 0－1×1＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝4， 即A 1点坐标为(－1，4).由已知条件知点A 1，A 2均在直线BC 上，所以由直线的两点式方程，得y －4－2－4 ＝x ＋11＋1，即3x ＋y －1＝0.故直线BC的方程为3x＋y－1＝0.【角度2】最值问题【典例】如图，已知直线l过点P(2，1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为________.【思路导引】利用直线l过点P(2，1)得到直线在两个坐标轴上截距的关系，由均值不等式得解．【解析】设直线l为xa＋yb＝1(a>0，b>0)，因为直线l过点P(2，1)，则有2a＋1b＝1，三角形OAB的面积为S＝12ab.对2a＋1b＝1，利用均值不等式得1＝2a＋1b≥22a·1b＝22ab，即ab≥8.于是，三角形OAB的面积为S＝12ab≥4.当且仅当a＝4，b＝2时等号成立．答案：41．解决对称问题的方法两点关于直线对称，则两点连线必定垂直于对称轴，并且对称两点的中点一定在对称轴上，简称为“一中点二垂直”，这是解决对称问题通用的工具．2．计算最值问题的方法对于三角形、四边形等图形的面积，获得对应的表达式后，可以结合式子特征，应用均值不等式、二次函数等方法，求得最大(或最小)值，需注意变量的限制条件．1．入射光线从P(2，1)出发，经x轴反射后，通过点Q(4，3)，则入射光线所在直线的方程为________.【解析】利用反射定理可得，点Q (4，3)关于x 轴的对称点Q ′(4，－3)在入射光线所在直线上，故入射光线所在的直线PQ ′的方程为y －1－3－1 ＝x －24－2 ，化简得2x ＋y －5＝0. 答案：2x ＋y －5＝02．已知A (3，0)，B (0，4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________. 【解析】直线AB 的方程为x 3 ＋y 4 ＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，所以xy ＝3y －34 y 2＝34 (－y 2＋4y )＝34 [－(y －2)2P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2 时，xy 取得最大值3. 答案：3课堂检测·素养达标1．过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为( ) A ．y ＝x ＋3 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝－x －2【解析】选A.由两点式方程可得，y －14－1 ＝x ＋21＋2 ，即y ＝x ＋3.2．直线x a 2 －yb 2 ＝1在y 轴上的截距是( )A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b 【解析】x ＝0，得y ＝－b 2.3．直线x 3 －y4 ＝1在两坐标轴上的截距之和为( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7【解析】x 3 －y 4 ＝1的横截距为3，纵截距为－4，所以直线x 3 －y4 ＝1在两坐标轴上的截距之和为－1.4．经过两点M (4，3)，N (1，5)的直线交x 轴于点P ，则点P 的坐标是________. 【解析】由直线的两点式方程，得MN 所在直线的方程为y －35－3 ＝x －41－4 ，即2x ＋3y －17＝0.令y ＝0，得x ＝172 ，故P 点坐标为⎝⎛⎭⎫172，0 . 答案：⎝⎛⎭⎫172，05．(教材二次开发：练习改编)直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过定点A (6，－2)，则直线l 的方程为________.【解析】设直线在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为a －1，由截距式可得：x a ＋y a －1＝1，将()6，－2 代入直线方程，解得：a ＝2或3，所以代入直线方程化简可得，x ＋2y －2＝0或2x ＋3y －6＝0. 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋3y －6＝0。
〖2021年整理〗《学案2.2.2直线的两点式方程》优秀教案
直线的两点式方程学习目标核心素养1掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围．重点2了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围．重点3会用中点坐标公式求两点的中点坐标1通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理的数学素养2通过直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算的数学素养某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东和4 m 现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A、B两处，并使区商业中心O到A、B两处的距离之和最短．在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A、B能否确定？1．直线的两点式和截距式方程名称两点式方程截距式方程已知条件在过点A2，－1，B－3,4的直线上，则m＝________1＝22－2[1由于点A与点B的横坐标相等，所以直线没有两点式方程，所求的直线方程为＝22由直线方程的两点式得错误!＝错误!，即错误!＝错误!∴直线AB的方程为＋1＝－＋2，∵点在直线AB上，则m＋1＝－3＋2，得m＝－2]由两点式求直线方程的步骤1设出直线所经过点的坐标．2根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．3由直线的两点式方程写出直线的方程．提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程．[跟进训练]1．求经过两点A2，m和Bn,3的直线方程．[解]当m＝3时，直线垂直于轴，方程为＝3，当n＝2时，直线垂直于轴，方程为＝2当m≠3且n≠2时，由两点式得直线方程为错误!＝错误!直线的截距式方程【例2】求过点4，－3且在两坐标轴上截距相等的直线的方程．[思路探究][解]设直线在轴、轴上的截距分别为a，b①当a≠0，b≠0时，设的方程为错误!＋错误!＝1∵点4，－3在直线上，∴错误!＋错误!＝1，若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为＋－1＝0②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点4，－3，∴直线的方程为3＋4＝0综上知，所求直线方程为＋－1＝0或3＋4＝01．[变条件]本例中把“截距相等”改为“截距互为相反数”，求直线的方程．[解]当截距均为零时，设直线方程为＝，把点4，－3代入得－3＝4，解得＝－错误!，所求的直线方程为＝－错误!，即3＋4＝0当截距均不为零且相反时，可设直线方程为错误!＋错误!＝1，把点4，－3代入得错误!＋错误!＝1，解得a＝7，所求直线方程为错误!＋错误!＝1，即－－7＝0，故所求的方程为－－7＝0或3＋4＝02．[变条件]本例中把“相等”改为“绝对值相等呢？”[解]当直线在两轴上的截距的绝对值相等时，包括：①两截距均为零，即3＋4＝0②两截距均不为零且相等即＋－1＝0③两截距均不为零且相反即－－7＝0故所求的直线方程为－－7＝0或＋－1＝0或3＋4＝0利用截距式求直线方程的注意事项1用截距式求直线方程时，纵截距和横截距都必须存在且都不为0①若a＝0，b≠0，则直线方程为＝0；②若a≠0，b＝0，则直线方程为＝0；③若a＝0，b＝0，则直线方程为＝≠0．2截距相等且不为零，可设＋＝a；截距相反且不为零，可设－＝a；截距相等且均为零，可设＝直线方程的灵活应用[探究问题]1 若已知直线过定点，选择什么形式较好？过两点呢？[提示]点斜式若直线过两定点可选择两点式或点斜式．2．若已知直线的斜率，选哪种形式的方程？[提示]可选择斜截式．3．若已知直线与两坐标轴相交，选哪种形式的方程较好？[提示]选择截距式较好．【例3】已知A－3,2，B5，－4，C0，－2，在△ABC中，1求BC边的方程；2求BC边上的中线所在直线的方程．[思路探究]1错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!a，b，则a＝错误!＝错误!，b＝错误!＝－3，所以M错误!，又BC边的中线过点A－3,2，所以错误!＝错误!，即10＋11＋8＝0，所以BC边上的中线所在直线的方程为10＋11＋8＝01．本例中条件不变，试求AB边上的高线所在直线的方程．[解]设AB边上的高线所在直线斜率为，∵AB＝错误!＝－错误!，∴＝错误!，又高线过点C0，－2，∴由点斜式方程得高线所在直线方程为＋2＝错误!－0，即4－3－6＝02．本例中条件不变，试求与AB平行的中位线所在直线的方程．[解]由探究1知AB＝－错误!，即中位线所在直线斜率为－错误!，由例题知BC的中点为错误!，所以由点斜式方程可得，中位线所在直线方程为＋3＝－错误!错误!，即6＋8＋9＝0直线方程的选择技巧1已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．2若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．3若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．4不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．1．当直线没有斜率1＝2或斜率为01＝2时，不能用两点式错误!＝错误!求它的方程，此时直线的方程分别是＝1和＝1，而它们都适合2－1－1＝2－1－1，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成2－1－1＝2－1－1的形式．2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．1．过P12,0，P2021两点的直线方程是A．错误!＋错误!＝0 B．错误!＋错误!＝0C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1C[由条件可知，直线在轴、轴上的截距分别为2,3，所以方程为错误!＋错误!＝1]2．过两点－1,1和3,9的直线在轴上的截距是________．－错误![由两点式得错误!＝错误!，即－1＝2＋1，令＝0得＝－错误!，所以直线在轴上的截距为－错误!]3．经过点－1,5，且与直线错误!＋错误!＝1垂直的直线方程是________．－3＋16＝0[直线错误!＋错误!＝1的斜率是－3，所以所求直线的斜率是错误!，所以所求直线方程是－5＝错误!＋1，即－3＋16＝0]4．求过点P6，－2，且在轴上的截距比在轴上的截距大1的直线方程．[解]设直线方程的截距式为错误!＋错误!＝1则错误!＋错误!＝1，解得a＝2或a＝1，则直线方程是错误!＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1，即2＋3－6＝0或＋2－2＝0。
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第二章统计2.2用样本估计总体2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(第2课时)学习目标正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差;能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并作出合理的解释;会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,形成对数据处理过程进行初步评价的意识.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是,平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断.如某地区的统计报表显示,此地区的中学生的平均身高为176cm,给我们的印象是该地区的中学生生长发育好,身高较高.但是,如果这个平均数是从五十万名中学生中抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话,那么,这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身高.因此,只有平均数还难以概括样本数据的实际状态.我们应该引入什么样的概念才能解决这个问题呢?问题2:(1)有甲、乙两种钢筋,现从中各抽取一个样本(如下表)检查它们的抗拉强度(单位:kg/mm2),哪种钢筋的质量较好?(2)某种子公司为了在当地推行两种新水稻品种,对甲、乙两种水稻进行了连续7年的种植对比实验,年亩产量分别如下:(千克)甲:600,880,880,620,960,570,900(平均773)乙:800,860,850,750,750,800,700(平均787)请你用所学统计学的知识,说明选择哪种品种推广更好?(3)全面建设小康社会是我们党和政府的工作重心,某市按当地物价水平计算,人均年收入达到1.5万元的家庭即达到小康生活水平.民政局对该市100户家庭进行调查统计,他们的人均收入达到了1.6万元,民政局即宣布该市生活水平已达到小康水平,你认为这样的结论是否符合实际?(4)如何考察样本数据的分散程度的大小呢?把数据在坐标系中刻画出来,是否能直观地判断数据的离散程度?二、信息交流,揭示规律讨论结果:标准差:方差:三、运用规律,解决问题【例题】甲、乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm): 甲25.4625.3225.4525.3925.3625.3425.4225.4525.3825.4225.3925.4325.3925.4025.4425.4025.4225.3525.4125.39乙25.4025.4325.4425.4825.4825.4725.4925.4925.3625.3425.3325.4325.4325.3225.4725.3125.3225.3225.3225.48从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高?四、变式训练,深化提高某地区全体九年级的3000名学生参加了一次数学测试,为了估计学生的成绩,从不同学校的不同程度的学生中抽取了100名学生的成绩如下:100分12人,90分30人,80分18人,70分24人,60分12人,50分4人.请根据以上数据估计该地区3000名学生的平均分、合格率(60及60分以上均属合格).五、反思小结,观点提炼请同学们想一想1.本节课我们学习过哪些知识内容?2.你认为学习这些有什么意义?布置作业课本P82习题2.2A组第6,7题.课后巩固:1.在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下:9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为.2.若给定一组数据x1,x2,…,x n的方差为s2,则ax1,ax2,…,ax n的方差是.3.在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试,测得他们的最大速度(单位:m/s)的数据如下:试判断选谁参加某项重大比赛更合适?4.某养鱼专业户在一个养鱼池放入一批鱼苗,一年以后准备出售,为了在出售以前估计卖掉鱼后有多少收入,这个专业户已经了解到市场的销售价是每千克15元,请问,这个专业户还应该了解什么?怎样去了解?请你为他设计一个方案.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:标准差,方差二、信息交流,揭示规律问题2:讨论结果:(1)由上图可以看出,乙样本的最小值100低于甲样本的最小值110,乙样本的最大值145高于甲样本的最大值135,这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差.由上图可以看出,乙的极差较大,数据点较分散;甲的极差小,数据点较集中,这说明甲比乙稳定.运用极差对两组数据进行比较,操作简单方便,但如果两组数据的集中程度差异不大时,就不容易得出结论.(2)选择的依据应该是,产量高且稳产,所以选择乙更为合理.(3)不符合实际.样本太小,没有代表性.若样本里有个别高收入者与多数低收入者差别太大.在统计学里,对统计数据的分析,需要结合实际,侧重于考察总体的相关数据特征.比如,市民平均收入问题,都是考察数据的分散程度.(4)把问题(2)中的数据在坐标系中刻画出来.我们可以很直观地知道,乙组数据比甲组数据更集中在平均数的附近,即乙的分散程度小,如何用数字去刻画这种分散程度呢?考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是方差和标准差.标准差:考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示.所谓“平均距离”,其含义可作如下理解:假设样本数据是x1,x2,…,x n,表示这组数据的平均数.x i到的距离是|x i-|(i=1,2,…,n).于是,样本数据x1,x2,…,x n到的“平均距离”是s=---.由于上式含有绝对值,运算不太方便,因此,通常改用如下公式来计算标准差:s=---.意义:标准差用来表示稳定性,标准差越大,数据的离散程度就越大,也就越不稳定;标准差越小,数据的离散程度就越小,也就越稳定.从标准差的定义可以看出,标准差s≥0,当s=0时,意味着所有的样本数据都等于样本平均数.标准差还可以用于对样本数据的另外一种解释.例如,在关于居民月均用水量的例子中,平均数=1.973,标准差s=0.868,所以+s=2.841,+2s=3.709;-s=1.105,-2s=0.237.这100个数据中,在区间[-2s,+2s]=[0.237,3.709]外的只有4个,也就是说,[-2s,+2s]几乎包含了所有样本数据.从数学的角度考虑,人们有时用标准差的平方s2——方差来代替标准差,作为测量样本数据分散程度的工具:s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x n-)2].显然,在刻画样本数据的离散程度上,方差与标准差是一样的.但在解决实际问题时,一般多采用标准差.需要指出的是,现实中的总体所包含的个体数往往是很多的,总体的平均数与标准差是不知道的.如何求得总体的平均数和标准差呢?通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差.这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的.只要样本的代表性好,这样做就是合理的,也是可以接受的.三、运用规律,解决问题【例题】分析:每一个工人生产的所有零件的内径尺寸组成一个总体.由于零件的生产标准已经给出(内径25.40mm),生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量.总体的平均数与内径标准尺寸25.40mm的差异大时质量低,差异小时质量高;当总体的平均数与标准尺寸很接近时,总体的标准差小的时候质量高,标准差大的时候质量低.这样,比较两人的生产质量,只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可.但是,这两个总体的平均数与标准差都是不知道的,根据用样本估计总体的思想,我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据,然后比较这两个样本的平均数、标准差,以此作为两个总体之间差异的估计值.解:用计算器计算可得甲≈25.401,乙≈25.406;s甲≈0.037,s乙≈0.068.从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40mm),但是差异很小;从样本标准差看,由于s甲<s乙,因此甲生产的零件内径比乙的稳定程度高得多.于是,可以作出判断,甲生产的零件的质量比乙的高一些.四、变式训练,深化提高解:运用计算器计算得:=79.40,(12+30+18+24+12)÷100=96%,所以样本的平均分是79.40分,合格率是96%,由此估计总体3000名学生的平均分是79.40分,合格率是96%.五、反思小结,观点提炼1.用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类:(1)用样本平均数估计总体平均数,平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平.(2)用样本标准差估计总体标准差.样本容量越大,估计就越精确,标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一组数据变化的幅度.2.用样本估计总体的两个手段(用样本的频率分布估计总体的分布;用样本的数字特征估计总体的数字特征),需要从总体中抽取一个质量较高的样本,才不会产生较大的估计偏差,且样本容量越大,估计的结果也就越精确.课后巩固:1.9.5,0.0162.a2s23.解:甲=33,乙=33,甲乙,乙的成绩比甲稳定,选乙参加比赛更合适.4.解:这个专业户应了解鱼的总重量,可以先捕出一些鱼(设有x条),做上标记后放回鱼塘,过一段时间再捕出一些鱼(设有a条),观察其中带有标记的鱼的条数,作为一个样本来估计总体,则条鱼中带有标记的条数鱼塘中所有带有标记的鱼的条数鱼塘中鱼的总条数这样就可以求得总条数,同时把第二次捕出的鱼的平均重量求出来,就可以估计鱼塘中鱼的平均重量,进而估计全部鱼的重量,最后估计出收入.。