如何实现例题教学的“有效性”——从“参数分离法”说起
参数法在解题中的妙用
参数法在解题中的妙用参数法是一种常用的解题方法，主要是通过引入参数来简化问题或者进行推导。
这种方法常用于数学和物理等科学领域中，可以减少计算量，简化问题结构，提高解题效率。
本文将详细介绍参数法的妙用，并以数学题目为例进行说明。
参数法的基本原理是通过引入一个或多个参数，将原始问题转化为一个较简单的问题或者新的等价问题。
这样一来，问题可能会变得更易解，同时也能从不同的角度得到问题的解。
参数法的核心思想是灵活运用数学概念和原理，并将其应用于具体问题中。
1.简化问题结构。
通过引入参数，可以将原始问题转化为一个更加简单的问题。
例如，问题中需要计算一个函数的局部极值点，可以通过引入参数将问题转化为计算函数的导数等于零的点，从而简化计算过程。
2.减少计算量。
有些问题可能存在大量的计算，通过参数法可以减少计算的规模。
例如，问题中需要计算一个较复杂的表达式的值，可以通过引入参数将表达式转化为一个较简单的形式，从而减少计算量。
3.推导出新的等价问题。
参数法有时可以将原始问题转化为一个和原问题等价的新问题，通过求解新问题可以得到原问题的解。
这种方法常用于证明问题中，通过推导出一个等价的定理或者命题，从而证明问题的解存在。
下面以几个数学题目为例进行详细说明：1.求解最值问题。
考虑一个问题，要求证明对于任意正整数n，有n^3-n是3的倍数。
我们可以使用参数法进行证明。
首先引入参数k，将原问题转化为证明对于任意正整数k，有k(k^2-1)是3的倍数。
然后我们可以将k讨论为三种情况，k=3m，k=3m+1，k=3m+2，其中m是整数。
通过进行这三种情况的逐一验证，可以得出结论，从而证明了原问题。
2.求解函数极值问题。
考虑一个问题，要求寻找函数y=3x^4-4x^3-12x^2+x+6的极值点。
我们可以使用参数法进行求解。
首先引入参数t，将函数转化为y=t^4-4t^3-12t^2+t+6、然后，我们可以求函数的导数，得到y'=4t^3-12t^2-24t+1、将导数等于零，即4t^3-12t^2-24t+1=0，转化为一个新的等价问题。
参数分离法的适用条件
参数分离法的适用条件参数分离法是一种常用的数学方法，用于解决复杂的问题。
它适用于一些特定的条件下，能够帮助我们更好地理解和解决问题。
本文将介绍参数分离法的适用条件，并通过具体的例子来说明其应用。
参数分离法适用于问题可以通过引入适当的参数进行分解的情况。
也就是说，如果一个问题可以被分解为几个相对独立的子问题，那么参数分离法就可以发挥作用。
通过引入参数，我们可以将复杂的问题简化为一系列简单的子问题，从而更容易解决。
参数分离法适用于问题的解可以通过参数的分离来表示的情况。
也就是说，如果问题的解可以写成参数的函数形式，那么参数分离法就可以派上用场。
通过将问题的解表示为参数的函数，我们可以更好地理解问题的本质，并找到解决问题的方法。
参数分离法适用于问题的参数可以通过某种方式分离的情况。
也就是说，如果问题的参数可以通过某种方式分离为两个或多个独立的部分，那么参数分离法就可以解决这个问题。
通过将参数分离，我们可以更好地处理问题的不同部分，并找到解决问题的关键。
为了更好地理解参数分离法的适用条件，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设我们要计算一个复杂函数的导数，而这个函数可以被分解为两个独立的部分。
通过引入适当的参数，我们可以将这个问题分解为求解两个简单函数的导数的问题。
然后，我们可以分别求解这两个简单函数的导数，并将结果合并得到原函数的导数。
通过这种方式，我们可以更容易地计算出复杂函数的导数。
总结起来，参数分离法适用于问题可以通过引入适当的参数进行分解的情况，问题的解可以通过参数的分离来表示的情况，以及问题的参数可以通过某种方式分离的情况。
通过参数分离法，我们能够将复杂的问题简化为简单的子问题，并通过解决这些子问题来得到原问题的解。
参数分离法在数学和工程领域有着广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和解决问题。
分离参数法公式推导
分离参数法公式推导好的，以下是为您生成的关于“分离参数法公式推导”的文章：在咱们数学的学习中啊，分离参数法可是个相当实用的解题小妙招。
今天咱就来好好唠唠这个分离参数法的公式推导。
先来说说为啥要用到分离参数法。
比如说，咱碰到一个方程或者不等式，里面既有未知数 x，又有参数 a，而且这俩搅和在一起，让咱看得眼花缭乱，不知道从哪儿下手。
这时候，分离参数法就派上用场啦！它能把参数 a 和未知数 x 分开，让咱们能更清楚地看到它们之间的关系，从而解决问题。
咱来举个具体的例子感受感受。
比如说有个不等式 f(x,a) > 0，这里面 f(x,a) 是一个关于 x 和 a 的表达式。
咱就想法子把 a 单独放在一边，把 x 放在另一边，变成 a > g(x) 或者 a < g(x) 的形式，这 g(x) 就是只关于 x 的表达式。
那怎么推导这个分离参数的公式呢？假设咱们有个方程 f(x,a) = 0，咱们把它变形为 a = h(x) 的形式。
这一步其实就是通过各种数学运算，像移项啦、通分啦、化简啦等等，把含 a 的项都放到一边，把含 x 的项放到另一边。
比如说，有个方程：ax + b = cx² + d。
咱们先把含 a 的项留在左边，其他的都挪到右边去，就得到：ax = cx² + d - b 。
然后再把 x 除过去，就得到 a = (cx² + d - b) / x 。
在实际解题的时候，分离完参数还不算完，还得研究另一边关于 x 的函数的性质。
比如说它的单调性、最值等等。
我记得之前有个学生，碰到一个难题，怎么都解不出来。
题目是这样的：已知不等式 2x + a > 5x - 3 对于所有 x > 1 都成立，求 a 的取值范围。
这孩子一开始毫无头绪，急得抓耳挠腮的。
我就提示他试试分离参数法，他将式子变形为 a > 3x - 3 。
然后发现，对于 x > 1 ，3x - 3 的最小值是 0 。
例谈函数中的分离参数问题
12-34欽学放学2020年第12期例谈函数中的分离参数问题葛丹(江苏省江阴市第二中学，江苏江阴214432)分离参数法是求参数取值范围的一种常用方法.通过分离参数，利用函数观点讨论主变量的变化情况，获取函数的性质或图像，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦,从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到，解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.由于分离参数法的重要性和独特性，所以高考试题也经常涉及这方面的知识点•下面就例谈函数中分离参数的有关问题,用以抛砖引玉，期望对大家能有启发和帮助.例1设函数/(x)=ax3-3%+l(x e R),若对于任意的％e［-1,1］都有/(%)M0成立,则实数a的值为________.分析：若x=0,则不论a取何值,/(%)M0显然成立；当％>0,即％e(0,1］时,/(%)=31ax3-3x+10可化为aX X设g(%)=2-1，则g J)=3(l严)，所X X X以g&)在区间(0,y］上单调递增，在区间1上单调递减，因此g(«)mai=4,从而a M4；当兀<0,即％e［一1,0)时，/(%)-ax-313兀+1M0可化为a—----,g'(兀)=x x3(1—2兀)-~4一->°，gG)在区间［-1,0)上单调X递增，因此g(x)mi…=g(-l)=4,从而aW4,综上a=4.点评：此题的关键是考虑要分离对象的定义域，根据不等式的性质，通过分类讨论来分离参数，将问题迎刃而解.例2已知函数/(%)=e*+e：其中e是自然对数的底数.若关于乂的不等式吋(％)W e"+m-1在(0,+8)上恒成立,求实数m的取值范围.分析：由题意，m(e「*+e*)W e"+m-1,即m(e x+e'x-1)W e~x- 1.由(0,+8),得e+e-*-l>0,即e'1-1m W-------------对％e(0,+8)恒成立.e+e-11一t令£=e"(t>1),则m W-----------对任意£-£+1£丘(1,+8)恒成立.再设u-l(u>0), nil I-t u11贝0:=_---------；二-----:—》_可, t-f+1u+zz+113u+—+1u当且仅当U=1时等号成立，由此可得m W _亍点评：此题的关键是通过换元，求岀函数的最小值.例3若函数f(x)=ae x-x-3有2个不同的零点,则实数a的取值范围是________•分析：依题意方程ae x-X-3=0有两个久+3解，分离参数得a=—，即函数y=a与函数e筑+3y=—「的图像有两个交点.e兀+3可设g(E=-^(x e R),则g©)=e—%—2-----；—(x e R)，令g'(%)=o,得％=-2.e2020年第12期12-35当x e(-oo,-2),g'(x)>0,g(x)为增函数；当x e(-2,+oo),g'(x)<0, g(x)为减函数•如图1,注意到函数g&)在y 轴右侧的图像应在%轴的上方,所以正确结论是(0,e2).点评：此题的关键是正确作出函数的图像，否则就会得到错误结果(-8,e2).例4设曲线y=(ax-l)e x在点4(%0, J.)处的切线为人，曲线y=(1-x)e-*在点3B(%o,力)处的切线为心,若存在%o e0,—,使得人丄仏，则实数a的取值范围是________•分析：因为直线」12的斜率分别为= (ax0+a-1)e",k2=(x0-2)e x°.图2由题意可得k x k2=(ax0+a-1)(x0-2)=3-1在0,—上有解，所以_%o_3a(x0-2)(%+O'3令t=x0-3e~3,-—，则=七=]丄(z+l)(z+4)42t+—+5t点评：此题的关键是通过分离参数，求出函数的值域.2例5已知函数/(x)=x+In x——,eg(x)=-,其中e为自然对数的底数.若函数x/(X)与g(%)的图像恰有一个公共点，实数m的取值范围是________•a分析：由X+In X-----二—(x>0)，得到e x22m=x+xln x-----%(%>0).e2设仇(兀)=x2+%ln x一一%(%>0),贝！Je2/1\ /i z(%)—2%+In%+1-----(x>0).因为人'(—I—0,且h"(x)=2+->0(x>0),所以方程Xh'g=0有且只有一个解.因此浪％)的图像如图2所示，所以m的取值范围是m M0或m= e+1点评：此题的关键是通过观察，猜想出导函数为零时的解为X=丄，并且要证明导函数e为单调递增，以确定解唯一.X例6函数/(%)=-,若对任意的％e(0,e2),都有/(%)<-一—成立，求实数％的A:+2%-%取值范围.■%1分析：/(^»)=—<---------对任意力6e k+2x-x(0,2)都成立，所以k+2x-x2>0,即&>x2-2x对任意乂e(0,2)都成立，从而％M0.又不等式整理可得％<-+x2-2x,令12-36欽学款学2020年第12期g(x) =+ x 12 _ 2x.1 — In xg'(x)=----------，当0 < % < e 时,g ，(%) >X0；当 ％ > e 时,g'(%) < 0. g(%)在(0, e)上是 增函数，在(e, +8)上是减函数，且g(l) = 0.Xe x (x -所以 g'(%) =------------+ 2(% - 1) = (%-x1)(］ + 2)= 0,得％ = 1.当％ e (1,2)时, g'M >0,函数g(%)在(1, 2)±单调递增，同理，函数g&)在(0, 1)上单调递减.所以k < g(%)min =g(l)=e - 1 ,综上所述，实数的取值 范围是［0, e - 1)・点评：此题的关键是注意隐含条件的挖掘•即k > x 2 - 2x 对任意x e (0, 2)都成立，从而k M 0.例7 已知函数/(兀)=In% - ax 2 + a 兀恰有 两个零点,则实数a 的取值范围为________・分析：如果In 兀- ax 2 + a% = 0,贝！］ a =In x石---(X > 0且％ # 1),而研究g(x)=X - X I V石一(X > 0且x# 1)的图像性质是比较麻烦 X - X］n 兀的.如果将函数/(%)合理变形为——=a(x -XI n y1)(X > 0)的形式，观察函数g(x)=——(X >X0)和函数ft(x)=a(x-l)(x > 0)的图像恰有两个交点时的情况就比较容易了.图3当％〉e 时,g(x) > 0,又 g ，(1)= 1,所以 g(%)在(1,0)处的切线方程为y = % - 1.由图像可知，直线/i(x)=a(x - 1)的斜率a 的取值范围为(0, 1) U (1, + 8 ).点评：此题的关键是挖掘其几何背景，在代数与几何的结合上寻找解题思路，转化为研究斜率k=a 的几何意义.3例 8 已知函数f(x)=-x 3 +-x 2, g(x) = 31nx,对于任意％ > 1,恒有/'(%) W kgg 成立，求实数％的取值范围.分析:此题若分离参数是比较繁琐的，而 将其转化为x 2 - x + k\nx 0(x > 1)恒成立,去考虑函数h(x) = x - x + A:lnx(x > 1)的最 小值大于或等于零即可.由 h'(x')=-------------，当％ > 1 时,2x 2 -xX > I.(i) 当心- 1时,gx) >0恒成立MG) 在(1, +oo)上是增函数，所以为仏)〉人(1)= 0,满足题意，则kM- 1;(ii) 当％ < - 1时，令h'(x) = 0,解得衍=x e ( 1, x 2)时,胪(％) < 0, h(x)在(1, /)上 是减函数，所以人(％) <A(l) = 0,不合题意，舍去.综上可得实数％的取值范围是［-1, + 8 ).点评：此题的关键是化归为研究函数的值域问题.总之，在利用分离参数法解决函数综合 问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化 归为基本问题来解决，尤其是要注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用.并且要仔细审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件，防止出错.若分离 参数后问题比较复杂要合理寻找其他解题思 路，等价转化为容易解决的问题来研究化解之.。
分离参数法解决恒成立问题的步骤
引言在数学建模和问题求解过程中，分离参数法是一种常用的方法，用于解决恒成立问题。
本文将以分离参数法解决恒成立问题的步骤为主题，深入探讨这一方法的应用和原理。
通过对这一主题的深度分析，希望读者能更全面地了解分离参数法在解决恒成立问题中的作用和意义。
一、分离参数法的基本概念分离参数法是一种通过引入新的参数，将原方程中的变量分离的方法。
在解决恒成立问题时，我们通常会遇到一些复杂的方程或不等式，通过分离参数法可以简化问题的求解过程。
这种方法的关键在于选择合适的参数，使得原方程中的变量可以被分离或者化简成更容易处理的形式。
二、分离参数法解决恒成立问题的步骤1. 确定需要分离的参数在使用分离参数法解决恒成立问题时，首先需要确定需要引入的参数。
这一步需要观察原方程的形式，找到能够将变量分离的合适参数。
通常情况下，选择参数需要考虑到简化方程和减少求解难度的原则。
2. 将参数引入原方程确定了需要分离的参数后，接下来就是将参数引入原方程。
这一步需要仔细分析原方程的结构，选择合适的方式引入参数，并进行变形操作，使得原方程中的变量能够被成功分离。
3. 分离变量并求解引入参数后，原方程中的变量应该被分离到各自的部分，使得方程的形式更简单或者更易于处理。
在分离变量的过程中，可能会需要运用一些基本的数学技巧或变换方法。
对分离后的方程进行求解，得到恒成立条件或者特定的解。
三、分离参数法解决恒成立问题的示例分析举例来说明分离参数法解决恒成立问题的具体步骤。
假设有一个非常简单的不等式问题：证明当x＞0时，恒有2x+1＞0成立。
这个问题可以通过分离参数法得到简单的解。
首先我们选择参数t，使得2x+1可以被分离为2(x-1/t)+1/t，接着我们引入t后，可以得到不等式 2(x-1/t)+1/t＞0。
由于x＞0，所以x-1/t＞0，因此不等式转化为1/t＞0。
当1/t＞0时，不等式2(x-1/t)+1/t＞0成立。
根据1/t＞0，我们知道t必须是正数，因此不等式2x+1＞0在x＞0时恒成立。
分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用资料讲解
分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数2X有y axb ，y ax 2 bxc ，y max n，ymSinx n 等.解题的关键是通过cx d mx 2~nx ~pp a qp sinx q恒等变形从分式函数中分离出常数•1•用分离常数法求分式函数的值域例1 求函数 f(x)3x 1 (x 1)的值域.x 2解 由已知有f(x)3[(x 2) 2] 13(x 2) 7 37x 2x 2x 2由x 1，得x 2 1 . •110.x 2•••函数f(x)的值域为{y R| 4 y 3}.2•用分离常数法判断分式函数的单调性例2已知函数f(x) 「(a b)，判断函数f(x)的单调性. x b 解由已知有y (x b) a b 1 口，x b .x bx b所以，当a b 0时，函数f (x)在(，b)和(b,)上是减函数；当a b 0时，函数f (x)在(,b)和(b,)上是增函数.3.用分离常数法求分式函数的最值2x 7x 10的最小值.x 11，二 x 10.由已知有分离参数法1，求函数f(x) 2f(x)1)2 5(x 1) 41x 19 .当且仅当x 1 —，即x 1时，等号成立.x 17[(x 1) 1] 10 (x x 2j(x 1)丄 5X x 14 [(x 1)] 5x 1•••当x 1时, f (x)取得最小值9.分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决•分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到.解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.1•用分离参数法解决函数有零点问题例4已知函数g(x) x2ax 4在［2,4］上有零点，求a的取值范围•解•••函数g(x) x2ax 4在［2,4］上有零点，.••方程x2 ax 4 0在［2,4］上有实根，即方程a x 4在［2,4］上有实根•x令f(x) x 4，则a的取值范围等于函数f(x)在［2,4］上的值域•x又f(X)1 $ (x 2)2x 2)0在x ［2,4］上恒成立，••• f(x)在［2,4］上是x x增函数•••• f (2) f (x) f ⑷，即4 f (x) 5. ••• 4 a 5.2•用分离参数法解决函数单调性问题2例5已知f(x)空竺仝在［1,)上是单调递增函数，求a的取值范围•2xf (x)又f(x)在［1,)上是单调递增函数，• f (x) 0・于是可得不等式a x2对于x 1恒成立• • a ( x2)max •由x 1，得x2「• a 1 •3・用分离参数法解决不等式恒成立问题例6已知不等式mx2 2x m 1 0对满足2 m 2的所有m都成立, 求x的取值范围•解原不等式可化为(x2 1)m 2x 1 0，此不等式对2 m 2恒成立•构造函数f(m) (x2 1)m 2x 1 , 2 m 2，其图像是一条线段•根据题意有f( 2) 2(/ 1) 2x 1 0，即2x2 2x 3解得2 72f (2) 2(x 1) 2x 1 0 2x 2x 1 0-1 7 x 1 3.2 24•用分离参数法解决不等式有解问题例7如果关于x的不等式|x 3 |x 4 2a 1 0的解集不是空集，求参数a的取值范围.解原不等式可化为x 3 |x 4 2a 1.•••原不等式的解集不是空集，••• (x 3 x 4)min 2a 1.又x 3 x 4 (x 3) (x 4) 1,当且仅当(x 3)(x 4) 0时，等号成立,••• 2a 11，即a 1 .5.用分离参数法求定点的坐标例8 已知直线I : (2 m 1)x (m 1)y 7m 4 0，m R，求证：直线I恒过定点.解直线I的方程可化为x y 4 m(2x y 7) 0.设直线I恒过定点M(x,y).由m R，得x y 4 0M(3,1).2x y 7 0•••直线I恒过定点(3,1).。
第05讲 分离参数法-高中数学常用的解题技巧 含解析
高中数学常用解题技巧第05讲:分离参数法【知识要点】一、参数在数学问题中经常出现,特别是在最值、值域、取值范围、恒成立和存在性等问题中,经常出现，这时可以考虑是否可以利用分离参数法来解答，即整理成()()k f x k f x =<或的形式，再解答。
二、分离参数时，一定要判断清楚参数的系数的符号，再除以其系数，如果不能确定其符号,可以分类讨论,也可以寻找其它方法. 【方法讲评】【例1】已知函数x x x f ln 1)(--=（1）求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程; （2）求函数)(x f 的极值;(3）对(0,),()2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的取值范围．列表：x )1,0(1),1(+∞)('x f - 0+ )(x f↘↗∴函数)(x f y =的极小值为0)1(=f ， 无极大值.（3）依题意对(0,),()2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立等价于2ln 1-≥--bx x x 在(0,)+∞上恒成立可得xx xb ln 11-+≤在(0,)+∞上恒成立,令21ln ln 2()1()x x g x g x x x x -'=+-∴=【点评】本题第（2）问是恒成立问题，刚好b 的系数x 是一个正数，知道参数的系数的符号，分离参数很方便，所以可以分离参数求最值,比较简洁。
【反馈检测1】已知函数()ln a f x x x=-。
（1)若0a >，试判断()f x 在定义域内的单调性； (2）若()f x 在[]1,e 上的最小值为32，求a 的值；（3)若2()f x x <在()1,+∞上恒成立，求a 的取值范围.【反馈检测2】已知函数()sin cos f x a x b x ωω=+(,a b ∈R ，且0ω>）的部分图象如图所示．(1） 求,,a b ω的值； （2） 若方程[]23()()0f x f x m -+=在2(,)33x ππ∈-内有两个不同的解，求实数m 的取值范围．高中数学常用解题技巧第05讲：分离参数法参考答案【反馈检测1答案】(1) ()f x 在()0,+∞上是单调递增函数;（2）a=-e ;(3）1a ≥-.x23π76πyO1-【反馈检测1详细解析】（1）由题意知()f x 的定义域为()0,+∞，且221 f '(x)=+=, a>0,a x ax x x+，∴()0f x '>， 故()f x 在()0,+∞上是单调递增函数 (2）由（1）可知，()2=x f x ax +'。
第6讲 分离参数法在解题中的应用
第6讲 分离参数法在解题中的应用[方法精要] 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围，这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决．分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到，解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域的问题．题型一 用分离参数法解决函数有零点问题例1 已知函数g (x )＝x 2－ax ＋4在[2,4]上有零点，求a 的取值范围．破题切入点 函数g (x )＝x 2－ax ＋4在[2,4]上有零点，等价于方程x 2－ax ＋4＝0在[2,4]上有实根，把方程x 2－ax ＋4＝0中的变量a 分离，转化为求函数的值域问题即可求出a 的取值范围．解 ∵函数g (x )＝x 2－ax ＋4在[2,4]上有零点，∴方程x 2－ax ＋4＝0在[2,4]上有实根，即方程a ＝x ＋4x在[2,4]上有实根． 令f (x )＝x ＋4x， 则a 的取值范围等价于函数f (x )在[2,4]上的值域．又f ′(x )＝1－4x 2＝(x ＋2)(x －2)x 2≥0在x ∈[2,4]上恒成立， ∴f (x )在[2,4]上是增函数，∴f (2)≤f (x )≤f (4)，即4≤f (x )≤5.∴4≤a ≤5.题型二 用分离参数法解决不等式恒成立问题例2 已知函数f (x )＝ln x －a x， (1)当a >0时，判断f (x )在定义域上的单调性；(2)若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．破题切入点 (1)通过判断导数的符号解决．(2)由于参数a 是“孤立”的，可以分离参数后转化为一个函数的单调性或最值等解决．解 (1)由题意：f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋a x 2. ∵a >0，∴f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)∵f (x )<x 2，∴ln x －a x<x 2. 又x >0，∴a >x ln x －x 3.令g (x )＝x ln x －x 3，h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2，h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x， 当x ≥1时，h ′(x )<0，∴h (x )在[1，＋∞)上是减函数，∴h (x )<h (1)＝－2，即g ′(x )<0，∴g (x )在[1，＋∞)上也是减函数，∴g (x )<g (1)＝－1.令a ≥－1得a >g (x )，∴当f (x )<x 2在(1，＋∞)恒成立时，a ≥－1.题型三 用分离参数法解决方程中的参数问题例3 若关于x 的方程22x ＋2x ·a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围．破题切入点 解决方程中的参数问题，需要把方程等价变形，称为一个含参数的函数，将其转化为函数的最值问题．解 原方程变形为a ＝－22x ＋12x ＋1＝－(2x ＋1)2－2(2x ＋1)＋22x ＋1＝－(2x ＋1＋22x ＋1－2)， 因为2x ＋1>1，所以2x ＋1＋22x ＋1－2≥2(2x ＋1)·22x ＋1－2＝22－2， (当且仅当x ＝log 2(2－1)时取等号)，所以a ≤2－2 2.总结提高 分离参数法常用于求参数的取值范围，这是目前新课标高考中常涉及的问题，主要涉及函数、方程、不等式等部分的内容，最终都是转化为函数在给定区间上的最值问题，求一个函数在一个指定的闭区间上的最值的主要思考方向就是考虑这个函数的极值点是不是在这个区间内，结合函数的单调性即可求参数取值范围．1．已知直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0，m ∈R ，则直线l 恒过定点________． 答案 (3,1)解析 直线l 的方程可化为x ＋y －4＋m (2x ＋y －7)＝0.设直线l 恒过定点M (x ，y )．由m ∈R ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，2x ＋y －7＝0⇒M (3,1)． 所以直线l 恒过定点(3,1)．2．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在(12，＋∞)是增函数，则a 的取值范围是________． 答案 [3，＋∞)解析 由题意知f ′(x )≥0对任意的x ∈(12，＋∞)恒成立， 又f ′(x )＝2x ＋a －1x 2， 所以2x ＋a －1x 2≥0对任意的x ∈(12，＋∞)恒成立， 分离参数得a ≥1x 2－2x ， 若满足题意，须a ≥(1x 2－2x )max ， 令h (x )＝1x 2－2x ，x ∈(12，＋∞)， 因为h ′(x )＝－2x 3－2， 所以当x ∈(12，＋∞)时，h ′(x )<0， 即h (x )在x ∈(12，＋∞)上单调递减， 所以h (x )<h (12)＝3，故a ≥3. 3．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0，12]成立，则a 的最小值是________． 答案 －52解析 由x 2＋ax ＋1≥0，x ∈(0，12]， 所以ax ≥－1－x 2，所以a ≥－1x－x ， 又因为－1x －x ＝－(1x ＋x )≤－52， 所以a ≥－52. 4．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是________．答案 (－∞，22－1)解析 由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ， 即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1.5．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 [－83，＋∞) 解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173. ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞)． 6．已知函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．答案 [12，＋∞) 解析 f ′(x )＝2mx ＋1x－2≥0对一切x >0恒成立， 2m ≥－(1x )2＋2x， 令g (x )＝－(1x )2＋2x， 则当1x＝1时，函数g (x )取最大值1， 故2m ≥1，即m ≥12. 7．已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，则x 的取值范围是________________．答案 (－1＋72，1＋32) 解析 原不等式可化为(x 2－1)m －2x ＋1<0，此不等式对－2≤m ≤2恒成立．构造函数f (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，－2≤m ≤2，其图象是一条线段．根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)＝－2(x 2－1)－2x ＋1<0，f (2)＝2(x 2－1)－2x ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2x －3>0，2x 2－2x －1<0. 解得－1＋72<x <1＋32. 8．已知f (x )＝2x 2＋ax －2a 2x在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的取值范围是________． 答案 [－1，＋∞)解析 ∵f (x )＝x －a x ＋a 2，∴f ′(x )＝1＋a x2. 又f (x )在[1，＋∞)上是单调递增函数，∴f ′(x )≥0.于是可得不等式a ≥－x 2对于x ≥1恒成立．∴a ≥(－x 2)max .由x ≥1，得－x 2≤－1.∴a ≥－1.9．设f (x )＝lg 1＋2x ＋4x ·a 3，其中a ∈R ，如果x ∈(－∞，1]时，f (x )有意义，求a 的取值范围． 解 根据题意1＋2x ＋4x ·a >0在x ∈(－∞，1]上恒成立，设t ＝2x ，则有at 2＋t ＋1>0在t ∈(0,2]上恒成立，分离参数可得a >－1t 2－1t， 即a >(－1t 2－1t)max ， 令μ＝1t ，则μ∈[12，＋∞)， 易得二次函数f (μ)＝－μ2－μ在μ∈[12，＋∞)上的最大值是f (12)＝－34， 所以a 的取值范围是a >－34. 10．设0≤θ≤π2，不等式cos 2θ＋2m sin θ－2m －2<0恒成立，求m 的取值范围． 解 将已知不等式化为(1－sin θ)2＋2(m －1)(1－sin θ)＋2>0，①当θ＝π2时，不等式显然成立； ②当0≤θ<π2， 即1－sin θ>0有2(1－m )<1－sin θ＋21－sin θ， 设t ＝1－sin θ，则f (t )＝t ＋2t， 其中0<t ≤1，则f (t )＝t ＋2t在0<t ≤1上是减函数， 所以f (t )≥f (1)＝3，即f (t )的最小值是3，所以2(1－m )<3，解得m >－12. 综上知，m 的取值范围是m >－12.11．(2014·南京模拟)已知函数f (x )＝e x－x 22－ax －1，其中a 为实数． (1)若a ＝－12时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)当x ≥12时，若关于x 的不等式f (x )≥0恒成立，试求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－12时， f (x )＝e x －x 22＋12x －1，f ′(x )＝e x －x ＋12， 从而得f (1)＝e －1，f ′(1)＝e －12， 故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＋1＝(e －12)(x －1)， 即(e －12)x －y －12＝0. (2)由f (x )≥0，得ax ≤e x －12x 2－1， ∵x ≥12，∴a ≤e x －12x 2－1x ，令g (x )＝e x －12x 2－1x， 则g ′(x )＝e x (x －1)－12x 2＋1x 2， 令φ(x )＝e x (x －1)－12x 2＋1， 则φ′(x )＝x (e x －1)，∵x ≥12，∴φ′(x )>0， 即φ(x )在[12，＋∞)上单调递增． 所以φ(x )≥φ(12)＝78－e 2>0， 因此g ′(x )>0，故g (x )在[12，＋∞)单调递增． 则g (x )≥g (12)＝e 12－12×(12)2－112＝2e －94， 因此a 的取值范围是a ≤2e －94. 12.已知函数f (x )＝a (x 2＋1)＋ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若对任意a ∈(－4，－2)及x ∈[1,3]，恒有ma －f (x )>a 2成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由已知，得f ′(x )＝2ax ＋1x ＝2ax 2＋1x(x >0)． ①当a ≥0时，恒有f ′(x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上是增函数．②当a <0时，若0<x <－12a，则f′(x)>0，故f(x)在(0, －12a]上是增函数；若x>－12a，则f′(x)<0，故f(x)在[ －12a，＋∞)上是减函数．综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；当a<0时，f(x)在(0, －12a]上是增函数，在[ －12a，＋∞)上是减函数．(2)由题意，知对任意a∈(－4，－2)及x∈[1,3]，恒有ma－f(x)>a2成立，等价于ma－a2>f(x)max.因为a∈(－4，－2)，所以24<－12a<12<1.由(1)，知当a∈(－4，－2)时，f(x)在[1,3]上是减函数，所以f(x)max＝f(1)＝2a，所以ma－a2>2a，即m<a＋2.因为a∈(－4，－2)，所以－2<a＋2<0.所以实数m的取值范围为m≤－2.。
参数分离法解函数值域文艺
参数分离法解函数值域文艺参数分离法是一种解函数值域的方法，它可以帮助我们更好地理解函数的性质。
在本文中，我们将介绍参数分离法的原理和具体应用，并提供一个全面详细的函数来说明这个方法。
一、参数分离法的原理参数分离法是一种将函数的自变量和因变量进行分离，然后通过对自变量和因变量进行分类讨论来求出函数值域的方法。
具体来说，我们可以将自变量和因变量分别表示为x和y，然后根据不同情况讨论x和y之间的关系，进而求出y的取值范围。
二、应用举例下面我们将通过一个具体例子来说明参数分离法的应用。
例1：求函数f(x)=|x-2|+|3-x|+|x+4|-5的值域。
1.当x≤-4时，有f(x)=|-6-x|+|-1-x|-5=-7-2x。
2.当-4<x≤2时，有f(x)=|-6-x|+(3-x)+|(x+4)|-5=8+x。
3.当x>2时，有f(x)=(x-2)+(3-x)+(x+4)-5=2x。
综上所述，当x≤-4时，f(x)∈[-∞,-7]；当-4<x≤2时，f(x)∈[3,∞)；当x>2时，f(x)∈[2,∞)。
三、函数示例下面我们将提供一个全面详细的函数来说明参数分离法的应用。
函数：f(x)=log2(1+x)+log2(1-x)-log2(1+x^2)1.当x<-1时，有1+x<0，1-x<0，1+x^2>0，所以f(x)不存在实数解。
2.当-1≤x<0时，有1+x>0，1-x<0，1+x^2>0，所以f(x)=log2(1+x)-log2(1-x)-log2(1+x^2)。
由于x≠0且-1≤x<0，所以有|log2(1+x)|>|log2(1-x)|和|log2(1+x^2)|>|log2(1-x)|。
因此，当x属于[-1,0)时，f(x)<0。
3.当0≤x<√3-1时，有：① 1+x>0；② 由于-√3<x<√3-1，则有|x|<√3和|x^3|<(√3)^3=3；因此有：(a) x^4+4x^3+6x^2+4x+4=(x+2)^4-8(x+2)^3+24(x+2)^2-32(x+2)+20>20-(8*8)-(24*7)-(32*4)=0；(b) x^4+4x^3-6x^2-4x+4=(x-2)^4+8(x-2)^3+24(x-2)^2 >0；③ 由于1+x^2>0，则有：(a) log2(1+x)>log2(1-x)；(b) log2(1+x^2)>0。
参数巧分离 解题显神奇
解之得 ： （ ） －３≤狓≤１ 狓∈犣， 狓≠ －２ ． ∴ 狓 只能在 －３， －１， ０， １ 中取值 ． 代入函数关系式中可知 ， 仅当 狓＝ －３， 狓＝ － 能 保 证犪 是 正 整 数， 此 时 分 别 有： 犪 １ 和 狓＝１ 时 ， ＝１ 和 犪＝５． 原方程至少有一个整 ∴ 当犪 为 １ 或 ５ 时 ， 数根 ． 例 ４ 对 于 函 数 犳（ ， 若存在狓 使 狓） ０ ∈ 犚， 则称狓 的 不 动 点． 已知 狓 ＝狓 狓） 犳（ ０） ０ 成立 ， ０ 为 犳（
·４ ８·
数学教育研究
２ ０ １ ５ 年第 ３ 期
参数巧分离 解题显神奇
华腾飞 （ 安徽省灵璧县黄湾中学 ２ ） ３ ４ ２ １ ３
由于能沟通各方 对于参数范 围 讨 论 的 问 题 ， 因此成为高考的热 面的数 学 知 识 和 数 学 方 法 ， 点． 下面例 谈 从 复 杂 的 关 系 中 ， 巧妙地分离参数 的方法 ． 利用此法 解 题 不 仅 思 路 清 晰 、 明 了， 而且 快速 ， 同时还可提高我们思维的灵活性和 简捷 、 创造性 ． 例 １ 设对于任意实数 狓， 不等式
２
中， 问犪 取 何 值 时， 方程至少有一个 犪 为正 整 数 ， 整数根？ 解析 求解本题若利用求根 公 式 先 求 出 狓＝ １－２ 犪± 槡 ３ 犪＋１， 然 后 来 讨 论 狓 的 整 数 值， 就会 犪 陷入 非 常 繁 难 的 境 地 ． 若采用“ 反 客 为 主” 的方 将 方 程 变 形 表 示 为 犪 的 函 数 关 系 式： 法， 犪＝ ２ 狓＋７ （ ） ， 则求解过程将会变得较为 ２ 狓 ≠ －２ （ ） 狓＋２ 简单 ．
分离参数法求解参数问题含详解
1．已知函数 f x ax2 x lnx 1 ax2 x . （a∈R）． 2
（1）当 a＝0 时，求曲线 y＝f（x）在（e，f（e）处的切线方程（e＝2.718…） （2）已知 x＝e 为函数 f（x）的极值点，求函数 f（x）的单调区间． 【答案】（1）x+y﹣e＝0．（2）单调递增区间为（0，1）和（e，+∞），单调递减区间为（1，e）． 【解析】（1）∵a＝0， ∴f（x）＝﹣xlnx+x，f′（x）＝﹣lnx， 则直线的斜率 k＝f′（e）＝﹣lne＝﹣1， f（e）＝﹣elne+e＝﹣e+e＝0， 故所求切线方程为 x+y﹣e＝0． （2）函数的导数 f′（x）＝（2ax﹣1）lnx﹣ax﹣1+ax+1＝（2ax﹣1）lnx， ∵x＝e 为函数 f（x）的极值点，
2 作出函数 u=1+ x 1 （r＜x＜a-2）的图象，得 a-2=-1，解得：a=1，矛盾．
9
综上，r=1，a=2+ 3 ．
10．已知函数 f (x) mx 1 1 (m, n 是常数 ) ，且 f (1) 2 ， f (2) 11 .
nx 2
4
（1）求 m,n 的值；
（2）当 x 1, 时，判断 f (x) 的单调性并证明；
（2）若 a= 1 ，并且对区间[3，4]上的每一个 x 的值，不等式 f（x）＞（ 1 ）x+t 恒成立，求实数 t 的取值
2
2
范围．
（3）当 x∈（r，a-2）时，函数 f（x）的值域是（1，+∞），求实数 a 与 r 的值．
【答案】（1）1；（2）
t
9 8
；（3）
高中数学分离参数法详解
高中数学分离参数法详解高中数学中，分离参数法是解决一类同参数的关系式的常用方法。
这类问题往往给出了几个参数之间的关系，需要求解其中一个参数或者确定参数的取值范围。
下面我们详细介绍一下高中数学中的分离参数法以及相关的解题思路。
首先，我们来看一个简单的例子。
假设已知实数a，b，c满足方程组：ax + by = 1bx + cy = 2我们需要求解a，b，c的值。
这时候，我们可以使用分离参数法来解决这个问题。
首先，我们可以将第一个方程变形，得到：ax = 1 - by然后，我们将第二个方程中的x替换为ax，得到：bax + cy = 2接下来，我们将b的系数移到右边，得到：c = 2 - bax现在，我们得到了c关于a和b的表达式。
我们知道，在两个不同的方程中，同一个未知数的系数所对应的值是相同的。
所以我们可以令左边的c等于右边的c，即：1 - by =2 - bax现在，我们可以得到一个关于x和y的方程。
我们可以通过这个方程来求解x和y的值。
通过上面的例子，我们可以看出，分离参数法的主要思路是通过变形和等式的设定，将参数从方程中分离出来。
然后再通过这些参数的关系来求解问题。
下面，我们来看一个稍微复杂一点的例子：已知实数a满足方程：(x-1)(x-2)(x-3)+a=0我们需要求解a的取值范围。
首先，我们可以将方程展开得到：x^3-6x^2+11x-a+6=0然后，我们设另一个变量t，使得方程右边等于t：x^3-6x^2+11x-a+6=t接下来，我们考虑当t等于0时，方程x^3-6x^2+11x-a+6=t的解。
这时候，方程化为：x^3-6x^2+11x-a+6=0我们可以发现，这其实是一个关于x的三次方程。
由代数基本定理可知，这个方程存在三个根。
所以，我们可以通过三次方程的根的性质，来确定a的取值范围。
根据三次方程的性质，我们知道，三次方程的根满足以下关系：x1+x2+x3=6x1x2+x1x3+x2x3=11x1x2x3=a-6由于a是一个实数，所以根的乘积x1x2x3也是一个实数。
分离参数法——精选推荐
分离参数法前⾔在⾼中数学教学实践中，有⼀种使⽤频度⽐较⾼的数学⽅法，叫分离参数法，她和许多数学素材有关联，⾼三学⽣⼤多都⽿熟能详，但对其具体的来由和需要注意的问题却不是很清楚，本博⽂试着对此做个总结，以廓清我们认识上的误区，帮助我们提⾼教学，也帮助学⽣顺利掌握这⼀⽅法。
⽅法定义№1已知函数f (x )=x 2+ax −2≥0在区间[1，5]上恒成⽴，求参数a 的取值范围。
[法1]：⼆次函数法，由于Δ=a 2+8>0，故不需要考虑Δ<0的情形，只需要考虑对称轴x =−a2和给定区间[1，5]的相对位置关系当−a2≤1时，即a ⩾−2时，函数f (x )在区间[1,5]单调递增，所以f (x )min =f (1)=1+a −2⩾0,解得a ⩾1，⼜因为a ⩾−2，所以得到a ⩾1。
当−a2≥5时，即a ⩽−10 时，函数f (x )在区间 [1,5]单调递减，所以f (x )min =f (5)=25+5a −2≥0,解得a ≥−235，⼜因为a ≤−10，所以得到a ∈∅。
当1<−a2<5，即−10<a <−2时，f (x )min =f (−a 2)=a 24−a 22−2≥0，得到a ∈∅。
（这种情形可以省略）综上可得a ⩾1。
即a 的取值范围是[1，+∞)[法2]：两边同时除以参数a 的系数x (由于x ∈[1，5]，不等号⽅向不变)，得到a ⩾2x －x 在区间 [1，5]上恒成⽴, 令g (x )=2x －x ，则利⽤函数单调性的结论，可以看到g (x )=2x －x 在区间 [1，5]上单调递减，所以g (x )max =g (1)=1，所以a ⩾1，即a 的取值范围是[1，+∞)相⽐较⽽⾔，法2⽐法1要简单快捷的多，其使⽤的策略是将参数和⾃变量分离开，故这样的⽅法⾃然就叫分离参数法。
使⽤场景№2【2017⋅ 西安模拟】已知函数f (x )=kx 2−lnx 有两个零点，求参数k 的取值范围。
分离参数法解“定点”问题
分离参数法解“定点”问题在分离参数法中，我们假设一些点满足特定条件，然后通过给定的参数值来计算这个点的坐标，从而找到满足条件的点。
下面我们将详细介绍分离参数法的步骤以及其在解决定点问题中的应用。
步骤一：设定参数首先，我们需要设定一个或多个参数。
参数的设定应满足以下条件：(1)参数范围内应存在唯一的解；(2)参数的设定应与问题本身相关。
步骤二：建立条件方程根据问题的要求，我们可以建立一个或多个条件方程。
这些方程中的未知量通常表示我们需要求解的点的坐标。
步骤三：用参数表示未知量将未知量用参数表示出来。
这样做的目的是将求解问题转化为参数的方程求解问题。
步骤四：求解参数方程将步骤三中得到的参数方程代入步骤二中的条件方程，然后解这些方程组，得到参数的值。
步骤五：计算坐标将得到的参数值带入步骤三中得到的参数方程，从而计算出满足条件的点的坐标。
步骤六：检验与讨论用计算得到的点的坐标验证是否满足条件。
如果满足，则问题得到解决；如果不满足，则需要重新设定参数，并重新执行步骤三到步骤五下面我们通过一个具体的例子来说明分离参数法的使用。
例题：设直线L的方程为3x+y+3=0，且直线L与椭圆C的方程平面xoy的面积为10，求直线L与椭圆C的交点的坐标。
解：首先，我们设直线L与椭圆C的交点的横坐标为t，纵坐标为y。
则直线L的参数方程可以表示为：x=ty=-3t-3椭圆C的方程可以表示为：x^2+2y^2=20将直线L的参数方程代入椭圆C的方程，得到：t^2+2(-3t-3)^2=20化简上式得到：t^2+18t^2+36t+18-20=0将上式化简为：19t^2+36t-2=0解这个二次方程，得到t的值。
然后将t的值带入直线L的参数方程，从而计算出直线L与椭圆C的交点的坐标。
最后，我们需要检验计算得到的交点的坐标是否满足直线L和椭圆C的方程。
如果满足，则问题得到解决；如果不满足，则需要重新设定参数，并重新执行计算过程。
通过以上的例子，我们可以看到分离参数法在解决定点问题中的应用。
参数分离法 数学模型
参数分离法数学模型参数分离法是数学中一种重要的解题方法，它在求解一些复杂问题时十分有效。
本文将介绍参数分离法的基本原理、应用和实例，帮助读者更好地理解和运用这一方法。
一、原理参数分离法是将一个复杂的问题分解为多个简单的子问题，通过对每个子问题进行逐一求解，最终得到整个问题的解。
它的基本思想是将问题中的各个参数分离开来，分别考虑它们的特性和影响，然后将它们重新组合得到整个问题的解。
二、应用参数分离法在数学中有广泛的应用，尤其在微积分、线性代数和概率论等领域。
它可以用于解决函数极值、方程求解、矩阵分解、概率计算等各种问题。
下面将通过一些实例来具体说明其应用。
1. 函数极值问题假设我们要求函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2 + 2x + 3y + 1的极小值。
通过参数分离法，我们可以将函数分解为f(x, y) = g(x) + h(y)，其中g(x) = x^2 + 2x，h(y) = y^2 + 3y + 1。
然后分别对g(x)和h(y)求导，并令导数等于0，求出它们的极值点。
最后将极值点组合起来，就可以得到原函数的极小值点。
2. 方程求解问题考虑方程组x^2 + y^2 = 1和x + y = 1，参数分离法可以将这个问题分解为两个独立的方程。
首先解方程x + y = 1，得到x = 1 - y。
然后将x的值代入第一个方程，得到(1 - y)^2 + y^2 = 1。
最后解这个方程，求出y的值，并带入x = 1 - y，就可以得到方程组的解。
3. 矩阵分解问题考虑矩阵A = B + C，其中B是对角矩阵，C是对称矩阵。
参数分离法可以将这个问题分解为两个独立的矩阵。
首先将A分解为B和C两个矩阵，然后分别求解B和C的特征值和特征向量。
最后将它们重新组合起来，就可以得到矩阵A的特征值和特征向量。
三、实例分析为了更好地理解参数分离法的应用，我们来看一个实际问题的案例。
假设我们要求通过一条直线将平面上的两个点A(1,2)和B(3,5)分成两个等面积的部分。
代数式变形在高中数学中的应用(二)函数应对策略之分离参数法
代数式变形在高中数学中的应用（二）函数应对策略之分离参数法代数式变形在高中数学中应用十分广泛。
分离参数法就是把变元和参数通过等价变形分别写在等式或者不等式的两侧，进而只需研究不含参数的一个函数就可以解决问题，因为这样避免了令人头疼的分类讨论，所以这种方法十分受欢迎。
分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到.1.用分离参数法解决函数有零点问题例4 已知函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，求a 的取值范围.解 ∵函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，∴方程240x ax -+=在[2,4]上有实根，即方程4a x x =+在[2,4]上有实根. 令4()f x x x=+，则a 的取值范围等于函数()f x 在[2,4]上的值域. 又224(2)(2)()10x x f x x x +-'=-=≥在[2,4]x ∈上恒成立，∴()f x 在[2,4]上是增函数.∴(2)()(4)f f x f ≤≤，即4()5f x ≤≤.∴45a ≤≤.2.用分离参数法解决函数单调性问题例5 已知xa ax x x f 222)(2-+=在[1,)+∞上是单调递增函数，求a 的取值范围. 解 ∵()2a a f x x x =-+，∴2()1af x x'=+. 又)(x f 在[1,)+∞上是单调递增函数，∴0)(≥'x f .于是可得不等式2x a -≥对于1x ≥恒成立.∴2max ()a x ≥-.由1x ≥，得21x -≤-.∴1-≥a .3.用分离参数法解决不等式恒成立问题例：不等式2210ax x -+>在[1,2]x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围. 讨论的解法会设函数2()21f x ax x =-+，进而求解函数在[1,2]x ∈时的最小值或值域，再利用其最小值大于零来求解参数取值范围。
高中数学分离参数法详解(一)
高中数学分离参数法详解(一)高中数学分离参数法详解什么是分离参数法分离参数法是一种在解决高中数学问题中常用的方法。
它能够将含有多个未知数的方程，经过一些推理和转化，分解成只含有一个未知数的方程，从而简化问题的求解过程。
分离参数法的步骤使用分离参数法求解问题通常需要经过以下几个步骤：1.确定问题中所涉及的未知数及其之间的关系；2.假设一个参数，并根据问题条件将未知数与参数关联起来；3.根据问题条件，将含有多个未知数的方程化简成只含一个未知数的方程；4.求解化简后的方程，得到未知数的解；5.根据参数和未知数的关系，确定未知数的取值范围或其它问题所求的具体数值。
分离参数法的应用举例下面以一个具体的数学问题来说明分离参数法的应用：问题：已知直角三角形两个锐角之差为45°，且两个锐角的余弦之比为1:3，求这两个锐角。
解答： 1. 设较小的锐角为x，则较大的锐角为x + 45°； 2. 根据问题条件可得：cos(x+45°)=13； 3. 利用三角函数的和差公式化简上式，得到：cosx=√23； 4. 解方程cosx=√23，得到一个解x=π4；5. 根据锐角的定义，锐角的取值范围是(0,π2)； 6. 因此，较小的锐角为π4，较大的锐角为x+45°=π4+45°。
分离参数法的优势和局限性分离参数法在解决某些高中数学问题时能够简化解题过程，使问题更易于理解和求解。
它的优势主要体现在以下几个方面：•通过引入参数，将问题转化成只含一个未知数的方程，从而降低了问题的复杂度；•规范化了解题过程，使解题思路更加清晰明确。
然而，分离参数法也有一定的局限性：•可行性有限：只适用于一些特定类型的问题，不能解决所有的高中数学问题；•可能引入新的未知数：引入参数的过程中，有可能会产生新的未知数，使问题变得更加复杂。
总结分离参数法是一种在高中数学问题中常用的解题方法。
通过合理引入参数，将多个未知数的方程分解成只含一个未知数的方程，从而简化问题的求解过程。
例说参数分离法求解取值范围问题
例说参数分离法求解取值范围问题参数分离法是一种利用参数的特性来求解取值范围问题的方法。
它通常在数学中应用较多，特别是在不等式求解、方程求解和极值问题中。
参数分离法的主要思想是通过将不等式中的参数与变量分离，进而得到一个只包含变量的新不等式，然后通过具体的条件对变量进行限制，从而确定取值范围。
为了更好地理解参数分离法的应用，我们以一个具体的例子来说明。
假设我们要求解不等式f(x,a)>0的取值范围，其中f(x,a)=(x-a)(x-a-2)(x+a+2)。
首先，我们需要将参数a与变量x分离。
可以将f(x,a)=(x-a)(x-a-2)(x+a+2)分解为三个部分，即f(x,a)=(x-a)(x-a-2)(x+a+2)=g(x)h(x)a+k(x)b+l(x)c，其中g(x)=x-a，h(x)=x-a-2，k(x)=x+a+2，l(x)=1，a,b,c为常数。
接下来，我们需要分别讨论不等式g(x)>0，h(x)>0和k(x)>0的情况。
对于g(x)>0，显然当a=0时，g(x)=x>0，即x∈(0,+∞)。
当a>0时，可以将g(x)化简为x>a。
因此，g(x)>0的解集为x∈(a,+∞)。
对于h(x)>0，当a=-2时，h(x)=x-(-2)-2=x-2>0，即x>2、所以h(x)>0的解集为x∈(2,+∞)。
当a>-2时，可以得到h(x)=x-(a+2)>0，即x>a+2、因此，h(x)>0的解集为x∈(a+2,+∞)。
对于k(x)>0，当a=-2时，k(x)=x-(-2)+2=x+2>0，即x>-2、所以k(x)>0的解集为x∈(-2,+∞)。
当a>-2时，可以得到k(x)=x-(-a-2)+2>0，即x>-a。
因此，k(x)>0的解集为x∈(-a,+∞)。
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显得简便 ， 从而使学生对“ 分离参数法” “ 有点心动” ．
２ ． 练 习加 上 反 馈 是 实 现 例 题 教 学 有 效 性 的 重 要 保 证
在行为 主义学 习理论 的研究 中，桑代克设计 了表 明 反馈作用 的实验 ，他让学生闭上眼睛在纸上画一定长 的 线段 ， 如果对所 画结果无反馈 ， 即使进行 ３ ０ ０ ０ 多次重复 ， 也无法接近定长 ， 而如果每 画一次都及时反馈 ， 则马上可 以逼近定长 ， 于是行为主义学 习理论认为 ， 简单 的重复训 练往往不产生学习效果 ，只有练习加上反馈 才能有效地
促进学 习， 这一点在数学教学 中具有很强 的指导意义 ， 有 些老师在教学 中缺少对练 习和测试 的关注 ，在例题教学
二、 调 查
为提高例题教学 的“ 有效性 ” ， 弄 清得分低 的原 因 ， 笔 者与命 题者 、 个别教师 、 部分学生进行 了交 流．
方法２ ： ｍｙ （ ２ ｘ ） － ｋ ＂ Ｔ￣ ＞０ 得Ｊ ｉ ｝ ≤— １ － ２ ＂ Ｔ ＋ （ Ｔ） ２ 冷
＝ ，
解： （ １ ） ａ ＝ ｌ ， ｂ ＝ ０ ． （ 过程略 ）
（ ２ ） 由（ １ ） 知： ） ＋ 一 ２ ， 因而
２ ） 一 ・ ≥ 。 ≤ （ 去 ） 一 吾 ＋ ＝ （ 吉 一 ） ２ ＿
方法 １ ： 由 ） 一 南 ・ ≥０ 得：
原题 （ ２ ０ １ ２ 年浙江省上虞市城南 中学高三理科数
学期 中试卷第２ ０ 题）
已知函数ｇ （ ｘ ） ＝ 似 一 ２ ａ ｘ ＋ ｌ ＋ ｂ （ ａ ＞ ０ ） ， 在区间［ ２ ， ３ ］ 上有
最大值４ ， 最小值１ ， 设函数 ） ：
学生 介绍解题过程 ，更要学生说 出获得此解法 的思考过 程， 这就 “ 逼迫 ” 学生 去追 溯 自己的思维过程． “ 说题 ” 要求
中’ ？ 擞’ ？高 中 版
２ ０ １ ３年 １ 月
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材 法
分左右 ．没有达到送 分的 目的．笔 者参与 了该题 目的评 卷， 在评卷过程 中， 发现不 少考 生不 习惯 用“ 分 离参数 法”
的取值范 围．
１ ＿ 参 考 答 案
２ ， ∈ｌ ÷， ２ Ｉ ， 则（ １ －０ ， 设 ￡ ） ＝ （ １ － ｋ ） ｔ ｚ － ２ ｔ ＋ ｌ ，
画出该 函数 的图像 ， 再结合区间对 开 １ ＝ １ 方向 、 对称轴 进行 分类讨论 即可 ， 但不少同学分类讨 论不完 整．
值为０ ， 即后 ≤０ ． ．
ｔＥ
［ 丢 ， ２ ］ ， 构 造 函 数 ） ＝ 上 ， ∈ ［ ÷ ， ２ ］ ， 再 利 用 导
评析： 此题满分１ ０ 分， 全校平均分 只有５ ． ６ 分． 第（ １ ） 问
因 为 ∈ ［ 一 ， ］ ， 所 以 去 ∈ ［ 吉 ， ２ ］ ， （ 去 － １ ） 的 最 小
数法求得 ） 的最小值 为０ ．
４ 分基本 上能得到 ， 第（ ２ ） 问６ 分， 得分率低 ， 基本 上只有２
思想方法思考 问题 的意识 ，这可能源于笔者在平 时教学
学生用言语表 达 ， 这又 “ 逼迫 ” 学生去整理 自己的解 题思
中对数学思想方法 的渗透 ， 甚感欣慰 １
３ ． 从“ 说解 法” 的过程 中让我感受颇深 ： （ １ ） 展示 了学生解法的多样性． 四种具有代表性 的解
让学生体会 到什么是 “ 看得见 的思维． ”
参考文献 ：
１ ． 叶立 军 ． 斯海 霞． 教 师说 题——数 学技 能提 高的有 效途径 ［ Ｊ ］ ． 中学数 学教 学参考 ， ２ ０ １ １ ， ４ ．
２ ． 陈斌杰 ． 张 维 忠． 数 学说 题 比 赛 的 过 程 及 其 评 价 标
过“ 说题 ” ， 促进 了师生之间 的数学交流 ， 增进了学生之间 的思 维交锋 ， 提高 了学生思维 的广 阔性． （ ２ ） 训 练 了学 生的数 学表达 、 交流 能力． “ 说题” 充分 展示 了学生 的 口头表达能力 ， 其难度 比书面表达更大 ， 更 能反映学生对解法 的理解程 度． 从说题 的过程来看 ， 学生
若不 等
． （ １ ） 求０ ， ６ 的值 ； （ ２ ）
＋ 一 ２ 一 ｋ 。 ２ ＞０ ／ ， 即（ ） ＋ １ － ２ ・ ２ － ｋ ・ （ ２ ） ≥０ ， 令 ：
２ ） 一 ｋ ・ ２ ｘ ￣０ ＞ 在 区 间 ∈［ 一 １ ， １ ］ 上恒 成立 ， 求ｋ
路以形 成一个完整 的流程． “ 说题 ”将 内隐的思 维转化为
外显 的言语行 为 ，将一个个跳跃的思维点转化为一个连
续的思维过程． 这些 内容都属于元认知 的范畴 ， 这一活动
不仅可 以让学生对题 目的理解深入骨髓 ， 久而不忘 ， 而且
法均属通性通法 ， 但其思维跨度大大超 出了我的想象 ！ 通
教 教
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２ ０ １ ３年 １ 月
如何 实现例题教 学的“ 有效性＂
— —
从“ 参数分 离法” 说起
陈 芳
⑩浙 江 省 上 虞 市 城 南 中学
一
、
问题 的提 出
２ ． 考 生答 案 中 的主 要 问题
考生答案中存 在不少 问题 ， 有 的解法太繁 ， 不仅 花费 了考生不少的时间 ， 更重要 的是导致 了隐性丢分 ； 有 的是 分类讨论不完整等．
的表 达能力 总体较 强．
４ ． “ 说题” 是元认知开发的有力抓 手． “ 说题” 不仅要求
准［ Ｊ ］ ． 中学数 学教 学参考 ， ２ ０ １ １ ， ４ ． ３ ． 罗增儒． 教 学效 能的故事 高效课 堂的特征 『 Ｊ ］ ． 中学
数 学教 学参考 。 ２ ０ １ １ ， １ ２ ．一