沪教版高中数学高二下册第十一章11.2直线的倾斜角和斜率 课件(共35张PPT)
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沪教版高中数学高二下册：11.2直线的倾斜角和斜率 课件 (共18张PPT)
例3、已知三点A(2,3),B(a, 4),C(8, a)三点共 线,求a 的值.
小结提高
平面解 析几何
直线的斜率
核心
知识•方法•思想
楼梯坡度
斜率定义 几何意义
应用
k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
P2 P1
P1 P2
例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐 角.
例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜 率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l.
相等
问题7：所以我们还可以怎样确定 一条直线？ 一个点P和一个倾斜角α.
想一想
你认为下列说法对吗？ 1、所有的直线都有唯一确定的倾斜
角与它对应。
2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。
问题引入
问题8：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的 量？
坡度（比）
升高量 前进量
升
高
量
前进量
描述直线倾斜程度的量——直线的斜率
问题4：那么怎样描述这 种‘倾斜程度’的不同?
直线的倾斜角的概念：
当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴 正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线 l的倾斜角.
特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定 α= 0°
问题5： 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°
问题6：如图, 直线a∥b∥c, 那么它们的倾斜角 α相等吗?
直线的倾斜角与斜率的关系
y
l
p
o x
ylypoxo p xl
y
p
直线的斜率与倾斜角ppt
斜率的计算公式
对于直线上的两点$(x_1, y_1)$和 $(x_2, y_2)$，斜率$m$可由下式计算： $m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
当$x_2$与$x_1$相等时，斜率不存在 ，表示直线垂直于x轴。
斜率与倾斜角的关系
斜率与倾斜角$alpha$之间存在一一 对应关系，即斜率等于倾斜角正切值， 即$m = tanalpha$。
倾斜角定义
直线倾斜角是指直线与x 轴正方向之间的夹角，通 常用α表示，取值范围为 [0,π)。
计算方法
斜率m=tan(α)，其中α为 直线的倾斜角。
直线的斜率与倾斜角的关系及应用
关系
直线的斜率与倾斜角α是线性关系，即 m=tan(α)。当α在[0,π/2)范围内时，斜 率为正，表示直线从左下到右上上升； 当α在(π/2,π)范围内时，斜率为负，表 示直线从左上到右下下降。
直线的斜率与倾斜角
目录
• 直线的斜率 • 直线的倾斜角 • 直线的斜率与倾斜角的应用 • 特殊情况的讨论 • 总结与回顾
01 直线的斜率
斜率的定义
01
斜率是直线在平面上的倾斜程度 ，表示为直线上的任意两点间纵 坐标差与横坐标差之商。
02
斜率是直线的重要属性，用于描 述直线的方向和倾斜程度，是解 析几何中重要的概念之一。
中研究直线的基础。
计算距离和角度
利用直线的斜率和倾斜角，可以计 算直线上的点到直线的垂直距离， 以及两条直线之间的夹角。
解决几何问题
在解决几何问题时，如求两条直线 的交点、判断直线与圆的位置关系 等，需要使用直线的斜率和倾斜角。
在物理学中的应用
描述运动轨迹
在物理学中，直线的斜率和倾斜 角可以用来描述物体的运动轨迹， 如自由落体运动、抛物线运动等。
《直线倾斜角和斜率》课件
斜率决定了直线与x轴之间的夹角，即倾斜角。
斜率与直线图像的平移
01 斜率不变，平移直线图像
当直线沿x轴或y轴平移时，其斜率保持不变。
02 平移影响直线与坐标轴的交点
平移会导致直线与x轴或y轴的交点发生变化。
03 平移影响直线与坐标轴的距离
平移距离决定了直线与坐标轴之间的距离。
斜率与直线图像的旋转
斜率的计算公式
总结词
斜率的计算公式是$frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，其中 $(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是直线上任意两点的坐标。
详细描述
根据定义，斜率是直线在坐标系中倾斜程度的数值表示 。通过两点坐标可以计算出直线的斜率。当两点横坐标 相等时，斜率不存在。
在电磁学中，斜率可以用来描述电流与电 压之间的关系。
在重力场中，斜率可以用来描述物体下落 的加速度。
在光学中，斜率可以用来描述光的折射率 。
斜率在经济学中的应用
斜率在经济学中常被用于描述供求关 系，即需求曲线和供给曲线的斜率。
斜率在经济学中还可以用于描述边际 效用、边际成本等概念。
需求曲线的斜率表示价格与需求量之 间的关系，供给曲线的斜率表示价格 与供给量之间的关系。
1 2
斜率随旋转角度而变化
当直线围绕原点旋转时，其斜率会发生变化。
旋转影响直线与坐标轴的夹角
旋转角度决定了直线与x轴之间的夹角。
3
旋转影响直线图像的对称性
在某些旋转角度下，直线图像可能会呈现对称性 。
直线的斜率在实际生活中的05 Nhomakorabea应用
斜率在物理中的应用
斜率在物理中常被用于描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
关系图通常以角度为横轴，以 斜率为纵轴，使用不同的线型 或标记表示不同倾斜角下的斜 率值。
斜率与直线图像的平移
01 斜率不变，平移直线图像
当直线沿x轴或y轴平移时，其斜率保持不变。
02 平移影响直线与坐标轴的交点
平移会导致直线与x轴或y轴的交点发生变化。
03 平移影响直线与坐标轴的距离
平移距离决定了直线与坐标轴之间的距离。
斜率与直线图像的旋转
斜率的计算公式
总结词
斜率的计算公式是$frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，其中 $(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是直线上任意两点的坐标。
详细描述
根据定义，斜率是直线在坐标系中倾斜程度的数值表示 。通过两点坐标可以计算出直线的斜率。当两点横坐标 相等时，斜率不存在。
在电磁学中，斜率可以用来描述电流与电 压之间的关系。
在重力场中，斜率可以用来描述物体下落 的加速度。
在光学中，斜率可以用来描述光的折射率 。
斜率在经济学中的应用
斜率在经济学中常被用于描述供求关 系，即需求曲线和供给曲线的斜率。
斜率在经济学中还可以用于描述边际 效用、边际成本等概念。
需求曲线的斜率表示价格与需求量之 间的关系，供给曲线的斜率表示价格 与供给量之间的关系。
1 2
斜率随旋转角度而变化
当直线围绕原点旋转时，其斜率会发生变化。
旋转影响直线与坐标轴的夹角
旋转角度决定了直线与x轴之间的夹角。
3
旋转影响直线图像的对称性
在某些旋转角度下，直线图像可能会呈现对称性 。
直线的斜率在实际生活中的05 Nhomakorabea应用
斜率在物理中的应用
斜率在物理中常被用于描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
关系图通常以角度为横轴，以 斜率为纵轴，使用不同的线型 或标记表示不同倾斜角下的斜 率值。
沪教版高中数学高二下册第十一章11.2直线的倾斜角和斜率 课件(共22张PPT)
135。
x
知识探究（一） 直线的倾斜角 定义 当直线 l 与 x轴相交时，我们取x轴 作为基准，x轴正向与直线 l 向上方向 之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角．
y
l
o
x
练习：判断直线的倾斜角是否正确？
yl
x o
yl
x o
ly
x o
a00
y
l
x o
直线的倾斜角
定义（1）当直线 l 与 x轴相交时，我们取x轴
斜率
（范围）
k=0
k>0
斜率不存在
k<0
斜率的增
无
减性
随倾斜角的 增大而增大
无
随倾斜角的 增大而增大
（三）合作交流
（1）任何一条直线都有倾斜角吗？不同的 直线其倾斜角一定不相同吗？
（2）任何一条直线都有斜率吗？斜率不同 的直线倾斜角一定不同吗？
（3）斜率大的直线其倾斜角也一定大吗？ 你认为确定平面直角坐标系中一条直线位 置的几何要素是什么？
y
α
o
x
2.直线上的一个定点以及它 的斜率，同样可以确定一条 直线。 二者缺一不可．
y
k
P
O
x
不是每一粒种子都能发芽，不是每一 段路程都铺满鲜花，不过不要忘记，乌云 遮不住太阳的光华。
谢谢
勒奈·笛卡尔（René Descartes， 1596-1650）：法国数学家、科学家和 哲学家，堪称17世纪以来欧洲哲学界 和科学界最有影响的巨匠之一，被誉 为“近代科学的始祖”.
解析几何
坐标法
坐标法：以坐标系为桥梁，把几何问题转化成代数问题， 通过代数运算研究几何图形性质的方法.
知识探究（一）直线的倾斜角
x
知识探究（一） 直线的倾斜角 定义 当直线 l 与 x轴相交时，我们取x轴 作为基准，x轴正向与直线 l 向上方向 之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角．
y
l
o
x
练习：判断直线的倾斜角是否正确？
yl
x o
yl
x o
ly
x o
a00
y
l
x o
直线的倾斜角
定义（1）当直线 l 与 x轴相交时，我们取x轴
斜率
（范围）
k=0
k>0
斜率不存在
k<0
斜率的增
无
减性
随倾斜角的 增大而增大
无
随倾斜角的 增大而增大
（三）合作交流
（1）任何一条直线都有倾斜角吗？不同的 直线其倾斜角一定不相同吗？
（2）任何一条直线都有斜率吗？斜率不同 的直线倾斜角一定不同吗？
（3）斜率大的直线其倾斜角也一定大吗？ 你认为确定平面直角坐标系中一条直线位 置的几何要素是什么？
y
α
o
x
2.直线上的一个定点以及它 的斜率，同样可以确定一条 直线。 二者缺一不可．
y
k
P
O
x
不是每一粒种子都能发芽，不是每一 段路程都铺满鲜花，不过不要忘记，乌云 遮不住太阳的光华。
谢谢
勒奈·笛卡尔（René Descartes， 1596-1650）：法国数学家、科学家和 哲学家，堪称17世纪以来欧洲哲学界 和科学界最有影响的巨匠之一，被誉 为“近代科学的始祖”.
解析几何
坐标法
坐标法：以坐标系为桥梁，把几何问题转化成代数问题， 通过代数运算研究几何图形性质的方法.
知识探究（一）直线的倾斜角
沪教版(上海)数学高二下册-11.2直线的倾斜角和斜率(课件)
求直线 l 的斜率 k 。
解：AB x2
x1, y2
y1 , k
y2 x2
y1 x1
练习
例3: 已知直线 l 的斜率为 k ，且过点 C x0, y0 , 求
直线 l 的方程。
练习
y
Ax0, y0
l
O
方程y y0 k x x0 叫做
直线l的点斜式方程
x
归纳小结
1. 知识内容 2. 思想方法
4 （3）若 k 2 ，则 __ar_c_ta_n_2__；
（4）若 k 3 ，则 ___a_r_ct_a_n_3.
建立关联
思考： 直线 l 的方向向量 d u,v 与倾斜角 之间
有什么关系？
yl
d u,v
O
x
建立关联
思考： 直线 l 的方向向量 d u,v 与倾斜角_1_____；
4 （3）若 k 2 ，则 __ar_c_ta_n_2__；
（4）若 k 3 ，则 ________.
建立关联
例1：已知直线 l 的倾斜角为 ，斜率为 k ， （1）若 ，则 k ____3____；
3
（2）若 3 ，则 k ___1_____；
yl
d u,v
O
x
建立关联
思考： 直线 l 的方向向量 d u,v 与倾斜角 之间
有什么关系？
yl
d u,v
O
x
tan v u 0
u
建立关联
yl
yl
l d u,v
d
u,
v
tan
v u
O
x
O
tan v
x
u
d u,v
y
ly
解：AB x2
x1, y2
y1 , k
y2 x2
y1 x1
练习
例3: 已知直线 l 的斜率为 k ，且过点 C x0, y0 , 求
直线 l 的方程。
练习
y
Ax0, y0
l
O
方程y y0 k x x0 叫做
直线l的点斜式方程
x
归纳小结
1. 知识内容 2. 思想方法
4 （3）若 k 2 ，则 __ar_c_ta_n_2__；
（4）若 k 3 ，则 ___a_r_ct_a_n_3.
建立关联
思考： 直线 l 的方向向量 d u,v 与倾斜角 之间
有什么关系？
yl
d u,v
O
x
建立关联
思考： 直线 l 的方向向量 d u,v 与倾斜角_1_____；
4 （3）若 k 2 ，则 __ar_c_ta_n_2__；
（4）若 k 3 ，则 ________.
建立关联
例1：已知直线 l 的倾斜角为 ，斜率为 k ， （1）若 ，则 k ____3____；
3
（2）若 3 ，则 k ___1_____；
yl
d u,v
O
x
建立关联
思考： 直线 l 的方向向量 d u,v 与倾斜角 之间
有什么关系？
yl
d u,v
O
x
tan v u 0
u
建立关联
yl
yl
l d u,v
d
u,
v
tan
v u
O
x
O
tan v
x
u
d u,v
y
ly
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x
y
o
零度角
x
y
y
a
o
o
x
锐角
直角
x
y
a
o
钝角
确定直线的要素
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何 要素是：
直线上的一个定点以及它的倾斜角， 二者缺一不可．
y l3
l2
l1
OP x
y
l3 l2 l1
ox
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
坡度（比）=升高量
升
前进量
高
量 前进量
例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更
倾斜角是90的直线有斜率吗？ 倾斜角是90的直线的斜率不存在．
直线的斜率
如：倾斜角45时，直线的斜率 k ta 4 n 5 1 .
当为钝角时，ta 1n 8 () 0 ta.n
如：倾斜角为 135时，由
k t1 a 3 t n 4 a 5 1 5 n 即这条直线的斜率为 1.
y1 x1
探究：由两点确定的直线的斜率
钝角
如图，当α为钝角时，
180,
y
且x1 x2, y1 y2
tanta1 n8( 0)
y2
P2(x2,y2)
tan
y1
P1(x1,y1)
Q(x2,y1)
o x2 x1 x
在 RtP2Q1中 P
tan P2Q y2 y1 P1Q x1 x2
0 kta ny2y 1y2y 1 x 1x2 x2x 1
y
l
OP
x
问题引入
过一点P可以作无数条直线l , l′, ，l … 它们都经 过点P （组成一个直线束），这些直线区别在哪 里呢？
y
l
l
OP
x
问题引入
容易看出，它们的倾斜程度不同．怎样描述直 线的倾斜程度呢？
y
l
OP
x
直线的倾斜角
当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准， x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直 线 l 的倾斜角 ．
思考？
1、当 P1、P2 的位置对调时，k值又如何呢？
y
P1(x1,y1)
Q(x1,y2)
P2(x2,y2)
o
x
y P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
Q(、述当公直式线还平适行用于k吗x轴？ta，为n0或什与么0x？轴重合时，
y
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
k y2 y1 x2 x1
o x1
x2
x
答：成立，因为 分子为0，分母不 为0，k=0
思考？
3、当直线平行于y9轴0，,t或an与9y0轴(不 重合存 时，)在
上述公式还适k用不 吗？存为什在么？
y
y2
P2(x2,y2)
y1
P1(x1,y1)
o
x
k y2 y1 x2 x1
答：不成立， 因为分母为0。
解：
y.
B
.A
直线AB的斜率 kAB28240 .
.
. . o.
.
.
.
x
直线BC的斜率 kBC 0 2( 8 2) 841 2
C
直线CA的斜率 kCA 24 ( 02)4 41 ∵ kAB0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。
∵ kBC0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。
∵ kCA0 ∴直线CA的倾斜角为锐角
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且
斜率分别为1，-1，2和-3的直线 l1,l2,l3 l4
y
l3
l1
A3 A1
O
x
A2
Al 44 l2
例3、斜率为4的直线，经过点A(8,2)、 B(10,a)、C(7,b) ，求a,b的值
变式、已知三点A（a，２），Ｂ（５，１）， Ｃ（－４，２a）在同一直线上，求a的值
探究：由两点确定的直线的斜率
ktan
锐角
能不能构造
y
y2
y1
如一图个，直当角α三为锐角时，
角形去求？
P2(x2,y2)
P2P1Q,
Q(x2,y1)
P1(x1,y1)
且x1 x2, y1 y2
o x1
x x2 在 RtP2P 1Q中
0 ktanta nP2P1QQ P1Q 2P yx22
k
注意:①倾斜角不同的直线斜率也不同.
②任何一条直线都有倾斜角,
o
2
但不一定有斜率.
③直线越接近y轴，斜率的绝对值越大.
④倾斜角互补,斜率互为相反数.
两点的斜率公式
已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？ 给定两点P1 （ x1 ，y1）， P2 （ x2 ，y2）， 并且x1 ≠x2，如何计算直线P1 P2的斜率k．
2、直线的斜率定义： ktaan(a90)
3、斜率k与倾斜角之间的关系：
a0 k tan0 0 0 a90 k tana0 a90tana(不存)在 k不存在 90 a180k tana0
4、斜率公式：ky2y1(或 ky1y2)
x2x1
x1x2
(x1
x2)
陡一些，因为坡度（比）3 2 . 22
问题引入
升 高
坡度（比 前 升） 进 高量 量
前进
想一想：坡度还可以和哪些知识联 系起来？
直线的斜率
如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡 度（比）”实际就是“倾斜角α的正切”．
一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条
直线的斜率.
通常用小写字母k表示，即
ktan(90)
直线的倾斜角与斜率
问题引入
在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表 示呢？
y
P（x，y）
l
O
x
问题引入
对于平面直角坐标系内的一条直线 l ，它的位 置由哪些条件确定？
y
l
O
x
问题引入
我们知道，两点确定一条直线．一点能确定一 条直线的位置吗？已知直线 l 经过点P，直线 l 的 位置能够确定吗？
例4、直线的斜率为k，倾斜角为
（ 1）若1k1，求的范围
（ 2）若3，求k的范围
4
4
例５、过点Ｐ(0，－2)作直线l 与线段 ＡＢ 有公共点，Ａ(－2，４)、Ｂ(4，２)
（１）求直线l 倾斜角 的范围(tan72°=3)
（２）求直线l 的斜率k的范围
课堂小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围：0180
经过两点 P 1 ( x 1 ,y 1 ) P 2 ( , x 2 ,y 2 ) x 1 (x 2 ) 的直线的
斜率公式为：
k y2 y1 . x2 x1
例题分析
例1 、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求
直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线
的倾斜角是什么角？
y
当直线l与x轴平行或重合时， 规定它的倾斜角为 . 0
O
直线的倾斜角 的取值范围为：
0
18.0
l x
练习：
1、下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
y
y
a
o
oa
x x
A
B
y
y
a
o
ao
x
x
C
D
2、指出下列图中直线的倾斜角
y
y y
y
120°
O
x
120°
O
x
O
x
O
x
60°
120°
90°
0°
按倾斜角去分类，直线可分几类？