直线的倾斜角与斜率课件
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(2)设直线经过两点 P12,1, P24,2,求此直线的斜率 (3)设直线经过两点 P1x1, y1, P2 x2, y2 ,求此直线的斜率
探究：由两点确定的直线的k斜率tan
锐角
能不能构造
y
y2
y1
P2 (x2, y2 )
Q(x2, y1) P1(x1, y1)
如一图个，直当角α三为锐角时，
角形去求？
P2P1Q,
且x1 x2, y1 y2
o x1
x x2
在RtP2P1Q中
0 k
tan
tan P2P1Q
QP2 P1Q
y2 x2
y1 x1
钝角
如图，当α为钝角时，
180 ,
y
且x1 x2, y1 y2
tan tan(180 )
y2
P2 (x2, y2 )
tan
k tan a
(1)是否每条直线都有倾斜角？
(2)是否每条直线都有斜率?
课堂练习：完成下列表格
0 30 45 60 90 120 135 150
k
归纳：
0
k
锐角
直角
钝角
2、斜率的坐标公式
思考5：已知一条直线上的两点坐标，如何计算 斜率？
(1)设直线l经过两点P10,0, P22,2,求此直线的斜率
y
o
一点能确定一条直线的位置吗？
x
思考1：已知直线l经过点P，直线l 的位置 能够确定吗？
l 不确定.过一个点有无数条直线.
P
l
l
yO
x
这些直线有何区别？ 它们的倾斜程度不同．
如何描述直 线的倾斜程 度？
一、直线的倾斜角
1、直线倾斜角的定义：
当直线L与X轴相交时，我们取X轴作为基 准，X轴正向与直线L向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角（angle of inclination）
x
l
y
注意： (1)直线向上方向；
a
(2)X轴的正方向。
o
2、直线倾斜角的范围：
当直线 l 与x 轴平行或重合时，我
们规定它的倾斜角为 0 ，因此，直线
的倾斜角的取值范围为：0 a 180
按倾斜角去分类，直线可分几类？
y
y
y
a
y
a
o
o
o
o
x
x
x
x
零度角
锐角
直角
钝角
课堂训练
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
x
设x1=1，则y1=1 ，
于是A1的坐标是（1,1）．
过原点及点A1（1,1）的直线即为l1．
同理l2是过原点及点A2（1，-1）的直线，
l3是过原点及点A3（1，2）的直线， y A3
l4是过原点及点A4（1，-3）的直线．
k
y2 x2
y1 x1
( x1
x2 )
公式特点：(1)与两点坐标的顺序无关;
(2)公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两
点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角；
(3)当x1=x2时,公式不适用,此时α=90°.
例1 如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求 直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是 锐角还是钝角.
y1
P1(x1, y1)
Q(x2, y1)
x o x1 x2
在RtP2QP1中
tan P2Q y2 y1 P1Q x1 x2
0 k tan y2 y1 y2 y1 x1 x2 x2 x1
思考？
当P1P2的位置调换时， k的值又如何？
y
P1(x1, y1)
y P1(x1, y1)
提升总结
斜率为正，倾斜角为锐角； 斜率为负，倾斜角为钝角； 斜率为0，倾斜角为0°； 斜率不存在时，倾斜角为直角.
变式训练
已知A(3，5)，B(4，7)，C(-1，x)三点共线，则x等于
(A)-1
(B)1
(C)-3
(D)3
k AB
7 4
5 3
2, kAC
x5 1 3
x
5, 4
解：选C.因为
又A、B、C三点共线，
思考：坐这个水上滑梯，哪段最刺激？速度最 快？为什么？
滑梯的陡峭 与平缓反映了
滑梯的倾斜 程度
第三章 直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
活动1:请你在平面直角系中画出两条直 线，说说它们的不同之处？
y
o
位置不同 思考：一条直线的位置由哪些条件确定呢？
x
直线的位置
我们知道，两点确定一条直线。
它的倾斜角二者缺一
o
α x 不可．
思考4:日常生活中，还有没有表示倾斜程 度的量？
升 高 量
前进量
坡度（比）
升高量 前进量
“坡度比”是“倾斜
角”的正切值.
y
升
高
量
α
前进量
o
xHale Waihona Puke Baidu
二、直线斜率
1、直线斜率的定义
a 我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这
条直线的斜率(slope)。
用小写字母 k 表示，即：
y
y
a
o
oa
x x
A
B
y
y
a
o
ao
x
x
C
D
思考2：直线的倾斜程度与倾斜角有什 么关系？
①平面直角坐标系中每一条直线都 y
有确定的倾斜角;
l
l
②倾斜程度不同的直线有不同 O 的倾斜角;
P
x
③倾斜程度相同的直线其倾斜角 相同.
思考3：确定平面直角坐标系中一条直线的 几何要素是什么?
y
直线上的一个定点及
Q(x2 , y1) P2 (x2, y2 )
o
(3)
x
Q( x2 ,
y1)
P2
( x2 ,
y2
)
o (4) x
tan y2 y1
x2 x1
说明：此公式与两点坐标的顺序无关.
思考6：当直线P1P2平行于x轴，或与x轴重合时， k y2 y1 还适用吗？为什么？
x2 x1
y
P1(x1, y1) P2 (x2 , y2 )
O
x
适用 k y2 y1 0
x2 x1
思考7：当直线平行于y轴，或与y轴重合时， 公式还适用吗？
不适用，因为分母为0.斜 率不存在.
y
P1 (x1, y1 )
O
P2 (x2 , y2 )
x
三、斜率公式
经过两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) ( x1 x2 )的直线的斜率公式
分析：直接利用公式求解
解：直线AB的斜率kAB
1 2 4 3
1; 7
直线BC的斜率
B
kBC
1 1 0 (4)
2 4
1; 2
y
A
O C
x
直线CA的斜率kCA
1 2 03
3 3
1.
由 kAB 0 及kCA 0 知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角； 由 kBC <0 知，直线BC的倾斜角为钝角．
所以 xk4A5B= k2，AC，
即
解得：x=-3.
例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分 别为1，-1，2及-3的直线l1，l2，l3及l4.
分析：找出直线异于原点的点.
解：设A1（x1,y1）是l1上任一点， y
根据斜率公式有: l1
1 y1 0 , x1 0
即x1=y1.
A1
O
探究：由两点确定的直线的k斜率tan
锐角
能不能构造
y
y2
y1
P2 (x2, y2 )
Q(x2, y1) P1(x1, y1)
如一图个，直当角α三为锐角时，
角形去求？
P2P1Q,
且x1 x2, y1 y2
o x1
x x2
在RtP2P1Q中
0 k
tan
tan P2P1Q
QP2 P1Q
y2 x2
y1 x1
钝角
如图，当α为钝角时，
180 ,
y
且x1 x2, y1 y2
tan tan(180 )
y2
P2 (x2, y2 )
tan
k tan a
(1)是否每条直线都有倾斜角？
(2)是否每条直线都有斜率?
课堂练习：完成下列表格
0 30 45 60 90 120 135 150
k
归纳：
0
k
锐角
直角
钝角
2、斜率的坐标公式
思考5：已知一条直线上的两点坐标，如何计算 斜率？
(1)设直线l经过两点P10,0, P22,2,求此直线的斜率
y
o
一点能确定一条直线的位置吗？
x
思考1：已知直线l经过点P，直线l 的位置 能够确定吗？
l 不确定.过一个点有无数条直线.
P
l
l
yO
x
这些直线有何区别？ 它们的倾斜程度不同．
如何描述直 线的倾斜程 度？
一、直线的倾斜角
1、直线倾斜角的定义：
当直线L与X轴相交时，我们取X轴作为基 准，X轴正向与直线L向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角（angle of inclination）
x
l
y
注意： (1)直线向上方向；
a
(2)X轴的正方向。
o
2、直线倾斜角的范围：
当直线 l 与x 轴平行或重合时，我
们规定它的倾斜角为 0 ，因此，直线
的倾斜角的取值范围为：0 a 180
按倾斜角去分类，直线可分几类？
y
y
y
a
y
a
o
o
o
o
x
x
x
x
零度角
锐角
直角
钝角
课堂训练
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
x
设x1=1，则y1=1 ，
于是A1的坐标是（1,1）．
过原点及点A1（1,1）的直线即为l1．
同理l2是过原点及点A2（1，-1）的直线，
l3是过原点及点A3（1，2）的直线， y A3
l4是过原点及点A4（1，-3）的直线．
k
y2 x2
y1 x1
( x1
x2 )
公式特点：(1)与两点坐标的顺序无关;
(2)公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两
点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角；
(3)当x1=x2时,公式不适用,此时α=90°.
例1 如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求 直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是 锐角还是钝角.
y1
P1(x1, y1)
Q(x2, y1)
x o x1 x2
在RtP2QP1中
tan P2Q y2 y1 P1Q x1 x2
0 k tan y2 y1 y2 y1 x1 x2 x2 x1
思考？
当P1P2的位置调换时， k的值又如何？
y
P1(x1, y1)
y P1(x1, y1)
提升总结
斜率为正，倾斜角为锐角； 斜率为负，倾斜角为钝角； 斜率为0，倾斜角为0°； 斜率不存在时，倾斜角为直角.
变式训练
已知A(3，5)，B(4，7)，C(-1，x)三点共线，则x等于
(A)-1
(B)1
(C)-3
(D)3
k AB
7 4
5 3
2, kAC
x5 1 3
x
5, 4
解：选C.因为
又A、B、C三点共线，
思考：坐这个水上滑梯，哪段最刺激？速度最 快？为什么？
滑梯的陡峭 与平缓反映了
滑梯的倾斜 程度
第三章 直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
活动1:请你在平面直角系中画出两条直 线，说说它们的不同之处？
y
o
位置不同 思考：一条直线的位置由哪些条件确定呢？
x
直线的位置
我们知道，两点确定一条直线。
它的倾斜角二者缺一
o
α x 不可．
思考4:日常生活中，还有没有表示倾斜程 度的量？
升 高 量
前进量
坡度（比）
升高量 前进量
“坡度比”是“倾斜
角”的正切值.
y
升
高
量
α
前进量
o
xHale Waihona Puke Baidu
二、直线斜率
1、直线斜率的定义
a 我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这
条直线的斜率(slope)。
用小写字母 k 表示，即：
y
y
a
o
oa
x x
A
B
y
y
a
o
ao
x
x
C
D
思考2：直线的倾斜程度与倾斜角有什 么关系？
①平面直角坐标系中每一条直线都 y
有确定的倾斜角;
l
l
②倾斜程度不同的直线有不同 O 的倾斜角;
P
x
③倾斜程度相同的直线其倾斜角 相同.
思考3：确定平面直角坐标系中一条直线的 几何要素是什么?
y
直线上的一个定点及
Q(x2 , y1) P2 (x2, y2 )
o
(3)
x
Q( x2 ,
y1)
P2
( x2 ,
y2
)
o (4) x
tan y2 y1
x2 x1
说明：此公式与两点坐标的顺序无关.
思考6：当直线P1P2平行于x轴，或与x轴重合时， k y2 y1 还适用吗？为什么？
x2 x1
y
P1(x1, y1) P2 (x2 , y2 )
O
x
适用 k y2 y1 0
x2 x1
思考7：当直线平行于y轴，或与y轴重合时， 公式还适用吗？
不适用，因为分母为0.斜 率不存在.
y
P1 (x1, y1 )
O
P2 (x2 , y2 )
x
三、斜率公式
经过两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) ( x1 x2 )的直线的斜率公式
分析：直接利用公式求解
解：直线AB的斜率kAB
1 2 4 3
1; 7
直线BC的斜率
B
kBC
1 1 0 (4)
2 4
1; 2
y
A
O C
x
直线CA的斜率kCA
1 2 03
3 3
1.
由 kAB 0 及kCA 0 知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角； 由 kBC <0 知，直线BC的倾斜角为钝角．
所以 xk4A5B= k2，AC，
即
解得：x=-3.
例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分 别为1，-1，2及-3的直线l1，l2，l3及l4.
分析：找出直线异于原点的点.
解：设A1（x1,y1）是l1上任一点， y
根据斜率公式有: l1
1 y1 0 , x1 0
即x1=y1.
A1
O