高考数学练习题目详解03函数的值域的常见求法(2)
2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考专用)专题08：函数值域的常见求法(讲解版)
专题08：函数值域的常见求法精讲温故知新一 求函数值：特别是分段函数求值例1 已知函数11,1()2,1x f x xx a x ⎧->⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上满足：对任意12x x ≠，都有()()12f x f x ≠，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞B ．(,2]-∞-C ．[2,)+∞D ．[2,)-+∞【答案】C 【分析】根据题意，得到11,1()2,1x f x x x a x ⎧->⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递减，进而可求出结果.【详解】由题意，得到11,1()2,1x f x x x a x ⎧->⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递减，因此只需112a -≤-+，解得2a ≥. 故选：C. 【点睛】本题主要考查由分段函数单调性求参数，属于基础题型.二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
1.利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ；反比例函数)0(≠=k x ky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}；二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≤}.例2 求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②）（3x 1x32)(≤≤-=x f ③ xx y 1+=（记住图像） 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②略③ 当x>0，∴x x y 1+==2)1(2+-x x 2≥， 当x<0时，)1(x x y -+--==－2)1(2----xx -≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法） 函数xx y 1+=的图像为： 2.二次函数在区间上的值域(最值)：例3 求下列函数的最大值、最小值与值域：①142+-=x x y ； ②；]4,3[,142∈+-=x x x y ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；解：∵3)2(1422--=+-=x x x y ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R ，∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2∉[3,4]，当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上，min y =-2，m ax y =1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2∉ [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，min y =-2，m ax y =1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2∈ [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上，min y =-3，m ax y =6；值域为[-3，6].注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时， ①当a>0时，则当a bx 2-=时，其最小值a b ac y 4)4(2min -=； ②当a<0时，则当a bx 2-=时，其最大值ab ac y 4)4(2max -=; ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时， 再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值.②若0x ∉[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内，只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3. 单调性法例4 求函数y=4x －x 31-(x ≤1/3)的值域。
求函数值域的几种常用方法
求函数值域的几种常用方法函数值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
求解函数值域通常有几种常用的方法，下面将对这些方法进行详细的介绍。
1.代入法：代入法是求解函数值域最直接的方法。
通过将定义域内的值代入函数表达式，得到对应的函数值，然后将这些函数值集合起来形成函数的值域。
例如对于函数f(x)=x²+1，我们可以将定义域内的各个数值代入该函数，计算函数值，然后再将函数值组成的集合确定为函数的值域。
2.图像法：图像法是通过绘制函数的图像来求解函数的值域。
对于一些简单的函数，可以直接绘制函数的图像，然后观察图像来确定函数的值域。
通过观察函数的图像，我们可以看出函数的上界、下界以及其他特征，从而确定函数的值域。
需要注意的是，通过图像法求解函数值域只能获得大致的范围，如果需要准确求解，请使用其他方法。
3.分析法：分析法是通过对函数表达式进行分析，找出函数的特点来求解函数的值域。
例如对于多项式函数，可以通过对其导数进行分析，找出导数的零点，以及函数在这些零点附近的变化情况，进而确定函数的最值和值域。
另外，还可以通过计算函数的极限来确定函数的值域，例如对于有界闭区间上的连续函数，它的值域就是该函数在这个区间内取得的最大值和最小值之间的闭区间。
4.反函数法：反函数法是通过求解函数的反函数来求解函数的值域。
如果函数存在反函数，并且已知反函数的定义域，则函数的值域就等于反函数的定义域。
可以通过求解函数的反函数来确定函数值域的范围。
5.值域的性质法：对于一些特殊的函数，可以利用其性质来求解函数的值域。
例如三角函数和指数函数等，我们可以利用其周期性、奇偶性和单调性等特点来确定函数的值域。
通过分析这些函数的性质，结合函数的定义域，可以直接得出函数的值域。
需要注意的是，对于复杂的函数，可能需要结合多种方法来求解函数的值域。
有时候还需要利用一些数学工具和理论来辅助求解，如极值定理、介值定理等。
最终获得函数的值域需要结合具体情况，并根据函数的定义域和性质来确定。
函数值域求解十法,分方法举例附练习题含参考答案
函数值域求解十法及练习题含参考答案函数值域是函数值的集合，值域是函数考查时最重要的考点之一.在高考数学中，通常以选择题和填空题的形式。
一般求函数的值域时要明确两点，一是值域的概念，二是函数的定义域和对应关系。
常用的方法有：观察法、换元法、配方法、判别式法、数形结合法、分离常数法、反函数法、中间变量值域法、三角函数有界性、基本不等式求函数值域、导数法等.本文重点对以上进行举例分析，同时对抽象函数的值域问题进行举例分析，帮助同学们学习和提升.方法1.直接观察法:通过是基本的初等函数，能够直接判断函数的单调区间或图像，可直接求值域.例1：求函数211y x=+的值域. 解：20x ≥，210x +≥，故0<y 1≤方法2.换元法：将复杂的函数通过整体代换的方式转化为常见函数，从而求得原函数的值域.形如y ax b =+.例2：求函数y x =-.解：令t =则0,t ≥且212t t -=，故211(1)122y t =-++≤，所以函数的值域为1(,]2-∞. 方法3.配方法:若函数是二次函数形式，即可通过配方再结合二次函数的性质求值域.例3：求函数221x x y x x -=-+的值域. 解：2111y x x =--+，而22331(1)44x x x -+=-+≥，故214013x x <≤-+，所以函数的值域为4[,1)3-. 方法4.判别式法：求形如22ax bx c y dx ex f++=++的值域，常利用去分母的形式，把函数转化为一元二次方程，通过方程有实数根，判别式0∆≥求出值域.例4：求函数225851x x y x ++=+的值域. 解：由已知得2(5)850y x x y --+-=，,x R ∈得5y ≠时，2644(5)0y ∆=--≥ 得19y ≤≤，而5y =时，0x =;故函数的值域为[1,9].方法5.数形结合法：函数图像的可以简单画出来，或者通过基本初等函数图像变换可得，则常常通过数形结合法求值域.例5：求函数2||2y x x =--在区间[1,3]-的值域.解：函数2||||2y x x =--的图像是由函数22y x x =--的图像沿y 轴向左翻折即可.如图：可知当12x =-时取最小值， 3x =时取最大值；故函数的值域为9[,4]4-. 方法6.分离常数法：形如cx d y ax b +=+的函数，经常采用分离常数法，将cx d ax b++变形为()c bc bc ax b d d c aa a axb a ax b+---=+++,从而确定函数的值域. 例6：求函数211x y x -=+的值域. 解：2(1)312,11x y x x +-==-++且301x ≠+，故函数的值域为2y ≠. 方法7.反函数数:求函数的反函数，求值域,前提是要学会反向用含y 的代数式表示x .例7：求函数12x y x -=+的值域. 解：反向求得211y x y+=-，故函数的值域为1y ≠. 方法8.中间变量值域法，中间变量一般大小范围确定.例8：求函数2241x y x +=-的值域. 解：易得241y x y +=-，而20x ≥，故40,1y y +≥-得4y ≤-或1y ≥故函数的值域为(,4](1,)-∞-⋃+∞方法9.利用三角函数的有界性求值域，1sin 1x -≤≤，1cos 1x -≤≤例9：求函数sin 1sin x y x=+的值域. 解：由已知得sin sin ,y y x x +=(1)sin ,y x y -=即有sin [1,1]1y x y =∈-- 所以函数的值域是12y ≤方法10.基本不等式求值域,对常见的不等式要非常熟悉,才能快速正确求得函数的值域.例10:求函数y =的最大值.解：由不等式2a b +≤≤≤练习题1. 函数2y =的值域为_________;2. 函数y x =+_________;3. 函数211y x =+的值域为_________; 4. 函数21ax b y x +=+(0)a >的最大值为4，最小值为-1，则b a +=_________; 5. 函数3121x y x +=-的值域为_________; 6. 若224x y +=，那x y -的最大值是_________;7. 函数24813(1)6(1)x x y x x ++=>-+的最小值为_________; 8. 函数||x y e =的值域为_________;9. 函数3sin 1cos x y x-=+的值域为_________； 10.函数x y xe =的最小值为_________;参考答案1. [2,)-+∞2.[1,)-+∞3.(0,1]4.75.32y ≠ 6.7.2 8.[1,)+∞ 9.(,2][1,)-∞-⋃+∞ 10.1e -。
函数值域的求法及例题
函数值域的求法及例题
函数值域是一个重要的概念。
它指函数的定义域中的所有可能函数值的集合。
了解函数值域的求法，可以帮助我们更有效地使用函数，对解决实际问题也很有帮助。
函数值域的求法有两种：直接和间接。
直接求法：如果可以确定函数的解析式，则可以直接求出函数值域。
具体步骤如下：
(1) 求函数定义域：即可以使用此函数的所有自变量x的取值范围
(2)求函数值域：即当自变量x在定义域内任意取值时，函数的值的取值范围。
例子：若函数：y=3x+2，
它的定义域为x∈R
那么，函数值域就是y∈R
间接求法：当不能确定函数的解析式时，可以采用间接的求法，即分情况求解。
即将函数定义域上的所有取值情况分类讨论，将其分解为一些能求出函数值域的子问题。
例子：若函数：y=x²，
它的定义域为x∈R
这里分情况讨论：
当x ≥ 0 时，y ≥ 0；
当 x＜0 时，y＜0；
即函数值域为y∈[0，+∞) ∪ (-∞，0]，
总之，了解函数值域的求法是有必要的，有助于我们理解函数的概念，也有助于解决各种函数问题。
函数值域的求法常考题型含详解
（2） y | x 1 | | x 3 |
【解析】（1）函数的定义域为 R ，当 x ≤ 2 时， y 1 2x 5 ；
当 2 x 3 时， y 2 x 3 x 5 ，当 x 3 时， y 2x 1 5 ，综上，函数的值域为
5, .
（2） y | x 1 | | x 3 | ，当 x 1时， y 2x 2 4 ，
（3） f (x) 2x 4 1 x
【解析】（1）令 t x 1 0 ，则 x t2 1，
所以 y 2x
x 1 2
t2 1
t
2 t
1 4
2
15, t 0 ，
8
所以当 t 1 时，函数取最小值 15 ，
4
8
所以函数 y 2x
x
1
的值域为
15 8
,
；
（2）设 t＝ 2x 1 ，则 t 0 且 x＝ t 2 1 ， 2
∴y＝ t2 1 ＋t＝ 1 t 12 1 ，在 0, 上为单调递增函数，
2
2
所以
y
1 2
，所以函数的值域为
1 2
,
.
（3）令 t＝ 1 x ( t 0 ),则 x 1 t 2 ；则 y 2 2t2 4t 2 t 12 4
，因为 t 0 ，所以 y 4 ，则值域为 , 4 ．
的定义域和值域.
题型九：已知值域求参数
1、若一次函数 f (x) 的定义域为[3, 2] ，值域为[2, 7] ，则 f (x) ________．
2、若函数
y
x2
3x
4
的定义域为
0,
m
，值域为
25 4
,
4
，则
函数的值域知识点及例题解析
函数的值域知识点及例题解析1. 函数的值域函数的值域是指所有可能的函数输出值的集合。
在确定函数的值域时，需要考虑函数的定义域和函数本身的性质。
2. 确定函数的值域的方法方法一：穷举法可以通过穷举函数定义域内的所有可能输入值，然后计算对应的函数输出值，最终得出所有的函数输出值组成的集合作为函数的值域。
方法二：分析法可以通过分析函数的性质，使用数学方法确定函数的值域。
下面是一些常见的情况：- 对于一次函数：函数的值域是整个实数集。
- 对于二次函数：如果开口向上，则值域是大于等于最低点的y 值；如果开口向下，则值域是小于等于最顶点的 y 值。
- 对于指数函数：如果底数大于1，则值域是大于0 的实数集；如果底数介于 0 和 1 之间，则值域是小于 1 的正实数集。
- 对于对数函数：底数为正数且不等于 1 时，值域是整个实数集。
3. 例题解析例题一已知函数 f(x) = x^2 + 1，求函数的值域。
解析：由于二次函数的值域取决于开口的方向，可以看出这是一个开口向上的二次函数。
因此，值域是大于等于最低点的 y 值。
最低点的 y 值为 1，所以函数的值域是大于等于 1 的实数集。
例题二已知函数 g(x) = 2^x，求函数的值域。
解析：由于指数函数的底数大于 1，所以值域是大于 0 的实数集。
例题三已知函数 h(x) = log2(x)，求函数的值域。
解析：由于对数函数的底数为正数且不等于 1，所以值域是整个实数集。
以上为函数的值域知识点及例题解析。
通过穷举法和分析法，我们可以确定函数的值域，根据函数的定义域和性质来推导函数的值域。
求函数值域常用的方法
求函数值域常用的方法函数的值域是指函数的所有可能取值构成的集合。
对于一个函数，我们常用以下几种方法来确定其值域：1.分析函数的定义域：一些函数在定义域上有一定的限制，比如有分母不能为零的情况，或者函数有特殊的定义域范围。
根据函数的定义域，我们可以确定函数的值域的一部分。
2.分析函数的图像：根据函数的图像，我们可以大致估计出函数的值域。
通过观察函数在图像上的极值点、拐点和变化趋势等特征，可以推测出函数的值域的大致范围。
3.求解方程或不等式：当函数是一个代数式或由方程或不等式定义时，我们可以通过求解方程或不等式来确定函数的取值范围。
特别地，当函数是一个一次函数或二次函数时，我们可以直接求解方程或不等式来确定函数的值域。
4. 探索函数的性质和特点：对于一些特殊函数，如三角函数、对数函数和指数函数等，我们可以探索其性质和特点来确定函数的值域。
比如，三角函数的值域是有界的，而指数函数的值域是 $(0,+\infty)$。
5.使用中值定理和最值定理：中值定理和最值定理是微积分中的重要定理，它们可以用来确定函数在给定区间上的取值范围。
通过计算函数在区间端点和驻点处的函数值，结合中值定理和最值定理的条件，可以确定函数在该区间上的值域。
6.应用函数的定义和性质：根据函数的定义和性质，我们可以通过推理来确定函数的值域。
比如，当函数是一个连续函数且定义域是一个闭区间时，根据闭区间上连续函数的性质，可以确定其值域是一个闭区间。
7.利用图像和数值实验：我们可以通过绘制函数的图像、使用计算工具或编程语言来进行数值实验，找出函数在一些特定区间内的取值范围。
通过增加计算精度或缩小实验区间，可以逐步逼近函数的值域。
需要注意的是，函数的值域不一定是一个连续的区间，它可以是一个离散的集合或多个不相交的区间的并集。
在确定函数的值域时，要考虑函数的定义和性质，综合运用以上方法，灵活选择适用的方法来分析函数的取值范围。
高考数学重难点第三讲 函数值域的常见求法8大题型(原卷及答案)(全国通用)(学生专用)
重难点第三讲函数值域的求法8大题型——每天30分钟7天掌握函数值域的求法8大题型【命题趋势】函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、求函数值域的常见方法1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2、逐层法：求12(())n f f f x 型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“(0)x y ax bx c a =++≠”或“2[()]()(0)y a f x bf x c a =++≠”的函数均可用配方法求值域；4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有（1）y=或y ax b=+t =”换元；（2）y ax b =+±（,,,a b c d 均为常数，0,0a c ≠≠）t =”换元；（3）y bx =±型的函数，可用“cos ([0,])x a θθπ=∈”或“sin ([,])22x a ππθθ=∈-”换元；5、分离常数法：形如(0)ax by ac cx d+=≠+的函数，应用分离常数法求值域，即2()ax b a bc ady d cx d c c x c+-==+++，然后求值域；6、基本不等式法：形如(0)by ax ab x=+>的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a b +≥求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①0,0a b >>；②a b +（或ab ）为定值；③取等号的条件为a b =，三个条件缺一不可；7、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）。
高考数学热点问题专题练习——函数值域的求法知识归纳及典型例题分析
求函数的值域一、基础知识： 1、求值域的步骤： （1）确定函数的定义域（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤） （3）计算出函数的值域2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌握一些常用的思路与工具。
（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。
若()f x 为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。
（2）函数的图像（数形结合）：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然 （3）换元法：()f x 的解析式中可将关于x 的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。
（4）最值法：如果函数()f x 在[],a b 连续，且可求出()f x 的最大最小值,M m ，则()f x 的值域为[],m M注：一定在()f x 连续的前提下，才可用最值来解得值域3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归。
（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域（2）二次函数（2y ax bx c =++）：二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解。
（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）例1：函数()2f x x =的值域是（ ）A. [)0,+∞B. 17,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭思路：解析式中只含一个根式，所以可将其视为一个整体换元，从而将解析式转为二次函数，求得值域即可。
解：()f x 的定义域为[)1,+∞令t =0t ∴≥ ，则21x t =+()2211521248y t t t ⎛⎫∴=+-=-+ ⎪⎝⎭[)0,t ∈+∞()f x ∴的值域为15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例2（1）函数113x y -=的值域为（ ）A. ()0,+∞B. ()()0,11,+∞C. {}|1x x ≠D. ()1,+∞（2）函数()[]1428,2,2x x f x x +=--∈-的值域为__________（3）函数1ln 1x x e y e +=-的值域为__________思路：（1）本题可视为()3f x y =的形式，所以可将指数进行换元，从而转化为指数函数值域问题：令11t x =-，则()(),00,t ∈-∞+∞，所以可得()()30,11,t y =∈+∞（2）如前文所说，()()214282228x x x x f x +=--=-⋅-，将2x 视为一个整体令2x t =，则可将其转化为二次函数求得值域 解：()()214282228xx x x f x +=--=-⋅-令2x t =[]2,2x ∈-1,44t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦()222819y t t t =--=-- ()f x ∴的值域为[]9,0-（3）所求函数为()ln f x ⎡⎤⎣⎦的形式，所以求得11x x e e +-的范围，再取对数即可。
高中数学：求函数值域的10种常见方法
求函数的值域（常用）一、用非负数的性质例1：求下列函数的值域：（1）y=-3x 2+2;（2）≥-1).练1：函数2()1f x x x =+-的最小值是_________________．练2：求函数y =练3：求函数的值域。
练4：（1）232+-=x x y （2）]8,5[,452∈+-=x x x y（3）2234x x y -+-=]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=二、分离常数法对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．例1：求下列函数的值域：（1）y=21x x ++（2）y=2211x x -+.练1：求下列函数的值域：（1）13222++=x x y （2）3214222++++=x x x x y三、利用函数单调性已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法． 例1：求函数y=3x+x 3的值域.练1：求函数122+-=xx y ()0>x 的值域.练2：求函数x x y 213--=的值域.四、利用判别式特殊地，对于可以化为关于x 的二次方程a(y)x 2+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)，可利用0()0,a y y x ∆≥≠且求出的最值后,要检验这个最值在定义域是否具有相应的值． 例1：求函数y =234x x +的最值．练1：利用判别式方法求函数222231x x y x x -+=-+的值域．五、利用换元法求值域有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑． 例1：求函数的值域。
练1：求()6log 62log 2222++=x x y 的值域.1x x y -+=练2：设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+的值域.练3：求函数的值域．练4：求函数x x y 213--=的值域.六：判别式法例1：求函数的值域。
七、利用数形结合数形结合是解数学问题的重要思想方法之一，求函数值域时其运用也不例外． 例1：若62--=x x y ,求y 的最大、最小值．练1：求函数342+-=x x y 的值域．22x 1x x 1y +++=练2：求函数186122+-++=x x x y 的值域．练3：若（求x-y 的最大、最小值．八、利用已知函数的有界性． 例1：求函数y=25243x x -+的值域.练1：求函数的值域。
高中数学函数值域的种求法总结
高中数学函数值域的种求法总结高中数学中，函数值域是指函数在定义域内所有可能的取值的集合。
求函数值域是解决各类函数问题的重要方法之一、下面将总结高中数学中常用的求函数值域的11种方法。
1.利用定义法：根据函数的定义，直接求解函数的取值范围。
例如，对于函数f(x)=x^2，由于平方永远非负，所以其值域为[0,+∞)。
2. 利用图像法：通过绘制函数的图像，观察图像的上下界即可求得函数的值域。
例如，对于函数 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的取值范围在[-1, 1]之间，故其值域为[-1, 1]。
3.利用对称性：对于一些具有对称性的函数，可以利用函数的对称性来快速求解其值域。
例如，对于奇函数f(x)=x^3，由于x^3关于原点对称，故其值域为整个实数轴。
4.利用函数的性质：通过函数的特点和性质来求解其值域。
例如，对于指数函数f(x)=a^x，由于指数函数永远大于0，所以其值域为(0,+∞)。
5. 利用最值的求解方法：对于具有最值的函数，可以通过求解最值来确定函数的值域。
例如，对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0，由于 a > 0，故二次函数的开口向上，函数的最小值为顶点的 y坐标，可以通过求解顶点坐标来确定函数的值域。
6.利用函数的递增性或递减性：对于递增函数或递减函数，可以根据函数递增性或递减性来求解其值域。
例如，对于递增函数f(x)=2x+1，由于斜率大于零，函数单调递增，故值域为(-∞,+∞)。
7. 利用函数的周期性：对于具有周期性的函数，可以利用函数的周期性来求解其值域。
例如，对于正弦函数 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的值在一个周期内是重复的，故其值域为 [-1, 1]。
8. 利用函数的复合性：对于复合函数，可以将函数拆解成多个简单的函数，然后求解每个简单函数的值域，最后将值域组合起来得到复合函数的值域。
例如，对于函数 f(x) = sqrt(x^2 + 1)，可以拆解成 f(x) = g(h(x)), 其中 g(x) = sqrt(x) 和 h(x) = x^2 + 1，然后求解 g(x) 和h(x) 的值域，最后得到 f(x) 的值域。
高考微专题求函数值域的14种方法归纳梳理
求函数值域的14种方法大盘点题型1 观察法例题1 函数=)(x f ()111x x -- 的最大值是（ ）A .45 B . 54 C . 34 D. 43【解析】第一步，观察函数中的特殊函数()()221111111324f x x x x x x ===---+⎛⎫-+⎪⎝⎭ 第二步，利用二次函数的最值和不等式得到函数的值域：2133()244x -+≥，所以()f x 的最大值是43，选D. 变式1 函数x x f 323)(-+=的值域为( )。
A 、),0[+∞B 、),1[+∞C 、),2[+∞D 、),3[+∞ 【解析】032≥-x，故3323≥-+x ，∴)(x f 值域为),3[+∞，选D 。
题型2 单调性法例题2 求函数y =【解析】y =1x ≥，故y =是减函数，因此当1x =时，max y =0y >，∴(y ∈。
变式1 求函数的值域.【解析】第1步，将函数化成基本初等函数()x x f 21log =的形式：令()20532≤≤+-=x x x μ，所以=y μ21log第2步，讨论函数()20532≤≤+-=x x x μ的单调性：因为532+-=x x μ；所以532+-=x x μ在⎥⎦⎤⎢⎣⎡230，上是减函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡223，上是增函数； 第3步，讨论函数()()53log 221+-=x x x f 的单调性：又因为=y μ21log 在定义域上是减函数；所以()()53log 221+-=x x x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡230，上是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡223，上是减函数； 第四步，根据单调性得出函数的最值，进而得出值域： 所以=max f 411log 21，5log 21min =f ，所以函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡411log 5log 2121，。
变式2 求函数xx y 2221+-⎪⎭⎫⎝⎛=的值域【解析】第1步，将函数化成基本初等函数()xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=21的形式：令x x 22+-=μ，所以μ⎪⎭⎫⎝⎛=21y第2步，讨论函数x x 22+-=μ的单调性：因为x x 22+-=μ；所以x x 22+-=μ在[]1，∞-上是增函数，在[]∞+，1上是减函数； 第3步，讨论函数xx y 2221+-⎪⎭⎫⎝⎛=的单调性：又因为μ⎪⎭⎫⎝⎛=21y 在定义域上是减函数；212()log (35)(02)f x x x x =-+≤≤所以xx y 2221+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=在[]1，∞-上是减函数，在[]∞+，1上是增函数； 第四步，根据单调性得出函数的最值，进而得出值域： 所以21min =f ，所以函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+，21。
求函数值域的8种方法带例题
求函数值域的8种方法带例题嘿，伙计们！今天我们来聊聊一个很有趣的话题——求函数值域的8种方法。
你们知道吗，学习数学的时候，我们经常会遇到一些让我们头疼的问题，比如求一个函数的值域。
别着急，我今天就来教你们8种简单易懂的方法，让你轻松搞定这个难题。
我们来看第一种方法：观察法。
这种方法很简单，就是直接观察函数在哪些区间内取值。
比如，我们来看一个例子：求函数f(x) = x^2在区间[-1, 2]内的值域。
我们可以看到，当x = 0时，f(x) = 0;当x = 1时，f(x) = 1;当x = 2时，f(x) = 4。
所以，这个函数在这个区间内的值域是[0, 4]。
接下来，我们来看第二种方法：图像法。
这种方法需要用到一些图形工具，比如Excel或者Python的matplotlib库。
我们可以通过绘制函数的图像来直观地看到函数在哪些区间内取值。
比如，我们还是以f(x) = x^2为例。
我们可以在Excel中输入x和f(x)的值，然后通过“插入”->“散点图”功能绘制出函数图像。
从图像中，我们可以看出函数在[-1, 0]和[2, +\infty)内都单调递增，所以这两个区间都是函数的值域。
而在[0, 2]内，函数是先单调递减再单调递增的，所以这个区间也是函数的值域。
因此，这个函数的值域是[0, 4]。
第三种方法：分段法。
这种方法适用于那些在某个区间内单调递增或单调递减的函数。
比如，我们还是以f(x) = x^2为例。
我们可以发现，当x在[-1, 0]和[2, +\infty)内时，函数都是单调递增的；而当x在[0, 2]内时，函数是先单调递减再单调递增的。
所以，我们可以将这个问题分成两个子问题：求f(x)在区间[-1, 0]和[2, +\infty)内的值域；以及求f(x)在区间[0, 2]内的值域。
通过分段法，我们可以分别求出这两个子问题的解，然后将它们合并起来得到原问题的解。
因此，这个函数的值域是[0, 4]。
求函数值域的常见方法
求函数值域的常见方法函数的值域是指函数所有可能的输出值组成的集合。
确定函数的值域可以帮助我们了解函数的性质和特点，进而进行函数的图像绘制、解方程、求极限等各种数学问题。
以下是几种求函数值域的常见方法：1.列表法：将函数的所有可能的输出值写成一个列表。
通常使用这种方法求值域时，要先求出函数的定义域，再根据定义域进行函数运算。
例如，对于函数f(x)=x^2-1，定义域是实数集R。
我们可以取一些实数作为输入值，计算出相应的函数值，然后将结果列成一个列表。
根据计算得到的结果，我们可以得知函数的值域是[-1,+∞)。
2.解析法：利用函数的解析表达式，通过对函数进行分析和推理，求出函数的值域。
这种方法通常适用于简单的多项式函数、指数函数和对数函数等。
例如，对于函数f(x)=x^2，可以通过分析发现，对于任意实数x，x^2的值都是非负的。
因此，函数的值域是[0,+∞)。
3. 图像法：绘制函数的图像，通过观察图像的形状和特点来确定函数的值域。
这种方法适用于各种函数，特别是复杂函数。
当函数的图像在已知定义域内是连续的、单调的、有界的时候，可以通过观察图像的极值点、端点和趋势来确定函数的值域。
例如，对于函数f(x) = sin(x)，我们可以绘制出函数的图像，观察到正弦函数的值在[-1,1]之间变化，因此函数的值域是[-1,1]。
4.推导法：利用函数的性质和数学定理来推导函数的值域。
这种方法通常适用于特殊的函数，如三角函数、指数函数和对数函数等。
例如，对于函数f(x)=e^x，利用指数函数的性质，我们可以得知e^x在定义域内是一个单调递增的正值函数，因此函数的值域是(0,+∞)。
5.逆映射法：如果函数有反函数，可以通过求反函数的定义域来确定原函数的值域。
这种方法适用于有反函数的函数。
例如，对于函数f(x)=x^2，它的反函数是f^(-1)(x)=√x。
我们可以求出反函数的定义域是[0,+∞)，因此原函数的值域是[0,+∞)。
高考数学函数求值域的答题方法
高考数学函数求值域的答题方法大全如下：一、观察方法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√ 2-3倍。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√2-3x的值域。
解决方案：从算术平方根的性质可知：√ 2-3倍≥ 0，所以3+√ 2-3倍≥ 3.函数的取值范围为{y∣ Y≥ 3}点评：算术平方根具有双重非负性，即：1被开方数的非负性，2值的非负性。
这个问题是通过直接观察算术平方根的性质来解决的。
这种方法对于求一类函数的值域简单明了。
这是一个聪明的方法。
练习：找到函数y=[x]0的值范围≤ 十、≤ 5.回答：取值范围为：{0,1,2,3,4,5}二.反函数法当函数的反函数存在时，其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=x+1/x+2的值域。
拨号：首先找到原始函数的反函数，然后找到其定义字段。
解：显然函数y=x+1/x+2的反函数为:x=1-2y/y-1,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈r｝。
注释：使用反函数方法找到原始函数定义域的前提是原始函数有一个反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=10x+10-x/10x-10-x的值域。
答案：函数的值域为{y∣y1｝三、匹配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域示例3：查找函数y=√ - x2+X+2。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解决方案：从-x2+X+2开始≥ 0，可以看出函数的定义域是x∈ [- 1,2]. 此时，-x2+X+2=-X-1/22+9/4∈ [0, 9 / 4] х 0 ≤√ - x2+X+2≤ 3/2，函数的取值范围为[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
匹配法是数学中一种重要的思维方法。
练习：找到函数y=2x-5+√ 15-4x答案：数值范围为{y∣ Y≤ 3}四.判别式法如果可以将其转化为关于一个变量的二次方程的分数函数或无理函数，则可以通过判别法得到该函数的取值范围。
高中函数值域求法
专题03 函数值域求法小结一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数）1、求242−+−=x y 的值域。
2、求函数111y x =++的值域。
二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域）1、求函数][)4,0(422∈+−−=x x x y 的值域。
说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(≥x f 。
2、求函数342−+−=x x e y 的值域。
三、反解法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型）1、求函数11+−=x x e e y 的值域。
四、判别式法1、求函数3274222++−+=x x x x y 的值域。
2、求函数2212+++=x x x y 的值域。
五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等）1、求函数x x y 41332−+−=的值域。
注意：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。
2、试求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的值域。
六、数形结合法（一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域）1、求函数xx y cos 2sin 3−−=的值域。
2、求函数13y x x =−+−的值域。
七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值。
（如：ab b a ab b a 2,222≥+≥+），利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取""=成立的条件。
）说明：利用均值不等式解题时一定要注意“一正，二定，三等”三个条件缺一不可。
1、当0>x 时，求函数248)(x x x f +=的最值，并指出)(x f 取最值时x 的值。
高考数学函数值域的若干求法举例
函数是中学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。
函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是的常见的题型。
下面就函数的值域的求法，举例说如下。
一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）其定义域为y≠1的实数故函数y的值域为｛y∣y≠1y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2函数的值域是[03/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
函数值域的求法及例题
函数值域的求法在函数概念的三要素中，定义域和对应法则是最基本的，值域是由定义域和对应法则所确定，因此，研究值域仍应注重函数对应法则的作用和定义域对值域的制约，以下试举例说明常用方法.[例1]：求下列函数的值域 (1)y ＝1－2x （x ∈R ） (2)y ＝｜x ｜－1 x ∈{－2，－1，0，1，2} (3)y ＝x 2＋4x ＋3 （－3≤x ≤1） (4)y ＝｜x ＋1｜－｜x －2｜(5)y ＝2x －3＋134-x(6)y ＝2224)1(5+++x x x(7)y ＝521+-x x(8)y ＝1223222++--x x x x(9)y ＝3－2x －x 2x ∈[－3，1](10)y ＝21322+-x x分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域. 对于(1)(2)可用“直接法”根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域. 对于(3)(4)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即“图象法”. 对于(5)(6)可借用整体思想利用“换元法”求得值域.对于(7)可将其分离出一个常数，即利用“分离常数法”求得它的值域. 对于(8)可通过对“Δ”的分析，即利用“判别式”法求得其值域.对于(9)(10)可“通过中间函数的值域去求所求函数的值域”这一方法即“中间媒介法”求得其值域.解：(1)y ∈R(2)y ∈{1，0，－1}(3)画出y ＝x 2＋4x ＋3（－3≤x ≤1）的图象，如图所示，当x ∈[－3，1]时，得y ∈[－1，8](4)对于y ＝｜x ＋1｜－｜x －2｜的理解，从几何意义入手，即利用绝对值的几何意义可知，｜x ＋1｜表示在数轴上表示x 的点到点－1的距离，｜x －2｜表示在数轴上表示x 的点到点2的距离，在数轴上任取三个点x A ≤－1，－1＜x B ＜2，x C ≥c ，如图所示，可以看出｜x A ＋1｜－｜x A －2｜＝－3－3＜｜x B ＋1｜－｜x B －2｜＜3，｜x C ＋1｜－｜x C －2｜＝3，由此可知，对于任意实数x ，都有－3≤｜x ＋1｜－｜x －2｜≤3所以函数y ＝｜x ＋1｜－｜x －2｜的值域为y ∈[－3，3](5)对于没有给定自变量的函数，应先考查函数的定义域，再求其值域.∵4x －13≥0 ∴x ∈[413，＋∞)令t ＝134-x 则得：x ＝4132+t∴y ＝21t 2＋t ＋27∴y ＝21（t ＋1）2＋3∵x ≥413∴t ≥0根据二次函数图象可得y ∈[27，＋∞)(6)∵函数定义域为x ∈R 由原函数可化得：y ＝22222224)1(5)1()1(5+++=+++x x x x x x＝2222222222)1(11)1(5)1()1(5+-+++=+++x x x x x x ＝111)1(5222++-+x x 令t ＝112+x∵x ∈R ∴t ∈(0，1] ∴y ＝5t 2－t ＋1＝5（t －101）2＋2019根据二次函数的图象得当t ＝101时y min ＝2019当t ＝1时，y max ＝5 ∴函数的值域为y ∈[2019，5](7)∵y ＝－21＋5227+x∵5227+x ≠0 ∴y ≠－21∴函数y 的值域为y ∈（－∞，－21）∪（－21，＋∞） (8)由y ＝1223222++--x x x x 得x ∈R 且可化为：（2y －1）x 2＋2（y ＋1）x ＋（y ＋3）＝0 ∴当y ≠21时，Δ＝[2（y ＋1）]2－4（2y －1）（y ＋3）≥0 ∴y 2＋3y －4≤0 ∴－4≤y ≤1且y ≠21 又当y ＝21时，2（1＋21）x ＋（21＋3）＝0 得：x ＝－67，满足条件∴函数的值域为y ∈[－4，1] (9)∵－3≤x ≤1 ∴－2≤x ＋1≤2∴｜x ＋1｜≤2即（x ＋1）2≤4∴y ＝3－2x －x 2＝－（x ＋1）2＋4∈[0，4] ∴函数值域为y ∈[0，4](10)由y ＝21322+-x x 可知，x ∈R 且yx 2＋2y ＝3x 2－1即（3－y ）x 2＝2y ＋1若y ＝3时，则有0＝7，这是不可能的. ∴y ≠3 得：x 2＝y y -+312 ∵x 2≥0 ∴yy -+312≥0 解得：－21≤y ＜3 ∴函数值域为y ∈[－21，3) 评述：（1）求函数的值域是一个相当复杂的问题，它没有现成的方法可套用，要结合函数表达式的特征，以及与所学知识联系，灵活地选择恰当的方法.（2）对于以上例题也可以采取不同的方法求解每一个值域，请读者不妨试一试.（3）除以上介绍的方法求函数值域外，随着学生的继续学习，我们今后还会有“反函数”法、“单调性”法、“三角换元”法、“不等式”法及“导数法”等.二、二次函数（含参数）在区间上的值域问题 [例2]、求下列函数的值域 （1）]1,0(1222∈-++=x a ax x y（2）]1,[142+∈++=t t x x x y三、含参数的其他值域问题［例3］已知函数f (x )=xax x ++22,x ∈［1,+∞)(1)当a =21时，求函数f (x )的最小值.(2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.知识依托：本题主要通过求f (x )的最值问题来求a 的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想.错解分析：考生不易考虑把求a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.技巧与方法：解法一运用转化思想把f (x )>0转化为关于x 的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得.(1)解：当a =21时，f (x )=x +x21+2∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数，∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f (1)=27.(2)解法一：在区间［1，+∞)上，f (x )=xax x ++22 >0恒成立⇔x 2+2x +a >0恒成立.设y =x 2+2x +a ,x ∈［1,+∞)∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增，∴当x =1时，y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.解法二：f (x )=x +xa+2,x ∈［1,+∞)当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正；当a <0时，函数f (x )递增，故当x =1时，f (x )min =3+a ,当且仅当f (x )min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.练习一、选择题1.函数y =x 2+x1(x ≤－21)的值域是( )A.(－∞,－47]B.［－47,+∞)C.［2233,+∞)D.(－∞,－3223］2.函数y =x +x 21-的值域是( )A.(－∞,1] B.(－∞,－1]C.RD.［1,+∞)一、1.解析：∵m 1=x 2在(－∞,－21）上是减函数，m 2=x1在(－∞,－21）上是减函数， ∴y =x 2+x1在x ∈(－∞,－21)上为减函数,∴y =x 2+x1(x ≤－21)的值域为［－47，+∞).答案：B2.解析：令x 21-=t (t ≥0),则x =212t -.∵y =212t -+t =－21 (t －1)2+1≤1∴值域为(－∞,1].。
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【知识要点】一、函数值域的定义函数值的集合叫做函数的值域.二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.三、常见函数的值域1、一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R .2、二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，0a <时的值域为 24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦. 3、反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4、指数函数()01xy aa a =>≠且的值域为{}0y y >.5、对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R .6、幂函数3y x =的值域为R ，幂函数12y x ==[0,)+∞.7、正弦函数sin y x =、余弦函数cos y x =的值域为[]1,1-，正切函数tan y x =的值域为R . 四、求函数的值域常用的方法求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等 式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数（函数、数形结合、导数）”和“三不（基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式）”. 五、函数的值域一定要用集合或区间来表示.六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.【方法讲评】【例1】求函数3274222++-+=x x x x y 的值域.【点评】（1）分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断.（2）函数经过变形后可以化为0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式后，要注意对A 是否为零进行分类讨论，因为它不一定是一元二次方程.（3）判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是29,2-==y y ）代回方程检验，把不满足题意的舍去.【反馈检测1】求函数22221x x y x x -+=++的值域.【例2】已知52x ≥，求函数245()24x x f x x -+=- 的最小值.【解析】5,202x x ≥∴->.2245(2)1()2(2)2(2)x x x f x x x -+-+==--=21122(2)x x -+≥- 当且仅当2122(2)x x -=-，即3x =时，上式等号成立. 因为3x =在定义域内，所以最小值为1.【点评】（1）本题不能直接使用基本不等式，本题在利用基本不等式前，要对函数化简，要用到分离函数的方法对函数进行化简，再使用基本不等式.（2）很多函数在使用基本不等式之前都要进行化简和配凑，所以要注意观察函数的结构,再进行变形，再使用基本不等式.(3)利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可. 学科.网【例3】已知(0,)θπ∈，求函数sin(1cos )2y θθ=⋅+的最大值.【点评】（1）基本不等式有二元基本不等式((0,0)a b a b a b +≥>>=当且仅当时取等和三元不等式+(0,0,0,)a b c a b c a b c +≥>>>==当且仅当时取等.（2）基本不等式不仅适用于一般函数，也适用三角函数和其它所有函数，只要满足条件，就可以利用“一正二定三相等”来分析解答.【反馈检测2 】已知0>x ，0>y ，且291=+yx ，则y x +的最小值为___________.【反馈检测3】【2017浙江，17】已知α∈R ，函数a a xx x f +-+=|4|)(在区间[1，4]上的最大值是5， 则a 的取值范围是___________．【例 4】求函数212()log (35)(02)f x x x x =-+≤≤的值域.【点评】（1）本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.（2）判定函数的单调性常用的有定义法、图像法、复合函数分析法和导数法,注意灵活使用.【例5】求函数532log 10)x y x -=+≤≤的值域.【解析】令512x y -=，23log y =则12,y y 在[2,10]上都是增函数，所以12y y y =+在[2,10]上是增函数 当2x =时，8112log 2y 33min =-+=-当10x =时，339log 2y 35max =+=故所求函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,81。
【点评】（1）如果能确定函数的单调性时，可以使用函数的单调性求函数的值域.（2）本题中利用了这样一个性质：增（减）函数+增（减）函数=增（减）函数.（3）本题512x y -=，23log y =函数，利用到了复合函数的单调性,所以要对函数单调性的判定方法比较熟练，才能做到游刃有余.【反馈检测4】求函数14)3y x x =≤的值域.【例6】求函数14y x x =-++的值域.【点评】(1)画函数的图像，要先化简解析式，再画出函数的图像.(2)本题也可以利用重要的绝对值不等式得到函数的最值，|1||4||(1)(4)|5x x x x -++≥--+=，所以函数的最小值为5.（3）对于绝对值函数，一般利用零点讨论法把函数化成分段函数，再作图.【例7】 如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[]t t ，+1上，求f x ()的最小值.图1如图2所示，若顶点横坐标在区间[]t t ，+1上时，有t t ≤≤+11，即01≤≤t .当x =1时，函数取得最小值f x f ()()min ==11.图2如图3所示，若顶点横坐标在区间[]t t ，+1右侧时，有t +<11，即t <0.当x t =+1时，函数取得最小值f x f t t ()()min =+=+112图3综上讨论，f x t t t t t ()(),,min=-+>≤≤+<⎧⎨⎪⎩⎪1111011022 【点评】二次函数在闭区间上的最值问题，是一种较典型的问题.如果对称轴和区间的位置关系不能确定，常利用分类讨论和数形结合分析解答.【例8】求函数xxy cos 2sin 3--=的值域.因为直线和圆相切，所以613k ±=∴=所以函数的值域为 【点评】（1）对于某些具有明显几何意义的函数，我们可以利用数形结合的方法求该函数的值域.先找到函数对应的形态特征，再求该函数的值域.（2）由于1212y y y x x -=-对应着两点1122(,),(,)x y x y 之间的斜率（差之比对应直线的斜率），所以本题可以利用斜率分析解答.【例9】设()f x 是R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(2)(2),f x f x -=+且当[2,0]x ∈-时，x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．（1，2）B ．(2,)+∞ CD若在区间26]-（，内关于x 的方程x 2a f x log 0+-=（）恰有3个不同的实数解所以x 2a f x log +=（）恰有3个不同的实数解.则a a log 43log 83＜，＞，＜a ＜2. 故选D【点评】(1) 本题涉及到函数的奇偶性、周期性和零点问题，利用数形结合再好不过了. 所以要先根据已知条件作出函数()f x 的图像，再作出函数x 2ay=log + 的图像，数形结合分析解答. (2)对于函数的问题，大家要比较敏感，随时想到利用函数的图像来分析.【例10】点P 为抛物线：24y x =上一动点，定点(2,A ，则||PA 与P 到y 轴的距离之和的最小值为（ ）A.9B.10C.8D.5【解析】如图所示，焦点(1,0),F 过点p 作PN 垂直于准线l 交y 轴与点M ，MP 到y 轴的距离||1PM =-,当,,A P F 三点共线时，||||PA PF +取最小值，||9FA ==,所以||PA 与P 到y 轴的距离之和的最小值918-=.【点评】圆锥曲线中，涉及到焦半径时，要想到圆锥曲线的定义，把问题转化，优化解题.【例11】已知x ，y 满足约束条件1343530x x y x y ≥⎧⎪-≤-⎨⎪+≤⎩(1)求目标函数2z x y =-的最大值和最小值；(2)若目标函数z ax y =+取得最大值的最优解有无穷多个，求a 的值； (3)求22z x y =+的取值范围．【解析】(1)作出不等式组表示的可行域如图：作直线l ：20x y -=，并平行移动使它过可行域内的B 点，此时z 有最大值；过可行域内的C 点，此时z 有最小值，解134x x y =⎧⎨-=-⎩，得5(1,)3A ．解343530x y x y -=-⎧⎨+=⎩，得(5,3)B ．解13530x x y =⎧⎨+=⎩，得27(1,)5C ．∴max 2537z =⨯-=，min 27172155z =⨯-=-. (2)一般情况下，当z 取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线平行于边界直线，即直线z ax y =+平行于直线3530x y +=时，线段BC 上的任意一点均使z 取得最大值，此时满足条件的点即最优解，有无数个．又35BC k =-，∴3355a a -=-∴=.【点评】线性规划的问题，就是数形结合研究问题的典型.线性规划解答问题的一般步骤是（1）根据题意，设出变量,x y ；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数）；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数）在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案. 【反馈检测5】若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线22y x =的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则||||PA PF +取得最小值时，点P 的坐标是 .【例12】如图，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）ABC．3 DAVCB【点评】（1）由于蚂蚁在沿着曲面爬行，所以蚂蚁走过的路线时曲线，要直接求，比较困难，怎么办？我们这时可以把曲面展开，变成平面，再利用解三角形的知识来分析解答，问题迎刃而解. （2）本题利用了转化化归的思想，把空间的问题化成平面的问题，问题迎刃而解.【反馈检测6】如图，圆锥的底面圆直径AB 为2，母线长SA 为4，若小虫P 从点A 开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA 的中点C ，则小虫爬行的最短距离为______．【例12】已知函数()ln f x x x =，2()(3)()xg x x ax e a R =-+-∈ （1）当5a =时，求函数()y g x =在1x =处的切线方程； （2）求()f x 在区间[,2]t t +(0)t >上的最小值．【解析】（1）当5a =时，()()()253,1x g x x x e g e =-+-=又()()232,x g x x x e '=-++故切线的斜率为()14.g e '=所以切线方程为：()41,y e e x -=-即43.y ex e =-（2）函数()f x 的定义域为()()0,,ln 1,f x x '+∞=+当x 变化时，()(),f x f x ' 的变化情况如下表：【点评】对于结构较复杂或高次的函数，一般利用导数法来研究函数的值域.先利用导数研究函数的单调性，再利用该函数的单调性画出函数的草图分析函数的值域.【例13】两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为xkm ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k k,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.（1）将y 表示成x 的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离;若不存在，说明理由.【解析】（1）如图,由题意知AC BC ⊥,22400BC x =-,224(020)400k y x x x =+<<-其中当x =0.065y =,所以9k =. 所以y 表示成x 的函数为2249(020)400y x x x=+<<-【点评】对于应用题，先要建立函数的模型，通过函数的模型，把一个实际问题转化成一个数学问题，再利用导数来研究函数的最值，最后再回到实际问题中去.【反馈检测7】已知函数2()axf x x e-=(0)a > ，求函数在[1,2]上的最大值．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第03讲：函数值域（最值）的常见求法（2）（判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法和导数法）参考答案【反馈检测1答案】[]1,5【反馈检测2答案】8【反馈检测2详细解析】1119191()2()()(10)(102222y x x y x y x y x y x y +=+⨯⨯=++=++≥+ 0,0198(22,69x y x y x y x y y x⎧⎪>>⎪⎪=+===⎨⎪⎪=⎪⎩当且仅当即时取到最小值8.【反馈检测3答案】9(,]2-∞【反馈检测3详细解析】[][]41,4,4,5x x x∈+∈，分类讨论：①当5a ≥时，()442f x a x a a x x x =--+=--，函数的最大值9245,2a a -=∴=，舍去； ②当4a ≤时，()445f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立；③当45a <<时，(){}max max 4,5f x a a a a =-+-+⎡⎤⎣⎦，则：4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或4555a a a a a a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得：92a =或92a < 综上可得，实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【反馈检测4答案】4(,]3-∞【反馈检测6详细解析】由题意知底面圆的直径2AB =，故底面周长等于2π． 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为0n ，【反馈检测7答案】当01a <<时，()f x 的最大值为24ae -，当12a ≤≤时，()f x 的最大值为224a e --，当2a >时，()f x 的最大值为ae-【反馈检测7详细解析】2()axf x x e -=(0)a >，∴122()2()(2)axax ax f x xex a e e ax x ---=+-=-+．③当22a>时，即01a <<时，()f x 在(1,2)上是增函数，∴2max [()](2)4a f x f e -== 综上所述，当01a <<时，()f x 的最大值为24a e -，当12a ≤≤时，()f x 的最大值为224a e --， 当2a >时，()f x 的最大值为a e -.古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。