2020届高中数学 5教师教案大全 3.(2.2.2 等差数列通项公式)
高中数学五第二章2.2.1等差数列的概念与通项公式【教案】
2。
2等差数列的概念与通项公式一、教学目标：1.知识目标：理解等差数列的概念,了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式。
2.能力目标：培养学生观察、归纳能力,在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认识；通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力3。
情感目标：①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力.②通过师生、生生的合作学习,增强学生团队协作能力的培养,增强主动与他人合作交流的意识.③体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。
二、教学重点：研究等差数列的概念以及通项公式的推导.教学难点；(1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
（2）等差数列的通项公式的推导过程及应用。
三、学情及导入分析：高一学生对数列已经有了初步的接触和认识,对方程、数学公式的运用具有一定技能，一开始就注意培养学生自主合作探究的学习习惯，学生思维比较活跃，课堂参与意识较浓。
本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念,再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.弄清楚等差数列与通项公式的含义以及通项公式的推导过程。
四、教学过程：教学环节教学内容师生活动设计意图复习旧知识，引入新知归纳抽象形成概念1、知识链接；数列的通项公式与递推关系.学生回答,引导温故知新.由复习引入,通过数学知识的内部提出问题.创设问题情景:1.下述数列有什么共同特点?根据下述数列的共同特点，可以给出等差数列的定义吗?能将以上的文字语言转换成数学符号语言吗？来源:学#科＃网Z＃X＃X#K]引例1：从0开始，将5的倍数从小到大排列，得到的数列？引例2：从1开始,将自引例1得出：5 、10 、15 、20 、25 、30 .。
..。
引例2得出:1 、2 、3 、4 、5 、6 、7.。
高中数学等差数列教案大全
高中数学等差数列教案大全一、教学目标1.理解等差数列的基本概念和相关术语。
2.能够推导等差数列通项公式。
3.掌握等差数列求和公式及其应用。
二、教学内容1. 等差数列的概念和相关术语等差数列的定义等差数列是一种特殊的数列，它的每一项与前一项的差相等。
这个差值称为等差数列的公差，通常用字母d表示。
相关术语•首项：等差数列中的第一项。
•公差：等差数列中相邻项之间的差。
•通项公式：等差数列中第n项的通项公式。
•前n项和：等差数列中前n项的和。
2. 推导等差数列通项公式等差数列通项公式可以表示任意一项，只要已知它是等差数列中的第几项即可。
接下来介绍如何推导等差数列通项公式。
推导步骤假设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为an。
推导通项公式的步骤如下：1.找规律：观察等差数列的前几项，列出它们之间的关系。
2.建立方程：将观察到的关系式写成一个方程。
3.解方程：解出通项公式。
例子若等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为an，则观察前几项可得：a₁, a₁+d, a₁+2d, a₁+3d, ...由此得出任意一项的通项公式为：an = a₁ + (n-1)d3. 掌握等差数列求和公式及其应用求和公式等差数列前n项和是一个关于n的二次函数，因此可以求出通项公式。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sn，则有：Sn = (a₁ + an) × n / 2将an代入上式，化简可得：Sn = n/2 ( 2a₁ + (n-1)d )应用等差数列求和公式的应用十分广泛，例如可以用来求某一个等差数列中的前n 项和，或者求某几项的和等问题。
三、教学方法在教学过程中，可以采用多种教学方法，例如板书演示、课堂讲解、课堂练习等，以帮助学生更好地掌握等差数列的概念和应用。
四、教学流程第一步：引入问题通过引入一些等差数列的实例，让学生感性理解等差数列的基本概念和相关术语。
第二步：讲解等差数列的定义和相关术语让学生了解等差数列的基本定义和相关术语。
人教版高中数学必修五教案 3.备课资料(2.2.2 等差数列通项公式)
备课资料 一、备用例题 【例1】 梯子最高一级宽33 cm ，最低一级宽为110 cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度. 解：设{a n }表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知a 1=33，a 12=110，n =12，所以a 12=a 1+(12-1)d ，即得110=33+11d ，解之，得d =7.因此a 2=33+7=40,a 3=40+7=47,a 4=54,a 5=61,a 6=68,a 7=75,a 8=82,a 9=89,a 10=96,a 11=103.答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm ，47cm ，54 cm ，61 cm ，68 cm ，75 cm ，82 cm ，89 cm ，96 cm ，103 cm.【例2】 已知c b a 1,1,1成等差数列，求证：a cb +，ba c +，cb a +也成等差数列. 证明：因为a 1，b 1，c 1成等差数列，所以ca b 112+=，化简得2a c=b (a +c)，所以有ac c a ac ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b 2222222)(++=+++=+++=+++ =bc a c a b c a ac c a +•=++=+22)()()(22.因而,a c b +,b a c +c b a +也成等差数列.【例3】 设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1=35，b 1=75，a 2+b 2=100，求数列{a n+b n}的第37项的值.分析：由数列{a n}、{b n}都是等差数列，可得{a n+b n}是等差数列，故可求出数列{a n+b n}的公差和通项.解：设数列{a n}、{b n}的公差分别为d1，d2，则(a n+1+b n+1)-(a n+b n)=(a-a n)+(b n+1-b n)=d1+d2为常数，所以可得{a n+b n}是等差数列.设其公差n+1为d，则公差d=(a2+b2)-(a1+b1)=100-(35+75)=-10.因而a37+b37=110-10×(37-1)=-250.所以数列{a n+b n}的第37项的值为-250.点拨:若一个数列未告诉我们是等差数列时，应先由定义法判定它是等差数列后，方可使用通项公式a n=a1+(n-1)d.但对客观试题则可以直接运用某些重要结论，直接判定数列是否为等差数列.【例4】在美国广为流传的一道数学题目是“老板给你两个加工资的方案：一是每年年末加1 000美元；二是每半年结束时加300美元，请你选择一种加薪方式”.一般不擅长数学的人，很容易选择前者，因为一年加一千美元总比两个半年共加600美元要多.其实，由于加工资是累计的时间稍长，往往会发现第二种方案更有利.例如：在第二年的年末，依第一种方案共可以加得1 000+2 000=3 000美元；而第二种方案共可以加得300+600+900+1 200=3 000美元，但到了第三年，第一方案共可加得6 000美元，第二方案则共加得6 300美元，显然多于第一种方案.第四年后会更多.因此，你若会在该公司干三年以上，则应选择第二方案.根据以上材料，解答下列问题： (1)如果在该公司干十年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加薪多少美元？(2)如果第二方案中的每半年加300美元改为每半年加a 美元.问a 取何值时，总是选择第二种方案比选择第一种方案多加薪？答案：(1)在该公司干10年，选择第二种方案比选项择第一种方案多加薪8 000美元.(2)当a 大于31000时，总是第二方案加薪多于第一种方案.【例5】 意大利的匹萨饼店的伙计们喜欢将饼切成形状各异的一块一块.他们发现，每一种确定的刀数，都可以有一个最多的块数.例如，切一刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，切3刀最多切成7块……问切n 刀，最多可切出几块?(要求学生发挥自己的聪明才智，课外认真思考，分清每一种确定的刀数，都可以有一个最多的块数，可先从少量的几刀去得出一些数据，再对数据加以分析，让学生学会归纳与总结，并能勇于联想、探索) 答案：121212++n n .二、阅读材料一个古老的数学课题 等差数列是一个古老的数学课题.一个数列从第二项起，后项减去前项所得的差是一个相等的常数，则称此数列为等差数列.在数学发展的早期已有许多人研究过数列这一课题，特别是等差数列.例如早在公元前2700年以前埃及数学的《莱因特纸草书》中，就记载着相关的问题.在巴比伦晚期的《泥板文书》中，也有按级递减分物的等差数列问题.其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目.现知第八兄弟分得6两，问相邻两兄弟相差多少？在我国公元五世纪写成的《张丘建算经》中，透过五个具体例子，分别给出了求公差、总和、项数的一般步骤.比如书中第23题(用现代语叙述)：（1）有一女子不善织布，逐日所织布按数递减，已知第一日织5尺，最后一日织1尺，共织了30日，问共织布多少？这是一个已知首项(a 1)、末项(a n )，以及项数(n )求总数(S n )的问题，对此，原书提出的解法是：总数等于首项加末项除2，乘以项数.它相当于现今代数里的求和公式：S n =(a 1+a n )·2n .印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪也得出了这个公式，并给出了求末项公式：a n =a 1+(n -1)d .（2）有一女子善于织布，逐日所织布按同数递增，已知第一日织5尺，经一月共织39丈，问每日比前一日增织多少？这是一个已知首项(a 1)，总数(S n )以及项数(n )，求公差(d )的问题，对此原书给出的解法是.1221--=n a n S d n 等价于现在的求和公式：2)1(21d n a n S n -+=.书中第1题：今有某人拿钱赠人，第一人给3元，第二人给4元，第三人给5元，其余依次递增分给.给完后把这些人所得的钱全部收回，再平均分配，结果每人得100元，问人数多少？ 这是一个已知首项(a 1)，公差(d )以及n 项的平均数(m)，求项数(n )的问题，对此原书给出的解法是d d a m n +-=)(21.我国自张邱建之后，对等差数列的计算日趋重视，特别是在天文学和堆栈求积等问题的推动下，从对一般的等差数列的研究发展成为对高阶等差数列的研究.在北宋沈括(1031～1095)的《梦溪笔谈》中，“垛积术”就是第一个关于高级等差数列的求积法.垛积术即“有限差分法”，我国古代用于天文历算和计算垛积.垛积术也就是高阶等差级数求和.我国古代，对于一般等差数列和等比数列，很早就有了初步的研究成果.《九章算术》中已经提出求等差数列各项以及已知首项、末项和项数求公差的问题，并用比例方法来解决.公元5世纪末的《张邱建算经》给出了等差数列求和公式：S=21n (a +1)与求公差的公式：)22(11a n S n d --=.南宋数学家杨辉，丰富和发展了沈括的成果，提出了诸如S=12+22+32+…+n 2=6n(n +1)(2n +1), S=1+3+6+10+…+2)1(+n n =61 n (n +1)(n +2)之类的垛积公式.北宋科学家沈括的长方台形垛积(如图)的求和公式：)(6]2()2[6a c n bc d a d b n S -++++=.元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》和《算学启蒙》中得到一系列重要的高阶等差数列求和公式.朱世杰的垛积根差术，全面地推进了宋元数学家在这方面的研究工作.。
《2.2.2 等差数列通项公式》 教学案 3-公开课-优质课(人教A版必修五精品)
《2.2.2 等差数列通项公式》 教学案 3教学目标1.明确等差中项的概念；2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题.教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.教学难点等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题. 教学过程导入新课问题 上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下什么样的数列叫等差数列？问题 等差数列{a n }的通项公式的内容是什么？公式：①d =a n -a n -1；②11--=n a a d n ；③mn a a d m n --=.你能理解与记忆它们吗？ 公式②11--=n a a d n 与③mn a a d m n --=记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之差).［合作探究］探究内容：如果我们在数a 与数b 中间插入一个数A ，使三个数a ，A ，b 成等差数列，那么数A 应满足什么样的条件呢？推进新课我们来给出等差中项的概念：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项. 根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项. 9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项.［方法引导］等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a，A，b成等差数列 2A=a+b，以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由a，A，b间的关系证得a，A，b成等差 数列. ［合作探究］问题在等差数列{a n}中，d为公差，若m，n，p，q∈N*且m+n=p+q，那么这些项与项之间有何种等量关系呢？若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q.问题你所得的这关系是归纳出来的，归纳有利于发现，这很好，但归纳不能算是证明！我们是否可以对这归纳的结论加以证明呢？问题由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列{a n}的各项中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和.另外，在等差数列中，若m+n=p+q，则上面两式的右边相等，所以a m+a n=a p+a q.同样地，我们还有：若m+n=2p，则a m+a n=2a p.这也是等差中项的内容.问题注意：由a m+a n=a p+a q推不出m+n=p+q，同学们可举例说明吗？［例题剖析］【例1】在等差数列{a n}中，若a1+a6=9，a4=7，求a3，a9.问题在等差数列中通常如何求一个数列的某项？【例2】某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4千米(不含4千米)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少元的车费？问题本题是一道实际应用题，它所涉及到的是什么知识方面的数学问题？课堂练习1.在等差数列{a n}中，(1)若a5=a，a10=b，求a15.解：由等差数列{a n}知2a10=a5+a15，即2b=a+a15，所以a15=2b-a.(2)若a3+a8=m，求a5+a6.解：等差数列{a n}中，a5+a6=a3+a8=m.(3)若a5=6，a8=15，求a14.解：由等差数列{a n}得a8=a5+(8-5)d，即15=6+3d，所以d=3.从而a14=a5+(14-5)d=6+9×3=33.(4)已知a1+a2+…+a5=30，a6+a7+…+a10=80，求a11+a12+…+a15的值.解：等差数列{a n}中，因为6+6=11+1，7+7=12+2，……所以2a6=a1+a11，2a7=a2+a12，……从而(a11+a12 +…+a15)+(a1+a2+…+a5)=2(a6+a7+…+a10)，因此有(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5)=2×80-30=130..［方法引导］此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质，因此，首先要熟练掌握等差数列的性质，其次要注意各基本量之间的关系及其它们的取值范围.课堂小结问题通过今天的学习，你学到了什么知识？有何体会？通过今天的学习，明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质. (让学生自己来总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合，培养学生的概括能力和语言表达能力)。
人教版高中数学必修⑤2.2《等差数列》教学设计
课题：必修⑤2.2等差数列三维目标：1．知识与技能（1）通过实例，理解等差数列、公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件；（2）了解等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项；（3）体会等差数列与一次函数的关系。
2．过程与方法（1）让学生对日常生活中实际问题分析，经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。
并引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；（2）引导学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的实际问题，在合作探究的过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究；（3）培养学生的观察能力，进一步提高学生的推理归纳能力；（4）培养学生分析问题、解决问题的能力与钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以与解题的规范性。
3．情态与价值观（1）通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；（2）借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗；（3）通过对数列知识的学习与探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神，并进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验。
教学重点：1．理解等差数列的概念与其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；2．会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。
教学难点：1．概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
2．等差数列通项公式与性质的灵活运用教具：多媒体、实物投影仪教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：一、双基回眸科学导入：★同学们，上两节课我们学习了数列的定义与相关的性质，下面，请同学们简单地回顾一下：什么是数列？什么是数列的项？数列有几种分类方法？什么是数列的通项公式？什么是数列的递推公式？★在日常生活中，我们经常会遇到一类特殊的数列。
苏教版数学必修五：2.2.2等差数列的通项公式(2)学案【教师版】
课题：§2.2.2 等差数列的通项公式（2） 总第____课时班级_______________ 姓名_______________【学习目标】掌握等差数列的性质【重点难点】教学重点：等差数列的性质的推导及应用.教学难点：等差数列的性质的理解、把握和应用..【学习过程】自主学习与交流反馈问题 (1)在等差数列{}n a 中102a a +与93a a +、102a a +与84a a +的关系是什么？你能得到更一般性的结论吗？(2)在等差数列{}n a 中102a a +、93a a +、84a a +与6a 的关系是什么？你能得到更一般性的结论吗？(2)在等差数列{}n a 中选出,...,,,10741a a a a 构成新的数列，该数列是等差数列吗？如果是公差是多少？你能得出更一般性的结论吗？知识建构与应用等差数列的性质：例1 (1)已知在等差数列{a n }中，a 7 + a 9 = 16，a 4 = 1，求a 12；(2)已知在等差数列{a n }中，已知a 3 = 10，a 9 = 28，求a 12.例2 已知数列{a n }和{b n }是两个无穷等差数列，公差分别为d 1，d 2，求证：数列{a n + b n }是等差数列，并求其公差.例3 已知在等差数列{}n a 中，满足4532=⋅a a ，1441=+a a .求数列的{}n a 的通项公式，并判断该数列的单调性.【巩固练习】1．已知在等差数列{}n a 中，20162=+a a ,则=9a ___________.2．已知在等差数列{}n a 中，3773=+a a ,则=+++8642a a a a ______.3．已知n n n a a a a a a 21321,,,,,,, +是公差为d 的等差数列，则(1)n a a a a 2642,,,, 是公差为 的等差数列；(2){}b ka n +是公差为 的等差数列．4．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为________．5．数列{a n }是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负．数列{a n }的公差d = __________.6．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则a 13 + 2a 6 + a 17 = _______.【回顾反思】六、作业批改情况记录及分析。
高中数学必修5公开课教案2.2.1 等差数列的概念、等差数列的通项公式
2.2等差数列2.2.1等差数列的概念、等差数列的通项公式沉着说课本节课先在详细比如的基础上引出等差数列的概念，接着用不彻底归纳法归纳出等差数列的通项公式，最终依据这个公式去进行有关核算.可见本课内容的组织旨在培育学生的调查剖析、归纳猜测、运用才能.结合本节课特色，宜选用辅导自主学习办法，即学生自动调查——剖析归纳——师生互动，构成概念——启示引导，演绎定论——拓宽敞开，稳固进步.在学法上，引导学生去联想、探求，一起鼓舞学生斗胆质疑，学会探求.在教育进程中，遵从学生的认知规则，充分调动学生的活跃性，尽可能让学生阅历常识的构成和发展进程，激起他们的学习爱好，发挥他们的主观能动性及其在教育进程中的主体位置.创设问题情境，引起学生学习爱好，激起他们的求知欲，培育学生由特别到一般的认知才能.使学生知道到日子离不开数学，相同数学也是离不开日子的.学会在日子中发掘数学问题，处理数学问题，使数学日子化，日子数学化.教育要点了解等差数列的概念，探求并把握等差数列的通项公式，会用公式处理一些简略的问题.教育难点 (1)等差数列的性质，等差数列“等差”特色的了解、把握和运用;(2)归纳通项公式推导进程中表现的数学思维办法，以及从函数、方程的观念看通项公式.教具预备多媒体课件，投影仪三维方针一、常识与技术1.了解公役的概念，清晰一个数列是等差数列的限制条件，能依据界说判别一个数列是等差数列;2.正确知道运用等差数列的各种表明法，能灵敏运用通项公式求等差数列的首项、公役、项数、指定的项.二、进程与办法1.经过对等差数列通项公式的推导培育学生的调查力及归纳推理才能；2.经过等差数列变形公式的教育培育学生思维的深刻性和灵敏性.三、情感情绪与价值观经过等差数列概念的归纳归纳，培育学生的调查、剖析材料的才能，活跃思维，寻求新知的立异知道.教育进程导入新课师上两节课咱们学习了数列的界说以及给出数列和表明数列的几种办法——罗列法、通项公式、递推公式、图象法.这些办法从不同的视点反映数列的特色.下面咱们看这样一些数列的比如：(讲义P41页的4个比如)1.0，5，10，15，20，25，…;2.48，53，58，63，…;3.18，15.5，13，10.5，8，5.5…;4.10 072，10 144，10 216，10 288，10366，….请你们来写出上述四个数列的第7项.生第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为10 510.师我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说.生这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规则性我得到了这个数列的第7项为78.师说得很有道理!我再请同学们仔细调查一下，看看以上四个数列有什么一起特征？我说的是一起特征.生1每相邻两项的差持平，都等于同一个常数.师作差是否有次序，谁与谁相减？生1作差的次序是后项减前项，不能倒置.师以上四个数列的一起特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)；咱们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列.这便是咱们这节课要研讨的内容.推动新课等差数列的界说：一般地，假如一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公役(常用字母“d”表明).（1）公役d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；（2）关于数列{a n}，若a n-a n-1=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N*，则此数列是等差数列，d叫做公役.师界说中的关键字是什么?(学生在学习中常常遇到一些概念，能否捉住界说中的关键字，是能否正确地、深化的了解和把握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环.因此教师应该教会学生怎么深化了解一个概念，以培育学生剖析问题、知道问题的才能)生从“第二项起”和“同一个常数”.师很好！师请同学们考虑：数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗？假如存在，别离是什么？生数列(1)通项公式为5n-5，数列(2)通项公式为5n+43，数列(3)通项公式为2.5n-15.5，….师好，这位同学用上节课学到的常识求出了这几个数列的通项公式，本质上这几个通项公式有一起的特色，无论是在求解办法上，仍是在所求的成果方面都存在许多共性，下面咱们来一起考虑.［协作探求］等差数列的通项公式师等差数列界说是由一数列相邻两项之间联系而得到的，若一个等差数列{a n}的首项是a1，公役是d，则据其界说可得什么?生a2-a1=d,即a2=a1+d.师对，持续说下去!生a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d;a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d;……师好！规则性的东西让你找出来了，你能由此归纳出等差数列的通项公式吗?生由上述各式能够归纳出等差数列的通项公式是a n=a1+(n-1)d.师很好!这样说来，若已知一数列为等差数列，则只需知其首项a1和公役d，便可求得其通项a n了.需求阐明的是：此公式仅仅等差数列通项公式的猜测，你能证明它吗?生前面已学过一种办法叫迭加法，我以为能够用.证明进程是这样的：由于a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,a n-a n-1=d.将它们相加便能够得到：a n=a1+(n-1)d.师太好了!真是活学活用啊!这样一来咱们经过证明就能够放心运用这个通项公式了.［教师精讲］由上述联系还可得：a m=a1+(m-1)d,即a1=a m-(m-1)d.则a n=a1+(n-1)d=a m-(m-1)d+(n-1)d=a m+(n-m)d,即等差数列的第二通项公式a n=a m+(n-m)d.(这是变通的通项公式)由此咱们还能够得到.［例题剖析］【例1】（1）求等差数列8，5，2,…的第20项;（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？假如是，是第几项？剖析（1）师这个等差数列的首项和公役别离是什么?你能求出它的第20项吗?生1这题太简略了!首项和公役别离是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又由于n=20，所以由等差数列的通项公式，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.师好!下面咱们来看看第（2）小题怎么做.剖析（2）生2由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式为a n=-5-4(n-1).由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)建立,解之,得n=100，即-401是这个数列的第100项.师方才两个同学将问题处理得很好，咱们做本例的意图是为了了解公式，本质上通项公式便是a n,a1,d,n组成的方程(独立的量有三个).阐明:(1)侧重当数列｛a n｝的项数n已知时，下标应是切当的数字；(2)实际上是求一个方程的正整数解的问题.这类问题学生曾经见得较少，可向学生着要点出本问题的本质：要判别-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式a n，判别是否存在正整数n，使得a n=-401建立.【例2】已知数列{a n}的通项公式a n=p n+q，其间p、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公役别离是什么？例题剖析：师由等差数列的界说，要断定{a n}是不是等差数列，只需依据什么?生只需看差a n-a n-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数.师说得对，请你来求解.生当n≥2时，〔取数列{a n}中的恣意相邻两项a n-1与a n(n≥2)〕a n-a n-1=(p n+1)-［p(n-1)+q］=p n+q-(p n-p+q)=p为常数,所以咱们说{a n}是等差数列，首项a1=p+q，公役为p.师这儿要要点阐明的是：1.若p=0，则{a n}是公役为0的等差数列，即为常数列q，q，q，….2.若p≠0，则a n是关于n的一次式，从图象上看，表明数列的各点(n，a n)均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公役p，直线在y轴上的截距为q.3.数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项a n=p n+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式.讲堂操练1.求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项.剖析：依据所给数列的前3项求得首项和公役，写出该数列的通项公式，然后求出所求项.解：依据题意可知a1=3，d=7-3=4.∴该数列的通项公式为a n=3+(n-1)×4，即a n=4n-1(n≥1，n∈N*).∴a4=4×4-1=15，a10=4×10-1=39.评述：关键是求出通项公式.2.求等差数列10，8，6，…的第20项.解：依据题意可知a1=10，d=8-10=-2.所以该数列的通项公式为a n=10+(n-1)×(-2)，即a n=-2n+12，所以a20=-2×20+12=-28.评述：要求学生留意解题过程的规范性与准确性.3.100是不是等差数列2，9，16，…的项？假如是，是第几项？假如不是，请阐明理由.剖析：要想判别一个数是否为某一个数列的其间一项，其关键是要看是否存在一个正整数n值，使得a n等于这个数.解：依据题意可得a1=2，d=9-2=7.因此此数列通项公式为a n=2+(n-1)×7=7n-5.令7n-5=100，解得n=15.所以100是这个数列的第15项.4.-20是不是等差数列0，，-7，…的项？假如是，是第几项？假如不是，请阐明理由.解：由题意可知a1=0，,因此此数列的通项公式为.令，解得.由于没有正整数解，所以-20不是这个数列的项.讲堂小结师（1）本节课你们学了什么？（2）要留意什么？（3）在日子中能否运用？(让学生反思、归纳、总结,这样来培育学生的归纳才能、表达才能)生经过本课时的学习，首先要了解和把握等差数列的界说及数学表达式a n-a n-1=d(n≥2);其非必须会推导等差数列的通项公式a n=a1+(n-1)d(n≥1).师本课时的要点是通项公式的灵敏运用，知道a n，a1，d，n中恣意三个，运用方程的思维，能够求出别的一个.最终，还要留意一重要联系式a n=a m+(n-m)d和a n=p n+q(p、q是常数)的了解与运用.安置作业讲义第45页习题2.2 A组第1题，B组第1题.板书设计等差数列的概念、等差数列的通项公式1.界说2.数学表达式例1.(略)3.等差数列的通项公式例2.(略) 操练。
等差数列的通项公式教案
等差数列的通项公式教案一、引言等差数列（Arithmetic Progression，简称AP）是数学中的重要概念之一，也是初高中数学课程的基础内容。
在学习等差数列时，学生需要掌握等差数列的定义、性质以及其通项公式的推导与应用。
本教案旨在通过清晰简洁的讲解和示例，帮助学生全面理解等差数列的通项公式。
二、等差数列的定义和性质1. 定义等差数列是指一个数列中的任意两个相邻项之差都相等的数列。
常用字母表示等差数列的一般项，一般记为an。
2. 性质（1）等差数列的通项公式是数列中任意一项与首项之间的差等于公差的n-1倍，即an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
（2）等差数列的前n项和Sn的计算公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。
三、等差数列通项公式的推导过程为了帮助学生理解等差数列通项公式的推导过程，我们以等差数列的首项a1和公差d为已知条件，通过数学推理的方式得出通项公式an = a1 + (n-1)d。
策略一：利用等差数列性质推导根据等差数列的性质，我们知道an与a1之间的差值是公差d的n-1倍。
即an - a1 = d * (n-1)。
移项得到an = a1 + (n-1)d，这就是等差数列的通项公式。
策略二：利用等差数列的递推关系推导根据等差数列的定义，我们知道an是一个数列中与a1的差等于d 的第n项。
因此，我们可以通过递推的方式来推导通项公式。
首先列举几个已知的等差数列项：a1、a2、a3，其中a2 = a1 + d，a3 = a2 + d。
可以发现，a2 - a1 = (a1 + d) - a1 = d，同理a3 - a2 = d。
可以推断，任意两项之间的差值都等于公差d。
我们可以使用递推关系来表示等差数列的各项，即an = a(n-1) + d。
通过不断逆推，可以将an表示为a(n-k) + kd。
而a(n-k)又可以用a(n-k-1) + d表示，以此类推，最终可以将an表达为a1 + (n-1)d。
等差数列及其通项公式教学设计
等差数列及其通项公式教学设计（一）【内容分析】本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教A版）第二章数列第二节等差数列第一课时．在上节学习数列的概念之后，转入特殊数列的学习，起着承前启后的作用．同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法．【教学目标】 1．知识与能力：理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式．了解等差数列的通项公式与一次函数的关系。
2．过程与方法：通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力．3．情感态度与价值观:通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣．【教学重点】①等差数列的概念；②等差数列的通项公式的推导过程及应用．【教学难点】①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义；②等差数列的通项公式的推导过程．【设计思路】本节采用启发式和探究式的教学方法。
从创设情境引导学生首先从三个现实问题概括出数组特点，通过观察归纳抽象出等差数列的概念；学生自主探究推导出等差数列的通项公式；借助例题进行巩固，小组合作总结反思。
【教学过程】一、创设情景，提出问题师：课本第36页的四个例题及第38页的例1，提出以上五个问题中的数蕴涵着5列数．通过实例创设等差数列的模型。
①0，5，10，15，20，25，…．②18，15．5，13，10．5，8，5．5．③10072，10144，10216，10288，10360.例1教师：把每列数记做数列的第一项，第二项，……。
观察后项与前项的差有什么规律？学生：然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等差数列概念．设计意图：从实例引入,实质是给出了等差数列的现实背景,目的是让学生感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型．二、观察归纳，引出概念教师：投出三个思考题思考1上述数列有什么共同特点？思考2根据上数列的共同特点，你能给出等差数列的一般定义吗？思考3你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗？学生：分组讨论，每小组找代表发言。
数学等差数列教案(优秀5篇)
数学等差数列教案（优秀5篇）高一数学等差数列教案篇一一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》(人教版)第二章数列第二节等差数列第一课时。
数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
一方面，数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面，学习数列也为进一步学习数列的`极限等内容做好准备。
而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。
同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。
二、学生学习情况分析教学内容针对的是高二的学生，经过高中一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也可能有一部分学生的基础较弱，所以在授课时要从具体的生活实例出发，使学生产生学习的兴趣，注重引导、启发学生的积极主动的去学习数学，从而促进思维能力的进一步提高。
三、设计思想1.教法⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。
⑴分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。
⑴讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
2.学法引导学生首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。
用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。
四、教学目标通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题；并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力。
高三数学必修五教案等差数列优秀4篇
高三数学必修五教案等差数列优秀4篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.2.2 等差数列的通项公式》5
如果一个数列首项a1，公差为d，则可逐次写出每一项，是否有简单方法——通项公式
（通项公式求法）
法1：
……
法2：
……
叠加，得
当n=1时，等式成立
三．数学应用
例1（1）求等差数列8，5，2，……，的第2021
（2）等差数列-5，-9，-13，……，的第几项是-401？
练一练：
1求等差数列3,7,11，……的第4,7,10项；
（1）2，（），4
（2）-12，（），0
（3）a，（），b
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
四．知识拓展
补：等差数列的图像：
1数列：-2，0，2，4，6，8，10，……
2数列：7，4，1，-，……2
3数列：4，4，4，4，4，4，4，4，……
五．板书设计
《等差数列的概念及通项公式》教学设计
教学目标：
1掌握等差数列的定义：
2能用定义判断数列是否为等差数列；
3会求等差数列的公差及通项公式
教学重点：等差数列的定义及等差数列的通项公式。
教学难点：等差数列通项公式及递推公式的理解。
教学过程：
教师活动
教学内容
学生活动
引入
引入概念
教师板书
教师引导
等差数列的图像为相应直线上的点
一．问题情境
1在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷彗星：1682,1758,1834,1910,1986，（）
2通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰顶的温度。
高度（m）
1
高中数学等差数列教案
高中数学等差数列教案一、教学目标：1. 了解等差数列的定义和性质；2. 熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；3. 能够应用等差数列的知识解决实际问题。
二、教学重点：1. 等差数列的定义和性质；2. 等差数列的通项公式和前n项和公式的推导和应用。
三、教学难点：1. 理解等差数列的通项公式和前n项和公式的推导过程；2. 能够运用等差数列的知识解决复杂问题。
四、教学内容：1. 等差数列的定义和性质；2. 等差数列的通项公式和前n项和公式；3. 等差数列的应用。
五、教学流程：1. 引入（5分钟）：通过举例引入等差数列的概念，让学生了解等差数列的特点和性质。
2. 概念讲解（15分钟）：介绍等差数列的定义和通项公式，帮助学生理解等差数列的基本概念。
3. 公式推导（20分钟）：详细讲解等差数列通项公式和前n项和公式的推导过程，让学生掌握公式的推导方法。
4. 练习与应用（30分钟）：让学生通过练习题和实际问题的应用来巩固所学知识，培养学生运用等差数列解决问题的能力。
5. 总结（5分钟）：回顾本节课的重点内容，强调等差数列的应用和重要性。
六、教学手段：1. 教师讲解；2. 课堂练习；3. 小组讨论；4. 案例分析。
七、教学反馈：1. 师生互动，及时解答学生问题；2. 布置作业，巩固学生所学知识；3. 定期进行测试，检验学生掌握情况。
八、教学资源：1. 教材；2. 多媒体设备；3. 练习题。
以上是高中数学等差数列的教案范本，希望对您有帮助。
祝您教学顺利！。
高中数学必修5高中数学必修5《2.2等差数列(二)》教案
2.2等差数列（二）一、教学目标1、掌握＂判断数列是否为等差数列＂常用的方法；2、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．3、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．二、教学重点、难点重点：等差数列的通项公式、性质及应用．难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题．三、教学过程（一）、复习1．等差数列的定义．2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+或 n a =pn+q (p 、q 是常数))3．有几种方法可以计算公差d:① d=n a －1-n a ② d=11--n a a n ③ d=m n a a m n -- 4. {a n }是首项a1=1, 公差d=3的等差数列, 若a n =2005,则n =( )A. 667B. 668C. 669D. 6705. 在3与27之间插入7个数, 使它们成为等差数列,则插入的7个数的第四个数是( )A. 18B. 9C. 12D. 15二、新课1．性质：在等差数列{a n }中,若m + n=p + q, 则a m + a n = a p + a q特别地,若m+n=2p, 则a m +a n =2a p例1. 在等差数列{a n }中(1) 若a 5=a, a 10=b, 求a 15;(2) 若a 3+a 8=m, 求a 5+a 6;(3) 若a 5=6, a 8=15, 求a 14;(4) 若a 1+a 2+…+a 5=30, a 6+a 7+…+a 10=80,求a 11+a 12+…+a 15.解: (1) 2a 10=a 5+a 15,即2b=a+a 15 , ∴a 15=2b ﹣a;(2) ∵5+6=3+8=11,∴a 5+a 6=a 3+a=m(3) a8=a 5+(8﹣3)d, 即15=6+3d, ∴d=3，从而a 14=a 5+(14-5)d=6+9×3=33.13030802)( )(2 )(2)()(2 ,22,1277 ,11166)4(5211076151211107652115121112271116=-⨯=+++-+++=+++∴+++=++++++++=+=∴+=++=+a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 从而2．判断数列是否为等差数列的常用方法：（1） 定义法: 证明a n -a n-1=d (常数)例2. 已知数列{a n }的前n 项和为S n =3n 2-2n, 求证数列{a n }成等差数列,并求其首项、公差、通项公式. 解: 当n=1时,a 1=S 1=3﹣2=1;当n ≥2时,a n =Sn ﹣S n ﹣1=3n 2﹣2n ﹣ [3(n ﹣1)2﹣2(n ﹣1)]=6n ﹣5;∵n=1时a 1满足a n =6n ﹣5,∴a n =6n ﹣5首项a 1=1,a n ﹣a n ﹣1=6(常数)∴数列{a n }成等差数列且公差为6.（2）中项法: 利用中项公式, 若2b=a+c,则a, b, c 成等差数列.（3）通项公式法: 等差数列的通项公式是关于n 的一次函数.例3. 已知数列}{n a 的通项公式为,q pn a n +=其中p 、q 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？分析：判定}{n a 是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看1--n n a a （n ＞1）是不是一个与n 无关的常数。
高中数学2.2.2等差数列通项公式教案苏教版必修5
等差数列的通项公式及应用一、学习目标 1．理解等差中项的概念和等差数列的几何意义2．进一步熟练掌握等差数列的通项公式3．培养学生的应用意识，提高学生的数学素质二、学法指导1.根据等差数列的通项公式推导出等差数列的一些性质.2.灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.三、课前预习1. 等差数列定义：____________________(数学表达式)等差数列通项公式：____________________2.等差中项：如果b A a ,,这三个数成等差数列，那么我们把A b 的等差中项，且=A ____________________四、课堂探究探究1. 如果一个数列{a n }的通项公式为：a n ＝kn ＋b,其中常数, 那么这个数列一定是等差数列吗?探究2. 若3个数成等差数列且知其和，若4其和，那么该如何设使得更加简便？探究 3.如果数列{a n }为等差数列，当m+n=p+q 时q p n m a a a a +=+？五．数学应用例1.第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,此后每4次,奥运会如因故不能举行,届数照算.(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式;(2)2008年北京奥运会是第几届?2050年举行奥运会吗?例2. .在等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 9＝28， 求a 12。
例3已知等差数列{}n a 的通项公式为12-=n a n ,求首项1a例4．已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83数.五、巩固训练（一）当堂练习1.某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成。
已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm 和25cm ，求中间四个滑轮的直径_______________________________.2.在等差数列{}n a 中，若,15,15754==+a a a 则2a =_____________3.已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为985，求这5个数。
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2.2.2 等差数列通项公式
从容说课
本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n 的一次型函数，那么这个数列必定是一个等差数列，使学生学会用图象与通项公式的关系解决某些问题
在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究.在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性
及其在教学过程中的主体地位，通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识
通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，通过等差数列的图象的应用，通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想，进一步渗透数形结合思想、函数
思想.通过引导学生积极探究，主动学习，提高学生学习积极性，也提高了课堂的教学效果
教学重点 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用
教学难点 等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
教具准备 多媒体及课件
三维目标 一、知识与技能
1.明确等差中项的概念
2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质
3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题
二、过程与方法
1.通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方
程思想
2.发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性
三、情感态度与价值观
1.通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点
2.通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣
教学过程
导入新课
师 同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下什么样的数列叫等差数列？
生 我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即a n -a n -1=d (n ≥2，n ∈N *)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d ”表示
师 对，我再找同学说一说等差数列{a n }的通项公式的内容是什么？
生1 等差数列{a n }的通项公式应是a n =a 1+(n -1)d
生2 等差数列{a n }还有两种通项公式：a n =a m +(n -m)d 或a n =p n +q(p 、q 是常数
师 好！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d 的公式：①d =a n -a n -1；
②11--=n a a d n ；③m
n a a d m n --=.你能理解与记忆它们吗？
生3 公式②11--=n a a d n 与③m n a a d m n --=记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之差
［合作探究］
探究内容：如果我们在数a 与数b 中间插入一个数A ，使三个数a ，A ，b 成等差数列，那么数A 应满足什么样的条件呢？
师 本题在这里要求的是什么
生 当然是要用a ，b 来表示数A
师 对，但你能根据什么知识求?如何求?谁能回答
生 由定义可得A -a =b -A ，即
2b a A +=
反之，若2
b a A +=，则A -a =b -A
由此可以得⇔+=2b a A a ,A ,b 成等差数列
推进新课
我们来给出等差中项的概念：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项
根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项
9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项
［方法引导］
等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a ，A ，b 成等差数列A =a +b ，以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由a ，A ，b 间的关系证得a ，A ，b 成等差数列
［合作探究］
师 在等差数列{a n }中，d 为公差，若m,n ,p,q ∈N *且m+n =p+q ，那么这些项与项之间有何种等量关系呢？ 生 我得到了一种关系a m +a n =a p +a q
师 能把你的发现过程说一下吗？
生 受等差中项的启发，我发现a 2+a 4=a 1+a 5,a 4+a 6=a 3+a 7
从而可得在一等差数列中，若m+n =p+q ，则a m +a n =a p +a q
师 你所得的这关系是归纳出来的，归纳有利于发现，这很好，但归纳不能算是证明！我们是否可以对这归纳的结论
加以证明呢？
生 我能给出证明，只要运用通项公式加以转化即可.设首项为a 1，则
a m +a n =a 1+(m-1)d +a 1+(n -1)d =2a 1+(m+n -2)d
a p +a q =a 1+(p-1)d +a 1+(q-1)d =2a 1+(p+q-2)d
因为我们有m+n =p+q,所以上面两式的右边相等，所以a m +a n =a p +a q
师 好极了！由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列{a n }的各项中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和.另外，在等差数列中，若m+n =p+q,则上面两式的右边相等，所以a m +a n =a p +a q
同样地，我们还有：若m+n =2p,则a m +a n =2a p .这也是等差中项的内容
师 注意：由a m +a n =a p +a q 推不出m+n =p+q ，同学们可举例说明吗
生 我举常数列就可以说明了
师 举得好!这说明在等差数列中，a m +a n =a p +a q 是m+n =p+q 成立的必要不充分条件.
［例题剖析］
【例1】 在等差数列{a n }中，若a 1+a 6=9，a 4=7，求a 3，a 9
师 在等差数列中通常如何求一个数列的某项？
生1 在通常情况下是先求其通项公式，再根据通项公式来求这一项
生2 而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道
公差，这在前面已研究过了
生3 本题中，只已知一项和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手
师好，我们下面来解，请一个同学来解一解，谁来解？
生4 因为{a n}是等差数列，所以a1+a6=a4+a3a3=9-a4=9-
所以可得d=a4-a3=7-
又因为a9=a4+(9-4)d=7+5×5=32，所以我们求出了a3=2，a9
【例2】(课本P44的例2)某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4千米(不含4千米)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少元的车费
师本题是一道实际应用题，它所涉及到的是什么知识方面的数学问题？
生这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决
师为什么？
生根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一
个等差数列来进行计算车费
师这个等差数列的首项和公差分别是多少
生分别是11.2，
师好，大家计算一下本题的结果是多少
生需要支付车费23.2元
(教师按课本例题的解答示范格式
评述：本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，做此题的目的是让大家学会从实际问题中抽象出等差数列的模型，用等差数列知识解决实际问题
课堂练习
1.在等差数列{a n}中，
(1)若a5=a,a10=b,求a15
解：由等差数列{a n}知2a10=a5+a15,即2b=a+a15,所以a15=2b-a
(2)若a3+a8=m,求a5+a6
解：等差数列{a n}中，a5+a6=a3+a8
(3)若a5=6,a8=15,求a14
解：由等差数列{a n}得a8=a5+(8-5)d,即15=6+3d,所以d
从而a14=a5+(14-5)d
(4)已知a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80，求a11+a12+…+a15的值
解：等差数列{a n}中，因为6+6=11+1,
所以2a6=a1+a11,2a7=a2+a12
从而(a11+a12a15)+(a1+a2+…+a5)=2(a6+a7+…+a10
因此有(a 11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5
=2×80-
2.让学生完成课本P45练习
教师对学生的完成情况作出小结与评价
［方法引导］
此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质，因此，首先要熟练掌握等差数列的性质，其次要注意各基
本量之间的关系及其它们的取值范围
课堂小结
师通过今天的学习，你学到了什么知识?有何体会？
生通过今天的学习,明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质.
(让学生自己来总结，将所学的知识,结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合,培养学生的概括能力和语言表达能力
布置作业
课本第45页习题2.2 A组第4、5题
预习内容：课本P48～P52
预习提纲：①等差数列的前n项和公式；②等差数列前n项和的简单应用
板书设计
等差数列通项公式
等差中项例题
在等差数列{a n}中
若m、n、p、q∈N*且m+n
则a m+a n=a p+a q。