变量与函数(2)教学设计

变量与函数（2）
知识与技能
1.掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制。

2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值。

过程性与方法
1.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识；
2.联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法。

教学重点
1.写函数的关系式。

2.求函数自变量的取值范围。

教学难点
求函数自变量的取值范围。

课型：习题课教法：分析法、讲练结合法教具：三角尺
教学过程
一、创设情境
问题1 试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．
解： y与x的函数关系式：y＝180－2x．
问题2 如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分面积ycm2与MA长度x cm之间的函数关系式．
解： y与x的函数关系式：
2
2
1
x
y
．
二、指导学习发现
思考在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围．
分析问题1：因为三角形内角和是180°,所以等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90°．
问题2：开始时A点与M点重合，MA长度为0cm，随着△ABC不断向右运动过程中，MA长度逐渐增长，最后A点与N点重合时，MA长度达到10cm．
解 (1)问题1：自变量x的取值范围是：0＜x＜90；
问题2：自变量x的取值范围是：0≤x≤10．
在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，不必须使实际问题有意义．例如，函数解析式S＝πR2中自变量R的取值范围
是全体实数，如果式子表示圆面积S 与圆半径R 的关系，那么自变量R 的取值范围就应该是R ＞0．
对于函数 y ＝x(30－x)，当自变量x ＝5时，对应的函数y 的值是
y ＝5×(30－5)＝5×25＝125．
125叫做这个函数当x ＝5时的函数值．
三、引导整合生成
例1 求下列函数中自变量x 的取值范围：
(1) y ＝3x －1； (2) y ＝2x 2＋7；(3)
21+=x y ； (4)2-=x y ．
分析 用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值．例如，在(1)，(2)中，x 取任意实数，3x －1与2x 2＋7都有
意义；而在(3)中，x ＝－2时，21
+x 没有意义；在(4)中，x ＜2时，2-x 没有意义．
解 (1)x 取值范围是任意实数；
(2)x 取值范围是任意实数；
(3)x 的取值范围是x ≠－2；
(4)x 的取值范围是x ≥2．
归纳 四个小题代表三类题型．(1)，(2)题给出的是只含有一个自变量的整式；(3)题给出的是分母中只含有一个自变量的式子；(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式．
例2 分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：
(1)某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y(元)关于用电度数x 的函数关系式；
(2)已知等腰三角形的面积为20cm 2，设它的底边长为x(cm)，求底边上的高y(cm)关于x 的函数关系式；
(3)在一个半径为10 cm 的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆，得到一个圆环．设圆环的面积为S(cm 2)，求S 关于r 的函数关系式．
解 (1) y ＝0.50x ，x 可取任意正数； (2)x y 40
=，x 可取任意正数；
(3)S ＝100π－πr 2，r 的取值范围是0＜r ＜10．
例3 在上面的问题(3)中，当MA ＝1 cm 时，重叠部分的面积是多少?
解 设重叠部分面积为y cm 2，MA 长为x cm ， y 与x 之间的函数关系式为
221x y =
当x ＝1时，
211212=⨯=y 所以当MA ＝1 cm 时，重叠部分的面积是21
cm 2．
例4 求下列函数当x = 2时的函数值：
(1)y = 2x-5 ； (2)y =－3x 2 ； (3)12
-=x y ； (4)x y -=2．
分析 函数值就是y 的值，因此求函数值就是求代数式的值． 解 (1)当x = 2时，y = 2×2－5 =－1；
(2)当x = 2时，y =－3×22 =－12；
(3)当x = 2时，y =122
-= 2；
(4)当x = 2时，y =22-= 0．
四、组织展示分享
1.求函数自变量取值范围的两个依据：
(1)要使函数的解析式有意义．
①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；
②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0； ③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0．
(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．
2.求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．
五、分层示范修炼
1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：
(1)一个正方形的边长为3 cm ，它的各边长减少x cm 后，得到的
新正方形周长为y cm ．求y 和x 间的关系式；
(2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n 封这样的信所需邮资y （元）与n 间的函数关系式；
(3)矩形的周长为12 cm ，求它的面积S(cm 2)与它的一边长x(cm)间的关系式，并求出当一边长为2 cm 时这个矩形的面积．
2.求下列函数中自变量x 的取值范围：
(1)y ＝－2x －5x 2； (3) y ＝x(x ＋3)； (3)36+=x x
y ； (4)12-=x y ．
3.当x ＝2及x ＝－3时，分别求出下列函数的函数值：
(1) y ＝(x+1)(x －2)；(2)y ＝2x 2－3x ＋2； (3)
12-+=x x y ．
布置作业：。