第十一章材料力学
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《材料力学 第2版》_顾晓勤第11章第1节 惯性力问题
21.9
MPa
d max Kd st max 26.3 MPa
OB
al
A m
第 1 节 惯性力问题
第十一章 动载荷和疲劳
二、杆件作匀速转动时的应力计算
在设计飞轮时，要求用料少而惯性大，所以常把 飞轮设计成轮缘厚、中间薄的样式。若不考虑轮辐的 影响，可以近似地认为飞轮的质量绝大部分集中在轮 缘上，将飞轮简化为一个绕中心旋转的圆环。
16
第 1 节 惯性力问题
第十一章 动载荷和疲劳
例 11-4 钢质飞轮匀角速转动如图所示，轮缘外径
D 1.8 m，内径 d 1.4 m ，材料密度 7.85 103 kg/m3。 要求轮缘内的应力不得超过许用应力 [ ] 60 MPa，轮
辐影响不计。试计算飞轮的极限转速 n 。
解：由强度条件，得到 轮缘允许的线速度
解：由附表 4 查得 32a 工字钢：
10 a
2m
8m
2m
= 52.717kg/m；加速度 a = 0 时，
每根钢绳的拉力 Fst = mg /2，应力 32a 号工字钢
st
Fst πd 2 / 4
39.5106 N/m2
39.5 MPa
动荷系数：
Kd
1
a g
1
6 9.8
1.612
d Kd st 1.612 39.5 MPa 63.6 MPa
第 1 节 惯性力问第题十一章 动载荷和疲第劳十一章 动载荷和疲劳
静载荷：所加载荷的特点是由零缓慢地增加到某一 数值，以后保持不变，即是静载荷。由静载荷产生 的应力，称为静应力。
动载荷：主要是指随时间而变化的载荷，特别是冲 击载荷。 动应力：凡是由动载荷引起的构件的应力。
材料力学(柴国钟、梁利华)第11章
如何处理合伙企业的协议纠纷1. 引言合伙企业是一种常见的商业组织形式，它由两个或更多个人或公司共同投资、经营和分享利润。
在合伙企业中，协议起着至关重要的作用，它规定了合伙人之间的权利和义务，为企业的稳定运行提供了法律保障。
然而，由于合伙人之间在商业活动中存在不可避免的分歧和冲突，协议纠纷也时有发生。
本文将详细介绍如何处理合伙企业的协议纠纷，帮助您在遇到类似问题时能够做出明智的决策。
2. 协议纠纷的可能原因合伙企业的协议纠纷多种多样，常见的原因包括但不限于以下几点：2.1 权益分配不均当合伙人对于利润分配不满意或出现争议时，很容易产生协议纠纷。
例如，某一合伙人认为自己付出的努力较多，应该获得更大的份额；或者某一合伙人未按照协议约定履行义务，导致其他合伙人减少了收益。
2.2 决策权分歧合伙企业中的重大决策通常需要通过合伙人会议进行讨论和表决。
当合伙人对于重要决策意见不一致时，容易产生协议纠纷。
例如，在扩大经营规模、投资新项目或解散企业等事项上各方意见分歧。
2.3 违反协议条款当一方合伙人违反协议约定时，比如未按时支付资金或未履行其他义务，可能引发其他合伙人抱怨并导致协议纠纷。
此外，如果协议中存在模糊或含糊不清的条款，也可能会给争端解决带来困难。
3. 协议纠纷解决方式当出现协议纠纷时，及时采取适当的解决方式是关键。
以下是几种常用的解决方式：3.1 协商解决作为最基本也是最常见的方式，双方可以尝试通过协商解决争端。
在协商过程中，建议通过积极沟通、充分表达各自诉求，并寻找双赢解决方案。
为了保证协商的效果和公平性，在这一过程中有必要制定明确的规则或采用中立第三方担任调解人。
3.2 仲裁程序如果协商无法达成一致或无法公正解决争端，则可转向仲裁程序。
仲裁是一种非诉讼形式，通过由专门机构组织的公正第三方仲裁员进行裁决来解决争端。
仲裁程序通常比诉讼程序简单、快速且成本较低，并且裁决结果具有强制性。
3.3 诉讼程序如果仲裁不能解决争端或一方坚持要求进行诉讼，则可以通过司法程序解决。
材料力学-第十一章-压杆稳定
＝
π2
×
206 52
×109
×
π
×
160 ×10-3 64
4
= 2.6 ×106 N = 2.60 ×103 kN
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
2.已知： d =160 mm， Q235钢， E =206 GPa ，确定两根杆的临 界载荷
对于两端固定的压杆，就有
F
d2w + k2w = 0 k2 = F
dx 2
EI
M
F
F
w
微分方程的解: w =Asinkx + Bcoskx
边界条件:=x 0= , w 0 :
B=0
=x l= , w 0 :
Asin kl = 0
系数A，B不能全为0：sin kl = 0
= kl nπ , =n 1, 2,⋅ ⋅ ⋅
k=2
F n2π 2
EI l2
屈曲位移函数： w = Asin nπ x l
弯曲幅值A取决于弯曲程度，与压力F有关。
分叉点 F
Fcr
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
压杆稳定平衡路径
F
平衡路径
F<Fcr 时，直线平衡态为稳定且唯一的
平衡路径
F>Fcr 时，直线平衡态不稳定，一旦有 扰动，杆将转为弯曲平衡态
=
, =n 1, 2,⋅ ⋅ ⋅
EI l2
临界载荷： F=cr
n2π 2EI , =n
l2
1, 2,⋅ ⋅ ⋅
最小临界载荷：
Fcr
=
π 2EI
l2
材料力学第11章——交变应力
用尺寸因数
或
表示。
1d , 1d 为光滑大试件 且 1, 1 ，d 越大， 越小， r 愈小。
其中： 1 , 1 为光滑小试件
材料力学
第十一章 交变应力
构件表面质量的影响
构件上的最大应力常发生于表层，疲劳裂纹也多生成于 表层。故构件表面的加工缺陷（划痕、擦伤）等将引起应力 集中，降低疲劳极限。
2
max
1
3
4
1
min
t
车轴每转一周，某点处的材料即经历一次由拉伸到压缩的 应力循环。
材料力学
第十一章 交变应力
④电机转子偏心惯性力引起强迫振动梁上的危险点正 应力随时间作周期性变化。
st
的静应力，最大应力和最小应力分别表示梁在最大和 最小位移时的应力。
st 表示电机的重力W以静载方式作用于梁上引起
第十一章 交变应力
min r 1 max
2
max
1
m
min
3
4
1
t
1 max min 0 2
1 a max min max 2
如:机车车轴
材料力学
2.脉动循环
min 0
第十一章 交变应力
1 1 m max min max 2 2 1 max min 1 max a 2 2
第十一章 交变应力
a a
max min
o
m
min 循环特征：r max
m
t
1 a max min 2
1 max min 2
max m a
材料力学--能量法
1、求内力
F
R
A
FA
R
M n
T
t
弯 矩:M () FR sin
扭矩:T () FR(1 cos) 12
2、变形能：
弯 矩:M () FR sin
扭矩:T () FR(1 cos)
U T 2 (x) dx M 2 (x) dx
l 2GI P
l 2EI
U1 U2
U U1 U2 F1 l2 U1 U2 F2 l1
结论：应变能与加载次序无关。
10
[例11-1-1] 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。
F
解：外力功等于应变能
A
C
B
W
1 2
FwC
a
a
U
L
M 2(x) 2EI
dx
利用对称性，得：
M (x)
L 2EA
L 2GIP
L 2EI
注意:应变能是力的二次函数，因此，引起同一 基本变形的一组外力在杆内所产生的应变能，并不等 于各力分别作用时产生的应变能的简单相加。
6
例如： 求图示简支梁的应变能。 解：设F和M同时由零按比 A 例加至终值。
（1）求支反力，列弯矩方程：
x
F
C
l 2
M1(x)
1 2
MFl2 16
M 2l 6
7
U
1 EI
F 2l3 96
MFl2 16
M 2l 6
(a)
A
FM
C
B
变形(a)式得
l
l
F
R
A
FA
R
M n
T
t
弯 矩:M () FR sin
扭矩:T () FR(1 cos) 12
2、变形能：
弯 矩:M () FR sin
扭矩:T () FR(1 cos)
U T 2 (x) dx M 2 (x) dx
l 2GI P
l 2EI
U1 U2
U U1 U2 F1 l2 U1 U2 F2 l1
结论：应变能与加载次序无关。
10
[例11-1-1] 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。
F
解：外力功等于应变能
A
C
B
W
1 2
FwC
a
a
U
L
M 2(x) 2EI
dx
利用对称性，得：
M (x)
L 2EA
L 2GIP
L 2EI
注意:应变能是力的二次函数，因此，引起同一 基本变形的一组外力在杆内所产生的应变能，并不等 于各力分别作用时产生的应变能的简单相加。
6
例如： 求图示简支梁的应变能。 解：设F和M同时由零按比 A 例加至终值。
（1）求支反力，列弯矩方程：
x
F
C
l 2
M1(x)
1 2
MFl2 16
M 2l 6
7
U
1 EI
F 2l3 96
MFl2 16
M 2l 6
(a)
A
FM
C
B
变形(a)式得
l
l
材料力学 第十一章解读
半波正弦曲线的一段长度。 长为L的一端固定一端自由的压杆的挠曲线与长为2L的 两端铰支的细长杆相当。 长为L的一端固定、另端铰支的压杆，约与长为0.7L 的两端铰支压杆相当。 长为L的两端固定压杆与长为0.5L的两端铰支压杆相当;
讨论：
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
Fcr 与抗弯刚度（ EI ）成正比。
压杆失稳时，总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形。
因此，对于各个方向约束相同的情形
I
应是截面最小的形心主惯性矩。
l 1、两端为铰支座的细长杆
2、线弹性，小变形
公式的推导中应用了弹性小挠度微分方程，因 此公式只适用于弹性稳定问题。
Fcr
2 EI用边界条件
xl
w0
即压杆没有弯曲变形；
A sin kl 0
kl n
A0
n 1 ,2,3,.... .
n 2 2 EI Fcr l2
实际工程中有意义的是最小的临界力值，即
n 1
Fcr
EI
2
l2
两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式。
压杆的极限承载能力
压杆失稳后，压力的微小增量会引起屈服变形的显 著增大，杆件丧失了继续增大荷载的能力。 且由失稳造成的失效可以导致整个结构的坍塌。 为了保证压杆安全可靠的工作，必须使压杆处于 直线平衡形式，因而压杆是以临界力为其极限承 载能力。
§11-2
支细长压杆的临界压力 欧拉公式
=Fcr
M
FN=Fcr
4、压杆的失稳
压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线形状平衡 （弯曲平衡） 屈曲： 压杆从直线平衡到弯曲平衡的转变过程； 屈曲位移：由于屈曲，压杆产生的侧向位移； 通常，屈曲将使构件失效，并导致相关的结构发生坍塌。 由于这种失效具有突发性，常常带来灾难性后果。
讨论：
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
Fcr 与抗弯刚度（ EI ）成正比。
压杆失稳时，总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形。
因此，对于各个方向约束相同的情形
I
应是截面最小的形心主惯性矩。
l 1、两端为铰支座的细长杆
2、线弹性，小变形
公式的推导中应用了弹性小挠度微分方程，因 此公式只适用于弹性稳定问题。
Fcr
2 EI用边界条件
xl
w0
即压杆没有弯曲变形；
A sin kl 0
kl n
A0
n 1 ,2,3,.... .
n 2 2 EI Fcr l2
实际工程中有意义的是最小的临界力值，即
n 1
Fcr
EI
2
l2
两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式。
压杆的极限承载能力
压杆失稳后，压力的微小增量会引起屈服变形的显 著增大，杆件丧失了继续增大荷载的能力。 且由失稳造成的失效可以导致整个结构的坍塌。 为了保证压杆安全可靠的工作，必须使压杆处于 直线平衡形式，因而压杆是以临界力为其极限承 载能力。
§11-2
支细长压杆的临界压力 欧拉公式
=Fcr
M
FN=Fcr
4、压杆的失稳
压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线形状平衡 （弯曲平衡） 屈曲： 压杆从直线平衡到弯曲平衡的转变过程； 屈曲位移：由于屈曲，压杆产生的侧向位移； 通常，屈曲将使构件失效，并导致相关的结构发生坍塌。 由于这种失效具有突发性，常常带来灾难性后果。
《材料力学》第11章典型习题解析
第11章典型习题解析1.用卡氏第二定理求图12.3所示刚架A 截面的位移和B 截面的转角。
略去剪力Q 和轴力N 的影响，E Ⅰ为已知.解：（1）A 截面的位移AB 段弯矩：M(x)=-Px （0≤x ≤l ） ∂M(x) /∂P=-x在A 处虚加一水平力向右的力Q,之后，再令其为0.那么,BC 段弯矩：M(y)=-2P l - Q l +(P+Q)y∂M(y) /∂P=-2l +y ∂M(y) /∂ Q=-l +yA 截面的竖直位移:Y A ==∂∂∑⎰EI P Mdx ML 0 ()()()()⎰⎰+-+-+--L LEIdy y L Py PL EI dx x Px 00222 =EIPL 223A 截面的水平位移: X A =EI Q M M L ∂∂∑⎰0dx=()()EI dy y L Qy Py QL PL L 200+-++--⎰ 积分，令Q=0得 ()()EIPL EI dy y L Py PL XA L 1252230=+-+-=⎰(2)B 截面的转角在B 处虚加一力偶M B,AB 段弯矩：M(x)=-Px （0≤x<l ）BC 段弯矩：M(y)=-2P l -B M +Py （0<y<l ）∂M(x) /∂MB=0 ∂M(y) /∂MB =-1 ∑⎰∂∂=L B B EI dx M M M 0θ =()()⎰-+--L B EI dxPy M PL 0212 EIPL 432= 2.用卡氏第二定理求图示的A 截面的位移和B 截面的转角。
略去剪力Q 和轴力N 的影响，E Ⅰ为已知。
解：（1）A 截面的位移在A 点虚加一向下的力F ，支反力2qL F P Y B ++= （L 为AB 和AD 的长度） P X qL P Y C C -=--=,2AB 段弯矩： M1=0∂ M1 /∂F=0AD 段弯矩：M2(x)=2qL P F qx 2++⋅1（）x-2∂M2(x) /∂F=xCD 段弯矩：M3(y)=PyaⅠⅠ2ⅠC DA 截面的竖直位移:∑⎰∂∂=L A EIdx F M M Y 0=⎰⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++L EI xdx qx x F qL P 02222 积分，令F=0得34A PL qL Y 6EI 24EI =+求A 截面的水平位移时， 在A 处虚加一水平力向右的力Q, 再令其为0.那么, 支反力B qL Y P Q 2=++ （L 为AB 和AD 的长度）C C qL Y P Q X P Q 2=-+=-+（）+，（） AB 段弯矩： M1=0∂ M1 /∂Q=0AD 段弯矩：M2(x)=(P+Q)x ⋅∂M2(x) /∂Q=xCD 段弯矩：M3(y)=（P+Q ）y∂M3(y) /∂Q=yA 截面的水平位移∑⎰∂∂=L A EI dx Q M M X 0=()⎰⋅+L EIdx x Q P 022=()⎰⋅+L EI ydy y Q P 0积分，令Q=0得 EIPL X A 23= (2) B 截面的转角在B 处虚加一顺时针的力偶M B, 积分，并令其为零。
材料力学11强度理论
11.4 100 × 10 × 11.4 × 100 88.6 + × 109 QC S * Z 2 = = = 64.8 Mpa 6 3 IZb 23.7 × 10 × 7 × 10
3
τ k3
由于钢梁为塑性材料,K3点处的强度可由第三或第四强 由于钢梁为塑性材料, 度理论进行校核. 度理论进行校核.
材料力学
第十一章 强度理论
一,强度理论的概念及材料的两种破坏形式
1.强度理论的概念 . 前面几章中,讨论了四种基本变形时的强度条件, 前面几章中,讨论了四种基本变形时的强度条件,即 a.正应力强度条件 σ max ≤ [σ ] . b.剪应力强度条件 .
τ max ≤ [τ ]
a.正应力强度条件 σ max ≤ [σ ] . b.剪应力强度条件 .
然而, 然而,在工程实际中许多构件的危险点是处于复杂应力 状态下,其应力组合的方式有各种可能性.如采用拉( 状态下,其应力组合的方式有各种可能性.如采用拉(压) 时用的试验方法来建立强度条件, 时用的试验方法来建立强度条件,就得对材料在各种应力状 态下一一进行试验,以确定相应的极限应力, 态下一一进行试验,以确定相应的极限应力,这显然是难以 实现的. 实现的.
图11-1
b.塑性流动(剪切型)——材料有显著的塑性变形(即屈 .塑性流动(剪切型) 材料有显著的塑性变形( 材料有显著的塑性变形 服现象), ),最大剪应力作用面间相互平行滑移使构件丧 服现象),最大剪应力作用面间相互平行滑移使构件丧 失了正常工作的能力. 失了正常工作的能力.塑性流动主要是由剪应力所引起 的. 例如:低碳钢试件在简单拉伸时与轴线成 45 方向上出现滑 例如: 移线就属这类形式. 移线就属这类形式.
1 2 2 2 (σ 1 σ 2 ) + (σ 2 σ 3 ) + (σ 3 σ 1 ) ≤ [σ ] (11 4) 2
3
τ k3
由于钢梁为塑性材料,K3点处的强度可由第三或第四强 由于钢梁为塑性材料, 度理论进行校核. 度理论进行校核.
材料力学
第十一章 强度理论
一,强度理论的概念及材料的两种破坏形式
1.强度理论的概念 . 前面几章中,讨论了四种基本变形时的强度条件, 前面几章中,讨论了四种基本变形时的强度条件,即 a.正应力强度条件 σ max ≤ [σ ] . b.剪应力强度条件 .
τ max ≤ [τ ]
a.正应力强度条件 σ max ≤ [σ ] . b.剪应力强度条件 .
然而, 然而,在工程实际中许多构件的危险点是处于复杂应力 状态下,其应力组合的方式有各种可能性.如采用拉( 状态下,其应力组合的方式有各种可能性.如采用拉(压) 时用的试验方法来建立强度条件, 时用的试验方法来建立强度条件,就得对材料在各种应力状 态下一一进行试验,以确定相应的极限应力, 态下一一进行试验,以确定相应的极限应力,这显然是难以 实现的. 实现的.
图11-1
b.塑性流动(剪切型)——材料有显著的塑性变形(即屈 .塑性流动(剪切型) 材料有显著的塑性变形( 材料有显著的塑性变形 服现象), ),最大剪应力作用面间相互平行滑移使构件丧 服现象),最大剪应力作用面间相互平行滑移使构件丧 失了正常工作的能力. 失了正常工作的能力.塑性流动主要是由剪应力所引起 的. 例如:低碳钢试件在简单拉伸时与轴线成 45 方向上出现滑 例如: 移线就属这类形式. 移线就属这类形式.
1 2 2 2 (σ 1 σ 2 ) + (σ 2 σ 3 ) + (σ 3 σ 1 ) ≤ [σ ] (11 4) 2
材料力学 第十一章 连续分段独立一体化积分法
##################求之者也。# #######################################
第11章电脑求解弯曲变形 的一种快速解析法
提出了一种求解复杂载荷作用下梁弯曲变形 问题的连续分段独立一体化积分法。连续分段独 立一体化积分法首先将梁进行分段，独立建立具 有４阶导数的挠曲线近似微分方程，然后分段独 立积分４次，得到挠度的通解。根据边界条件和 连续性条件，确定积分常数，得到剪力、弯矩、 转角和挠度的解析函数，同时绘出剪力图、弯矩 图、转角图和挠度图。工程实例表明，连续分段 独立一体化积分法建立方程简单,计算编程程式化， 利用计算机求解速度快，与有限元法相比其优点 是可以得到精确的解析解。
图11-1复杂载荷作用下的简支梁
解：利用连续分段独立一体化积分法求解步骤为：
第一步：本题分为两段 n 2，各段的挠曲线近似微分方程如下：
d 4v1 0, 0 x L 4 dx d 4v2 q , L x 2L 4 dx EI
(1a)
(1b)
第二步：对(1)式各段的挠曲线近似微分方程分别积分四次， 得到剪力、弯矩、转角和挠度的通解。在通解中，包含有 8个积分常数 Ci i 1,2,,8。
(11-5)
（iii）利用位移边界条件、力边界条件和连续性条件建立 4n
个边界条件约束方程
f Ci , j 0
i 1,2,, n, j 1,2,3,4
(11-6)
（iv）将积分常数 Ci, j i 1,2,, n, j 1,2,3,4
代入(11-2)~(11-5)式就可得到剪力、弯矩、转角和挠度 的解析表达式。
1 x 0
解得 x 0.963L ，代入第一段挠度函数 v1 x ， 即得最大挠度。 求出剪力、弯矩、转角和挠度的最大值如下：
第11章电脑求解弯曲变形 的一种快速解析法
提出了一种求解复杂载荷作用下梁弯曲变形 问题的连续分段独立一体化积分法。连续分段独 立一体化积分法首先将梁进行分段，独立建立具 有４阶导数的挠曲线近似微分方程，然后分段独 立积分４次，得到挠度的通解。根据边界条件和 连续性条件，确定积分常数，得到剪力、弯矩、 转角和挠度的解析函数，同时绘出剪力图、弯矩 图、转角图和挠度图。工程实例表明，连续分段 独立一体化积分法建立方程简单,计算编程程式化， 利用计算机求解速度快，与有限元法相比其优点 是可以得到精确的解析解。
图11-1复杂载荷作用下的简支梁
解：利用连续分段独立一体化积分法求解步骤为：
第一步：本题分为两段 n 2，各段的挠曲线近似微分方程如下：
d 4v1 0, 0 x L 4 dx d 4v2 q , L x 2L 4 dx EI
(1a)
(1b)
第二步：对(1)式各段的挠曲线近似微分方程分别积分四次， 得到剪力、弯矩、转角和挠度的通解。在通解中，包含有 8个积分常数 Ci i 1,2,,8。
(11-5)
（iii）利用位移边界条件、力边界条件和连续性条件建立 4n
个边界条件约束方程
f Ci , j 0
i 1,2,, n, j 1,2,3,4
(11-6)
（iv）将积分常数 Ci, j i 1,2,, n, j 1,2,3,4
代入(11-2)~(11-5)式就可得到剪力、弯矩、转角和挠度 的解析表达式。
1 x 0
解得 x 0.963L ，代入第一段挠度函数 v1 x ， 即得最大挠度。 求出剪力、弯矩、转角和挠度的最大值如下：
材料力学第五版第十一章 交变应力
(Alternating Stress)
ωt
静平衡位置
st min
max
t
(Alternating Stress) 例题2 火车轮轴上的力来自车箱.大小,方向基本不变.
即弯矩基本不变.
假设轴以匀角速度 转动. 横截面上 A点到中性轴的距 离却是随时间 t 变化的.
P
P
A
t
z
(Alternating Stress)
构件横截面尺寸的影响
试验：弯、扭疲劳极限随构件横截面尺寸增大而减小
1 －标准试样的疲劳极限 1 d －大尺寸试样的疲劳极限
max
O
min=0
t
(Alternating Stress) 例题3 发动机连杆大头螺钉工作时最大拉力Pmax =58.3kN,最小 拉力Pmin =55.8kN,螺纹内径为 d=11.5mm,试求 a 、m 和 r. 解：
max
Pmax 4 58300 561MPa 2 A 0.0115
(Alternating Stress)
P P a
P
P
a Pa
第一根试件 max,1 b
第二根试件 r表示循环特征
N1
max
max,2 略小于 max,1 N2
max，1 max，2
1
2
如-1 表示对称循环材料的疲劳极限.
N1 N2
-1
N
(Alternating Stress)
(Alternating Stress)
应尽量减小应力集中，特别对于高强度材料构件 增大圆角半径 减小相连杆段的尺寸差别 将必要的孔与沟槽等备置在低应力区 采用凹槽与卸荷糟等
材料力学 第11章 超静定结构
心有所信，方能行远。
本课件部分图片来源网络，仅供教学使用
材料力学
11.3 对称及对称性质的应用
一、对称结构的对称变形与反对称变形 结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一
轴，则称此结构为对称结构。 若外力对称于结构对称轴， 结构将产生对称变形。 若外力反对称于结构对称轴，结构将产生反对称变形。
X
2
8EI
0
⑥求其它支反力
由平衡方程得其它支反力， 全部表示于图中。
X
1
1 qa() 28
X
2
3 7
qa()
A
q B
冯康 (1920-1993)
【人物介绍】
冯康，浙江绍兴人 ，出生于 江苏省南京市，数学家、中国有限 元法创始人、计算数学研究的奠基 人和开拓者。
1965年发表名为《基于变分 原理的差分格式》的论文，这篇论 文被国际学术界视为中国独立发展 “有限元法”的重要里程碑 。
3. 在结构外部和内部均存在多余约束，即支反力和内 力都是超静定的。
四. 超静定结构的分析方法 1.力法：以未知力为基本未知量的求解方法。
2.位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法。
材料力学
外力超静定
内力超静定 外力和内力超静定
材料力学
11.2 用力法解超静定结构
一、力法的基本思路（举例说明）
a A
a
②选取并去除多余约束，代以多 q 余约束反力。
③建立力法正则方程
B q
A X1 X2
④计算系数dij和自由项DiP
B
用莫尔定理求得
材料力学
A x1 q
x2
B
A
x2
x1 1
材料力学：第11章：组合变形
2
≤[σ]
2
M + 0.75T W
3
≤[σ]
πd
32
例：图示悬臂梁的横截面为等边三角形， 图示悬臂梁的横截面为等边三角形， C为形心，梁上作用有均布载荷ｑ，其作用方 为形心，梁上作用有均布载荷ｑ，其作用方 为形心 ｑ， 向及位置如图所示，该梁变形有四种答案： 向及位置如图所示，该梁变形有四种答案： A）平面弯曲； （√ ）平面弯曲； （C）纯弯曲； ）纯弯曲； （B）斜弯曲； ）斜弯曲； （D）弯扭结合。 ）弯扭结合。
Mz y My σ′=− =− sin ϕ Iz Iz
σ ′′ = −
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
My z Iy
Mz =− cos ϕ Iy
Py
Mz
Pz
My
y z σ = σ ′ + σ ′′ = − M sin ϕ + cos ϕ I Iy z
下面确定中性轴的位置： 下面确定中性轴的位置： 设中性轴上某一点的坐标为 y0 、 z0，则
α
ϕ
中性轴
ϕ
中性轴
二、位移计算 斜弯曲概念 为了计算梁在斜弯曲时的挠度， 为了计算梁在斜弯曲时的挠度，仍应用叠加法
fy = Py l
3
3EI Z
Pl3 = sin ϕ 3EI Z
Pl3 Pz l 3 fz = = cosϕ 3EI y 3EI y
ϕ
f =
2 fy
+f
2 z
tg β =
fy fz
=
Iy Iz
tg ϕ
tg β = tgα
α
β =α
ϕ
中性轴 总挠度f与中 总挠度 与中 性轴垂直
材料力学课件第11章 交变应力zym
理论应力集中因数只与构件外形有关。 有效应力集中因数不但与构件外形有关还与材料有关。
( 1 )d k ( 1 )k
(11.5)
二、构件尺寸的影响： 1、影响趋势： •构件的持久极限随尺寸的增 大而降低。 2、修正因数：
( 1 )d
1
(11.6)
•
( 1 )d
k
1
1 n
• n 构件在弯曲单独作用时的工作安全系数 • n 构件在扭转单独作用时的工作安全系数
整理上三式得：
n n n n
2 2
n
或：
n
n n n n
2 2
n
(11.19)
二、强度计算步骤： 1、确定工作应力； 2、确定修正因数； 3、强度条件计算； 4、结论。
第十一章
交变应力
§11—1 交变应力与疲劳失效 一、交变应力 •随时间作周期变化的应力称为交变应力或循环应力。
2 3 4 2 3 1 4 1
二、疲劳失效 1、疲劳失效的定义： •构件在交变应力作用下发生的脆性 断裂失效称为疲劳失效或称为疲劳 破坏。 2、疲劳失效的特点： （1）破坏时名义应力值远小于静荷载 作用下的强度极限值； （2）呈脆性断裂；
•结构构件持久极限： r , r
4、持久极限的确定： •试件的持久极限由试验确定。 •构件的持久极限由材料持久极限修正确定。
二、标准试件对称循环弯曲正应力持久极限的测定
1、试验装置： 2、试件：
d 7 10mm
3、试验方法： •应力-寿命曲线。 •循环基数： 钢制试件： 0 107 N 应力-寿命曲线
§11—3 持久极限 一、持久极限的概念 1、定义： •杆件在无限次应力循环作用下而不发生疲劳破坏的最大应 力称为杆件的疲劳极限或持久极限。 2、影响持久极限的因素： •应力循环类型、外形、尺寸和表面质量等等。 3、持久极限的表示符号： •材料持久极限(光滑小试件持久极限)： r , r(r为循环特征) •非标准试件持久极限： 如光滑大试件： ( 1 ) d
( 1 )d k ( 1 )k
(11.5)
二、构件尺寸的影响： 1、影响趋势： •构件的持久极限随尺寸的增 大而降低。 2、修正因数：
( 1 )d
1
(11.6)
•
( 1 )d
k
1
1 n
• n 构件在弯曲单独作用时的工作安全系数 • n 构件在扭转单独作用时的工作安全系数
整理上三式得：
n n n n
2 2
n
或：
n
n n n n
2 2
n
(11.19)
二、强度计算步骤： 1、确定工作应力； 2、确定修正因数； 3、强度条件计算； 4、结论。
第十一章
交变应力
§11—1 交变应力与疲劳失效 一、交变应力 •随时间作周期变化的应力称为交变应力或循环应力。
2 3 4 2 3 1 4 1
二、疲劳失效 1、疲劳失效的定义： •构件在交变应力作用下发生的脆性 断裂失效称为疲劳失效或称为疲劳 破坏。 2、疲劳失效的特点： （1）破坏时名义应力值远小于静荷载 作用下的强度极限值； （2）呈脆性断裂；
•结构构件持久极限： r , r
4、持久极限的确定： •试件的持久极限由试验确定。 •构件的持久极限由材料持久极限修正确定。
二、标准试件对称循环弯曲正应力持久极限的测定
1、试验装置： 2、试件：
d 7 10mm
3、试验方法： •应力-寿命曲线。 •循环基数： 钢制试件： 0 107 N 应力-寿命曲线
§11—3 持久极限 一、持久极限的概念 1、定义： •杆件在无限次应力循环作用下而不发生疲劳破坏的最大应 力称为杆件的疲劳极限或持久极限。 2、影响持久极限的因素： •应力循环类型、外形、尺寸和表面质量等等。 3、持久极限的表示符号： •材料持久极限(光滑小试件持久极限)： r , r(r为循环特征) •非标准试件持久极限： 如光滑大试件： ( 1 ) d
材料力学
y max
Mmax y I
2.9Fp 1000 15
304
170
64
Fp 155.4 N 即Fp的容许值为155.4N
解题指导：
如果采用max=（M1*y/I)+(M2*y/I)计算， 是错误的。因为M1所引起的最大正应力在a 点， M2所引起的最大正应力在b点。显然不 能将两个不同点处的正应力相加作为该截面 上的最大正应力。
4
d3
4 32
d 3
32
MT Wp
m
d3
3 16
d 3
16
r3
2 4 2
4 32
d 3
2
4
3 16
d 3
2
160
d 3
100MPa
d 80mm
取 d 80mm
解题指导：
弯扭组合变形的最大特点是：其危险点属于二 向受力状态，危险点上的正应力并不在其横截面 上，因而必须应用强度理论进行强度计算。
11.3 直径为d的等截面折杆，位于水平面内，杆的
A端承受垂直向下的荷载Fp力作用，已知[]。试求： （1）指出危险截面的位置；
（2）求危险截面上的最大弯曲正应力max和 最大扭转剪应力τmax；
（3）用第三强度理论求许可荷载[Fp]
a
B
C
A
Fp
a
解： （1）固定端C截面为危险截面
（2）内力图
xy
r3
2 x
材料力学第11章 压杆稳定
长度系数
一端固定，另一端自由 两端铰支
2 1
一端固定，另一端铰支
2 0.7
3
两端固定
1 0.5
2
第十一章 压杆稳定
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
一、欧拉临界应力公式及其使用范围 二、中柔度压杆的临界应力 三、小柔度压杆的临界应力 四、临界应力总图
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
2E 2
O 小 0 中 p 大
柔柔
柔
度度
度
压压
压
杆杆
杆
可见：压杆的临界应力随着其柔度的增大而减小
§11.3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
例1 图示用No.28a工字钢制成的立柱，两端固定，
试求立柱的临界压力。
解：1.求
F
查表：i imin iy 2.50 cm, A 55.4 cm2
ymax
欧拉公式适用于小变形情况
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
二、其他约束下细长压杆的临界压力
解法：比较变形法
1.一端固定、另一端自由
Fcr
Fcr
2EI
Fcr (2l)2
l
l
l
Fcr
§11.2 细长压杆临界压力的欧拉公式
二、其他约束下细长压杆的临界压力
解法：比较变形法
2.两端固定
b=20
b 2.57 MPa
h=45
cr a b y 289.6 MPa
Fcr cr A 261 kN y
n
Fcr F
4.35
nst
∴ 连杆安全
l 1=800
材料力学课件第十一章应力状态分析和强度理论
n
薄壁圆筒的横截面面积
πD 2 F p 4
′
p
A πD
πD 2 F p 4 pD A πD 4
n
D
第十一章
"
p
应力状态和强度理论
（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象
直径平面
FN
Ｏ
FN
d
y
D Fy 0 0 pl 2 sin d plD pD 2 l plD 0 2
2
3 1
1
3 2
第十一章
4.主平面 切应力为零的截面 5.主应力
应力状态和强度理论
主面上的正应力
说明:一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面 均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为1 ,2 , 3 且规定按 代数值大小的顺序来排列, 即
1 2 3
F k
n
（2）当 = 45°时， max 2 min （3）当 = -45° 时， （4）当 = 90°时， 0,
x
2 0
k
11.2
二向和三向应力状态的实例
m n
分析薄壁圆筒受内压时的应力状态
z
y
D
p
m
l
n
（1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F
F
k
F
k n
p cos cos
2
F
沿截面切线方向的切应力
k pα
x
p sin
2
sin2
pα
材料力学(单辉祖)第十一章压杆稳定问题
形心主惯矩I的选取准则
Pcr
=
π 2EI
l2
若杆端在各个方向的约束情况相同(如球形 铰)，I 应取最小的形心主惯矩，得到直杆 的实际临界力
若杆端在不同方向的约束情况不同， I 应取 挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即此 时要综合分析杆在各个方向发生失稳时的 临界压力，得到直杆的实际临界力(最小值)。
25
欧拉公式
求解上述非线性微分方程，得挠曲线中
点挠度δ 与压力P之间的近似关系
δ = 2 2l π
其图形为
P Pcr
⎡ − 1⎢1 −
⎣
1 2
⎛⎜⎜⎝
P Pcr
−1⎞⎟⎟⎠⎤⎥⎦
P
A
Pcr
可见，只有当P ≥Pcr时，压杆 B 才可能存在非直线的平衡态，
即直杆发生失稳，并且挠度δ
与压力P之间存在一对一关系，
M (x) = Pcrv(x) − Q(l − x)
x Pcr
Q A
M(x)
m
m
l
x
BQ MB y Pcr
39
Example-1
x
代入挠曲线近似微分方程
Pcr
EI
d 2v dx 2
=
−M
(x)
=
− Pcr v( x)
+
Q(l
−
x)
令 k 2 = Pcr
EI
则控制微分方程化简为
d 2v dx 2
+
k 2v
28
欧拉公式
思考题
29
不同约束下压杆临界力的 欧拉公式 • 压杆长度系数
30
长度系数
问题：
考虑下端固定、上端 自由并在上端承受轴 向压力作用等截面细 长杆，几何尺寸见图 确定此压杆临界压力
Pcr
=
π 2EI
l2
若杆端在各个方向的约束情况相同(如球形 铰)，I 应取最小的形心主惯矩，得到直杆 的实际临界力
若杆端在不同方向的约束情况不同， I 应取 挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即此 时要综合分析杆在各个方向发生失稳时的 临界压力，得到直杆的实际临界力(最小值)。
25
欧拉公式
求解上述非线性微分方程，得挠曲线中
点挠度δ 与压力P之间的近似关系
δ = 2 2l π
其图形为
P Pcr
⎡ − 1⎢1 −
⎣
1 2
⎛⎜⎜⎝
P Pcr
−1⎞⎟⎟⎠⎤⎥⎦
P
A
Pcr
可见，只有当P ≥Pcr时，压杆 B 才可能存在非直线的平衡态，
即直杆发生失稳，并且挠度δ
与压力P之间存在一对一关系，
M (x) = Pcrv(x) − Q(l − x)
x Pcr
Q A
M(x)
m
m
l
x
BQ MB y Pcr
39
Example-1
x
代入挠曲线近似微分方程
Pcr
EI
d 2v dx 2
=
−M
(x)
=
− Pcr v( x)
+
Q(l
−
x)
令 k 2 = Pcr
EI
则控制微分方程化简为
d 2v dx 2
+
k 2v
28
欧拉公式
思考题
29
不同约束下压杆临界力的 欧拉公式 • 压杆长度系数
30
长度系数
问题：
考虑下端固定、上端 自由并在上端承受轴 向压力作用等截面细 长杆，几何尺寸见图 确定此压杆临界压力
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强度条件为
d max kd ( st )max [ ]
2016/5/9 20
因此在解决动载荷作用下的内力、应力和位移计算的 问题时，均可在动载荷作为静荷作用在物体上所产生的静 载荷，静应力，静应变和静位移计算的基础上乘以动荷系 数，即
d K d st Pd K d Pst d K d st d K d st
甚至降为零，冲击物得到一个很大的 负加速度a，结构受到冲击力的作用。
受冲击 的构件
采用能量法近似计算冲击时构件内的最大应力和变形。
2016/5/9
12
根据能量守恒定律，即
T V U
T :冲击物接触被冲击物后，速度0，释放出的动能；
V :冲击物接触被冲击物后，所减少的势能； U :被冲击构件在冲击物的速度0时所增加的变形能。
d 2st d 2Hst 0
解得：
d st st 2 H st
式中“+”对应的是最大变形，“-”代表的是回跳到的最 高位置。所以取正值。 即
2
d st st 2 H st
18
2
2016/5/9
d st st 2 H st 2H st (1 1 ) st
第 十一 章 动 载 荷 Dynamic load
2016/5/9
1
静载荷：作用在构件上的载荷是由零开始缓慢地增 加到某一定值不再随时间改变。 动载荷：使构件产生明显的加速度的载荷或者随时 时间变化的载荷。
2016/5/9
2
本章讨论的三类问题： 作匀加速直线运动和匀角速旋转的构件； 在冲击载荷下构件的应力和变形的计算； 交变应力。
Q
被冲击构件增加的变形能 U，是等于冲 击载荷 P 在冲击过程中所作的功。 d
st d
且
Pd d Q st
于是变形能为
根据能量守恒：
2016/5/9
1 1 Q 2 U Pd d d 2 2 st
T U
17
可以得到：
即
2
1 Q 2 Q( H d ) d 2 st
L
1Q 2 1 T v U Pd d 2g 2
而
(a)
Pd L3 d 3EI
2016/5/9
(b)
31
将(b)代入(a)式：
1 Q 2 1 Pd L3 v 2g 2 3EI
解得：
2
3EIQv 2 Pd Q 3 gL
式中
v2 QL3 g 3EI
QL3 st 3EI
式中 kd 为冲击时的动荷系数，
2
k d st
2H kd 1 1 st
其中 st 是结构中冲击受力点在静载荷（大小为冲击物重量） 作用下的垂直位移。
2016/5/9 19
因为
Pd d d kd Q st st
所以冲击应力为
d kd st
v 2 D D D D(1 ) gE
由上式可见，圆环直径增大主要取决于其线速度。
2016/5/9 10
二、构件受冲击时的应力和变形计算
2016/5/9
11
•冲击问题的特点： 结构（受冲击构件）受外力（冲
击物）作用的时间很短，冲击物的速
v
Q
a
冲击物
度在很短的时间内发生很大的变化，
2016/5/9
3
一、等加速运动构件的应力计算
1、直线等加速运动构件
• 动静法(达朗贝尔原理)
—惯性力法
•动静法解题的步骤： 计算构件的加速度；
* 作为外力虚加于各质点； •将相应的惯性力 F ma
•作为静力平衡问题进行处理。
2016/5/9 4
例1 一吊车以匀加速度起吊重物Q,若吊索的横截面积为A，材料 比重为，上升加速度为a，试计算吊索中的应力。 解：将吊索在x处切开，取下面 部分作为研究对象。 Fd ( x) 作用在这部分物体上的外力有： m m 重物的重量：Q； Ax x段的吊索重量：Ax， Ax x x a a Ax g 惯性力为：Q a， a
2016/5/9
A AD 2 qd an g 2g
8
圆环横截面上的内力：
qd
y
qd D 2 d
d o x
2Nd
0
D qd d sin qd D 2
Nd
Nd
AD 2 2 Nd 4g N d D 2 2 v 2 d A 4g g
d max
2 J 0G AL
2 0.5 103 80109
100 60
4
(0.1) 2 1
528 MPa
所以对于转轴，要避免突然刹车。
2016/5/9 30
•水平冲击时的动荷系数计算。
v Q 设：一重量为Q的重物以水平速度 v 撞在 直杆上，若直杆的E、I、Wz均为已知。 试求杆内最大正应力。 解：根据能量守恒：冲击过程中释放的 动能等于杆件增加的变形能。
g
g
Q
X
2016/5/9
Ax Q a Q a 0 0 即 FNd ( x) Ax g g
5
Q a g
Q
FNd ( x) 吊索截面上的内力：
根据动静法，列平衡方程：
解得：
a FNd ( x) ( Ax Q)(1 ) g FNd Ax Q a d ( x) (1 ) A A g
时，该点沿水平方向的位移。)
QL ( d ) max kd ( st ) max kd Wz
2016/5/9 33
例3 起重机吊索下端与重物之间有一缓冲弹簧，每单位力引起的 伸长为 2.5 106 m / N ，吊索横截面面积 A 6cm2 ，弹性 模量 E 1.7 1011 N / m2 ，所吊重物质量为 Q=50KN 。以等速 v=1m/s下降，在L=20m时突然刹车，求吊索内的应力(吊索和弹 簧的质量不计)。 解：根据重物冲击过程中释放的能量(包括动 能和势能)转化为吊索增加的变形能计算。
通常情况下，K d 1 。
2016/5/9 21
•关于动荷系数 kd 的讨论:
1、若冲击物是以一垂直速度v作用于构件上，则由v 2 2 gH 可得：
v2 kd 1 1 g st
2、当h=0或v=0时，重物突然放在构件上，此时kd
2
。
2016/5/9
22
2H 3、当 10 时，可近似取 k d 1 st 2H 当 110 时，可近似取 k d st
式中得[]仍取材料在静载荷作用下的许用应力。 •动荷系数 K d 的物理意义：是动载荷、动荷应力和动荷变形与 静载荷、静荷应力和静荷变形之比。因此根据胡克定律，有以 下重要关系：
Pd d d d Kd Pst st st st
式中 P d , d , d , d 分别表示动载荷，动应力，动应变和动位移； Pst , st , st , st分别表示静载荷，静应力，静应变和静位移。
表示水平冲击时假设以冲击物重量大小的力沿水平方向以静载 荷作用于冲击点时，该点沿水平方向的位移。
2016/5/9 32
所以
v2 Pd Q kd Q g st
即水平冲击时的动荷系数为
kd
杆内最大动应力为
v2 g st
(表示水平冲击时假设以冲击物重量大小
的力沿水平方向以静载荷作用于冲击点
动荷系数
QL3 st 48EI
H A L/2 L/2 B
2H 96HEI kd 1 1 1 1 st QL3
最大冲击应力为
2016/5/9
QL d max k d st max k d 4W QL QL 2 6 HQE AI ( ) 2 4W 4W AL W
2H st
，误差<5%。
2 H ，误差<10%。 st
4、 kd 不仅与冲击物的动能有关，与载荷、构件截面尺寸有关， 更与 st 有关。这也是与静应力的根本不同点。构件越易变 形，刚度越小，即“柔能克刚”。
2016/5/9
23
几个冲击实例的计算
2016/5/9
24
实例1 等截面直杆的冲击拉伸应力 已知：等截面直杆长度为L，截面积为A， 杆件材料的杨氏模量为E，重物Q从高H处 自由落下。 解：静应力和静伸长分别为
根据假设，工程实际上的梁、杆均可简化为弹簧来 分析。现以一弹簧代表受冲构件，受重物Q,在高度H处 落下的作用，计算冲击应力。
Q Q H Q
H
H
A B 弹簧
2016/5/9 15
设：受重物Q自高度 H 落下，冲击弹性系统后， Q H Q Q 速度开始下降至0，同时弹簧变形达到最 大值 d 。
d
2016/5/9
13
•计算冲击问题时所作的假设：
1、在整个冲击过程中，结构保持线弹性，即力和变 形成正比。
2、假定冲击物为刚体。只考虑其机械能，不计变形能。
3、假定被冲击物为弹性体。只考虑其变形能，不计机 械能（被冲击物质量不计）。 4、略去冲击过程中的其它能量损失，如塑性变形 能、热能等。
2016/5/9 14
26
Q H
如果在B支座下加一弹簧，弹性系数 为k，此时梁中点处的静挠度将变为 B
A
L/2 L/2
k
QL3 1 Q/2 st 48EI 2 k QL3 Q 48EI 4k
即 st 增大，动荷系数 kd 下降，使 d max 下降，此即弹簧的缓冲 作用。
2016/5/9
d max kd ( st )max [ ]
2016/5/9 20
因此在解决动载荷作用下的内力、应力和位移计算的 问题时，均可在动载荷作为静荷作用在物体上所产生的静 载荷，静应力，静应变和静位移计算的基础上乘以动荷系 数，即
d K d st Pd K d Pst d K d st d K d st
甚至降为零，冲击物得到一个很大的 负加速度a，结构受到冲击力的作用。
受冲击 的构件
采用能量法近似计算冲击时构件内的最大应力和变形。
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根据能量守恒定律，即
T V U
T :冲击物接触被冲击物后，速度0，释放出的动能；
V :冲击物接触被冲击物后，所减少的势能； U :被冲击构件在冲击物的速度0时所增加的变形能。
d 2st d 2Hst 0
解得：
d st st 2 H st
式中“+”对应的是最大变形，“-”代表的是回跳到的最 高位置。所以取正值。 即
2
d st st 2 H st
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2
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d st st 2 H st 2H st (1 1 ) st
第 十一 章 动 载 荷 Dynamic load
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静载荷：作用在构件上的载荷是由零开始缓慢地增 加到某一定值不再随时间改变。 动载荷：使构件产生明显的加速度的载荷或者随时 时间变化的载荷。
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2
本章讨论的三类问题： 作匀加速直线运动和匀角速旋转的构件； 在冲击载荷下构件的应力和变形的计算； 交变应力。
Q
被冲击构件增加的变形能 U，是等于冲 击载荷 P 在冲击过程中所作的功。 d
st d
且
Pd d Q st
于是变形能为
根据能量守恒：
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1 1 Q 2 U Pd d d 2 2 st
T U
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可以得到：
即
2
1 Q 2 Q( H d ) d 2 st
L
1Q 2 1 T v U Pd d 2g 2
而
(a)
Pd L3 d 3EI
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(b)
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将(b)代入(a)式：
1 Q 2 1 Pd L3 v 2g 2 3EI
解得：
2
3EIQv 2 Pd Q 3 gL
式中
v2 QL3 g 3EI
QL3 st 3EI
式中 kd 为冲击时的动荷系数，
2
k d st
2H kd 1 1 st
其中 st 是结构中冲击受力点在静载荷（大小为冲击物重量） 作用下的垂直位移。
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因为
Pd d d kd Q st st
所以冲击应力为
d kd st
v 2 D D D D(1 ) gE
由上式可见，圆环直径增大主要取决于其线速度。
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二、构件受冲击时的应力和变形计算
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•冲击问题的特点： 结构（受冲击构件）受外力（冲
击物）作用的时间很短，冲击物的速
v
Q
a
冲击物
度在很短的时间内发生很大的变化，
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一、等加速运动构件的应力计算
1、直线等加速运动构件
• 动静法(达朗贝尔原理)
—惯性力法
•动静法解题的步骤： 计算构件的加速度；
* 作为外力虚加于各质点； •将相应的惯性力 F ma
•作为静力平衡问题进行处理。
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例1 一吊车以匀加速度起吊重物Q,若吊索的横截面积为A，材料 比重为，上升加速度为a，试计算吊索中的应力。 解：将吊索在x处切开，取下面 部分作为研究对象。 Fd ( x) 作用在这部分物体上的外力有： m m 重物的重量：Q； Ax x段的吊索重量：Ax， Ax x x a a Ax g 惯性力为：Q a， a
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A AD 2 qd an g 2g
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圆环横截面上的内力：
qd
y
qd D 2 d
d o x
2Nd
0
D qd d sin qd D 2
Nd
Nd
AD 2 2 Nd 4g N d D 2 2 v 2 d A 4g g
d max
2 J 0G AL
2 0.5 103 80109
100 60
4
(0.1) 2 1
528 MPa
所以对于转轴，要避免突然刹车。
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•水平冲击时的动荷系数计算。
v Q 设：一重量为Q的重物以水平速度 v 撞在 直杆上，若直杆的E、I、Wz均为已知。 试求杆内最大正应力。 解：根据能量守恒：冲击过程中释放的 动能等于杆件增加的变形能。
g
g
Q
X
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Ax Q a Q a 0 0 即 FNd ( x) Ax g g
5
Q a g
Q
FNd ( x) 吊索截面上的内力：
根据动静法，列平衡方程：
解得：
a FNd ( x) ( Ax Q)(1 ) g FNd Ax Q a d ( x) (1 ) A A g
时，该点沿水平方向的位移。)
QL ( d ) max kd ( st ) max kd Wz
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例3 起重机吊索下端与重物之间有一缓冲弹簧，每单位力引起的 伸长为 2.5 106 m / N ，吊索横截面面积 A 6cm2 ，弹性 模量 E 1.7 1011 N / m2 ，所吊重物质量为 Q=50KN 。以等速 v=1m/s下降，在L=20m时突然刹车，求吊索内的应力(吊索和弹 簧的质量不计)。 解：根据重物冲击过程中释放的能量(包括动 能和势能)转化为吊索增加的变形能计算。
通常情况下，K d 1 。
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•关于动荷系数 kd 的讨论:
1、若冲击物是以一垂直速度v作用于构件上，则由v 2 2 gH 可得：
v2 kd 1 1 g st
2、当h=0或v=0时，重物突然放在构件上，此时kd
2
。
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2H 3、当 10 时，可近似取 k d 1 st 2H 当 110 时，可近似取 k d st
式中得[]仍取材料在静载荷作用下的许用应力。 •动荷系数 K d 的物理意义：是动载荷、动荷应力和动荷变形与 静载荷、静荷应力和静荷变形之比。因此根据胡克定律，有以 下重要关系：
Pd d d d Kd Pst st st st
式中 P d , d , d , d 分别表示动载荷，动应力，动应变和动位移； Pst , st , st , st分别表示静载荷，静应力，静应变和静位移。
表示水平冲击时假设以冲击物重量大小的力沿水平方向以静载 荷作用于冲击点时，该点沿水平方向的位移。
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所以
v2 Pd Q kd Q g st
即水平冲击时的动荷系数为
kd
杆内最大动应力为
v2 g st
(表示水平冲击时假设以冲击物重量大小
的力沿水平方向以静载荷作用于冲击点
动荷系数
QL3 st 48EI
H A L/2 L/2 B
2H 96HEI kd 1 1 1 1 st QL3
最大冲击应力为
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QL d max k d st max k d 4W QL QL 2 6 HQE AI ( ) 2 4W 4W AL W
2H st
，误差<5%。
2 H ，误差<10%。 st
4、 kd 不仅与冲击物的动能有关，与载荷、构件截面尺寸有关， 更与 st 有关。这也是与静应力的根本不同点。构件越易变 形，刚度越小，即“柔能克刚”。
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几个冲击实例的计算
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实例1 等截面直杆的冲击拉伸应力 已知：等截面直杆长度为L，截面积为A， 杆件材料的杨氏模量为E，重物Q从高H处 自由落下。 解：静应力和静伸长分别为
根据假设，工程实际上的梁、杆均可简化为弹簧来 分析。现以一弹簧代表受冲构件，受重物Q,在高度H处 落下的作用，计算冲击应力。
Q Q H Q
H
H
A B 弹簧
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设：受重物Q自高度 H 落下，冲击弹性系统后， Q H Q Q 速度开始下降至0，同时弹簧变形达到最 大值 d 。
d
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•计算冲击问题时所作的假设：
1、在整个冲击过程中，结构保持线弹性，即力和变 形成正比。
2、假定冲击物为刚体。只考虑其机械能，不计变形能。
3、假定被冲击物为弹性体。只考虑其变形能，不计机 械能（被冲击物质量不计）。 4、略去冲击过程中的其它能量损失，如塑性变形 能、热能等。
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Q H
如果在B支座下加一弹簧，弹性系数 为k，此时梁中点处的静挠度将变为 B
A
L/2 L/2
k
QL3 1 Q/2 st 48EI 2 k QL3 Q 48EI 4k
即 st 增大，动荷系数 kd 下降，使 d max 下降，此即弹簧的缓冲 作用。
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