河北省唐山市2013届高三第二次模拟考试--数学(理)

河北省唐山市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

1．复数z 满足()i z i +=+1243，则复数z =A ．i -2B ．i +2C ．i --2．D ．i -+22．双曲线x y -=22154的顶点和焦点到其渐近线距离的比是A ．35B ．53C ．5D ．33．,a b 是两个向量，||=1a ，||=2b ，且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角为A ．︒30B ．︒60C ．︒120D ．︒1504．在等差数列{}n a 中，a a +=4723，则数列{}n a 的前9项和等于 A ．9 B ．6C ．3D ．125．执行如图所示的程序框图，则输出的c 的值是 A ．8 B ．13C ．21D ．34 6．()()x x--33111展开式中的常数项是 A ．－20 B ．18C ．20D ．07．已知函数y kx a =+的图象如右图所示，则函数x ky a+=的可能图象是8．若命题“x ∃∈0R ，使得x mx m ++-<200230”为假命题，则实数m 的取值范围是A ．[,]26B ．[,]--62C ．(,)26D ．(,)--629．设变量x ，y 满足约束条件x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨+-<⎪⎪+->⎩00240220，则目标函数z x y =+22的取值范围是A ．(,)41655B ．(,)4165C ．(,)116D ．(,)164510．已知函数()sin()f x x α=+2在x π=12时有极大值，且()f x β-为奇函数，则,αβ的一组可能值依次为 A ．,ππ-612B ．,ππ612C ．,ππ-36D ．,ππ3611．函数()sin f x x π=2A ．6B ．7．5C ．9D ．1212．一个由八个面围成的几何体的三视图如图所示，它的表面积为 A．B ．8C ．12D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上。

13．如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得 分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是______。

14．）设,F F 12分别是椭圆x y +=2211612的左、右焦点，点P 在椭圆上，若△PF F 12为直角三角形，则△PF F 12的面积等于________。

15．四棱锥P ABCD -的底面是边长为点的球面面积为__________。

16．在数列{}n a 中，,a a ==1212，n a +2等于n n a a ++1除以3的余数，则{}n a 的前89项的和等于________。

三、解答题：本大题共70分，其中（17）~（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ac b a =-22，A π=6，求B 。

18．（本小题满分12分） 某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人。

（Ⅰ）能否在犯错概率不超过0．001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？ （Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校高二年纪学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X ，求X 的分布列和期望()E X 。

附：()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2219．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC A B C -111中，AB BC =，ABC ∠=︒120，Q 是AC 上的点，//AB 1平面BC Q 1。

（Ⅰ）确定点Q 在AC 上的位置；（Ⅱ）若QC 1与平面BB C C 11， 求二面角Q BC C --1的余弦值。

20．（本小题满分12分）()p K k ≥200．010 0．005 0．001 k 06．6357．87910．828已知函数()ln ,a f x x x x a =-∈22R （Ⅰ）若()f x 在(,)+∞0单调递减，求a 的最小值；（Ⅱ）若()f x 有两个极值点，求a 的取值范围。

21．（本小题满分12分）已知动圆C 经过点(,)()m m >00，且与直线y m =-相切，圆C 被x 轴截得弦长的最小值为1。

记该圆圆心的轨迹为E 。

（Ⅰ）求曲线E 的方程； （Ⅱ）是否存在曲线C 与曲线E 的一个公共点，使它们在该点处有相同的切线？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由。

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示，AC 为⊙O 的直径，D 为 BC的中点，E 为BC 的中点。

（Ⅰ）求证：//DE AB ； （Ⅱ）求证：AC ·=2BC AD ·CD 。

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知直线cos :sin x m t l y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）经过椭圆cos :x C y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩2（ϕ为参数）的左焦点F 。

（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求||FA ·||FB 的最大值和最小值。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知()||||f x ax ax =--+48，a ∈R （Ⅰ）当a =2时，解不等式()f x <2；（Ⅱ）若()f x k ≤恒成立，求k 的取值范围。

参考答案一、选择题A 卷：BDCAB CBABD CA B 卷：DABCC ABDADBD 二、填空题 （13）54 （14）6 （15）100π（16）100三、解答题 （17）解：由余弦定理得，a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ，将已知条件代入上式，得ac ＝3bc －c 2，则3b －c ＝a ， 再由正弦定理，3sin B －sin C ＝sinπ6．…4分又sin C ＝sin （5π6－B ）＝ 1 2cos B ＋32sin B ，所以32sin B － 1 2cos B ＝ 1 2，即sin （B － π 6）＝ 1 2． …10分 因为－ π 6＜B － π 6＜5π6，所以B － π 6＝ π 6，即B ＝ π 3．…12分（18）解：（Ⅰ）由题意得列联表：因为K 2＝800(60×500－100×140)160×640×200×600≈16．667＞10．828，所以能在犯错概率不超过0．001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系．…5分 （Ⅱ）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是 3 8．则X ～B （3， 3 8），P （X ＝k ）＝C k 8（ 3 8）k（ 5 8）8－k ，k ＝0，1，2，3． X 的分布列为…10分E （X ）＝3× 3 8＝ 98．…12分 （19）解：（Ⅰ）连接B 1C 交BC 1于点P ，连接PQ ．因为直线AB 1∥平面BC 1Q ，AB 1⊂平面AB 1C ，平面BC 1Q ∩平面AB 1C ＝PQ ， 所以AB 1∥PQ ．因为P 为B 1C 的中点，且AB 1∥PQ ， 所以，Q 为AC 的中点．…4分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系．A设AB ＝BC ＝a ，BB 1＝b ，则面BC 1C 的法向量为m ＝（1，0，0）． B （0，0，0），C 1（0，a ，b ），Q （34a ， 14a ，0）， BC 1→＝（0，a ，b ），QC 1→＝（－34a ， 3 4a ，b ）． 因QC 1与面BC 1C 所成角的正弦值为24， 故错误!＝错误!＝错误!，解得b ＝错误!a ．…8分设平面C 1BQ 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则错误! 即⎩⎨⎧－34ax ＋ 3 4ay ＋32az ＝0，ay ＋32az ＝0，取n ＝（1，－3，2）． …10分所以有cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝24．故二面角Q -BC 1-C 的余弦值为24．…12分（20）解：（Ⅰ）f '（x ）＝ln x ＋1－ax ．f （x ）单调递减当且仅当f '（x ）≤0，即∀x ∈（0，＋∞）， a ≥ln x ＋1x．①设g （x ）＝ln x ＋1x ，则g '（x ）＝－ln xx2．当x ∈（0，1）时，g '（x ）＞0，g （x ）单调递增；当x ∈（1，＋∞）时，g '（x ）＜0，g （x ）单调递减． 所以g （x ）≤g （1）＝1，故a 的最小值为1． …5分 （Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当a ≥1时，f （x ）没有极值点．（2）当a ≤0时，f '（x ）单调递增，f '（x ）至多有一个零点，f （x ）不可能有两个极值点．…7分 （3）当0＜a ＜1时，设h （x ）＝ln x ＋1－ax ，则h '（x ）＝ 1x －a ．当x ∈（0， 1a ）时，h '（x ）＞0，h （x ）单调递增；当x ∈（ 1a，＋∞）时，h '（x ）＜0，h （x ）单调递减．…9分因为f '（ 1 a ）＝h （ 1 a ）＝ln 1 a ＞0，f '（ 1 e ）＝h （ 1 e ）＝－ ae ＜0，所以f （x ）在区间（ 1 e ， 1a）有一极小值点x 1．…10分由（Ⅰ）中的①式，有1≥ln x ＋1x ，即ln x ≤x －1，则ln 1 a ≤ 1a－1，故f '（ 2 a 2）＝h （ 2 a 2）＝ln 2＋2ln 1 a ＋1－ 2 a ≤l n 2＋2（ 1 a －1）＋1－ 2a＝ln 2－1＜0．所以f （x ）在区间（ 1 a ， 2a2）有一极大值点x 2．综上所述，a 的取值范围是（0，1）．…12分 （21）解：（Ⅰ）依题意，曲线E 是以（0，m ）为焦点，以y ＝－m 为准线的抛物线． 曲线E 的方程为x 2＝4my ．…2分设动圆圆心为A （a ，a 24m ），则圆C 方程为（x －a ）2＋（y －a 24m ）2＝（a 24m＋m ）2，令y ＝0，得（x －a ）2＝a 22＋m 2．当a ＝0时，圆C 被x 轴截得弦长取得最小值2m ，于是m ＝ 12，故曲线E 的方程为x 2＝2y ．…5分（Ⅱ）假设存在题设的公共点B （b ， 1 2b 2）．圆C 方程为（x －a ）2＋（y － 1 2a 2）2＝（ 1 2a 2＋ 1 2）2，将点B 坐标代入上式，并整理，得（b －a ）2[1＋ 1 4（a ＋b ）2]＝ 14（a 2＋1）2．①…7分对y ＝ 12x 2求导，得y '＝x ，则曲线E 在点B 处的切线斜率为b ．又直线AB 的斜率k ＝ 1 2b 2－ 1 2a 2b －a ＝ 12（a ＋b ）．由圆切线的性质，有 12（a ＋b ）b ＝－1．②…8分 由①和②得b 2（b 2－8）＝0．显然b ≠0，则b ＝±22． …9分所以存在题设的公共点B ，其坐标为（±22，4），公切线方程为 y ＝22（x －22）＋4或y ＝－22（x ＋22）＋4，即y ＝±22x －4． …12分 （22）证明：（Ⅰ）连接BD ，因为D 为BC ︵的中点，所以BD ＝D因为E 为BC 的中点，所以DE ⊥BC ． 因为AC 为圆的直径，所以∠ABC ＝90︒， 所以AB ∥DE ．（Ⅱ）因为D 为BC ︵的中点，所以∠BAD ＝∠DAC ， 又∠BAD ＝∠DCB ，则∠DAC ＝∠DCB ． 又因为AD ⊥DC ，DE ⊥CE ，所以△DAC ∽△ECD ．所以AC CD ＝ADCE ，AD ·CD ＝AC ·CE ，2AD ·CD ＝AC ·2CE ，因此2AD ·CD ＝AC ·BC ．…10分（23）解：（Ⅰ）将椭圆C 的参数方程化为普通方程，得x 24＋y 23＝1．a ＝2，b ＝3，c ＝1，则点F 坐标为（－1，0）． l 是经过点（m ，0）的直线，故m ＝－1．…4分（Ⅱ）将l 的参数方程代入椭圆C 的普通方程，并整理，得 （3cos 2α＋4sin 2α）t 2－6t cos α－9＝0．设点A ，B 在直线参数方程中对应的参数分别为t 1，t 2，则 |FA |·|FB |＝|t 1t 2|＝93cos 2α＋4sin 2α＝93＋sin 2α． 当sin α＝0时，|FA |·|FB |取最大值3； 当sin α＝±1时，|FA |·|FB |取最小值 94．…10分（24）解：（Ⅰ）当a ＝2时，f （x ）＝2（|x －2|－|x ＋4|）＝⎩⎪⎨⎪⎧12，x ＜－4，－4x －4，－4≤x ≤2，－12，x ＞2．当x ＜－4时，不等式不成立；当－4≤x ≤2时，由－4x －4＜2，得－ 32＜x ≤2；当x ＞2时，不等式必成立．综上，不等式f （x ）＜2的解集为{x |x ＞－ 32}．…6分（Ⅱ）因为f （x ）＝|ax －4|－|ax ＋8|≤|（ax －4）－（ax ＋8）|＝12， 当且仅当ax ≤－8时取等号． 所以f （x ）的最大值为12． 故k 的取值范围是[12，＋∞）．…10分。