2018年高考数学二轮复习专题(通用版)稳取120分保分练四文科数学(含答案)
2018届全国统一招生高考押题卷文科数学(二)试卷(含答案)
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学（二）注意事项：1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）{}2340A x x x =∈--≤Z {}0ln 2B x x =<<A B = A ．B ．C ．D ．{}1,2,3,4{}3,4{}2,3,4{}1,0,1,2,3,4-【答案】C【解析】，{}{}{}2340141,0,1,2,3,4A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=-Z Z ，所以．{}{}20ln 21e B x x x x =<<=<<{}2,3,4A B = 2．设复数（是虚数单位），则的值为（）1z=i z z+A ．B ．C．D ．21【答案】B【解析】，．2z z +=2z z +=3．“为假”是“为假”的（ ）条件．p q ∧p q ∨A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】由“为假”得出，中至少一个为假．当，为一假一真时，为真，故不充分；p q ∧p q p q p q ∨当“为假”时，，同时为假，所以为假，所以是必要的，所以选B ．p q ∨p q p q ∧4．已知实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）x y 222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩3x z y =-+A ．B ．C ．D ．143-2-434【答案】C【解析】作出的可行域为三角形（包括边界），把改写为，当且仅当动直线3x z y =-+3xy z =+过点时，取得最大值为．3x y z =+()2,2z 435．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多（为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（ ）盏．n n A ．2B ．3C ．26D ．27【答案】C【解析】设顶层有灯盏，底层共有盏，由已知得，则，1a 9a ()91991132691262a a a a a =⎧⎪⇒=⎨+=⎪⎩所以选C ．6．如图是一个算法流程图，若输入的值是13，输出的值是46，则的值可以是（ ）n S a A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【解析】依次运行流程图，结果如下：，；，；，；，，此时退出循环，所以的值可13S =12n =25S =11n =36S =10n =46S =9n =a 以取10．故选C ．7．设双曲线的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲()2222:10,0x y C a b a b-=>>线的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A ．2BC ．D ．4【答案】B【解析】因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为，所以．因2222:1x yC a b -=y x =±a b =为顶点到一条渐近线的距离为1，所以，双曲线的方程为，所1=a b ==C 22122x y -=以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为．b =8．已知数据，，，，的平均值为2，方差为1，则数据，，，相对于原数据（ ）1x 2x 10x 21x 2x 10x A ．一样稳定B ．变得比较稳定C ．变得比较不稳定D ．稳定性不可以判断【答案】C【解析】因为数据，，，，的平均值为2，所以数据，，，的平均值也为2，因为数据，1x 2x 10x 21x 2x 10x 1x ，，，的方差为1，所以，所以，所以数据，2x 10x 2()()102211222111i i x =⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦∑()10212=11i i x =-∑1x ，，的方差为，因为，所以数据，，，相对于原数据变得比较不2x 10x ()102112=1.110ii x =-∑ 1.11>1x 2x 10x 稳定．9．设表示正整数的所有因数中最大的奇数与最小的奇数的等差中项，数列的前n 项和为，那n a n {}n a n S 么（ ）21n S -=A ．B ．C ．D ．122n n +--11222433n n --+⋅-2nn -22nn +-【答案】B【解析】由已知得，当为偶数时，，当为奇数时，．n 2n n a a =n 12n na +=因为，12342121n n S a a a a a --=+++++ 所以1112342121n n S a a a a a ++--=+++++ ()()111352462122+n n a a a a a a a a ++--=++++++++ ()1123211113151212222n n a a a a +-⎛⎫++++-=+++++++++ ⎪⎝⎭ ，()()123211232n na a a a -=+++++++++ ()211222n nnS -+=+()211242n nn S -=++即，()121211242n n nn S S +--=++所以．()()()1112211112121111224242422422233n n n n n n n S S --------=+++++++=+⋅- 10．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为3，2y mx =()0m >P Q PQ ，则（ ）54PQ m =m =A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】因为，所以焦点到准线的距离，设，的横坐标分别是，，则2y mx =2mp =P Q 1x 2x ，，因为，所以，即，解得．1232x x +=126x x +=54PQ m =125+4x x p m +=5624m m +=8m =11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，1，，则此三棱锥外接球的12表面积为（）A ．B ．C ．D ．174π214π4π5π【答案】B【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点，即为三1111ABCD A B C D -棱锥,且长方体的长、宽、高分别为2，1，，11A CB D -1111ABCD A B C D-12所以此三棱锥的外接球即为长方体的外接球，半径，所以1111ABCD A B C D -R ==三棱锥外接球的表面积为．2221444S R π=π=π=12．已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标系原点）的斜率为，则下列一定P sin ln y x x =+OP O k 成立的为（ ）A ．B ．C ．D ．1k <-0k <1k <1k ≥【答案】C【解析】任意取为一正实数，一方面，另一方面容易证成立，所以x sin ln ln 1y x x x =+≤+ln 1x x +≤，因为与中两个等号成立条件不一样，所以sin ln y x x x =+≤sin ln ln 1y x x x =+≤+ln 1x x +≤恒成立，所以，所以排除D ；当时，，所以，所以sin ln y x x x =+<1k <2x π≤<πsin ln 0y x x =+>0k >排除A ，B ．所以选C ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年高考数学二轮专题复习(浙江专版)保分大题规范专练四(含答案)
保分大题规范专练（四）1.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，M 为最高点，该图象与y 轴交于点F (0，2)，与x 轴交于点B ，C ，且△MBC 的面积为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝255，求cos 2α的值． 解：(1)因为S △MBC ＝12×2×BC ＝BC ＝π， 所以最小正周期T ＝2π＝2πω，ω＝1， 由f (0)＝2sin φ＝2，得sin φ＝22， 因为0<φ<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (2)由f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin α＝255，得sin α＝55， 所以cos 2α＝1－2sin 2α＝35. 2.如图，四边形ABCD 是圆台OO1的轴截面，AB ＝2CD ＝4，点M 在底面圆周上，且∠AOM ＝π2，DM ⊥AC . (1)求圆台OO 1的体积；(2)求二面角A DM O 的平面角的余弦值．解：法一：(1)由已知可得OM ⊥平面AOD .又AC ⊥DM ，从而有AC ⊥DO ，由平面几何性质可得AC ⊥CB ，设OO 1＝h ，在Rt△ABC 中，有AC 2＋BC 2＝AB 2，即(9＋h 2)＋(1＋h 2)＝16，∴h ＝3，∴圆台OO 1的体积V ＝13πh (r 21＋r 1r 2＋r 22)＝73π3. (2)过点O 在△DOM 内作OE ⊥DM ，作OH ⊥平面DAM ，垂足分别为E ，H ，连接EH . 易得EH ⊥DM ，故∠OEH 就是二面角A DM O 的平面角．在△DOM 中，OE ＝ 2.易得DM ＝AM ＝22，AD ＝2，S △ADM ＝7.由V 三棱锥D AOM ＝V 三棱锥O ADM ，即13h ·S △AOM ＝13·OH ·S △ADM ，得OH ＝2217， 在Rt△OEH 中，sin ∠OEH ＝OH OE ＝67， 则二面角A DM O 的余弦值为77. 法二：(1)由题意可得OO 1，OM ，OB 两两互相垂直，以O 为原点，分别以直线OM ，OB ，OO 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设OO 1＝h (h >0)，则D (0，－1，h )，M (2,0,0)，A (0，－2,0)，C (0,1，h )，∴DM ―→＝(2,1，－h )，AC ―→＝(0,3，h )，∵DM ⊥AC ，∴DM ―→·AC ―→＝3－h 2＝0，解得h ＝3，∴圆台OO 1的体积V ＝13πh (r 21＋r 1r 2＋r 22)＝73π3. (2)由(1)知AM ―→＝(2,2,0)，DM ―→＝(2,1，－3)，OM ―→＝(2,0,0)，设平面ADM ，平面ODM 的法向量分别为u ＝(x 1，y 1，z 1)，v ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ u ·AM ―→＝0，u ·DM ―→＝0，且⎩⎪⎨⎪⎧ v ·DM ―→＝0，v ·OM ―→＝0，即⎩⎨⎧ 2x 1＋2y 1＝0，2x 1＋y 1－3z 1＝0，且⎩⎨⎧ 2x 2＋y 2－3z 2＝0，2x 2＝0，取u ＝(3，－3，1)，v ＝(0，3，1)，∴|cos 〈u ，v 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪u ·v |u ||v |＝77， 又二面角A DM O 为锐角，则二面角A DM O 的平面角的余弦值为77.3．已知函数f (x )＝m x ＋x ln x (m >0)，g (x )＝ln x －2.(1)当m ＝1时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若对任意的x 1∈[1，e]，总存在x 2∈[1，e]，使f x 1 x 1·g x 2 x 2＝－1，其中e 是自然对数的底数，求实数m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．当m ＝1时，f (x )＝1x＋x ln x ， 则f ′(x )＝－1x 2＋ln x ＋1. 因为f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ′(1)＝0，所以当x >1时，f ′(x )>0；当0<x <1时，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)．(2)由题意知，令h (x )＝f x x ＝m x 2＋ln x ， φ(x )＝g x x ＝ln x －2x. 因为φ′(x )＝3－ln x x 2>0在[1，e]上恒成立， 所以函数φ(x )＝ln x －2x在[1，e]上单调递增， 故φ(x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－1e . 又h (x 1)·φ(x 2)＝－1，所以h (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，e ，即12≤m x 2＋ln x ≤e 在[1，e]上恒成立，即x 22－x 2ln x ≤m ≤x 2(e －ln x )在[1，e]上恒成立．设p (x )＝x 22－x 2ln x ， 则p ′(x )＝－2x ln x ≤0在[1，e]上恒成立，所以p (x )在[1，e]上单调递减，所以m ≥p (x )max ＝p (1)＝12. 设q (x )＝x 2(e －ln x )，则q ′(x )＝x (2e －1－2ln x )≥x (2e －1－2ln e)>0在[1，e]上恒成立， 所以q (x )在[1，e]上单调递增，所以m ≤q (x )min ＝q (1)＝e.综上所述，m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，e .。
2018年高考数学二轮复习(通用版)稳取120分保分练(二)文 Word版 含答案
稳取120分保分练(二)一、选择题1．设集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |x 2>2}，则A ∩B ＝( ) A ．(2,3] B ．(2,3) C ．(－2,3]D ．(－2,3)解析：选A A ＝{x |x 2－x －6≤0}＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－2或x ＞2}，故A ∩B ＝(2,3]． 2．设i 为虚数单位，若z ＝a －i1＋i(a ∈R)是纯虚数，则a 的值是( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C z ＝a －i 1＋i ＝ a －i 1－i 1＋i 1－i ＝a －12－a ＋12i ，∵z 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1.3．若θ是第二象限角且sin θ＝1213，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝( )A ．－177B ．－717C.177D.717解析：选B 由θ是第二象限角且sin θ＝1213知，cos θ＝－1－sin 2θ＝－513，则tan θ＝－125.∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋tanπ41－tan θtanπ4＝－717.4．设F 是抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，直线l 过点F 且与抛物线E 交于A ，B 两点，若F 是AB 的中点且|AB |＝8，则p 的值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x F ＝x 1＋x 22＝p2，故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＝8，即p ＝4.5．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y －ax ＋3a ≥0，目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1，则正数a ＝( )A.12 B.34 C ．1D ．2解析：选A 画出⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y －ax ＋3a ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝2x ＋y 经过点A 时，取得最小值1，设A (1，m )，则有2×1＋m ＝1，解得m ＝－1，即A (1，－1)．将A (1，－1)代入y ＝a (x －3)，得a ＝12.6．在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E 是AC 的中点，点F 在线段AD 上并且AF ＝2DF ，设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，则EF ―→＝( )A.23a －16bB.23a －12bC.16a －13b D.16a －16b 解析：选D EF ―→＝AF ―→－AE ―→＝23AD ―→－12AC ―→＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋12BC ―→ －12(AB ―→＋BC ―→)＝16AB ―→－16BC ―→＝16a －16b ，故选D. 7．设max{m ，n }表示m ，n 中的最大值，则关于函数f (x )＝max{sin x ＋cos x ，sin x －cosx }的结论中，正确结论的个数是( )①函数f (x )的周期T ＝2π； ②函数f (x )的值域为[－1， 2 ]； ③函数f (x )是偶函数；④函数f (x )的图象与直线x ＝2y 有3个交点． A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 如图是函数f (x )与直线x ＝2y 在同一坐标系中的图象，由图知①②④正确．8．程序框图如图所示．如果程序运行的结果S 的值比2 018小，若使输出的S 最大，那么判断框中应填入( )A ．K ≤10?B ．K ≥10?C ．K ≤9?D ．K ≥9?解析：选C K ＝12，S ＝1，不满足条件，执行循环体，S ＝1×12＝12，此时K ＝11；不满足条件，执行循环体，S ＝12×11＝132，此时K ＝10；不满足条件，执行循环体，S ＝132×10＝1 320，此时K ＝9；不满足条件，执行循环体，S ＝1 320×9>2 018，此时K ＝8，所以当K ＝9时，满足条件，K ＝8时不满足条件，所以判断条件应为“K ≤9？”．故选C.9．设实数a ＞b ＞0，c ＞0，则下列不等式一定正确的是( ) A ．0<ab<1 B ．ln a b>0 C ．c a＞c bD ．ac －bc ＜0解析：选B 由于a ＞b ＞0，a b >1，A 错误；ln a b>ln 1＝0，B 正确；当0＜c ＜1时，c a ＜c b，当c ＝1时，c a＝c b，当c ＞1时，c a＞c b，故c a＞c b不一定正确，C 错误；a ＞b ＞0，c ＞0，故ac －bc ＞0，D 错误．10．下列方格纸中每个小正方形的边长为1，粗线部分是一个几何体的三视图，则该几何体最长棱的棱长是( )A ．3B ．6C ．2 5D ．5解析：选D 画出立体图(如图)．由图知，该几何体最长棱的棱长是AD ＝5.11．设P 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上且在第一象限内的点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，PF 2⊥F 1F 2，x 轴上有一点A 且AP ⊥PF 1，E 是AP 的中点，线段EF 1与PF 2交于点M .若|PM |＝2|MF 2|，则双曲线的离心率是( )A ．1＋ 2B ．2＋ 2C ．3＋ 2D ．4＋ 2解析：选A 由题意，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，∴kF 1P ＝b 22ac ， ∴直线PA 的方程为y －b 2a ＝－2acb 2(x －c )，令y ＝0，可得x A ＝b 4＋2a 2c 22a 2c ，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 4＋2a 2c 22a 2c ，0. ∵E 是AP 的中点，线段EF 1与PF 2交于点M ，|PM |＝2|MF 2|，∴M 是△PF 1A 的重心，且Mc ，b 23a，而x M ＝－c ＋c ＋x A3，∴x A ＝3c ＝b 4＋2a 2c 22a 2c，∴e 4－6e 2＋1＝0， ∵e ＞1，∴e ＝1＋2，故选A.12．设函数f (x )＝x e x ，g (x )＝x 2＋2x ，h (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋2π3，若对任意的x ∈R ，都有h (x )－f (x )≤k [g (x )＋2]成立，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1e ＋1B.⎝⎛⎦⎥⎤－2，1e ＋3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2＋1e ，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋1e ，＋∞解析：选C 由题设h (x )－f (x )≤k [g (x )＋2]恒成立，等价于f (x )＋kg (x )≥h (x )－2k .①设函数H (x )＝f (x )＋kg (x )＝x e x ＋kx 2＋2kx ， 则H ′(x )＝(x ＋1)(e x＋2k )． (1)若k ＝0，此时H ′(x )＝e x(x ＋1)，当x ＜－1时，H ′(x )＜0，当x ＞－1时，H ′(x )＞0，故x ＜－1时，H (x )单调递减，x ＞－1时，H (x )单调递增，故H (x )≥H (－1)＝－1e；而当x ＝－1时，h (x )取得最大值2，并且－1e＜2，故①式不恒成立；(2)若k ＜0，注意到H (－2)＝－2e 2，h (－2)－2k ＝3－2k >3>－2e 2，故①式不恒成立；(3)若k ＞0，此时，H ′(x )＝(x ＋1)(e x＋2k )，当x ＜－1时，H ′(x )＜0，当x ＞－1时，H ′(x )＞0，故x ＜－1时，H (x )单调递减，x ＞－1时，H (x )单调递增，故H (x )≥H (－1)＝－1e－k ；而当x ＝－1时，h (x )取得最大值，且h (x )max ＝2，故若使①式恒成立，则－1e －k ≥2－2k ，解得k ≥2＋1e.二、填空题13．函数g (x )＝1log 3 2x－1 ＋2x －1的定义域为________． 解析：由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧log 3 2x－1 ≠0，2x－1>0，2x －1≥0，解得x ≥12且x ≠1，故函数g (x )＝1log 3 2x－1＋2x －1的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) 14．若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．解析：∵c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，∴c ·a ＝(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0，∴1＋a ·b ＝0，解得a ·b ＝－1，设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12×1＝－12，∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.答案：2π315．已知四棱锥P ABCD 的外接球为球O ，底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝AD ＝2，AB ＝4，则球O 的表面积为________．解析：取AD 的中点E ，连接PE ，△PAD 中，PA ＝PD ＝AD ＝2，∴PE ＝3，设底面ABCD 的中心为O ′，球心为O ，则O ′B ＝12BD ＝5，。
2018届高考数学文科二轮复习全国通用：阶段滚动练4对
阶段滚动练4(对应1～11练)(建议时间：90分钟)一、选择题1.设集合M ＝{x |x ≥2}，N ＝{x |x 2－25＜0}，则M ∩N 等于( ) A.(1，5) B.[2，5) C.(－5，2] D.[2，＋∞)答案 B解析 由题意得，x 2－25＜0⇒－5＜x ＜5，则M ∩N ＝[2，5)，故选B. 2.i 为虚数单位，已知复数z 满足21＋i ＝z ＋i ，则z 等于( ) A.1＋2i B.1－2i C.1＋i D.－1＋i 答案 A解析 由题意得，设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，21＋i＝1－i ⇒a ＝1，b ＝2. 3.“直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交”是“0＜b ＜1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B解析 若“直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交”，则圆心到直线的距离为d ＝||b 2＜1，即||b ＜2，不能推出0＜b ＜1；反过来，若0＜b ＜1，则圆心到直线的距离为d ＝||b 2＜12＜1，所以直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交，故选B.4.已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，向量a 与b 的夹角为60°，则|a －b |等于( ) A.19 B.19 C.7 D.7 答案 C解析 由题意，得|a －b |＝|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝7，故选C. 5.在△ABC 中， AB ＝5，AC ＝6，若B ＝2C ，则BC 的长为( ) A.5 B.115 C.95 D.75答案 B解析 由正弦定理得，AC sin B ＝AB sin C ⇒6sin 2C ＝5sin C ⇒cos C ＝35，由余弦定理得， cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22AC ·BC ⇒BC ＝115，故选B.6.要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需要将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A.向左平移π12个单位长度B.向右平移π12个单位长度C.向左平移π3个单位长度D.向右平移π3个单位长度答案 B解析 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin 4⎝⎛⎭⎫x －π12，所以要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位长度. 7.已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( ) A.－32a 2 B.－34a 2 C. 34a 2 D. 32a 2答案 D解析 BD →·CD →＝BD →·BA →＝()BA →＋BC →·BA →＝BA →2＋BC →·BA →＝a 2＋a 2cos 60°＝32a 2. 8.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 答案 D解析 由五点作图知，⎩⎨⎧14ω＋φ＝π2，54ω＋φ＝3π2，解得ω＝π，φ＝π4，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4， 令2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，k ∈Z ，解得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，故f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D.9.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x ＜1，2x －1，x ≥1， 则f (－2)＋f (log 212)等于( )A.3B.6C.9D.12 答案 C解析 ∵f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3， f (log 212)＝2log 1212-＝2log 62＝6，∴f (－2)＋f (log 212)＝9.10.已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝12e -，则( ) A.x <y <z B.z <x <y C.z <y <x D.y <z <x答案 D解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1. ∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝12e-＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可知，y <z <x .11.据统计某超市两种蔬菜A ，B 连续n 天价格分别为a 1，a 2，a 3，…，a n 和b 1，b 2，b 3，…，b n ，令M ＝{m |a m ＜b m ，m ＝1，2，…，n }，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A ＜B ，现有三种蔬菜A ，B ，C ，下列说法正确的是( ) A.若A ＜B ，B ＜C ，则A ＜CB.若A ＜B ，B ＜C 同时不成立，则A ＜C 不成立C.A ＜B ，B ＜A 可同时不成立D.A ＜B ，B ＜A 可同时成立 答案 C解析 特例法：例如蔬菜A 连续10天价格为1，2，3，4，…，10，蔬菜B 连续10天价格分别为10，9，…，1时，A ＜B ，B ＜A 同时不成立，故选C.12.已知函数f (x )＝x 3＋3x (x ∈R )，若不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )＜0对任意实数t ≥1恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－22 C.(－2，－2) D.(－∞，－2)答案 D解析 由题意得，f (－x )＝－f (x )，则f (x )为奇函数且f (x )在R 上单调递增，不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )＜0对任意实数t ≥1恒成立，则2m ＋mt 2＜－4t 在t ≥1时恒成立，分离参数m ＜－4tt 2＋2＝－4t ＋2t ，又因为t ＋2t ≥22(当且仅当t ＝2时，取等号)，则m ＜－2，故选D.二、填空题13.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≥0，0＜x ≤4，则yx 的最大值是________.答案 14解析 由题意得，满足条件的可行域如图所示，当过原点的直线过点C (4，1)时， yx 有最大值，最大值为14.14.将函数y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩为原来的12，纵坐标不变，便得到函数f (x )的图象，则f (x )的解析式为____________________. 答案 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 解析 由题意得，函数y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位长度，则y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，将所得图象上各点的横坐标缩为原来的12，纵坐标不变，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 15.已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＋n ＝________. 答案 11解析 因为f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2， 所以f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝0，f ′(－1)＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3m －n ＋m 2＝0，3－6m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.当m ＝1，n ＝3时，函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x ＋1，则f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 函数在R 上单调递增，函数无极值， 所以m ＋n ＝11.16.在平行四边形ABCD 中，点M 在边CD 上，且满足DM ＝13DC ，点N 在CB 的延长线上，且满足CB ＝BN ，若AB ＝3，AD ＝4，则AM →·NM →的值为________. 答案 30解析 因为AM →＝AD →＋13AB →，NM →＝2AD →－23AB →，所以AM →·NM →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13AB →⎝⎛⎭⎫2AD →－23AB →＝2⎝⎛⎭⎫AD →2－19AB →2＝30. 三、解答题17.已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π). (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值.解 (1)f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， 于是T ＝2π1＝2π.(2)由已知得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈[－1，2]. 故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.18.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝()a ，3b 与n ＝(cos A ，sin B )平行. (1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积.解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)方法一 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332.方法二 由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ， 得sin B ＝217， 又由a ＞b 知，A ＞B ，所以cos B ＝277，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114， 所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332.19.已知函数f (x )＝ax 2＋1x，其中a 为实数.(1)根据a 的不同取值，判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)若a ∈(1，3)，判断函数f (x )在[1，2]上的单调性，并说明理由. 解 (1)当a ＝0时， f (x )＝1x ，显然是奇函数；当a ≠0时，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝a －1， f (1)≠f (－1)且f (1)＋f (－1)≠0， 所以此时f (x )是非奇非偶函数. (2)设∀x 1＜x 2∈[1，2]，则f (x 1)－f (x 2)＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎣⎡⎦⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2. 因为x 1＜x 2∈[1，2]，所以x 1－x 2＜0， 2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4， 所以2＜a (x 1＋x 2)＜12， 14＜1x 1x 2＜1，所以a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 故函数f (x )在[1，2]上单调递增.20.函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x .(1)当a ＝3时，求f (x )的单调区间；(2)若∀a ∈(－1，＋∞)，∃x ∈(1，e)，有f (x )－b ＜0，求实数b 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝－3x 2＋2x －1x (x >0)，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫13，＋∞时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减. (2)首先，对于任意a ∈(－1，＋∞)，ln x －12ax 2－2x ＜b 恒成立，则b ＞⎝⎛⎭⎫ln x －12ax 2－2x max . 因为函数h (a )＝ln x －12ax 2－2x ＝－12ax 2－2x ＋ln x 在(－1，＋∞)上是减函数，所以h (a )＜h (－1)＝12x 2－2x ＋ln x ，所以b ≥12x 2－2x ＋ln x .其次，∃x ∈(1，e)，使不等式b ≥12x 2－2x ＋ln x 成立，于是b ≥⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋ln x min ， 令g (x )＝12x 2－2x ＋ln x ，则g ′(x )＝x －2＋1x ＝(x －1)2x≥0，所以函数g (x )在(1，e)上是增函数， 于是g (x )min ＝g (1)＝－32，故b >－32，即b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－32，＋∞.。
2018年高考数学二模试卷(文科)带答案精讲
2018年高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共11小题，每小题5分，满分55分）1．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．102．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为（）A．80 B．0.8 C．20 D．0.23．（5分）在△ABC中，C=60°，AB=，那么A等于（）A．135°B．105°C．45°D．75°4．（5分）已知：如图的夹角为的夹角为30°，若等于（）A．B．C．D．25．（5分）若集合，B={1，m}，若A⊆B，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或6．（5分）设α、β是两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，命题p：若平面α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；命题q：l∥α，m⊥l，m⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（）A．p或q B．p且q C．￢p或q D．p且￢q7．（5分）已知x，y满足约束条件的最小值是（）A．B．C．D．18．（5分）2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策．如后四位数为“2663”、“8685”为“金兔卡”．则这组号码中“金兔卡”的张数（）A．484 B．972 C．966 D．4869．（5分）有三个命题①函数的反函数是y=（x+1）2（x∈R）②函数f（x）=lnx+x﹣2的图象与x轴有2个交点；③函数的图象关于y轴对称．其中真命题是（）A．①③B．②C．③D．②③10．（5分）若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，O为坐标原点，则△OAB的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是（）A．点B．线段C．圆弧D．抛物线的一部分11．（5分）若关于x的不等式|x﹣1|＜ax（a≠0）的解集为开区间（m，+∞），其中m∈R，则实数a的取值范围为（）A．a≥1 B．a≤﹣1 C．0＜a＜1 D．﹣1＜a＜0二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）12．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为2π，则球的表面积为．13．（5分）已知二项式展开式中的项数共有九项，则常数项为．14．（5分）已知过椭圆的右焦点在双曲线的右准线上，则双曲线的离心率为．15．（5分）函数，在区间（﹣π，π）上单调递增，则实数φ的取值范围为．16．（5分）在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设．①若∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为；②若∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx﹣sinx，2cosx）．（I）求证：向量与向量不可能平行；（II）若•=1，且x∈[﹣π，0]，求x的值．18．（12分）已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查．（I）求男生被抽取的人数和女生被抽取的人数；（I）若从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；（II）若本班学生考前心理状态好的概率为0.8，求调查中恰有3人心理状态良好的概率．19．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=a，E为棱A1D1中点．（I）求二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）求直线A1C1到平面EAC的距离．20．（12分）已知f（x）=tx3﹣2x2+1．（I）若f′（x）≥0对任意t∈[﹣1，1]恒成立，求x的取值范围；（II）求t=1，求f（x）在区间[a，a+3]（a＜0）上的最大值h（a）．21．（12分）已知{a n}是正数组成的数列，a1=1，且点在函数y=x2+1的图象上．数列{b n}满足b1=0，b n+1=b n+3an（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=a n b n cosnπ（n∈N*），求数列{c n}的前n项和S n．22．（10分）若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=﹣1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；（Ⅲ）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l 上，求证：t与均为定值．参考答案与试题解析一、选择题（共11小题，每小题5分，满分55分）1．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．10【分析】由a4=9，a6=11利用等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20，代入等差数列的前n项和公式可求．【解答】解：∵a4=9，a6=11由等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列的性质：利用性质可以简化运算，减少计算量．2．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为（）A．80 B．0.8 C．20 D．0.2【分析】由已知中在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，我们出该组的频率，进而根据样本容量为100，求出这一组的频数．【解答】解：∵样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，又∵中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，则该长方形对应的频率为0.2又∵样本容量为100，∴该组的频数为100×0.2=20故选C【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，其中根据各组中频率之比等于面积之比，求出该组数据的频率是解答本题的关键．3．（5分）在△ABC中，C=60°，AB=，那么A等于（）A．135°B．105°C．45°D．75°【分析】由C的度数求出sinC的值，再由c和a的值，利用正弦定理求出sinA 的值，由c大于a，根据大边对大角，得到C大于A，得到A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：∵C=60°，AB=c=，BC=a=，∴由正弦定理=得：sinA===，又a＜c，得到A＜C=60°，则A=45°．故选C【点评】此题考查了正弦定理，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．4．（5分）已知：如图的夹角为的夹角为30°，若等于（）A．B．C．D．2【分析】将向量沿与方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后解三角形即可得到答案．【解答】解：如图所示：根据平行四边形法则将向量沿与方向进行分解，则由题意可得OD=λ，CD=μ，∠COD=30°，∠OCD=90°，∠Rt△OCD中，sin∠COD=sin30°===，∴=2，故选D．【点评】对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．5．（5分）若集合，B={1，m}，若A⊆B，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或【分析】由已知中集合，解根式方程可得A={2}，结合B={1，m}，及A⊆B，结合集合包含关系的定义，可得m的值．【解答】解：∵集合={2}又∵B={1，m}若A⊆B则m=2故选A【点评】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，其中解根式方程确定集合A是解答本题的关键，解答中易忽略根成有意义的条件，而错解为A={﹣1}6．（5分）设α、β是两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，命题p：若平面α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；命题q：l∥α，m⊥l，m⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（）A．p或q B．p且q C．￢p或q D．p且￢q【分析】对于命题p，q，只要把相应的平面和直线放入长方体中，找到反例即可．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中命题p：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足α∥β，l⊂α，m⊂β，而m与l异面，故命题p不正确；﹣p正确；命题q：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足l∥α，m⊥l，m⊂β，而α∥β，故命题q不正确；﹣q正确；故选C．【点评】此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．7．（5分）已知x，y满足约束条件的最小值是（）A．B．C．D．1【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的线段的长度问题，注意最后要平方．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，z=x2+y2，表示可行域内点到原点距离OP的平方，点P到直线3x+4y﹣4=0的距离是点P到区域内的最小值，d=，∴z=x2+y2的最小值为故选B．【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．8．（5分）2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策．如后四位数为“2663”、“8685”为“金兔卡”．则这组号码中“金兔卡”的张数（）A．484 B．972 C．966 D．486【分析】据题意，对卡号的后4位分3种情况讨论：①、后4位中含有2个8，进而细分为1°其他数字不重复，2°其他数字也相同，由排列、组合数公式可得其情况数目，②、后4位中含有2个6的卡片，同①可得其情况数目，③、含有2个8、2个6，由组合数公式可得其情况数目；最后由事件之间的关心计算可得答案．【解答】解：根据题意，对卡号的后4位分3种情况讨论：①、后4位中含有2个8，1°若其他数字不重复，在其中任取2个其他的数字，与2个8进行全排列，有×A44×C92种情况，2°若其他数字也相同，易得有9×C42种情况，共有×A44×C92+9×C42=486张，②、同理后4位只中含有2个6的卡片有486张，③、后4位中含有2个8、2个6，有C42=6张，共有486+486﹣6=966张；故选C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，考查带有约束条件的数字问题，分类讨论时，注意事件之间的关系，要做到不重不漏．9．（5分）有三个命题①函数的反函数是y=（x+1）2（x∈R）②函数f（x）=lnx+x﹣2的图象与x轴有2个交点；③函数的图象关于y轴对称．其中真命题是（）A．①③B．②C．③D．②③【分析】对于①，欲求原函数y=﹣1（x≥0）的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．对于②，利用函数f（x）的单调性，与函数的零点与方程的根判断即可；对于③，通过函数f（x）的奇偶性判断即可．【解答】解：对于①，∵y=﹣1（x≥0），∴x=（y+1）2（y≥﹣1），∴x，y互换，得y=（x+1）2（x≥﹣1）．故不正确．对于②，考察f（x）的单调性，lnx和x﹣2在（0，+∞）上是增函数，故f（x）=lnx+x﹣2在（0，+∞）上是增函数，图象与x轴最多有1个交点，故不正确．对于③，函数的定义域为[﹣3，3]，所以，函数化简为：y=是偶函数，图象关于y轴对称，正确．故选C．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、反函数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．10．（5分）若长度为定值的线段AB 的两端点分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动，O 为坐标原点，则△OAB 的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是（ ） A ．点 B ．线段 C ．圆弧D ．抛物线的一部分【分析】本题是个选择题，利用排除法解决．首先由△OAB 的重心，排除C ；再利用△OAB 的内心，排除B ；最后利用△OAB 的垂心，排除A ；即可得出正确选项．【解答】解：设重心为G ，AB 中点为C ，连接OC ．则OG=OC （这是一个重心的基本结论）．而OC=AB=定值，所以G 轨迹圆弧． 排除C ；内心一定是平分90度的那条角平分线上，轨迹是线段．排除B ；外心是三角形外接圆圆心，对于这个直角三角形，AB 中点C 就是三角形外接圆圆心，OC 是定值， 所以轨迹圆弧，排除C ； 垂心是原点O ，定点，排除A 故选D ．【点评】本题考查三角形的重心、内心、外心、垂心、以及轨迹的求法．解选择题时可利用排除法．11．（5分）若关于x 的不等式|x ﹣1|＜ax （a ≠0）的解集为开区间（m ，+∞），其中m ∈R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ≥1B ．a ≤﹣1C ．0＜a ＜1D ．﹣1＜a ＜0【分析】在同一坐标系中做出函数 y=|x |和 函数y=ax 的图象，由题意结合图形可得实数a 的取值范围．【解答】解：∵关于x 的不等式|x ﹣1|＜ax （a ≠0）的解集为 开区间（m ，+∞），其中m ∈R ，在同一坐标系中做出函数y=|x﹣1|和函数y=ax的图象，如图所示：结合图象可得a≥1．故选：A．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，画出图形，是解题的关键，属于中档题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）12．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为2π，则球的表面积为12π．【分析】求出截面圆的半径，利用勾股定理求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：由题意可知截面圆的半径为：r，所以πr2=2π，r=，由球的半径，球心到截面圆的距离，截面圆的半径，满足勾股定理，所以球的半径为：R==．所求球的表面积为：4πR2=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查球与球的截面以及球心到截面的距离的关系，是本题的解题的关键，考查计算能力．13．（5分）已知二项式展开式中的项数共有九项，则常数项为1120．【分析】根据展开式中的项数共有九项可求出n的值是8．利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0，求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项．【解答】解：∵二项式展开式中的项数共有九项∴n=8=2r C8r x4﹣r展开式的通项为T r+1令4﹣r=0得r=4所以展开式的常数项为T5=24C84=1120故答案为：1120．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，解答关键是求出n的值，属于中档题．14．（5分）已知过椭圆的右焦点在双曲线的右准线上，则双曲线的离心率为．【分析】先由题设条件求出椭圆的焦点坐标和双曲线的准线方程，列出关于b 的方程求出b，从而得到a和c，再利用a和c求出双曲线的离心率．【解答】解：由题设条件可知椭圆的右焦点坐标为（2，0），双曲线的右准线方程为x=，∴，解得b=2．则双曲线的离心率为．故答案为：．【点评】本题是双曲线的椭圆的综合题，难度不大，只要熟练掌握圆锥曲线的性质就行．15．（5分）函数，在区间（﹣π，π）上单调递增，则实数φ的取值范围为．【分析】求出函数的单调增区间，通过子集关系，确定实数φ的取值范围．【解答】解：函数，由2kπ﹣πφ≤2kπ，可得6kπ﹣3π﹣3φ≤x≤6kπ﹣3φ，由题意在区间（﹣π，π）上单调递增，所以6kπ﹣3π﹣3φ≤﹣π 且π≤6kπ﹣3φ，因为0＜φ＜2π，所以k=1，实数φ的取值范围为；故答案为：【点评】本题是基础题，考查三角函数的单调性的应用，子集关系的理解，考查计算能力．16．（5分）在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设．①若∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为（，+∞）；②若∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为不存在．【分析】①先对函数配方，求出其对称轴，判断出其在给定区间上的单调性进而求出函数值的范围，即可求出实数m的取值范围；②先利用单调性分别求出两个函数的值域，再比较即可求出实数a的取值范围．【解答】解：因为f（x）==，（2，+∞），f（x）＞f（2）=；g（x）=a x，（a＞1，x＞2）．g（x）＞g（2）=a2．①∵∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，∴m；②∵∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），∴⇒a不存在．故答案为：（，+∞）：不存在．【点评】本题主要考查函数恒成立问题以及借助于单调性研究函数的值域，是对基础知识的综合考查，属于中档题目．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx﹣sinx，2cosx）．（I）求证：向量与向量不可能平行；（II）若•=1，且x∈[﹣π，0]，求x的值．【分析】（I）先假设两个向量平行，利用平行向量的坐标表示，列出方程并用倍角和两角和正弦公式进行化简，求出一个角的正弦值，根据正弦值的范围推出矛盾，即证出假设不成立；（II）利用向量数量积的坐标表示列出式子，并用倍角和两角和正弦公式进行化简，由条件和已知角的范围进行求值．【解答】解：（I）假设∥，则2cosx（cosx+sinx）﹣sinx（cosx﹣sinx）=0，1+cosxsinx+cos2x=0，即1+sin2x+=0，∴sin（2x+）=﹣3，解得sin（2x+）=﹣＜﹣1，故不存在这种角满足条件，故假设不成立，即与不可能平行．（II）由题意得，•=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）+2cosxsinx=cos2x+sin2x=sin （2x+）=1，∵x∈[﹣π，0]，∴﹣2π≤2x≤0，即≤，∴=﹣或，解得x=或0，故x的值为：或0．【点评】本题考查了向量共线和数量积的坐标运算，主要利用了三角恒等变换的公式进行化简，对于存在性的题目一般是先假设成立，根据题意列出式子，再通过运算后推出矛盾，是向量和三角函数相结合的题目．18．（12分）已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查．（I）求男生被抽取的人数和女生被抽取的人数；（I）若从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；（II）若本班学生考前心理状态好的概率为0.8，求调查中恰有3人心理状态良好的概率．【分析】（Ⅰ）根据题意，可得抽取的比例为，由分层抽样的性质，计算可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人，分析可得“至少选取1个男生”与“没有1个男生”即“选取的都是2个女生”为对立事件；先计算“选取的都是2个女生”的概率，进而由对立事件的概率性质，计算可得答案；（Ⅲ）根据题意，分析可得：本题为在5次独立重复试验中恰有3次发生，由其公式，计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，在50人中抽取了5人，抽取的比例为；则抽取男生30×=3，女生20×=2；即男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人，“至少选取1个男生”与“没有1个男生”即“2个女生”为对立事件；选取的两名学生都是女生的概率P==，∴所求的概率为1﹣P=；（Ⅲ）根据题意，本班学生的考前心理状态良好的概率为0.8，则抽出的5人中，恰有3人心理状态良好，即在5次独立重复试验中恰有3次发生，则其概率为C53×（）3×（）2=．【点评】本题主要考查排列n次独立重复实验中恰有k次发生的概率计算，涉及分层抽样与对立事件的概率计算；需要牢记各个公式，并做到“对号入座”．19．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=a，E为棱A1D1中点．（I）求二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）求直线A1C1到平面EAC的距离．【分析】（I）取AD的中点H，连接EH，则EH⊥平面ABCD，过H作HF⊥AC与F，连接EF，我们可得∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角，解三角形EFH后，即可求出二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）直线A1C1到平面EAC的距离，即A1点到平面EAC的距离，利用等体积法，我们根据=，即可求出直线A 1C1到平面EAC的距离．【解答】解：（I）取AD的中点H，连接EH，则EH⊥平面ABCD，过H作HF⊥AC 与F，连接EF，则EF在平面ABCD内的射影为HF，由三垂线定理得EF⊥AC，，∴∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角∵EH=a，HF=BD=∴∠tan∠EFH===2∴二面角E﹣AC﹣B的正切值为﹣2…6分（II）直线A1C1到平面EAC的距离，即A1点到平面EAC的距离d，…8分∵=∴S•d=△EAC∵EF====•AC•EF=•a•=∴S△EAC而=••a=∴•d=•a∴d=∴直线A1C1到平面EAC的距离【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到平面的距离，其中（I）的关键是得到∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角，（II）中求点到面的距离时，等体积法是最常用的方法．20．（12分）已知f（x）=tx3﹣2x2+1．（I）若f′（x）≥0对任意t∈[﹣1，1]恒成立，求x的取值范围；（II）求t=1，求f（x）在区间[a，a+3]（a＜0）上的最大值h（a）．【分析】（I）f′（x）=3tx2﹣4x，令g（t）=3x2t﹣4x，由，能求出x的取值范围．（II）由f（x）=x3﹣2x2+1，知f′（x）=3x2﹣4x=x（3x﹣4），f′（x）＞0，得f（x）在（﹣∞，0）和（）为递增函数；令f′（x）＜0，得f（x）在（0，）为递减函数．由此进行分类讨论，能求出f（x）在区间[a，a+3]（a＜0）上的最大值h（a）．【解答】解：（I）f′（x）=3tx2﹣4x，令g（t）=3x2t﹣4x，则有，∴，解得．∴x的取值范围是．（II）f（x）=x3﹣2x2+1，f′（x）=3x2﹣4x=x（3x﹣4），令f′（x）＞0，得x＜0或x＞．令f′（x）＜0，得0，∴f（x）在（﹣∞，0）和（）为递增函数；在（0，）为递减函数．∵f（0）=1，，令f（x）=1，得x=0或x=2．①当a+3＜0，即a＜﹣3时，f（x）在[a，a+3]单调递增．∴h（a）=f（a+3）=a3+7a2+15a+10．②当0≤a+3≤2，即﹣3≤a≤﹣1时，h（a）=f（0）=1．③当a+3＞2，即0＞a＞﹣1时，h（a）=f（a+3）=a3+7a2+15a+10．∴．【点评】本题考查导数在求最大值和求最小值时的实际应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要注意分类讨论思想的灵活运用．21．（12分）已知{a n}是正数组成的数列，a1=1，且点在函数y=x2+1的图象上．数列{b n}满足b1=0，b n+1=b n+3an（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=a n b n cosnπ（n∈N*），求数列{c n}的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）由题设条件知a n=a n+1，根据等差数列的定义：{a n}是首项为1，+1公差为1的等差数列，从而a n=n，根据b n+1=b n+3an（n∈N*），可得b n+1﹣b n=3n （n∈N*）．累加可求和，从而得{b n}的通项公式；（II）根据c n=a n b n cosnπ（n∈N*），可得，再分n为偶数，奇数分别求和即可【解答】解：（Ⅰ）因为点（）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上=a n+1所以a n+1根据等差数列的定义：{a n}是首项为1，公差为1的等差数列所以a n=n=b n+3an（n∈N*）．∵b n+1∴b n﹣b n=3n（n∈N*）．+1∴（II）∵c n=a n b n cosnπ（n∈N*），∴当n为偶数时，S n=（﹣3+2•32+…+n•3n）+3[1﹣2+3﹣4+…+（n﹣1）﹣n]设T n=（﹣3+2•32+…+n•3n），则3T n=﹣32+2•33+…+n•3n+1∴∴当n为奇数时，∴【点评】本题以函数为载体，考查数列的概念和性质及其应用，考查错位相减法求和，解题时要注意公式的灵活运用．22．（10分）若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=﹣1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；（Ⅲ）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l 上，求证：t与均为定值．【分析】（I）由点C到定点M的距离等于到定直线l的距离与抛物线的定义可得点C的轨迹为抛物线所以曲线E的方程为x2=4y．（II）由题得直线AB的方程是x﹣2y+12=0联立抛物线的方程解得A（6，9）和B（﹣4，4），进而直线NA的方程为，由A，B两点的坐标得到线段AB中垂线方程为，可求N点的坐标，进而求出圆N的方程．（III）设A，B两点的坐标，由题意得过点A的切线方程为又Q（a，﹣1），可得x12﹣2ax1﹣4=0同理得x22﹣2ax2﹣4=0所以x1+x2=2a，x1x2=﹣4．所以直线AB的方程为所以t=﹣1．根据向量的运算得=0．【解答】【解】（Ⅰ）依题意，点C到定点M的距离等于到定直线l的距离，所以点C的轨迹为抛物线，曲线E的方程为x2=4y．（Ⅱ）直线AB的方程是，即x﹣2y+12=0．由及知，得A（6，9）和B（﹣4，4）由x2=4y得，．所以抛物线x2=4y在点A处切线的斜率为y'|x=6=3．直线NA的方程为，即．①线段AB的中点坐标为，线段AB中垂线方程为，即．②由①、②解得．于是，圆C的方程为，即．（Ⅲ）设，，Q（a，1）．过点A的切线方程为，即x12﹣2ax1﹣4=0．同理可得x22﹣2ax2﹣4=0，所以x1+x2=2a，x1x2=﹣4．又=，所以直线AB的方程为，即，亦即，所以t=1．而，，所以==．【点评】本题主要考查抛物线的定义和直线与曲线的相切问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常考的知识点．。
人教版2018最新高考数学二轮复习测试题(文科)Word版
高考数学二轮复习测试题 (附参照答案 )数学(文科)一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分。
1. 会合 P{ x | yx 1} ，会合 Q { y | yx1} ，则 P 与 Q 的关系是A. P＝ QB. P QC. P QD. P∩ Q ＝2. 复数1 2i的虚部是（）．1 i．1． 1i．3A ． 2iBCD已知平面向量 r （）， r 22r2r23.（）， 则向量 aba= 1, m b= m , mA ．平行于 x 轴 B．平行于第一、三象限的角均分线C ．平行于 y 轴 D．平行于第二、四象限的角均分线4. （文） 以下函数中，在 (0, ) 上是增函数的是A. ysin xB.y1C. y2xD.yx 2 2x 1x5. 某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图 ( 或称主视图 ) 是一个底边长为 8、高为 5的等腰三角形，侧视图 ( 或称左视图 ) 是一个底边长为 6、高为 5的等腰三角形．则该儿何体的体积为B. 80C. 64D. 2406. 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 2a 5 a 8 15,则S 9=A ． 18B ． 36C ． 45 D． 607. 角 终边过点 P( 1,2) ，则 sin=A .5B. 2 5C. 5D. 2 55 5 558. 在△ ABC 中，角 A, B, C 的对边边长分别为 a 3,b 5, c 6 ,则 bc cos A ca cos B ab cosC 的值为A ． 38B ． 37C． 36 D． 359. 方程 ( 1 ) x x 20 的根所在的区间为（）。
2A ． ( 1,0) B.(0,1)C． (1,2) D. (2,3)10. 将正整数排成下表：1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 1415 16,,,,,,,,,,,,,则数表中的数字 2010 出现的行数和列数是 A ．第 44 行 75 列B．45行 75列C．44 行74列D．45行 74列二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每题 5 分，满分 20 分 .（一）必做题（ 11—13 题）11. 已知点 M （1， 0）是圆 C:x 2 y 2 4x 2 y 0 内的一点，那么过点 M 的最短弦所在的直线方程是。
2018届高三二轮复习数学(文)(人教版)高考大题专攻练：(四)Word版含解析
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高考大题专攻练4.数列(B组)大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!1.数列{a n}的前n项和记为S n,a1=t,点(a n+1,S n)在直线y=x-1上,n∈N*. 世纪金榜导学号46854418(1)当实数t为何值时,数列{a n}是等比数列?并求数列{a n}的通项公式.(2)若f(x)=[x]([x]表示不超过x的最大整数),在(1)的结论下,令b n=f(log3a n)+1,c n=a n+,求{c n}的前n项和T n.【解析】(1)由题意得S n=a n+1-1,[来源:学_科_网Z_X_X_K]所以S n-1=a n-1,[来源:Z§xx§]两式相减得a n=a n+1-a n,即a n+1=3a n,所以当n≥2时,数列{a n}是等比数列,[来源:学科网]要使n≥1时,数列{a n}是等比数列,则只需要=3,因为a1=a2-1,所以a2=2a1+2,所以=3,解得t=2,所以实数t=2时,数列{a n}是等比数列,a n=2·3n-1.(2)因为b n=f(log3a n)+1=[log3(2×3n-1)]+1,因为3n-1<2×3n-1<3n,所以n-1<log3(2×3n-1)<n,所以b n=n-1+1=n,所以c n=a n+=2×3n-1+=2×3n-1+,因为{a n}的前n项和为=3n-1,的前n项和为(1-+-+…+-)==-,[来源:Z。
xx。
]所以T n=3n-1+-=3n--.2.已知等比数列{a n}满足a n+1+a n=9·2n-1,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=na n,数列{b n}的前n项和为S n,若不等式S n>ka n-1对一切n∈N*恒成立,求实数k的取值范围.【解析】(1)设等比数列{a n}的公比为q,因为a n+1+a n=9·2n-1,所以a2+a1=9,a3+a2=18,所以q===2.又2a1+a1=9,所以a1=3,[来源:学科网ZXXK]所以a n=3·2n-1,n∈N*.(2)b n=na n=3n·2n-1,所以S n=3×1×20+3×2×21+…+3(n-1)×2n-2+3n×2n-1,所以S n=1×20+2×21+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1,所以S n=1×21+2×22+…+(n-1)×2n-1+n×2n,所以-S n=1+21+22+…+2n-1-n×2n=-n×2n=(1-n)2n-1,所以S n=3(n-1)2n+3,因为S n>ka n-1对一切n∈N*恒成立,所以k<==2(n-1)+,令f(n)=2(n-1)+,则f(n+1)-f(n)=2n+-=2+-=2-=>0,故f(n)随着n的增大而增大,所以f(x)mi n=f(1)=,所以实数k的取值范围是.关闭Word文档返回原板块。
【高考复习】2018届高考数学文科二轮复习(全国通用)：阶段滚动练4(对应1～11练)
阶段滚动练4(对应1～11练)(建议时间：90分钟)一、选择题1.设集合M ＝{x |x ≥2}，N ＝{x |x 2－25＜0}，则M ∩N 等于( ) A.(1，5) B.[2，5) C.(－5，2] D.[2，＋∞)答案 B解析 由题意得，x 2－25＜0⇒－5＜x ＜5，则M ∩N ＝[2，5)，故选B. 2.i 为虚数单位，已知复数z 满足21＋i ＝z ＋i ，则z 等于( ) A.1＋2i B.1－2i C.1＋i D.－1＋i 答案 A解析 由题意得，设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，21＋i＝1－i ⇒a ＝1，b ＝2. 3.“直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交”是“0＜b ＜1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B解析 若“直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交”，则圆心到直线的距离为d ＝||b 2＜1，即||b ＜2，不能推出0＜b ＜1；反过来，若0＜b ＜1，则圆心到直线的距离为d ＝||b 2＜12＜1，所以直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交，故选B.4.已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，向量a 与b 的夹角为60°，则|a －b |等于( ) A.19 B.19 C.7 D.7 答案 C解析 由题意，得|a －b |＝|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝7，故选C. 5.在△ABC 中， AB ＝5，AC ＝6，若B ＝2C ，则BC 的长为( ) A.5 B.115 C.95 D.75答案 B解析 由正弦定理得，AC sin B ＝AB sin C ⇒6sin 2C ＝5sin C ⇒cos C ＝35，由余弦定理得， cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22AC ·BC ⇒BC ＝115，故选B.6.要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需要将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A.向左平移π12个单位长度B.向右平移π12个单位长度C.向左平移π3个单位长度D.向右平移π3个单位长度答案 B解析 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin 4⎝⎛⎭⎫x －π12，所以要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位长度. 7.已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( ) A.－32a 2 B.－34a 2 C. 34a 2 D. 32a 2答案 D解析 BD →·CD →＝BD →·BA →＝()BA →＋BC →·BA →＝BA →2＋BC →·BA →＝a 2＋a 2cos 60°＝32a 2. 8.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 答案 D解析 由五点作图知，⎩⎨⎧14ω＋φ＝π2，54ω＋φ＝3π2，解得ω＝π，φ＝π4，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4， 令2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，k ∈Z ，解得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，故f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D.9.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x ＜1，2x －1，x ≥1， 则f (－2)＋f (log 212)等于( )A.3B.6C.9D.12 答案 C解析 ∵f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3， f (log 212)＝2log 1212-＝2log 62＝6，∴f (－2)＋f (log 212)＝9.10.已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝12e -，则( ) A.x <y <z B.z <x <y C.z <y <x D.y <z <x答案 D解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1. ∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝12e-＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可知，y <z <x .11.据统计某超市两种蔬菜A ，B 连续n 天价格分别为a 1，a 2，a 3，…，a n 和b 1，b 2，b 3，…，b n ，令M ＝{m |a m ＜b m ，m ＝1，2，…，n }，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A ＜B ，现有三种蔬菜A ，B ，C ，下列说法正确的是( ) A.若A ＜B ，B ＜C ，则A ＜CB.若A ＜B ，B ＜C 同时不成立，则A ＜C 不成立C.A ＜B ，B ＜A 可同时不成立D.A ＜B ，B ＜A 可同时成立 答案 C解析 特例法：例如蔬菜A 连续10天价格为1，2，3，4，…，10，蔬菜B 连续10天价格分别为10，9，…，1时，A ＜B ，B ＜A 同时不成立，故选C.12.已知函数f (x )＝x 3＋3x (x ∈R )，若不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )＜0对任意实数t ≥1恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－22 C.(－2，－2) D.(－∞，－2)答案 D解析 由题意得，f (－x )＝－f (x )，则f (x )为奇函数且f (x )在R 上单调递增，不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )＜0对任意实数t ≥1恒成立，则2m ＋mt 2＜－4t 在t ≥1时恒成立，分离参数m ＜－4tt 2＋2＝－4t ＋2t ，又因为t ＋2t ≥22(当且仅当t ＝2时，取等号)，则m ＜－2，故选D.二、填空题13.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≥0，0＜x ≤4，则yx 的最大值是________.答案 14解析 由题意得，满足条件的可行域如图所示，当过原点的直线过点C (4，1)时， yx 有最大值，最大值为14.14.将函数y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩为原来的12，纵坐标不变，便得到函数f (x )的图象，则f (x )的解析式为____________________. 答案 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 解析 由题意得，函数y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位长度，则y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，将所得图象上各点的横坐标缩为原来的12，纵坐标不变，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 15.已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＋n ＝________. 答案 11解析 因为f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2， 所以f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝0，f ′(－1)＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3m －n ＋m 2＝0，3－6m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.当m ＝1，n ＝3时，函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x ＋1，则f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 函数在R 上单调递增，函数无极值， 所以m ＋n ＝11.16.在平行四边形ABCD 中，点M 在边CD 上，且满足DM ＝13DC ，点N 在CB 的延长线上，且满足CB ＝BN ，若AB ＝3，AD ＝4，则AM →·NM →的值为________. 答案 30解析 因为AM →＝AD →＋13AB →，NM →＝2AD →－23AB →，所以AM →·NM →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13AB →⎝⎛⎭⎫2AD →－23AB →＝2⎝⎛⎭⎫AD →2－19AB →2＝30. 三、解答题17.已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π). (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值.解 (1)f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， 于是T ＝2π1＝2π.(2)由已知得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈[－1，2]. 故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.18.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝()a ，3b 与n ＝(cos A ，sin B )平行. (1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积.解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)方法一 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332.方法二 由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ， 得sin B ＝217， 又由a ＞b 知，A ＞B ，所以cos B ＝277，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114， 所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332.19.已知函数f (x )＝ax 2＋1x，其中a 为实数.(1)根据a 的不同取值，判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)若a ∈(1，3)，判断函数f (x )在[1，2]上的单调性，并说明理由. 解 (1)当a ＝0时， f (x )＝1x ，显然是奇函数；当a ≠0时，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝a －1， f (1)≠f (－1)且f (1)＋f (－1)≠0， 所以此时f (x )是非奇非偶函数. (2)设∀x 1＜x 2∈[1，2]，则f (x 1)－f (x 2)＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎣⎡⎦⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2. 因为x 1＜x 2∈[1，2]，所以x 1－x 2＜0， 2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4， 所以2＜a (x 1＋x 2)＜12， 14＜1x 1x 2＜1，所以a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 故函数f (x )在[1，2]上单调递增.20.函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x .(1)当a ＝3时，求f (x )的单调区间；(2)若∀a ∈(－1，＋∞)，∃x ∈(1，e)，有f (x )－b ＜0，求实数b 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝－3x 2＋2x －1x (x >0)，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫13，＋∞时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减. (2)首先，对于任意a ∈(－1，＋∞)，ln x －12ax 2－2x ＜b 恒成立，则b ＞⎝⎛⎭⎫ln x －12ax 2－2x max . 因为函数h (a )＝ln x －12ax 2－2x ＝－12ax 2－2x ＋ln x 在(－1，＋∞)上是减函数，所以h (a )＜h (－1)＝12x 2－2x ＋ln x ，所以b ≥12x 2－2x ＋ln x .其次，∃x ∈(1，e)，使不等式b ≥12x 2－2x ＋ln x 成立，于是b ≥⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋ln x min ， 令g (x )＝12x 2－2x ＋ln x ，则g ′(x )＝x －2＋1x ＝(x －1)2x≥0，所以函数g (x )在(1，e)上是增函数， 于是g (x )min ＝g (1)＝－32，故b >－32，即b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－32，＋∞.。
江西省南昌市2018届高三第二轮复习测试卷文科数学(四)(解析版)
2017-2018学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷文科数学(四)一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，则是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域及值域分别求出集合和集合，求出集合的补集，即可求得.【详解】∵集合∴∵集合∴∵∴∴故选C.【点睛】本题考查函数的定义域与函数的值域的求法，集合的交、并、补的运算，考查计算能力．2.等比数列中，，则公比（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据数列为等比数列及，即可求得公比.【详解】∵数列为等比数列，∴∴故选B.【点睛】本题主要考查等比数列的性质的运用，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.3.命题若为第一象限角，则; 命题函数有两个零点，则（）A. 为真命题B. 为真命题C. 为真命题D. 为真命题【答案】C【解析】【分析】对于命题，取，即可判断命题为假命题；对于命题，分别画出函数与函数的图象，即可判断命题的真假，再根据复合命题的真值表判断即可．【详解】对于命题：若，则，此时，故为假命题；对于命题：画出函数与函数的图象，如图所示：由图像可知，有3个交点，故为假命题.∴为假命题，为假命题，为真命题，为假命题故选C.【点睛】本题主要考查复合命题的真假，意在考查学生对复合命题知识的掌握水平.复合命题的真假判断口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.4.已知复数满足关于的方程，且的虚部为1，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可设复数，代入方程，根据待定系数法即可求得的值，从而可得.【详解】∵复数满足关于的方程，且的虚部为1∴设复数，则.∴∴，∴，即.故选A.【点睛】本题考查复数及一元二次方程的应用，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运输技巧和常规思路，如，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点、共轭为.5.函数向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图像为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数图象的平移规律：在上的变化符合“左加右减”，在上的变化符合“上加下减”.再根据复合函数的单调性即可得出结论.【详解】将函数向右平移1个单位，得到函数为，再向上平移2个单位可得函数为.根据复合函数的单调性可知在上为单调减函数，且恒过点，故C正确.故选C.【点睛】本题主要考查函数的“平移变换”.解答本题的关键是掌握函数的平移规律“左加右减，上加下减”，属于基础题.6.函数的一个单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式将函数转化为，再根据正弦函数的图象与性质，得函数的单调增区间，对照各选项即可得到答案.【详解】∵∴令，得.取，得函数的一个单调递增区间是.故选B.【点睛】函数的性质：（1），；（2）周期为；（3）由求对称轴；（4）由求增区间，由求减区间.7.三棱锥中，则在底面的投影一定在三角形的（）A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心【答案】C【解析】【分析】先画出图形，过作平面，垂足为，连接并延长交于，连接，可推出，结合，根据线面垂直定理，得证，同理可证，从而可得出结论．【详解】过作平面，垂足为，连接并延长交于，连接.又，平面又平面，同理是三角形的垂心.故选C.【点睛】本题考查了三角形垂心的性质，考查了直线和平面垂直的判定定理和性质定理，以及直线和直线垂直的判定，在证明线线垂直时，其常用的方法是利用证明线面垂直，在证明线线垂直，同时熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键.8.等差数列中，，则是的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据等差数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由等差数列的性质知：，时，成立，即充分性成立，反之：等差数列为常数列，对任意成立，即必要性不成立.故选B．【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键.判断是的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件能否推得条件；二是由条件能否推得条件.9.已知光线从点射出，经过线段(含线段端点)反射，恰好与圆相切，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意作出图形，求得点关于线段的对称点，要使反射光线与圆相切，只需射线与圆相切即可，结合图象，即可求得的取值范围.【详解】如图，关于对称点，要使反射光线与圆相切，只需使得射线与圆相切即可，而直线的方程为：，直线为：.由，得，结合图象可知：.故选D．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线、圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，解答本题的关键是通过数形结合，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径，通过图象判断参数10.根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图（图1），其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，设计一个程序框图（图2），用表示第个同学的身高，计算这些同学身高的方差，则程序框图①中要补充的语句是 ( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据方差公式，将其化简得，结合流程图得循环结束，可得，从而可得，从而可得出答案.【详解】由，循环退出时，知.，故程序框图①中要补充的语句是.故选B．【点睛】把茎叶图与框图两部分内容进行交汇考查，体现了考题设计上的新颖，突出了高考中对创新能力的考查要求．算法表现形式有自然语言、程序框图、算法语句等三种．由于程序框图这一流程图形式与生产生活等实际问题联系密切，既直观、易懂，又需要一定的逻辑思维及推理能力，所以算法考查热点应是以客观题的形式考查程序框图这一内容．11.函数在内存在极值点，则（）A. B.C. 或D. 或【答案】A【解析】【分析】求函数在内存在极值点的的的取值范围转化为求函数在无极值点时的的取值范围，然后求其补集，即可得出答案.【详解】若函数在无极值点，则或在恒成立.①当在恒成立时，时，，得；时，，得；②当在恒成立时，则且，得；综上，无极值时或.∴在在存在极值.故选A．【点睛】（1）可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同；（2）若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调递增或减的函数没有极值.12.已知函数，和分别是函数取得零点和最小值点横坐标，且在单调，则的最大值是 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得，即，根据，可推出，再根据在单调，可推出，从而可得的取值范围，再通过检验的这个值满足条件．【详解】∵，和分别是函数取得零点和最小值点横坐标∴，即.又∵，∴又∵在单调∴又∵∴当，时，，由是函数最小值点横坐标知，此时，在递减，递增，不满足在单调，故舍去；当，时，由是函数最小值点横坐标知，此时在单调递增，故.故选B．【点睛】对于函数，如果它在区间上单调，那么基本的处理方法是先求出单调区间的一般形式，利用是单调区间的子集得到满足的不等式组，利用和不等式组有解确定整数的取值即可.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.设满足，则的最大值为__________.【答案】12【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【详解】作出不等式组可行域如图所示：由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时，取得最大值12.故答案为12.【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.矩形中，，，点为线段的中点，在线段（含端点）上运动，则的最小值是_________.【答案】-8【解析】【分析】以为原点，建立直角坐标系，可得，设，表示出，从而可得的最小值.【详解】以为原点，如图建立直角坐标系：则.设.∴∴，当或时，取得最小值.故答案为.【点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单.15.如图为某几何体的三视图，正视图与侧视图是两个全等的直角三角形，直角边长分别为与1，俯视图为边长为1的正方形，则该几何体最长边长为_______.【答案】【解析】【分析】由已知的三视图，可得该几何体是一个三棱锥，底面为腰长为1的等腰直角三角形，即可直接求出最长边长.【详解】由三视图还原几何体如图所示：该几何体还原实物图为三棱锥，为腰长为1的等腰三角形，平面，则，. ∴最长边为故答案为.【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：①首先看俯视图，根据俯视图画出几何体底面的直观图；②观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③画出整体，然后再根据三视图进行调整.16.设分别是双曲线左右焦点，是双曲线上一点，内切圆被双曲线渐近线所截得弦长不大于实半轴，且与轴相切，则双曲线离心率取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】不妨设在第一象限，分别为内切圆与三边的切点，根据双曲线的定义可得，结合圆的性质，从而推出内切圆圆心为，根据内切圆被双曲线渐近线所截得弦长不大于实半轴，且与轴相切，可得出不等式，结合，即可求得离心率的取值范围.【详解】根据题意，不妨设在第一象限，分别为内切圆与三边的切点，如图所示：∵∴在双曲线上，故内切圆圆心为，半径为∴圆心到渐近线的距离是∴弦长依题得，即.∴∴∵∴，同时除以得∴故答案为【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在菱形中，且，点分别是棱的中点，将四边形沿着转动，使得与重合，形成如图所示多面体，分别取的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若平面平面，求多面体的体积.【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）取中点，连接，根据分别是的中点，可推出，从而推出平面平面，即可得证平面；（Ⅱ）连接，设交于点，则，结合平面平面，即可推出平面，将多面体分解为四棱锥和四棱锥，求出梯形的面积，从而可得多面体的体积.【详解】（Ⅰ）取中点，连接.∵分别是的中点∴又∵∴平面，平面又∵平面平面又平面∴平面.（Ⅱ）连接，设交于点.又平面平面，平面平面平面多面体可以分解为四棱锥和四棱锥在菱形中，且知：.设梯形的面积为，则.【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．18.某电视节目为选拔出现场录制嘉宾，在众多候选人中随机抽取100名选手，按选手身高分组，得到的频率分布表如图所示.（Ⅰ）请补充频率分布表中空白位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（Ⅱ）为选拔出舞台嘉宾，决定在第3、4、5组中用分层抽样抽取6人上台，求第3、4、5组每组各抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，电视节目主持人会在上台6人中随机抽取2人表演节目，求第4组至少有一人被抽取的概率？【答案】(Ⅰ)见解析（Ⅱ）3人，2人，1人；（Ⅲ）【解析】(Ⅰ)根据频率、频数与样本容量的关系，求出对应的数值，画出频率分布直方图；（Ⅱ）利用分层抽样原理，求出各小组应抽取的人数；（Ⅲ）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．【详解】（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为人，第3组的频率为频率分布直方图:（Ⅱ）因为第3,4,5组共有60名观众，所以利用分层抽样.在60人中抽取6人，每组人数为：3人，2人，1人；（Ⅲ）设第3组的3人分别是：；第4组的2人分别是：；第5组的1人是：.从中抽取两人的可能有：共有15种不同可能性∴第4组至少有一人被抽取的概率.【点睛】古典概型中基本事件数的探求方法（1）列举法.（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.（3）列表法：适应于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. 19.各项均为正数的数列满足：是其前项的和，且.数列满足，.（Ⅰ）求及通项；（Ⅱ）求数列的通项.【答案】(Ⅰ)（Ⅱ）【分析】(Ⅰ)根据，分别令，，，即可求得的值，列出当时，，根据，即可求得数列的通项公式；（Ⅱ）由(Ⅰ)可得，利用累加及错位相减法即可求得数列的通项公式.【详解】（Ⅰ）在中，令得；令得；令得；当时，故①②得，即数列是等差数列，（Ⅱ）由（Ⅰ）知：记，则两式相减得，又也符合，，即【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.20.已知是椭圆：（）与抛物线:的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点．（Ⅰ）求椭圆及抛物线的方程；（Ⅱ）设过且互相垂直的两动直线，与椭圆交于两点，与抛物线交于两点，求四边形面积的最小值.【答案】（Ⅰ）椭圆的方程为，抛物线的方程为；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据是椭圆：（）与抛物线:的一个公共点，可求得，从而可得相同的焦点的坐标，结合，即可求得与，从而可得椭圆及抛物线的方程；（Ⅱ）由题可知直线斜率存在，设直线的方程，，当时，求出，当时，直线的方程为，结合韦达定理及弦长公式求得及，表示出，通过换元及二次函数思想即可求得四边形面积的最小值.【详解】（Ⅰ）抛物线：一点，即抛物线的方程为，又在椭圆：上，结合知（负舍），，椭圆的方程为，抛物线的方程为.（Ⅱ）由题可知直线斜率存在，设直线的方程，①当时，，直线的方程，，故②当时，直线的方程为，由得.由弦长公式知.同理可得..令，则，当时，，综上所述：四边形面积的最小值为8.【点睛】在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的方法，确定参数的取值范围.21.已知函数（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)见解析（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）对函数求导，讨论当时，时，时，时，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【详解】（Ⅰ）由题，（1）当时，故时，函数单调递减，时，函数单调递增；（2）当时，故时，,函数单调递增，时，,函数单调递减，时，,函数单调递增；（3）当时，恒成立，函数单调递增；（4）当时，故时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增；（Ⅱ）当时，有唯一零点不符合题意；由（Ⅰ）知：当时，故时，函数单调递减，时，函数单调递增，时，；时，，必有两个零点；当时，故时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，,函数至多有一个零点；当时，函数单调递增，函数至多有一个零点；当时，故时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，，函数至多有一个零点；综上所述：当时，函数有两个零点.【点睛】本题主要考查利用导数求单调区间、应用导数研究函数的零点问题以及分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出．本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22.在直角坐标系中，圆的方程为（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴且具有相同单位长建立极坐标系，求的极坐标方程；（Ⅱ）直线的参数方程为（其中为参数），若直线与交于两点，求中点到的距离．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）把圆的标准方程化为一般方程，由此利用，即可求出的极坐标方程；（Ⅱ）根据直线的参数方程可得当时，点在直线上，故可将直线的参数方程为，代入到圆，设对应的参数为，根据韦达定理，即可求得.【详解】（Ⅰ）由圆的方程为知：是圆的极坐标方程.（Ⅱ）直线的参数方程为，当时，点在直线上，故可将直线的参数方程为，代入圆：得，设对应的参数为.中点对应的参数为【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式），先去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程转化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题.23.已知函数 .（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若不存在实数，使得不等式，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）不等式的解集为；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）当时，函数，通过讨论的范围，得到关于的不等式组，解出即可；（Ⅱ）不存在实数,使得不等式等价于恒成立，即恒成立，根据绝对值不等式的性质可得的最小值，从而通过解不等式，即可求得实数的取值范围.【详解】（Ⅰ），当时，，解得当时，，解得当时，，解得综上所述，不等式的解集为.（Ⅱ）不存在实数,使得不等式等价于恒成立，即恒成立.当时，，解得当时，，解得时，不存在实数，使得不等式.【点睛】含绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.。
2018年高考全国卷考前保温练习数学(文科)试题含答案
2018年高考全国卷考前保温练习数学（文科）试题一．选择题：共大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}3,2,1{=A ，}9|{2<=x x B ，则A B =A ．}2,1{B ．}3,2,1{C ．}2,1,0,1,2{--D ．}32,1,0,1,2{，--2.复数i1i21+-=z 对应的点位于平面直角坐标系的 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.“ααcos sin =”是“02cos =α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.ABC ∆的内角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，已知4,6,2ππ===C B b ，则ABC ∆的面积为A ．232+B ．13+C ．232-D ．13-5.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为A ．36B ．18C ．12D ．6第5题图 第6题图 第7题图6.执行如图所示的程序框图，若输出结果为15，则判断框中应填入的条件M 为A ．16≥kB ．8<kC ．16<kD ．8≥k7.某商场一年中各月份的收入、支出（单位：万元）情况的统计如图所示，下列说法错误．．的是 A ．2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同 B ．支出最高值与支出最低值的比是6:1 C ．第三季度平均收入为50万元 D.利润最高的月份是2月份8.设2log 3=a ，2log 5=b ，3log 2=c ，则A ．b c a >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>9.已知抛物线)0(22>==p px y 的准线与圆16)3(22=+-y x 相切，则p 的值为A ．21B ．1C ．2D ．410.学校艺术节对同一类D C B A ，，，的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位参赛作品对这四项参赛作品预测如下：甲说：“C 或D 作品获得一等奖”；乙说：“B 作品获得一等奖”，丙说：“A ，D 两项作品未获得一等奖”；丁说：“C 作品获得一等奖”.若这四位同学只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是A ．A 作品B ．B 作品C ．C 作品D ．D 作品11.在封闭的直三棱柱111C B A ABC -内有一个体积为V 的球.若BC AB ⊥，6=AB ，8=BC ，31=AA ，则V 的最大值是A ．π4B ．π6C ．29π D ．332π12.已知1F ，2F 是双曲线1:2222=-b y a x E 的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，31sin 12=∠F MF ，则E 的离心率为 A ．2 B ．23C ．3D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若双曲线122=-my x 的离心率为3，则实数=m _______. 14. 曲线x x y ln 2+=在点)1,1(处的切线方程为____________________.15.已知)2,0(πα∈，2tan =α，则=-)4cos(πα ．16.铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶铁每万吨铁矿石的2CO 排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：某冶铁厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求2CO 的排放量不超过2（万吨），则购买铁矿石的最少费用为_______(百万元)三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程） 17.（12分）在等差数列}{n a 中94=a ，前三项的和为15． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 3的前n 项和n S ．次，每次射靶的成绩情况如图所示： ）从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析： ①从平均数和方差相结合看（分析谁的成绩更稳定）； ②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）； 第18题图 ③从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）19.（12分）等边三角形ABC 的边长为6，O 为三角形ABC 的重心，EF 过点O 且与BC 平行，将沿直线EF 折起，使得平面⊥AEF BCFE （1）求证：⊥BE 平面AOC （2）求点O 到平面ABC 的距离第19题图20.（12分） 已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点. (Ⅰ)求的轨迹方程；(Ⅱ)当时，求的方程及的面积21.（12分）设函数1ln )(+-=x x x f ．（1）讨论)(x f 的单调性；（2）设1>c ，证明当)1,0(∈x 时，x c x c >-+)1(1．)2,2(P C 0822=-+y y x P l C B A ,AB M O M OM OP =l POM ∆（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩，（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，（ϕ为参数）. （1）将1C ，2C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标系方程为(cos 2sin )4ρθθ-=.若1C 上的点P 对应的参数为2πθ=，点Q 在2C 上，点M 为PQ 的中点，求点M 到直线l 距离的最小值.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数2()23f x x a x a =-+++.（1）证明：()2f x ≥；（2）若3()32f -<，求实数a 的取值范围.2018年高考全国卷考前保温练习参考答案一、选择题：二、填空题：13. 2； 14.023=--y x ； 15.10103； 16. 15. 三、解答题：17. 解：（1）由题意得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+23,153393111d a d a d a 即，故12+=n a n . （2）n n n n n a a a S 31235333332221++++=+++= ①13231n 2353331+++++=n n S ②将①-②得：1323123131312132++-++++=n n n n S ）（ ，所以n n n S 322+-= 18. 解：甲射击10次中靶环数分别为：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. 将它们有小到大的重排为：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9.乙射击10次中靶环数分别为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.也将它们由小到大重排为：4，6，7，7，8，8，9，9，10. (1) （环））（甲7107092847265101==+⨯+⨯+⨯+⨯=x （环））（乙7107010292827642101==+⨯+⨯+⨯+++⨯=x 2.1])79(2)78(4)77(2)76()75[(101222222=-+⨯-+⨯-+⨯-+-⨯=甲S 4.5])710(2)79()78(2)77()76()74()72[(10122222222=-+⨯-+-+⨯-+-+-+-⨯=乙S根据以上数据与计算填表如下：（2）①因为平均数相同，22乙甲S S <，所以甲成绩比乙稳定.②因为平均数相同,命中9环及9环以上的次数甲比乙少，所以乙成绩比甲好些.③甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第四次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力.19. 解：（1）因为O 为三角形ABC 的重心， 所以BC AO ⊥，因为BC EF //，所以EF AO ⊥，因为平面⊥AEF 平面BCFE ，平面 AEF 平面EF BCFE =，AEF AO 平面⊂， 所以BCFE AO 平面⊥，因为BCFE BE 平面⊂，所以BE AO ⊥， 因为O 为三角形ABC 的重心，所以BE CO ⊥，因为AOC CO AO 平面、⊂，O CO AO = ，所以AOC BE 平面⊥（2）5152 20.解：（1）圆C 的方程可化为，所以圆心为，半径为4，设，则，，由题设知， 故，即.由于点在圆的内部，所以的轨迹方程是.22(4)16x y +-=(0,4)C (,)M x y (,4)CM x y =-(2,2)MP x y =--0=⋅MP CM (2)(4)(2)0x x y y -+--=22(1)(3)2x y -+-=P C M 22(1)(3)2x y -+-=（2）由（1）可知的轨迹是以点为半径的圆.由于，故在线段的垂直平分线上，又在圆N 上，从而.因为的斜率为3，所以的斜率为，故的方程为.又，O 到，，所以的面积为.21.解：（1）由题设，的定义域为，，令，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. （2）由题设，设，则，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减. 由（Ⅱ）知，，故，又，故当时，. 所以当时，.M (1,3)N ||||OP OM =O PM P ON PM ⊥ON l 13-l 1833y x =-+||||OP OM ==l ||PM =POM ∆165()f x (0,)+∞'1()1f x x=-'()0f x =1x =01x <<'()0f x >()f x 1x >'()0f x <()f x 1c >()1(1)x g x c x c =+--'()1ln x g x c c c =--'()0g x =01lnln ln c c x c-=0x x <'()0g x >()g x 0x x >'()0g x <()g x 11ln c c c-<<001x <<(0)(1)0g g ==01x <<()0g x >(0,1)x ∈1(1)x c x c +->。
2018年高考数学文科(课标版)仿真模拟卷(四)含答案
(2)∵PA=PD=AD=2, ∴三角形 PAD 为等边三角形. 又∵E 为 AD 中点,∴PE⊥AD. 又∵PE⊥BE,BE∩AD=E, ∴PE⊥平面 ABCD. 又∵AC⊂平面 ABCD,∴AC⊥PE. ∵AD=2,AB= 2,四边形 ABCD 是矩形,E 是 AD 中点, ∴△ABE∽△DAC,
(2)甲队平均分为x甲 =
8
=90.25,
82 + 84 + 87 + 92 + 91 + 94 + 95 + 97
乙队平均分为x乙 =
8
=90.25,
甲队成绩的方差s甲2 =
=7.6,
(86 - 90.25)2 + (89 - 90.25)2 + (88 - 90.25)2 + (90 - 90.25)2 + (91 - 90.25)2 + 8
b+c
3
因为 bc≤ 2 2,所以(b+c)2≤4(b+c)2+4,即 b+c≤4(当且仅当 b=c=2 时等号成立).所以 a+b+c≤6.
18.证明 (1)连接 BD 交线段 AC 于点 N,连接 MN,则 N 为线段 BD 中点.
∵点 M 为线段 PD 中点,
∴MN∥PB. 又∵MN⊂平面 MAC,PB⊄平面 MAC, ∴PB∥平面 MAC.
x
x
0,解得
x>x0,令
f'(x)<0,解得
0≤x<x0,从而对于
f(x)在
x=x0 处取最小值,f(x0)=2e
0
-(x0-a)2+3,又
x0=e
0
2018年高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学试卷(四)精品解析含答案
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学（四）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合2{|}M x x x =∈=R ，{}1,0,1N =-，则M N =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．设i 1i 1z +=-，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．B ．i -C ．1i -+D ．1i --3．已知()()22log 111sin 13x x f x xx ⎧--<<⎪=⎨π⎪⎩≥，则312f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．52B ．52-C ．32-D ．12-4．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且96=πS ，则5tan a =（ ）班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A．3B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，如果输入的100t =，则输出的n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．86．已知函数()sin(2)(02)ϕϕπ=+≤＜f x x 的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()cos2=g x x 的图象，则下列是函数()=y f x 的图象的对称轴方程的为（ ） A ．6π=x B ．12π=x C ．3π=x D ．0=x7．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）A ．21;n n -B ．21;1n n -+C ．121;n n +-D ．121;1n n +-+8．已知点P 在圆C ：224240x y x y +--+=上运动，则点P 到直线：250x y --=的距离的最小值是（ ） A ．B ．C 1D 19．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若()20f -=，则满足()10xf x ->的的取值范围是（ ）开始输入t输出n 结束k ≤t否是0,2,0S a n ===S S a=+31,1a a n n =-=+A ．()(),10,3-∞-B ．()()1,03,-+∞C ．()(),11,3-∞-D ．()()1,01,3-10．已知点()4,0A ，()0,4B ，点(),P x y 的坐标，y 满足0034120+⎧⎪⎪-⎨⎩≥≥≤x y x y ，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．254B ．0C ．19625－D ．－811．某几何体的直观图如图所示，AB 是O 的直径，BC 垂直O 所在的平面，且10AB BC ==，Q 为O 上从A 出发绕圆心逆时针方向运动的一动点．若设弧AQ 的长为，CQ 的长度为关于的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作倾斜角为60︒的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段1F B ，则该双曲线的离心率是（ ） AB．2C ．2D1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018届高考数学文科二轮复习(全国通用)：中档大题规范练4 Word版含解析
4.概率与统计1.某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入，精确到0.1米) 以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7.(1)求进入决赛的人数；(2)经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在8～10米之间，乙成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲、乙各跳一次，求甲比乙远的概率.解 (1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14， 所以总人数为70.14＝50.所以第4，5，6组成绩均进入决赛，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36， 即进入决赛的人数为36.(2)设甲、乙各跳一次的成绩分别为x ，y 米，则基本事件满足的区域为⎩⎪⎨⎪⎧8≤x ≤10，9.5≤y ≤10.5，事件A “甲比乙远”的概率满足的区域为x ＞y ，如图阴影部分所示.所以由几何概型P (A )＝12×12×121×2＝116，即甲比乙远的概率为116.2.(2017·湖南永州一模)某学校为加强学生的交通安全教育，对学校旁边A ，B 两个路口进行了8天的检测调查，得到每天各路口不按交通规则过马路的学生人数(如茎叶图所示)，且A 路口数据的平均数比B 路口数据的平均数小2.(1)求出A 路口8个数据中的中位数和茎叶图中m 的值；(2)在B 路口的数据中任取大于35的2个数据，求所抽取的2个数据中至少有一个不小于40的概率.解 (1)A 路口8个数据的中位数为34＋352＝34.5.因为A 路口8个数据的平均数为 21＋30＋31＋34＋35＋35＋37＋498＝34，所以B 路口8个数据的平均数为36，所以24＋32＋36＋37＋38＋42＋45＋(30＋m )8＝36，m ＝4.(2)在B 路口的数据中任取2个大于35的数据，有如下10种可能结果：(36，37)，(36，38)，(36，42)，(36，45)，(37，38)，(37，42)，(37，45)，(38，42)，(38，45)，(42，45).其中“至少有一个抽取的数据不小于40”的情况有如下7种：(36，42)，(36，45)，(37，42)，(37，45)，(38，42)，(38，45)，(42，45). 故所求的概率为P ＝710.3.(2017·云南昆明摸底)某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员， 对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：消费次第 第1次 第2次 第3次 第4次 ≥5次 收费比例10.950.900.850.80该公司从注册的会员中， 随机抽取了100位进行统计， 得到统计数据如下：消费次第 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 频数60201055假设汽车美容一次， 公司成本为150元， 根据所给数据， 解答下列问题：。
通用版2018年高考数学二轮复习稳取120分保分练四理
稳取120分保分练(四)一、选择题1．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆AD ．A ⊆B解析：选B ∵集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}＝{x |x ＞2或x ＜0}，∴A ∩B ＝{x |2＜x ＜5或－5＜x ＜0}，A ∪B ＝R ，故选B.2．已知z1－i ＝2＋i ，则复数z 的共轭复数为( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i解析：选A 由已知，z ＝(1－i)(2＋i)＝3－i ，其共轭复数为3＋i.故选A. 3．命题“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”的否定是( ) A ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1 B ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1 C ．∀x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1 D ．∀x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1解析：选A 因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”的否定是“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”．4．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.16π3 B.19π3 C.19π12D.4π3解析：选B 由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1.则底面外接圆半径r ＝233，球心到底面的距离d ＝12.设球的半径为R ，则R 2＝r 2＋d 2＝43＋14＝1912，则该球的表面积S ＝4πR 2＝19π3.故选B.5．(x 2＋2x ＋3y )5的展开式中x 5y 2的系数为( )A ．60B ．180C ．520D ．540解析：选D (x 2＋2x ＋3y )5可看作5个(x 2＋2x ＋3y )相乘，从中选2个y ，有C 25种选法；再从剩余的三个(x 2＋2x ＋3y )里边选出2个x 2，最后一个里边选出x ，有C 23·C 11种选法；∴x 5y 2的系数为32C 25·C 23·2·C 11＝540.6．执行如图所示的程序框图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 D 根据已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤1，3x －3，1<x ≤3，1x ，x >3的函数值．当x ≤1时，y ＝x 3＝x ，解得x ＝－1或x ＝0或x ＝1，这三个x 值均满足条件； 当1＜x ≤3时，y ＝3x －3＝x ，解得x ＝32，满足条件；当x ＞3时，y ＝1x＝x ，解得x ＝－1或x ＝1，这两个x 值均不满足条件；综上所述，满足条件的x 值的个数是4.7．若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π 解析：选A ∵(a －b )⊥(3a ＋2b )， ∴(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－2b 2－a ·b ＝0，即a ·b ＝3a 2－2b 2＝23b 2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝23b 2223b 2＝22，即〈a ，b 〉＝π4.8．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ图象的一个对称中心为(2,0)，且f (1)＞f (3)，要得到函数f (x )的图象，可将函数y ＝2cos π3x 的图象( )A ．向左平移12个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：选C ∵函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ图象的一个对称中心为(2,0)，∴2π3＋φ＝k π＋π2，即φ＝k π－π6，k ∈Z ，故可取φ＝－π6，f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6，满足f (1)＞f (3)，故可将函数y ＝2cos π3x 的图象向右平移12个单位，得到函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6的图象．9．若双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝2至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(1， 2 ]D ．(1,2]解析：选C 双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为y ＝x a，由渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝2至多有一个交点，可得，圆心(0,2)到渐近线的距离d ≥r ，即有|2a |1＋a2≥2，解得a ≥1，则离心率e ＝c a ＝1＋a2a＝1＋1a2∈(1， 2 ]．10．已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 2a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，且a 9·a 2 010＝14，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 018＝( )A ．－2 018B ．2 018C ．log 22 018D ．1 009解析：选A ∵数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 2a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，∴数列{a n }是等比数列，∴a 1·a 2 018＝a 2·a 2 017＝…＝a 9·a 2 010＝14，∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 018＝log 2(a 1·a 2·…·a 2 018) ＝log 2(a 9·a 2 010)1 009＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 018＝－2 018.11．对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x 满足f (－x )＝－f (x )，则称函数f (x )为“局部奇函数”．若函数f (x )＝4x－m ·2x＋m 2－3是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋3)B ．[－1,2]C ．[－22，2 2 ]D ．[－22，1－ 3 ]解析：选B 根据“局部奇函数”的定义可知，函数f (－x )＝－f (x )有解即可，即4－x－m ·2－x＋m 2－3＝－(4x －m ·2x ＋m 2－3)有解，∴4x＋4－x－m (2x ＋2－x )＋2m 2－6＝0，即(2x ＋2－x )2－m (2x ＋2－x )＋2m 2－8＝0有解．设t ＝2x＋2－x，则t ＝2x ＋2－x ≥2，∴方程等价为t 2－mt ＋2m 2－8＝0在t ≥2时有解，设g (t )＝t 2－mt ＋2m2－8，对称轴x ＝m2.①若m2≥2，则由Δ＝m 2－4(2m 2－8)≥0，得7m 2≤32，此时m 不存在；②若m2＜2，要使t 2－mt ＋2m 2－8＝0在t ≥2时有解，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2<2，4－2m ＋2m 2－8≤0，Δ≥0，解得－1≤m ≤2.综上－1≤m ≤2.12．已知函数f (x )＝(2－x )e x－ax －a ，若不等式f (x )＞0恰有两个正整数解，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－e 34，0B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－e 2，0C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－e 34，e 2 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－e 34，2 解析：选A 令g (x )＝(2－x )e x，h (x )＝ax ＋a ，由题意知，存在2个正整数，使g (x )在直线h (x )的上方， ∵g ′(x )＝(1－x )e x，∴当x ＞1时，g ′(x )＜0，当x ＜1时，g ′(x )＞0， ∴g (x )max ＝g (1)＝e ，且g (0)＝2，g (2)＝0，g (3)＝－e 3， 直线h (x )恒过点(－1,0)，且斜率为a ，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧h ，h，h－e 3，解得－e 34≤a ＜0，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－e 34，0，故选A.二、填空题13.设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，AF 1⊥AB 且AF 1＝AB ，则椭圆C 的离心率为________．解析：连接BF 1(图略)．设|AF 1|＝t ，则|AB |＝t ，|F 1B |＝2t ，由椭圆定义有：|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a .∴|AF 1|＋|AB |＋|F 1B |＝4a ，即(2＋2)t ＝4a ，t ＝(4－22)a ， ∴|AF 2|＝2a －t ＝(22－2)a . 在Rt △AF 1F 2中，|F 1F 2|2＝(2c )2， ∴[(4－22)a ]2＋[(22－2)a ]2＝(2c )2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝9－62＝(6－3)2，∴e ＝6－ 3.答案：6－ 314．若目标函数z ＝kx ＋2y 在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤1，x ＋y ≥2，y －x ≤2下仅在点(1,1)处取得最小值，则实数k 的取值范围是________．解析：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．由z ＝kx ＋2y 得y ＝－k 2x ＋z2，要使目标函数z ＝kx ＋2y 仅在点B (1,1)处取得最小值，则阴影部分区域在直线z ＝kx ＋2y 的右上方，∴目标函数的斜率－k2大于直线x ＋y ＝2的斜率且小于直线2x －y ＝1的斜率．即－1＜－k2＜2，解得－4＜k ＜2，即实数k 的取值范围为(－4,2)．答案：(－4,2)15．已知函数f (x )＝x ＋1|x |＋1，x ∈R ，则不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)的解集为________．解析：当x ≥0时，f (x )＝x ＋1x ＋1＝1，当x ＜0时，f (x )＝x ＋11－x＝－1－2x －1， 作出f (x )的图象，如图所示．可得f (x )在(－∞，0)上递增，不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)即为⎩⎪⎨⎪⎧3x －4≥0，x 2－2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧3x －4<0，x 2－2x <0，x 2－2x <3x －4，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥43，0<x <2或⎩⎪⎨⎪⎧x <43，0<x <2，1<x <4，解得43≤x ＜2或1＜x ＜43，所以1＜x ＜2，即不等式的解集为(1,2)． 答案：(1,2)16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足4cos 2A 2－cos [2(B ＋C )]＝72，若a ＝2，则△ABC 的面积的最大值是________．解析：∵A ＋B ＋C ＝π，∴4cos 2A2－cos[2(B ＋C )]＝2(1＋cos A )－cos 2A ＝－2cos 2A ＋2cos A＋3＝72，∴2cos 2A －2cos A ＋12＝0.∴cos A ＝12.∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.∵a ＝2，由余弦定理可得：4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立． ∴bc ≤4.∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，即△ABC 的面积的最大值是 3.答案： 3 三、解答题17．已知等差数列{a n }的首项为a 1(a 1≠0)，公差为d ，且不等式a 1x 2－3x ＋2＜0的解集为(1，d )．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n －a n ＝1n 2＋n，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)由不等式a 1x 2－3x ＋2＜0的解集为(1，d )，可得a 1＞0，且1，d 为方程a 1x 2－3x ＋2＝0的两根，即有1＋d ＝3a 1，d ＝2a 1，解得a 1＝1，d ＝2，则数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. (2)b n －a n ＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1，即为b n ＝a n ＋1n －1n ＋1＝2n －1＋1n －1n ＋1， 则{b n }的前n 项和S n ＝(1＋3＋…＋2n －1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝12n (1＋2n －1)＋1－1n ＋1＝n 2＋n n ＋1. 18．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．解：(1)f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6，又因为f (x 0)＝65，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6， 从而cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45.所以cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6·cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝3－4310.19.如图，三棱柱ABC A1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C . (1)证明：AC ＝AB 1；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，AB ＝BC ，求二面角A A 1B 1C 1的余弦值．解：(1)证明：连接BC 1，交B 1C 于点O ，连接AO ，∵侧面BB 1C 1C 为菱形，∴BC 1⊥B 1C ，且O 为BC 1和B 1C 的中点， 又∵AB ⊥B 1C ，AB ∩BC 1＝B ，∴B 1C ⊥平面ABO ， ∵AO ⊂平面ABO ，∴B 1C ⊥AO ， 又B 1O ＝CO ，∴AC ＝AB 1.(2)∵AC ⊥AB 1，且O 为B 1C 的中点，∴AO ＝CO ， 又∵AB ＝BC ，∴△BOA ≌△BOC ， ∴OA ⊥OB ，∴OA ，OB ，OB 1两两垂直．以O 为坐标原点，OB ―→的方向为x 轴的正方向，|OB ―→|为单位长度，OB 1―→的方向为y 轴的正方向，OA ―→的方向为z 轴的正方向建立空间直角坐标系．∵∠CBB 1＝60°，∴△CBB 1为正三角形，又AB ＝BC ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，33，B (1,0,0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－33，0. ∴AB 1―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，－33，A 1B 1―→＝AB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，－33，B 1C 1―→＝BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33，0.设向量n ＝(x ，y ，z )是平面AA 1B 1的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1―→＝33y －33z ＝0，n ·A 1B 1―→＝x －33z ＝0，可取n ＝(1，3，3)，同理可得平面A 1B 1C 1的一个法向量m ＝(1，－3，3)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝17，∴二面角A A 1B 1C 1的余弦值为17.20．从某校高三年级的学生中随机抽取了100名学生，统计了某次数学模考考试成绩如表：(1)的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这100名学生的平均成绩；(2)从这100名学生中，采用分层抽样的方法已抽取了20名同学参加“希望杯数学竞赛”，现需要选取其中3名同学代表高三年级到外校交流，记这3名学生中“期中考试成绩低于120分”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解：(1)100－(5＋35＋30＋10)＝20， 1－0.05－0.2－0.3－0.1＝0.35. 频率分布表为：频率分布直方图为：平均成绩为105×0.05＋115×0.2＋125×0.35＋135×0.3＋145×0.1＝127分．(2)成绩低于120分的人数为20×(0.05＋0.2)＝5，不低于120分的人数为20－5＝15，∴ξ的所有可能取值为0,1,2,3，且P (ξ＝0)＝C 315C 320＝91228，P (ξ＝1)＝C 15C 215C 320＝3576，P (ξ＝2)＝C 25C 115C 320＝538，P (ξ＝3)＝C 35C 320＝1114.∴ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×91228＋1×76＋2×38＋3×114＝4.。
江西省南昌市2018届高三第二轮复习测试卷文科数学(四)(精编含解析)
2017-2018学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷文科数学(四)一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，则是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域及值域分别求出集合和集合，求出集合的补集，即可求得.【详解】∵集合∴∵集合∴∵∴∴故选C.【点睛】本题考查函数的定义域与函数的值域的求法，集合的交、并、补的运算，考查计算能力．2.等比数列中，，则公比（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据数列为等比数列及，即可求得公比.【详解】∵数列为等比数列，∴∴故选B.【点睛】本题主要考查等比数列的性质的运用，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.3.命题若为第一象限角，则; 命题函数有两个零点，则（）A. 为真命题B. 为真命题C. 为真命题D. 为真命题【答案】C【解析】【分析】对于命题，取，即可判断命题为假命题；对于命题，分别画出函数与函数的图象，即可判断命题的真假，再根据复合命题的真值表判断即可．【详解】对于命题：若，则，此时，故为假命题；对于命题：画出函数与函数的图象，如图所示：由图像可知，有3个交点，故为假命题.∴为假命题，为假命题，为真命题，为假命题故选C.【点睛】本题主要考查复合命题的真假，意在考查学生对复合命题知识的掌握水平.复合命题的真假判断口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.4.已知复数满足关于的方程，且的虚部为1，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可设复数，代入方程，根据待定系数法即可求得的值，从而可得.【详解】∵复数满足关于的方程，且的虚部为1∴设复数，则.∴∴，∴，即.故选A.【点睛】本题考查复数及一元二次方程的应用，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运输技巧和常规思路，如，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点、共轭为.5.函数向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图像为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数图象的平移规律：在上的变化符合“左加右减”，在上的变化符合“上加下减”.再根据复合函数的单调性即可得出结论.【详解】将函数向右平移1个单位，得到函数为，再向上平移2个单位可得函数为.根据复合函数的单调性可知在上为单调减函数，且恒过点，故C正确.故选C.【点睛】本题主要考查函数的“平移变换”.解答本题的关键是掌握函数的平移规律“左加右减，上加下减”，属于基础题.6.函数的一个单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式将函数转化为，再根据正弦函数的图象与性质，得函数的单调增区间，对照各选项即可得到答案.【详解】∵∴令，得.取，得函数的一个单调递增区间是.故选B.【点睛】函数的性质：（1），；（2）周期为；（3）由求对称轴；（4）由求增区间，由求减区间.7.三棱锥中，则在底面的投影一定在三角形的（）A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心【答案】C【解析】【分析】先画出图形，过作平面，垂足为，连接并延长交于，连接，可推出，结合，根据线面垂直定理，得证，同理可证，从而可得出结论．【详解】过作平面，垂足为，连接并延长交于，连接.又，平面又平面，同理是三角形的垂心.故选C.【点睛】本题考查了三角形垂心的性质，考查了直线和平面垂直的判定定理和性质定理，以及直线和直线垂直的判定，在证明线线垂直时，其常用的方法是利用证明线面垂直，在证明线线垂直，同时熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键.8.等差数列中，，则是的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【解析】【分析】根据等差数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由等差数列的性质知：，时，成立，即充分性成立，反之：等差数列为常数列，对任意成立，即必要性不成立.故选B．【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键.判断是的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件能否推得条件；二是由条件能否推得条件.9.已知光线从点射出，经过线段(含线段端点)反射，恰好与圆相切，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意作出图形，求得点关于线段的对称点，要使反射光线与圆相切，只需射线与圆相切即可，结合图象，即可求得的取值范围.【详解】如图，关于对称点，要使反射光线与圆相切，只需使得射线与圆相切即可，而直线的方程为：，直线为：.由，得，结合图象可知：.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线、圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，解答本题的关键是通过数形结合，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径，通过图象判断参数的取值范围.10.根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图（图1），其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，设计一个程序框图（图2），用表示第个同学的身高，计算这些同学身高的方差，则程序框图①中要补充的语句是 ( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据方差公式，将其化简得，结合流程图得循环结束，可得，从而可得，从而可得出答案.【详解】由，循环退出时，知.，故程序框图①中要补充的语句是.故选B．【点睛】把茎叶图与框图两部分内容进行交汇考查，体现了考题设计上的新颖，突出了高考中对创新能力的考查要求．算法表现形式有自然语言、程序框图、算法语句等三种．由于程序框图这一流程图形式与生产生活等实际问题联系密切，既直观、易懂，又需要一定的逻辑思维及推理能力，所以算法考查热点应是以客观题的形式考查程序框图这一内容．11.函数在内存在极值点，则（）A. B.C. 或D. 或【答案】A【解析】【分析】求函数在内存在极值点的的的取值范围转化为求函数在无极值点时的的取值范围，然后求其补集，即可得出答案.【详解】若函数在无极值点，则或在恒成立.①当在恒成立时，时，，得；时，，得；②当在恒成立时，则且，得；综上，无极值时或.∴在在存在极值.故选A．【点睛】（1）可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同；（2）若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调递增或减的函数没有极值.12.已知函数，和分别是函数取得零点和最小值点横坐标，且在单调，则的最大值是 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得，即，根据，可推出，再根据在单调，可推出，从而可得的取值范围，再通过检验的这个值满足条件．【详解】∵，和分别是函数取得零点和最小值点横坐标∴，即.又∵，∴又∵在单调∴又∵∴当，时，，由是函数最小值点横坐标知，此时，在递减，递增，不满足在单调，故舍去；当，时，由是函数最小值点横坐标知，此时在单调递增，故.故选B．【点睛】对于函数，如果它在区间上单调，那么基本的处理方法是先求出单调区间的一般形式，利用是单调区间的子集得到满足的不等式组，利用和不等式组有解确定整数的取值即可.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.设满足，则的最大值为__________.【答案】12【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【详解】作出不等式组可行域如图所示：由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时，取得最大值12.故答案为12.【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.矩形中，，，点为线段的中点，在线段（含端点）上运动，则的最小值是_________.【答案】-8【解析】【分析】以为原点，建立直角坐标系，可得，设，表示出，从而可得的最小值.【详解】以为原点，如图建立直角坐标系：则.设.∴∴，当或时，取得最小值.故答案为.【点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单.15.如图为某几何体的三视图，正视图与侧视图是两个全等的直角三角形，直角边长分别为与1，俯视图为边长为1的正方形，则该几何体最长边长为_______.【答案】【解析】【分析】由已知的三视图，可得该几何体是一个三棱锥，底面为腰长为1的等腰直角三角形，即可直接求出最长边长.【详解】由三视图还原几何体如图所示：该几何体还原实物图为三棱锥，为腰长为1的等腰三角形，平面，则，.∴最长边为故答案为.【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：①首先看俯视图，根据俯视图画出几何体底面的直观图；②观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③画出整体，然后再根据三视图进行调整.16.设分别是双曲线左右焦点，是双曲线上一点，内切圆被双曲线渐近线所截得弦长不大于实半轴，且与轴相切，则双曲线离心率取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】不妨设在第一象限，分别为内切圆与三边的切点，根据双曲线的定义可得，结合圆的性质，从而推出内切圆圆心为，根据内切圆被双曲线渐近线所截得弦长不大于实半轴，且与轴相切，可得出不等式，结合，即可求得离心率的取值范围.【详解】根据题意，不妨设在第一象限，分别为内切圆与三边的切点，如图所示：∵∴在双曲线上，故内切圆圆心为，半径为∴圆心到渐近线的距离是∴弦长依题得，即.∴∴∵∴，同时除以得∴故答案为【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在菱形中，且，点分别是棱的中点，将四边形沿着转动，使得与重合，形成如图所示多面体，分别取的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若平面平面，求多面体的体积.【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）取中点，连接，根据分别是的中点，可推出，从而推出平面平面，即可得证平面；（Ⅱ）连接，设交于点，则，结合平面平面，即可推出平面，将多面体分解为四棱锥和四棱锥，求出梯形的面积，从而可得多面体的体积.【详解】（Ⅰ）取中点，连接.∵分别是的中点∴又∵∴平面，平面又∵平面平面又平面∴平面.（Ⅱ）连接，设交于点.又平面平面，平面平面平面多面体可以分解为四棱锥和四棱锥在菱形中，且知：.设梯形的面积为，则.【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．18.某电视节目为选拔出现场录制嘉宾，在众多候选人中随机抽取100名选手，按选手身高分组，得到的频率分布表如图所示.（Ⅰ）请补充频率分布表中空白位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（Ⅱ）为选拔出舞台嘉宾，决定在第3、4、5组中用分层抽样抽取6人上台，求第3、4、5组每组各抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，电视节目主持人会在上台6人中随机抽取2人表演节目，求第4组至少有一人被抽取的概率？【答案】(Ⅰ)见解析（Ⅱ）3人，2人，1人；（Ⅲ）【解析】【分析】(Ⅰ)根据频率、频数与样本容量的关系，求出对应的数值，画出频率分布直方图；（Ⅱ）利用分层抽样原理，求出各小组应抽取的人数；（Ⅲ）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．【详解】（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为人，第3组的频率为频率分布直方图:（Ⅱ）因为第3,4,5组共有60名观众，所以利用分层抽样.在60人中抽取6人，每组人数为：3人，2人，1人；（Ⅲ）设第3组的3人分别是：；第4组的2人分别是：；第5组的1人是：.从中抽取两人的可能有：共有15种不同可能性∴第4组至少有一人被抽取的概率.【点睛】古典概型中基本事件数的探求方法（1）列举法.（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.（3）列表法：适应于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. 19.各项均为正数的数列满足：是其前项的和，且.数列满足，.（Ⅰ）求及通项；（Ⅱ）求数列的通项.【答案】(Ⅰ)（Ⅱ）【解析】【分析】(Ⅰ)根据，分别令，，，即可求得的值，列出当时，，根据，即可求得数列的通项公式；（Ⅱ）由(Ⅰ)可得，利用累加及错位相减法即可求得数列的通项公式.【详解】（Ⅰ）在中，令得；令得；令得；当时，故①②得，即数列是等差数列，（Ⅱ）由（Ⅰ）知：记，则两式相减得，又也符合，，即【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.20.已知是椭圆：（）与抛物线:的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点．（Ⅰ）求椭圆及抛物线的方程；（Ⅱ）设过且互相垂直的两动直线，与椭圆交于两点，与抛物线交于两点，求四边形面积的最小值.【答案】（Ⅰ）椭圆的方程为，抛物线的方程为；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据是椭圆：（）与抛物线:的一个公共点，可求得，从而可得相同的焦点的坐标，结合，即可求得与，从而可得椭圆及抛物线的方程；（Ⅱ）由题可知直线斜率存在，设直线的方程，，当时，求出，当时，直线的方程为，结合韦达定理及弦长公式求得及，表示出，通过换元及二次函数思想即可求得四边形面积的最小值.【详解】（Ⅰ）抛物线：一点，即抛物线的方程为，又在椭圆：上，结合知（负舍），，椭圆的方程为，抛物线的方程为.（Ⅱ）由题可知直线斜率存在，设直线的方程，①当时，，直线的方程，，故②当时，直线的方程为，由得.由弦长公式知.同理可得..令，则，当时，，综上所述：四边形面积的最小值为8.【点睛】在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的方法，确定参数的取值范围.21.已知函数（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)见解析（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）对函数求导，讨论当时，时，时，时，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【详解】（Ⅰ）由题，（1）当时，故时，函数单调递减，时，函数单调递增；（2）当时，故时，,函数单调递增，时，,函数单调递减，时，,函数单调递增；（3）当时，恒成立，函数单调递增；（4）当时，故时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增；（Ⅱ）当时，有唯一零点不符合题意；由（Ⅰ）知：当时，故时，函数单调递减，时，函数单调递增，时，；时，，必有两个零点；当时，故时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，,函数至多有一个零点；当时，函数单调递增，函数至多有一个零点；当时，故时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，，函数至多有一个零点；综上所述：当时，函数有两个零点.【点睛】本题主要考查利用导数求单调区间、应用导数研究函数的零点问题以及分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出．本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22.在直角坐标系中，圆的方程为（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴且具有相同单位长建立极坐标系，求的极坐标方程；（Ⅱ）直线的参数方程为（其中为参数），若直线与交于两点，求中点到的距离．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）把圆的标准方程化为一般方程，由此利用，即可求出的极坐标方程；（Ⅱ）根据直线的参数方程可得当时，点在直线上，故可将直线的参数方程为，代入到圆，设对应的参数为，根据韦达定理，即可求得.【详解】（Ⅰ）由圆的方程为知：是圆的极坐标方程.（Ⅱ）直线的参数方程为，当时，点在直线上，故可将直线的参数方程为，代入圆：得，设对应的参数为.中点对应的参数为【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式），先去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程转化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题.23.已知函数 .（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若不存在实数，使得不等式，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）不等式的解集为；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）当时，函数，通过讨论的范围，得到关于的不等式组，解出即可；（Ⅱ）不存在实数,使得不等式等价于恒成立，即恒成立，根据绝对值不等式的性质可得的最小值，从而通过解不等式，即可求得实数的取值范围.【详解】（Ⅰ），当时，，解得当时，，解得当时，，解得综上所述，不等式的解集为.（Ⅱ）不存在实数,使得不等式等价于恒成立，即恒成立.当时，，解得当时，，解得时，不存在实数，使得不等式.【点睛】含绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.。
【全国通用-2018高考推荐】最新高考总复习数学(文)二轮复习模拟试题答案解析版
2018年高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}，集合B={x|x|＜1}，则A∪B=（）A．∅B．{x|x=1} C．{x|1≤x≤2} D．{x|﹣1＜x≤2}【考点】：并集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解析】：解：A={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，由B={x|x|＜1}得{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B={x|﹣1＜x≤2}，故选：D【点评】：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆（如图阴影部分）中的概率是（）A．B．C．D．【考点】：几何概型．【专题】：概率与统计．【分析】：设正方形的边长，求出面积以及内切圆的四分之一圆面积，利用几何概型求概率．【解析】：解：设正方形的边长为2，则面积为4；圆与正方形内切，圆的半径为1，所以圆的面积为π，则阴影部分的面积为，所以所求概率为P==．故选：C．【点评】：本题考查了几何概型概率的求法，属于基础题．3．（5分）实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x+3y的最小值是（）A．﹣12 B．﹣8 C．﹣4 D．0【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解析】：解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+3y为，由图可知，当直线过A（﹣2，2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣8．故选：B．【点评】：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．4．（5分）已知非零平面向量，，则“与共线”是“+与﹣共线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：平行向量与共线向量．【专题】：平面向量及应用．【分析】：设出两个命题，利用充分必要条件的定义对p⇒q，q⇒p分别进行判断．【解析】：解：设命题q：“与共线”，设命题“+与﹣共线”，显然命题q成立时，命题p成立，所以q是P成立的充分条件；当“+与﹣共线”时，根据共线的定义有+=λ（﹣），则，由于非零平面向量，，所以λ=±1，那么，所以与共线，所以q是p 必要条件；综上可得，q是p的充要条件；故选：C．【点评】：本题考查了共线向量以及充分必要条件的判断，关键是判断条件与结论的关系．5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣D．﹣【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=7时n大于5退出循环，输出S的值为0．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=1S=，n=3，n不大于5S=﹣，n=5，n不大于5S=0，n=7，n大于5退出循环，输出S的值为0，故选：A．【点评】：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，n的值是解题的关键，属于基础题．6．（5分）函数f（x）=的零点个数是（）A．0 B．1 C． 2 D． 3【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】：作函数f（x）=的图象，利用数形结合求解．【解析】：解：作函数f（x）=的图象如下，由图象可知，函数f（x）=的零点个数是2，故选：C．【点评】：本题考查了学生的作图与用图的能力，属于基础题．7．（5分）已知点A为抛物线C：x2=4y上的动点（不含原点），过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则△ABF（）A．一定是直角B．一定是锐角C．一定是钝角D．上述三种情况都可能【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求导数，确定过A的切线方程，可得B的坐标，求出=（x0，），=（﹣x0，1），可得•=0，即可得出结论．【解析】：解：由x2=4y可得y=x2，∴y′=x，设A（x0，），则过A的切线方程为y﹣=x0（x﹣x0），令y=0，可得x=x0，∴B（x0，0），∵F（0，1），∴=（x0，），=（﹣x0，1），∴•=0，∴∠ABF=90°，故选：A．【点评】：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8．（5分）已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时段，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料．若下面4个说法都是正确的：①甲不在查资料，也不在写教案；②乙不在打印材料，也不在查资料；③丙不在批改作业，也不在打印材料；④丁不在写教案，也不在查资料．此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断（）A．甲在打印材料B．乙在批改作业C．丙在写教案D．丁在打印材料【考点】：进行简单的合情推理．【专题】：简易逻辑．【分析】：若甲不在打印资料，则丙不在查资料，则甲在改作业，丙只能写教案，乙不管是写教案还是改作业都与甲或丙在做一样的事，与题设矛盾，从而得解．【解析】：解：把已知条件列表如下：若甲不在打印资料，则丙不在查资料，则甲在改作业，丙只能写教案，乙不管是写教案还是改作业都与甲或丙在做一样的事，与题设矛盾．所以甲一定在打印资料，此时丁在改作业，乙在写教案，丙在查资料．故选：A．【点评】：这是一个典型的逻辑推理应用题，解题方法是由确定项开始用排除法，逐个推论确定各自的正确选项，最终解决问题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）设i为虚数单位，则i（1﹣i）= 1+i ．【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接利用复数代数形式的乘法运算化简求值．【解析】：解：i（1﹣i）=i﹣i2=1+i．故答案为：1+i．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．10．（5分）若中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（0，﹣2），一条渐近线的方程是x﹣y=0，则双曲线C的方程为﹣=1 ．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0）则c=2，由渐近线方程y=±x，可得a=b，再由a，b，c的关系，解得a，b，进而得到双曲线方程．【解析】：解：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0）则c=2，由渐近线方程y=±x，由题意可得a=b，又c2=a2+b2，解得a=b=2，则双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程，属于基础题．11．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为；表面积为3+．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；作图题；空间位置关系与距离．【分析】：由题意作出其直观图，从而求体积及表面积即可．【解析】：解：由题意可知，其直观图如下，其底面为正方形，S=1×1=1，高为2；故V=×1×2=；其表面积S=1+（2+2+）=3+；故答案为：，3+．【点评】：本题考查了学生的空间想象力与作图能力，属于基础题．12．（5分）已知在△ABC中，C=，cosB=，AB=5，则sinA= ；△ABC的面积为14 ．【考点】：正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：由C=，cosB=，可得sinC=cosC=，sinB=，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC．由正弦定理可得：，可得b=，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解析】：解：∵C=，cosB=，∴sinC=cosC=，sinB==．∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC==．由正弦定理可得：，可得b===4，∴S=×=14．故答案分别为：，14．【点评】：本题考查了正弦定理的应用、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）在圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8内，过点P（1，0）的最长的弦为AB，最短的弦为DE，则四边形ADBE的面积为4．【考点】：圆的切线方程．【专题】：直线与圆．【分析】：由圆的知识可知过（1，0）的最长弦为直径，最短弦为过（1，0）且垂直于该直径的弦，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．【解析】：解：圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=8，由题意得最长的弦|AB|=4，圆心（2，2），圆心与点（1，0）的距离d==，根据勾股定理得最短的弦|DE|=2=2=2，且AB⊥DE，四边形ABCD的面积S=|AB|•|DE|=×4×2=4，故答案为：4．【点评】：本题考查学生灵活运用几何知识决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半是解决问题的关键，属中档题．14．（5分）关于函数f（x）=的性质，有如下四个命题：①函数f（x）的定义域为R；②函数f（x）的值域为（0，+∞）；③方程f（x）=x有且只有一个实根；④函数f（x）的图象是中心对称图形．其中正确命题的序号是①③④．【考点】：命题的真假判断与应用；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的图象．【专题】：简易逻辑．【分析】：直接利用函数的定义域、值域判断①②的正误；利用函数的零点与函数的图象的关系判断③的正误；利用函数的对称性判断④的正误；【解析】：解：对于①，函数f（x）=的定义域为R；所以①正确；对于②，函数f（x）的值域为（0，+∞）；显然不正确，因为函数减函数函数的值域是：（），所以②不正确；对于③方程f（x）=x有且只有一个实根；如图，作出两个是的图象，可知可知方程只有一个根，所以③正确；对于④，函数f（x）的图象是中心对称图形．因为f（x+1）+f（﹣x）=，==，∴f（x）关于（）对称，所以④正确．故答案为：①③④．【点评】：本题考查函数的简单性质的应用，函数的零点的判断，考查数形结合以及基本知识的应用，考查逻辑推理能力．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=cosx（2sinx+cosx）﹣sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）在区间[，π]上的最大值及相应的x的值；（Ⅱ）若f（x0）=2，且x0∈（0，2π），求x0的值．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】：计算题；三角函数的求值．【分析】：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+），由x∈[，π]，可求sin（2x+）∈[﹣1，]，从而可求当且仅当2x+=，即x=π时，f（x）max=1．（Ⅱ）由题意，2sin（2x0+）=2，又x0∈（0，2π），可得2x0+∈（，），即可解得x0的值．【解析】：解：（Ⅰ）f（x）=cosx（2sinx+cosx）﹣sin2x=cosx（2sinx+cosx）﹣sin2x=2sinxcosx+cos2x﹣sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∵x∈[，π]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣1，]，∴当且仅当2x+=，即x=π时，f（x）max=1；…8分（Ⅱ）由题意，2sin（2x0+）=2，所以sin（2x0+）=1，又x0∈（0，2π），所以2x0+∈（，），所以2x0+=或2x0+=，所以x0=或x0=．…13分【点评】：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．16．（13分）已知递增的等差数列{a n}（n∈N*）的前三项之和为18，前三项之积为120．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若点A1（a1，b1），A2（a2，b2），…，A n（a n，b n）（n∈N*）从左至右依次都在函数y=3的图象上，求这n个点A1，A2，A3，…，A n的纵坐标之和．【考点】：数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）通过前三项之和、前三项之积可得公差及首项，根据公式计算即可；（Ⅱ）根据题意及（I），可得=9，问题转化为求首项为3、公比为9的等比数列{b n}的前n项和，计算即可．【解析】：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，∵前三项之和为18，∴a2=6，a1=6﹣d，a3=6+d，又∵前三项之积为120，∴（6﹣d）×6×（6+d）=120，解得d=4或﹣4（舍），∴a1=6﹣4=2，∴a n=4n﹣2；（Ⅱ）根据题意及（I），可得b n=32n﹣1，∴求这n个点A1，A2，A3，…，A n的纵坐标之和即为数列{b n}的前n项和T n，∵=9，b1=32×1﹣1=3，∴数列{b n}是首项为3、公比为9的等比数列，∴T n==（9n﹣1）．【点评】：本题考查等差中项的性质，求通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．17．（13分）某学科测试，要求考生从A，B，C三道试题中任选一题作答．考试结束后，统计数据显示共有420名学生参加测试，选择A，B，C题作答的人数如表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从420份试卷中抽出若干试卷，其中从选择A题作答的试卷中抽出了3份，则应从选择B，C题作答的试卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问被抽出的试卷中，选择A，B，C题作答得优的试卷分别有2份，2份，1份．现从被抽出的选择A，B，C题作答的试卷中各随机选1份，求这3份试卷都得优的概率．【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）根据分层抽样即可得到应从选择B，C题作答的试卷中各抽出得份数；（Ⅱ）记（Ⅰ）中抽取得选择A题作答的试卷分别为a1，a2，a3，其中a1，a2得优，选择B题作答的试卷分别为b1，b2，其中b1，b2得优，选择C题作答的试卷分别为c1，c2其中c1得优，一一列举出所有得结果，再找到满足条件的基本结果，根据概率公式计算即可．【解析】：解（Ⅰ）由题意可得，试卷的抽出比例为=，所以应从选择B题作答试卷中抽取2份，从选择C题作答试卷中抽出2份，（Ⅱ）记（Ⅰ）中抽取得选择A题作答的试卷分别为a1，a2，a3，其中a1，a2得优，选择B题作答的试卷分别为b1，b2，其中b1，b2得优，选择C题作答的试卷分别为c1，c2其中c1得优，从三种试一份卷中分别抽取所有得结果如下，{a1，b1，c1}，{a1，b1，c2}，{a1，b2，c1}，{a1，b2，c2}，{a2，b1，c1}，{a2，b1，c2}，{a2，b2，c1}，{a2，b2，c2}，{a3，b1，c1}，{a3，b1，c2}，{a3，b2，c1}，{a3，b2，c2}，所以结果共有12种可能，其中3份都得优得有{a1，b1，c1}，{a1，b2，c1}，{a2，b1，c1}，{a2，b2，c1}，共4种，故这3份试卷都得优的概率P==．【点评】：本题考查了分层抽样和古典概率的问题，关键是不重不漏的列举所有得基本事件，属于基础题．18．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，M为CD的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．点O是线段AM的中点．（Ⅰ）求证：平面DOB⊥平面ABCM；（Ⅱ）求证：AD⊥BM；（Ⅲ）过D点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面BCD；②l∥AM．请说明理由．【考点】：平面与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理进行判断即可证明平面DOB⊥平面ABCM；（Ⅱ）根据线面垂直的性质定理即可证明AD⊥BM；（Ⅲ）利用反证法结合线面平行的性质进行证明．【解析】：证明：（Ⅰ）由已知DA=DM，O是AM的中点，∴DO⊥AM，∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，DO⊂平面DOB，∴平面DOB⊥平面ABCM；（Ⅱ）在矩形ABCD中，AB=2AD，M为CD的中点，∴AM=BM=AD=AB，∴AM⊥BM，由（1）知，DO⊥平面ABCM；∵BM⊂平面ABCM，∴DO⊥BM，∵DO，AM⊂平面ADM，DO∩AM=0，∴BM⊥平面ADM，而AD⊂平面ADM，∴AD⊥BM；（Ⅲ）过D点是不存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面BCD；②l∥AM．证明（反证法）假设过D存在一条直线l满足条件，则∵l∥AM，L⊄平面ABCM，AM⊂平面ABCM，∴l∥平面ABCM，∵l⊂平面BCD，平面ABCM∩平面BCD=BC，∴l∥BC，即AM∥BC，由图易知，AM，BC相交，此时矛盾，∴过D点不存在一条直线l满足题设条件．【点评】：本题主要考查空间直线和平面平行，垂直以及面面垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键．19．（14分）已知椭圆C：+y2=1，O为坐标原点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且∠AOB=90°．（Ⅰ）若直线l平行于x轴，求△AOB的面积；（Ⅱ）若直线l始终与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，求r的值．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（Ⅰ）由题意设出A，B两点的坐标，结合∠AOB=90°，得，进一步得到A的横纵坐标的关系，代入椭圆方程求得坐标，得到B的坐标，然后代入三角形的面积公式得答案；（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，联立方程组，得到关于x的一元二次方程，写出判别式大于0，再由根与系数关系得到A，B两点横纵坐标的和与积，代入x1x2+y1y2=0得到m与k的关系，结合判别式大于0求得m的范围，再由直线l始终与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，得到圆的半径与m的关系，从而求得r的值，当直线l的斜率不存在时，由直线l与圆x2+y2=r2（r＞0）相切直接求得r的值，则r值可求．【解析】：解：（Ⅰ）不妨设直线l在x轴上方，则A，B两点关于y轴对称，设A（x1，y1），B（﹣x1，y1），（x1＜0，y1＞0），则，由∠AOB=90°，得，∴．又∵点A在椭圆上，∴．由于x1＜0，解得：．则A（），B（）．∴．（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，整理得：（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0．方程的判别式△=4k2﹣m2+1＞0，．由∠AOB=90°，得，即x1x2+y1y2=0．而y1y2=（kx1+m）（kx2+m），则+m2=0∴．整理得：5m2﹣4k2﹣4=0．把4k2=5m2﹣4代入△=4k2﹣m2+1＞0，得．而4k2=5m2﹣4≥0，∴，满足．直线l始终与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，得，由，得．∵r＞0，∴r=．当直线l的斜率不存在时，若直线l与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，此时直线l的方程为：x=，r=．综上所述：r=．【点评】：本题考查了向量在解圆锥曲线问题中的应用，考查了直线与圆锥曲线，圆与圆锥曲线的位置关系，涉及直线和圆锥曲线的位置关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，利用一元二次方程的根与系数关系求解，特点是运算量大，要求考生具有较强的运算能力，是压轴题．20．（13分）已知函数f（x）=asinx+cosx，其中a＞0．（Ⅰ）当a≥1时，判断f（x）在区间[0，]上的单调性；（Ⅱ）当0＜a＜1时，若不等式f（x）＜t2+at+2对于x∈[0，]恒成立，求实数t的取值范围．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】：导数的概念及应用；三角函数的求值．【分析】：（Ⅰ）由题意求导数可得f′（x）≥0，可得f（x）在区间[0，]上单调递增；（Ⅱ）由f′（x）=0可得方程a=tanx在（0，）上必有一根，记为x0，易得∴f（x）max=f（x0）=（a2+1）cosx0=，问题转化为（t﹣2）a+（t2+2）＞0当0＜a＜1时恒成立，构造函数h（a）=（t﹣2）a+（t2+2），可得，解不等式组可得答案．【解析】：解：（Ⅰ）∵a≥1，x∈[0，]，∴f′（x）=acosx﹣sinx≥cosx﹣sinx≥0，∴f（x）在区间[0，]上单调递增；（Ⅱ）令f′（x）=0可得acosx=sinx，∵x∈[0，]，∴cosx≠0，∴a=tanx，∵0＜a＜1，∴tanx∈（0，1），∵函数y=tanx在（0，）上单调递增，∴方程a=tanx在（0，）上必有一根，记为x0，则f′（x0）=acosx0﹣sinx0=0，∵f′（x）=acosx﹣sinx在x∈[0，]上单调递减，∴当x∈（0，x0）时，f′（x）＞f′（x0）=0，当x∈（x0，）时，f′（x）＜f′（x0）=0，∴函数f（x）在（0，x0）单调递增，在（x0，）单调递减，∴f（x）max=f（x0）=asinx0﹣cosx0，又∵acosx0=sinx0，cos2x0+sin2x0=1，∴（a2+1）cos2x0=1，∴cos2x0=，∴f（x）max=f（x0）=（a2+1）cosx0=∵当0＜a＜1时，若不等式f（x）＜t2+at+2对于x∈[0，]恒成立，∴＜t2+at+2，即（t﹣2）a+（t2+2）＞0当0＜a＜1时恒成立，令h（a）=（t﹣2）a+（t2+2），则，解不等式组可得t≤﹣1或t≥0【点评】：本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法判函数的单调性和恒成立问题，属中档题．。
2018学高考文科数学通用版练酷专题二轮复习教学案：第二板块保分题全争取含答案
高考第17题之（一)错误!三角函数与解三角形［说明］高考第17题主要集中在“三角函数与解三角形”与“数列”两个知识点命题，每年选其一进行考查．年卷考题位置考查内容命题规律分份别析201 5全国卷Ⅰ解答题第17题正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式三角函数与解三角形在解答题中一般与三角恒等变换、平面向量等知识进行综合考查．题目难度中等偏下，多为解答题第一题．201 5全国卷Ⅱ解答题第17题正弦定理、三角恒等变换1．（2016·全国卷Ⅰ）△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c。
（1)求C；(2）若c＝错误!，△ABC的面积为错误!，求△ABC的周长．解：（1)由已知及正弦定理得2cos C(sin A cos B＋sin B cos A)＝sin C，即2cos C sin(A＋B）＝sin C,故2sin C cos C＝sin C。
因为C∈（0，π），所以sin C≠0.故cos C＝错误!,所以C＝错误!。
(2)由已知得错误!ab sin C＝错误!.又C＝错误!，所以ab＝6.由已知及余弦定理得a2＋b2－2ab cos C＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b）2＝25,即a＋b＝5，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋错误!。
2．(2015·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C 的对边，sin2B＝2sin A sin C。
(1)若a＝b,求cos B;(2)设B＝90°，且a＝错误!，求△ABC的面积．解：(1）由题设及正弦定理可得b2＝2ac。
又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cos B＝错误!＝错误!。
（2）由（1)知b2＝2ac。
因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝错误!.所以△ABC的面积为错误!×错误!×错误!＝1。
(通用版)2018年高考数学二轮复习 稳取120分保分练(一)文
稳取120分保分练(一)一、选择题1．若z ＝2－i2＋i ，则|z |＝( )A.15 B ．1 C ．5D ．25解析：选B z ＝2－i2＋i＝－2＋－＝35－45i ，则|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝1. 2．设集合A ＝{x ∈Z||x |≤2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|32x ≤1，则A ∩B ＝( )A ．{1,2}B ．{－1，－2}C ．{－2，－1,2}D ．{－2，－1,0,2}解析：选C A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≥32或x ＜0，所以A ∩B ＝{－2，－1,2}．3．向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝2，(a ＋b )⊥(2a －b )，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．45° B ．60° C ．90°D ．120°解析：选C 因为(a ＋b )⊥(2a －b )，所以(a ＋b )·(2a －b )＝2a 2＋a ·b －b 2＝4＋a ·b －4＝0，即a ·b ＝0，从而a ⊥b ，即向量a ，b 的夹角为90°.4．已知一组数据(2,3)，(4,6)，(6,9)，(x 0，y 0)的线性回归方程为y ^＝x ＋2，则x 0－y 0的值为( )A ．2B ．4C ．－4D ．－2解析：选D 由题意知x －＝14(2＋4＋6＋x 0)＝14(12＋x 0)，y －＝14(3＋6＋9＋y 0)＝14(18＋y 0)，∵线性回归方程为y ^＝x ＋2， ∴14(18＋y 0)＝14(12＋x 0)＋2， 解得x 0－y 0＝－2.5．已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选A ∵a ＝243，b ＝425＝245，43＞45，∴a ＞b ，又a ＝243＝316，c ＝325，∴a ＜c ，故c ＞a ＞b .6．已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且a ＝4，b ＋c ＝5，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则△ABC 的面积为( )A.32 B ．3 3 C.332D.32解析：选C 由题意可知，tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B，整理化简得，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ，所以tan C ＝3，即C ＝60°，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，把a＝4，b ＋c ＝5，C ＝60°代入，解得b ＝32，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝332，故选C.7．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，S 3＝3，a n －2＋a n －1＋a n ＝24，S n ＝54，则n 的值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选D ∵S 3＝3，∴a 1＋a 2＋a 3＝3，则3a 2＝3，a 2＝1.∵a n －2＋a n －1＋a n ＝24，∴3a n －1＝24，a n －1＝8.∵{a n }为等差数列，∴S n ＝a 1＋a n n2＝a 2＋a n －1n2＝＋8n2＝54，∴n ＝12. 8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A ．20B ．22C ．24D ．26解析：选C 由三视图可知：该几何体是一个棱长为3的正方体去掉3个棱长为1的小正方体剩下的部分，如图所示．该几何体的体积V ＝33－3×13＝24.9．已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为MOD(n ，m )，其结果为n 除以m 的余数，例如MOD(8,3)＝2.如图是一个算法的程序框图，当输入的值为36时，则输出的结果为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选D 模拟执行程序框图，可得：n ＝36，i ＝2，MOD(36,2)＝0，j ＝1，i ＝3，满足条件i ＜n ，MOD(36,3)＝0，j ＝2，i ＝4，满足条件i ＜n ， MOD(36,4)＝0，j ＝3，i ＝5，满足条件i ＜n ， MOD(36,5)＝1，i ＝6，满足条件i <n ， … 由36i∈N *，可得i ＝2,3,4,6,9,12,18，∴j ＝j ＋1执行了7次，故j ＝7.10．若函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A ．f (x )＝e x－1x 2－1B ．f (x )＝exx 2－1C ．f (x )＝x 3＋x ＋1x 2－1D ．f (x )＝x 4＋x ＋1x 2－1解析：选B 由题意，当x ＝0时，y ＜0，排除A ，当－1<x <0时，若x →－1，则y →－∞，排除C ，D 选项中，f (－2)＝5，f (－3)＝798>f (－2)，不符合，排除D.故选B.11．已知球的直径SC ＝6，A ，B 是该球球面上的两点，且AB ＝SA ＝SB ＝3，则棱锥S ABC 的体积为( )A.324B.924C.322D.922解析：选D 如图，设O 是球心，则OA ＝OB ＝OS ＝OC ＝12SC ＝3.又AB ＝SA ＝SB ＝3，∴SA ＝OA＝OB ＝SB ，取SO 的中点D ，连接AD ，BD ，∴AD ⊥SO ，BD ⊥SO ，又AD ∩BD ＝D ，∴SC ⊥平面ABD .又易求得AD ＝BD ＝332，∴S △ABD ＝12×3× ⎝ ⎛⎭⎪⎫3322－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝924.∴V S ABC ＝V S ABD ＋V C ABD ＝13S △ABD×SD ＋13S △ABD ×DC ＝13S △ABD ×SC ＝13×924×6＝922.12．设[x ]表示不小于实数x 的最小整数，如[2.6]＝3，[－3.5]＝－3.已知函数f (x )＝[x ]2－2[x ]，若函数F (x )＝f (x )－k (x －2)＋2在(－1,4]上有2个零点，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，－1∪[2,5) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－23∪[5,10)C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－43，－1∪[5,10)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，－1∪[5,10) 解析：选B 令F (x )＝0得f (x )＝k (x －2)－2， 作出函数y ＝f (x )和y ＝k (x －2)－2的图象如图所示： 若函数F (x )＝f (x )－k (x －2)＋2在(－1,4]上有2个零点，则函数f (x )和g (x )＝k (x －2)－2的图象在(－1,4]上有2个交点，经计算可得k PA ＝5，k PB ＝10，k PO ＝－1，k PC ＝－23，∴k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－23∪[5,10)．二、填空题13．已知向量OA ―→⊥AB ―→，|OA ―→|＝3，则OA ―→·OB ―→＝________.解析：由OA ―→⊥AB ―→，得OA ―→·AB ―→＝0，即OA ―→·(OB ―→－OA ―→)＝OA ―→·OB ―→－|OA ―→|2＝0， ∵|OA ―→|＝3，∴OA ―→·OB ―→＝|OA ―→|2＝9.答案：914．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，使sin πx 2的值介于0到12之间的概率为________．解析：当－1≤x ≤1时，－π2≤πx 2≤π2，由0≤sin πx 2≤12，得0≤πx 2≤π6，即0≤x ≤13，则sin πx 2的值介于0到12之间的概率P ＝132＝16.答案：1615．已知双曲线x 216－y 236＝1上一点P (x ，y )到双曲线一个焦点的距离是9，则x 2＋y 2的值是________．解析：双曲线x 216－y 236＝1的a ＝4，b ＝6，c ＝a 2＋b 2＝213，不妨设点P (x ，y )在右支上，由条件可知P 点到右焦点(213，0)的距离为9，即为 x －2132＋y 2＝9，且x 216－y 236＝1，解得x ＝213，y ＝±9，则x 2＋y 2＝52＋81＝133.答案：13316．将函数y ＝sin 2x －cos 2x 的图象向右平移m (m >0)个单位以后得到的图象与y ＝n sin x cosx (n ＞0)的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，则n ＋m 的最小值为________．解析：将y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x 的函数图象向右平移m 个单位以后得到y ＝－cos 2(x －m )＝－cos(2x －2m )的图象，根据所得图象与y ＝n sin x cos x ＝n2sin 2x (n ＞0)的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，设点P (x 0，y 0)为y ＝－cos(2x －2m )上任意一点，则该点关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0的对称点为Q ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 0，－y 0，且Q 在y ＝n2sin 2x (n ＞0)的图象上，故有⎩⎪⎨⎪⎧－x 0－2m ＝y 0，n 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－2x 0＝－y 0，求得n ＝2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π3＝cos(2x 0－2m )，即cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0－5π6＝cos(2x 0－2m )，∴－2m ＝－5π6＋2k π，k ∈Z ，即m ＝5π12－k π，k ∈Z ，又m >0，故m 的最小值为5π12，则n ＋m 的最小值为2＋5π12.答案：2＋5π12三、解答题17．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足a n ＝1－2S n . (1)求证：数列{a n }为等比数列；(2)设函数f (x )＝log 13x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，求T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n.解：(1)证明：∵数列{a n }的前n 项和S n 满足a n ＝1－2S n .∴a 1＝1－2a 1，解得a 1＝13.n ≥2时，a n －1＝1－2S n －1，可得a n －a n －1＝－2a n .∴a n ＝13a n －1.∴数列{a n }是首项和公比均为13的等比数列．(2)由(1)可知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，则f (a n )＝log 13a n ＝n .∴b n ＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋2.∴1b n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 18．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C ＝b ＋c . (1)求A ；(2)若a ＝7，△ABC 的面积为332，求b 与c 的值．解：(1)∵a cos C ＋3a sin C ＝b ＋c ，由正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin B ＋sin C ， 即sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin(A ＋C )＋sin C ， 化简得3sin A －cos A ＝1，∴sin A －π6＝12.在△ABC 中，0＜A ＜π，∴A －π6＝π6，得A ＝π3.(2)由已知得12bc sin π3＝332，则bc ＝6，由已知及余弦定理得b 2＋c 2－2bc cos π3＝7，(b ＋c )2＝25，b ＋c ＝5，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝6，b ＋c ＝5，可得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2.19．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如表：(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？(3)已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．解：(1)∵在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19，即x2 000＝0.19，∴x＝380.(2)初三年级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为482 000×500＝12名．(3)由题意，满足y＋z＝500，y≥245，z≥245的基本事件共有11个，y＞z包含的事件共有5个，则y＞z的概率为511.即初三年级中女生比男生多的概率为511.20.已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1＝4且AA1⊥底面ABCD，点P为DD1的中点．(1)求证：AB1⊥平面PBC；(2)在BC边上找一点Q，使PQ∥平面A1ABB1，并求三棱锥QPBB1的体积．解：(1)证明：取AA1的中点M，连接BM，PM，BM与B1A相交于点N，∴PM∥AD∥BC，∴BM⊂平面PBC.∵AA1⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴AA1⊥BC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥BC，又AB∩AA1＝A，∴BC⊥平面ABB1A1.∵AB1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AB1.∵AB＝AA1＝4，∠BAM＝∠B1A1A＝90°，AM＝B1A1＝2，∴△ABM≌△A1AB1，∴∠MBA＝∠B1AA1，∵∠BAB1＋∠B1AA1＝90°，∴∠MBA＋∠BAB1＝90°，即∠BNA＝90°，∴BM⊥AB1.又BM∩BC＝B，∴AB1⊥平面PBC.(2)在BC边上取一点Q，使BQ＝3，∵PM为梯形ADD1A1的中位线，A1D1＝2，AD＝4，∴PM＝3，PM∥AD，又∵BQ∥AD，∴PM綊BQ，∴四边形PMBQ 是平行四边形，∴PQ ∥BM ， 又BM ⊂平面A 1ABB 1，PQ ⊄平面A 1ABB 1， ∴PQ ∥平面A 1ABB 1.∵BC ⊥平面ABB 1A 1，BM ⊂平面ABB 1A 1， ∴BQ ⊥BM ，∴PQ ⊥BQ . ∵AB ＝AA 1＝4，AM ＝A 1B 1＝2， ∴BM ＝AB 1＝25， 则AN ＝AB ·AM BM ＝455. ∴B 1N ＝AB 1－AN ＝655.∴VQ PBB 1＝VB 1BPQ ＝13S △BPQ ·B 1N ＝13×12×3×25×655＝6.。
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稳取120分保分练(四)
一、选择题
1．已知集合U ＝{x |x ＞1}，集合A ＝{x |(x －1)(x －3)＜0}，则∁U A ＝( ) A ．[3，＋∞) B ．(3，＋∞) C ．(－∞，－1)
D ．(1,3)
解析：选A 根据题意，解(x －1)(x －3)＜0，可得1＜x ＜3，即A ＝{x |1＜x ＜3}，又由集合
U ＝{x |x ＞1}，则∁U A ＝{x |x ≥3}＝[3，＋∞)．
2．复数z ＝i
1＋i (其中i 为虚数单位)的虚部是( )
A ．－12 B.12i C.12
D ．－1
2
i
解析：选C 复数z ＝i 1＋i ＝i 1－i 1＋i 1－i ＝12＋12i ，则其虚部为1
2.
3．已知等比数列{a n }的公比q ＝1
2，a 2＝8，则其前3项和S 3的值为( )
A ．24
B ．28
C ．32
D ．16
解析：选B 在等比数列{a n }中，∵公比q ＝1
2
，a 2＝8，
∴a 1＝a 2q ＝812
＝16，a 3＝a 2q ＝8×1
2
＝4，
则S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝16＋8＋4＝28.
4．已知平面向量a ＝(－2,1)，b ＝(1,2)，则|a －2b |的值是( ) A ．1 B ．5 C. 3 D. 5 解析：选B a －2b ＝(－4，－3)． ∴|a －2b |＝ －4 2
＋ －3 2
＝5.
5．某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：
由表中数据，求得线性回归方程为y ^＝5x ＋a ^
，若某儿童的记忆能力为12，则他的识图能力为
( )
A ．9.2
B ．9.5
C ．9.8
D ．10
解析：选B 由表中数据得x －＝7，y －＝5.5，由(x －，y －)在直线y ^＝45x ＋a ^上，得a ^
＝－110
，即
线性回归方程为y ^＝45x －110.所以当x ＝12时，y ^＝4
5×12－110
＝9.5，即他的识图能力为9.5.
6．已知抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F ，过点F 且倾斜角为π3
的直线与抛物线C 的准线交于点
B ，则线段FB 的长为( )
A ．10
B ．6
C ．8
D ．4
解析：选D 抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F (1,0)，过点F 且倾斜角为π3的直线为y ＝3(x －
1)，与抛物线C 的准线x ＝－1交于点B (－1，－23)，则线段FB 的长为
－1－1 2
＋ －23 2
＝4.
7．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π
2
<θ<π2的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数
g (x )的图象，若函数f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，12
，则φ的值可以是( )
A.
4π3 B.2π3 C.π2 D.π6
解析：选B 依题意g (x )＝sin[2(x －φ)＋θ]＝sin(2x ＋θ－2φ)，因为函数f (x )，g (x )
的图象都经过点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
sin θ＝1
2
，
sin θ－2φ ＝1
2
，
因为－π2<θ<π2，所以θ＝π6
，θ
－2φ＝2k π＋π6或θ－2φ＝2k π＋5π6(k ∈Z)，即φ＝－k π或φ＝－k π－π
3(k ∈Z)．在φ
＝－k π－π3(k ∈Z)中，取k ＝－1，得φ＝2π
3
.
8．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是( ) A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m
解析：选B A 项，由线面垂直的判定定理知不正确．B 项，由线面垂直的性质可知，若平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面，故正确．C 项，若l ∥α，m ⊂α，则
l ∥m 或两线异面，不正确．D 项，平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．故
选B.
9．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图
所示，则输出结果n ＝( )
A ．4
B ．5
C ．2
D ．3
解析：选A 模拟执行程序，可得a ＝1，A ＝1，S ＝0，n ＝1，S ＝2不满足条件S ≥10，执行循环体；n ＝2，a ＝12，A ＝2，S ＝92不满足条件S ≥10，执行循环体；n ＝3，a ＝14，A ＝4，S ＝35
4不
满足条件S ≥10，执行循环体；n ＝4，a ＝18，A ＝8，S ＝135
8满足条件S ≥10，退出循环，输出n
的值为4.
10．已知Rt △ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠A ＝π2，以B ，C 为焦点的双曲线 x 2
a 2－y
2
b
2＝1(a ＞0，
b ＞0)经过点A ，且与AB 边交于点D ，则
|AD |
|BD |
的值为( ) A.7
2
B ．3 C.9
2
D ．4
解析：选D 如图，双曲线的焦点为B (－c,0)，C (c,0)，
由双曲线的定义可得|AB |－|AC |＝2a ＝3－1＝2，即a ＝1. 设|BD |＝t ，由双曲线的定义可得|DC |＝2a ＋|BD |＝2a ＋t ＝2＋t ， 又|AD |＝3－t ，在Rt △ACD 中，|AC |2
＋|AD |2
＝|CD |2
，
即为1＋(3－t )2＝(2＋t )2
，解得t ＝0.6，|AD |＝3－0.6＝2.4.则|AD ||BD |的值为2.40.6＝4.
11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中小方格是边长为1的正方形，则该三棱锥外接球的表面积为( )。