双自由度体系频率比与各参数的关系分析

CAI 作业

双自由度体系频率比与各参数

的关系分析

王帆 09S032004 桥梁专业

双自由度频率方程，

�kk 11−mm 1ωω2kk 12kk 21kk 22−mm 2ωω2�=0 将行列式展开，得方程，

mm 1mm 2ωω4−(mm 1kk 22+mm 2kk 11)ωω2+kk 11kk 22−kk 12kk 21=0

记， mm 1mm 2=ηη，kk 11kk 22=λλ，kk 12kk 22=kk 21kk 22=ξξ，χχ=ωω1ωω2 ηη>0，λλ>0，并假定χχ≤1 在这里，暂且称ηη为质量比，λλ为刚度比，ξξ为联系刚度比，χχ为

频率比。

整理频率方程，

χχ2(2)2∙(ηη+λλ)2=λλ−ξξ2 显然，λλ−ξξ2>0 进一步整理得， χχ2(2)2=ηη∙(λλ−ξξ2)()2

记参数μμ为

μμ=(ηη+λλ)2ηη∙(λλ−ξξ2) 显然，μμ≥4。

不难解得频率比为 χχ=√μμ−�μμ−4�舍去了大于1的值�

用matlab 绘制了频率比与参数μμ的关系曲线如下图所示：

为检验前述推导频率比公式的正确性，考虑双自由度简支梁 模型，其中质量比ηη=1，刚度比λλ=1，联系刚度比ξξ=−0.875，那么参数μμ=17.07，图中对应的频率比为0.26。 L/3L/3L/3m

m

体系一阶、二阶理论频率分别为:

ωω1=5.692�EEEE mmll 3，ωω2=22.045�EEEE mmll 3 该体系理论频率比χχ=0.258，与图中曲线上的频率比一致。

从图中可以看出，频率比χχ随参数μμ的增大而减小，变化速度 也随其增大而减小。由于参数μμ是联系刚度比ξξ2的单调递增函数；在�0，λλ�内是质量比ηη的递减函数，�λλ

，+∞�内是质量比ηη的递

增函数；在�ξξ2，ηη�内是刚度比λλ的递减函数，�ηη，+∞�内是刚度比λλ的递增函数。所以，频率比χχ随联系刚度比ξξ的增加而减小；在�0，λλ�内随质量比ηη的增大而增大，�λλ，+∞�内随质量比ηη的增大而减小；在�ξξ2，ηη�内随刚度比λλ的增大而增大，�ηη，+∞�内随刚度比λλ的增大而减小。

不难看出，当ηη=λλ，且ξξ=0时，结构体系的频率比达到最大值，此时，二阶以及高阶振型不易被激发，结构容易控制。

桥梁工程中最基本的体系等跨简支梁桥，其一阶振型下，两跨梁体下侧受拉上侧受压，与承受外界荷载时一致，配筋时可按常规设计进行；而二阶振型下，一跨梁体上侧受拉下侧受压，与承受外界荷载时相反，那么配筋设计时必须在梁体上下缘均配置相当数目的钢筋以承受拉应力。但是，此体系满足ηη=λλ，且ξξ=0的条件，一阶振型容易激发，二阶振型很难激发，所以在实际工程中，不必考虑由于结构激发高阶振型的振动而导致桥面受拉的情况。

m

m

m

m

二阶振型

前面讨论了参数μμ一般情况下，各参数对频率比的影响。在实际工程应用中，基于使结构偏于安全、经济、美观、协调等因素的考虑，各参数并不是完全独立，它们之间存在某些内在联系。

情况1：质量比ηη等于刚度比λλ，即ηη=λλ

显然地，质量越大结构惯性力−mmyy就越大，那么，结构的恢复力kkyy也就越大，为保证结构小变形，那么刚度自然就越大，所以质量比与刚度比应近似相等。如高层楼房、塔等结构均近似满足ηη=λλ的条件。此时参数μμ为

μμ=4λλλλ−ξξ2

上图绘出了当ηη=λλ的情况下，频率比χχ与刚度比λλ以及联系刚度比ξξ的三维曲线。为更形象地描述频率比与它们之间的关系，下图给出了不同联系刚度比�ξξ=0，0.25，0.5，0.75，1.0�下频率比与刚度比的直接关系曲线。可以看出，频率比随刚度的增大而增大，并且当刚度比相同时，联系刚度比越小，对应的频率比就越大，这与前面分析参数μμ与频率比的关系时得到的结论是一致的。

观察联系刚度ξξ=0时的频率比与刚度比的关系曲线为一条

值为1的平直线，频率比不随刚度比的变化而变化，这时因为频率方程：

�kk 11−mm 1ωω2kk 12kk 21kk 22−mm 2ωω2

�=0 的判别式∆=mm 2

2kk 222[(ηη−λλ)2+4ηηξξ2]==0，即频率方程为重根，亦即频率比χχ=1。 对于双层框架结构，当上下层的质量和层间刚度 都相等�刚度比λλ=2�时，我们已经求得其理论频率为 ωω1=0.618�kk ，ωω2=1.618�kk 频率比χχ=0.382，对照ξξ=1

的曲线，可以看出结果较

为相符。

下图描述了不同刚度比�λλ=0.25，0.5，1.0，2.0，4.0� 下，联系刚度比与频率比之间的关系。

m

m k

k

有趣的是，各个刚度比条件下，频率比与联系刚度比在

|ξξ|≤0.4之间都近似存在线性关系，原因推导如下： χχ=√μμ−�μμ−42 μμ=4λλ 那么频率比χχ对联系刚度比ξξ求导：

∂χχ∂ξξ=18λλ�μμ−4−√μμ�μμ(μμ−4)μμ2ξξ =18λλ�μμ−4−√μμ�μμ(μμ−4)μμ2 =1

8√λλ�μμ−4

−�μμ�μμ 记��μμ−4−√μμ�μμ=ββ，

对λλ=0.25，|ξξ|≤0.4，μμ∈�4，11�，而ββ∈�6.2，8�，ββ的

平均值为6.693，频率比对联系刚度比的导数，即λλ=0.25的斜直线的斜率为：

∂χχ∂ξξ≈±1.673

从图中估算其斜率为±1.667，与计算结果很接近。

同样地，估算λλ=0.5，1，2，4时的斜率，并与图中读取值

估算值与图中读取值吻合良好。

而且，不同刚度比下的频率比与联系刚度关系曲线都汇交于ξξ=0，χχ=1一点，前面已经陈述了当ηη=λλ，且ξξ=0时，频率比χχ==1。

情况2：质量比ηη等于1，即ηη=11

建筑物讲究美观大方，所以对称的结构在现实生活中数不胜数，一般情况下，对称的结构质量也对称，即ηη=1。此时，参数μμ为

μμ=(λλ+1)22

matlab绘制的三维曲线如下图所示：