单自由度体系-1汇总
第1章--单自由度系统的自由振动题解
习 题1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。
求该房屋作水平方向振动时的固有频率。
解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。
等效弹簧系数为k 则 mg k δ=其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知δ=324mgh EJ=则 k =324EJh设静平衡位置水平向右为正方向，则有 "m x kx =- 所以固有频率3n 24mhEJp =1-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角2a ＝h题1-1图题1-2图θF sin α2θαhmgθ2F cos ＝mg由动量矩定理：aha mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ&&其中12cossin ≈≈θααhl ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ&& g h a l gah l p T n 3π23π2π222===1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3，悬臂梁的质量忽略不计。
解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。
k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。
k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。
即为21211k k k k k +='，212132k k kk k k ++='，4241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=)(42412132314214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++=1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。
第3章 单自由度体系1(时域)
第三章单自由度体系自由振动和强迫振动时域分析3.1力学模型•单自由度体系：SDOF（Single－Degree－of－Freedom ）System•结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定•分析单自由度体系的意义：1、单自由度系统包括了结构动力分析中涉及的所有物理量及基本概念。
2、很多实际的动力问题可以直接按单自由度体系进行分析计算。
3、多自由度系统在很多情况下可以转变为单自由度系统进行分析重力的影响1、考虑重力影响时，结构体系的运动方程与无重力影响时的运动方程完全一样，此时u是由动荷载引起的动力反应。
在研究结构的动力反应时，可以完全不考虑重力的影响，建立体系的运动方程，直接求解动力荷载作用下的运动方程，即得到结构体系的动力解。
2、当需要考虑重力影响时，结构的总位移为总位移=静力解+动力解应用叠加原理将结构的动力反应和静力反应相加即得到结构的总体反应。
在结构反应问题中，应用叠加原理可将静力问题（一般是重力问题）和动力问题分开计算。
重力的影响3、注意1：由于应用了叠加原理，上述结论是用于线弹性体系。
4、注意2，在以上推导过程中，假设悬挂的弹簧―质点体系只发生竖向振动，在动荷载作用之前，重力被弹簧的弹性变形所平衡，而施加荷载后，重力始终被弹性变形所平衡。
如果重力的影响没有预先被平衡，则在施加动力荷载产生进一步变形后，可以产生二阶影响问题，例如P―Δ效应。
1.1无阻尼自由振动运动方程的通解为：121212()n n i ti ts ts tu t c e c ec ec eωω−=+=+指数函数与三角函数的关系：cos sin cos sin ixixe x i x ex i x−=+=−运动方程的解：()cos sin n n u t A t B tωω=+A ，B —待定常数，由初始条件确定。
一些重要性质：（1）自振周期只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。
（2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。
第一章单自由度系统
第一章 单自由度系统振动
1. 基本概念
自由度： 确定某个机械系统几何位置的独立参数的数目。
单自由度系统,多自由度系统: 若只用一个独立参数即可确定机械系统的几何
位置,称为单自由度系统。 需要两个或两个以上独立参数才能确定机械系
统的几何位置的系统称多自由度系统。
2.常见单自由度系统建模
3 无阻尼自由振动
x
n2 x
Fo m
k K
cost
xst
n2
cost
特解假设为 Acost 代入得
最后
A xst
1 2
n
x
t
xo
cos nt
xo
n
sin nt
xst
1
2
cos t
xst
1
2
cos nt
无阻尼简谐激振
有阻尼简谐激振
mx cx kx FO sin t
x 2n x n2 x xstn2 sin t
1 2
KA2
sin
2
t
dt
1 kA2 2 sin 2 t dt
2
0
0
Wd cxdx cAcost 2 dt
2/cA22 1cos2t dt
0
2
1cA2 2 2 1cA22 2/cos2t dt
2
2
0
cA2
激振力的功
wf Fo sint dt Fo sint Acost dt
cos
sin dt
Asin t
定义
A xst
1
1 2 2 2 2
为动力数大系数，表示振幅相对于静变形的放大倍数
5.2 稳态响应振幅和相位
第3章 单自由度体系1
D n 1 2
2
n i D
D—阻尼体系的自振频率
TD
D
TD
2
n 1
2
Tn 1 2
4
3.2.2 低阻尼体系（Underdamped Systems）
D n 1 2
TD Tn 1
2
3.2.2 低阻尼体系
u(t)
ku 0
u (0)
(t ) t 0 u (0) u
3.2 有阻尼自由振动
令u(t)=est，代入运动方程 整理得：
3.2 有阻尼自由振动 u(t)=est
当：( 当：( 使：(
cu ku 0 mu
ms 2 cs k 0
c c 2 2 ( ) n 2m 2m
u(0) -ω n u(0) t u(0) -ωn u(0)
阻尼比：阻尼系数c和临界阻尼ccr的比值，用表示。
临界阻尼体系的自由振动
c c ccr 2m n
3.2.1 临界阻尼和阻尼比
c c ccr 2m n
3.2 有阻尼自由振动
u(t )
u(0)
过阻尼，ζ=2 临界阻尼，ζ=1
3.2.3 运动的衰减和阻尼比的测量
ui u (t i ) 2 ) exp( nTD ) exp( ui1 u (t i TD ) 1 2
u(t) u1 TD ui TD ui+1 ti+TD t
对数衰减率: ln ui 2 ui 1 1 2 阻尼比计算公式：
A，B—待定常数，由初始条件确定。
i 1， n
3.1 无阻尼自由振动
机械振动基础-单自由度系统-1
• 速度和加速度也是简谐函数，并与位移具有相同频率； • 在相位上，速度超前位移90，加速度超前位移180°。
• 加速度始终与位移反向： u&&(t) n2u(t) • 速度和加速度的幅值分别是振幅的 n和n2倍。
• 简谐振动过程
最大振幅
最大速度
最大振幅
-A
速度为零， 位移，加速度 绝对值最大， 方向反向。
m
解：系统的动能和势能分别为：
系统的广义力为：
T 1 mx2 , 2
U 1 kx2 2
Q W P(t)x Pt
x
x
代入到拉格朗日方程得：
d dt
Tx
dU dx
Q
mx kx P(t)
例1-3： 如图所示：圆弧形滑道上，有一均质圆柱体 作纯滚动。建立其运动方程。
解：因为纯滚动，所以振动
a) 简谐振动是一种周期振动
周期振动满足条件： u(t T ) u(t)
（1.2.13）
即每经过固定时间间隔，振动将重复原来的过程。最小正 常数 T -振动周期。
Tn
2 n
2
m k
（1.2.14）
— 无阻尼单自由度系统自由振动的固有周期。
固有频率的另一种形式：
fn
n 2
1 Tn
(赫兹）
表示1秒内重复振动的次数。
该矢量在t 时刻在y轴 上的投影 即为位移 响应在同 一时刻的 值.
b) 简谐运动的位移、速度和加速度之间的关系：
• 速度和加速度可分别表达为：
u&(t )
na
cos
nt
na
sin(nt
2
)
（1.2.17）
u&&(t) n2a sin nt n2a sin nt （1.2.18）
结构动力学-第三章 单自由度体系 (Part 1)
结构动力学Dynamics of Structures 第三章单自由度体系Chapter 3 Single-Degree-of-Freedom SystemsPart 1华南理工大学土木工程系马海涛/陈太聪本章主要目的及内容目的:z 通过单自由度体系介绍动力学的基本概念z 若干实际问题的解内容:(1)无阻尼自由振动(2)有阻尼自由振动(3)对简谐荷载的反应(4)对周期荷载的反应(5)对任意荷载的反应(6)体系的阻尼和振动过程中的能量(7)隔振(震)原理(8)结构地震反应分析的反应谱法自由振动free vibration强迫振动forced vibration第三章单自由度体系SDOF Systems自由振动：结构受到扰动离开平衡位置以后，不再受任何外力影响的振动过程。
0mucu ku ++= 无阻尼自由振动单自由度系统的运动方程()mucu ku P t ++=00c muku =⇒+= 自由振动运动方程单自由度系统无阻尼自由振动的运动方程0muku += 初始扰动：00(0)(0)t t u u uu ==== 初始位移初始速度二阶齐次常微分方程Homogeneous second orderordinary differential equation无阻尼自由振动的数学模型000;(0),(0)t t muku u u uu ==+=== 初始条件Initial conditions2()0stC ms k e +=设解有以下形式()stu t Ce=代入方程得 C 和s 为待定常数。
因此，方程通解为：121212()n n i ti ts t s tu t C e C eC eC eωω−=+=+或模型求解0muku += 2ms k ⇒+=1,2n ks i mω⇒=±=±()cos sin n n u t A t B tωω=+三角函数形式通解()sin cos n n n n ut A t B t ωωωω=−+00(0)(0)t n t u A u uB u ω====== (0)()(0)cos sin n n nuu t u t tωωω=+(0)(0),nuA uB ω⇒==利用初始条件，我们有单自由度系统无阻尼自由振动问题的解其中n kmω=无阻尼自由振动为简谐运动Simple harmonic motion ωn 称为圆频率或角速度Angular frequency / velocity ()cos sin n n u t A t B tωω=+三角函数形式通解()sin cos n n n n ut A t B t ωωωω=−+振幅无阻尼自由振动问题解的图示（1）振幅–Amplitude of motion[]220(0)(0)n u u u ω⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦基本参数（2）固有周期–Natural period of vibration2n nT πω=（3）固有频率–Natural frequency of vibration1n nf T =Hz (赫兹)固有频率s (秒)固有周期rad/s (弧度/秒)固有圆频率单位定义物理量名称2n nT πω=1n nf T =n k m ω=单自由度系统无阻尼自由振动系统参数§3.2 有阻尼自由振动0c uk u m u ++= 运动方程2()0stC ms cs k e ++=设解有以下形式()stu t Ce =代入方程得解为：221,222nc c s m m ω⎛⎞=−±−⎜⎟⎝⎠粘性阻尼模型2ms cs k ++=2c k s s m m++=22n c s s mω++=阻尼系数影响此项的取值进一步决定解的特征Critical damping and damping ration临界阻尼22022n cr n c c m m k c m ωω⎛⎞−=⇒⎜⎟⎝⎠===此时运动方程的解为12ns s ω==−()()n tu t A Bt e ω−=+0mucu ku ++= 验证—分别将两个解代入方程()n tu t Aeω−=()n tu t Bteω−=()22220n t nnnAem m m ωωωω−=−+=()2n t nnAem c k ωωω−−+左端=()()221n t nnnBem t c t kt ωωωω−⎡⎤−++−+⎣⎦左端=()2220n tnnnBec m t m k ωωωω−⎡⎤=−+−+=⎣⎦Critical damping and damping ration运动方程的解为()()n tu t A Bt e ω−=+()()(0)(1)(0)n tn u t u t ut e ωω−=++ (0)(0)n u AuA B ω==−+ 因此，解为根据初始条件，有()()n tn u t A Bt B eωω−=−++⎡⎤⎣⎦ 对应的速度表达式为(0)(0)(0)n A u B u uω==+ 或者(0)()(0)1(0)n t n uu t u t e u ωω−⎡⎤⎛⎞=++⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦(0)()(0)1(0)n t n uu t u t e u ωω−⎡⎤⎛⎞=++⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦ 解的特征由此项控制当阻尼大于临界阻尼时，0mucu ku ++= 220n n uu u ζωω++= 2n crc cm c ζω==其中，阻尼比1221120()s ts ts s u t C e C e<<=+临界阻尼可定义为：体系自由振动反应中不出现往复振动所需的最小阻尼值。
单自由度体系-1
动力平衡方程
惯性力—绝对加速度
fI+fD+fS=0
弹性力和阻尼力—相对位移u(t)
&& & mu + cu + ku = 0 && & && mu + cu + ku = − mu g
t
2.1.4 运动方程求解
结构动力响应 response
位移 速度 加速度 结构内力 内部应力 地震作用时，结构相对位移代表结构的变形，直接与 结构内力相关，因而是最重要的响应量
2.1.2 SDF运动方程—激振力作用
激振外力p(t) 作用于SDF自由度方向—u方向 牛顿第二定律 Newton’s second law of motion
&& p (t ) − f s − f D = mu f s = ku & f D = cu && & mu + cu + ku = p (t )
u (t ) = ∫ p (τ ) h(t − τ ) dτ
0
t
无阻尼和有阻尼SDF位移响应：
u (t ) = u (t ) =
1 mω n
∫ p(τ ) sin[ω (t − τ )]dτ
n 0
t
mω D
1
p (τ )e −ξωn ( t −τ ) sin[ω D (t − τ )]dτ ∫
0
运动方程的解
( u (t ) = u (0) cos ωnt + u&ω0 ) sin ωnt n
ωn =
k m
周期 natural period of vibration
1-2单自由度系统无阻尼振动(1)
选圆柱体在最低点为零势能 点，则系统势能：
圆柱体作微摆：
势能参考点的选取
势能是一个参考值，其具体值的大小和参考点选取有关。
d T U 0 在使用 dt 时，要注意，势能基准值的选 取，应使振动系统在动能最大时，势能为零。
(1)静变形法 （3）瑞利法
(2)能量法
运用能量原理，把一个分布质量系统简化为一个单自由度系统，从而把 弹簧的分布质量对系统频率的影响考虑进去，得到相对准确的固有频率值。
系统的初始条件只决定振动的振幅和初相位
结论4 系统参数对振动特性的影响
振系的质量越大，弹簧越软，则固有频率越低，周期越 长；质量越小，弹簧越硬，则固有频率越高，周期越短， 这个结论对复杂的振动系统也同样的适用。
m , k f , T m , k f , T
3 固有频率的计算
梁的等 效质量
一般来说，假定振型与实际振型之间是 有差异的。这种差异可以认为是由于系统受 到外加约束而增加了系统的刚性所致。因此 用瑞利法求出的固有频率是一偏高的近似值。
4 等效弹簧—质量系统
等效质量 等效刚度
刚度：使系统的某点在指定方向产生单位位移（或角位移）时，在该点同一 方向所要施加的力（或力矩），称为系统在该点在指定方向的刚度。 同一弹性元件，根据所要研究的振动方向不同，刚度亦不同。 左图为一端固定的等直物体，长为l，截面积为A，截面惯 性矩为J，截面极惯性矩为Jp，材料弹性模量为E，剪切 弹性模量为G。Oxy坐标如图。 分析自由端B不同方向的刚度。
解：以为广义坐标，以系统的静平 衡位置为零势能点，则：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若令
则得：
2.运动微分方程的求解
单自由度自由振动的微分方程：
结构动力学单自由度
柔度法
以结构整体为研究对象，通过分析所受的全部外 力，利用结构静力分析中计算位移的方法，根据 位移协调条件建立体系的运动方程。
试用刚度法建立图示刚架的运动方程
y( t )
FP (t)
m
EI1
l 2 EI
EI l 1
FP ( t ) FS 2
FI F S 1 FD
[ 解]
1） 确定自由度数: 横梁刚性，柱子无轴向变形。 1个自由度。 2） 确定自由度的位移参数。 y( t ) 3） 质量受力分析：取刚梁为隔离体，确定所受的所有外力！ 4） 列动平衡方程：
结构的动力特性
数学模型
承受动力荷载的结构体系的主要物理特性：
质量、弹性特性、阻尼特性、外荷载
在最简单的单自由度体系模型中，所有特性都假定集结于 一个简单的基本动力体系模型内，每一个特性分别由一个 具有相应物理特性的元件表示：
质量m = 结构的惯性； 弹簧k = 结构的刚度； 阻尼器c = 结构的能量 耗散.
对分布质量的实际结构，体系的自由度数为单元节点可发生的 独立位移未知量的总个数。 综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点，是最灵活有效的 离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适 合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法。 已有不少专用的或通用的程序（如SAP，ANSYS等）供结构分 析之用。包括静力、动力 和稳定分析。
结构固有（自由）振动参量的测定； 结构动力响应的测定
•
振动环境试验等。
高速铁路桥梁 动力试验
• 结构动力学的基本特性
与结构静力学相比，动力学的复杂性主要表现在：
•
• • • •
动力问题具有随时间而变化的性质；
第1章 单自由度系统
第一章 单自由度系统
1-4 简谐激励下的动力响应
微分方程的解
方程的解包含两部分
x x1 x2
第一部分是齐次方程的通解
x1 e
nt
(c1 sin( d t ) c2 cos( d t ))
第二部分是方程的特解
x2 A sin( t )
第一章 单自由度系统
1-4 简谐激励下的动力响应
微分方程的特解
A h
x2 A sin( t )
2 2
( n ) 4n
2 2 2
xst (1 2 ) 2 (2 ) 2
2n 2 tg 2 2 1 2 n
频率比
静变形
/ n
xst F / k
第一章 单自由度系统
解的曲线
x A sin( nt )
第一章 单自由度系统
1-2 无阻尼系统自由振动
一种求固有频率的方法
x A sin( nt )
1 2 1 2 2 系统的动能 T mx m n A cos 2 ( nt ) 2 2
系统的势能
1 2 1 2 2 U kx kA sin ( nt ) 2 2
第一章 单自由度系统
1-6 冲击激励下的动力响应
1-6-2 单位阶跃激励下的动力响应 单位阶跃函数
0 t 0 U (t ) 1 t 0
第一章 单自由度系统
1-6 冲击激励下的动力响应
1-6-2 单位阶跃激励
微分方程
m cx kx 1 x t 0
全解：
1 nt x Ae sin( d t ) k
2
第1篇 单自由度体系小结-1
(位移计)
单自由度体系总结
高等结构动力学
g ) 4.反应谱和震动谱(冲击荷载,地面 动 v
四、非线性问题（适用于线性） 假定： 1）加速度的假定：常加速度的假定，或 线性加速度的假定；Wilson—，Newmark-β； 2）动力特性：时间间隔内体系的动力特 性不变
高等结构动力学
五、动力反应分析的方法
§7.6 非线性分析的增量列式
高等结构动力学
(a)
(b) (c)
(d)
(e)
图 7-5 非线性动力体系的定义：(a)基本单自由度结构；(b)力的平衡； (c)非线性阻尼；(d)非线性刚度；(e)作用荷载
高等结构动力学
广义单自由度体系
用一个坐标就可以描述质量的运动，问题就
归结为质量和坐标的选择。
将广义单自由度结构区分为二类： （1）刚体的集合，在这种集合中弹性变形完全限定于 在局部的弹簧元件中发生；
强迫反应
t0
初始干扰: 干扰力:
单自由度体系总结
高等结构动力学
单自由度体系的振动
一、自由振动
C=0，无阻尼体系 C≠0，有阻尼体系
d 1 2
d
, d
二、强迫振动： 简谐荷载 荷载 冲击荷载
P (t)
0~t1
0~t1 强迫振动 t1~∞ 自由振动
一般荷载 ① P t Asin t Bcos t ② Duhamel积分
（5）由方程 位移增量，并用此值，
可求得
从方程
可求得速度增量．
单自由度体系总结
高等结构动力学
（6）最后，在时段终点的速度和位移由下式获得：
当第6步运算完成时，这个时段的分析结束；下一个N段的 分析，只需将上述整个程序进行即可。 六、Rayleigh 法：确定
1单自由度系统振动 (1)
绳中的最大张力等于静张力与 因振动引起的动张力之和：
由于
为了减少振动引起的动张力，应当降 低升降系统的刚度。
例：重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞。梁长 L，抗弯刚度EJ
求：梁的自由振动频率和最大挠度
解：取平衡位置，以梁承受 重物时的静平衡位置为 坐标原点建立坐标系Ox 静变形为：λ
由材料力学：
库伦力
库伦阻尼
摩擦力一个周期内所消耗地能量：
等效粘性阻尼系数
（2）平方阻尼 工程背景：低粘度流体中以较大速度运动的物体， 阻尼力与相对速度地平方成正比，方向相反 摩擦力 阻力系数 在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘2：
等效粘性阻尼系数：
特征根： 振动解： c1、c2：初始条件决定
两个不等的负实根
为双曲正弦 其中
双曲余弦
设初始条件为 解为
响应图形
一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生
1 第三种情况，临界阻尼： 特征根： 为二重根
振动解 设初始条件： 则：
c1、c2：初始条件决定
响应图为
仍然是按指数规律 衰减的非周期运动， 但比过阻尼衰减快 些
c1、c2：初始条件决定 设初始条件：
则：
或：
其中： 振动解为 阻尼固有频率 阻尼自由振动周期 T0：无阻尼自由振动的周期
阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期
振动解： 欠阻尼是一种振幅逐渐衰 减的振动 不同阻尼，振动衰减的 快慢不同：
阻尼大，则振动衰减快
阻尼小，则衰减慢 减幅系数 ：评价阻尼对振幅衰减快慢的影响，定义 为相邻两个振幅的比值：
自由振动频率为：
撞击时刻为零时刻，则t=0时，有：
则自由振动振幅为：
第3章 单自由度系统汇总
第三章单自由度机械系统动力学3.1 概述在绪论中我们曾指出：机械动力学研究机械在运动时所受的力，以及机械在力作用下的运动。
在第一类问题中，假定输入构件按给定的某种规律运动，计算在此运动情况下需施加于驱动构件上的平衡力矩及运动副中的反力，称为逆动力学。
本书第一章和第二章都属于逆动力学问题。
在第二类问题中，抛掉输入构件按某种给定规律运动的假定，求解在施加于机械的真实外力的作用下，机械系统的运动随时间而变化的规律，称为正动力学。
本章即讨论正动力学问题。
图3.1.1A一停车阶段B一启动阶段；C稳定运转阶段；机械运转的三个阶段，如图3.1.1所示，机械系统从启动到停车的全过程中包含三个阶段：启动阶段（A）稳定运转阶段（B）和停车阶段（C）。
在机械的稳定运转阶段，由于外力的周期性变化，机械的速度会产生周期性的波动。
速度波动会在运动副中产生附加动压力，引起系统的振动，降低机械工作的精度和可靠性。
研究机械的真实运动和调节速度波动的方法就需要进行动力学分析。
在机械的启动阶段和停车阶段，即所谓过渡历程中，会产生较大的动载荷。
在进行机械零部件的强度计算时，常需要知道这一动载荷。
对启动频繁的机械，启动和制动所需要的时间也常常是人们感兴趣的问题。
这也都需要进行动力学分析。
本章首先研究应用最为广泛的单自由度机械系统的动力学分析。
在研究单自由度机械系统时历来都采用一种等效力学模型来代替原有的机械系统。
本章仍介绍这种传统的方法。
这种传统方法只局限在单自由度系统中应用，而不适用于多自由度系统。
由于各种自动机和机器人的出现，多自由度系统应用越来越广泛。
基于多自由度系统分析的需要，提出了多种动力学建模方法，并开发了相应的计算机软件。
单自由度系统是多自由度系统的一个特例，当然也可以用这类通用的方法和软件来进行分析。
在下一章中研究多自由度机械系统的动力学分析时，我们再对这些建模方法做一综合介绍。
单自由度机械系统动力学分析大体包括以下几个步骤：1）将实际的机械系统简化为等效动力学模型；2）根据等效动力学模型列出系统的运动微分方程；3）应用解析方法或数值方法求解系统运动微分方程，求出等效构件的运动规律。
第3章单自由度系统汇总
第3章单自由度系统汇总第三章单自由度机械系统动力学3.1 概述在绪论中我们曾指出：机械动力学研究机械在运动时所受的力，以及机械在力作用下的运动。
在第一类问题中，假定输入构件按给定的某种规律运动，计算在此运动情况下需施加于驱动构件上的平衡力矩及运动副中的反力，称为逆动力学。
本书第一章和第二章都属于逆动力学问题。
在第二类问题中，抛掉输入构件按某种给定规律运动的假定，求解在施加于机械的真实外力的作用下，机械系统的运动随时间而变化的规律，称为正动力学。
本章即讨论正动力学问题。
图3.1.1A一停车阶段B一启动阶段；C稳定运转阶段；机械运转的三个阶段，如图3.1.1所示，机械系统从启动到停车的全过程中包含三个阶段：启动阶段（A）稳定运转阶段（B）和停车阶段（C）。
在机械的稳定运转阶段，由于外力的周期性变化，机械的速度会产生周期性的波动。
速度波动会在运动副中产生附加动压力，引起系统的振动，降低机械工作的精度和可靠性。
研究机械的真实运动和调节速度波动的方法就需要进行动力学分析。
在机械的启动阶段和停车阶段，即所谓过渡历程中，会产生较大的动载荷。
在进行机械零部件的强度计算时，常需要知道这一动载荷。
对启动频繁的机械，启动和制动所需要的时间也常常是人们感兴趣的问题。
这也都需要进行动力学分析。
本章首先研究应用最为广泛的单自由度机械系统的动力学分析。
在研究单自由度机械系统时历来都采用一种等效力学模型来代替原有的机械系统。
本章仍介绍这种传统的方法。
这种传统方法只局限在单自由度系统中应用，而不适用于多自由度系统。
由于各种自动机和机器人的出现，多自由度系统应用越来越广泛。
基于多自由度系统分析的需要，提出了多种动力学建模方法，并开发了相应的计算机软件。
单自由度系统是多自由度系统的一个特例，当然也可以用这类通用的方法和软件来进行分析。
在下一章中研究多自由度机械系统的动力学分析时，我们再对这些建模方法做一综合介绍。
单自由度机械系统动力学分析大体包括以下几个步骤：1）将实际的机械系统简化为等效动力学模型；2）根据等效动力学模型列出系统的运动微分方程；3）应用解析方法或数值方法求解系统运动微分方程，求出等效构件的运动规律。
(整理)1 单自由度体系的自由振动.
y sy(t)s=-k(y+y s )w=mg F(t)=-m y§1 单自由度体系的自由振动一、无阻尼的自由振动：如下图，以单自由度体系为例，设此梁上的集中质量为m ，其重量为W mg =，梁由于质量的重力引起的质量处的静力位移用s y 表示，与s y 相应的质量位置称为质量的静力平衡位置。
若此质量受到扰动离开了静力平衡位置，当扰动除去后，则体系将发生振动，这样的振动称为体系的自由振动。
由于振动的方向与梁轴垂直，故称为横向振动。
在此，只讨论微小振幅的振动，由振动引起的内力限于材料的弹性极限以内，用以表示质量运动的方程将为线性微分方程。
1、建立运动方程建立运动方程常用的基本原理是达朗伯原理（亦称惯性力法或动静法）。
今考虑在振动过程的某一瞬时t ，设质量在此瞬时离开其平衡位置的位移为y ，取质量为隔离体，则在质量上作用有三种力：质量的重量W ，杆件对质量的弹性恢复力S 和惯性力F(t)。
根据达朗伯原理，这三个力应成平衡，即 W+S+F(t)＝0 （1） 在弹性体系中，弹性恢复力S 为 ()s k y y s =-+上式中的K 为一常数，称为刚度系数，代表简支梁上使质量在运动方向产生单位位移时需要加在质量上的沿质量运动方向的集中力的量值。
式中负号表示s 的指向和位移的方向相反。
而 1y s W k=⋅ 即 y s W k =⋅因此，将()s k y y s =-+和y s W k =⋅代入式（1）得()0F t ky =-+ （2）上式表明，如果以静力平衡位置作为计算位移的起点，则建立体系的运动方程时，可以不考虑重力W 的影响。
这对其他体系的振动（包括受迫振动）也同样适用。
将22()d yF t m dt =-代入式（2）得：22()0d ym ky t dt+= 令2k m ω= dyy dt= （速度） 22d y y dt =（加速度） 则 22()0d ym ky t dt+= 可变为 20y y ω+= （3）此为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，它反映了这种振动的一般规律。
第三章单自由度(1)
任课教师： 任课教师：杨清文 E-mail: 317408529@
华光学院
建筑结构抗震构造设计课件
地震作用和结构抗震验算是建筑抗震设计的重要环 节，是确定所设计的结构满足最低抗震设防安全要求的 关键步骤。 关键步骤。 由于地震作用的复杂性和地震作用发生的强度的不 确定性，以及结构和体形的差异等， 确定性，以及结构和体形的差异等，地震作用的计算方 法是不同的。可分为简化方法和较复杂的精细方法。 法是不同的。可分为简化方法和较复杂的精细方法。 底部剪力法 振型分解反应谱法 时程分析法 静力弹塑性方法
m
m&&g (t ) x
F = m&&g max = x
G &&g max = Gk x g
---地震系数 ---地震系数
&&g (t ) x
k=
&&gmax x g
将F作为静荷载，按静力计算方法计算结构的地震效应 作为静荷载，
任课教师： 任课教师：杨清文
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I (t) = −(m&&+ m&&g ) x x
m
kx
xg (t)
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二、单自由度体系动力学分析回顾
1.单自由度体系自由振动 1.单自由度体系自由振动 （1）无阻尼时
m&&+kx = 0 x
ω2 =
1 t x(t) = FE (τ )e−ξω (t −τ ) sin ωd (t −τ )dτ mωd ∫0
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D’Alembert’s principle of dynamic equilibrium
惯性力 inertia force Mass-spring-damper系统
忽略弹簧和阻尼器的质量，质量块为刚体， 运动限定沿水平x轴方向
2.1.3 SDF运动方程—地震作用 earthquake excitation
无阻尼自由振动
C=0 p(t)=0 初始条件 t=0时刻，施加初位移和初速度
u(0) u(0)
运动方程
mu ku 0
运动方程的解
u(t
)
u(0)
c
osnt
u ( 0) n
sin
nt
n
k m
周期 natural period of vibration
结构完成一个完整的振动循环过程所需要的时间，称 为结构的自然振动周期。
结构自然振动特性
n Tn fn 结构的自然特性，固有性质，与外力无关， 与初始条件无关。
频率和周期仅决定于结构的质量和刚度。刚度愈大， 频率愈高，周期愈短；质量愈大，频率愈低，周期愈 长。
振幅 amplitude of motion
u0
u(0) 2
u (0)
n
2
振幅决定于初位移和初速度 无阻尼自由振动，振幅保持不变，振动无衰减
2.1.1 SDF体系
自由度 degrees of freedom 决定结构体系相对其初始状态变形位置的独立位移
分量数目，称为结构动力分析的自由度 凉亭 水塔 单层刚架 质量元件——集中质量 刚度元件——无质量刚架 阻尼元件——粘滞阻尼器（viscous damper or
dashpot）
初始位移引起的SDF自由振动
c系=统ccr恢，复临到界平阻衡尼位系置统，（不cr出itic现al振ly 荡damospceildlastoyrsyte，m）=，1 c围<绕ccr平，衡低位阻置尼振系荡统，（振un幅de随rd时am间p递ed减s，yste<m1） ，系统 c出>现ccr振，荡过，阻恢尼复系到统平（衡ov位er置da，m但pe回d s复ys速te率m更）慢，，系统>1不 ccr代表系统不发生振荡的最小阻尼值
Tn=2/n 单位：秒
园频率 natural circular frequency
n= 2fn 单位：弧度/秒; r/s (radians per second)
频率 natural cyclic frequency of vibration
结构每一秒经历的振动循环次数
fn=1/Tn 单位：Hz（次/秒）cycles per second (cps) fn= n/2
惯性力—绝对加速度
fI+fD+fS=0
弹性力和阻尼力—相对位移u(t)
mut cu ku 0 mu cu ku mug
2.1.4 运动方程求解
结构动力响应 response
位移 速度 加速度 结构内力 内部应力 地震作用时，结构相对位移代表结构的变形，直接与
结构内力相关，因而是最重要的响应量
C—粘滞阻尼系数，单位[F][T]/[L] 阻尼系数，通常通过结构振动试验确定，由
结构振幅衰减速率推算。
2.1.2 SDF运动方程—激振力作用
激振外力p(t) 作用于SDF自由度方向—u方向 牛顿第二定律 Newton’s second law of motion
p(t) fs fD mu fs ku fD cu mu cu ku p(t)
绝对位移与相对位移
地基位移ug(t) 质量总位移或绝对位移ut(t) Total or absolute displacement 质量对地基的相对位移u(t) Relative displacement
ut (t) u(t) ug (t) ut (t) u(t) ug (t)
动力平衡方程
2.2.2 粘滞阻尼SDF自由振动
运动方程
mu cu ku 0
u
c m
u
k m
u
0
u 2nu n2u 0
n
k m
c ccr
ccr 2mn
阻尼
阻尼比 damping ratio 临界阻尼系数ccr critical damping coefficient
临界阻尼系数的物理意义
力—位移 关系 刚架弹性抗力与刚架水平侧向位移的关系
fs=ku k—刚架侧向刚度系数 阻尼damping
振动过程中的能量耗损机制：固体结构往复变形的 内摩擦效应；连接结构的摩擦和往复碰撞效应；混 凝土结构内部微裂纹的往复开合效应。
等效阻尼器
线性粘滞阻尼器：阻尼力与变形速度成正比
fD cu
经典解法
线性微分方程的完全解由通解与特解之和构成 二个积分常数由初始条件确定 自由振动问题 激振力可用解析式表达的动力问题如：
简谐振动、阶跃和脉冲激振等
Duhamel积分
属时域解法 time-domain method
基本思想：将激振力p(t)划分为一系列脉冲，结构响应 u(t)为结构对t时刻之前所有脉冲激振的响应之和。
数值分析法
以上三种方法只适用于线性结构的动力分析 动力非线性分析只能采用数值逐步积分方法
numerical time-stepping method
2.2 SDF自由振动 Free viபைடு நூலகம்ration
无阻尼系统自由振动 粘滞阻尼系统自由振动
2.2.1 无阻尼SDF自由振动
自由振动
结构自平衡位置受到扰动，然后在不受外力的情况 下自行振动的振动过程，称为自由振动。
2 单自由度体系动力特性及地 震动力响应
Single-degree-of-freedom (SDF) system
SDF运动方程 SDF自由振动 Duhamel积分 SDF动力响应数值分析方法 地震反应谱
2.1 SDF运动方程
SDF体系 激振外力作用下的运动方程 地震作用下的运动方程 运动方程求解方法
结构位移响应的计算公式为一卷积积分公式，称为 Duhamel积分。
p(t)为简单表达式，可得到解析表达的积分结果；对p(t) 为复杂函数情况，可采用数值方法求积分。
频域解法 frequency-domain method
Laplace变换和Fourier变换 适用于分析结构与无限介质相互作用问题