201单自由度体系运动方程(力学)

利用动静法建立运动方程： 1. 刚度法 —— 力系平衡 2. 柔度法 —— 位移协调 3. 虚功法 —— 虚功原理
1. 建立体系运动方程方法
重点介绍直接平衡法。一般步骤：
（1）根据问题的具体情况和精度要求确定体系质量分布 和动力自由度数，即建立计算模型。
（2）建立坐标系，给出各自由度的位移参数。 （3）分析各位移方向受力 （4）建立运动方程： 刚度法；柔度法；虚功法
第二章
单自由度体系的振动
2.1 单自由度体系运动方程的建立
General Equation of Motion
1. 建立体系运动方程方法
反映体系各自由度方向上位移随时间变化的规律的 函数表达式称为体系的运动方程（equation of motion）. 建立运动方程的途径： 1. 利用达朗伯原理 —— 动静法； 2. 利用哈密顿原理 —— 变分法。
md cyd kyd FP ( t ) y
yd (md cyd FP(t )) y
以静平衡位置为起点列平衡方程和位移方程，所得的方程 均与重力无关，方程解出的是动位移方程。为书写方便， 今后表示位移的符号省去下标d，但不要忘记，它指的是 动位移。（对于水平振动情况，重力并不在运动方向产生 静位移，因此动位移即总位移 ）
1. 建立体系运动方程方法
为什么要研究单自由度体系？ 1. 许多动力问题常可按单自由度体系进行计算或进行 初步估算 2. 单自由度体系的分析是多自由度体系分析的基础 3. 许多概念由单自由度分析引出
单自由度体系运动方程的一般形式：
m k 水平运动模型 k m
m m
k
竖向运动模型
2. 刚度法（列动力平衡方程）
动荷载 FP ( t )
Y 0
振动与静位移无关， FP ( t ) W FI ( t ) FS ( t )与重力无关 0 FD ( t )
md cyd kyd FP ( t ) y
3. 柔度法（列位移协调方程）
以弹簧端点为研究对象，分析它与质块连接点的位移。
3. 刚度法和柔度法都可建立方程，采用哪种方法由具 体问题决定（一般的，超静定结构用刚度法；静定结构 用柔度法）。
m
FP(t)
m
FP(t)
设质量 m 的位移为 u ,向右为正。用刚度法分析受 力。问题是如何确定其中的刚度系数 k。 3 EI 用力法、位移法或力矩分配法均可求得 k 3 2l 3 EI mu 3 u FP ( t ) 2l
FI(t) FS(t) FD(t)
FP(t)
5. 小结
1. 任何单自由度振动问题的运动方程都有以上的形式， 问题的关键是如何确定其中的各个量值； 2. 当体系处于线弹性、等效粘滞阻尼时，方程是二阶非 齐 次 常 系 数 线 性 微 分 方 程 ， 称 线 性 体 系 （ linear system）；
yst yd
k
静平衡位置
c
m m
注意：质点的位移、速度和加速度以向下为正。
k m
c
k m
c
yst
k m
c
yst
y = yst + yd
yd
y y , y ,
静平衡位置
FP(t)
y y st yd y yd d y y
位
移
displacement
速 度
velocity
讨论：同一体系，激励位置不同，质量m的 运动方程是否相同？
m m
FP(t)
两者有何 不同？
FP(t)
u( t ) 11 FI ( t ) FS ( t ) 1P FP ( t )
1P mu ku FP ( t ) 11
1P FE ( t ) FP ( t ) 11
由作用力和反作用力的关系
k FS’(t) y
FS(t ) FS (t )
FI (t ) FD (t ) FP (t ) W
FI(t)
FS(t) FD(t) W FP(t)
y FS(t )
FI ( t ) FD ( t ) FP ( t ) W
两种方法得出同一个结果，但是用哪个方法更 简便；不同问题情况不一样，要自己总结！ 值得注意的是：用刚度法建立运动方程，一般情况下 都要求解超静定结构的静力问题。
用柔度法，将所有外力作用于质量 m，确定任意时刻 质点的位移y。 2l 3 1 m FP=1 3 EI k
3 EI mu 3 u FP ( t ) 2l
加速度 acceleration
取质点为研究对象 FI(t) FS(t) FD(t)
重力 W mg kyst 弹性力 FS ( t ) ky k ( y st yd ) W kyd 阻尼力 FD ( t ) cy cyd
W
FP(t)
y y 惯性力 FI ( t ) m md
m cy y
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1

y FP ( t )
1 k
与刚度法推出的运动方程相比较可见
4. 虚功法（对于刚体系特别方便）
δy k
FI y FD y FS y FP y 0
FP(t)
c
FI FD FS FP y 0
FI FD FS FP 0