第9讲 方程与不等式2
中考数学第一部分知识梳理第二单元方程组与不等式组第9讲一元二次方程及其应用课件
3.解这两个一元一次方程,得原方程的两个根
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解法
配方法
适用题型
方法或步骤
所有有实根的一元二 1.将二次项系数⑤
次方程
化为1
;
2.移项,使方程左边只含有二次项和一次项,右边
为⑥
常数项 ;
3.方程两边都加上一次项系数一半的平方;
2=n(n≥0)
(x±m)
4.原方程变为⑦
情况是( A )
A. 不存在实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个根是x=-1
D. 有两个相等的实数根
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5. (2016·河北,14)a,b,c为常数,且(a-c)2>a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的
情况是( B )
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根
D. 有两个相等的实数根
6. (2015·河北,12)若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根,则a的取值范围是
( B )
A. a<1
a≥1
B. a>1
C. a≤1
D.
考点 1 一元二次方程及其解法
数据聚焦
考点梳理
考点 2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关
系
考点 3 一元二次方程根的应用
A. (x+2)2=3
B. (x-2)2=3
C. (x-2)2=5
D. (x+2)2=5
2.(2010·河北,16)已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根,则m2+2mn+n2 的
方程与不等式
B、方程与不等式1、方程与方程组一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。
解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。
解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。
一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程1）一元二次方程的二次函数的关系大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。
那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。
也就是该方程的解了2）一元二次方程的解法大家知道，二次函数有顶点式（），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。
在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a4）解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c4）韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。
第9章 不等式与不等式组 单元复习课件 2022—2023学年人教版数学七年级下册
第9课时 《不等式与不等式组》单元复习
知识要点
知识点一:不等式的性质 (1)不等式的性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或 式子),不等号的方向不变. (2)不等式的性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不 等号的方向不变. (3)不等式的性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不 等号的方向改变.
A.a－1＜b－1
B.－2a＞－2b
C.1a＋1＜1b＋1
2
2
D.ma＞mb
变式练习
8.(2021惠州模拟)已知x＞y,则下列不等式不成立的是( D )
A.x－6＞y－6
B.3x＞3y
C.－2x＜－2y
D.－3x＋6＞－3y＋6
9.【例2】不等式4x＋1＞x＋7的解集在数轴上表示正确的是 ( A)
3x＋86＞5(x-1) ,
3x＋86＜5(x-1)＋3
解得 44＜x＜45 1,
2
∵x为正整数,∴x＝45,∴3x＋86＝221. 答:该班有45名学生,本次一共种植221棵树.
12.关于 x 的不等式 3x－2a≤－2 的解集如图所示,则 a 的值
是
－1
2
.
4(x＋1)≤7x＋13,
13.解不等式组: x-4＜ ＞”填空:
(1)a＋2 ＞ b＋2;
(2)－4a ＜ －4b;
(3)a __＞___ b.
2
2
知识点二:解不等式 求不等式解集的过程称为解不等式.
2.利用不等式的性质解不等式3x＜2x＋1,得 x＜1 .
知识点三:解一元一次不等式 (1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)未知数的系 数化为1.在(1)~(5)的变形中,一定要注意不等号的方向是否需 要改变.
人教版七年级数学下学期第九章9.2一元一次不等式课件2
因为购买金额不超过200元, 所以22x+1.5×20≤200.
解得x≤
85 11
78 11
因为x为正整数,且x取最大值,所以x=7.
答:要买的球拍尽可能多,那么孔明应该买7个球拍.
应用一元一次不等式解决实际问题的步骤:
实际问题 找出不等关系 列不等式 设未知数
解不等式
结合实际 确定答案
检测目标
(3)当累计购物超过100元后，设购物为x(x>100)元 ①若 50+0.95(x-50)>100+0.9(x-100) 即x>150 在甲超市购物花费少; ②若 50+0.95(x-50)<100+0.9(x-100) 即x<150 在乙超市购物花费少; ③若 50+0.95(x-50)=100+0.9(x-100) 即x=150 在甲、乙两超市购物花费一样.
大于70%．
精典例题
问题4 你能列出不等式并解出来吗？
设x表示明年增加的空气质量良好的天数， 则明年空气质量是良好的天数是：
解：设明年比去年空气质量良好的天数增加了x天. x 365 60% 70%， 365
x 219 255.5，
x 36.5．
归纳
列一元一次不等式解应用题的基本步骤与列一元一次 方程解应用题的步骤相类似，即
有些实际问题中，存在不等关系，用不等式来表 示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题， 从而通过解不等式得到实际问题的答案.
列一元一次不等式解应用题的基本步骤与列一 元一次方程解应用题的步骤相类似.
目标导学：一元一次不等式的应用
小华打算在星期天与同学去登山，计划上午7点 出发，到达山顶后休息2h，下午4点以前必须回到出 发点. 如果他们去时的平均速度是3km/h，回来时的平 均速度是4km/h，他们最远能登上哪座山顶（图中数 字表示出发点到山顶的路程）？
第9讲一次函数与方程不等式综合
一次函数与方程、不等式综合一、知识要点（一）一次函数与一元一次方程的关系1.从函数的观点来看一元一次方程b 0(0)kx k +=≠，可以认为：当自变量取什么值时，一次函数y b k 0kx =+≠（）的函数值为值0。
所以，直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。
2.求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x bk=-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)bk -，b k -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。
（二）一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。
（三）一次函数与二元一次方程（组）的关系1.一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。
2.求一个二元一次方程组的解就是求构成这个方程组的两个二元一次方程对应的一次函数图象的交点的坐标。
二、例题精讲（一）一次函数与一元一次方程综合【例1】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．1-D ．0【例2】 已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，，则a b +=______． 【例3】 已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，()13，，则不求k b ，的值，可直接得到方程3kx b +=的解是x =______．（二）一次函数与一元一次不等式综合【例4】 已知一次函数25y x =-+．（1）画出它的图象；（2）求出当32x =时，y 的值；（3）求出当3y =-时，x 的值；（4）观察图象，求出当x 为何值时，0y >，0y =，0y <【例5】 当自变量x 满足什么条件时，函数41y x =-+的图象在：（1）x 轴上方；（2）y 轴左侧；（3）第一象限．【例6】 已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．5x >B ．12x <C ．6x <-D ．6x >-【例7】 已知一次函数23y x =-+（1）当x 取何值时，函数y 的值在1-与2之间变化?（2）当x 从2-到3变化时，函数y 的最小值和最大值各是多少?【例8】 直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式21k x k x b >+的解集为______．【例9】 若解方程232x x +=-得2x =，则当x _________时直线2y x =+上的点在直线32y x =-上相应点的上方．【例10】 如图，直线y kx b =+经过()21A ，，()12B --，两点，则不等式122x kx b >+>-的解集为______．【例11】 已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求： （1）当2x =时，y 的值；（2）x 为何值时，0y <？（3）当21x -≤≤时，y 的值范围；（4）当21y -<<时，x 的值范围．（三）一次函数与二元一次方程（组）综合 【例12】已知直线3y x =-与22y x =+的交点为（-5，-8），则方程组30220x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解是________．【例13】已知方程组y ax c y kx b -=⎧⎨-=⎩（a b c k ，，，为常数，0ak ≠）的解为23x y =-⎧⎨=⎩，则直线y ax c =+和直线y kx b =+的交点坐标为______．【例14】 已知24x y =⎧⎨=⎩，是方程组73228x y x y -=⎧⎨+=⎩的解，那么一次函数y = 和y =的交点是________．【例15】 一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中，正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【例16】 已知一次函数y 6kx b =++与一次函数2y kx b =-++的图象的交点坐标为A（2，0），求这两个一次函数的解析式及两直线与y 轴围成的三角形的面积．【例17】 若直线(2)6y m x =--与x 轴交于点()60，，则m 的值为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0【例18】 如图，直线y kx b =+与x 轴交于点()40-，，则0y >时，x 的取值范围是（ ） A.4x >- B ．0x > C.4x <- D ．0x <【例19】 当自变量x 满足什么条件时，函数23y x =-+的图象在：（1）x 轴下方；（2）y 轴左侧； （3）第一象限．【例20】 一次函数y kx b =+的图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（ ）A ．0x >B ．0x <C ．2x >D ．2x <【例21】 已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当1x <时，y 的取值范围是（ ）A ．20y -<<B ．40y -<<C ．2y <-D ．4y <-【例22】 如图所示的是函数y kx b =+与y mx n =+的图象，求方程组kx b ymx n y +=⎧⎨+=⎩的解关于原点对称的点的坐标是________．【例23】 一次函数y kx b =+（k b ，是常数，0k ≠）的图象如图所示，则不等式0kx b +>的解集是（ ） A ．2x >-B ．0x >C ．2x <-D ．0x <【例24】 如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式0ax b +<的解集是________．【例25】 把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象，所得的两条直线平行，则此方程组（ ） A.无解B.有唯一解C.有无数个解D.以上都有可能【例26】 b 取什么整数值时，直线32y x b =++与直线2y x b =-+的交点在第二象限？三、小试牛刀1. （2010湖北孝感，7，3分）一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地.若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地.设轮船从甲地出发后所用的时间为t （小时）,航行的路程为s （千米）,则s 与t 的函数图象大致是（ ）2. （2011广东广州市，9，3分）当实数x 的取值使得x －2有意义时，函数y=4x+1中y 的取值范围是（ ）． A ．y ≥－7B ．y ≥9C ．y ＞9D ．y ≤93. （2011山东烟台，11,4分）在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y （千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示.有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比y=kx+b2-2Oy x-1B A 2O y x2乙甲乙甲815105 1.510.5O时y/千米乙先到达终点；④两人都跑了20千米.其中正确的说法有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4个4. （2011浙江杭州，7，3）一个矩形被直线分成面积为x ，y 的两部分，则y 与x 之间的函数关系只可能是5．（2011浙江衢州，9,3分）小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路（如图）.若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为123v v v 、、，且123v v v <<，则小亮同学骑车上学时，离家的路程s 与所用时间t 的函数关系图像可能是（ ）6. （2011山东枣庄，10，3分）如图所示，函数x y =1和34312+=xy 的图象 相交于（－1，1），（2，2）两点．当21y y >时，x 的取值范围是（ ） A ．x ＜－1 B ．—1＜x ＜2 C ．x ＞2 D ． x ＜－1或x ＞27. （2011江苏盐城，8，3分）小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 图中的折线表示小亮的行程s(km)与所花时间t(min)之间的函数关系. 下列说法错误的是（ ） A ．他离家8km 共用了30min B ．他等公交车时间为6min C ．他步行的速度是100m/min D ．公交车的速度是350m/min8.某产品的生产流水线每小时可生产100件产品，生产前没有产品积压， 生产3小时后安排工人装箱，若每小时装产品150件，未装箱的产品数量为y ， •生产时间为t ，那么y 与t 的大致图象只能是（ ）9．如图，向高为H 的圆柱形空水杯里注水，表示注水量y 与水深x 的关系的图象是（ ）10．一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶，•过了一段时间，汽车到了下一个车站，乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，则图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情学校小亮家stststts（－1，1y（2，2） 2yxyO（第7题图）况的是（）11．星期天晚饭后，小红从家里出去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离s（•米）与散步所用的时间t（分）之间的函数关系，依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（）．A．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了B．从家出发，一直散步（没有停），然后回家了C．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了， 18分钟后才开始返回12．甲、乙两人在一次赛跑中，路程与时间的关系如图所示，•那么可以知道：①这是一次___ _ _米赛路；②甲、乙两人先到达终点的是______ ___；•③在这次赛跑中甲的速度为___ _____，乙的速度为____ __．13．如图所示，表示的是某航空公司托运行李的费用y（元）与托运行李的质量x（千克）的关系，由图中可知行李的质量只要不超过_________千克，•就可以免费托运．14.俊宇某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况如图所示：①图象表示了哪两个变量的关系？②10•时和13时，他分别离家有多远？③他可能在什么时间内休息，并吃午餐？。
人教版七年级下册数学第9章 不等式与不等式组全章课件
（2）“提前完成任务”是什么意思？
10天的工作量 ≥ 500件
（三）深入探究,阶段小结
解：每个小组每天生产x件产品，
依题意得： 3×10x<500, ① 3×10(x+1)>500. ②
①式解得：x
<
16
2 3
②式解得：x
>15
2 3
∴不等式组的解集为
15
2 3
<x
< 16
问题3：
从刚才的练习中你发现了什么？请你把你的发现和合作小组的同学 交流．
⑴ 5＞3， 5+2 ＞ 3+2， 5-2 ＞ 3-2； ⑵ -1＜3， -1+2 ＜ 3+2，-1-3＜ 3-3； ⑶ 6＜2， 6×5 ＜ 2×5，
6×（-5） ＞2×（-5）； ⑷ -2＜3， （-2）×6 ＜ 3×6，
依题意得：40x≤2400 且 40x≥2000
（二）概念认识
c>10－3 且 c<10+3
c >10－3 c <10+3
一元一次 不等式组
40x≤2400 且 40x≥2000
40x≤2400
【问题3】
40x≥2000
请大家判断一下，下列式子是一元一次不等式
组吗？一元一次不等式组有什么特点？
x － 3 >0
23 从图中可以找到两个不等式解集的公共部分， 得不等式组的解集是: x >3
（五）练习巩固
【问题 7】完成课本 140 页练习 1.
（六）课堂小结
【问题 8】本节课你学到了哪些知识？
第九章 不等式与不等式组
2015届安徽中考数学总复习课件：第9讲 不等式与不等式组
不等式的解则是使不等式成立的未知数的值，二者的
关系是：解集包括解，所有的解组成了解集．
两个失误与防范 “≥”“≤”分别表示“大于或等于”“小于或等 数”即“不是负数的整数”，包含了0和正整数，此 时0易被忽略，从而造成漏解． 利用列不等式解决实际问题，其关键是根据题中的 “超过”“不足”“大于”“小于”“不低于”“不 少于”等反映数量关系的词语(特别要注意理解好生活 和生产实际中“不超过”“至少”的含义，这两者转 化为相应的不等号应分别是“≤”和“≥”)，列出不 等式(组)，迎刃而解．
安 徽 省
数
学
第二章 方程与不等式
第9讲 不等式与不等式组
要点梳理 1．定义 (1)用 不等号 连接起来的式子叫做不等式； ； (2)使不等式成立的未知数的值叫做 不等式的解 (3)一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做 不等式的解集 ；
(4)求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程， 叫做解不等式．
1．(2014· 绍兴)不等式 3x＋2＞－1 的解集是( C ) 1 A．x＞－3 C．x＞－1 1 B．x＜－3 D．x＜－1
4x－1＜7， 2．(2014· 怀化)不等式组 的解集是( A ) 2x＋3≥1
A．－1≤x＜2 C．x＜2
B．x≥－1 D．－1＜x≤2
x－ 3＞ 0， 3．(2013· 安徽)已知不等式组 其解集在数轴上表示 x ＋ 1 ≥ 0 ，
一次不等式组的解集有四种情况，其口诀为“同大
取其大、同小取其小、大小小大中间夹、大大小小 无处找(无解)”．
“解与解集”的联系与区别
不等式的解是指使不等式成立的每一个数，而不等
式的解集是指由全体不等式的解组成的一个集合．因
第09讲-列方程与不等式解应用题
第九讲列方程、不等式解应用题列方程解应用题列方程（组）解应用题：是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后解出未知数的值．这个含有未知数的等式就是方程．列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算．解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程．列方程解应用题的主要步骤是：⑴审题；⑵设元；⑶列方程(组)；⑷解方程(组)；⑸检验；⑹作答.注意事项：1.审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密的数量关系；2.设这个量为x，用含x的代数式来表示题目中的其他量；3.找到题目中的等量关系，列方程；4.运用加减法、乘除法的互逆关系解方程；5.通过求到的关键量求得题目答案．6.检验包含两个方面的含义：检验未知数的值（其一是不是原方程的解；其二是检验未知数的值是否符合实际意义）【例题1】甲乙丙三校上学期共有学生1150人.甲乙两校人数之比是6:5.本学期甲学校减少了50人，乙校增加了40人，丙校减少原有学生数的五分之二。
这样本学期甲乙两校人数之和与丙校人数之比是3:2。
问本学期三校学生人数各有多少人？【例题2】一个有弹性的球从点A落到地面，弹起到点B后又落到离地面高20厘米的平台上，再弹起到点C，最后落到地面，每次弹起的高度都是落下高度的80%。
已知点A离地面比点C离地面高出68厘米。
求点C离地面高度.【例题3】一套电器配件包括6个零件A，4个零件B，2个零件C.一车间共有43名工人，每个工人每小时可加工15个零件A，或12个零件B，或9个零件C. 要使生产零件配套，应分配加工零件A、B、C的人数各多少?【例题4】（“中环杯”中学生思维能力训练活动初赛）甲、乙、丙、丁、戊5人合作完成一项工作，甲、乙、丙合作7.5小时可以完成，甲、丙、戊合作5小时可以完成，甲、丙、丁合作6小时可以完成，乙、丁、戊合作4小时可以完成。
那么5人合作小时可以完成。
数学中的方程与不等式
数学中的方程与不等式导言：方程和不等式是数学中非常重要的概念，广泛应用于各个领域。
本教案将详细介绍方程和不等式的基本概念、解法和应用，旨在帮助学生全面理解并灵活运用。
一、方程和不等式的基本概念1. 方程的定义和表示方法方程是含有未知数的等式，形式为a_1x+b_1y+c_1=0。
其中，a_1、b_1和c_1为已知系数，x和y为未知数。
2. 方程的分类- 一元一次方程：形式为ax+b=0，其中a和b为已知系数，x为未知数。
- 一元二次方程：形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b和c为已知系数，x为未知数。
3. 不等式的定义和表示方法不等式是含有不等关系的数学表达式，形式为ax+b>c。
其中，a、b和c为已知系数，x为未知数。
4. 不等式的分类- 一元一次不等式：形式为ax+b>c，其中a、b和c为已知系数，x为未知数。
- 一元二次不等式：形式为ax^2+bx+c>0，其中a、b和c为已知系数，x为未知数。
二、方程和不等式的解法1. 一元一次方程的解法- 消元法：通过变换等式使得未知数的系数为1，从而解得未知数的值。
- 相等法：两个方程相减或相加，消去某一未知数，再解得另一未知数的值。
2. 一元二次方程的解法- 因式分解法：将方程转化为两个一次方程的乘积形式，解得未知数的值。
- 公式法：利用一元二次方程的求根公式，即x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，求得未知数的值。
3. 一元一次不等式的解法- 图像法：将不等式转化为一元一次方程的形式，画出方程的图像，并进行判断。
- 区间法：将不等式转化为区间的形式，求得未知数的取值范围。
4. 一元二次不等式的解法- 图像法：将不等式转化为一元二次方程的形式，画出方程的图像，并进行判断。
- 区间法：将不等式转化为区间的形式，求得未知数的取值范围。
三、方程和不等式的应用1. 方程的应用- 建立方程：通过问题中的已知条件，建立相应的方程，解得未知数的值。
高中数学二章等式与不等式2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系
2．1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系考点 学习目标核心素养一元二次方 程根的判断 理解判别式Δ的值与一元二次方程根的个数之间的关系，并会应用数学运算一元二次方程根 与系数的关系会利用一元二次方程根与系数的关系进行计算求值及求参数的取值范围数学运算问题导学预习教材P47－P50的内容，思考以下问题：1．如何通过判别式Δ判定一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)解的情况？2．一元二次方程的根与系数有什么关系？ 1．一元二次方程的解集一般地，Δ＝b 2－4ac 称为一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式．(1)当Δ>0时，方程的解集为{－b ＋b 2－4ac 2a ，－b －b 2－4ac2a}；(2)当Δ＝0时，方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬－b 2a ；(3)当Δ<0时，方程的解集为∅． 2．一元二次方程根与系数的关系若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca．■名师点拨 应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形： ①(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1；②x 2x 1＋x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2； ③|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不等实数根，则b 2－4ac >0.( )(2)一元二次方程x 2＋ax ＋a －1＝0有实数根．( ) 答案：(1)√ (2)√下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A ．x 2＋1＝0 B ．x 2－2x ＋1＝0 C ．x 2＋2x ＋4＝0 D ．x 2－x －3＝0答案：D若关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋k ＝0有实数根，则k 的取值范围是________．解析：因为一元二次方程x 2＋4x ＋k ＝0有实数根， 所以Δ＝16－4k ≥0，即k ≤4. 答案：(－∞，4]已知一元二次方程x 2－2x －1＝0的两根分别为x 1，x 2，则1x 1＋1x 2＝________.解析：因为x 1，x 2是方程x 2－2x －1＝0的根， 所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－1，所以1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－2.答案：－2方程根个数的判断及应用已知关于x 的一元二次方程3x 2－2x ＋k ＝0，根据下列条件，分别求出k 的范围．(1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有实数根； (4)方程无实数根．【解】 Δ＝(－2)2－4×3k ＝4(1－3k )． (1)因为方程有两个不相等的实数根， 所以Δ>0，即4(1－3k )>0， 所以k <13.(2)因为方程有两个相等的实数根， 所以Δ＝0，即4(1－3k )＝0，所以k ＝13.(3)因为方程有实根，所以Δ≥0，即4(1－3k )≥0， 所以k ≤13.(4)因为方程无实根，所以Δ<0，即4(1－3k )<0，所以k >13.对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，有(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝－b ±b 2－4ac2a；(2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a；(3)当Δ<0时，方程没有实数根．1．不解方程，判断下列方程的实数根的个数． (1)2x 2－3x ＋1＝0； (2)4y 2＋9＝12y ； (3)5(x 2＋3)－6x ＝0.解：(1)因为Δ＝(－3)2－4×2×1＝1>0， 所以原方程有两个不相等的实数根． (2)原方程可化为4y 2－12y ＋9＝0，因为Δ＝(－12)2－4×4×9＝0， 所以原方程有两个相等的实数根． (3)原方程可化为5x 2－6x ＋15＝0， 因为Δ＝(－6)2－4×5×15＝－264<0， 所以原方程没有实数根．2．已知方程x 2＋kx ＋1＝0(k >0)有实数根，求函数y ＝k 2＋2k －1的取值范围．解：Δ＝b 2－4ac ＝k 2－4≥0，k ≥2(因为k >0)，y ＝k 2＋2k －1，k ∈[2，＋∞)，因为对称轴k ＝－1，又因为a ＝1>0，所以当k ∈[2，＋∞)时且k 越来越大时y 也越来越大， 所以当k ＝2时，y min ＝4＋4－1＝7，所以y ≥7.注：k ∈[2，＋∞)就是k 可取得大于等于2的一切实数． 直接应用根与系数的关系进行计算若x 1，x 2是方程x 2＋2x －2 007＝0的两个根， 试求下列各式的值： (1)x 21＋x 22； (2)1x 1＋1x 2；(3)(x 1－5)(x 2－5)； (4)|x 1－x 2|.【解】 x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－2 007，(1)x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－2)2－2×(－2 007)＝4 018.(2)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－2－2 007＝22 007.(3)(x 1－5)(x 2－5)＝x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋25＝－2 007－5×(－2)＋25＝－1 972.(4)|x 1－x 2|＝（x 1－x 2）2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝4＋4×2 007＝8 032＝4502.在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值．1．已知x 1，x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两个实数根，求x 2x 1＋x 1x 2的值．解：由题知，Δ>0，x 1＋x 2＝－6，x 1x 2＝3，所以x 2x 1＋x 1x 2＝x 21＋x 22x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝（－6）2－2×33＝10.2．设a ，b 是方程x 2＋x －2 019＝0的两个实数根，求a 2＋2a ＋b 的值．解：由题知，Δ>0，a ＋b ＝－1，a 2＋a －2 019＝0， 所以a 2＋2a ＋b ＝(a 2＋a )＋(a ＋b )＝2 019－1＝2 018. 应用根与系数的关系求字母系数的值或范围已知关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋14k 2＋1＝0，根据下列条件，求出k 的值．(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根x 1，x 2，满足|x 1|＝x 2. 【解】 Δ＝[－(k ＋1)]2－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫14k 2＋1＝2k －3，Δ≥0，k ≥32.(1)设方程的两个根为x 1，x 2，x 1x 2＝14k 2＋1＝5，k 2＝16，k ＝4或k ＝－4(舍)．(2)①若x 1≥0，则x 1＝x 2，Δ＝0，k ＝32.方程为x 2－52x ＋2516＝0，x 1＝x 2＝54>0满足．②若x 1<0，则x 1＋x 2＝0，即k ＋1＝0，k ＝－1. 方程为x 2＋54＝0，而方程无解，所以k ≠－1，所以k ＝32.利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0.1．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k －1)x ＋k 2＋k －1＝0有实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若此方程的两个实数根x 1，x 2满足x 21＋x 22＝11，求k 的值． 解：(1)因为关于x 的一元二次方程x 2－(2k －1)x ＋k 2＋k －1＝0有实数根．所以Δ≥0，即[－(2k －1)]2－4×1×(k 2＋k －1)＝－8k ＋5≥0， 解得k ≤58.(2)由题知x 1＋x 2＝2k －1，x 1x 2＝k 2＋k －1，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(2k －1)2－2(k 2＋k －1)＝2k 2－6k ＋3.因为x 21＋x 22＝11，所以2k 2－6k ＋3＝11， 解得k ＝4或k ＝－1， 因为k ≤58，所以k ＝－1.2．已知关于x 的方程x 2－tx ＋2－t ＝0，根据下列条件，求出实数t 的取值范围．(1)两个根都大于1；(2)一个根大于1，另一个根小于1.解：设方程的两个根为x 1，x 2，(1)⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1>1x 2>1⇒⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0（x 1－1）＋（x 2－1）＞0（x 1－1）（x 2－1）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋4t －8≥0t ＞2t ＜32无解．所以不存在实数t ，使得方程的两个根都大于1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0x 1>1x 2<1⇒⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0（x 1－1）（x 2－1）<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋4t －8>0t >32，t >32.1．方程x 2－23kx ＋3k 2＝0的根的情况是( ) A ．有一个实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根解析：选C.Δ＝(－23k )2－12k 2＝12k 2－12k 2＝0.2．若关于x 的方程mx 2＋(2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．m <14B ．m >－14C ．m <14且m ≠0D ．m ＞－14且m ≠0解析：选D.Δ＝(2m ＋1)2－4m 2＝4m 2＋4m ＋1－4m 2＝4m ＋1>0，解得m >－14.当m ＝0时，方程x ＝0不符合题意．3．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋bx －3＝0的两根，且满足x 1＋x 2－3x 1x 2＝5，那么b 的值为( )A ．4B ．－4C ．3D ．－3解析：选A.由题知x 1＋x 2＝－b ，x 1x 2＝－3，则x 1＋x 2－3x 1x 2＝－b －3×(－3)＝5，解得b ＝4.4．已知方程x 2＋tx ＋1＝0，根据下列条件，分别求出t 的取值范围．(1)两个根都大于0； (2)两个根都小于0；(3)一个根大于0，另一个根小于0.解：设方程x 2＋tx ＋1＝0的两个根为x 1，x 2.(1)⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＞0x 2＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2＞0x 1x 2＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 2－4≥0－t ＞01＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧t ≥2或t ≤－2t ＜0t ∈R⇒t ≤－2.所以t 的取值范围为(－∞，－2]．(2)⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＜0x 2＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2＜0x 1x 2＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 2－4≥0－t ＜01＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧t ≥2或t ≤－2t ＞0t ∈R⇒t ≥2.所以t 的取值范围为[2，＋∞)．(3)⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0x 1＞0x 2＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0x 1x 2＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 2－4＞01＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧t ＞2或t ＜－2无解.所以无解，即不存在实数t使得方程的一个根大于0，另一个根小于0.所以t的取值范围为∅.[A 基础达标]1．已知关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－2，则另一个根为( )A．5 B．－1C．2 D．－5解析：选B.设方程的另一个根为x0，则－2＋x0＝－3，即x0＝－1.2．若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为( )A．－1 B．1C．－2或2 D．－3或1解析：选A.由x(x＋1)＋ax＝0，得x2＋(1＋a)x＝0.因为方程有两个相等的实数根，所以判别式Δ＝0.所以a＝－1.3．若α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两个根，则βα＋αβ的值是( )A.427 B ．－427C ．－5827D.5827解析：选C.由题知α＋β＝－23，αβ＝－3，所以βα＋αβ＝（α＋β）2－2αβαβ＝－5827.4．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋m4＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.若1x 1＋1x 2＝4m ，则m 的值是( )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．不存在解析：选A.由题知⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝（m ＋2）2－4m ·m 4>0， 解得m >－1且m ≠0.因为x 1＋x 2＝m ＋2m ，x 1x 2＝14，所以1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m ＋2m14＝4m ，所以m ＝2或－1.因为m >－1，所以m ＝2.5．若a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且关于x 的一元二次方程(c －b )x 2＋22(b －a )x ＋2(a －b )＝0有两个相等的实数根，则这个三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不等边三角形解析：选A.根据题意，得c －b ≠0，Δ＝[22(b －a )]2－4(c －b )·2(a －b )＝0，(a －b )(a －b －c ＋b )＝0， 所以a －b ＝0或a －c ＝0， 所以a ＝b 或a ＝c ，所以这个三角形为等腰三角形．6．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且x 21－x 22＝10，则a ＝________.解析：由题知x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝a . 因为x 21－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝10， 所以x 1－x 2＝2，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25－4a ＝4， 所以a ＝214.答案：2147．设α，β是方程(x ＋1)(x －4)＝－5的两个实数根，则β3α＋α3β＝________.解析：由题意，得α＋β＝3，αβ＝1， 所以α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝7，α4＋β4＝(α2＋β2)2－2α2·β2＝47， 所以β3α＋α3β＝α4＋β4αβ＝47.答案：478．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，则12x 1＋1＋12x 2＋1的值是________． 解析：由题知x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－1，x 21＝2x 1＋1，x 22＝2x 2＋1， 故原式＝1x 21＋1x 22＝x 21＋x 22（x 1x 2）2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2（x 1x 2）2＝22－2×（－1）（－1）2＝6. 答案：69．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．(1)x 21x 2＋x 1x 22；(2)(x 1－x 2)2；(3)⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 1；(4)1x 21＋1x 22.解：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝3x 1x 2＝32，(1)原式＝x 1x 2(x 1＋x 2)＝32×3＝92；(2)原式＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝9－4×32＝3；(3)原式＝x 1x 2＋1x 1x 2＋2＝32＋23＋2＝256；(4)原式＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2（x 1x 2）2＝9－394＝83. 10．已知关于x 的方程(k －1)x 2＋(2k －3)x ＋k ＋1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两个实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧k －1≠0Δ＝（2k －3）2－4（k －1）（k ＋1）>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ≠1k <1312，所以k <1312且k ≠1.(2)若x 1＋x 2＝0，即－2k －3k －1＝0，k ＝32，由(1)可知这样的k 不存在．[B 能力提升]11．已知m 2－2m －1＝0，n 2＋2n －1＝0，且mn ≠1，则mn ＋n ＋1n的值为________．解析：由题知n ≠0，则1＋2n －1n 2＝0，即1n 2－2n－1＝0.又m 2－2m －1＝0，且mn ≠1，即m ≠1n，故m ，1n 是方程x 2－2x －1＝0的两个根，则m ＋1n＝2.故mn ＋n ＋1n ＝m ＋1＋1n＝2＋1＝3.答案：312．已知方程2x 2－(k ＋1)x ＋k ＋3＝0的两根之差为1，则k 的值为________．解析：设x 1，x 2为方程的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝k ＋12x 1x 2＝k ＋32，|x 1－x 2|＝1，⎝⎛⎭⎪⎫k ＋122－2(k ＋3)＝1，k ＝9或k ＝－3.检验当k ＝9或k ＝－3时，Δ＞0成立． 答案：－3或913．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(4m ＋1)x ＋2m －1＝0. (1)求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程两根为x 1，x 2且满足1x 1＋1x 2＝－12，求m 的值．解：(1)证明：Δ＝(4m ＋1)2－4(2m －1)＝16m 2＋5>0， 所以方程总有两个不相等的实数根． (2)因为x 1＋x 2＝－(4m ＋1)，x 1x 2＝2m －1，1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－12，即－（4m ＋1）2m －1＝－12，所以m ＝－12. 14．若x 1，x 2是关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－1＝0的两个实数根，且x 1，x 2都大于1.(1)求实数k 的取值范围；(2)若x 1x 2＝12，求k 的值．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＞1x 2＞1⇒⎩⎪⎨⎪⎧[－（2k ＋1）]2－4（k 2－1）≥0x 1＋x 2－2＞0x 1x 2－（x 1＋x 2）＋1＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋5≥02k ＋1－2＞0k 2－1－（2k ＋1）＋1＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－54k ＞12k ＞1＋2或k ＜1－2，所以k ＞1＋ 2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0x 1＋x 2＝2k ＋1 ①x 1x 2＝k 2－1 ②x 2＝2x 1 ③由①③得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2k ＋13x 2＝23（2k ＋1）.所以29(2k ＋1)2＝k 2－1，k 2－8k －11＝0，k ＝4＋33或k ＝4－33，满足Δ>0.[C 拓展探究]15．已知x 1，x 2是一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根．(1)是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝32成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．(2)求使x 1x 2＋x 2x 1－2的值为整数的实数k 的整数值．解：Δ＝(－4k )2－4×4k (k ＋1)＝－16k (k ≠0)，Δ≥0，k <0(因为k ≠0)，(1)存在，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k ，由(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝32得：2(x 1＋x 2)2－9x 1x 2＝32.2－9×k ＋14k ＝32，所以k ＝－97.(2)x 21＋x 22x 1x 2－2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2－2＝1k ＋14k－4＝4k k ＋1－4＝－4k ＋1.因为－4k ＋1的值为整数， 所以k ＋1＝±1，k ＋1＝±2，k ＋1＝±4，所以k ＝0或k ＝－2或k ＝1或k ＝－3或k ＝3或k ＝－5， 因为k <0，所以k ＝－2或k ＝－3或k ＝－5.。
2023年初升高数学衔接讲义(第2套)--第9讲-二次函数与一元二次方程、不等式(学生版)
第9讲 二次函数与一元二次方程、不等式1. 一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次是2的不等式称为一元二次不等式. 其一般形式为20ax bx c ++>或20ax bx c ++<，其中,,a b c 均为常数，且0a ≠.2. 一元二次函数的零点一般地，对于二次函数()20y ax bx c a =++≠，我们把使20ax bx c ++=的实数x 叫做二次函数的()20y ax bx c a =++≠的零点.例如：二次函数223y x x =--的两个零点是121,3x x =-=.3. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系有两个相等的实数4. 解一元二次不等式的步骤：①求对应一元二次方程的根；②根据二次函数图像与x 轴的相对位置确定一元二次不等式的解集.示意图如下：5.分式不等式的解法：将分式不等式转化为整式不等式，然后再求解！例1.解下列二次不等式(1)2650x x-++≥-+->； (3)210 -+>； (2)2230x xx x例2. x例3. 若0a >，解关于x 的不等式()21220ax a x -++≤.例4.解下列分式不等式（1）2103x x ->+； (2)2312x x -+≥-； (3)2221501x x x x --<++ 例5.已知二次函数()28y ax b x a ab =+---，令0y >，解得32x -<<.（1）求二次函数的解析式；（2）当关于x 的不等式20ax bx c ++≤恒成立时，求实数c 的范围. 例6.(1) 方程2330kx kx k ++-=有一个正根和一个负根，求实数k 的取值范围； (2) 方程2210x kx ++=有一个根大于1，一个根小于1，求实数k 的取值范围；(3) k 取何实数值时，关于x 的方程()2250x k x k +-+-=的两个不相等的实根都大于2？(4) 若关于x 的方程()22210x k x k +-+-=有两实根12,x x ，且101x <<，212x <<，求实数k 的取值范围.例7.(1) 若关于x 的不等式2220ax x ++>对任意的实数x 恒成立,求实数a 的取值范围； (2) 若不等式22233x x a a -++≤-对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 当12x <<时，不等式240x mx ++<恒成立，求实数m 的取值范围； (4) 已知函数222y x kx =-+，当1x ≥-时恒有y k ≥，求实数k 的取值范围；(5) 已知函数26y mx mx m =--+，若对于13,0m y ≤≤<恒成立，求实数x 的取值范围．跟踪训练1. 解下列不等式：（1）2430x x +-≤； (2)241290x x ++≤；(3)22350x x --≥ ； (4)()22210x m x m m -+++<；(5)102x x -≥+； (6)1221x x -+>-；(7)()()2244430x x x x -+-+≥； (8)2221023x x x x --<+-2. 二次方程20ax bx c ++=的两根为2,3-，若0a <，则不等式20ax bx c ++>的解为 .3. 已知210a +<，则关于x 的不等式22450x ax a -->的解是( )A.5x a <或x a >-B.x a <-或5x a >C.5a x a -<<D.5a x a <<-4. 若关于x 的不等式()210x a x a -++<的解中，恰有3个整数，则实数a 应满足( )A.45a <<B.32a -<<-或45a <<C.45a <≤D.32a -≤<-或45a <≤5. 在R 上定义运算⊗：2a b ab a b ⊗=++，则满足()20x x ⊗-<的实数x 的取值范围是( )A.02x <<B.21x -<<C.2x <-或1x >D.12x -<<6. 若不等式24223x mx x +<-+恒成立，则实数m 的取值范围是 .7. 若不等式222424mx mx x x +-<+恒成立，则实数m 的取值范围是 .8. 若不等式2430y mx mx =-+≠对任意的实数x 均成立，则实数m 的取值范围是 .9. 当11x -≤≤时，方程223230x x m -+-=有两个不相等的实根，求实数m 的取值范围.。
第9讲 不等式(组)及其应用
3（x＋1）>x－1
正解 解：令：－32x＋3≥4
，
解不等式①得 x>－2，
解不等式②得－23x≥1，不等式两边同乘以－32得 x≤－23.∴原不等式组的
解集为－2<x≤－32.
∴原不等式组的最小整数解是－1
请完成考点精练
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
剖析 (1)在解不等式的过程注意不等式性质3的使用，即给不等式两边 同时乘以(或除以)一个负数，不等号要改变方向；(2)求不等式组的整数 解时，“实心”点所表示的实数如果是整数，则该点也是所求整数解， 如果不是整数，要从离该点最近的整数点开始算起；“空心”点所在的 实数如果是整数，则该点不是整数解，如果不是整数，则要从解集中离 该点最近的整数点开始算起．
[对应训练]
1．(2016·西宁)某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格
售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售
出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有( C )
A．103块
B．104块
数学方程与不等式
数学方程与不等式在数学领域中，方程和不等式是两个重要的概念。
方程是指一个数学等式，其中包含了一个变量以及与之相关的常数。
而不等式则是指一个数学不等式，其中包含了一个变量和与之相关的常数，其求解结果是满足不等关系的一组值。
数学方程的形式多种多样，其中最简单的是一元一次方程。
一元一次方程的一般形式为：ax + b = 0。
其中，a和b是已知常数，x表示未知数。
我们的目标是求解x的值，使得方程成立。
要解一元一次方程，我们可以通过移项和化简等运算来求解。
除了一元一次方程，数学中还存在更复杂的方程，比如二元一次方程、一元二次方程等等。
这些方程的求解方法相对更加复杂，需要运用一系列数学技巧和方法来解决。
例如，我们可以通过配方、因式分解、求根公式等方法来解决一元二次方程。
不仅仅是方程，数学中的不等式也是重要的一部分。
不等式类似于方程，但其解不再是一个具体的值，而是一组满足不等关系的值。
在求解不等式时，我们需要运用不等式性质和不等关系的性质，通过变形和推导来找到解的范围。
与方程相似，不等式也存在多种形式，包括一元一次不等式、二元一次不等式、一元二次不等式等等。
每种不等式的求解方法略有不同，但核心思想是相通的。
我们需要根据不等式的性质和方程的类似性质进行变形和推导，最终找到不等式的解集。
在实际生活中，方程和不等式的应用非常广泛。
在工程领域中，方程和不等式可以用于解决工程问题，如电路分析、材料力学等。
在经济学中，方程和不等式可以用于解决经济模型和优化问题。
在自然科学中，方程和不等式也有重要应用，如物理学中的运动方程、化学中的化学方程等等。
总结起来，数学方程和不等式是数学中的两个重要概念。
方程是数学等式，通过求解可以找到使等式成立的变量的值；不等式是数学不等式，通过求解可以找到满足不等关系的变量的取值范围。
它们在数学中具有广泛的应用，也为其他学科领域提供了解决问题的方法。
了解方程和不等式的概念和求解方法对于提升数学能力和解决实际问题具有重要意义。
中考数学复习讲义课件考点解读第二单元 方程(组)与不等式(组) 第9讲 一元二次方程及其应用 (2)
一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产10万件，
第三天生产14.4万件，若每天增长的百分率相
同．试回答下列问题：
(1)求每天增长的百分率；
(2)经调查发现，1条生产线最大产能是20万件/天，
若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减
口罩60万件，在增加产能同时又要节省投入的条件 下(生产线越多，投入越大)，应该增加几条生产线？ [分析] (1)设每天增长的百分率为x，根据开工第一 天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方 程，解之取其正值即可得出结论； (2)设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产 能为(20－2m)万件/天，根据每天生产口罩60万件， 即可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值 即可得出结论．
[点评] 本题考查了一元二次方程的应用，找准等 量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20000个，1月底因突然爆发新 冠肺变炎式疫训情，市场对口罩需求
练
量大增，为满足市场需求，工
厂决定从2月份起扩大产能，3
月份平均日产量达到24200个．
(1)求口罩日产量的月平均增长
率；
解：(1)设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题 意，得20000(1＋x)2＝24200， 解得x1＝－2.1(舍去)，x2＝0.1＝10%. 答：口罩日产量的月平均增长率为10%. (2)24200(1＋0.1)＝26620(个)． 答：预计4月份平均日产量为26620个．来自有实数根A，则m的值可以为()
A．－1
1 4
B．－
C．0
D．1
命题点3一元二次方程根的判别
式(10年1考)
8．(20A15·衡阳)若关于x的方程x2
＋3x＋a＝0有一个根为－1，则
2022年中考数学人教版一轮复习讲练课件：第9课 方程与不等式的综合应用
解：(1)设长益段高铁全长为 x 千米，长益城际铁路全长为 y 千米． 根据题意，得y6y＝0＝x＋1x64×01330，解得xy＝＝16044，.
答：长益段高铁全长为 64 千米，长益城际铁路全长为 104 千米．
(2)设甲队后期每天施工 a 千米． 甲原来每天的施工长度为 64÷40×176＝0.7(千米)， 乙每天的施工长度为 64÷40×196＝0.9(千米)． 根据题意，得 0.7×5＋0.9×(40－3)＋(40－3－5)a≥64， 解得 a≥0.85. 答：甲工程队后期每天至少施工 0.85 千米，可确保工程提早 3 天以上(含 3 天)完成．
解：(1)设甲型货车每辆可装载 x 箱பைடு நூலகம்料，乙型货车每辆可装载 y 箱材料，
依题意，得2300xx＋＋6500yy＝＝11 450000，解得xy＝＝1255. 答：甲型货车每辆可装载 25 箱材料，乙型货车每辆可装载 15 箱材料．
(2)设租用 m 辆甲型货车，则租用(70－m)辆乙型货车， 依题意，得2750m－＋m1≤53（m 70－m）≤1 245 解得325≤m≤329. 又∵m 为整数，∴m 可以取 18，19， ∴该公司共有 2 种租车方案， 方案 1：租用 18 辆甲型货车，52 辆乙型货车； 方案 2：租用 19 辆甲型货车，51 辆乙型货车．
解：(1)A 型消毒液的单价是 x 元，B 型消毒液的单价是 y 元， 依题意，得52xx＋＋23yy＝＝5431，解得xy＝＝97， 答：A 型消毒液的单价是 7 元，B 型消毒液的单价是 9 元．
(2)设购进 A 型消毒液 a 瓶，
则购进 B 型消毒液(90－a)瓶，费用为 w 元，
依题意可得 w＝7a＋9(90－a)＝－2a＋810，
八年级学而思 第9讲 一次函数与方程、不等式
第9讲一次函数与方程、不等式考点·方法·破译1．一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化成kx＋b＝0(k、b为常数，k≠0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例．即在y＝kx＋b中，当y＝0时则为一元一次方程．2．一次函数与二元一次方程(组)的关系：⑴任何二元一次方程ax＋by＝c(a、b、c为常数，且a≠0，b≠0)都可以化为y＝a cxb b-+的形式，因而每个二元一次方程都对应一个一次函数；⑵从“数”的角度看，解方程组相当于求两个函数的函数值相等时自变量的取值，以及这个函数值是什么；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两个函数图像交点的坐标．3．一次函数与一元一次不等式的关系：由于任何一元一次不等式都可以转化成ax＋b＞0或ax＋b＜0(a、b 为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成是当一次函数的函数值大于或小于0时，求相应自变量的取值范围．经典·考题·赏析【例1】直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＞k2x的解为()A．x＞－1 B．x＜－1 C．x＜－2 D．无法确定【解法指导】由图象可知l1与l2的交点坐标为(－1，－2)，即当x＝－1时，两函数的函数值相等；当x＞－1时，l2的位置比l1高，因而k2x＞k1x＋b；当当x＜－1时，l1的位置比l2高，因而k2x＜k1x＋b．因此选A．【变式题组】01．(咸宁)直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x ＞k1x＋b的解集为________．第1题图第2题图第3题图第4题图02．(浙江金华)一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．303．如图，已知一次函数y＝2x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式2x＋b＞ax－3的解集是________．04．(武汉)如图，直线y＝kx＋b经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则不等式12x＞kx＋b＞－2的解集为_________．【例2】若直线l1：y＝x－2与直线l2：y＝3－mx在同一平面直角坐标系的交点在第一象限，求m的取值范围．【解法指导】直线交点坐标在第一象限，即对应方程组的解满足xy>⎧⎨>⎩，从而求出m的取值范围．解：23y xy mn=-⎧⎨=-⎩，∴51321xmmym⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∵xy>⎧⎨>⎩，∴51321mmm⎧>⎪⎪+⎨-⎪>⎪+⎩，即10320mm+>⎧⎨->⎩，∴－1＜m＜32．【变式题组】01．如果直线y＝kx＋3与y＝3x－2b的交点在x轴上，当k＝2时，b等于()A．9 B．－3 C．32-D．94-02．若直线122y x=-与直线14y x a=-+相较于x轴上一点，则直线14y x a=-+不经过()A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限03．两条直线y1＝ax＋b，y2＝cx＋5，学生甲解出它们的交点坐标为(3，－2)，学生乙因抄错了c而解出它们的交点坐标为(34，14)，则这两条直线的解析式为____________．04．已知直线y＝3x和y＝2x＋k的交点在第三象限，则k的取值范围是________．【例3】(四川省初二数学联赛试题)在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点，设k为整数，当直线y＝x－2与y＝kx＋k的交点为整点时，k的取值可以取()A．4个B．5个C．6个D．7个【解法指导】两直线的交点为整点即对应方程组的解均为整数．解：由2y xy kx k=-⎧⎨=+⎩得21221kxkkyk+⎧=⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩，∵两直线交点为整数，∴x、y均为整数，又当x为整数时，y为整数，∴21kk+-为整数即可，2213311111k k kk k k k++-+=-=-=------，∵k－1是整数，∴k－1＝±1，±3时，x、y为整数，∴k＝－2，0，2，4．所以选A．【变式题组】01．(广西南宁)从2，3，4，5这四个数中，任取两个数p和q(p≠q)，构成函数y＝px－2和y＝x＋q，并使这两个函数图象的交点在直线x＝2的右侧，则这样的有序数对(p，q)共有()A．12对B．6对C．5对D．3对02．(浙江竞赛试题)直线l：y＝px(p是不等于0的整数)与直线y＝x＋10的交点恰好是整点(横坐标和纵坐标都是整数)，那么满足条件的直线l有()A．6条B．7条C．8条D．无数条03．(荆州竞赛试题)点A、B分别在一次函数y＝x，y＝8x的图像上，其横坐标分别是a、b(a＞0，b＞0)．若直线AB为一次函数y＝kx＋m的图象，则当ba是整数时，求满足条件的整数k的值．【例4】已知x、y、z都为非负数，满足x＋y－z＝1，x＋2y＋3z＝4，记ω＝3x＋2y＋z．求ω的最大值与最小值．【解法指导】将x、y、z中的三个未知量选定一个看成已知，则关于x、y、z的三元方程可变成关于x、y的二元方程，从而求出x与y，然后代入ω＝3x＋2y＋z中，可得ω与z的一次函数关系式，然后再求出z的取值范围，即可求出ω的最大值与最小值．解：由已知得：1243x y zx y z+=+⎧⎨+=-⎩，∴5234x zy z=-⎧⎨=-⎩，∴ω＝3x＋2y＋z＝3(5z－2)＋2(3－4z)＋z＝8z．∵x、y、z都为非负数，∴520340zzz-⎧⎪-⎨⎪⎩≥≥≥，∴2354z≤≤，∴ω的最大值为8×34＝6，ω的最小值为8×25＝165．【变式题组】01．(荆州竞赛试题)已知x满足不等式：31752233x xx-+--≥，|x－3|－|x＋2|的最大值为p，最小值为q，则pq的值是()A．6 B．5 C．－5 D．－102．已知非负数a、b、c满足条件：3a＋2b＋c＝4，2a＋b＋3c＝5．设S＝5a＋4b＋7c的最大值为m，最小值为n，则n－m＝________．03．(黄冈竞赛试题)若x＋y＋z＝30，3x＋y－z＝50，x、y、z均为非负数，则M＝5x＋4y＋2z的取值范围是() A．100≤M≤110 B．110≤M≤120 C．120≤M≤130 D．130≤M≤140 【例5】已知直线l1经过点(2，5)和(－1，－1)两点，与x轴的交点是点A，将直线y＝－6x＋5的图象向上平移4个单位后得到l2，l2与l1的交点是点C，l2与x轴的交点是点B，求△ABC的面积．【解法指导】设直线l1的解析式为y＝kx＋b，∵l1经过(2，5)，(－1，－1)两点，∴251k bk b+=⎧⎨-+=-⎩，解得21kb=⎧⎨=⎩，∴y＝2x＋1，∴当y＝0时，2x＋1＝0，x＝12-，∴A(12-，0)．又∵y＝－6x＋5的图象向上平移4个单位后得l2，∴l2的解析式为y＝－6x＋9，∴当y＝0时，－6x＋9＝0，x＝32，∴B(32，0)．∴2169y xy x=+⎧⎨=-+⎩，∴13xy=⎧⎨=⎩，∴C(1，3)，∴AB＝32－(12-)＝2，∴S△ABC＝12×2×3＝3．【变式题组】01．已知一次函数y＝ax＋b与y＝bx＋a的图象相交于A(m，4)，且这两个函数的图象分别与y轴交于B、C两点(B上C下)，△ABC的面积为1，求这两个一次函数的解析式．02．如图，直线OC、BC的函数关系式为y＝x与y＝－2x＋6．点P(t，0)是线段OB上一动点，过P作直线l与x 轴垂直．⑴求点C坐标；⑵设△BOC中位于直线l左侧部分面积为S，求S与t⑶当t为何值时，直线l平分△COB面积．第2题图演练巩固·反馈提高01．已知一次函数y＝32x＋m，和y＝12-x＋n的图象交点A(－2，0)，且与y轴分别交于B、C两点，那么△ABC的面积是()A．2 B．3 C．4 D．602．已知关于x的不等式ax＋1＞0(a≠0)的解集是x＜1，则直线y＝ax＋1与x轴的交点是() A．(0，1) B．(－1，0) C．(0，－1) D．(1，0)第3题图 第6题图03． 如图，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于点A (－4，0)，则y ＞0时，x 的取值范围是( )A ．x ＞－4B ．x ＞0C ．x ＜－4D ．x ＜0 04． 直线kx －3y ＝8，2x ＋5y ＝－4交点的纵坐标为0，则k 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－205． 直线y ＝kx ＋b 与坐标轴的两个交点分别为A (2，0)和B (0，－3)．则不等式kx ＋b ＋3≥0的解集为( )A ．x ≥0B ．x ≤0C ．x ≥2D ．x ≤2 06． 如图是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象l 1、l 2，设y 1＝k 1x ＋b 1，y 2＝k 2x ＋b 2，则方程组111222y k x b y k x b ⎧⎨⎩＝＋，＝＋的解是( ) A ．22x y =-⎧⎨=⎩B ．23x y =-⎧⎨=⎩C ．33x y =-⎧⎨=⎩D ．34x y =-⎧⎨=⎩07． 若直线y ＝ax ＋7经过一次函数y ＝4－3x 和y ＝2x －1的交点，则a ＝_________．08． 已知一次函数y ＝2x ＋a 与y ＝－x ＋b 的图象都经过A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，则S △ABC ＝_________．09． 已知直线y ＝2x ＋b 和y ＝3bx －4相交于点(5，a )，则a ＝___________．10．已知函数y ＝－x ＋m 与y ＝mx －4的图象交点在x 轴的负半轴上，则m 的值为__________． 11．直线y ＝－2x －1与直线y ＝3x ＋m 相交于第三象限内一点，则m 的取值范围是___________． 12．若直线122a y x =-+与直线31544y x =-+的交点在第一象限，且a 为整数，则a ＝_________． 13．直线l 1经过点(2，3)和(－1，－3)，直线l 2与l 1交于点(－2，a )，且与y 轴的交点的纵坐标为7．⑴求直线l 2、l 1的解析式；⑵求l 2、l 1与x 轴围成的三角形的面积； ⑶x 取何值时l 1的函数值大于l 2的函数值？ 14．(河北)如图，直线l 1的解析式为y ＝－3x ＋3，l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A (4，0)，B (3，32-)．⑴求直线l 2的解析式； ⑵求S △ADC ；⑶在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得S △ADP ＝S △ADC ，求P 点坐标．l 2第14题图15．已知一次函数图象过点(4，1)和点(－2，4)．求函数的关系式并画出图象．⑴当x 为何值时，y ＜0，y ＝0，y ＞0？ ⑵当－1＜x ≤4时，求y 的取值范围； ⑶当－1≤y ＜4时，求x 的取值范围．16．某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2h时血液中含药量最高，达每毫升6μg(1μg＝10－3mg)，接着就逐步衰减，10h后血液中含药量为每毫升3μg，每毫升血液中含药量y(μg)随时间x(h)的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后，⑴分别求x≤2和x≥2时，y与x之间的函数关系式；⑵如果每毫升血液中含药量在4μg或4μg以上时，治疗疾病才是有效的，那么这个有效时间是多长？第16题图。
人教版数学七年级下册知识重点与单元测-第九章9-2一元一次不等式的解法(能力提升)
第九章 不等式与不等式（组）9.2 一元一次不等式的解法（能力提升）【要点梳理】知识点一、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，2503x >是一个一元一次不等式． 要点诠释：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1．(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．要点二、一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：a x <（或a x >）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为ax b >（或ax b <）的形式（其中0a ≠）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.要点诠释：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．3.不等式的解集在数轴上表示：在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．要点诠释： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左．【典型例题】类型一、一元一次不等式的概念例1．下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？（1）0x > （2）1x1-> （3）2x 2> （4）3y x ->+ （5）1x -= 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断．【答案与解析】解：(1)是一元一次不等式．（2）（3）(4)(5)不是一元一次不等式，因为：（2）中分母中含有字母，（3）未知量的最高次项不是1次，（4）不等式左边含有两个未知量，（5）不是不等式，是一元一次方程．【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可．类型二、解一元一次不等式例2.解不等式：25x 03.0x 02.003.05.09.0x 4.0->+-+，并把解集在数轴上表示出来． 【思路点拨】先用分数的基本性质，将分母变为整数，再去分母，在去分母时注意分数线兼有括号的作用．【答案与解析】 解：将分母变为整数，得：25x 3x 2359x 4->+-+ 去分母，得：)5x (15)x 23(10)9x 4(6->+-+去括号，合并同类项，得：99x 11->-系数化1，得：9x <这个不等式的解集表示在数轴上，如下图：【总结升华】在不等式的两边同乘以(或除以)负数时，必须改变不等号的方向． 举一反三： 【变式】解不等式：2x ]2)14x (32[23<--- 【答案】 解：去括号，得2x 314x <--- 移项、合并同类项得：6x 43<- 系数化1，得8x ->故原不等式的解集是8x ->例3.m 为何值时，关于x 的方程：6151632x m m x ---=-的解大于1？ 【思路点拨】从概念出发，解出方程（用m 表示x ），然后解不等式．【答案与解析】解： x-12m+2=6x-15m+3 5x=3m-1315m x -=由3115m -> 解得m ＞2【总结升华】此题亦可用x 表示m ，然后根据x 的范围运用不等式基本性质推导出m 的范围．举一反三：【变式】已知关于x 方程3x 23m x 2x -=--的解是非负数，m 是正整数，则=m ．【答案】1或2例4.已知关于y ,x 的方程组⎩⎨⎧-=++=+1p y 3x 41p y 2x 3的解满足y x >，求p 的取值范围．【思路点拨】先解出方程组再解不等式．【答案与解析】解：由⎩⎨⎧-=++=+1p y 3x 41p y 2x 3，解得：⎩⎨⎧--=+=7p y 5p x ∵y x >∴7p 5p -->+解得6p ->∴p 的取值范围为6p ->【总结升华】有时根据具体问题，可以不必解出y ,x 的具体值．类型三、解含字母的一元一次不等式例5．解关于x 的不等式：(1-m)x>m-1【思路点拨】由此不等式的结构，这里只需将未知数的系数化1即可，两边同时除以（1-m ），但由不等式的基本性质我们知，若不等式两边同时除以一个负数，原不等号的方向得改变，这里1-m 的符号我们不知道，故需分类讨论．【答案与解析】解：当1- m ＞0即 m ＜1时，原不等式的解集为：x ＞-1；当1- m ＜0即m ＞1时，原不等式的解集为：x ＜-1；当1-m=0即m=1时，没有数能使得不等式成立，故原不等式无解．【总结升华】不难发现，我们可以总结概括，如下：若ax ＞b （a ≠0）， 当0a >时，不等式的解集是bx a>； 当0a <时，不等式的解集是bx a <．举一反三： 【变式1】解关于x 的不等式m （x-2）＞x-2.【答案】解: 化简，得（m-1）x ＞2（m-1），① 当m-1＞0时，x ＞2；② 当m-1＜0时，x ＜2；③ 当m-1=0时，无解.【变式2】已知x ＞a 的解集中最小整数为－2，则a 的取值范围是______．【答案】﹣3≤a ＜﹣2．类型四、逆用不等式的解集例6.如果关于x 的不等式（a+1）x ＞a+1的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是 ．【思路点拨】本题是关于x 的不等式，应先只把x 看成未知数，求得x 的解集，从而来求得a 的值．【答案】a ＜﹣1【解析】解：∵（a+1）x ＞a+1的解集为x ＜1，∴a+1＜0，∴a ＜﹣1．【总结升华】解答本题的关键是根据不等号的方向改变确定a+1＜0．举一反三：【变式】已知不等式3x ﹣a≤0的解集为x≤5，则a 的值为 ．【答案】15.【解析】解：3x ﹣a≤0，x≤，∵不等式的解集为x≤5，∴=5，解得a=15．故答案为：15．【巩固练习】一、选择题1．已知关于x 的不等式||(1)0m m x -≥是一元一次不等式，那么m 的值是 ( ) .A ．m ＝1B ．m ＝±1 C ．m ＝-1 D ．不能确定 2．由m n >得到22ma na >，则a 应该满足的条件是（ ）.A ．a ＞0B ．a ＜0C ．a ≠0D ．a 为任意实数3．关于x 的不等式x ﹣b ＞0恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（ ）A ．﹣3＜b ＜﹣2B ．﹣3＜b≤﹣2C ．﹣3≤b≤﹣2D ．﹣3≤b＜﹣24．不等式475x a x ->+的解集是1x <-，则a 为（ ）.A ．-2B ．2C ．8D ．55．如果1998a+2003b=0，那么ab 是（ ）A ．正数B ．非正数C ．负数D ．非负数6.关于x 的不等式2a x 2≥+-的解集如图所示，则a 的值是 （ ）.A ．0B ．2C ． -2D ．-4二、填空题7．若x 为非负数，则5x 231-≤- 的解集是 . 8．不等式5x ﹣3＜3x+5的最大整数解是 ．9．比较大小：22336a b -+________22241a b -+.10．已知-4是不等式5ax >-的解集中的一个值，则a 的范围为________.11．若关于x 的不等式30x a -≤只有六个正整数解，则a 应满足________.12.已知a x >的解集中的最小整数为2-，则a 的取值范围是 .三、解答题13．若m 、n 为有理数，解关于x 的不等式(－m 2－1)x ＞n ．14. 适当选择a 的取值范围，使1.7＜x ＜a 的整数解：（1）x 只有一个整数解；(2) x 一个整数解也没有．15.当310)3(2k k -<-时，求关于x 的不等式k x x k ->-4)5(的解集．16.已知关于x 的方程4x+2m+1=2x+5的解是负数．（1）求m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，解关于x 的不等式2（x ﹣2）＞mx+3．答案与解析一、选择题1. 【答案】C ；【解析】1,10m m =-≠，所以1m =-；2. 【答案】C ；【解析】由m n >得到22ma na >，不等式两边同乘以2a ，不等号方向没变，所以20,0a a >≠即；3. 【答案】D ；【解析】不等式x ﹣b ＞0，解得：x ＞b ，∵不等式的负整数解只有两个负整数解，∴﹣3≤b＜﹣2故选D ．4. 【答案】A ；【解析】由475x a x ->+，可得53a x +<-，它与1x <-表示同一解集，所以513a +-=-，解得2a =-； 5. 【答案】B ；【解析】1998a+2003b=0，可得,a b 均为0或,a b 异号；6. 【答案】A ；【解析】因为不等式2a x 2≥+-的解集为22a x -≤，再观察数轴上表示的解集为1x -≤，因此122a -=-，解得0a = 二、填空题7. 【答案】4x 0≤≤；【解析】x 为非负数，所以0x ≥，5x 231-≤-解得：4x ≤. 8. 【答案】3；【解析】不等式的解集是x ＜4，故不等式5x ﹣3＜3x+5的正整数解为1，2，3，则最大整数解为3．故答案为：3．9. 【答案】＞；【解析】222222(336)(241)50a b a b a b -+--+=++>，所以2222336241a b a b -+>-+.10．【答案】54a <； 【解析】将-4代入得：45a ->-，所以54a <. 11.【答案】1821a ≤<； 【解析】由已知得：3a x ≤，673a ≤<，即1821a ≤<. 12.【答案】2a 3-<≤-【解析】画出数轴分析得出正确答案.三、解答题13.【解析】解：2210,10.m m +>--<∴∴(－m 2－1)x ＞n ，两边同除以负数（－m 2－1）得：2211n n x m m <=---+. ∴原不等式的解集为：21n x m <-+. 14.【解析】 解：(1) 3a 2≤<；(2)2a 7.1≤<．15.【解析】 解：310)3(2k k -<- 6-1810-k k ＜4k ＜k x x k ->-4)5(-54-4kx k x k ＞(4)4k x -＞4k x k -＜． 16.【解析】解：（1）方程4x+2m+1=2x+5的解是：x=2﹣m ．由题意，得：2﹣m＜0，所以m＞2．（2）2（x﹣2）＞mx+3，2x﹣4＞mx+3，2x﹣mx＞3+4，（2﹣m）x＞7，因为m＞2，所以2﹣m＜0，所以x＜72m．。
9讲：方程(组)与不等式(组)的应用
方程（组）与不等式(组)的综合应用【课前练习】1．某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x 元；下午，他又买了20斤，价格为每斤y 元．后来他以每斤2x y +元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（ ）A.x y < B.x y > C.x y ≤ D.x y ≥ 2．某电脑用户计划使用不超过530元的资金购买单价为70元的单片软件和80元的盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，不相同的选购方式共存( )A.4种B.5种C.6种D.7种3. (2010宿迁)某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元.(1)求甲、乙两种花木每株成本分别是多少元？（2）据市场调研，1株甲种花木售价为760元，一株乙种花木售价为540元.该花农决定在成本不超过30000元的前提下培育甲乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株，那么要使总利润不少于21600元，花农有哪几种具体的培育方案？【考点剖析】一、方程（组）与不等式（组）的实际应用:1．行程中的基本关系： 路程=速度×时间；速度？（1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距※同时出发开始计时，到相遇时两者所花时间是相等的；※在解决行程问题时，单位必须统一，必要时须画图进行思考.2.工程问题： 工作总量=工作效率×工作时间 （工作总量常看为1）工作效率？如，一项工程甲队需x 天完成任务，乙队需要y 天完成任务，两人一起合作完成该项工作需_______天.3.利润问题中的等量关系：利润=商品售价－商品进价 ；利润=商品进价×商品利润率 商品利润率＝商品利润商品成本价×100% 商品销售额＝商品销售价×商品销售量某件商品9折降价销售后每件商品售价为a 元,则该商品每件原价为________4.利率问题中的等量关系：本息和=本金+利息；利息=本金×利率×时间；利息税=利息×税率5.数字数位问题: 数字×数位=数如一个两位数十位数字是x ，个位数字是y ，则这个两位数可表示为_______6.浓度问题：溶液的浓度=溶质的质量÷溶液的质量100%⨯7．日历中的数量关系日历中前后两日相差1，上下两日相差7.8.人员分配问题二、解决实际问题的一般步骤：1.审题；2.设未知数；3.列方程（组）或不等式（组）；4．解方程（组）或不等式（组）；5.检验；6.写出答案.【典例探究】例1.（2010江苏泰州）近期以来，大蒜和绿豆的市场价格离奇攀升，网民戏称为“蒜你狠”、“豆你玩”．以绿豆为例，5月上旬某市绿豆的市场价已达16元/千克．市政府决定采取价格临时干预措施，调进绿豆以平抑市场价格．经市场调研预测，该市每调进100吨绿豆，市场价格就下降1元/千克．为了即能平抑绿豆的市场价格，又要保护豆农的生产积极性，绿豆的市场价格控制在8元/千克到10元/千克之间（含8元/千克和10元/千克）．问调进绿豆的吨数应在什么范围内为宜？例2.（2010盐城）整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一．根据国家《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%．根据相关信息解决下列问题：（1）降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？（2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%、对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？练. （2010年门头沟区）某商场用2500元购进A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示:类型A型B型价格进价(元/盏) 40 65标价(元/盏) 60 100(1)这两种台灯各购进多少盏？(2)在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场计划销售这批台灯的总利润不少于1400元，问至少需购进B种台灯多少盏？例3 某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞，现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞的数量如下表表示，经过预算，本（1） 按该公司要求可以有几种购买方案?（2） 若该公司购进6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？【达标练习】 方程（组）不等式（组）应用中考真题集锦1．(2010毕节)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数为（ ）A ．8人B ．9人C ．10人D ．11人2．（2009深圳）某商场的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出80%的价格标价.若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价多少时商店老板才能出售（ ）A ． 80元 B. 100元 C.120元 D.160元3．(2009襄樊) 为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10平方米提高到12.1平方米，若每年的增长率相同，则年增长率为（ ）A ．9% B.10% C.11% D.12%4. （2009德城）某商品进价为800元，标价1200元，由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于20%，则至少可以打（ ）折A. 6折B.7折C.8折D.9折5. (2009临沂)某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产一吨这种药品的成本是81万元，则这种药品的成本的年平均下降率为 .6.（2010临沂）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文a + 2b ，2b + c ，2c + 3d ，4d ．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为 ．7．（2009泉州）某工地实施爆破，操作人员点燃导火线后，必须在炸药爆炸前跑到400米外安全区域，若导火线燃烧的速度为1.1/cm s ,人跑步的速度为5/cm s ，则导火线的长x 应满足的不等式是 .8．（2010年益阳市） 货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为x 千米/小时,依题意可列方程 .9.(2010泉州)和谐商场销售甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元.（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润=售价-进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案.10.（2010福建德化）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件?（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案? 并直接写出其中获利最大的购货方案.11.（2010年四川省眉山）某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾0.8元．相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%．（1）若购买这批鱼苗共用了3600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？（2）若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？（3）若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？（此问涉及一次函数，暂时不解）12.（2010年山东省济南市）某超市销售有甲、乙两种商品．甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．（1）若该超市同时一次购进甲、乙两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该超市为使甲、乙两种商品共80件的总利润（利润=售价-进价）不少于600元，但又不超过610元．请你帮助该超市设计相应的进货方案．。
七年级数学下册第9章不等式与不等式组9.2.2再探实际问题与一元一次不等式的应用(图文详解)
并,系数化为1。
解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并，得
2(2x+1) ≤6+9(x-1)
4x+2 ≤6+9x49x-9x ≤6-9-2
-5x ≤-5
系数化为1，得 x ≥1
七年级数学第9章不等式与不等式组 将不等式的解集在轴上表示为:
01
x
归纳:
解一元一次不等式的一般步骤: 去分母
去括号 移项 合并
当Y1 > Y2 即100+0.9(X-100) > 50+0.95(X-50) 时，X ＜ 150
议一
故宫博议物院门票是每位10元,20人以上(含20人)的
团体票8折优惠.现有18位同学结伴去博物院,当领队小 华准备好了零钱到售票处买18张票时,李明喊住了他: “买20张吧!”小华困惑了:18人买20张不是浪费吗? 你认为呢?为什么? 此外,不足20人时,多少人买20张的团体票比普通票便宜?
在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的 90%收费；在乙 店累计购买50元商品后，再购买的商品按 原价的95%收费，顾客怎样选择商店购物能获得最大优惠。
(3) 如果累计购物超过100元,那么在甲店花费一定少吗?
解:设累计购物X元(X>100)
在甲店购物花费：Y1 ＝ 100+0.9(X-100) 在乙店购物花费：Y2 ＝ 50+0.95(X-50)
购物花费小;累计购物150元时,在两店购物花费一样; 累计购物超过150元时,在甲店购物花费小.
甲、乙两商店以同样的价格出售同样的商品，并且 又各自推出不同的优惠方案：
在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费； 在乙 店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费， 顾客怎样选择商店购物能获得最大优惠。
人教版数学七年级下册 9-1-2不等式的性质-课件(1)
解: （4）根据不等式的性质1，两边都加上x得：
-4x+x<3-x+x
即-3x<3
根据不等式的性质3，两边同时除以-3得：
x>-1
学习小结
• 通过本节课的学习，谈谈你 的收获？（知识、方法、感悟 等）
作业：
1、课本P120第3题、第4题、第5 题、第6题 2、大册P74 3、小册P51
得 x ﹥< -1
第一关：牛刀小试
1、如果x＋5＞4，那么两边都减__去__5_可得x ＞－1 .
2、在－7＜8的两边都加上9可得__2_＜__1_7___. 3、在－8＜0的两边都除以8可得_－__1_＜__0____.
4、在不等式－8＜0的两边都除以－8可得1_＞___0__.
5、在不等式－3x＜3的两边都除以－3可得__x___.1
2.由mx<m,得x>1,则m应满足( A )
A. m<0
B. m>0 C.m≤0 D.m≥0
3.若m是有理数,则-7m与3m的大小关系应( D )
A.-7m<3m B.-7m>3m C.-7m≤3m D.不能确定
第五关：身轻如燕
根据不等式的基本性质，你能把下列不等
式化成 x＜ a或 x＞ a的形式吗？
（3）1 x ＞5
2
（4） －4 x ＜ 3 － x
解: （2）根据不等式的性质3，两边都除以-2得：
2x 2
<
3 2
即 ：x 3 2
第五关：身轻如燕
根据不等式的基本性质，你能把下列不等
式化成 x＜ a或 x＞ a的形式吗？
（1） x －5 ＞－1 （2） － 2 x ＞ 3
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1.满足19982+m2=19972+n2（0＜m＜n＜1998）的整数对（m、n）共有个．
2.如果关于x的不等式（2a﹣b）x+a﹣5b＞0的解集为，则关于x的不等式ax＞b
的解集为．
3.若a、b满足=7，则S=的取值范围是．
4.设x，y都是有理数，且满足方程，那么x﹣y
的值是．
5.，其中a1，a2，a3，a4，a5是常数，且a1＞a2＞a3＞a4＞a5，
6.如果不论k为何值，x=﹣1总是关于x的方程﹣=﹣1的解，则a=，
b=．
7.设a、b、c均为正数，且a+b+c=1，证明：．
8.解方程．
9.m是什么数值时，方程有根？
10.解方程：．
11.若a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程：4x2+4（a2+b2+c2）x+3（a2b2+b2c2+c2a2）
=0有两个相等的实数根，试证△ABC是等边三角形．
12.已知方程（2000x）2﹣2001×1999x﹣1=0的较大根为a，方程x2+1998x﹣1999=0的较小
根为β，求α﹣β的值．
13.若对任何实数a，关于x的方程x2﹣2ax﹣a+2b=0都有实数根，求实数b的取值范围．
14.求满足下列条件的最小的正整数n：对于n，存在正整数k，使成立．
15.已知a，b，c是三角形的三边，求证：．
16.若不等式组的整数解只有x=﹣2，求实数k的取值范围．
17.已知m、n是方程x2+2003x+7=0的两根，求（m2+2002m+6）（n2+2004n+8）的值．。