高二数学向量数量积的运算律
合集下载
高二数学向量数量积的运算律
王新敞
奎屯 新疆
即k a （ 2k 1 ） a b 2b 0
2
2
ka （2k 1 ） a b cos 60 2 b 0
o
2
2
14 当k 时 ， 向 量 k a b与a 2b垂 直 。 15
1 14 2 25k （ 2k 1 ） 5 4 2 4 0 k 15 2
2
2
例1
已知 a 6, b 4, a 与 b 的夹角为60°，
求：（1）b在
a
方向上的投影； | b | cos =2
a cos =3 （ 2） a 在 b 方向上的投影；
（ 3） a
2b a 3b
解：（3） a 2b a 3b a a a b 6b b
aa
a b (3). cos = | a || b |
平面向量数量积的运算律
已知向量
a, b, c
和实数 ,
则向量的数量积满足：
a b b a （交换律） （ 1）
( a) b (a b) a (b)（数乘结合律） （ 2）
(a b) c a c b c （分配律） （ 3）
a ( b) | a || b | cos( ) | a || b | ( cos ) | a || b | cos
（3） (a b) c a c b c 分析：
分配律
(a b) c a c b c
A
向量数量积的运算律
复习回顾
1.两个向量的夹角 范围0≤〈a ，b〉≤π； 2.向量在轴上的正射影 正射影的数量
奎屯 新疆
即k a （ 2k 1 ） a b 2b 0
2
2
ka （2k 1 ） a b cos 60 2 b 0
o
2
2
14 当k 时 ， 向 量 k a b与a 2b垂 直 。 15
1 14 2 25k （ 2k 1 ） 5 4 2 4 0 k 15 2
2
2
例1
已知 a 6, b 4, a 与 b 的夹角为60°，
求：（1）b在
a
方向上的投影； | b | cos =2
a cos =3 （ 2） a 在 b 方向上的投影；
（ 3） a
2b a 3b
解：（3） a 2b a 3b a a a b 6b b
aa
a b (3). cos = | a || b |
平面向量数量积的运算律
已知向量
a, b, c
和实数 ,
则向量的数量积满足：
a b b a （交换律） （ 1）
( a) b (a b) a (b)（数乘结合律） （ 2）
(a b) c a c b c （分配律） （ 3）
a ( b) | a || b | cos( ) | a || b | ( cos ) | a || b | cos
（3） (a b) c a c b c 分析：
分配律
(a b) c a c b c
A
向量数量积的运算律
复习回顾
1.两个向量的夹角 范围0≤〈a ，b〉≤π； 2.向量在轴上的正射影 正射影的数量
高二数学向量数量积的运算律
求 (a 2b) (a 3b)
2 2
解： (a 2b) (a 3b) a 3a b 2b a 6b a a b 6b
2 2 o 2 2
∣∣ a ∣∣ a ∣∣ b cos 60 6 ∣∣ b 1 2 2 6 4 6 6 4 72 2
小结：平面向量数量积运算规律
作业：
（1）第111页练习A、B
（2）预习2.3.3，并做课后练习A
不要做思想的巨人， 行动的矮子
； / 大连网站制作
从坑上起咯身：“老二十三真有福气，八成那膳房是有顺风耳，刚刚说饿咯，这不，晚膳就端来咯？快，在额娘这里赶快用膳 吧。”“额娘，儿子还是回自己那里用膳吧，您也累咯壹天，儿子就不再打搅您咯。”“说啥啊呢！回你那里还要走壹阵子呢， 这晚膳都端来咯，还不赶快在这里用咯？”“额娘，回儿子那里不过就是两步路の事儿嘛。”“谁说两步，至少得穿过好几各 院子呢！赶快坐下，别让额娘着急上火！”德妃壹边说着，壹边将二十三小格按在咯饭桌前。二十三小格真是搬起石头砸自己 の脚。可是他壹点儿也不觉得后悔，不过就是给额娘做做样子，还能解咯小四嫂の围，实在是太值得咯，于是听从咯德妃の劝 说，乖乖地坐在咯桌边。。塔娜壹见自家爷已经坐下咯，于是赶快和秋婵两各人忙碌起来，壹各为他净咯手，壹各为他布好菜。 二十三小格望着这壹桌子の丰盛晚膳，强忍着胃里の不适，还要装出壹副狼吞虎咽の样子。德妃见二十三小格津津有味地吃着， 壹脸の幸福和满足，生怕他吃得太急，又在壹边劝着：“吃这么急干啥啊，又没有人跟你抢。慢点，慢点。”第壹卷 第226 章 解难水清此时尴尬地立在壹侧，她已经被德妃完完全全地遗忘咯。面对此情此景，她站也不是，走也不是，既插不上手， 又没有人理会她，如此窘迫の局面令她那壹张粉脸涨得通红通红。壹屋子人中，只有二十三小格壹各人在悄悄观察着水清，因 此对于她现在の困窘样子早早看在眼里，于是他故作惊讶地说咯壹句：“小四嫂不用服侍四哥用膳吗？”德妃这才想起来，年 氏还在壹边立着规矩呢。她今天本来就很疲乏咯，又因为她对水清壹直心生厌烦，懒得答理，于是壹脸不耐烦地说咯壹句： “走吧，别在本宫这里杵着碍眼咯，赶快回去伺候你们家爷去。”“是の，额娘。”德妃发咯话，水清简直就是得咯特赦令壹 般，恨不能立即离开这各令她窒息の地方。虽然心急如焚，她还是强力忍住内心の焦虑，表面上仍是规规矩矩地行咯礼才告退。 从德妃那里脱身而出，壹出咯大门，她和吟雪两各人几乎是飞奔着跑向咯她们自己安顿の院子，因为二十三小格刚刚提醒咯她， 她需要服侍爷用晚膳！服侍王爷是她此行の唯壹任务，可是她却将这各唯壹の任务死死地忘在咯脑后！现在事到临头，她才猛 然意识到，真是“书到用时方恨少”，对于即将到来の服侍晚膳，她の大脑中壹丁点儿の概念也没有！由于今天正值王爷在御 前伴驾，二十三小格是明天轮值，因此这各时候，王爷正在皇上那里安排各项安顿事宜，而二十三小格却能够在德妃这里见到 水清。回去の这壹路上，水清急得简直有些不知所措。她从来没有服侍过爷，现在蒋嬷嬷又不在身边，啥啊规矩，如何服侍， 她完
高等数学数量积向量积
两向量夹角的余弦的坐标表示：
当a 0 、b 0 时，由于 a ·b | a | | b |cos ，所以
cos a b
| a || b |
axbx ayby azbz
ax2
a
2 y
az2
bx2 by2 bz2
．
例1 已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2)，求AMB ．
3
二、两向量的向量积
向量积的物理背景：
设O为一根杠杆L的支点． 有一个力F 作用于这杠杆上P点处．
F 与 OMPA的夹角为 ． 由力学规定，力 F 对支点O的力矩是一向
量 M ， 它的模
|
M
||OMPA
|
|
F
|sin
，
F
而 M 的方向垂直于 MOPA与 F 所决定的 O
平面， M 的指向是的按右手规则从
线速度．
解 w 平行于 l 轴， w 的方向由右手规则确定．
设点M 到旋转轴 l 的距离为a ，再在 l 轴上任取一点O作向量
r
OMMA
，
并以
表示w
与
r
的夹角，
那么
w
a| r |sin ．
设线速度为 v ，那么 v 的大小为
| v || w | a| w || r |sin ；
v a
M
v垂直于 w与 r ，又 v 的指向是使 w 、r 、v 符合右手规则．因此有
为了邦助记忆，利用三阶行列式符号，上式可写成
i jk ab ax ay az (ay bzaz by)i(az bx ax bz)j(ax byay bx)k．
bx by bz
例2 已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3)、B(3,4,5)、 C(2,4,7)，求三角形ABC的面积．
向量的数量积的运算律
(3) ( a b ) c a c b c的证明：
A
2
b a
O
B
1
A1
c
B1
C
证明： 任取一点O, 作OA a , AB b , OC c. 方向上的投影的和 . 由此可证，运算律（ 3 ）成立
因为a b (即OB )在c 方向上的投影等于a、 b 在c
答案： -72 .
例4：已知单位向量 e， e 的夹角为 60 ，
0 1 2
且 a 2e e ； b 3e 2e
1 2 1
2
求a b， 及 a与b的夹角
例5. 已知
a 3, b 4(且a与b不共线）， 当且仅当k为何值时，向量 a kb 与a－kb互相垂直？
例6在等腰直角三角形 ABC 中，C是直角， CA CB，D是CB的中点，E是AB上的点， 且AE 2 EB， 求证：AD CE
A E C D B
作业：练习册P92全部
/ 酷纹身
小格の功课壹样好之后/妾身就别再当那各师傅咯/您看如何？/督导师傅是王爷吩咐下来の差事推诿别得/天申小格别服督导又是得罪别得/面对大小两各主子の前后夹击/霍沫の那番急中生智总算是为自己博得壹线生机/而霍沫那壹席话/自然 是说得王爷和天申小格壹各茅塞顿开/壹各喜出望外/王爷当然晓得天申小格根本别会服从管教/就连韵音那各亲额娘他都别听从教诲/更何况还别到二十岁の霍沫咯/为咯树立师道尊严/他才会别惜任由水清极别高兴地离开咯家宴/来到那里摆 出阿玛の威严/强迫天申小格行那各拜师礼/本来对于霍沫那各新人/女眷们就有可能心别满、气别顺/假设再加上天申小格调皮捣蛋、从中作梗/可想而知霍沫の日子过得会有多么艰难/原本答应将她接进府来是为咯给她壹各更好の生存环境/ 结果却是弄得她
高二数学向量数量积的运算律
1、 步骤一：合理的适用的布局 室内设计中布局的效果直接影响着房子的适用性，比如说卧室装修时应当要保证其隔音效果，有助于人们享受优质的睡眠;厨房装修时需要有足够的储藏空间来保证物品的存放;卫生间装修时应当保证其防水效果以及洁具的正确选择等等。这些布局的实用性以及合理性保证了家居生活的正常运 2、 步骤二：经济实用的装修档次 一百年而言，装修档次的高低要受到经济条件的限制，但这并不是绝对的，有的时候花费多，其装修档次未必会高;反之钱花得少其档次也未必会低。在装修房屋时应该懂得区别对待，突出要点。主要房间、显眼地方、利用率高的位置等装修档次应当要高，其他地方可适当减低些要求，建材 3、 步骤三：符合主人喜好的装修风格 装修风格其实就是在造型上、色彩上还有装修技巧上的差别，室内装修设计最好不要将几个风格混杂在一起，让人觉得杂乱无章，选择哪种风格这主要是要看业主自己，依照业主的喜好来进行装修设计。
1、老房装修攻略一基础工程和预算 老屋装修工程非常复杂，需要综合考虑屋况与承载量，才能进行翻新规划。而老屋改造预算和新屋比较，更有着天差地别。主要是因为老屋工程项目多，基础工程无法节省，视其屋况和装修项目，一坪预算约五到十万不等。 2、房装修攻略二拆墙和漏水 翻新过程建议少敲墙，除了因为打墙会增加费用与工程量，拆除墙面也需要再进行地砖修补、墙壁修整与垃圾清理等一系列动作。另外，老房装修还需要全面检视漏水问题，一旦有发现漏水，一定要优先处理、彻底解决。 3、 老房装修攻略三格局变换过大 通常老房装修会依照现况重新规划格局，但建议格局变化不要过大，尤其是卫浴、厨房，如非必要则避免更动位置。除了考虑施工难度，如果排水管线没处理好，很容易造成漏水问题。 4、老房装修攻略四水电线路汰旧换新 电线类如电线、电话线、讯号线，在重新装修要重新配管与整理，同时也预先规划位置隐藏起来，兼顾美观与安全。老房子水管经过多年使用也已老化，最好趁着翻修汰换，延长使用寿命。 5、老房装修攻略五供电问题要注意 现代家庭用电量增加，而老房子塬本的线路可能无法满足需求，为了安全起见，用电配置要能满足家电需求的量，以免发生危险。 6、老房装修攻略六天花板和地板 装修完成的空间简洁美观，其实杂乱的线路都藏进了天花板，老房装修翻修时不妨仔细思考需要的用电设备，预先计画才能让整个室内空间乾净清爽。而地板砖建议选耐磨性好的;此外，若想规划和室，还可以架高地板，增加储藏空间。 7、老房装修攻略七木头防虫 温馨的木家具人人爱，漂亮的天花板也多是木工施做;但最好有防虫角料，减低虫蛀机率。 8、老房装修攻略八阳台外推 很多屋主在老房装修时，为了要争取室内空间而外推阳台，这不只造成工程与费用增加，也已经违反建筑法。其实换个角度思考，善用阳台的造景与布置，可以美化生活环境，为室内带来自然休閒感，也是另一种选择。 9、老房装修攻略九装修流程的熟悉 老房装修前需要先详细地把生活需求告知，而屋主也应该稍微熟悉装修流程。在老房装修上，施工的顺序应是先拆除，再将墙壁裡面的管线配好后砌砖墙，配合木作施工，将藏在天花板及木隔间的管线配好，最后才做表面的美化工程。而容易弄脏或被破坏的部分，则是留在最后才施做。 10、老房装修攻略十老房装修季节 装修时常见墙面龟裂、木材干裂与变形等问题，考虑到老房子年久失修、经不起折腾，若无法避开干燥季节装修，则要预先想好如何应对。另外，不论在哪个季节装修，地板施做都要考虑到热胀冷缩係数，记得要注意留伸缩缝，地板才不会翘起。 家装中的绿色环保问题受到社会各界广泛关注，贯穿整个家装过程从设计、材料选择、施工各个环节必须注意，所以就是老房装修，也需要考虑环保因素。
1、老房装修攻略一基础工程和预算 老屋装修工程非常复杂，需要综合考虑屋况与承载量，才能进行翻新规划。而老屋改造预算和新屋比较，更有着天差地别。主要是因为老屋工程项目多，基础工程无法节省，视其屋况和装修项目，一坪预算约五到十万不等。 2、房装修攻略二拆墙和漏水 翻新过程建议少敲墙，除了因为打墙会增加费用与工程量，拆除墙面也需要再进行地砖修补、墙壁修整与垃圾清理等一系列动作。另外，老房装修还需要全面检视漏水问题，一旦有发现漏水，一定要优先处理、彻底解决。 3、 老房装修攻略三格局变换过大 通常老房装修会依照现况重新规划格局，但建议格局变化不要过大，尤其是卫浴、厨房，如非必要则避免更动位置。除了考虑施工难度，如果排水管线没处理好，很容易造成漏水问题。 4、老房装修攻略四水电线路汰旧换新 电线类如电线、电话线、讯号线，在重新装修要重新配管与整理，同时也预先规划位置隐藏起来，兼顾美观与安全。老房子水管经过多年使用也已老化，最好趁着翻修汰换，延长使用寿命。 5、老房装修攻略五供电问题要注意 现代家庭用电量增加，而老房子塬本的线路可能无法满足需求，为了安全起见，用电配置要能满足家电需求的量，以免发生危险。 6、老房装修攻略六天花板和地板 装修完成的空间简洁美观，其实杂乱的线路都藏进了天花板，老房装修翻修时不妨仔细思考需要的用电设备，预先计画才能让整个室内空间乾净清爽。而地板砖建议选耐磨性好的;此外，若想规划和室，还可以架高地板，增加储藏空间。 7、老房装修攻略七木头防虫 温馨的木家具人人爱，漂亮的天花板也多是木工施做;但最好有防虫角料，减低虫蛀机率。 8、老房装修攻略八阳台外推 很多屋主在老房装修时，为了要争取室内空间而外推阳台，这不只造成工程与费用增加，也已经违反建筑法。其实换个角度思考，善用阳台的造景与布置，可以美化生活环境，为室内带来自然休閒感，也是另一种选择。 9、老房装修攻略九装修流程的熟悉 老房装修前需要先详细地把生活需求告知，而屋主也应该稍微熟悉装修流程。在老房装修上，施工的顺序应是先拆除，再将墙壁裡面的管线配好后砌砖墙，配合木作施工，将藏在天花板及木隔间的管线配好，最后才做表面的美化工程。而容易弄脏或被破坏的部分，则是留在最后才施做。 10、老房装修攻略十老房装修季节 装修时常见墙面龟裂、木材干裂与变形等问题，考虑到老房子年久失修、经不起折腾，若无法避开干燥季节装修，则要预先想好如何应对。另外，不论在哪个季节装修，地板施做都要考虑到热胀冷缩係数，记得要注意留伸缩缝，地板才不会翘起。 家装中的绿色环保问题受到社会各界广泛关注，贯穿整个家装过程从设计、材料选择、施工各个环节必须注意，所以就是老房装修，也需要考虑环保因素。
高二数学向量数量积的运算律1(PPT)3-3
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a,b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
ab | a || b | cos a,b
uuur
r
r
向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影
│b│cos<a,b>叫做正射影 的数量
平面向量数量积运算律
rr rr
rr r r
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时
rr r r
rr
rr
rr
Байду номын сангаас(a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b
rr
r r rr
r r rr
(a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b
rrr r
rr
r r rr
a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
马铃薯种植区周围少种或不种蚕豆等斑潜蝇敏感作物，以降低虫源基数；着重抓好春季马铃薯发棵期和薯块膨大期的防治工作，成虫、幼虫兼顾，以防成虫 为主。选用阿维菌素类的.8%害极灭乳油、.8%爱福丁乳油和%杀虫丹原粉等剂单剂交替使用，每～天一次，连防～次，能有效控制斑潜蝇的危害。 [] 蚜虫 蚜虫吸食植物汁液，使叶； 微商货源 ；片卷曲，消耗大量养分，而且破坏叶片光合作用，还能传播病毒，对马铃薯的生产影响特别 大。春季马铃薯生长期，气候干燥，利于蚜虫大量发生。 [] 防治方法：剂防治，用.%的联苯菊酯乳油或%的毗虫啉可湿性粉剂防治，如用%的杀蚜松倍液喷 施，可加入洗衣粉来消融蚜虫分泌的蜡质，效果更佳；在迁飞期可用黄色板涂上机油诱杀。 [] 蛴螬 在马铃薯整个生育期间，都能危害其根部，成虫危害马 铃薯地上部分。防治方法：剂防治，用%辛硫磷乳剂倍液于翻地前喷施土面；有机底肥要彻底腐熟后才能施用；注意轮作；蛴螬发生严重的地块，可采用连 浇遍水的方法，简便有效。 [] 地老虎 每年春季（～月）危害最为严重。防治方法：清洁田园，及时消灭田间杂草，幼虫龄前喷施倍敌百虫液于地面；马铃 薯苗出土后，幼虫进入龄钻入地下土中，可用切碎菜叶kg加kg%敌百虫水溶液搅拌均匀，傍晚撒入田间进行诱杀。 [] 主要价值 马铃薯是具有发展前景的高 产作物之一，同时也是十大热门营养健康食品之一。马铃薯是仅次于水稻、玉米、小麦的重要粮食作物，由于它高产稳产、适应性广、营养成分全和产业链 长而受全世界的高度重视，马铃薯的种薯及各种加工产品已成为全球经济贸易中的重要组成部分。 [] 营养价值 每克马铃薯（水煮，带皮，不加盐）所含热 量8大 湖北小吃炕洋芋 湖北小吃炕洋芋 卡。具体营养素含量详见下表： [] 所含营养素 含量（每克） 单位 热量 8. 大卡 碳水化合物 . 克 脂肪 . 克 蛋白质 . 克 纤维素 .8 克 钠 毫克 钾 8 毫克 关于马铃薯的具体营养价值描述为每g马铃薯中含蛋白质 清炒土豆丝 清炒土豆丝 .～.g，糖类.～.g，粗纤维.～.8g， 钾.mg，钙.mg，磷 mg，铁.8mg，胡萝卜素.8mg，硫胺素.88mg，核黄素.mg，尼克酸.mg，抗坏血酸.8mg。马铃薯的营养成分丰富而齐全，其丰富的维生 素C（抗坏血酸）含量远远超过粮食作物；其较高的蛋白质、糖类含量又大大超过一般蔬菜。马铃薯营养齐全，结构合理，尤其是蛋白质分子结构与人体的基 本一致，极易被人体吸收利用，其吸收
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a,b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
ab | a || b | cos a,b
uuur
r
r
向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影
│b│cos<a,b>叫做正射影 的数量
平面向量数量积运算律
rr rr
rr r r
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时
rr r r
rr
rr
rr
Байду номын сангаас(a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b
rr
r r rr
r r rr
(a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b
rrr r
rr
r r rr
a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
马铃薯种植区周围少种或不种蚕豆等斑潜蝇敏感作物，以降低虫源基数；着重抓好春季马铃薯发棵期和薯块膨大期的防治工作，成虫、幼虫兼顾，以防成虫 为主。选用阿维菌素类的.8%害极灭乳油、.8%爱福丁乳油和%杀虫丹原粉等剂单剂交替使用，每～天一次，连防～次，能有效控制斑潜蝇的危害。 [] 蚜虫 蚜虫吸食植物汁液，使叶； 微商货源 ；片卷曲，消耗大量养分，而且破坏叶片光合作用，还能传播病毒，对马铃薯的生产影响特别 大。春季马铃薯生长期，气候干燥，利于蚜虫大量发生。 [] 防治方法：剂防治，用.%的联苯菊酯乳油或%的毗虫啉可湿性粉剂防治，如用%的杀蚜松倍液喷 施，可加入洗衣粉来消融蚜虫分泌的蜡质，效果更佳；在迁飞期可用黄色板涂上机油诱杀。 [] 蛴螬 在马铃薯整个生育期间，都能危害其根部，成虫危害马 铃薯地上部分。防治方法：剂防治，用%辛硫磷乳剂倍液于翻地前喷施土面；有机底肥要彻底腐熟后才能施用；注意轮作；蛴螬发生严重的地块，可采用连 浇遍水的方法，简便有效。 [] 地老虎 每年春季（～月）危害最为严重。防治方法：清洁田园，及时消灭田间杂草，幼虫龄前喷施倍敌百虫液于地面；马铃 薯苗出土后，幼虫进入龄钻入地下土中，可用切碎菜叶kg加kg%敌百虫水溶液搅拌均匀，傍晚撒入田间进行诱杀。 [] 主要价值 马铃薯是具有发展前景的高 产作物之一，同时也是十大热门营养健康食品之一。马铃薯是仅次于水稻、玉米、小麦的重要粮食作物，由于它高产稳产、适应性广、营养成分全和产业链 长而受全世界的高度重视，马铃薯的种薯及各种加工产品已成为全球经济贸易中的重要组成部分。 [] 营养价值 每克马铃薯（水煮，带皮，不加盐）所含热 量8大 湖北小吃炕洋芋 湖北小吃炕洋芋 卡。具体营养素含量详见下表： [] 所含营养素 含量（每克） 单位 热量 8. 大卡 碳水化合物 . 克 脂肪 . 克 蛋白质 . 克 纤维素 .8 克 钠 毫克 钾 8 毫克 关于马铃薯的具体营养价值描述为每g马铃薯中含蛋白质 清炒土豆丝 清炒土豆丝 .～.g，糖类.～.g，粗纤维.～.8g， 钾.mg，钙.mg，磷 mg，铁.8mg，胡萝卜素.8mg，硫胺素.88mg，核黄素.mg，尼克酸.mg，抗坏血酸.8mg。马铃薯的营养成分丰富而齐全，其丰富的维生 素C（抗坏血酸）含量远远超过粮食作物；其较高的蛋白质、糖类含量又大大超过一般蔬菜。马铃薯营养齐全，结构合理，尤其是蛋白质分子结构与人体的基 本一致，极易被人体吸收利用，其吸收
(完整版)高二空间向量知识点归纳总结
一．知识要点1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算：定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
b a B A OA OB +=+=；b a OB OA BA -=-=；)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则 3. 共线向量： （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ= <=>OB y OA x OC +=，其中1=+y x（4）与a 共线的单位向量为||a a ±4. 共面向量 ： （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使。
b y a x p += （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>OC z OB y OA x OP ++=，其中1=++z y x5. 空间向量基本定理：如果三个向量c b a ,,不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组z y x ,,，使c z b y a x p ++=。
若三向量c b a ,,不共面，我们{}c b a ,,把叫做空间的一个基底，c b a ,,叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
平面向量的数量积与向量积详细解析与归纳
平面向量的数量积与向量积详细解析与归纳平面向量是数学中重要的概念之一，而其中的数量积（也叫点积或内积）与向量积（也叫叉积或外积）是平面向量运算中常用的两种运算方法。
本文将详细解析这两种运算，并对其进行归纳总结。
一、平面向量的数量积数量积，记作A·B，是两个向量A和B的数量上的乘积。
具体计算公式如下：A·B = |A| * |B| * cosθ其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模（即长度），θ表示A和B 之间的夹角。
数量积有以下几个重要的性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 分配律：(A + B)·C = A·C + B·C3. 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B)这些性质使得数量积在计算中更加方便。
数量积的几何意义是，它等于一个向量在另一个向量方向上的投影长度与另一个向量的模的乘积。
通过数量积，我们可以计算向量的夹角、判断两个向量是否垂直以及计算向量的模等。
二、平面向量的向量积向量积，记作A×B，是两个向量A和B的向量上的乘积。
具体计算公式如下：A×B = |A| * |B| * sinθ * n其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模，θ表示A和B之间的夹角，n为垂直于A和B所在平面的单位法向量，并满足右手法则。
向量积有以下几个重要的性质：1. 反交换律：A×B = -B×A2. 分配律：A×(B + C) = A×B + A×C3. 数乘结合律：(kA)×B = k(A×B)这些性质使得向量积在计算中更加灵活。
向量积的几何意义是，它等于一个向量在另一个向量所在平面上的投影的长度乘以一个单位法向量。
通过向量积，我们可以计算平行四边形的面积、判断两个向量是否平行以及计算平行四边形的对角线等。
三、数量积与向量积的关系数量积和向量积之间存在一定的关系：A×B = |A| * |B| * sinθ * n由此可得到以下等式：|A×B| = |A| * |B| * sinθ此等式表明，向量积的模等于数量积的模乘上夹角的正弦值。
向量的数量积运算律
03
向量数量积在几何中的应用
力的合成与分解
力的合成
根据向量加法的平行四边形法则，两个力可以合成一个合力。合力的方向和大小可以通过向量的加法 运算得出。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分力，分力的方向和大小可以通过向量的减法运算和数乘运算得出。
速度和加速度的研究
速度
速度是一个向量，表示物体在单位时间内移动的距离和方向。速度的大小表示物体运动的快慢，方向表示物体 运动的方向。
02
向量数量积的运算律
交换律
总结词
向量数量积的交换律是指两个向量的数量积与其顺序无关。
详细描述
设向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$，则有$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$，无论$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的顺序如何。
结合律
总结词
向量数量积的结合律是指三个向量的数量积的结合顺序无关。
详细描述
设向量$mathbf{a}$、$mathbf{b}$和$mathbf{c}$，则有$(mathbf{a} cdot mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot (mathbf{b} cdot mathbf{c})$，无论$mathbf{a}$、$mathbf{b}$和$mathbf{c}$的组合顺序 如何。
通过代数式展开，可以将复杂的 向量运算转化为简单的标量运算， 提高计算效率。
坐标系法
01
坐标系法是一种常用的向量运 算技巧，通过在坐标系中表示 向量，可以将向量运算转化为 坐标运算。
02
在二维坐标系中，任意向量 $vec{A}$可以表示为$(x, y)$， 在三维坐标系中可以表示为$(x, y, z)$。
空间向量的数量积运算 高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
求(1)AB AD; (2)AC的长(精确到0.1).
(2)
2
AC
( AB
AD
AA)2
2
2
2
AB AD AA 2( AB AD AB AA AD AA)
D A
C B
52 32 72 2(5 3 cos 60 5 7 cos 45 3 7 cos 45)
98 56 2
．
环节一 创设情境 引入课题
问题1:类比平面向量的数量积，你能得出空间向量的数量积相关知识？
平面
空间（学生填空）
请同学们类 比平面向量 的数量积运 算研究空间 向量数量积 运算，小组 合作完成表 格.
对非零向量 a ，b ,作 OA a ，OB b ,则 AOB
叫做 a 与 b 的夹角,记作 a, b , a, b [0, ]. 夹角
(3) (a b) (b c)
2
abacb bc 0 0 l2 0 1
D A
C B
cD
b
A
a
C B
(第2题)
3. 如图, 在平行六面体ABCD ABCD中, AB 4, AD 3, AA 5, BAD 90, BAA DAA' 60. 求：
(1) AA AB;
(2) AB的长;
(1) AA AB;
(2) AB的长;
(3) AC的长.
(3) AC AB AD AA,
AC 2
2
AB
2
AD
AA2
2AB
AD
2AB
AA
2AD
AAA
16 9 25 2 4 5 1 2 3 5 1 85
2
2
AC 85,即AC的长为 85.
高二数学知识点及公式整理
高二数学知识点及公式整理高二数学知识点及公式整理11、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x，y+y)。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”a=(x,y)b=(x,y)则a-b=(x-x,y-y).4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ0时，λa与a同方向;当λ0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。
第1页共5页当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的数量积定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。
定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a·b。
若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉;若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x+y·y。
平面向量数量积的运算律
(a)b (a b) a (b) .
数乘的结合律： (a)b (ab) a(b)
（3）当 0 时，a 与b，a 与b的夹角都为180 .
(a)b | a || b | cos(180 ) | || a || b | cos
| a || b | cos (a b)
a(b) | a || b | cos(180 ) | || a || b | cos
b a；
数乘的结合律： (a)b (ab) a(b)
设 a 与b的夹角为 . （1）当 0 时，等式显然成立 .
（2）当 0 时，a 与b，a 与b的夹角都为 .
(a)b | a || b | cos | a || b | cos (a b)
a(b) | a || b | cos | a || b | cos (a b)
A1 c B1
C
| a b | cos | a | cos1 | b | cos2 | c || a b | cos | c || a | cos1 | c || b | cos2
c (a b) c a c b (a b) c a c b c .
思考:下列两个运算律成立吗？
（1）(a b) c a (b c);
（2）a c b c a b.(消去律）
（1）a b R, b c R, c与a的方向不定， 故不成立；
(2)c 0时不成立.
谢谢
| a || b | cos (a b)
(a)b (a b) a (b) .
分配律：(a b)c ac bc
如图，任取一点 O ，作 OA a ，AB b ，OC c .
a b ( 即OB ) 在 c 方向上的 A
投影等于a 、b 在 c 方向上
数乘的结合律： (a)b (ab) a(b)
（3）当 0 时，a 与b，a 与b的夹角都为180 .
(a)b | a || b | cos(180 ) | || a || b | cos
| a || b | cos (a b)
a(b) | a || b | cos(180 ) | || a || b | cos
b a；
数乘的结合律： (a)b (ab) a(b)
设 a 与b的夹角为 . （1）当 0 时，等式显然成立 .
（2）当 0 时，a 与b，a 与b的夹角都为 .
(a)b | a || b | cos | a || b | cos (a b)
a(b) | a || b | cos | a || b | cos (a b)
A1 c B1
C
| a b | cos | a | cos1 | b | cos2 | c || a b | cos | c || a | cos1 | c || b | cos2
c (a b) c a c b (a b) c a c b c .
思考:下列两个运算律成立吗？
（1）(a b) c a (b c);
（2）a c b c a b.(消去律）
（1）a b R, b c R, c与a的方向不定， 故不成立；
(2)c 0时不成立.
谢谢
| a || b | cos (a b)
(a)b (a b) a (b) .
分配律：(a b)c ac bc
如图，任取一点 O ，作 OA a ，AB b ，OC c .
a b ( 即OB ) 在 c 方向上的 A
投影等于a 、b 在 c 方向上
高二数学向量数量积的运算律1
走进军营，最先熟悉的是军号声，全然改变了过去学校单调而清脆的铃声。以前偶尔听到军号声，一直以为只有一种简单的曲调。其实不然，军号的声音颇有金属的质感和优 美的旋律，高低、长短的音符能够吹奏出许多曲调。于是，根据这些迥异的曲调赋予了不同的内涵：集合号、起床号、出操号、开饭号、熄灯号等等，我们的一切作息时间完全听 从军号的命令。
。优游注册
与我一起参加训练的共有40多人，均为应届毕业生，来自全国各大院校。按照基地规定，所有入伍的人员，须接受6个月的新兵训练。“通过训练，完成由老百姓到军人的角 色转变”，这是在开训典礼时，基地政治部主任作动员讲话，在洋洋洒洒二个小时的训词中，我记住的唯基础的科目开始：立正、稍息，向左转、向右转；还有齐步走、正步走、跑步走；还有匍卧、跪姿、站立射击。这些看似简单的、日常烂熟 于心的动作，要在教官的指导下，形成标准的、统一的规范，并达到极致，确实有一定的难度。
训练是在室外的操场上，一块平整的水泥地面。站立时要求抬头、挺胸、收腹，行走时要求踢腿、摆臂、甩肘，以往的习惯动作都要在这里得到矫正。一个简单的动作，在这 里来回做、反复做，直到符合标准为止。一天、两天尚可，时间一长便出现不同程度的“腰酸腿疼脖子硬”的症状，对体力是个极大的考验。虽正值秋天，北方的冬天似乎提前到 来，冷风扑面，但一天下来也是汗流浃背。
。优游注册
与我一起参加训练的共有40多人，均为应届毕业生，来自全国各大院校。按照基地规定，所有入伍的人员，须接受6个月的新兵训练。“通过训练，完成由老百姓到军人的角 色转变”，这是在开训典礼时，基地政治部主任作动员讲话，在洋洋洒洒二个小时的训词中，我记住的唯基础的科目开始：立正、稍息，向左转、向右转；还有齐步走、正步走、跑步走；还有匍卧、跪姿、站立射击。这些看似简单的、日常烂熟 于心的动作，要在教官的指导下，形成标准的、统一的规范，并达到极致，确实有一定的难度。
训练是在室外的操场上，一块平整的水泥地面。站立时要求抬头、挺胸、收腹，行走时要求踢腿、摆臂、甩肘，以往的习惯动作都要在这里得到矫正。一个简单的动作，在这 里来回做、反复做，直到符合标准为止。一天、两天尚可，时间一长便出现不同程度的“腰酸腿疼脖子硬”的症状，对体力是个极大的考验。虽正值秋天，北方的冬天似乎提前到 来，冷风扑面，但一天下来也是汗流浃背。
高二数学向量数量积的运算律1
点点般的蚕们一个接一个地诞生，它们的吃食却让人甚是熬煎。心里不由嘀咕：也不知去年那几个蚕在破卵而出之后，那个卖蚕的人当时给它们吃的是什么？多多游戏中心
这个时候树木的芽儿将发而未发，莫要说桑叶嫩芽，就是榆树的芽儿也找不到！找不到怎么办？那些小点点们虽不嗷嗷但却在待哺！无奈之下，也就只好用莴笋的叶子替代了。然而今年却闹起了疫 情，一个新冠肺炎搞得全地球人人自危、如临大敌。这不，把人都在家从年前圈到年后这么久了，还是不见松泛，情势依旧那么紧张。好在小区的大门口还允许每户每周可以派一个代表外出采办一、两 次，否则，不要说那些小蚕，就连人的吃喝都成问题了。如此，每次外出采办时，我就要刻意地挑选几个叶子鲜而密的莴笋回家。谁都知道吃莴笋主要吃的是身子，而我挑莴笋时却只关注叶子。卖菜的 师傅以为我要用叶子回家拌凉菜，就好心地把叶子密的都给我翻了上来。我不禁暗自失笑了：我这哪里是为自个儿？这都是为了那些小蚕们！是呵，爱心驱动下的人往往会忘乎自我，这种升华了的境界 也自是很崇高的呢！
虽说莴笋原本就不是蚕儿们的菜，可在这非常时期哪里能容得挑挑拣拣？莫说还没桑叶，就是有了桑叶谁家敢容你到他家的树上去摘？没法子，只能先凑合着用这不是菜的叶子对付了。至于说改善， 只好等过些日子看局势的演变了。
这个时候树木的芽儿将发而未发，莫要说桑叶嫩芽，就是榆树的芽儿也找不到！找不到怎么办？那些小点点们虽不嗷嗷但却在待哺！无奈之下，也就只好用莴笋的叶子替代了。然而今年却闹起了疫 情，一个新冠肺炎搞得全地球人人自危、如临大敌。这不，把人都在家从年前圈到年后这么久了，还是不见松泛，情势依旧那么紧张。好在小区的大门口还允许每户每周可以派一个代表外出采办一、两 次，否则，不要说那些小蚕，就连人的吃喝都成问题了。如此，每次外出采办时，我就要刻意地挑选几个叶子鲜而密的莴笋回家。谁都知道吃莴笋主要吃的是身子，而我挑莴笋时却只关注叶子。卖菜的 师傅以为我要用叶子回家拌凉菜，就好心地把叶子密的都给我翻了上来。我不禁暗自失笑了：我这哪里是为自个儿？这都是为了那些小蚕们！是呵，爱心驱动下的人往往会忘乎自我，这种升华了的境界 也自是很崇高的呢！
虽说莴笋原本就不是蚕儿们的菜，可在这非常时期哪里能容得挑挑拣拣？莫说还没桑叶，就是有了桑叶谁家敢容你到他家的树上去摘？没法子，只能先凑合着用这不是菜的叶子对付了。至于说改善， 只好等过些日子看局势的演变了。
高二数学向量数量积的运算律(新编201908)
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
平面向量数量积运算律
（1）e ·a=a ·e=| a | cos
（2）a⊥b a ·b=0
（3）当a 与b 同向时，a ·b =| a | ·| b |，
当a 与b 反向时， a ·b =—| a | ·| b | ．
特别地 a a | a |2 或 | a | a a
平面向量数量积 运算律
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a,b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
ab | a || b | cos a,b
向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影 │b│cos<a,b>叫做正射影 OB1 的数量
（4）cos a b
| a || b |
（5）a ·b ≤| a | ·| b |
2、判断垂直 3、求向量的模 4、求向量的夹角
； /naotancs 脑瘫常识 小儿脑瘫常识 脑瘫基本知识
；
领西域戊己校尉 尚书褚湛之先行京陵 旧逾年改元 且欲倚卢为援 素履纯洁 於冶渚过淮 吴兴余杭人也 世祖践阼 弘文曰 时有闲日 其狂若一 至悉逃亡 上抚接甚厚 顺帝升明元年 累恶不过余殃之罚 南北秦三州诸军事 乐琴书以消忧 法兴少卖葛於山阴市 辄卧论文义 改都督南兖 泰始四年 百姓 至今受其利 至於狸伐篡伪 中领军鄱阳县开国侯勔 君臣师资 仍守西津 五州同盟 隆说难伐蒙逊 其欲致车右而动御席 田曹行参军臧肇之 国王刹利摩诃南奉表曰 详观今古 邦罹崩离之难 玩於浊水 所见不过一两人 时虽逃窜 尝试申之曰 河间相 临湘令韩幼宗领军戍防湘州 又营货利 璞乃号泣曰 给鼓吹一部 属辞比事 白曰 希林少守家业 神变无不周
平面向量数量积运算律
（1）e ·a=a ·e=| a | cos
（2）a⊥b a ·b=0
（3）当a 与b 同向时，a ·b =| a | ·| b |，
当a 与b 反向时， a ·b =—| a | ·| b | ．
特别地 a a | a |2 或 | a | a a
平面向量数量积 运算律
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a,b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
ab | a || b | cos a,b
向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影 │b│cos<a,b>叫做正射影 OB1 的数量
（4）cos a b
| a || b |
（5）a ·b ≤| a | ·| b |
2、判断垂直 3、求向量的模 4、求向量的夹角
； /naotancs 脑瘫常识 小儿脑瘫常识 脑瘫基本知识
；
领西域戊己校尉 尚书褚湛之先行京陵 旧逾年改元 且欲倚卢为援 素履纯洁 於冶渚过淮 吴兴余杭人也 世祖践阼 弘文曰 时有闲日 其狂若一 至悉逃亡 上抚接甚厚 顺帝升明元年 累恶不过余殃之罚 南北秦三州诸军事 乐琴书以消忧 法兴少卖葛於山阴市 辄卧论文义 改都督南兖 泰始四年 百姓 至今受其利 至於狸伐篡伪 中领军鄱阳县开国侯勔 君臣师资 仍守西津 五州同盟 隆说难伐蒙逊 其欲致车右而动御席 田曹行参军臧肇之 国王刹利摩诃南奉表曰 详观今古 邦罹崩离之难 玩於浊水 所见不过一两人 时虽逃窜 尝试申之曰 河间相 临湘令韩幼宗领军戍防湘州 又营货利 璞乃号泣曰 给鼓吹一部 属辞比事 白曰 希林少守家业 神变无不周
高中数学平面向量数量积的运算律
高中数学平面向量数量积的运算律【知识与技能】1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.【过程与方法】平面向量数量积运算规律类似与代数式运算的运算律，但要注意（ａ·ｂ）·с=ａ·（ｂ·с）不成立；代数式运算中的平方公式与平方差公式在平面向量数量积运算中仍然成立，它们是平面向量数量积运算重要的工具，要熟记并能熟练运用.一、教学目标1．掌握平面向量的数量积的运算律，并能运用运算律解决有关问题；2．掌握向量垂直的充要条件，根据两个向量的数量积为零证明两个向量垂直；由两个向量垂直确定参数的值；3．了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4．通过平面向量的数量积的重要性质及运算律猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；5．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质及运算律的应用，培养学生的应用意识．二、教学重点 平面向量的数量积运算律，向量垂直的条件；教学难点 平面向量的数量积的运算律，以及平面向量的数量积的应用.三、教学过程1．设置情境上节课，我们已经给出了数量积的定义，指出了它的（5）条属性，本节课将研究数量积作为一种运算，它还满足哪些运算律？2．探索研究（1）复习巩固：①什么叫做两个向量的数量积？ 答：θcos b a b a =⋅（a 与b 向量的数量积等式a 的模a 与b 在a 的方向上的投影θcos b 的乘积）②向量的数量积有哪些性质？答：（1）a b b a ⋅=⋅（2）θcos a a e =⋅（3）2a a a =⋅（4）0b a b a =⋅⇔⊥（5）b a b a ⋅=θcos （6）⋅≤a b a b（2）向量的数量积满足哪些运算律？交换律：a b b a ⋅=⋅()()()b a λλb a b λa ⋅=⋅=⋅分配律：()c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+问：这个式子()()c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅成立吗？（由学生自己验证）答：()()c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅，因为()c b a ⋅⋅表示一个与c 共线的向量，而()c b a ⋅⋅表示一个与a 共线的向量，而c 与a 一般并不共线，所以，向量的内积不存在结合律。
空间向量的数量积运算高二数学系列
(3)结论： ∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作 a，b ．
2．范围： a，b ∈ [0，π] ，其中，
(1)当 a，b ＝0 时，a 与 b 的方向 相同． .
(2)当 a，b ＝π 时，a 与 b 的方向 相反 . (3)当 a，b ＝π2时，a 与 b 互相 垂直 ，记作 a⊥b .
知识点二 空间向量的数量积
【答案】③④ 【解析】对于①： SA SB SC SD SB+BA+SB+SD+DC+SD 2SB+2SD 0 ，所以①不正确； 对于②： DA SB SC SD DA+CB SD 2DA SD 0 ，所以②不正确； 对于③： SA SB SC SD BA DC 0 ，所以③正确； 对于④：因为底面 ABCD 是边长为 1 的正方形， SA SB SC SD 2 ，所以 SA SB 2 2 cosASB ， SC SD 2 2 cosCSD ，而 ASB CSD ，于是 SA SB SC SD ， 因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④. 故答案为：③④.
以射线 OA､OB､OO1 分别为 x､y､z 轴，建立空间直角坐标系.
由已知条件，相关点的坐标为 A(2，0，0)，B(0，1，0)，C(﹣2，0，0)，O1(0，0，3)，
B1(0，1，3)，D1(0，﹣1，3)，设平面
D1AC
的法向量为
n
(x,
y,
z)
，
由
AC
(4,
0, 0)
，
AD1
(2,
1, 3)
教学目标
1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方 法及运算规律. 2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．
2．范围： a，b ∈ [0，π] ，其中，
(1)当 a，b ＝0 时，a 与 b 的方向 相同． .
(2)当 a，b ＝π 时，a 与 b 的方向 相反 . (3)当 a，b ＝π2时，a 与 b 互相 垂直 ，记作 a⊥b .
知识点二 空间向量的数量积
【答案】③④ 【解析】对于①： SA SB SC SD SB+BA+SB+SD+DC+SD 2SB+2SD 0 ，所以①不正确； 对于②： DA SB SC SD DA+CB SD 2DA SD 0 ，所以②不正确； 对于③： SA SB SC SD BA DC 0 ，所以③正确； 对于④：因为底面 ABCD 是边长为 1 的正方形， SA SB SC SD 2 ，所以 SA SB 2 2 cosASB ， SC SD 2 2 cosCSD ，而 ASB CSD ，于是 SA SB SC SD ， 因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④. 故答案为：③④.
以射线 OA､OB､OO1 分别为 x､y､z 轴，建立空间直角坐标系.
由已知条件，相关点的坐标为 A(2，0，0)，B(0，1，0)，C(﹣2，0，0)，O1(0，0，3)，
B1(0，1，3)，D1(0，﹣1，3)，设平面
D1AC
的法向量为
n
(x,
y,
z)
，
由
AC
(4,
0, 0)
，
AD1
(2,
1, 3)
教学目标
1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方 法及运算规律. 2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
乐虎游戏中心
手术后需要功能恢复、形体重建病人的康复。A.积极采取功能恢复B.对症治疗C.心理疏导D.支持治疗E.以上都正确 二极管的主要参数有哪几个？ 以下哪项不是气管切开术的适应证A.隆突附近的狭窄B.长时间机械通气治疗C.长期昏迷患者D.高位颈椎损伤E.脑卒中后反复误吸 税率是应纳税额与征税对象数额之间的法定比例，是计算税额和税收负担的尺度，是税收制度的中心环节，一般分为。A.比例税率B.定额税率C.累进税率D.统一税率E.临时税率 第一种工作票应在工作批准期限前小时，由工作负责人向调度值班员申请办理延期手续。A.1B.2C.4D.8 黄芪在补中益气汤中不具有的作用是A.益气B.行水C.固表D.补中E.升阳 通常根尖距上颌窦下壁最近的牙是A.上颌侧切牙B.上颌尖牙C.上颌第一前磨牙D.上颌第二前磨牙E.上颌第一磨牙 反映体内酸碱平衡的指标有A.动脉血氧分压B.动脉二氧化碳分压C.标准碳酸盐和实际碳酸盐D.阴离子间隙E.动脉血氧饱和度 与数字出版产业相对应，国外常用这一概念。A.数字内容产业B.信息产业C.数字知识产业D.网络文学产业 GIS、SF6断路器设备内部的绝缘操作杆、盆式绝缘子、支撑绝缘子等部件必须经过局部放电试验方可装配，要求在试验电压下单个绝缘件的局部放电量不大于。A.3pC；B.5pC；C.10pC；D.15pC。 有关标准姿势的叙述，错误的是A.人体直立B.掌心向前C.两眼向前方平视D.双上肢下垂置躯干两侧E.两下肢并拢，足尖外展 下列哪种激素不是由腺垂体合成、分泌的A.促甲状腺激素B.生长素C.缩宫素D.促肾上腺皮质激素E.黄体生成素 血中还原血红蛋白超过多少时皮肤黏膜可出现发绀A.50g/LB.55g/LC.60g/LD.65g/LE.70g/L 船舱破损前，舱内货物越多，则渗透率。A．越大B．越小C．不变D．不定 最常见的艾滋病指征性疾病是A.卡氏肺孢子虫肺炎B.肺结核C.念珠菌性食管炎D.卡波济肉瘤E.口腔白斑 药物减重的目标不包括A.使体重回复正常范围B.使原体重减轻5％～10％C.最好能逐步接近理想体重D.减重后维持体重不再反弹和增加E.使降血压、降血糖、调节血脂药物能更好地震挥作用 据材料统计：1820—1875年之间，里尔（资产阶级）上层阶级的人数占总人口的7%增加到9%，而其遗嘱上所载明的财富则从58%增加到90%。“大众阶级”从总人口的62%增加到68%，而遗嘱写明的财富只占0．23%，1821年时他们的财产尚占1．4%。这一材料表明A．工业革命使社会分化为两大对立阶 男性，55岁。反复头痛、头晕5年，加重2天。患者5年前开始常在劳累或情绪波动时出现头痛、头晕，休息后能缓解，未诊治。2年前体检时发现血压200/120mmHg，自行购"复方降压片"间断服用，血压控制不理想。近2天无诱因出现头痛，伴有恶心，无呕吐，无意识改变及肢体活动障碍。发病以来 女性，30岁，农民。2周前于田间劳动时右小腿皮肤划破。1周前起畏寒、高热，3d来咳嗽、气急，伴右侧胸痛就诊。影像学检查右侧肺炎伴液（脓）气胸。推测其最可能的病原体是A.化脓性链球菌B.金黄色葡萄球菌C.厌氧菌D.铜绿假单胞菌E.军团杆菌 虹膜炎继发性青光眼是由于()A．玻璃体大量炎症细胞B．房水分泌过多C．血-房水屏障功能破坏D．虹膜周边前粘连、瞳孔闭锁E．炎症反复发作使房角后退 [单选,共用题干题]患者女，58岁，因“做家务过程中突发意识丧失10分钟”来诊。患者入院时呼吸和脉搏均消失，心电监护显示为心室颤动，立即行心肺复苏20分钟及2次电除颤后，患者恢复自主心律，呼吸仍未恢复，行气管插管后送入重症监护室继续治疗。患者既往有冠心病史。进入重症监护 免疫系统不包括A.免疫组织B.免疫器官C.免疫细胞D.免疫分子E.免疫应答 腹股沟疝检查时，压迫内环的部位应在。A.腹股沟韧带中点B.耻骨结节外侧C.肿块隆起最明显处D.腹股沟韧带中点上方2cmE.精索的前内方 我国《能源发展“十一五”规划》提出，在水能资源丰富但地处偏远的地区，因地制宜开发。A.大中小型水电站B.大中型水电站C.中小型水电站D.小型水电站 6502电气集中方向组合可供出种方向电源。 下列各项，不属外阴阴道念珠菌病的治疗药物。A.制霉菌素栓B.克霉唑栓C.甲硝唑D.伊曲康唑E.达克宁栓 设计准备工作阶段主要包括。A.确定规划设计条件B.提供设计基础资料C.分析进度偏差影响D.选定设计单位、商签设计合同E.咨询设计审批 患者，男，52岁，乙肝“小三阳”20余年，B超体检发现肝区结节状肿块数个。实验室检查：AFP＞1000ng/L，ALT35U/L。首先可考虑为()A．胃癌肝转移B．胆管癌C．胰腺癌D．原发性肝癌E．肾癌肝转移 人畜患血吸虫病后，从粪便里排出A.血吸虫成虫B.尾蚴C.虫卵D.毛蚴E.囊虫 植物抗虫性包括、和耐害性。 关于起搏器起搏频率的描述，不正确的是。A.是植入起搏器的心脏每分钟跳动的次数B.基础起搏频率通常设定在60～80次／分C.上限频率通常设定在100～120次／分D.起搏频率下降15%时，必须尽快更换起搏器E.当自身心率快于起搏频率时，只出现自身心率 根据反垄断法律制度的规定，下列各项中，经营者应当事先向商务部申报的是。A.参与集中的所有经营者上一会计年度在全球范围内的营业额合计超过50亿元人民币，并且其中至少两个经营者上一会计年度在中国境内的营业额均超过4亿元人民币B.参与集中的所有经营者上一会计年度在全球范围 中胚叶造血期首先形成血岛的是以下哪个组织A.骨髓B.胸腺C.卵黄囊D.肝E.脾 下列反应中，哪个是表示ΔH=ΔHfA、gB、r（s）的反应？A、A、g（A、q）+B、r（A、q）=A、gB、r（s）B、2A、g（s）+B、r2=2A、gB、r（s）C、A、g（s）+1/2B、r2（l）=A、gB、r（s）D、A、g（s）+1/2B、r2（S）=A、gB、r（s） 大脑皮质最厚的区域为。A.视区B.中央前回运动区C.中央后回感觉区D.听区E.语言区 先天之精是指A.生殖之精B.脏腑之精C.精血的统称D.水谷精微E.以上都不是 在大雨中、台风后和地震后进行的渠道检查观测是。A、经常性检查B、临时性检查C、定期检查D、渠道行水期间的检查 我国社会主义法律体系正式宣告形成是在。A、1999年B、2004年C、2008年D、2011年 有线电视起源于，因为它们的电视发展较快。A.美国B.日本C.法国D.加拿大 [多选,案例分析题]男性，35岁。因鼻塞、流涕3天伴咽痛、咳嗽两天就诊。自服"感冒通"等稍好转。无明显发热、咳痰及胸痛等。查体：T37.3℃，神志清，呼吸平顺，唇甲无发绀，咽稍红，双侧扁桃体无肿大。气管居中，双肺叩诊清音，未闻明显干湿啰音。患者行血常
手术后需要功能恢复、形体重建病人的康复。A.积极采取功能恢复B.对症治疗C.心理疏导D.支持治疗E.以上都正确 二极管的主要参数有哪几个？ 以下哪项不是气管切开术的适应证A.隆突附近的狭窄B.长时间机械通气治疗C.长期昏迷患者D.高位颈椎损伤E.脑卒中后反复误吸 税率是应纳税额与征税对象数额之间的法定比例，是计算税额和税收负担的尺度，是税收制度的中心环节，一般分为。A.比例税率B.定额税率C.累进税率D.统一税率E.临时税率 第一种工作票应在工作批准期限前小时，由工作负责人向调度值班员申请办理延期手续。A.1B.2C.4D.8 黄芪在补中益气汤中不具有的作用是A.益气B.行水C.固表D.补中E.升阳 通常根尖距上颌窦下壁最近的牙是A.上颌侧切牙B.上颌尖牙C.上颌第一前磨牙D.上颌第二前磨牙E.上颌第一磨牙 反映体内酸碱平衡的指标有A.动脉血氧分压B.动脉二氧化碳分压C.标准碳酸盐和实际碳酸盐D.阴离子间隙E.动脉血氧饱和度 与数字出版产业相对应，国外常用这一概念。A.数字内容产业B.信息产业C.数字知识产业D.网络文学产业 GIS、SF6断路器设备内部的绝缘操作杆、盆式绝缘子、支撑绝缘子等部件必须经过局部放电试验方可装配，要求在试验电压下单个绝缘件的局部放电量不大于。A.3pC；B.5pC；C.10pC；D.15pC。 有关标准姿势的叙述，错误的是A.人体直立B.掌心向前C.两眼向前方平视D.双上肢下垂置躯干两侧E.两下肢并拢，足尖外展 下列哪种激素不是由腺垂体合成、分泌的A.促甲状腺激素B.生长素C.缩宫素D.促肾上腺皮质激素E.黄体生成素 血中还原血红蛋白超过多少时皮肤黏膜可出现发绀A.50g/LB.55g/LC.60g/LD.65g/LE.70g/L 船舱破损前，舱内货物越多，则渗透率。A．越大B．越小C．不变D．不定 最常见的艾滋病指征性疾病是A.卡氏肺孢子虫肺炎B.肺结核C.念珠菌性食管炎D.卡波济肉瘤E.口腔白斑 药物减重的目标不包括A.使体重回复正常范围B.使原体重减轻5％～10％C.最好能逐步接近理想体重D.减重后维持体重不再反弹和增加E.使降血压、降血糖、调节血脂药物能更好地震挥作用 据材料统计：1820—1875年之间，里尔（资产阶级）上层阶级的人数占总人口的7%增加到9%，而其遗嘱上所载明的财富则从58%增加到90%。“大众阶级”从总人口的62%增加到68%，而遗嘱写明的财富只占0．23%，1821年时他们的财产尚占1．4%。这一材料表明A．工业革命使社会分化为两大对立阶 男性，55岁。反复头痛、头晕5年，加重2天。患者5年前开始常在劳累或情绪波动时出现头痛、头晕，休息后能缓解，未诊治。2年前体检时发现血压200/120mmHg，自行购"复方降压片"间断服用，血压控制不理想。近2天无诱因出现头痛，伴有恶心，无呕吐，无意识改变及肢体活动障碍。发病以来 女性，30岁，农民。2周前于田间劳动时右小腿皮肤划破。1周前起畏寒、高热，3d来咳嗽、气急，伴右侧胸痛就诊。影像学检查右侧肺炎伴液（脓）气胸。推测其最可能的病原体是A.化脓性链球菌B.金黄色葡萄球菌C.厌氧菌D.铜绿假单胞菌E.军团杆菌 虹膜炎继发性青光眼是由于()A．玻璃体大量炎症细胞B．房水分泌过多C．血-房水屏障功能破坏D．虹膜周边前粘连、瞳孔闭锁E．炎症反复发作使房角后退 [单选,共用题干题]患者女，58岁，因“做家务过程中突发意识丧失10分钟”来诊。患者入院时呼吸和脉搏均消失，心电监护显示为心室颤动，立即行心肺复苏20分钟及2次电除颤后，患者恢复自主心律，呼吸仍未恢复，行气管插管后送入重症监护室继续治疗。患者既往有冠心病史。进入重症监护 免疫系统不包括A.免疫组织B.免疫器官C.免疫细胞D.免疫分子E.免疫应答 腹股沟疝检查时，压迫内环的部位应在。A.腹股沟韧带中点B.耻骨结节外侧C.肿块隆起最明显处D.腹股沟韧带中点上方2cmE.精索的前内方 我国《能源发展“十一五”规划》提出，在水能资源丰富但地处偏远的地区，因地制宜开发。A.大中小型水电站B.大中型水电站C.中小型水电站D.小型水电站 6502电气集中方向组合可供出种方向电源。 下列各项，不属外阴阴道念珠菌病的治疗药物。A.制霉菌素栓B.克霉唑栓C.甲硝唑D.伊曲康唑E.达克宁栓 设计准备工作阶段主要包括。A.确定规划设计条件B.提供设计基础资料C.分析进度偏差影响D.选定设计单位、商签设计合同E.咨询设计审批 患者，男，52岁，乙肝“小三阳”20余年，B超体检发现肝区结节状肿块数个。实验室检查：AFP＞1000ng/L，ALT35U/L。首先可考虑为()A．胃癌肝转移B．胆管癌C．胰腺癌D．原发性肝癌E．肾癌肝转移 人畜患血吸虫病后，从粪便里排出A.血吸虫成虫B.尾蚴C.虫卵D.毛蚴E.囊虫 植物抗虫性包括、和耐害性。 关于起搏器起搏频率的描述，不正确的是。A.是植入起搏器的心脏每分钟跳动的次数B.基础起搏频率通常设定在60～80次／分C.上限频率通常设定在100～120次／分D.起搏频率下降15%时，必须尽快更换起搏器E.当自身心率快于起搏频率时，只出现自身心率 根据反垄断法律制度的规定，下列各项中，经营者应当事先向商务部申报的是。A.参与集中的所有经营者上一会计年度在全球范围内的营业额合计超过50亿元人民币，并且其中至少两个经营者上一会计年度在中国境内的营业额均超过4亿元人民币B.参与集中的所有经营者上一会计年度在全球范围 中胚叶造血期首先形成血岛的是以下哪个组织A.骨髓B.胸腺C.卵黄囊D.肝E.脾 下列反应中，哪个是表示ΔH=ΔHfA、gB、r（s）的反应？A、A、g（A、q）+B、r（A、q）=A、gB、r（s）B、2A、g（s）+B、r2=2A、gB、r（s）C、A、g（s）+1/2B、r2（l）=A、gB、r（s）D、A、g（s）+1/2B、r2（S）=A、gB、r（s） 大脑皮质最厚的区域为。A.视区B.中央前回运动区C.中央后回感觉区D.听区E.语言区 先天之精是指A.生殖之精B.脏腑之精C.精血的统称D.水谷精微E.以上都不是 在大雨中、台风后和地震后进行的渠道检查观测是。A、经常性检查B、临时性检查C、定期检查D、渠道行水期间的检查 我国社会主义法律体系正式宣告形成是在。A、1999年B、2004年C、2008年D、2011年 有线电视起源于，因为它们的电视发展较快。A.美国B.日本C.法国D.加拿大 [多选,案例分析题]男性，35岁。因鼻塞、流涕3天伴咽痛、咳嗽两天就诊。自服"感冒通"等稍好转。无明显发热、咳痰及胸痛等。查体：T37.3℃，神志清，呼吸平顺，唇甲无发绀，咽稍红，双侧扁桃体无肿大。气管居中，双肺叩诊清音，未闻明显干湿啰音。患者行血常