1.蒙特卡罗方法

设针投到地面上的位置可 以用一组参数（x,θ ）来描述， x为针中心的坐标，θ 为针与平 行线的夹角，如图所示。 任意投针，就是意味着x与 θ 都是任意取的，但x的范围限 于［0，a］，夹角θ 的范围限 于［0，π ］。在此情况下，针 与平行线相交的数学条件是:
针在平行线间的位置
x l sin
蒙特卡罗方法是用随机试验的方法计算积分，即 将所要计算的积分看作服从某种分布密度函数f(r) 的随机变量ｇ(r)的数学期望
g g (r ) f (r )dr
0

通过某种试验，得到 Ｎ 个观察值 r1 ， r2 ， … ， rN （用概率语言来说，从分布密度函数 f(r) 中抽取 Ｎ 个子样 r1 ， r2 ， … ， rN ，），将相应的 Ｎ 个随 机变量的值g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算术平均值
蒙特卡罗方法及应用
第一章 蒙特卡罗方法概述
1. 蒙特卡罗方法的基本思想
2. 蒙特卡罗方法的收敛性，误差 3. 蒙特卡罗方法的特点 4. 蒙特卡罗方法的主要应用范围
蒙特卡罗方法又称随机抽样技巧或统 计试验方法。半个多世纪以来，由于科学 技术的发展和电子计算机的发明 ，这种方 法作为一种独立的方法被提出来，并首先 在核武器的试验与研制中得到了应用。
缺 陷 解 决 一
Y 1.0
结论： 在边长为2的圆内投点 N次，如果有M个点分布在 圆内，那么当N→∞时，进 入圆内点数的概率即为圆面 积与正方形面积之积
1.0 X
M 1 4M 2 N 2 4 N
2
示意图
例 2．射击问题
设射击运动员的弹着点分布为 环数 概率 7 0.1 8 0.1 9 0.3 10 0.5
f(X)是X的分布密度函数。则
lim
N
N P X E ( X ) x N
1 2

x
x
e
t 2 / 2
dt
当N充分大时，有如下的近似式 x 2 x t 2 / 2 P X N E( X ) e dt x 1 0 N 2 其中α称为置信度，1－α称为置信水平。

例1. 蒲丰氏问题
将长为2l的一根针任意投到地面上，用针与一组相 间距离为2a（l＜a）的平行线相交的频率代替概率P， 再利用准确的关系式：
2l P a
2l 2l N ( ) aP a n 其中Ｎ为投计次数，n为针与平行线相交次数。
求出π 值
一些人进行了实验，其结果列于下表 ：
实验者 沃尔弗(Wolf) 年份 1850 投计次数 5000 π的实验值 3.1596
代表了该运动员的成绩。换言之，为积分 <g> 的估计值，或近似值。 在该例中，用Ｎ次试验所得成绩的算术平 均值作为数学期望<g>的估计值（积分近似 值）。

基本思想
当所求问题的解是某个事件的概率， 或者是某个随机变量的数学期望，或者是 与概率、数学期望有关的量时，通过某种 试验的方法，得出该事件发生的频率，或 者该随机变量若干个具体观察值的算术平 均值，通过它得到问题的解。这就是蒙特 卡罗方法的基本思想。
0.1 命中7环
用计算机作随机试验（射击） 0.2 命中8环 的方法为，选取一个随机数ξ，按 0.5 命中9环 右边所列方法判断得到成绩。 命中10环 这样，就进行了一次随机试 验（射击），得到了一次成绩 ｇ(r)，作Ｎ次试验后，得到该运 1 N g N g (ri ) 动员射击成绩的近似值 N i 1
即随机变量X的简单子样的算术平均值 X N ，当子样 数Ｎ充分大时，以概率1收敛于它的期望值E(X)。
误差
概率论的中心极限定理指出，如果随机变量 序列 X1 ， X2 ， … ， XN 独立同分布，且具有 有限非零的方差σ2 ，即
0 2 ( x E ( X )) 2 f ( x)dx
来代替，在计算所求量的同时，可计算出 ˆ。
减小方差的各种技巧
当给定置信度α后，误差ε由σ和N决定。在 σ固定的情况下，要把精度提高一个数量级， 试验次数N需增加两个数量级。 如能减小估计的均方差 σ ，比如降低一半， 那误差就减小一半，这相当于N增大四倍的效 果。因此降低方差的各种技巧，引起了人们 的普遍注意。后面课程将会介绍一些降低方 差的技巧。
蒙特卡罗方法常以一个“概率模型”为基 础，按照它所描述的过程，使用由已知分布 抽样的方法，得到部分试验结果的观察值， 求得问题的近似解。
2. 蒙特卡罗方法的收敛性，误差
蒙特卡罗方法作为一种计算方法，其收敛性与误 差是普遍关心的一个重要问题。

收敛性 误差 减小方差的各种技巧 效率
收敛性
1 / , 0 f 2 ( ) 其他 0,
2
其中ξ1，ξ2均为[0,1]上均匀分布的随机变量。
每次投针试验，实际上变成在计算机上从两个均 匀分布的随机变量中抽样得到（ x,θ ），然后定义描 述针与平行线相交状况的随机变量s(x,θ )，为 1, 当x l sin s( x, ) 0, 其他 如果投针Ｎ次，则 1 N s N s ( xi , i ) N i 1 是针与平行线相交概率Ｐ的估计值。事实上，
x 这表明，不等式 X N E ( X ) 近似地以概率 N
1 / 2 O ( N ) 1－α成立，且误差收敛速度的阶为 。 通常，蒙特卡罗方法的误差ε定义为 x N 上式中x与置信度α是一一对应的，根据问题的要求确 定出置信水平后，查标准正态分布表，就可以确定出x。
下面给出几个常用的α与x的数值：
g g (r ) f (r )dr
0
用概率语言来说，<g>是随机变量ｇ(r)的数学期 望，即
g Eg (r )
现假设该运动员进行了Ｎ次射击，每次射 击的弹着点依次为 r1 ， r2 ，„， rN ，则 Ｎ 次得 分g(r1)，g(r2)，„，g(rN)的算术平均值
1 N g N g (ri ) N i 1
以一次积分为例： s
f x dx
a
b
把积分区间[a, b]分割为m个均匀步长，则步长h
ba h m
那么，按照微积分的思想，上述积分可以近似表示为： m 1 b b a m1 s f x dx f xi h f xi a m i 0 i 0 i 1 2 1 xi a i h a b a m 2
斯密思(Smith)
福克斯(Fox) 拉查里尼 (Lazzarini)
1855
1894 1901
3204
1120 3408
3.1553
3.1419 3.1415929
例2. 射击问题（打靶游戏）
设r表示射击运动员的弹着点到靶心的距离， ｇ(r)表示击中r处相应的得分数（环数），f(r)为 该运动员的弹着点的分布密度函数，它反映运动 员的射击水平。该运动员的射击成绩为
1 N g N g (ri ) N i 1
作为积分的估计值（近似值）。
计算机模拟试验过程
计算机模拟试验过程，就是将试验过程 （如投针，射击）化为数学问题，在计算机上实 现。以上述两个问题为例，分别加以说明。
例1. 蒲丰氏问题 例2. 射击问题（打靶游戏） 例3. 求积分问题
例１．蒲丰氏问题
蒙特卡罗方法是由随机变量X的简单子样X1， X2，…，XN的算术平均值： 1 N X N Xi N i 1 作为所求解的近似值。由大数定律(辛钦定理)可知， 如X1，X2，…，XN独立同分布，且具有有限期望值 (E(X)<∞)，则
P lim X N E ( X ) 1 N
P s ( x, ) f1 ( x) f 2 ( )dxd d dx 2l a a
于是有:


0


l sin
0

2l 2l aP as N
int main() { const int N = 5000000; const double PI = 3.1415926535898; const double a = 2.0, l = 1.8;
//文件地址F:\PuFengShi\PuFengShi0 //总的投样次数 //定义π的初始值，用于抽样θ角 //定义平行线半间距a及针半长l
double pi = 0.0f; //初始化所要计算的π值 double x = 0.0f, theta = 0.0f; int Count = 0; //针与直线相交的次数 //用该语句初始化Rand()函数，使得每次产生的随机数均不同 //参见/blog/672073 srand( (unsigned int)time(NULL)*1000 ); //srand函数内为实数时,每次计算结果相同 for(int i=0; i < N; i++) {x = a * rand()/RAND_MAX; //rand()/RAND_MAX为[0,1]间的随机数，此为抽样x与θ theta = PI * rand()/RAND_MAX; if( x <= l*sin(theta) ) //记录针与平行线相交次数于Count中 {Count++ ; } } pi = 2.0f*l/a; pi = pi * (double)N/Count; //计算π值 cout <<"PI = " <<pi <<endl; //在屏幕上输出所要计算的π值及相对偏差 cout <<"相对误差 = " <<fabs(PI - pi)/PI * 100.0f <<"%" <<endl; cout <<"---------------------------------------------------------" <<endl; return 0; }