高等数学下册复习题模拟试卷5-7
大学高等数学下考试题库及答案
"高等数学"试卷6〔下〕一.选择题〔3分⨯10〕1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M 〔 〕.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，那么有〔 〕.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3. 设有直线1158:121x y z L --+==-和26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩，那么1L 与2L 的夹角为〔 〕 〔A 〕6π； 〔B 〕4π； 〔C 〕3π； 〔D 〕2π. 4.两个向量a 与b垂直的充要条件是〔 〕.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是〔 〕.A.2B.2-C.1D.1- 6.设y x z sin =，那么⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝〔 〕.A.22B.22-C.2D.2-7. 级数1(1)(1cos ) (0)n n n αα∞=-->∑是〔 〕 〔A 〕发散； 〔B 〕条件收敛； 〔C 〕绝对收敛； 〔D 〕敛散性与α有关.8.幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域为〔 〕.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域的和函数是〔 〕.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 二.填空题〔4分⨯5〕1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，那么此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，那么=∂∂∂yx z2_____________________________. 4. 设L 为取正向的圆周：221x y +=，那么曲线积分2(22)d (4)d Lxy y x x x y -+-=⎰____________.5. .级数1(2)nn x n ∞=-∑的收敛区间为____________.三.计算题〔5分⨯6〕1.设v e z usin =，而y x v xy u +==,，求.,yzx z ∂∂∂∂ 2.隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.．计算10d d y xy x x⎰ .试卷6参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin .2.12,12+=∂∂+-=∂∂z y y z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R . 5.x xe e y 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y ="高数"试卷7〔下〕一.选择题〔3分⨯10〕1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M 〔 〕. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，那么两平面的夹角为〔 〕. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为〔 〕. A.3 B.4 C.5 D.6 4.假设几何级数∑∞=0n nar是收敛的，那么〔 〕.A.1≤rB.1≥rC.1<rD.1≤r 8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为〔 〕.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是〔 〕. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定 10. ．考虑二元函数(,)f x y 的以下四条性质：〔1〕(,)f x y 在点00(,)x y 连续； 〔2〕(,),(,)x y f x y f x y 在点00(,)x y 连续 〔3〕(,)f x y 在点00(,)x y 可微分； 〔4〕0000(,),(,)x y f x y f x y 存在. 假设用"P Q ⇒〞表示有性质P 推出性质Q ，那么有〔 〕 〔A 〕(2)(3)(1)⇒⇒； 〔B 〕(3)(2)(1)⇒⇒ 〔C 〕(3)(4)(1)⇒⇒； 〔D 〕(3)(1)(4)⇒⇒ 二.填空题〔4分⨯5〕1. 级数1(3)nn x n ∞=-∑的收敛区间为____________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x+的麦克劳林级数是______________________. 三.计算题〔5分⨯6〕1.设k j b k j i a32,2+=-+=，求.b a ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4. 设∑是锥面1)z z =≤≤下侧，计算y z 2d d 3(1)d d xd d y z x z x y ∑++-⎰⎰四.应用题〔10分⨯2〕 试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.试卷7参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n nx .5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-.2.()()()y y x y y y y x y z y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x xe C e C y --+=221.四.应用题 1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=. "高等数学"试卷3〔下〕一、选择题〔此题共10小题，每题3分，共30分〕 1、二阶行列式 2 -3 的值为〔 〕4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，那么a 与b 的向量积为〔 〕 A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P 〔-1、-2、1〕到平面x+2y-2z-5=0的距离为〔 〕 A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点〔1，4π〕处的两个偏导数分别为〔 〕 A 、,22,22 B 、,2222- C 、22-22- D 、22-,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，那么yzx z ∂∂∂∂,分别为〔 〕 A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为〔 〕〔面积A=2R π〕A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为〔 〕A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为〔 〕A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是〔 〕 A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为〔 〕 A 、-2，-1 B 、2，1 C 、-2，1 D 、1，-2 二、填空题〔此题共5小题，每题4分，共20分〕 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。
高等数学下册复习题模拟试卷和答案.
∫ (ex sin y − 2 y)dx + (ex cos y − 2)dy
9、 利用格林公式计算 L
，其中
L 为沿上半圆周 (x − a)2 + y2 = a2, y ≥ 0 、从 A(2a, 0) 到 O(0, 0) 的弧段.
y′ −
y
3
= (x +1)2
6、求微分方程
x +1
的通解.
四．解答题（共 22 分）
3 ．已知 z = e xy ，则 ∂x = (1,0)
。 。
∫ 4 ．设 L 为 x 2 + y 2
= 1上点 (1,0)到 (−1,0)的上半弧段，则
2ds =
L
。
e
ln x
∫ ∫dx f (x, y)dy =
5 ．交换积分顺序 1 0
。
∑∞ (−1)n
6 .级数 n=1 n 是绝对收敛还是条件收敛？
⎧x + y + 3z = 0
（1）设直线
L
为
⎨ ⎩
x
−
y
−
z
=
0
，平面 π 为 x − y − z +1 = 0 ，则 L 与 π 的夹角为（
）；
π
π
π
A. 0
B. 2
C. 3
∂z
（2）设 z
=
f
(x,
y) 是由方程 z3
− 3xyz
=
a3 确定，则
∂x
=
（
D. 4
）；
yz
yz
xz
xy
A. xy − z2
间断点
（C）无穷
（D）振荡
高等数学下期末试题(七套附答案)
高等数学（下）试卷一一、 填空题（每空3分，共15分）（1）函数11z x y x y =++-的定义域为 （2）已知函数arctany z x =，则zx ∂=∂（3）交换积分次序，2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（ ） A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交（2）设是由方程2222xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（ ）A.dx dy +B.2dx dy +C.22dx dy +D.2dx dy - （3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()xy dvΩ+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A.2253d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.2453d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D. 2252d r dr dzπθ⎰⎰⎰（4）已知幂级数，则其收敛半径（ ）A. 2B. 1C. 12 D. 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=（ ）A.B.()x ax b xe +C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z+-==的平面方程 2、 已知22(,)z f xy x y =，求zx ∂∂， z y ∂∂得分阅卷人3、 设22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、 求函数22(,)(2)xf x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-⎰， 其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程 xxy y xe '+=满足 11x y ==的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰，其中∑由圆锥面22z x y =+与上半球面222z x y =--所围成的立体表面的外侧 (10)'2、（1）判别级数111(1)3n n n n ∞--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数（6'）高等数学（下）试卷二一．填空题（每空3分，共15分）（1）函数24x y z -=的定义域为 ； （2）已知函数xyz e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；（3）交换积分次序，ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰＝ ；（4）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则Lyds =⎰；（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 .二．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（ ）；A. 0B. 2πC. 3πD. 4π（2）设是由方程333z xyz a -=确定，则z x ∂=∂（ ）；A. 2yz xy z -B. 2yz z xy -C. 2xz xy z -D. 2xy z xy -（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=（ ）；A.2()x ax b e +B.2()xax b xe + C.2()x ax b ce ++ D.2()x ax b cxe ++（4）已知Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域, 将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为（ ）； A2220sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.200ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰（5）已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑，则其收敛半径（ ）.A. 2B. 1C. 122三．计算题（每题8分，共48分）5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、 已知(sin cos ,)x yz f x y e +=，求zx ∂∂， z y ∂∂ .7、 设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy-+-⎰，其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段. 6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1n n x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰，∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧得分阅卷人得分高等数学（下）模拟试卷三一． 填空题（每空3分，共15分）1、 函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .2、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .3、已知2ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy = . 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰ .5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx =.二．选择题（每空3分，共15分）1、2x =是函数22132x y x x -=-+的 间断点 （A ）可去 （B ）跳跃（C ）无穷 （D ）振荡2、积分1⎰= .(A) ∞ (B)-∞(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是 。
高等数学下册期末复习模拟测试试卷含答案
《高等数学》下册期末模拟训练试卷班别_________ 姓名___________ 成绩_____________要求： 1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为1.5小时。
2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。
3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。
4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。
5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。
否则，视为为作弊。
6、不可以使用普通计算器等计算工具。
一．选择题：03103'=⨯'１．下列平面中过点（１,１,1）的平面是 ．（Ａ）ｘ＋ｙ＋ｚ＝０ （Ｂ）ｘ＋ｙ＋ｚ＝１ （Ｃ）ｘ＝１ （Ｄ）ｘ＝３ ２．在空间直角坐标系中，方程222=+y x 表示 ． （Ａ）圆 （Ｂ）圆域 （Ｃ）球面 （Ｄ）圆柱面 ３．二元函数22)1()1(y x z -+-=的驻点是 ． （Ａ）（０,０） （Ｂ）（０,１） （Ｃ）（１,０） （Ｄ）（１,１） ４．二重积分的积分区域Ｄ是4122≤+≤y x ，则=⎰⎰Ddxdy ．（Ａ）π （Ｂ）π4 （Ｃ）π3 （Ｄ）π15 ５．交换积分次序后=⎰⎰xdy y x f dx 010),( ．（Ａ）xd y x f dy y⎰⎰11),( （Ｂ）⎰⎰1010),(dx y x f dy （Ｃ）⎰⎰ydxy x f dy 010),( （Ｄ）⎰⎰100),(dxy x f dy x６．ｎ阶行列式中所有元素都是１，其值是 ．（Ａ）ｎ （Ｂ）０ （Ｃ）ｎ！ （Ｄ）１７．对于ｎ元线性方程组，当r A r A r ==)~()(时,它有无穷多组解,则 ． （Ａ）ｒ＝ｎ （Ｂ）ｒ＜ｎ （Ｃ）ｒ＞ｎ （Ｄ）无法确定 ８．下列级数收敛的是 ． （Ａ）∑∞=-+-111)1(n n n n （Ｂ）∑∞=123n n n （Ｃ）∑∞=--11)1(n n n （Ｄ）∑∞=11n n ９．正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 满足关系式n n v u ≤，则 ．（Ａ）若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 收敛 （Ｂ）若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛（Ｃ）若∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散 （Ｄ）若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 发散１０．已知：+++=-2111x x x ，则211x +的幂级数展开式为 ． （Ａ） +++421x x （Ｂ） +-+-421x x （Ｃ） ----421x x （Ｄ） -+-421x x二．填空题：0254'=⨯' １．数)2ln(12222y x y x z --+-+=的定义域为 ．２．若xy y x f =),(，则=)1,(xyf ．３．已知),(00y x 是),(y x f 的驻点，若a y x f y x f y x f xy yy xx=''=''=''),(,12),(,3),(00000,0则 当 时，),(00y x 一定是极小点． ４．矩阵Ａ为三阶方阵，则行列式A 3 ５．级数∑∞=1n n u 收敛的必要条件是 ．三．计算题(一)：0356'=⨯' １． 已知：y x z =，求：xz∂∂，y z ∂∂． ２． 计算二重积分σd x D⎰⎰-24，其中}20,40|),{(2≤≤-≤≤=x x y y x D ．３．已知：ＸＢ＝Ａ，其中Ａ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-102121，Ｂ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100210321，求未知矩阵Ｘ．４．求幂级数∑∞=--11)1(n nn nx 的收敛区间．５．求x e x f -=)(的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）．四．计算题(二)： 02201'=⨯'１．求平面ｘ－２ｙ＋ｚ＝２和２ｘ＋ｙ－ｚ＝４的交线的标准方程．２．设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++111z y x z y x z y x λλλ，试问：λ分别为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多组解．参考答案一．１．Ｃ；２．Ｄ；３．Ｄ；４．Ｄ；５．Ａ；６．Ｂ；７．Ｂ；８．Ｃ；９．Ｂ；１０．Ｄ． 二．１．{}21|),(22<+≤y x y x ２．xy３．66<<-a ４．２７ ５．0lim =∞→n n u四．1．解：y x yzyx x z y y ln 1=∂∂=∂∂- 2．解：31634)4(44232022040222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰-x x dxx dy x dx d x x Dσ3．解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=--1542201,10021072111AB B .４．解：,1=R 当|x|〈1时，级数收敛，当x=1时，得∑∞=--11)1(n n n 收敛， 当1-=x 时，得∑∑∞=∞=--=-11121)1(n n n n n 发散，所以收敛区间为]1,1(-. ５．解：.因为∑∞==0!n n xn x e ),(+∞-∞∈x ,所以n n n n n x x n n x e ∑∑∞=∞=--=-=00!)1(!)( ),(+∞-∞∈x . 四．1．解：.求直线的方向向量:k j i kj i s53112121++=--=,求点:令z=0,得y=0,x=2,即交点为(2,0.0),所以交线的标准方程为:.5312zy x ==- 2．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλλλλλλλλλλλλλ1)2)(1(00011011111100110111111111111111111111~2A(1) 当2-=λ时,3)~(,2)(==A A r ,无解;(2) 当2,1-≠≠λλ时, 3)~()(==A A r ,有唯一解:λ+===21z y x ; (3) 当1=λ时, 1)~()(==A A r ,有无穷多组解: ⎪⎩⎪⎨⎧==--=21211cz c y c c x (21,c c 为任意常数)《高等数学》下册期末模拟训练试卷班别_________ 姓名___________ 成绩_____________要求： 1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为1.5小时。
高等数学下册试卷及答案
高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20013cos sin dr r d d 。
高等数学下册试题及答案解析
高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20013cos sin dr r d d 。
高等数学下期末试题(七套附答案)
高等数学（下）试卷-、填空题（每空3分，共15分）1 1z 二-（1） ___________________________________________________________ 函数 .x yX - y的定义域为 _____________________________________________________z = arcta n 》—=（2） 已知函数x ，贝y 汉 _____________________22y、 [dW 2 f （x, y ）dx （3 ）交换积分次序， '0 ' y = ___________________（4） 已知L 是连接（0,1）＞（1,0）两点的直线段，则L（x y）ds 二 __________（5） __________________________________________________________________ 已知微分方程 y ： 2y • -3y = 0，则其通解为 ____________________________________二、选择题（每空3分，共15分）zSz(1)A. x 3y 2z 1 = 0设直线 L 为 2x-y "Oz ，3"，平面二为4x-2y • z -2=0L 平行于二 (2) ( 设 ) A . dxdy C. L 垂直于兀是由方程xyz• x yz =、2确定，则在点B. L 在二上B dx + 72dyC^dx + ddy，则（ ）D. L 与二斜交（1,0^1）处的 dz二（3）已知l ■■是由曲面4z^25（x 2 y 2）及平面 在柱面坐标系下化成三次积分为（）2二 2 3 5 [d 。
[ r dr 「dzA $0 』0 』0z = 5所围成的闭区域，将 D.dx-V2dy2 2(x y )dvQB. 2二4 35d 「0r dr .0dz… 2 3r drJ 0』0C.5 5 dz r2D.2 25d 「°rdr _dz（4）已知幕级数 -，则其收敛半径A. 2B. 1（5）微分方程y ；3y ' 2y =3x -2e x 的特解 C. 2y”的形式为y=D.B (ax+b)xe x(ax b) ce xA.D (ax +b) +cxe x三、计算题(每题8分，共48分) x -1 y _2 z _3 x 2 求过直线L 1:10 Ty-1 C.1、 且平行于直线L2:2z11的平面方程\ I x 2dxdyD2、已知z = f（xy2,x2y），求，：：y2 23、设D二｛（x，y）x y M｝，利用极坐标求4、求函数f(x,y)二e2x(x y2 2y)的极值"x = t —si nt5、计算曲线积分L (2xy 3sinX*彼-e)dy其中L为摆线yd cost从点0(°, 0)到A(二,2)的一段弧6、求微分方程xy * y = xe x满足yT的特解四•解答题(共22分)2xzdydz+ yzdzdx—z dxdy1、利用高斯公式计算住n J3的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛;O0n瓦nx(2)在X，(-11)求幕级数n4高等数学(下)试卷二- •填空题(每空3分，共15分)J4x_y2z = 2 ~(1) ______________________________________________ 函数In(1 - x -y )的定义域为_____________________________________________________________ ；(2) 已知函数z二e xy，则在(Z 1)处的全微分dz=___________________ ；e In x亠 1 dx「f (x, y)dy(3 )交换积分次序，'1 0= __________________ ;2(4 )已知L是抛物线y = X上点0( 0 , 0与点B( 1 , 1之间的一段弧，则L ： yds =-------------------- ?(5)已知微分方程y “ - 2y ' y = 0，则其通解为_____________________________ .二•选择题(每空3分，共15分)x y 3z = 0(1)设直线L为x-y-z^O ，平面二为x-y-zJ"，则L与二的夹角为( )；兀兀兀A. 0B. 2C. 3D. 43 小是由方程z_3xyz_a:z(2 ) 严X 1 3确定，则汶(设);yz yz xz xy2 2 2 2其中V由圆锥面z - X2y2与上半球面z二〔2 -x? - /所围成的立体表面的外侧(10 ) □0■- ( _1)2、( 1)判别级数心(&)的和函数(6)A. xy _ zB. z_xy C. xy-zD.z—xy(3)微分方程y -5/ 6^xe2x的特解y的形式为y ();2、°°ITn 」 n,"2sin 飞1、（ 1） （ 6 ）判别级数n生 3的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；inz —（2） （ 4 ）在区间（一1,1）内求幕级数n^ n的和函数.ii2xdydz ydzdx zdxdy（12 ）利用高斯公式计算二 ，'为抛物面z = X 2 • y 2 （ 8 z 乞的下侧A. (ax +b)e 2xB. (ax +b)xe 2xC. (ax +b) +ce 2x (4)已知丨■■是由球面 三次积分为(2-a 2dr 2sin d r drA 02：-；[d T 『d ®『rdr2 2 2 2xy z =a 所围成的闭区域，将 ）；D. (ax + b) + cxe 2x...dvQ在球面坐标系下化成B.2adr 2d 「 rdrD.a2r dr（5）已知幕级数Q0Zn 42n 1x n2n，则其收敛半径 B. 1二(C. 2D. 2（每题8分,共 48 分)6、7、 且与两平面二1 ：x 2z =1 和.z■:y:z已知 z 二 f(sin xc°sy,e x y)，求：:x ， 设 D 二{(x, y) X 2 y 2乞 1,0 乞 y 乞 X}, 8、求函数f (x, y)二 L 为沿上半圆周y6、求微分方程四.解答题（共22分）二2： y-3z =2平行的直线方程. y11arctan dxdy 利用极坐标计算 Dx.2 2 X5y-6x 10y 6的极值.c 知叭夂栽八于斗瞥 I (e x siny —2y)dx + (e x c°sy — 2)dy 其中9、利用格林公式计算 L ，其中2 2 2 (x-a) y =a,y _0、从 A(2a,0)到。
2023年高考数学模拟试题（五）参考答案
2023年高考数学模拟试题(五)参考答案 一㊁选择题1.A 2.D 3.D 4.D图15.A 提示:由题意知O P ң㊃O A ң=x -3y ,设z =x -3y ,如图1,当直线z =x -3y ,即y =13x -13z 经过点A 0,2时,直线在y 轴上的截距最大,进而可得z 最小,所以O P ң㊃O Aң的最小值为-6㊂6.B 7.B 8.C 9.D10.B 提示:由S a ㊃O A ң+S b ㊃OB ң+S c ㊃O C ң=0,得O A ң=-S b S a O B ң-S c S aO C ң,由a ㊃O A ң+b ㊃O B ң+c ㊃O C ң=0,得O A ң=-b a O B ң-c a O C ң,根据平面向量基本定理可得-S b S a =-b a ,-S c S a =-c a ,所以S b S a =b a ,S c Sa 图2=ca ,如图2,延长C O 交A B于E ,延长B O 交A C 于F ,则S b S a =|A E ||B E |㊂又S bS a =b a ,所以|A E ||B E |=b a =|A C ||B C |,所以C E 为øA C B 的平分线㊂同理可得,B F 是øA B C 的平分线㊂所以O 为әA B C 的内心㊂11.C 提示:双曲线C 的渐近线方程为y =ʃba x ,因为双曲线C 的一条渐近线经过点P (3,3),所以3=b a ˑ3,故ba=3,所以e 2=c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b2a2=4,所以e =2,选项A 正确;因为P F 1ң㊃P F 2ң=0,所以点P 在圆x 2+y 2=c 2上,所以c =23,又离心率e =2,所以a =3,所以b =c 2-a 2=9,所以双曲线C 的方程为x 23-y 29=1,选项B 正确;әP O F 2的面积为23ˑ32=33,选项C 错误;设A (x 0,y 0),F 2(c ,0),由F 2A ң=3P F 2ң,得(x 0-c ,y 0)=3(c -3,-3),所以x 0=4c -33,y 0=-9,代入渐近线方程y =-3x ,得-9=-3(4c -33),所以c =332,所以双曲线C 的焦距为2c =33,选项D 正确㊂图312.B 提示:令f (x )>0,两边同时除以e x,可得xe x >a (x +1)㊂如图3,分别绘制函数F (x )=xex与G (x )=a (x +1)的图像,其中G (x )恒过定点(-1,0)㊂为了符合题意,函数F (x )与G (x )的交点需位于A ,B 之间,此时a 的取值范围为23e 2,12e㊂二㊁填空题13.fx =x 3+x +1(答案不唯一)㊂14.84 提示:从A 区域开始种,当A 区域与C 区域种相同的花时,则有C 14ˑC 13ˑ1ˑC 13=36(种)不同的种法;当A 区域与C 区域种不同的花时,则有C 14ˑC 13ˑC 12ˑC 12=48(种)不同的种法㊂综上可得共有84种不同的种法㊂15.1150提示:根据题意可得U =311s i n (100πt ),在[0,0.02]内,令311㊃s i n (100πt )=3112,可得t 1=1600,t 2=5600;令311s i n (100πt )=-3112,可得t 1=7600,t 2=11600㊂综上可得,电压的绝对值低于3112的时间为2100-2ˑ5600-1600=1150㊂16.x 24+y 2=1 提示:由题意知k A B =-3,设A B 与x 轴的交点为C ,则øA C F =60ʎ,øA FC =30ʎ㊂设A F =a ,则O A =a2,O F =3a 2,所以A 0,a 2,即有b =a 2,直线l 的方程为y =-3x +a2,联立x 2a 2+y 2b2=1,y =-3x +a2,b =a 2, 解得x =0,y =a2,或x =4313a ,y=-1126a ,所以B 4313a ,-1126a,所以A B =0-4313a2+a 2+1126a2=8313a ,S әA B F =12A F ㊃A B =12ˑa ˑ8313a =16313,又a >0,所以a =2,b =a2=1,所以椭圆Γ的标准方程为x 24+y 2=1㊂三、解答题17.(1)因为4a n +1=4a n a n +1+1,所以a n +1=14(1-a n ),所以a 2=14(1-a 1)=13,a 3=14(1-a 2)=38,所以b 1=22a 1-1=-4,b 2=22a 2-1=-6,b 3=22a 3-1=-8㊂(2)b n为等差数列,理由如下:因为b n =22a n -1,所以a n =b n +22b n,所以a n +1=b n +1+22b n +1,代入4a n +1=4a n a n +1+1,得2b n +1+4b n +1=b n +2b n ㊃b n +1+2b n +1+1,整理得b n +1-b n =-2,所以b n 是公差为-2的等差数列㊂(3)由(1)(2)知,b n =-4+(n -1)ˑ(-2)=-2n -2,即22a n -1=-2n -2,所以2a n -1=1-n -1,a n =n 2(n +1)㊂所以a nn 2=1n2㊃n 2(n +1)=12n (n +1)=121n -1n +1㊂所以S n =121-12+1212-13+ +121n -1n +1=121-12+12-13+ +1n -1n +1=121-1n +1 <12㊂图418.(1)如图4,连接A C 交B D 于点O ,连接M O ㊂因为A B =A D ,CB =CD ,所以әA C D ɸәA C B ,所以A C ʅB D ㊂又因为A B =A D ,øB A D =60ʎ,所以әA B D 是正三角形,所以A O =23s i n 60ʎ=3,C O =C B 2-O B 2=6㊂因为P A ʊ平面BDM ,且P A ⊂平面P A C ,平面P A C ɘ平面B DM =M O ,所以P A ʊM O ㊂所以P M P C =A O A C =33+6=13,即λ=13㊂图5(2)如图5,以O 为坐标原点,O B 为x 轴,O C 为y 轴,过点O 且垂直于平面A B -C D 的直线为z 轴,建立空间直角坐标系Ox yz ㊂因为点P 在平面A B C D 上的投影恰好是әA B D 的重心,所以P E ʅ平面A B C D ,A E =2E O ,所以A E =2,E O =1㊂因为直线P A 与平面A B C D 所成角的正切值为32,所以在R t әP A E 中,t a n øP A E =P E A E =32,所以P E =32A E =3,所以A (0,-3,0),B (3,0,0),C (0,6,0),D (-3,0,0),P (0,-1,3)㊂由(1)知,λ=13,所以O M ң=O P ң+P M ң=O P ң+13P C ң=0,43,2,所以M 0,43,2,A P ң=(0,2,3),A D ң=(-3,3,0),OB ң=(3,0,0),O M ң=0,43,2㊂设平面P A D 的一个法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则m ㊃A D ң=-3x 1+3y 1=0,m ㊃A P ң=2y 1+3z 1=0,取x 1=3,得y 1=1,z 1=-23,所以m =3,1,-23㊂设平面B DM 的一个法向量为n =(x 2,y 2,z 2),则n ㊃O B ң=3x 2=0,n ㊃O M ң=43y 2+2z 2=0,取y 2=3,得x 2=0,z 2=-2,所以n =(0,3,-2)㊂所以c o s <m ,n >=m ㊃n|m ||n |=3+4313ˑ409=13020,所以平面B DM 与平面P A D 的夹角的余弦值为13020㊂19.由题意可得10(0.010+b +0.030+0.016+a +0.008)=1,即a +b =0.036㊂因为平均数为77分,所以10(0.010ˑ55+b ˑ65+0.030ˑ75+0.016ˑ85+a ˑ95+0.008ˑ105)=77,即65b +95a =2.7㊂联立a +b =0.036,65b +95a =2.7,解得a =0.012,b =0.024㊂因为前250名进入复赛,在1000名大学生中占比为25%,原问题等价于估计频率直方图中的75百分位数㊂经统计,落到区间[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)内的概率分别为0.1,0.24,0.3,0.16㊂因为0.1+0.24+0.3<0.75<0.1+0.24+0.3+0.16,所以75百分位数在区间[80,90)内,为80+0.75-0.640.16ˑ10=80+558ʈ87,由此估计进入复赛的分数线为87分(注:回答86分也可以得分)㊂(2)由题知,P 1=23,P n =45P n -1+(1-P n -1)ˑ13=715P n -1+13,所以P n -58=715P n -1-58,又因为P 1-58=124ʂ0,所以P n -58是以124为首项,715为公比的等比数列,所以P n -58=124ˑ715n -1,即P n =58+124ˑ715n -1,故P 10=58+124ˑ7159㊂20.(1)当l ʅx 轴时,A B 为抛物线E 的通径,此时A B =2p ,易知O F ʅA B ,所以O F 是әO A B 的高,所以әO A B 的面积S =12ˑA B ˑO F =p 22=2,解得p =2,所以抛物线E 的方程为y 2=4x ㊂(2)依题意可设直线l 的方程为x =m y +1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立x =m y +1,y 2=4x ,消去x 整理得y 2-4m y -4=0,Δ>0,y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4㊂根据抛物线的定义可得F A =x 1+1,F B =x 2+1,所以F A ㊃F B =(x 1+1)(x 2+1)=(m y 1+2)(m y 2+2)=m 2y 1y 2+2m (y 1+y 2)+4=4m 2+4㊂设直线l 1的方程为x =m 1y +1,同理可得F C ㊃F D =4m 21+4㊂因为F A ㊃F B =F C ㊃F D ,所以4m 2+4=4m 21+4,故m =m 1(舍),或m +m 1=0,其中m ,m 1分别是直线l 与直线l 1的斜率的倒数,所以直线l 与直线l 1的斜率之和为0,此时A B =F A +F B =x 1+x 2+2=m (y 1+y 2)+2=4m 2+4㊂同理可得C D =4m 2+4,当C D =8时,解得m =ʃ1,所以直线l 的方程为x =ʃy +1㊂21.(1)对函数f (x )求导可得f '(x )=m x +1-1x =m x 2+x -1x㊂若m =0,则f '(x )=x -1x㊂令f '(x )=0,得x =1,所以当0<x <1时,f '(x )<0,f (x )在(0,1)上单调递减;当x >1时,f'(x )>0,f (x )在(1,+ɕ)上单调递增㊂若m <0,设g (x )=m x 2+x -1,Δ=1+4m ,当m ɤ-14时,Δɤ0,g (x )ɤ0,所以f '(x )ɤ0,f (x )在(0,+ɕ)上单调递减;当-14<m <0时,Δ>0,令g (x )=0,得x 1=-1-1+4m 2m >0,x 2=-1+1+4m 2m>0,且x 1>x 2,当0<x <x 2或x >x 1时,g (x )<0,即f'(x )<0,所以f (x )在0,-1+1+4m 2m,-1-1+4m 2m,+ɕ上单调递减;当x 2<x <x 1时,g (x )>0,即f '(x )>0,所以f (x )在-1+1+4m 2m ,-1-1+4m2m上单调递增㊂若m >0,则Δ>0㊂令g (x )=0,得x 1=-1-1+4m2m<0(舍去),x 2=-1+1+4m2m>0㊂当0<x <x 2时,g (x )<0,即f '(x )<0,所以f (x )在0,-1+1+4m2m上单调递减;当x >x 2时,g (x )>0,即f '(x )>0,所以f (x )在-1+1+4m2m,+ɕ上单调递增㊂(2)由(1)知,-14<m <0,a ,b 是m x2+x -1=0的两根,所以a +b =-1m㊂因为f (a )=12m a 2+a -l n a ,f (b )=12m b 2+b -l n b ,所以f (a )-f (b )=12m (a +b )(a -b )+(a -b )-(l n a -l n b )=12(a-b )-(l n a -l n b ),故2[f (a )-f (b )]=(a -b )-2(l n a -l n b )㊂因为a +b =-1m,所以要证2[f (a )-f (b )]<(4m +1)(a -b ),只需证l n a -l n b >2(a -b )a +b ,等价于l n a b >2a b-1ab+1㊂设a b =t ,则t >1,所以l n t >2(t -1)t +1,所以只需证l n t -2(t -1)t +1>0㊂令g (t )=l n t -2(t -1)t +1(t >1),则g '(t )=1t -2(t +1-t +1)(t +1)2=(t -1)2t (t +1)2>0,所以g (t )在(1,+ɕ)上单调递增,所以g (t )>g (1)=0,所以l n t -2(t -1)t +1>0,即2[f (a )-f (b )]<(4m +1)(a -b )㊂22.(1)由曲线C 1的参数方程可得曲线C 1的普通方程为y ㊃c o s α-x ㊃s i n α=0,则极坐标方程为θ=α(ρɪR )㊂由曲线C 2的极坐标方程可得曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2x =3,即(x -1)2+y 2=4㊂(2)将θ=α代入曲线C 2的极坐标方程得ρ2-2ρc o s α-3=0㊂设A ,B 两点对应的参数分别为ρ1,ρ2,则ρ1ρ2=-3㊂所以O A ㊃O B =ρ1ρ2=3㊂23.(1)当x <-3时,f x =-x -2 -x +3 =-2x -1;当-3ɤx ɤ2时,f x =-x -2 +x +3 =5;当x >2时,f x =x -2 +x +3 =2x +1㊂综上可得,f x m i n =5㊂(2)由(1)可知f x ȡx +a ⇒5ȡx +a ,解得x +a ȡ-5,x +a ɤ5㊂当x ɪ-3,2 时,欲使不等式f x ȡx +a 恒成立,则x +a m i n ȡ-5,x +a m a x ɤ5,解得-2ɤa ɤ3㊂(责任编辑 王福华)。
高三数学下学期模拟卷五理 试题
HY 中学2021届高三数学下学期模拟卷〔五〕理制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日测试范围：学科内综合．一共150分，考试时间是是120分钟第一卷〔选择题 一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．〕 1．设U =R ,{|0}A x x =>,{|1}B x x =>，那么UA B = 〔 〕A ．{|01}x x <≤B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x >2．假设复数z 满足i1iz z =-，其中i 为虚数单位，那么复数z 的一共轭复数所对应的点位于 〔 〕 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．幂函数1()n f x mx +=是定义在区间[2,]n -上的奇函数，设222sin,cos,tan777a f b f c f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，那么 〔 〕 A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<4．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个实轴顶点为12,A A ，点C 为虚轴顶点，且120CA CA ⋅<，那么双曲线的离心率的范围为 〔 〕A ．B ．(1,2)C ．)+∞D ．(2,)+∞5．桌子上有同一副纸牌中的红桃、方片、梅花的纸牌各3张，假设小李第一次从中抽取了1张红桃和2张其他纸牌后不再放回，那么第二次从中抽取了1张红桃和2张方片的概率为 〔 〕 A ．15B ．25C ．325D ．4256．向量213(,cos ),(2cos ,sin )(0)22x x x ωωωω==+>a b ，函数()f x =⋅a b 在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π，那么()2f π= 〔 〕 A ．2 B ．74 C ．54D ．17．如下图的程序框图，假设输入的5n =，那么输出的i = 〔 〕A ．10B ．11C ．12D ．138．设M 是ABCD 的对角线的交点，三角形ABD 的高AP 为2，O 为任意一点，那么(3)()OB OC OD OA OP OA ++-⋅-= 〔 〕A ．6B ．16C ．24D ．489．设,x y 满足约束条件02346x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩≤≤≥，那么22(1)(1)z x y =-++的取值范围为〔 〕 A ．[2,13]B ．[4,13]C ．13]D ．13]10．数列{}n a 满足113,1n n a a a +==,012123164nn n n n n a C a C a C a C +++++=，那么21(1)(2)nx x x--展开式中的常数项为 〔 〕A ．160-B ．80-C ．80D ．16011．如图，六个直角边均为1和3的直角三角形围成的两个正六边形，那么该图形绕着L 旋转一周得到的几何体的体积为 〔 〕A ．154πB ．174πC ．194πD ．214π12．函数1,0()ln ,0x xf x x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，假设函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，那么实数k 的取值范围为 〔 〕A ．1(0,)eB ．1(0,)2eC ．1(,)2e-∞ D ．11(,)2e e第二卷〔非选择题 一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．将答案填在题中的横线上．〕13．抛物线2:8C y x =，Q 是C 上的一点，假设焦点F 关于Q 的对称点P 落在y 轴上，那么FP = .14．南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联络，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式．例如方亭(正四梭台)体积为22()3h V a b ab =++ 其中a 为上底边长，b 为下底边长，h 为高．杨辉利用沈括隙积术的根底上想到：假设由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a a ⨯个球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，一共有n 层，最下层(即下底)由b b ⨯个球组成，杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下：22()32n b aS a b ab -=+++根据以上材料，我们可得22212n +++= .15．某一几何体三视图如下图，3，那么俯视图的面积为 .16．在ABC △中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且4,6AB AC ==，假设ABC △的面积不小于63BECF的最小值为 . 三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．〕17．〔12分〕数列{}n a 的前n 项和记为n T ,121(1)n n a T n +=+≥，11a =； 等差数列{}n b 中，且{}n b 的前n 项和为n S ，1333,27b a S =+=. 〔1〕求{}n a 与{}n b 的通项公式； 〔2〕设数列{}n c 满足1313log n n n c b a ++=，求{}n c 的前n 项和.18．〔12分〕京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产〞，为纪念著名京剧表演艺术家，京剧艺术HY 梅兰芳先生，某电视台?我爱京剧?的一期比赛中，2位“梅派〞传人和4位京剧票友〔资深业余爱好者〕在幕后登台演唱同一曲目?贵妃醉酒?选段，假设6位演员的演唱程度相当，由现场40位群众评委和“梅派〞传人的朋友猜想哪两位是真正的“梅派〞传人.〔1〕此栏目编导对本期的40位群众评委的年龄和对京剧知识的理解进展调查，根据调查得到的数据如下：试问：关系？〔2〕假设在一轮中演唱中，每猜出一位亮相一位，且规定猜出2位“梅派〞传人〞或者猜出5人后就终止，记本轮竞猜一一共竞猜X 次，求随机变量X 的分布列与期望. 参考数据：参考公式：2()()()()()n ac bd K a b c d a c b d -=++++19．〔12分〕在如图〔1〕梯形ABCD 中，9,:1:2AB AD DC EB ==，过D 作DE AB ⊥于E ，1DE =，沿DE 翻折后得图〔2〕，使得23AEB π∠=，又点F 满足EA EB EF +=，连接,,AF BF CF ，且2EM MF =. 〔1〕证明：//CF 平面BDM ；〔2〕求平面BMD 与平面AED 所成的二面角的余弦值.20．〔12分〕椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的左、右焦点为12,F F ，左右两顶点,A B ，点M为椭圆C 上任意一点，满足直线,MA MB 的斜率之积为34-，且12MF MF ⋅的最大值为4.〔1〕求椭圆C 的HY 方程；〔2〕直线2a x c =与x 轴的交点为S ,过S 点的直线l 与椭圆C 相交与,P Q 两点，连接点2QF 并延长,交轨迹C 于一点P '.求证：22'P F PF =.21．〔12分〕函数()m xf x e n -=+在点(1,1)处的切线方程为20x y +-=.〔1〕假设函数()()(cos )()F x f x a x a =-+∈R 存在单调递减区间，务实数a 的取值范围；〔2〕设2()(1)[(1)1]G x f x x t x =++-+，对于[0,1]x ∈，()G x 的值域为[,]N M ，假设2M N >，务实数t 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题计分．答题时请写清题号．22．〔10分〕选修4—4坐标系与参数方程直线l 的普通方程为20x y -+=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为2cos2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，将直线向右平移2个单位后得到直线'l ，又点P的极坐标)2π.〔1〕求直线'l 以及曲线C 的极坐标方程；〔2〕假设直线'l 与曲线C 交于,A B 两点，求三角形PAB 的面积值.23．〔10分〕选修4—5不等式选讲 函数()||||f x x a x b c =++-+〔1〕假设1,2,3a b c ===，求不等式8()10f x <<的解集； 〔2〕当0,0,0.a b c >>>时，假设()f x 的最小值为2，求111a b c++的最小值.2021届模拟05理科数学答案与解析1．【答案】B 【解析】因为{}1U B x x =≤，所以{|01}UA B x x =<≤．2．【答案】C 【解析】由i 1i z z =-得i i(1+i)1i 1i (1i)(1+i)22z ===-+--，所以1i22z =--，所以z 对应的点在第三象限.3．【答案】A 【解析】因为幂函数1()n f x mx +=在区间[2,]n -上是奇函数，所以1,2m n ==， 即3()f x x =，因为222cossin tan 777πππ<<，又()f x 为增函数，所以b a c <<. 4．【答案】A 【解析】根据题意，120CA CA ⋅<，所以12ACA ∠为钝角，所以a b >，所以22222,2,1c a c e a >∴<∴<5．【答案】C 【解析】设A=｛抽取1张红桃和2张其他纸牌｝；B=｛第二次从中抽取1张红桃和2张方片｝；21111112116333323323333996159(),()28140C C C C C C C C C C P A P AB C C C +====， 所以9()3140()15()2528P AB P B A P A ===.6．【答案】D 【解析】21()(2cos )sin 2f x x x x ωωω=⋅=+a b 211cos 22x x ωω=+ 1cos2124x x ωω+=+511(cos22)422x x ωω=+15sin(2)264x πω=++，由题意：T π=,22ππω∴=,1ω∴=，即15()sin(2)264f x x π=++，所以15()1244f π=-+=.7．【答案】C 【解析】输入的5n =，程序框图运行如下：1i =，1(1)115S =-⨯=-<;2i =，21(1)21215S =-+-⨯=-+=<； 3i =，31(1)31325S =+-⨯=-=-<;4i =，42(1)42425S =-+-⨯=-+=<；10i =，(12)(34)(56)(78)(910)5S =-++-++-++-++-+=； 11i =，115(1)1151165S =+-⨯=-=-<；12i =，126(1)1265S n =-+-⨯=>=；所以输出的12.i =8．【答案】B 【解析】因为AP BD ⊥，AM 在向量AP 的射影为AP ， 所以2(3)()24416OB OC OD OA OP OA AC AP AM AP AP ++-⋅-=⋅=⋅=⋅=.9．【答案】A 【解析】由约束条件02346x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩≤≤≥作出可行域如图，令22(1)(1)t x y -++，那么表示点(,)x y 和(1,1)D -两点的间隔 ，由图可得，max t DC =, 联立4623x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得(1,2)C -，所以max 13t DC =过(1,1)D -作DH BD ⊥于H ，那么min 22t DH ===，故[2,13]z ∈. 10．【答案】D 【解析】因为13n n a a +=，所以数列{}n a 为等比数列，所以13n n a -=，所以01200112212313333(13)464,3n n nn n n n n n n n n n n a C a C a C a C C C C C n +++++=++++=+==∴=，所以61(1)(2)x x x --，其中61(2)x x -展开式的第r +1项为66621661(2)()(1)2r r r r r r rr T C x C x x---+=-=-⋅⋅⋅,令621r -=-，得72r =〔舍去〕，令3r =可得33346(1)2160T C =-⋅=-，所以二项式2321(1)(44)x x x-+-展开式中常数项为1(160)160-⨯-=． 11．【答案】B 【解析】外面的六边形旋转得到的几何体的体积为22221333212[((3)()(3)]3224πππππ⨯⨯+⨯=，内部的六边形旋转得到的几何体的体积为2211332()132πππ⨯⨯+⨯=，所以几何体的体积为174π.12．【答案】B 【解析】当0x >时，ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x-'=，又(0,)x e ∈时，()0f x '＞，∴()f x 在(0,)e 上单调递增，(,)x e ∈+∞时，()0f x '＜，∴()f x 在(,)e +∞上单调递减，(0,1),()0x f x '∈＞()(1)0f x f ＜＜.(1,),'()0,()(1)0x e f x f x f ∈>>=;(,),'()0,()0x e f x f x ∈+∞<>，所以()f x 的值域为1(,)e -∞，设y kx =与ln x y x=相切时的切点为00(,)x y ，所以切线方程为0002200ln 1ln ()x x y x x x x --=-，代入(0,0)，得0x e =， 故切线的斜率为12e，所以()f x 与y kx =的图象如下：根据题意，120k e k ⎧<⎪⎨⎪>⎩，故102k e <<，所以实数k 的取值范围为1(0,)2e .13．【答案】6【解析】根据题意，Q 为FP 的中点，所以Q 的横坐标为1x =，所以2(12)6FP =+=.14．【答案】1(1)(21)6n n n ++【解析】观察规律令1,a b n ==，可得222112(1)(21)6n n n n +++=++.15．【答案】3【解析】这个几何体为一个四棱锥，直观图如下，设四棱锥的高为h ，几何体的体积为11223,332h h +⨯⨯=∴=，即点E 到平面ABCD 的间隔 为3，俯视图为一个正三角形，边长为2，所以俯视图的面积为3，16．【答案】9114【解析】根据题意，画出图形，如下图：又点,E F 分别为,AC AB 的中点，那么3,2AE AF ==， 所以在ABE △中，由余弦定理得2224324cos 2524cos BE A A =+-=-,2222624cos 4024cos CF A A =+-=-，所以BECF =又假设ABC △的面积不少于6，所以111sin 12sin sin cos [,]222ABC S AB AC A A A A =⋅=∴∈-△≥当cos A 取最大时，BECF17．【解析】〔1〕111121(1)21(2),2(2),3(2)n n n n n n n n n a T n a T n a a a n a a n +-++=+∴=+∴-=∴=≥≥≥≥， 又11a =，2213,3aa a =∴=，所以数列{}n a 为等比数列，13n n a -∴=〔3分〕设数列{}n b 的公差为d ，33127,6,3a S b d d +=∴+=∴=3n b n ∴=.〔6分〕 〔2〕由题意得：()1313111log 11n n n c b a n n n n ++===-++〔9分〕所以前n 项和11111(1)()()22311n n A n n n =-+-++-=++.〔12分〕 18．【解析】〔1〕因为222()40(301512) 6.061 5.024()()()()18221525n ac bd K a b c d a c b d --⨯==≈>++++⨯⨯⨯，〔3分〕 所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的理解有关系. 〔5分〕〔2〕由题意，随机变量X 的取值分别为2,3,4,5.〔6分〕22261(2) 15A P X A ===,112242362(3) 15C C A P X A ===， 12342434464(4) 15C C A A P X A +===,1248(5)115151515P X ==---=，〔10分〕 ∴随机变量X 的分布列为：P115215415 815〔11分〕∴随机变量X的期望为：12486423451515151515EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.〔12分〕 19．【解析】〔1〕连接DB 与EC 交于点N ，:1:2DC EB =，那么:2:1EN CN =2,:2:1EM MF EM MF =∴=，∴//MN CF ，〔2分〕又MN ⊂平面BDM ，CF ⊄平面BDM ， ∴//CF 平面BDM .〔4分〕〔2〕证明：由EA EB EF +=，得四边形AFBE 为平行四边形，所以6AF BE ==，3EAF π∠=，所以222cos 333EF AE AF AE AF π=+-⋅=，所以222,AF AE EF AE EF =+∴⊥，〔6分〕又,,DE EB DE EA EB EA E ⊥⊥=，所以DE ⊥平面AFBE ，所以DE EF ⊥， 又EA ED E =，EF ∴⊥平面ADE ADE.〔8分〕以点E 为原点，EA 为x 轴，EF 为y 轴，ED 为z 轴，建立空间直角坐标系， 那么(0,0,0),(0,0,1),(3,33,0),(0,23,0)E D B M -， 所以(3,33,1),(3,3,0)BD BM =-=-，〔9分〕 设平面BMD 的一个法向量为(,,)x y z =n ，所以(,,)(3,030,(,,)(3,030BD x y z x zBM x y z x⎧⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⋅==⎪⎪⎩⎩nn令y=n，〔10分〕又平面AED得一个法向量为(0,1,0)=m，〔10分〕所以cos,⋅<>==⋅n mn mn m又平面BMD与平面AED所成的二面角显然为锐角，所以平面BMD与平面AED.〔12分〕20．【解析】〔1〕根据题意122212()4,22MF MFMF MF a a+⋅==∴=≤，〔1分〕又设00(,)M x y，所以00022222002222200(1)xbyy y bax a x a x a x a a-⋅===-+---，所以2234ba-=-，〔3分〕故23b=，从而椭圆C的HY方程为22143x y+=.〔4分〕〔2〕根据题意，(4,0)S，所以设直线l的方程4x ky=+，联立224143x kyx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x得22(34)24360k y ky+++=，222(24)436(34)144(4)0k k k∆=-⨯+=->，即24k>.设1122(,),(,)P x y Q x y，那么00'(,)P x y.由根与系数的关系得，1212222436,3434ky y y yk k+=-=++.〔7分〕设直线2QF的方程为2211xx yy-=+，所以222222111434xx yyx yx ky-⎧=+⎪⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎪⎩，得2222222(3)6(3)[34]90ky kyy yy y++++-=，220022222222222999,27(34)1827(3)(34)1834y y y y k y ky ky k y k y y ---=∴==++++++++ 12221199273621(34)181827()3y k y k k k y y y --===-+++++--.〔10分〕 所以20111112213321()1()()1[3()]()143ky x y k y k k y ky x y y y +=-+=+-+=+---+=+= 故11'(,)P x y -，所以22'P F PF =.〔12分〕21．【解析】因为'()m x f x e -=-，所以1'(1)1,1m f e m -=-=-∴=，又11(1)1,0f e n n -=+=∴=，故1()x f x e -=.〔2分〕〔1〕由题意得1()(sin cos )x f x e a x x -'=--++，假设函数()f x 存在单调减区间， 那么1()(sin cos )0x f x e a x x -'=--++≤即sin cos 0a x x -++≥存在取值区间，即)4a x π+存在取值区间，所以a 〔5分〕 〔2〕因为2(1)1()x x t x G x e +-+=，所以()(1)'()x x t x G x e ---= ①当1t ≥时，()0h x '≤，()G x 在[0,1]上单调递减，由2N M <， 所以2(1)(0)G G <，即321t e -⋅<，得32e t >-；〔7分〕 ②当0t ≤时，'()0G x ≥，()G x 在[0,1]上单调递增，所以2(0)(1)G G <，即32t e-<，得32t e <-，〔8分〕 ③当01t <<时，在[0,)x t ∈，'()0G x <，()G x 在[0,]t 上单调递减，在(,1]x t ∈，'()0G x >，()G x 在[,1]t 上单调递增，所以2()max{(0),(1)}G t G G <，即132max{1,}()t t t e e+-⋅<*.〔10分〕 令1()t t p t e +=,(0,1)t ∈，那么()0t t p t e -'=<，所以1()t t p t e+=在(0,1)t ∈上单调递减， 故1421t t e e +⨯>>，而334t e e e-<<，所以不等式〔*〕无解，综上所述，(,32)(3,)2e t e ∈-∞--+∞.〔12分〕22．【解析】〔1〕直线'l 的普通方程为0x y -=，直线'l 的极坐标方程4πρ=，〔3分〕 曲线C 的普通方程22((4x y+-=，所以2cos sin 60ρθθ--+=.〔5分〕（2）由〔1〕得2660ρρ-+=，所以12AB ρρ=-=8分〕点P 到直线'l 的间隔 d 为34π=，所以132PAB S =⨯=〔10分〕 23．【解析】〔1〕根据题意，22,2()|1||2|36,1242,1x x f x x x x x x +⎧⎪=++-+=-<<⎨⎪--⎩≥≤，〔3分〕 解210228x x ⎧⎨>+>⎩≥，或者110428x x -⎧⎨>->⎩≤，得34x <<或者32x -<<-， 所以解集为(3,2)(3,4)--.〔5分〕〔2〕因为()f x x a x b c =++-+()()x a x b c a b c +--+=++≥，当且仅当a x b -≤≤时，等号成立，〔8分〕又0,0a b >>，所以a b a b +=+，所以()f x 的最小值为a b c ++，所以2a b c ++=.所以1111111119()()(3)(3222)2222b a a c c b a b c a b c a b c a b c a b c ++=++++=+++++++++=≥.〔10分〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
高等数学综合试卷(五至七章 )
二、单选题
综合试题1
三、计算题
1. 设 量矩阵是
是三维欧氏空间V的一组基，这组基的度
（1）求内积
（2）求 （3）求V的一组标准正交基.
综合试题1
四、证明题
1.设V是n维欧氏空间,证有对任意的n阶正定矩阵A,在V中总
存在基
,使这组基的度量矩阵为A,又问,这样的基
是不是唯一的?
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也是正定矩阵. 7. 如果与n阶矩阵A相似的矩阵只有A自身，则A为单位矩阵
8. 设n阶可逆矩阵A与Ｂ相似，则A与Ｂ有相同的特征向量
二、单选题
1. 在下列R3的变换中是线性变换的为
综合试题4
2. 设A,B,C是线性空间V的线性变换，O是V的零变换，则
（A）A≠O ，AB = O则B = O （B）AB = O则A = O或 B =O
一、判断题
综合试题1答案
1. × 2. √ 3.√ 4. √ 5. √ 6. √ 7. × 8. × 9. ×
二、单选题
1.C 2.A 3.A 4.C 5.D
三、计算题
1.（1）0；0；3 （2）1 （3）标准正交基
返回试题 返回目录 下一套试卷
一、判断题
综 合 试 题2
二、单选题
综合试题2
三、计算题
4. 任何方阵与它的转置矩阵有相同的特征值. 5. 若 是矩阵A的特征向量,则 也是矩阵(A+E)2的特征向量
7. 设A是线性空间V的可逆线性变换， 是A的一个特征值，则 是 的一个特征值。
二、单选题
综合试题3
三、计算题 1. 设A是欧氏空间V的线性变换,A在V的一组基
下的矩阵为
求V的另一组基
高数下期末复习模拟试题3份
2
∂P ∂P = 在 D 内 连 续 ， 且 有 ∂x ∂y ， 则
∫
L
( P( x, y ) + y )dx + ( P( x, y ) − x)dy =（
）
2 − 2 a A、 ;
B、 − 2a ;
2
C、 − a ;
2
D、 a
→
2
7. 设流体速度场 v = ci + y j ( c 为常数 ), 则单 位时间内由半径为 2 的球面内部流出球
u = f ( x, xy ), v = g ( x + xy ) ，
∂u ∂u 求 ∂x , ∂y
。
x +t
∂u ∂u 2.（8 分）设 u ( x, t ) = ∫ x −t f ( z )dz ，求 ∂x , ∂t 。 四、求解下列问题（共计 15 分） 。
1.计算 I
= ∫ 0 dx ∫ x e dy 。 （7 分）
即
∫
x0 0
ydx −
1 2 x0 y 0 = x0 2
将 ( x 0 , y 0 ) 改为 ( x, y ) 得： 求导得： y ′ −
∫
x
0
ydx −
1 xy = x 2 2
1 y = −4 ，且 y (1) = 1 x
该方程的通解为 y = (c + (−4)e
∫
−
∫ x dx1dx源自e∫ x dx∂ 2u ∂ 2u 数，则 x ∂x 2 + y ∂y 2
等于（
）
（A） x + y （B） x ； (C) y
(D)0 。
高等数学下册复习题5、6、7模拟试卷和答案
高等数学（下）模拟试卷五一． 填空题（每空3分，共21分）1．函数y y x z )ln(-=的定义域为 。
2．已知函数22y xez +=，则=dz 。
3．已知xy e z =，则=∂∂)0,1(xz。
4．设L 为122=+y x 上点()0,1到()0,1-的上半弧段，则=⎰ds L 2 。
5．交换积分顺序⎰⎰=x edy y x f dx ln 01),( 。
6.级数∑∞=-1)1(n nn 是绝对收敛还是条件收敛？ 。
7．微分方程x y sin ='的通解为 。
二．选择题（每空3分，共15分）1．函数()y x f z ,=在点()00,y x 的全微分存在是()y x f ,在该点连续的（ ）条件。
A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既非充分，也非必要2．平面012:1=+++z y x π与022:2=+-+z y x π的夹角为（ ）。
A ．6π B ．4π C ．2π D ．3π 3．幂级数∑∞=-1)5(n n nx 的收敛域为（ ）。
A ．[)6,4B ．()6,4C ．(]6,4D ．[]6,44．设)(),(21x y x y 是微分方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两特解且≠)()(21x y x y 常数，则下列（ ）是其通解（21,c c 为任意常数）。
A ．)()(211x y x y c y +=B ．)()(221x y c x y y +=C ．)()(21x y x y y +=D ．)()(2211x y c x y c y +=5．⎰⎰⎰Ωzdv在直角坐标系下化为三次积分为（ ），其中Ω为3,0,3,0x x y y ====，0,3z z ==所围的闭区域。
A ．0333dx dy zdz⎰⎰⎰ B ．333dx dy zdz⎰⎰⎰ C ．3033dx dy zdz⎰⎰⎰D ．333dx dy zdz⎰⎰⎰三．计算下列各题（共21分，每题7分）1、已知0ln =-+xy e z z，求y z x z ∂∂∂∂,。
高三数学下学期第五次模拟考试试题 理 试题
一中2021届高三数学下学期第五次模拟考试试题 理制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日〔满分是：150分 时间是：120分钟〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕1. 复数z 为纯虚数，假设()3i z a i -⋅=+〔i 为虚数单位〕，那么实数a 的值是〔 〕.A ．13B ．3C ．13- D ．3- 2. {}{}222|,|2M y R y x N x R x y =∈==∈+=，那么M N =〔 〕.A ．{}(1,1),(1,1)- B．⎡⎣ C ．[]0,1 D ．{}1 3. 假设非零向量,a b 满足223a b =，且()(32)a b a b -⊥+，那么a 与b 的夹角为〔 〕. A. π B. 2π C. 34π D. 4π 4. 如图为某几何体的三视图，那么该几何体的外表积为〔 〕.A ．π220+B ．π320+C ．π224+D ．π324+5. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32132S S -=，那么数列{}n a 的公差d 为〔 〕 A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 6. 直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于,MN 两点，假设MN ≥k 的取值范围是〔 〕.A ．3[,0]4-B ．3(,][0,)4-∞-+∞C．[ D ．2[,0]3- 俯视图侧视图正视图122227. 中、美、俄等21国HY 合影纪念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国HY 站在第一排正中间位置，美俄两国HY 站在与中国HY 相邻的两侧，假如对其他HY 所站的位置不做要求，那么不同的站法一共有〔 〕.A.1818A 种B.2020A 种C.231031810A A A 种D.218218A A 种8.函数]),[()(cos ππ-∈=x xe x f x 的图象大致是〔 〕.9. 设x ，y 满足约束条件,0,1,3,x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩那么目的函数2z x y =-的最大值为〔 〕.A ．3-B ．3C ．4D ．2-10. 我国古代数学名著?九章算术?中的更相减损法的思路与下面的程序框图相似．执行该程序框图，假设输入的,a b分别为14，18，那么输出的a 等于〔 〕.A ．2B ．4C ．6D ．811. 设k 是一个正整数，在1+)k x k （的展开式中，第四项的系数为116，记函数2y x =与y kx =的图象所围成的阴影局部面积为S ，任取[0,4]x ∈，[0,16]y ∈，那么点(,)x y 恰好落在阴影区域S 内的概率是〔 〕.A ．23B ．13C ．25D ．16()2()e x f x x ax b =++，当1b <时，函数()f x 在(),2-∞-，()1,+∞上均为增函数，那么2a ba +-的取值范围是〔 〕.A ．22,3⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13. 某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩()2~100,X N a 〔0a >，试卷满分是150分〕，统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的35，那么此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有___________人． 14数列满足，，，那么成立的的最大值为 15．函数，假设在区间[-，]上单调递增，那么的最小值是______． 16. 设12F F 、分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 是C 的右支上的点，射线PT 平分12F PF ∠,过原点O 作PT 的平行线交1PF 于点M ,假设121||||3MP F F =,那么C 的离心率为 ． 三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分，解答请写出必要的文字说明和演算步骤.〕17. 向量(3sin ,cos ),(cos ,cos ),m x x n x x x R ==∈，设()f x m n =⋅．〔1〕求函数()f x 的解析式及单调增区间；〔2〕在△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且1,2,()1a b c f A =+==，求△ABC 的面积．2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式施行，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个〞，“生二孩能休多久产假〞等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为理解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎才能的适龄家庭进展问卷调查，得到如下数据：产假安排〔单位：周〕 14 15 16 17 18有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26〔1意愿的概率分别为多少？〔2〕假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②假如用ξ表示两种方案休假周数之和．求随机变量ξ的分布列及数学期望．19.在如下图的几何体中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA BE ，4AB PA ==，2BE =．〔1〕求证：CE 平面PAD ；〔2〕求PD 与平面PCE 所成角的正弦值；〔3〕在棱AB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ⊥平面PCE ？假如存在，求AF AB 的值；假如不存在，说明理由．20. 椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(2B 2,在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕以MN 为直径的圆是否经过定点？假设经过，求出定点的坐标；假设不经过，请说明理由．21. 函数()2e 12x m f x x mx =---. 〔1〕当1m =时，求证：假设0x ≥，那么()0f x ≥；〔2〕当1m ≤时，试讨论函数()y f x =的零点个数.选做题：请在以下两题中任选一题答题，假设两题都做，那么按第22题给分.22. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的方程为2cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩〔θ为参数〕，曲线2C 的极坐标方程为2:cos sin 1C ρθρθ+=,假设曲线1C 与2C 相交于A 、B 两点．(1)求||AB 的值；(2)求点(1,2)M -到A 、B 两点的间隔 之积．23. 〔1〕实数b a ,满足2,2<<b a ，证明：ab b a +<+42．〔2〕a>0，求证：221a a ＋－2≥a ＋1a－2. 一中2021届高三第五次模拟考试数学试题〔理科〕参考答案与解析1. A2.B3.D4.B5.B6.A7.D8.B9.B 10. A11. D 由二项展开式的通项公式，得，令，那么，∴，所求概率．12.A ,因为函数在，上均为增函数，所以在，上恒成立，即在，上恒成立，令，那么在，上恒成立，所以有，，,即满足, 在直角坐标系内作出可行域，，其中表示的几何意义为点与可行域内的点两点连线的斜率，由图知k，所以k+1，即的取值范围为.13.16.设交轴于点，，那么，由OM∥PT，得，即，那么，所以，又是的角平分线，那么，代入得，所以.17.，由可得，所以函数的单调递增区间为，.（2），，.由得，.18.解：〔1〕由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为〔2〕①设“两种安排方案休假周数和不低于32周〞为事件，由从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法一共有〔种〕，其和不低于32周的选法有〔14，18〕、〔15，17〕、〔15，18〕、〔16，17〕、〔16，18〕、〔17，18〕，一共6种，由古典概型概率计算公式得．②由题知随机变量的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．，，因此的分布列为29 30 31 32 33 34 350．1 0．1 0．2 0．2 0．2 0．1 0．1所以. 19.解：〔1〕设中点为，连结，因为//，且，所以//且，所以四边形为平行四边形，所以//，且．因为正方形，所以//，所以//，且，所以四边形为平行四边形，所以//．因为平面，平面，所以//平面．（3）如图，建立空间坐标系，那么，，，，，所以，，．设平面的一个法向量为，所以．令，那么，所以．设与平面所成角为，那么．所以与平面所成角的正弦值是．〔3〕假设存在点满足题意，那么，．设平面的一个法向量为，那么，令，那么，所以．因为平面平面，所以，即，所以，故存在点满足题意，且．20.解：〔1〕设椭圆的方程为，因为椭圆的左焦点为，所以，因为点在椭圆上，所以，解得，，所以椭圆的方程为．〔2〕因为椭圆的左顶点为，那么点的坐标为．因为直线与椭圆交于两点，，设点〔不妨设〕，那么点，联立方程组，消去，得，所以，那么，所以直线的方程为，因为直线，分别与轴交于点，，令，得，即点，同理可得点，所以．设的中点为，那么点的坐标为．那么以为直径的圆的方程为，即．令，得，即或者．故以为直径的圆经过两定点，．21.解：.解：〔1〕当时，，那么，那么①，令，得，当时，，∴，即，∴函数在上为增函数，即当时，，∴函数在上为增函数，即当时，.〔2〕由〔1〕和①式知，当时，，∴，∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为，∴，∴，，即②，〔I〕当时，，又，∴，∴由②式得，即，∴函数在上为增函数，又，∴当时，，当时，，∴函数在上有且仅有一个零点.〔II〕当时，ⅰ〕当时，，，∴，函数在时单调递减，∴，故时，函数在上无零点；ⅱ〕当时，由，得，函数在上单调递增，，当时，，∴由函数零点存在性定理知，使，故当时，，当时，，∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为，又，∴对，，又当时，，∴，由，∴，再由函数零点存在性定理知，使得，综上所述，当时，函数有且仅有一个零点，当时，函数有两个零点．22. 解析：(1) 曲线的普通方程为，,那么的普通方程为，那么的参数方程为：代入得，.(2) .23. 〔1〕证明：证法一，∴，，∴，．∴，即，∴，∴，即，∴．证法二：要证，只需证只需证只需证即，∴，，∴成立．∴要证明的不等式成立．〔2〕证明：要证－≥a＋－2，只需证＋2≥a＋＋，只需证a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2＋2，即证2≥，只需证4≥2，即证a2＋≥2，此式显然成立．∴原不等式成立．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。
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高等数学（下）模拟试卷五一． 填空题（每空3分，共21分）1．函数y y x z )ln(-=的定义域为 。
2．已知函数22y x ez +=，则=dz 。
3．已知xy e z =，则=∂∂)0,1(xz。
4．设L 为122=+y x 上点()0,1到()0,1-的上半弧段，则=⎰ds L 2 。
5．交换积分顺序⎰⎰=x edy y x f dx ln 01),( 。
6.级数∑∞=-1)1(n nn 是绝对收敛还是条件收敛？ 。
7．微分方程x y sin ='的通解为 。
二．选择题（每空3分，共15分）1．函数()y x f z ,=在点()00,y x 的全微分存在是()y x f ,在该点连续的（ ）条件。
A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既非充分，也非必要2．平面012:1=+++z y x π与022:2=+-+z y x π的夹角为（ ）。
A ．6πB ．4πC ．2πD ．3π 3．幂级数∑∞=-1)5(n n nx 的收敛域为（ ）。
A ．[)6,4B ．()6,4C ．(]6,4D ．[]6,44．设)(),(21x y x y 是微分方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两特解且≠)()(21x y x y 常数，则下列（ ）是其通解（21,c c 为任意常数）。
A ．)()(211x y x y c y +=B ．)()(221x y c x y y +=C ．)()(21x y x y y +=D ．)()(2211x y c x y c y +=5．⎰⎰⎰Ωzdv在直角坐标系下化为三次积分为（ ），其中Ω为3,0,3,0x x y y ====，0,3z z ==所围的闭区域。
A ．0333dx dy zdz⎰⎰⎰ B ．333dx dy zdz⎰⎰⎰ C ．3033dx dy zdz⎰⎰⎰D ．333dx dy zdz⎰⎰⎰三．计算下列各题（共21分，每题7分）1、已知0ln =-+xy e z z，求y z x z ∂∂∂∂,。
2、求过点)2,0,1(且平行直线32211zy x =-+=-的直线方程。
3、利用极坐标计算⎰⎰+Dd y x δ)(22，其中D 为由422=+y x 、0=y 及x y =所围的在第一象限的区域。
四．求解下列各题（共20分，第1题8分，第2题12分）1、利用格林公式计算曲线积分dy y x xy dx e y x L)sin 52()(22++++⎰，其中L 为圆域D ：422≤+y x 的边界曲线，取逆时针方向。
2、判别下列级数的敛散性：∑∞=--111)1()1(n n n 21(2)3nn n ∞=∑五、求解下列各题（共23分，第1、2题各8分，第3题7分）1、求函数13321),(23++--=y x y x y x f 的极值。
2、求方程xe y dx dy-=+满足20==x y 的特解。
3、求方程282xy y y e '''+-=的通解。
高等数学（下）模拟试卷六一、填空题：（每题3分,共21分.）1．函数arccos()z y x =-的定义域为 。
2．已知函数ln()z xy =，则()2,1zx ∂=∂ 。
3．已知()22sin z x y =+，则=dz 。
4．设L 为1y x =+上点(1,0)-到()1,0的直线段，则2Lds =⎰ 。
5．将1220()dx f x y dy+⎰⎰化为极坐标系下的二重积分 。
6.级数∑∞=-12)1(n n n 是绝对收敛还是条件收敛？ 。
7．微分方程2y x '=的通解为 。
二、选择题：（每题3分,共15分.）1．函数()y x f z ,=的偏导数在点()00,y x 连续是其全微分存在的（ ）条件。
A ．必要非充分，B ．充分，C ．充分必要，D ．既非充分，也非必要，2．直线22:110x y z l -+==与平面:23x y z π++=的夹角为（ ）。
A ．6πB ．3πC ．2πD ．4π3．幂级数213nn n x n ∞=∑的收敛域为（ ）。
A ．(3,3)-B ．[3,3]-C ．(3,3]-D ．[3,3)-4.设*()y x 是微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的特解，()y x 是方程()y p x y '''+()q x y +0=的通解，则下列（ ）是方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的通解。
A ．()y xB ．*()()y x y x -C ．*()y xD ． *()()y x y x +5．2z dv Ω⎰⎰⎰在柱面坐标系下化为三次积分为（ ），其中Ω为2222x y z R ++≤的上半球体。
A ．2200R Rd rdr z dzπθ⎰⎰⎰ B ．2200R rd rdr z dzπθ⎰⎰⎰C．22Rd dr dzπθ⎰⎰ D．220Rd rdr dzπθ⎰⎰三、计算下列各题（共18分，每题6分）1、已知335z xyz -=，求y z x z ∂∂∂∂,2、求过点(1,0,2)且平行于平面235x y z ++=的平面方程。
3、计算22()Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 为y x =、0y =及1x =所围的闭区域。
四、求解下列各题（共25分，第1题7分,第2题8分，第3题10分）1、计算曲线积分2()(sin )L x y dx x y dy --+⎰，其中L 为圆周22x x y -=上点)0,0(到)1,1(的一段弧。
2、利用高斯公式计算曲面积分：xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰ ，其中∑是由220,3,1z z x y ==+=所围区域的整个表面的外侧。
3、判别下列级数的敛散性：)1(21(1)ln nn n ∞=-∑ nn n3sin 4)2(1π∑∞=五、求解下列各题（共21分,每题7分）1、求函数123163),(232++-+=y y x x y x f 的极值。
2、求方程xdyy e dx -=满足01x y==的特解。
3、求方程=+'-''y y y 65(1)xx e +的通解。
高等数学（下）模拟试卷七一． 填空题（每空3分，共24分）1．二元函数z =的定义域为2．一阶差分方程12135t t y y +-=的通解为 3．y zx =的全微分=dz _4．0ydx xdy -=的通解为 ________________5．设x yz arctan=，则z x ∂=∂______________________6．微分方程250y y y '''-+=的通解为7．若区域{}4|),(22≤+=y x y x D ，则⎰⎰=Ddxdy 28．级数012nn ∞=∑的和s=二．选择题：（每题3分，共15分）1．()y x f ,在点()b a ,处两个偏导数存在是()y x f ,在点()b a ,处连续的 条件（A ）充分而非必要 （B ）必要而非充分（C ）充分必要 （D ）既非充分也非必要2．累次积分10(,)dx f x y dy⎰⎰改变积分次序为(A) 11(,)dy f x y dx⎰⎰ （B）100(,)dy f x y dx⎰ （C ）210(,)y dy f x y dx⎰⎰（D ）211(,)ydy f x y dx⎰⎰3．下列函数中， 是微分方程356xy y y xe '''-+=的特解形式(a 、b 为常数)（A ）xeb ax y 3)(+= （B ） xeb ax x y 3)(+=（C ）xe b ax x y 32)(+= （D ） xae y 3= 4．下列级数中，收敛的级数是（A ） ∑∞=+1121n n （B ） 121n n n ∞=+∑ （C ） 1(3)2nn n ∞=-∑ （D ）1(1)nn n ∞=-∑5．设2224x y z z ++=，则z x ∂=∂(A) x z (B) 2x z - (C) 2x z - (D) x z -三、求解下列各题（每题7分，共21分）1. 设2ln ,,34x z u v u v x y y ===-而，求y z x z ∂∂∂∂, 2. 判断级数132nnn n ∞=∑的收敛性 3.计算22xy De dxdy+⎰⎰，其中D 为221x y +≤所围区域四、计算下列各题（每题10分，共40分）1. 求微分方程1ln y y xx '-=的通解.2.计算二重积分()DI x y dxdy=+⎰⎰，其中D 是由直线,1y x x ==及x 轴围成的平面区域.3.求函数32(,)6125f x y y x x y =-+-+的极值. 4.求幂级数214n nn x n ∞=⋅∑的收敛域.。