2.5等比数列的前n项和公式(1)
2.5.1等比数列前n项和公式(第1课时)
若q=1，则 S3=3 a1 , S 6 6a1 , S 9 9a1 由 a1 0可得S3 S 6 2S 9，与题设矛盾
q 1 a1 (1 q ) a1 (1 q ) 2a1 (1 q ) 1 q 1 q 1 q
3 6 9
整理，得q3+q6=2q9
各个格子里的麦粒数依次是:
1, 2, 22, 23, 24, 25,…,263,
发明者要求的麦粒总数就是: 1+ 2+22+23+24+25+…+263.
通项: an=2n-1
前n项和:Sn
等比数列的求和
引入新课
1 2 2 2
2 3
2
4
263
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
263
分析：由于每格的麦粒数都是前一格的２倍， 共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 2 , 2 ,, 2 .
它是以１为首项公比是２的等比数列， 麦粒的总数为:
2
3
63
S64 1 2 2 2 2 .
2 3 63
S64 1 2 2 2 2 的方法 . (1) ,就 2 3 63 是错位相 2S64 2(1 2 2 2 2 ). 减法 ! 2 3 63 64 (2) 即2S64 2 2 2 2 2 .
1 243
.
已知等比数列an 中,
练习１.
2或-3
1 a1 2 , S3 14.则q
a3 8或18 2 a1 1, a4 216 则 q -6 , S4 185
a1、q、n、a n、sn
2.5等比数列前n项和公式的推导及简单应用(1)
命题角度2 通项公式、前n项和公式的综合应用 例2 在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q. 解 由题意，得若q＝1， 则S3＝3a1＝6，符合题意. 此时，q＝1，a3＝a1＝2. 若q≠1，则由等比数列的前n项和公式， 得 S3＝a111－－qq3＝211－－qq3＝6， 解得q＝－2. 此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8. 综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
若q=1，则Sn na1
Sn
na1 a1(1
q
n
1 q
)
, ,
q 1 (完整版） 错位相减法
q 1
类型一 等比数列前n项和公式的应用 命题角度1 前n项和公式的直接应用 例1 求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； 解 因为 a1＝12，q＝12， 所以 S8＝1211－－12128＝225556.
Sn 2n1 2
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
1－xn A. 1－x
1－xn－1 B. 1－x
√C.11－－xxn，x≠1， n，x＝1
解析 当x＝1时，Sn＝n；
当
x≠1
1－xn 时，Sn＝ 1－x .
1－xn－1
D.
1－x
，x≠1，
n，x＝1
(2)a1＝27，a9＝2143，q<0.
解 由 a1＝27，a9＝2143，可得2143＝27·q8.
又由 q<0，可得 q＝－13，
所以
S8＝a11－－aq8q＝a11－－aq9＝217－－－214313＝1
640 81 .
反思与感悟 求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末
等比数列前n项和公式(1)
§2.5 等比数列的前n 项和公式(1)【学习目标】1．掌握等比数列前n 项和公式的推导方法． 2．会用等比数列前n 项和公式解决一些简单问题．【学习过程】合作探究：推导等比数列的前n 项和公式问题1:你能列个式子帮国王计算一下总的麦粒数吗?式子: 问题2:你能想办法计算出这个和吗?(小组合作)问题3:设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++ ，公比为q ≠0， 你能用上面的方法求出n S 吗?结论：如果数列{}n a 是公比为q 的等比数列，那么它的前n 项和公式是： （1）当=≠n S q 时，1 ； （2）当n S q 时，1== .使用等比数列前n 项和公式应注意对公比 或 的判断和讨论。
注意：①在等比数列前n 项和公式中将1nn a a q =代入，则公式可以变形为：n S = .②解决等比数列问题时，n n S q n a a ,,,,1五个量中，知道任意三个，可求另外两个，注意方程思想的应用.③以上推导过程用的是错位相减法，此方法在众多数列的求和中应用很广，要注意灵活掌握. ④当1=q ,1na S n =是n 的 函数；当1≠q 时，A Aq S nn +-=是关于n 的一个指数式与一个常数的和，其中指数的系数与常数项互为 ，且=A .☆☆ 提示：数列{}n a 是 ⇔A Aq S nn +-=（*,1,0N n q Aq ∈≠≠），可作为判断数列{}n a 是否为 的一个结论. 练一练：已知等比数列的前n 项和6131-⋅=-n n x S ，则x 的值为 ⑤n n n n n S S S S S 23,2,,--均不为零时，数列n n n n n S S S S S 23,2,,--构成 数列. 【典例分析】例1：等比数列{}n a 中：（1）a 1=－27,11,39n q a =-=，求n S ；（2）a 1=5 , q=1,n=10，求n S ；（3）若;,96,2,1891n a a q S n n 和求===（4）已知,263,2763==S S 求;n a例2、求数列231,,,,...x x x 的前n 项和S n .例3、在等比数列{}n a 中，.,604832n n n S S S 求，==例4、以数列{}n a 的任意相邻两项为坐标的点()()*+∈N n a a P n n n 1,均在一次函数kx y +=2的图象上，数列{}n b 满足条件：().0,11≠∈-=*+b N n a a b n n n（1）求证：{}n b 是等比数列；（2）设数列{}{}n n b a ,的前n 项和分别为,,n n T S 若,9,546-==S T S 求k 的值.【限时训练】1、.,64,2485346S a a a a 求=⋅=-2、等比数列{}n a 中前n 项和为n S ，42S =，86S =，求17181920a a a a +++的值3、已知等比数列{}na 中，661=+n a a，12812=-n a a ，126=n S ，求公比q 与项数n .4、在公比2=q 的等比数列{}n a 中，若,25log log log 1022212=+⋅⋅⋅++a a a 则=+⋅⋅⋅++1021a a a .5、数列{}n a 满足,,,,,123121--⋅⋅⋅--n n a a a a a a a 且{}1--n n a a 是首项为1，公比为31的等比数列，求.21n n a a a S +⋅⋅⋅++=。
第二章 2.5 第1课时 等比数列前n项和公式
§2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列前n项和公式学习目标1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．知识点一等比数列的前n项和公式知识点二 错位相减法1．推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．2．该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和，即若{b n }是公差d ≠0的等差数列，{c n }是公比q ≠1的等比数列，求数列{b n ·c n }的前n 项和S n 时，也可以用这种方法．思考 如果S n ＝a 1＋a 2q ＋a 3q 2＋…＋a n q n －1，其中{a n }是公差为d 的等差数列，q ≠1.两边同乘以q ，再两式相减会怎样？知识点三 使用等比数列求和公式时注意事项(1)一定不要忽略q ＝1的情况；(2)知道首项a 1、公比q 和项数n ，可以用S n ＝a 1(1－q n )1－q ；知道首尾两项a 1，a n 和q ，可以用S n ＝a 1－a n q 1－q； (3)在通项公式和前n 项和公式中共出现了五个量：a 1，n ，q ，a n ，S n .知道其中任意三个，可求其余两个．1．在等比数列{a n }中，a 1＝b ，公比为q ，则前3项和为b (1－q 3)1－q.( ) 2．求数列{n ·2n }的前n 项和可用错位相减法．( )3.a 1(1－q n )1－q ＝a 1(q n －1)q －1.( ) 4．等比数列前n 项和S n 不可能为0.( )题型一 等比数列前n 项和公式的直接应用例1 求下列等比数列前8项的和：(1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.反思感悟 求等比数列前n 项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q ＝1是否成立． 跟踪训练1 (1)求数列{(－1)n ＋2}的前100项的和；(2)在14与78之间插入n 个数，组成所有项的和为778的等比数列，求此数列的项数．题型二 前n 项和公式的综合利用例2在等比数列{a n}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.反思与感悟 (1)a n ＝a 1qn －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ⎝⎛⎭⎪⎫或S n ＝a 1－a n q 1－q 两公式共有5个量．解题时，有几个未知量，就应列几个方程求解． (2)当q ＝1时，等比数列是常数列，所以S n ＝na 1；当q ≠1时，等比数列的前n 项和S n 有两个公式．当已知a 1，q 与n 时，用S n ＝a 1(1－q n )1－q 比较方便；当已知a 1，q 与a n 时，用S n ＝a 1－a n q 1－q比较方便． 跟踪训练2 已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝ .题型三 利用错位相减法求数列的前n 项和例3 求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n 的前n 项和．反思感悟 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是公比不为1的等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．跟踪训练3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．分期付款模型典例小华准备购买一部售价为5 000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．(参考数据：1.00812≈1.10)[素养评析]本题考查数学建模素养，现在购房、购车越来越多采用分期付款方式，但有关方不一定都会计算，所以建立一个老少皆宜的模型来套用是必要的，在建立模型过程中，要把制约因素抽象为符号表示，并通过前若干项探索规律，抓住这些量之间的关系建立关系式.1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和S n等于()A.1－x n1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x n 1－x ，x ≠1且x ≠0n ，x ＝1D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1且x ≠0n ，x ＝1 2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( ) A ．2 B ．4 C.152 D.1723．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( )A ．179B ．211C ．243D ．2754．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为 ．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝n ·2n ，则S n ＝ .1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即当q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和．一、选择题1．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝1，则S 100等于( )A ．4－2100B ．4＋2100C ．4－2－98D ．4－2－1002．在等比数列{a n }中，已知a 1＝3，a n ＝48，S n ＝93，则n 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．73．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－114．已知数列{a n }是等差数列，若a 2＋2，a 4＋4，a 6＋6构成等比数列，则数列{a n }的公差d 等于() A ．1 B ．－1C ．2D ．－25．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( )A ．－2B ．－1 C.12 D.236．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( ) A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)7．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )A ．300米B ．299米C ．199米D ．166米二、填空题8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝ .9．数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝ .10．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和S n ＝ . 11．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q ＝ .三、解答题12．(2018·绵阳检测)在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．13．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n a n，求数列{b n }的前n 项和S n .14．在等比数列{a n }中，对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于() A ．(2n －1)2 B.(2n －1)23 C ．4n －1 D.4n －1315．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．。
《2.5 等比数列的前n项和》 课件 1-优质公开课-人教A版必修5精品
1.19≈2.36 1.110≈2.60 1.111≈2.85
1.00499≈1.04 1.004910≈1.05 1.004911≈1.06
解:(1)今年学生人数为b人,则10年后学生人数为b(1+4.9‰)10≈1.05b, 由题设可知,1年后的设备为 a×(1+10%)-x=1.1a-x, 2年后的设备为 (1.1a-x)×(1+10%)-x=1.12a-1.1x-x=1.12a-x(1+1.1),…, 10年后的设备为
题型三 等比数列的综合应用
【例3】 (12分) (2012年高考陕西卷)设{an}是公比不为1的等比数列,其前 n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列. (1)求数列{an}的公比; (2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
名师导引: (1)由a5,a3,a4成等差数列,列方程求解; (2)利用求和公式,等差中项证明. (1)解:设数列{an}的公比为q(q≠0,q≠1). 由a5,a3,a4成等差数列, 得2a3=a5+a4,……………………………………………………2分 即2a1q2=a1q4+a1q3.………………………………………………4分 由a1≠0,q≠0得,q2+q-2=0, 解得q1=-2,q2=1(舍去), 所以q=-2.………………………………………………………6分
法二 对任意 k∈N+,2Sk= 2a1(1 qk ) , 1 q
Sk+2+Sk+1= a1(1 qk 2 ) + a1(1 qk 1) = a1(2 qk 2 qk 1) ,
1 q
1 q
1 q
人教a版必修5学案：2.5等比数列的前n项和(1)(含答案)
2.5 等比数列的前n 项和(一)自主学习知识梳理1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧＝ (q ≠1)(q ＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．等比数列前n 项和的一个常用性质：在等比数列中，若等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝－1，且m 为偶数时，S m ＝S 2m ＝S 3m＝0，此时S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 不成等比数列；当q ≠－1或m 为奇数时，S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 成等比数列．3．推导等比数列前n 项和的方法叫__________法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．自主探究阅读教材后，完成下面等比数列前n 项和公式的推导过程．方法一：设等比数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，它的前n 项和是S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .由等比数列的通项公式可将S n 写成S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.① ①式两边同乘以q 得qS n ＝________________________________.②①－②，得(1－q )S n ＝____________，由此得q ≠1时，S n ＝__________，因为a n ＝________，所以上式可化为S n ＝________.当q ＝1时，S n ＝__________.方法二：由等比数列的定义知a 2a 1＝a 3a 2＝…＝a na n －1＝q .当q ≠1时， a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝q ，即S n －a 1S n －a n ＝q .故S n ＝____________.当q ＝1时，S n ＝____________.方法三：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －2) ＝a 1＋qS n －1＝a 1＋q (S n －a n )当q ≠1时，S n ＝____________＝____________. 当q ＝1时，S n ＝________.对点讲练知识点一 有关等比数列前n 项和的计算例1 在等比数列{a n }中，S 3＝72，S 6＝632，求a n .总结涉及等比数列前n项和时，要先判断q＝1是否成立，防止因漏掉q＝1而出错．变式训练1在等比数列{a n}中，a1＋a n＝66，a3a n－2＝128，S n＝126，求n和q.知识点二利用等比数列前n项和的性质解题例2在等比数列{a n}中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n.总结通过两种解法比较，可看出，利用等比数列前n项和的性质解题，思路清晰，过程较为简捷．变式训练2等比数列的前n项和为S n，若S10＝10，S20＝30，S60＝630，求S70的值．知识点三 错位相减法的应用例3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0，n ∈N *)．总结 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用这一思路和方法．变式训练3 求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)a n －1的前n 项和．1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．教材中的推导方法叫做错位相减法，这种方法是我们应该掌握的重要方法之一．它适合数列{a n b n }的求和，其中{a n }代表等差数列，{b n }代表等比数列，即一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成的新数列的求和可用此法.课时作业一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( ) A ．63 B ．64 C ．127 D ．1282．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．333．已知公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为( )A.q n S nB.S n q nC.1S n q n －1D.S n a 21qn －1 4．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．510 5．在等比数列中，S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( ) A ．90 B ．70 C ．40 D ．30题 号 1 2 3 4 5 答 案二、填空题6．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝________.7．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________． 8．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________. 三、解答题 9．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n .已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1) (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．§2.5 等比数列的前n 项和(一)知识梳理1．(1)a 1(1－q n )1－q a 1－a n q 1－qna 13．错位相减 自主探究a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1qn －1＋a 1q na 1－a 1q na 1(1－q n )1－q a 1q n －1 a 1－a n q 1－qna 1a 1－a n q1－qna 1 a 1－a n q 1－q a 1(1－q n )1－q na 1 对点讲练例1 解 由已知S 6≠2S 3，则q ≠1，又S 3＝72，S 6＝632，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q＝72， ①a 1(1－q 6)1－q ＝632. ②②÷①得1＋q 3＝9，∴q ＝2.可求得a 1＝12，因此a n ＝a 1q n －1＝2n －2.变式训练1 解 ∵a 3·a n －2＝a 1·a n ， ∴a 1a n ＝128，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1a n ＝128，a 1＋a n＝66，得①⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2，或②⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n＝64.将①代入S n ＝a 1－a n q 1－q＝126，可得q ＝12，由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.将②代入S n ＝a 1－a n q1－q ，可得q ＝2，由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.故n ＝6，q ＝12或2.例2 解 方法一 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝48a 1(1－q2n)1－q＝60①②②÷①得1＋q n ＝54，即q n ＝14.③将③代入①得a 11－q ＝64，所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q＝64×⎝⎛⎭⎫1－143＝63. 方法二 因为{a n }为等比数列，且q ≠1， 所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列， 所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，所以S 3n ＝(S 2n －S n )2S n ＋S 2n ＝(60－48)248＋60＝63.变式训练2 解 设b 1＝S 10，b 2＝S 20－S 10，…，则b 7＝S 70－S 60.因为q ≠1，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 70－S 60成等比数列，所以b 1，b 2，…，b 7成等比数列，首项为b 1＝10，公比为q ＝b 2b 1＝2010＝2.求得b 7＝10·26＝640.由S 70－S 60＝640，得S 70＝1 270.例3 解 (1)当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，①xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，②①－②得，(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x (1－x n )1－x－nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (x ＝1)x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x (x ≠1且x ≠0).变式训练3 解 (1)当a ＝0时，S n ＝1.(2)当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)，则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.(3)当a ≠1且a ≠0时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1，① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ，② ①－②得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1)＝1－(2n －1)a n＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n＋2(a －a n )1－a，又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (a ＝0)n 2(a ＝1)1－(2n －1)a n1－a ＋2(a －a n )(1－a )2(a ≠0且a ≠1).课时作业1．C [设公比为q ，则由a 1＝1，a 5＝16得a 5＝a 1q 4， 即16＝q 4，由q >0，得q ＝2.则S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1－271－2＝127.]2．D [由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝9， ∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q ＝1＋q 5＝1＋25＝33.] 3．D [数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列，且首项为1a 1，公比为1q ，其前n 项和为：1a 1⎝⎛⎭⎫1－1q n 1－1q＝1a 21q n －1·a 1(q n －1)q －1＝S na 21qn －1.] 4．D [由a 1＋a 4＝18和a 2＋a 3＝12，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 3＝18a 1q ＋a 1q 2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16q ＝12.∵q 为整数，∴q ＝2，a 1＝2，S 8＝2(28－1)2－1＝29－2＝510.]5．C [q ≠1 (否则S 30＝3S 10)，∵⎩⎪⎨⎪⎧S 30＝13S 10S 10＋S 30＝140，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10S 30＝130，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q ＝10a 1(1－q 30)1－q＝130，∴q 20＋q 10－12＝0.∴q 10＝3或q 10＝－4(舍去)，∴S 20＝a 1(1－q 20)1－q＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.] 6.152解析 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 7．10解析 ∵S n ＝a 1－a n q1－q ，∴－341＝1＋512q1－q ，∴q ＝－2，又∵a n ＝a 1q n －1，∴－512＝(－2)n －1， ∴n ＝10.8．2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1， ∴a 1＝2a 1－1， ∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1) ∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝2n －1，n ∈N *.9．解 方法一 由已知a 1≠0，S n ＝a 1(1－q n )1－q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2， ①a 1(1－q 4)1－q＝5×a 1(1－q 2)1－q ， ② 由②得1－q 4＝5(1－q 2)．∴(q 2－4)(q 2－1)＝0.又q <1.∴q ＝－1或q ＝－2.当q ＝－1时，a 1＝2，a n ＝2×(－1)n －1.当q ＝－2时，a 1＝12，a n ＝12×(－2)n －1.方法二 ∵S 4＝5S 2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5(a 1＋a 2)．∴a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)．(1)当a 1＋a 2＝0，即a 2＝－a 1， 即q ＝－1时，a 3＋a 4＝0适合；∵a 3＝2，∴a 1＝2(－1)2＝2，∴a n ＝2×(－1)n －1.(2)当a 1＋a 2≠0时，a 3＋a 4a 1＋a 2＝4.即q 2＝4.又q <1，∴q ＝－2，a 1＝2(－2)2＝12，此时，a n ＝12×(－2)n －1. 10．(1)解 由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝13(a n －1)－13(a n －1－1)， 得a n a n －1＝－12，又a 2a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．。
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和aa高二数学
• 『规律总结(zǒngjié)』 在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn 中，a1，q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时 ，均可以用a1，q列方程组求解．
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〔跟踪练习1〕 (2015·重庆文，16)已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝92. (1)求{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.
！果真是这样吗？我们一起来帮他算一算．
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• 1．等比数列(děnɡ bǐ shù liè)的前n项和公式
已知量 公式
首项、公比与项数
Sn＝__a_1_n1_a－_1 _q_n_q＝1 ___1_－__q____q≠1
首项、末项与公比 Sn＝__a_1－_n_aa_1 _nq_q＝1
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(2)由(1)，得bn＝an＋k及{bn}是公比为2的等比数列，得 Tn＝b111－－22n＝b1(2n－1)， 由bn＝an＋k得Tn＝Sn＋nk，∴Sn＝b1(2n－1)－nk. ∵S6＝T4，S5＝－9， ∴6331bb11－ －65kk＝ ＝1－5b91，， 解得k＝8.
新课标导学
数学
必修5 ·人教A版
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第二章
数列(shùliè)
等比数列 的前 项和 2.5
(děnɡ bǐ shù liè)
n
课时 第1
(kèshí)
等比数列的前n项和
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1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
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自主预习(yùxí)学案
2.5等比数列的前n项和(1)教师版
2.5等比数列的前n 项和（一）教学目标分析：知识目标：掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题.情感目标：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神.重难点分析：重点：等比数列的前项n 和公式推导.难点：灵活应用公式解决有关问题.互动探究：一、课堂探究：1、情境引入：“国王对国际象棋的发明者的奖励”的故事.23636412222S =+++++ ？探究：你能推导出首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和n S 的公式吗?公式的推导方法一：一般地，设等比数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S n a a a a +++321；由⎩⎨⎧=+++=-11321n n n n qa a a a a a S 得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---n n n n n n qa q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111 ；n n q a a S q 11)1(-=-∴； ∴当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1或q q a a S n n --=11 当1q =时，1na S n =公式的推导方法二：有等比数列的定义，q a a a a a a n n ====-12312 根据等比的性质，有q a S a S a a a a a a nn n n n =--=++++++-112132 即 q a S a S nn n =--1⇒q a a S q n n -=-1)1( 公式的推导方法三：=n S n a a a a +++321＝)(13211-++++n a a a a q a＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+⇒q a a S q n n -=-1)1(2、等比数列的前n 项和公式：当1q ≠时，q q a S nn --=1)1(1或q qa a S n n --=11当1q =时，1na S n = 解决问题：有了等比数列的前n 项和公式，就可以解决刚才的问题。
高中数学第二章数列25等比数列的前n项和第1课时等比数列前n项和的求解课件新人教A版必修
另一方面，设每个月还贷 a 元，分 6 个月还清，到贷 款还清时，其本利和为
S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝
a[（1＋1.001.0－1）1 6－1]＝a(1.016－1)×102(元)． 由 S1＝S2，得 a＝11.0.0116×6－1102. 因为 1.016≈1.061，所以 a＝11.0.06611×－1102≈1 739. 故每月应支付 1 739 元．
＝12＋121－1－1212n－1－22nn－＋11 ＝32－22nn＋＋13， 所以 Sn＝3－2n2＋n 3. 答案：3－2n2＋n 3
类型 1 等比数列求和公式的基本运算 [典例 1] 在等比数列{an}中： (1)S2＝30，S3＝155，求 Sn； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求 S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求 q. 解：(1)由题意知aa11（（11＋＋qq）＋＝q2）30＝，155，
[变式训练] 在等比数列{an}中：
(1)若 a1＝ 2，an＝16 2，Sn＝11 2，求 n 和 q； (2)已知 S4＝1，S8＝17，求 an.
解：(1)由 Sn＝a11－－aqnq得 112＝Βιβλιοθήκη 2－16 1－q2q，
所以 q＝－2，
又由 an＝a1qn－1 得 16 2＝ 2(－2)n－1， 所以 n＝5.
又 Sn＝a11－－aqnq＝126， 所以 q 为 2 或12. 归纳升华 1．在等比数列{an}的五个量 a1，q，an，n，Sn 中， 已知其中的三个量，就能求出另两个量，这是方程思想 与整体思想在数列中的具体应用． 2．在解决与前 n 项和有关的问题时，首先要判断公 比 q 是否等于 1，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
2.5等比数列前n项和(1)
等比数列的前n 项和【知识要点】1. 等比数列的前n 项和公式；2. 等比数列的前n 项和公式推导方法． 【学习要求】1．掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题； 2. 由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式； 3. 从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力和技巧．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 55 页～第 57 页）1． 教材开头的问题可以转化成求首项为 ，公比为 的等比数列的前 项的和. 2.公式推导 一般地，对于等比数列 a 1，a 2，a 3，．．．, a n ,．．．它的前n 项和是 Sn= a 1+a 2+a 3+．．．+a n 由等比数列的通项公式,上式可以写成Sn= ①① 式两边同乘以公比q 得qSn= ② 思考：①,②的右边相同的项有 1 ； 如何消去这些相同的项？ 得(1-q)Sn= a 1－a 1q n ， 当ｑ≠１时，Sn= （q ≠1）； 又a n =a 1q n-1 所以上式也可写成Sn= （q ≠1）；上述推导公式的方法叫作错位相减法，适用的求和类型是： 当ｑ=１时，Sn= ．3. 等比数列的前n 项和Sn （q ≠1）中含有5个量， （1）注意公比q 是否为1；（2）应用公式能解决哪些问题？ ； （3）在公式中，当1q ≠时，如果令1,1a A q=-那么n s = ，从函数的角度看，可以由指数函数n q 的图象变换得到．4. 数列{}n a 的前n 项和n s 构成一个新的数列：123,,,,,n s s s s ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则新数列的递推关系为 【基础练习】1. （2008.福建）设等比数列{}n a 的公比0>q ，若16,151==a a ，则数列{}n a 前7项的和为()．()A 63 ()B 64 ()C 127()D 128．2.已知等比数列{}n a 的下列条件，求前n 项和Sn ． （1）13,2,6;a q n ===（2）1112.7,,;390n a q a =-=-=（3）1581,16,a a ==求前5项和Sn ． 3. 已知等比数列{}n a 的前n 项和3,n n s a =+则=1a , =2a ,=3a ,a 的值为 ．4. 已知数列{}n a 的通项公式为(21)7n n a n =-⨯，求其前10项的和10.s 提示：231010173757197.s =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ 【典型例题】类型一 等比数列前n 项和的基本性质例1 （1）求下列等比数列前8项和；①111,,,248⋅⋅⋅⋅⋅⋅；② 19127,,0.243a a q ==< （2）求等比数列1,2,4,8,⋅⋅⋅,从第5项到第10项和．（3）在等比数列{}n a 中，12166,128,n n a a a a -+==且126n s =，求项数n 和公比.q【变式练习】1.已知等比数列{}n a 中，42,1,q s ==则8s = .2. 已知等比数列{}n a 中，13,46875,39063,n n a a s =-=-=- 则q = ；n = .3. 已知等比数列{}n a 中，3312,9,a s =-=-则1a = ；q = .类型二 等差与等比数列的综合例2 （全国）已知等差数列{}n a ，259,21,a a ==求：（1）{}n a 的通项公式；（2）令2,n an b =求数列{}n b 的前项和.类型三 数列的求和例3（1）()()()()23123;ns a a a a n =-+-+-+⋅⋅⋅+-（2）12321-+⋅⋅⋅+++=n n nx x x s ． 【变式练习】nn n n n n Sn n T n b a b ；a n n n a 项和的前求数列若是等差数列证明数列项和的前已知数列}{,2)2(}{)1(.32}{.12⋅=-=1.若等比数列{}n a 前n 项的和,5m s n n +=则()=m ．()1-A ()1B ()5-C ()5D ．2. 若等比数列{}n a 前n 项的和,13-=n n s 则此数列为().()A 等差数列 ()B 等比数列 ()C 常数数列 ()D 递减数列．3. 在等比数列{}n a 中，（1）已知64,141=-=a a ，则=q ，=4s ； （2）已知,29,2333==s a ，则=q ，=1a 或=q ，=1a ． 4.如果一个等比数列{}n a 前5项的和为10，前10项的和为50，那么它15项的和 为 ．5. 在等比数列{}n a 中，已知12321-=+⋅⋅⋅+++n n a a a a ，则求2232221n a a a a +⋅⋅⋅+++．6.已知n s 是等比数列{}n a 的前n 项和，693,,s s s 成等差数列，求证582,,a a a 成等差数列．1.（2008.宁夏）设等比数列{}n a 的公比,2=q 前n 项的和为n s ，则()=24a s ．()A 2 ()B 4 ()C 215 ()D 217．2.（2008.全国）在数列{a n }中，.22,111n n n a a a +==+.}{)2(}{2)1(1n n n n nn S n a ；b ：，a b 项和的前求数列是等差数列数列证明设-=必修5 2.5 等比数列的前n 项和（教案）【教学目标】1．掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题； 2. 由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式； 3. 从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力和技巧． 【重点】1．掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题； 【难点】1. 由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式；2. 从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力和技巧． 【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 55 页～第 57 页）1．教材开头的问题可以转化成求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和. 2.公式推导 一般地，对于等比数列 a 1，a 2，a 3，．．．, a n ,．．．它的前n 项和是 Sn= a 1+a 2+a 3+．．．+a n 由等比数列的通项公式,上式可以写成Sn= a 1+a 1q + a 1q 2 +．．．+a 1q n-1 ①② 式两边同乘以公比q 得 qSn= a 1q+ a 1q 2 +．．．+a 1q n-1+ a 1q n ② 思考：①,②的右边相同的项有 a 1q+ a 1q 2 +．．．+a 1q n-1 ；如何消去这些相同的项？用①的两边分别减去②的两边,得(1-q)Sn= a 1－a 1q n ， 当ｑ≠１时，Sn=qq a n --1)1(1 （q ≠1）；又a n =a 1q n-1 所以上式也可写成 Sn=qqa a n --11（q ≠1）；上述推导公式的方法叫作错位相减法，适用的求和类型是： 数列的通项由两部分的积组成，一部分是等差数列，一部分是等比数列 当ｑ=１时，Sn= 1na ．3. 等比数列的前n 项和Sn （q ≠1）中含有5个量， （1）注意公比q 是否为1；（2）应用公式能解决哪些问题？知其中三个通过联立方程（组）求另外两个； （3）在公式中，当1q ≠时，如果令1,1a A q=-那么n s = n A Aq - ，从函数的角度看可以由指数函数nq 的图象变换得到．4. 数列{}n a 的前n 项和n s 构成一个新的数列：123,,,,,n s s s s ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则新数列的递推关系为()()111,(1).n n n s a s s a n -=⎧⎪⎨=+>⎪⎩ 【基础练习】1. （2008.福建）设等比数列{}n a 的公比0>q ，若16,151==a a ，则数列{}n a 前7项的和为()C ．()A 63 ()B 64 ()C 127 ()D 128．2.已知等比数列{}n a 的下列条件，求前n 项和Sn ． （1）13,2,6;a q n ===（2）1112.7,,;390n a q a =-=-=（3）1581,16,a a ==求前5项和Sn 答：（1）189n s =；（2）9145n s =-（3）211n s =或55.n s = 3. 已知等比数列{}n a 的前n 项和3,n n s a =+则=1a 2 , =2a 6 ,=3a 18 ,a 的值为 1- ．4. 已知数列{}n a 的通项公式为(21)7n n a n =-⨯，求其前10项的和10.s 提示：231010173757197.s =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ 解：231010173757197,s =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯2351011107173757177197.s ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯两式相减得：23101110617272727197,s -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⨯121014479s +⨯∴=．【典型例题】类型一 等比数列前n 项和的基本性质 例1 （1）求下列等比数列前8项和；①111,,,248⋅⋅⋅⋅⋅⋅；② 19127,,0.243a a q ==< （2）求等比数列1,2,4,8,⋅⋅⋅,从第5项到第10项和．（3）在等比数列{}n a 中，12166,128,n n a a a a -+==且126n s =，求项数n 和公比.q【审题要津】这里能用的公式有等比数列通项公式与前n 项和公式，而前n 项和公式只有两种情况，直接利用公式或通过通项公式转化．解：（1）①8181112211255,,12225612a q s ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==∴==-； ②8191127,,27,243243a a q ==∴=⨯8116400,,.381q q s <∴=-∴= （2）10410412121008.1212s s ---=-=-- （3）1211128,66n n n a a a a a a -==+=，12,64n a a ∴==或164, 2.n a a ==当1q >时，264126.1n qs q-==-解得2,q =6;n = 当1q <时，642126.1n qs q-==-解得1,2q = 6.n =【方法总结】结合等比数列通项公式与前n 项和公式，正确分析条件，选择恰当的公式求解．【变式练习】1.已知等比数列{}n a 中，42,1,q s ==则8s = 17 .2. 已知等比数列{}n a 中，13,46875,39063,n n a a s =-=-=- 则q = -5 ；n = 7 .3. 已知等比数列{}n a 中，3312,9,a s =-=-则1a = -3 ；q = -2 .类型二 等差与等比数列的综合例2 （全国）已知等差数列{}n a ，259,21,a a ==求：（1）{}n a 的通项公式；（2）令2,n an b =求数列{}n b 的前项和.【审题要津】等差数列、等比数列是数列的特例和基础，注意它们基本公式在解题的思路和作用.解：（1）设数列{}n a 的公差d ，依题意得119421a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得15,4a d ==.故{}n a 的通项公式为4 1.n a n =+ （2）由41n a n =+得412,n n b +=当412,2,nn b n b -≥= 所以{}n b 是首项512,b =公比42q =的等比数列. 故得{}n b 的前n 项和()()54442213221.2115n n n s --==-【方法总结】利用基本量、基本公式解题是数列的基本思路和方法. 类型三 数列的求和例3（1）()()()()23123;ns a a a a n =-+-+-+⋅⋅⋅+-（2）12321-+⋅⋅⋅+++=n n nx x x s ．【审题要津】观察数列的通项，适当变形后，转化为等差或等比数列求解． 解：（1）拆项法求和()2123n s a a a n =++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+1(1)(1)12n a a n n s a a +-+∴=-≠-当 (1)1,.2n n a s na +==-（2）错位相减法求和12321-+⋅⋅⋅+++=n n nx x x s n n n nx x n x x xs +-+⋅⋅⋅++=∴-12)1(2 n n n nx x x x s x -+⋅⋅⋅+++=-∴-121)1( 当1x ≠时，;1)1(12xnx x x s nn n ----= 当1x =时，.2)1(+=n n s n 【方法总结】认真观察分析数列的通项，（1）拆项法求和：适当变形后，转化为两个等差或等比数列求和后再求和差；（2）当数列的通项可化为等差与等比的积或商时，可用错位相减法求和；（3）应用并体会数列求和中的转化的思想方法． 【变式练习】nn n n n n Sn n T n b a b ；a n n n a 项和的前求数列若是等差数列证明数列项和的前已知数列}{,2)2(}{)1(.32}{2⋅=-=.2)94(182)94(182)54(21)21(4422)54(242②① ② ,2)54(2)94(22①,2)54(232,25)(4n (2)b 1.a 4,d }{a ,45)1(45n 4a a ，2n *).(54a ，a .54)1(31)-2(n 3n 2n S S a ，2n 1,S a 1:1n 1n 1n 11n 2112n 21n 1n 1n n n 1221n n n 11+++-++--⋅-+=∴⋅---=⋅----⋅+-=⋅-++⋅+-=--⋅-+⋅-++-=⋅-++⋅+-=∴⋅-=-===+---=-≥∈-=-=-+--=-=≥-==n T n n n T n n T n T n N n n n n n n n n n n n n 得是等差数列且所以时当故适合上式又时当）证明（解1.（2008.宁夏）设等比数列{}n a 的公比,2=q 前n 项的和为n s ，则()C a s =24． ()A 2 ()B 4 ()C 215 ()D 217．2. （2008.全国）在数列{a n }中，.22,111n n n a a a +==+.}{)2(}{2)1(1n n n n nn S n a ；b ：，a b 项和的前求数列是等差数列数列证明设-= 解：()() 1.1)2(n 2n 1)(2 2n 2221S 两边相减得,2n 2222S 得：2两边乘以,2n 23221S 2n a 即n,2a 知1 2.的等差数列1公差为1,是首项首}{b 因此1,a b 又 1.b 12a 222a 2a b 得22a a 由已知数 (1) n n n n 1n 21n n 2n 1n 21n 1n n 1n nn 11n 1n n n n n n 1n 1n n n 1n +-=⋅+--=⋅+-⋯----=⋅+⋯+⋅+=⋅+⋯+⋅+⋅+=⋅====+=+=+==+=-----+-+由。
2.5等比数列前n项和公式课时1
2.5等比数列前n 项公式（课时1）课时作业A一、选择题1. 已知一等比数列的各项都是正数，第6项与第5项的差是729，第二项与第一项之差是9，这个数列的前6项的和是（ ）A ．1636B ．1637C ．1638D ．1639 2．等比数列{}n a 中，若842a a =，44S =，则8S 的值等于（ ）A ．12 B. 16 C ．24 D ．32 3. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且32S =，634S S -=,则93S S -=（ ）A ．1 B. 2 C ．4 D ．84. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63S3S =，则96S S =（ ） A ．12 B ．73 C ．83D ．1 5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为54，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为（ ）A ．66B ．64C ．2663D ．2603二、填空题6. 等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，若1053132S S =，则公比q 等于 7. 在等比数列{}n a 中，公比2q =，前99项的和9956S =，则36999a a a a +++⋅⋅⋅+=8. 已知数列{}n a 是等比数列，且10m S =,230m S =，则3m S =三、解答题9. 等比数列{}n a 的首项为1，项数为偶数，奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数。
10. 已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且1a ，3a ，9a 成等比数列。
（1）求数列{}n a 的通项公式。
（2）求数列{}2na 的前n 项和为nS.课时作业B一、选择题1. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242S S =，则公比为（ ） A.1 B.1或－1 C.21或21- D.2或－2 2 已知公比为q ()1≠q 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为（ ） A.n nS q B.n n q S C.11-n n q S D.121-n n qa S 3．已知{}n a 是等比数列，24a =，532a =，则12231n n a a a a a a ++++= ( ）A ．8(21)n- B ．8(41)3n -C ．16(21)3n -D ．2(41)3n-4. 等比数列{}n a 的项数为偶数，奇数项之和等于偶数项之和的12，则此数列的公比q =（ ） A .2 B.4 C.6 D.8 5.已知等比数列{}n a 中，有公比2=q ,并且30303212=⋅⋅⋅⋅⋅a a a a ，那么30963a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅为（ ） A.92 B.102 C.112 C.202二、填空题6. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，634S S =,则4a =7. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则公比q 的值为8．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =三、解答题9. 在等差数列{}n a 中，首项13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，首项11b =， 且22b S +12=,{}n b 的公比22S q b =。
等比数列的前n项和的公式
等比数列的前n项和的公式等比数列是指一个数列中任意两项的比相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an。
求等比数列的前n项和，可以使用以下两种方法。
方法一：求和公式Sn=a*(1-r^n)/(1-r)其中，Sn表示前n项和，a表示首项，r表示公比。
证明：首先，排除r=1的特殊情况，当公比为1时，等比数列就变成公差为0的等差数列，求和公式为Sn=n*a。
当r不等于1时，我们可以通过以下方法推导求和公式：1. 首先，将等比数列的前n项表示为：a，ar，ar^2，...，ar^(n-1)。
2. 求和公式为Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1)。
3. 将公式的各项乘以公比r得到：ar，ar^2，ar^3，...，ar^n。
4. 两个公式相减得到：Sn - rSn = a - ar^n。
5.整理得到：Sn*(1-r)=a*(1-r^n)。
6.由此，得到求和公式：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)。
这就是等比数列的前n项和公式。
方法二：逐项相加除了使用求和公式，我们还可以通过逐项相加求等比数列的前n项和。
逐项相加的过程如下：S1=aS2 = a + ar = a(1+r)S3 = a + ar + ar^2 = a(1+r+r^2)...Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1) = a(1+r+r^2+...+r^(n-1))综上所述，等比数列的前n项和公式为：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)(r不等于1)Sn=n*a(r等于1)以上是两种方法求解等比数列前n项和的公式，可以根据具体情况选择适用的方法进行计算。
2.5等比数列前n项和公式的推导及性质
[题后感悟] 等比数列前 n 项和的常用性质 项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为 q. (1)若共有 2n 项，则 S 偶∶S 奇＝q； (2)若共有 2n＋1 项， 则 S 奇－S 偶＝a1＋1＋a2qn＋2(q≠1 且 q≠－1)． ,
方程组求解．
[解题过程] 设此等比数列共 2n 项，公比为 q. 由于 S 奇≠S 偶，∴q≠1. 由于奇数项依次组成以 a1 为首项，以 q2 为公比的等比 数列， 故所有奇数项之和为 S 奇＝a111－－qq22n＝85① 同理可得所有偶数项之和为 S 偶＝a211－－qq22n＝170②
错位相减法
Sn a1 a2 a3 an1 an
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 ① qSn a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn ②
①—② ，得
(1 q)Sn a1 0 0 a1qn
答案： 13(4n－1)
解析： 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝2n－ 1.易知等比数列{an}的公比 q＝2，首项 a1＝1，
∴an＝2n－1，于是 an2＝4n－1， ∴a12＋a22＋…＋an2＝1＋4＋42＋…＋4n－1＝13(4n－1)
• 5．设数列{an}是等比数列，其前n项和为 Sn，且S3＝3a3，求公比q的值．
= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )
Sn
=
a1 ( 1 – q 1–q
n)
(q 1)
证法三：
(一) 用等比定理推导
2.5等比数列的前N项和公式( 公开课3.23)
三、例题讲解
等比数列的前n项和公式的基本运算
例：在等比数列an 中， （1）若a1 1, a 5 16, 且q 0, 求s7 . （2）若sn 189, q 2, an 96, 求a1和n.
qSn
⑴－⑵，得
a1q a1q a1q
2
n 2
a1q
n1
a1q .
n
⑵
1 q Sn a1 a1qn ,
若q 1时，Sn na1，若q 1时，Sn
a1 1 q n 1 q
这种求和方法称为错位相减法
等比数列的前n项和表述为：
2.5等比数列的前n项和
第一课时
授课教师：曾进
分析：由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数
的2倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是：
1,2,2 ,2 ,,2 ,
于是发明者要求的麦粒总数就是
2
3
63
1 2 2 2 2 2 .
2 3 62 63
那么，我们怎样求这个值呢？
（1）当q 1时，Sn =na1 ,
n a1 an q a （ 1 q ） 1 （2）当q 1时，Sn = 或Sn = . 1 q 1 q
已知a1, q, n时
已知a1, q, an时
故事中的麦粒总数为多少？
1（ 1 264） 64 S64 = =2 —1 1 2
约7000亿吨
五、课堂小结
一、等差数列的前n项和公式：
（1）当q 1时，Sn =na1 , a1 an q a （ 1 1 q ） （2）当q 1时，Sn = 或Sn = . 1 q 1 q
内蒙古赤峰二中高一数学新人教B版必修5教案2.5《等比数列的前n项和》(1)
2.5等比数列的前n 项和（1）教学目标1．掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路．2．会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列前n 项和的一些简单问题. 教学重点 1. 等比数列的前n 项和公式； 2. 等比数列的前n 项和公式推导. 教学难点 灵活应用公式解决有关问题.教学方法 启发引导式教学法教学过程 (I)复习回顾 (1) 定义： (2) 等比数列通项公式： (3) 等差数列前n 项和的推导思想： (4) 在等比数列{}na 中，公比为q ，则1kk a q a+-=II ）探索与研究：你能计算出国际象棋盘中的麦粒数吗？一．等比数列求和公式 1．公式推导 已知等比数列{}na ，公比为q ，求前n 项和n na a a S+++=Λ21。
分析：先用q n a ,,1表示各项，每项的结构有何特点和联系？如何化简与求和？2．公式与公式说明1(1)(1)1n n a q S q q -=≠-（1）公式推导方法：错位相减法 特点：在等式两端同时乘以公比q 后两式相减。
（2）1=q 时，)1(1==q na S n（3）另一种表示形式q q a a S n n --=11总结：⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=)1()1(1)1(11q na q qq a S n n 或 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=)1()1(111q na q qqa a S n n注意：每一种形式都要区别公比1≠q 和1=q 两种情况。
二．例题讲解例1．课本63页例1例2．某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10％，那么从第1年起，约几年内可使总销量达到30000台（保留到个位）？例3．求等比数列Λ,83,43,23从第7项到第15项的和。
例4．已知等比数列{}na 中，661=+n a a ，12812=-n a a ，126=n S ，求公比q 与项数n 。
例5 在等比数列{}n a 中，n S 表示前n 项和，若3221a S =+，4321a S =+，求公比q 。
等比数列前n项和案例
案例课题：2.5等比数列的前n项和（第1课时）教材：数学必修5（人教A版）授课教师：一、教学内容与学情分析本节课的内容是：数学必修五第二章第五节等比数列前n项和第一节，等比数列前n项和公式推导.与等差数列的前n项和公式一样，等比数列的前n项和公式也是数列求和的化简式，用这个公式可以方便地求出任意等比数列的前n项的和，教材中，等比数列前n项和的推导方法时“错位相减法”，这也是一种算法，其设计的思路是“消除差别”，从而达到化简的目的。
也可以让学生探究其它的求和算法，学生已掌握了等比数列的定义及通项公式；并有探究等差数列前n 项和的经验；学生个性活泼，思维活跃，积极性高，已具有对数学问题探究的能力；高中学生智力、非智力因素有很大差别,存在明显的个性差异；还没有建立起运用方程思想、由一般到特殊等数学思想解决问题的思维结构.本节课从学生已有知识出发，创设了有助于激发学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在生动活泼地、主动地、富有个性地学习中获得广泛的数学活动经验.二、教学目标根据《课标》要求和教学内容的结构特征，依据学生的认知能力和数学思维特征，本着素质教育为主的宗旨，特设定目标如下：知识与技能目标：识记等比数列前n项和公式；理解并掌握公式的推导方法、会运用错位相减发解决类似数列求和问题.过程与方法目标：在形成公式的过程中，培养学生观察、分析、从特殊到一般的能力，初步感受数学的错位美，知识间的迁移转换能力，自主发现问题、解决问题的发展能力.情感、态度、价值观目标：本节课的宗旨是学生主体参与.让学生通过观察、联想、猜测、探求、归纳等合情推理，鼓励学生多角度思维、勇于探索。
优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。
三、教学重点、难点、关键点本节课的重点是公式的推导、推导方法的迁移运用、公式的简单运用.难点是公式的推导、推导方法的迁移运用.关键点是要通过创设情景引导学生主动探索前n 项和公式的推导，使教学过程体现流畅、自然.让学生在不知不觉中依个性思维进行了“合情推理”的思维训练.四 、课堂过程实施（1）新课背景知识复习1）请同学们说出等比数列的基本量？通项公式？及 q=1时，数列的性质？设计意图：基本量是研究等差、等比数列有关问题的最基本的方法；q 和1的关系是研究等比数列相关问题讨论的一个关键点.也为这节课公式推导方向及注意点作一个必要的铺垫.2）等差数列的前n 项和公式及推导方法？倒序相加法还可迁移运用到哪种数列求和上？设计意图：不只公式是我们应掌握的，还应注重它生成的过程，方法、迁移转换以及学生在这个过程当中所获得的个人体验.3）因式分解:1－q 2＝（1－q ）(1＋q )1－q 3＝（1－q ）(1＋q ＋q 2)1－q 4＝（1－q ）(1＋q ＋q 2＋q 3)1－q 5＝（1－q ）(1＋q ＋q 2＋q 3＋q 4)……1－q n ＝（1－q ）(1＋q ＋q 2＋q 3＋q 4＋…＋q n -1)设计意图：体现由特殊到一般的不完全归纳思想，为求和公式推导奠定理论基础和知识基础.并且可以让学生在推导中很快获得成功感，有信心继续探索.课堂活动： 三个问题要求同桌互相检查、补充，体现学习的合作精神与多边交流.（2）设计问题，创设情景，引出课题介绍饶有趣味的古印度国王奖励国际象棋发明的典故，然后提出问题：“国王能做到吗？”（“能”，“不能”，同学们争起来了.），“能，还是不能呢？打个比方，你就知道了：用（1+2+22+…+263）粒小麦能从地球到太阳铺设一条10米宽，18米厚的大道.”（学生会露出惊异的表情，急于想知道究竟有多大，有的都忙着算起来了.）“别急呀，如果我又讲了几个故事，要计算a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 20；或（21）2＋（21）3＋（21）4＋…＋（21）14；……呢？” 学生思维活动：通过类比思想，学生抽象出研究问题：等比数列a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , …,a n ，公比是q （q ≠0），试用基本量a 1 ，q 表示s n (其中s n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n ）设计意图：学生不仅能很快地领悟到本课的教学目标，而且适时的锻炼了学生从具体事例中抽象出一般的数学问题的能力，急于想找到答案又会让学生带着浓厚的兴趣积极主动的学习新内容.（3）推导等比数列前n 项和公式课堂活动：让同学们先思考，讨论刚才的问题。
2.5等比数列的前n项和公式(1)
n 1
n
分析：
1、求和公式
a1 (1 q ) 当q≠1时， Sn 1 q
n
a1 an q Sn 1 q
当q=1时，
Sn na1
强调： ①注意分类讨论的思想 等比数列求和时必须弄清q=1还是q≠1. ②运用方程的思想，五个量“知三求二”.
2、公式的推导方法
错位相减法
①
二、探究新知：
2．探究麦粒总数的求法
思考3：如果①式两边同乘以2得：
2S64=2+22+23+· · · +263+264 S64=1+2+22+···+263 ② ①
比较①、②两式，有什么关系？
错位了!
二、探究新知：
S64=1+2+22+23+· · · +263
2S64= 2+22+23+· · · +263+264
a1 (1 q n ) 公式１： Sn 1 q na1
公式２：
(q 1)
想根 ，据 解求 决和 “公 知式 三， 求 二运 ”用 问方 题程 思
(q 1)
n1
a1 qan 1 q Sn na 1
an a1q
(q 1) (q 1)
结合上面的例子，说说你的想法
sn a1 a1q a1q a1q
2
n1
qsn
对的？
a1q a1q a1q
2
n1
a1q
n
n a a q 1 1 n 思考4：由 (1 - q)sn = a1 - a1q 得 sn = 对不 1-q
人教版高中数学必修五《数列》2.5等比数列的前n项和(1)
第一课时
2012年3月28日星期三
“一个穷人到富人那里去借钱， 原以为富人不愿意，哪知富人一口 答应了下来，但提出了如下条件： 在30天中，富人第一天借给穷人1 万元，第二天借给穷人2万元，以 后每天所借的钱数都比前一天多1 万元；但借钱第一天，穷人还1分 钱，第二天还2分钱，以后每天所 还的钱数都是前一天的两倍，30 天后互不相欠。穷人听后觉得挺划 算，本想定下来，但又想到此富人 是吝啬出了名的，怕上当受骗，所 以很为难。”你能帮助这个穷人出 个主意么？
2012年3月28日星期三
思考1： 1、如果穷人答应了富人的条件，请问这30天他从富 人那里一共借到多少钱？
2、那么这30 30天他要还富人多少钱呢？ 30
这个和怎么来求呢？
2012年3月28日星期三
思考2
1、这两个式子中的项存在着什么样的对应关系么？
2012年3月28日星期三
请大家观察下表回答上问：
错位相减法
知三求二 公式应用
课本习题 2.5 A组 1、2、3
2012年3月28日星期三
再见! 再见!
情境 一 情境 二 … 1 2 2 4 4 8 8 … … … 512 1024 512
（1）第二个式子中的每一项都是第一个式子中相应 项的2倍，这就相当于把第一个式的每项都乘上它们的公 比2； （2）第一个式子中的第二项到第十项与第二个式子 中第一项到九项对应相等。
2012年3月28日星期三
由第二个式子减去第一个式子可得：
2012年3月28日星期三
2012年3月28日星期三
例2、“远望巍巍塔七层，红光点点 倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏 灯？”这首中国古诗的答案是多少？
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解：2) q 1 2,a3 52a1 (1) a = n = , n 2a= ±q1) 2 说明：.∴ q = 1 n 1 即 意q(1 q 1 的取值， 1 在利用公时式一定要注 应把它作为第一素考虑 当代入公式 an = a1q , sn .=2，2， ， q = 1时，数列为常数列 21 - q 得： ， 2 S = na 1 , n n, n a 所以.在五个变量 =12q,2 4na, Sn中，知三可求 4 1 a5 na1q (1-q ) , 82[1-( -1) n ] 二，并要根据具体题目 选择适当的公式 .n a1
七.新课导学，作业布置
(1).探究等比数列前n项和的性质 (2).用等比数列解决实际问题 (3).会用分组求和法的方法求等比数列的 前n项和 (4).预习课本 p56-58 (5).习题2.5 A组 第1、2题
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分析：由等比数列的通项公式可知，任一项 皆可用首项及公比来表示，因此上式可变为： Sn =a1+a1q+a1q2 + … +a1qn—1 ①
如果将等式①两边同乘q，则得到一个新的等式
qSn=
a1q+a1q2+a1q3 + …+a1qn—1 +a1qn
n
②
Sn-qSn=a1-a1qn ①-②得:
a1 - a1q a1 1 q n ⑴当q≠1时 Sn= 1 q 1 q
⑵当q=1时
(1-q)Sn=a1-a1qn
Sn=na1
三、总结升华，得出结论
等比数列的前n项和公式 a1 (1 q n ) (q 1) an= a1qn-1 Sn 1 q na (q 1) 1
a1 a1q a1 - a1q 或当q≠1时 S n 1 q 1 q 2 4 8 2 2 .
两边同乘公比２，得 2S 将上面两式列在一起，进行比较
2 4 8 16 2 2 .
63 64
① S64 1 2 4 8 2 , 63 64 2S64 2 4 8 2 2 .②
n n 1
q
即S n =
注：1.以上推导公式的方法我们称之为“错位相减 法”. 2.当公比q不确定时应分q=1和q≠1两种情况讨论.
1- q
(q ≠ 1)
四、知识训练，深化目标 1 1 1 例1.求等比数列 , , , 的前8项和.
2 4 8
1 1 解:(1)因为 a1 = , q = 2 2
2 2 2 2 2 63 1
分析：由于 每个格子里 的麦粒数都 是前一个格 子里的麦粒 数的2倍,且 共有64个格 子，各个格 子里的麦粒 数依次是: 2
2
3
4
这一格的 麦粒可以 堆成好几 座山!!!
1,2,2 ,2 ,,2 ,
3
63
2
63
二、启发引导，探索发现
于是发明者要求的麦粒总数就是 去求以1为首项,2为公比的等比数列的 前64项的和. 即求：
当q -1时，S2 1-q 1 n2 1 1 2
5
s5
1 2
1 - (-1) 31 2 1 2 2
1-( -1)
5
五、课堂演练 ，巩固提高
a(1 a ) B.0 A. C.n D.以上都不对 1 a 2.等比数列 an 中a1= 3, q = 2, n = 6, 求S n .
所以当n=8时有等比数列的前n项
1 8 1 1 2 2 255 S 和知： n 1 256 1 2
(1)a1 a3 2, 求sn 1 (2)q 2, n 5, a1 .求an和sn 2 1
例2.在数列{an } 中求满足下列条件的量
n
1.数列a，a2，a3，…，an的前n项和为（ D）
答 ： n = 189 案 S
六.归纳
(1).内容总结：
总结
①等比数列的前n项和公式及其推导. a1 ②在已知、an、n、q、sn 五个中的三 个会能灵活运用公式求其他俩个. (2).方法总结：
错位相减法
(3).体现的数学思想：
分类讨论的思想.（q = 1或q ≠ 1） 方程的思想.（知三求二）
63
② － ①，得： S
64
2 1
64
说明： 1 超过了1.84 10 ,假定千粒麦 2 子的质量为40g,那么麦粒的总质量超过了 7000亿吨，目前世界小麦年度总产量约为 6亿吨，所以国王不能满足发明者的要求.
64
19
思考:已知等比数列{an}其公比为q,怎 样求其前n项和 Sn=a1+a2+…+an ?
一、创设情境 ，引出问题
国际象棋起源于古代印度.相传国王 要奖赏象棋的发明者，于是就问象棋的发 明者有什么要求，发明者说:“请在象棋的 第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子放2 颗麦粒，第三个格子放4颗麦粒，以此类 推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子 的两倍，请给我足够的粮食来实现上述要 求”.国王不假思索就欣然答应了他的要 求。我们思考一下看国王能不能满足他的 要求呢？
2.5等比数列的前n项和（一）
一、教学目标 (1)掌握等比数列的前n项和公式及其推 导方法，理解错位相消法； (2)在已知 a1、an、n、q、sn 五个中的三个 会能灵活运用公式求其他俩个； 二、教学重点难点 重点:等比数列前n项和公式推导及应用； 难点:用等比数列的前n项和公式解决一些 实际问题.