八年级数学上册 第3讲 分式的运算(2)培优(无答案)(新版)湘教版.doc
湘教版八年级上册分式的乘法与除法课件(2课时38张)
解：原式
3
3
= 2 ∙ 3
4
=
新知探究
2 2 3 4
(2)( ) ∙ ( ) ÷ ( )
−
2
解：原式 =
−
6 4
∙
∙
2 3 4
2 ∙ 6 ∙ 4
= 2 3 4
∙ ∙
= 3
新知探究
混合运算顺序：先算乘方,再算乘除.
新知探究
例3：计算
v m
•
ab n
分式乘法
v
ab
.
;
新课导入
[问题2]:大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地 b公顷，大拖拉机的工作
效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?
大拖拉机的工作效率是
小拖拉机的工作效率是
a
m
公顷/天；
b
公顷/天；
n
大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作；
a b
效率的(
)倍.
m n
分式除法
新知探究
4ab
2a
1+ 1−
1
+2
=
∙
∙
2
+2
−1 −1
3 −
2
2
=
∙ 8 ∙
4
+ −
+1
=−
.
+2 −1
122
=
.
+
八年级数学湘教版·上册
第1章
分式
1.2.2分式的乘方
授课人：X
学习目标
1.分式乘方的法则和运算；(重点)
2.分式乘方法则的推导过程的理解及利用分式乘方法则进行运算．(难点)
新湘教版八年级上册初中数学 课时2 分式的基本性质 教学课件
新课讲解
知识点4 分式的通分
确定最简公分母的一般方法： （1）若各分母是单项式，最简公分母是各分母系数的最小公倍数、相同字母的 最高次幂和所有不同字母及其指数的乘积； （2）若各分母中有多项式，一般要先分解因式，再按照分母都是单项式求 最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母.
）C
A. 1 2 x 1 x 1 x2 -1
C.
1 x 1
x 1 (x 1)2
D. 1 -1 x 1 x -1
解析：A选项中分式的分子、分母同时加上1，不符合分式的基本性质，变形不一定成立；B选
项中分式的分子和分母是同时乘以(x-1)，但是不能保证 x-1≠0，变形不一定成立；C选项中
（2）（3）中分子、分母都是多项式，应先将分子、分母分别分解因式，再约分.
第三十页，共三十六页。
当堂小练
约分：
（1） 6a2b3c
- 8abc2
（2） mx 2 - my 2
nx + ny
（3）
4- a2 a2b - 4ab+4b
解析：（1）6a 2b3c
- 8abc2
- 2abc 3ab2 2abc 4c
分式的分子、分母同时乘以(x+1)，x+1≠0，符合分式的基本性质，变形一定成立；D选项
中不满足分式的符号法则，变形不一定成立.
第二十九页，共三十六页。
当堂小练
约分：
（1） 6a2b3c - 8abc2
（2） mx 2 - my 2 nx + ny
（3）
4- a2 a2b - 4ab+4b
解析：（1）中分子、分母都是单项式，可直接约分（注意：分母中含有负号， 可以将负号提到分式的前面）；
湘教版八年级初二数学上册 1.2 分式的乘法和除法 (2)
再2与019/被9/17除数相乘.
4
合作学习
类似地得到分式乘除法则：
f u fu g v gv
f u f v fv g v g u gu
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分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分别作为 积的分子、分母，然后约去分子与分母的公因式．
u≠0
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后， 与被 除式相乘．
除法转化为乘法
2019/9/17
5
1、计算
2x2 y2
(1)
;
(2) 3x2 2x x1 x1
解
2x2 y 2 5y x3
8x2 x2+2x+1
÷
6x x+1
=
(x+1) ∙4x2 2x ∙ (x2-1)
= 感谢您下载包图网平台上提供的PPT作品，为了您和包图网以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！包图网将对作品进
行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！
8x2 (x+1)2
有意义的x的值（ D） 行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！
x 4
4x2 3a 2
A．x≠3且x≠-2 C．x≠3且x≠-3
B．x≠3且x≠4 D．x≠-2且x≠3且x≠4
3、计算：-3x2 y2÷
2y2 3x
=
-
9 2
x3
.
2019/9/17
9
2.计算：
湘教版八年级数学课件-分式
=
(
2(xx2--11))；
(4)
y2 2xy
=
(
y 2x
)；
( 5 ) (x+21x)+(x2-1)= (
2 x-1
)； ( 6 ) xx(2x--yy2)= (
x x+y
).
2. 約分：
(1)
18a 2b 3 12a 3b 2
；
3b 2a
(2)
8 x( 6 y(
x y
-
y) x)
；
-4x 3y
解
x2 -2xy+ x2 - y2
y2
=(
x
(x- y)2 + y)(x-
y)
=
x- y x+ y
.
當x=5， y=3時，
x- y x+ y
=
5- 3 5+3
=
2 8
=
14.
練習
1. 填空：
(1)
1- x 6- x2
=
(
x -1 x2-6
)；
(2)
x y
=
(
2x2 y 2xy2
)；
(3)
2 x +1
例如：
a x
，
S x
，xa
+ +
b y
，…
都是分式.
例1
當x取什麼值時，分式
x-2 2x-3
的值
（1）不存在； （2）等於0？
解
（1）當2x-3=0，即
x=
3 2
時，
分子的值
3 2
-2≠0
，
因此當
x
湘教版八年级上册分式的概念课件
1.当x____________时，分式 的值为正？
2.当 ____或_________ 时，分式 的值为正？
3.把下列各式写成分式，并 试着赋予它们实际意义：
1、1÷a 2、(v1t1+v2t2)÷(t1+t2)
２.是非判断
(1)式子
x－5 3
中因含有分母,所以是分叫分式.
( ×)
3.把下列各有理式分别填入相应的圈内
1 x²
,
1 5
(x＋y)
,
3 -x
,0 ,
a 3
,
ab 2
＋
1 c
,
x 2
＋y
1 5
(x＋y)
,
0
,
a 3
,
x 2
＋y
整式
1 x²
,
3 -x
,
ab 2
＋
1 c
分式
练习2 x为何值时，下列分式值为零？
1.有理式是分式还是整式的关键是观察分 母是否含有字母.如果分母不含字母,就是 整式;如果分母含有字母,就是分式,与分子 是否含字母无关.
２.在分式中,分母不能为零.如果分母为零, 则分式没有意义. 3.如果分子为零且分母不为零,则分式的值 为零.
a １.把式子a÷(b＋c)写成分式是_b_＋___c_
(2)分母2x＋3 ≠0,即x ≠－
所以,当x
≠－
3 2
时,分式
2x2.3x－＋23有意义.
练习
你知道吗?当x取什么值时，
下列分式有意义？
(1)
8
湘教版八年级数学上册精品教学课件 分式的乘除法1
然后约分，化成最简分式.
“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减 去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分， “丰 收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）米的正方形，两 块试验田的小麦都收获了500千克。
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
解（1） ∵ 0＜（a－1）2＜ a 2－1
湘教版SHUXUE八年级上
本节内容
1.2
复习与回顾
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（除以）一个 非零多项式，所得分式与原分式相等；
用字母表示为： A A C
B BC
A A C （C≠0）
B BC
把一个分式的分子和分母的公因式约去,不改变分式
的值，这种变形叫做分式的约分。
约分: （1）162aa2bbc
【分数的乘除法法则 】
bd ac
bc ad
bc ad
两个分数相乘, 把分子相乘的积作为积的分子, 分母相乘的积作为积的分母.
两个分数相除, 把除数的分子分母颠倒位置后, 再与被除数相乘.
合作学习
类似地得到分式乘除法则：
f u fu g v gv
f u f v fv g v g u gu
x 2b
6b x2
3b x
3 x
(2).
4x a 2 3a 2x 3
4x2 3a 2
2、 使代数式 x 3 x 2 有意义的x的值（ D）
x3 x4
A．x≠3且x≠-2 C．x≠3且x≠-3
B．x≠3且x≠4 D．x≠-2且x≠3且x≠4
3、计算：-3x2 y2÷
2y2 3x
=
-
9 2
(完整版)八年级数学培优10、分式的运算
10、分式的运算【知识精读】1. 分式的乘除法法则a b c d acbd⋅=；a b c d a b d c ad bc÷=⋅=当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。
2. 分式的加减法<1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。
求最简公分母是通分的关键，它的法则是： ①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母<或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； ③相同字母<或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。
<2）同分母的分式加减法法则 a cb ca bc±=± <3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
3. 分式乘方的法则()a b a bn nn =<n 为正整数）4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。
学习时应注意以下几个问题：2FJB7A8hf7<1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；<2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；<3）运算中及时约分、化简；<4）注意运算律的正确使用；<5）结果应为最简分式或整式。
下面我们一起来学习分式的四则运算【分类解读】例1：计算x xx x x x x x2 2222662----÷+-+-的结果是< ）A. xx --13B. xx+-19C. xx2219--D. xx2213++分析：原式=-+-+÷+-+-()() ()()()() ()()x x x x x x x x21 3232 21=-+-+⋅+-+-=+-+-=--()()()()()()()() ()()()()x xx xx xx xx xx xxx21322132 11331922故选C说明：先将分子、分母分解因式，再约分。
新湘教版八年级上册初中数学 课时2 分式方程的解法 教学课件
第十二页，共二十二页。
新课讲解
知识点1 解分式方程的一般步骤
（1）分式方程的增根：将分式方程转化为整式方程，若整式方程的解使分式方 程的最简公分母为0，则这个解叫做原分式方程的增根； （2）产生增根的原因：分式方程本身就隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式
方程的时候，未知数的取值范围扩大了，因此就有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化 后的整式方程，但增根不适合原分式方程，会使原分式方程的分母为0.
方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未 知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.
第十九页，共二十二页。
当堂小练
若关于x的分式方程
无解，求m 的值．
解：方程两边都乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)， 即(m－1)x＝－10. ①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1； ②原方程的解使最简公分母为0，则x＝2或x＝－2， 当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4； 当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10， 解得m＝6， ∴m的值是1，－4或6.
两种情况：
一是所化成的整式方 程无解；二是解得整 式方程的解使最简公 分母为0
第二十页，共二十二页。
拓展与延伸 解分式方程： x -1 x - 7 x - 3 x. - 5 x-2 x-8 x-4 x-6
解析： 观察原方程发现每一项分式的分母加1都等于它的分
子，将分子拆成分母与1的和，分别除以分母，消去分子中的
分母中不含有未知数.
你能想到解形如左边方程的方法吗？
第五页，共二十二页。
新课讲解
知识点1 分式方程
初中数学分式的概念、运算及分式方程培优(含解析)
初中数学分式的概念、运算及分式方程培优考试要求：例题精讲：模块一分式的概念【例1】x为何值时，分式29113xx-++有意义？【解析】根据题意可得：110330xx⎧+≠⎪+⎨⎪+≠⎩，解得3x≠-且4x≠-;如果问：x为何值时，分式29113xx-++值为零，答案为3x=.【答案】3x=【巩固】⑴若分式216(3)(4)xx x--+有意义，则x;⑵若分式216(3)(4)xx x--+无意义，则x;【解析】⑴若分式216(3)(4)xx x--+有意义，则3x≠且3x≠-且4x≠-;⑵若分式216(3)(4)xx x--+无意义，则3x=或3x=-或4x=-；【答案】⑴3x≠且3x≠-且4x≠-；⑵3x=或3x=-或4x=-【例2】解下列不等式：①53xx-<-；②523xx->-【解析】①由题意可知5030xx->⎧⎨-<⎩或者5030xx-<⎧⎨->⎩，解得3x<；5x>，所以原不等式的解集为3x<或5x>；②5203x x -->-，即11303xx ->-，由题意可知113030x x ->⎧⎨->⎩或者113030x x -<⎧⎨-<⎩， 解得1133x <<；无解，所以原不等式的解集为1133x <<. 【答案】3x <或5x >；1133x <<．【巩固】⑴解不等式304x x +<- ；⑵解不等式334x x +>- .【解析】 ⑴由题意可知3040x x +>⎧⎨-<⎩或者3040x x +<⎧⎨->⎩,由得34x -<<；无解集，所以原不等式的解集为34x -<<；⑵由题意可知3304x x +->-，15204xx ->-，可得：152040x x ->⎧⎨->⎩或者152040x x -<⎧⎨-<⎩得1542x <<；无解集，所以原不等式的解集为1542x <<. 【答案】34x -<<；1542x <<．模块二 分式的运算☞分式的化简求值裂项【例3】 设为正整数，求证：. 【解析】，故【答案】【巩固】化简：. 【解析】 【答案】2100100x x+n 1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+111111111(1.....)(1)233521212212n n n -+-++-=-<-++1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++111111111.........(1)(1)(2)(99)(100)11299100x x x x x x x x x x x x +++=-+-+-++++++++++211100100100x x x x =-=++【巩固】化简： 【解析】 原式 【答案】255x x+【例4】 化简：. 【解析】同理，，故.【答案】0【巩固】(第11届希望杯试题)已知，，为实数，且，，，求. 【解析】 由已知可知 ，三式相加得，，故. 【答案】16【巩固】化简：. 【解析】同理，， 故 【答案】022222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++11111(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)x x x x x x x x x x =+++++++++++++211555x x x x =-=++222()()()()()()a bc b ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++22()()()()a bc a ac ac bc a ca b a c a b a c a b a c-+--==-++++++2()()b ac b a b c b a b c b a -=-++++2()()c ab c bc a c b c a c b-=-++++2220()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++=++++++a b c 13ab a b =+14bc b c =+15ca c a =+abc ab bc ca++113114115a b b cc a ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩1116a b c ++=1111116abc ab bc ca ab bc ca abc a b c===++++++222222a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++--+--+--+221111()()a b c a b a c a ab ac bc a b a c a b a c a b c a---+-==+=---+------2211b c a b ab bc ac b c a b --=---+--2211c a b c ac bc ab c a b c --=---+--2222220a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++=--+--+--+☞分式的恒等变形部分分式【例5】 下面的等式成立：22465()()x y x y x y A x y B -+--=--++，求A 、B . 【解析】2222465()()()()x y x y x y A x y B x y B A x A B y AB -+--=--++=-+--+-， 故有4B A -=，6A B +=，所以1A =，5B =.【答案】1A =5B =【巩固】若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积(其中二次项系数均为1，且一次项系数相同)，则p 的最大值是 . 【解析】设原式可分解为22()()x ax m x ax n ++++，展开可得：224322()()2()()x ax m x ax n x ax a m n x a m n x mn ++++=+++++++. 比较等号两边的系数可得：32a m n mn p =⎧⎪+=⎨⎪=⎩，，故22(2)21(1)1p m m m m m =-=-=--≤，最大值为1.【答案】1【例8】 若213111a M Na a a -=+--+，求M 、N 的值. 【解析】 2213()()1111a M N M N a M N a a a a -++-=+=--+-，所以31M N M N +=-⎧⎨-=⎩，所以12M N =-⎧⎨=-⎩ 【答案】1,2M N =-=-【巩固】(06年宁波市重点中学提前考试招生试题)已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a ，b .【解析】 22()2()42244a b a b x a b x x x x x +--+==+--- 所以40a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩【答案】2,2a b ==分式恒等证明【例9】 求证：()()332222222222a a a ab b a ab b a ab b a ab b a b a b ⎛⎫⎛⎫++--+-=++-+ ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭【解析】 左边()()333333333322a b a b a b a a b a a b a b a b a b a b a b -+--⎛⎫⎛⎫-+=--=⋅ ⎪⎪--++-+⎝⎭⎝⎭ ()()33332222a b a b a ab b a ab b a b a b -+=⋅=++-+=-+右边。
湖南省郴州市苏仙区八年级数学上册 第3讲 分式的运算(2)培优(无答案)(新版)湘教版
第3讲 分式的运算（2）姓名：____________一、知识点1.分式的混合运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。
遇到括号时，要先算括号里面的。
2.注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；（3）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式。
3.整数指数幂：当n 是正整数时，1nnaa-=()0n ≠，特别是()010aa =≠.4.科学记数法: 一个数可以用10na ⨯（其中110a ≤<，n 为整数）来表示. 二、典型例题1、条件求值的三种技巧:条件求值与常规的化简求值这两类问题的相同点：都是求某个式子的值．不同点：(1)前者给出的是字母满足的条件，后者给出的是字母的值，因此前者不能直接代入计算；(2)前者中待求式子通常不需要化简，而后者则侧重于化简． ► 技巧一 整体法为了把已知条件和待求的式子联系起来，我们常把a ＋b ，a －b ，ab ，a 2＋b 2等当作整体，因为根据题目的条件有时不能求出a ，b 的值，即使能求出a 或b 的值，也没必要求出，那样会“走弯路”或把问题复杂化．选择某个式子作为整体不是固定不变的，应视具体条件而定，只要它能把已知和未知“沟通”起来，就可把它当作整体．【例1】已知实数x 满足x ＋1x ＝3，则x 2＋1x2的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【例2】已知a 2＋3ab ＋b 2＝0(a≠0，b ≠0)，则b a ＋ab的值等于________．变式1：已知x ＋y ＝xy ，求1x ＋1y －(1－x)(1－y)的值．变式2：已知x 2－4x ＋1＝0，求2（x －1）x －4－x ＋6x的值．► 技巧二 倒数法ab a ＋b 的倒数是a ＋b ab ，而a ＋b ab 可拆成1a 与1b 的和，即a ＋b ab ＝1b ＋1a .这种先取倒数后拆项的方法可使某些束手无策的问题迎刃而解．【例1】若x 2－5x ＋1＝0，则x2x 4＋1的值为________．【例2】已知三个数x ，y ，z 满足xy x ＋y ＝－2，yz y ＋z ＝43，zx z ＋x ＝－43，求xyzxy ＋yz ＋zx的值．► 技巧三 转化法利用分式的基本性质和已知条件，把异分母的加减法转化为同分母的加减法． 【例1】已知a ，b 为实数，且ab ＝2，则a a ＋1＋bb ＋2的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【例2】若ab ＝1，则31＋a 2＋31＋b2＝________．变式：已知a ，b ，c 为实数，且abc ＝1，求a ab ＋a ＋1＋b bc ＋b ＋1＋cca ＋c ＋1的值．2、异分母分式的加减法的两种技巧异分母分式的加减法的常规做法：先确定各分式的最简公分母，再通分，这样即可把异分母分式的加减转化为同分母分式的加减．但是对于某些特殊的异分母分式的加减运算，可以采取约分或运用分配律等方法转化为同分母分式的加减运算或整式的运算，从而达到异曲同工的效果．► 技巧一 约分【例1】计算x 2－1x 2＋2x ＋1＋2x ＋1的结果是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【例2】计算：x 2＋9x x 2＋3x ＋x 2－9x 2＋6x ＋9＝________．变式1：计算：x 2－y 2x ＋y －4x （x －y ）＋y22x －y.变式2：先化简，再求值：(a 2－4a 2－4a ＋4－12－a )÷2a 2－2a，其中a 满足a 2＋3a ＋1＝0.► 技巧二 运用分配律含有括号的分式混合运算，通常先算括号里面的，但对有些算式运用分配律，既可以达到去括号的目的，又可以把异分母分式的加减运算转化为整式运算． 【例1】计算(a a －2－a a ＋2)÷a4－a2的结果是( )A ．－4B ．4C ．2aD ．－2a【例2】先化简，再求值：a 2－1a ·(3a a －1－aa ＋1)，其中a ＝2.变式1．先化简，再求值：(x 2－16x 2＋8x ＋16＋x x －4)÷1x 2－16，其中x ＝3.变式2：化简并求值：12a －1a －b ·(a －b 2a －a 2＋b 2)，其中a ＝10，b ＝5.三、强化练习1.计算：（1）2123121a a a a a -⎛⎫++⋅ ⎪ ⎪+-⎝⎭ （2）22441224x x x x x x x ⎛⎫-+- ⎪-÷ ⎪++ ⎪-⎝⎭2．已知()22221111x x A B C xx x x x+-=++--，其中,,A B C 是常数，求A B C ++的值.3.用科学记数法表示下列各数：（1）976500 （2）0.0035 （3）8460010-⨯4.计算：（1）()20232323--⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()()()232224223m n m n m n -----÷-⋅-四、课外作业1 .填空：（1）已知12x x-+=，则22x x -+=_______.（2）()()243.1102.410--⨯⨯=_____________.（结果用科学记数法表示）（3）若()021x -有意义，则x _______;若()111x x +-=，则x =______.2. 将下列各数写成小数： （1）64.210-⨯ （2） 43.910--⨯ 3.计算： （1）1221422-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛---x x x x x（2）181********42+-+-+-+--x x x x x （3）()()()()()()10099132121111--++--+--+-x x x x x x x 。
湘教版八年级数学上册课件《分式》小结与复习(三)
15x00=
1500 2.5x
+18
x=50
2.5x=125
8.在一项工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测
算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20
天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成。
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一
天需付工程款2万元。学若科网 该工程计划在70天内完成，在
等量关系：提速前得时间=提速后的时间
解：设提速前的速度为x千米/小时,提速后为(x+v)
千米/小时,则
s s+50
x = x+v
sv 解得：x=
50
检验：x= sv 50
时，x(x+y) ≠0,
sv 所以，x= 是方程的解。
50
sv 答：提速前列车的平均速度为 千米/小时。
50
例3、某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就 用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销， 商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是 第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．
两次一共购进这种运动服600套。
(32000+68000)×(1+20％) =200 600
答：每套售价200元。
1.水池装有两个进水管，单独开甲管需a小时注满空池,
单独开乙管需b小时注满空池，若同时打开两管，那么
注满空池的时间是（ B ）小时
A、a+1b
B、
ab a+b
C、a1
+
1 b
D、
1 ab
2.A地在河的上游，B地在河的下游，若船从A地开
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第3讲 分式的运算（2）
姓名：____________
一、知识点
1.分式的混合运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。
遇到括号时，要先算括号里面的。
2.注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；（3）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简
分式或整式。
3.整数指数幂：当n 是正整数时，1n
n
a
a
-=
()0n ≠，特别是()0
10a
a =≠.
4.科学记数法: 一个数可以用10n
a ⨯（其中110a ≤<，n 为整数）来表示. 二、典型例题
1、条件求值的三种技巧:条件求值与常规的化简求值这两类问题的相同点：都是求某个式子的值．不同点：(1)前者给出的是字母满足的条件，后者给出的是字母的值，因此前者不能直接代入计算；(2)前者中待求式子通常不需要化简，而后者则侧重于化简． ► 技巧一 整体法
为了把已知条件和待求的式子联系起来，我们常把a ＋b ，a －b ，ab ，a 2
＋b 2
等当作整体，因为根据题目的条件有时不能求出a ，b 的值，即使能求出a 或b 的值，也没必要求出，那样会“走弯路”或把问题复杂化．选择某个式子作为整体不是固定不变的，应视具体条件而定，只要它能把已知和未知“沟通”起来，就可把它当作整体．
【例1】已知实数x 满足x ＋1x ＝3，则x 2
＋1x
2的值为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
【例2】已知a 2＋3ab ＋b 2
＝0(a ≠0，b ≠0)，则b a ＋a b 的值等于________．
变式1：已知x ＋y ＝xy ，求1x ＋1
y －(1－x)(1－y)的值．
变式2：已知x 2
－4x ＋1＝0，求2（x －1）x －4－x ＋6x
的值．
► 技巧二 倒数法
ab a ＋b 的倒数是a ＋b ab ，而a ＋b ab 可拆成1a 与1b 的和，即a ＋b ab ＝1b ＋1
a .这种先取倒数后拆项的方法可使某些束手无策的问题迎刃而解．
【例1】若x 2
－5x ＋1＝0，则x
2
x 4＋1
的值为________．
【例2】已知三个数x ，y ，z 满足xy x ＋y ＝－2，yz y ＋z ＝43，zx z ＋x ＝－43，求xyz
xy ＋yz ＋zx
的值．
► 技巧三 转化法
利用分式的基本性质和已知条件，把异分母的加减法转化为同分母的加减法． 【例1】已知a ，b 为实数，且ab ＝2，则a a ＋1＋b
b ＋2
的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【例2】若ab ＝1，则31＋a 2＋3
1＋b
2＝________．
变式：已知a ，b ，c 为实数，且abc ＝1，求a ab ＋a ＋1＋b bc ＋b ＋1＋c
ca ＋c ＋1
的值．
2、异分母分式的加减法的两种技巧
异分母分式的加减法的常规做法：先确定各分式的最简公分母，再通分，这样即可把异分母分式的加减转化
为同分母分式的加减．但是对于某些特殊的异分母分式的加减运算，可以采取约分或运用分配律等方法转化为同分母分式的加减运算或整式的运算，从而达到异曲同工的效果．
► 技巧一 约分
【例1】计算x 2
－1x 2＋2x ＋1＋2
x ＋1
的结果是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【例2】计算：x 2
＋9x x 2＋3x ＋x 2
－9
x 2＋6x ＋9
＝________．
变式1：计算：x 2－y 2x ＋y －4x （x －y ）＋y
2
2x －y
.
变式2：先化简，再求值：(a 2
－4a 2－4a ＋4－12－a )÷2a 2－2a
，其中a 满足a 2
＋3a ＋1＝0.
► 技巧二 运用分配律
含有括号的分式混合运算，通常先算括号里面的，但对有些算式运用分配律，既可以达到去括号的目的，又可以把异分母分式的加减运算转化为整式运算． 【例1】计算(a a －2－a a ＋2)÷a
4－a
2的结果是( )
A ．－4
B ．4
C ．2a
D ．－2a
【例2】先化简，再求值：a 2
－1a ·(3a a －1－a
a ＋1
)，其中a ＝2.
变式1．先化简，再求值：(x 2－16x 2＋8x ＋16＋x x －4)÷1
x 2－16
，其中x ＝3.
变式2：化简并求值：12a －1a －b ·(a －b 2a －a 2＋b 2
)，其中a ＝10，b ＝5.
三、强化练习
1.计算：（1）2
123121a a a a a -⎛
⎫++⋅ ⎪ ⎪+-⎝⎭ （2）22441224x x x x x x x ⎛⎫-+- ⎪-÷ ⎪++ ⎪-⎝⎭
2．已知
()
2
2
2
2111
1x x A B C x
x x x x
+-=
+
+
--，其中,,A B C 是常数，求A B C ++的值.
3.用科学记数法表示下列各数：
（1）976500 （2）0.0035 （3）8
460010-⨯
4.计算：（1）()20
2
32323--⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（2）()()()
2
3
22242
23m n m n
m n -----÷-⋅-
四、课外作业
1 .填空：（1）已知1
2x x
-+=，则22
x x -+=_______.
（2）(
)()
2
4
3.110
2.410--⨯⨯=_____________.（结果用科学记数法表示）
（3）若()0
21x -有意义，则x _______;若()
1
11x x +-=，则x =______.
2. 将下列各数写成小数： （1）6
4.210-⨯ （2） 4
3.910--⨯ 3.计算： （1）1
221422
-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛---x x x x x
（2）1814121111842+-+-+-+--x x x x x （3）()()()()
()()100991
32121111--++--+--+-x x x x x x x Λ。
4.计算：（1）1
2
32016
12222
----+++++L （2）
12
71
6512312
22+-++-++-a a a a a a ；
5.已知02>>y x ，y x A =，2
1++=y x B ，试比较A 与B 的大小； 6.
化
简
：
()()()()()()()()()
y z x z y x z y x y x z z x y x z y ---+---+---2
22已知
a b c ++=，求
111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
7.计算：
2
2
2
2
a b c a b ab
a ab
a ac
c ac -
+
-
++++。