第七章向量处理
微积分第七章空间解析几何与向量代数
第七章 空间解析几何与向量代数 为了学习多元函数微积分的需要，本章首先建立空间直角坐标系，并引进在工程技术 上有着广泛应用的向量，介绍向量的一些运算．然后以向量为工具来讨论空间的平面与直线 方程，最后介绍空间曲面与空间曲线及二次曲面.第一节 空间直角坐标系一、 空间直角坐标系众所周知，实数x 与数轴上的点是一一对应的，二元数组(x ,y )与坐标平面上的点是一一对应的，从而可以用代数的方法讨论几何问题．类似地，通过建立空间直角坐标系，把空间中的点与一个三元有序数组(x ,y ,z )建立一一对应关系，用代数的方法研究空间问题.1.空间直角坐标系的建立过空间定点O 作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点，并且通常取相同的长度单位．这三条数轴分别称为x 轴、y 轴、z 轴．各轴正向之间的顺序通常按下述法则确定：以右手握住z 轴，让右手的四指从x 轴的正向以π/2的角度转向y 轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z 轴的正向．这个法则叫做右手法则(图7-1)．这样就组成了空间直角坐标系．O 称为坐标原点，每两条坐标轴确定的平面称为坐标平面，简称为坐标面．x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy 坐标面．类似地有yOz 坐标面、zOx 坐标面．这些坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限(图7-2)．x 、y 、z 轴的正半轴的卦限称为第Ⅰ卦限，从第Ⅰ卦限开始，从z 轴的正向向下看，按逆时针方向，先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下方的空间部分依次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限。
图7-1 图7-22.空间中点的直角坐标设M 为空间的一点，若过点M 分别作垂直于三坐标轴的平面，与三坐标轴分别相交于P ，Q ，R 三点，且这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标依次为x ，y ，z ，则点M 唯一地确定了一个有序数组(x ，y ，z )．反之，设给定一个有序数组(x ，y ，z )，且它们分别在x 轴、y 轴和z 轴上依次对应于P ，Q 和R 点，若过P ，Q 和R 点分别作平面垂直于所在坐标轴，则这三个平面确定了唯一的交点M ．这样，空间的点就与一个有序数组(x ，y ，z )之间建立了一一对应关系(图7-3)．有序数组(x ，y ，z )就称为点M 的坐标，记为M (x ，y ，z )，它们分别称为横坐标、纵坐标和竖坐标．显然，原点O的坐标为(0，0，0)，坐标轴上的点至少有两个坐标为0，坐标面上的点至少有一个坐标为0．例如，在x轴上的点，均有y＝z＝０；在xOy坐标面上的点，均有z ＝０．图7-3 图7-4二、空间两点间的距离公式设空间两点M１（x1, y1, z1)、M2 (x2, y2, z2),求它们之间的距离d=12M M．过点M 1,M2各作三个平面分别垂直于三个坐标轴，形成如图7-4所示的长方体．易知 2222121212()d M M M Q QM M QM==+∆是直角三角形222121()M P PQ QM M PQ=++∆是直角三角形222122M P P M QM''''=++()()()222212121x x y y z z=-+-+-所以d=（7-1-1 ）特别地，点M(x，y，z)与原点O(0，0，0)的距离(图7-3)d OM==例1在z轴上求与两点A(-4，1，7)和B(3，5，-2)等距离的点．解因所求的点M在z轴上，故设该点坐标为M(0，0，z)，依题意MA MB=，即=解得z＝149，所求点为M ( 0，0，149)．习题7-11．在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A (1，3，2)，B (1，2，-1)，C (-1，-2，3)，D(0，-2，0)，E (-3，0，1)．2． 求点(a ,b ,c )关于(1) 各坐标面；(2) 各坐标轴；(3) 坐标原点的对称点的坐标．3． 自点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作各坐标面和坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标．4． 求点M (4，-3，5)到各坐标轴间的距离．5． 在y Ｏz 面上，求与三个已知点A (3，1，2)，B (4，-2，2)和C (0，5，1)等距离的点．6． 试证明以三点A (4，1，9)，B (10，-1，6)，C (2，4，3)为顶点的三角形是等腰直角三角形．第二节 向量及其运算一、 向量的概念在物理学和工程技术中经常会碰到一些既有大小又有方向的量，如力、速度等，我们把这类量称为向量(或矢量)．空间中的向量常用具有一定长度且标有方向的线段(称为有向线段)来表示。
向量的概念与线性运算
第七章 向量代数与 空间解析几何
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7.1 向量的概念与线性运算
01 向 量 的 概 念
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02 向 量 的 线 性 运 算
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一 向量的概念
向量： 既有大小又有方向的量。
M2
向量表示： a或 M1M2
பைடு நூலகம்
M 1
以 M1为起点，M 2为终点的有向线段。
向量的模： 向量的大小， 记为 | a| 或 | M1|M2 。
单位向量： 模长为1的向量。
零向量： 模长为0的向量， 记为 0，其方向是任意的。
自由向量：
不考虑起点位置的向量。
相等向量： 大小相等且方向相同的向量。
a
b
负向量： 大小相等但方向相反的向量， 记为 a 。
二 向量的线性运算
1 加法 a b c
b
c
平行四边形法则
三角形法则
a c
b
特殊地：若
a‖ b，
a
则分为同向和反向
向量的加法符合下列运算规律：
（2）结合 律：
2 减法 （3） （1）交换律：
a 与a 同向，
a 与a 反向，
3 数与向量的乘法（简称：数乘运算） 设 是一个数，它与向量 的乘积 是一向量， 规定如下： 数乘运算符合下列运算规律： （1）结合律： （2）分配律：
定理 设向量 a0，则向量
必要条件是：存在唯一的实数
b平行于
，使得
a的充分
ba.
注：一般用 a0表示与非零向量 a同方向的单位向量，
第七章 第七节 立体几何的向量方法
解析： ＝ － ，－ ，－6,2)＝2(－2，－ ，－3,1)，∴a∥c. 解析：∵c＝(－4，－ ＝ － ，－ ， ∥ ＝－2× ＋ － × ＋ × ＝ ， 又a·b＝－ ×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a⊥b. ＝－ ⊥ 答案： 答案：C
2.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中， 如图所示，正方体 如图所示 － E，F分别是 1，CD的中点，M为AE ， 分别是 分别是BB 的中点， 为 的中点 上一点． 上一点． (1)求证平面 求证平面AED⊥平面 1FD1； 求证平面 ⊥平面A (2)当AM与AE有怎样的数量关系时，A1M⊥平面 当 与 有怎样的数量关系时 有怎样的＝(－2,4,0)， NC ＝(－2,4,0)， － ， － ， uuu uuur r ∴ DE ＝ NC .∴DE∥NC， ∴ ∥ ，
又 NC 在平面 ABC 内，故 DE∥平面 ABC. ∥ uuu r uuuu r (2) B1 F ＝(－2,2，－ ， EF ＝(2，－ ，－ ， ，－4)， ，－2，－ － ，－ ，－ ，－2)， uuur AF ＝(2,2,0)， ， uuuu uuu r r B1 F · EF ＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， － × ＋ ×－ ＋－ ×－ ＝ ，
为坐标原点， 、 解：以 B 为坐标原点，BC、BB1、BA 所在 的直线分别为 x、y、z 轴建立如图所示的空 、 、 间直角坐标系， 间直角坐标系，则 B(0,0,0)，C1(1,2,0)，B1 ， ， (0,2,0)． ． (1)在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，平面 ABC 的一个法向量为 在直三棱柱 － uuur uuuu r BB1 ＝(0,2,0)，又 BC1 ＝(1,2,0)，设 BC1 与平面 ABC 所成的 ， ， 角为 θ， ，
高等数学第七章 向量代数与空间解析几何
第七章向量代数与空间解析几何空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系，然后引进有广泛应用的向量代数，以它为工具，讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第一节空间直角坐标系平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.坐标法把代数与几何结合起来.代数运算的基本对象是数,几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上,引入运动的观点,使平面曲线和方程对应,从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样,要运用代数的方法去研究空间的图形——曲面和空间曲线,就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.一、空间直角坐标系空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的正向以π2角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向（图7-1），这样的三条坐标轴就组成了一空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点.图7-1三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:xOy,yOz,zOx,统称为坐标面.三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间（z＞0）中，从含有x 轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，下半空间（z＜0）中，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应地叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限（图7-2）.图7-2确定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间点与数组之间的对应关系.设M为空间的一点，过点M作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y轴、z 轴的交点依次为P、Q、R（图7-3）.这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z.这样，空间的一点M就惟一地确定了一个有序数组（x，y，z），它称为点M的直角坐标，并依次把x,y和z叫做点M的横坐标，纵坐标和竖坐标.坐标为（x,y,z）的点M通常记为M（x,y,z）.图7-3反过来，给定了一有序数组（x,y,z），我们可以在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P、Q与R分别作x轴，y轴与z 轴的垂直平面，这三个平面的交点M就是具有坐标（x,y,z）的点（图7-3）.从而对应于一有序数组（x,y,z），必有空间的一个确定的点M.这样，就建立了空间的点M和有序数组（x,y,z）之间的一一对应关系.如图7-3所示x轴，y轴和z轴上的点的坐标分别为P（x,0,0），Q（0,y,0）,R（0,0,z）；xOy面，yOz面和zOx面上的点的坐标分别为A（x,y,0），B（0，y,z）,C（x,0,z）；坐标原点O的坐标为O（0,0,0）.它们各具有一定的特征，应注意区分.二、空间两点间的距离设M1（x1,y1,z1）、M2（x2,y2,z2）为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d，我们过M1，M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以M1，M2为对角线的长方体（图7-4）.根据勾股定理，有图7-4｜M 1M 2｜2＝｜M 1N ｜2＋｜NM 2｜2＝｜M 1P ｜2＋｜M 1Q ｜2＋｜M 1R ｜2.由于｜M 1P ｜＝｜P 1P 2｜＝｜x 2－x 1｜,｜M 1Q ｜＝｜Q 1Q 2｜＝｜y 2－y 1｜,｜M 1R ｜＝｜R 1R 2｜＝｜z 2－z 1｜,所以d ＝｜M 1M 2｜＝212212212)()()(z z y y x x -+-+-，这就是两点间的距离公式.特别地，点M （x,y,z ）与坐标原点O （0,0,0）的距离为d ＝｜OM ｜＝222z y x ++。
第七章第6讲 空间向量及其运算
第6讲 空间向量及其运算[学生用书P144])1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a ＝λb ．(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．通常规定0≤〈a ，b 〉≤π．若〈a ，b 〉＝π2，则称向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b . (2)两向量的数量积两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (3)向量的数量积的性质①a ·e ＝|a |cos 〈a ，e 〉(其中e 为单位向量)； ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③|a |2＝a ·a ＝a 2； ④|a ·b |≤|a ||b |.(4)向量的数量积满足如下运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②a ·b ＝b ·a (交换律)；③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)． 3．空间向量的坐标运算(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)， a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)，λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3， a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0，a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )，cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a |·|b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23 . (2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， 则AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)． 4．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量，与AB →平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．(2)平面的法向量①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．②确定：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n·b ＝0.5．空间位置关系的向量表示1．辨明四个易误点(1)注意向量夹角与两直线夹角的区别．(2)共线向量定理中a ∥b ⇔存在唯一的实数λ∈R ，使a ＝λb 易忽视b ≠0. (3)共面向量定理中，注意有序实数对(x ，y )是唯一存在的．(4)向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立． 2．建立空间直角坐标系的原则(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直． (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上． 3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．1．已知a ＝(－2，－3，1)，b ＝(2，0，4)，c ＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是( ) A ．a ∥c ，b ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥bD ．以上都不对C [解析] 因为c ＝(－4，－6，2)＝2a ，所以a ∥c .又a ·b ＝0，故a ⊥b .2．在空间直角坐标系中，已知A (1，－2，1)，B (2，2，2)，点P 在z 轴上，且满足|P A |＝|PB |，则P 点坐标为( )A ．(3，0，0)B ．(0，3，0)C ．(0，0，3)D ．(0，0，－3)C [解析] 设P (0，0，z )，则有 （1－0）2＋（－2－0）2＋（1－z ）2＝（2－0）2＋（2－0）2＋（2－z ）2，解得z ＝3.3.教材习题改编 在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋cA [解析] 由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .4.教材习题改编 已知a ＝(2，4，x )，b ＝(2，y ，2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值为________．[解析] 因为a ＝(2，4，x )，|a |＝6，则x ＝±4， 又b ＝(2，y ，2)，a ⊥b ， 当x ＝4时，y ＝－3，x ＋y ＝1. 当x ＝－4时，y ＝1，x ＋y ＝－3. [答案] 1或－35．若平面α的一个法向量为u 1＝(－3，y ，2)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－2，z )，且α∥β，则y ＋z ＝________．[解析] 因为α∥β，所以u 1∥u 2，所以－36＝y －2＝2z ，所以y ＝1，z ＝－4，所以y ＋z ＝－3. [答案] －3空间向量的线性运算[学生用书P145][典例引领]如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点． (1)化简A 1O →－12AB →－12AD →＝________．(2)用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________．【解析】 (1)A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1O →＋OA →＝A 1A →.(2)因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)．所以OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→. 【答案】 (1)A 1A →(2)12AB →＋12AD →＋AA 1→若本例条件不变，结论改为：设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD→＋zAA 1→，试求x ，y ，z 的值．[解] EO →＝ED →＋DO → ＝－23DD 1→＋12(DA →＋DC →)＝12AB →－12AD →－23AA 1→，由条件知，x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.用基向量表示指定向量的方法(1)应结合已知和所求向量观察图形．(2)将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．如图所示，在空间几何体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)MP →＋NC 1→.[解] (1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)因为M 是AA 1的中点， 所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c . 因为N 是BC 的中点， 所以NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→ ＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ， 所以MP →＋NC 1→＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c .共线、共面向量定理的应用[学生用书P146][典例引领]已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH .【证明】 (1)连接BG (图略)， 则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由共面向量定理的推论知，E ，F ，G ，H 四点共面． (2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，所以EH ∥BD ． 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .(1)证明空间三点P 、A 、B 共线的方法 ①P A →＝λPB →(λ∈R )；②对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )； ③对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)． (2)证明空间四点P 、M 、A 、B 共面的方法 ①MP →＝xMA →＋yMB →；②对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；③对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)； ④PM →∥AB →(或P A →∥MB →或PB →∥AM →)．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM→＝13(OA →＋OB →＋OC →)． (1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． [解] (1)由题知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，所以OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， 即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， 所以MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知，MA →，MB →，MC →共面且基线过同一点M ， 所以M ，A ，B ，C 四点共面， 从而点M 在平面ABC 内．空间向量的数量积与坐标运算[学生用书P146][典例引领](1)如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，P i (i ＝1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则AB →·AP i →(i ＝1，2，…，8)的不同值的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．8(2)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23B ．33 C.23D ．63(3)已知向量a ＝(0，－1，1)，b ＝(4，1，0)，|λa ＋b |＝29，且λ>0，则λ＝________． 【解析】 (1)由题图知，AB 与上底面垂直，因此AB ⊥BP i (i ＝1，2，…，8)，AB →·AP i→＝|AB →||AP i →|cos ∠BAP i ＝|AB →|·|AB →|＝1(i ＝1，2，…，8)．故选A.(2)不妨设正方体的棱长为1，如图，建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，B (1，1，0)，B 1(1，1，1)，平面ACD 1的法向量为DB 1→＝(1，1，1)，又BB 1→＝(0，0，1)，所以cos 〈DB 1→，BB 1→〉＝DB 1→·BB 1→|DB 1→||BB 1→|＝13×1＝33， 所以BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为1－⎝⎛⎭⎫332＝63.(3)λa ＋b ＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，由已知得|λa ＋b |＝42＋（1－λ）2＋λ2＝29，且λ>0，解得λ＝3.【答案】 (1)A (2)D (3)3(1)空间向量数量积计算的两种方法 ①基向量法：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．②坐标法：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. (2)利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题 ①a ≠0，b ≠0，a ⊥b ⇔a ·b ＝0. ②|a |＝a 2. ③cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |.已知空间三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．[解] 因为A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，a ＝AB →，b ＝AC →，所以a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)．(1)cos θ＝a·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，所以a 和b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)因为k a ＋b ＝k (1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)， k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，所以(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝－52或k ＝2.利用空间向量证明平行和垂直(高频考点)[学生用书P147]空间几何中的平行与垂直问题是高考试题中的热点问题．考查形式灵活多样，可以是小题，也可以是解答题的一部分，或解答题的某个环节，是高考中的重要得分点．高考对空间向量解决此类问题有以下两个命题角度：(1)证明平行问题； (2)证明垂直问题．[典例引领](1)(2015·高考湖南卷节选)如图，已知四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A 1A ＝6，且A 1A ⊥底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱DD 1，BC 上．若P 是DD 1的中点，证明：AB 1⊥PQ .(2)如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .【证明】 (1)由题设知，AA 1，AB ，AD 两两垂直．以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A (0，0，0)，B 1(3，0，6)，D (0，6，0)，D 1(0，3，6)，Q (6，m ，0)，其中m ＝BQ ，0≤m ≤6.若P 是DD 1的中点，则P ⎝⎛⎭⎫0，92，3，PQ →＝(6，m －92，－3)． 又AB 1→＝(3，0，6)，于是AB 1→·PQ →＝18－18＝0， 所以AB 1→⊥PQ →，即AB 1⊥PQ .(2)因为平面P AD ⊥平面ABCD 且ABCD 为正方形，所以AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0).PB →＝(2，0，－2)，FE →＝(0，－1，0)，FG →＝(1，1，－1)，设PB →＝sFE →＋tFG →，即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.所以PB →＝2FE →＋2FG →， 又因为FE →与FG →不共线， 所以PB →与FE →，FG →共面．因为PB ⊄平面EFG ，所以PB ∥平面EFG .(1)利用空间向量解决平行、垂直问题的一般步骤①建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用已知图形中的垂直关系；②建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；③通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系； ④根据运算结果解释相关问题． (2)空间线面位置关系的坐标表示设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，平面α，β的法向量分别为u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)．①线线平行l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2. ②线线垂直l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. ③线面平行(l ⊄α)l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0. ④线面垂直l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ⇔a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3. ⑤面面平行α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4.⑥面面垂直α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0.[题点通关]角度一 证明平行问题 1.如图，在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．利用向量方法证明：直线MN ∥平面OCD ．[证明] 作AP ⊥CD 于点P ，连接OP ，如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则P ⎝⎛⎭⎫0，22，0，D ⎝⎛⎭⎫－22，22，0，O (0，0，2)，M (0，0，1)，N ⎝⎛⎭⎫1－24，24，0，MN →＝⎝⎛⎭⎫1－24，24，－1，OP →＝⎝⎛⎭⎫0，22，－2，OD →＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－2. 设平面OCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·OP →＝0，n ·OD →＝0，即⎩⎨⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0.取z ＝2，得n ＝(0，4，2)．因为MN →·n ＝⎝⎛⎭⎫1－24，24，－1·(0，4，2)＝0，所以MN →⊥n ，且MN ⊄平面OCD ，所以MN ∥平面OCD ．角度二 证明垂直问题2．如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC . [证明] (1)如图所示，以O 为坐标原点，以射线OD 为y 轴正半轴，射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0，0，0)，A (0，－3，0)，B (4，2，0)，C (－4，2，0)，P (0，0，4)． 于是AP →＝(0，3，4)，BC →＝(－8，0，0)， 所以AP →·BC →＝(0，3，4)·(－8，0，0)＝0， 所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC . (2)连接MB ，MC .由(1)知AP ＝5， 又AM ＝3，且点M 在线段AP 上，所以AM →＝35AP →＝⎝⎛⎭⎫0，95，125，又BA →＝(－4，－5，0)， 所以BM →＝BA →＋AM →＝⎝⎛⎭⎫－4，－165，125， 则AP →·BM →＝(0，3，4)·⎝⎛⎭⎫－4，－165，125＝0， 所以AP →⊥BM →，即AP ⊥BM ， 又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，所以AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC . 又AM ⊂平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BMC .[学生用书P360(独立成册)]1．已知a ＝(－2，1，3)，b ＝(－1，2，1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143C.145D ．2D [解析] 由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0， 所以14－7λ＝0，解得λ＝2.2．在空间直角坐标系中，已知A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直B [解析] 由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)，所以AB →＝－3CD →，所以AB →与CD →共线，又AB →与CD →没有公共点．所以AB ∥CD ．3．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627 B ．9 C.647D ．657D [解析] 由题意知存在实数x ，y 使得c ＝x a ＋y b ， 即(7，5，λ)＝x (2，－1，3)＋y (－1，4，－2)， 由此得方程组⎩⎪⎨⎪⎧7＝2x －y ，5＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y .解得x ＝337，y ＝177，所以λ＝997－347＝657.4．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．不确定B [解析] 如图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝a ·(c －b )＋b·(a －c )＋c·(b －a )＝a·c －a·b ＋b·a －b·c ＋c·b －c·a ＝0.5.如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为( )A ．(1，1，1)B ．⎝⎛⎭⎫1，1，12 C.⎝⎛⎭⎫1，1，32 D ．(1，1，2)A [解析] 设P (0，0，z )，依题意知A (2，0，0)，B (2，2，0)，则E ⎝⎛⎭⎫1，1，z2， 于是DP →＝(0，0，z )，AE →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，z 2， cos 〈DP →，AE →〉＝DP →·AE →|DP →||AE →|＝z 22|z |·z24＋2＝33. 解得z ＝±2，由题图知z ＝2，故E (1，1，1)．6．(2017·唐山统考)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC→1，N为B 1B 的中点，则|MN →|为( ) A.216a B ．66a C.156a D ．153a A [解析] 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A (a ，0，0)，C 1(0，a ，a )， N ⎝⎛⎭⎫a ，a ，a2.设M (x ，y ，z )， 因为点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，所以(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，所以x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a3. 所以M ⎝⎛⎭⎫2a 3，a 3，a 3，所以|MN →| ＝⎝⎛⎭⎫a －23a 2＋⎝⎛⎭⎫a －a 32＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 32＝216a . 7．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，点Q 在平面yOz 上，则垂足Q 的坐标为________．[解析] 由题意知点Q 即为点P 在平面yOz 内的射影， 所以垂足Q 的坐标为(0，2，3)． [答案] (0，2，3)8．在空间直角坐标系中，以点A (4，1，9)，B (10，－1，6)，C (x ，4，3)为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为__________．[解析] 由题意知AB →＝(6，－2，－3)， AC →＝(x －4，3，－6)．又AB →·AC →＝0，|AB →|＝|AC →|，可得x ＝2. [答案] 29．已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．[解析] 由题意得，(2a ＋b )·c ＝0＋10－20＝－10. 即2a ·c ＋b ·c ＝－10，又因为a ·c ＝4，所以b ·c ＝－18， 所以cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b |·|c |＝－1812×1＋4＋4＝－12，所以〈b ，c 〉＝120°，所以两直线的夹角为60°. [答案] 60°10．已知空间四边形OABC ，点M 、N 分别是OA 、BC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a 、b 、c 表示向量MN →＝________．[解析] 如图所示，MN →＝12(MB →＋MC →)＝12[(OB →－OM →)＋(OC →－OM →)]＝12(OB →＋OC →－2OM →)＝12(OB →＋OC →－OA →)＝12(b ＋c －a )． [答案] 12(b ＋c －a )11.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →； (2)EG 的长．[解] 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， (1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，EF →·BA →＝⎝⎛⎭⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a ·c ＝14. (2)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12，则|EG →|＝22.12．已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)． (1)求以AB ，AC 为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，求向量a 的坐标． [解] (1)由题意可得：AB →＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3，2)， 所以cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝714＝12.所以sin 〈AB →，AC →〉＝32，所以以AB ，AC 为边的平行四边形的面积为 S ＝2×12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝14×32＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1，所以向量a 的坐标为(1，1，1)或(－1，－1，－1)．13．有下列命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A ，B 共面； ④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4B [解析] ①正确，②中若a ，b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立．③正确．④中若M ，A ，B 共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋yMB →不正确．14．已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________．[解析] 对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，说明当x ＝x 0，y ＝y 0时，|b －(x e 1＋y e 2)|取得最小值1.|b －(x e 1＋y e 2)|2＝|b |2＋(x e 1＋y e 2)2－2b ·(x e 1＋y e 2)＝|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y ，要使|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y 取得最小值，需要把x 2＋y 2＋xy －4x －5y 看成关于x 的二次函数，即f (x )＝x 2＋(y －4)x ＋y 2－5y ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x ＝2－y2，所以当x＝2－y 2时，f (x )取得最小值，代入化简得f (x )＝34(y －2)2－7，显然当y ＝2时，f (x )min ＝－7，此时x ＝2－y2＝1，所以x 0＝1，y 0＝2.此时|b |2－7＝1，可得|b |＝2 2.[答案] 1 2 2 2 15.如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .[证明] (1)设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，C (2a ，0，0)， B (0，0，a )，D (a ，3a ，0)， E (a ，3a ，2a )． 因为F 为CD 的中点， 所以F ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0.AF →＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，BE →＝(a ，3a ，a )，BC →＝(2a ，0，－a )．因为AF →＝12(BE →＋BC →)，AF ⊄平面BCE ，所以AF ∥平面BCE .(2)因为AF →＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，CD →＝(－a ，3a ，0)，ED →＝(0，0，－2a )，所以AF →·CD →＝0，AF →·ED →＝0， 所以AF ⊥CD ，AF ⊥ED ．又CD ∩DE ＝D ，所以AF ⊥平面CDE . 又AF ∥平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE .16．如图，正三角形ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A -DC -B ．(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；(2)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出BPBC 的值；如果不存在，请说明理由．[解] (1)AB ∥平面DEF ，理由如下： 在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 的中点， 得EF ∥AB ．又因为AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ， 所以AB ∥平面DEF .(2)以点D 为坐标原点，直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则A (0，0，2)，B (2，0，0)，C (0，23，0)，E (0，3，1)，故DE →＝(0，3，1)． 假设存在点P (x ，y ，0)满足条件，则AP →＝(x ，y ，－2)， AP →·DE →＝3y －2＝0， 所以y ＝233.又BP →＝(x －2，y ，0)，PC →＝(－x ，23－y ，0)， BP →∥PC →，所以(x －2)(23－y )＝－xy ， 所以3x ＋y ＝2 3.把y ＝233代入上式得x ＝43，所以BP →＝13BC →，所以在线段BC 上存在点P 使AP ⊥DE ，此时BP BC ＝13.。
《高等数学》第7章空间向量与空间解析几何
d 2 M1M2 2
M1Q2QM 22
（△M1QM2 是直角三角形） M 1P2P2 Q Q2 M 2
z1 M1
P
（△M1PQ都是直角三角形）
x1
M 1 P 2P M 2 2Q2 M 2 x2
标式来表示向量M1M 2 与 2M1M2 .
2.已知 O A 4,1,5与O B 1,8,0,求向量AB
与 OAOB的坐标.
7.2 向量的数量积与向量积
掌握向量的数量积和向量积的定 义，能够灵活运用运算规律，并 熟训练使用判断向量平行或垂直 的条件.
7.2.1 向量的数量积
引例 设一物体在常力F 作用下沿直线从点M1移动 到点M2,以S 表示位移M1M 2,则力F 所做的功
C (2， 4， 7)， 求 AB 的 C面积.
解：
根据向量积的定义，可
知 ABC 的面积为
S ABC
1 AB 2
AC sin A 1 AB AC . 2
由于 AB 2，2，2，AC 1，2，4，所以
i jk
AB AC 2 2 2 4 i 6 j 2 k
124
于是 S ABC
Oxyz ,点O 叫做坐标原点(或原点).
八封限
每两个坐标轴确定的平面称为坐标
平面,简称为坐标面.x 轴与y 轴所 确定的坐标面称为xOy面,类似地, 有yOz面,zOx面.
z
Ⅲ
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
O
Ⅶx
Ⅴ
Ⅷ
Ⅵy
这些坐标面把空间分成八个部分,每一个部分称
为一个卦限.x、y、z 轴的正半轴的卦限称为第
高等代数07向量空间
本征值和本征向量
定义1 定义1 中一个数,如果存在 中非零向量ξ 设λ是F中一个数 如果存在 中非零向量ξ,使得 中一个数 如果存在V中非零向量 (1) )=λξ σ(ξ)=λξ . 那么λ就叫做σ的一个本征值, 叫做σ 那么 λ 就叫做 σ 的一个本征值 , 而 ξ 叫做 σ 的属于本 征值λ的一个本征向量. 征值λ的一个本征向量.
定义2 定义2 是数域F上一个 阶矩阵,行列式 设A=(aij)是数域 上一个 阶矩阵 行列式 是数域 上一个n阶矩阵 行列式: x-a11 (x)=det(xIfA(x)=det(xI-A)= -a21 -an1 叫做矩阵A的特征多项式. 叫做矩阵A的特征多项式. -a12 … -a1n -a2n x-ann
命题 7.3.3 设数域F上的向量空间V的一个线性变换σ关于V 的一个取定的基的矩阵是A,那么σ可逆必要且只要A可逆,并且 σ-1关于这个基的矩阵就是A-1.
不变子空间
定义 V的一个子空间W说是在线性变换σ之下不变(或稳 的一个子空间W说是在线性变换σ之下不变( ),如果 定),如果 σ (W ) W . 如果子空间W在σ之下不变,那么W就叫做σ的一个不 如果子空间W 之下不变,那么W就叫做σ 变子空间. 变子空间.
命题 7.1.1 设V和W是数域F上向量空间,而σ:V→W是一个线性 映射.那么V的任意子空间在σ之下的像是W的一个子空间,而W 的任意子空间在σ之下的原像是V的一个子空间.
命题 7.1.2 设V和W是数域F上向量空间,而σ:V→W是一个线 性映射,那么 Im(σ)=W. (Ⅰ) σ是满射 (Ⅱ) σ是单射 Ker(σ)=|0|.
推论 7.6.3 令σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换. 如果σ的特征多项式fσ(x)在F内有n个单根,那么存在V的一个 基,使σ关于这个基的矩阵是对角形式.
第七章第1节向量及其线性运算
定义1
由n个数 a1, a2,…, an 所组成的有序数组
= (a1, a2,…, an)
称为n维向量. 数 a1, a2,… an 称为向量 的分量 (坐标)，aj 称为向量 的第 j 个分量(坐标). 一般地，我们用, , 表示向量，a, b, c 或 x, y, z 表示其分量.
线性相关.
定理3. 任意 n+1 个 n 维向量都是线性相关的.
推论3. 若1, 2,… m为 n 维向量.且 m > n
则此向量组 线性相关.
定义3. 设 T 是 n 维向量所组成的向量组.
如果 T 的部分组 1, 2,…,r 满足
(i) 1, 2,…, r 线性无关; (ii) T, 可由1, 2,…, r 线性表出, 即 , 1, 2,…,r 线性相关. 则称向量组1, 2,…, r为向量组T的一个极大线性无 关向量组，也称极大无关组.
0= 1 (1 + 2 )+ 2 (2+ 3 )+ 3(3 + 1 ) = (1+ 3)1 + (1 +2)2 + (2 +3 )3.
1＋3 =0, 1+ 2 =0,
2＋3 =0.
1+2+ 3=0, 1=2= 3=0. 故 1 , 2 , 3 线性无关. 证毕.
且 1, 2,…, r, 0, …, 0 不全为零，
即1, 2, …, r , r+1 ,…,m 线性相关.
推论1. 若1, 2,…, r 线性无关. 则其部分组 (由1, 2,…, r 中某些向量组成的向量组)
也线性无关.
推论2. 若向量组中含有零向量, 则 此向量组
高一数学讲义 第七章 平面向量
高一数学讲义 第七章 平面向量7.1 向量的基本概念及表示现实生活中，有些量在有了测定单位之后只需用一个实数就可以表示，例如温度，时间，面积，这些只需用一个实数就可以表示的量叫作标量．还有些量不能只用一个实数表示，例如位移，力，速度等既有大小又有方向的量，这些既有大小又有方向的量叫作向量．向量既有大小又有方向，因此向量不能比较大小．数学中常用平面内带有箭头的线段来表示平面向量．以线段的长来表示向量的大小：以箭头所指的方向（即从始点到终点的方向）来表示向量的方向．一般地，以点P 为始点，点Q 为终点的向量记作PQ ．为书写简便，在不强调向量的起点与终点时，向量也可以用一个小写的字母并在上面画一个小箭头来表示，如a ．PQ 的大小叫作PQ 的模，记作PQ ，类似地，a 的模记作a ． 1．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0；0的方向是任意的． 2．单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．3．平行向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量（也叫共线向量）． 4．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．5．负向量：与a 的模相等，方向相反的向量叫作a 的负向量，记作a -．我们规定：0的相反向量仍是零向量．易知对任意向量a 有()a a --=．向量共线与表示它们的有向线段共线不同：向量共线时表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在一条直线上；而有向线段共线则线段必须在同一条直线上．规定。
与任一向量平行．图7-1图7-1三个向量a 、b 、c 所在的直线平行，易知这三个向量平行，记作a b c ∥∥，我们也可以称这三个向量共线．例l ．如图7-2所示，128A A A 、是O 上的八个等分点，则在以128A A A 、及圆O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少??A 8A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1图7-2解：（1）模等于半径的向量只有两类，一类是()128i OA i =、共8个；另一类是()128iAO i =、也有8个．两类合计16个． （2）以128A A A 、为顶点的O 的内接正方形有两个，一个是正方形1257A A A A ；另一个是正方形2468A A A A ．在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边（看成有向线段，每一边对应两个向量）的√2倍的向量共有42216⨯⨯＝个． 注意：（1）在模等于半径的向量个数的计算中，要计算i OA 与()128i AO i =、两类．一般地我们易想到()128i OA i =、这8个，而易遗漏()128iAO i =、这8个．（2的两个向量，例如边13A A 对应向量13A A 与31A A ，因此与（1）一样，在解题过程中主要要防止漏算．认为满足条件的向量个数为8是错误的．例2．在平面中下列各种情形中，将各向量的终点的集会分别构成什么图形? （1）把所有单位向量的起点平移到同一点O ．（2）把平行于直线l 的所有单位向量的起点平移到直线l 上的p 点． （3）把平行于直线l 的所有向量的起点平移到直线l 的点p ． 解：（1）以点O 为圆心，l 为半径的圆．（2）直线l 上与点p 的距离为1个长度单位的两个点． （3）直线l ．例3．判断下列命题的真假：①直角坐标系中坐标轴的非负轴都是向量； ②两个向量平行是两个向量相等的必要条件；③向量AP 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上； ④向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ⑤四边形ABCD 是平行四边形的宽要条件是AB DC =．解：①直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有方向之别，但无大小之分，故命题是错误的．②由于两个向量相等，必知这两个向量的方向与长度均一致，故这两个向量一定平行，所以，此命题正确； ③不正确．AB 与CD 共线，可以有AB 与CD 平行；④不正确．如果其中有一个是零向量，则其方向就不确定；⑤正确．此命题相当于平面几何中的命题：四边形ABCD是平行四边形的充要条件是有一组对边平行且相等．1．下列各量中是向量的有__________．（A）动能（B）重量（C）质量（D）长度（F）作用力与反作用力（F）温度2．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．3．回答下列问题，并说明理由．（1）平行向量的方向一定相同吗?（2）共线向量一定相等吗?（3）相等向量一定共线吗?不相等的向量一定不共线吗?4．命题“a b∥，b c∥（）∥，则a bA．总成立B．当0a ≠时成立C．当0b ≠时成立D．当0c ≠时成立5．已知正六边形ABCDEF（见图7-3），在下列表达式中：①BC CD EC+；③FE ED++；②2BC DC+；④2ED FA-；与AC相等的有__________．CF图737.2向量的加减法两个向量可以求和．一般地，对于两个互不平行的向量a、b，以A为共同起点平移向量，有AB a=，=叫作a和b这两个向量的和，即AD b=，则以AB、AD为邻边的平行四边形ABCD的对角线AC c+=．求两个向量和的运算叫做向量的加法．上述求两个向量的和的方法称为向量加法的平行四a b c边形法则，见图7-4．平行四边形法则B图74又AD BC = AB BC AC ∴+=由此发现，当第二个向量的始点与第一个向量的终点重合时．这两个向量的和向量即为第一个向量的始点指向第二个向量终点的向量．此法则称为向量加法的三角形法则，地图7-5．三角形法则图75特殊地．求两个平行向量的和，也可以用三角形法则进行（如图7-6）：（b ）（a ）a BA图76显然，对于任何a ，有0a a +=；()0a a +-=． 对于零向量与任一向量a ，有00a a a +=+=．向量的加法具有与实数加法类似的运算性质，向量加法满足交换律与结合律： 交换律：a b b a +=+结合律：()()a b c a b c ++=++与实数的减法相类似，我们把向量的减法定义为向量加法的逆运算．若向量a 与b 的和为向量c ，则向量b 叫做向量c 与a 的差，记作b c a =-．求向量差的运算叫做向量的减法．由向量加法的三角形法则以及向量减法的定义．我们可得向量减法的三角形法则，其作法：在平面内取一点O，作OA a=-，即a b-声可以表示为从向量b的终点指向向=，则BA a b=，OB b量a的终点的向量．注意差向量的“箭头”指向被减向量，见图7-7．CB图77此外，我们可以先做向量b的负向量OB b′，可根据向量加法的平行四边形法则得()=-OC a b=+-．易知向量OC BA=，因此，()+-=-．a b a b例1．如图7-8所示，已知向量a，b，c，试求作和向量a b c++．图78分析：求作三个向量的和的问题，首先求作其中任意两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后再求这个新向量与另一个向量的和．即可先作a b+，再作()++．a b c解：如图7-9所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA a=+，=，再作向量AB b=，则得向量OB a b然后作向量BC c=++即为所求．=，则向量OC a b cO图79例2．化简下列各式（1）AB CA BC ++； （2）OE OF OD DO -+--．解：（1）原式()0AB BC CA AB BC CA AC CA AC AC =++=++=+=-= （2）原式()()0OE OF OD DO EO OF EF =+-+=+-=例3．用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．分析：要证明四边形是平行四边形只要证明某一组对边平行且相等．由相等向量的意义可知，只需证明其一组对边对应的向量是相等向量．已知：如图7-10，ABCD 是四边形，对角线AC 与BD 交于0，且AO OC =，DO OB =．ODCBA图710求证：四边形ABCD 足平行四边形． 证明：由已知得AO OC =，BO OD =，AD AO OD OC BO BO OC BC =+=+=+=，且A D B C ，，，不在同一直线上，故四边形ABCD 是平行四边形．例4．已知平面上有不共线的四点O A B C ，，，．若320OA OB OC -+=，试求AB BC的值．解：因为23OA OC OB +=，所以()2OB OA OC OB -=-．于是有2AB BC =-．因此2AB BC=．基础练习1．若对n 个向量12n a a a ，，，存在n 个不全为零的实数12n k k k ，，，，使得11220n n k a k a k a +++=成立，则称向量12n a a a ，，，为“线性相关”，依此规定，能说明()110a =，，()211a =-，，()322a =，“线性相关”的实数123k k k ，，依次可以取____________________（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）．2．已知矩形ABCD 中，宽为2，长为AB a =，BC b =，AC c =，试作出向量a b c ++，并求出其模的大小．3．设a ，b 为两个相互垂直的单位向量．已知OP a =，OR ra kb =+．若PQR △为等边三角形，则k ，r 的取值为（ ）A．k r == B．k r =C．k r ==D．k r = 4．若A B C D 、、、是平面内任意四点，则下列四式中正确的是（ ）①AC BD BC AD +=+ ②AC BD DC AB -=+ ③AB AC DB DC --=④AB BC AD DC +-=A ．1B ．2C ．3D ．45．设a 表示“向东走10km ”，b 表示“5km ”，c 表示“向北走10km ”，d 表示“向南走5km ”．说明下列向量的意义．（1）a b +；（2）b d +；（3）d a d ++．6．在图7-11的正六边形ABCDEF 中，AB a =，AF b =，求AC ，AD ，AE ．FC图7117.3 实数与向量的乘法如图7-12，已知非零向量a ，可以作出a a a ++和()()()a a a -+-+-．P Q M N aaa-a图712aOC OA AB BC a a a =++=++，简记3OC a =；同理有()()()3PN PQ QM MN a a a a =++=-+-+-=-．观察得：3a 与a 方向相反相反且33a a -=．一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：a λ．a λ的模与方向规定如下：（1）a a λλ=；（2）a λ的方向定义为：0λ>时a λ与a i 方向相同；0λ<时a λ与a i 方向相反；0λ=或0a =时规定：0a λ=．以上规定的实数与向量求积的运算叫作实数与向量的乘法（简称向量的数乘）．向量数乘的几何意义就是：把向量a 沿向量a 的方向或反方向放大或缩小，a λ与a 是互相平行的向量．对于任意的非零向量a ，与它同方向的单位向量叫做向量a 的单位向量，记作0a ．易知01a a a =．向量共线定理：如果有一个实数λ，使()0b a a λ=≠，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与()0a b ≠是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b a λ=．通过作图，可以验证向量数乘满足以下运算定律：当m 、n ∈R 时，有 1．第一分配律()m n a ma na +=+． 2．第二分配律()m a b ma mb +=+． 3．结合律()()m na mn a =． 例1．计算：（1）()()63292a b a b -+-+；（2）原式12711332236227a a b b a a b ⎛⎫⎛⎫=-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()()64222a b c a b c a c -+--+--+． 解：（1）原式18121893a b a b b =---+=-． （2）原式12711332236227a a b b a a b ⎛⎫⎛⎫=-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17732367a b a b ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 77106262b a a b =+--=． （3）原式66648442a bc a b c a c =-+-+-+-()()()64468642a a a b b c c c =-++-++-- 62a b =+．例2．已知O 为原点，A ，B ，C 为平面内三点，求证A ，B ，C 三点在一条直线上的充要条件是OC OA OB αβ=+，且αβ∈R ，，1αβ+=．分析：证明三点共线可从三点构成的其中两个向量存在数乘关系．证明必要条件也是从向量共线时向量的数乘关系入手．证明：必要性．设A B C ，，三点共线，则AC 与AB 共线．于是存在实数λ，使AC AB λ=． 而AC OC OA =-，AB OB OA =-，()OC OA OB OA λ∴-=-．()1OC OB OA λλ∴=+-． 令λβ=，1λα-=，有()11αβλλ+=-+=， OC OA OB αβ∴=+，且1αβ+=．充分性．若OC OA OB αβ=+，且1αβ+=，则()1OC OA OB ββ=-+，()OC OA OB OA β=+-，()OC OA OB OC β-=-，AC AB β∴=，β∈R ． AC ∴与AB 共线，而A 为AC 与AB 的公共端点，A B C ∴，，三点在一条直线上．在证明必要性时，A B C ，，三点共线还可用AB kBC =，AC kBC =表示．本题的结论还可有更一般的形式：A B C 、、三点在一条直线上的充要条件是存在实数h ，k ，l ，使0hOA kOB lOC ++=，且1h k l ++=，l k h ，，中至少有一个不为0．例3．如图7-13，设O 为ABC △内一点，PQ BC ∥，且PQt BC=，，OB b =，OC c =，试求OP ，OQ ． 解：由平面几何知，APQ ABC ⨯△∽△，且对应边之比为t ，图713故AP AQ PQt AB AC BC===， 又A P B 、、与A Q C 、、分别共线，即知 AP t AB =，AQ t AC =．()()OP OA AP OA t AB OA t OB OA a t b a ∴=+=+=+-=+-，即()1OP t a tb =-+，()()OQ OA AQ OA t AC OA t OC OA a t c a =+=+=+-=+-， 即()1OQ t a c =-+．例4．设两非零向量1e 和2e 不共线，（1）如果12AB e e =+，1228BC e e =+，()123CD e e =-，求证A B D ，，三点共线． （2）试确定实数k ，使12ke ke +共线． （1）证明12AB e e =+，()121212283355BD BC CD e e e e e e AB =+=++-=+=，AB BD ∴，共线，又有公共点B A B D ∴，，三点共线．（2）解12ke e +与12e ke +共线，∴存在λ使()1212ke e e ke λ+=+， 则()()121k e k e λλ-=-，由于1e 与2e 不共线， 只能有010k k λλ-=⎧⎨-=⎩则1k =±．例5．在ABC △中，F 是BC 中点，直线l 分别交AB AF AC ，，于点D ，G ，E （见图7-14）．如果AD AB λ=，AE AC μ=，λ，μ∈R ．证明：G 为ABC △重心的充分必要条件是113λμ+=．l GF E DCB A图714解：若G 为ABC △重心，则()221332AG AF AB AC ==⋅+=13AD AE λμ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭． 又因点D G E ，，共线，所以，()113AD AE AG t AD t AE λμ⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 因AD ，AE 不共线，所以，13t λ=且113t μ=-，两式相加即得113λμ+=． 反之，若113λμ+=，则()2xAG xAF AB AC ==+()12x AD AE t AD t AE λμ⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以，2x t λ=且12x t μ=-，相加即得23x =，即G 为ABC △重心． 基础练习1．已知向量a 、b 是两非零向量，在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是（ ） ①234a b e -=且23a b e +=-；②存在相异实数λ、u ，使0a ub λ+=； ③0xa yb +=（其中实数x y 、满足0x y +=）； ④已知梯形ABCD 中，其中AB a =、CD b =． A ．①② B ．①③C ．②④D ．③④2．判断下列命题的真假：（1）若AB 与CD 是共线向量，则A B C D ，，，四点共线． （2）若AB BC CA ++=0，则A B C ，，三点共线． （3）λ∈R ，则a a λ>．（4）平面内任意三个向量中的每一个向量都可以用另外两个向量的线性组合表示． 3．已知在ABC △中，D 是BC 上的一点，且BDDCλ=，试求证：1AB AC AD λλ+=+． 4．已知3AD AB =，3DE BC =．试判断AC 与AE 是否共线．5．已知在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，求证：四边形ABCD 是梯形．6．已知()2cos A αα，()2cos B ββ，()10C -，是平面上三个不同的点，且满足关系式CA BC λ=，求实数λ的取值范围．7．已知梯形ABCD 中，2AB DC =，M N ，分别是DC AB 、的中点，若1AB e =，2AD e =，用1e ，2e 表示DC BC MN 、、．8．四边形ABCD 是一个梯形，AB CD ∥且2AB CD =，M N 、分别是DC 和AB 的中点，已知AB a =，AD b =，试用a ，b 表示BC 和MN ．9．已知a b 、是不共线的非零向量，11c a b λμ=+，22d a b λμ=+，其中1122λμλμ、、、为常数，若c d ma nb +=+，求m n 、的值．10．设a 、b 是不共线的两个非零向量，OM ma =，ON nb =，OP a b αβ=+，其中m n αβ、、、均为实数，0m ≠，0n ≠，若M P N 、、三点共线，求证：1mnαβ+=．11．在ABC △中，BE 是CD 交点为P ．设AB a =，AC b =，AP c =，AD a λ=，（01λ<<），()01AE b μμ=<<，试用向量a ，b 表示c ．12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量()12OA =，，()21OB =-，若OP xOA yOB =+且12x y ≤≤≤，则求出点P 所有可能的位置所构成的区域面积．7.4 向量的数量积数量积定义：一般地．如果两个非零向量a 与b 的夹角为α．我们把数量cos a b α⋅叫做a 与b 的数量积（或内积），记作：a b ⋅，即：cos a b a b α⋅=⋅，其中记法“a b ⋅”中间的“⋅”不可以省略，也不可以用“×”代替．特别地，a b ⋅可记作2a ．规定：0与任何向量的数量积为0．非零向量夹角的范围：0≤口≤Ⅱ．投影的定义：如果两个非零向量a 与b 的夹角为α，则数量cos b θ称为向量b 在a 方向上的投影．注意：投影是一个数量．数量积的几何意义：如图7-15，我们把cos b α<叫做向量b 在a 方向上的投影，即有向线段1OB 的数量．图715当π02α<≤时，1OB 的数量等于向量1OB 的模1OB ； 当ππ2α<≤时，1OB 的数量等于向量1OB 的模－1OB ； 当π2α=时，1OB 的数量等于零． 当然，cos a α即为a 在b 方向上的投影．综上，数量积的几何意义：a b ⋅等于其中一个向量a 的模a 与另一个向量b 在a 的方向上的投影cos b α的乘积．向量的数量积的运算律： ①a b b a ⋅=⋅②()()()a b b a b λλλ⋅⋅=⋅（λ为实数）③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ 鉴于篇幅这里仅证明性质②：证明：（1）若0λ>，()cos a b a b λλθ⋅=，()cos a b a b λλθ⋅=，()cos a b a b λλθ⋅=，（2）若0λ<，()()()cos πcos cos a b a b a b a b λλθλθλθ⋅=-=--=，()cos a b a b a b λλλθ⋅=⋅=，()()()cos πcos a b a b a b λλθλθ⋅=-=--=cos a b λθ． （3）若0λ=，则()()()0a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅=． 综合（1）、（2）、（3），即有()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．例1．已知4a =，5b =，当（1）a b ∥，（2）a b ⊥，（3）a 与b 的夹角为30︒时，分别求a 与b 的数量积．解：（1）a b ∥，若a 与b 同向，则0θ=︒，cos04520a b a b ∴⋅=⋅︒=⨯=； 若a 与b 反向，则180θ=︒，()cos18045120a b a b ∴⋅=⋅︒⨯⨯⨯-=-． （2）当a b ⊥时，90θ=︒，cos900a b a b ∴⋅=⋅︒=．（3）当a 与b 的夹角为30︒时，cos3045a b a b ⋅=⋅︒=⨯= 例2．空间四点A B C D 、、、满足3AB =，7BC =，11CD =，9DA =，则AC BD ⋅的取值有多少个？解：注意到2222311113079+==+，由于0AB BC CD DA +++=， 则()()2222222DA DA AB BC CDAB BC CD AB BC BC CD CD AB ==++=+++⋅+⋅+⋅()()2222AB BC CD AB BC BC CD =-+++⋅+，即222220AC BD AD BC AB CD ⋅=+--=，AC BD ∴⋅只有一个值0．例3．已知a b 、都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a b 、的夹角． 解：由()()223750716150a b a b a a b b +⋅-=⇒+⋅-= ①()()22472073080a b a b a a b b -⋅-=⇒-⋅+=②两式相减：22a b b ⋅=代入①或②得：22a b =． 不妨设a b 、的夹角为θ，则221cos 22a b ba bbθ⋅===，又因为0πθ≤≤，60θ∴=︒．例4．在凸四边形ABCD 中，P 和Q 分别为对角线BD 和AC 的中点，求证：2222224AB BC CD DA AC BD PQ +++=++．证明：联结BQ ，QD ，因为BP PQ BQ +=，DP PQ DQ +=， 所以()()2222BQ DQ BP PQ DP PQ +=+++ 222222BP DP PQ BP PQ DP PQ =+++⋅+⋅()22222BP DP PQ BP DP PQ =++++⋅ 2222BP DP PQ =++①又因为BQ QC BC +=，BQ QA BA +=，0QA QC +=， 同理222222BA BC QA QC BQ +=++② 222222CD DA QA QC QD +=++③由①、②、③可得()()2222222224222BA BC CD QA BQ QD AC BP PQ ++=++=++= 2224AC BD PQ ++．得证．例5．平面四边形ABCD 中，AB a =，BC b =，CD c =，DA d =，且a b b c c d d a ⋅=⋅=⋅=⋅，判断四边形ABCD 的形状．证明：由四边形ABCD 可知，0a b c d +++=（首尾相接）()a b c d ∴+=-+，即()()22a bc d +=+展开得222222aa b b c c d d +⋅+=+⋅+a b c d ⋅=⋅，222a b c d ∴+=+①同理可得2222a dbc +=+② ①-②得2222b a ac =⇒=，b d ∴=，ac =，即AB CD =，BC DA =， 故四边形ABCD 是平行四边形．由此a c =-，bd =-．又a b b c ⋅=⋅，即()0b a c -=()20b a ∴⋅=即a b AB BC ⊥⇒⊥， 故四边形ABCD 是矩形．例6．已知非零向量a 和b 夹角为60︒，且()()375a b a b +⊥-，求证：()()472a b a b -⊥-．证明：因为a 和b 夹角为60︒，所以1cos602a b a b a b ⋅=⋅⋅︒=⋅；又因为()()375a b a b +⊥-，所以，即()()3750a b a b +⋅-=．22222217161571615781502a ab b a a b b a a b b +⋅-=+⨯⋅-=+⋅-=． ()()7150a b a b ∴+⋅-=，0a b ∴-=，即a b =．因为()()22222214727308730871582a b a b a a b b a a b b a a b b -⋅-=-⋅+=-⨯+=-+，把a b =代入上式消去b 得()()2247271580a b a b a a a a -⋅-=-+=．所以()()472a b a b -⊥-．基础练习1．已知a b c 、、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为（ ） ①a b a b a b ⋅=⋅⇔∥； ②a b 、反向a b a b ⇔⋅=-⋅； ③a b a b a b ⊥⇔+=-； ④a b a c b c =⇔⋅=⋅． A ．1B ．2C ．3D ．42．已知向量i j ，为相互垂直的单位向量，28a b i j +=-，816a b i j -=-+，求a b ⋅．3．如图7-16所示，已知平行四边形ABCD ，AB a =，AD b =，4a=，2b =，求：OA OB ⋅．C图7164．设6a =，10b =，46a b -=，求a 和b 的夹角θ的余弦值． 5．已知a b ⊥，2a =，3b =，当()()32a b a b λ-⊥+时，求实数λ的值．6．已知不共线向量a ，b ，3a =，2b =，且向量a b +与2a b -垂直．求：a 与b 的夹角θ的余弦值． 7．已知3a =，4b =，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a kb +与a kb -互相垂直？ 8．在ABC △中，已知4AB AC ⋅=，12AB BC ⋅=-，求AB ．9．在ABC △中，AB a =，BC b =，且0a b ⋅>，则ABC △的形状是__________． 10．已知向量()24a =，，()11b =，．若向量()b a b λ⊥+，则实数λ的值是__________．11．如图7-17，在四边形ABCD 中，4AB BD DC ++=，0AB BD BD DC ⋅=⋅=，4AB BD BD DC ⋅+⋅=，求()AB DC AC +⋅的值．图717DCBA能力提高12．如图7-18，在Rt ABC △中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点．问PQ 与BC 的夹角θ为何值时，BP CQ ⋅的值最大?并求出这个最大值．PQ图71813．已知ABC △中满足()2ABAB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，a b c 、、分别是ABC △的三边．试判断ABC △的形状并求sin sin A B +的取值范围．14．设边长为1的正ABC △的边BC 上有n 等分点，沿点B 到点C 的方向，依次为121n P P P -，，，，若1121n n S AB AP AP AP AP AC -=⋅+⋅++⋅，求证：21126n n S n-=．15．在ABC △中，AB a =，BC c =，CA b =，又()()()123c b b a a c ⋅⋅⋅=∶∶∶∶，则ABC △三边长之比a b c =∶∶__________．16．在向量a b c ，，之间，该等式()()())132a b c a b b c c a ⎧++=⎪⎨⋅⋅⋅=-⎪⎩∶∶∶成立，当1a =时，求b 和c 的值．17．若a b c ，，中每两个向量的夹角均为60︒，且4a =，6b =，2c =，求a b c ++的值． 7.5 向量的坐标表示及其运算向量的坐标表示在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数()x y ，来表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示?前面的平面向量分解告诉我们，只要选定一组基底，就有唯一确定的有序实数对与之一一对应． 我们分别选取与x 轴、y 轴方向相同的单位向量i ，j 作为基底，由平面向量的基本定理．对于任一向量a ，存在唯一确定的实数对()x y ，使得()a xi y j x y =+∈R ，，我们称实数对()x y ，叫向量a 的坐标，记作()a x y =，．其中x 叫向量a 在x 轴上的坐标,y 叫向量a 在y 轴上的坐标，见图7-19．图719注意：（1）与a 相等的向量的坐标也是()x y ，．（2）所有相等的向量坐标相同；坐标相同的向量是相等的向量． 平面向量的坐标运算（1）设()11a x y =，，()22b x y =，，则()1212a b x x y y +=++，． （2）设()11a x y =，，()22b x y =，，则()1212a b x x y y -=--，． （3）设()11A x y ，，()22B x y ，，则()2121AB OB OA x x y y =-=--，． （4）设()11a x y =，，λ∈R ，则()a x y λλλ=，．（5）设()11a x y =，，()22b x y =，，则()1212a b x x y y ⋅=+． 向量平行的坐标表示设()11a x y =，，()22b x y =，，且0b ≠，则()1212a b x x y y =+∥． 向量的平行与垂直的充要条件设()11a x y =，，()22b x y =，，且0b ≠，0a ≠则 12210a b b a x y x y λ⇔=⇔-=∥． 121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=．重要的公式（1）长度公式：2221a a a x y ===+()()11a x y =，（2）夹角公式：()())1122cos a x y b x y θ===，，，．（3）平面两点间的距离公式： (()())1122A B d AB AB AB x A x y B xy ==⋅=，，，，．（4）不等式：cos a b a b a b θ⋅=≥．例1．已知()12a a a =，，()12b b b =，，且12210a b a b -≠，求证：（1）对平面内任一向量()12c c c ，，都可以表示为()xa yb x y +∈R ，的形式； （2）若0xa yb +=，则0x y ==．证明：（1）设c xa yb =+，即()()()()1212121122c c x a a y b b a x b y a x b y =+=++，，，，， 111222.a xb yc a x b y c +=⎧∴⎨+=⎩，12210a b a b -≠，∴上述关于x y ，的方程组有唯一解．1221122112211221.c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，1221122112211221c b c b a c a c c a b a b a b a b a b --∴=+--． （2）由（1）的结论，0c =，即120c c ==，则 122112210c b c b x a b a b -==-，122112210a c a c y a b a b -==-，0x y ∴==． 小结：证明（1）的过程就是求实数x ，y 的过程，而12210a b a b -≠是上面二元一次方程组有唯一解的不可缺少的条件．另外，本题实际上是用向量的坐标形式表述平面向量基本定理．其中1x λ=，2y λ=，这里给出了一个具体的求12λλ，的计算方法．例2．向量()10OA =，，()11OB =，，O 为坐标原点，动点()P x y ，满足0102OP OA OP OB ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩≤≤≤≤，求点()Q x y y +，构成图形的面积．解：由题意得点()P x y ，满足0102x x y ⎧⎨+⎩≤≤≤≤，令x y uy v +=⎧⎨=⎩，则点()Q u v ，满足0102u v u -⎧⎨⎩≤≤≤≤，在uOv 平面内画出点()Q u v ，构成图形如图7-20所示，∴其面积等于122⨯=．图720例3．在直角坐标系中，已知两点()11A x y ，，()22B x y ，；1x ，2x 是一元二次方程222240x ax a -+-=两个不等实根，且A B 、两点都在直线y x a =-+上． （1）求OA OB ⋅；（2）a 为何值时OA 与OB 夹角为π3． 解：（1）12x x 、是方程222240x ax a -+-=两个不等实根，()224840a a ∴∆=-->解之a -<()212142x x a =-，12x x a +=又A B 、两点都在直线y x a =-+上，()()()()2212121212142y y x a x a x x a x x a a ∴=-+-+=-++=- 121224OA OB x x y y a ∴⋅=+=-（2）由题意设1x =，2x =112y x a x ∴=-+==，同理21y x =(()22212121224OA OB xx x x x x x ∴==+=+-=当OA 与OB夹角为π3时，π1cos 4232OA OBOA OB ⋅==⨯= 242a ∴-=解之(a =- a ∴=即为所求． 例4．已知()10a =，，()21b =，． ①求3a b +；②当k 为何实数时，ka b -与3a b +平行，平行时它们是同向还是反向？解：①()()()31032173a b +=+=，，，，2373a b ∴+=+ ②()()()102121ka b k k -=-=--，，，． 设()3ka b a b λ-=+，即()()2173k λ--=，，， 12731313k k λλλ⎧=-⎪-=⎧⎪∴⇒⎨⎨-=⎩⎪=-⎪⎩．故13k =-时，它们反向平行．例5．对于向量的集合(){}221A v x y x y ==+，≤中的任意两个向量12v v 、与两个非负实数αβ、；求证：向量12v v αβ+的大小不超过αβ+．证明：设()111v x y =，，()222v x y =，，根据已知条件有：22111x y +≤，22221x y +≤， 又因为(12v v αβα+==其中12121x x y y +所以12v v αβααβαβ+=+=+≤． 基础练习1．已知()21a =，，()34b =-，，求a b +，a b -，34a b +的坐标． 2．设O 点在ABC △内部，且有230OA OB OC ++=，求ABC △的面积与AOC △的面积的比． 3．已知平行四边形ABCD 的三个顶点A B C ，，的坐标分别为（-2，1），（-1，3），（3，4），求顶点D 的坐标．4．已知向量i ，j 为相互垂直的单位向量，设()12a m i j =+-，()1b i m j =+-，()()a b a b +⊥-，求m 的值．5．已知等腰梯形ABCD ，其中AB CD ∥，且2DC AB =，三个顶点()12A ，，()21B ，，()42C ，，求D 点的坐标．6．如图7-21所示，已知()20OA =，，(1OB =，将BA 绕着B 点逆时针方向旋转60︒，且模伸长到BA 模的2倍，得到向量BC ．求四边形AOBC 的面积S ．图7217．如图7-22所示，已知四边形ABCD 是梯形，AD BC ∥，2BC AD =，其中()12A ，，()31B ，，()24D ，，求C 点坐标及AC 的坐标．图7228．已知向量()2334a x x x =+--，与AB 相等，其中()12A ，，()32B ，，求x ． 9．平面内有三个已知点()12A -，，()70B ，，()56C -，，求 （1）AB ，AC ；（2）AB AC +，AB AC -；（3）122AB AC +，3AB AC -． 10．已知向量()12a =，，()1b x =，，2u a b =+，2v a b =-，且u v ∥，求x ． 11．已知()23a =，，()14b =-，，()56c =，，求()a b c ⋅，和()a b c ⋅⋅．12．已知两个非零向量a 和b 满足()28a b +=-，，()64a b -=--，，求a 与b 的夹角的余弦值． 能力提高13．已知平面上三个向量a ，b ，c 均为单位向量，且两两的夹角均为120︒，若()1ka b c k ++>∈R ，求k 的取值范围．14．已知OA ，OB 不共线，点C 分AB 所成的比为2，OC OA OB λμ=+，求λμ-． 7.6 线段的定比分点公式与向量的应用线段的定比分点公式设点P 是直线12P P 上异于1P 、2P 的任意一点，若存在一个实数()1λλ≠-，使12PP PP λ=，则λ叫做点P 分有向线段12P P 所成的比，P 点叫做有向线段12P P 的以定比为λ的定比分点．当P 点在线段12P P 上时0λ⇔≥；当P 点在线段12P P 的延长线上时1λ⇔<-； 当P 点在线段21P P 的延长线上时10λ⇔-<<；设()111P x y ，，()222P x y ，，()P x y ，是线段12P P 的分点，λ是实数且12P P PP λ=，则121211x x x OP y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⇔=⎨+⎪=⎪+⎩()12121111OP OP OP tOP t OP t λλλ+⎛⎫⇔=+-= ⎪++⎝⎭．()1λ≠-由线段的定比分点公式得：中点坐标公式设()111P x y ，，()222P x y ，，()P x y ，为12P P 的中点，（当1λ=时） 得121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩三角形的重心坐标公式ABC △三个顶点的坐标分别为()11A x y ，、()22B x y ，、()33C x y ，，则ABC △的重心的坐标是12312233x x x y y y G ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 利用向量可以解决许多与长度、距离及夹角有关的问题．向量兼具几何特性和代数特性，成为沟通代数、三角与几何的重要工具，同时在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用． 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC △所在平面上一点，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c 则（1）O 为ABC △的外心222OA OB OC ⇔==． （2）O 为ABC △的重心0OA OB OC ⇔++=．（3）O 为ABC △的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅． （4）O 为ABC △的内心0aOA bOB cOC ⇔++=． （5）O 为ABC △的A ∠的旁心()aOA b OB cOC ⇔=+．例1．如图7-23所示，已知矩形ABCD 中，()21A ，，()54B ，，()36C ，，E 点是CD 边的中点，联结BE 与矩形的对角线AC 交于F 点，求F 点坐标．图723解：四边形ABCD 是矩形，E 是CD 边的中点，ABF CEF ∴△∽△，且2AB CE =2AF CF ∴=即点F 分AC 所成的比2λ=．设()F x y ，．由(21)A ，，(36)C ，，根据定比分点坐标公式得2238123x +⨯==+，12613123y +⨯==+ F ∴点坐标是81333⎛⎫⎪⎝⎭，． 例2．证明：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．证明：在单位圆O 上任取两点A ，B ，以Ox 为始边，以OA ，OB 为终边的角分别为β，α，见图7-24．β，sin β）B （cos α图724则A 点坐标为()cos sin ββ，，B 点坐标为()cos sin αα，；则向量()cos sin OA ββ=，，()cos sin OB αα=，，它们的夹角为αβ-，1OA OB ==，cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=+， 由向量夹角公式得：()cos cos cos sin sin OA OB OA OBαβαβαβ⋅-==+，从而得证．注意：用同样的方法可证明()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-．例3．证明柯西不等式()()()2222211221212x y x y x x y y +⋅++≥．证明：令()11a x y =，，()22b x y =，（1）当0a =或0b =时，12120a b x x y y ⋅=+=，结论显然成立； （2）当当0a ≠且0b ≠时，令θ为a ，b 的夹角，则[]0πθ∈，1212cos a b x x y y a b θ⋅=+=．又cos 1θ≤，a b a b ∴⋅≤（当且仅当ab ∥时等号成立）． 1212x x y y ∴+()()()2222211221212x y x y x x y y ∴+⋅++≥（当且仅当1212x x y y =时等号成立）． 例4．给定ABC △，求证：G 是ABC △重心的充要条件是0GA GB GC ++=．证明：必要性 设各边中点分别为D E ，，F ，延长AD 至P ，使DP GD =，则2AG GD =GP =． 又因为BC 与GP 互相平分，所以BPCG 为平行四边形，所以BG PC ∥，所以GB CP =． 所以0GA GB GC GC CP PG ++=++=．充分性 若0GA GB GC ++=，延长AG 交BC 于D ，使GP AG =，联结CP ，则GA PG =． 因为0GC PG PC ++=，则GB PC =，所以GB CP ∥，所以AG 平分BC ．同理BG 平分CA ．所以G 为重心． 例5 ABC △外心为O ，垂心为H ，重心为G ．求证：O G H ，，为共线，且12OG GH =∶∶． 证明：首先()()2112333OG OA AG OA AM OA AB AC OA AO OB OC =+=+=++=+++= ()13OA OB OC ++． 其次设BO 交外接圆于另一点E ，则联结CE 后得CE BC ⊥． 又AH BC ⊥，所以AH CE ∥．又EA AB ⊥，CH AB ⊥，所以AHCE 为平行四边形．所以AH EC =． 所以OH OA AH OA EC OA EO OC OA OB OC =+=+=++=++， 即3OH OG =，所以OG 与OH 共线，所以O G H ，，共线． 即12OG GH =∶∶． 注意：O G H ，，所在的直线称为欧拉线．例6．已知ABC △，AD 为中线，求证()2222122BC AD AB AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（中线长公式）． 证明：以B 为坐标原点，以BC 所在的直线为x 轴建立如图7-25所示的直角坐标系，图725设()A a b ，，()0C c ，，02c D ⎛⎫⎪⎝⎭，，则()22222024c c AD a b ac a b ⎛⎫=-+-=-++ ⎪⎝⎭，()()22222222221122244BC c c AB AC a b c a b a b ac ⎛⎫⎡⎤⎪+-=++-+-=+-+⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭， 从而()2222122BC AD AB AC ⎛⎫ ⎪=+- ⎪⎝⎭，()2222122BC AD AB AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 例7．是否存在4个两两不共线的平面向量，其中任两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？解：如图7-26所示，在正ABC △中，O 为其内心，P 为圆周上一点，满足PA ，PB ，PC ，PO 两两不共线，有POCBA图726()()PA PB PC PO +⋅+=()()PO OA PO OB PO OC PO +++⋅++()()22PO OA OB PO OC =++⋅+ ()()22PO OC PO OC =-⋅+ 2240PO OC =-=有()PA PB +与()PC PO +垂直． 同理可证其他情况．从而PA ，PB ，PC ，PO 满足题意、故存在这样四个平面向量．例8．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1230OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，求证：123PP P △是正三角形．解：令O 为坐标原点，可设()111cos sin P θθ，，()222cos sin P θθ，，()333cos sin P θθ， 由123OP OP OP +=-，即()()()112233cos sin cos sin cos sin θθθθθθ+=--，，， 123123cos cos cos sin sin sin θθθθθθ+=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩①② 两式平方和()1212cos 11θθ+-+=，()121cos 2θθ-=-，由此可知12θθ-的最小正角为120︒，即1OP 与2OP 的夹角为120︒， 同理可得1OP 与3OP 的夹角为120︒，2OP 与3OP 的夹角为120︒， 这说明123P P P ，，三点均匀分布在一个单位圆上， 所以123PP P △为等腰三角形． 基础练习1．在ABC △中，若321AB BC BC CA AB CA⋅⋅⋅==，则tan A =__________． 2．已知P 为ABC △内一点，且满足3450PA PB PC ++=，那么PAB PBC PCA S S S =△△△∶∶__________． 3．如图7-27，设P 为ABC △内一点，且2155AP AB AC =+，求ABP △的面积与ABC △的面积之比． PCA图7274．已知ABC △的三顶点坐标分别为()11A ，,()53B ，，()45C ，，直线l AB ∥，交AC 于D ，且直线l 平分ABC △的面积，求D 点坐标． 5．已知()23A ，，()15B -，，且13AC AB =，3AD AB =，求点C D 、的坐标． 6．点O 是平面上一定点，A B C ，，是此平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，[)0λ∈+∞，．则点P 的轨迹一定通过ABC △的__________心．能力提高7．设x y ∈R ，，i j 、为直角坐标系内x y 、轴正方向上的单位向量，若()2a xi y j =++，()62b xi y j =+-且2216a b +=．（1）求点()M x y ，的轨迹C 的方程；（2）过定点()03，作直线l 与曲线C 交于A B 、两点，设OP OA OB =+，是否存在直线l 使四边形OAPB 为正方形？若存在，求出l 的方程，或不存在说明理由．8．（1）已知4a =，3b =，()()23261a b a b -⋅+=，求a 与b 的夹角θ；（2）设()25OA =，，()31OB =，，()63OC =，，在OC 上是否存在点M ，使MA MB ⊥，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由． 9．设a b 、是两个不共线的非零向量()t ∈R （1）记OA a =，OB tb =，()13OC a b =+，那么当实数t 为何值时，A B C 、、三点共线？ （2）若1a b ==且a 与b 夹角为120︒，那么实数x 为何值时a xb -的值最小？10．设平面内的向量()17OA =，，()51OB =，，()21OM =，，点P 是直线OM 上的一个动点，求当PA PB ⋅取最小值时，OP 的坐标及APB ∠的余弦值．11．已知向量()11m =，，向量n 与向量m 夹角为3π4，且1m n ⋅=-． （1）求向量n ；（2）若向量n 与向量()10q =，的夹角为π2，向量22sin 4cos 2A p A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，求2n p +的值．12．已知定点()01A ，，()01B -，，()10C ，．动点P 满足：2AP BP k PC ⋅=． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）当0k =时，求2AP BP +的最大值和最小值．13．在平行四边形ABCD 中，()11A ，，()60AB =，，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ．（1）若()35AD =，，求点C 的坐标； （2）当AB AD =时，求点P 的轨迹．14．已知向量()22a =，，向量b 与向量a 的夹角为3π4，且2a b ⋅=-， （1）求向量b ；（2）若()10t =，且b t ⊥，2cos 2cos 2C c A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，其中A C 、是ABC △的内角，若三角形的三内角A B C 、、依次成等差数列，试求b c +的取值范围．。
第七章 第六节 空间向量及其运算
[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 用已知向量表示未知向量时要注意： 用已知向量表示未知向量时要注意： 1．把要表示的向量置于封闭图形中，利用三角形法则或 ．把要表示的向量置于封闭图形中， 多边形法则进行基向量代换． 多边形法则进行基向量代换． 2．用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基 ．用基向量表示一个向量时， 底的公共点出发的，一般考虑用加法， 底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减 法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘． 如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．
3．与向量 a＝(1，－ ． ，－3,2)平行的一个向量的坐标是 平行的一个向量的坐标是( ＝ ，－ 平行的一个向量的坐标是 1 A．( ，1,1) ． 3 1 3 C．(－ ， ，－ ，－1) ．－ 2 2 B．(－1，－ ． － ，－ ，－3,2) D．( 2，－ ，－ 2) ． ，－3，－ ，－ ，－2
证明： 解：(1)证明：分别延长 PE、PF、PG、PH 交对边于 M、N、 证明 、 、 、 、 、 Q、R 点． 、 因为 E、F、G、H 分别是所在三角形的重心． 、 、 、 分别是所在三角形的重心． 所以 M、N、Q、R 为所在边的中点，顺次连接 M、N、Q、 、 、 、 为所在边的中点， 、 、 、 R 得到的四边形为平行四边形，且有： 得到的四边形为平行四边形，且有：
)
1 1 3 解析：可知－ ＝ － ，－1)． 解析：可知－ a＝(－ ， ，－ ． 2 2 2
答案： 答案：C
4.如图所示，已知ABCD是平行四边形， 如图所示，已知 是平行四边形， 如图所示 是平行四边形 P点是 点是ABCD所在平面外一点，连接 所在平面外一点， 点是 所在平面外一点 PA、PB、PC、PD.设点 、F、G、H 、 、 、 设点 设点E、 、 、 分别为△ 分别为△PAB、△PBC、△PCD、 、 、 、 的重心． △PDA的重心． 的重心 (1)试用向量方法证明 、F、G、H四点共面； 试用向量方法证明E、 、 、 四点共面 四点共面； 试用向量方法证明 (2)试判断平面 试判断平面EFGH与平面 与平面ABCD的位置关系，并用向量方 的位置关系， 试判断平面 与平面 的位置关系 法证明你的判断． 法证明你的判断．
第七章 向量代数与空间解析几何 第4节 平面与直线
( 3) A = B = 0 , 平面平行于 xoy 坐标面； 坐标面；
类似地可讨论 A = C = 0 , B = C = 0 情形 .
例3 设平面过原点及点 (6 , − 3 , 2) , 且与平面
4 x − y + 2z = 8
求此平面方程. 垂直 , 求此平面方程. 解 设平面为 Ax + By + Cz + D = 0 , 由平面过原点知
两平面平行但不重合 .
2 −1 −1 , 两平面平行 = = ( 3) Q 2 −4 2 Q M (1 , 1 , 0) ∈ Π 1 , M (1 , 1 , 0) ∈ Π 2
两平面重合. ∴ 两平面重合.
例7 设 P0 ( x0 , y0 , z 0 ) 是平面 Ax + By + Cz + D = 0 外一点， 到平面的距离. 外一点，求 P0 到平面的距离. 解 ∀ P1 ( x1 , y1 , z1 ) ∈ Π
已知平面上的一个点为 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , 设平面上的任一点为 M ( x , y , z ) , r r 必有 M 0 M ⊥ n ⇒ M 0 M ⋅ n = 0 .
Q M 0 M = { x − x 0 , y − y0 , z − z 0 }
∴ A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0
c
y
o
b
x
a
⇒
D D D A=− , B=− , C =− . a b c
D D D 将 A = − , B = − , C = − , 代入所设方程得 a b c
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
第四节 空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程
三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看作是两个平面的交线.
设直线L是平面1和2的交线, 平面的方程分别为
A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20, 那么直线L可以用方程组
设α=x1i+y1j+z1k=(x1 , y1 ,z1), 则有：β=x2i+y2j+z2k= (x2,y2,z2).
α+β =（x1+x2 ）i +（y1+y2）j +（z1+z2) k
=(x1+x2 , y1+y2 , z1+z2 ). α-β=（x1-x2) i+ (y1-y2 ) j+ (z1-z2)k
一方向向量s(m, n, p)为已知时, 直线L 的位置就完全确定了.
❖直线的对称式方程
求通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s(m, n, p)的直线的方 程.
设M(x, y, z)为直线上的任一点,
则从M0到M的向量平行于方向向量:
从而有
(xx0, yy0, zz0)//s ,
>>>注
λ >0
由性质1， Prj(λα)=|λα|cos(φ1)
α φ1 = φ
=λ|α|cosφ
λα φ1=π- φ
=λPrjlα
λ<0
当λ<0时 φ1=π-φ
λα
Prj(λα)=|λ|.|α|cos(φ1) =-λ|α|(-cosφ)
λ >0 α
=λPrjlα； 当λ=0时
高等数学第7章 向量代数与空间解析几何
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7.2.4 向量线性运算的坐标表示
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7.2.5 向量数量积的坐标表达式 设有两个向量
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习题7.2 A组 1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦 限.A（1，-2，3），B（2，3，-4），C（2，-3，-4）， D（ -2，-3，1）。 2.求点p（ -3，2，-1）关于坐标面与坐标轴对称点 的坐标。 3.求点A（ -4，3，5）在坐标面与坐标轴上的投影 点的坐标。
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7.2 空间直角坐标系与向量的坐标表示
7.2.1 空间直角坐标系 在空间中任意选定一点O，过O点作三条相互垂直 且具有相同单位长度的数轴，分别称为x轴、y轴和z轴.x 轴、y轴和z轴要满足右手定则，即右手握住z轴，大拇 指指向z轴的正向，其余四个手指从x轴的正方向。
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7.2.2 向量的坐标表示 设x轴、y轴、z轴正向的单位向量依次为i，j，k，如 图7.17所示。
第7章 向量代数与空间解析几何
空间解析几何是通过点与坐标的对应，把抽象的数 与空间的点统一起来，从而使得人们可以用代数的方法 研究几何问题，也可以用几何的方法解决代数问题.本章 首先介绍向量及其代数运算，然后以向量为工具研究空 间的直线与平面，最后讨论空间曲面与曲线的一般方程 和特点.
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7.1 向量及其运算
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（6）向量的数量积 1）数量积的概念在物理学中，如果物体受到恒力F 的作用，沿直线发生的位移s，设力F 与位移s的夹角为 θ，则力F对物体所做的功为 W =|F|·|s|·cosθ
第7章向量代数与空间解析几何
第7章 向量代数与空间解析几何7.1 向量及其线性运算7.1.1 基本要求1. 理解向量的概念.2. 掌握向量的线性运算.3. 理解向量的几何表示.7.1.2 答疑解惑1. 向量与标量在表示方法上有什么区别？解答 在手写体中，向量的上方有箭头，而标量没有；在印刷体中，若用单个字母表示向量，则用粗体字母表示该向量，或者不用粗体但是字母上方加箭头，若用两个字母表示向量，则上方加箭头，而标量不用粗体，也不加箭头. 例如a ，i ，v ，F ，a ，i ，v ，F ，12M M 等都可表示向量.2. 向量的起点都在坐标原点吗？解答 本书讨论的向量都是自由向量，它的起点不是固定的，不一定在坐标原点，可以根据需要移动. 3. 当A , B 为不同点时，AB 与BA 相等吗？ 解答 不相等，因为向量AB 与BA 的大小相等，但方向相反，所以它们不相等. 本书讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等、方向相同的向量叫做相等的向量. 在这里由于AB 与BA 平行移动后，它们的方向总是不同的，所以它们不相等.4. 向量在轴上的投影是不是向量？解答 向量在轴上的投影是一个数量，它可正可负，而不是一个向量.7.1.3 经典例题解析例1 化简13525-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭b a a b b . 解 13525-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭b a a b b 5(13)112⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭a b 522=--a b . 例2 设向量a 和b 都为非零向量，a 和b 的夹角平分线为l ，求与l 平行的向量.解 设0,a 0b 分别表示向量a , b 的单位向量，则0=a a a ，0=b b b. 因为以0,a 0b 为邻边第7章 向量代数与空间解析几何 2 的平行四边形为菱形，所以这个平行四边形的对角线平分顶角，又00+=+=a b a b a b +b a a ba b ，于是与l 平行的向量为λ+b a a ba b ，其中λ为实数.注 以上求解过程中应用了向量的加法运算和菱形的对角线平分对角的性质. 例3 在平行四边形ABCD 中，设AB = a ，AD = b . 试用a 和b 表示向量MA ，MB ，MC ，MD ，其中M 是平行四边形对角线的交点. 分析 根据平行四边形的对角线互相平分的性质和向量运算的三角形法则进行计算. 解 如图7-1所示，因为平行四边形的对角线互相平分，所以 +=a b 22,AC AM M A ==- 于是MA = 1()2-+a b ，MC MA =-= 1()2+a b . 又因为2BD MD -+==a b ，所以MD = 1()2-b a ，MB MD =-= 1()2-a b . 例4 在四边形ABCD 中，AB = 2+a b ，BC = 4--a b ，CD = 53--a b ，证明四边形ABCD 为梯形．分析 利用向量关系证明四边形ABCD 中的一组对边互相平行，则可知四边形ABCD 为梯形.证明 因为四边形ABCD 中， AD AB BC CD =++= (2)(4)(53)82++--+--=--a b a b a b a b 2BC = ， 所以向量AD ∥BC ，即四边形ABCD 中的一组对边AD 和BC 互相平行，于是四边形ABCD 为梯形． 例5 设一直线上三点A ，B ，P 满足AP ＝PB λ (其中λ是实数且1λ≠-)，O 是空间任意一点，求证： OP ＝1OA OB λλ++ . 证明 如图7-2所示，因为AP OP OA =- ，PB OB OP =- ，所以()OP OA OB OP λ-=- ，也就是(1)OP OA OB λλ+=+ ，从而OP = 1OA OB λλ++ . 7.1.4 习题全解1. 设,,A B C 为三角形的三个顶点，求AB BC CA ++ . 解 AB BC CA AC CA ++=+= 0.2. 设2=-+u a b c ,3=-+-v a b c , 试用,,a b c 表示23-u v .解 232(2)3(3)5117-=-+--+-=-+u v a b c a b c a b c .3. 设向量a 的模为4，它与轴u 的夹角为60 ，求a 在轴u 上的投影.图7-1 图 7-27.2 空间直角坐标系与向量的坐标3 解 a 在轴u 上的投影为Prj u 1cos60422==⨯=a a °. 4. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 解 如图 7-1 所示，四边形ABCD 中，令点M 为对角线AC 与BD 的交点，则AM MC = , BM MD = ,因为AB AM MB MC DM DC =+=+= ,所以//AB DC 且AB DC = ,即四边形ABCD 中的一组对边AB 和DC 互相平行且相等，于是四边形ABCD 是平行四边形.7.2 空间直角坐标系与向量的坐标7.2.1 基本要求1. 掌握空间直角坐标系和空间点的直角坐标的概念.2. 掌握空间两点间的距离公式.3. 掌握向量的坐标表示法.4. 掌握向量的模、单位向量及方向余弦的坐标表达式.7.2.2 答疑解惑1. 空间直角坐标系中的三个坐标轴的顺序是任意的吗？解答 空间直角坐标系中的三个坐标轴的顺序是遵循右手规则的，即以右手握住z 轴，当右手的四指从x 轴的正向以π2的角度转向y 轴的正向时，竖起大拇指的指向就是z 轴的正向.画的时候，一般z 轴向上，y 轴向右，x 轴向左下方.2. 引入向量的坐标对向量的运算有什么作用？解答 引入向量的坐标以后，就可将向量的运算转化为代数运算，计算起来比较方便． 3. 向量的坐标是如何建立的？解答 在空间直角坐标系中，向量的坐标就是该向量在三个坐标轴上的投影组成的有序数组．例如，设MN 为空间直角坐标系中的一个向量，点M 的坐标为111(,,)x y z ，点N 的坐标为222(,,)x y z ，显然，向量MN 在三个坐标轴上的投影分别为21x x -，21y y -, 21z z -, 于是向量212121{,,}MN x x y y z z =--- †.7.2.3 经典例题解析例1已知两点1M 和2(3,0,2)M ，求向量12M M 的模、方向余弦和方向角. 解 由1M 和2M 两点的坐标可知12{1,}M M =- ，于是12M M =2=, 与12M M同方向的单位向量为121211,,222M M M M ⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪⎩⎭，方向余弦____________________________________________________________† 本书沿用主教材中的花括号形式表示向量，而用圆括号形式表示点的坐标.第7章 向量代数与空间解析几何411cos ,cos ,cos 222αβγ=-==, 方向角α=23π, β=34π, γ=3π. 例2 已知,,A B C 三个点的坐标如下：（1）在平面直角坐标系下，(0,1),(2,2),(2,4)A B C --；（2）在空间直角坐标系下，(0,1,0),(1,0,2),(2,3,4)A B C ---.判别,,A B C 三点是否共线？ 解 （1）因为向量{2,3},{2,3}AB AC =-=- ，所以AB AC =- ，即向量AB 和AC 平行，又这两个向量有共同的起点，于是,,A B C 三点共线； （2）因为向量{1,1,2},{2,2,4}AB AC =---=- ，不存在实数λ使得AB AC λ= ，所以向量AB 和AC 不平行，于是,,A B C 三点不共线.例3 在空间直角坐标系Oxyz 中，画出点(0,0,1)A ，(2,1,0)B ，(1,2,3)C ．解 根据点A 的坐标可知，A 点在z 轴上，B 点在xOy 坐标面上．画点C 时，先在x 轴的正方向上取1个单位的点，y 轴的正方向上取2个单位的点，过这两点在xOy 坐标面上分别作y 轴与x 轴的平行线，交于点M ，过M 作z 轴的平行线MN ，在直线MN 上，点M 的上方取3个单位便得到点C ，如图7-3所示.例4 求点(3,2,1)A 关于各坐标面对称的点的坐标．解 点(3,2,1)A 关于xOy 坐标面对称的点的坐标为1(3,2,1)A -，关于yOz 坐标面对称的点的坐标为2(3,2,1)A -，关于zOx 坐标面对称的点的坐标为3(3,2,1)A -．例5 求点(4,2,3)A -到xOy 坐标面及y 轴的距离．解 点A 到xOy 坐标面的距离即为点A 的竖坐标的绝对值，即点A 到xOy 坐标面的距离为3；过点A 作垂直于xOy 坐标面的直线AB ，垂足为点B ，过点B 再作垂直于y 轴的直线BC ，垂足为点C ，于是直线AC 垂直于y 轴，即线段AC 的长度为点A 到y 轴的距离，而在直角三角形ABC 中，AC ==5=，于是点A 到y 轴的距离为5．例6 在z 轴上求与点(3, 5, 2)A -和(4, 1, 5)B -等距离的点M ．解 因为所求的点M 在z 轴上，所以可设M 点的坐标为(0,0,)z ，又因为MA MB =，=27z =，即所求的点为20,0,7M ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 7.2.4 习题全解1. 在空间直角坐标系中，指出下列各点所在的卦限:(2,3,1)A -，(7,1,2)B --，(2,3,C -- 1)-，(1,2,3)D --.图 7-37.2 空间直角坐标系与向量的坐标5 解 (2,3,1)A -在第Ⅳ卦限，(7,1,2)B --在第Ⅷ卦限，(2,3,1)C ---在第Ⅶ卦限，(1,2,3)D --在第Ⅵ卦限.2. 指出下列各点所在的坐标面或坐标轴：(1,2,0)A -，(0,2,3)B -，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -. 解 (1,2,0)A -在xOy 坐标面上，(0,2,3)B -在yOz 坐标面上，(1,0,0)C 在x 轴上，(0,1,0)D -在y 轴上.3. 求点(2,3,5)--分别关于下列条件的对称点的坐标：（1）xOy 坐标面；（2）y 轴；（3）坐标原点.解 （1）点(2,3,5)--关于xOy 坐标面对称点的坐标为(2,3,5)-；（2）点(2,3,5)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3,5)；（3）点(2,3,5)--关于坐标原点对称点的坐标为(2,3,5)-.4. 求点(4,3,5)A -到坐标原点()0,0,0O ，z 轴及zOx 坐标面的距离.解 点(4,3,5)A -到坐标原点()0,0,0O =；点(4,3,5)A -到z 5=；点(4,3,5)A -到zOx 坐标面的距离为3.5. 在yOz 坐标面上，求与(3,1,2)A ，(4,2,2)B --，(0,5,1)C 三点等距离的点.解 因为所求点在yOz 坐标面上，所以可设它的坐标为(0,,)M y z . 又因为该点到(3,1,2)A ，(4,2,2)B --，(0,5,1)C 三点的距离相等，所以AM CM =，BM CM =，即=，=由以上两等式解得1,2y z ==-，于是所求点的坐标为(0,1,2)-.6. 已知(1,0,2)A ，(4,5,10)B ，(0,3,1)C ，(2,1,6)D -和54=+-m i j k ，求：（1）向量=a 43AB CD +- m 在三个坐标轴上的投影及分向量；（2）a 的模；（3）a 的方向余弦；（4）与a 平行的两个单位向量. 解 （1）由已知，得{}{}3,5,8,2,4,5AB CD ==- ,所以向量a 的坐标表示为 {}{}{}4343,5,832,4,5{5,1,4}13,7,51AB CD =+-=+---=a m ，可得向量a 在三个坐标轴上的投影分别为13,7,51x y z a a a ===；向量a 在三个坐标轴上的分向量分别为x a i 13=i ，y a j 7=j ，z a k 51=k .（2）向量a 的模为=a ==（3）向量a 的方向余弦为 cos α=1a x a =, cos β=1a y a =, cos γ=1a z a =. （4）与向量a 平行的两个单位向量为}013,7,51=±=a a a . 7. 设向量的方向余弦分别满足（1）cos 0α=；（2）cos 1β=；（3）cos cos 0βγ==.问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解 （1）由cos 0α=可知，该向量与x 轴夹角为π2，即垂直于x 轴，并且平行于yOz 坐标面；第7章 向量代数与空间解析几何 6（2）由cos 1β=可知，该向量与y 轴夹角为0，于是该向量的指向与y 轴正向一致，并且垂直于xOz 坐标面；（3） 由cos cos 0βγ==可知，该向量与y 轴和z 轴夹角均为2π，于是该向量平行于x 轴，并且垂直于yOz 坐标面. 8. 已知(2,1,7)A -，(4,5,2)B -，线段AB 交xOy 坐标面于点P ，且AP PB λ= ，求λ的值. 解 由于点P 在xOy 坐标面上，可设点P 的坐标为(,,0)x y ，则{}2,1,7AP x y =-+- ，{}4,5,2PB x y =--- ,又因为AP PB λ= ，即217452x y x y λ-+-===---，于是72λ=. 9. 一个向量的终点在点(2,1,7)B -，且其在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4，4-和7，求这个向量的起点A 的坐标.解 设此向量的起点A 的坐标为(,,)x y z ，则向量{}2,1,7AB x y z =---- ,于是向量AB 在三个坐标轴上的投影分别为Pr j x 24AB x =-= ，Pr j y 14AB y =--=- ，Pr j z AB = 77z -=，由这三个等式解得2x =-,3y =,0z =，所以A 点的坐标为(2,3,0)-. 10. 从点(2,4,7)A 沿8912=+-a i j k 方向取||34AB = ，求点B 的坐标. 解 设点B 的坐标为(,,)x y z ,则向量{}2,4,7AB x y z =--- ，又8912=+-a i j k 的一个方向向量为{}8,9,12=-s ，于是向量AB 和向量s 互相平行，可得2478912x y z ---==-， 令2478912x y z k ---===-，则34AB === ，解得2k =，于是8218x k =+=，9422y k =+=，12717z k =-+=-，所以B 点的坐标为(18,22,17)-.7.3 向量的数量积 向量积7.3.1 基本要求1. 熟练掌握用坐标表达式进行向量的数量积与向量积的运算.2. 掌握两个向量夹角的求法.3. 熟练掌握两个向量互相垂直和平行的条件.7.3.2 答疑解惑1. 给出向量a 和b ，如何求以向量a 和b 为邻边的平行四边形的面积？解答 以向量 a 和 b 为邻边的平行四边形的面积为 sin(,)=⨯a b a b a b ，这也是向量积的模的几何意义；同时可知，以向量a 和b 为邻边的三角形的面积为 11sin(,)22=⨯a b a b a b .7.3 向量的数量积 向量积7 2. 向量的数量积是两个向量的模相乘再乘以这两个向量夹角的余弦，向量的向量积是两个向量的模相乘再乘以这两个向量夹角的正弦，这两种说法正确吗？解答 第一种说法是正确的；第二种说法是不正确的，因为向量的向量积的结果是一个向量，这个向量的模是两个向量的模相乘再乘以这两个向量夹角的正弦，方向与这两个向量都垂直.3. 在空间直角坐标系中，i ，j ，k 分别表示沿x 轴，y 轴，z 轴正向的单位向量，它们的坐标表示式分别为i = {}1,0,0，j ={}0,1,0，k ={}0,0,1，为什么⨯=⨯=⨯=i i j j k k 0，而⋅=⋅=⋅=i i j j k k 1？解答 两种乘法的意义不一样. 因为sin 00⨯==i i i i ，所以⨯=i i 0，同理⨯=j j ⨯=k k 0；而2cos01⋅===i i i i i ，同理1⋅=⋅=j j k k .4. 向量的乘法有几种？解答 向量的乘法主要有如下四种：（1）向量与数的乘法；（2）向量与向量的数量积，两个向量的数量积是一个数，满足交换律和结合律；（3）向量与向量的向量积，两个向量的向量积仍然是一个向量，满足结合律但不满足交换律；（4）三个向量的混合积，先作两个向量的向量积，把得到的向量与第三个向量再作数量积，这样得到的数量叫做三个向量的混合积.注意，向量没有除法运算！5.（1）若向量≠a 0，且⋅=⋅a b a c ，能否由此推出=b c ，为什么？（2）若向量≠a 0，且⨯=⨯a b a c ，能否由此推出=b c ，为什么？（3）若向量≠a 0，且⋅=⋅a b a c ，⨯=⨯a b a c ，能否由此推出=b c , 为什么？解答 （1）不能推出=b c . 这是因为，当≠a 0时，由已知条件⋅=⋅a b a c ，可得0⋅-=()a b c ，即⊥-a b c ()，这里的向量-b c 不一定是零向量. 例如，当a ={1,0,0}, b ={0,1,0}和c ={0,0,1}时，0⋅=⋅=a b a c ，但是≠b c ;（2）不能推出=b c . 这是因为，当≠0a 时，由已知条件⨯=⨯a b a c ，可得⨯-=()0a b c .即-//()a b c ，这里的向量-b c 不一定是零向量.例如，当a ={1,0,0}, b ={1,1,0}和c ={2,1,0}时，{0,0,1}⨯=⨯=a b a c , 但是≠b c ; （3）可以推得=b c . 这是因为⋅=⋅a b a c ，所以0⋅-=()a b c ，即a 垂直于-b c . 又因为⨯=⨯a b a c ，所以⨯-=()0a b c ，即a 平行于-b c ，这样，a 既垂直于-b c ，a 又平行于-b c ，且≠0a ，只有-=0b c ，即=b c 成立.由（1）和（2）可知，向量的数量积和向量积运算不同于数的运算，不满足消去律.7.3.3 经典例题解析例1 下列各命题是否正确？（1）⨯=⨯a b b a ；（2）若0⋅=a b ，则=a 0或=b 0，若⨯=a b 0，则=a 0或=b 0.解 （1）不正确，因为向量积不满足交换律，正确的是⨯=-⨯a b b a ，这是因为按右第7章 向量代数与空间解析几何 8手规则从a 转向b 定出的方向恰好与按右手规则从b 转向a 定出的方向相反；（2）不正确，因为数量积、向量积都没有零因子律，即0⋅=a b 不能推出=0a 或者=0b ，⨯=0a b 不能推出=0a 或者=0b .例如，令{}1,0,0=a ，{}0,1,0=b ，此时0⋅=a b ，但是,≠≠00a b ；又令{}1,0,0=a ，{}2,0,0=b ，此时⨯=0a b ，但是,≠≠00a b .例2 设,,a b c 为单位向量，且++=0a b c ，求⋅+⋅+⋅a b b c c a .解 因为1===a b c 且++=0a b c ，所以向量,,a b c 首尾相接构成一个边长为1的正三角形，故cos 3π⎛⎫⋅=π-= ⎪⎝⎭a b a b 21cos 32π=-，同理可得12⋅=-b c ，12⋅=-c a ，所以 ⋅+⋅+⋅=a b b c c a 32-. 例3 已知2=||a , 5=||b , 7=||c , 并且++=0a b c ，计算⋅+⋅+⋅a b b c c a 和⨯+⨯a b b +⨯c c a 的值．解 因为++=0a b c , 所以+=-a b c ，又因为+==-=+a b c c a b ，所以向量a 与向量b 同向，向量a 与向量c 反向，向量b 与向量c 反向，于是⋅+⋅+⋅a b b c c a 25cos057cos 72cos =⨯+⨯π+⨯π103514=--39=-， 并且sin00⨯==a b a b ，sin 0⨯=π=b c b c ，sin 0⨯=π=c a c a ，因此⨯=⨯=⨯a b b c c =0a ，即⨯+⨯+⨯=0a b b c c a .例4 已知||3⋅=a b , ||4⨯=a b , 求||||a b ．解 由已知可得cos 3θ⋅==a b a b ，sin 4θ⨯==a b a b ，将上述两式平方后相加得()225=a b ，所以5=a b .例5 已知向量{}1,0,0=a ，{}0,1,2=-b ，{}2,2,1=-c ，求一单位向量n 0，使得n 0垂直于c ，并且向量0,n a 和b 共面.解 设向量n 0{},,x y z =，因为n 0是单位向量，所以2221x y z ++=. 又因为向量n 0垂直于c ，所以00⋅=n c ，即220x y z -+=，又因为向量0,n a 和b 共面，所以向量n 0垂直于⨯a b ，即0()0⋅⨯=n a b ，又100{0,2,1}012⨯==-i j ka b ，于是{,,}{0,2,1}20x y z y z ⋅=+=.联立方程组2221,220,20,x y z x y z y z ⎧++=⎪-+=⎨⎪+=⎩解得212,,333x y z ===-或212,,333x y z =-=-=，于是所求单位向量0=n 212,,333⎧⎫±-⎨⎬⎩⎭. 例6 已知向量b 和{}1,5,2=-a 共线，且满足3⋅=a b , 求向量b 的坐标．解 设向量b 的坐标为{},,x y z ，由a //b , 得152x y z ==-, 令152x y z k ===-，得,x k = 5,2.y k z k ==-7.3 向量的数量积 向量积9 将它们代入到523x y z +-=中，得到2543k k k ++=, 即1.10k =所以1,10x = 1,2y = 15z =-，即向量=b 111,,1025⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 例7112233a b a b a b ++，其中i a , i b（i =1，2，3）为实数，并指出等号成立的条件.分析 将{}123,,a a a 和{}123,,b b b 分别看作向量a 和b 的坐标，由⋅≤a b a b 可得结论.证明 令=a {}123,,a a a ，=b {}123,,b b b ，因为 cos(,)⋅=a b a b a b ，所以⋅≤a b a b ，即112233a b a b a b ++. 当且仅当 cos(,)1=a b 时，上述不等式中等号成立，此时 (,)0=a b 或 (,)=πa b ,即//a b . 因此，当且仅当312123a a ab b b ==时，有112233a b a b a b ++=.例8 若1=a ，4=b 且()3⨯⨯=-a b a b a ，问向量a 和b 的夹角θ等于多少？ 解 因为向量()⨯⨯a b a 与向量a 垂直，所以[()]0⨯⨯⋅=a b a a ，于是[()](3)3⨯⨯⋅=-⋅=⋅-⋅a b a a b a a b a a a =0，即23⋅=b a a ，亦即2cos 3θ=b a a ，从而233cos 4θ==a a b ，即3arccos 4θ=. 例9若=a ，1=b ，且a 和b 的夹角θ=6π，求： （1）向量+a b 和-a b 的夹角；（2）以向量2+a b 和3-a b 为邻边的平行四边形的面积.解 （1）设向量+a b 和-a b 的夹角为α，则()()cos α+⋅-=+-a b a b a b a b，在以向量a , b 和+a b 为边的三角形中应用余弦定理得2222cos 76π⎛⎫+=+-π-= ⎪⎝⎭a b a b a b ，即+=a b ，在以向量a ,b 和-a b 为边的三角形中应用余弦定理得22-=+a b a22cos 16π-=b a b ，即1-=a b ，又因为22()()2+⋅-=⋅-⋅=-=a b a b a a b b a b，所以cos α=α=； （2）以2+a b 和3-a b 为邻边的平行四边形的面积为(2)(3)5()55sin 62π+⨯-=-⨯=⨯==a b a b a b a b a b . 注 平行四边形的面积是由向量积的模的几何意义得到的，在这里向量积(2)+⨯a b (3)-a b 的模|(2)(3)|+⨯-a b a b 表示以向量2+a b 和3-a b 为邻边的平行四边形的面积.第7章 向量代数与空间解析几何 107.3.4 习题全解1. 求向量{4,3,4}=-a 在向量{2,2,1}=b 上的投影.解 向量{4,3,4}=-a 在向量{2,2,1}=b上的投影为Prj 2.b ⋅=a b a b 2. 设32=--a i j k ，2=+-b i j k ，求：（1）⋅a b 及⨯a b ；（2）(2)3-⋅a b 及2⨯a b ；（3）a 与b 夹角的余弦. 解 （1）⋅a b ()()()3112213=⨯+-⨯+-⨯-=，⨯a b 12323131257211112121----=--=-+=++---i j k i j k i j k ； （2）(2)3(624)(363)(6)3264(3)18-⋅=-++⋅+-=-⨯+⨯+⨯-=-a b i j k i j k ，2(32)(242)31224212323110214;422224⨯=--⨯+-=-------=-+=++--i j ka b i j k i j k i j k i j k（3）a 和b 夹角的余弦为cos(,)⋅==a b a b a b 3. 已知OA = 3+i k ，OB = 3+j k ，求三角形OAB 的面积. 解法一 根据向量积的定义可知，三角形OAB 的面积为()11sin ,22OAB S OA OB OA OB OA OB ==⨯ △， 又因为OA OB ⨯= 10333013=--+i j k i j k ，所以2OAB S ==△ 解法二 在三角形OAB 中，{}1,0,3OA = 与{}0,1,3OB = 的夹角余弦为()9cos ,10OA OB OA OB OA OB ⋅===， 于是 ()sin ,OA OB =，所以三角形OAB 的面积为()1sin ,2102OAB S OA OB OA OB === △. 4. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角.。
第七章 §7.7 向量法求空间角-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版
§7.7向量法求空间角课标要求 1.能用向量法解决异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用.2.弄清折叠问题中的变量与不变量，掌握折叠问题中线面位置关系的判断和空间角的计算问题．知识梳理1．异面直线所成的角若异面直线l 1，l 2所成的角为θ，其方向向量分别是u ，v ，则cos θ＝|cos 〈u ，v 〉|＝|u·v ||u||v |.2．直线与平面所成的角如图，直线AB 与平面α相交于点B ，设直线AB 与平面α所成的角为θ，直线AB 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，则sin θ＝|cos 〈u ，n 〉|＝|u ·n |u ||n ||＝|u·n||u||n|.3．平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n 1和n 2，则平面α与平面β的夹角即为向量n 1和n 2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|.常用结论1．异面直线所成角的范围是，π2；直线与平面所成角的范围是0，π2；二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是0，π2.2．若平面α与平面β的夹角为θ1，平面α内的直线l 与平面β所成角为θ2，则θ1≥θ2，当l 与α和β的交线垂直时，取等号．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(×)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(×)(3)二面角的平面角为θ，则两个平面的法向量的夹角也是θ.(×)(4)二面角α－l －β的平面角与平面α，β的夹角相等．(×)2．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则直线l 与平面α所成的角为()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案A 解析设直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12，所以直线l 与平面α所成的角为30°.3．已知直线l 1的方向向量s 1＝(1,0,1)与直线l 2的方向向量s 2＝(－1,2，－2)，则直线l 1和l 2所成角的余弦值为()A.24 B.12 C.22 D.32答案C解析设直线l 1与l 2所成的角为θ，因为s 1＝(1,0,1)，s 2＝(－1,2，－2)，所以cos θ＝|cos 〈s 1，s 2〉|＝|s 1·s 2||s 1||s 2|＝|－1－2|2×3＝22.所以直线l 1和l 2所成角的余弦值为22.4．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A.π4B.3π4C.π4或3π4D.π2或3π4答案C 解析∵m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，∴m ·n ＝1，|m |＝1，|n |＝2，若两平面所成的二面角为θ，则|cos θ|＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝22，∴两平面所成的二面角为π4或3π4.题型一异面直线所成的角例1(1)(2023·武汉模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA ＝BC ，E 为CD 的中点，F 为PC 的中点，则异面直线BF 与PE 所成角的余弦值为()A ．－39 B.39C ．－539 D.539答案B 解析如图，以点A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝2，异面直线BF 与PE 所成的角为θ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，P (0,0,2)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，则E (1,2,0)，F (1,1,1)，所以BF →＝(－1,1,1)，PE →＝(1,2，－2)，所以cos θ＝|cos 〈BF →，PE →〉|＝|BF →·PE →||BF →||PE →|＝|－1＋2－2|3×3＝39，所以异面直线BF 与PE 所成角的余弦值为39.(2)(2023·开封模拟)在如图所示的圆台中，四边形ABCD 为其轴截面，AB ＝2CD ＝4，母线长为3，P 为下底面圆周上一点，异面直线AD 与OP (O 为下底面圆心)所成的角为π3，则CP 2的大小为()A ．7－23B ．7－23或7＋23C ．19－43D ．19－43或19＋43答案B 解析以O 为原点，OB 所在直线为y 轴，过点O 作x 轴⊥OB ，圆台的轴为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，作DE ⊥AB 于点E ，AE ＝12AB －12CD ＝1，在Rt △ADE 中，AD ＝3，DE ＝AD 2－AE 2＝2，则D (0，－1，2)，A (0，－2,0)，C (0,1，2)，AD →＝(0,1，2)，设P (2cos θ，2sin θ，0)，0≤θ<2π，OP →＝(2cos θ，2sin θ，0)，由于异面直线AD 与OP (O 为下底面圆心)所成的角为π3，∴cos π3＝|OP →·AD →||OP →||AD →|＝|2sin θ|2×3＝|sin θ|3＝12，∴sin θ＝±32，CP →＝(2cos θ，2sin θ－1，－2)，CP 2＝|CP →|2＝4cos 2θ＋4sin 2θ－4sin θ＋1＋2＝7－4sin θ＝7±23.思维升华用向量法求异面直线所成的角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系．(2)用坐标表示异面直线的方向向量．(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．(4)，π2，即异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．跟踪训练1(1)(2023·台州统考)如图，已知菱形ABCD 的边长为3，对角线BD 长为5，将△ABD 沿着对角线BD 翻折至△A ′BD ，使得线段A ′C 长为3，则异面直线A ′B 与CD 所成角的余弦值为()A.34B.54C.49D.89答案D 解析因为A ′C ＝A ′D ＝CD ＝3.所以2A ′C ——→·CD →＝(A ′C ——→＋CD →)2－A ′C ——→2－CD →2＝A ′D ——→2－A ′C ——→2－CD →2＝9－9－9＝－9.因为CB ＝CD ＝3，BD ＝5.所以2CB →·CD →＝CB →2＋CD →2－(CB →－CD →)2＝CB →2＋CD →2－DB →2＝9＋9－25＝－7.所以A ′B ——→·CD →＝(A ′C ——→＋CB →)·CD →＝A ′C ——→·CD →＋CB →·CD →＝－92－72＝－8.若异面直线A ′B 与CD 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈A ′B ——→，CD →〉|＝|A ′B ——→·CD →||A ′B ——→||CD →|＝|－8|3×3＝89.所以异面直线A ′B 与CD 所成角的余弦值为89.(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，AF →＝λAD →(0<λ<1)，若异面直线D 1E 和A 1F 所成角的余弦值为3210，则λ的值为______．答案13解析以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，正方体的棱长为2，则A 1(2,0,2)，D 1(0,0,2)，E (0,2,1)，A (2,0,0)，∴D 1E —→＝(0,2，－1)，A 1A ＝(0,0，－2)，AD →＝(－2,0,0)，A 1F —→＝A 1A —→＋AF →＝A 1A —→＋λAD →＝(－2λ，0，－2)．∴|cos 〈A 1F —→，D 1E —→〉|＝|A 1F —→·D 1E —→||A 1F —→||D 1E —→|＝22λ2＋1×5＝3210，解得λ＝－13舍去题型二直线与平面所成的角例2(2022·全国甲卷)在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，CD ∥AB ，AD ＝DC ＝CB ＝1，AB ＝2，DP ＝3.(1)证明：BD ⊥PA ；(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．(1)证明在四边形ABCD 中，作DE ⊥AB 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图．因为CD ∥AB ，AD ＝CD ＝CB ＝1，AB ＝2，所以四边形ABCD 为等腰梯形，所以AE ＝BF ＝12，故DE ＝AD 2－AE 2＝32，BD ＝DE 2＋BE 2＝3，所以AD 2＋BD 2＝AB 2，所以AD ⊥BD .因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BD ，又PD ∩AD ＝D ，PD ，AD ⊂平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD .又因为PA ⊂平面PAD ，所以BD ⊥PA .(2)解由(1)知，DA ，DB ，DP 两两垂直，如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0，3，0)，P (0,0，3)，则AP →＝(－1,0，3)，BP →＝(0，－3，3)，DP →＝(0,0，3)．设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·AP →＝0，·BP →＝0，x ＋3z ＝0，－3y ＋3z ＝0，可取n ＝(3，1,1)，则cos 〈n ，DP →〉＝n ·DP →|n ||DP →|＝35×3＝55，所以PD 与平面PAB 所成角的正弦值为55.思维升华利用空间向量求线面角的解题步骤跟踪训练2(2023·开封模拟)如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，圆柱OQ 的侧面积为63π，点P 在圆柱OQ 的下底面圆周上，且△OPB 是边长为3的等边三角形．(1)若G 是DP 的中点，求证：AG ⊥BD ；(2)若DG →＝2GP →，求GB 与平面ABCD 所成角的正弦值．(1)证明设圆柱OQ 的底面半径为r ，高为h .因为△OPB 是边长为3的等边三角形，所以∠ABP ＝60°，r ＝ 3.因为圆柱OQ 的侧面积为63π，所以2πrh ＝63π，解得h ＝3.在下底面圆O 中，∠APB ＝90°，∠ABP ＝60°，所以AP ＝BP ·tan 60°＝3.因为DA ⊥平面APB ，所以DA ⊥BP ，DA ⊥AP .因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，又AP ∩AD ＝A ，AP ，AD ⊂平面APD ，所以BP ⊥平面APD .因为AG ⊂平面APD ，所以BP ⊥AG .在△DAP 中，AD ＝AP ＝3，G 是DP 的中点，所以DP ⊥AG .又BP ∩DP ＝P ，BP ，DP ⊂平面BPD ，所以AG ⊥平面BPD .因为BD ⊂平面BPD ，所以AG ⊥BD .(2)解在下底面圆O 内过O 作Ox ⊥AB ，连接OQ .以O 为原点，Ox →，OB →，OQ →分别为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．则B (0，3，0)，D (0，－3，3)，P 32，32，0因为DG →＝2GP →，设G 点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则(x 0，y 0＋3，z 0－3)＝x 0，32－y 0，－z0＝0＋3＝y 0－3＝－2z 0，0＝1，0＝0，0＝1，所以G (1,0,1)，所以GB →＝(－1，3，－1)．显然，向量n ＝(1,0,0)是平面ABCD 的一个法向量．设GB 与平面ABCD 所成的角为θ，所以sin θ＝|cos 〈GB →，n 〉|＝|GB →·n ||GB →||n |＝55.所以GB 与平面ABCD 所成角的正弦值为55.题型三平面与平面的夹角例3(12分)(2023·全国乙卷)如图，三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BC ＝22，PB ＝PC ＝6，BP ，AP ，BC 的中点分别为D ，E ，O ，AD ＝5DO ，点F 在AC 上，BF ⊥AO .(1)证明：EF ∥平面ADO ；[切入点：由BF ⊥AO 找F 位置](2)证明：平面ADO ⊥平面BEF ；[切入点：证明AO ⊥平面BEF ](3)求二面角D －AO －C 的正弦值．[关键点：由AO ⊥BE 及PB 长求点P 坐标][思路分析](1)利用向量及BF →⊥AO →→F 为AC 中点→EF ∥OD(2)利用勾股定理→AO ⊥OD →AO ⊥平面BEF(3)建系设点P 坐标→由AO ⊥BE 及PB 长求点P 坐标→求法向量→求角(1)证明设AF ＝tAC ，则BF →＝BA →＋AF →＝(1－t )BA →＋tBC →，AO →＝－BA →＋12BC →，(1分)①处用BA →，BC →表示BF →，AO→因为BF ⊥AO ，(3分)②处利用⊥找点F 位置BF →⊥AO →找点F 位置又D ，E ，O 分别为PB ，PA ，BC 的中点，于是EF ∥PC ，DO ∥PC ，所以EF ∥DO ，又EF ⊄平面ADO ，DO ⊂平面ADO ，所以EF ∥平面ADO .(4分)(2)证明由(1)可知EF ∥DO ，由题意可得AO ＝AB 2＋OB 2＝6，DO ＝12PC ＝62，所以AD ＝5DO ＝302，因此DO 2＋AO 2＝AD 2＝152，则DO⊥AO ，(6分)③处利用勾股定理证明AO ⊥OD所以EF ⊥AO ，又AO ⊥BF ，BF ∩EF ＝F ，BF ，EF ⊂平面BEF ，则有AO ⊥平面BEF ，(7分)又AO ⊂平面ADO ，所以平面ADO ⊥平面BEF .(8分)(3)解如图，以B 为坐标原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴，建立空间直角坐标系，则B (0,0,0)，A (2,0,0)，O (0，2，0)，AO →＝(－2，2，0)．因为PB ＝PC ，BC ＝22，所以设P (x ，2，z )，z >0，(9分)则BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋12AP →＝(2,0,0)＋12(x －2，2，z )④处求BE →坐标由(2)得AO ⊥BE ，分)⑤处利用AO ⊥BE 及PB 长求点P 坐标由D 为PB 的中点，得－12，22，AD →－52，22，设平面DAO 的法向量为n 1＝(a ，b ，c )，1·AD →＝0，1·AO →＝0，－52a ＋22b ＋32c ＝0，2a ＋2b ＝0，得b ＝2a ，c ＝3a ，取a ＝1，则n 1＝(1，2，3)．易知平面CAO 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，(11分)设二面角D －AO －C 的大小为θ，则|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝36＝22，所以sin θ＝1－12＝22，⑥处利用向量法求两法向量夹角故二面角D －AO －C 的正弦值为22.(12分)利用法向量的方向判断二面角二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角，法向量的方向指向内部的称为“进”入半平面；法向量的方向指向外部的称为穿“出”半平面；当法向量m ，n “一进一出”时，m ，n 的夹角就是二面角的大小；当法向量m ，n “同进同出”时，m ，n 的夹角就是二面角的补角．典例在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 为棱AB 的中点，则二面角D 1－EC －D 的余弦值为________．答案63解析建立如图所示的空间直角坐标系，由AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，得E (1,1,1)，C (0,2,1)，D 1(0,0,0)，则D 1E —→＝(1,1,1)，D 1C —→＝(0,2,1)，设平面D 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，1E →·n ＝0，1C →·n ＝0，＋y ＋z ＝0，y ＋z ＝0，令z ＝－2，得n ＝(1,1，－2)，易知平面DEC 的法向量为m ＝(0,0,1)，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－26＝－63，由法向量的方向为同出，得二面角D 1－EC －D 的余弦值为63.思维升华利用空间向量计算平面与平面夹角大小的常用方法(1)找法向量：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，然后通过这两个向量的夹角可得到平面与平面夹角的大小．跟踪训练3(2023·新高考全国Ⅱ改编)如图，三棱锥A －BCD 中，DA ＝DB ＝DC ，BD ⊥CD ，∠ADB ＝∠ADC ＝60°，E 为BC 的中点．(1)证明：BC ⊥DA ；(2)点F 满足EF →＝DA →，求平面DAB 与平面ABF 夹角的正弦值．(1)证明如图，连接AE ，DE ，因为E 为BC 的中点，DB ＝DC ，所以DE ⊥BC ，因为DA ＝DB ＝DC ，∠ADB ＝∠ADC ＝60°，所以△ACD 与△ABD 均为等边三角形，所以AC ＝AB ，从而AE ⊥BC ，又AE ∩DE ＝E ，AE ，DE ⊂平面ADE ，所以BC ⊥平面ADE ，而DA ⊂平面ADE ，所以BC ⊥DA .(2)解不妨设DA ＝DB ＝DC ＝2，因为BD ⊥CD ，所以BC ＝22，DE ＝AE ＝ 2.所以AE 2＋DE 2＝4＝AD 2，所以AE ⊥DE ，又AE ⊥BC ，DE ∩BC ＝E ，DE ，BC ⊂平面BCD ，所以AE ⊥平面BCD .以E 为原点，ED ，EB ，EA 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则D (2，0,0)，A (0,0，2)，B (0，2，0)，E (0,0,0)，设平面DAB 与平面ABF 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面DAB 与平面ABF 的夹角为θ，而AB →＝(0，2，－2)，因为EF →＝DA →＝(－2，0，2)，所以F (－2，0，2)，则AF →＝(－2，0,0)．1·DA →＝0，1·AB →＝0，1＋2z 1＝0，－2z 1＝0，取x 1＝1，所以n 1＝(1,1,1)．2·AB →＝0，2·AF →＝0，－2z 2＝0，2＝0，取y 2＝1，所以n 2＝(0,1,1)，所以|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝23×2＝63，从而sin θ＝1－69＝33.所以平面DAB 与平面ABF 夹角的正弦值为33.课时精练一、单项选择题1.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，BC ＝2，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与A 1C 所成的角为()A.π2B.π3C.π4D.π6答案B 解析由题意可知，AB ，AC ，AA 1两两互相垂直，以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，A 1(0,0，2)，C (0，2，0)，，22，∴AD →，22，A 1C —→＝(0，2，－2)，∴|cos 〈AD →，A 1C —→〉|＝|AD →·A 1C —→||AD →||A 1C —→|＝12，∴异面直线AD 与A 1C 所成的角为π3.2．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1，则AC 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为()A.22 B.155 C.64 D.63答案C 解析建立如图所示的坐标系，设AB ＝2，则C 1(3，1,0)，A (0,0,2)，AC 1—→＝(3，1，－2)，易知平面BB 1C 1C 的一个法向量为n ＝(1,0,0)．设AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AC 1—→，n 〉|＝|AC 1—→·n ||AC 1—→||n |＝322＝64.所以AC 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为64.3.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1和DD 1的中点，则平面ECF 与平面ABCD 夹角的余弦值为()A.33B.63C.13D.23答案B 解析以点A 为坐标原点，AB →，AD →，AA 1—→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体的棱长为2，则A (0,0,0)，E (2,0,1)，F (0,2,1)，C (2,2,0)，∴CE →＝(0，－2,1)，CF →＝(－2,0,1)．设平面ECF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·n ＝0，·n ＝0，2y ＋z ＝0，2x ＋z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1,1,2)．易知m ＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量，设平面ECF 与平面ABCD 的夹角为θ.∴cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝21×6＝63.∴平面ECF 与平面ABCD 夹角的余弦值为63.4．(2023·沧州模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是C 1D 1的中点，则异面直线AP 与BA 1所成角的余弦值为()A.26 B.36 C.13 D.23答案A解析方法一设正方体的棱长为2，取CC 1的中点Q ，连接PQ ，AD 1，AC ，AQ ，∵P 是C 1D 1的中点，∴PQ ∥CD 1∥A 1B ，故∠APQ 就是AP 与BA 1所成的角(或其补角)，由勾股定理得AP ＝AQ ＝8＋1＝3，PQ ＝2，由余弦定理得cos ∠APQ ＝AP 2＋PQ 2－AQ 22AP ·PQ ＝9＋2－92×3×2＝26，故异面直线AP 与BA 1所成角的余弦值为26.方法二设正方体的棱长为2，以点D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A (2,0,0)，P (0,1,2)，A 1(2,0,2)，B (2,2,0)，AP →＝(－2,1,2)，BA 1—→＝(0，－2,2)，|cos 〈AP →，BA 1—→〉|＝|AP →·BA 1—→||AP →||BA 1—→|＝23×22＝26，故异面直线AP 与BA 1所成角的余弦值为26.5．(2024·郑州模拟)如图，已知AB 是圆柱底面圆的一条直径，OP 是圆柱的一条母线，C 为底面圆上一点，且AC ∥OB ，OP ＝AB ＝2OA ，则直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为()A.1010B.55C.110D.14答案A 解析∵AB 是圆柱底面圆的一条直径，∴∠AOB ＝90°，∠ACB ＝90°，∵OP ＝AB ＝2OA ，∴∠BAO ＝45°，∴OA ＝OB ，∵AC ∥OB ，∴∠OAC ＝90°，∴四边形OACB 为正方形，设AB ＝2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，0,0)，B (0，2，0)，P (0,0,2)，C (2，2，0)，AB →＝(－2，2，0)，AP →＝(－2，0,2)，设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·AB →＝0，·AP →＝0，－2x ＋2y ＝0，－2x ＋2z ＝0，取x ＝2，则n ＝(2，2，1)，又PC →＝(2，2，－2)，设直线PC 与平面PAB 所成的角为θ，∴sin θ＝|cos 〈n ，PC →〉|＝|n ·PC →||n ||PC →|＝25×22＝1010，∴直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为1010.6．(2023·杭州模拟)若正方形ABCD 的边长为a ，E ，F 分别为CD ，CB 的中点(如图1)，沿AE ，AF 将△ADE ，△ABF 折起，使得点B ，D 恰好重合于点P (如图2)，则直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为()A.22B.34 C.36 D.32答案A 解析由E ，F 分别是为CD ，CB 的中点，可得EF 2＝CE 2＋CF 2＝DE 2＋BF 2＝PE 2＋PF 2，则PE ⊥PF .由AD ⊥DE ，AB ⊥BF ，可得PA ⊥PE ，PA ⊥PF ，所以PA ，PF ，PE 两两互相垂直，以P 为坐标原点，PE ，PF ，PA 分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得P (0,0,0)，0，，a 2，A (0,0，a )，设C (x ，y ，z )，由AC ＝2a ，CE ＝CF ＝a 2，＋y 2＋(z －a )2＝2a 2，＋z 2＝a 24，＋y 2＋z 2＝a 24，＝a 3，＝a 3，＝－a 3，即得，a 3，－所以可得PE →0，PC →，a 3，－设平面PCE 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，·PC →＝ax ′3＋ay ′3－az ′3＝0，·PE →＝ax ′2＝0，令y ′＝1，则x ′＝0，z ′＝1，所以平面PCE 的一个法向量为n ＝(0,1,1)，又PA →＝(0,0，a )，设PA 与平面PCE 所成的角为θ，所以sin θ＝|cos 〈PA →，n 〉|＝|PA →·n ||PA →||n |＝a 2a ＝22.二、多项选择题7．三棱锥A －BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1，n 2，若n 1＝(1,0,0)，n 2＝(－3，0,1)，则二面角A －BD －C 的大小可能为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案AD 解析由已知可得|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝32，因此二面角A －BD －C 的大小为π6或5π6.8．(2023·深圳模拟)如图，在矩形AEFC 中，AE ＝23，EF ＝4，B 为EF 中点，现分别沿AB ，BC 将△ABE ，△BCF 翻折，使点E ，F 重合，记为点P ，翻折后得到三棱锥P －ABC ，则()A ．三棱锥P －ABC 的体积为423B ．直线PA 与直线BC 所成角的余弦值为36C ．直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为13D ．三棱锥P －ABC 外接球的半径为222答案BD 解析由题意可得BP ⊥AP ，BP ⊥CP ，又AP ∩CP ＝P ，AP ，CP ⊂平面PAC ，所以BP ⊥平面PAC ，在△PAC 中，PA ＝PC ＝23，AC 边上的高为(23)2－22＝22，所以V 三棱锥P －ABC ＝V 三棱锥B －P AC ＝13×12×4×22×2＝823，故A 错误；在△PAC 中，cos ∠APC ＝12＋12－162×23×23＝13，BC ＝12＋4＝4，|cos 〈PA →，BC →〉|＝|PA →·BC →||PA →||BC →|＝|PA →·(PC →－PB →)|23×4＝|PA →·PC →－PA →·PB →|83＝||PA →||PC →|cos ∠APC －0|83＝23×23×1383＝36，所以直线PA 与直线BC 所成角的余弦值为36，故B 正确；S △PBC ＝12PB ·PC ＝12×2×23＝23，设点A 到平面PBC 的距离为d ，由V 三棱锥B －P AC ＝V 三棱锥A －PBC ，得13×23d ＝823，解得d ＝463，所以直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为d PA ＝46323＝223，故C 错误；由B 知，cos ∠APC ＝13，则sin ∠APC ＝223，所以△PAC 的外接圆的半径r ＝12·AC sin ∠APC ＝322，设三棱锥P －ABC 外接球的半径为R ，又因为BP ⊥平面PAC ，则R 2＝r 2＝92＋1＝112，所以R ＝222，即三棱锥P －ABC 外接球的半径为222，故D 正确．三、填空题9．(2023·天津统考)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，则异面直线A 1C 1与AD 1所成角的余弦值为________．答案210解析如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，D 1(0,0,3)，A 1(1,0,3)，C 1(0,2,3)，则AD 1—→＝(－1,0,3)，A 1C 1—→＝(－1,2,0)，|cos 〈AD 1—→，A 1C 1—→〉|＝|AD 1—→·A 1C 1—→||AD 1—→||A 1C 1—→|＝110×5＝210因此，异面直线A 1C 1与AD 1所成角的余弦值为210.10．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，AC ＝1，AA 1＝2，∠BAC ＝90°，若直线AB 1与直线A 1C 所成角的余弦值是45，则棱AB 的长度是________．答案1解析建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝a (a >0)，则A (0,0,0)，B 1(a ,0,2)，A 1(0,0,2)，C (0,1,0)，所以AB 1—→＝(a ,0,2)，A 1C —→＝(0,1，－2)，所以|cos 〈AB 1—→，A 1C —→〉|＝|AB 1—→·A 1C —→||AB 1—→||A 1C —→|＝4a 2＋4×5＝45，解得a ＝1，所以棱AB 的长度是1.11．(2023·洛阳模拟)二面角α－l －β的棱上有两个点A ，B ，线段BD 与AC 分别在这个二面角的两个半平面内，并且垂直于棱l ，若AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则平面α与平面β的夹角为________．答案60°解析设二面角α－l －β的大小为θ，因为AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，所以CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0，由题意得CD →＝CA →＋AB →＋BD →，所以|CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2AB →·BD→＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·BD→＝36＋16＋64＋2×6×8×cos(180°－θ)＝(217)2，所以cos(180°－θ)＝－12，即cos θ＝12，所以θ＝60°，则平面α与平面β的夹角为60°.12.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，K ，L 分别是棱AB ，BB 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1D ，DA 的中点，则直线A 1C 与平面EFGHKL 所成角的大小为________；若P ，Q 是六边形EFGHKL 边上两个不同的动点，设直线D 1B 与直线PQ 所成的最小角为θ，则sin θ的值为________．答案90°13解析如图，以点D 为坐标原点，以DA →，DC →，DD 1—→的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A 1(2,0,2)，E (2,1,0)，C (0,2,0)，F (2,2,1)，G (1,2,2)，∴A 1C —→＝(－2,2，－2)，EF →＝(0,1,1)，EG →＝(－1,1,2)，∴A 1C —→·EF →＝0＋2－2＝0，A 1C —→·EG →＝2＋2－4＝0，∴A 1C ⊥EF ，A 1C ⊥EG ，∵EG ∩EF ＝E ，EG ，EF ⊂平面EFGHKL ，∴A 1C ⊥平面EFGHKL ，∴直线A 1C 与平面EFGHKL 所成角的大小为90°.又D 1(0,0,2)，B (2,2,0)，D 1B —→＝(2,2，－2)，由题意知A 1C —→＝(－2,2，－2)为平面EFGHKL 的一个法向量，设直线D 1B 与平面EFGHKL 所成的角为α，则sin α＝|cos 〈D 1B —→，A 1C —→〉|＝|D 1B —→·A 1C —→||D 1B —→||A 1C —→|＝412×12＝13，∵直线PQ ⊂平面EFGHKL ，∴直线D 1B 与直线PQ 所成的角最小时即为直线D 1B 与平面EFGHKL 所成的角，∴sin θ＝13.四、解答题13.如图，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝AD ＝1，AE ＝BC ＝2CF ＝2.(1)求证：BF ∥平面ADE ；(2)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值．(1)证明由CF ∥AE ，CF ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，得CF ∥平面ADE ，由AD ∥BC ，BC ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，得BC ∥平面ADE ，又CF ∩BC ＝C ，CF ，BC ⊂平面BCF ，所以平面BCF ∥平面ADE ，又BF ⊂平面BCF ，所以BF ∥平面ADE .(2)解因为AE ⊥平面ABCD ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以AE ⊥AB ，AE ⊥AD ，又AD ⊥AB ，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，因为AB ＝AD ＝1，AE ＝BC ＝2CF ＝2，所以B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,1,0)，E (0,0,2)，则CE →＝(－1，－2,2)，BE →＝(－1,0,2)，DE →＝(0，－1,2)，设平面BDE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，·BE →＝－x ＋2z ＝0，·DE →＝－y ＋2z ＝0，令z ＝1，则x ＝2，y ＝2，即m ＝(2,2,1)，所以|cos 〈m ，CE →〉|＝|m ·CE →||m ||CE →|＝43×3＝49，即直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49.14．(2024·南昌模拟)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝12AB ，现将△ADC 沿AC 翻至△APC ，使二面角P －AC －B 为直二面角．(1)证明：CB ⊥PA ；(2)若AB ＝4，二面角B －PA －C 的余弦值为217，求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值．(1)证明取AB 的中点E ，连接CE (图略)，∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝12AB ，AE ∥DC ，AE ＝DC ，∴四边形ADCE 是平行四边形，CE ＝AD ，CE ＝AE ＝EB ，∴∠ACB ＝90°，即CB ⊥CA ，∵二面角P －AC －B 为直二面角，∴平面PAC ⊥平面ACB ，又平面PAC ∩平面ACB ＝AC ，CB ⊂平面ABC ，∴CB ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，∴CB ⊥PA .(2)解由AB ＝4知PA ＝PC ＝2，取AC 的中点O ，则OE ∥CB .∴OE ⊥AC ，且OP ⊥AC ，OC ，OE ，OP 两两互相垂直．以O 为原点，OC →，OE →，OP →的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设OC ＝a (a >0)，则C (a ,0,0)，P (0,0，4－a 2)，A (－a ,0,0),B (a ,24－a 2，0)，AB →＝(2a ,24－a 2，0)，AP →＝(a ,0，4－a 2)，易得平面PAC 的一个法向量为n 1＝(0,1,0)，设平面PAB 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，2·AB →＝2ax ＋24－a 2y ＝0，2·AP →＝ax ＋4－a 2z ＝0，取x ＝4－a 2，得y ＝－a ，z ＝－a ，故n 2＝(4－a 2，－a ，－a )，由|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝a 4＋a 2＝217，得a ＝3，则PC →＝(3，0，－1)，AB →＝(23，2,0)，设异面直线PC 与AB 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈PC →，AB →〉|＝|PC →·AB →||PC →||AB →|＝62×4＝34，所以异面直线PC 与AB 所成角的余弦值为34.。
大学数学微积分第七章 向量代数与空间解析几何平面与直线知识点总结
第七章 向量代数与空间解析几何§7.2 平面与直线一、 空间解析几何1 空间解析几何研究的基本问题。
（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程， （2）已知坐标x ，y 和z 间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。
2 距离公式 空间两点()111,,A x y z 与()222,,B x y z 间的距离d 为d =3 定比分点公式(),,M x y z 是AB 的分点：AMMBλ=,点A,B 的坐标为()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则 121x x x λλ+=+，121y y y λλ+=+，121z z z λλ+=+ 当M 为中点时， 122x x x +=，122y y y +=，122z zz += 二、平面及其方程。
1 法向量： 与平面π垂直的非零向量，称为平面π的法向量，通常记成n 。
对于给定的平面π，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。
2 点法式方程： 已知平面π过()000,,M x y z 点，其法向量n ＝{A,B,C},则平面π的方程为 ()()()0000A x x B y y C z z -+-+-= 或()00n r r ⋅-=其中 {}{}0000,,,,,r x y z r x y z ==3 一般式方程：0Ax By Cz D +++=其中A, B, C 不全为零. x, y, z 前的系数表示π的法线方向数，n ＝{A,B,C}是π的法向量 特别情形： 0Ax By Cz ++=，表示通过原点的平面。
0Ax By D ++=，平行于z 轴的平面。
0Ax D +=，平行yOz 平面的平面。
x ＝0表示yOz 平面。
4 三点式方程：设()111,,A x y z ,()222,,B x y z ,()333,,C x y z 三点不在一条直线上。
则通过A,B,C 的平面方程为： 1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 5 平面束：设直线L 的一般式方程为1111222200A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩，则通过L的所有平面方程为1K ()1111A xB yC zD ++++2K ()22220A x B y C z D +++=，其中()()12,0,0k k ≠6 有关平面的问题两平面为 1π：11110A x B y C z D +++= 2π：22220A x B y C z D +++=7 设平面π的方程为0Ax By Cz D +++=，而点()111,,M x y z 为平面π外的一点，则M 到平面π的距离d ： d =三 直线及其方程1 方向向量：与直线平行的非零向量S ，称为直线L 的方向向量。
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计算机体系结构 7. 4
Operation & Instruction Count: RISC v. Vector Processor
(from F. Quintana, U. Barcelona.)
Spec92fp Operations (Millions) Instructions (M)
• CeqV VM,V1,V2 VMASKi = (V1i=V2i)? comp. setmask
• MOV VLR,R1 Vec. Len. Reg. = R1 set vector length
• MOV VM,R1 Vec. Mask = R1
set vector mask
计算机体系结构 7. 9
Program RISC Vector R / V RISC Vector R / V
swim256 115 95 1.1x 115 0.8 142x
hydro2d 58 40 1.4x 58 0.8
71x
nasa7
69 41 1.7x 69 2.2
31x
su2cor
51 35 1.4x
51 1.8
scalar x vector
• LV V1,R1 V1=M[R1..R1+63] load, stride=1
• LVWS V1,R1,R2 V1=M[R1..R1+63*R2] load, stride=R2
• LVI V1,R1,V2 V1=M[R1+V2i,i=0..63] indir.("gather")
• Scalar registers: 存放单个元素用于标量处理或存储地址 • 用交叉开关连接(Cross-bar to connect) FUs , LSUs,
registers
计算机体系结构 7. 7
计算机体系结构 7. 8
“DLXV” Vector Instructions
Instr. Operands eration
SCALAR (1 operation)
VECTOR (N operations)
r1 r2 + r3
add r3, r1, r2
v1 v2
+
v3 vector
length
add.vv v3, v1, v2
计算机体系结构 7. 3
向量处理机的基本特性
• 向量处理机的基本思想：把两个向量的对应分量进行运算，产生一个 结果向量。
• 简单的一条向量指令包含了多个操作 => fewer instruction fetches
• 每一结果独立于前面的结果 => 长流水线，编译器保证操作间没有相关性 =>硬件仅需检测两条向量指令间的相关性 => 较高的时钟频率
• 向量指令以已知的模式访问存储器 => 可有效发挥多体交叉存储器的优势 => 可通过重叠减少存储器操作的延时 64 elements => 不需要数据Cache! (仅使用指令cache)
第七章 向量处理
主要参考：Professor David A. Patterson的讲稿
计算机体系结构 7. 1
传统指令级并行技术的问题
• 挖掘ILP的传统方法的主要缺陷:
1) 提高流水线的时钟频率: 提高时钟频率，有时导
致CPI随着增加 (branches, other hazards)
2) 指令预取和译码: 有时在每个时钟周期很难预取
和译码多条指令
3) 提高Cache命中率 : 在有些计算量较大的应用
中（科学计算）需要大量的数据，其局部性较差， 有些程序处理的是连续的媒体流(multimedia),其 局部性也较差。
计算机体系结构 7. 2
Alternative Model:Vector Processing
• 向量处理机具有更高层次的操作，一条向量指令可以处理N 个或N对操作数（处理对象是向量）
计算机体系结构 7. 10
Memory operations
• Load/store 操作成组地在寄存器和存储器之间移 动数据
• 三类寻址方式
– Unit stride (单步长) »Fastest
– Non-unit (constant) stride (常数步长) – Indexed (gather-scatter) (间接寻址)
• Vector Functional Units (FUs): 全流水化的，每一个clock 启动一个新的操作
– 一般4到8个FUs: FP add, FP mult, FP reciprocal (1/X), integer add, logical, shift; 可能有些重复设置的部件
• Vector Load-Store Units (LSUs): 全流水化地load 或store 一个向量，可能会配置多个LSU部件
• memory-memory vector processors: 所有的向量操作 是存储器到存储器的
• vector-register processors: 除了load 和store操作外， 所有的操作是向量寄存器与向量寄存器间的操作
– 向量机的Load/Store结构 – 1980年以后的所有的向量处理机都是这种结构:
Cray, Convex, Fujitsu, Hitachi, NEC – 下面我们也主要针对这种结构
计算机体系结构 7. 6
向量处理机的基本组成单元
• Vector Register: 固定长度的一块区域，存放单个向量
– 至少2个读端口和一个写端口 – 典型的有8-32 向量寄存器，每个寄存器存放64到128个64位的元素
Comment
• ADDV V1,V2,V3 V1=V2+V3
vector + vector
• ADDSV V1,F0,V2 V1=F0+V2
scalar + vector
• MULTV V1,V2,V3 V1=V2xV3
vector x vector
• MULSV V1,F0,V2 V1=F0xV2
29x
tomcatv 15 10 1.4x 15 1.3
11x
wave5
27 25 1.1x 27 7.2
4x
mdljdp2 32 52 0.6x 32 15.8
2x
Vector reduces ops by 1.2X, instructions by 20X
计算机体系结构 7. 5
向量处理机的基本结构