2021年高考数学二模试卷(理科)
2021年高三二模试题(数学理)word版
试卷类型:A 2021年高三二模试题（数学理）word版说明：1. 本试卷共4页,包括三道大题，22道小题，共150分。
其中第一道大题为选择题。
2. 所有答案在答题卡上作答(选择题用机读卡的学校直接涂机读卡上，在本试卷籾草稿纸上作答无效。
答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题。
3. 做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案。
4. 考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。
参考公式：如果事件A,B互斥，那么球的表面积公式P(A +B) = P(A) + P(B)如果事件A，B相互独立，那么其中表示球的半径P(A • B) = P(A) • P(B)球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数的虚部是A, 1 B. -1 C. i D.-i2. 已知集合则图中阴影部分表示的集合为A. ( -3,1 ]B.( -3,-1)C-[ -1,1) D.(,—3]u[-l)3. =A. 1B.C.D.4. 函数y= l+logx(a>0且的反函数是A. B,C. D.5. 向量，则“x=2”是“a//b"的A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 等差数列中，，则的值为A. 14B. 15C. 16D. 177. 曲线在点（1,1）处的切线为l，则l上的点到圆x2+y2+4x+3=0上的点的最近距离是A. B. C. D.8.某企业拟在指定的4个月内向市场投放3种不同的产品，且在同一个月内投放的产品不超过2种，则该企业产品的不同投放方案有A.16 种B36 种 C.42 种 D.60 种9. 已知函数.是定义在实数集R上的可导函数，是其导函数，则下列说法不正确的是A. 若.为周期函数，则也是周期函数；B. 若.为奇函数，则是偶函数；C. 若，为偶函数,则是奇函数；D. 若为单调函数,则也是单调函数.10. 不等式•的解集为(4，b)，则实数b的值为A.9B. 18C. 36D.4811. 半径为2的球面上冇P,M,N,R四点，且PM,PN,PR两两垂直，则的最大值为A. 8B. 12C. 16D. 2412.已知点分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于X轴的直线与双曲线交于A,B两点，若为钝角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是A.()B.()C. (•)D. (1,1 +)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13. 在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为_______.14. 的展开式中x4的系数为_______.15. 函数y=sinx 的定义域为[a,b]，值域为[-1,，]，则b-a的取值范围是_______16.正三棱锥S-ABC中，侧棱与底面所成角的余弦值为，点M,N分别为棱S C、SA的中点，则异面直线AM与B N所成角的余弦值为_______.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明8证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分）已知中，，，设.(1 )用表示；(11)求的单调递增区间.18. (本小题满分12分）某装置由两套系统M,N组成，只要有一套系统工作正常，该装置就可以正常工作。
湖南省湘潭市2021年高考复习数学二模试卷(理科)
C．（2，2）
D．（2，﹣2）
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】结合复数的运算法则以及复数的几何意义进行求解即可．
7
【解答】解：z =
‒
4 1
‒
푖
=‒
1
4 +
푖
=‒
(1
4(1 ‒ 푖) + 푖)(1 ‒
푖)
=‒
4
‒ 4푖 2
3
A．3x + 2，3s2+2 B．3x，3s2
C．3x + 2，9s2
D．3x + 2，9s2+2
【考点】BC：极差、方差与标准差．
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5I：概率与统计；66：数据分析．
【分析】根据题意，由平均数公式可得x = 1010（x1+x2+…+x100），s2
（1）求 sinA； （2）若 3csinA = 2asinB，△ABC 的面积为 2，求△ABC 的周长
18．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 的底面是直角梯形，AB∥DC，AB⊥BC，△PAB 和△PBC 是两个边 长为 2 的正三角形，DC＝4，O 为 AC 的中点，E 为 PB 的中点． （Ⅰ）求证：OE∥平面 PCD； 2 （Ⅱ）在线段 DP 上是否存在一点 Q，使直线 BQ 与平面 PCD 所成角的正弦值为 3 ？若存在，求出点 Q 的位置；若不存在，说明理由．
C．7
D．6
6．（5 分）已知数列{an}等比数列，首项 a1＝2，数列{bn}满足 bn＝log2a n，且 b 2+b 3+b 4＝9，则 a 5＝ （）
2021年高三二模数学(理)试题含解析
2021年高三二模数学（理）试题含解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）=（）A． B． C． D．【考点】：运用诱导公式化简求值．【专题】：三角函数的求值．【分析】：原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解析】：解：sin（﹣）=sin（﹣4π+）=sin=，故选：C．【点评】：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．（5分）设a=logπ，π，c=π4，则a，b，c的大小关系是（）4A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【考点】：对数值大小的比较．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解析】：解：∵0＜a=log4π＜1，π＜0，c=π4，＞1，∴c＞a＞b，故选：D．【点评】：本题考查了指数与对数函数的单调性，属于基础题．3．（5分）已知{a n}为各项都是正数的等比数列，若a4•a8=4，则a5•a6•a7=（）A．4 B．8 C．16 D．64【考点】：等比数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由等比数列的性质可得a6=2，而a5•a6•a7=a63，代值计算可得．【解析】：解：∵{a n}为各项都是正数的等比数列且a4•a8=4，∴由等比数列的性质可得a62=a4•a8=4，∴a6=2，再由等比数列的性质可得a5•a6•a7=a63=8，故选：B．【点评】：本题考查等比数列的性质，属基础题．4．（5分）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，1，2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（）A．1＞2，s1＜s2 B．1=2，s1＜s2 C．1=2，s1=s2 D．1＜2，s1＞s2【考点】：众数、中位数、平均数；茎叶图．【专题】：概率与统计．【分析】：根据茎叶图中的数据，计算出甲、乙同学测试成绩的平均数与方差、标准差，即可得出结论【解析】：解：由茎叶图可知，甲的成绩分别为：78，79，84，85，85，86，91，92，乙的成绩分别为：77，78，83，85，85，87，92，93，所以=（78+79+84+85+85+86+91+92）=85，s12=[（78﹣85）2+（79﹣85）2+0+0+（86﹣85）2+（91﹣85）2+（92﹣85）2]=，2=（77+78+83+85+85+87+92+93）=85，s22=[（77﹣85）2+（78﹣85）2+0+0+（87﹣85）2+（92﹣85）2+（93﹣85）2]=，∴1=2，s1＜s2故选：B【点评】：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数、方差、标准差的计算问题，是基础题5．（5分）已知p、q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：命题的否定；复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：规律型．【分析】：由p∧q为真命题，知p和q或者同时都是真命题，由¬p是假命题，知p是真命题．由此可知“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的充分不必要条件．【解析】：解：∵p∧q为真命题，∴p和q或者同时都是真命题，由¬p是假命题，知p是真命题．∴“p∧q是真命题”推出“¬p是假命题”，反之不能推出．则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的充分而不必要条件．故选A．【点评】：本题考查复合命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细求解．6．（5分）若实数x，y满足不等式组则z=2|x|+y的取值范围是（）A．[﹣1，3] B．[1，11] C．[1，3] D．[﹣1，11]【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：先画出满足条件的平面区域，通过讨论x的范围，求出直线的表达式，结合图象从而求出z的范围．【解析】：解：画出满足条件的平面区域，如图示：，显然x≤0时，直线方程为：y=2x+z，过（0，﹣1）时，z最小，Z最小值=﹣1，x≥0时，直线方程为：y=﹣2x+z，过（6，﹣1）时，z最大，Z最大值=11，故选：D．【点评】：本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．7．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当x∈[﹣3，﹣1）时，f（x）=﹣（x+2）2，当x∈[﹣1，3）时，f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（xx）=（）A．336 B．355 C．1676 D．xx【考点】：数列与函数的综合．【专题】：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】：直接利用函数的周期性，求出函数在一个周期内的和，然后求解即可．【解析】：解：定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．可得函数的周期为：6，当x∈[﹣3，﹣1）时，f（x）=﹣（x+2）2，当x∈[﹣1，3）时，f（x）=x，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（﹣3）=﹣1，f（4）=f（﹣2）=0，f（5）=f（﹣1）=﹣1，f（6）=f（0）=0，xx=6×335+5，f（1）+f（2）+f（3）+…+f（xx）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+335[f（1）+f（2）+…+f（6）]=1+2﹣1+0﹣1+335×（1+2﹣1+0﹣1+0）=336．故选：A．【点评】：本题考查数列与函数相结合，函数的值的求法，函数的周期性的应用，考查计算能力．8．（5分）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】：抽象函数及其应用．【专题】：压轴题．【分析】：首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解析】：解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．【点评】：本题考查对新规则的阅读理解能力．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）若的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n=6，展开式中的常数项为15．（用数字作答）【考点】：二项式系数的性质．【专题】：二项式定理．【分析】：首先由二项式系数的性质列式求得n值，再写出二项展开式的通项并整理，由x 得指数为0求得r值，则答案可求．【解析】：解：由题意知：2n=64，即n=6；则，由．令3﹣，得r=2．∴展开式中的常数项为．故答案为：6；15．【点评】：本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．10．（5分）已知正数x，y满足x+y=xy，则x+y的最小值是4．【考点】：基本不等式．【专题】：计算题．【分析】：依题意由基本不等式得x+y=xy≤，从而可求得x+y的最小值．【解析】：解：∵x＞0，y＞0，∴xy≤，又x+y=xy，∴x+y≤，∴（x+y）2≥4（x+y），∴x+y≥4．故答案为：4【点评】：本题考查基本不等式，利用基本不等式将已知条件转化为关于x+y的二次不等式是关键，属于基础题．11．（5分）若直线为参数）与曲线为参数，a＞0）有且只有一个公共点，则a=．【考点】：参数方程化成普通方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：将直线和曲线的参数方程转化为圆的普通方程即可．【解析】：解：直线的普通方程为x+y=2，曲线的普通的方程为（x﹣4）2+y2=a2（a＞0），表示为圆心坐标为（4，0），半径为a，若直线和圆只有一个公共点，则直线和圆相切，则圆心到直线的距离d===a，即a=，故答案为：．【点评】：本题主要考查参数方程和普通方程的转化，以及直线和圆的位置关系的应用，将参数方程转化为普通方程是解决参数方程的基本方法．12．（5分）若双曲线=1（a＞0，b＞0）截抛物线y2=4x的准线所得线段长为b，则a=．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求得抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，代入双曲线方程，求得弦长，解方程，即可得到a．【解析】：解：抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，代入双曲线=1，可得y=±b，由题意可得，b=2b，解得a=．故答案为：．【点评】：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查抛物线的准线的运用，考查运算能力，属于基础题．13．（5分）已知非零向量，满足||=1，与﹣的夹角为120°，则||的取值范围是（0，]．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：设，，由已知与﹣的夹角为120°可得∠ABC=60°，由正弦定理=得||=sinC≤，从而可求||的取值范围【解析】：解：设，，如图所示：则由又∵与﹣的夹角为120°，∴∠ABC=60°又由||=||=1由正弦定理=得||=sinC≤∴||∈（0，]故答案为：．【点评】：本题主考查了向量的减法运算的三角形法则，考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质，属于中档题．14．（5分）如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．给出下列四个命题：①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个．②若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有2个．③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个．④若p=q，则点M的轨迹是一条过O点的直线．其中所有正确命题的序号为①②③．【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据点M的“距离坐标”的定义即可判断出正误．【解析】：解：①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点是两条直线的交点O，因此有且仅有1个，正确．②若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（0，q）（q≠0）或（p，0）（p≠0），因此满足条件的点有且仅有2个，正确．③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个，如图所示，正确．④若p=q，则点M的轨迹是两条过O点的直线，分别为交角的平分线所在直线，因此不正确．综上可得：只有①②③正确．故答案为：①②③．【点评】：本题考查了新定义“距离坐标”，考查了理解能力与推理能力、数形结合的思想方法，属于中档题．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（13分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的定义域及其最大值；（Ⅱ）求f（x）在（0，π）上的单调递增区间．【考点】：三角函数的最值．【专题】：三角函数的求值．【分析】：（Ⅰ）解sinx≠0可得f（x）的定义域，化简可得f（x）=，可得f（x）的最大值；（Ⅱ）由和x∈（0，π）可得f（x）在（0，π）上的单调递增区间．【解析】：解：（Ⅰ）由sinx≠0，得x≠kπ（k∈Z）．∴f（x）的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}，∵=2cosx﹣2sinx=，∴f（x）的最大值为；（Ⅱ）∵函数y=cosx的单调递增区间为[2kπ+π，2kπ+2π]（k∈Z）由，x≠kπ（k∈Z），且x∈（0，π），∴f（x）在（0，π）上的单调递增区间为【点评】：本题考查三角函数的最值和单调性，属基础题．16．（13分）某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（Ⅰ）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；（Ⅱ）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”．求出A，B的概率，然后求解甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率．（Ⅱ）X的可能取值为：0，1，2，3．求出概率，得到X为分布列，然后求解期望．【解析】：（共13分）解：（Ⅰ）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”．则，．因为事件A与B相互独立，所以甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率为．…（4分）（Ⅱ）设事件C为“丙同学选中C课程”．则．X的可能取值为：0，1，2，3．．=．=．．X为分布列为：．…（13分）【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．17．（14分）如图，三棱柱ABC﹣DEF的侧面BEFC是边长为1的正方形，侧面BEFC⊥侧面ADEB，AB=4，∠DEB=60°，G是DE的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面AGF；（Ⅱ）求证：GB⊥平面BEFC；（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使二面角P﹣GE﹣B为45°，若存在，求BP的长；若不存在，说明理由．【考点】：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明CE∥平面AGF；（Ⅱ）根据线面垂直的判定定理即可证明GB⊥平面BEFC；（Ⅲ）在建立空间直角坐标系，利用向量法结合二面角的大小建立方程关系即可得到结论．【解析】：（Ⅰ）证明：连接CD与AF相交于H，则H为CD的中点，连接HG．因为G为DE的中点，所以HG∥CE．因为CE⊄平面AGF，HG⊂平面AGF，所以CE∥平面AGF．（Ⅱ）证明：BE=1，GE=2，在△GEB中，∠GEB=60°，BG=．因为BG2+BE2=GE2，所以GB⊥BE．因为侧面BEFC⊥侧面ADEB，侧面BEFC∩侧面ADEB=BE，GB⊂平面ADEB，所以GB⊥平面BEFC．（Ⅲ）解：BG，BE，BC两两互相垂直，建立空间直角坐标系B﹣xyz．假设在线段BC上存在一点P，使二面角P﹣GE﹣B为45°．平面BGE的法向量m=（0，0，1），设P（0，0，λ），λ∈[0，1]．，E（0，1，0）．所以=（﹣，0，λ），．设平面PGE的法向量为n=（x，y，z），则所以令z=1，得y=λ，，所以PGE的法向量为．因为m•n=1，所以，解得∈[0，1]，故．因此在线段BC上存在一点P，使二面角P﹣GE﹣B为45°，且．【点评】：本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的判定，以及空间二面角的求解和应用，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的基本方法．18．（13分）已知函数f（x）=x+a•e﹣x．（Ⅰ）当a=e2时，求f（x）在区间[1，3]上的最小值；（Ⅱ）求证：存在实数x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：计算题；证明题；分类讨论；导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）当a=e2时，f（x）=x+e2﹣x，x∈[1，3]；f′（x）=1﹣e2﹣x，从而由导数的正负确定函数的单调性及最值；（Ⅱ）“存在实数x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a”等价于f（x）的最大值大于a；且f′（x）=1﹣ae﹣x，从而分当a≤0时，当a＞0时两大类讨论，再在a＞0时分a≥e3时，e﹣3＜a＜e3时与0＜a≤e﹣3时讨论，从而证明．【解析】：解：（Ⅰ）当a=e2时，f（x）=x+e2﹣x，x∈[1，3]；∵f′（x）=1﹣e2﹣x，由f′（x）=0得x=2；则x，f′（x），f（x）关系如下：所以当x=2时，f（x）有最小值为3．（Ⅱ）证明：“存在实数x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a”等价于f（x）的最大值大于a．因为f′（x）=1﹣ae﹣x，所以当a≤0时，x∈[﹣3，3]，f′（x）＞0，f（x）在（﹣3，3）上单调递增，所以f（x）的最大值为f（3）＞f（0）=a．所以当a≤0时命题成立；当a＞0时，由f′（x）=0得x=lna．则x∈R时，x，f′（x），f（x）关系如下：（1）当a≥e3时，lna≥3，f（x）在（﹣3，3）上单调递减，所以f（x）的最大值f（﹣3）＞f（0）=a．所以当a≥e3时命题成立；（2）当e﹣3＜a＜e3时，﹣3＜lna＜3，所以f（x）在（﹣3，lna）上单调递减，在（lna，3）上单调递增．所以f（x）的最大值为f（﹣3）或f（3）；且f（﹣3）＞f（0）=a与f（3）＞f（0）=a必有一成立，所以当e﹣3＜a＜e3时命题成立；（3）当0＜a≤e﹣3时，lna≤﹣3，所以f（x）在（﹣3，3）上单调递增，所以f（x）的最大值为f（3）＞f（0）=a．所以当0＜a≤e﹣3时命题成立；综上所述，对任意实数a都存在x∈[﹣3，3]使f（x）＞a成立．【点评】：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题及分类讨论的思想应用，属于中档题．19．（13分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A为椭圆C的左顶点，过点A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P．证明：|AM|•|AN|=2|OP|2．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为，由离心率公式和a，bc的关系和椭圆的定义，得到方程组，解得a，b，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线AM的方程为：y=k（x+2），联立椭圆方程，运用韦达定理，设A（﹣2，0），M（x1，y1），可得M的坐标，运用两点的距离公式，计算|AM|，|AN|，再由直线y=kx代入椭圆方程，求得P的坐标，得到|OP|，计算即可得证结论．【解析】：解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为，由题意知解得a=2，b=1．所以椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）证明：设直线AM的方程为：y=k（x+2），则N（0，2k）．由得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0（*）．设A（﹣2，0），M（x1，y1），则﹣2，x1是方程（*）的两个根，所以．所以．=．．则．设直线OP的方程为：y=kx．由得（1+4k2）x2﹣4=0．设P（x0，y0），则，．所以，．所以|AM|•|AN|=2|OP|2．【点评】：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和两点的距离公式，考查运算能力，属于中档题．20．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=a（a≠3），，设，n∈N*．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）若a n+1≥a n，n∈N*，求实数a的最小值；（3）当a=4时，给出一个新数列{e n}，其中，设这个新数列的前n项和为C n，若C n可以写成t p（t，p∈N*且t＞1，p＞1）的形式，则称C n为“指数型和”．问{C n}中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．【考点】：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【专题】：综合题；新定义．【分析】：（1）依题意，可求得S n+1=2S n+3n，当a≠3时，=2，利用等比数列的定义即可证得数列{b n}是等比数列；（2）由（1）可得S n﹣3n=（a﹣3）×2n﹣1，a n=S n﹣S n﹣1，n≥2，n∈N*，从而可求得a n=，由a n+1≥a n，可求得a≥﹣9，从而可求得实数a的最小值；（3）由（1）当a=4时，b n=2n﹣1，当n≥2时，C n=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，可证得对正整数n都有C n=2n+1，依题意由t p=2n+1，t p﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．分①当p为偶数时与②当p为奇数讨论即可得到答案．【解析】：解：（1）a n+1=S n+3n⇒S n+1=2S n+3n，b n=S n﹣3n，n∈N*，当a≠3时，===2，所以{b n}为等比数列．b1=S1﹣3=a﹣3，b n=（a﹣3）×2n﹣1．（2）由（1）可得S n﹣3n=（a﹣3）×2n﹣1，a n=S n﹣S n﹣1，n≥2，n∈N*，∴a n=，∵a n+1≥a n，∴a≥﹣9，又a≠3，所以a的最小值为﹣9；（3）由（1）当a=4时，b n=2n﹣1，当n≥2时，C n=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，所以对正整数n都有C n=2n+1．由t p=2n+1，t p﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．①当p为偶数时，t p﹣1=（+1）（﹣1）=2n，因为t p+1和t p﹣1都是大于1的正整数，所以存在正整数g，h，使得t p+1=2g，﹣1=2h，2g﹣2h=2，2h（2g﹣h﹣1）=2，所以2h=2且2g﹣h﹣1=1⇒h=1，g=2，相应的n=3，即有C3=32，C3为“指数型和”；②当p为奇数时，t p﹣1=（t﹣1）（1+t+t2+…+t p﹣1），由于1+t+t2+…+t p﹣1是p个奇数之和，仍为奇数，又t﹣1为正偶数，所以（t﹣1）（1+t+t2+…+t p﹣1）=2n不成立，此时没有“指数型和”．【点评】：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列求和，突出逻辑思维与创新思维、综合分析、运算能力的考查，属于难题．=24930 6162 慢D("K30566 7766 睦36539 8EBB 躻c34584 8718 蜘33691 839B 莛28418 6F02 漂33860 8444 葄21443 53C3 參。
安徽省黄山市2021届高三第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析
2021年安徽省黄山市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）“复数（a∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于其次象限”是“a＜﹣1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：复数的代数表示法及其几何意义；必要条件、充分条件与充要条件的推断．【专题】：计算题．【分析】：复数的在与分母同乘分母的共轭复数化简为a+bi的形式，通过对应的点位于其次象限在其次象限，求出a的范围，即可推断它与a＜﹣1的充要条件关系．【解析】：解：复数==，由于复数（a∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于其次象限，所以，解得a，所以“复数（a∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于其次象限”是“a＜﹣1”的必要而不充分条件．故选B．【点评】：本题考查复数的代数形式的混合运算，考查充要条件的应用，考查计算力量．2．（5分）已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的标准方程；抛物线的简洁性质；双曲线的简洁性质．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：先依据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，依据离心率进而求得长半轴，最终依据b2=c2﹣a2求得b，则双曲线的方程可得．【解析】：解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），双曲线的方程为故选D 【点评】：本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了对圆锥曲线基础学问的综合运用．3．（5分）已知是其次象限角，则=（）A．B．C．D．【考点】：两角和与差的正切函数．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由诱导公式化简可得，由平方关系和条件求出sinα，由商的关系求出tanα，利用两角和的正切函数求出的值．【解析】：解：由得，，由于α是其次象限角，所以sinα==，则=，所以====，故选：A．【点评】：本题考查两角和的正切函数，诱导公式，以及同角三角函数的基本关系的应用，留意三角函数值的符号，属于中档题．4．（5分）已知向量与的夹角为若，则实数m=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】：平面对量数量积的运算．【专题】：平面对量及应用．【分析】：求出=3×=3，化简开放（3）•（m）=0，代入||=3，||=2，即可得出42m=87，求出m即可．【解析】：解：∵向量与的夹角为，||=3，||=2，∴=3×=3，∵=3，=m ，⊥，∴（3）•（m）=0即3m||2+（5m﹣9）﹣15||2=0，42m=87m=．故选：A【点评】：本题考查了平面对量的运算，娴熟运用公式，计算精确，难度不大，关键是依据数量积运算，结合运算法则，运用好向量运算的特殊性．5．（5分）已知Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，A是由直线y=0，x=a（0＜a≤1）和曲线y=x3围成的曲边三角形的平面区域，若向区域Ω上随机投一点P，点P落在区域A 内的概率是，则a的值为（）A．B．C．D．【考点】：几何概型．【分析】：依据题意，易得区域Ω的面积，由定积分公式，计算可得区域A的面积，又由题意，结合几何概型公式，可得=，解可得答案．【解析】：解：依据题意，区域Ω即边长为1的正方形的面积为1×1=1，区域A即曲边三角形的面积为∫0a x3dx=x4|0a =a4，若向区域Ω上随机投一点P，点P落在区域A 内的概率是，则有=，解可得，a=，故选D．【点评】：本题考查几何概型的计算，涉及定积分的计算，关键是用a表示出区域A的面积．6．（5分）下列四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每隔10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量ξ听从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣l＜ξ＜0）=﹣p；④在回归直线方程y=0．lx+10中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，其中正确的命题个数是（）A．．1个B．2个C．．3个D．．4个【考点】：命题的真假推断与应用．【专题】：概率与统计；简易规律．【分析】：①这样的抽样是系统抽样，即可推断正误；②利用方差的计算公式及其性质，即可推断正误；③利用正态分布的对称性可得：P（﹣l＜ξ＜0）=，即可推断正误；④利用斜率的意义，即可推断正误．【解析】：解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每隔10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，因此不正确；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，正确；③设随机变量ξ听从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣l＜ξ＜0）==﹣p，正确；④在回归直线方程y=0.1x+10中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，正确．其中正确的命题个数是3．故选：C．【点评】：本题考查了概率统计的有关学问、简易规律的判定方法，考查了推理力量，属于中档题．7．（5分）在平面直角坐标系内，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，直线l 的参数方程是为参数）．若M，N分别为曲线C与直线l上的动点，则|MN|的最小值为（）A．+1 B．3﹣1 C．﹣1 D．3﹣2【考点】：参数方程化成一般方程．【专题】：直线与圆；坐标系和参数方程．【分析】：将ρ=2cosθ转化为一般方程，将直线l的参数方程化为直角坐标方程，由点到直线的距离公式求出圆心（2，0）到直线l的距离，由直线与圆的位置关系求出|MN|的最小值．【解析】：解：由ρ=2cosθ得，ρ2=2ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程x2+y2=2x，即x2+y2﹣2x=0，则曲线C是以（1，0）为圆心，1为半径的圆，由得，x﹣y+5=0，所以直线l的直角坐标方程是x﹣y+5=0，则圆心（2，0）到直线l的距离d==＞1，由于M，N分别为曲线C与直线l上的动点，所以|MN|的最小值为﹣1，故选：B．【点评】：本题考查圆的极坐标方程，直线的参数方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，考查运算求解力量，化归与转化思想，属于中档题．8．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，四周体ABCD的顶点坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1）（0，0，0），则该四周体的正视图的面积不行能为（）A．B．C．D．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中的点的坐标．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由题意画出几何体的直观图，可知直观图为连接棱长是1的正方体的四个顶点组成的正四周体，其最大正投影面为边长是1的正方形，由此断定其正视图的面积不会超过1，则答案可求．【解析】：解：一个四周体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是：（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是以正方体的顶点为顶点的一个正四周体，其正视图的最大投影面是在x﹣O﹣y或x﹣O﹣z或y﹣O﹣z面上，投影面是边长为1的正方形，∴正视图的最大面积为1，∴不行能为，故选：D．【点评】：本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图等学问，考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象力量、推理论证力量和运算求解力量，是中档题．9．（5分）某人设计一项单人玩耍，规章如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，假如掷出的点数为i（i=1，2，…6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，始终循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的全部不同走法共有（）A．22种B．24种C．25种D．36种【考点】：排列、组合的实际应用．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的1，5，6；2，4，6；3，3，6；5，5，2；4，4，4，共有4种组合，前四种组合又可以排列出A33种结果，得到结果．【解析】：解：由题意知正方形ABCD（边长为3个单位）的周长是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4；共有6种组合，前三种组合1，5，6；2，4，6；3，4，5；又可以排列出A33=6种结果，3，3，6；5，5，2；有6种结果，4，4，4；有1种结果．依据分类计数原理知共有24+1=25种结果，故选C．【点评】：排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的挨次则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有肯定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．10．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对任意x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【考点】：根的存在性及根的个数推断．【专题】：计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】：由题意可推断函数f（x）是定义在R上的，周期为2的偶函数，令g（x）=log a（x+1），画出f （x）与g（x）在时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，令g（x）=log a（x+1），则f（x）与g（x）在[0，+∞）的部分图象如下图y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点可化为f（x）与g（x）的图象在（0，+∞）上至少有三个交点，g（x）在（0，+∞）上单调递减，则，解得：0＜a ＜，故选A．【点评】：本题考查了数形结合的思想，同时考查了同学的作图力量与转化力量，属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置上）11．（5分）已知（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n（n∈N，n＞4）若2a2+a n一3=0，则n=8．【考点】：二项式系数的性质．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：由二项开放式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r，可得a n=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣3=0，由此可解得自然数n的值．【解析】：解：由题意得，该二项开放式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r，∴其系数a n=（﹣1）r•，∵2a2+a n﹣3=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣3=0，∴2×﹣=0，∴n﹣2=6．∴n=8．故答案为：8【点评】：本体考察二项式定理的应用，着重考察二项式系数的概念与应用，由二项开放式的通项公式得到系数a n=（﹣1）r•是关键，属于中档题．12．（5分）设x，y满足，则z=x+y的最小值为2．【考点】：简洁线性规划的应用．【专题】：计算题；数形结合．【分析】：本题考查的学问点是简洁线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x+y中，求出z=x+y的最小值．【解析】：解：满足约束条件的平面区域如图示：由图得当过点B（2，0）时，z=x+y有最小值2．故答案为：2．【点评】：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．13．（5分）某调查机构对本市学校生课业负担状况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为x分钟．有1000名学校生参与了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的同学的频率是0.32．【考点】：循环结构；分布的意义和作用．【专题】：图表型．【分析】：分析程序中各变量、各语句的作用，再依据流程图所示的挨次，可知：该程序的作用是统计1000名中同学中，平均每天做作业的时间在0～60分钟内的同学的人数．【解析】：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再依据流程图所示的挨次，可知：该程序的作用是统计1000名中同学中，平均每天做作业的时间不在0～60分钟内的同学的人数．由输出结果为680则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的同学的人数为1000﹣680=320故平均每天做作业的时间在0～60分钟内的同学的频率P==0.32故答案为：0.32【点评】：本题考查的学问点是程序框图和分层抽样，依据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型．14．（5分）已知函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n），n∈N*，若数列{a n}是单调递增数列，则的取值范围是．【考点】：数列的函数特性．【专题】：函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】：函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n），n∈N *，若数列{a n}是单调递增数列，可得，解得2≤a ＜3．=a+1++1，令a+1=t∈[3，4），f（t）=t++1，利用导数争辩其单调性即可得出．【解析】：解：∵函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n），n ∈N*，若数列{a n}是单调递增数列，∴，解得2≤a ＜3．∴=a+1++1，令a+1=t∈[3，4），f（t）=t++1，f′（t）=1﹣=＞0，∴f（t）在t∈[3，4）单调递增；∴f（3）≤f（t）＜f（4），可得．∴的取值范围是．故答案为：．【点评】：本题考查了数列的函数性质、利用导数争辩函数的单调性、一次函数与指数函数的单调性，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．15．（5分）已知集合A={a1，a2，…，a n}中的元素都是正整数，且a l＜a2＜…＜a n，集合A具有性质P：对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x﹣y|≥．给出下列命题：①集合{1，2，3，4}不具有性质P；②；③不等式i（n﹣i）＜25对于i=1，2，…，n﹣1均成立；④A中最多可以有10个元素．其中正确命题的序号是②③（将全部正确命题的序号都填上）【考点】：命题的真假推断与应用；元素与集合关系的推断．【专题】：压轴题．【分析】：①利用性质对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x﹣y|≥，代入即可推断；②依题意有|a i﹣a i+1|≥（i=1，2，n﹣1），又a1＜a2＜…＜a n，因此a i+1﹣a i≥（i=1，2，n﹣1）．由此能够证明；③由＞，a≥1可得1＞，因此n＜26．同理，由a i≥i即可得推断；④由③，结合不等式可推导出n≤9．【解析】：解：①由于|1﹣2|，|1﹣3|，|1﹣4|，|2﹣3|，|2﹣4|，|3﹣4|，∴集合{1，2，3，4}具有性质P，故不正确；②依题意有|a i﹣a i+1|≥（i=1，2，n﹣1），又a1＜a2＜…＜a n，因此a i+1﹣a i ≥（i=1，2，n﹣1）．所以（i=1，2，n﹣1）；所以++…+，即，故正确；③由＞，a≥1可得1＞，因此n＜26．同理，可知，又a i≥i ，可得，所以不等式i（n﹣i）＜25对于i=1，2，…，n﹣1均成立，故正确；④由③，当n≥10时，取i=5，则i（n﹣i）=5（n﹣5）≥25，从而n＜10，而又当n≤9时，i（n﹣i）≤=＜25，所以n≤9，故不正确；故答案为：②③．【点评】：本题考查数列的性质的综合运用，解题时要认真审题，留意公式的合理运用，合理地进行等价转化．三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡上的指定区域内．）16．（12分）已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB．（1）求角C的值；（2）设函数，且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．【考点】：余弦定理；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】：计算题；解三角形．【分析】：（1）利用正弦定理与余弦定理可求得cosC的值，即可求得C的值；（2）化简函数，利用周期确定ω，进而可得函数的解析式，即可求f（A）的取值范围．【解析】：解：（1）∵sin2C=2sinAsinB，∴由正弦定理有：c2=2ab，由余弦定理有：a2+b2=c2+2abcosC=c2（1+cosC）①又a2+b2=6abcosC=3c2cosC②由①②得1+cosC=3cosC，∴cosC=，又0＜C＜π，∴C=；（2）=sin（ωx ﹣）∵f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，∴T=π∴∴ω=2∴f（x）=sin（2x ﹣）∴f（A）=sin（2A ﹣）∵＜A ＜，∴0＜2A ﹣＜∴0＜sin（2A ﹣）≤1∴0＜f（A）≤．【点评】：本题考查正弦定理与余弦定理，考查三角函数的图象与性质，考查同学的计算力量，属于中档题．17．（12分）在斜三棱柱ABC﹣A1B1C l中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，A1C=CA=AB=a，AA1=a，AB⊥AC，D为AA1的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABB1A l（Ⅱ）在侧棱BB1上确定一点E，使得二面角E﹣A1C1一A 的大小为．【考点】：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．【分析】：（Ⅰ）通过线面垂直的判定定理及等腰三角形的性质可得结论；（Ⅱ）以点C为原点，以CA、CA1分别为x、z轴建立坐标系，则平面A1C1A的一个法向量与平面EA1C1的一个法向量的夹角的余弦值的确定值为，计算即可．【解析】：（Ⅰ）证明：侧面A1ACC1⊥底面ABC，AB⊥AC，平面A1ACC1∩底面ABC=AC，∴AB⊥平面A1ACC1，又CD⊂平面A1ACC1，∴CD⊥AB，又∵AC=A1C，D为AA1的中点，∴CD⊥AA1，∴CD⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）解：已知A1C⊥平面ABC，如图所示，以点C为原点，以CA、CA1分别为x、z轴建立坐标系，则有A（a，0，0），B（a，a，0），A1（0，0，a），B1（0，a，a），C1（﹣a，0，a），设=λ（0≤λ≤1），则点E的坐标为（（1﹣λ）a，a，λa）．由题意得平面A1C1A 的一个法向量为=（0，1，0），设平面EA1C1的一个法向量为=（x，y，z），=（﹣a，0，0），=（（1﹣λ）a，a，（λ﹣1）a），由，得，令y=1，则有=（0，1，），∴==，解得λ=1﹣，∴当=（1﹣）时，二面角E﹣A1C1一A 的大小为．【点评】：本题考查空间几何图形中线面关系的平行或垂直的证明及空间角的计算，考查空间想象力量，留意解题方法的积累，属于中档题．18．（12分）深圳市某校中同学篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）求其次次训练时恰好取到一个新球的概率．【考点】：离散型随机变量的期望与方差．【分析】：（1）ξ的全部可能取值为0，1，2，设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为大事A i（i=0，1，2），求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望；（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为大事B，则“其次次训练时恰好取到一个新球”就是大事A0B+A1B+A2B．而大事A0B、A1B、A2B互斥，由此可得结论．【解析】：解：（1）ξ的全部可能取值为0，1，2设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为大事A i（i=0，1，2）．由于集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以P（A0）=P（ξ=0）==；P（A1）=P（ξ=1）==；P（A2）=P（ξ=2）==，所以ξ的分布列为ξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×=1（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为大事B，则“其次次训练时恰好取到一个新球”就是大事A0B+A1B+A2B，而大事A0B、A1B、A2B互斥，所以P（A0B+A1B+A2B）=P（A0B）+P（A1B）+P（A2B）=++==．【点评】：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出概率是关键．19．（12分）己知椭圆的上、下顶点分别为A、B，已知点B在直线l：y=一1上，且椭圆的离心率．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ的中点直线AM交直线，于点C，N为线段BC 的中点，求的值．【考点】：椭圆的简洁性质；平面对量数量积的运算．【专题】：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）通过点B在直线l：y=一1上，得b=1，再依据=及a、c与b之间的关系，易得a2=4，从而可得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P（x0，y0），x0≠0，则点P满足椭圆方程，依据题意，易得M （，y0）、N （，﹣1），计算即可•【解析】：解：（Ⅰ）∵且点B在直线l：y=一1上，∴b=1，又∵=，a2﹣c2=b2=1∴a2=4，∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设P（x0，y0），x0≠0，则Q（0，y0），且，∵M为线段PQ的中点，∴M （，y0），∵A（0，1），∴直线AM 的方程为：，令y=﹣1，得C （，﹣1），∵B（0，﹣1），N为线段BC的中点，∴N （，﹣1），∵=（﹣，y0+1），=（，y0），∴=（﹣）+y0（y0+1）==﹣+y0=1﹣（1+y0）+y0=0•【点评】：本题考查椭圆方程，中点坐标公式，向量数量积的运算，留意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）设函数f（x）=lnx﹣p（x﹣1），p∈R．（1）当p=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）设函数g（x）=xf（x）+P（2x2﹣x﹣1），对任意x≥1都有g（x）≤0成立，求P的取值范围．【考点】：利用导数争辩函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）求导函数，利用导数大于0，求函数的单调增区间，导数小于0，求函数的单调减区间；（2）对于任意实数x≥1，g（x）≤0恒成立，等价于xlnx+p（x2﹣1）≤0，设g（x）=xlnx+p（x2﹣1），由于g （1）=0，故只须g（x）=xlnx+p（x2﹣1）在x≥1时是减函数，再分别参数p，问题转化为求函数的最小值．【解析】：解：（1）当p=1时，f（x）=ln x﹣（x﹣1），f′（x）=﹣1，令f′（x）＞0，∴x∈（0，1），故函数f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；令f′（x）＜0，得x∈（1，+∞），故函数f（x）的单调减区间为（1，+∞）；（2）由题意函数g（x）=xf（x）+p（2x2﹣x﹣1）=xlnx+p（x2﹣1），则xlnx+p（x2﹣1）≤0，设g（x）=xlnx+p（x2﹣1），由于g（1）=0，故只须g（x）=xlnx+p（x2﹣1）在x≥1时是减函数即可，又由于g′（x）=lnx+2px+1，故lnx+2px+1≤0在x≥1时恒成立，即p在x≥1时恒成立，由于时，x=1，得当x=1时，取最小值﹣，∴p≤﹣．【点评】：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求函数的单调区间，同时考查了函数最值的运用，有肯定的综合性．21．（14分）己知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12=2a n2+a n a n+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n =是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列？若存在，求出全部的m，n的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）令c n =，记数列{c n}的前n项和为S n，其中n∈N*，求S n的取值范围．【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（I）由a n+12=2a n2+a n a n+1，可得（a n+1+a n）（a n+1﹣2a n）=0，由于各项均为正数的数列{a n}，可得a n+1=2a n，再利用a2+a4=2a3+4，及等比数列的通项公式即可得出．（II）b n ==，假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n 成等比数列，则，化为=，由＞0，解出m的范围，再依据正整数m，n（1＜m＜n）即可得出．（III）c n ==，利用等比数列的前n项和公式、“裂项求和”方法可得S n，再利用数列的单调性即可得出．【解析】：解：（I）由a n+12=2a n2+a n a n+1，可得（a n+1+a n）（a n+1﹣2a n）=0，∵各项均为正数的数列{a n}，∴a n+1=2a n，∴数列{a n}是以2为公比的等比数列．∵a2+a4=2a3+4，∴=+4，解得a1=2．∴．（II）b n ==，假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列，则，化为=，由＞0，解得，又正整数m，n（1＜m＜n），∴m=2，此时n=12．因此当且仅当m=2，n=12时，使得b1，b m，b n成等比数列．（III）c n ====，∴S n =++…+=+=，∵数列即单调递减，∴0＜≤=．∴≤＜．∴S n 的取值范围是．【点评】：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式及前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了变形力量，考查了推理力量与计算力量，属于难题．。
2021年高考新课标2数学(理)试卷及答案
2021年高考新课标2数学（理）试卷及答案2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（新课标卷二ⅱ）第ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设子集m=｛0,1,2｝，n=?x|x2?3x?2≤0?，则m?n=()a.｛1｝【答案】d【ks5u解析】b.｛2｝c.｛0，1｝d.｛1，2｝把m=｛0,1,2}中的数,代入不等式x2-3x+2≤0,经检验x=1,2满足用户。
所以挑选d.2.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1?2?i，则z1z2?（）a.-5【答案】b【ks5u解析】b.5c.-4+id.-4-iz1=2+i,z1与z2关于虚轴对称，∴z2=-2+i,∴z1z2=-1-4=-5,故选b.3.设向量a,b满足用户|a+b|=10，|a-b|=6，则a?b=()a.1【答案】a【ks5u解析】b.2c.3d.5|a+b|=10,|a-b|=6,，∴a+b+2ab=10，a+b-2ab=6,联立方程Champsaurab=1,故挑选a.4.钝角三角形abc的面积是1，ab=1，bc=2，则ac=()22222a.5【答案】b【ks5u解析】b.5c.2d.1第1页共1页1112acsinb=?2?1?sinb=∴sinb=,2222π3ππ∴b=,或.当b=时，经计算δabc为等腰直角三角形，不符合题意，舍去。
4443π∴b=，采用余弦定理，b2=a2+c2-2accosb,Champsaurb=5.故挑选b.4?sδabc=5.某地区空气质量监测资料说明，一天的空气质量为优良的概率就是0.75，已连续两为优良的概率就是0.6，未知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率就是（）a.0.8b.0.75c.0.6d.0.45【答案】a【ks5u解析】设某天空气质量优良，则随后一个空气质量也优良的概率为p,则据题有0.6=0.75?p,解得p=0.8,故选a.6.例如图，网格纸上正方形小格的边长为1（则表示1cm）,图中粗线孔颖草的就是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，低为6cm的圆柱体毛坯焊接获得，则焊接掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）a.17b.5c.10d.1279273【答案】c【ks5u解析】加工前的零件半径为3，高6，∴体积v1=9π?6=54π.?加工后的零件，左半部为小圆柱，半径2，高4，右半部为大圆柱，半径为3，高为2.∴体积v2=4π?4+9π?2=34π.∴削掉部分的体积与原体积之比=54π-34π10=.故选c.54π277.继续执行右图程序框图，如果输出的x,t均为2，则输入的s=（）a.4b.5c.6d.7【答案】c【ks5u解析】第2页共2页x=2,t=2,变量变化情况如下：msk131252273故选c.8.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=a.0b.1c.2d.3【答案】d【ks5u解析】f(x)=ax-ln(x+1),∴f′(x)=a-1.x+1∴f(0)=0,且f′(0)=2.联立解得a=3.故选d.?x?y?7≤0?9.设x,y满足用户约束条件?x?3y?1≤0，则z?2x?y的最大值为（）?3x?y?5≥0?a.10b.8c.3d.2【答案】b【ks5u解析】图画出来区域，所述区域为三角形，经比较斜率，所述目标函数z=2x-y在两条直线x-3y+1=0与x+y-7=0的交点(5,2)处,获得最大值z=8.故挑选b.10.设f为抛物线c:y2?3x的焦点，过f且倾斜角为30°的直线交c于a,b两点，o 为坐标原点，则△oab的面积为（）a.3393b.c.63d.983244【答案】d【ks5u解析】第3页共3页设点a、b分别在第一和第四象限，af=2m,bf=2n，则由抛物线的定义和直角三角形科学知识可以得，33332m=2?+3m,2n=2?-3n，Champsaurm=(2+3),n=(2-3),∴m+n=6.4422139∴sδoab=??(m+n)=.故挑选d.24411.直三棱柱abc-a1b1c1中，∠bca=90°，m，n分别是a1b1，a1c1的中点，bc=ca=cc1，则bm与an所成的角的余弦值为（）a.1b.2c.10530d.1022【答案】c【ks5u解析】例如图，分别以c1b1，c1a1，c1c为x,y,z轴，创建坐标系。
2021年高三下学期二模考试数学(理)试题 含解析
2021年高三下学期二模考试数学（理）试题含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合21{|log,1},{|,2}U y y x x P y y xx==>==>，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：由题意，，则，选C.考点：集合的运算.2.下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是（）A． B． C． D．【答案】C考点：函数的奇偶性与单调性.3.已知复数满足 (其中i为虚数单位)，则的虚部为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：由题意，，虚部为.考点：复数的概念与运算.4.等比数列的前n项和为，已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：，所以，即，所以.考点：等比数列的性质.5.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．23【答案】B【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，平移直线，当过点时，取得最小值7.考点：线性规划.6.投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：投掷两枚骰子，点数形成的事件空间有种，其中点数和为8的事件有共5种，因此所求概率为.考点：古典概型.7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．4【答案】A【解析】试题分析：由三视图知该几何体是一个三棱柱截去了一块，如图，它可以看作是一个三棱柱与四棱锥组合而成，.NM FEDA考点：三视图，几何体的体积.8.执行下方的程序框图，如果输入的，那么输出的的值为（）A． B．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：由程序框图，每次循环中，参数的值依次为，，，，这里结束循环，输出结果为B. 考点：程序框图.9.在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点，则 （ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，，所以，所以323sin(2)sin[2(2)]sin 1281232k ππππαπ-=+-==. 考点：三角函数的定义与求值.10.在四面体S-ABC 中，平面,120,2,1ABC BAC SA AC AB ∠====，则该四面体的外接球的表面积为 （ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】试题分析：设的外心为，222222cos 12212cos120BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯︒，，则，该四面体外接球半径为，由于平面，则有2222212740(2)(2)2()33R SA O A =+=+=，所以.考点：球与多面体，球的表面积.11.已知F 是抛物线的焦点，直线与该抛物线交于第一象限内的点，若，则的值是 （ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】试题分析：设，由消去得，则①，②，又，，由已知③，由②③得，代入①得（在第一象限）. 考点：直线和抛物线位置关系. 12.设函数()()2212,2(),,0,1,2,,9999i if x x f x x x a i ==-==，记 ，则下列结论正确的是 （ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B考点：函数的单调性，比较大小．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量，且与共线，则x 的值为 【答案】 【解析】试题分析：，由与共线得，解得．考点：向量的共线．14.已知8280128(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++-，则【答案】8 【解析】 试题分析：，. 考点：二项式定理.15.设点P 、Q 分别是曲线是自然对数的底数）和直线上的动点，则P 、Q 两点间距离的最小值为 【答案】 【解析】试题分析：，令，即，，令，显然是增函数，且，即方程只有一解，曲线在处的切线方程为，两平行线和间的距离为.考点：导数与切线，方程的解，平行线间的距离.16.在平面直角坐标系中有一点列对，点在函数的图象上，又点构成等腰三角形，且 若对，以为边长能构成一个三角形，则的取值范围是 【答案】 【解析】试题分析：由题意点构成以为顶点的等腰三角形，则，，以为边长能构成一个三角形，因为，则有，，所以.考点：等腰三角形的性质，解一元二次不等式.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分） 在中，角的对边分别为，且满足 （1）求角B 的大小； （2）若的面积为，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）题设已知条件是边角的关系，要求的是角，因此利用正弦定理把边化为角，得（同时用诱导公式化简），整理得，在三角形中有，因此得，；（2）由面积公式有，从而得，再结合余弦定理可得.试题解析：（1）…………………………1分…………………………3分∴…………………………5分∴…………………………6分(2) 由得a c＝4…………………………8分.由余弦定理得b2＝a2＋c2+ac…………………10分∴ a＋c …………………………12分考点：正弦定理，两角和与差的正弦公式，三角形的面积公式，余弦定理.18.（本小题满分12分）4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）【答案】（1）见解析，与性别有关；（2）分布列为X 0 1 2 3P期望为，方差为【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图,读书迷占比为40%，非读书迷占比为60%，再由表格中的两个数字可填全表格，根据计算公式得，因此有99%的把握认为“读书迷”与性别有关；（2）题意可知X～B（3，），P(x=i)= （i=0，1，2，3），可得X的分布列，由公式可得期望与方差. 试题解析：（1）完成下面的列联表如下非读书迷读书迷合计男40 15 55女20 25 45合计60 40 100……………… 3分≈8.2498.249 > 6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.……………..6分（2）视频率为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为. 由题意可知X～B（3，），P(x=i)= （i=0，1，2，3）………………8分从而分布列为X 0 1 2 3P.……………… 10分E(x)=np= (或0.6)，D(x)=np(1-p）= (或0.72) ……………… 12分考点：（1）频率分布直方图，独立性检验，随机变量的分布列，数学期望与方差.19.（本小题满分12分）已知平面,,,4,1ABCD CD AD BA AD CD AD AP AB ⊥⊥====. （1）求证：平面；（2）M 为线段CP 上的点，当时，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】试题分析：（1）证线面垂直，就是要证线线垂直，已有，寻找题设条件还有平面，从而有，因此可以证得线面垂直；（2）要求二面角的大小，由于图形中有三直线两两垂直，因此可以以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角，建立如图所示的坐标系后，关键是要求出点的坐标（因为其它点的坐标都易得），设，利用与共线，及就能求出点的坐标，然后求出平面平面的法向量，由法向量夹角求得相应的二面角. 试题解析：（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，PA 平面ADP ，所以平面ADP ⊥平面ABCD. …………………………………………2分 又因为平面ADP ∩平面ABCD=AD ，CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面ADP. ……………………………………………………4分（2）AD ，AP ，AB 两两垂直，建立如图所示空间坐标系，则A （0，0，0），B （0，0，1），C （4，0，4），P （0，4，0），则，，，.………………………………6分zxy设M（x, y , z), ，则.所以，，，.因为BM⊥AC，所以，，解得，法2：在平面ABCD内过点B作BH⊥AC于H，在平面ACP内过点H作HM∥AP交PC于点M，连接MB ………6分，因为AP⊥平面ABCD，所以HM⊥平面ABCD.又因为AC平面ABCD，所以HM⊥AC.又BH∩HM=H, BH平面BHM，HM平面BHM，所以AC⊥平面BHM.所以AC⊥BM，点M即为所求点. …………………………………………8分在直角中，AH=，又AC=，所以.又HM∥AP，所以在中，.在平面PCD内过点M作MN∥CD交DP于点N，则在中， .因为AB∥CD，所以MN∥BA.连接AN，由（1）知CD⊥平面ADP，所以AB⊥平面ADP.所以AB⊥AD，AB⊥AN.所以∠DAN为二面角C—AB—M的平面角.………………………10分在中，过点N 作NS ∥PA 交DA 于S ，则，所以AS=，，所以NA=.所以.所以二面角C —AB —M 的余弦值为. …………………………………………12分考点：线面垂直，二面角.20.（本小题满分12分）已知椭圆经过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）不垂直与坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交y 轴于点，若，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）本题求椭圆的标准方程比较简单，只要把坐标代入椭圆方程，再由离心率及联立方程组可解得；（2）本题属于直线与椭圆相交问题，主要考查学生的运算能力，及分析问题解决问题的能力，这类问题的一般方法都是设直线方程为为，设交点为，把直线方程与椭圆方程联立消去得则有，，同时有；从而有12121222()214t y y kx t kx t k x x t k +=+++=++=+ ，目的是为了表示出中点坐标，设的中点为，则，，因为直线于直线垂直，所以得 ，结合，由条件可得，，其中，为点到直线的距离，由引可求得，.试题解析：（1）由1题意得，解得，．所以椭圆的方程是． ……………………… 4分（2）设直线的方程设为，设，联立消去得则有，，由；12121222()214t y y kx t kx t k x x t k+=+++=++=+ …………… 6分 设的中点为，则， 因为直线于直线垂直，所以得 ………… 8分因为所以,所以，由点到直线距离公式和弦长公式可得，AB == ………10分由2ABPD == ，直线的方程为或. ………… 12分解法二（2）设直线的斜率为，设，的中点为，所以 ，，由题意，式式得()()()()1212121204x x x x y y y y -++-+=⇒又因为直线与直线垂直，所以由14131ykxykx⎧+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩解得…………… 6分因为所以,所以，………8分PD===设直线的方程设为，联立消去得()2222284141(14)44099k k kk x x+⎛⎫++-+-=⎪⎝⎭，，由AB==………10分，解得，满足.由得直线的方程为或. ……… 12分考点：椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系.21.（本小题满分12分）已知函数是自然对数的底数，.（1）求函数的单调递增区间；（2）若为整数，，且当时，恒成立，其中为的导函数，求的最大值.故在上存在唯一的零点. .............................8分设此零点为，则.当时，；当时，；所以，在上的最小值为.由可得 ........10分所以，由于①式等价于.故整数的最大值为2. ....................................12分考点：导数与单调性，不等式恒成立，函数的零点.请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图：的直径的延长线于弦CD的延长线相交于点P，E为上一点，交于点F.（1）求证：四点共圆；（2）求证：.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：（1）证四点共圆，可证明四边形的对角互补或外角等于内对角等，本题中，由于，因此有，从而得证四点共圆；（2）有了（1）中的四点共圆，由割线定理得，又在圆中有，故结论成立.试题解析：（1）连接，，因为，所以，.................2分又因为，则，所以四点共圆.………………5分（2）因为和是的两条割线，所以，……………7分因为四点共圆,所以，又因为，则∽，所以，即则.………………10分考点：四点共圆，切割线定理.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：.（1）直线的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线的曲线交点的极坐标（）【答案】（1）；（2） ，【解析】试题分析：（1）首先消去参数方程的参数，可把参数方程化为普通方程，然后利用公式可把直角坐标方程化为极坐标方程；（2）可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后把直线与圆的直角坐标方程联立解得交点坐标，再把交点的直角坐标化为极坐标，也可把直线与圆的两个极坐标方程联立方程组解得交点的极坐标.试题解析：（1）将直线（为参数）消去参数，化为普通方程，……………………2分 将代入得.…………4分（2）方法一：的普通方程为.………………6分由解得：或………………8分所以与交点的极坐标分别为： ，.………………10分方法二：由，……………6分得：，又因为………………8分所以或所以与交点的极坐标分别为： ，.………………10分考点：参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线与圆交点.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()()221(0),2f x x a x a g x x =-++>=+.（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）不等式为，用分类讨论的思想可求得解集，分类讨论的标准由绝对值的定义确定；（2）不等式恒成立，同样不等式为，转化为，令，因为,所以153,21()1,2231,2x a x a h x x a x a x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=-+--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩，只要求出最小值，然后解不等式得所求范围. 试题解析：（1）当时，，无解，，………………………3分综上，不等式的解集为.………………5分（2），转化为，令，因为a>0,所以153,21()1,2231,2x a x a h x x a x a x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=-+--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩， ………………8分在a>0下易得,令得………………10分考点：解绝对值不等式，不等式恒成立，函数的最值.40115 9CB3 鲳23063 5A17 娗24402 5F52 归36458 8E6A 蹪30653 77BD 瞽0tY36543 8EBF 躿> 40561 9E71 鹱27081 69C9 槉bX。
2021年江西省高考数学二模试卷(理科)(附答案详解)
2021年江西省高考数学二模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合A={x|y=log2(x−1)}，B={x|x−a>0}，且(∁R A)∩B=(0,1]，则a=()A. −1B. 0C. 1D. 22.已知m，n∈R，且mi(1+2i)=n+4i(其中i为虚数单位)，则m+n=()A. −2B. −4C. 2D. 43.某几何体的三视图如图所示，已知图中圆的半径都为1，则此几何体的体积为()A. π4B. π2C. 3π4D. π4.已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，若点A(x0,2√3)在抛物线上，则|AF|=()A. 3B. 2√3C. 4D. 2√3+15.根据下面给出的某地区2014年至2020年环境基础设施投资额(单位：亿元)的表格，以下结论中错误的是()年份2014201520162017201820192020投资额/47535662122140156亿元A. 该地区环境基础设施投资额逐年增加B. 2018年该地区环境基础设施投资增加额最大C. 2018年和2019年该地区环境基础设施投资总额比2014年至2017年的投资总额小D. 2020年该地区环境基础设施投资增加额相比2019年有所减少6.函数f(x)=5x−1cos2x的图象为()5x+1A.B.C.D.7. 已知定义在R 上的函数f(x)，则“f(x)的周期为2”是“f(x)=1f(x+1)”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. (x +2y +3z)5的展开式中xy 2z 2的系数为( )A. 5B. 30C. 1080D. 21609. 如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数√2，√3，√5，…的图形之一，此图形中∠BAD 的余弦值是( )A. 4−√36B. 4+√36C. 2√3−√66D. 2√3+√6610. 已知动直线l ：xcosα+ysinα=1与圆C 1：x 2+y 2=2相交于A ，B 两点，圆C 2：x 2+y 2=1.下列说法： ①l 与C 2有且只有一个公共点； ②线段AB 的长度为定值； ③线段AB 的中点轨迹为C 2． 其中正确的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 311. 定义：若存在n 个正数x 1，x 2…，x n ，使得f(−x i )=−f(x i )(i =1,2，…，n)，则称函数y =f(x)为“n 阶奇性函数”.若函数g(x)={mx +m,x ≤0xlnx,x >0是“2阶奇性函数”，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,0)B. (0,1)C. (1,+∞)D. (0,1)∪(1,+∞)12.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,π2<φ<π)的一个周期的图象如图所示，其中f(0)=1，f(1)=0.f(x1)=f(x2)=−12，则f(x2−x1−2)=()A. −74B. −√154C. 74D. √154二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设a⃗，b⃗ 为非零向量，且|2a⃗+3b⃗ |=|2a⃗−3b⃗ |，则a⃗，b⃗ 的夹角为______ ．14.若x，y满足约束条件{x+y−5≤0x−y+1≥0x−1≥0，则z=yx的最大值是______ ．15.已知F是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，过点F作渐近线的垂线FH(点H为垂足)，并交双曲线的右支于点A，若A为线段FH的中点，则双曲线的离心率为______ ．16.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，所有棱长均为a，且∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60°，点E在棱A1D1上，且A1E=2ED1，平面α过点E且平行于平面A1DB，则平面α与平行六面体ABCD−A1B1C1D1各表面交线围成的多边形的面积是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1=S n+a n+2，a32=S1S5，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a2n，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，已知四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，四边形BDEF是平行四边形，∠DBF=45°，BF=2√2，FA=FC．(1)求证：FD⊥平面ABCD；(2)求二面角A−DE−B的余弦值．19.在某学校某次射箭比赛中，随机抽取了100名学员的成绩(单位：环)，并把所得数据制成了如下所示的频数分布表：成绩分组[4,5)[5,6)[6,7)[7,8)[8,9)[9,10]频数5182826176(1)求抽取的样本平均数x−(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)已知这次比赛共有2000名学员参加，如果近似地认为这次成绩Z服从正态分布N(μ,σ2)(其中μ近似为样本平均数x−，σ2近似为样本方差s2=1.61)，且规定8.27环是合格线，那么在这2000名学员中，合格的有多少人？(3)已知样本中成绩在[9,10]的6名学员中，有4名男生和2名女生，现从中任选3人代表学校参加全国比赛，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望Eξ．[附：若Z～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<Z<μ+2σ)=0.9545，√1.61≈1.27，结果取整数部分]20. 如图，已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，A ，B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆E 上异于A ，B 的一个动点，直线l 过点B 且垂直于x 轴，直线AP 与l 交于点Q ，圆C 以BQ 为直径.当点P 在椭圆短轴端点时，圆C 的面积为π． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设圆C 与PB 的另一交点为点R ，记△AQR 的面积为S 1，△BQR 的面积为S 2，试判断S 1S 2是否为定值，若是定值，求出这个定值，若不是定值，求S 1S 2的取值范围．21. 已知函数f(x)=xe x +ax +bcosx ．(1)当b =0时，讨论函数f(x)极值点的个数；(2)当b =−2，x ≥0时，都有f(x)≥2e x −4，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+ty =√3−√3t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ． (1)求曲线C 1和C 2的直角坐标方程；(2)已知点P(1,√3)，曲线C 1与C 2相交于A ，B 两点，求||PA|⋅|PB||PA|−|PB||.23. 已知函数f(x)=|x +a|+|x −1a |(a >0)．(1)求证：f(x)≥2；(2)当a =12时，f(x)≥−x 2+4x +m 恒成立，求m 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|x>1}，B={x|x>a}，∴∁R A={x|x≤1}，且(∁R A)∩B=(0,1]，∴a=0．故选：B．可求出集合A，然后得出∁R A={x|x≤1}，并求出B={x|x>a}，然后根据(∁R A)∩B= (0,1]即可求出a的值．本题考查了集合的描述法和区间的定义，对数函数的定义域，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由mi(1+2i)=n+4i，得−2m+mi=n+4i，∴{−2m=nm=4，即m+n=−m=−4．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简等式左侧，再由复数相等的条件列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3.【答案】D【解析】解：根据几何体三视图转换为几何体的直观图，该几何体为34个球体；故V=34×43⋅π⋅13=π．故选：D．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用球的体积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：点A(x 0,2√3)在抛物线上，可得12=4x 0，解得x 0=3， 所以|AF|=x 0+p2=3+1=4． 故选：C ．点的坐标代入抛物线方程，求出x 0，利用抛物线的定义转化求解即可． 本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．5.【答案】C【解析】解：由表格中的数据信息可知，该地区环境基础设施投资额逐年增加，故选项A 正确；2015～2020年的投资增额分别为：6，3，6，60，18，16，所以2018年该地区环境基础设施投资增加额最大，故选项B 正确；2018年和2019年该地区环境基础设施投资总额为262亿元，2014年至2017年的总额为218亿元，故选项C 错误；2019年的投资增额为18，2019年的投资增额为16，所以2020年该地区环境基础设施投资增加额相比2019年有所减少，故选项D 正确． 故选：C ．由题中给出的数据信息，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了图表的应用，解题的关键是正确的从数表中读取信息，考查了逻辑分析能力．6.【答案】D【解析】解：∵f(−x)=5−x −15−x +1⋅cos(−2x)=1−5x 1+5x⋅cos2x =−f(x)，∴函数f(x)为奇函数，排除选项A 和C ， 又f(π)=5π−15π+1⋅cos2π>0，排除选项B ，故选：D ．先判断函数的奇偶性，再计算f(π)的值，并与0比较大小，即可得解．本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数对称性的性质是解决本题的关键． 根据函数对称性的定义，举实例，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【解答】解：①当f(x)=1f(x+1)时，有f(x)=1f(x+1)=11f(x+2)=f(x +2)，则f(x)的周期为2，②当f(x)的周期为2，例如f(x)=sinπx ，当x 为整数时，f(x)=f(x +1)=0，则f(x)=1f(x+1)无意义，综上所述：f(x)的周期为2是f(x)=1f(x+1)的必要不充分条件． 故选：B ．8.【答案】C【解析】解：(x +2y +3z)5表示5个因式x +2y +3z 的乘积，故它的展开式中， 含xy 2z 2的项是由其中一个因式取x ，其中两个因式取2y ，剩下的两个因式取3z 得到的，故xy 2z 2的系数为C 51⋅C 42⋅22⋅C 22⋅32=5×6×4×9=1080．故选：C ．根据乘方的意义，利用排列组合的知识，求得xy 2z 2的系数． 本题主要考查乘方的意义，排列组合的应用，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意，在△BCD 中，∠DCB =135°，由余弦定理可得BD 2=CD 2+BC 2−2CD ⋅BC ⋅cos∠DCB =1+1+2×1×1×√22=2+√2，所以在△BAD 中，cos∠BAD =AB 2+AD 2−BD 22AB⋅AD=√22√3=2√3−√66． 故选：C ．由题意在△BCD 中可求∠DCB =135°，由余弦定理可得BD ，进而根据余弦定理可求cos∠BAD的值．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：由题意，C2的圆心到直线l的距离d=1√cos2α+sin2α=1，∴直线1与圆C2相切，故①正确；因为|AB|=2√R2−r2=2√2−1=2，∴线段AB的长度为定值，故②正确；由①知l为C2的切线，而C1与C2为同心圆，则根据对称性，l与C2的切点即为线段AB的中点，故线段AB的中点轨迹为C2，故③正确．故选：D．利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系判断选项①②，由圆的对称性判断选项③．本题考查了直线与圆位置关系的应用，点到直线距离公式的应用，圆的几何性质的应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：由题意可得，方程g(−x)=−g(x)有且只有两个正根，即m(−x)+m=−xlnx有且只有两个正根，方程可化为：xlnx=m(x−1)，因此转化为函数y=xlnx与y=m(x−1)在y轴右侧的图象有两个交点，先研究函数y=xlnx的图象，因为y′=lnx+1，当0<x<1e 时，y′<0，当x>1e时，y′<0，且当x=1时，y=0，y′=1，在x=1处切线的斜率为1，如图所示：而y=m(x−1)过点(1,0)斜率为m，由图象有两个交点，则只需m>0且m≠1，故m 的实数取值范围为(0,1)∪(1,+∞)， 故选：D ．由题意将已知问题转化为函数y =xlnx 与y =m(x −1)在y 轴右侧的图象有两个交点，然后分析出函数y =xlnx 的性质，画出图象，利用数形结合即可求解．本题考查了分段函数的性质，涉及到数形结合以及导数的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由f(0)=1，可得sinφ=12，又π2<φ<π，所以φ=5π6，由f(1)=0，可得ω+φ=2kπ+π，可得ω=2kπ+π6，k ∈Z ， 又因为周期T >4(1−0)，所以2πω>4，可得0<ω<π2， 所以ω=π6，所以T =2πω=12， 所以f(x)=2sin(π6x +5π6)，因为f(x 1)=2sin(π6x 1+5π6)=−12，所以sin(π6x 1+5π6)=−14，因为f(4)=2sin 3π2=−2，所以点(x 1,−12)，(x 2,−12)关于直线x =4对称，所以设(π6×4+5π6)−(π6x 1+5π6)=α，则sin(3π2−α)=sin(π6x 1+5π6)=−14，可得cosα=14， 又(π6x 2+5π6)−(π6x 1+5π6)=2α，可得π6(x 2−x 1)=2α，所以f(x 2−x 1−2)=2sin[π6(x 2−x 1)−π3+5π6]=2sin(π2+2α)=2cos2α=2(2×116−1)=−74． 故选：A ．由题意求得φ、ω的值，写出函数f(x)的解析式，求图象的对称轴，可得点(x 1,−12)，(x 2,−12)关于直线x =4对称，设(π6×4+5π6)−(π6x 1+5π6)=α，可得cosα=14，计算可得π6(x 2−x 1)=2α，从而可求得f(x 2−x 1−2)的值．本题主要考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，函数值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】π2【解析】解：根据题意，a ⃗ ，b ⃗ 为非零向量，若|2a ⃗ +3b ⃗ |=|2a ⃗ −3b ⃗ |，则有|2a ⃗ +3b ⃗ |2=|2a ⃗ −3b⃗ |2， 变形可得：4a ⃗ 2+12a ⃗ ⋅b ⃗ +9b ⃗ 2=4a ⃗ 2−12a ⃗ ⋅b ⃗ +9b ⃗ 2，即a⃗ ⋅b ⃗ =0， 则a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π2． 故答案为：π2．根据题意，|2a ⃗ +3b ⃗ |=|2a ⃗ −3b ⃗ |，则有|2a ⃗ +3b ⃗ |2=|2a ⃗ −3b ⃗ |2，变形可得a ⃗ ⋅b ⃗ =0，由向量垂直的性质分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：由约束条件{x +y −5≤0x −y +1≥0x −1≥0作出可行域如图，联立{x =1x −y +1=0，解得A(1,2)，z =yx 的几何意义为可行域内的点与定点O(0,0)连线的斜率． ∵k OA =2−01−0=2， ∴z =y x 的最大值等于2．故答案为：2．画出满足条件的平面区域，结合图象求出z 的最大值即可．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】√2【解析】解：由题意可知，FH 的方程为y =−a b (x −c)，与渐近线方程为y =ba x ，可得 H 的坐标为(a 2c ,abc)，A 是线段AF 2的中点(a 2+c 22c,ab 2c )，根据中点A 在双曲线C 上，∴(a 2c +c)24a 2−a 2b 24b 2c 2=1，∴c 2a 2=2， 故e =ca =√2， 故答案为：√2．设一渐近线方程为y =ba x ，则FH 的方程为y =−ab (x −c)，代入渐近线方程求得A 的坐标，再把点A 的坐标代入双曲线求得离心率．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出FA 的中点B 的坐标是解题的关键，是基础题．16.【答案】13√3 36a 2【解析】解：如图，符合条件的截面是六边形EFGHMN ，且EF =GH =MN =13a ，FG =HM =NE =23a ，六边形内角均为120°，连接EG ，GM ，ME ，可知三角形EGM 为等边三角形， 所以面积为13√3a 236， 故答案为：13√3a 236． 由题意可得符合条件的截面是六边形EFGHMN ，然后画出图形，且EF =GH =MN =13a ，FG =HM =NE =23a ，六边形内角均为120°，进而可以求解．本题考查了平面的基本性质与应用，考查了学生的数形结合能力与分析问题的能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n+1=S n +a n +2，整理得a n+1−a n =2(常数)，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公差的等差数列，因为a 32=S 1S 5，所以(a 1+4)2=a 1(5a 1+20)，解得a 1=1或−4(负值舍去)， 故a n =2n −1．(2)因为a n =2n −1，所以b n =2n+1−1，所以T n =(22−1)+(23−1)+(24−1)+⋯+(2n+1−1) =(22+23+⋯+2n+1)−(1+1+⋯+1)=2n+2−n +4．【解析】(1)根据条件可得数列{a n }是以a 1为首项，2为公差的等差数列，再求出通项公式；(2)利用分组法求出数列{b n }的前n 项和T n ．本题考查的知识要点：数列的通过项公式的求法，分组法在数列的求和中的应用，考查运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)证明：连接AC 交BD 于O ，连接OF ， 因为四边形ABCD 是菱形，所以O 点是AC 中点，AC ⊥BD ， 又因为FA =FC ，所以OF ⊥AC ，又因为BD ∩AC =O ，所以AC ⊥平面FBD ， 因为FD ⊂平面FBD ，所以AC ⊥FD ，因为四边形ABCD 是菱形，∠BAD =60°，AB =2，所以BD =2， 又因为∠DBF =45°，BF =2√2，所以FD =√BF 2+BD 2−2⋅BF ⋅BD ⋅cos45°=2， 于是BF 2=BD 2+DF 2，所以FD ⊥BD ， 因为AC ∩BD =O ，所以FD ⊥平面ABCD ． (2)建立如图所示的空间直角坐标系， DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1，0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2)， 设平面ADE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =√3x +y =0DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−2y +2z =0，令y =√3，m ⃗⃗⃗ =(−1,√3,√3)， 平面BED 的法向量为n⃗ =(1,0，0)， 因为二面角A −DE −B 为锐角， 所以二面角A −DE −B 的余弦值为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√7⋅1=√77．【解析】(1)证明FD 垂直于平面ABCD 内相交直线AC 和BD 即可； (2)求出平面BED 的法向量为n ⃗ ，用向量法计算二面角A −DE −B 的余弦值． 本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．19.【答案】解：(1)由所得数据列成的频数分布表，得样本平均数x −=4.5×0.05+5.5×0.18+6.5×0.28+7.5×0.26+8.5×0.17+9.5×0.06=7．(2)由(1)知Z ～N(7,1.61)，所以P(Z ≥8.27)=1−0.68272=0.15865，所以在这2000名学员中，合格的有2000×0.15865≈317人． (3)由已知得ξ的可能取值为1，2，3， P(ξ=1)=C 41C 22C 63=15，P(ξ=2)=C 42C 21C 63=35， P(ξ=3)=C 43C 20C 63=15，所以ξ的分布列为：所以E(ξ)=1×15+2×35+3×15=2(人)．【解析】(1)由所得数据列成的频数分布表，利用平均数公式即可求出抽取的样本平均数；(2)根据正态分布的性质即可合格的人数；(3)ξ的可能取值为1，2，3，分别求出对应的概率，即可求解分布列和期望． 本题考查平均数的求法、正态分布的性质、离散型随机变量的分布列与期望，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由已知，c a =√32⇒b a =12，当点P 在短轴端点时，由△AOP 相似于△ABQ ⇒BQ =2b ， 所以圆C 的面积为πb 2， 所以b =1，a =2， 所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设P(x 0,y 0)，则x 024+y 02=1⇒y 02x 02−4=−14①，A ，B 的坐标分别为(−2,0)，(2,0)，所以k AP =y 0x 0+2，⇒直线AP 的方程为y =yx 0+2(x +2)，令x =2时，Q(2,4y 0x0+2)，又k BP =yx 0−2，点R 在圆上，所以QR ⊥BR ，因此k QR =2−x 0y 0，所以直线RQ 的方程为y −4y 0x 0+2=2−x 0y 0(x −2)，即y 0(x 0+2)y −4y 02=(4−x 02)(x −2)， 由①是得到4−x 02=4y 02， 代入直线RQ 的方程，化简为4y 0x −(x 0+2)y −4y 0=0， 设A ，B 两点到直线RQ 的距离分别为d 1，d 2，则S 1S 2=d1d 2=|−8y 0−4y 0||8y 0−4y 0|=3，为定值．【解析】(1)由离心率为√32，及当点P 在椭圆短轴端点时，圆C 的面积为π，列方程组解得a ，b ，即可得出答案． (2)设P(x 0,y 0)，则x 024+y 02①，写出直线AP 的方程，令x =2时，得Q 得坐标，由QR ⊥BR ，推出k QR ，写出直线RQ 的方程，进而得A ，B 两点到直线RQ 的距离分别为d 1，d 2，推出S 1S 2，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)b=0，f(x)=xe x+ax⇒f′(x)=(x+1)e x+a，记g(x)=f′(x)，g′(x)=(x+2)e x，令g′(x)=0，得x=−2，f′(−2)=a−1e2，当x<−2时，g′(x)<0，g(x)单调递减，a−1e2<f′(x)<a，当x>−2时，g′(x)>0，g(x)单调递增，f′(x)>a−1e2，①当a−1e2≥0，即a≥1e2，f′(x)≥0，f(x)单调递增，无极值点；②当a−1e2<0且a>0，即0<a<1e2时，f′(x)=0有两个不同的根，f(x)有两个极值点，③当a≤0时，f′(x)=0有一个根，f(x)有一个极值点．(2)依题意(x−2)e x+axx−2cosx+4≥0对任意的x≥0恒成立，记ℎ(x)=(x−2)e x+axx−2cosx+4，ℎ(0)=0，ℎ′(x)=(x−1)e x+a+2sinx，ℎ′(0)=a−1，ℎ″(x)=xe x+2cosx，所以x∈[0,π2]时，xe x≥0，2cosx>0⇒ℎ″(x)>0，x∈[π2,+∞)时，xe x≥π2eπ2>π>2，ℎ″(x)>2+2cosx≥0，所以ℎ′(x)在(0,+∞)上单调递增，①a−1≥0即a≥1时，ℎ′(x)≥ℎ′(0)=a−1≥0，所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(0)=0恒成立，②a−1<0即a<1时，ℎ′(0)<0，ℎ′(4−a)=(3−a)e4−a+a+2sin(4−a)≥3−a+a+2sin(4−a)>0，所以存在x0∈(0,4−a)，使得ℎ′(x0)=0，当0<x<x0时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)在[0,x0]上的单调递减，当0<x<x0时，ℎ(x)<ℎ(0)=0，与题意不符，综上所述，a的取值范围是[1,+∞)．【解析】(1)f(x)=xe x+ax，求导得f′(x)=(x+1)e x+a，分析f′(x)的正负，f(x)的单调性，进而可得f(x)的极值点．(2)依题意(x−2)e x+axx−2cosx+4≥0对任意的x≥0恒成立，ℎ(x)=(x−2)e x+axx −2cosx +4，只需ℎ(x)min ≥0，即可解得答案．本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =1+ty =√3−√3t (t 为参数)，消去参数t 得：√3x +y −2√3=0．曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为直角坐标方程为y 2=4x ．(2)曲线C 1的参数方程为{x =1+ty =√3−√3t (t 为参数)，转换为标准式为{x =1+12t y =√3−√32t (t 为参数)， 代入y 2=4x ，得到：34t 2+5t −1=0， 所以t 1+t 2=−203，t 1t 2=−43． 故|PA|⋅|PB||PA|−|PB|=|t 1t 2||t 1+t 2|=15．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)证明：f(x)=|x +a|+|x −1a |≥|(x +a)−(x −1a )|=|a +1a |=a +1a ≥2， 当且仅当a =1且−1≤x ≤1时，等号成立． 所以f(x)≥2；(2)当a =12时，f(x)≥−x 2+4x +m 恒成立， 即为|x +12|+|x −2|≥−x 2+4x +m 恒成立， 即有m ≤x 2−4x +|x −2|+|x +12|，设g(x)=x2−4x+|x−2|+|x+12|，由y=x2−4x=(x−2)2−4≥−4，当x=2时，取得等号；又y=|x−2|+|x+12|≥|x−2−x−12|=52，当x=2时，取得等号，所以g(x)=x2−4x+|x−2|+|x+12|的最小值为g(2)=−4+52=−32，则m≤−32，即m的取值范围是(−∞,−32].【解析】(1)由绝对值不等式的性质和基本不等式，注意等号成立的条件，即可得证；(2)由参数分离和二次函数的最值求法，结合绝对值不等式的性质，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的性质和不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
2021年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)有答案
2021年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题1. 设集合A＝{x∈N|−1≤x≤1}，B＝{x|log2x<1}，则A∩B＝（）A.[−1, 1)B.(0, 1)C.{−1, 1}D.{1}2. 已知直线l1:ax+2y+1＝0，直线l2:2x+ay+1＝0，若l1⊥l2，则a＝（）A.0B.2C.±2D.43. 已知平面向量＝(1，），＝(2, λ)，其中λ>0，若|-|＝2，则＝（）A.2B.C.D.8)6的展开式中常数项为（）4. 二项式(2x−√xA.160B.−160C.60D.−605. 已知函数f(x)=x3+sin x+2，若f(m)=3，则f(−m)=()A.2B.1C.0D.−16. 已知曲线y＝e x（e为自然对数的底数）与x轴、y轴及直线x＝a(a>0)围成的封闭图形的面积为e a−1．现采用随机模拟的方法向右图中矩形OABC内随机投入400个点，其中恰有255个点落在图中阴影部分内，若OA＝1，则由此次模拟实验可以估计出e的值约为（）A.2.718B.2.737C.2.759D.2.7857. 已知命题p：若数列{a n}和{b n}都是等差数列，则{ra n+sb n}(r, s∈R)也是等差数列；命题q：(k∈Z)，都有sin x<x．则下列命题是真命题的是（）A.￢p∧qB.p∧qC.p∨qD.￢p∨q8. 对全班45名同学的数学成绩进行统计，得到平均数为80，方差为25，现发现数据收集时有两个错误，其中一个95分记录成了75分，另一个60分记录成了80分．纠正数据后重新计算，得到平均数为，方差为s2，则（）A.＝80，s2<25B.＝80，s2＝25C.＝80，s2>25D.<80，s2>259. 已知双曲线(a>0, b>0)的左、右焦点为F1，F2，P为其渐近线上一点，若△PF1F2是顶角为的等腰三角形，则E的离心率为（）A. B.2 C. D.10. 若函数+2ax+3在x＝2处取得极小值，则实数a的取值范围是（）A.(−∞, −6)B.(−∞, 6)C.(6, +∞)D.(−6, +∞)11. 已知正实数x，y满足，则（）A.ln x>ln(y+1)B.ln(x+1)<lg yC.3x<2y−1D.2x−y>112. 已知点O为坐标原点，|OP|＝2，点B，点C为圆x2+y2＝12的动点，且以BC 为直径的圆过点P，则△OBC面积的最小值为（）A.2B.4C.6D.二、填空题复数z 满足(1+i)⋅z ＝1−i ，则z ＝________．已知某科技公司员工发表论文获奖的概率都为p ，且各员工发表论文是否获奖相互独立．若X 为该公司的6名员工发表论文获奖的人数，D(X)=0.96，E(X)>2，则p 为________．已知F(1, 0)为椭圆(a >b >0)的右焦点，过E 的下顶点B 和F 的直线与E 的另一交点为A ，若，则a ＝________．关于函数f(x)＝sin 2x +2cos 2x ，下列说法正确的序号是________．①函数f(x)的一条对称轴为；②若f(x 1)＝f(x 2)＝1，则；③函数f(x)关于成中心对称；④设[a, b]⊆[0, π]，对任意x 1，x 2∈[a, b]，若f(x 1)>f(x 2)，则有x 1>x 2，那么b −a 的最大值为．三、解答题（一）必考题已知各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n+12＝a n (a n+1+2a n )．（1）证明：数列{a n }为等比数列，并求通项公式；（2）若数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2n >，求n 的最小值．某食品厂2020年2月至6月的某款果味饮料生产产量（单位：万瓶）的数据如表：（1）根据以上数据，求y关于x的线性回归方程；（2）当统计数据中，某月实际生产产量与所得回归方程预测的生产产量的误差在[−0.1, 0.1]内时，称该月为“甲级月”，否则称该月为“乙级月”．将所得回归方程预测的7月生产产量视作该月的实际生产产量，现从该年2月至7月中随机抽取2个月，求这2个月均为“乙级月”的概率．附：参考公式：＝，＝-．如图，在△ABC中，点P在边BC上，∠PAC＝30∘，AC＝，AP+PC＝2．（1）求∠APC；（2）若，求△APB的面积．已知函数f(x)＝(2m+2)x−4ln x−．（1）若函数g(x)＝f(x)+有两个零点，求m的取值范围；（2）若f(x)≥0，求m的取值范围．已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在第一象限内且为抛物线C上一点，点D(5, 0)，当直线AD的倾斜角为时，△ADF恰为等边三角形．（1）求C的方程；（2）过y轴上一点P作抛物线C的切线l1交直线x＝5于G，以DG为直径作圆E，过点P作直线l2交圆E于H，Q两点，试问：|PH|∗|PQ|是否为定值？并说明理由．（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x−2)2+y2＝6．曲线C2的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝α(−，ρ∈R)．（1）求曲线C1与C2的极坐标方程；（2）已知直线l与曲线C1交于A，B两点，与曲线C2交于点C，若|AB|:|OC|＝求α的值．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x−3|+|x−2|．（1）求不等式f(x)<3的解集；（2）记函数f(x)的最小值为m，a>0，b>0，c>0，a+b+c＝mabc，证明：ab+bc+ac≥9．参考答案与试题解析2021年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】D【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】C【考点】二项式定理及相关概念【解析】)6展开式的通项公式，求出展开式中常数项即可．利用二项式(2x−√x【解答】)6的展开式的通项公式为二项式(2x√x)r=C6r⋅26−r⋅(−1)r⋅x6−32r，T r+1=C6r⋅(2x)6−r⋅√xr＝0，解得r＝4；令6−32∴该二项式展开式中常数项为C64⋅26−4⋅(−1)4＝60．5.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，由函数的解析式分析可得f(x)+f(−x)=4，结合f(m)的值，计算可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)=x3+sin x+2，则f(−x)=(−x)3+sin(−x)+2=−(x3+sin x)+2，则f(x)+f(−x)=4，若f(m)=3，则f(−m)=1，6.【答案】C【考点】模拟方法估计概率几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用复合命题及其真假判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】C【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】A【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】B【考点】利用导数研究函数的极值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】−i【考点】复数的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】由已知可得X 服从二项分布，根据二项分布的方差公式和期望公式即可求出p 的值．【解答】由已知可得X ∼B(6, p)，则D(X)=6p(1−p)=0.96，即25p 2−25p +6=0，解得p =0.2或0.8，因为E(X)=6p >2，可得p >13， 所以p =0.8．【答案】3【考点】椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】②④【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（一）必考题【答案】证明：∵ a n+12＝a n (a n+5+2a n )，∴ (a n+1−7a n )(a n+1+a n )＝0，又a n >5，∴ a n+1＝2a n ，∴ 数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列n ＝2n−3；由（1）可得S 2n ＝＝22n −5，又S 2n >，∴ 42n −1>×2n−1，解得：7n >9，或2n <−（舍），∴ n 的最小值为4．【考点】数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】根据表中数据，计算＝，＝×(3+3+6.5+7+10.5)＝6.2，∴＝＝＝8.8，＝-＝6.8−1.8×3＝−0.6，∴y关于x的线性回归方程为＝4.8x−0.6．当x＝2时，＝1.4×2−0.7＝3＝0，当x＝3时，＝1.8×8−0.6＝6.8＝0.3，当x＝4时，＝1.6×4−0.2＝6.6＝−2.1，当x＝5时，＝2.8×5−3.6＝8.4＝−0.4，当x＝6时，＝1.8×6−0.6＝10.2＝0.3，当x＝5时，＝1.8×4−0.6＝12，∴y−，∴属于“甲级月”的有5月，4月，属于“乙级月”的有3月，4月，故这2个月均为“乙级月”的概率为P＝＝．【考点】求解线性回归方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】因为∠PAC＝30∘，AC＝，由余弦定理可得CP2＝AP5+AC2−2AP×AC×cos∠PAC，即CP4＝AP2+3−4AP⋅cos30∘，又AP+CP＝2，联立解得AP＝4，CP＝1，所以∠APC＝120∘．因为∠APC＝120∘，可得∠APB＝60∘，因为cos B＝，可得sin B＝，在△APB中，由正弦定理＝，在△APB中，由余弦定理AB2＝AP4+PB2−2AP⋅PB⋅cos∠APB，可得5＝1+PB2−2PB cos60∘，即PB2−PB−6＝2，解得BP＝3．所以△APB的面积为S＝AP⋅BP⋅sin∠APB＝＝．【考点】余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】g(x)＝f(x)+＝(2m+2)x3−4ln x，x>0，所以＝，当m≤−3时，g′(x)<0在(0，所以g(x)在(5, +∞)上单调递减，舍去，当m>−1时，当0<x<时，函数单调递减时，g′(x)>0，若使函数g(x)有2个零点，则g（<0，所以ln>1，即，所以m，所以−7<m．因为f(x)＝(6m+2)x−4ln x−，x>6，所以＝-，x>0，若m≤0，当x∈(5, f′(x)<0，当x∈(2, f′(x)>4，所以f(x)min＝f(2)＝2m+4−8ln2≥0，所以m≥6ln2−2，综上7ln2−2≤m≤8，若m>0，则f(4+−4ln(4+＝−3ln(4+，则f(x)≥5不恒成立，综上，2ln2−8≤m≤0．【考点】利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】由题意可得，且|DF|＝，由抛物线的定义可知，因为△ADF为等边三角形，即，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y6＝4x；设直线l1的方程为y＝kx+m，则G(3，，P(0，所以以DG为直径的圆E：，即(x−5)2+y3−(5k+m)y＝0，联立方程组，消去y整理可得，k2x7+(2km−4)x+m2＝0，因为直线l1与曲线C相切，所以△＝(7km−4)2−5k2m2＝6，化简可得km＝1，设直线l2的方程为y＝tx+m，H(x6, y1)，Q(x2, y2)，联立方程组，消去y整理可得4+1)x2+(tm−6kt−10)x+25−5km＝0，所以，因为|PH|＝，|PQ|＝，所以|PH|∗|PQ|＝，故|PH|∗|PQ|为定值20．【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】曲线C1的方程为(x−2)5+y2＝6，转换为x6+y2−4x＝4，根据2−4ρcosθ＝8；曲线C2的参数方程为（t为参数）2−y3＝4，根据2cos4θ−ρ2sin2θ＝7．根据，整理得ρ2−4ρcosα−3＝0，所以ρ1+ρ2＝4cosα，ρ1ρ3＝−2，故＝，，解得，由于|AB|:|OC|＝，所以，整理得6cos22α+4cos2α−5＝3，(2cos2α+5)(2cos2α−8)＝0，解得cos2α＝，由于-，故．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【答案】f(x)＝|x−3|+|x−2|＝．∵f(x)<7，∴或2≤x≤3或，∴3<x<3或2≤x≤3或4<x<2，∴1<x<3，∴不等式的解集为{x|1<x<4}．证明：由（1）可得m＝f(x)min＝4，∴a+b+c＝abc，∴，∵a>0，b>8，∴＝＝＝＝2，当且仅当a＝b＝c时可取等号，即ab+bc+ac⩾9．【考点】不等式的证明绝对值不等式的解法与证明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2021届安徽省安庆市高考数学模拟试卷(理科)(二模)(解析版)
2021年安徽省安庆市高考数学模拟试卷（理科）（二模）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|﹣a＜x≤a+3}，若A∩B＝A，则a取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞） D．（2，+∞）2．设复数z＝1+i（i是虚数单位），则|z2+|＝（）A．1 B．C．D．23．从4位男生，2位女生中选3人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法种数共有（）A．8 B．12 C．16 D．204．设函数f（x）＝2x﹣2﹣x+x3，则使得不等式f（2x﹣1）+f（3）＜0成立的实数x 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，2）C．（﹣1，+∞）D．（2，+∞）5．已知实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最大值为（）A．﹣5 B．1 C．2 D．36．已知sin（）＝sinαtan﹣1，则tanα＝（）A．﹣2 B．2 C．D．7．设{a n}是等比数列，前n项和为S n，若＝，则＝（）A．B．C．D．8．已知函数y＝cos（ωx+φ）的图象如图所示，其中ω为正整数，|φ|＜2，则（）A．ω＝1，φ＝π﹣2 B．ω＝1，φ＝2﹣πC．ω＝2，φ＝π﹣4D．ω＝2，φ＝4﹣π9．设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F作倾斜角为60°的直线交抛物线于点A，B（点A位于x轴上方），O是坐标原点，记△AOF和△BOF的面积分别为S1，S2，则＝（）A．9 B．4 C．3 D．210．《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”．沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”．现记截面之间几何体体积为V1，“刍甍”的体积为V2，若＝，台体的体公式为V＝（S++S′），其中S、S′分别为台体的上、下底面的面积．则“方亭”的上、下底面边长之比为（）A．B．C．D．11．已知||＝||＝2，且，的夹角为60°，若向量||≤1，则的取值范围是（）A．[﹣4，4] B．[﹣2] C．[0，2] D．[0，4]12．对任意x∈[，e2]，使得不等式（lnx﹣k）x＞3lnx成立的最大整数k为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二、填空题（共4小题）.13．已知函数，则曲线y＝f（x）在（0，0）处的切线方程为．14．某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动．据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长X（小时）近似服从正态分布，人均活动时间约40小时．若某高中学校1000学生中参加该活动时间在30至50小时之间的同学约有300人．据此，可推测全市n名学生中，累计时长超过50小时的人数大约为．15．已知F1，F2分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为G．连接F1G，设直线F1G，F2G的斜率分别为k1，k2，2若k1k2＝，则双曲线C的离心率为．16．钝角△ABC的面积是，AC＝2，BC＝3，角A的平分线交BC于点D，则AD ＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}满足a1＝，n（n+1）a n a n﹣1+（n+1）a n﹣na n﹣1＝0，n≥2，n∈N．（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列；（Ⅱ）设数列{（2n+1）a n2}的前n项和S n.证明：≤S n＜1．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是正三角形，O1是其中心，侧面BCC1B1是正方形，O2是其中心．（Ⅰ）判断直线O1O2与直线AA1的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若四面体A1ABC是正四面体，求平面BCC1B1与平面ABC所成锐二面角的余弦值．19．某学校举行诗词知识选拔赛，通过微信小程序自行注册并登录进行作答，选拔赛一共设置了由易到难的A、B、C、D四道题，答题规则如下：每次作答一题，按问题A、B、C、D顺序作答；每位同学初始得分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；每作答完一题，小程序自动累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，通过比赛；当作答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束；假设小强同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为、、、，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（Ⅰ）求小强同学前三道题都答对的概率；（Ⅱ）用X表示小强同学答题结束时的得分，求X的分布列；（Ⅲ）求小强同学能通过比赛的概率．20．设F1，F2分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，P是椭圆C的短轴的一个端点，已知△PF1F2的面积为，cos∠F1PF2＝﹣．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在与PF2平行的直线l，满足直线l与椭圆C交于两点M，N，且以线段MN为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝x2+x﹣ln（ax+b），a∈R，a≠0．（Ⅰ）当a＝1，b＝0时，求证：f（x）＞；（Ⅱ）若f（x）≥x2恒成立，求ab的最大值．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（θ为参数，常数r＞0）．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15＝0．（Ⅰ）若曲线C1与C2有公共点，求r的取值范围；（Ⅱ）若r＝1，过曲线C1上任意一点P作曲线C2的切线，切点为Q，求|PQ|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|3x+1|+|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式：f（x）＞5；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥x2+m在[0，3]上恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|﹣a＜x≤a+3}，若A∩B＝A，则a取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞） D．（2，+∞）解：由A∩B＝A知A⊆B，故，解得a≥1．故选：C．2．设复数z＝1+i（i是虚数单位），则|z2+|＝（）A．1 B．C．D．2解：因为，所以，故选：B．3．从4位男生，2位女生中选3人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法种数共有（）A．8 B．12 C．16 D．20解：由题设知不同的选法可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有＝12种；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有种，根据分类加法计数原理知，至少有l位女生人选的不同的选法有16种，故选：C．4．设函数f（x）＝2x﹣2﹣x+x3，则使得不等式f（2x﹣1）+f（3）＜0成立的实数x 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，2）C．（﹣1，+∞）D．（2，+∞）解：由函数解析式知函数f（x）是定义在R上的奇函数和单调递增函数，原不等式可化为f（2x﹣1）＜f（﹣3），∴2x﹣1＜﹣3，解得x＜﹣1，∴x的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：A．5．已知实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最大值为（）A．﹣5 B．1 C．2 D．3解：画出线性约束区域，所以当直线经过b（3.0）点时，目标函数z＝x﹣2y有最大值，最大值为3．故选：D．6．已知sin（）＝sinαtan﹣1，则tanα＝（）A．﹣2 B．2 C．D．解：因为，所以．因为，所以sinα+cosα＝﹣cosα，即sinα＝﹣2cosα，所以tanα＝﹣2，故选：A．7．设{a n}是等比数列，前n项和为S n，若＝，则＝（）A．B．C．D．解：设等比数列{a n}的公比为q，由可得：S4＝4S2，整理得：a3+a4＝3（a1+a2），即，解得：q2＝3，∴，故选：B．8．已知函数y＝cos（ωx+φ）的图象如图所示，其中ω为正整数，|φ|＜2，则（）A．ω＝1，φ＝π﹣2 B．ω＝1，φ＝2﹣πC．ω＝2，φ＝π﹣4D．ω＝2，φ＝4﹣π解：由图象知＜2＜，∴＜2＜，∴＜ω＜，∵ω为正整数，∴ω＝2，∴y＝cos（2x+φ），把点（2，﹣1）代入y＝cos（2x+φ）得，cos（4+φ）＝﹣1，则 4+φ＝2kπ+π，所以φ＝2kπ+π﹣4，k∈Z，∵|φ|＜2，∴φ＝π﹣4．故选：C．9．设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F作倾斜角为60°的直线交抛物线于点A，B（点A位于x轴上方），O是坐标原点，记△AOF和△BOF的面积分别为S1，S2，则＝（）A．9 B．4 C．3 D．2解：由题意可知，直线AB的方程为，代入y2＝2px，整理得．设点A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），因为点A位于x轴上方，所以，，所以，故选：C．10．《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”．沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”．现记截面之间几何体体积为V1，“刍甍”的体积为V2，若＝，台体的体公式为V＝（S++S′），其中S、S′分别为台体的上、下底面的面积．则“方亭”的上、下底面边长之比为（）A．B．C．D．解：设“方亭”的上底面边长为a，下底面边长为b，高为h，则，，，∴．故选：A．11．已知||＝||＝2，且，的夹角为60°，若向量||≤1，则的取值范围是（）A．[﹣4，4] B．[﹣2] C．[0，2] D．[0，4]解：解法1：取，则点C在以A为圆心，半径为1的圆面上（包括边界），设向量的夹角为θ，由图可知，θ取值范围为；，由于为向量在向量上的投影，且．故的取值范围是[0，4]．解法2：不妨设，，．因为，所以（x﹣2）2+y2≤1，设x＝2+r cosα，y＝r sinα，0≤r≤1，α∈R，所以，由于，故．故选：D．12．对任意x∈[，e2]，使得不等式（lnx﹣k）x＞3lnx成立的最大整数k为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1解：由题意知（lnx﹣k）x＞3lnx，有k＜，，令，则，令ϕ（x）＝3lnx+x﹣3，易知其单调递增，因为φ（2）＝3ln2﹣1＞0，φ（）＝3ln﹣＝3ln＜0，所以存在，使得ϕ（x0）＝3lnx0+x0﹣3＝0，因此在单调递减，在单调递增，＝，所以最大整数k为﹣1，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数，则曲线y＝f（x）在（0，0）处的切线方程为y＝x．解：∵，∴，则f'（0）＝＝1，∴曲线y＝f（x）在（0，0）处的切线方程为y＝x．故答案为：y＝x．14．某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动．据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长X（小时）近似服从正态分布，人均活动时间约40小时．若某高中学校1000学生中参加该活动时间在30至50小时之间的同学约有300人．据此，可推测全市n名学生中，累计时长超过50小时的人数大约为0.35n．解：由题意，μ＝40，则X～N（40，σ2），由P（30≤X≤50）＝0.3，可得P（X＞50）＝＝0.35，故累计时长超过50小时的人数大约有0.35n人．故答案为：0.35n．15．已知F1，F2分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为G．连接F1G，设直线F1G，F2G的斜率分别为k1，k2，2若k1k2＝，则双曲线C的离心率为．解：已知焦点F1，F2的坐标分别为（﹣c，0），（c，0），其中．根据对称性，不妨设点G在渐近线上，则直线F2G的方程为，与联立，得，所以，由，得，化简得c2＝2a2，故．故答案为：．16．钝角△ABC的面积是，AC＝2，BC＝3，角A的平分线交BC于点D，则AD＝．解：由，得，若角C为锐角，则，此时AB2＝AC2+BC2﹣2AC⋅BC cos C＝10，即，由于AB＞BC＞AC，则△ABC为锐角三角形，不符合题意．故C为钝角，此时，AB2＝AC2+BC2﹣2AC⋅BC cos C＝16，故AB＝4．在△ACD中，由正弦定理得，同理，在△ABD中，，而在△ABC中，，由于∠CAD＝∠BAD，故，由于BC＝3，故CD＝1，所以AD2＝AC2+CD2﹣2AC⋅CD cos C＝6，所以．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}满足a1＝，n（n+1）a n a n﹣1+（n+1）a n﹣na n﹣1＝0，n≥2，n∈N．（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列；（Ⅱ）设数列{（2n+1）a n2}的前n项和S n.证明：≤S n＜1．【解答】证明：（Ⅰ）∵，，∴，∴，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列；……………（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，∴，，∴．所以．……………18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是正三角形，O1是其中心，侧面BCC1B1是正方形，O2是其中心．（Ⅰ）判断直线O1O2与直线AA1的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若四面体A1ABC是正四面体，求平面BCC1B1与平面ABC所成锐二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图1，取BC的中点D，B1C1的中点D1，连接AD，A1D1，DD1，根据棱柱的性质可得，，，所以，所以四边形ADD1A1是平行四边形，所以O1O2⊂平面ADD1A1．因为O1O2与DD1相交，所以O1O2与AA1相交．……………（Ⅱ）解：因为四面体A1ABC是正四面体，O1是△ABC的中心，所以A1O1⊥平面ABC，AO⊥BC．1所以以O1为坐标原点，，方向分别为x轴，z轴正方向，|AB|为单位长度，建立空间直角坐标系O1﹣xyz．易得，B，C，A1，B，C1，O2．1所以，，，所以，，故是平面BCC1B1的法向量．又是平面ABC的法向量，，设平面BCC1B1与平面ABC所成的锐二面角为θ，则．……………19．某学校举行诗词知识选拔赛，通过微信小程序自行注册并登录进行作答，选拔赛一共设置了由易到难的A、B、C、D四道题，答题规则如下：每次作答一题，按问题A、B、C、D顺序作答；每位同学初始得分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；每作答完一题，小程序自动累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，通过比赛；当作答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束；假设小强同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为、、、，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（Ⅰ）求小强同学前三道题都答对的概率；（Ⅱ）用X表示小强同学答题结束时的得分，求X的分布列；（Ⅲ）求小强同学能通过比赛的概率．解：（Ⅰ）小强同学前三道题都答对的概率．（Ⅱ）X可能取6，7，9，10，11，14，16，17，18，19．答题得分情况如下：初始分A B C D累计得分能否通过比赛对错得分（1分）对错得分对错得分对错得分10√11√13√1616能10√11√13×11√1717能10√11√13×11×99否10√11×9√12√1818能10√11×9√12×1010否10√11×9×77否10×8√10√13√1919能10×8√10√13×1111否10×8√10×8√1414能10×8√10×8×66否10×8×66否∴随机变量X的分布列为：X67910111416171819P（Ⅲ）小强同学能通过比赛的概率为：．20．设F1，F2分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，P是椭圆C的短轴的一个端点，已知△PF1F2的面积为，cos∠F1PF2＝﹣．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在与PF2平行的直线l，满足直线l与椭圆C交于两点M，N，且以线段MN为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）设|F1F2|＝2c，则△PF1F2的面积等于，所以．①由cos2∠OPF2＝，即，得．因为在直角△OPF2中，|OP|＝b，|OF2|＝c，，所以，所以．②由①②及a2＝b2+c2，得，b＝1，，所以椭圆C的标准方程为．……………（Ⅱ）因为直线PF2的斜率为，所以可设直线l的方程为，代入，整理得．由△＝，得m2．设，，则，．若以线段MN为直径的圆经过坐标原点O，则，即，得，所以，得．因为＜，所以．所以存在满足条件的直线l，方程为或．…………21．已知函数f（x）＝x2+x﹣ln（ax+b），a∈R，a≠0．（Ⅰ）当a＝1，b＝0时，求证：f（x）＞；（Ⅱ）若f（x）≥x2恒成立，求ab的最大值．解：（Ⅰ）证明：当a＝1，b＝0时，f（x）＝x2+x﹣lnx，所以，x＞0，所以当x＞时，f′（x）＞0；当0＜x＜时，f′（x）＜0，所以当且仅当时，f（x）有最小值，因为，f（）﹣＝﹣+ln2＝（ln4﹣1）＞0，所以f（x）＞；（Ⅱ）f（x）≥x2恒成立，即x﹣ln（ax+b）≥0，且要求ax+b＞0，所以e x﹣ax≥b，①若a＜0，对任意的实数b，当x＜0且时，由于0＜e x＜1，ax+b＞1，故不等式e x﹣ax≥b不成立．②若a＞0，设g（x）＝e x﹣ax，则g'（x）＝e x﹣a．当x∈（﹣∞，lna），g′（x）＜0，当x∈（lna，+∞），g′（x）＞0，从而g（x）＝e x﹣ax在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）单调递增，故g（x）＝e x﹣ax有最小值g（lna）＝a﹣alna，因此b≤a﹣alna，所以ab≤a2﹣a2lna，设h（a）＝a2﹣a2lna（a＞0），则h′（a）＝a（1﹣2lna），所以h（a）＝a2﹣a2lna在上单调递增，在上单调递减，从而h（a）＝a2﹣a2lna的最大值为，当，时，取等号，故ab的最大值为．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（θ为参数，常数r＞0）．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15＝0．（Ⅰ）若曲线C1与C2有公共点，求r的取值范围；（Ⅱ）若r＝1，过曲线C1上任意一点P作曲线C2的切线，切点为Q，求|PQ|的最小值．解：（Ⅰ）曲线C1的普通方程为x2+y2＝r2（r＞0），曲线C2的普通方程为x2+（y﹣4）2＝1若C1与C2有公共点，则，所以3≤r≤5．（Ⅱ）设P（cosα，sinα），由，得|PQ|2＝cos2α+（sinα﹣4）2﹣1＝16﹣8sinα≥16﹣8＝8．当且仅当sinα＝1时取最大值，故|PQ|的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|3x+1|+|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式：f（x）＞5；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥x2+m在[0，3]上恒成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）由|3x+1|+|x﹣2|＞5得，或或，解得x＜﹣1或1＜x＜2或x≥2，故不等式f（x）＞5的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（Ⅱ）由题意知，当x∈[0，3]时，|3x+1|+|x﹣2|≥x2+m恒成立．若0≤x＜2，则3x+1+2﹣x≥x2+m，可得m≤（﹣x2+2x+3）min＝3；若2≤x≤3，则3x+1+x﹣2≥x2+m，m≤（﹣x2+4x﹣1）min＝2．综上可知，实数f（x）的取值范围是（﹣∞，2]．。
2021年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2021年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{y|y＝32x﹣1}，则A∩（∁U B）＝（）A．[﹣1，2）B．（﹣2，﹣1]C．（﹣1，2）D．[﹣2，1）2．已知复数z＝（i为虚数单位），则|z|＝（）A．1B．4C．2D．23．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y＝±2x C．D．4．某校拟从1200名高一新生中采用系统抽样的方式抽取48人参加市“抗疫表彰大会”，如果编号为237的同学参加该表彰大会，那么下列编号中不能被抽到的是（）A．327B．937C．387D．10875．已知a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，则“a，b相交“是“a，c相交”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知a＝log23•log35，，c＝20.99，则（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a7．《孙子算经》中有如下问题：“今有三鸡共啄粟一千一粒，雏啄一，母啄二，翁啄四，主责本粟．问：三鸡各偿几何．”意思是：“今有3只鸡一起吃1001粒谷子，小鸡吃1粒，母鸡吃2粒，公鸡吃4粒．要一起吃完这堆谷子，问：3只鸡各要吃多少？”为了研究小鸡吃了多少谷子，设计了如图所示的程序框图，则输出k的值为（）A．141B．142C．143D．1448．已知sin（）＝，则cos（）＝（）A．B．C．D．﹣9．在面积为S的△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2+c2＝3+，则a ＝（）A．1B．C．2D．310．函数f（x）＝•sin x在区间[﹣π，π]上的图象大致为（）A．B．C．D．11．把圆心角为的扇形铁板围成一个圆锥，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为（）A．B．C．D．12．已知f（x）为奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝1﹣2；当x∈（﹣∞，﹣1），f （x）＝1﹣e﹣1﹣x，若关于x的不等式f（x+m）＞f（x）恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（1，2）∪（2，+∞）B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三二模数学理试题
2021年高三二模数学理试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）（xx•海淀区二模）集合A={x|（x﹣1）（x+2）≤0}，B={x|x＜0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[1，2]D．[1，+∞）考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：求解二次不等式化简集合A，然后直接利用并集运算求解．解答：解：由A={x|（x﹣1）（x+2）≤0}={x|﹣2≤x≤1}，B={x|x＜0}，所以A∪B={x|﹣2≤x≤1}∪{x|x＜0}=（﹣∞，1]．故选B．点评：本题考查了并集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础的运算题．2．（5分）（xx•海淀区二模）已知数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1•a3=4，a4=8，则a1+q的值为（）A．3B．2C．3或﹣2 D．3或﹣3考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用题目给出的已知条件列关于首项和公比的方程组，求解后即可得到a1+q的值．解答：解：在等比数列{a n}中，由a1•a3=4，a4=8，得，②2÷①得：q4=16，所以q=±2．当q=2时，代入②得，a1=1．当q=﹣2时，代入②得，a1=﹣1．所以a1+q的值为3或﹣3．故选D．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了方程组的解法，是基础题．3．（5分）（xx•海淀区二模）如图，在边长为a的正方形内有不规则图形Ω．向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m，n，则图形Ω面积的估计值为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据落到不规则图形Ω和正方形中的点的个数，得到概率，即得到两者的面积的比值，根据所给的正方形的边长，求出面积，根据比值得到要求的面积的估计值．解答：解：∵由题意知在正方形中随机投掷n个点，若n个点中有m点落入X中，∴不规则图形Ω的面积：正方形的面积=m：n∴不规则图形Ω的面积=×正方形的面积=×a2=．故选C．点评：本题考查几何概型，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．4．（5分）（xx•海淀区二模）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．180 B．240 C．276 D．300考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可．解答：解：由题意可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧面斜高为5；下部是棱长为6的正方体，所以几何体的表面积为：5个正方形的面积加上棱锥的侧面积，即：5×6×6+4××4=240．故选B．点评：本题考查几何体与三视图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力．5．（5分）（xx•海淀区二模）在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得AB=λDC，AD=λBC”是“四边形ABCD为平行四边形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：证明题．分析：根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形和必要条件、充分条件与充要条件的定义进行判断即可．解答：解：由在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得AB=λDC，AD=λBC”，不能得出AB∥DC，AD∥BC，如图，AB=2DC，AD=2BC，不得到四边形ABCD为平行四边形．也就不得到四边形ABCD为平行四边形，反之，由四边形ABCD为平行四边形，得到AB=DC，AD=BC，从而有：∃λ=1∈R，使得AB=λDC，AD=λBC，故在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得AB=λDC，AD=λBC”是“四边形ABCD为平行四边形”的必要而不充分条件．故选B．点本题主要考查对平行四边形的判定定理，必要条件、充分条件与充要条件的判断，评：能灵活运用平行四边形的判定进行证明是解此题的关键，此题是一个比较综合的题目．6．（5分）（xx•海淀区二模）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为（）A．32 B．36 C．42 D．48考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：2和4需要排在十位、百位和千位，分2排在百位，4排在百位，2和4分别排在十位和千位来考虑，综合可得答案．解答：解：由题意可知：2和4需要排在十位、百位和千位．若2排在百位，则4可以排在十位或千位，剩余的1、3、5可以随意排，因此有2=12种情况，同理当4排在百位时，2可以排在十位或千位，同样有2=12种情况．再考虑2和4分别排在十位和千位的情况，不同的排列有两种情况，而此时由于5不能排在百位，因此只能从个位和万位中选一个，有两种情况，最后剩余的1和3可以随意排列，因此共有2×2×=8种情况．因此所有的排法总数为12+12+8=32种．故选A点评：本题考查排列组合及简单的计数原理，分类考虑是解决问题的额关键，属中档题．7．（5分）（xx•海淀区二模）双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2=4x 的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．1C．1D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线c的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．解答：解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c=1，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以，c2=a2+b2=1，解得a=，双曲线的离心率e===1+．故选B．点本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．评：8．（5分）（xx•海淀区二模）若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n 成立，则称数列{a n}为周期数列，周期为T．已知数列{a n}满足a1=m（m＞0），则下列结论中错误的是（）A．若a3=4，则m可以取3个不同的值B．若，则数列{a n}是周期为3的数列C．∀T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{a n}是周期为T的数列D．∃m∈Q且m≥2，使得数列{a n}是周期数列考点：命题的真假判断与应用．专题：等差数列与等比数列．分析：利用周期数列的定义，分别进行推理证明．解答：解：对于选项A，因为，所以，因为a3=4，所以a2=5或，又因为，a1=m，所以m=6或m=或m=，所以选项A正确；对于选项B，＞1，所以；所以，所以，所以数列{a n}是周期为3的数列，所以选项B正确；对于选项C，当B可知当＞1时，数列{a n}是周期为3的周期数列，所以C正确．故错误的是D．故选D．点评：本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（xx•海淀区二模）在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=2的距离为2．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先求出直线的直角坐标方程，求出极点的直角坐标，即可求得极点到直线ρcosθ=2的距离．解答：解：直线ρcosθ=2 即x=2，极点的直角坐标为（0，0），故极点到直线ρcosθ=2的距离为2，故答案为2．点评：本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，点到直线的距离的定义，属于基础题．10．（5分）（xx•海淀区二模）已知，，，则a，b，c按照从大到小排列为c＞b＞a．考点：有理数指数幂的化简求值；对数值大小的比较．专题：计算题．分析：利用对数函数与指数函数及正弦函数的性质可对a，b，c的大小作出判断．解答：解：∵a=ln＜ln1=0，0＜b=sin≈sin＜sin30°=，c===＞，∴c＞b＞a．故答案为：c＞b＞a．点评：本题考查有理数指数幂的化简求值，着重考查对数函数与指数函数及正弦函数的性质，属于基础题．11．（5分）（xx•海淀区二模）直线l1过点（﹣2，0）且倾斜角为30°，直线l2过点（2，0）且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为．考点：两条直线的交点坐标．专题：直线与圆．分析：用点斜式求出两条直线的方程，再联立方程组，解方程组求得直线l1与直线l2的交点坐标．解答：解：由题意可得直线l1的斜率等于tan30°=，由点斜式求得它的方程为y﹣0=（x+2），即x﹣3y+2=0．直线l2过的斜率等于=﹣，由点斜式求得它的方程为y﹣0=﹣（x﹣2），即x+y﹣2=0．由，解得，故直线l1与直线l2的交点坐标为，故答案为．点评：本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，求两条直线的交点坐标，属于基础题．12．（5分）（xx•海淀区二模）在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，，则b=2；S△ABC=．考点：正弦定理；三角形的面积公式．专题：计算题；解三角形．分析：根据正弦定理的式子，即可解出b==2；由三角形内角和定理，算出∠C=75°，再由正弦定理的面积公式，可以算出S△ABC的大小．解答：解：∵△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，，∴由正弦定理，得b===2∵∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°∴S△ABC=absinC==故答案为：2，点评：本题给出三角形两个角和其中一角的对边，求另一边的大小并求三角形的面积．着重考查了用正弦定理解三角形、三角形面积公式等知识，属于基础题．13．（5分）（xx•海淀区二模）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是[0，1]．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：建立空间直角坐标系，求出有关点的坐标可得、、、的坐标，再由=1﹣λ∈[0，1]，可得的取值范围．解答：解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，以所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则D（0，0，0）、C（0，1，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、D1（0，0，1）．∴=（0，1，0）、（﹣1，﹣1，1）．∵点P在线段BD1上运动，∴=λ•=（﹣λ，﹣λ，λ），且0≤λ≤1．∴=+=+=（﹣λ，1﹣λ，λ），∴=1﹣λ∈[0，1]，故答案为[0，1]．点评：本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积公式，属于中档题．14．（5分）（xx•海淀区二模）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线为W．（Ⅰ）给出下列三个结论：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于直线y=x对称；③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；其中，所有正确结论的序号是②③；（Ⅱ）曲线W上的点到原点距离的最小值为．考点：轨迹方程；命题的真假判断与应用．分析：根据动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，可得曲线方程，作出曲线的图象，即可得到结论．解答：解：∵动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，∴|x|+|y|=∴|xy|+x+y﹣1=0∴xy＞0，（x+1）（y+1）=2或xy＜0，（y﹣1）（1﹣x）=0函数的图象如图所示∴曲线W关于直线y=x对称；曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；由y=x与（x+1）（y+1）=2联立可得x=﹣1，∴曲线W上的点到原点距离的最小值为=故答案为：②③；点评：本题考查轨迹方程，考查数形结合的数学思想，求出轨迹方程，正确作出曲线的图象是关键．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（xx•海淀区二模）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间．考点：二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由分母不为0，得到sin（x﹣）≠0，利用正弦函数的性质即可求出函数f（x）的定义域；（Ⅱ）函数解析式第二项分子利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的正弦函数公式化简，约分后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调性即可求出函数的单调递增区间．解答：解：（I）∵sin（x﹣）≠0，∴x﹣≠kπ，k∈Z，则函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}；（II）∵f（x）=1﹣=1+（cosx+sinx）=1+sinx+cosx=1+sin（x+），又∵y=sinx的单调递增区间为（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z，令2kπ﹣＜x+＜2kπ+，解得：2kπ﹣＜x＜2kπ+，又注意到x≠kπ+，则f（x）的单调递增区间为（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z．点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，正弦函数的定义域和值域，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．16．（13分）（xx•海淀区二模）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%．（Ⅰ）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；（Ⅱ）为了能够筹得资金资助福利事业，求p的取值范围．考点：离散型随机变量及其分布列；互斥事件与对立事件；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）利用对立事件概率求解公式，可求至少有一张彩票中奖的概率；（Ⅱ）确定福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金的取值，求出相应的概率，可得其分布列与期望，利用期望大于0，即可求得结论．解答：解：（I）设至少一张中奖为事件A，则P（A）=1﹣0.52=0.75…（4分）（II）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ，则ξ可以取5，0，﹣45，﹣145…（6分）故ξ的分布列为ξ 5 0 ﹣45 ﹣145P 50% 50%﹣2%﹣p 2% p…（8分）所以ξ的期望为Eξ=5×50%+0×（50%﹣2%﹣p）+（﹣45）×2%+（﹣145）×p=2.5﹣90%﹣145p…（11分）所以当1.6﹣145p＞0时，即…（12分）所以当时，福彩中心可以获取资金资助福利事业…（13分）点评：本题考查对立事件的概率公式，考查随机变量的分布列与期望，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（14分）（xx•海淀区二模）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4．把△DAC沿对角线AC折起到△PAC的位置，如图2所示，使得点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，连接PB，点E，F分别为线段PA，PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EFH∥平面PBC；（Ⅱ）求直线HE与平面PHB所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在一点M，使得M到P，H，A，F四点的距离相等？请说明理由．考用空间向量求直线与平面的夹角；平面与平面平行的判定；直线与平面所成的角；点：点、线、面间的距离计算．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）依题意，可证得△ADC（即△PDC）是等边三角形⇒H是AC的中点，从而可知HE∥PC，可知同理EF∥PB，利用面面平行的判断定理即可证得结论；（Ⅱ）在平面ABC内过H作AC的垂线，以H为坐标原点建立空间直角坐标系，继而可求得A，P，B，E的坐标，设平面PHB的法向量=（x，y，z），由可求得，通过对x赋值，可求得=（，﹣3，0），利用向量的数量积即可求得cos＜，＞，即HE 与平面PHB所成角的正弦值；（Ⅲ）在直角三角形PHA中，EH=PE=EA=PA=2，在直角三角形PHB中，PB=4，EF=PB=2，从而可知E为M即可．解答：解：（Ⅰ）∵点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，所以PH⊥平面ABC，所以PH⊥AC，…1分∵在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4，∴AC=4，∠CAB=60°，∴△ADC是等边三角形，故H是AC的中点，…2分∴HE∥PC…3分同理可证EF∥PB，又HE∩EF=E，CP∩PB=P，∴平面EFH∥平面PBC；…5分（Ⅱ）在平面ABC内过H作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，则A（0，﹣2，0），P（0，0，2），B（，1，0）…6分因为E（0，﹣1，），=（0，﹣1，），设平面PHB的法向量=（x，y，z），∵=（，1，0），=（0，0，2），∴，即，令x=，则y=﹣3，∴=（，﹣3，0）…8分cos＜，＞===…10分∴直线HE与平面PHB所成角的正弦值为…11分（Ⅲ）存在，事实上记点E为M即可…12分因为在直角三角形PHA中，EH=PE=EA=PA=2…13分在直角三角形PHB中，PB=4，EF=PB=2，所以点E到P，H，A，F四点的距离相等…14分点评：本题考查平面与平面平行的判定，考查直线与平面所成的角，考查点、线、面间的距离计算，突出考查空间向量在空间几何中的应用，考查逻辑推理与证明的能力，属于难题．18．（13分）（xx•海淀区二模）已知函数f（x）=e x，A（a，0）为一定点，直线x=t（t≠0）分别与函数f（x）的图象和x轴交于点M，N，记△AMN的面积为S（t）．（Ⅰ）当a=0时，求函数S（t）的单调区间；（Ⅱ）当a＞2时，若∃t0∈[0，2]，使得S（t0）≥e，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先根据题意得到函数S（t）的解析式，再由导数与函数单调性的关系解不等式即可求函数S（t）的单调区间；（Ⅱ）当a＞2时，若∃t0∈[0，2]，使得S（t0）≥e，转化为S（t）在[0，2]上的最大值一定大于等于e．先求，令S'（t）=0，得t=a﹣1．下面对字母a进行分类讨论：a ﹣1≥2；a﹣1＜2．可得出关于a的不等关系，从而可求出a的范围；解答：解：（I）因为，其中t≠a…（2分）当a=0，，其中t≠0当t＞0时，，，所以S'（t）＞0，所以S（t）在（0，+∞）上递增，…（4分）当t＜0时，，，令，解得t＜﹣1，所以S（t）在（﹣∞，﹣1）上递增令，解得t＞﹣1，所以S（t）在（﹣1，0）上递减…（7分）综上，S（t）的单调递增区间为（0，+∞），（﹣∞，﹣1），S（t）的单调递增区间为（﹣1，0）（II）因为，其中t≠a当a＞2，t∈[0，2]时，因为∃t0∈[0，2]，使得S（t0）≥e，所以S（t）在[0，2]上的最大值一定大于等于e，，令S'（t）=0，得t=a﹣1…（8分）当a﹣1≥2时，即a≥3时对t∈（0，2）成立，S（t）单调递增，所以当t=2时，S（t）取得最大值令，解得，所以a≥3…（10分）当a﹣1＜2时，即a＜3时对t∈（0，a﹣1）成立，S（t）单调递增，对t∈（a﹣1，2）成立，S（t）单调递减，所以当t=a﹣1时，S（t）取得最大值，令，解得a≥ln2+2，所以ln2+2≤a＜3…（12分）综上所述，ln2+2≤a…（13分）点评：本题考查了应用导数研究函数的单调性，以及函数在闭区间上的最值问题，同时考查分析问题、解决问题的能力以及分类讨论的数学思想．19．（14分）（xx•海淀区二模）已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆M交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点，求△AOB（O 为原点）面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）依题意，可求得a=，b=1，从而可得椭圆M的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），依题意，直线AB有斜率，可分直线AB的斜率k=0与直线AB的斜率k≠0讨论，利用弦长公式，再结合基本不等式即可求得各自情况下S△AOB的最大值．解答：解：（Ⅰ）因为椭圆+=1（a＞b＞0）的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点，∴a=，b=1，椭圆M的方程为：+y2=1…4分（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB的垂直平分线经过点（0，﹣），显然直线AB有斜率，当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线为y轴，则x1=﹣x2，y1=y2，所以S△AOB=|2x1||y1|=|x1||y1|=|x1|•==，∵≤=，∴S△AOB≤，当且仅不当|x1|=时，S△AOB取得最大值为…7分当直线AB的斜率不为0时，则设AB的方程为y=kx+t，所以，代入得到（3k2+1）x2+6ktx+3t2﹣3=0，当△=4（9k2+3﹣3t2）＞0，即3k2+1＞t2①，方程有两个不同的实数解；又x1+x2=，=…8分所以=，又=﹣，化简得到3k2+1=4t②代入①，得到0＜t＜4，…10分又原点到直线的距离为d=，|AB|=|x1﹣x2|=•，所以S△AOB=|AB||d|=••，化简得：S△AOB=…12分∵0＜t＜4，所以当t=2时，即k=±时，S△AOB取得最大值为．综上，S△AOB取得最大值为…14分点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查椭圆的标准方程，着重考查方程思想分类讨论思想与弦长公式，基本不等式的综合运用，考查求解与运算能力，属于难题．20．（13分）（xx•海淀区二模）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．（Ⅰ）数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；1 2 3 ﹣7﹣2 1 0 1表1（Ⅱ）数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值；a a2﹣1 ﹣a ﹣a22﹣a 1﹣a2a﹣2 a2表2（Ⅲ）对由m×n个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．考点：切变变换．专题：计算题；图表型．分析：解：（I）根据题中一次“操作”的含义，将原数表改变第4列，再改变第2行即可；或者改变第2行，改变第4列也可得（写出一种即可）（II）每一列所有数之和分别为2，0，﹣2，0，每一行所有数之和分别为﹣1，1；①如果操作第三列，第一行之和为2a﹣1，第二行之和为5﹣2a，列出不等关系解得a，b；②如果操作第一行，可解得a值；（III）按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和），由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn个数之和增加，且增加的幅度大于等于1﹣（﹣1）=2，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn个数之和必然小于等于，可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立．解答：解：（I）法1：1 2 3 ﹣7 ﹣2 1 0 1 改变第4列得：1 2 3 7 ﹣2 1 0 ﹣1 改变第2行得：1 2 3 72 ﹣1 0 1 法2：1 2 3 ﹣7 ﹣2 1 0 1 改变第2行得：1 2 3 72 ﹣1 0 ﹣1 改变第4列得：1 2 3 72 ﹣1 0 1 法3：1 2 3 ﹣7﹣2 1 0 1改变第1列得：﹣1 2 3 72 1 0 ﹣1改变第4列得：﹣1 2 3 72 1 0 ﹣1（写出一种即可）…（3分）（II）每一列所有数之和分别为2，0，﹣2，0，每一行所有数之和分别为﹣1，1；①如果操作第三列，则a a2﹣1 a ﹣a22﹣a 1﹣a2﹣a+2 a2则第一行之和为2a﹣1，第二行之和为5﹣2a，，解得a=1，a=2．…（6分）②如果操作第一行﹣a ﹣a2+1a a22﹣a 1﹣a2a﹣2 a2则每一列之和分别为2﹣2a，2﹣2a2，2a﹣2，2a2解得a=1 …（9分）综上a=1 …（10分）（III）证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn个数之和增加，且增加的幅度大于等于1﹣（﹣1）=2，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn个数之和必然小于等于，可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立…（13分）点评：本题主要考查了进行简单的演绎推理，以及新定义的理解和切变变换的应用，同时考查了分析问题的能力，属于难题．x 29131 71CB 燋•29300 7274 牴{20732 50FC 僼29747 7433 琳34127 854F 蕏35998 8C9E 貞? 38954 982A 頪8。
2021年高三二模考试数学理试题 Word版含答案
2021年高三二模考试数学理试题 Word版含答案数学（理科） xx.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设全集，集合，，则集合（）（A）（B）（C）（D）2. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若，，，则（）（A）（B）（C）（D）4. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）（A）2 （B）（C）（D）正（主）视图侧（左）视图俯视图1 15. “成等差数列”是“”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6. 某市家庭煤气的使用量x （m 3）和煤气费(元) 满足关系 已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：月份 用气量 煤气费 一月份 4 m 3 4 元 二月份 25 m 3 14元 三月份35 m 319 元若四月份该家庭使用了20 m 3的煤气，则其煤气费为（ ） （A ）11.5元 （B ）11元 （C ）10.5元 （D ）10元7. 如图，点A ，B 在函数的图象上，点C 在函数的图象上，若为等边三角形，且直线轴，设点的坐标为，则（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） （D ）8. 设直线：，圆，若在圆C 上存在两点，在直线上存在一点M ，使得，则的取值范围是（ ） （A ） （B ） （C ）（D ）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）yO xB ACE AFDCB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 在的展开式中，常数项等于____. 10. 设，满足约束条件 则的最大值是____. 11. 执行如图所示的程序框图，输出的值为______.12．设双曲线C 的焦点在x 轴上，渐近线方程为，则其离心率为____线C 的方程为____.13. 如图, △为圆内接三角形，为圆的弦，且. 过点做圆的切线与的延长线交于点，与交于点. 若，，则_____； _____.14. 在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优. 若A 电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B 电影，则称A 电影不亚于B 电影. 已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片. 那么在这10部微电影中，最多可能有____部优秀影片.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分） 已知函数.（Ⅰ）若是第二象限角，且，求的值；（Ⅱ）求函数的定义域和值域.16．（本小题满分13分）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人. 为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：，，，，，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）写出的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X 表示其中初中生的人数，求X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分14分）如图，正方形的边长为4，分别为的中点. 将正方形沿着线段折起，使得. 设为的中点. （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）设分别为线段上一点，且平面，求线段长度的最小值.)高中生组初中生组18．（本小题满分13分）设，函数．（Ⅰ）若函数在处的切线与直线平行，求a 的值；（Ⅱ）若对于定义域内的任意，总存在使得，求a 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆：的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线l 与椭圆相交于两点，点B 关于原点的对称点为D ，若点D 总在以线段为直径的圆内，求m 的取值范围.20．（本小题满分13分）已知任意的正整数都可唯一表示为，其中，，．对于，数列满足：当中有偶数个1时，；否则．如数5可以唯一表示为，则． （Ⅰ）写出数列的前8项；（Ⅱ）求证：数列中连续为1的项不超过2项； （Ⅲ）记数列的前项和为，求满足的所有的值．（结论不要求证明）北京市西城区xx 年高三二模试卷参考答案及评分标准F E GA BD C高三数学（理科）xx.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．A 3．B 4．C5．A 6．A 7．D 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．160 10．11．12．13．14．10注：第12，13题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为是第二象限角，且，所以.………………2分所以，………………4分所以. ………………6分（Ⅱ）解：函数的定义域为，且. ………………8分化简，得………………10分，………………12分因为，且，，所以，所以.所以函数的值域为.………………13分（注：或许有人会认为“因为，所以”，其实不然，因为.）16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：.………………3分（Ⅱ）解：由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名. ………………4分因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为，所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有人，………………6分同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为，学生人数约有人.所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有人. (8)分（Ⅲ）解：初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，样本人数为人.同理，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生样本人数为人.故X的可能取值为1，2，3. ………………9分则，，.所以的分布列为： (12)分所以. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为正方形中，分别为的中点，所以，，又因为，所以平面. ………………2分又因为平面，所以. ………………4分（Ⅱ）解：因为，，，所以为等边三角形，且.又因为，，所以平面.………………5分设的中点为，连接，则两两垂直，故以分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，所以,，. ………………6分设平面的一个法向量为，由，，得令，得.………………7分设直线与平面所成角为，则||257 sin|cos,|19||||GAGAGAα⋅=<>==mmm.即直线与平面所成角的正弦值为.（Ⅲ）由题意，可设，，由，得，所以，. ………………10分由（Ⅱ），得为平面的法向量.因为平面，所以，即. ………………11分所以， (12)分又因为，所以当时，.所以当，时，线段长度有最小值. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：函数的定义域，………………1分由题意，有意义，所以.求导，得244()()2()()(3)()()()x a x a x a x a x af xx a x a+--⋅++⋅-'==-++. (3)分由题意，得，解得.验证知符合题意...................5分（Ⅱ）解：“对于定义域内的任意，总存在使得”等价于“不存在最小值”． (6)分①当时，由，得无最小值，符合题意．………………7分②当时，令，得或. ………………8分随着x的变化时，与的变化情况如下：所以函数的单调递减区间为，，单调递增区间为． (9)分因为当时，，当时，，所以只要考虑，且即可．当时，由在上单调递减，且，得，所以存在，使得，符合题意；同理，当时，令，得，也符合题意；故当时，对于定义域内的任意，总存在使得成立．………11分③当时，随着x的变化时，与的变化情况如下表：所以函数的单调递减区间为，，单调递增区间为．因为当时，，当时，，所以．所以当时，不存在使得．综上所述，a的取值范围为. ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得：………………2分又因为解得，，，………………4分所以椭圆C的方程为. ………………5分（Ⅱ）解：（方法一）当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为，此时E，F为椭圆的上下顶点，且，因为点总在以线段为直径的圆内，且，所以.故点B在椭圆内. (6)分当直线的斜率存在时，设的方程为.由方程组得，………………8分因为点B在椭圆内，所以直线与椭圆C有两个公共点，即.设，则，. ………………9分设的中点，则，，所以. ………………10分所以，. ………………11分因为点D 总在以线段EF 为直径的圆内，所以对于恒成立.所以 1212121241242222224+-++<+++k m k k k k k m . 化简，得，整理，得， ………………13分而（当且仅当时等号成立）.所以，由，得.综上，m 的取值范围是. (14)分（方法二）… …则，. …………………9分因为点D 总在以线段EF 为直径的圆内，所以. ………………11分因为，，所以2121212()()()x x kx m kx m m kx m kx m m =++++++++，整理，得. ………………13分（以下与方法一相同，略）20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：1，1，0，1，0，0，1，1. ………………3分（Ⅱ）证明：设数列中某段连续为1的项从开始，则．由题意，令，则 中有奇数个1．（1）当中无0时，因为，所以111011202020202k k k m +-+=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯，111021202020212k k k m +-+=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯．所以，，，此时连续2项为1． ………………5分（2）当中有0时，① 若，即，则，因为 中有奇数个1，所以，此时连续1项为1． ………………7分 ② 若，即111001 122202121212i k k s s s m a a --=⋅+⋅++⨯+⨯++⨯+⨯连续个乘以， 则111001 0212212020202ik k s s s m a a --+=⋅+⋅++⨯+⨯++⨯+⨯连续个乘以，111001(1)0222212020212ik k s s s m a a ---+=⋅+⋅++⨯+⨯++⨯+⨯连续个乘以，（其中） 如果为奇数，那么，，此时连续2项为1．如果为偶数，那么，此时仅有1项．综上所述，连续为1的项不超过2项． ………………10分（Ⅲ）解：或. ………………13分36569 8ED9 軙 }5F23705 5C99 岙q 1a39864 9BB8 鮸G。
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2021年高考数学二模试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2019·广州模拟) 已如集合，则（）
A . 或
B . 或
C . 或
D . 或
2. （2分）已知复数z1=a+bi,z2=-1+ai，若|z1|<|z2|，则（）
A . b<-1或b>1
B . -1<b<1
C . b>1
D . b>0
3. （2分） (2017高二下·成都开学考) 经过双曲线﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于M，N两点，若|MN|= ，则该双曲线的离心率是（）
A . 2或
B . 或
C .
D .
4. （2分）(2017·荆州模拟) 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线
互相垂直，则该几何体的体积是（）
A .
B .
C .
D . 32
5. （2分）两根相距3m的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1m的概率为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2018高三上·黑龙江月考) 已知函数（其中）的图象关于点成中心对称，且与点相邻的一个最低点为，则对于下列判断：
①直线是函数图象的一条对称轴；②点是函数的一个对称中心；③函数
与的图象的所有交点的横坐标之和为 .其中正确的判断是（）
A . ①②
B . ①③
C . ②③
D . ①②③
7. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 已知实数x，y满足，其中a= （x2﹣1）dx，则z=2|x ﹣1|+|y|的最小值是（）
A . 5
B . 3
C . 6
D . 2
8. （2分）(2018·安徽模拟) 执行如图所示的程序框图，当输入的时，输出的结果不大于的概率为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2015高三上·包头期末) 已知函数f（x）= ，若对x∈R都有|f（x）|≥ax，则实数a的取值范围是（）
A . （﹣∞，0]
B . [﹣2，0]
C . [﹣2，1]
D . （﹣∞，1]
10. （2分） (2017高二下·兰州期中) 甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（）
A . 甲是工人，乙是知识分子，丙是农民
B . 甲是知识分子，乙是农民，丙是工人
C . 甲是知识分子，乙是工人，丙是农民
D . 甲是农民，乙是知识分子，丙是工人
11. （2分）(2015高二上·福建期末) 如图，空间四边形OABC中，，
，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分）(2016·花垣模拟) 下列说法正确的是（m，a，b∈R）（）
A . am＞bm，则a＞b
B . a＞b，则am＞bm
C . am2＞bm2 ，则a＞b
D . a＞b，则am2＞bm2
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）（x+y+z）8的展开式中项x3yz4的系数等于________ （用数值作答）
14. （1分）(2017·赤峰模拟) 三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，∠CAB=90°，PC=3，AC=4，AB=5，则此三棱锥外接球的表面积为________．
15. （1分）(2020·海南模拟) 已知数列满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为________.
16. （1分）从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取3台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是________
三、解答题 (共7题；共70分)
17. （10分） (2016高一下·滁州期中) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．
（1）若c=2，，且△ABC的面积，求a，b的值；
（2）若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，试判断△ABC的形状．
18. （5分）(2017·辽宁模拟) 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求
X的分布列与数学期望．
（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值（精确到0.01），并说明理由．
19. （15分） (2018高三上·长春期中) 如图，正方体的棱长为1，，求：
（1）与所成角；
（2）求点B到与平面的距离；
（3）平面与平面所成的二面角 .
20. （10分）(2019·河北模拟) 已知椭圆的一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直，以椭圆的长轴为直径的圆与直线相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过椭圆右焦点的动直线（轴除外）与椭圆相交于，两点，探究在轴上是否顾在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理由.
21. （10分） (2016高一上·嘉峪关期中) 已知函数．
（1）请在直角坐标系中画出函数f（x）的图象，并写出该函数的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣m恰有3个不同零点，求实数m的取值范围．
22. （10分） (2019高二下·哈尔滨月考) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（
为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.
23. （10分） (2019高一上·会宁期中) 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数不超过20人，每人需交费用800元；若旅行团人数超过20人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数60人为止.旅行社需支付各种费用共计10000元.
（1）写出每人需交费用S关于旅行团人数的函数；
（2）旅行团人数x为多少时，旅行社可获得最大利润？最大利润是多少？
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共7题；共70分)
17-1、
17-2、
18-1、
19-1、
19-2、
19-3、20-1、
20-2、
21-1、
21-2、
22-1、
22-2、23-1、
23-2、。